MATEMÁTICA IAULA 19:

PROGRESSÃO ARITMÉTICA (P.A.) – PARTE III

EXERCÍCIOS PROPOSTOSAnual

VOLUME 4

OSG.: 095892/15

01. Em 30 dias, Riquinho receberá (1 + 2 + 3 + … + 30) reais = 1 30 30

2

+( ) ⋅= 465 reais, ou seja, 465 – 300 = 165 reais a mais.

Resposta: D

02.

33

10

33

33

33

10

Sendo an o número de garrafas da fi la n, temos a P.A. (1, 2, 3, …, a

n) de razão r = 1, na qual se tem:

i) an = a

1 + (n – 1) · r → a

n = 1 + (n – 1) · 1 → a

n = n.

ii) Total de garrafas = 1 + 2 + 3 + ... + n = 210

Daí, 1

2210 420 0

1 41

22+( ) ⋅

= → + − = → =− ±n n

n n n

Assim, n = 20 (são 20 fi las) ou n = – 21 (não convém)

Logo, a altura h da placa é:h = 10 cm + 20 · (33 cm) + 10 cmh = 680 cmh = 6,80 m

Resposta: D

03. Sendo a3 = 500; a

4 = 1000; a

5 = 1500; temos uma PA de razão 500, tal que:

I) a13

= a3 + (13 – 3) · r ⇒ a

13 = 500 + 10·500 = 5500

II) Queremos a soma dos 13 – 3 + 1 = 11 termos:

a3 + a

4 + ... + a

13 =

a a3 13

211

+

⋅

= 500 5500

211

+

⋅

= 3000·11 = 33000

Resposta: B

04. A razão da progressão aritmética é R = h2 – h

1 = 0,05 metro. Daí, temos:

i) h50

= h1 + 49 · R → h

50 = 0,70 + 49 · (0,05) → h

50 = 0,70 + 2,45 = 3,15

ii) Altura do reservatório = H = h1 + h

2 + h

3 + … + h

50

Hh h

=+ ⋅( )1 50 50

2

H =

+ ⋅=

( , , ),

0 70 3 15 50

296 25

Resposta: B

OSG.: 095892/15

Resolução – Matemática I

05. Seja n o número de meses decorridos até que os dois irmãos venham a ter o mesmo capital. Temos que:I) um deles guardou: 50 · n

II) o outro guardou: 5 + 10 + 15 + ... + an =

5

2

+

⋅a

nn

Assim, devemos ter:

505

2n

ann=

+

⋅ ⇒ 505

2=

+ an , pois n ≠ 0.

Assim, an = 95 ⇒ a

1 + (n – 1) · r = 95 ⇒ 5 + (n – 1) · 5 = 95

⇒ n – 1 = 90 / 5 ⇒ n – 1 = 18 ⇒ n =19 meses

Portanto, o tempo procurado é de um ano e sete meses, o que equivale a pouco mais de um ano e meio.

Resposta: A

06. Temos:i) (Nº de voltas de papel) · (espessura do papel) = 4 cm (Nº de voltas de papel) · (0,2 mm) = 40 mm

Nº de voltas de papel = 40

0 2200

mm

mm,=

ii) Os raios dessas 200 voltas (R1, R

2, ..., R

200) crescem, de dentro para fora, segundo uma progressão aritmética de razão

r = 0,2 mm e R1 = 4 cm = 40 mm.

iii) R200

= R1 + 199 · r

R200

= 40 + 199 · (0,2) = 79,8 mm

iv) A maior dimensão do retângulo é dada pela soma dos comprimentos das 200 circunferências, ou seja: Maior comprimento = 2πR

1 + 2πR

2 + ... + 2πR

200

= 2π · ( R1 + R

2 + ... + R

200)

= 2 · 3 · ( , )40 79 8 200

2

+ ⋅

= 6 · (119,8) · 100= 71880 mm = 7188,0 cm = 71,88 m

Resposta: D

07. i) Observe que o número de comprimidos retirados foi:

1 + 2 + 3 + … + 15 = ( )1 15 15

2120

+ ⋅= (soma dos termos da PA)

ii) Se todos os comprimidos tivessem massa igual a 20 mg, a massa total retirada dos frascos seria: Suposta massa = 120 · (20 mg) = 2400 mg

iii) A diferença entre a massa real e a suposta massa é: 2540 mg – 2400 mg = 140 mg

iv) A diferença entre as massas dos comprimidos é (30 – 20) mg. Daí, sendo n o número do frasco com rótulo errado, devemos ter: n · (30 – 20) = 140 Logo, n = 14.

Resposta: D

08. Os primeiros elementos das respectivas linhas formam a seguinte sequência:

(1, 4, 13, 28, ..., an, ...), em que a

n é o primeiro elemento da linha de número n.

Nessa sequência, as diferenças entre dois termos consecutivos formam uma progressão aritmética de razão 6. Veja:

a a d

a a d

a a d

2 1 1

3 2 2

4 3 3

3

9

15

–

–

–

...............

= =

= =

= =

..........

–a a d10 9 9=

Note:d

9 = d

1 + 8 · r

d9 = 3 + 8 · 6 = 51

OSG.: 095892/15

Resolução – Matemática I

Somando membro a membro essas 9 igualdades, obtemos:

a ad d

10 11 9

29− =

+

⋅ ⇒ a10 13 51

29− =

+

⋅

⇒ a10 27 9 1 244= ⋅ + =

Resposta: D

09. Sendo A e B os extremos de uma progressão aritmética de razão R, que fi ca em uma das fi leiras, o segundo e o penúltimo termos

dessa fi leira são (A + R) e (B - R), respectivamente. Assim, os extremos da fi leira imediatamente superior serão A A R A R+ +

=+( )

2

2

2

e ( )B R B B R− +

=−

2

2

2. Isso mostra que as somas dos extremos das respectivas fi leiras são todas iguais. Veja:

2

2

2

2

A R B RA B

+=

−= + .

No caso, a soma dos extremos em qualquer das fi leiras é igual a 10 + 490 = 500.Daí, temos:

Soma da 100ª fi leira (base): S100

= ( )10 490 100

2

+ ⋅ → S

100 = (250) · 100

Soma da 99ª fi leira: S99

= ( )10 490 99

2

+ ⋅ → S

99 = (250) · 99

Soma da 98ª fi leira: S98

= ( )10 490 98

2

+ ⋅ → S

98 = (250) · 98

.........................................................................................

Soma da 1ª fi leira (topo): S1 =

( )10 490 1

2

+ ⋅→ S

1 = (250) · 1

Assim, a soma de todos os números é:S

1 + S

2 + S

3 + ... + S

99 + S

100 = 250 · (1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100)

= 250 · ( )1 100 100

2

+ ⋅ = (250) · (101) · (50) = 1 262 500

Resposta: B

10. Começando e terminando na fonte, o jardineiro faz ao todo 60:3 = 20 viagens. Veja.

Viagem 20

R1

Fonte

Viagem 1

Viagem 2

R2 R3R4 R5 R6 R60

15 1 1 1 1 1

. . .

Distâncias percorridas, em metros, nas respectivas viagens (ida e volta):V

1 = (15 + 2 · 1) · 2 (até a roseira 3) → V

1 = 34

V2 = (15 + 5 · 1) · 2 (até a roseira 6) → V

2 = 40

V3 = (15 + 8 · 1) · 2 (até a roseira 9) → V

3 = 46

........................................................................V

20 = (15 + 59 · 1) · 2 (até a roseira 60) → V

60 = 148

Assim, ao todo, ele percorreu:

Distância total = 34 148

220 1820

+

⋅ = metros

Resposta: B

ROBERT – 18/02/16 – Rev.: Amélia09589215_pro_Aula19 – Progressão Aritmetica (P.A.) – Parte III