TrabalhoeEnergia

As leisdeNewtonpermitemanalisarváriosmovimentos.Essaanálisepodeserbastantecomplexa,necessitandodedetalhesdomovimentoquesãoinacessíveis.

Exemplo:qualéavelocidadefinaldeumcarrinhonachegadadeumpercursodemontanharussa?Desprezearesistênciadoareoatrito,eresolvaoproblemausandoasleisdeNewton.

Introduçãoàenergia

❑ Aos poucos cientistas e engenheiros desenvolveram uma técnicamuitas vezes mais poderosa para analisar o movimento. Essamaneira acabou sendo estendida a outras situações , tais como:reaçõesquímicas,processosgeológicosefunçõesbiológicas.

❑ Essatécnicaalternativaenvolveoconceitodeenergia,queapareceemváriasformasetipos.

❑ Energia:grandezaescalarassociadaaumestadodeumoumaiscorpos.

❑ Essadefiniçãoémuitovagaeparachegaraalgumlugarvamosnosconcentrar inicialmente em uma forma apenas de energia.Devemos nos restringir a determinadas formas de energia, como a manifestada pelo movimento de um corpo, pela sua posição em relação a outros, pela sua deformação, etc.

Energia é um conceito que vai além da mecânica de Newton e permanece útil também na mecânica quântica, relatividade, eletromagnetismo, etc.

A conservação da energia total de um sistema isolado é uma lei

fundamental da natureza.

Essa forma de energia está associada ao estado demovimentodeumobjeto.Quantomaiorsuavelocidade,maiorsuaenergiacinética𝐾.

A forma correta de se atribuir um escalar (energia) a umobjetodemassa𝑚 evelocidade𝑣 é:

𝑲 = ½ 𝒎 𝒗 𝟐

Veremos que com essa escolha, é possível fazer previsõesfísicasemacordocomasLeisdeNewton.

UNIDADES:noSI,1kg.(m2/s2)=1J,J=Joule.

EnergiaCinética

Aenergia transferidaparaumobjeto,ou retiradadele,pelaatuaçãodeumaforça,échamadatrabalho.

Consideremosumcorpodemassamquesedeslocanadireçãoxsobaçãodeumaforçaresultanteconstantequefazumânguloθcomesteeixo.

OtrabalhorealizadopelaforçaFédefinidocomo:

OBSERVAÇÃO: Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, a velocidade varia após percorrer uma distância d.

Trabalho!A!energia!transferida!para!um!objeto,!ou!re+rada!dele,!pela!atuação!de!uma!força,!é!chamada!trabalho.!!!Consideremos!um!corpo!de!massa!m'que'se'desloca!na!direção!x'sob!ação! de! uma! força! resultante! constante! que! faz! um! ângulo! θ! com!este!eixo.!!O!trabalho!realizado!pela!força!F!é!definido!como:!!!

''' ' ' ' ' ''

O lado esquerdo representa a variação da energia cinética do corpo e o lado direito é o trabalho, W, realizado pela força para mover o corpo por uma distância d:!

Problema 1-D: um corpo de massa m desloca-se na direção-x sob ação de uma força resultante constante que faz um ângulo θ com este eixo."

Energia cinética e trabalho Veremos a relação entre forças agindo sobre um corpo e sua energia cinética."

mF

a xx = d

mF

davv xx 222

02 ==−

Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, a velocidade varia!conforme a equação acima após percorrer uma distância d.!

Da segunda lei de Newton a aceleração na direção-x é:"

dFmvvm x=− 20

2

21

21

(o produto escalar vem do fato que Fx = F cosθ)"

Então:"

F

•• θ x!v0v

dm!

7"F128"–"1o""Semestre"de"2012"

W = Fxd =

F ⋅d

W = F · d = Fd cos ✓

OBSERVAÇÃO: Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, a velocidade varia após percorrer uma distância d.

Trabalho

Dadefiniçãoéfácilverque:

o Umaforçanãoexecutatrabalhosobreumsistemaseopontodeaplicaçãodaforçanãosemover.

o Otrabalhorealizadoporumaforçanumobjetosemovendoézeroquandoaforçaaplicadaforperpendicularaodeslocamentodopontodeaplicação.

o Aforçanormal,n,eaforçagravitacional,mg,nãoexecutamtrabalhonoobjeto,poiscos(θ) = cos 90° = 0

o AforçaFexecutatrabalhonoobjeto:W = F Δr cosθ

Um corpo se desloca umadistância Δr sob a ação dasforças indicadas na figura.Qua i s fo rça s rea l i zamtrabalho?

Exemplo

OsinaldotrabalhodependedadireçãodeFrelativaaoΔr:

• TrabalhoépositivoquandoaprojeçãodeFemΔrestivernamesmadireçãododeslocamento.

• TrabalhoénegativoquandoaprojeçãodeFemΔrestivernadireçãooposta.

• Trabalhoéumaquantidadeescalar.

• AunidadedetrabalhoéoJoule(J).

• 1Joule=1Newton.1metro

MaissobreTrabalho

q

Fr

dr

Exemplo 1 - Força constante: Um faxineiro está puxando um aspirador de pó pela mangueira a 30o com a horizontal fazendo uma força de 50 N. Calcule o trabalho realizado pelo homem sobre o aspirador após puxá-lo por uma distância de 3 m.

Fr

dr

θ = 30F = 50 Nd = 3 m

!

"#

$#

W = Fd cosθW = 50×3× cos30W =130 J

Força!constante:!exemplo!1!

Um!faxineiro!está!puxando!um!aspirador!de!pó!pela!mangueira!a!30o!com!a!horizontal!fazendo!uma!força!de!50!N.!Calcule!o!trabalho!realizado!pelo!homem!sobre!o!aspirador!após!puxáclo!por!uma!distância!de!3!m.!

Exemplo 2 - Força constante: Um objeto movendo-se no plano xy realiza um deslocamento d = (2,0 i + 3,0 j) m submetido a uma força constante F = (5,0 i + 2,0 j) N. Calcule:

a) O trabalho realizado sobre o objeto. b) O comprimento do deslocamento. c) A intensidade da força. d) O ângulo entre a força e o deslocamento.

Um!objeto!movendocse!no!plano!xy!realiza!um!deslocamento!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!subme+do!a!uma!força!constante!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.!Calcule:!

a) O!trabalho!realizado!sobre!o!objeto.!!

b) O!comprimento!do!deslocamento.!

c) A!intensidade!da!força.!

d) O!ângulo!entre!a!força!e!o!deslocamento.!

d = 2,0 i +3,0 j( )m

F = 5,0i + 2,0 j( )N

b)! d = 22 +32 = 13m

c)! F = 52 + 22 = 29 N

a)! W =F ⋅d = 2×5+3×2

W =16 J

d)!F ⋅d = Fd cosθ

cosθ =F ⋅d

Fd=16377

= 0,824

θ = cos−1 0,824( ) = 34,5o

Força!constante:!exemplo!2!

Um!objeto!movendocse!no!plano!xy!realiza!um!deslocamento!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!subme+do!a!uma!força!constante!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!.!Calcule:!

a) O!trabalho!realizado!sobre!o!objeto.!!

b) O!comprimento!do!deslocamento.!

c) A!intensidade!da!força.!

d) O!ângulo!entre!a!força!e!o!deslocamento.!

d = 2,0 i +3,0 j( )m

F = 5,0i + 2,0 j( )N

b)! d = 22 +32 = 13m

c)! F = 52 + 22 = 29 N

a)! W =F ⋅d = 2×5+3×2

W =16 J

d)!F ⋅d = Fd cosθ

cosθ =F ⋅d

Fd=16377

= 0,824

θ = cos−1 0,824( ) = 34,5o

Força!constante:!exemplo!2!

Consideremos o movimento vertical de um objeto sob a ação da força de gravidade

TrabalhodaForçaGravitacional

Como a força gravitacional é constante (𝑚𝑔), a aplicação de 𝑊=𝑭·𝒅 para o movimento vertical resulta em:

𝑊 = 𝑚𝑔𝑑 cos 180° = −𝑚𝑔𝑑 (subindo) 𝑊 = 𝑚𝑔𝑑 cos 0° = +𝑚𝑔𝑑 (descendo)

Para um lançamento qualquer, o trabalho realizado pela força gravitacional é:

𝑊 = 𝑚𝑔𝑑 cos 𝜙 = −𝑚𝑔(𝑦f − 𝑦i)

onde 𝜙 é o ângulo entre o vetor 𝒅 e o vetor 𝑚𝒈.

Trabalhodeumaforçavariável

Seja um corpo se movimentando na direção x sob a ação de uma força Ftambémnadireçãox.VamosconsiderarqueFvariacomaposição:F=F(x)

Dividimos o intervalo (x2 – x1) em um número muito grande de pequenosintervalosΔxi.Emcadaintervaloaforçaéaproximadamenteconstante,logo,otrabalhoemcadaintervaloésimplesmenteΔWi=Fi.Δxi.

Otrabalhototalointervalo(x2–x1)éaproximadamente:

O trabalho total, escrito dessa forma, representa aproximadamente a área sob a curva F(x) versus x.

NolimiteemqueΔxitemos:

Agora, o trabalho total representa exatamente a área sob a curva F(x) versus x.

No!limite!em!que!Δxi!temos:

W = lim�xi!0

X

i

Fi(x)�xi ⌘Z x2

x1

F (x)dx

Agora, o trabalho total representa exatamente a área sob a curva F(x) versus x.

Trabalho de uma força variável (1-D)

(O trabalho é a área sob a curva de força em função da posição!)

∫=2

1

)(x

x

dxxFW

No limite, fazendo Δxi ! 0

Seja F = F(x) a força resultante que atua sobre uma partícula de massa m.

11 F128 – 1o Semestre de 2012

Dividimos o intervalo (x2 - x1 ) em um número muito grande de pequenos intervalos Δxi.

W =∑i FiΔxiEntão:

Δxi ! 0

Aintegraçãopodeservistacomoaoperação“inversa”daderivação.Istoé,dadaa funçãof(x),queremosdeterminaroutra funçãoW(x),cujaderivadaéigualàfunçãodada:W‘(x)=f(x)

AfunçãoW(x)obtidacomtalprocedimentoédenominadaprimitivadef(x).

EXEMPLO: Consideremos f(x) = sen(x). Desejamos encontrar um outra função W(x), tal que, W´(x) = sen(x). Esta função procurada é W(x)= -cos x, pois W´(x) = sen x. A função G(x)=-cos x + 5 também tem sua derivada igual a f(x); logo também ela é uma primitiva de f(x). Portanto, uma função qualquer admite mais de uma primitiva.

Integração:anoçãodeprimitiva

Se duas funções são primitivas da função f(x), então, a diferençaentreelaséumaconstante.

Denomina-seIntegralindefinidadeumafunçãof(x)àoperaçãodedeterminaçãodaexpressãodaprimitivadessafunção,F(x)+C;estaoperaçãoésimbolicamenterepresentadapor

Integralindefinida

Portanto,dadefinição,teremos

Denominacse!Integral!indefinida!de!uma!função!f(x)!à!operação!de!determinação!da!expressão!da!primi+va!dessa!função,!F(x)+C;!esta!operação!é!simbolicamente!representada!por!!!!!Portanto,!da!definição,!teremos!

f (x)dx∫

f (x)dx∫ =W (x)+C onde W '(x) = f (x)

Integral!definida!

Denominacse!Integral!indefinida!de!uma!função!f(x)!à!operação!de!determinação!da!expressão!da!primi+va!dessa!função,!F(x)+C;!esta!operação!é!simbolicamente!representada!por!!!!!Portanto,!da!definição,!teremos!

f (x)dx∫

f (x)dx∫ =W (x)+C onde W '(x) = f (x)

Integral!definida!

Aintegraldefinidadeumafunçãof(x)entrex=aex=bédenotadacomo

Oresultadodaintegraldefinidaéumnúmeroquepodesercalculadopelafórmula

Integraldefinida Integral!definida!

A!integral!definida!de!uma!função!f(x)!entre!x=a!e!x=b!é!denotada!como!!!!O!resultado!da!integral!definida!é!um!número!que!pode!ser!calculado!pela!fórmula!!!

f (x)dxa

b

∫

f (x)dxa

b

∫ =W (b)−W (a) =W (x) ab

Integral!definida!

A!integral!definida!de!uma!função!f(x)!entre!x=a!e!x=b!é!denotada!como!!!!O!resultado!da!integral!definida!é!um!número!que!pode!ser!calculado!pela!fórmula!!!

f (x)dxa

b

∫

f (x)dxa

b

∫ =W (b)−W (a) =W (x) ab

EXEMPLOS

Fimdocursoaceleradodecálculointegral!

EXEMPLOS!kxdx

a

b

∫ =12kx2 a

b =12k b2 − a2#$

%&

2senxdx0

π

∫ = −2cox 0π = −2 cosπ − cos0"# $%= 4

2senxdx0

2π

∫ = −2cox 02π = −2 cos2π − cos0"# $%= 0

ex dx0

2

∫ = ex 02 = e2 − e0 = e2 −1

xn dxa

b

∫ =1n+1

xn+1 ab =

1n+1

bn+1 − an+1!"

#$ (n ≠ −1)

Fim!do!curso!acelerado!de!cálculo!integral!!!

A força exercida por uma mola em função de sua elongação é dada pela Lei de Hooke

F = – k x o quando x é positivo (mola é

esticada), F é negativa.

o quando x = 0 (na posição de equilíbrio), F = 0.

o quando x é negativo (mola é comprimida), F é positiva.

Exemplo:Forçaelástica(mola)

FH = −kx

A!força!exercida!por!uma!mola!em!função!de!sua!elongação!é!dada!pela!Lei!de!Hooke!!!!!o  quando!x'é!posi+vo!(mola!é!

es+cada),!F'é!nega+va.!!o  quando!x'=!0!(na!posição!de!

equilíbrio),!F'=!0.!!o  quando!x'é!nega+vo!(mola!é!

comprimida),!F'é!posi+va.!!

Exemplo:!Força!elás<ca!(mola)!7-7 Work Done by a Spring ForceWe next want to examine the work done on a particle-like object by a particulartype of variable force—namely, a spring force, the force from a spring. Manyforces in nature have the same mathematical form as the spring force. Thus, byexamining this one force, you can gain an understanding of many others.

The Spring ForceFigure 7-9a shows a spring in its relaxed state—that is, neither compressed norextended. One end is fixed, and a particle-like object—a block, say—is attachedto the other, free end. If we stretch the spring by pulling the block to the right asin Fig. 7-9b, the spring pulls on the block toward the left. (Because a springforce acts to restore the relaxed state, it is sometimes said to be a restoring force.)If we compress the spring by pushing the block to the left as in Fig. 7-9c, thespring now pushes on the block toward the right.

To a good approximation for many springs, the force from a spring is pro-portional to the displacement of the free end from its position when the springis in the relaxed state.The spring force is given by

(Hooke’s law), (7-20)

which is known as Hooke’s law after Robert Hooke, an English scientist of thelate 1600s. The minus sign in Eq. 7-20 indicates that the direction of the springforce is always opposite the direction of the displacement of the spring’s free end.The constant k is called the spring constant (or force constant) and is a measureof the stiffness of the spring.The larger k is, the stiffer the spring; that is, the largerk is, the stronger the spring’s pull or push for a given displacement.The SI unit fork is the newton per meter.

In Fig. 7-9 an xaxis has been placed parallel to the length of the spring, withthe origin (x! 0) at the position of the free end when the spring is in its relaxedstate. For this common arrangement, we can write Eq. 7-20 as

Fx! "kx (Hooke’s law), (7-21)

where we have changed the subscript. If xis positive (the spring is stretchedtoward the right on the xaxis), then Fxis negative (it is a pull toward the left). Ifxis negative (the spring is compressed toward the left), then Fxis positive (it is apush toward the right). Note that a spring force is a variable force because it is afunction of x, the position of the free end.Thus Fxcan be symbolized as F(x).Alsonote that Hooke’s law is a linear relationship between Fxand x.

The Work Done by a Spring ForceTo find the work done by the spring force as the block in Fig. 7-9a moves, let usmake two simplifying assumptions about the spring. (1) It is massless; that is, itsmass is negligible relative to the block’s mass. (2) It is an ideal spring; that is, itobeys Hooke’s law exactly. Let us also assume that the contact between the blockand the floor is frictionless and that the block is particle-like.

We give the block a rightward jerk to get it moving and then leave it alone.As the block moves rightward, the spring force Fx does work on the block,decreasing the kinetic energy and slowing the block. However, we cannot findthis work by using Eq. 7-7 (W ! Fd cos f) because that equation assumes a con-stant force.The spring force is a variable force.

To find the work done by the spring, we use calculus. Let the block’s initialposition be xi and its later position xf .Then divide the distance between those two

F:

s ! "kd:

d:

F:

s

Fig. 7-9 (a) A spring in its relaxed state.The origin of an xaxis has been placed atthe end of the spring that is attached to ablock. (b) The block is displaced by , andthe spring is stretched by a positive amountx. Note the restoring force exerted by thespring. (c) The spring is compressed by anegative amount x.Again, note the restor-ing force.

F:

s

d:

Blockattachedto spring

x0

x0

x

x

0x

x = 0Fx = 0

x positiveFx negative

x negativeFx positive

(a)

(b)

(c)

d

d

Fs

Fs

1497-7 WOR K DON E BY A S PR I NG FORCEPART 1

halliday_c07_140-165hr.qxd 17-09-2009 12:40 Page 149

o A força exercida pela mola é sempre direcionada em direção oposta ao deslocamento a partir do equilíbrio.

o A força elástica é chamada de força restauradora, pois sempre tenta levar o corpo para a sua posição de equilíbrio.

o Se o bloco é solto da posição x ele oscilará para frente e para trás entre –x e x.

Otrabalhorealizadopelamolasobreumobjetopresoaelaserá:

O!trabalho!realizado!pela!mola!sobre!um!objeto!preso!a!ela!será:!

W = F (x) dxxi

x f

∫

W = −kx dxxi

x f

∫ = −12kx2

xi

x f

W =12kxi2 −12kx f2

Trabalho realizado por uma força elástica

2 21 ( )2

f

i

x

mola f ix

W k xdx k x x= − = − −∫

x xi xf Wmola = F(x)dx

xi

x f

∫

Se xi < xf ! W < 0

Se o trabalho sobre a mola (massa) for realizado por um agente externo, seu valor é o obtido acima, porém com sinal trocado.

Força da mola: F(x) = − kx

(mola sendo esticada)

13"F128"–"1o""Semestre"de"2012"

F

x

F(x) F(x) = − kx

a)

Aopendurarmosemumamolaumobjetodemassade0,55kg,elasofreumadeformaçãode2cm.Determinar:

a) Aconstanteelásticadamola.b) Otrabalhorealizadopelamolasobreo

objeto.

!FR =

!FH +

!P = 0⇒

!FH = −

!P

!FH = kx i!P = −mg i

#$%

&%⇒ kx =mg

k = mgx=0,55×9,82×10−2

k = 2,7×102N /m

a) b) W =12kxi2 −12kx f2

xi = 0⇒W = −12kx f2

W = −122,7×102 (2×10−2 )2

W = −5,4×10−2 J

Aplicação:!medindo!a!constante!elás<ca!(k)!

Ao!pendurarmos!em!uma!mola!um!objeto!de!massa!de!0,55!kg,!ela!sofre!uma!deformação!de!2!cm.!Determinar:!

a)  A!constante!elás+ca!da!mola.!b)  O!trabalho!realizado!pela!mola!sobre!

o!objeto.!

b)!FR =

!FH +

!P = 0⇒

!FH = −

!P

!FH = kx i!P = −mg i

#$%

&%⇒ kx =mg

k = mgx=0,55×9,82×10−2

k = 2,7×102N /m

a) b) W =12kxi2 −12kx f2

xi = 0⇒W = −12kx f2

W = −122,7×102 (2×10−2 )2

W = −5,4×10−2 J

Aplicação:!medindo!a!constante!elás<ca!(k)!

Ao!pendurarmos!em!uma!mola!um!objeto!de!massa!de!0,55!kg,!ela!sofre!uma!deformação!de!2!cm.!Determinar:!

a)  A!constante!elás+ca!da!mola.!b)  O!trabalho!realizado!pela!mola!sobre!

o!objeto.!

Aplicação:medindoaconstanteelástica(k)

Seja F a força resultante que atua sobre um corpo de massa m.

F =ma =m dvdt

⇒ F dxxi

x f

∫ = m dvdtdx

xi

x f

∫

Lembrando que W = F dxxi

x f

∫ é o trabalho realizado pela força F temos:

W = m dvdtdx

xi

x f

∫ = m dvdxdtxi

x f

∫ = m dxdtdv

vi

v f

∫

Mas, v = dxdt

logo W = mv dvvi

v f

∫

Integrando a expressão anterior, temos:

W =m v2

2vi

v f

=mvf

2

2−mvi

2

2= ΔK

Teorema!do!Trabalho!e!da!Energia!ciné7ca!TeoremadoTrabalhoedaEnergiacinética

TEOREMADOTRABALHOEDAENERGIACINÉTICA:OtrabalhototalrealizadosobreumcorpoéigualàvariaçãodesuaEnergiaCinética

W = ΔK

TEOREMA!DO!TRABALHO!E!DA!ENERGIA!CINÉTICA:!O!trabalho!total!realizado!sobre!um!corpo!é!igual!à!variação!de!sua!Energia!Ciné2ca!

Umblocode6,0kgéempurradopor3metrosporumaforçade12N,apartirdorepouso,sobreumasuperfíciehorizontalcomcoeficientedeatritocinéticoiguala0,15.Determinar:a) Avelocidadefinaldobloco.b) Otrabalhorealizadopelaforçaqueoempurra.c) Otrabalhorealizadopelaforçadeatrito.d) Otrabalhototalrealizadosobreobloco.e) Avariaçãodaenergiacinéticadobloco.

!FR =

!F +!fk +!Fg +!n

ma = F −µkmg

a = F m−µk g

a =126−0,15×9,8 = 0,53

v f2 − vi

2 = 2a(x f − xi )

v f = 2×0,53×3→ v f =1,8 m/s

a)! WF = Fd =12×3→WF = 36Jb)!

WA = FAd = −µkmgd = −0,15× 6,0× 9,8×3WA = −26,5J

c)!

ΔK = K f −Ki =mvf

2

2=6×1,82

2ΔK = 9,5J

e)!

W =WF +WA = 36− 26,5W = 9,5J

d)!

Energia!ciné7ca:!exemplo!Um!bloco!de!6,0!kg!é!empurrado!por!3!metros!por!uma!força!de!12!N,!a!par2r!do!repouso,!sobre!uma!superIcie!horizontal!com!coeficiente!de!atrito!ciné2co!igual!a!0,15.!Determinar:!a)  A!velocidade!final!do!bloco.!b)  O!trabalho!realizado!pela!força!que!o!empurra.!c)  O!trabalho!realizado!pela!força!de!atrito.!!d)  O!trabalho!total!realizado!sobre!o!bloco.!e)  A!variação!da!energia!ciné2ca!do!bloco.!

Energiacinética:exemplo

5m

q

rvrF

rN

rAF

rP

Umacaixademassa10kgépuxadaparacimapor5memumarampacom20°deinclinaçãoaumavelocidadeinicialde1,5m/s.Aforçaaplicadanadireçãodomovimentoéde100Neocoeficientedeatritocinéticoé0,4.a) Qualotrabalhorealizadopelaforçadagravidade?b) Quantaenergiaéperdidadevidoaoatrito?c) Qualotrabalhorealizadopelaforçaaplicada?d) Qualavariaçãodaenergiacinéticadacaixa?e) Qualavelocidadefinaldacaixa?

rv rF

rN

rAF

rPWP = Pd cosθP−d

=mgd cos(θ + 90)= −mgd sinθ= −10×9,8×5× sin20= −168J

a)!

WA = −FAd= −µkmgcosθd= −0, 4×10×9,8× cos20×5= −184J

b)!

WF = Fd = 500 Jc)!

W = ΔKW =WP +WA +WF

ΔK =148 J

d)!

ΔK =12mvf

2 −12mvi

2

v f = vi2 +2ΔKm

vf = 1, 52 + 2×14810

v f = 5, 6m/s

e)!

Trabalho!com!força!constante:!exemplo!Uma!caixa!de!massa!10!kg!é!puxada!para!cima!por!5!m!em!uma!rampa!com!20°!de!inclinação!a!uma!velocidade!inicial!de!1,5!m/s.!A!força!aplicada!na!direção!do!movimento!é!de!100!N!e!o!coeficiente!de!atrito!ciné2co!é!0,4.!a)  Qual!o!trabalho!realizado!pela!força!da!gravidade?!b)  Quanta!energia!é!perdida!devido!ao!atrito?!c)  Qual!o!trabalho!realizado!pela!força!aplicada?!d)  Qual!a!variação!da!energia!ciné2ca!da!caixa?!e)  Qual!a!velocidade!final!da!caixa?!

Trabalhocomforçaconstante:exemplo

Umblocodemassa1,6kgemumasuperfíciehorizontalestápresoaumamolacomcoeficienteelásticode1000N/m.Amolaécomprimidapor2,0cmeoblocoéentãosolto.

a) Calculeavelocidadedobloconoinstanteemqueelepassapelopontodeequilíbrio,considerandoasuperfíciesematrito.

b) Calculeessamesmavelocidadeconsiderandoumcoeficientedeatritocinéticosejaiguala0,26.

W = ΔK

W =12kxi2 −12kx f2

ΔK =12mvf

2 −12mvi

2

12kxi2 =

12mvf

2

v f = xkm= 0, 02 1000

1, 6v f = 0, 50m / s

a)! W = ΔKW =Wmola +WatritoWatrito = −FAd (d = x f − xi )

FA = µkmg

W =12kxi2 −µkmgd

12kxi2 −µkmgd =

12mvf

2

12kxi2 −µkmgd =

12mvf

2

v f =kxi2

m− 2µkgd

v f =1000×0, 022

1, 6−

2×0, 26×9,8×0, 02v = 0,38m / s

b)!

Sistema!massaKmola:!exemplo!Um!bloco!de!massa!1,6!kg!em!uma!superIcie!horizontal!está!preso!a!uma!mola!com!coeficiente!elás2co!de!1000!N/m.!A!mola!é!comprimida!por!2,0!cm!e!o!bloco!é!então!solto.!

a)  Calcule!a!velocidade!do!bloco!no!instante!em!que!ele!passa!pelo!ponto!de!equilíbrio,!considerando!a!superIcie!sem!atrito.!

b)  Calcule!essa!mesma!velocidade!considerando!um!coeficiente!de!atrito!ciné2co!seja!igual!a!0,26.!

Sistemamassa-mola:exemplo

Atéagoranãonosperguntamossobrequãorapidamenteérealizadoumtrabalho!ApotênciaPéarazão(taxa)derealizaçãodotrabalhoporunidadedetempo:

Emumdadointervalodetempo,aPotênciaMédiaserá:

A Potência instantânea aplicada sobre um corpo pode ser escritacomo:

Até! agora! não! nos! perguntamos! sobre! quão! rapidamente! é!realizado!um!trabalho!! !A!potência!P"é!a!razão!(taxa)!de!realização!do!trabalho!por!unidade!de!tempo:!!!!!Em!um!dado!intervalo!de!tempo,!a!Potência!Média!será:!!!A! Potência! instantânea! aplicada! sobre! um! corpo! pode! ser! escrita!como:!!!!

P = dWdt

P = ΔWΔt

dW =!F ⋅d!x ⇒ P =

!F ⋅d!x

dt⇒ P =

!F ⋅!v

Potência!Até! agora! não! nos! perguntamos! sobre! quão! rapidamente! é!realizado!um!trabalho!! !A!potência!P"é!a!razão!(taxa)!de!realização!do!trabalho!por!unidade!de!tempo:!!!!!Em!um!dado!intervalo!de!tempo,!a!Potência!Média!será:!!!A! Potência! instantânea! aplicada! sobre! um! corpo! pode! ser! escrita!como:!!!!

P = dWdt

P = ΔWΔt

dW =!F ⋅d!x ⇒ P =

!F ⋅d!x

dt⇒ P =

!F ⋅!v

Potência!Até! agora! não! nos! perguntamos! sobre! quão! rapidamente! é!realizado!um!trabalho!! !A!potência!P"é!a!razão!(taxa)!de!realização!do!trabalho!por!unidade!de!tempo:!!!!!Em!um!dado!intervalo!de!tempo,!a!Potência!Média!será:!!!A! Potência! instantânea! aplicada! sobre! um! corpo! pode! ser! escrita!como:!!!!

P = dWdt

P = ΔWΔt

dW =!F ⋅d!x ⇒ P =

!F ⋅d!x

dt⇒ P =

!F ⋅!v

Potência!Potência

AunidadedepotêncianoSIédenominadaWatt

1watt=1joule/segundo=1kg.m2/s2

A unidade de potência no sistema britânico é o cavalo-vapor (horse

powerouhp)

1hp=746W

Unidades de potência também podem ser usadas para expressar

unidadesdetrabalhoouenergia

1kWh=(1000W)(3600s)=3.6x106J

Unidadesdepotência

Umelevadorcommassade1000kgestácarregandopessoascommassatotalde800kg.Umaforçadeatritoconstanteiguala4000Nretardaomovimentodoelevador.a) Qualdeveserapotênciamínimadomotorparasubiroelevadoraumavelocidade

constantede3m/s?b) Quantapotênciaomotordeverfornecerparaque,aumadadavelocidadedesubidaigual

av,oelevadorsejaaceleradoparacimaa1m/s2?

!FR =

!T +!FP +

!FA

0 =T − me +mp( )g − FAT = me +mp( )g + FAP =Tv = me +mp( )g + FA"

#$%v

P = 1,8×103 ×9,8+ 4×103( )×3P = 6,49×104W

a)! b)! me +mp( )a = T − me +mp( )g−FAT = me +mp( ) a+ g( )+FAP = me +mp( ) a+ g( )+FA"

#$%v

P = 1,8×103 ×10,8+ 4×103"#

$%v

P = 2,3×104v

Potência:!exemplo!Um!elevador!com!massa!de!1000!kg!está!carregando!pessoas!com!massa!total!de!800!kg.!Uma!força!de!atrito!constante!igual!a!4000!N!retarda!o!movimento!do!elevador.!a)  Qual!deve!ser!a!potência!mínima!do!motor!para!subir!o!elevador!a!uma!velocidade!

constante!de!3!m/s?!b)  Quanta!potência!o!motor!dever!fornecer!para!que,!a!uma!dada!velocidade!de!subida!

igual!a!"v,!o!elevador!seja!acelerado!para!cima!a!1!m/s2?!

Potência:exemplo