Representação da Funcao do 2o Grau

8/7/2019 Representao da Funcao do 2o Grau

1/37

Representao grfica de

funes

Funo da forma y = ax +bx + ca 0


2/37

Voc j aprendeu a calcular as

razes de uma equao da formaax + bx + c = 0 e agora vai vercomo se comporta uma funo daforma y = ax + bx + c

NO CONFUNDA EQUAO COMFUNO!Ao resolver a equao ax + bx + c

= 0 , encontramos os valores de x que satisfazem a igualdade; nafuno y = ax + bx + c , para cadavalor de x, h um valor de y

correspondente.


3/37

Exemplo 1: Resolva a equao x -4x + 3 = 0

OBSERVE

a = 1 ; b = -4 ; c = 3


4/37

As razes da equao so x =

1 e x = 3


5/37

Exemplo 2: Construa o grficoda funo y = x - 4x + 3

x y

x y-1

x y-1 8

x y-1 80

x y-1 80 3

x y-1 80 31

x y-1 80 31 0

x y-1 80 31 02

x y-1 80 31 02 -1

x y-1 80 31 02 -13

x y-1 80 31 02 -13 0

x y-1 80 31 02 -13 0

4

x y-1 80 31 02 -13 0

4 3

x y-1 80 31 02 -13 0

4 35

x y-1 80 31 02 -13 0

4 35 8

Pontos:( -1 , 8 )( 0 , 3 )( 1 , 0 )( 2 , -1 )

( 3 , 0 )( 4 , 3 )( 5 , 8 )


6/37

Pontos:( -1 , 8 )( 0 , 3 )( 1 , 0 )( 2 , -1 )( 3 , 0 )( 4 , 3 )( 5 , 8 )

... . .

..


7/37

... . .

..

y = x - 4x + 3

A linha que representa graficamente

uma funo do 2 grau chama-sePARBOLANo exemplo acima, dizemos que aparbola tem sua CONCAVIDADE

VOLTADA PARA CIMA ( CVC )


8/37

Exemplo 3: Construa o grficoda funo y = -x + 2x + 3

x yx y-3x y-3 -12x y-3 -12-2

x y-3 -12-2 -5

x y-3 -12-2 -5-1

x y-3 -12-2 -5-1 0

x y-3 -12-2 -5-1 00

x y-3 -12-2 -5-1 00 3

x y-3 -12-2 -5-1 00 31

x y-3 -12-2 -5-1 00 31 4

x y-3 -12-2 -5

-1 00 31 4

2

x y-3 -12-2 -5

-1 00 31 4

2 3

x y-3 -12-2 -5

-1 00 31 4

2 33

x y-3 -12-2 -5

-1 00 31 4

2 33 0

x y-3 -12-2 -5

-1 00 31 4

2 33 04

x y-3 -12-2 -5

-1 00 31 4

2 33 04 -5

x y-3 -12-2 -5

-1 00 31 42 33 04 -55

x y-3 -12-2 -5

-1 00 31 42 33 04 -55 -12

Pontos:( -3 , -12 )

( -2 , -5 )( -1 , 0 )( 0 , 3 )

( 1 , 4 )( 2 , 3 )

( 3 , 0 )

x y-3-2

-1012345

Sua vez de tentar


9/37

( -3 , -12 )( -2 , -5 )( -1 , 0 )( 0 , 3 )( 1 , 4 )( 2 , 3 )( 3 , 0 )( 4 , -5 )( 5 , -12 ) .

.. . .

..


10/37

... . .

..

y = -x + 2x + 3

Neste exemplo dizemos que a parbolatem sua CONCAVIDADE VOLTADA PARA

BAIXO ( CVB )


11/37

Funes da forma y = ax + bx + c com a> 0 so representadas graficamente por

parbolas com CONCAVIDADE VOLTADAPARA CIMA( CVC ).

Funes da forma y = ax + bx + c com a< 0 so representadas graficamente por

parbolas com CONCAVIDADE VOLTADA

ANOTE AINDA:


12/37


13/37

Chamam-se zeros ou razes da funo polinomialdo 2 grau y = ax + bx + c , a 0, os nmerosreais x tais que y = 0Exemplos:1) As razes de y = x 2x 8 so 2 e 4, poisfazendo y = 0 temos:

Se para x = 2 e x = 4 temos y = 0 o grficoda funo passa pelos pontos ( 2 , 0 ) e ( 4 ,

0 )

x 2x 8 = 0


14/37

Vimos, ao estudar a funo do 1 grau, cujarepresentao grfica uma reta, que bastavaconhecer dois pontos para fazer o seu esboo.No caso da funo do 2 grau, y = ax + bx +c , apenas dois pontos no caso, as razes no so suficientes.

x

RAZES

? ?

?

?

VRTICE

Surge da anecessidade deconhecermos umterceiro ponto daparbola,

denominadoVRTICE


15/37

A parbola uma curva com SIMETRIA AXIALVERTICAL, ou seja:

x

RAZES

VRTICE

PONTOMDIO DASRAZES

EIXO DESIMETRIA


16/37

ALGUNS CCULOS...

Vimos atravs do grfico anterior que o vrticeposiciona-se sobre uma linha imaginriachamada EIXO DE SIMETRIA e que passa peloPONTO MDIO ENTRE AS RAZES.

Como qualquer ponto marcado no planocartesiano, o VRTICE DA PARBOLA possui duascoordenadas que chamaremos de (abscissa)e (ordenada).

Sabendo que a abscissa do vrtice fica bem nomeio das razes, basta tirar a mdia aritmticaentre as abscissas dos pontos da parbola sobreo eixo Ox.


17/37

Considerando que para determinar as razes de y= ax + bx + c fazemos y = 0 , temos a equaoax + bx + c = 0 cujas razes x e x so:

e

Se a abscissa do vrtice a mdia aritmticaentre x e x, basta fazer:


18/37

A partir do momento em que conhecemos o valorda abscissa do vrtice, sendo este um pontopertencente ao grfico da funo (parbola), paradeterminar o valor da ordenada, basta substituirna expresso da funo, ou seja:

Desenvolvendo esse clculochegamos a:

onde

Assim:


19/37

Acompanhe os clculos paraesboarmos os grficos dasfunes:

I) y = 2x 4x 6

II) f(x) = x + 6x 5


20/37

I) y = 2x 4x 6a = 2b = 4c = 61) Clculo das

razes: Razes x = 1 e x= 3 indicam que ogrfico passa pelospontos ( 1 , 0) e (3 , 0 )

2) Coordenadas dovrtice: O vrtice da

parbola oponto V ( 1 ,

8 )


21/37

3) Coordenadas do ponto onde a curvaintercepta o eixo Oy:Um clculo bastante simples, mas que ajuda navisualizao da parbola, a determinao dascoordenadas do ponto onde a curva corta o eixovertical.Sabemos que todos os pontos sobre o eixo dasordenadas tm abscissa nula, da, substituindo x= 0 na expresso da funo, temos:

y = 2x 4x 6

x = 0y = 2. 0 4. 0 6

y = 6

A parbolaintercepta oeixo vertical noponto ( 0 , 6 )


22/37


23/37

II) f(x) = x + 6x 5a = 1b = 6c = 51) Clculo das

razes: Razes x = 1 e x =5 indicam que ogrfico passa pelospontos ( 1 , 0) e( 5 , 0 )

2) Coordenadas dovrtice: O vrtice da

parbola oponto V ( 3 , 4 )


24/37

3) Coordenadas do ponto onde a curvaintercepta o eixo Oy:

y = x + 6x 5x = 0

y = 0 + 6. 0 5y = 5

A parbolaintercepta oeixo vertical noponto ( 0 , 5 )

Utilizando os pontos encontrados,tente fazer sozinho o esboo dogrfico dessa funo antes de vera soluo


25/37

..

..

y = x + 6x 5

RAZES VRTICE

PONTO SOBREOy

( CVB )


26/37


27/37

... . .

..y = x


28/37

y = x

.

y = x+ 3

y = x

- 5

.

.


29/37

.

y = x

y =-x

CVC

CVB


30/37

.y =-x. y = -x- 4

. y = -x+ 4


31/37


32/37

RESUMO - FUNO DO 2 GRAU

Forma Geral: y =ax2 + bx + c f(x) =ax2 + bx + cou

Onde:

a,

c, o termo independente. (Ordenada do ponto onde a parbola intercepta oeixo vertical)

Se

determina a concavidade a > 0 Concavidade para cima

a < 0 Concavidade para baixo

Valor mnimo (yv )

Valor mximo (yv )


33/37

ZEROS (OU RAZES) DE UMA FUNO DE 2 grau Dada a funo de f: lR lR, definida: f(x) Calcule o zero da funo:= x

2

+

3 x + 2,

x2

3 x + 2

+

= 0Determinar as razes

32

= - 4 . 1 . 2 = 1

x = - 3 V 12 . 1x1 = - 2 x2 = - 1e

Geometricamente a curva corta o eixohorizontal nos pontos: (- 1, 0) (- 2, 0)e

Determinar a concavidade: Concavidade para cima

- 1- 2x


34/37

se

Concavidade para cima Concavidade para baixo

a > 0 a < 0

Vrtice da funo do 2 grauPonto de Mximo ou de Mnimo

Obs.: O valor de mximo ou de mnimo sempre dado pelo y v .

V = (x v , y v)

Ponto de mnimo Ponto de mximo

V = (x v , y v)

xv =

2a

- b

yv =4a

-

VRTICE


35/37

Estudo do sinal da funo do 2 grause

Concavidade para cima Concavidade para baixo

a > 0 a < 0

Primeiro Caso: >0

x

+ ++

_ _ _ x

y > 0 y > 0y > 0

y < 0y < 0 y < 0

y > 0

y < 0

y = 0

Se, x < raiz x > raizou

Se, x = raiz x = raizou

Se, < x 0

y = 0

Se, x < raiz x > raizou

Se, x = raiz x = raizou

Se, < x


36/37

x

+ + _ _ x

y > 0

y = 0

Se, x razes

Se,

y < 0

y = 0

Se,

Se,

Segundo Caso: =0

Terceiro Caso: 0, y < 0, V X lR

(x = x)

(x = x)

(x = x)

(x = x)

COLEGIOPALOMAR

PROFESSOR

VINICIUSSALOMON


37/37

ISERJ 2011

Professora Telma Castro Silva

ISERJ 2011

Professora Telma CastroSilva

Representação da Funcao do 2o Grau

Documents

Transcript of Representação da Funcao do 2o Grau