Aeroelasticidade Estática – Divergência da Asa

A aeroelasticidade estática é o estudo de deflexão da estrutura flexível da aeronavesujeita às cargas aerodinâmicas, quando se considera que as cargas e o movimentonão dependem de tempo.Estas cargas induzem flexão e torção na asa, mudando o ângulo de incidência e emconsequencia o escoamento aerodinâmico, quais em torno mudam as cargas e asdeflexões até se chega ao equilíbrio.Existem dois fenômenos de aeroelasticidade estática que são críticos:• divergência ( divergence )• reversão de controle ( control reversal )Divergência ocorre quando os momentos causados por cargas aerodinâmicas superamos momentos restauradores da estrutura.

Aerofólio rígido bi-dimensional

Análise Iterativa

• Aerofólio simétrico ( sem arqueamento )• c é a corda• kθ rigidez em torção da mola• ec distancia entre centro aerodinâmico e eixo elástico• θ0 ângulo inicial do aerofólio• θ ângulo de torção devido às cargas aerodinâmicas• a1 inclinação da curva de sustentação• V velocidade do ar (TAS)

2 2

1 0 1 0

1

2M V ca ec qec a

O momento de arfagem é:

A energia potencial ou energia de deformação da mola é:

21

2U K

q é a pressão dinâmica: 21

2q V

Equações de Lagrange

x

Wd T T D UQ

dt x x x x x

A equação do Lagrange para um sistema com um grau de liberdade

• T é a energia cinética• U é a energia potencial ou de deformação• D é a função dissipadora• Qx é a força generalizada• W é o trabalho da força generalizada

2

1 0 2

1 0

qec aWQ qec a

A equação do Lagrange neste caso:

22 1 0

1 0 0

2

1

U

Q

qec aK qec a qR

K

ec aR

K

Devido à carga aerodinâmica aplicada, o aerofólio torcionou um ângulo θ, então o momento de arfagem muda com o novo ângulo de incidência.

Primeira iteração

O momento de arfagem com o novo ângulo de incidência :

2

1 0 0M qec a qR

A energia de deformação tem a mesma fórmula.

2

1 0 0

2

1 0 0

11

K qec a qR

qRqec a qR qR

K

Continuando do mesmo jeito:

2

01qR qR qR

Usando a expansão em serie Taylor

1 21 1 com 1x x x x

No limite, o ângulo de torção vai ser

01

qR

qR

Único passo – Analise Direta

Considerando o ângulo θ ainda não determinado como incógnita, o momento de arfagem é:

2

1 0M qec a

A energia de deformação é a mesma de antes.O momento generalizado, baseado no trabalho incremental feito pelo momento de arfagem por ângulo incremental δθ é:

2

1 0 2

1 0

qec aWQ qec a

Aplicando as equações de Lagrange para coordenada θ :

2 2 2

1 0 1 1 0

2

10 02

1 1

K qec a K qec a qec a

qec a qR

K qec a qR

O ângulo de torção θ se tende a infinito quando q tende a 1/R e este define a velocidade de divergência.

2

1

2

1

21

2

div

divdiv div div

Kq

R ec a

qq V V

0

/

1 /

div

div

q q

q q

Asa engastada flexível

Consideramos uma asa retangular com metade de envergadura s, corda c com aerofólio simétrico e sem deformação inicial. O eixo elástico ( eixo de flexão ) é posicionado a uma distancia ec atrás de centro aerodinâmico ( em quarto da corda ).A rigidez em torção é GJ.A inclinação da curva de sustentação é aW e o ângulo de ataque a raiz é fixo ( θ0 ).Se assume uma relação linear do ângulo de torção.

T

y

s

Considerando teoria das faixas, a sustentação incremental é:

0W T

ydL qca dy

s

A sustentação total é:

0 0

02

s

W T W T

y sL qca dy qca s

s

A energia de deformação em torção é:

2 2

2

0 0

1 1

2 2 2

s s

TT

d GJU GJ dy GJ dy

dy s s

A coordenada generalizada é θT e o incremento do ângulo θ em função do θT é:

T

y

s

O trabalho feito pelas cargas aerodinâmicas é determinado considerando o trabalho do momento de arfagem em cada faixa pelo ângulo de torção da faixa. O trabalho total é determinado por integração ao longo da semi-envergadura.

0

0 0

2 2 00

02 3

s s

W T

s

TW T T W T

yW dL ec qca dy ec

s

s sy yqc a dye qec a

s s

Usando a equação do Lagrange com coordenada generalizada θT :

2 2 20 0

2 2

2 2

2 3 3 2

3

6 2

T

T

T TW W T W

WT

W

UQ

s sGJ s GJ sqec a qec a qec a

s s

q ec s a

GJ qec s a

A pressão dinâmica na divergência é:

2 2

3W

W

GJq

ec s a

A solução exata da equação diferencial é

2

_ 2 2 2 2

2,47

2W exato

W W

GJ GJq

ec s a ec s a

Variação da sustentação ao longo da asa engastada

2 2

0 02 2

31

6 2

WW W

W

qec s adL y yqca qca

dy s GJ qec s a s

Usando a pressão dinâmica de divergência:

2 2

0 02 2

3 / 31 1

2 1 / 6 2

W WW W

W W

q qdL y qec s a yqca qca

dy q q s GJ qec s a s

A sustentação total é:

0

0

3 /1

4 1 /

s

W

Total W

W

q qdLL dy qcsa

dy q q

Formulação com matrizes

A matriz de rigidez da viga: [Kθθ]. A equação de equilíbrio elástico:

[ ] [ ]elastM K

O momento de arfagem aerodinâmico:

2

2 matriz diagonal

aero W

W

M q a ec y

A a ec y

[ ] [ ] 0elast aeroM M K q A

Chegamos a um problema de autovalores:

1 1

0K A Iq

Exemplo numérico

Um modelo de asa tem rigidez em torção GJ = 23 N∙m2

Dados adicionais:s = 0,5 m ; semi-envergadurac = 0,15 m; cordaaW = 6 per radianoρ = 1,225 Kg/m3 ; densidade do ar ao nível do mare = 0,25; eixo elástico localizado o,25c atrás de a.c. ou localizado na metade da corda

Usando a formula analítica:

2

2 2 2 2

2

2 2 2 2

3 3 238177,8 N/m

0,25 0,15 0,5 6

2 2 8177,8115,5 m/s

1,225

2,47 2,47 236733,0 N/m

0,25 0,15 0,5 6

2 2 6733,0104,8 m/s

1,225

W

W

WDW

Wexato

W

WexatoDWexato

GJq

ec s a

qV

GJq

ec s a

qV

88,00

90,00

92,00

94,00

96,00

98,00

100,00

102,00

104,00

106,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

m/s

No. de elementos

Velocidade de divergencia

A solução com elementos finitos

O efeito do trim sobre a aeroelasticidade estática

O exemplo apresentado mostra que o aumento da velocidade leva ao aumento do ângulo de torção e em consequencia o aumento da sustentação. Na prática a mudança da velocidade requer o trim da aeronave via o ajuste de profundor para manter o equilíbrio de forças aerodinâmicas e de inércia.

Efeito do trim sobre a velocidade de divergência de um modelo simples

A aeronave voa horizontalmente em vôo uniforme. A fuselagem é rígida e pode se deslocar em sentido vertical e girar. A asa tem flexibilidade em torção. O efeito de downwash da asa sobre a empenagem horizontal é ignorado. As seções da asa e da empenagem são simétricas.

Cargas

T – empuxo ( thrust )D – arrasto ( drag )W – peso ( weight )LW – sustentação de uma asa ( Wing Lift )LT – sustentação da cauda ( Tail Lift )

Coordenadas Generalizadas ( graus de liberdade )

z – deslocamento verticalθ0 – ângulo de arfagem da aeronaveθT – ângulo de torção na ponta da asa

Equações de equilíbrio da aeronave rígida:

0 0

0 2 0

x

z W T

F T D

F L W L

02 02

TW Tqcsa W L

(1)

0

0

2 02

TW W T T

M

qcsa l L l

(2)

A energia elástica de deformação:

2 2

2

0 0

12

2

s s

TT

d GJU GJ dy GJ dy

dy s s

2T

U GJQ

s

O trabalho virtual é duas vezes o anterior ( da asa engastada ), e a terceira equação é:

2 02 22 3

TT W

GJqec sa

s

(3)

Arrumando as equações (4) e (3) em forma matricial:

0

2 2

2

22

03

W W T

W T

W W T

qcsa qcsa Wl

l lGJqec sa qec sa

s

Podemos eliminar LT usando as equações (1) e (2), obtendo a seguinte equação:

022

TW W T Tqcsa l l Wl

(4)

As soluções são:

/ /

4 / ( ) / 3 41

4

T W T T W T

T

W

W

Wl l l Wl l l

GJ ecs qcs a GJ q

ecs q

2 2

0 2 2

6 2 1 /

2 1 / 412

W T T W T T W W

W WW W

GJ qec s a Wl l l Wl l l q q

qcs a q qqcs a GJ qec s a

A pressão dinâmica na divergência é:

4A Wq q

Efeito do trim vertical sobre a variação da sustentação ao longo da asa

Substituindo as expressões achadas para θ0 e θT , a derivada da sustentação é:

/ 2 / 3 / 2

4 1 / 4

T T W W

W

Wl l l q q y sdL

dy s q q

Efeito do trim sobre a sustentação da asa e da empenagem horizontal

Para manter o trim, o equilíbrio de forças e momentos deve ser mantido.No caso de seção simétrica da asa, a sustentação da asa e da cauda permanece constante durante mudanças de velocidade.No caso de uma seção arqueada, vai aparecer um momento de arfagem e as forças vão mudar com a velocidade, mas ainda vão ficar em equilíbrio.

Efeito de enflechamento sobre a aeroelasticidade estática

A maioria das aeronaves tem asa com enflechamento positivo ( swept-back ). O motivo principal é aerodinâmico ( redução do arrasto ). Um efeito semelhante pode ser obtido com enflechamento negativo ( swept-forward ). O enflechamento negativo tem um efeito prejudicial sobre a divergência.

Efeito de enflechamento da asa sobre o ângulo efetivo de incidência

A flexão tem uma influencia maior que a torção sobre o ângulo de incidência, mas o modo de divergência ainda ocorre em torção.

a. Para caso sem enflechamento (AC), o ângulo de incidência não muda por causa da flexão

b. Para caso com enflechamento positivo ( AD), o ângulo de incidência efetivo diminui visto que o ponto D se levanta mais que o A, em flexão.

c. Para caso com enflechamento negativo (AB), o ângulo de incidência efetivo aumenta visto que o ponto A se levanta mais que o B, em flexão.

Em consequencia, para asa com enflechamento negativo, a velocidade de divergência diminui em comparação à asa sem enflechamento, enquanto que a asa com enflechamento positivo tem um aumento da velocidade de divergência.

Ângulo de incidência efetivo devido ao batimento e arfagem

Consideramos uma asa não afilada com corda c, semi-envergadura s, ângulo de enflechamento Λ ( positivo atrás ) e ângulo de incidência θ0 na raiz, numa corrente do ar com velocidade V.Para ter um modelo mais realista temos que considerar a flexão junto com a torção.

Duas molas de rotação: Kκ que controla o batimento e Kθ que contém a torção.

O batimento e a torção ocorrem ao longo e em torno do eixo elástico y’.De novo vamos usar a teoria das faixas para modelo aerodinâmico.

coscospitch

c

c

A arfagem diminui o ângulo

efetivo de incidência.

' sin 'sinflap

y c y

c

Batimento para baixo aumenta o

ângulo de incidência de uma asa com enflechamento positivo.

No vôo com velocidade constante e nivelado a asa deflete para cima ( κ negativo ) e em consequencia enflechamento positivo diminui o ângulo de incidência efetivo. Em realidade, as deflexões devidas à flexão influenciam o ângulo de incidência efetivo mais que a torção.

Efeito do ângulo de enflechamento sobre a velocidade de divergência

Considerando o batimento e a torção junto:

0 cos sinWdL qa cdy O trabalho virtual:

0

0

0

2

0

sincos sin

cos 4

cos cos sin

4

cos sin cos sin

4 2cos 4

s

W

W

W

y cW qa cdy

cqa cdy

cs s csqa cdy

A energia de deformação das duas molas :

2 21 1

2 2U K K

Aplicando as equações de Lagrange para as duas coordenadas generalizadas: κ e θ, i.e.

W WQ Q

Obtivemos duas equações:

2 2

0

2

0

sincos sin

2cos 4

coscos sin

4

W

W

cs c sK qa

c sK qa

Arranjando em formato matricial :

2 2 2

2 2 2

2

02 2

tan sin sin cos

2 4 2 4

sin cos cos

4 4

sin cos

2 4

cos

4

W W

W W

W

W

s cs s csK q a c q a c

q a sc q a scK

s csq a s

q a sc

A divergência ocorre quando o determinante é igual a zero.

2 22 2

22 3

costan sin

2 4 4

sin cos sin cos0

4 2 4

WW

W

q a scs csK q a c K

s csq a sc

A velocidade de divergência é:

2 2 2 2 2

2

cos / 4 tan / 2 sin / 4div

W

K KV

a K sc K cs c

Para asa sem enflechamento ( Λ = 0 ) a velocidade de divergência é:

2

8div

W

KV

a c s

A velocidade da divergência normalizada com respeito à velocidade de asa sem enflechamento:

Efeito do enflechamento sobre a distribuição da sustentação

No caso analisado, o efeito do enflechamento sobre a alteração da sustentação para cada faixa é o mesmo.

No gráfico abaixo, a sustentação por unidade de envergadura, normalizada com respeito ao caso Λ = 0 é apresentada em função do ângulo de enflechamento.