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NOÇÕES DE ÁLGEBRA LINEAR

1. ESPAÇOS VETORIAIS 1.1. ESPAÇO VETORIAL REAL

Seja um conjunto V φ≠ no qual estão definidas duas operações: adição e multiplicação por escalar,

tais que ∀u, v ∈V, u+v V∈ e ∀α ℜ∈ ,∀u V∈ , αu V∈ . O conjunto V com as operações acima é chamado espaço vetorial real se forem verificadas as seguintes propriedades: Em relação à adição: A1 − u + v = v + u , ∀u,v V∈ (a adição deve ser comutatividade ) A2 − (u + v) + w = u + (v + w) , ∀u,v,w V∈ (a adição deve ser associativa ) A3 − ∃ 0 V∈ , ∀u V∈ , u + 0 = u ( deve existir em V o elemento neutro 0 da adição) A4 − ∀u V∈ , ∃ (-u) V∈ , u + (-u) = 0 (deve existir em V o simétrico de cada elemento de V) Em relação à multiplicação por escalar: M1 − (α + β)u = αu + βu, ∀α,β ℜ∈ e ∀u V∈ (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de escalares) Μ2 − α(u + v) = αu + αv, ∀α ℜ∈ e ∀u,v V∈ (a multiplicação deve ser distributiva em relação a adição de vetores) M3 − (αβ)u = α(βu), ∀α,β ℜ∈ e ∀u V∈ (a multiplicação deve ser associativa em relação a multiplicação de escalares) M4 − 1u = u, ∀u V∈ (o 1(um) deve ser o elemento neutro da multiplicação por escalar)

Os elementos de um espaço vetorial são chamados vetores independente de sua natureza. Exemplos de espaços vetoriais: 1. O conjunto nℜ das n-uplas de números reais com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 2. O conjunto mxnM das matrizes mxn com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar.

3. O conjunto nP ={a 0 x n + a 1 x 1n − + ... + a n ; a i ℜ∈ } dos polinômios de grau menor ou igual a “n”, incluindo o polinômio identicamente nulo, com as operações usuais de adição e multiplicação por escalar. 4. O conjunto das funções definidas no intervalo [a;b] em relação às operações definidas por

(f + g)(x)= f(x)+ g(x) e (αf)(x) = αf(x) , ∀ α∈ℜ . 1.2. COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES

Sejam os vetores n21 v,...,v,v de um espaço vetorial V. Um vetor ∈v V é combinação linear (CL)

dos vetores n21 v,...,v,v se existem os reais n21 a,...,a,a , tais que vva...vava nn2211 =+++ . E1) Verifique se o vetor )7,8,1(v −−= é combinação linear dos vetores )1,2,3(v1 −= e )5,1,4(v2 = . Em caso

afirmativo, escreva o vetor v como combinação linear de 1v e 2v .

2

Importante: A combinação linear vva...vava nn2211 =+++ pode ser representada matricialmente por

MA=V, onde: M é a matriz cujas colunas são os vetores n21 v,...,v,v , A é a matriz coluna formada pelos coeficientes n21 a,...,a,a e V é a representação matricial do vetor v.

E2) Escreva o vetor v = (-3,2) como combinação linear dos vetores i = (1,0) e j = (0,1). E3) Escreva o vetor v = (1,3,-2) como combinação linear dos vetores i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1). E4) Sejam os vetores )2,1,2(v1 −= , )2,3,0(v2 −= e )0,2,4(v3 = .

a) Escreva, se possível, o vetor )2,5,2(v −= como CL dos vetores 1v e 2v .

b) Escreva, se possível, o vetor 1v como CL dos vetores 2v e 3v . c) Determine o valor de “m” para que o vetor )m,0,6(u = seja CL dos vetores 1v e 2v .

1.3. RESPOSTAS E1) v = 3v1 - 2v2 E2) v = -3i + 2j E3) v = i + 3j – 2k E4) a) v = v1 + 2v2 b) Impossível c) m=4 1.4. PRODUTO ESCALAR

Chama-se produto escalar (ou produto interno usual) de dois vetores u e v o número real representado por u . v ou < u , v > e calculado pela soma dos produtos das componentes correspondentes dos vetores.

Se u = (x1, y1) 2ℜ∈ e v = ( x2, y2 ) 2ℜ∈ então u.v = x1.x2 + y1.y2 .

Se u = (x1, y1 , z1) 3ℜ∈ e v = ( x2 , y2 , z2) 3ℜ∈ então u.v = x1.x2 + y1.y2 + z1.z2. E1) Determinar u . v ,sabendo que u = (1, -2) e v = (4,2).

E2) Dados os pontos A(1,-2,0) , B(2,-1,-2) e C(4 ,2 ,1), calcular →→

BC.AB . PROPRIEDADES DO PRODUTO ESCALAR a) u . v = v . u b) u .( v + w ) = u . v + u . w c) α ( u . v ) = (α u ). v = u .(α v ), com ℜ∈α d) u.u = | u |2 1.5. MÓDULO DE UM VETOR

Chama-se módulo(ou comprimento) do vetor v o número real não negativo calculado por v.v .

No 2ℜ , se v =(x,y ) então 22 yx|v| += .

No 3ℜ , se v =(x,y,z ) então 222 zyx|v| ++= .

E3) Dados os vetores u = (1,-2,2) e v = (4,3), calcular | u | e | v | .

E4) Dados os pontos A(1,3,0) e B(-2,m, -2), calcular m para que |→

AB | = 7. PROPRIEDADES DO MÓDULO: a) | u | ≥ 0 e | u | = 0 ⇔ u = 0

b) | -u | = | u |

c) | uα | = |α |.| u |

3

d) | u + v | ≤ | u | + | v |

1.6. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS

A distância d e ntre dois pontos A e B é o comprimento do vetor →

AB .

No 2ℜ , se A(x1, y1 ) e B( x2 , y2 ) então →

AB =(x2 -x1 , y2 -y1 ) e dAB = 212

212 )yy()xx( −+− .

No 3ℜ , se A(x1, y1 , z1) e B( x2 , y2 , z2) então →

AB =(x2 -x1 , y2 -y1 , z2 - z1) e

dAB = 212

212

212 )zz()yy()xx( −+−+− .

E5) Determinar no eixo das ordenadas um ponto eqüidistante dos pontos A(1,-3,7) e B(5,7,-5). E6) Determine o ponto do plano eqüidistante dos pontos (-1,-2) , (1,0) e (3,-2). 1.7. ÂNGULO DE DOIS VETORES

Se u 0≠ , v 0≠ e θ é o ângulo dos vetores u e v , com °≤≤° 1800 θ . v v – u Da lei dos co-senos: |u – v|2 = |u|2 + |v|2 – 2|u|.|v| cosθ (1) θ u Mas |u – v|2 = (u – v).(u – v) = u.u – 2u.v + v.v = |u|2 – 2 u.v + |v|2 (2)

Comparando (1) e (2): u.v =|u|.|v| cosθ ou cos θ =|v|.|u|

v.u.

E7) O que se pode afirmar sobre u.v, se °<<° 900 θ . E8) O que se pode afirmar sobre u.v, se °<<° 18090 θ . E9) O que se pode afirmar sobre u.v, se °= 90θ . E10) O que se pode afirmar sobre u e v, se °= 0θ . E11) O que se pode afirmar sobre u e v, se °= 180θ . E12) Calcular os ângulos entre os vetores u e v , sendo: a) u =(1,2) e v =(-1,2) b) u =(2,-1) e v =(1,2) c) u =(0,2) e v =(0,1) d) u =(1,1,4) e v =(-1,2,2) e) u =(2,-1,2) e v =(-1,2,2) f) u =(0,2,4) e v =(0,1,2)

E13) Sabendo que o ângulo entre os vetores u =(2,1,-1) e v =(1,-1,m+2) é3π

, calcular m.

1.8. VETORES ORTOGONAIS

Seu é ortogonal a v , o ângulo θ entre os vetores u e v é 90o e portanto, u .v = 0. u ⊥ v ⇔ u . v = 0 E14) Dados os vetores u = (1,-2,2) e v = (4,m,-5), calcular m para que u e v sejam ortogonais. E15) O triângulo de vértices A(5,1,5), B(4,3,2) e C(-3,-2,1) é retângulo? E16) Determinar um vetor ortogonal ao vetor )2,1,3(w −= . 1.9. RESPOSTAS E1) 0. E2) –1. E3) 3 e 5. E4) m = -3 ou m = 9. E5) (0,2,0). E6) (1,-2). E7) u.v > 0. E8) u.v < 0. E9) u.v = 0. E10) Paralelos de mesma direção e mesmo sentido.

4

E11) Paralelos de mesma direção e sentidos contrários. E12) a) θ = arc cos (3/5). b) 90o c) 0o d) 45o e) 90o f) 0o E13) m = -4. E14) m = -3. E15) SIM. E16) qualquer v = (a,b,c), tal que b = 3a –2c.

2. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL 2.1. SUBESPAÇO VETORIAL GERADO

E1) Sejam os vetores )2,1,2(v1 −= , )2,3,0(v2 −= e )0,2,4(v3 = .

a) Determine os vetores do 3ℜ que podem ser escritos como CL dos vetores 1v , 2v e 3v .

b) Determine os vetores do 3ℜ que podem ser escritos como CL dos vetores )0,1,2(vev 43 = .

Seja A = { }n21 v,..,v,v um conjunto de vetores de um espaço vetorial V, e seja

S = { }ℜ∈+++=∈ inn2211 a,va...vavav/Vv . O conjunto S, também representado por G(A) ou

[ n21 v,...,v,v ], é denominado subespaço vetorial gerado por A ou pelos vetores n21 v,...,v,v .

E2) Se V = 2ℜ , determine o subespaço gerado por: a) )2,1(v1 = b) )2,1(v1 −= e )2,1(v2 −= c) )0,1(v1 = e )2,2(v2 =

d) )2,1(v1 = , )1,1(v2 = e )1,1(v3 −= e) )2,1(v1 = e )1,0(v2 −=

E3) Se V = 3ℜ , determine o subespaço gerado por: a) )2,3,1(v1 = b) )2,3,1(v1 = e )4,6,2(v2 −−−= c) )2,1,1(v1 −= e )1,1,1(v2 = d) )1,1,1(v1 −= , )2,2,2(v2 −−= e )1,1,1(v3 = e) )0,0,1(v1 = , )0,2,0(v2 = e )3,0,0(v3 =

f) )0,1,1(v1 = , )1,1,0(v2 = , )1,1,1(v3 = e )1,0,2(v4 −= 2.2. RESPOSTAS E1) a) 3v ℜ∈∀ b) v=(2y,y,0) , y ℜ∈

E2) a) { }x2y/)y,x( 2 =ℜ∈ b) { }x2y/)y,x( 2 −=ℜ∈ c) 2ℜ d) 2ℜ e) 2ℜ

E3) a) { }x2zex3y/)z,y,x( 3 ==ℜ∈ b) { }x2zex3y/)z,y,x( 3 ==ℜ∈

c) { }0z2y3x/)z,y,x( 3 =+−ℜ∈ d) { }xz/)z,y,x( 3 =ℜ∈ e) 3ℜ f) 3ℜ

2.3. DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA LINEAR

Sejam os vetores n21 v,...,v,v de um espaço vetorial V e a equação 0va...vava nn2211 =+++ (1). Os vetores n21 v,...,v,v são ditos linearmente independentes (LI) caso a equação (1) admita

apenas a solução trivial 0a...aa n21 ==== . Se a equação (1) admitir soluções distintas da trivial, então os vetores n21 v,...,v,v são ditos

linearmente dependentes (LD).

E1) Verifique se os vetores são LI ou LD. a) )3,2,1(v1 = e )6,4,2(v2 −−−= b) )2,1,0(v1 = , )3,2,1(v2 = e )0,3,1(v3 =

c) )2,1,1(v1 −= , )3,0,2(v2 = e )1,2,0(v3 −=

5

2.4. PROPRIEDADES

a) Um conjunto com dois ou mais vetores é LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores é CL dos demais.

b) Se um dos vetores de um conjunto é o vetor nulo então este conjunto é LD. 2.5. RESPOSTAS E1) a) LD b)LI c) LD 2.6. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL Seja B = { }n21 v,...v,v um subconjunto de um espaço vetorial V. B é uma base de V, se: a) B é LI; b) B gera V. E1) Seja B o conjunto dado pelos vetores v1 = (1,0), v2 = (-2,0) e v3 = (1,2). Verifique se B é uma base do 2ℜ . a) B = { 1v } b) B = { 1v , 2v } c) B = { 1v , 2v , 3v } d) B = { 1v , 3v }

E2) Seja B o conjunto formado pelos vetores )0,2,1(v1 = , )1,1,0(v2 = , )0,0,1(v3 −= e )1,1,1(v4 −= .

Verifique se B é uma base do 3ℜ . a) B = { 1v , 2v } b) B = { 1v , 2v , 3v } c) B = { 1v , 2v , 4v } d) B = { 1v , 2v , 3v , 4v }

2.7. PROPRIEDADES 1. Todo conjunto LI de vetores de um espaço vetorial é uma base do subespaço por ele gerado. 2. Se B = { 1v , 2v ,..., nv } é uma base de um espaço vetorial V, então todo subconjunto de V com mais de “n” vetores é LD. 3. Se B = { 1v , 2v ,..., nv } é uma base de um espaço vetorial V, qualquer vetor de V se escreve de modo único como combinação linear dos vetores de B. 4. Todas as bases de um espaço vetorial V têm o mesmo número de vetores. Exemplo: Qualquer base do 2ℜ tem 2 vetores e qualquer base do 3ℜ tem 3 vetores. Observações:

a) No sistema de eixos adotado no 2ℜ , temos dois vetores padrão i = (1,0) e j = (0,1). y 1 j = (0,1) 1 0 i = (1,0) x b) No sistema de eixos adotado no 3ℜ , temos três vetores padrão i = (1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1). z 1 k = (0,0,1) 1 0 j = (0,1,0) y 1 i = (1,0,0) x

6

c) Os vetores i = (1,0) e j = (0,1) formam a denominada base canônica do 2ℜ , enquanto que os vetores i =

(1,0,0), j = (0,1,0) e k = (0,0,1) formam a denominada base canônica do 3ℜ . Os vetores i, j e k também são representados, respectivamente, por e1, e2 e e3. 2.8. RESPOSTAS E1) a) Não b) Não c) Não d) Sim E2) a) Não b) Sim c) Não d) Não

3. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 3.1. TRANSFORMAÇÃO LINEAR

Sejam V e W espaços vetoriais. Uma função f de V em W é chamada transformação linear (TL) , se i) f(u+v) = f(u) + f(v), Vv,u ∈∀ ii) f(α u) = α f(u), ℜ∈∀α e Vu ∈∀

No caso de V = W, f é chamada operador linear sobre V. E1) Mostre que as transformações abaixo são lineares: a) f: ℜ→ℜ , dada por f(x) = 2x b) f: 22 ℜ→ℜ , dada por f(x,y) = (x ,0). E2) Quais das seguintes transformações são lineares ?

a) f(x)= 2x + 1 b)f(x,y) = xy c)f(x,y,z) = ( 0 , 0 , z ) d)f(x,y) = | x+y | E3) Numa TL f: V → W, f (u) =2u e f(v)=3v , calcule : a) f(u+v) b) f(3u) c) f(u -v) d) f(2u+5v)

PROPRIEDADES a) Se f: V→ W é uma TL então f(0V) = 0W. b) Em qualquer TL, a imagem de uma combinação linear de vetores é igual a combinação linear das imagens com os mesmos coeficientes, isto é, f(a1v1 + a2v2 + ... + anvn) = a1f(v1) + a2f(v2) + ...+ anf(vn).

E4) Se f: 32 ℜ→ℜ é linear e u = (1,2), v = (-1,3), f(u) = (2, -1,-2) e f(v) = (-2,-4,-3) calcule: a) f(u+v) b) f(3u) c) f(2,4) d) f(2u-3v) 3.2. MATRIZ NATURAL OU MATRIZ CANÔNICA

Seja a matriz A=

−

−

4503

12

. Se pensarmos na matriz A como um objeto que atua sobre um vetor v

=

yx

, por multiplicação, o resultado será o vetor u = Av =

−

−

y4x5x3

yx2

. Logo, a matriz A define uma

transformação f: 32 ℜ→ℜ , onde f(v) = A.v ou f(x,y) = (2x-y,3x,5x-4y). Pode-se mostrar que essa transformação é linear.

Toda matriz Amxn define uma TL f: mn ℜ→ℜ , com f(v) = A.v. Neste caso, A é chamada matriz natural ou matriz canônica de f e A pode ser representada também por [f]. As linhas de A são, respectivamente, os coeficientes das componentes da imagem de f.

7

E5) Seja a matriz A =

−354321

, determine :

a) a lei da TL definida por A. b) a imagem de v = (1,-1,1), usando a matriz A. c) a imagem de v = (1,-1,1), usando a lei. d) o vetor u, tal que f(u) = 0. E6) Escreva a matriz natural associada a transformação linear f (x,y) = (x+2y,x-y,3x-5y) E7) Escreva a matriz natural associada a transformação linear:

a) f(x,y,z)=(x+y-z,0) b) f(x)=(2x,0,-x) c) f(x,y)=x+y d) f(x)=3x

E8) Um operador linear no 2ℜ é definida pela matriz [ ]

−=

1021

f . Determine u e v , tal que :

a) f(u)=u b) f(v)=-v

E9)Um operador linear no 3ℜ é definido pela matriz

−

−−−

=

301

121211

A . Determine v e w tais que:

a) f(v) = 0 b) f(w) = (2,-1,-3)

E10)Um operador linear é definido pela matriz A =

4312

. Determine v ≠ 0 e u ≠ 0 tal que:

a) Av = 5v b) Au = -2u 3.3. TL DEFINIDA PELAS IMAGENS DOS VETORES DA BASE CANÔNICA

Uma TL f está perfeitamente definida quando são conhecidas as imagens dos vetores da base canônica do domínio de f e, nesse caso, as imagens dos vetores da base canônica são, respectivamente, as colunas da matriz canônica de f. E11) Seja f: 32 ℜ→ℜ a TL definida por f(1,0) = (3,2,1) e f(0,1) = (-2,4, -3). Determine: a) f(5,4) b) f(x,y) c) f(5,4) pela lei E12) Seja f: 23 ℜ→ℜ a TL definida por f(1,0,0) = (2,3), f (0,1,0) = (-4,1) e f(0,0,1) = (-2,-1) . Encontre f(x,y,z) e [f]. E13) Seja f a TL definida por f(1,0) = (3,-2,1) e f(0,1) = (4,0,2). Encontre f(x,y) e [f]. E14) Seja f a TL definida por f(1,0,0) = (1,0), f (0,1,0) = (2,-1) e f(0,0,1) = (4,3). Encontre f(x,y,z) e [f]. 3.4. COMPOSTA DE DUAS TL

Sejam f1: V → W e f2: W → U transformações lineares. A composta de f2 com f1 é a TL f2of1: V → U definida por (f2of1)(v) = f2(f1(v)). W

w=f1(v)= [f1].v

f1 f2 [f1] [f2]

V U

f2of1 v u= f2(w)= [f2].[f1].v [f2of1] = [f2]. [f1] Importante:

A matriz que representa uma seqüência de TL é o produto das matrizes das TL na ordem inversa.

E15) Sejam os operadores lineares definidos por f1(x,y) = (3x+y , y-x) e f2(x,y) = (2x-y , 3x). a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1.

8

b) as leis das compostas f1of2 e f2of1. E16) Sejam as TL dadas por f1(x,y) = (2x +3y , x+y , 2x) e f2(x,y,z) = ( x-y , y -z). Determine: a) as matrizes das compostas f1of2 e f2of1.

b) as leis das compostas f1of2 e f2of1. 3.5. RESPOSTAS E2) a) Não b) Não c) Sim d) Não E3) a) 2u + 3v b) 6u c) 2u – 3v d) 4u + 15v E4) a) (0,-5,-5) b) (6,-3,-6) c) (4,-2,-4) d) (10,10,5) E5) a) f(x,y,z) = (x + 2y – 3z, 4x + 5y + 3z) b) (-4,2) c) (-4,2) d) (-7z,5z,z) , z ℜ∈

E6) A =

−−5311

21

E7) a) A =

−000111

b) A =

− 10

2

c) A = [ ]11 d) A =[3]

E8) a) (y , y) , y ℜ∈ b) (x , 0) , x ℜ∈ . E9) a) (3z , z , z) , z ℜ∈ b) (3z – 3 , z – 1 , z) , z ℜ∈ E10) a) (x , 3x) x ℜ∈ b) NE E11) a) (7 , 26 , -7) b) f(x,y) = (3x – 2y , 2x + 4y , x – 3y) c) (7 , 26 , -7)

E12) f(x,y,z) = (2x– 4y–2z,3x+y–z ), [ f ] =

−−−

113242

.

E13) f(x,y) = (3x+4y,-2x,x+2y), [ f ] =

−

2102

43

. E14) f(x,y,z) = (x+2y+4z,–y+3z), [ f ] =

− 310

421.

E15) a)

−1139

e

3917

b) b) f(x,y) = (9x - 3y , x + y ) e f(x,y) = (7x + y , 9x + 3y)

E16) a)

−−

−

022101

312

e

− 11

21 b) f(x,y,z) = (2x + y - 3z , x – z , 2x – 2y ) e f(x,y) = (x + 2y , -x + y)

4. VETORES PRÓPRIOS E VALORES PRÓPRIOS

4.1. DEFINIÇÃO

Seja f:V→ V um operador linear. Um vetor não-nulo v∈V é chamado vetor próprio ou autovetor de f se existe ℜ∈λ , tal que f(v) = λ v. O real λ é chamado valor próprio ou autovalor de f associado ao vetor próprio v. E1) Considere a figura abaixo e identifique os vetores próprios e o s valores próprios correspondentes do operador linear f. y f(v2) v3 f(v3) v1 v2 0 x f(v1)

9

E2) Mostre que se v é um vetor próprio de um operador linear f associado ao valor próprio λ então qualquer vetor α v, com α 0≠ , é também vetor próprio associado ao mesmo λ . E3) Sejam v 1 = (2, 3) e v2 = (1, -1), vetores próprios de um operador linear associados aos valores próprios λ 1

= 4 e λ 2 = -1, respectivamente. Encontre: a) f(4 , 6) b) f(2 , -2) c) f(2/3 , 1) d) f(1/2 , -1/2) E4) Verifique se o vetor v é vetor próprio da matriz A e determine, se possível, o valor próprio correspondente.

a) v = (5, 2), A =

1254

b) v = (1, 2), A =

2321

4.2. DETERMINAÇÃO DOS VALORES E VETORES PRÓPRIOS

Seja f:V→ V um operador linear e [f] = A . Determinação dos Valores próprios: f(v) = λ v ⇔ A.v = λ v ⇔ A.v - λ v = 0 ⇔ A.v - λ I.v = 0 ⇔ (A - λ I).v = 0.

O sistema homogêneo correspondente admitirá soluções v 0≠ se, e somente se, det(A - λ I) = 0 (1). A equação (1) é chamada equação característica de f e suas raízes são os valores próprios de f.

Determinação dos Vetores próprios:

Os vetores próprios são as soluções da equação (A - λ I).v = 0 para cada valor próprio encontrado. Exemplo: Encontre os valores e vetores próprios do operador linear definido por f(x,y) = (3x,4x+y). Solução:

Cálculo dos valores próprios : det(A - λ I) = 0

A =

1403

⇒ A - λ I =

−

−λ

λ14

03 ⇒ det(A - λ I) =

λλ

−−

1403

= 0 ⇔ 0342 =+− λλ ⇔

λ 1= 1 ou λ 2= 3

Cálculo dos vetores próprios:

(A - λ I).v = 0 Para λ 1 = 1 e v = (x,y)

(A - λ I).v = 0 ⇔

0402

.

=

00

yx

⇔ v = (0,y), com 0y ≠ .

Para λ 2 = 3 e v = (x,y)

(A - λ I).v = 0 ⇔

− 24

00.

=

00

yx

⇔ v = (x,2x), com 0x ≠ .

E5) Calcule os valores e vetores próprios :

a) do operador linear definido por f(x,y) = (4x + 5y , 2x + y)

10

b) do operador linear definido por f(x,y) = (x + 2y , 3x + 2y) c) do operador linear definido por f(x,y,z) = (x , -2x - y , 2x + y + 2z)

d) da matriz A =

040900

000

E6) Sabendo que λ = 2 é valor próprio de A =

321141

123

calcule os vetores próprios correspondentes.

4.3. RESPOSTAS E1) v1=(2,2), 11 −=λ e v2=(4,2), 22 =λ . E3) a) (16,24) b) (-2,2 ) c) (8/3,4) d) ( -1/2 , 1/2 ) E4) a) Sim 6=λ b) Não E5) a) 11 −=λ , 0x),x,x(v1 ≠−= e 62 =λ e )t2,t5(v2 = , 0t ≠

b) 11 −=λ , 0x),x,x(v1 ≠−= e 42 =λ e )t3,t2(v2 = , 0t ≠ c) 11 −=λ , 0z),z,z3,0(v1 ≠−= e 12 =λ e )z,z,z(v2 −= , 0z ≠ e 23 =λ , 0z),z,0,0(v3 ≠=

d) 61 −=λ , 0t),t2,t3,0(v1 ≠−= e 02 =λ e )0,0,x(v2 = , 0x ≠ e 63 =λ , 0t),t2,t3,0(v3 ≠= E6) v= (x ,y ,- x - 2y), com x e y não simultaneamente nulos

5. BIBLIOGRAFIA ANTON, Howard, RORES, Chris. Algebra Linear com aplicações. 8.ed. Ed. Bookman.

BOLDRINI, José Luiz; COSTA, Sueli I. Rodrigues;Ribeiro,Vera Lúcia S.S.;Wetzler,Henry G. Algebra Linear. Ed. Harbra, 1980.

KOLMAN, Bernard. Introdução à Algebra Linear com aplicações. 6.ed. Ed. Prentice-Hall do Brasil, 1998.

LAY, David C. Algebra Linear e suas aplicações. 2. Ed. Livros Técnicos e Científicos S. A., 1999.

MOREIRA, Francisco Leal. Álgebra linear e geometria analítica, Material Didático, FAMAT/PUCRS, 2004.

STEINBRUCH, Alfredo, WINTERLE, Paulo. Álgebra linear. McGraw-Hill, 1987.