Curso Probabilidade e Estatística

Introdução

Probabilidade:

Conceitos de:

Espaço Amostral (Todas combinações) Exemp:

Jogar dois dados

Eventos (subconjuntos definindo um resultado

bem determinado)

Exemplos:

E: dar 1 nos dois dados;

F: soma dos pontos igual a 4

G: soma dos pontos menor ou igual a 5

H: dar dois no 1o dado

Evento Intersecção : G H

Evento União : F H

Eventos mutuamente excludentes (exclusivos)

I J = Ø

Probabilidade e suas propriedades: Número real

a) 0 P(E) 1

b) P(S) = 1

c) P(Ø) = 0

d) Se E, F, ..., K mutuamente excludentes

P(E F .... K) = P(E)+P(F)+...+P(K)

e) P( ) = 1 – P(E)

f) P(E F) = P(E) + P(F) – P(E F)

g) P(E F) = P(E) + P( F)

h) Etc...

Atribuição frequencialista de Probabilidade

P(E) = m/n

Onde m = # de eventos favoráveis ao evento E

n = # de resultados possíveis (equiprováveis)

Probabilidade Condicionada

P(E/F) = P(E F)/P(F) P(F) ‡ 0

P(F/E) = P(E F)/P(E) →

P(E F) = P(E/F).P(F) = P(F/E). P(E)

P(E F G) = P(E).P(F/E).P(G/E F)

Teorema da Probabilidade Total

E1, E2, ..., En partições do S e F um evento qualquer

do S então

P(F) =

Teorema de Bayes

P(Ej/F) =

Exemplo

1)Suponha-se que um grande número de caixas de

bombons seja de dois tipos, A e B. O tipo A contém

70% de bombons doces e 30% de bombons

amargos, enquanto no tipo B estas percentagens

são inversas. Sabe-se que 60% das caixas são do

tipo A e o restante do tipo B. Você pode tirar um

bombom de amostra de uma determinada caixa e

através do seu sabor inferir se ele veio de caixa tipo

A ou B.

2)Faça o mesmo exercício para a retirada de dois

bombons.

3)Uma urna contém 3 bolas brancas e 4 pretas.

Extraindo-se simultaneamente 3 bolas da urna,

calcular a probabilidade de que a) pelo menos duas

sejam brancas; b) pelo menos uma seja preta.

4)Uma caixa contém 5 bolas brancas e 3 pretas.

Duas bolas são retiradas simultaneamente ao acaso

e substituídas por três bolas azuis. Em seguida,

duas novas bolas são retiradas ao acaso da caixa.

a)Calcular a prob. destas duas últimas serem da

mesma cor.

b)Se as duas últimas bolas retiradas forem uma

branca e uma preta, calcular a probabilidade de

que, na primeira extração, tenham saído duas

brancas.

5)Em uma universidade, 40% dos estudantes

praticam futebol e 30% natação. Dentre os que

praticam futebol, 20% praticam também natação.

Qual a porcentagem de estudantes que não pratica

nenhum dos dois esportes?

6)Um meteorologista acerta 80% dos dias em que

chove e 90% dos dias em que faz bom tempo.

Chove em 10% dos dias. Tendo havido previsão de

chuva, qual a probabilidade de chover?

7)Sejam A e B dois eventos tais que P(A)=0,4 e

P(AυB) =0,7. Seja P(B) =p. Para que valores de p, A

e B serão mutuamente excludentes ou independ.?

8)Uma caixa tem 4 moedas, uma das quais com

duas caras. Uma moeda ao acaso foi jogada duas

vezes, obtendo–se duas caras. Qual é a prob. de

ser a moeda com duas caras?

Variáveis Aleatórias Unidimensionais

Exemplo: altura da população (noções sobre

variável e distribuição de probabilidade)

Variável aleatória: função que associa números

reais aos eventos, nem sempre quantitativos, de um

espaço amostral

Exemplos: variáveis aleatórias discretas.

a)jogar um dado, X=número de face para cima ou

X= o dobro do número de face superior menos um.

b)jogar 4 moedas e definir Y=número de caras

obtidas

A distribuição de probabilidade destas variáveis é

caracterizada por uma função probabilidade que

associa probabilidades não-nulas aos possíveis

valores da variável aleatória, e zero aos demais

valores. P( ou P

Variáveis aleatórias contínuas

Mesmo exemplo das alturas

Função densidade de Probabilidade (o equivalente

às funções de probabilidade nas variáveis discretas)

Obedece às seguintes propriedades:

a)

b)

c)

Exemplo:

para ;

para ;

para .

Função de repartição ou de distribuição

acumulada

→

p/ Variáveis discretas: e

p/ Variáveis contínuas:

.

Parâmetros de posição

A. Média, ou expectância, ou esperança

matemática. Será denotada por μ ou E, e

definida por

= ,

para as variáveis discretas e por

,

para as variáveis contínuas

As propriedades da média:

a)

b)

c)

d)

e)

B. Mediana ( :

, Generalizando

esta idéia pode-se dividir a distribuição em

várias partes equiprováveis: os quartis (4

partes), decis(10 partes), percentis(100 partes),

etc.

C. Moda (mo)

Ponto(s) de maior probabilidade, no caso

discreto, ou maior densidade de probabilidade,

no caso contínuo

Parâmetros de dispersão

A. Variância ( ou, simplesmente,

→

no caso discreto e

no caso contínuo

Outra forma de escrever a definição da é:

onde

no caso discreto e

no caso contínuo

Principais propriedades da variância são:

a)

b)

c)

d)

B. Desvio-padrão ( )

C. Coeficiente de variação (

D. Amplitude (R)

Diferença entre o maior e o menor valores

possíveis da variável

Desigualdade de tchebycheff

Pode-se demonstrar que, para qualquer distribuição

de probabilidade com média e desvio-padrão,

Exemplos

1. Dois dados são lançados. Determinar a função

probabilidade e a função de repartição da

variável aleatória Z, soma dos pontos obtidos.

Determinar a média, mediana, moda, variância,

desvio-padrão, coeficiente de variação, e

amplitude desta distribuição.

2. Calcular a média, mediana, moda e desvio

padrão da variável aleatória discreta definida

pela seguinte função probabilidade.

250 0,10

253 0,35

256 0,30

259 0,15

262 0,05

265 0,05

3.Um jogo equitativo é um jogo em que o ganho

esperado é nulo. Se apostarmos R$1 que certa

pessoa nasceu em determinado dia da semana,

de quanto deve ser a contra proposta para que se

torne um jogo equitativo?

4.Uma urna contém 5 bolas brancas e 7 bolas

pretas. Três bolas são retiradas desta urna. Qual

a distribuição de probabilidade do número de

bolas brancas retiradas? Se ganharmos R$ 2,00

por bola branca retirada e perdemos R$1 por bola

preta retirada, até quanto vale a pena pagar para

entrar neste jogo?

5.Seja a variável aleatória definida pela seguinte

função densidade de probabilidade

para ;

para ;

para .

Determinar sua função de repartição e calcular a

média, mediana, moda, variância e desvio-padrão.

6.Uma variável continua tem a seguinte função

densidade de probabilidade

para ;

para ;

para ;

para .

Determinar a constante , a função de repartição,

a probabilidade de se obter um valor superior a

1,5, a média, a mediana, a variância e o desvio-

padrão.