1 — Funções do 2o grau · O gráﬁco de uma função do 2o grau é uma curva denominada...

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DefiniçãoGráfico

Forma canônicaMáximo e mínimoSinal da função quadráticaInequações do 2o grauExercícios de fixaçãoExercícios de vestibular

1 — Funções do 2o grau

1.1 Definição

Definição 1.1.1 — Função do 2o grau. Se f : R→ R for dada por:

f (x) = ax2 +bx+ c

com a,b,c ∈ R,a 6= 0, então diremos que f é uma função do 2o grau (ou quadrática).

� Exemplo 1.1 São exemplos de funções do segundo grau:(a) f (x) = 2x2−4x+3

a = 2,b =−4,c = 3(b) f (x) = x2 +7x

a = 1,b = 7,c = 0

(c) f (x) =−x2 +12

a =−1,b = 0,c =12

(d) f (x) = x2

a = 1,b = 0,c = 0�

1.2 GráficoPropriedade 1.2.1 — Gráfico da função quadrática. O gráfico de uma função do 2o graué uma curva denominada parábola.

! Em Geometria Analítica, é possível provar o motivo pelo qual a curva de uma parábola tero formato que será exposto nos exemplos a seguir.

� Exemplo 1.2 Construa o gráfico de f (x) = x2−3x+2 e g(x) =−x2 +1.Usando-se a tabela de valores abaixo, determinaremos pontos do gráfico de f e g.

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2 Funções do 2o grau

x y = x2−3x+2−1 y = (−1)2−3 · (−1)+2 ⇒ y = 60 y = 02−3 ·0+2 ⇒ y = 21 y = 12−3 ·1+2 ⇒ y = 02 y = 22−3 ·2+2 ⇒ y = 03 y = 32−3 ·3+2 ⇒ y = 2

x

y

f

−1 0 1 2 3

2

6

x y =−x2 +1−2 y =−(−2)2 +1 ⇒ y =−3−1 y =−(−1)2 +1 ⇒ y = 00 y =−02 +1 ⇒ y = 11 y =−12 +1 ⇒ y = 02 y =−22 +1 ⇒ y =−3

x

y

g

−2−1

01 2

−3

�

1.2.1 Forma canônicaA fim de demonstrar certas propriedades da função do 2o grau, tomamos uma outra expressão dasua forma geral conhecida como forma canônica:

f (x) = ax2 +bx+ c = a(

x2 +ba

x+ca

)

= a

x2 +ba

x+b2

4a2︸︷︷︸quadrado perfeito

− b2

4a2 +ca

= a

[(x+

b2a

)2

− b2

4a2 +ca

]

= a

[(x+

b2a

)2

−(

b2−4ac4a2

)]Sendo ∆ = b2−4ac, temos:

Definição 1.2.1 — Forma canônica da função do 2o grau.

f (x) = a

[(x+

b2a

)2

− ∆

4a2

]

Para determinar as raízes da função quadrática, devemos resolver a equação do 2o grau:

ax2 +bx+ c = 0

cujo método mais prático de solução é dado pela Fórmula de Bhaskara.

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1.2 Gráfico 3

Propriedade 1.2.2 — Fórmula de Bhaskara. As raízes da equação do 2o grau ax2 +bx+c = 0 são dadas por:

x =−b±

√∆

2a

onde ∆ = b2−4ac é dito ser o discriminante da equação, isto é,• se ∆ > 0: há duas raízes reais distintas;• se ∆ = 0: há duas raízes reais iguais;• se ∆ < 0: não há raízes reais.

Demonstração. Igualando a forma canônica a zero, temos:

a

[(x+

b2a

)2

− ∆

4a2

]⇔(

x+b

2a

)2

− ∆

4a2 = 0

⇔(

x+b

2a

)2

=∆

4a2

⇔ x+b

2a=±√

∆

2a

⇔ x =− b2a±√

∆

2a

⇔ x =−b±

√∆

2a

�

! O termo independente da função quadrática f (x) = ax2 +bx+ c vale c.

� Exemplo 1.3 Determine as raízes de f (x) = 2x2−5x+2.Basta resolvermos a equação 2x2−5x+2 = 0. Temos que a = 2,b =−5 e c = 2, logo

∆ = 9. E, através da Fórmula de Bhaskara, obtemos:

x =−(−5)±

√9

2 ·2⇒ x =

5±34

x =5+3

4=

84⇒ x = 2

x =5−3

4=

24⇒ x =

12

Assim, suas raízes são:

x =12

e x = 2

�

� Exemplo 1.4 Determine os zeros reais da função f (x) = x4−3x2−4.Para determinar os zeros de f , devemos resolver a equação:

x4−3x2−4 = 0

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! A equação acima é do tipo biquadrada, ou seja,

ax2n +bxn + c = 0, n ∈ Z

A sua resolução consiste em uma mudança de variável a fim de que tenhamos umaequação do 2o grau, equação esta que já sabemos resolver pela Fórmula de Bhaskara.

Chamando y = x2⇒ y2 = x4, logo:

x4−3x2−4 = 0⇒ y2−3y−4 = 0

cuja solução é dada por y = 4 ou y =−1. Mas, uma vez que y = x2, segue que:

x2 = 4⇒ x =±2

e:x2 =−1⇒ @x ∈ R

Portanto, os zeros reais de f (x) = x4−3x2−4 são x =−2 ou x = 2. �

Propriedade 1.2.3 — Orientação da concavidade. A parábola de uma função do 2o grauf (x) = ax2 +bx+ c pode ter duas orientações:• se a > 0 : concavidade voltada para cima:

x

a > 0

• se a < 0 : concavidade voltada para baixo:

x

a < 0

Pela Fórmula de Bhaskara, temos que as duas raízes de uma função do 2o grau, caso existam,são dadas por:

x1 =−b−

√∆

2ae x2 =

−b+√

∆

2a

Ao somarmos, obtemos:

x1 + x2 =

(−b−

√∆

2a

)+

(−b+

√∆

2a

)

=−b−�

�√

∆−b+��√

∆

2a

=−2b2a

=−ba

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1.2 Gráfico 5

e, fazendo o produto entre si, de modo análogo, iremos obter:

x1 · x2 =ca

Propriedade 1.2.4 — Soma e produto. A soma S e o produto P das raízes de uma funçãodo 2o grau f (x) = ax2 +bx+ c são dados por:

S =−ba

e P =ca

! Para se determinar quais números satisfazem à soma e ao produto, torna-se mais fácilbuscar os valores usando o produto primeiro.

� Exemplo 1.5 Determine as raízes de f (x) = x2−7x+12 usando soma e produto.Temos que a = 1, b =−7 e c = 12. Assim devemos encontrar dois valores que quando

somados nos dão S = 7 e multiplicados, P = 12.{S = 7P = 12

⇒{

x1 + x2 = 7x1 · x2 = 12

⇒{

x1 = 3x2 = 4

�

� Exemplo 1.6 Esboce o gráfico de f (x) = 2x2−5x+2.Como a = 2 > 0, então a parábola terá concavidade voltada para cima. Além disso, vimos

no Exemplo 1.3 que suas raízes são x = 1/2 e x = 2. E, uma vez que seu termo independente(isto é, o ponto pelo qual o gráfico corta o eixo y) vale c = 2, concluímos que:

x

y

12

2

2

Observe que, sendo ∆ > 0, então há, de fato, duas raízes reais distintas, de tal modo que ográfico de f corta o eixo x em dois pontos. �

� Exemplo 1.7 Construa o gráfico da função f (x) =−3x2−1.Sendo a =−3, b = 0 e c =−1, temos que:

∆ = b2−4ac⇒ ∆ = 02−4 · (−3) · (−1)

⇒ ∆ = 0−12

⇒ ∆ = 12

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Uma vez que ∆ < 0, segue que não existem raízes reais, ou seja, o gráfico de f não corta oeixo das abscissas; e do fato que a =−3 < 0, o esboço do gráfico da função é dado por:

x

y

�

Exercício resolvido 1.1 — UNIFOR. O gráfico da função f , de R em R, definida porf (x) = x2 +3x−10, intercepta o eixo das abscissas nos pontos A e B. A distância AB é iguala:

(a) 3(b) 5

(c) 7(d) 8

(e) 9

Resolução: Basta calcular as raízes de f - que interceptam o eixo x nos pontos A e B - edeterminar o que se pede. Como a = 1, b = 3 e c =−10, segue que:

∆ = b2−4ac⇔ ∆ = 49

Assim,

x =−3±

√49

2 ·1⇒ x =

−3±72

x =−3+7

2=

42⇒ x = 2

x =−3−7

2=−10

2⇒ x =−5

x

y

−5 2

A B

Portanto, AB = 7. Alternativa C. �

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1.2 Gráfico 7

Abaixo, segue um quadro resumo relacionando a orientação da concavidade de uma funçãodo segundo grau e o valor do discriminante junto com a existência (ou não) das raízes x1 e x2 dafunção.

∆ < 0

∆ = 0

∆ > 0

a > 0 a < 0

x

y

x

y

x

y

x1 = x2

x

y

x1 = x2

x

y

x1 x2

x

y

x1 x2

� Exemplo 1.8 Determine os valores de m para que a função do 2o grau:

f (x) = mx2 +(2m−1)x+(m−2)

tenha dois zeros reais e distintos.Para que f satisfaça as condições do exercício devemos ter a 6= 0, pois f deve ser do 2o

grau e ∆ > 0 que, devido a Fórmula de Bhaskara, tal função terá duas raízes reais e distintas,ou seja,

m 6= 0 e ∆ = (2m−1)2−4(m)(m−2)> 0

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assim,

∆ = 4m2−4m+1−4m2 +8m > 0

4m+1 > 0

m >−14

Portanto, temos que, para f ter duas raízes reais e distintas, deve se ocorrer:

m >−1/4 e m 6= 0

�

! (a+b)2 = a2 +2ab+b2

(a−b)2 = a2−2ab+b2

a2−b2 = (a+b)(a−b)

1.3 Máximo e mínimo

Definição 1.3.1 — Valor máximo. Um número yM ∈ Im f é dito valor máximo de y = f (x)se,

yM ≥ y,∀y ∈ Im f

O valor xM ∈ D f tal que yM = f (xM) é chamado de ponto de máximo da função.

Analogamente, temos a seguinte definição:

Definição 1.3.2 — Valor mínimo. Um número ym ∈ Im f é dito valor mínimo de y = f (x) se,

ym ≤ y,∀y ∈ Im f

O valor xm ∈ D f tal que ym = f (xm) é chamado de ponto de mínimo da função.

Definição 1.3.3 — Vértice da parábola. O ponto:

V = (xV ,yV ) =V =

(− b

2a,− ∆

4a

)é definido como vértice da parábola.

x

y

V

! No caso da função quadrática f (x) = ax2+bx+c temos que ela admitirá um valor máximo

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1.3 Máximo e mínimo 9

(mínimo) em seu vértice, isto é, em y =−∆

4ae x =

−b2a

se a < 0 (a > 0).

� Exemplo 1.9 Determine o vértice da função f (x) = 2x2−5x+2.Temos:

xV =− b2a

=54

e yV =− ∆

4a=−9

8Portanto,

V = (xV ,yV ) =V =

(54,−9

8

)�

� Exemplo 1.10 Um sitiante dispõe de 400m de cerca de arame e gostaria de montar o maiorgalinheiro possível de forma retangular. Como ele deve proceder?

Sendo o perímetro do galinheiro retangular de 400m, chamemos de x sua largura e, assim,seu comprimento será de 200− x.

x

200− x

A área S de um retângulo é dada por S = base · altura e, portanto,

S = (200− x)x

S =−x2 +200x

A maior área possível está diretamente ligada ao lado que implica nisto. Como a maior áreapossível é a ordenada do vértice da função, isto é, yv, então o ponto de máximo (xv) da funçãoque é dado por:

x =− b2a

=−200−2⇒ x = 100m

nos dá o lado que gerará a maior área possível. Logo, a maior área possível será a de umretângulo de lado x = 100m e 200− x = 100m, ou seja, um quadrado de lado 100m cuja áreaé dada por 10.000m2. �

Exercício resolvido 1.2 — PUC. A temperatura, em graus centígrados, no interior de umacâmara, é dada por f (t) = t2−7t +A, em que t é medido em minutos e A é constante. Se noinstante t = 0 a temperatura é de 10oC, o tempo gasto para que a temperatura seja mínima,em minutos, é:

(a) 3,5(b) 4,0

(c) 4,5(d) 6,5

(e) 7,5

Resolução: Inicialmente, calculemos o valor da constante A. Como em t = 0, f (t) = 10,

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segue que:

f (0) = 10⇔ 02−7 ·0+A = 10

⇔ A = 10

Ou seja,f (t) = t2−7t +10

A temperatura mínima f (tmin) coincide com a ordenada do vértice da parábola, isto é,

f (tmin) =−∆

4a

x

y

f (tmin)tmin

(tmin, f (tmin)

onde o tempo correspondente tmin é a abscissa do vértice da parábola de f , ou seja,

tmin =−b2a⇒ tmin =

72⇒ tmin = 3,5

Alternativa A. �

Suponha que f seja uma função do 2o grau cujo gráfico é dado abaixo:

x

y

yV

Observe que a projeção do gráfico no eixo y, isto é, seu conjunto-imagem, está diretamenterelacionada com o ponto yV do vértice da parábola.

Propriedade 1.3.1 — Conjunto-imagem da função do 2o grau. O conjunto-imagem dafunção do 2o grau é dado por:

• Se a > 0⇒ Im f =

{y ∈ R

∣∣∣∣ y≥− ∆

4a

}• Se a < 0⇒ Im f =

{y ∈ R

∣∣∣∣ y≤− ∆

4a

}

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1.4 Sinal da função quadrática 11

� Exemplo 1.11 O conjunto-imagem da função f (x) = 2x2−5x+2 é igual a:

Im f =

{y ∈ R

∣∣∣∣ y≥−98

}�

1.4 Sinal da função quadrática

O sinal de uma função do 2o grau depende da orientação da concavidade da parábola e do valordo seu discriminante (∆).

� Exemplo 1.12 Estude o sinal da função f (x) = x2− x−6.Como a = 1 > 0, temos que sua parábola tem concavidade orientada para cima. Além

disso, ∆ = 25 > 0, ou seja, f possui duas raízes reais distintas, a saber x =−2 e x = 3, o quenos dá:

x+

−+

−2 3

ou seja, f (x)> 0 se x <−2 ou x > 3f (x) = 0 se x =−2 ou x = 3f (x)< 0 se −2 < x < 3

�

� Exemplo 1.13 Faça o estudo do sinal da função f (x) =−x2 +2x−1.As raízes de f são idênticas e valem x = 1. Além disso, sendo a < 0, então sua concavi-

dade está voltada para baixo:

x

− −1

Assim, f (x)> 0 ∅f (x) = 0 se x = 1f (x)< 0 ∀x ∈ R\{1}

�

1.5 Inequações do 2o grau

A resolução de inequações do segundo grau são feitas através da análise do sinal da função quese relaciona com a expressão da inequação.

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� Exemplo 1.14 Resolva, em R, x2− x+2 > 0.Temos que a = 1 > 0 o que implica na orientação para cima da concavidade e ∆ =−7 < 0,

ou seja, não há raízes reais:

x+ +

Como, ∀x ∈ R, f (x) = x2− x+2 > 0, então S = R. Observe que se tivéssemos de resolver ainequação:

x2− x+2 < 0

obteríamos S =∅ �

Exercício resolvido 1.3 — UFRS. A equação 2mx2 +mx+12= 0 possui 2 raízes reais

distintas. Então:

(a) m = 0(b) m > 0(c) m < 4

(d) m < 0 ou m > 4(e) 0 < m < 4

Resolução: Do enunciado, conclui-se que:{“possui 2 raízes” ⇒ equação do 2o grau ⇒ a 6= 0“2 raízes reais distintas” ⇒ ∆ > 0

Sendo a = 2m, segue que:2m 6= 0⇔ m 6= 0

Além disso,

∆ = m2−4 ·2m · 12> 0⇔ m2−4m > 0

Devemos, portanto, resolver a inequação do segundo grau m2−4m > 0. Aqui, a = 1, b =−4e c = 0. Através de soma e produto, segue que:{

S = 4P = 0

⇒{

m = 0 oum = 4

E uma vez que a = 1 > 0, então a parábola da função f (m) = m2−4m tem concavidade paracima e corta o eixo horizontal nos pontos 0 e 4:

x+

−+

0 4

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1.5 Inequações do 2o grau 13

Como buscamos os valores de m tais que m2−4m > 0, segue que a solução desta inequaçãoé dada por:

S = {m ∈ R | m < 0 ou m > 4}

E, fazendo a intersecção com a condição de que m 6= 0, então, para que a equação 2mx2 +

mx+12= 0 tenha duas raízes reais distintas, devemos ter:

m < 0 ou m > 4

Alternativa D. �

As inequações produto/quociente que envolvem funções do segundo grau são resolvidasusando o quadro de sinais, de maneira análoga ao que fora feito no capítulo anterior.

� Exemplo 1.15 Resolva, em R, a inequação (x2− x−2)(−x2 +4x−3)> 0.Calculando as raízes de f (x) = x2− x−2 e g(x) =−x2 +4x−3 e analisando seus sinais,

temos:

xf−1 2

xg1 3

xf ·g

+ − − + +

− − + + −− + − + −

−1 1 2 3

Portanto S = {x ∈ R | −1 < x < 1 ou 2 < x < 3}=]−1,1[∪]2,3[. �

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1.6 Exercícios de fixaçãoDefinição e gráfico

1. Construir os gráficos das funções definidas em R:

(a) y = x2

(b) y =−x2

(c) y = 2x2

(d) y =−2x2

(e) y = x2−2x(f) y =−2x2−4x(g) y =−3x2−3(h) y = x2−2x+4

2. Determinar uma função quadrática f tal que f (−1) =−4, f (1) = 2 e f (2) =−1.

3. Determinar os zeros reais das funções:

(a) f (x) = x2−3x+2(b) f (x) =−x2 +7x−12(c) f (x) = 3x2−7x+2(d) f (x) = x2−2x+2(e) f (x) = x2 +4x+4

(f) f (x) =−x2 +32

x+1

(g) f (x) = x2−2x−1

(h) f (x) =−x2 +3x−4

(i) f (x) = x2−√

2x+12

(j) f (x) = x2 +(1−√

3)x−√

3(k) f (x) = 2x2−4x(l) f (x) = 4x2 +3

(m) f (x) =−5x2

4. Resolver o sistema:

1x+

1y=

712

x · y = 12.

5. Determinar os zeros reais das funções:

(a) f (x) = x4−5x2 +4(b) f (x) =−x4 +5x2 +36(c) f (x) = x4− x2−6(d) f (x) = x4−4x2 +4

(e) f (x) = 2x4 +6x2 +4(f) f (x) =−x4 +3x2−3(g) f (x) = 3x4−12x2

(h) f (x) = x6−7x3−8

6. Determinar os valores de m para que a função quadrática f (x) = (m−1)x2+(2m+3)x+mtenha dois zeros reais e distintos.

7. Determinar os valores de m para que a equação do 2o grau (m+2)x2 +(3−2m)x+(m−1) = 0 tenha raízes reais.

8. Determinar os valores de m para que a função f (x) = mx2 +(m+1)x+(m+1) tenha umzero real duplo.

9. Determinar os valores de m para que a equação x2 +(3m+2)x+(m2 +m+2) = 0 tenhaduas raízes reais iguais.

10. Determinar os valores de m para que a função f (x) = (m+ 1)x2 +(2m+ 3)x+(m− 1)não tenha zeros reais.

11. Determinar os valores de m para que a equação mx2 +(2m−1)x+(m−2) = 0 não tenharaízes reais.

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1.6 Exercícios de fixação 15

12. Construir o gráfico cartesiano das funções definidas em R:

(a) y = x2−2x−3(b) y = 4x2−10x+4

(c) y =−x2 +12

x+12

(d) y =−3x2 +6x−3

(e) y = x2−3x+94

(f) y = 3x2−4x+2(g) y =−x2 + x−1

(h) y =−12

x2− x− 32

13. Na equação do 2o grau 2x2−5x−1 = 0 de raízes x1 e x2, calcular:(a) x1 + x2(b) x1 · x2

(c)1x1

+1x2

(d) (x1)2 +(x2)

2

(e)x1

x2+

x2

x1(f) (x1)

3 +(x2)3

14. Obter uma equação do segundo grau de raízes:(a) 2 e −3

(b)12

e −32

(c) 0,4 e 5(d) 1 e −

√2

(e) 1+√

3 e 1−√

3

15. Se a equação ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0, admite as raízes reais não nulas x1 e x2, obter aequação de raízes:

(a) (x1)2 +(x2)

2

(b)1x1

+1x2

(c)x1

x2+

x2

x1(d) (x1)

3 +(x2)3

16. Determinar m na equação mx2−2(m−1)x+m = 0 para que se tenhax1

x2+

x2

x1= 4, onde

x1 e x2 são as raízes da equação.

Máximo e mínimo, vértice da parábola17. Determinar o valor máximo ou valor mínimo, e o ponto de máximo ou o ponto de mínimo

das funções abaixo, definidas em R.

(a) y = 2x2 +5x(b) y =−3x2 +12x(c) y = 4x2−8x+4

(d) y = x2− 72

x+52

(e) y =−x2 +5x−7

(f) y =−x2

2+

43

x− 12

18. Determinar o valor de m na função real f (x) = 3x2−2x+m para que o valor mínimo seja53

.

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19. Determinar o valor de m na função real f (x) = −3x2 +2(m−1)x+(m+1) para que ovalor máximo seja 2.

20. Determinar o valor de m na função real f (x) = mx2 +(m−1)x+(m+2) para que o valormáximo seja 2.

21. Determine o valor de m na função real f (x) = (m−1)x2 +(m+1)x−m para que o valormínimo seja 1.

22. Dentre todos os números reais de soma 8, determine aqueles cujo produto é máximo.

23. Dentre todos os números reais x e z tais que 2x+ z = 8 determine aqueles cujo produto émáximo.

24. Dentre todos os retângulos de perímetro 20cm, determine o de área máxima.

25. Dentre todos os números de soma 6, determine aquele cuja soma dos quadrados é mínima.

26. Determine o retângulo área máxima localizado no primeiro quadrante, com dois lados noseixos cartesianos e um vértice na reta y =−4x+5.

27. É dado uma folha de cartolina como na figura abaixo. Cortando a folha na linha pontilhadaresultará um retângulo. Determinar esse retângulo sabendo que a área é máxima.

6

8

28. Determine o retângulo de maior área contido num triângulo equilátero de lado 4cm,estando a base do retângulo num lado do triângulo.

29. Num triângulo isóscels de base 6cm e altura 4cm está inscrito um retângulo. Determine oretângulo de área máxima sabendo que a base do retângulo está sobre a base do triângulo.

30. Determinar os vértices das parábolas:

(a) y = x2−4(b) y =−x2 +3x(c) y = 2x2−5x+2

(d) y =−x2 +12

x+32

(e) y =−x2 + x− 29

(f) y = x2− 73

x−2

31. Determinar a imagem das funções definidas em R:

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1.6 Exercícios de fixação 17

(a) y = x2−3x(b) y =−x2 +4(c) y = 3x2−9x+6(d) y =−4x2 +8x+12

(e) y =−x2 +32

x+1

(f) y =12

x2 + x+1

32. Determinar m na função f (x) = 3x2− 4x+m definida em R para que a imagem sejaIm f = {y ∈ R | y≥ 4}.

33. Determinar m na função f (x) = −x2

3+mx− 1

2definda em R para que a imagem seja

Im f = {y ∈ R | y≤ 7}.

Inequações do 2o grau34. Resolver as inequações em R:

(a) x2−3x+2 > 0(b) −x2 + x+6 > 0(c) −3x2−8x+3≤ 0

(d) −x2 +32

x+10≥ 0

(e) 8x2−14x+3≤ 0(f) 4x2−4x+1 > 0

(g) x2−6x+9≥ 0(h) −4x2 +12x−9≥ 0(i) x2 +3x+7 > 0(j) −3x2 +3x−3 < 0(k) 2x2−4x+5 < 0

(l) −13

x2 +12

x− 14> 0

35. Resolver em R as inequações:(a) (1−4x2)(2x2 +3x)> 0(b) (2x2−7x+6)(2x2−7x+5)≤ 0(c) (x2− x−6)(−x2 +2x−1)> 0(d) (x2 + x = 6)(−x2−2x+3)≥ 0(e) x3−2x2− x+2 > 0(f) 2x3−6x2 + x−3≤ 0

36. É dada a função y = (2x2−9x−5)(x2−2x+2). Determinar:(a) os pontos de intersecção do gráfico da função com o eixo das abscissas;(b) o conjunto dos valores de x para os quais y≤ 0.

37. Resolver em R as inequações:

(a)4x2 + x−5

2x2−3x−2> 0

(b)−9x2 +9x−23x2 +7x+2

≤ 0

(c)x2 +2x

x2 +5x+6≥ 0

(d)x2 +3x−16−x2 +7x−10

≥ 1

(e)2x2 +4x+53x2 +7x+2

<−2

(f)6x2 +12x+17−2x2 +7x−5

≥−1

38. Resolver as inequações:(a) 4 < x2−12≤ 4x(b) x2 +1 < 2x2−3≤−5x(c) 0≤ x2−3x+2≤ 6(d) 7x+1 < x2 +3x−4≤ 2x+2(e) 0 < x2 + x+1 < 1(f) 4x2−5x+4 < 3x2−6x+6 < x2 +3x−4

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39. Resolver os sistemas de inequações:

(a){

x2 + x−2 > 03x− x2 < 0

(b){

x2 + x−20≤ 0x2−4x−21 > 0

(c){

1+2x≥ 0−4x2 +8x−3 < 0

(d){−2x2− x+1≥ 04x2−8x+3≤ 0

40. Resolver em R as inequações:

(a) x4−10x2 +9≤ 0(b) x4−3x2−4 > 0(c) x4 +8x2−9 < 0

(d) 2x4−3x2 +4 < 0(e) x6−7x3−8≥ 0(f) 3x4−5x2 +4 > 0

41. Determinar m para que se tenha ∀x ∈ R,(a) x2 +(2m−1)x+(m2−2)> 0(b) x2 +(2m+3)x+(m2 +3)≥ 0(c) x2−mx+m > 0(d) x2 +(m+1)x+m > 0(e) −x2 +(m+2)x− (m+3)≥ 0(f) (m−1)x2 +4(m−1)x+m > 0(g) mx2 +(m−2)x+m≤ 0(h) mx2 +(m+3)x+m≥ 0(i) (m+1)x2−2(m−1)x+3(m−1)< 0(j) (m2−1)x2 +2(m−1)x+1 > 0

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1.7 Exercícios de vestibular 19

1.7 Exercícios de vestibular1. (FUVEST) Para a fabricação de bicicletas, uma empresa comprou unidades do produto A,

pagando R$96,00, e unidades do produto B, pagando R$84,00. Sabendo-se que o total deunidades compradas foi a de 26 e que o preço unitário do produto A excede em R$2,00 opreço unitário do produto B, determine o número de unidades de A que foi comprado.

2. (UNIP) Uma das raízes da equação x2 + kx+3 = 0 é 1 e a outra raíz é a. O valor de a+ ké:

(a) 1(b) −1

(c) 4(d) −4

(e) 3

3. (UNICID) O valor de m, para que uma das raízes da equação x2 +mx+ 27 = 0 seja oquadrado da outra, é:

(a) -3(b) -9

(c) -12(d) 3

(e) 6

4. (FAAP) Numa região, foram colhidas 8400 toneladas de trigo. A mesma colheita poderiater sido obtida numa área com 20 hectares a menos, se mais uma tonelada tivesse sidocolhida por hectare. Quantas toneladas foram colhidas por hectare?

(a) 14(b) 34

(c) 16(d) 28

(e) 20

5. (PUCCAMP) Considere as seguintes equações:I. x2 +4 = 0

II. x2−2 = 0III. 0,3x = 0,1

Sobre as soluções dessas equações é verdade dizer que em:(a) II são números irracionais(b) III é um número irracional(c) I e II são número reais(d) I e III são números não reais(e) II e III são números racionais

6. (UFG) Para que a soma das raízes da equação (k−2)x2−3kx+1 = 0 seja igual ao seuproduto, devemos ter:

(a) k =±13

(b) k =−13

(c) k =13

(d) k =√

3(e) k =

√3

3

7. (UNICAMP) Determine o valor de m na equação 8x2 +2x−(

m−12

)= 0, de modo que

o produto de suas raízes seja igual a −158

.

8. (CEFET-BA) O gráfico da função y = ax2 +bx+ c tem uma só intersecção com o eixo Oxe corta o eixo Oy em (0,1). Então, os valores de a e b obedecem à relação:

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(a) b2 = 4a(b) −b2 = 4a

(c) b = 2a(d) a2 =−4a

(e) a2 = 4b

9. (PUCCAMP) Se v e w são as raízes da equação x2+ax+b = 0, onde a e b são coeficientesreais, então v2 +w2 é igual a:

(a) a2−2b(b) a2 +2b(c) a2−2b2

(d) a2 +2b2

(e) a2−b2

10. (ESPM) O conjunto solução da equação x3 + x2−100x−100 = 0, é:

(a) S = {−1,10}(b) S = {−1,1,10}(c) S = {−10,1,10}

(d) S = {−10,−1,10}(e) S = {−1,100}

11. (PUC) O número de intersecção das duas parábolas y = x2 e y = 2x2−1 é:

(a) 0(b) 1

(c) 2(d) 3

(e) 4

12. (FUVEST) O gráfico de f (x) = x2+bx+c, em que b e c são constantes, passa pelos pontos

(0,0) e (1,2). Então, f(−2

3

)vale:

(a) −29

(b)29

(c) −14

(d)14

(e) 4

13. (MACKENZIE) A equação (3k−1)x2− (2k+3)x+(k−4) = 0, em x, com k 6= 13

, admiteduas raízes reais a e b tais que a < 1 < b. O número de valores inteiros que k pode assumiré:

(a) 2(b) 3

(c) 4(d) 5

(e) 6

14. (UFV) As medidas da hipotenusa e de um dos catetos de um triângulo retângulo são dadaspelas raízes da equação x2−9x+20 = 0. A área desse triângulo é:

(a) 10(b) 6

(c) 12(d) 15

(e) 20

15. (UFMG) A função f (x)= x2+bx+c, com b e c reais, tem duas raízes distintas pertencentesao intervalo [−2,3]. Então, sobre os valores de b e c, a única afirmativa correta é:

(a) c <−6(b) c > 9(c) −6 < b < 4(d) b <−6(e) 4 < b < 6

16. (UFMG) Seja P(x) = x3 +(k−3)x2 +(2− k)x− (6+6k), em que k é um número real.

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(a) Mostre que o número 3 é raíz de P(x) para todo número real k;(b) Determine todos os valores de k para os quais as raízes de P(x) sejam todas reais.

17. (UNICAMP) Determine o número m de modo que o gráfico da função y = x2 +mx+8 sejatangente ao eixo do x. Faça o gráfico da solução (ou das soluções) que você encontrar parao problema.

18. (FAAP) Analistas de produção verificaram que numa determinada montadora o número depeças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por:

f (t) ={

50(t2 + t), para 0≤ t ≤ 4200(t +1), para 4≤ t ≤ 8

O número de peças produzidas na quarta hora de trabalho é:

(a) 1000(b) 800

(c) 200(d) 400

(e) 600

19. (MACKENZIE) Na função real definida por f (x) = x2 + 2mx− (m− 2), sabe-se que:f (a) = f (b) = 0, em que a < 1 < b.Então, em U = {−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4}, o número de valores que m pode assumir é:

(a) 1(b) 2

(c) 3(d) 4

(e) 9

20. (UNICAMP)(a) Encontre as constantes a, b e c de modo que o gráfico da função y = ax2 +bx+ c

passe pelos pontos (1,10), (−2,8) e (3,12);(b) Faça um gráfico da função obtida no item a, destacando seus pontos principais.

21. (CESGRANRIO) Determine o parâmetro m na equação x2 +mx+m2−m− 12 = 0, demodo que ela tenha uma raíz nula e outra positiva.

22. (VUNESP) Considere a função:

f (x) =(

14a

)x2 + x+a,

em que a é um número real não nulo. Assinale a alternativa cuja parábola poderia ser ográfico dessa função.

(a) (b)

(c) (d)

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(e)

23. (FUVEST) A função f (x), definida para −3≤ x≤ 3, tem o seguinte gráfico:

-3 -2 -1 1 2 3

-1

1

2

em que as linhas ligando (−1,0) a (0,2) e (0,2) a (1,0) são segmentos de reta. Supondoa≤ 0, para que valores de a o gráfico do polinômio p(x) = a(x2−4) intercepta o gráficode f (x) em exatamente 4 pontos distintos?

(a) −12< a < 0

(b) −1 < a <−12

(c) −32< a <−1

(d) −2 < a <−32

(e) a <−2

24. (UEMA) O gráfico da função f (x) = mx2− (m2−3)x+m3 intercepta o eixo x em apenasum ponto e tem concavidade voltada para baixo. O valor de m é:

(a) -3(b) -4

(c) -2(d) 2

(e) -1

25. (UNESP) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinadohotel para um passeio ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preçode cada passagem é de R$20,00. Caso contrário, para cada lugar vago será acrescida aimportância de R$1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o faturamento da empresa deônibus, em cada viagem, é dado pela função f (x) = (40− x)(20+ x), em que x indica onúmero de lugares vagos (0≤ x≤ 40). Determine:

(a) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que aempresa obtenha faturamento máximo;

(b) qual é o faturamento máximo em cada viagem.

26. (UFMS) Os fisiologistas afirmam que, para um indivíduo sadio em repouso, o número Nde batimentos cardíacos por minuto varia em função da temperatura ambiente t, em grauscelsius, segundo a função N = 0,1t2−4t +90. Com base nessas informações, calcule:

(a) a temperatura em que o número de batimentos cardíacos por minuto é mínimo;(b) o número mínimo de batimentos cardíacos por minuto;(c) o número de batimentos cardíacos por minuto de uma pessoa sadia que está

dormindo, quando a temperatura ambiente for de 30oC.

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27. (UFOP) Em relação ao gráfico da função f (x) =−x2 +4x−3, pode-se afirmar:(a) é uma parábola de concavidade voltada para cima.(b) seu vértice é o ponto V (2,1).(c) intercepta o eixo das abscissas em P(−3,0) e Q(3,0).(d) o seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas.(e) intercepta o eixo das ordendas em R(0,3).

28. (ACAFE) Seja uma função f (x) = x2−2x+3 de domínio [−2,2].O conjunto-imagem é:

(a) [0,3](b) [−5,4](c) ]−∞,4]

(d) [−3,1](e) [−5,3]

29. (UFSM) A figura mostra um retângulo com dois lados nos eixos cartesianos e um vérticena reta que passa pelos pontos A(0,12) e B(8,0).

x

y

A(0,12)

B(8,0)

P(x,y)

0

As dimensões x e y do retângulo para que sua área seja máxima devem ser, respectivamente,iguais a:

(a) 4 e 6

(b) 5 e92

(c) 5 e 7(d) 4 e 7

(e) 6 e 3

30. (UFMG) Observe a figura:

x

y

5

V-5

0

Nessa figura, está representada a parábola de vértice V , gráfico de função do segundo graucuja expressão é:

(a) y =(

x2

5

)−2x

(b) y = x2−10x(c) y = x2 +10x

(d) y =(

x2

5

)−10x

(e) y =(

x2

5

)+10x

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31. (FGV) A área do quadrado ABCD é 4cm2. Sobre os lados AB e AD do quadrado sãotomados dois pontos M e N, tais que AM +AN = AB. Desse modo, o maior valor quepode assumir a área do triângulo AMN é:

A

B C

D

M

N

(a)14

cm2 (b) 2cm2

(c)12

cm2

(d) 4cm2

(e)18

cm2

32. (ENEM) A empresa WQTU Cosmético vende uma quantidade x de determinado produto,cujo custo de fabricação é dado por 3x2 + 232, e o seu valor de venda é expresso pelafunção 180x−116. A empresa vendeu 10 unidades do produto, contudo a mesma desejasaber quantas unidades precisa vender para obter um lucro máximo.Considerando que o lucro obtido é dado pela diferença entre os valores de venda e custo, aquantidade de unidades a serem vendidas para se obter lucro máximo é:

(a) 10(b) 30

(c) 58(d) 116

(e) 232

33. (UNIRIO) Um engenheiro vai projetar uma piscina, em forma de paralelepípedo reto-retângulo, cujas medidas internas são, em metros, expressas por x, 20− x e 2. O maiorvolume que esta piscina poderá ter, em m3, é igual a:

(a) 240(b) 220

(c) 200(d) 150

(e) 100

34. (UDESC) Seja ABCD um quadrado de área unitária, são tomados dois pontos P ∈ AB eQ ∈ AD, tais que |AP|+ |AQ|= |AD|. Calcule o maior valor para a área do triângulo APQ.Como seria tratado esse problema, se fosse pedido para calcular a menor área?

A B

CD

Q

P

35. (UFMG) O ponto de coordenadas (3,4) pertence à parábola de equação y = ax2 +bx+4.A abscissa do vértice dessa parábola é:

(a)12

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(b) 1

(c)32

(d) 2

36. (FUVEST) Considere a função f (x) = x√(1−2x2)

(a) Determine constantes reais a,b e g de modo que ( f (x))2 = a[(x2 +b)2 +g](b) Determine os comprimentos dos lados do retângulo de área máxima, com lados

paralelos aos eixos coordenados, inscrito na elipse de equação 2x2 + y2 = 1

37. (CESGRANRIO) O ponto de maior ordenada, pertence ao gráfico da função real definidapor f (x) = (2x−1)(3− x), é o par ordenado (a,b). Então, a−b é igual a:

(a)−39

8(b)−11

8

(c)38

(d)118

(e)398

38. (UFPE) O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dadopor: C = 2510− 100n+ n2. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter ocusto mínimo?

39. (FUVEST) No triângulo ABC, AC = 5cm, BC = 20cm e cosα =35

.

N P CB

AQM

α

O maior valor possível, em cm2, para a área do retângulo MNPQ, construído conformemostra a figura acima, é:

(a) 16(b) 18

(c) 20(d) 22

(e) 24

40. (FGV-adaptado) Quando uma pizzaria cobra R$14,00 por pizza, 80 unidades são vendidaspor dia. Quando o preço é R$12,00 por pizza, 90 unidades são vendidas. Admitindoque a quantidade vendida (y) seja função do 1o grau do preço (x), dada pela expressãoy =−5x+150, qual o preço que deve ser cobrado para maximizar a receita diária?

41. (VUNESP) Suponha que um grilo, ao saltar do solo, tenha sua posição no espaço descritaem função do tempo (em segundos) pela expressão h(t) = 3t−3t2, em que h é a alturaatingida em metros.

(a) Em que instante t o grilo retorna ao solo?(b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo grilo?

42. (FGV) O preço de ingresso numa peça de teatro (p) relaciona-se com a quantidade defrequentadores (x) por sessão atráves da relação: p =−0,2x+100.

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(a) Qual a receita arrecadada por sessão caso o preço do ingresso seja de R$60,00?(b) Qual o preço que deve ser cobrado para dar a máxima receita por sessão?

Observação: receita=(preço)·(quantidade)

43. (FGV) O lucro mensal de uma empresa é dado por L = −x2 + 30x− 5, em que x é aquantidade mensal vendida.

(a) Qual o lucro mensal máximo possível?(b) Entre que valores deve variar x para que o lucro mensal seja no mínimo igual a

195?

44. (UFPE) Qual o maior valor assumido pela função f : [−7,10]→ R definida por f (x) =x2−5x+9?

45. (FAAP) Com relação ao gráfico da função f (x) = 2(x− 1)2− 4 são feitas as seguintesafirmações.

I. É uma parábola com concavidade para cima.II. É uma parábola cujo vértice é o ponto (−2,4).

III. O ponto de intersecção com o eixo y é (0,−2).Nessas condições:

(a) Somente a afirmação I é verdadeira.(b) Somente a afirmação III é verdadeira.(c) As afirmações I, II e III são verdadeiras.(d) As afirmações I e III são verdadeiras.(e) As afirmações II e III são verdadeiras.

46. (PUC) Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de umaunidade de certo produto é x− 10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. Aquantidade vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, iguala 70− x.Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente,uma função quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é:

(a) 1200(b) 1000

(c) 900(d) 800

(e) 600

47. (UEL) Seja a função f , de R em R, dada pelo gráfico seguinte,

x

y

1,5

-1 310

O conjunto-imagem de f é:(a) R(b) {y ∈ R | 0≤ y≤ 1,5}

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(c) {y ∈ R | 0≤ y≤ 1,8}(d) {y ∈ R | y≤ 2}(e) {y ∈ R | y≤ 1,8}

48. (UFRJ) Um avião tem combustível para voar durante 4 horas. Na presença de um ventocom velocidade v [km/h] na direção e sentido do movimento, a velocidade do avião é de(300+ v) [km/h]. Se o avião se desloca em sentido contrário ao do vento, sua velocidadeé de (300− v) [km/h].Suponha que o avião se afaste a uma distância d do aeroporto e retorne ao ponto de partida,consumindo todo o combustível, e que durante todo o trajeto a velocidade do vento sejaconstante e tenha a mesma direção que a do movimento do avião. Determine:

(a) d como função de v.(b) para que valor de v a distância d é máxima.

49. (UNESP) Seja a função y = x2−2x−3. O vértice V e o conjunto-imagem da função sãodados, respectivamente, por:

(a) V (1,4), Im = {y ∈ R | y≥ 4}(b) V (1,−4), Im = {y ∈ R | y≥−4}(c) V (1,4), Im = {y ∈ R | y≤ 4}(d) V (1,−4), Im = {y ∈ R | y≤−4}(e) V (1,1), Im = {y ∈ R | y≥ 1}

50. (UFLA-MG) O conjunto de todos os valores reais de X , para os quais o gráfico de P(X) =8−X2 está acima do gráfico de Q(X) = 3X2 (isto é, P(X)> Q(X)) é:

(a) −√

2 < X <√

2(b) X >

√2

(c) 0≤ X ≤√

2

(d) −2 < X < 2(e) −2≤ X ≤ 2

51. (PUC) Considere a função do 1o grau f , de R em R, definida por:

f (x) =(

m2−3m1−m

)x+1,

onde m ∈ R. Para que valores de m essa função é decrescente?

52. (UNIRIO) A diferença entre o comprimento x e a largura y de um retângulo é de 2cm. Se asua área é menor ou igual a 24cm2, então o valor de x, em cm, será:

(a) 0 < x < 6(b) 0 < x≤ 4

(c) 2 < x≤ 6(d) 2 < x < 6

(e) 2 < x≤ 4

53. (UNICAMP) O índice I de massa corporal de uma pessoa adulta é dado pela fórmula,I = M/h2 em que M é a massa do corpo, dada em quilogramas, e h é a altura da pessoa,em metros. O índice I permite classificar uma pessoa adulta, de acordo com a seguintetabela:

(a) Calcule o índice I para uma mulher cuja massa é de 64,0kg e cuja altura 1,60m.Classifique-a segundo a tabela anterior.

(b) Qual é a altura mínima para que um homem cuja massa é de 97,2kg não sejaconsiderado obeso?

Uso

excl

usiv

ode

Nom

edo

Clie

nte

-CPF

:000

.000

.000

-00


Homens Mulheres Classificação20≤ I ≤ 25 19≤ I ≤ 24 Normal25≤ I ≤ 30 24 < I ≤ 29 Levemente obeso

I > 30 I > 29 Obeso

54. (MACKENZIE) O domínio da função real definida por:

f (x) = 3√[(x2−2x+6)/(x2−5x+6)]

é:

(a) R\{2,3}(b) R∗(c) R

(d) R∗ \{2,3}(e) R\{−2,−3}

55. (VUNESP) Resolva o sistema:{3 < 2xx2−4x+3≥ 0

56. (UFMG) Seja M o conjunto dos números naturais n tais que 2n2−75n+700≤ 0. Assimsendo, é correto afirmar que:

(a) apenas um dos elementos de M é múltiplo de 4.(b) apenas dois dos elementos de M são primos.(c) a soma de todos os elementos de M é igual a 79.(d) M possui exatamente seis elementos.

57. (UNIFENAS) Para que valores de m, a equação 4x2− 4mx+(4m− 3) = 0 não admiteraízes reais?

(a) m ∈ R | 1 < m < 3(b) ∀m, m ∈ R(c) m ∈ R | m < 1 ou m > 3(d) m > 0(e) nenhum valor real de m

58. (MACKENZIE) Se 2x2−ax+2a > 0, qualquer que seja x ∈ R, o maior valor inteiro que apode assumir é:

(a) 15(b) 16

(c) 18(d) 20

(e) 22

59. (CESGRANRIO) A solução da inequação x >(

1x

)é:

(a) −1 < x < 0 ou x > 1(b) x <−1 ou x > 1(c) x > 1

(d) x > 0(e) x >−1

60. (FUVEST) O conjunto de soluções, no conjunto R, dos números reais, da inequação[x

(x+1)

]> x é:

Uso

excl

usiv

ode

Nom

edo

Clie

nte

-CPF

:000

.000

.000

-00


(a) vazio(b) R(c) {x ∈ R | x < 0}

(d) {x ∈ R | x >−1}(e) {x ∈ R | x <−1}

61. (CESGRANRIO) A menor solução inteira de x2−2x−35 < 0 é:

(a) −5(b) −4

(c) −3(d) −2

(e) −1

62. (CESGRANRIO) As soluções de(x2−2x)(x2 +1)

> 0 são os valores de x que satisfazem:

(a) x < 0 ou x > 2(b) x < 2(c) x < 0

(d) 0 < x < 2(e) x > 2

63. (PUC) No universo R, o conjunto-solução da inequação(x−3)(3x− x2)

< 0 é:

(a) {x ∈ R | x > 0}(b) {x ∈ R | x > 3}(c) {x ∈ R | x < 0 ou x > 3}

(d) {x ∈ R | 0 < x < 3}(e) {x ∈ R | x > 0 e x 6= 3}

64. (FAAP) A variação de temperatura y = f (x) num intervalo de tempo x é dado pela funçãof (x) = (m2−9)x2 +(m+3)x+m−3; calcule m de modo que o gráfico da função sejauma parábola com a concavidade voltada para baixo.

(a) −3≤ m≤ 3(b) m > 3 e m <−3(c) −3≤ m < 3(d) −3 < m≤ 3(e) −3 < m < 3

65. (FGV) Uma função quadrática f tem um gráfico cujo vértice é o ponto (3,−4). Sabe-seque 2 é uma raíz da função.

(a) Obtenha a expressão da função f .(b) Para que valores de x tem-se f (x)> 0?

1 — Funções do 2o grau · O gráﬁco de uma função do 2o grau é uma curva denominada...

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