1 Princ pio de An alise Exerc cios de Matem...

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Princıpio de AnaliseExercıcios de Matematica

David Armando Zavaleta Villanueva

Durante a elaboracao deste trabalhoo autor recebeu auxılio financeiro da FAPERN.

PrefacioEstas notas foram escritas durante os dois anos de experiencia lecionando a disciplina

analise para o curso de bacharelado em matemarica no departamento de Matematica da UFRN.

A publicacao desta apostila foi financiada totalmente pela FAPERN.

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Sumario

1 Introducao 5

2 Preliminares 62.1 Elementos da Teoria de Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.1 Definicoes Principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.2 Operacoes sobre Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.1.3 Produto Cartesiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4 Conjuntos Finitos e Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.5 Conjuntos Enumeravies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3 Numeros Reais 143.1 Numeros Naturais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Numeros Inteiros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Numeros Racionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3.1 Supremo e Infimo de um Conjunto em Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Numeros Reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.1 Numeros irracionais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.2 Propriedade Arquimediana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.4.3 Valor Absoluto de um Numero Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.4.4 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.4.5 R nao e Enumeravel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4 Sequencias e Series Numericas 284.1 Progressao Aritmetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2 Progressao Geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 304.3 Definicao de Sequencias Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324.4 Sequencias Monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.5 Limite de uma Sequencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.6 Operacoes com Sequencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.7 Existencia do Limite de uma Sequencia Monotona Limitada . . . . . . . . . . . 364.8 O numero e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.9 Criterio de Cauchy para a Existencia do Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.10 Teorema de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.11 Series Numericas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.11.1 Definicoes Basicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.11.2 Operacoes com Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

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4.11.3 Series com Termos Positivos. Criterios de Convergencia . . . . . . . . . . 404.12 Series Alternadas. Teorema de Leibnitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5 Funcoes e suas Propriedades 465.1 Conceitos Basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1.1 Funcao Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 495.1.2 Funcao Composta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.1.3 Algumas Funcoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2 Funcao Par e Funcao Impar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.3 Funcao Limitada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.3.1 Propriedades das Funcoes Limitadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.4 Funcoes Monotonas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.5 Maximos e Mınimos de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.6 Funcoes Periodicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 725.7 Funcoes Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.7.1 Propriedades das Funcoes Convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

6 Graficos de Funcoes 796.1 Propriedades e Grafico das Funcoes Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 796.2 Metodos Simples para Construir os graficos das funcoes . . . . . . . . . . . . . . 896.3 Transformacao do Grafico da Funcao y = f(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.4 Grafico de Funcoes mais Complexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

7 Topologia na Reta 1117.1 Conjuntos Abertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.2 Conjuntos Fechados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.2.1 Pontos de Acumulacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.3 Conjuntos Compactos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

8 Limite de uma Funcao. Continuidade de uma Funcao 1188.1 Limite de uma Funcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1188.2 Propriedades dos Limites das Funcoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1218.3 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1248.4 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.5 Funcoes Contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.6 Principais Teoremas sobre Funcoes Contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1298.7 propriedades das Funcoes Contınuas num Intervalo . . . . . . . . . . . . . . . . 131

9 Derivada e suas aplicacoes 1339.1 Definicao da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1339.2 Principais Regras para Calcular a Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1359.3 Interpretacao Geometrica da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1389.4 Derivada das Funcoes Compostas e Inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.5 Tabela das Derivadas e Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1439.6 Analise das Funcoes e Construcao de Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

9.6.1 Construcao de Graficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.7 Formas Indeterminadas0

0,∞∞

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3

9.8 Aplicacoes da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

10 Integral e suas Aplicacoes 16310.1 Definicao da Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

10.1.1 Somas de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16510.2 Relacao entre a Integral Definida e a Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . 167

10.2.1 Propriedades da Integral Indefinida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.2.2 Tabela das Integrais Elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16710.2.3 Regra de Integracao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16910.2.4 Regra de Mudanca de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

10.3 Propriedades da Integral Definida das Funcoes Contınuas . . . . . . . . . . . . . 17210.3.1 Teorema do Valor Medio para Integrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17510.3.2 O Teorema Fundamental do Calculo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17710.3.3 Regra de Mudanca de Variaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17810.3.4 Regra de Integracao por Partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10.4 Aplicacoes da Integral definida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.4.1 Calculo de Areas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.4.2 Comprimento de Arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17910.4.3 Calculo de Volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

Referencias Bibliograficas 180

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Capıtulo 1

Introducao

Este livro sera um verdadeiro ajudante para resolver alguns problemas de analise. Ele foiescrito fundamentado na experiencia do ensino da disciplina de analise do curso de bachareladoem matematica da UFRN.

No comeco de cada capıtulo damos as definicoes necessarias e uma breve teoria. O materialteorico ilustra-se com um grande numero de exemplos e problemas de diferentes dificuldades.No possıvel, os tipos de problema e metodos de sua solucao sao sistematizados. Em Cada finalde capıtulo propoem-se exercıcios que podem ser resolvidos usando os metodos apresentadosanteriormente.

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Capıtulo 2

Preliminares

2.1 Elementos da Teoria de Conjuntos

2.1.1 Definicoes Principais

A definicao de conjunto desempenha um papel importante na matematica. A ideia deconjunto e intuitiva e tao amplia que resulta difıcil dar uma definicao exata, motivo pela qual,e comum associar a palavra ”conjunto” com expresoes como colecao, classe, sistema,etc.

Designemos os conjuntos com letras maiusculas: A,B,C, . . . e seus elementos com letrasminusculas:a, b, c, . . .. Dizer que o elemento a pertence ao conjunto A, denotamos por a ∈ A,se o elemento a nao pertence ao conjunto A, denotamos por a /∈ A.

Definicao 2.1.1 Dizemos que um conjunto A e subconjunto de B ou A e parte de B quandotodos os elementos que pertencem a A, tambem pertencem a B(nao esta excluido o caso A = B).

A notacao que usamos para dizer que A e subconjunto de B e A ⊂ B. Dizemos que doisconjuntos A e B sao iguais se;

A = B ⇐⇒ A ⊂ B e B ⊂ A

E muito conveniente introduzir um conjunto que nao possua nenhum elemento, que denotaremospor ∅. Assim por exemplo o conjunto, cujos elementos x ∈ R satisfazem 1 + x2 = 0 e um umconjunto vazio, pois nao existe nenhum numero real que satisfaza a equacao 1 + x2 = 0.

O conjunto vazio ∅ e um subconjunto de qualquer conjunto.

2.1.2 Operacoes sobre Conjuntos

Admitamos a existencia de um a um conjunto universo U , isto e, o conjunto que contenhatodos os conjuntos arbitrarios com os quais desejamos trabalhar.

1. Reuniao de ConjuntosSejam A e B dois conjuntos arbitrarios; chama-se reuniao de A e B, A ∪ B ao conjuntoformado pelos elementos que pertencem pelo menos a um dos conjuntos A ou B. Emnotacao matematica podemos escrever a reuniao de A e B como sendo o conjunto

A ∪B = {x ∈ U ; x ∈ A ou x ∈ B}.

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A B

A U B

Analogamente podemos definir a reuniao de qualquer numero (finito ou infinito) de con-juntos; se Aα, α ∈ I, onde I = 1, 2, 3, . . . sao conjuntos arbitrarios, entao ∪α∈IAα e acolecao de elementos, cada um dos quais pertence ao menos a um dos conjuntos Aα.

2. Intersecao de ConjuntosSejam A e B dois conjuntos arbitrarios; chama-se intersecao de A e B, A∩B ao conjuntoformado pelos elementos que pertencem tanto ao conjunto A como ao conjunto B. Emnotacao matematica podemos escrever a intersecao de A e B como sendo o conjunto

A ∩B = {x ∈ U ; x ∈ A e x ∈ B}.

Analogamente podemos definir a intersecao de qualquer numero (finito ou infinito) deconjuntos; se Aα, α ∈ I, onde I = 1, 2, 3, . . . sao conjuntos arbitrarios, entao ∩α∈IAαe a colecao de elementos, cada um dos quais pertence aos conjuntos Aα. Uma nocaoimportante na intersecao de conjuntos e a definicao de conjuntos disjuntos: Diz-se quedois conjuntos A e B sao conjuntos disjuntos quando sua intersecao e vazia, ou de outraforma A ∩B = ∅.Evidentemente, podemos estender esta definicao para uma famılia de conjuntos disjuntos:Uma famılia de conjuntos Aα e dita de conjuntos disjuntos se ∩α∈IAα = ∅.

3. Diferenca de dois ConjuntosSejam A e B dois conjuntos arbitrarios; chama-se diferenca de A e B, A\B ao conjuntoformado pelos elementos que pertencem ao conjunto A mas nao pertencem ao conjunto B.Em notacao matematica podemos escrever a diferenca de A e B como sendo o conjunto

A\B = {x ∈ U ; x ∈ A e x /∈ B}.

E conveniente introduzir tambem a chamada diferenca simetrica de dois conjuntos. SejamA e B dois conjuntos arbitrarios; chama-se diferenca simetrica de A e B, A4B ao conjunto

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A B

Figura 2.1: A ∩B

A B

Figura 2.2: A\B

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formado pelo uniao das diferencas A\B e B\A. Em notacao matematica podemos escrevera diferenca simetrica de A e B como sendo o conjunto

A4B = (A\B) ∪ (B\A).

A B

Figura 2.3: A4B

4. Complementar de um ConjuntoSeja A um conjunto arbitrario. O complementar de A, A′ e o conjunto diferenca U\A.

No caso do complementar entre dois conjuntos, definimos da seguinte forma; Sejam A eB dois conjuntos tais que A ⊂ B; chama-se conjunto complementar de A em B, CABdefinido por

B\A = CAB.

Na teoria dos conjuntos e suas aplicacoes desempenha uma ferramenta muito importanteo chamado Prıncipio de Dualidade ou Leis de De Morgan que se baseiam nas seguintesafirmacoes:

• O complementar da reuniao e igual a intersecao dos complementares(⋃α

Aα

)′=⋂α

(Aα)′.

• O complementar da intersecao e igual a uniao dos complementares(⋂α

Aα

)′=⋃α

(Aα)′.

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2.1.3 Produto Cartesiano

Pelo conceito de igualdade de conjuntos, a ordem em que os elementos de um conjunto saoenumerados nao e muito importante, por exemplo os conjuntos {2, 5, 7} e {5, 7, 2} sao iguais.Entretanto ha alguns casos em matematica em que a ordem dos elementos e importante. Umdesses conceitos e o denominado par ordenado.

Definicao 2.1.2 Dados dois elementos a e b. O par ordenado (a, b) e definido quando ficadeterminado que a sera o primeiro elemento e b o segundo elemento.

Por exemplo em Geometria Analıtica o par ordenado (2, 5) indica que 2 e a primeira coordenadae 5 a segunda coordenada, e e diferente do par ordenado (5, 2).

Dois pares ordenados (a, b) e (c, d) sao iguais quando;

(a, b) = (c, d) ⇐⇒ a = c e b = d.

Definicao 2.1.3 Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano dos conjuntos A e B e oconjunto A×B definido como

A×B = {(a, b); a ∈ A e b ∈ B}.

Exemplo 2.1 Consideremos os conjuntos A = {2, 5, 8} e B = {3, 9}. Teremos entao;

A×B = {(2, 3), (2, 9), 5, 3), (5, 9), (8, 3), (8, 9)}.

2.1.4 Conjuntos Finitos e Infinitos

Quando consideramos diferentes conjuntos, podemos determinar seus elementos ou indicara propriedade que satisfazem seus elementos, assim, em alguns casos podemos indicar o numerode elementos que compoem o conjunto. Por exemplo, o conjunto dos alunos da disciplina deanalise da UFRN, o conjunto dos sortudos da loteria federal, o conjunto dos campeoes mundiasde futebol, etc. Todos estes exemplos sao conjuntos finitos.

Podemos comparar entre si dois conjuntos finitos da seguinte forma; contamos os elementosdo primeiro conjunto e o comparamos com os elementos do segundo conjunto. No caso de serigual o numero de elementos dos dois conjuntos, podemos estabelecer uma correspondenciabiunıvoca, isto e, estabelecer uma correspondencia que asigne a cada elemento de um conjuntoum elemento e somente um elemento do outro ou visceversa. Por exemplo, para verificar se onumero de ciclistas e o numero de bicicletas e igual, podemos sem contar o numero de ciclistase bicicletas sentar cada ciclista em uma bicicleta determinada. Se todos os ciclistas estaosentados em sua respectiva bicicleta e nao ha bicicleta sobrando, entao estabelecemos umacorrespondencia biunıvoca entre estes dois conjuntos, e isto significa que eles tem o mesmonumero de elementos.

Dizemos que um conjunto e infinito quando nunca paramos de contar seus elementos ouquando ele nao e finito. Assim, dado um conjunto finito arbitrario A, dizemos que B e infinitose nao existe uma correspondencia biunıvoca entre A e B. Exemplos de conjuntos infinitospodem ser o conjunto de retas no plano, o conjunto de polinomios com coeficientes racionais, oconjunto de pontos entre a linha AB, etc.

Proposicao 2.1.1 Todo subconjunto de um conjunto finito e finito.

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Prova: Sejam A o conjunto finito e B um subconjunto qualquer de A, B ⊂ A.Suponhamos A 6= ∅, caso contrario, ∅ ⊂ B, pois o conjunto vazio e subconjunto de qualquer

conjunto. Mas como B ⊂ A ou A ⊂ ∅, segue que B = ∅ e B e finito.Como A e finito, podemos contar seus elementos, isto e, podemos estabelecer uma corre-

spondencia biunıvoca com o conjunto {1, 2, . . . , n}, e como B ⊂ A, existe uma correspondenciabiunıvoca entre o conjunto B e o conjunto {l1, l2, . . . , lk}, onde k = 1, 2, . . . , n. Assim, B efinito.

2.1.5 Conjuntos Enumeravies

Seja N o conjunto dos numeros naturais. E facil de ver, que se o conjunto A e finito, entaoe enumeravel, pois podemos escrever A como A = {a1, a2, . . . , an}. Em geral, dizemos queum conjunto e enumeravel se existe uma correspondencia biunıvoca entre ele e o conjunto dosnumeros naturais. Em otras palavras, um conjunto enumeravel e um conjunto cujos elementospodemos escrever como uma sequencia, a1, a2, . . . , an, . . ..

Enunciemos algumas propriedades gerais dos conjuntos enumeraveis.

Proposicao 2.1.2 Todo subconjunto de um conjunto enumeravel e finito ou enumeravel.

Prova: Sejam A um conjunto enumeravel e B um subconjunto qualquer de A. Podemosescrever A como A = {a1, a2, . . . , an, . . .}. E seja B = {an1 , an2 , an3 , . . .}. Se o maximo dos nke um numero finito, dizemos que o conjunto B e finito e portanto enumeravel. Caso contrario,dizemos que B e enumeravel.

Proposicao 2.1.3 A uniao de qualquer famılia de conjuntos enumeraveis e enumeravel.

Prova: Seja Aα, α = 1, 2, 3, . . . , uma famılia de conjuntos enumeraveis disjuntos dois a dois,pois, caso contrario podemos considerar os conjuntos A1, A2\A1, A3\(A2 ∪A1), . . . cuja uniao eigual a

⋃αAα. Como os Aα sao enumeraveis, entao podemos escrever;

A1 = {a11, a12, . . . , a1n, . . .}A2 = {a21, a22, . . . , a2n, . . .}A3 = {a31, a32, . . . , a3n, . . .}

...An = {an1, an2, . . . , ann, . . .}

...

Agora passemos a enumerar todos os elementos da uniao⋃αAα em ”diagonais” da seguinte

forma; Tomemos o primeiro elemento a11, o segundo elemento a12, o terceiro elemento a21, oquarto elemento a31, etc., seguindo o sentido das setas que indicam o seguinte grafico;

Desta forma, cada elemento de cada conjunto estara em correspondencia com um numeronatural determinado, assim fica estabelecido uma correspondencia viunıvoca entre

⋃αAα e o

conjunto dos numeros naturais. Para uma maior vizualizacao, podemos escrever⋃αAα, como⋃

α

Aα = {a11, a12, a21, a31, a22, a13, . . .}

.

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a a

a a

a a a

a a

aa

a

a

a

a

a

aa

a a

11 12 13 14

a

a

a

a

a

15

21 22 23 24 25

31 32 33 34 35

41 42 43 44 45

51 52 53 54 55

2.2 Funcoes

No analise, o conceito de funcao e introduzido da seguinte maneira: Sejam A e B doisconjuntos arbitrarios. Diz-se que no conjunto A esta definida uma funcao f com valores em Bse a cada elemento x ∈ A corresponde um, e somente um elemento y ∈ B.

A notacao que usaremos para denotar que f e uma funcao de A em B e a seguinte;

f : A→ Bx 7→ f(x)

a notacao x 7→ f(x) e para indicar que f faz corresponder o elemento x ao elemento f(x).

Definicao 2.2.1 O conjunto A chama-se domınio da funcao e o conjunto B chama-se con-tradomınio da funcao e os definiremos como

Df = {x ∈ A; f(x) = y para algum y ∈ B}

eIm(f) = {y ∈ B; ∃x ∈ A tal que f(x) = y}

respectivamente.

Definicao 2.2.2 Uma funcao f : A → B chama-se injetiva se verificamos o seguinte: dadosx, y ∈ A, f(x) = f(y) segue que x = y.

Definicao 2.2.3 Uma funcao f : A→ B chama-se sobrejetiva se verificamos que Im(f) = B,ou em outras palavras, para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A, tal que f(x) = y.

E conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f e uma funcao do conjunto A ”sobre”o conjunto B se f(A) = B; no caso geral, quando f(A) ⊂ B, dizemos que f e uma funcao deA ”em” B.

Definicao 2.2.4 Uma funcao f : A→ B chama-se bijetiva quando e simultaneamente injetivae sobrejetiva.

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No capıtulo 5 faremos um estudo mais profundo sobre funcoes. A pequena introducao feitaacima sera util para mostrar algumas propriedades dos numeros naturais, inteiros, racionais ereais.

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Capıtulo 3

Numeros Reais

3.1 Numeros Naturais

Nesta secao estabeleceremos a definicao de numero natural. Suponhamos a existencia de umconjunto nao vazio N, chamado de numeros naturais, para o qual valem os seguintes axiomasde Peano:

1. 1 e um numero natural

2. Cada numero natural n possui um unico sucessor, que denotaremos por n′, n′ = n+ 1.

3. O numero natural 1 nao e sucessor de nenhum outro numero natural, 1 6= n′.

4. Se n e s sao numeros naturais tais que n′ = s′, entao n = s.

5. Princıpio de Inducao Seja A(n) uma afirmacao sobre n ∈ N, que cumpra asseguintes condicoes:

• A(1) e verdadeira, isto e, a afirmacao vale quando n = 1

• Se A(k) e verdadeira, entao A(k+1) e verdadeira, isto e, supondo que a afirmacao valepara n = k arbitrario, entao e possıvel provar qua a afirmacao vale para n = k + 1.

Nestas condicoes a afirmacao A(n) e verdadeira para qualquer n ∈ N.

Observacao 3.1.1 Para todo n ∈ N, n ≥ 1.

Definem-se em N duas operacoes: Adicao (+) e Multiplicacao (·). Estas duas operacoes satis-fazem as seguintes propriedades:

• Comutatividade: Sejam n,m ∈ N, entao

n+m = m+ n, e n ·m = m · n.

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• Associatividade: Sejam n,m, s ∈ N, entao

n+ (m+ s) = (n+m) + s, e n(m · s) = (n ·m)s.

• Lei do corte: Sejam n,m, s ∈ N, se

n+ s = m+ s, entao n = s, n · s = m · s, entao n = m.

• Distributibidade: Sejam n,m, s ∈ N, entao

n · (m+ s) = n ·m+ n · s.

Usemos o prıncipio de inducao para mostrar a veracidade de algumas formulas queaparecem no conjunto dos numeros naturais N.

Exemplo 3.1 Verifique a seguinte formula

1

1× 2+

1

2× 3+

1

3× 4+ . . .+

1

n× (n+ 1)=

n

n+ 1, ∀n ∈ N.

Prova: Escrevamos os termos1

n× (n+ 1)da seguinte forma:

1

1× 2= 1− 1

2,

1

2× 3=

1

2− 1

3,

1

3× 4=

1

3− 1

4, . . . ,

n

n× (n+ 1)=

1

n− 1

n+ 1.

Entao,1

1× 2+

1

2× 3+

1

3× 4+ . . .+

1

n× (n+ 1)=

=

(1− 1

2

)+

(1

2− 1

3

)+

(1

3− 1

4

)+ . . .+

(1

n− 1

n+ 1

)= 1− 1

n+ 1=

n

n+ 1.

Usemos inducao para provar a formula acima. Seja P (n) a afirmacao

1

1× 2+

1

2× 3+

1

3× 4+ . . .+

1

n× (n+ 1)=

n

n+ 1, ∀n ∈ N.

• A proposicao vale para n = 1, isto e, P (1) e verdadeira,1

1× 2=

1

1 + 1.

• Suponhamos que a afirmacao P (k) e verdadeira, e mostremos que P (k+ 1) e verdadeiro.De fato,

1

1× 2+

1

2× 3+

1

3× 4+ . . .+

1

k × (k + 1)+

1

(k + 1)× (k + 2)=

=k

k + 1+

1

(k + 1)× (k + 2)

=(k + 1)2

(k + 1)× (k + 2)

=k + 1

k + 2.

15

• Logo P (n) e verdadeira para todo n ∈ N.

Exemplo 3.2 Seja P (n) a seguinte afirmacao,

n3 − n e multiplo de tres, ∀n ∈ N.

Prova: Apliquemos de novo o metodo de inducao.

• A proposicao vale para n = 1, isto e, P (1) e verdadeira, 13 − 1 = 0 e multiplo de 3.


(k + 1)3 − (k + 1) = k3 + 3k2 + 3k + 1− k − 1= k3 + 3k2 + 2k= k3 + 3k2 − k + 3k= k3 − k + 3(k2 + k),

como k3 − k e multiplo de tres e 3(k2 + k) tambem, entao a soma de dois multiplos detres tambem e multiplo de tres.



1 + 2 + 3 + . . .+ n =n(n+ 1)

2∀n ∈ N.

Prova: Por inducao, temos

• A proposicao vale para n = 1, isto e, P (1) e verdadeira, 1 =1(1 + 1)

2


1 + 2 + 3 + . . .+ k + (k + 1) =k(k + 1)

2+ (k + 1)

=k(k + 1) + 2(k + 1)

2

=(k + 1)[k + 2]

2

=(k + 1)[(k + 1) + 1]

2.



2n > n2, ∀n ≥ 5.

Prova: Por inducao, temos

16

• A proposicao vale para n = 5, isto e, P (5) e verdadeira, 25 = 32 > 52 = 25.

• Suponhamos que a afirmacao P (k) e verdadeira, e mostremos que P (k+ 1) e verdadeiro,isto e, 2k+1 > (k + 1)2. De fato, escrevendo 2k+1 = 2× 2k > 2k2, basta provar que

2k2 ≥ (k + 1)2.

Assim,2k2 ≥ (k + 1)2 = k2 + 2k + 1 ⇐⇒ k2 ≥ 2k + 1 ⇐⇒

⇐⇒ k2 − 2k + 1 ≥ 2 ⇐⇒ (k − 1)2 ≥ 2

que vale para k ≥ 5.


Teorema 3.1.1 N e fechado com relacao a adicao.

Prova: dizer que N e fechado com relacao a adicao, significa que ∀n,m ∈ N, n+m ∈ N.Consideremos o seguinte conjunto,

M = {n ∈ N; n+m ∈ N, ∀m ∈ N}.

Usemos o prıncipio de inducao para mostrar o teorema.De fato, observamos que 1 ∈ N, pois m+ 1 ∈ N desde que m ∈ N.

Suponhamos que n ∈ N. Entao mostremos que para m ∈ N, temos n+m ∈ N.

(n+ 1) +m = 1 + (n+m) = (n+m) + 1 ∈ N,

assim, n+ 1 ∈M e isto mostra que M = N.

Teorema 3.1.2 N e fechado com relacao a multiplicacao.

Prova: Consideremos o seguinte conjunto,

M = {n ∈ N; nm ∈ N, ∀m ∈ N}.

Usemos o prıncipio de inducao para mostrar o teorema.De fato, observamos que 1 ∈ N, pois 1m = m ∈ N desde que m ∈ N.

Suponhamos que n ∈ N e fixemos m ∈ N. Entao mostremos que nm ∈ N.

(n+ 1)m = mn+m,

como n ∈ M, nm ∈ N e pela fechadura da adicao em N, temos que nm + 1 ∈ N, assim,n+ 1 ∈M e isto mostra que M = N.

Definimos no conjunto N a relacao ′′ <′′ da seguinte forma: Dados dois numeros naturaisn,m, a desigualdade n < m significa que existe s ∈ N tal que n + s = m. Dizemos neste casoque n e menor que m. Quando escrevemos n ≤ m significa que n < m ou n = m. Esta relacaode ”ordem” tem as seguintes propriedades:

17

1. Tricotomia: Dados n,m ∈ N, vale uma e somente uma, das seguintes afirmacoes:

n = m, ou n < m, ou m < n.

2. Monotonicidade: Dados n,m, s ∈ N e n < m, entao

n+ s < m+ s e sn < sm.

3. Transitividade: Dados n,m, s ∈ N e n < m,m < s, entao n < s.

A relacao de ordem tambem possui uma propriedade muito importante, chamada princıpioda boa ordenacao,

Propriedade da boa ordenacao. Todo subconjunto nao vazio de N possui um menorelemento, isto significa que se M ⊂ N e um conjunto, existe mo ∈M tal que mo ≤ m para todom ∈M .

O sistema dos numeros naturais apresenta uma deficiencia natural: dada uma equacao daforma m + x = n com n,m ∈ N, esta equacao nao sempre possui uma solucao em N. Porexemplo a equacao 4 + x = 9 tem como solucao x = 5 ∈ N, mas, a equacao 6 + x = 4 nao temsolucao no conjunto dos numeros naturais.

3.2 Numeros Inteiros

Nem sempre equacoes da forma n + x = m possuem solucao em N dados n,m ∈ N. Estadificuldade pode ser ”resolvida” se ampliarmos o conjunto dos naturais N para um conjuntomaior onde possamos resolver equacoes do tipo acima. Assim, podemos construir o conjuntodos numeros inteiros Z como o conjunto que contem o conjunto dos numeros naturais, e noqual estao definidas as operacoes de adicao e multiplicacao herdadas de N. Alem disto:

• Z possui um elemento neutro chamado zero, que denotaremos por 0, com a seguintepropriedade, n+ 0 = 0 + n = n, ∀n ∈ Z.

• Toda equacao da forma n + x = m admite uma unica solucao em Z, para quaisquern,m ∈ Z.

Como antes, o elemento 1 ∈ N e o elemento neutro com relacao a multiplicacao em Z, istoe, dado m ∈ Z, 1m = m1 = m.

Assim podemos entender o conjunto dos inteiros como sendo Z = N∪ {0} ∪ (−N), ou seja,

Z = N− N = {n−m; n,m ∈ N} = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.

Proposicao 3.2.1 O conjunto dos numeros inteiros Z e enumeravel.

Prova: Basta estabelecer uma correspondencia entre todos os numeros inteiros e todos osnumeros naturais. Por exemplo, o seguinte esquema estabelece essa correspondencia;

0 −1 1 −2 2 . . .1 2 3 −4 5 . . .

18

Em geral, podemos escrever explicitamente essa correspondencia como uma funcao f : Z→ Nbijetora da seguinte forma;

f(n) =

{2n+ 1, se n ≥ 0,2|n|, se n < 0.

O sistema dos numeros inteiros apresenta uma deficiencia obvia; dada uma equacao daforma mx = n com n,m ∈ Z, nao sempre possui uma solucao em Z. Por exemplo a equacao3x = 9 tem como solucao x = 3 ∈ Z, mas, a equacao 6x = 4 nao tem solucao no conjunto dosnumeros inteiros.

3.3 Numeros Racionais

Como vimos na secao anterior, nem sempre equacoes da forma nx = m possuem solucao emZ dados n,m ∈ Z. Esta dificuldade pode ser ”suprida” se ampliarmos o conjunto dos inteirosZ para um conjunto maior onde possamos resolver equacoes do tipo acima. Assim, podemosconstruir o conjunto dos numeros racionais Q como o conjunto que contem o conjunto dosnumeros inteiros, isto e,

Q = {mn

; m,n ∈ Z, n 6= 0}.

Uma fracao da forma m/1 pode ser identificada com o inteiro m. Esta identificacao, permitedizer que Q contem Z como um subconjunto proprio, isto e,

N ⊂ Z ⊂ Q.

Definimos as operacoes de adicao, multiplicacao e igualdade em Q da seguinte forma:

• Adicao:m

n+s

t=ms+ nt

nt, n 6= 0, t 6= 0.

• multiplicacao:m

n· st

=ms

nt, n 6= 0, t 6= 0.

• Igualdade:m

n=s

t⇐⇒ mt = ns, n 6= 0, t 6= 0.

Alem de satisfazer as propriedades associativa, comutativa e existencia dos elementos neutros(0 para a adicao e 1 para a multiplicacao), Q satisfaz as propriedades de existencia do elementoinverso aditivo e do inverso multiplicativo, isto e, se p ∈ Q, entao −p ∈ Q, e 1/p ∈ Q com,

p+ (−p) = 0, p(1/p) = 1.

Podemos definir um subconjunto Q+ em Q como sendo,

Q+ = {mn

; mn ∈ N},

isto e o subconjunto dos racionais positivos. Este conjunto possui as seguintes propriedades:

1. Q+ e fechado com relacao as operacoes de adicao e multiplicacao em Q, isto e,

p, q ∈ Q+, entao p+ q, pq ∈ Q+.

19

2. Dado p ∈ Q, temos que uma das afirmacoes a seguir e verdadeira:

ou p = 0 ou p ∈ Q+ ou − p ∈ Q+.

A relacao de ordem ′′ <′′ introduzida em Q : p < q se q− p ∈ Q+, generaliza a relacao deordem introduzida em Z que por sua vez generalizou a relacao de ordem introduzida em N.

Teorema 3.3.1 O conjunto Q e fechado com relacao as operacoes de adicao e multiplicacao.

Q, munido das operacoes de adicao e multiplicacao e satisfazendoos axiomas da relacao de ordem constitui um corpo ordenado.

A seguir mostremos tres propriedades importantes de Q.

Proposicao 3.3.1 Se p e q sao numeros racionais, tais que p < q, entao podemos encontrarinfinitos numeros racionais entr e p e q.

Prova Sendo p < q, podemos escolher um numero racional r =q − pn

, onde n ∈ N. Os

numeros racionaisp+ r, p+ 2r, . . . , p+ (n− 1)r

estao entre p e q, e como n e um numero natural qualquer, segue a afirmacao. Em particularse n = 2, temos

p <p+ q

2< q.

Proposicao 3.3.2 (Propriedae Arquimediana de Q) Se p e q sao dois numeros racionaispositivos, existe um inteiro positivo n tal que np > q.

Prova: Sejam p =m

re q =

s

tSuponhamos que m, r, s, t sejam maiores ou iguais a 1, pois p

e q sao positivos. Segue, entao que mt ≥ 1 ou 2mt ≥ 2 > 1. Multiplicando esta desigualdadepor rs, temos, 2mtrs > rs. Reescrevendo esta desigualdade por (2rs)p > q, e considerandon = 2rs, obtemos np > q.

Proposicao 3.3.3 O conjunto dos numeros racionais Q e enumeravel.

Prova: Seja α =p

q, q > 0 um numero racional arbitrario. Para evitar numeros repetidos

digamos que α seja irredutıvel. Chamaremos de altura do numero racional α a soma |p|+q. Dadefinicao de altura, observamos que o numero de fracoes de altura dada e finita. Por exemplo

a altura 3 tem 4 fracoes:2

1,1

2,−2

1,−1

2. Agora podemos organizar todos os numeros racionais

segundo sua altura, isto e, primeiro os numeros de altura 1, depois os numeros de altura 2, etc.Desta forma cada numero racional possui seu numero, e isto significa que esta estabelecida umacorrespondencia biunıvoca entre N e o conjunto dos numeros racionais Q.

20

3.3.1 Supremo e Infimo de um Conjunto em QPara mostrar algumas deficiencias algebricas do conjunto Q dos numeros racionais, intro-

duziremos algumas definicoes.

Definicao 3.3.1 Um subconjunto E de Q e dito limitado se existe um numero positivo M talque −M < x < M para todo x ∈ E.

Se para qualquer numero positivo M , existe xo ∈ E tal que xo > M , entao dizemos que oconjunto E e ilimitado.

Definicao 3.3.2 Um subconjunto E de Q e dito limitado superiormente se existe um numeroM tal que x ≤M para todo x ∈ E.

Um numero M nas condicoes da definicao anterior chama-se cota superior. E claro que numerosmaiores que M tambem sao cotas superiores para E.

Definicao 3.3.3 Um subconjunto E de Q e dito limitado inferiormente se existe um numeroK tal que x ≥ K para todo x ∈ E.

Um numero K nas condicoes da definicao anterior chama-se cota inferior. E claro que numerosmenores que K tambem sao cotas inferiores para E.

E evidente que um conjunto limitado E ⊂ Q e simultaneamente limitado inferiormente esuperiormente.

Definicao 3.3.4 Diz-se que α ∈ Q e um elemento mınimo(maximo) de E ⊂ Q se e uma cotainferior(superior) e alem disso α ∈ E.

Definicao 3.3.5 Diz-se que o numero β ∈ Q e o supremo de um conjunto limitado superior-mente E ⊂ Q se e a menor das cotas superiores e alem disso esse mınimo existe. Em outraspalavras, β = supE satisfaz,

1. β e uma cota superior para E, e

2. Se σ e outra cota superior para E, entao β ≤ σ.Esta segunda condicao pode ser substituida por;

(a) Se dado ε > 0 arbitrario, entao existe x ∈ E tal que β − ε < x.

E de verificacao imediata de que o supremo de um conjunto limitado superiormente, quandoexiste e unico, isto e,

Proposicao 3.3.4 Se um conjunto E ⊂ Q e limtado superiormente e possui supremo, ele eunico.

Prova: Sejam β1 e β2 dois supremos de E. Para qualquer ε > 0 obtem-se de 2(a) queβ1 − ε < x para algum x ∈ E. E por definicao de supremo, x ≤ β2, entao β1 − ε < β2, istoe, β1 < β2 + ε. Isto significa que β1 ≤ β2. De maneira analoga, trocando β1 e β2, obtemosβ2 ≤ β1. Portanto β1 = β2.

Analogamente define-se ınfimo de um subconjunto limitado inferiormente de Q.

21

Definicao 3.3.6 Diz-se que o numero α ∈ Q e o ınfimo de um conjunto limitado inferiormenteE ⊂ Q se e a maior das cotas inferiores e alem disso esse maximo existe. Em outras palavras,α = inf E satisfaz,

1. α e uma cota inferior para E, e

2. Se σ e outra cota inferior para E, entao α ≥ σ.Esta segunda condicao pode ser substituida por;

(a) Se dado ε > 0 arbitrario, entao existe x ∈ E tal que β + ε > x.

E de verificacao imediata de que o ınfimomo de um conjunto limitado inferiormente, quandoexiste e unico, isto e,

Proposicao 3.3.5 Se um conjunto E ⊂ Q e limtado inferiormente e possui ınfimo, ele e unico.

Uma deficiencia grande do corpo dos racionais e dada pela seguinte afirmacao,

Proposicao 3.3.6 Nao existe um numero racional cujo quadrado seja igual a 2.

Prova: Seja r =p

q∈ Q, onde p e q sao primos entre si, isto e MDC(p, q) = 1. Suponhamos que(

p

q

)2

= 2, entao p2 = 2q2. Como todo numero racional multiplicado por 2 e par, resulta que p2

e par, logo p e par e podemos escrever p = 2k, k ∈ Z. Portanto, de p2 = (2k)2 = 2 · 2k2 = 2q2,segue que 2k2 = q2. Daqui concluimos que q e par. Absurdo, pois p e q sao numeros primos.Portanto nao existe r ∈ Q tal que r2 = 2

O seguinte exemplo tambem explicita uma outra deficiencia dos numeros racionais. Trata-sede um conjunto E ⊂ Q que e limitado superiormente mas nao possui supremo e de um conjuntoF ⊂ Q que e limitado inferiormente mas nao possui ınfimo [1].

Exemplo 3.5E = {x ∈ Q; x > 0 e x2 < 2}E = {y ∈ Q; y > 0 e y2 > 2}

3.4 Numeros Reais

Ja vimos na secao anterior duas deficiencias do corpo dos racionais: nao existe um racionalcujo quadrado seja igual a 2 e existem conjuntos limitados superiormente que nao possuemsupremo e conjuntos limitados inferiormente que nao possuem ınfimo.

Vamos supor a existencia de um corpo ordenado que contenha propriamente Q, chamadode corpo dos numeros reais R, para o qual vale o seguinte resultado, conhecido como cortes deDedekind [2].

Teorema 3.4.1 Se o conjunto R dos numeros reais e dividido em dois conjuntos nao vaziosdisjuntos, isto e,

R = A ∪B, A ∩B = ∅tais que, todo a ∈ A e menor que qualquer b ∈ B, entao ou existe um numero c que e o maiorentre os numeros pertencentes a A e B nao tem menor elemento, ou existe um numero c quee o menor entre todos os numeros prtencentes a B, e A nao tem maior elemento.

22

Uma forma equivalente de expresar o teorema anterior e a afirmacao seguinte;

Teorema 3.4.2 Todo subconjunto E ⊂ R limitado superiormente(inferiormente) pelo numeroM(m), possui supremo(ınfimo).

Um corpo ordenado para o qual vale o teorema anterior, chama-se corpo ordenado completo.Assim R e um corpo ordenado completo.

3.4.1 Numeros irracionais

Definicao 3.4.1 Um numero chama-se irracional se nao e racional.

A notacao que usamos para denotar os irracionais e R\Q. Como Q e R\Q sao disjuntos, temosque R = Q ∪R\Q. Na secao anterior vimos que

√2 e um numero irracional. Existem infinitos

numeros irracionais, entre eles os mais famosos, o numero π e o numero neperiano e, etc.

Teorema 3.4.3 Se p e um numero primo positivo, entao√p e irracional.

Prova: Vamos supor que√p nao seja irrational. Entao

√p =

m

ncom MDC(m,n) = 1.

Elevando ao quadrado, temos p =(mn

)2

, ou seja n2p = m2. Como m e n sao primos entre

si, segue que p∣∣m2(p divide m2) e portanto p

∣∣m, ou seja m = pl. Substituindo m na igualdadeacima, temos n2p = p2l2 e simplificando obtemos n2 = pl2. Isto significa que p

∣∣n2, portanto p∣∣n.

Segue portanto que p e um fator comum dos numeros m e n. Absurdo, pois MDC(m,n) = 1.E isto mostra que

√p e irracional.

3.4.2 Propriedade Arquimediana

A Propriedade Arquimediana apresentada nos numeros racionais tambem vale para o corpodos reais.

Teorema 3.4.4 Sejam a, b ∈ R com a > 0, entao existe um n ∈ N tal que na > b.

Prova: Vamos supor que an > b e falsa para algum n ∈ N, isto e, na ≤ b para todo n ∈ N.Consideremos o seguinte conjunto E,

E = {na; n ∈ N}.

E obvio que este conjunto e limitado superiormente, pela completeca de R existe o supremo deE, digamos α = supE, ou seja na ≤ α para todo n ∈ N.

Pelo fato de N ser infinito, temos n ∈ N, segue que (n+ 1) ∈ N, e portanto,

(n+ 1)a ≤ α segue na ≤ α− a ∀n ∈ N.

Mas, α− a < α tambem e uma cota superior para E, ou que contradiz o fato que na ≤ b paratodo n ∈ N.

Agora estabeleceremos duas propriedades importantes do R: Q e R\Q os conjuntos dosracionais e irracionais respectivamente sao conjuntos densos em R.

23

Proposicao 3.4.1 (Densidade dos Racionais em R) Sejam a e b dois numeros reais arbitrarioscom a < b, entao existe um s ∈ Q tal que a < s < b.

Prova:

Proposicao 3.4.2 (Densidade dos Irracionais em R) Sejam a e b dois numeros reais ar-bitrarios com a < b, entao existe um ξ ∈ R\Q tal que a < ξ < b.

Prova: Sejam a e b os numeros reais arbitrarios com a < b. Entao a −√

3 < b −√

3.Observamos que a−

√3 e b−

√3 sao reais, entao pela proposicao anterior, existe um s ∈ Q tal

quea−√

3 < s < b−√

3, ou a < s+√

3 < b.

Escrevendo ξ = s+√

3, temos a < ξ < b.

3.4.3 Valor Absoluto de um Numero Real

A relacao de ordem definida em Q e estandida para R permite definir o valor absoluto oumodulo de um numero x ∈ R, como sendo,

|x| ={

x, se x ≥ 0x, se x < 0

Em outras palavras, |x| = max{x,−x}.Exemplo 3.6 Se x = 12, |x| = 12;Se x = −7, |x| = | − 7| = −(−7) = 7.

Uma consequencia imediata da definicao de modulo de um numero e a seguinte afirmacao

Lema 3.4.1 para qualquer numero real x, vale a seguinte relacao:

−|x| ≤ x ≤ |x|.

Prova: Analizemos dois casos;

1. Suponha que x ≥ 0. Entao x = |x| ≥ 0 e −|x| ≤ 0, e portanto

−|x| ≤ x ≤ |x|.

2. Suponha que x < 0. Entao |x| ≥ 0 e x < |x|. Como |x| = −x ou −|x| = x, segue que;

−|x| ≤ x ≤ |x|.

Mais geralmente, podemos observar que a desigualdade

|x| < ε

e equivalente as duas desigualdades

−ε < x < ε, x, ε ∈ R.

Portanto a desigualdade|x− y| < ε

e equivalente as duas desigualdades

y − ε < x < y + ε, x, y, ε ∈ R.

O valor absoluto de um numero real satisfaz as seguintes propriedades:

24

Teorema 3.4.5 Para numeros reais arbitrarios x, y, temos

1. |x| ≥ 0, para todo x, e |x| = 0 ⇐⇒ x = 0.

2. |xy| = |x||y| e∣∣xy

∣∣ =|x||y|

se y 6= 0.

3. |x+ y| ≤ |x|+ |y| (desigualdade triangular).

4. ||x| − |y|| ≤ |x− y|.

Prova:

1. Se x ≥ 0 entao |x| = x, se x < 0, entao |x| = −x > 0. Em ambos casos |x| ≥ 0.Se x = 0, |x| = x = 0 por definicao. Se x 6= 0, entao x < 0 ou x > 0. Se x < 0, entao|x| = −x > 0, se x > 0, |x| = x > 0. Nestes dois casos temos |x| 6= 0.

2. Se um dos x ou y for nulo a igualdade na multiplicacao e obvia. Suponhamos que x, y 6= 0.Analizemos tres casos:

(a) x > 0 e y > 0; entao |x| = x e |y| = y, logo

|xy| = xy = |x||y|.

(b) x > 0 e y < 0; entao |x| = x e |y| = −y, logo

|xy| = x(−y) = |x||y|.

(c) x < 0 e y < 0; entao |x| = −x e |y| = −y, logo

|xy| = (−x)(−y) = |x||y|.

Para mostrar que∣∣xy

∣∣ =|x||y|

, escrevamosx

y= z, entao x = y · z. Usando o resultado

anterior, temos

|x| = |yz| = |y||z|, donde |z| = |x||y|

ou∣∣xy

∣∣ =|x||y|.

3. Como−|x| ≤ x ≤ |x|,

tambem teremos−|y| ≤ y ≤ |y|,

entao−(|x|+ |y|) ≤ x+ y ≤ |x|+ |y|.

Usando a forma equivalente destas desigualdades, obtemos

|x+ y| ≤ |x|+ |y|.

25

4. Escrevamos |x| da seguinte forma;

|x| = |x− y + y| ≤ |x− y|+ |y| pela desigualdade triangular.

Assim|x| − |y| ≤ |x− y|.

De forma similar, obtemos

|y| − |x| ≤ |x− y|, ou − (|x| − |y|) ≤ |x− y|.

Por definicao, ||x| − |y|| e um dos numeros |x| − |y| ou −(|x| − |y|), em ambos casos

||x| − |y|| ≤ |x− y|.

3.4.4 Intervalos

Vamos a definir agora uma classe de subconjuntos de R, chamados de intervalos limitados.Dados c, d ∈ R com c < d

(c, d) = {x ∈ R; c < x < d} [c, d) = {x ∈ R; c ≤ x < d}(c, d] = {x ∈ R; c < x ≤ d} [c, d] = {x ∈ R; c ≤ x ≤ d}

Introduziremos os simbolos +∞ e −∞ para indicar mais infinito e menos infinito respecti-vamente. Assim o proprio R e considerado como um intervalo da forma (−∞,+∞).

Definicao 3.4.2 Chamamos de extensao de R ao conjunto R∗ formado por R, +∞ e −∞.

Em R∗ temos as seguintes operacoes:

1. se x ∈ R, temos

x+ (+∞) = +∞ x+ (−∞) = −∞,x+−(+∞) = −∞ x− (−∞) = +∞.

2. Se x > 0,x · (+∞) = +∞, x · (−∞) = −∞.

3. Se x < 0,x · (+∞) = −∞, x · (−∞) = +∞.

4.(+∞) + (+∞) = (+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞.

(−∞) + (−∞) = (+∞) · (−∞) = −∞.

Agora estamos em condicoes de definir intervalos infinitos:

(−∞, c) = {x ∈ R; x < c} (−∞, c] = {x ∈ R; x ≤ c}(c,+∞) = {x ∈ R; x > c} [c,+∞) = {x ∈ R; x ≥ c}

26

3.4.5 R nao e Enumeravel

Ja foi mostrado que Q e enumeravel, mas no entanto o corpo R nao e enumeravel.

Teorema 3.4.6 O conjunto dos numeros reais nao e enumeravel.

Prova: E suficiente mostrar que o intervalo aberto (0, 1) ⊂ R nao e enumeravel. Suponhamosque exista uma enumeracao(lista) de todos os numeros reais α, pertencentes ao intervalo (0, 1),ou seja;

(0, 1) = {α1, α2, . . . , αn, . . .},

α1 = 0, a11a12a13 . . . a1n . . . ,α2 = 0, a21a22a23 . . . a2n . . . ,α3 = 0, a31a32a33 . . . a3n . . . ,

... =...

αn = 0, an1an2an3 . . . ann . . . ,... =

...

onde os aik e a k−esima cifra decimal do numero αi. Vamos mostrar que existe ao menos umelemento β ∈ (0, 1) da forma,

β = 0, b1b2b3 . . . bn . . .

que nao pertence a lista acima. De fato, o numero β e construido da seguinte maneira: b1

e um algorismo diferente de a11; b2 e diferente de a22, etc., em geral bn e diferente de ann.Assim a fracao β e diferente do numero α1, pois os diferem ao menos no primeiro termo de suarepresentacao decimal, tambem difere de α2 no segundo termo de sua representacao decimal,etc., etc. Em geral, como bn 6= ann, para todo n, a fracao β 6= αi. Daqui segue que nenhumalista de numeros reais pode enumerar (0, 1). Como um subconjunto de R o intervalo (0, 1) naoe enumeravel, segue que R nao e enumeravel.

Corolario 3.4.1 O conjunto dos numeros irracionais R\Q nao e enumeravel.

Prova: Ja sabemos que podemos escrever R como auniao disjunta:

R = Q ∪ R\Q.

Q e enumeravel e R nao e enumeravel, portanto, R\Q nao e enumeravel.

27

Capıtulo 4

Sequencias e Series Numericas

4.1 Progressao Aritmetica

Definicao 4.1.1 Chamamos de progresao aritmetica a sequencia de numeros {an}, n ∈ N,onde cada termo, comecando do segundo e igual ao anterior somado por uma constante unicad, isto e,

an+1 = an + d, n ∈ N.

O numero d chama-se razao da progresao aritmetica, a1-primeiro termo e an-termo geral.Assim por exemplo, a sequencia

2, 7, 12, 17, 22, . . .

onde o primeiro termo e 2, e a razao e 5.Para qualquer n ≥ 2 temos

an+1 − an = d,an − an−1 = d.

desta formaan+1 − an = an − an−1

ou

an =an−1 + an+1

2,

isto e, cada termo da progresao aritmetica comecando do segundo termo e igual a media ar-itmetica do termo anterior e termo posterior.

Exemplo 4.1 Mostre que a sequencia {an} com termo geral an = 2n − 7 e uma progresaoaritmetica.

Solucao Para n ≥ 2 temos

an = 2n− 7, an−1 = 2(n− 1)− 7 = 2n− 9, an+1 = 2n+ 5.

Portanto

an = 2n− 7 =(2n− 5) + (2n− 9)

2=an−1 + an+1

2,

o que demonstra a afirmacao.

28

Para a progressao aritmetica {an} com razao d tem lugar a seguinte formula:

an = ak + d(n− k), 1 ≤ k ≤ n− 1,

onde n e k sao numeros naturales. Trocando k por n− k e por n+ k, obtemos

an = an−k + kd,an = an+k − kd.

Daqui encontramos

an =an−k + an+k

21 ≤ k ≤ n− 1.

Alem disso, para qualquer progressao aritmetica {an} tem lugar a seguinte igualdade

am + an = ak + al.

se m+ n = k + l.

Exemplo 4.2 Para a progressao aritmetica {an} com a1 = 7 e d = 4, obtemos as seguintesformulas;

1. an = 7 + (n− 1) · 4 = 4n+ 3;

2. a10 =a5 + a15

2, pois a5 = a10−5 e a15 = a10+15;

3. a7 + a8 = a5 + a10.

Em geral, podemos escrever o termo geral de uma progressao aritmetica da seguinte maneira:

an = nd+ (a1 − d).

Exemplo 4.3 A soma do segundo e terceiro termos da progressao aritmetica {an} e igual a16, o produto do primeiro e quinto termos e igual a 64. Encontre o primeiro termo e a razaodesta progressao.

Solucao: Por hipotese, temos a2 + a4 = 16 e a1a5 = 64; entao obtemos o seguinte sistema{a1 + 2d = 8

a1(a1 + 4d) = 64.

Encontrando da primeira equacao do sistema, 2d e substituindo na segunda equacao, obtemos

a21 − 16a1 + 64 = 0,

ou(a1 − 8)2 = 0.

Desta forma, a1 = 8; portanto, 2d = 8− a1 = 0, isto e d = 0.

Exemplo 4.4 Os numeros 5 e 38 sao o primeiro e decimo segundo termos respectivamente deuma progressao aritmetica {an}. Encontre an para n = 2, 3, · · · , 11.

29

Solucao: Como

d =a12 − a1

12− 1=

38− 5

11= 3,

entao os correspondentes termos sao

8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35.

A soma Sn = a1 + a2 + · · · an dos primeiros n-termos de uma progressao aritmetica {an} edada pela formula

Sn =a1 + an

2n.

Exemplo 4.5 Num jardim que possui a forma de um triangulo equilatero queremos saber see possivel plantar 105 arvores, de tal forma que na primeira serie colocamos um arvore, nasegunda serie colocamos dois arvores, na terceira 3 arvores, e assim adiante e na n−esimaserie colocamos n arvores.

Solucao: Observamos, que se existe tal valor para n, para o qual vale vale a igualdade1 + 2 + · · ·n = 104, entao tal jardim e possıvel. Basta resolver a seguinte equacao

n(n+ 1)

2= 105.

Encontramos daqui n = 14.

4.2 Progressao Geometrica

Definicao 4.2.1 Chamamos de progresao geometrica a sequencia de numeros {bn}, n ∈ N,onde cada termo, comecando do segundo e igual ao anterior multiplicado por uma constanteunica q 6= 0, isto e,

bn+1 = anq, n ∈ N.

O numero q chama-se razao da progresao geometrica, b1-primeiro termo e bn-termo geral.Assim, por exemplo a sequencia

1, 3, 9, 27, 81, · · ·onde cada termo, comecando pelo segundo, obtem-se do anterior multiplicando por 3 e umaprogressao geometrica, de razao q = 3 e b1 = 1.

Para uma progressao geometrica {bn} com razao q para n ≥ 2 temos

bnbn−1

=bn+1

bn= q,

isto eb2n = bn−1bn+1.

Por exemplo, para a progressao geometrica

1, 3, 9, 27, 81, 243, · · · , 3n−1, · · ·

temos as seguintes igualdades

32 = 1 · 9; 92 = 3 · 27; 272 = 9 · 81; 2432 = 81 · · · 729; 32n = 3n−1 · 3n+1.

30

Exemplo 4.6 Suponha que os numeros a, b, c sao os termos consecutivos de uma progressaogeometrica. Mostre que

a2b2c2

(1

a3+

1

b3+

1

c3

)= a3 + b3 + c3.

Solucao: Como a, b, c sao os termos consecutivos de uma progressao geometrica, entao b2 = ac.portanto

a2b2c2

(1

a3+

1

b3+

1

c3

)=b2c2

a+a2c2

b+a2b2

c=acc2

a+b4

b+a2ac

c=

= a3 + b3 + c3.

Para qualquer progressao geometrica {bn} e valida a seguinte igualdade

bmbn = bkbl se m+ n = k + l.

Exemplo 4.7 Todos os termos da progressao geometrica {bn} sao positivos. se b10 = 2 eb18 = 3. Encontre b16 e b3b27.

Solucao: Como 10 + 18 = 14 + 14, entao b214 = b10b18 = 6; portanto, b14 =

√6. Tambem,

como 14 + 18 = 16 + 16, entao b216 = b14b18 = 3

√6, isto e, b16 =

√3√

6. Porfim, de 14 + 16 =30 = 3 + 27, segue que,

b3b27 = b14b16 =√

6

√3√

6 = 3

√2√

6.

A soma Sn = b1 + b2 + b3 + · · · + bn dos primeiros n termos de uma progressao geometrica{bn} de razao q 6= 0 e dado pela formula

Sn = b11− qn

1− q,

se q = 1 , entao Sn = nb1.Por exemplo

1. 1 + 2 + 4 + · · ·+ 2n−1 =1− 2n

1− 2= 2n − 1;

2.1

53+

1

54+ · · ·+ 1

5n−1=

1

53

1− (15)n−3

1− 15

=1

100

(1− 1

5n−3

).

Exemplo 4.8 Calcular a seguinte soma

Sn = 1 + 2a+ 3a2 + 4a3 + · · ·+ nan−1, a 6= 0.

Solucao: Multiplicando Sn por a, temos

aSn = a+ 2a2 + 3a3 + 4a4 + · · ·+ nan,

entaoaSn − Sn = nan − (1 + a+ a2 + a3 + · · · an−1).

Como

1 + a+ a2 + a3 + · · · an−1) =an − 1

a− 1,

obtemos

Sn =nan

a− 1− an − 1

(a− 1)2.

31

Exemplo 4.9 Calcular a seguinte soma

S = 1 + 11 + 111 + · · ·+ 1111 · · · 111︸︷︷︸1000 algorıtmos

.

Solucao. O numero 1111 · · · 111︸︷︷︸n algorıtmos

para qualquer n natural podemos escrever na forma

1111 · · · 111︸︷︷︸n algorıtmos

=

n algorıtmos︷︸︸︷9999 · · · 999

9=

10n − 1

9,

entao

S =10− 1

9+

102 − 1

9+

103 − 1

9+ · · ·+ 101000 − 1

9=

=1

9(10 + 102 + 103 + · · ·+ 101000 − 1000) =

=1

9[10(101000 − 1)

10− 1− 1000] =

1

9(1111 · · · 110︸︷︷︸1000 algorıtmos

−1000)

=1

9(1111 · · · 11︸︷︷︸997 algorıtmos

0110).

4.3 Definicao de Sequencias Numericas

Se a cada numero natural n fazemo-os corresponder um numero real an, entao dizemos queesta definido uma sequencia numerica

a1, a2, a3, · · · , an, · · ·

Os numeros a1, a2, · · · chamam-se termos da sequencia, e an e o termo geral.A sequencia denota-se por {an}∞n=1 ou {an}. Uma sequencia pode ser definida com ajuda

da formulaan = f(n) n ∈ N,

onde f e alguma funcao; neste caso esta formula chama-se formula do termo geral da sequencia{an}. Por exemplo

1. an =√n, n ∈ N;

2. an = n!, n ∈ N;

3. an =

{n2, se n = 2k1/n, se n = 2k − 1,

k = 1, 2, · · ·

Para definir uma sequencia podemos usar tambem uma relacao de recorrencia. Este metodoconsiste em definir um ou alguns primeiros termos da sequencia, e logo escrever uma formulaque nos permita encontrar o termo geral an atraves dos primeiros termos. Por exemplo, se

32

1. a1 = 1, an+1 = an + 1 para n ≥ 1;

2. b1 = 1, b2 = 2, bn = 2bn−1 + bn−2 para n ≥ 3.

Entao destas relacoes de recorrencia, encontramos que,

a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4, a5 = 5, · · · ;b1 = 1, b2 = 2, b3 = 5, b4 = 12, b5 = 29, · · ·

4.4 Sequencias Monotonas

Definicao 4.4.1 Uma sequencia {an} chama-se crescente, se para qualquer numero natural nvale a desigualdade

an+1 > an, n ∈ N.

Exemplo 4.10 Mostre que a sequencia {an} cujo termo geral an =n− 1

ne uma sequencia

crescente.

Solucao: Analizemos a diferenca an+1 − an. Temos

an+1 − an =(n+ 1)− 1

n+ 1− n− 1

n=n2 − n2 + 1

n(n+ 1)=

1

n(n+ 1)> 0.

Desta forma, an+1 > an para todo n ∈ N.

Definicao 4.4.2 Uma sequencia {an} chama-se decrescente, se para qualquer numero naturaln vale a desigualdade

an+1 < an, n ∈ N.

Exemplo 4.11 Mostre que a sequencia {an} cujo termo geral e an = −(n+2) e uma sequenciadecrescente.

Solucao: Analizemos a relacaoan+1

an. Temos

an+1

an=−((n+ 1) + 2)

−(n+ 2)=−n− 2

−n− 1=n+ 2

n+ 1= 1 +

1

n+ 1> 1.

Desta forma,an+1

an> 1. Como todos os termos da sequencia sao negativos, entao obtemos

an+1 < an para todo n ∈ N.

Definicao 4.4.3 Uma sequencia {an} chama-se nao-decrescente, se para qualquer numero nat-ural n vale a relacao

an+1 ≥ an, n ∈ N.

Definicao 4.4.4 Uma sequencia {an} chama-se nao-crescente, se para qualquer numero nat-ural n vale a relacao

an+1 ≤ an, n ∈ N.

33

Em geral, estes tipos de sequencias chamam-se monotonas.

A sequencia {an} chama-se limitada superiormente, se existe um numero real A tal que,para qualquer numero natural n vale a desigualdade xn ≤ A.

Exemplos de sequencias limitadas superiormente sao as seguintes sequencias com termosgerais,

an = −n3, an = (−1)n, an = sin4 πn

2.

A sequencia {an} chama-se limitada inferiormente, se existe um numero real B tal que, paraqualquer numero natural n vale a desigualdade xn ≥ B.

Exemplos de sequencias limitadas inferiormente sao as seguintes sequencias com termosgerais,

an = 2n, an = (−1)n, an =−(n+ 1)

n.

Uma sequencia {an} chama-se limitada, quando ela e limitada superior e inferiormente. Ouequivalentemente, se existem numeros reais A e B tais que,

A ≤ an ≤ B, ∀n ∈ N.

Exemplo de sequencia limitada e a sequencia com termos geral an = 1/2n+2. De fato, paraqualquer n natural verifica-se;

0 <1

2n+2< 1, isto e 0 < an < 1, ∀n ∈ N.

Exemplo 4.12 Mostremos que a sequencia cujo termo geral an =n− 2

n+ 1e limitada.

Prova: Como an =n− 2

n+ 1=n+ 1− 3

n+ 1= 1− 3

n+ 1< 1, isto e, an < 1 para qualquer natural

n, entao {an} e limitada superiormente.Analizemos a diferenca an − an−1. Temos;

an − an−1 =n− 2

n+ 1− n− 1

n+ 2=

−3

(n+ 1)(n+ 2)< 0,

isto e, an < an−1,∀n ∈ N. Por isso a1 = −1/2 e o menor termo desta sequencia. Desta forma,an ≥ −1/2, ∀n ∈ N, isto e, a sequencia {an} e limitada inferiormente. Segue da definicao

acima que, a sequencia {n− 2

n+ 1}n e limitada.

4.5 Limite de uma Sequencia

O numero a chamase limite da sequencia {an}, se para qualquer numero positivo(arbitrario)ε, encontra-se um numero no tal que, para todos os naturais n > no vale a desigualdade

|an − a| < ε.

Se a e o limite da sequencia {an}, usamos a seguinte notacao: limn→∞

an = a.

Se a sequencia possui limite, dizemos que ela converge, caso contrario dizemos que ela diverge.

34

Como a desigualdade |an − a| < ε equivale a desigualdade −ε < an − a < ε, isto e,a − ε < an < a + ε, entao a afirmacao que a e limite da sequencia {an}, equivale a dizer quepara qualquer ε > 0 , encontra-se no ∈ N, que depende de ε, tal que todos os termos comecandocom o ındice no+ 1 os termos ano+1, ano+2, · · · pertencem ao intervalo (a− ε, a+ ε), e fora desteintervalo encontram-se somente um numero finito de termos da sequencia (no maximo no).

Exemplo 4.13 Mostre que o numero 1 e o limite da sequencia {n+ 1

n}, isto e,

limn→∞

=n+ 1

n= 1

.

Solucao. E necessario mostrar que para cada ε positivo, encontra-se um no tal que para todon > no segue ∣∣n+ 1

n− 1∣∣ < ε.

Como∣∣n+ 1

n−1∣∣ =

∣∣ 1n

∣∣ =1

n. Entao a desigualdade |n+ 1

n−1| < ε e equivalente a desigualdade

1

n< ε, isto e n >

1

ε. Se tomamos o numero natural no maior que

1

ε, entao para qualquer numero

natural maior que este no, cumpre-se∣∣n+ 1

n− 1∣∣ =

1

n<

1

no<

1

1/ε< ε,

e isto significa que limn→∞

n+ 1

n= 1.

Exemplo 4.14 Mostre que se |q| < 1, entao

limn→∞

= qn = 0.

Solucao. Para mostrar que limn→∞

= qn = 0, e necessario provar que para qualquer ε > 0, existe

um numero natural no, tal que para todos os numeros naturais n > no vale a desigualdade|qn − 0| < ε.

Em caso de q = 0, nada temos a mostrar. Seja q 6= 0. Como 0 < |q| < 1, entao 1/|q| > 1,e portanto existe um numero positivo α, tal que 1/|q| = 1 + α. Como α > 0, entao usando adesigualdade de Bernoulli, obtemos

1/|q|n = (1/|q|)n = (1 + α)n ≥ 1 + nα > nα.

Daqui |q|n < 1nα

para todo n natural. escolhamos no >1αε

, onde α = 1|q| − 1. Entao para cada

n > no temos

n >1

αεou

1

nα< ε,

e portanto

|qn − 0| = |qn| = |q|n < 1

nα< ε.

Exemplo 4.15 Mostre que a sequencia an = (−1)n nao possui limite.

35

Solucao. Mostremos isto por contradicao. Suponhamos que a sequencia {an} converge parao numero a. Entao para qualquer ε positivo existe um numero no = no(ε) tal que, para cadan > no vale a desigualdade |an − a| < ε. Em particular para ε = 1/2 existe n1 tal que paraqualquer n > n1 vale

|an − a| < 1/2.

Como 2n1 > n1 e 2n1 + 1 > n1, entao para termos da sequencia a2n1 e a2n1+1 cumpren-se asdesigualdades

|a2n1 − a| < 1/2, e |a2n1+1 − a| < 1/2.

Como a2n1 = (−1)2n1 = 1, e a2n1+1 = (−1)2n1+1 = −1, entao temos

|1− a| < 1/2, | − 1− a| < 1/2,

de onde segue

2 ≡ |(1− a) + (a+ 1)| ≤ |1− a|+ |1 + a| < 1/2 + 1/2 = 1.

Assim, da suposicao que a sequencia {an}n converge obtemos que 2 < 1, absurdo.

4.6 Operacoes com Sequencias

4.7 Existencia do Limite de uma Sequencia Monotona

Limitada

4.8 O numero e

4.9 Criterio de Cauchy para a Existencia do Limite

4.10 Teorema de Weierstrass

4.11 Series Numericas

4.11.1 Definicoes Basicas

Consideremos a seguinte sequencia numerica,

u1, u2, u3, . . . , un, . . . (4.1)

Desta sequencia, obtenhamos outra sequencia,

S1, S2, S3, . . . , Sn, . . .

onde,S1 = u1,S2 = u1 + u2,S3 = u1 + u2 + u3,. . . . . .Sn = u1 + u2 + u3 + . . .+ un.

36

Se existe o limite da soma parcial Sn, isto e,

S = limn→∞

Sn,

entao dizemos que a serie numerica

∞∑n=1

un = u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . (4.2)

converge, e possui soma igual a

S = u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . .

Se Sn nao tende a nenhum limite(ou tende para infinito), entao dizemos que a serie (4.2) diverge.

A expressao∞∑n=1

un e meramente formal, pois a adicao ordinaria de um numero infinito de

termos nao faz sentido.Um exemplo simples de uma serie numerica e a progresao geometrica:

∞∑n=1

aqn−1 = a+ aq + aq2 + . . .+ aqn−1 + . . . (a 6= 0) (4.3)

Analizemos quatro possıveis casos para os valores de q.

1. |q| < 1.A soma parcial Sn e igual a;

Sn = a+ aq + aq2 + . . .+ aqn−1 =a− aqn

1− q=

a

1− q− a

1− qqn.

Ja foi provado que se |q| < 1, entao limn→∞ |qn| = 0, por isso,

limn→∞

Sn = limn→∞

(a

1− q− a

1− qqn)

=a

1− q,

e a serie (4.3) converge paraa

1− qse |q| < 1.

2. |q| > 1.A soma parcial Sn como foi visto acima e igual a;

Sn = a+ aq + aq2 + . . .+ aqn−1 =a

1− q− a

1− qqn.

Ja foi provado que se |q| > 1, entao limn→∞ |qn| = +∞, por isso,

limn→∞

Sn = limn→∞

(a

1− q− a

1− qqn)

= ±∞,

e a serie (4.3) diverge se |q| < 1.

37

3. q = 1.A soma parcial Sn e igual a;

Sn = a+ a+ a+ . . .+ a = na,

e portantolimn→∞

Sn = limn→∞

na = ±∞.

E isto significa que a serie (4.3) diverge.

4. q = −1.A soma parcial Sn e igual a;

Sn = a− a+ a− . . .+ (−1)n−1a,

e portanto

limn→∞

Sn =

{0 se n e para se n e ımpar.

Isto significa que a serie (4.3) diverge, pois Sn tendo a dois limites diferentes.

4.11.2 Operacoes com Series

As series convergentes possuem algumas propriedades, que nos permitem operar com elescomo se fossem somas finitas.

1. Se a serieu1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . .

possui soma S, entao a serie

au1 + au2 + au3 + . . .+ aun + . . . (4.4)

converge para aS. De fato, a soma parcial σn da serie (4.4) e da seguinte forma

σn = au1 + au2 + au3 + . . .+ aun = aSn,

e por isso,limn→∞

σn = limn→∞

aSn = a limn→∞

Sn = aS.

2. Series convergentes podem ser somadas ou subtraidas, isto e, se

u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . = Sv1 + v2 + v3 + . . .+ vn + . . . = σ,

entao a serie

(u1 ± v1) + (u2 ± v2) + (u3 ± v3) + . . .+ (un ± vn) + . . .

tambem converge, e a soma e igual a (S ± σ).

38

3. A propriedade da serie ser convergente ou divergente nao e alterado se adicionamos outiramos um numero finito de termos a serie.

4. O termo geral un de qualquer serie convergente tende para zero, isto e,

limn→∞

un = 0. (4.5)

De fato,un = Sn − Sn−1,

e como a serie converge, entao

limn→∞

Sn = limn→∞

Sn−1 = S,

de onde,limn→∞

un = limn→∞

Sn − limn→∞

Sn−1 = S − S = 0.

A condicao (4.5) e necessaria para a convergencia da serie, mas nao e suficiente; pois podeacontecer que o termo geral tenda para zero, mas a serie divergir.

Exemplo 4.16 Consideremos a serie Harmonica

∞∑n=1

1

n= 1 +

1

2+

1

3+ . . .+

1

n+ . . . .

Solucao: Aqui, temos

un =1

n→ 0, quando n→∞.

Agrupemos os termos da serie Harmonica em grupos de 1, 2, 4, 8, . . . termos:

1 +

(1

2

)+

(1

3+

1

4

)+

(1

5+ . . .+

1

8

)+

(1

9+ . . .+

1

16

)+ . . . ,

desta forma no k−grupo temos 2k−1 termos. Se em cada grupo, trocamos todos os termos peloultimo termo(menor elemento do grupo), obtemos a serie

1 +1

2+

1

4· 2 +

1

8· 4 +

1

16· 8 + . . . = 1 +

1

2+

1

2+ . . . ,

cuja soma parcial Sn e igual a

Sn = [1 +1

2(n− 1)].

E obvio que limn→∞

Sn = +∞.Tomando um numero grande de termos da serie Harmonica, podemos obter um numero grande

de grupos e a soma de estes termos sera maior que [1 +1

2(n − 1)], e daqui podemos concluir

que a soma parcial Sn da seie Harmonica tende para o infinito, isto e, Sn →∞.

39

4.11.3 Series com Termos Positivos. Criterios de Convergencia

Vamos estudar series com termos positivos(nao negativos):

u1, u2, u3, . . . , un, . . . ≥ 0.

Para esses tipos de series, estabeleceremos criterios de convergencia e divergencia.

Teorema 4.11.1 (Teste de Comparacao) Consideremos duas series

u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . =∞∑n=1

un (4.6)

v1 + v2 + v3 + . . .+ vn + . . . =∞∑n=1

vn (4.7)

com termos positivos.a) Se uk ≤ vk (k = 1, 2, . . .), a convergencia da serie (4.7) implica a convergencia da serie (4.6)e a divergencia da serie (4.6) implica a divergencia da serie (4.7).b) Se

limk→∞

ukvk

= A > 0, (4.8)

entao as series (4.6) e (4.7) convergem ou divergem simultaneamente.

Prova: a) Denotemos por Sn e σn as somas parciais de (4.6) e (4.7) respectivamente. Porhipotese, temos,

Sn ≤ σn.

Mas, a serie (4.7) converge, e suponhamos que para a soma σ, entao

σn ≤ σ, por isso Sn ≤ σ.

Como a sequencia {Sn} e monotona crescente e limitada, concluimos que a serie (4.6) converge.Agora, suponhamos que a serie (4.6) e divergente; entao sua soma parcial Sn cresce infini-

tamente, e pela desigualdadeSn ≤ σn,

segue que a soma parcial de (4.7) σn cresce infinitamente, e isto significa que a serie (4.7)diverge.b) Suponhamos que cumpre-se (4.8), entao para um numero positivo ε < A, existe um no ∈ N,

tal que para todo k > no segue A− ε < ukvk

< A+ ε, ou

vk(A− ε) < uk < (A+ ε)vk. (4.9)

Se a serie (4.7) e convergente, a serie∞∑k+1

(A + ε)vk tambem e convergente e pela desigualdade

(4.9), a serie∞∑k+1

uk tambem e convergente junto com a serie (4.6).

Se a serie (4.7) e divergente, entao a serie∞∑k+1

vk(A − ε) tambem e divergente, e pela de-

sigualdade (4.9), a serie∞∑k+1

uk tambem e divergente junto com a serie (4.6).

40

Exemplo 4.17 Analize a convergencia da seguinte serie

∞∑n=1

1

n · 3n=

1

1 · 31+

1

2 · 32+

1

3 · 33+ . . .+

1

n · 3n+ . . .

Observamos que o termo geral da serie un =1

n · 3n<

1

3n, ja sabemos que a serie geometrica,

cujo termo geral e1

3n, isto e,

∞∑n=1

1

3n=

1

31+

1

32+

1

33+ . . .+

1

3n+ . . .

converge, logo pelo criterio acima, podemos concluir que a serie∞∑n=1

1

n · 3ntambem converge.


∞∑n=2

lnn

n=

ln 2

2+

ln 3

3+

ln 4

4+ . . .+

lnn

n+ . . .

O termo geral da serie un =lnn

n>

1

n. Ja sabemos que a serie Harmonica, cujo termo geral e

1

n, diverge, portanto pela parte a) do criterio de comparacao concluimos que a serie

∞∑n=2

lnn

n

tambem diverge.

Exemplo 4.19 A seguinte serie

∞∑n=1

1

2n− 1= 1 +

1

3+

1

5+ . . .+

1

2n− 1+ . . .

e divergente, pois

limn→∞

(1

2n− 1:

1

n

)=

1

26= 0,

e como ja sabemos a serie Harmonica cujo termo geral e1

ndiverge.

Teorema 4.11.2 (Criterio de Cauchy) Consideremos a serie

u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . =∞∑n=1

un

com termos positivos.a) Se

n√un ≤ q < 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.10)

onde q nao depende de n, entao a serie converge.b) Se

limn→∞

n√un = q, (4.11)

entao a serie converge se q < 1 e diverge se q > 1. Se q = 1 o criterio nao e conclusivo.

41

Prova: a) a desigualdade (5.8) implica que un < qn (n = 1, 2, . . .), e como a serie∞∑n=1

qn

converge, segue que a serie∞∑n=1

un tambem converge.

b) Pela propriedade (5.3) com q < 1 segue que

n√un < q + ε < 1 (n ≥ no)

para um no suficientemente grande, portanto

un < (q + ε)n.

Como a serie∞∑

n=no

(q + ε)n e convergente, segue que a serie∞∑

n=no

un e convergente ao igual que

a serie∞∑n=1

un.

Se a desigualdade (5.3) vale para q > 1, segue que un > 1 para todo n > no, onde no ∈ N e um

numero suficientemente grande. E isto implica que a serie∞∑n=1

un diverge.

Exemplo 4.20 Analize a convergencia da seguinte serie∞∑n=1

(n

3n+ 1

)n=

(1

4

)1

+

(2

7

)2

+

(3

10

)3

+ . . .+

(n

3n+ 1

)n+ . . .

Aplicando o criterio de Cauchy ao termo geral da serie, temos

limn→∞

n√un = lim

n→∞n

√(n

3n+ 1

)n= lim

n→∞

n

3n+ 1=

1

3< 1.

Logo, podemos concluir que a serie converge.

Teorema 4.11.3 (Criterio de D´Alembert) Consideremos a serie

u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . =∞∑n=1

un

com termos positivos.a) Se

un+1

un≤ q < 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.12)

entao a serie∞∑n=1

un converge; se

un+1

un≥ 1 (n = 1, 2, 3, . . .) (4.13)


un diverge. b) Se

limn→∞

un+1

un= q, (4.14)

entao a serie converge se q < 1 e diverge se q > 1. Se q = 1 o criterio nao e conclusivo.

42

Prova: a) De (4.12) segue que u2 ≤ u1q, u3 ≤ u2q, un ≤ un−1q, portanto

un = u1qn, q < 1 (n = 1, 2, . . . .

Como a serie∞∑n=1

u1qn converge, segue que a serie

∞∑n=1

un tambem converge.

Da relacao (4.13), segue que un ≥ u1 (n = 1, 2, . . .)e, a serie u1 +u1 +u1 + . . . e divergente,


un tambem e divergente.

b) Se a igualdade (4.14) cumpre-se e q < 1, entao para um numero positivo ε satisfazendo acondicao q + ε < 1, temos

un+1

un< q + ε < 1 (n > no), no ∈ N suficientemente grande.

Como foi visto acima, a serie∞∑

n=no

un converge e por isso a serie∞∑n=1

un tambem converge.

Se a igualdade (4.14) cumpre-se e q > 1, temos

un+1

un> 1 (n > no), no ∈ N suficientemente grande.

Como foi visto acima (4.13), a serie∞∑

n=no

un diverge e por isso a serie∞∑n=1

un tambem diverge.


∞∑n=1

3n+ 1

3n=

4

3+

7

32+

10

33+ . . .+

3n+ 1

3n+ . . .

Observamos que;

un =3n+ 1

3n, un+1 =

3n+ 4

3n+1.

Aplicando o criterio de D´Alembert, temos

limn→∞

un+1

un= lim

n→∞

3n+ 4

3n+1

3n+ 1

3n

= limn→∞

3n(3n+ 4)

3n+1(3n+ 1)=

= limn→∞

3n+ 4

3(3n+ 1)=

1

3limn→∞

3n+ 4

3n+ 1=

1

3limn→∞

3 + 4n

3 + 1n

=1

3< 1.

Logo, podemos concluir que a serie converge.

Teorema 4.11.4 (Criterio Integral de Cauchy) Consideremos a serie

u1 + u2 + u3 + . . .+ un + . . . =∞∑n=1

un

43

com termos positivos, tais que

u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ . . . ≥ un ≥ . . .

Se existe uma funcao f(x) contınua e nao crescente, tal que

f(1) = u1; f(2) = u2; f(3) = u3; . . . f(n) = un.

Entao podemos afirmar que se a integral impropria∫ ∞1

f(x)dx

converge, entao, a serie∞∑n=1

un tambem converge, mas se a integral diverge(ou e igual a infinito),

a serie diverge.

Prova:

Exemplo 4.22 Estudar a convergencia da p-serie

∞∑n=1

1

np=

1

1p+

1

2p+

1

3p+ . . .+

1

np+ . . .

Seja f(n) =1

np, entao f(x) =

1

xp. Comparemos a p-serie com a integral impropria∫ ∞

1

dx

xp.

Entao, temos

∫ ∞1

dx

xp= lim

A→∞

∫ A

1

dx

xp=

1

1− px1−p

∣∣∣A1

=1

1− p(A1−p − 1) para p 6= 1

lnx∣∣∣A1

= lnA para p = 1.

Tomando o limite quando A→∞, obtemos

1. Se p > 1, a integral

∫ ∞1

dx

xp=

1

p− 1converge, por isso a serie converge.

2. Se p < 1, a integral

∫ ∞1

dx

xp=∞ diverge, por isso a serie diverge.

3. Se p = 1, a integral

∫ ∞1

dx

x= +∞ diverge,por isso a serie diverge.

44

4.12 Series Alternadas. Teorema de Leibnitz

Consideremos agora uma serie onde os sinais dos seus termos sao alternados isto e, positivose negativos. Tais series sao da forma

∞∑n=1

(−1)n+1un = u1 − u2 + u3 − . . .+ (−1)n+1un + . . .

com u1, u2, u3, . . . positivos.

Teorema 4.12.1 (Criterio de Leibnitz) Consideremos a serie alternada

∞∑n=1

(−1)n+1un = u1 − u2 + u3 − . . .+ (−1)n+1un + . . .

com termos positivos, tais que formam uma sequencia decrescente, isto e

u1 ≥ u2 ≥ u3 ≥ . . . ≥ un ≥ . . .

e selimn→∞

un = 0

Entao podemos afirmar que a serie alternada converge e sua soma nao e maior que o primeirotermo.

Prova: Analizemos primeiramente a soma parcial de um numero par de termos, isto e,

S2n = u1 − u2 + u3 − u4 + . . .+ u2n−1 − u2n.

Pela hipotese do teorema, os valores dos termos da serie decrescem quando n cresce, entao,

uk ≥ uk+1 e u2n+1 − u2n+2 ≥ 0,

e por issoS2n+2 = S2n + u2n+1 − u2n+2 ≥ S2n,

isto e, a sequencia S2n)n e crescente. De outro lado, temos

S2n = u1 − (u2 − u3)− (u4 − u5) + . . .− (u2n−2 − u2n−1)− u2n ≤ u1.

Desta forma temos que0 ≤ S2m ≤ u1,

e isto significa que a a sequencia (S2n)n e limitada. Como a a sequencia (S2n)n e monotonacrescente e limitada , entao ela e convergente, isto e,

limn→∞

S2n = S.

Alem disto, temosS2n+1 = S2n + u2n+1,

por isso,limn→∞

S2n+1 = limn→∞

(S2n + u2n+1) = S,

pois por hipoteselimn→∞

un = 0.

45

Capıtulo 5

Funcoes e suas Propriedades

5.1 Conceitos Basicos

Seja X um conjunto numerico. Suponhamos que seja dado uma lei f pela qual a cadanumero x ∈ X fazemos corresponder com um unico numero y ∈ Y . Entao dizemos que estadefinida uma funcao y = f(x) com domınio de definicao X.

O conjunto Y de todos os valores de y, que para cada um deles existe ao menos um x ∈ Xtal que y = f(x), chama-se Imagem da funcao f . A notacao que usaremos para denotar que fe uma funcao de X em Y e a seguinte;

f : X → Yx 7→ f(x)

a notacao x 7→ f(x) e para indicar que f faz corresponder o elemento x ao elemento f(x).

Definicao 5.1.1 O conjunto X chama-se domınio da funcao e o conjunto Y chama-se con-tradomınio da funcao e os definiremos como

Df = {x ∈ X; f(x) = y para algum y ∈ Y }

eIm(f) = {y ∈ Y ; ∃x ∈ X tal que f(x) = y}

respectivamente.

Definicao 5.1.2 O grafico de uma funcao f : X → Y e o subconjunto denotado por G(f) edefinido, como sendo

G(f) = {(x, y) ∈ X × Y ; y = f(x)} ⊂ X × Y.

46

X X

YY

x

f(x)(x,f(x))

G(f)

x

A figura a esquerda e o grafico de uma funcao f : X → Y , no entanto a figura da direitanao e o grafico de uma funcao f : X → Y .

Definicao 5.1.3 Uma funcao f : A → B chama-se injetiva se verificamos o seguinte: dadosx, y ∈ A, f(x) = f(y) segue que x = y, ou em outras palavras, se tivermos x1, x2 ∈ A, comx1 6= x2 implica

f(x1) 6= f(x2).

Claramente a funcao I : A → A identidade e injetora e a funcao constante e injetora se esomente se A possuir apenas um elemento.

Definicao 5.1.4 Uma funcao f : A→ B chama-se sobrejetiva se verificamos que Im(f) = B,ou em outras palavras, para todo y ∈ B existe pelo menos um x ∈ A, tal que f(x) = y.

E conveniente fazer o seguinte esclarecimento. Diz-se que f e uma funcao do conjunto A ”sobre”o conjunto B se f(A) = B; no caso geral, quando f(A) ⊂ B, dizemos que f e uma funcao deA ”em” B.

Definicao 5.1.5 Dada uma funcao f : A→ B e dado Y ⊂ f(A), o conjunto

f−1(Y ) = {x;x ∈ A tal que f(x) ∈ Y }

e chamado de imagem inversa do conjunto Y pela f .

Assim, da definicao segue que f−1(Y ) ⊂ A.

Definicao 5.1.6 Uma funcao f : A→ B chama-se bijetiva quando e simultaneamente injetivae sobrejetiva.

Se a funcao esta dada mediante uma formula, entao dizemos que ela esta definida de formaanalıtica. Por exemplo, cada uma das funcoes:

1. y = x3, x ∈ [0,∞)

47

2. y =x

x2 + 3x, x ∈ R

3. y =

{x, se x ≤ 0,x2 − 2x, se x > 0.

Exemplo 5.1 Encontre o domınio de existencia da funcao f(x) =1√

1− x2.

Solucao: O domınio da funcao dada consiste de todos os pontos x para os quais a expresao√1− x2 tem sentido e e possıvel a divisao por

√1− x2. Desta forma, temos 1− x2 > 0, isto e

|x| < 1. Portanto o domınio da funcao acima e o intervalo (−1, 1).

Exemplo 5.2 Encontre o domınio de existencia da funcao f(x) + g(x), se

f(x) =

√ln(2−

√x− 1) e g(x) =

√− log0,2(x− 1)√−x2 + 2x+ 8

.

Solucao: Como

ln(2−√x− 1) ≥ 0 ⇐⇒ 2−

√x− 1 ≥ 1 ⇐⇒ 1 ≥

√x− 1 ⇐⇒

⇐⇒{

x− 1 ≥ 01 ≥ x− 1

⇐⇒{

x ≥ 1x ≤ 2

⇐⇒ 1 ≤ x ≤ 2,

entao o domınio de existencia da funcao f(x) e o intervalo [1, 2].Como

−x2 + 2x+ 8 > 0 ⇐⇒ x2 − 2x− 8 < 0 ⇐⇒ (x− 4)(x+ 2) < 0 ⇐⇒⇐⇒ −2 < x < 4,

− log0,2 x− 1) ≥ 0 ⇐⇒ log0,2(x− 1) ≤ 0 ⇐⇒ x− 1 ≥ 1 ⇐⇒ x ≥ 2,

entao, resolvendo o sistema {−2 < x < 4,x ≥ 2,

encontramos que o domınio de existencia da funcao g(x) e o intervalo [2, 4).

Resolvendo o sistema {1 ≤ x ≤ 2,2 ≤ x < 4,

encontramos que o domınio da funcao f(x) + g(x) consiste de um unico ponto x = 2.

Exemplo 5.3 Demonstre que a funcao y = 2x e y = |x − 1| + |x + 1| sao equivalentes nointervalo [1,+∞).

Solucao: Se x ≥ 1 entao x− 1 ≥ 0 e x + 1 > 0, e por isso |x− 1| = x− 1 e |x + 1| = x + 1,portanto,

|x− 1|+ |x+ 1| = x− 1 + x+ 1 = 2x.

Assim, para cada x ∈ [1,+∞), vale a igualdade |x − 1| + |x + 1| = 2x, e por isso as funcoesdadas sao equivalentes no intervalo [1,+∞).

O numero xo do domınio da funcao f(x) chama-se zero da funcao se f(xo) = 0.Por exemplo, o numero xo = 1 e um zero da funcao y = log2 x, pois log2 1 = 0.

48

5.1.1 Funcao Inversa

Seja dada a funcao f : X → Y , que a cada diferentes x ∈ X corresponde diferentes y ∈ Y ,entao a funcao x = f−1(y) chamase funcao inversa de f(x), x ∈ X. Com isto, a funcao inversapossui domınio Y e imagem X, e a cada yo corresponde xo, tal que f(xo) = yo, xo ∈ X. Portantopara cada x ∈ X, temos

f−1(f(x)) = x, x ∈ X.Desta forma,, se f : X → Y e a funcao f(x) e tal que f(x1) 6= f(x2) quando x1 6= x2 ex1, x2 ∈ X, entao f−1 : Y → X e

f−1(f) : X → X,f(f−1) : Y → X,

com istof−1(f(x)) ≡ x, x ∈ X,f(f−1(y)) ≡ y, y ∈ Y.

O par de funcoes f e f−1 sao mutuamente inversas.Quando estudamos as funcoes inversas f e f−1, as variaveis dependentes costuma-se indicar

por x, e os valores destas funcoes indica-se por y. Em outras palavras, para a funcao y =f(x), x ∈ X, a funcao inversa escreve-se na forma y = f−1(x), x ∈ Y .

Notamos que com estas novas notacoes, temos as seguintes identidades:

f−1(f(x)) ≡ x, x ∈ X,f(f−1(x)) ≡ x, x ∈ Y.

Por exemplo, as funcoes y = x + 3, x ∈ R, e y = x − 3, x ∈ R e tambem as funcoes y = xn ey = n√x sao funcoes inversas.

f(x1) = y1 ⇐⇒ f−1(y1) = x1, entao o par ordenado (x1, y1) pertence ao grafico de f see somente se (y1, x1) pertence ao grafico de f−1. Desta forma obtemos o par ordenado (y1, x1)a partir do par ordenado (x1, y1) refletindo-o em torno da reta y = x. Podemos usar esteresultado para dizer o seguinte: quando trocamos x por y para encontrar a funcao inversa,obtemos o grafico da funcao f−1 a partir do grafico de f .

Teorema 5.1.1 Se a funcao f : A → B e bijetora, entao existe uma e somente uma funcaof−1 : B → A, tal que

f(f−1(y)) = y

qualquer que seja y ∈ B.

Prova: Como f e sobrejetora, f(A) = B, a cada y ∈ B corresponde um x ∈ A, isto e f(x) = y.Mostremos agora que esse x e unico.

Suponhamos que exista outro x1 ∈ A tal que f(x1) = y, entao f(x) = f(x1), mas como f einjetora, segue que x = x1; logo, para todo y ∈ B existe um e somente um x ∈ A tal quef(x) = y, desta forma fica definida uma funcao representada por

f−1 : B → A tal que f−1(y) = x,

Do analise anterior, segue que para todo y ∈ B, temos

f(f−1(y)) = y.

49

(a,b)

(b,a)

y=x00 X X

Y Y

y=x

f

-1f

5.1.2 Funcao Composta

Consideremos a funcao f : A→ B. Se f(A) ⊂ C e g : C → D e fazemos corresponder a cadax ∈ A o elemento g(f(x)) ∈ D, pois

f(x) ∈ f(A) ⊂ C,

podemos definir uma funcao h : A → D chamada de funcao composta e representado porh = g ◦ f , isto e, para todo x ∈ A,

h(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)).

Vamos demonstrar um resultado para funcoes compostas.

Teorema 5.1.2 1) Se a funcao f : A→ B e g : C ⊃ f(A)→ D, entao se A1 ⊂ A, entao,

(g ◦ f)(A1) = g(f(A1)).

2) Se D1 ⊂ (g ◦ f)(A), entao,

(g ◦ f)−1(D1) = f−1(g−1(D1)).

Prova: 1) Se z ∈ (g ◦f)(A), entao z = (g ◦f)(x) para algum x ∈ A, e pela definicao de funcaocomposta

(g ◦ f)(x) = g(f(x)),

temos que z = g(f(x)), sendo f(x) ∈ f(A),

g(f(x)) ∈ g(f(A)),

logo(g ◦ f(A) ⊂ g(f(A)).

50

Se agora z ∈ g(f(A)), entao z = g(f(y)) para algum y ∈ f(A), donde y = f(x) para algumx ∈ A e

z = g(f(x)) = (g ◦ f)(x),

segue que z ∈ (g ◦ f)(A) eg(f(A)) ⊂ (g ◦ f)(A)

o que prova que(g ◦ f)(A1) = g(f(A1)).

2) Se x ∈ (g ◦ f)−1(D1) entao (g ◦ f)(x) ∈ D1 ou

g(f(x)) ∈ D1 e f(x) ∈ g−1(D1),

dondex ∈ f−1(g−1(D1)) e (g ◦ f)−1(D1) ⊂ f−1(g−1(D1)).

Se x ∈ f−1(g−1(D1)), entao f(x) ∈ g−1(D1), segue que g(f(x)) ∈ D1 ou seja (g ◦ f)(x) ∈ D1,donde

x ∈ (g ◦ f)−1(D1) e f−1(g−1(D1)) ⊂ (g ◦ f)−1(D1)

e assim fica provado que(g ◦ f)−1(D1) = f−1(g−1(D1)).

5.1.3 Algumas Funcoes Elementares

1. Polinomios e Funcoes RacionaisUm polinomio de grau n e uma funcao do tipo

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ ao, an 6= 0,

onde ao, a1, · · · , an sao coeficientes constantes e n ∈ N chama-se grau do polinomio.A relacao entre dois polinomios, isto e, uma funcao do tipo

f(x)anx

n + an−1xn−1 + · · ·+ a1x+ ao

bmxm + bm−1xm−1 + · · ·+ b1x+ bo, an 6= 0, bm 6= 0,

chama-se funcao racional.Assim por exemplo, as funcoes

f(x) = x+√

4, f(x) = x3 + 5x, f(x) =x− 2

3x2 + 4x

sao exemplos de funcoes racionais.

2. Funcao PotenciaA funcao do tipo f(x) = xα, onde α e uma constante, chama-se funcao potencia. Assimpor exemplo, as funcoes

f(x) = x−1/2, f(x) = x1/3, f(x) = x7/4,

sao funcoes potencia.

51

3. Funcao ExponencialA funcao do tipo f(x) = ax, onde a e uma constante positiva, chama-se funcao exponen-cial. Assim por exemplo, as funcoes

f(x) = 4x, f(x) = ex, f(x) = (1

2)x,

sao exemplos de funcoes exponenciais.

0 X

Ya = 1 2 a = 1 4a = 6 a = 3

y = 1

Figura 5.1: Todos os graficos da funcao ax cortam o eixo 0Y no ponto y = 1

4. Funcao LogaritmoA funcao do tipo f(x) = loga x, onde a e uma constante positiva e a 6= 1 chama-se funcaologarıtmica. Assim por exemplo, as funcoes

f(x) = loge x = lnx, f(x) = log1/2 x,

sao funcoes logarıtmicas.

5. Funcao TrigonometricaAs funcoes do tipo

f(x) = cos x, f(x) = sinx, f(x) = tan x, f(x) = cot x

52

0 X

Y

y = log xa

a = 4

a = 10

a = 1 3

a = 1 2

1

Figura 5.2: Todos os graficos da funcao loga x cortam o eixo 0X no ponto x = 1

sao funcoes trigonometricas.

O grafico da funcao y = sinx e mostrado a seguinte figura.

Usando a formulasinx = cos(x+

π

2),

nao e difıcil obter o grafico da funcao y = cosx a partir do grafico da funcao da funcaoy = sinx, com uma simples translacao ao longo do eixo 0X a esquerda um comprimento

deπ

2.

Quando movimentamos os graficos das funcoes y = sinx e y = cosx ao longo do eixo 0Xa direita ou esquerda num intervalo de comprimento 2π, estes graficos coincidem, o quecorresponde com o fato, que as funcoes sinx e cos x possuem perıodos de 2π., isto e,

sin(x± 2π) = sin x, e cos(x± 2π) = cos x, para qualquer x.

53

Quando movimentamos os graficos das funcoes y = tanx e y = cotx ao longo do eixo 0Xa direita ou esquerda num intervalo de comprimento π, estes graficos coincidem, o quecorresponde com o fato, que as funcoes tan x e cot x possuem perıodos de π., isto e,

tan(x± π) = tan x, e cot(x± π) = cot x, para qualquer x.

Os graficos das funcoes:

y = A sin ax, y = A cos ax (A > 0, a > 0) (5.1)

sao muito parecidos com os graficos das funcoes y sinx e y = cosx. Para obter porexemplo o grafico da funcao y = A sin ax de (5.1) a partir do grafico de y = sinx, enecessario multiplicar o comprimento de todas as ordenadas da funcao y = sinx por A e

mudar no eixo 0X a absica do ponto x pela absica com pontox

a. A funcao y = A sin ax

e periodica de perıodo2π

a.

Os graficos das funcoes:

Y = A sin(ax+ b), y = cos(ax+ b), (5.2)

chamadas de curvas harmonicas simples obtem-se dos graficos das funcoes (5.1)

fazendo uma translacao ao longo do eixo 0X um intervalo de comprimentob

aa es-

querda(considerando b > 0). As funcoes (5.2) possuem perıodos2π

a.

55

0 X

Y

A B C D

Figura 5.3: Grafico da funcao y = tanx. A = −π/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2

A B C D0 X

Y

Figura 5.4: Grafico da funcao y = cotx. A = −π, B = −π/2, C = π/2, D = π

56

Observamos que os graficos das funcoes

y = A1 sin a1x+ A2 sin a2x+B1 cos a1x+B2 sin a2x,

que sao combinacoes de funcoes do tipo (5.1), podemos construir somando as ordenadasdos graficos dos termos separados. As curvas assim obtidas chamam-se curvas harmonicascompexas.

Por exemplo o grafico da funcao y = 3 sin x+ 2 cos 2x apresemta-se na seguinte figura

Notamos que a funcaoy = A1 sin a1x+B1 cos a1x (5.3)

pode ser escrita na forma de (5.2) e apresenta-se como um movimento harmonico simples.

De fato, escrevemos,

m =A1√

A21 +B2

1

,

n =B1√

A21 +B2

1

,

A =√A2

1 +B21 .

temos, obviamenteA1 = mA, B1 = nA, (5.4)

e alem dissom2 + n2 = 1,

57

|m| ≤ 1, n| ≤ 1,

e por esta razao, como e conhecido na trigonometria, sempre e possıvel encontrar umangulo b1, tal que,

cos b1 = m, sin b1 = n. (5.5)

Substituindo em (5.3) as expressoes de A1 e B1 de (5.4) e usando as igualdades (5.5),obtemos

y = A(cos b1. sin a1x+ sin b1. cos a1x),

isto e,y = A sin(a1x+ b1).

6. Funcoes Trigonometricas Inversas

f(x) = arcsin x, f(x) = arccos x, f(x) = arc tanx, f(x) = arc cotx.

Analisemos a funcaoy = arcsinx. (5.6)

O gafico desta funcao obtem-se pelo metodo indicado acima de funcoes inversas. O graficotodo esta ubicado entre as retas veticais x = −1 e x = 1, isto e, a funcao (5.6) esta definidasomente no intervalo −1 ≤ x ≤ 1. Notamos que a equacao (5.6) e equivalente a equacaox = sin y, que como e conhecido da trigonometria, para um x dado, obtemos um conjuntode valores para o angulo y. Do grafico observamos que as retas perpendiculares ao eixo0X nos pontos do intervalo −1 ≤ x ≤ 1 cortam grafico em um numero infinito de pontos,isto e, a funcao (5.6) e uma funcao de multiples valores.

Imediatamente do grafico da funcao y = arcsinx observamos que esta funcao sera uni-valente se nos restringimos aos valores do angulo y, que tem sin y = x, no intervalo

(−π2,π

2).

No seguinte grafico da funcao y = arccosx, observamos que esta funcao sera univalentese nos restringimos aos valores do angulo y, que tem cos y = x, no intervalo (0, π).No seguinte grafico da funcao y = arctanx, oobservamos que esta funcao sera univalente

se nos restringimos aos valores do angulo y, que tem tan y = x, no intervalo (−π2,π

2).

No seguinte grafico da funcao y = arccotx, oobservamos que esta funcao sera univalentese nos restringimos aos valores do angulo y, que tem cot y = x, no intervalo (0, π).

Nao e difıcil mostrar, que as funcoes inversas trigonometricas definidas acima, satisfazemas seguintes relacoes: arcsinx+ arccosx =

π

2arctanx+ arccot x =

π

2.

O conjunto de funcoes elementares dividam-se em duas classes: funcoes elementaresalgebricas e funcoes elementares trascendentes.

O sentido da divisao em duas classes consiste no seguinte: Consideremos o polinomio de duasvariaveis P (x, y). Suponhamos que a funcao y = f(x) definida num intervalo [a, b] satisfaca aequacao P (x, y) = 0, isto e,

P (x, f(x)) ≡ 0, x ∈ [a, b].

58

0 X

Y

-1 1

A

B

C

D

E

Figura 5.5: Grafico da funcao y = arcsinx. A = −π/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2, E = 2π

A

B

C

D

0X

Y

-1 1

Figura 5.6: Grafico da funcao y = arccosx. A = −pi/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2

59

0 X

Y

A

B

C

D

1 2 3-1-2-3

Figura 5.7: Grafico da funcao y = arctanx. A = −π/2, B = π/2, C = π, D = 3π/2

Entao a funcao y = f(x), x ∈ [a, b] chama-se algebrica. Por exemplo a funcao y =√

4− x4 euma funcao algebrica quando −2 ≤ x ≤ 2, ela satisfaz a equacao algebrica x2 + y2 = 4.

Qualquer funcao racional e uma funcao algebrica, pois a funcao y =P (x)

Q(x), onde P (x) e

Q(x) sao polinomios de algum grau, satisfaz a equacao Q(x)y − P (x) = 0As funcoes algebricas que nao sao racionais chamam-se irracionais. Em qualidade de exem-

plos de funcoes algebricas irracionais sao as funcoes y =√x, y =

3√x2.

Exemplo 5.4 Mostre que a funcao y =√x e uma funcao algebrica irracional.

Prova: Suponhamos que a funcao y =√x seja algebrica racional, isto e,

√x =

Pn(x)

Qm(x), x ≥ 0, (5.7)

onde Pn(x) e Qm(x) sao polinomios de grau n e m respectivamente. Suponhamos que estespolinomios nao tenham um fator comum da forma xk, k > 0. Analizemos a equacao (5.7) nointervalo [a, b], b > a > 0. Temos

Q2m(x)x = P 2

n(x), (5.8)

e portanto , o polinomio P 2n(x) e divisıvel por x. Daqui segue que x divide Pn(x) e portanto

Pn(x) = xPn−1(x)

. Pondo esta expresao de Pn(x) em (5.8), obtemos

Q2m(x)x = x2P 2

n−1(x),

60

daqui, simplificando por x,Q2m(x) = xP 2

n−1(x).

Raciocinando, de forma analoga ao caso de Pn(x), obtemos

Qm(x) = xQm−1(x)

. Desta forma, os polinomios Pn(x) e Qm(x) possuem um fator comum x, o que contradiz a

suposicao que√x =

Pn(x)

Qm(x)e uma funcao algebrica racional. A contradicao obtida mostra que

√x e uma funcao algebrica irracional.

Definicao 5.1.7 A funcao f(x) chama-se trascedental se ela nao satisfaz nenhuma equacaoalgebrica da forma P (x, y) = 0, onde P (x, y) e um polinomio das variaveis x e y.

5.2 Funcao Par e Funcao Impar

O Conjunto de pontos X da reta numerica chama-se simetrica com relacao a origem decoordenadas, se para qualquer ponto x ∈ X o numero −x tambem pertence a X.

Exemplos de tais conjuntos podem ser:a) a uniao dos intervalos (−∞, 0) e (0,+∞); b) o intervalo [−a, a]; c) o intervalo (−a, a).

Definicao 5.2.1 A funcao y = f(x), definida no conjunto X, chama-se par, se cumprem-seas seguintes condicoes:

1o. O conjunto X e simetrico com relacao a origem de coordenadas2o. para qualquer x ∈ X vale a igualdade

f(x) = f(−x).

Exemplos de funcoes pares sao as seguintes funcoes

y = x6 y =x2

1 + x4, y = cosx, y = 2|x| − | sinx|.

Se f(x), x ∈ X, e par, entao para cada x ∈ X os pontos do seu grafico (x, f(x)) e(−x, f(−x)) sao simetricos com relacao ao eixo Y . Desta forma, o grafico de uma funcao pare simetrico com relacao ao eixo Y .

Definicao 5.2.2 A funcao y = f(x), definida no conjunto X, chama-se ımpar, se cumprem-seas seguintes condicoes:

1o. O conjunto X e simetrico com relacao a origem de coordenadas2o. para qualquer x ∈ X vale a igualdade

f(−x) = −f(x).

61

-2 2

3

0 X

Y

0 X

Y

2-2

00 XX

YY

62

Exemplos de funcoes ımpares sao as seguintes funcoes

y = x3 y =x

1 + x4, y = sinx, y = x

√x2 − 9.

Se f(x), x ∈ X, e ımpar, entao para cada x ∈ X os pontos do seu grafico (x, f(x)) e(−x, f(−x)) sao simetricos com relacao a origem de coordenadas. Desta forma, o grafico deuma funcao ımpar e simetrico com relacao a origem de coordenadas.

Notamos que existem funcoes, que nem sao pares nem ımpares; por exemplo,

1. A funcao y =√x nao e nem par nem ımpar, pois seu domınio nao e um conjunto

simetrico com relacao a origem de coordenadas;

2. A funcao y = (1/2)x nao e nem par nem ımpar, ainda que seu domınio seja e um conjuntosimetrico com relacao a origem de coordenadas, no entanto, por exemplo,

y(1) = 1/2 6= 2 = y(−1), y(1) = 1/2 6= −2 = −y(−1).

A unica funcao, definida num conjunto simetrico M com relacao a origem de coordenadas quee par e ımpar ao mesmo tempo neste conjunto, e a funcao f(x) ≡ 0, x ∈M ⊂ R.

Qualquer funcao y = f(x), definido no conjunto X simetrico com relacao a origem decoordenadas podemos escrever como soma de uma funcao par ϕ(x) e de uma funcao ımparψ(x), isto e f(x) = ϕ(x) + ψ(x). Aqui

ϕ(x) =f(x) + f(−x)

2, ψ(x) =

f(x)− f(−x)

2.

Propriedades das Funcoes Pares e Impares

1. Se f(x) e g(x) sao funcoes pares no mesmo conjunto X, entao as funcoesfx)+g(x), f(x)−g(x), f(x)g(x), f(x)/g(x), g(x) 6= 0, sao funcoes pares no conjunto X.

2. Se f(x) e g(x) sao funcoes ımpares no mesmo conjunto X, entao as funcoes f(x) +g(x), f(x) − g(x), sao funcoes ımpares no conjunto X. A funcao f(x)g(x) e par noconjunto X; da mesma forma, a funcao f(x)/g(x) e par desde que g(x) 6= 0.

Exemplo 5.5 Mostre que a seguinte funcao e ımpar

y = log2(x+√

1 + x2).

Solucao: O domınio de existencia da funcao dada e o conjunto de todo os pontos x tais quex +√

1 + x2 > 0. Esta desigualdade e satisfeita para qualquer x ∈ R. na verdade se x = 0,entao x+

√1 + x2 = 1 > 0. Para qualquer x 6= 0 temos

x+√

1 + x2 = x+ |x|√

1 +1

x2> x+ |x| ≥ 0.

Desta forma, o domınio da funcao dada e simetrica com relacao a origem de coordenadas.

63

Continuando com o analise, para qualquer x real valem as seguintes igualdades

y(−x) = log2(−x+√

1 + (−x)2) = log2(−x+√

1 + x2)

= log2

(−x+√

1 + x2)(x+√

1 + x2)

x+√

1 + x2= log2

1

x+√

1 + x2

= log2(x+√

1 + x2)−1 = − log2(x+√

1 + x2) == −y(x).

Como o o domınio da funcao dada e a reta numerica e y(x) = −y(−x) para todo x ∈ R, entaoa funcao dada e ımpar.

Exemplo 5.6 Escreva como soma de uma funcao par e uma funcao ımpar a seguinte funcao

y = 3x.

Solucao: Escrevamos

ϕ(x) =3x + 3−x

2, ψ(x) =

3x − 3−x

2.

Entao ϕ(−x) = ϕ(x), ψ(−x) = −ψ(x), isto e, ϕ(x) e uma funcao par, e ψ(x) e uma funcaoımpar. Assim

y(x) = ϕ(x) + ψ(x).

Exemplo 5.7 Verifique se a seguinte funcao e par ou ımpar,

f(x) =

(log2

x+ 1

x− 1

)(x− log2

2 + x

2− x

).

Solucao: Primeiramente calculemos o domınio da funcao;x+ 1

x− 1> 0,

2 + x

2− x> 0,

⇐⇒∣∣∣ −2 < x < −1

1 < x < 2,

entao o domınio da funcao f(x) e simetrica com relacao ao origem de coordenadas.Para qualquer x pertencente ao domınio da funcao, temos

f(−x) =

(log2

−x+ 1

−x− 1

)(−x− log2

2− x2− (−x)

)=

=

(− log2

x− 1

x+ 1

)(x+ log2

2− x2 + x

)=

=

(log2

(x− 1

x+ 1

)−1)(

x− log2

(2− x2 + x

)−1)

=

=

(log2

x+ 1

x− 1

)(x− log2

2 + x

2− x

)=

= f(x).

Portanto, a funcao f(x) e par.

64

5.3 Funcao Limitada

A funcao y = f(x), definida no conjunto X, chama-se limitada inferiormente neste conjuntose existe um numero real A, tal que f(x) ≥ A para todo x ∈ X.

O numero A chama-se cota inferior da funcao f(x) no conjunto X. Por exemplo a funcaof(x) = x2 + 1 e limitada por baixo no conjunto R, pois temos x2 + 1 ≥ 1 para todo x ∈ R.

A funcao y = f(x), definida no conjunto X, chama-se limitada superiormente nesteconjunto se existe um numero B, tal que f(x) ≤ B para todo x ∈ X.

O numero B chama-se cota superior da funcao f(x) no conjunto X. Por exemplo a funcaof(x) = log2 sinx e limitada por cima no intervalo (0, π), pois temos log2 sinx ≤ 0 para todox ∈ (0, π).

Exemplo 5.8 Mostre que a funcao y = 5 cos 3x+2 sin 3x e limitada superiormente no conjuntodos reais R.

Solucao: Para cada x ∈ R temos

5 cos 3x+ 2 sin 3x ≤ 5 · 1 + 2 · 1 = 7,

entao a funcao dada e limitada superiormente e o problema esta resolvido. Para tal solucaousamos as limitacoes grosas cos 3x ≤ 1 e sin 3x ≤ 1. No entanto podemos usar a seguinteigualdade para refinar a limitacao,

5 cos 3x+ 2 sin 3x =√

29

(5√29

cos 3x+2√29

sin 3x

)=√

29 cos(3x− ϕ),

onde ϕ = arcsin 5√29

, para concluir que 5 cos 3x + 2 sin 3x ≤√

29. Assim√

29 e o menor detodas as cotas superiores.

Definicao 5.3.1 A funcao f(x) definida no conjunto X, chama-se limitada neste conjunto, seexiste um numero real positivo M , tal que, para qualquer x ∈ X, temos |f(x)| ≤M .

Por exemplo a funcao f(x) = 3sin4 x + 4 cos 2x e limitada no conjunto R. De fato,

|3sin4 x + 4 cos 2x| ≤ |3sin4 x|+ 4| cos 2x| ≤ 3 + 4 = 7.

A interpretacao geometrica da definicao de uma funcao f(x) limitada superiormente noconjunto X, significa que o grafico da funcao encontra-se por baixo de uma reta horizontal.A funcao f(x) e limitada inferiormente no conjunto X, significa dizer que o grafico da funcaoencontra-se por cima de uma reta horizontal. A funcao f(x) e limitada no conjunto X, significadizer que o grafico da funcao encontra-se numa faixa limitada por duas retas horizontais.

5.3.1 Propriedades das Funcoes Limitadas

1. Se as funcoes f(x) e g(x) estao definidas e sao limitadas no mesmo conjunto X, entao asfuncoes f(x) + g(x), f(x) − g(x), f(x)g(x), |f(x)|, tambem sao funcoes limitadas noconjunto X.

65

0 X

Y

y=B

y=A0

X

Y

66

0 X

Y

y=A

y=B

2. Se f(x) e g(x) sao funcoes definidas no mesmo conjunto X, a funcao f(x) e limitada emX, e a funcao g(x) e tal que |g(x)| > M > 0, entao a funcao f(x)/g(x) e limitada noconjunto X.

3. Se a funcao f(x) e limitada, entao as funcoes

n√f(x), af(x), cos f(x), arccos f(x), arc tan f(x)

sao limitadas no mesmo conjunto onde elas estao definidas.

5.4 Funcoes Monotonas

A funcao y = f(x), x ∈ X, chama-se crescente no conjunto M ⊂ X, se para quaisquerx1, x2 ∈M , tais que x1 < x2, temos

f(x1) < f(x2).

A funcao y = f(x), x ∈ X, chama-se decrescente no conjunto M ⊂ X, se para quaisquerx1, x2 ∈M , tais que x1 < x2, temos

f(x1) > f(x2).

A funcao y = f(x), x ∈ X, chama-se nao-decrescente no conjunto M ⊂ X, se para quaisquerx1, x2 ∈M , tais que x1 < x2, temos

f(x1) ≤ f(x2).

A funcao y = f(x), x ∈ X, chama-se nao-crescente no conjunto M ⊂ X, se para quaisquerx1, x2 ∈M , tais que x1 < x2, temos

f(x1) ≥ f(x2).

67

Se uma funcao y = f(x), x ∈ X, possui uma das propriedades acima no conjunto M ⊂ X,entao dizemos que tal funcao e monotona em M .

Exemplo 5.9 Mostre que a funcao y = x2 e crescente no conjunto [0,+∞) e decrescente noconjunto (−∞, 0].

Solucao: De fato, para quaisquer x1, x2 tais que 0 ≤ x1 < x2 < +∞, temos

y(x1)− y(x2) = x21 − x2

2 = (x1 − x2)(x1 + x2) < 0,

pois x1 + x2 > 0, x1 − x2 < 0. Portanto, y(x1) < y(x2), e por definicao, a funcao y = x2 ecrescente no intervalo [0,+∞).Para quaiquer x1, x2 tais que −∞ < x1 < x2 ≤ 0, temos

y(x1)− y(x2) = x21 − x2

2 = (x1 − x2)(x1 + x2) > 0,

pois x1 + x2 < 0, x1 − x2 < 0. Por tanto, y(x1) > y(x2), e por definicao, a funcao y = x2 edecrescente no intervalo (−∞, 0].

Exemplo 5.10 Mostre que a funcao y =√x+ 1 e crescente no conjunto [−1,+∞).

Solucao: Seja −1 ≤ x1 < x2, entao

√x2 + 1−

√x1 + 1 =

(√x2 + 1−

√x1 + 1)(

√x2 + 1 +

√x1 + 1)

(√x2 + 1 +

√x1 + 1)

=

=x2 − x1

(√x2 + 1 +

√x1 + 1)

> 0,

segue que√x2 + 1 >

√x1 + 1, e portanto a funcao y =

√x+ 1 e crescente.

-1

1

0 X

Y

68

Exemplo 5.11 Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da funcao

f(x) =1

x2 + 1.

Solucao: Analizemos simbolicamente a monotonicidade da funcao:

quando x ≥ 0 : x cresce → x2 cresce → (x2 + 1) cresce → 1

x2 + 1decresce;

quando x ≤ 0 : x cresce → x2 decresce → (x2 + 1) decresce → 1

x2 + 1cresce.

0 X

Y

1

5.5 Maximos e Mınimos de uma Funcao

O ponto xo ∈ X chama-se ponto de maximo local da funcao f(x), x ∈ X, se existe umintervalo (xo − δ, xo + δ), δ > 0, contido em X e tal que para todo x deste intervalo temos adesigualdade f(x) ≤ f(xo).

O ponto xo ∈ X chama-se ponto de mınimo local da funcao f(x), x ∈ X, se existe umintervalo (xo − δ, xo + δ), δ > 0, contido em X e tal que para todo x deste intervalo temos adsigualdade f(x) ≥ f(xo).

Os pontos de maximo local e mınimo local chamam-se pontos de extremo.

Teorema 5.5.1 (Condicao suficiente para o extremo local) Se a funcao y = f(x), x ∈ Xcresce (decresce) num intervalo da forma (xo − δ, xo) ⊂ X e decresce(cresce) num intervalo(xo, xo + δ) ⊂ X, δ > 0, entao, o ponto xo e um ponto de maximo(mınimo) local da funcaof(x).

69

0 X

Y

xx xx1 2 3 4

Figura 5.8: x1 e x3 sao pontos de mınimo, x2 e x4 sao pontos de maximo.

Exemplo 5.12 Encontrar os pontos de maximo local e mınimo local e os valores extremos dafuncao

y =|x|

1 + x2.

Prova: Para encontrar os pontos de extremo local, e suficiente encontrar os intervalos decrescimento e os intervalos de decrescimento da funcao.

Uma analise mostra que:

1. A funcao f(x) cresce estritamente nos intervalos (−∞,−1] e [0, 1];

2. A funcao f(x) decresce estritamente nos intervalos [−, 0] e [1,+∞).

Desta forma, os pontos x = −1 e x = 1 sao pontos de maximo local, enquanto o ponto x = 0 eum ponto de mınimo local. Portanto os valores extremos da funcao sao;

f(−1) = 1/2, f(1) = 1/2, f(0) = 0.

Se a funcao y = f(x) cresce(decresce) no intervalo [a, b], entao o menor (maior)valor dafuncao e alcancado quando x = a e o maior valor(menor) da funcao e alcancado quando x = b.

Assim por exemplo o menor valor da funcao y = log3 x no intervalo [1/3, 9] e igual alog3 1/3 = −1, enquanto o maior valor e igual a log3 9 = 2.

Se a funcao y = f(x), x ∈ X, nao e limitada superiormente no conjunto M ⊂ X, entaoela nao toma seu maximo valor no conjunto M ; se a funcao y = f(x), x ∈ X, nao e limitadainferiormente no conjunto M ⊂ X, entao ela nao toma seu mınimo valor no conjunto M .

70

1/2

-1 0 X

Y

1

Exemplo 5.13 Analize os valores maximo e mınimo da funcao

y = ax2 + bx+ c, a 6= 0.

Solucao: Escrevamos y na seguinte forma

ax2 + bx+ c = a

(x+

b

2a

)2

+ c− b2

4a,

entao daqui segue, que:

1. Se a > 0, a funcao y = ax2 + bx + c atinge seu valor mınimo igual a c − b2

4a, e ele e

atingido quando x = − b

2a;

2. Se a < 0, a funcao y = ax2 + bx + c atinge seu valor maximo igual a c − b2

4a, e ele e

atingido quando x = − b

2a.

Exemplo 5.14 Analize os valores maximo e mınimo da funcao

y = 3x2 + 6x+ 7.

Solucao: Escrevamos y na seguinte forma

3x2 + 6x+ 7 = 3(x+ 1)2 + 4.

Entao daqui segue, que a funcao y = 3x2 + 6x + 7 atinge seu valor mınimo igual a 4, e ele eatingido quando x = −1. Como a funcao y = 3x2 + 6x+ 7 nao e limitada superiormente, entaoa funcao nao possui valor maximo.

71

Exemplo 5.15 Encontre os valores maximo e mınimo da funcao

y = 2 sin 3x+ 5 cos 3x.

Solucao: Escrevamos a funcao y da seguinte forma;

y = 2 sin 3x+ 5 cos 3x =√

22 + 52

(2√

22 + 52sin 3x+

5√22 + 52

cos 3x

)=

=√

29(cosα sin 3x+ sinα cos 3x) =

=√

29 sin(3x+ α),

onde α = arccos 2√29

= arcsin 5√29

. Como o maximo valor da funcao sin(3x+ α) e igual a 1 e o

mınimo valor e igual a −1, entao o valor maximo da funcao y = 2 sin 3x + 5 cos 3x e√

29 e omınimo valoe e −

√29.

5.6 Funcoes Periodicas

A funcao f(x), x ∈ X chama-se periodica em X, se existe um numero T, T 6= 0, chamadoperıodo da funcao, tal que:

1. x+ T e x− T pertencem ao conjunto X para cada x ∈ X;

2. Para cada x ∈ X temos a igualdade

f(x+ T = f(x).

0 X

Y

1 2-1-2

0,75

1,5

Assim por exemplo na figura acima e mostrado o grafico da funcao com perıodo 1.

72

Exemplo 5.16 Mostre que se a funcao

f(x) = sinx+ cos bx

e periodica, entao b e um numero racional.

Solucao: Observamos que o domınio da funcao e R. Por hipotese f(x) e periodica. SeT (T 6= 0) e o perıodo da funcao, entao para cada x e b, temos

sin(x+ T ) + cos b(x+ T ) = sinx+ cos bx.

Escrevamos nesta igualdade, x = 0 e x = −T , obtemos

sinT + cos bT = 1− sinT + cos bT = 1.

Somando estas duas equacoes e logo simplificando por 2, obtemos

cos bT = 1, isto e bT = 2πm, m ∈ Z,

Subtraindo a segunda equacao da primeira e logo simplificando por 2, obtemos

sinT = 0, isto e T = πk, k ∈ Z.

Donde bπk = 2πm. Como T 6= 0, entao k 6= 0; e portanto,

b = 2m/k, isto e b ∈ Q.

Definicao 5.6.1 O menor dos perıodos positivos de uma funcao periodica chama-se perıodoprincipal.

Exemplo 5.17 Encontre o perıodo principal da funcao

y = 4 cos x+ 2 cos 2x.

Solucao: Observamos que o domınio da funcao e toda a reta numerica. Seja T o perıodo dafuncao dada, entao para qualquer x ∈ R temos

4 cos(x+ T ) + 2 cos 2(x+ T ) = 4 cosx+ 2 cos 2x.

Em particular se x = 0, obtemos

4 cosT + 2 cos 2T = 6.

Como cosT ≤ 1 e cos 2T ≤ 1, entao 4 cosT + 2 cos 2T ≤ 6. Por isso o numero T satisfaz oseguinte sistema {

cosT = 1cos 2T = 1.

Entre as possıveis solucoes deste sistema, a menor solucao positiva e o numero To = 2π.De fato, o = 2π e o menor perıodo da funcao, pois x + 2π e x − 2π pertencem ao domınio

da funcao e alem disso

4 cos(x+ 2π) + 2 cos 2(x+ 2π) = 4 cosx+ 2 cos 2x x ∈ R.

Desta forma o numero To = 2π e o perıodo principal da funcao 4 cos x+ 2 cos 2x.

73

5.7 Funcoes Convexas

A funcao f(x) contınua no intervalo X chama-se concava para cima se para quaisquer x1

e x2 deste intervalo e qualquer α ∈ (0, 1) temos a desigualdade

f(αx1 + (1− α)x2) ≥ αf(x1) + (1− α)f(x2)

(respectivamente concava para baixo se

f(αx1 + (1− α)x2) ≤ αf(x1) + (1− α)f(x2)).

Geometricamente, a propriedade de concavidade para cima da funcao f(x) no intervalo Xsignifica que os pontos de qualquer arco AB do grafico da funcao y = f(x), onde A = x1, f(x1))e B = (x2, f(x2)) estao acima da corda que contem estes pontos.

A

B

0 X

Y

x x1 2

Grafico de f(x)

Figura 5.9: A = (x1, f(x1)) e B = (x2, f(x2))

Exemplo 5.18 Mostre que a funcao y = x2 e concava para baixo em toda a reta numerica.

Prova: Consideremos dois numeros arbitrarios x1 e x2 e α ∈ (0, 1). Entao

y(αx1 + (1− α)x2) = (αx1 + (1− α)x2)2 == α2x2

1 + 2α(1− α)x1x2 + (1− α)x22,

eαy(x1) + (1− α)y(x2) = αx2

1 + (1− α)x22,

e comoy(αx1 + (1− α)x2)− αy(x1) + (1− α)y(x2) == α2x2

1 + 2α(1− α)x1x2 + (1− α)x22 − αx2

1 − (1− α)x22 =

= x21(α2 − α) + x2

2((1− α)2 − (1− α)) + 2α(1− α)x1x2 == x2

1(α2 − α) + x22(α2 − α)− 2(α2 − α)x1x2 =

= (α2 − α)(x21 − 2x1x2 + x2

2) == α(α− 1)(x1 − x2)2 < 0,

74

segue que y = x2 e concava para baixo.

Para funcoes contınuas no intervalo, a definicao dada de convexidade acima(para α = 1/2)e equivalente a seguinte definicao:

Definicao 5.7.1 A funcao f(x), contınua no intervalo X, chama-se concava para cima(parabaixo), se para quaiquer x1 e x2 deste intervalo temos a seguinte desigualdade

f

(x1 + x2

2

)≥ f(x1) + f(x2)

2.

(Correspondentemente a desigualdade

f

(x1 + x2

2

)≤ f(x1) + f(x2)

2.

Exemplo 5.19 Encontre os intervalos de concavidade da funcao y = x3.

Prova: Encontremos o sinal da diferenca f

(x1 + x2

2

)− f(x1) + f(x2)

2para a funcao dada.

Assim, temos (x1 + x2

2

)3

− x31 + x3

2

2=−3x3

1 + 3x21x2 + 3x1x

22 − 3x3

2

8=

= −3

8(x1 + x2)(x1 − x2)2.

Desta forma, se x2 > x1 ≥ 0, a desigualdade acima e negativa e portanto, a funcao y = x3

e concava para baixo no intervalo [0,+∞); se x1 < x2 ≤ 0, entao a desigualdade e positiva,eportanto a funcao y = x3 e concava para cima no intervalo (−∞, 0].

Exemplo 5.20 Mostre que a funcao y = sinx e concava para cima no intervalo [0, π].

Prova: E necessario mostrar que

sinx1 + x2

2≥ sinx1 + sinx2

2, para quaisquer x1, x2 ∈ [0, π].

Temos

sinx1 + x2

2− sinx1 + sinx2

2= sin

x1 + x2

2−

2 sin x1+x2

2cos x1−x2

2

2=

= sinx1 + x2

2

(1− cos(x1 − x2)

2

).

Como 0 ≤ x1 ≤ π e 0 ≤ x2 ≤ π entao 0 ≤ x1 + x2

2≤ π, e portanto sin

x1 + x2

2≥ 0. Alem

disso

(1− cos(x1 − x2)

2

)≥ 0, entao para quaisquer x1 e x2 do intervalo [0, π], temos a seguinte

desigualdade

sinx1 + x2

2≥ sinx1 + sinx2

2.

75

5.7.1 Propriedades das Funcoes Convexas

1. Se a funcao f(x) e concava para cima (para baixo), entao a funcao −f(x) e concava parabaixo(para cima).

2. O produto de uma funcao concava para cima (para baixo) por uma constante positiva euma funcao concava para cima(para baixo).

3. A soma de duas funcoes concavas para cima(para baixo) num mesmo intervalo tambeme uma funcao concava para cima(para baixo).

4. Seja a funcao y = ϕ(u) concava para baixo e a funcao crescente u = f(x) tambemconcava para baixo. Entao a funcao composta y = ϕ(f(x)) sera concava para baixo.

5. Sejam as funcoes y = f(x) e y = g(x) mutuamente inversas no seu domınio comum dedefinicao, entao

(a) Se a funcao f(x) e concava para cima e crescente, entao a funcao g(x) e concavapara cima e crescente.

(b) Se a funcao f(x) e concava para cima e decrescente, entao a funcao g(x) e concavapara cima e decrescente.

(c) Se a funcao f(x) e concava para baixo e decrescente, entao a funcao g(x) e concavapara baixo e decrescente.

(d) Se a funcao f(x) e concava para baixo e crescente, entao a funcao g(x) e concavapara cima e crescente.

6. Uma funcao f(x) nao constante concava para baixo(para cima) no intervalo [a, b], naopode atingir seu maximo (mınimo) valor nos pontos interiores do intervalo [a, b].

7. Se cada uma das funcoes f1(x), f2(x), . . . , fn(x) e concava para cima em algum intervalo etoma somente valores nao negativos, entao a funcao

√f1(x) . . . fn(x) tambem e concava

para cima nesse intervalo.

Observacao 5.1 Observamos que o produto de duas funcoes concavas para cima num mesmointervalo, pode e nao ser concava para cima. De fato, consideremos a funcao real y = x2/3

para x ≥ 0. Esta funcao e concava para cima, no entanto a funcao y = x2/3.x2/3 = x4/3, x ≥ 0,e uma funcao concava para baixo.

Exemplo 5.21 Mostre que a funcao y = loga x, a > 1, e uma funcao concava para cima nointervalo (0,∞).

76

0 X

Y

y = x

y = x4 3

2 3

1

1

Prova: Sejam x1, x2 ∈ (0,∞) dois pontos quaisquer tais que 0 < x1 < x2. Temos

logax1 + x2

2− 1

2loga x1 −

1

2loga x2 = loga

x1 + x2

2√x1x2

.

Da desigualdade da media aritmetica e media geometrica

x1 + x2

2≥√x1x2,

segue quex1 + x2

2√x1x2

≥ 1.

Portanto

logax1 + x2

2√x1x2

≥ 0,

e com isso

logax1 + x2

2≥ loga x1 + loga x2

2.

E isto significa que a funcao y = loga x, a > 1, e uma funcao concava para cima no intervalo(0,∞).

Exemplo 5.22 Analizar a concavidade da funcao

y = ax2 + bx+ c.

Solucao: Se a = 0, entao a funcao dada e linear e por isso pode ser considerada ou concavapara cima ou concava para baixo.

Se a 6= 0, entao podemos escrever a funcao dada como

y = a

(x+

b

2a

)2

− b2 − 4ac

4a.

77

Daqui, notamos que a funcao y = ax2+bx+c, obtem-se da funcao y =

(x+

b

2a

)2

multiplicando

por uma constante a e adicionando o numerob2 − 4ac

4a. Como a adicao de uma constante nao

influencia na concavidade, entao e suficiente analizar a concavidad da funcao y = a

(x+

b

2a

)2

.

A funcao y = a

(x+

b

2a

)2

e concava para baixo em toda a reta numerica. Disto concluimos

que que se a > 0 a funcao y = a

(x+

b

2a

)2

, por conseguinte a funcao y = ax2 +bx+c e concava

para baixo em toda a reta numerica. Se a < 0 a funcao y = ax2 + bx + c e concava para cimaem toda a reta numerica.

78

Capıtulo 6

Graficos de Funcoes

6.1 Propriedades e Grafico das Funcoes Elementares

O grafico de uma funcao y = f(x), x ∈ X, chama-se o conjunto Γf de todos os pontos doplano cartesiano X0Y do tipo (x, f(x)), onde x ∈ X, isto e,

Γf = {(x, y); x ∈ X, y = f(x)}.

O analise das propriedades da funcao se realiza seguindo o seguinte esquema:

1. Encontrar o domınio da funcao, no caso em que nao e dado o intervalo de definicao;

2. Encontramos os zeros da funcao e os intervalos nos quais ela e positiva e/ou negativa.Estudar o comportamento da funcao na fronteira do domınio, em particular quandox→ +∞ e x→ −∞ se o domınio nao e limitado;

3. Esclarecer se a funcao e par ou ımpar;

4. Esclarecer se a funcao e periodica;

5. Esclarecer se a funcao e limitada;

6. Encontrar os pontos de extremos e os intervalos de crescomento e decrescimento da funcao;

7. Encontrar os pontos de convexidade da funcao.

Exemplo 6.1 A funcao Potencia y = xα

• y = x2m, m ∈ N1). Domınio: (−∞,+∞);2). Imagem: [0,+∞);3). A funcao e nula em um unico ponto, x = 0; nos intervalos (−∞, 0) e (0,+∞) a funcao

79

e positiva;4). A funcao e par;5). A funcao nao e periodica;6). A funcao e limitada inferiormente, mas nao e limitada superiormente, pois

limx→+∞

x2m = limx→−∞

x2m = +∞;

7). O ponto x = 0 e o ponto de mınimo, (f0) = 0;8). A funcao nao e monotona em todo o domınio; ela decresce no intervalo (−∞, 0] ecresce no intevalo [0,+∞);9). A funcao e concava para baixo em todo o domınio.

0 X

Y

III

Figura 6.1: I y = x2, II y = x4

• y = x2m−1, m ∈ N1). Domınio: (−∞,+∞);2). Imagem: (−∞,+∞);3). A funcao e nula em um unico ponto, x = 0; no intervalo (−∞, 0) a funcao e negativa,e no intervalo (0,+∞) a funcao e positiva;4). A funcao e ımpar;5). A funcao nao e periodica;6). A funcao nao e limitada superiormente nem inferiormente, pois

limx→+∞

x2m−1 = +∞, limx→−∞

x2m−1 = −∞;

7). A funcao nao tem pontos de extremo;8). A funcao cresce em todo o domınio;

80

9). A funcao e concava para cima no intervalo (−∞, 0] e concava para baixo no intervalo[0,+∞).

0 X

Y

I

IIIII

Figura 6.2: I : y = x II : y = x3, III : y = x5

• y = x−2m, m ∈ N1). Domınio: (−∞, 0) ∪ (0,+∞);2). Imagem: (0,+∞);3). A funcao nao toma valor zeo; nos intervalos (−∞, 0) e (0,+∞) a funcao e positiva;4). A funcao e par;5). A funcao nao e periodica;6). A funcao e limitada inferiormente, mas nao e limitada superiormente, alem disso,

limx→0+

x−2m = limx→0−

x−2m = +∞,

limx→+∞

x−2m = limx→−∞

x−2m = 0.

A reta x = 0 e uma asimtota vertical, e a reta y = 0 e uma asimtota horizontal;7). A funcao nao tem pontos de extremo;8). A funcao nao e monotona em todo o domınio; ela decresce no intervalo (−∞, 0) ecresce no intevalo (0,+∞);9). A funcao e concava para baixo nos intervalos (−∞, 0) e (0,+∞).

81

0 X

YIIII II

Figura 6.3: I : y = 1/x2 II : y = 1/x4

• y = x−2m+1, m ∈ N1). Domınio: (−∞, 0) ∪ (0,+∞);2). Imagem: (−∞, 0) ∪ (0,+∞);3). A funcao nao toma valor zero; no intervalo (−∞, 0) a funcao e negativa, e no intervalo(0,+∞) a funcao e positiva;4). A funcao e ımpar;5). A funcao nao e periodica;6). A funcao nao e limitada inferiormente nem limitada superiormente, alem disso,

limx→0+

x−2m+1 = +∞, limx→0−

x−2m+1 = −∞,

limx→+∞

x−2m+1 = 0, limx→−∞

x−2m+1 = 0.

A reta x = 0 e uma asimtota vertical, e a reta y = 0 e uma asimtota horizontal;7). A funcao nao tem pontos de extremo;8). A funcao nao e monotona em todo o domınio; ela decresce nos intervalos (−∞, 0) e(0,+∞);9). A funcao e concava para cima no intervalo (−∞, 0) e concava para baixo no intervalo(0,+∞).

82

I

I

II

II

0 X

Y

Figura 6.4: I : y = 1/x II : y = 1/x3

• y = xα, α ∈ R+

1). Domınio: [0,+∞);2). Imagem: [0,+∞);3). A funcao toma valor zero no ponto x = 0; no intervalo (0,+∞) a funcao e positiva;4). A funcao nao e par nem ımpar;5). A funcao nao e periodica;6). A funcao e limitada inferiormente, mas nao e limitada superiormente, isto e,

limx→+∞

xα = +∞;

7). A funcao toma o valor mınimo y = 0 quando x = 0;8). A funcao cresce em todo o domınio;9). A funcao e concava para cima se α > 1 e e concava para baixo quando 0 < α < 1.

83

0 X

Y

I

II

Figura 6.5: I : y = x1√

12 II : y = xe

• y = x−α, α ∈ R+

1). Domınio: (0,+∞);2). Imagem: (0,+∞);3). A funcao e positiva no intervalo (0,+∞);4). A funcao nao e par nem ımpar;5). A funcao nao e periodica;6). A funcao e limitada inferiormente, mas nao e limitada superiormente, isto e,

limx→0+

x−α = +∞, limx→+∞

x−α = 0.

A reta x = 0 e uma asimptota vertical, e a reta y = 0 e uma asimptota horizontal;7). A funcao nao tem pontos de extremo;8). A funcao decresce em todo o domınio;9). A funcao e concava para baixo em todo o domınio.

• y = |x|1). Domınio: (−∞,+∞);2). Imagem: [0,+∞);3). A funcao toma valor zero somente no ponto x = 0, e e positiva nos intervalo (−∞, 0)e (0,+∞);4). A funcao e par;5). A funcao nao e periodica;6). A funcao e limitada inferiormente, mas nao e limitada superiormente, isto e,

limx→+∞

|x| = limx→−∞

|x| = +∞.

84

0 X

Y

III

Figura 6.6: I : y =1√x

II :1

[4]√x

7). O ponto x = 0 e um ponto de mınimo, nesse ponto a funcao e igual a zero;8). A funcao decresce no intervalo (−∞, 0) e cresce no intervalo (0,+∞);9). No intervalo (−∞, 0) a funcao e igual a y = −x; no intervalo (0,+∞) a funcao e iguala y = x.

• y = ax, a > 0, a 6= 11). Domınio: (−∞,+∞);2). Imagem: (0,+∞);3). A funcao e positiva em todo o domınio;4). A funcao nao e par nem ımpar;5). A funcao nao e periodica;6). A funcao e limitada inferiormente, mas nao e limitada superiormente, alem disso,

i)Se a > 1 limx→+∞

ax = +∞, limx→−∞

ax = 0;

ii)Se 0 < a < 1 limx→+∞

ax = 0, limx→−∞

ax = +∞.

A reta y = 0 e asimptota horizontal da funcao y = ax;7). A funcao nao tem pontos de extremo;8). A funcao decresce no domınio se 0 < a < 1 e cresce se a > 1;9). No intervalo (−∞,+∞) a funcao e concava para baixo.

• Funcao logaritmo y = loga x, a > 0, a 6= 11). Domınio: (0,+∞);2). Imagem: (−∞,+∞);

85

0 X

Y

Figura 6.7: y = |x|

00 X X

Y Y

I

IIIII

IV

a ¿ 1 0 ¡ a ¡ 1

Figura 6.8: I : y = 1, 2x II : y = 2x III : y = 0, 2x IV : y = 0, 8x

86

3). A funcao e igual a 1 no unico ponto x = 1; quando a > 1 a funcao e positiva nointervalo (1,+∞) e e negativa no intervalo (0, 1); quando 0 < x < 1 a funcao e positivano intervalo (0, 1) e e negativa no intervalo (1,+∞);4). A funcao nao e par nem ımpar;5). A funcao nao e periodica;6). A funcao nao e limitada inferiormente nem limitada superiormente, alem disso,

i)Se a > 1 limx→0+

loga x = −∞, limx→+∞

loga x = +∞;

ii)Se 0 < a < 1 limx→0+

loga x = +∞, limx→+∞

loga x = −∞.

A reta x = 0 e asimptota vertical da funcao y = loga x;7). A funcao nao tem pontos de extremo;8). Se a > 1 a funcao cresce no seu domınio; se 0 < a < 1, a funcao decresce no seudomınio;9). No seu domınio a funcao e concava para cima se a > 1; E concava para baixo se0 < a < 1.

0

0

X

X

Y Y

I

II

III

IV

(1,0)

(1,0)

a ¿ 1 0 ¡ a ¡ 1

Figura 6.9: I : y = log2 x II : y = lnx III : y = log0,1 x IV : y = log2/3 x

• Funcao y = sinx1). Domınio: (−∞,+∞);2). Imagem: [−1, 1];3). A funcao toma valor zero quando x = nπ, n ∈ Z; ela e positiva nos intervalos(2πk, π + 2πk), k ∈ Z, e negativa nos intervalos (π + 2πk, 2π(k + 1)), k ∈ Z;4). A funcao e ımpar;

87

5). A funcao e periodica, de perıodo principal 2π;6). A funcao e limitada inferior e superiormente;7). Os pontos x = π/2 + 2πm, m ∈ Z, sao pontos de maximo local sin(π/2 + 2πm) = 1;os pontos x = −π/2+2πm, m ∈ Z, sao pontos de mınimo local sin(−π/2+2πm) = −1;8). A funcao nao e monotona em todo seu domınio, mas a funcao cresce emcada intervalo [−π/2 + 2πk, π/2 + 2πk] k ∈ Z e decresce em cada inter-valo [π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk] k ∈ Z;9). A funcao e concava para cima em cada intervalo [2πl, π+ 2πl] l ∈ Z ; e concava parabaixo no intervalo [π + 2πl, 2π + 2πl] l ∈ Z.

• Funcao y = cosx1). Domınio: (−∞,+∞);2). Imagem: [−1, 1];3). A funcao toma valor zero quando x = π2 + πn, n ∈ Z; ela e positiva nos intervalos(−π/2 + 2πl, π/2 + 2πl), l ∈ Z, e negativa nos intervalos (π/2 + 2πk, 3π/2 + 2πk), k ∈ Z;4). A funcao e par;5). A funcao e periodica, de perıodo principal 2π;6). A funcao e limitada inferior e superiormente;7). Os pontos x = 2πk, k ∈ Z, sao pontos de maximo local cos(2πk) = 1; os pontosx = π + 2πk, k ∈ Z, sao pontos de mınimo local cos(π + 2πk) = −1;8). A funcao nao e monotona em todo seu domınio, mas a funcao cresce em cadaintervalo [2πk − π, 2πk] k ∈ Z e decresce em cada intervalo [2πk, 2πk + π] k ∈ Z;9). A funcao e concava para cima em cada intervalo [−π/2 + 2πl, π/2 + 2πl] l ∈ Z ; econcava para baixo no intervalo [π/2 + 2πl, 3π/2 + 2πl] l ∈ Z.

• Funcao y = tanx

1). Domınio: x ∈ R exeto os pontos x =π

2+ πk, k ∈ Z;

2). Imagem: (−∞,+∞);3). A funcao toma valor zero quando x = πk, k ∈ Z; ela e positiva nos intervalos(πk, π/2 + πk), k ∈ Z, e negativa nos intervalos (πk − π/2, πk), k ∈ Z;4). A funcao e ımpar;5). A funcao e periodica, de perıodo principal π;6). A funcao nao e limitada inferior nem superiormente;7). A funcao nao tem pontos de extremo.8). A funcao nao e monotona em todo seu domınio, mas a funcao cresce em cada um dosintervalos (πk − π/2, πk + π/2) k ∈ Z;9). A funcao e concava para cima em cada intervalo (πk − π/2, πk) k ∈ Z ; e concavapara baixo no intervalo [πk, π/2 + πk) k ∈ Z.

• Funcao y = cotx1). Domınio: x ∈ R exeto os pontos x = πk, k ∈ Z;2). Imagem: (−∞,+∞);3). A funcao toma valor zero quando x = π/2 + kπ, k ∈ Z; ela e positiva nos intervalos(πk, π/2 + πk), k ∈ Z, e negativa nos intervalos (π/2 + kπ, π + πk), k ∈ Z;4). A funcao e ımpar;

88

5). A funcao e periodica, de perıodo principal π;6). A funcao nao e limitada inferior nem superiormente;7). A funcao nao tem pontos de extremo.8). A funcao nao e monotona em todo seu domınio, mas a funcao decresce em cada umdos intervalos (πk, π + kπ) k ∈ Z;9). A funcao e concava para cima em cada intervalo [π/2 + kπ, π+ kπ) k ∈ Z; e concavapara baixo no intervalo (kπ, π/2 + kπ) k ∈ Z.

• Funcao y = arcsinx1). Domınio: [−1, 1];2). Imagem: [−π/2, π/2];3). A funcao toma valor zero em um unico ponto x = 0; ela e positiva no intervalo (0, 1],e negativa no intervalo [−1, 0);4). A funcao e ımpar;5). A funcao nao e periodica;6). A funcao e limitada inferior e superiormente, portanto limitada;7). A funcao atinge seu maximo valor y = π/2 quando x = 1; e seu mınimo valory = −π/2 quando x = −1;8). A funcao e monotona crescente em todo seu domınio;9). A funcao e concava para cima no intervalo [−1, 0); e concava para baixo no intervalo[0, 1].

• Funcao y = arccosx1). Domınio: [−1, 1];2). Imagem: [0, π];3). A funcao toma valor zero em um unico ponto x = 1; ela e positiva no intervalo[−1, 1), e negativa no intervalo [−1, 0);4). A funcao nao e par nem ımpar;5). A funcao nao e periodica;6). A funcao e limitada inferior e superiormente, portanto limitada;7). A funcao atinge seu maximo valor y = π quando x = 1; e seu mınimo valor y = 0quando x = −1;8). A funcao e monotona decrescente em todo seu domınio;9). A funcao e concava para cima no intervalo [0, 1]; e concava para baixo no intervalo[−1, 0].

6.2 Metodos Simples para Construir os graficos das

funcoes

Escrevamos algumas observacoes com relacao ao comportamento do grafico da funcao emdependencia de suas propriedades:

1. Se o domınio da funcao consiste de um numero de intervalos, entao seu grafico se encontra

89

em planos verticais. assim, por exemplo, a funcao

y =1√

x(x− 1)(x− 3),

cujo domınio e o conjunto (0, 1) ∪ (3,+∞), e seu grafico encontra-se nos planos verticaissublinhados, como o indica a figura ao lado.

0

x=1 x=3

X

Y

x=0

2. Os zeros da funcao y = f(x) sao os pontos do eixo OX, nos quais o grafico da funcaocorta este eixo.

3. Assintotas

(a) A reta x = a chama-se assintota vertical do grafico da funcao y = f(x), se temos aomenos uma das duas condicoes:

limx→a+

|f(x)| = +∞, limx→a−

|f(x)| = +∞.

(b) A reta y = b chama-se assintota horizontal do grafico da funcao y = f(x), se temosao menos uma das duas condicoes:

limx→+∞

f(x) = b, limx→−∞

f(x) = b.

(c) A reta y = kx + b chama-se asimptota do grafico da funcao y = f(x), se temos aomenos uma das duas condicoes:

limx→+∞

(f(x)− kx− b) = 0, limx→−∞

(f(x)− kx− b) = 0.

Para calcular a assintota y = kx + b do grafico da funcao y = f(x), quando x →+∞(x→ −∞) usamos a seguinte formulas:

k = limx→+∞x→−∞

f(x)

x, b = lim

x→+∞x→−∞

(f(x)− kx).

90

0 0X X

YY

assintota vertical

assintota horizontal

assintota

4. O grafico de uma funcao par e simetrico com relacao ao eixo OY , e o grafico de umafuncao ımpar e simetrico com relacao a origem 0.

5. O grafico de uma funcao periodica y = f(x), x ∈ X com perıodo T > 0 normalmenteconstrui-se no conjunto X ∩ [0, T ], e logo periodicamente estende-se a cada conjunto daforma [kT, (k + 1)T ] ∩X, k ∈ Z/{0}.

6. O grafico de uma funcao limitada inferiormente (superiormente) esta colocado acima(baixo) de uma reta horizontal y = C, onde C e uma constante.. Assim, o grafico deuma funcao limitada esta entre duas retas horizontais.

7. A propriedade de crescimento(decrescimento), significa que com o aumento de x, au-menta(diminui) o valor da funcao y = f(x).

Por regra, numa vizinhanca de um ponto x que e maximo local (mınimo), o grafico dafuncao para valores a esquerda deste ponto, isto e, (x− ε, x), cresce(decresce), e a direita(x, x+ ε), decresce(cresce).

8. O grafico da funcao y = f(x), dado no intervalo [a, b] que e concava para cima (baixo)neste intervalo esta acima da reta que pasa pelos pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).

Exemplo 6.2 Analize a funcao y = x+1

xe construa seu grafico.

1). O domınio da funcao e R− {0}.2). Como

x+1

x=x2 + 1

x,

91

concava para cimaconcava para baixo

0 0X X

Y Y

entao y(x) > 0 quando x > 0 e y(x) < 0 quando x < 0. Esta funcao nao se anula para nenhumvalor de x do seu domınio.

A reta x = 0 e uma assintota vertical, pois

limx→0+

(x+1

x) = +∞, lim

x→0−(x+

1

x) = −∞.

Verifiquemos, se existe a assintota do grafico da funcao;

k = limx→∞

(y(x)

x) = lim

x→+∞(1 +

1

x2) = 1,

b = limx→∞

(y(x)− x) = limx→+∞

(1

x) = 0.

Entao a reta y = x e a ssintota do grafico da funcao y = x+1

xquando x→ +∞. Analogamente

mostra-se que a reta y = x e a assintota do grafico da funcao y = x+1

xquando x→ −∞.

3). Para qualquer x do domınio da funcao, temos

y(−x) = −x+1

−x= −(x+

1

x) = −y(x),

entao a funcao y(x) = x+1

xe ımpar.

4). A funcao dada nao e periodica.5). Se x > 0, entao

y(x) = x+1

x= (√x)2 − 2

√x

1√x

+ (1√x

)2 + 2

= (√x− 1√

x)2 + 2 ≥ 2,

92

e por isso a funcao e limitada inferiormente no intervalo (0,+∞). Segue daqui, considerandoque a funcao dada e ımpar, que a funcao e limitada superiormente no intervalo (−∞, 0), isto

e, x+1

x≤ −2. Ao mesmo tempo, notamos que

limx→−∞

f(x) = −∞, limx→+∞

f(x) = +∞.

Por este motivo, a funcao nao e limitada nem superiormente nem inferiormente.6). Para quaiquer numeros reais positivos x1 e x2, temos

y(x2)− y(x1) = (x2 +1

x2

)− (x1 +1

x1

) = (x2 − x1)− x2 − x1

x1x2

=

= (x2 − x1)(1− 1

x1x2

).

Se 0 < x1 < x2 ≤ 1, entao x2 − x1 > 0 e (1 − 1

x1x2

) < 0. Por isso, y(x2) < y(x1), e portanto

no intervalo (0, 1] a funcao e decrescente.

Se 1 ≤ x1 < x2, entao x2− x1 > 0 e (1− 1

x1x2

) > 0. Por isso, y(x2) > y(x1), e portanto no

intervalo [1,+∞) a funcao e crescente.Como y(x) e uma funcao ımpar, segue que no intervalo (−∞,−1] ela cresce, e no intervalo

[−1, 0) decresce.O ponto x = 1 e um ponto de maximo local, e o ponto x = −1 e um ponto de mınimo local,

isto ey(1) = 2, y(−1) = −2.

7). Para o analise da concavidade do grafico da funcao, observamos que

y(x1 + x2

2)− y(x1) + y(x2)

2=x1 + x2

2+

2

x+x2

−x1 + 1

x1+ x2 + 1

x2

2=

= x1

2+ x2

2+

2

x+x2

− x1

2− x2

2− x1 + x2

2x1x2

=

=2

x+x2

− x1 + x2

2x1x2

=

=4x1x2 − (x1 + x2)2

2x1x2(x1 + x2)= − (x1 − x2)2

2x1x2(x1 + x2).

Segue daqui, que se os numeros reais positivos x1 e x2 sao tais que x1 < x2, entao

− (x1 − x2)2

2x1x2(x1 + x2)< 0,

e portanto, no intervalo (0,+∞) a funcao y = x +1

xe concava para cima. Como a funcao e

ımpar, entao, no intervalo (−∞, 0) ela e concava para baixo.

O grafico da funcao y = x+1

xe dado na seguinte figura.

Analogamente ao feito acima, podemos analizar as propriedades da funcao y = x − 1

x, e

tracar seu grafico corespondente,

93

y=x

y=x+1/x

0 X

Y

1

(1,2)

(-1,-2)

y=x

y=x-1/x

1-1

assintota

X

Y

94

Exemplo 6.3 Analize a funcao y = x3 − x e construa seu grafico.

1). O domınio da funcao e R.2). Como y(x) = x3 − x = x(x− 1)(x+ 1), entao

• y(x) > 0 para −1 < x < 0 e x > 1;

• y(x) < 0 para x < −1 e 0 < x < 1;

• y(0) = y(−1) = y(1) = 0.

O grafico da funcao y(x) = x3 − x nao possui assintotas vertical nem horizontal. Alem disso,

limx→∞

y(x)

x= lim

x→∞(x2 − 1) = +∞,

e portanto o grafico da funcao dada na tem assintota;3). Para qualquer x do domınio da funcao, temos

y(−x) = (−x)3 − (−x) = −x3 + x = −(x3 − x) = −y(x),

entao a funcao y(x) = x3 − x e ımpar.4). A funcao dada nao e periodica, pois e igual a zero em apenas tres pontos5). A funcao nao e limitada ne inferior nem superiormente, pois,

limx→+∞

y(x) = limx→+∞

(x3 − x) = limx→∞

x3(1− 1

x2) = +∞,

limx→−∞

y(x) = limx→−∞

(x3 − x) = limx→∞

x3(1− 1

x2) = −∞.

6). Para encontrar os intervalos de crescimento e decrescimento da funcao podemos restringir-mos ao intervalo [0,+∞), pois a funcao e ımpar.

Mostremos que no intervalo [1/√

3,+∞) a funcao y(x) = x3 − x cresce e no intervalo[0, 1/

√3] decresce. De fato, se x1, x2 ∈ [1/

√3,+∞) com x1 > x2, entao

x31 − x1 > x3

2 − x2,

isto e,(x1 − x2)(x2

1 + x1x2 + x22 − 1) > 0,

que e equivalente a desigualdade

(x21 + x1x2 + x2

2 − 1) > 0. (6.1)

Pelas desigualdades aritmetica e geometrica entre tres numeros , obtemos

x21 + x1x2 + x2

2 > 3 3

√x2

1x1x2x22 > 3x1x2 > 1.

Desta forma, a desigualdade (6.1) cumpre-se para todos x1 e x2, tais que x1 > x2 ≥ 1/√

3;desta forma a funcao y = x3 − x cresce no intervalo [1/

√3,+∞) .

95

se x1 e x2 sao tais que 0 ≤ x2 < x1 ≤ 1/√

3, entao

x21 + x1x2 + x2

2 < (1√3

)2 +1√3

1√3

+ (1√3

)2 = 1,

portanto(x1 − x2)(x2

1 + x1x2 + x22 − 1) < 0.

Daqui segue que, para todos x1 e x2, tais que 0 ≤ x2 < x1 ≤ 1/√

3 tem lugar a desigualdadex3

1 − x1 < x32 − x2, ; Desta forma a funcao y = x3 − x decresce no intervalo [0, 1/

√3] .

Como no intervalo [0, 1/√

3] a funcao y = x3−x decresce e no intervalo [1/√

3,+∞) cresce,entao o ponto x = 1/

√3 e ponto de mınimo local, e y(1/

√3) = −2

√3/9. Como y(x) e uma

funcao ımpar, segue que no intervalo (−∞,−1/√

3] a funcao cresce, e no intervalo [−1/√

3, 0]decresce, e portanto o ponto x = −1/

√3 e um ponto de maximo local, e y(−1/

√3) = 2

√3/9.

7). Mostremos que o grafico da funcao tem concavidade para baixo no intervalo [0,+∞). Paraisto, e suficiente mostrar a seguinte desigualdade

(x31 − x1) + (x3

2 − x2)

2) > (

x1 + x2

2)3 − x1 + x2

2(6.2)

tem lugar para quaiquer x1 e x2 tais que x1 > x2 ≥ 0. A desigualdade (6.2) e equivalente acada uma das desigualdades

(x1 + x2)(x21 − x1x2 + x2

2 − 1)

2) >

x1 + x2

2

((x1 + x2

2)2 − 1

),

x21 − x1x2 + x2

2 > (x1 + x2

2)2,

4x21 − 4x1x2 + 4x2

2 > x21 + 2x1x2 + x2

2,3x2

1 − 6x1x2 + 3x22 > 0,

(x1 − x2) > 0.

O grafico da funcao y = x3 − x e dado na seguinte figura.

96

0 X

Y

1

M

m

Figura 6.10: m = (

√3

3,−2√

3

9), M = (−

√3

3,2√

3

9)

Analogamente ao feito acima, podemos analizar as propriedades da funcao y = x3 + x, etracar seu grafico corespondente,

6.3 Transformacao do Grafico da Funcao y = f (x)

O grafico da funcao da forma

y = Af(ax+ b) +B

pode ser obtido do grafico da funcao y = f(x) com ajuda das seguintes transformacoesgeometricas:

1. (a) Simetria com relacao ao eixo 0X; o ponto (x, y) passa para o ponto (x,−y);

(b) Simetria com relacao ao eixo 0Y ; o ponto (x, y) passa para o ponto (−x, y);

(c) Simetria com relacao a origem 0; o ponto (x, y) passa para o ponto (−x,−y);

2. (a) Translacao paralela ao longo do eixo 0X; o ponto (x, y) passa para o ponto (x+a, y),onde a e algum numero. Se a > 0 a translacao e para a direita, e se a < 0 atranslacao e para a esquerda;

97

p

0 X

Y

Figura 6.11: p = (1,−4

3)

(b) Translacao paralela ao longo do eixo 0Y ; o ponto (x, y) passa para o ponto (x, y+b),onde be algum numero. Se b > 0 a translacao e para cima, e se b < 0 a translacao epara baixo;

3. (a) Estender o grafico da funcao na direcao do eixo 0X;

(b) Estender o grafico da funcao na direcao do eixo 0y;

Exemplo 6.4 Tracar o grafico da funcao y = 2x− 3.

Prova: O grafico da funcao y = 2x − 3 obtem-se do grafico da funcao f(x) = 2x com ajudade uma translacao ao longo do eixo 0Y para baixo, um segmento de comprimento 3.

Escrevendo 2x− 3 na forma 2(x− 3

2), notamos que o grafico da funcao y = 2(x− 3

2) pode

se-obter do grafico da funcao y = 2x com ajuda de uma translacao ao longo do eixo 0X paradireita um segmento de comprimento 3/2.

Exemplo 6.5 Tracar o grafico da funcao y = 2x−3.

Prova: O grafico da funcao y = 2x−3 obtem-se do grafico da funcao f(x) = 2x com ajuda deuma translacao ao longo do eixo 0X para direita, um segmento de comprimento 3.

Exemplo 6.6 Tracar o grafico da funcao y = 4x2.

98

Prova: O grafico da funcao y = 4x2 obtem-se do grafico da funcao f(x) = x2 com ajuda deum esticamente em quatro vezes na direcao do eixo 0Y .

y = x2 =⇒ y = 4x2.

Exemplo 6.7 Tracar o grafico da funcao y = ax2 + bx+ c.

Prova: Podemos escrever o trinomio ax2 + bx+ c na seguinte forma,

a(x+b

2a)2 +

4ac− b2

4a.

daqui, vemos que o grafico da funcao y = ax2 + bx + c obtem-se da parabola y = x2 peloseguinte esquema:

x2 −→ ax2 −→ ax2 +4ac− b2

4a−→ a(x+

b

2a)2 +

4ac− b2

4a,

isto e, para construir o grafico da funcao y = ax2 + bx+ c e necessario:

1. Esticar a funcao y = x2 em |a| vezes, se |a| > 1(encolher em 1/|a| vezes se |a| < 1), aolongo do eixo 0Y

2. Translacao paralela do grafico y = ax2 ao longo do eixo 0Y , num segmento de compri-

mento |4ac− b2

4a| para cima(baixo) se

4ac− b2

4ae positivo(negativo).

3. Apos as transformacoes anteriores, transladamos paralelamente o grafico ao longo do eixo

0X num segmento de comprimento | b2a| para direita, se

b

2a< 0, e para a esquerda, se

b

2a< 0.

Por exemplo, o trinomio x2 − 5x + 6 apos completar quadrado, podemos escrever naforma (x − 5/2)2 − 1/4. Entao a construcao do grafico da funcao y = x2 − 5x + 6 obtem-se pelo seguinte esquema:

x2 −→ x2 − 1/4 −→ (x− 5/2)2 − 1/4.

Analogamente, podemos construir o grafico da funcao y = −x2−2x+ 3 seguindo o seguinteesquema;

x2 −→ −x2 −→ −x2 + 4 −→ −(x+ 1)2 + 4.

Exemplo 6.8 Construir o grafico da funcao

y =ax+ b

cx+ d, c 6= 0.

99

Prova: Suponhamos que ab 6= bc, caso contrario a funcao y = a/c e uma constante. Escreva-

mos a funcao y =ax+ b

cx+ dna forma,

y =a

c− ad− bcc2(x+ d/c)

segue, que o grafico da funcao y =ax+ b

cx+ dpode obter-se do grafico da funcao y =

1

x, por

transformacoes geometricas seguindo o seguinte esquema,

1

x−→ ad− bc

c2

1

x−→ −ad− bc

c2

1

x+ d/c−→ −ad− bc

c2

1

x+ d/c+a

c.

Desta forma, primeiramente e necessario esticar o grafico da funcao y = 1/x ao longo do eixo 0Y

em |bc− adc2

| vezes se ad− bc > 0, logo o grafico obtido e necessario refletir simetricamente com

relcao ao eixo 0X. Depois, precisamos transladar paralelamente no eixo 0X um comprimento de|d/c|(a esquerda se d/c > 0; a dieita se d/c < 0). Por fim, de novo, o grafico obtido e necessariotransladar paralelamente no eixo 0Y um comprimento de |a/c|(para baixo se a/c < 0; paracima se a/c > 0).

Exemplo 6.9 Tracemos o grafico da funcao

2x− 1

x+ 1.

A construcao do grafico da funcao2x− 1

x+ 1= 2− 3

x+ 1podemos realizar-lo seguindo o esquema:

1

x−→ 3

1

x−→ −3

1

x−→ −3

1

x+ 1+ 2 =

2x− 1

x+ 1.


y = A sin(ω(x− ϕ)), A > 0, ω > 0.

Prova: O grafico da funcao dada obtem-se do grafico da funcao y = sin x pelo seguinteesquema:

sinx −→ sin(ωx) −→ A sin(ωx) −→ A sin(ω(x− ϕ)),

isto e, fazendo as seguintes transformacoes:

1. encolhimento em ω vezes ao longo do eixo 0X se ω > 1, e esticamento em 1/ω vezes, se0 < ω < 1;Esticamento em A vezes ao longo do eixo 0Y se A > 1,e encolhimento em 1/A vezes se0 < A < 1;

2. Translacao paralela num intervalo de comprimento |ϕ| ao longo do eixo 0X a esquerda,se ϕ < 0, e a direita, se ϕ > 0.

100


y = 3 sin(3x− π

4).

Prova: O grafico da funcao dada obtem-se do grafico da funcao y = sin x pelo seguinteesquema:

sinx −→ sin 3x −→ 3 sin 3x −→ 3 sin 3(x− π

12) ≡ 3 sin(3x− π

4).


y = |f(x)|.

Prova: O grafico da funcao dada obtem-se do grafico da funcao y = f(x) seguindo a seguinteobservacao:

|f(x)| ={

f(x) para todo x, onde f(x) ≥ 0,−f(x) para todo x, onde f(x) < 0

Desta forma, para construir o grafico da funcao y = |f(x)|, e necessarios que todos os pontosdo grafico da funcao y = f(x) que estao acima do eixo 0X sejam deixados no lugar, e todosos pontos do grafico da funcao y = f(x), que estao abaixo do eixo 0X, simetricamente refletircom relacao ao eixo 0X.

Observamos que o grafico da funcao y = |f(x)| nao tem pontos, que estao abaixo do eixo0X.

Exemplo 6.13 Construir os graficos das funcoes

a)y = |x2 − 5x+ 6|, b)|x− 2

x+ 2|.

Prova:a) O grafico da funcao y = |x2−5x+ 6| obtem-se do grafico da funcao y = x2−5x+ 6 seguindoo seguinte esquema:

x2 −→ (x− 5

2)2 −→ (x− 5

2)2 − 1

4= x2 − 5x+ 6.

b) Comox− 2

x+ 2=x+ 2− 4

x+ 2=x+ 2

x+ 2+−4

x+ 2= 1− 4

x+ 2,

entao, podemos construir o grafico da funcaox− 2

x+ 2pelo esquema,

1

x−→ 4

x−→ −4

x−→ −4

x+ 2−→ 1− 4

x+ 2.

6.4 Grafico de Funcoes mais Complexas

Usando as transformacoes geometricas e suas possıveis combinacoes vistas na secao anterior,podemos construir os graficos de funcoes mais complicadas.

101

0

00

0

0

0 X

X

X

XX

X

Y Y

YY Y

Y

y=x(-1,-1)

(3,3)

y=—x—

(-1,1)

(3,3)

-1

-1

(3,2)

-1

1

(3,2)

y=—x—-1

y=——x—-1—

-1

(-1,-2)

3

y=——x—-1—-2

(-1,2)

1

3

y=———x—-1—-2—

102


y = |||x| − 1| − 2|.

Prova: O grafico da funcao dada, pode ser construida seguindo os seguintes passos

x −→ |x| −→ |x| − 1 −→ ||x| − 1| −→ ||x| − 1| − 2 −→ |||x| − 1| − 2|.

Observamos, que a construcao do grafico da funcao que contenha valor absoluto, pode sertracado usando a definicao de modulo de um numero. De fato, para isto e necessario cortar oeixo 0X em intervalos, de tal forma, que em cada um deles, seguindo a definicao de modulo deum numero, possamos tirar os modulos para obter uma funcao equivalente a funcao dada.


y = |x| − |x+ 1|+ 3|x+ 2|.

Prova: Primeiramente encontramos os pontos crıticos da funcao, da seguinte forma:

x = 0, x+ 1 = 0, x+ 2 = 0.

Estes pontos crıticos, x1 = 0, x2 = −1, x3 = −2, partcicionam o domınio da funcao emquatro intervalos: −∞,−2), [−2,−1], [−1, 0), [0,+∞). a construcao do grafico da funcaoy = |x| − |x+ 1|+ 3|x+ 2| reduz-se a construcao do grafico da funcao equivalente no intervalocorrespondente:

y =

−3x− 5, x ∈ (−∞,−2),3x+ 7, x ∈ [−2,−1],x+ 5, x ∈ (−1, 0),3x+ 5, x ∈ [0,+∞).


y =x

x2 − 1.

Prova: Como a funcao y(−x) = −y(x), entao a funcao e ımpar. Por isto, basta graficar afuncao no intervalo [0,+∞). Para valores de x < 0, o grafico da funcao obtem-se realizandouma reflexao simetria com relacao a origem. O ponto (0, 0 pertence ao grafico da funcao dada.Se x 6= 0, entao podemos escrever a funcao dada na seguinte forma;

y =1

x− 1x

,

isto e, y =1

f(x), onde f(x) = x− 1

x.

Observamos, que a funcao f(x) = x − 1x

no ponto x = 1 e nula, entao a reta x = 1 e umaassintota vertical para a funcao y = 1/f(x), x ∈ (0, 1) ∪ (1,+∞). Como no intervalo (0, 1) afuncao f(x) cresce de −∞ ate 0−, entao a funcao y = 1/f(x) decresce de 0− ate −∞.

No intervalo (1,+∞), a funcao f(x) cresce de 0+ ate +∞, por isso, a funcao y = 1/f(x)decresce de ∞ ate 0+. Com isto, a reta y = 0 e uma assintota horizontal para o grafico dafuncao y = 1/f(x), x ∈ (0, 1) ∪ (1,+∞). Refletindo simetricamente o grafico da funcao

y =x

x2 − 1para valores x < 0 com relacao a origem, obtemos o grafico da funcao nos intervalos

(−∞,−1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1,+∞).

103

0 X

Y

(-2,1)

(-1,4)5

y=3x-5

y=3x+7

y=x+5

y=3x+5

Figura 6.12: grafico da funcao y = |x| − |x+ 1|+ 3|x+ 2|

0 X

Y

A B

C D

Figura 6.13: grafico da funcao y =x

x2 − 1com A = (

1−√

5

2, 1), B = (

1 +√

5

2, 1), C =

(−1−

√5

2,−1), D = (

−1 +√

5

2,−1)

104


y =x

x2 + 1.

Prova: Como a funcao y(−x) = −y(x), entao a funcao e ımpar. Por isto, basta graficar afuncao no intervalo [0,+∞). Para valores de x < 0, o grafico da funcao obtem-se realizandouma reflexao simetria com relacao a origem. O ponto (0, 0 pertence ao grafico da funcao dada.Se x 6= 0, entao podemos escrever a funcao dada na seguinte forma;

y =1

x+ 1x

,

isto e, y =1

f(x), onde f(x) = x+ 1

x.

Observamos, que a funcao f(x) = x + 1x

atinge seu mınimo no ponto x = 1, e f(1) 6= 0,o ponto x = 1 e um ponto de maximo para a funcao y = 1/f(x), x ∈ (0,+∞). Como nointervalo (0, 1) a funcao f(x) decresce de +∞ ate 2+, entao a funcao y = 1/f(x) cresce de 0+

ate 12−.

No intervalo (1,+∞), a funcao f(x) cresce de 2+ ate +∞, por isso, a funcao y = 1/f(x)decresce de 1

2ate 0+. Com isto, a reta y = 0 e uma assintota horizontal para o grafico da funcao

y = 1/f(x), x ∈ (0,+∞). No intervalo (0,√

3] a funcao y = 1/f(x) e concava para cima, eno intervalo [

√3,+∞) a funcao e concava para baixo. Refletindo simetricamente o grafico da

funcao y =x

x2 + 1para valores x < 0 com relacao a origem, obtemos o grafico da funcao nos

intervalos (−∞, 0) ∪ (0,+∞).


y =x2 + 2x+ 3

x+ 2.

Prova: Escrevamos x2 + 2x+ 3 como um desenvolvimento de potencia de (x+ 2),

x2 + 2x+ 3 = (x+ 2)2 − 2(x+ 2).

Assim,

y =(x+ 2)2 − 2(x+ 2) + 3

x+ 2,

ou

y = −2 +(x+ 2)2 + 3

x+ 2= −2 +

((x+ 2) +

3

x+ 2

)=

= −2 +√

3

(x+ 2√

3+

√3

x+ 2

)=

= −2 +√

3

(x+ 2√

3+

1x+2√

3

).

105

0 X

Y

AB

C D

Figura 6.14: grafico da funcao y =x

x2 + 1com A = (1,

1

2), B = (

√3,

√3

4), C =

(−√

3,−√

3

4), D = (−1,

1

2)

106

Portanto, a construcao do grafico da funcao dada, pode ser realizado seguindo o seguinteesquema:

x+1

x−→ 1√

3x+

1x√3

−→√

3

(x√3

+1x√3

)−→

−→ −2 +√

3

(x√3

+1x√3

)−→

−→ −2 +√

3

(x+ 2√

3+

1x+2√

3

).

y=x

A

B

0 X

Y

-2

Figura 6.15: grafico da funcao y =x2 + 2x+ 3

x+ 2com A = (−2 +

√3, 2√

3 − 2), B = (−2 −√

3,−2√

3− 2)


y =x2 + x+ 1

x2 − x+ 1.

Prova: Notemos que o ponto (0, 1) pertence ao grafico da funcao. Pois

y(x) = 1 +2(

x+ 1x

)− 1

, x 6= 0,

107

entao para construir o grafico da funcao podemos usar o seguinte esquema (para x 6= 0):

x+1

x−→

(x+

1

x

)− 1 −→ 1(

x+1

x

)− 1

−→ 2(x+ 1

x−→

)− 1−→

−→ 1 +2(

x+ 1x

)− 1

=

=x2 + x+ 1

x2 − x+ 1.

0

X

Y

-1

1/3

3


y = 2

(1− x)

(1 + x) .

Prova: Escrevendo a funcao1− x1 + x

na forma,

1− x1 + x

= −1 +2

1 + x,

observamos que o grafico da funcao y =1− x1 + x

obtem-se do grafico da funcao y =1

xpelo

seguinte esquema:

1

x−→ 1

1 + x−→ 2

1 + x−→ −1 +

2

1 + x=

1− x1 + x

,

108

1

1

-1

-1 0 X

Y

cujo grafico e dado na figura ao lado.

A funcao y =1− x1 + x

e decrescente nos intervalos (−∞,−1) e (−1,+∞). Ja sabemos que a

funcao y = 2x e estritamente crescente em todo R, mas a funcao y = 2

(1− x)

(1 + x) e decrescente nosintervalos (−∞,−1) ∩ (−1,+∞) e nao esta definida no ponto x = −1. Alem disso, a funcao

y =1− x1 + x

possui uma assintota vertical x = −1 e uma assintota horizontal y = −1. Como,

limx→−1+0

2

(1− x)

(1 + x) = +∞, limx→−1−0

2

(1− x)

(1 + x) = 0,

entao a reta x = −1 e uma assintota vertical da funcao dada. Como

limx→+∞

2

(1− x)

(1 + x) =1

2, lim

x→−∞2

(1− x)

(1 + x) =1

2,

entao a reta y = 1/2 e uma assintota horizontal do grafico da funcao y = 2

(1− x)

(1 + x) .Notamos que,

y = 2

(1− x)

(1 + x) > 1/2 quando x > −1

y = 2

(1− x)

(1 + x) < 1/2 quando x < −1.

O grafico da funcao y = 2

(1− x)

(1 + x) e dado na seguinte figura.

109

0 X

Y

-1

1/2

2

110

Capıtulo 7

Topologia na Reta

A nocao de distancia entre dois pontos na reta numerica leva a uma das operacoes funda-mentais do analise: o limite. Generalizando o conjunto dos reais, onde esta definido a distanciaentre seus elementos, chegamos a definicao de espaco metrico. Os resusltados obtidos nestecapıtulo serao fundamentais para a definicao de conceitos como continuidade, derivacao, etc.

Definicao 7.0.1 Seja X ⊂ R um conjunto nao vazio. A funcao unıvoca e nao negativa ρ :X ×X → R e chamada de metrica em X se verifica:

1. ρ(x, y) > 0 se x 6= y e ρ(x, y) = 0 se x = y;

2. ρ(x, y) = ρ(y, x), (axioma da simetria);

3. ρ(x, z) ≤ ρ(x, y) + ρ(y, z) (axioma triangular)onde, x, y, z ∈ X.

Denotemos o espaco metrico X com a metrica ρ definida em X pelo par (X, ρ).

Exemplo 7.0.1 Enunciemos alguns exemplos basicos de espacos metricos.

1. O conjunto dos numeros reais R com a metrica

ρ(x, y) = |x− y|

e um espaco metrico.

2. Rn com a metrica euclideana

ρ(x, y) =

(n∑i=1

|xi − yi|2)1/2

,

onde xi e yi sao as coordenadas dos pontos x e y respectivamente, e um espaco metrico.

3. (metrica discreta). Para qualquer conjunto X, definimos a metrica ρ por

ρ =

{0, se x = y1, se x 6= y.

111

7.1 Conjuntos Abertos

Seja R o espaco metrico e r um numero positivo.

Definimos um intervalo aberto V (xo, r) dado pelo conjunto:

V (xo, r) = {x ∈ R; |x− xo| < r}.

Analogamente, definimos um intervalo fechado V [xo, r], como sendo o conjunto;

V [xo, r] = {x ∈ R; |x− xo| ≤ r}.

Claramente, observamos que,

r ∈ V (xo, r − ε) ⊂ V (xo, r) ⊂ V [xo, r] ⊂ V (xo, r + ε), ∀r > ε > 0.

Definicao 7.1.1 um conjunto X ⊂ R e uma vizinhanca do ponto xo ∈ R se X contem umintervalo aberto V (xo, r).

Podemos reformular a definicao de convergencia de uma sequencia numerica em termos deespaco metrico.”Uma sequencia (xn)n num espaco metrico converge para x se para qualquer intervalo abertoV (xo, ε), existe um no ∈ N tal que, para todo n > no, temos xn ∈ V (x, ε).”

Definicao 7.1.2 O conjunto X e aberto se ele contem uma vizinhanca de cada um de seuspontos.

Definicao 7.1.3 Diz-se que o ponto x ∈ X e ponto interior do conjunto X se existe umintervalo aberto V (x, r) contido em X. O interior de um conjunto X e a uniao de todos osconjuntos abertos contidos em X, isto e o conjunto aberto maximal contido em X.

O interior de X e denotado por int(X).

Claramente, o interior de X coincide com o conjunto de pontos interiores de X. De fato,se x e um ponto interior, existe um intervalo aberto V (xo, r) contido em X. Este intervalo eaberto contido em X e portanto e um subconjunto do conjunto aberto maximal int(X) ⊂ X.Em outras palavras,

Definicao 7.1.4 Um conjunto X ⊂ R e aberto quando X = int(X), isto e quando todos ospontos do conjunto X sao pontos interiores.

Definicao 7.1.5 Seja X ⊂ R. Dizemos que x ∈ X e um ponto de fronteira de x, se

V (x, ε) ∩X 6= ∅ e V (x, ε) ∩ CX 6= ∅.

Aqui introduzimos a notacao C(X) para denotar o complementar do conjunto X, e ∂X denotaa fronteira de X.

Lema 7.1.1int(X) = X − ∂(X).

112

Prova: se x ∈ int(X), entao existe um intervalo V (x, ε) ⊂ X. Daqui vemos que x ∈ X. Ofato que V (x, ε) ⊂ X implica que V (x, ε) ∩ C(X) = ∅, assim, x /∈ ∂X. Isto mostra que sex ∈ int(X) implica que x ∈ X − ∂(X).

Se x ∈ X − ∂X, entao x ∈ X e x /∈ ∂X. Seja V (x, ε) uma vizinhanca do ponto x.Assim, V (x, ε) ∩X 6= ∅ e V (x, ε) ∩ C(X) = ∅, ou seja V (x, ε) ⊂ X e x ∈ int(X).

Corolario 7.1.1 Se X ⊂ R e aberto, entao X ∩ ∂X = ∅.

Teorema 7.1.1 1. R e o conjunto vazio ∅ sao abertos

2. A uniao de qualquer famılia de subconjuntos abertos de R e aberto.

3. a intersecao de uma colecao finita de abertos e aberto.

Prova: 1). R e aberto porque contem todos os intervalos abertos. Por sua vez o conjuntovazio ∅ e aberto porque ele nao contem nenhum ponto.

2). Seja (Aλ)λ∈I uma famılia de conjuntos abertos, onde I e um conjunto de ındices. Sex ∈ ∪λ∈IAλ, entao x pertence ao menos a um dos conjuntos Aλ. Como este conjunto e aberto,ele contem uma vizinhanca de x que esta contido na uniao dos Aλ, e portanto A =

⋃λ∈I Aλ e

um conjunto aberto.

3). Consideremos A1, A2, . . . , An conjuntos abertos, e seja x ∈ ∩nk=1Ak, entaox ∈ Ak para todo k = 1, 2, . . . , n. Como Ak e aberto, existe rk positivo talque V (x, rk) ⊂ Ak. Seja r = min{r1, r2, . . . , rn}. Em vista do observado acima,V (x, r) ⊂ V (x, rk) ⊂ Ak ∀k = 1, 2, . . . , n. Assim V (x, r) ⊂ (

⋂nk=1 An) .

Embora, por 2). temos que a reuniao de uma famılia de conjuntos abertos e aberto, mas aintersecao de uma famılia infinita de abertos nao e necessariamente aberto.

Exemplo 7.1 Sejam An conjuntos abertos em R da forma (−1/n, 1/n). Entao ∩∞n=1An = {0}que nao e aberto.

Lema 7.1.2 Um conjunto e aberto se e somente se ele coincide com a uniao de uma famıliade intervalos abertos.

Prova. De acordo com o teorema anterior a uniao de uma famılia qualquer de abertos eaberto. De outro lado, se X e aberto, entao para cada um de seus pontos existe um intervaloV (x, εx) que esta em X.ssim, temos X = ∪x∈XV (x, εx). De fato, a uniao ∪x∈XV (x, εx) e umsubconjunto de X, pois cada intervalo V (x, εx) e um subconjunto de X, e a uniao contem cadaponto x ∈ X porque x ∈ V (x, εx).

Exemplo 7.2 Mostremos que o intervalo A = (3, 7) e um conjunto aberto.

Seja x ∈ A, entao 3 < x < 7, isto e, x− 3 > 0 e 7− x > 0.Consideremos ε = min{x− 3, 7− x}, assim ε > 0. E necessario provar que V (x, ε) ⊂ A.

De fato, t ∈ V (x, ε), implica que ρ(x, t) = |x− t| < ε. Assim

3 = x− (x− 3) ≤ x− ε < t < x+ ε ≤ x+ 7− x = 7,

logo t ∈ V (x, ε).

113

7.2 Conjuntos Fechados

Um ponto x ∈ R chama-se ponto aderente ao conjunto X ⊂ R, se qualquer vizinhanca suacontem ao menos um ponto de X.Chama-se fecho de um conjunto X ao conjunto X que consiste de todos os pontos que saoaderentes a X.

Teorema 7.2.1 A operacao de aderencia possui as seguintes propriedades:

1. X ⊂ X,

2. X = X,

3. Se X1 ⊂ X2, entao X1 ⊂ X2,

4. X1 ∪X2 = X1 ∪X2.

Prova: 1). Como todo ponto aderente de X e o limite de uma sequencia (xn)n em X, bastatomar uma sequencia constante, ja que todo ponto pertencente a X e um ponto de aderenciade X.

2). depois

3). Esta desigualdade e evidente.

4). Se x ∈ X1 ∪X2, x pertence pelo menos a um dos conjuntos X1 ou X2, isto e,

X1 ∪X2 ⊂ X1 ∪X2.

Como X1 ⊂ X1 ∪X2 e X2 ⊂ X1 ∪X2, temos pela propriedade 3):

X1 ⊂ X1 ∪X2 e X2 ⊂ X1 ∪X2.

Segue daqui que X1 ∪X2 ⊂ X1 ∪X2. Portanto, podemos concluir que X1 ∪X2 = X1 ∪X2.

Lema 7.2.1 Um intervalo fechado em R e um conjunto fechado.

Teorema 7.2.2 Se X ⊂ R e aberto, entao o complementar de X, C(X) e fechado. Se X efechado, entao C(X) e aberto.

Teorema 7.2.3 1. R e o conjunto vazio ∅ sao fechados

2. A intersecao de qualquer famılia de subconjuntos fechados de R e fechado.

3. a uniao de uma colecao finita de fechados e fechado.

114

Prova: 1). Claramente C(R) = ∅ e C(∅) = R. Como ∅ e R sao abertos, segue que R e ∅ saofechados.

2). Seja (Fλ)λ∈I uma famılia de conjuntos fechados. Pelo lema anterior, se Fλ e fechado∀λ ∈ I, entao C(Fλ) e aberto, portanto, ∪λ∈IC(Fλ) e aberto. Logo usando a lei de Morgan,temos,

C(⋂λ∈I

Fλ) =⋃λ∈I

C(Fλ) e aberto.

E isto mostra que⋂λ∈I Fλ e fechado.

3). Seja F1, F2, . . . , Fn uma famılia finita de conjuntos fechados. Pelo lema anterior, C(Fk) eaberto ∀ k = 1, 2, . . . , n, e ∩nk=1C(Fk) e aberto. Entao pela lei de Morgan;

C(n⋃k=1

Fk) =n⋂k=1

C(Fk) e aberto.

Logo⋃nk=1 Fk e um conjunto fechado.

7.2.1 Pontos de Acumulacao

Um ponto x ∈ R chama-se ponto de acumulacao do conjunto X ⊂ R quandoem toda vizinhanca sua existe um numero infinito de pontos de X. Em outras palavras,∀ε > 0, V (x, ε)∩(X−{x}) 6= ∅. Denotemos por X ′ o conjunto dos pontos de acumulacao de X.

O ponto de acumulacao pode pertencer a X ou nao. ConsideremosF = {numeros racionais pertencentes ao intervalo[2, 4] ⊂ R}. Neste caso todo ponto dointervalo [2, 4] e um ponto de acumulacao para F .

Um ponto x ∈ X, chama-se ponto isolado de X quando uma vizinhanca de x, V (x, ε),suficientemente pequena nao contem outros pontos de X distintos de x, isto e, existe ε > 0 talque V (x, ε) ∩ (X − {x}) = ∅.Todo ponto de aderencia do conjunto X pode ser um ponto de acumulacao ou um ponto isoladode X. Daqui segue que a aderencia X consiste em geral de tres tipos de pontos:

• Os pontos isolados de X,

• Os pontos de acumulacao de X, pertencentes a X,

• Os pontos de acumulacao de X, que nao pertencem a X.

Definicao 7.2.1 Um conjunto e fechado se ele contem todos seu pontos de acumulacao.

Teorema 7.2.4X = X ∪X ′.

115

Prova: Seja x ∈ C(X ∪ X ′) um ponto arbitrario. Entao x /∈ X ′, o que siginfica que existeum intervalo V (x, ε) que nao contem pontos de X distintos de x. Tambem, como x /∈ X, ointervalo V (x, ε) ⊂ C(X). para cada ponto t ∈ V (x, ε), temos

V (x, η) ⊂ V (x, ε) ⊂ C(X),

isto mostra que o ponto t ∈ V (x, ε) nao pode ser ponto de acumulacao de X. Por-tanto V (x, ε) ⊂ C(X ∪ X ′). Assim, para cada ponto x ∈ C(X ∪ X ′) podemos encontrarum intervalo V (x, ε) ⊂ C(X ∪X ′). Isto mostra que C(X ∪X ′) e aberto e pelo lema anterior,concluimos que X ∪X ′ e fechado.

Teorema 7.2.5 Para que o ponto x seja um ponto de aderencia do conjunto X, e necessarioe suficiente que exista uma sequencia (xn)n de pontos de X que convirja para x.

7.3 Conjuntos Compactos

Um fato de fundamental interesse para o analise desempenha a seguinte afirmacao:

”Do qualquer cobertura do intervalo [a, b] ⊂ R, por meio de intervalos, podemos extrair umasubcobertura finito.”

Definicao 7.3.1 Seja G ⊂ R um conjunto qualquer. Uma colecao de conjuntos A = {As; s ∈I}, onde I e um conjunto de ındices qualquer, chama-se cobertura aberta do conjunto G seG ⊂ ∪s∈IAs.

Uma subcolecao qualquer da famılia A, cuja uniao contem o conjunto G e chamado de sub-cobertura de G. A subcobertura e chamada de finita, se contem um numero finito de termos.

Partindo desta definicao, podemos enunciar a seguinte definicao importante de conjuntocompacto.

Definicao 7.3.2 Um conjunto K ⊂ R chama-se compacto, quando qualquer cobertura abertade K possui uma subcobertura finita, que ainda cobre K.

Exemplo 7.3 Cada conjunto finito e compacto.

Prova: Seja K = {x1, x2, . . . , xn}. Consideremos uma cobertura aberta A = {As; s ∈ I} deK, isto e, ⋃

s∈I

As ⊃ K.

Entao para cada j = 1, 2, . . . , n, xj ∈⋃s∈I As. Podemos escolher xj ∈ Aj, e considerar o

seguinte subconjunto,A′ = {A1, A2, . . . , An}.

Entao A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An ⊃ K.Como A′ e uma subcobertura finita de A que ainda cobre K, concluimos pela definicao que Ke um conjunto compacto.

Uma outra caracterizacao dos conjuntos compactos de R, e dado em termos de sequenciaspela seguinte definicao,

116

Definicao 7.3.3 Um conjunto K ⊂ R e dito compacto se qualquer sequencia de elementos deK possui uma subsequencia que converge para um ponto de K.

Definicao 7.3.4 Um subconjunto S ⊂ R e limitado se, para algum x ∈ R e r > 0, temosS ⊂ V (x, r).

Teorema 7.3.1 Um conjunto compacto K e limitado e fechado.

Prova: Suponhamos que K nao seja limitado, entao para cada x ∈ R, a famılia de intervalosV (x, n), n = 1, 2, . . . , e uma cobertura aberta de K que nao possui uma subcobertura finita.

Se K nao e fechado, ele nao contem ao menos um de seus pontos de acumulacao. Con-sideremos uma sequencia de elementos de K que converge a esse ponto de acumulacao. Cadasubsequencia desta sequencia converge a este mesmo ponto. Portanto tal sequencia nao possuiuma subsequencia que converge a um ponto em K.

Exemplo 7.4 Todo intervalo da forma [a, b] ⊂ R e compacto, pois e limitado e fechado. In-tervalos da forma [a, b), (a, b] ou (a, b) nao sao compactos, embora sejam limitados mas naosao fechados. Intervalos da forma (−∞, a] e [b,+∞) tambem nao sao compactos pois nao saolimitados, embora eles sejam fechados.

Exemplo 7.5 Todo conjunto K ⊂ R compacto contem um elemento mınimo e um elementomaximo, pois o supK e inf K pertencem a K e,

inf K ≤ x ≤ supK, ∀x ∈ K.

Lema 7.3.1 Um subconjunto fechado de um conjunto compacto e compacto.

Prova: seja K um conjunto compacto e Ko ⊂ K um subconjunto fechado. Consideremos umasequencia (xn)n de elementos de Ko. Como (xn)n ⊂ K, esta sequencia possui uma subsequenciaconvergente. Como Ko e fechado, o limite desta subsequencia pertence a Ko. Portanto qualquersequencia de elementos em Ko possui uma subsequencia que converge em Ko, o que implicaque Ko e compacto.

Teorema 7.3.2 (Heine-Borel) Um conjunto limitado e fechado de R (ou Rn) e compacto.

117

Capıtulo 8

Limite de uma Funcao. Continuidadede uma Funcao

8.1 Limite de uma Funcao

A teoria dos limites esclarece o sentido exato das definicoes como ”f(x) tende a A quandox se aproxima de a”, ”f(x) tende a A quando x cresce ilimitadamente”etc.

Se existe um numero A tal que para qualquer ε > 0 encontra-se uma vizinhanca (a− δ, a+δ), δ > 0 com centro no ponto x = a, e que para cada x 6= a desta vizinhanca, o valor da funcaof(x) pertence ao intervalo (A− ε, A+ ε), entao e usual dizer que ”f(x) tende a A quando x seaproxima de a”e escreve-se: ”f(x) −→ A, se x −→ a”ou lim

x→af(x) = A. neste caso dizemos que

o numero A e o limite da funcao f(x) no ponto x = a.Para cada x, pertencente a vizinhanca (a− δ, a+ δ), valem as desigualdades

a− δ < x < a+ δ ou − δ < x− a < δ.

A ultima desigualdade escreve-se na seguinte forma

|x− a| < δ.

Notamos, pela definicao de modulo de um numero que |x− a| ≥ a, para cada x, e alem disso

|x− a| = 0, se x = a,|x− a| > 0, se x 6= a.

Por isso, todos os valores de x, pertencentes a vizinhanca (a − δ, a + δ),, mas diferente de a,podemos escrever da seguinte forma

0 < |x− a| < δ;

da mesma forma para qualquer valor de f(x) pertencente a vizinhanca (A− ε, a+ ε), valem asdesigualdades

A− ε < f(x) < A+ ε ou − ε < f(x)− A < ε.

A ultima desigualdade escreve-se na seguinte forma

|f(x)− A| < ε.

Desta forma, podemos formular a definicao de limite de outra forma:

118

Definicao 8.1.1 O numero A chama-se limite da funcao f(x) quando x→ a, se para qualquernumero positivo ε, existe um numero δ = δ(ε) > 0 tal que para cada x satisfazendo a condicao0 < |x− a| < δ, segue que

|f(x)− A| < ε.

Exemplo 8.1 Mostremos quelimx→2

(3x+ 2) = 8.

Solucao: E necessario mostrar que para qualquer ε > 0 encontra-se um δ > 0 tal que paracada x satisfazendo a condicao 0 < |x− 2| < δ, vale a desigualdade |(3x+ 2)− 8| < ε. De fato,escrevendo

|(3x+ 2)− 8| = |3x− 6| = 3|x− 2|,e para δ = ε/3 e para cada x satisfazendo a condicao 0 < |x− 2| < δ = ε/3, temos

|(3x+ 2)− 8| = 3|x− 2| < 3δ = 3ε

3= ε.

Assim, mostramos que limx→2

(3x+ 2) = 8.

Exemplo 8.2 mostremos que

limx→2

x2 − 9

x− 3= 6.

Solucao: Na definicao de limite de uma funcao quando x→ a, a variavel x nao pode tomar o

valor igual a a. Assim para x 6= 3 temosx2 − 9

x− 3= x+ 3, e isto significa que o limite da funcao

dada quando x → 3 coincide com o limite da funcao f(x) = x + 3 quando x → 3. Tomemosum ε > 0 e escolhamos o seu δ tal que para cada x satisfazendo acondicao 0 < |x− 3| < δ, valea desigualdade |(x+ 3)− 6| < ε. Como |(x+ 3)− 6| = |x− 3|, entao por exemplo para δ = ε/3temos, que para cada x satisfazendo a desigualdade 0 < |x− 3| < δ, vale a desigualdade

|(x+ 3)− 6| = |x− 3| < δ = ε/3 < ε.

E portanto limx→2

x2 − 9

x− 3= 6.

Exemplo 8.3 Mostrar que a funcao f(x) = |x|/x quando x→ 0 nao possui limite.

Solucao: Mostremos a prova por contradicao. Suponhamos, que para x → 0 a funcaof(x) = |x|/x possui limite, igual a A. Isto significa que para qualquer ε > 0 existe um δ = δ(ε),tal que |f(x) − A| < ε para cada x satisfazendo a condicao 0 < |x| < δ. Entao em particular,para ε = 1 existe δ1 tal que para cada x satisfazendo 0 < |x| < δ1, temos

|f(x)− A| < 1.

Para x > 0, temos f(x) = |x|/x = 1, e para x < 0, f(x) = |x|/x = −1, entao para 0 < x < δ1

|1− A| < 1, (8.1)

e para −δ1 < x < 0| − 1− A| = |1 + A| < 1. (8.2)

da desigualdade (8.1) temos 0 < A < 2, e da desigualdade (8.2) temos −2 < A < 0. Assim, seo numero A e o limite da funcao dada, entao de um lado temos que A deve ser positivo e deoutro lado A deve ser negativo, o que e impossıvel.

119

8.2 Propriedades dos Limites das Funcoes

Para as funcoes que possuem limite, tem lugar as seguintes afirmacoes:

1. Se o limite da funcao y = f(x) quando x→ a existe, entao ele e unico.

2. Se a funcao y = f(x) quando x → a possui limite, entao na vizinhanca do pontox = a, (a− δ, a) ∪ (a, a+ δ), a funcao f(x) e limitada.

3. Se limx→a

f(x) = A e A > 0(A < 0), entao existe uma vizinhanca do ponto x = a tal que,

para cada x desta vizinhanca, exceto o ponto x = a, temos f(x) > A(f(x) < A).

4. Se a funcao f(x) e igual a uma constante C, entao limx→a

f(x) = C.

5. Se limx→a

f(x) = A, entao existe o limite da funcao y = |f(x)| quando x → a e le e igual a

|A|, isto elimx→a|f(x)| = |A|.

6. Se o ponto x = a junto com alguma vizinhanca pertence ao domınio da funcao f(x),entao existe o limite da funcao f(x) quando x→ a e ele e igual a f(a), isto e

limx→a

f(x) = f(a).

7. Se limx→a

f(x) = A e limx→a

g(x) = B, entao

(a) Existe o limite da funcao f(x)± g(x) quando x→ a e e igual a A±B, isto e

limx→a

(f(x)± g(x)) = limx→a

f(x)± limx→a

g(x) = A±B;

(b) Existe o limite da funcao f(x)g(x) quando x→ a e e igual a AB, isto e

limx→a

(f(x)g(x)) = limx→a

f(x) limx→a

g(x) = AB;

Em particular, se C e uma constante, entao existe o limite da funcao Cf(x) quandox→ a e e igual a CA, isto e

limx→a

Cf(x) = C limx→a

f(x) = CA;

(c) Se B 6= 0, entao existe o limite da funcao f(x)/g(x) quando x→ a e e igual a A/B,isto e

limx→a

f(x)

g(x)=

limx→a

f(x)

limx→a

g(x)=A

B.

121

8. Se limx→a

f(x) = A, limx→a

g(x) = B e existe uma vizinhanca do ponto x = a exceto o ponto

x = a, onde vale f(x) ≤ g(x), entao A ≤ B, isto e

limx→a

f(x) ≤ limx→a

g(x).

9. Se limx→a

f(x) = limx→a

g(x) = A e existe uma vizinhanca do ponto x = a exceto o ponto

x = a, onde vale f(x) ≤ h(x) ≤ g(x), entao existe o limite da funcao h(x) quando x→ ae e igual a A.

Exemplo 8.6 Encontre

limx→0

(12 sin2 x+ 7 cos5 x+x− 1

x+ 2).

Solucao: Comolimx→0

sin2 x = [limx→0

sinx]2 = 0,

limx→0

cos5 x = [limx→0

cosx]5 = 1,

= limx→0

x− 1

x+ 2=

limx→0(x− 1)

limx→0(x+ 2)= −1

2,

entao usando as propriedades acima enuncıadas, temos

limx→0

(12 sin2 x+ 7 cos5 x+ x−1x+2

) =

= limx→0

12 sin2 x+ limx→0

7 cos5 x+ limx→0

x− 1

x+ 2=

= 0 + 7− 1

2=

13

2.


limx→1

x2 − 1

x2 + 5x− 6.

Solucao: Como x2 + 5x− 6 = (x− 1)(x+ 6), e para x 6= 1

limx→1

x2 − 1

x2 + 5x− 6= lim

x→1

(x− 1)(x+ 1)

(x− 1)(x+ 6)= lim

x→1

x+ 1

x+ 6,

entao

limx→1

x2 − 1

x2 + 5x− 6= lim

x→1

x+ 1

x+ 6=

limx→1(x+ 1)

limx→1(x+ 6)=

2

7.


limx→0

(1 + x)m − 1

x= m,

onde m e um numero natural.

Solucao: Pela formula do binomio de Newton para x 6= 0, temos

(1 + x)m − 1

x=

1 +mx+ m(m−1)2

x2 + . . .+ xm − 1

x=

= m+ m(m−1)2

x+ . . .+ xm−1.

122

Como para qualquer numero natural k temos limx→0

xk = 0, entao

limx→0

(1 + x)m − 1

x= lim

x→0

(m+

m(m− 1)

2x+ . . .+ xm−1

)=

= limx→0

m+ limx→0

m(m− 1)

2x+ . . .+ lim

x→0xm−1 = m.

Exemplo 8.9 Mostremos que y = limx→0

sinx

x= 1.

Solucaao: Esta funcao esta definida para todo x, exceto para x = 0, pois tanto o numeradorcomo o denominador tendem a zero para este valor. Observamos que quando x muda de sinal,

a fracaosinx

xnao muda de sinal, pois e par, entao e suficiente encontrar o limite quando x

tende a zero pela direita.Vamos analizar x como o angulo central(em radianos) do cırculo trigonometrico de raio 1:

sinx = AC, x =1

2arc(AB), tanx = AD,

onde AD e a tangente a circunferencia no ponto A.Obserando na figura, temos

2 sinx < 2x < 2 tanx,

donde, dividendo por 2 sinx, obtemos:

1 <x

sinx<

1

cosx

ou

1 >sinx

x> cosx.

Mas limx→0

cosx = 1, e a funcao y = limx→0

sinx

xconstantemente fica entre 1 e uma funcao que tende

para 1, e por isso

y = limx→0

sinx

x= 1.

Enuncıemos alguns limites importantes:

1) limx→0

(1 + x)1/x = e.

2) limx→0

ln(1 + x)

x= 1.

3) limx→0

(1 + x)α − 1

x= α, α 6= 0.

2) limx→0

ax − 1

x= ln a, a > 0, a 6= 1.


limx→0

sinαx

sin βx, αβ 6= 0.

123

0 X

Y

A

B

C Dx

x

Solucao: Observamos que nao podemos aplicar o teorema da divisao do limite, pois o denom-inador lim

x→0sin βx = 0. Calculemos o limite da seguinte forma:

limx→0

sinαx

sin βx= lim

x→0

sinαxαx

αxsinβxβx

βx=

= limx→0

α

β

sinαxαx

sinβxβx

=

=α

β

limx→0

sinαxαx

limx→0

sinβxβx

=α

β.

Aqui usamos o seguinte fato: se x→ 0, entao e αx→ 0. Por isso

limx→0

sinαx

αx= lim

αx→0

sinαx

αxαx=u= lim

u→0

sinu

u= 1.


limx→−π

2

1 + cos 2x

cosx.

Solucao:

limx→−π

2

1 + cos 2x

cosx= lim

x→−π2

2 cos2 x

cosx= lim

x→−π2

2 cosx = 0.

8.3 Limites Infinitos

Definicao 8.3.1 Seja f(x) uma funcao definida dentro de algum intervalo, contendo o pontoa, exceto o mesmo ponto x = a. Dizemos que a funcao f(x) quando x → a tende para +∞ e

124

escrevemoslimx→a

f(x) = +∞,

se para qualquer numero A > 0, existe um δ > 0. tal que para cada x satisfazendo a condicao0 < |x− a| < δ, cumpre-se f(x) > A.

Definicao 8.3.2 Seja f(x) uma funcao definida dentro de algum intervalo, contendo o pontoa, exceto o mesmo ponto x = a. Dizemos que a funcao f(x) quando x → a tende para −∞ eescrevemos

limx→a

f(x) = −∞,

se para qualquer numero A > 0, existe um δ > 0. tal que para cada x satisfazendo a condicao0 < |x− a| < δ, cumpre-se f(x) < −A.

Para as funcoes que possuem limites infinitos valem as seguintes afirmacoes:Sejam as funcoes f(x) e g(x) definidas numa vizinhanca do ponto x = a, exceto do ponto x = a,entao

1. Se limx→a

f(x) = +∞ e limx→a

g(x) = +∞, entao

a) limx→0

(f(x) + g(x) = +∞;

b) limx→0

(f(x)g(x) = +∞;

2. Se limx→a


g(x) = −∞, entao

a) limx→0

(f(x)− g(x) = +∞;

b) limx→0

(f(x)g(x) = −∞;

3. Se limx→a


g(x) = A, entao

a) limx→0

(f(x)g(x) = +∞, se A > 0;

b) limx→0

(f(x)g(x) = −∞, se A < 0.

4. Se limx→a

f(x) = −∞, entao

a) limx→0

f 2n(x) = +∞, n ∈ N;

b) limx→0

f 2n−1(x) = −∞, n ∈ N.

5. Se limx→a

f(x) =∞, entao

limx→0

n√f(x) = +∞, n ≥ 2, n ∈ N.

6. Se limx→a

f(x) = +∞, entao

125

(a) se g(x) ≥ M > 0 numa vizinhanca do ponto x = a, exceto este ponto, isto e,0 < |x− a| < δ, entao

limx→a

(f(x)g(x) = +∞;

(b) se g(x) ≤ m < 0 numa vizinhanca do ponto x = a, entao

limx→a

(f(x)g(x)) = −∞;

7. se limx→a

f(x) = +∞, entao

limx→a

1

f(x)= 0.

8. Se limx→a

f(x) = 0, e f(x) 6= 0 numa vizinhanca do ponto x = a, entao

limx→a

1

f(x)= +∞.

Por exemplo,

limx→1

1

(x− 1)2= +∞ e lim

x→1

1

(x− 2)(x− 3)2= −1

4,

entao pelas afirmacoes acima, temos

limx→1

1

(x− 1)2(x− 2)(x− 3)2= −∞.


limx→0

cosx

|x|= +∞.

Solucao: Como

limx→0

1

|x|= +∞

e numa vizinhanca do ponto x = 0, temos cos x ≥ 1/2, entao podemos concluir que

limx→0

cosx

|x|= +∞.

8.4 Limites no Infinito

Seja a funcao f(x) definida no intervalo [a,+∞).

Definicao 8.4.1 Dizemos que o numero A e o limite da funcao f(x) quando x→ +∞, se paraqualquer ε > 0 arbitrario encontra-se um numero positivo ∆, que para cada x, satisfazendox > ∆, vale a desigualdade |f(x)− A| < ε, e escrevemos

limx→+∞

f(x) = A.

Seja a funcao f(x) definida no intervalo (−∞, a]).

126

Definicao 8.4.2 Dizemos que o numero A e o limite da funcao f(x) quando x→ −∞, se paraqualquer ε > 0 arbitrario encontra-se um numero positivo ∆, que para cada x, satisfazendox < −∆, vale a desigualdade |f(x)− A| < ε, e escrevemos

limx→−∞

f(x) = A.


limx→+∞

1

x2 + 1= 0.

Solucao: Tomemos um ε > 0 arbitrario. Mostremos que existe ∆ tal que para cada xsatisfazendo x > ∆, cumpre-se lim

x→+∞1

x2+1< ε.

De fato, se tomar por exemplo ∆ =√

1/ε, entao para cada x, satisfazeendo x > ∆(∆ > 0),temos

1

x2 + 1<

1

x2<

1

∆=

1

(√

1/ε)2= ε.


limx→+∞

1

xn= 0, n > 0.

Solucao: Tomemos um ε > 0 arbitrario. Mostremos que existe ∆ tal que para cada xsatisfazendo |x| > ∆, cumpre-se lim

x→+∞1xn< ε.

De fato, se tomar por exemplo ∆ = 1/ε1/n, entao para cada x, satisfazeendo |x| > ∆, temos∣∣ 1

xn∣∣ =

1

|xn|<

1

∆n=

1

(1/ε1/n)n= ε.

Exemplo 8.15 Calcule

a) limx→+∞

4x− 1

x− 2; b) lim

x→−∞

x3 + 1

x3 + x2 + x+ 1.

Solucao: para x 6= 0 temos

4x− 1

x− 2=

4− 1x

1− 2x

,x3 + 1

x3 + x2 + x+ 1=

1 + 1x2

1 + 1x

+ 1x2 + 1

x3

.

limx→±∞

1

xk= 0, k ∈ N, lim

x→+∞(1− 2

x) = 1 6= 0;

limx→−∞

(1 +

1

x+

1

x2+

1

x3

)= 1 6= 0,

limx→+∞

(4− 4

x

)= 4, lim

x→+∞

(1 +

1

x3

)= 1,

entao usando as propriedades do limite, obtemos

a) limx→+∞

4x− 1

x− 2= lim

x→+∞

4− 1x

1− 2x

=

=lim

x→+∞

(4− 1

x

)lim

x→+∞

(1− 2

x

) =

=4− lim

x→+∞1x

1− limx→+∞

2x

= 4;

127

b) limx→−∞

x3 + 1

x3 + x2 + x+ 1= lim

x→−∞

1 + 1x2

1 + 1x

+ 1x2 + 1

x3

= 1.

Exemplo 8.16 Calculelim

x→+∞(√x2 + x− x).

Solucao:

limx→+∞

(√x2 + x− x) = lim

x→+∞

(√x2 + x− x)(

√x2 + x+ x)√

x2 + x+ x=

limx→+∞

x√x2 + x+ x

= limx→+∞

x

x(√

1 + 1/x+ 1)=

limx→+∞

1√1 + 1/x+ 1

=1

2.

8.5 Funcoes Contınuas

Lembremos que quando definimos o limite de uma funcao num ponto dado, o valor dafuncao neste ponto e irrelevante,o que interessa e entender o comportamento da funcao navizinhanca do ponto dado.

E interesante o caso quando o limte da funcao y = f(x), x ∈ (a, b), no ponto xo ∈ (a, b) eigual ao valor f(xo).

Seja a funcao f(x) definido no intervalo (a, b) e xo um ponto deste intervalo. A funcaochama-se contınua no ponto xo, se

limx→xo

f(x) = f(xo).

Por exemplo,a) a funcao y = x3 e contınua no ponto x = 2, pois

limx→2

x3 = 8, y(2) = 8 limx→2

= 8 = 23;

b) A funcao y = signx nao e contınua no ponto x = 0, pois nao existe limx→0

signx;

limx→0+

signx = 1, limx→0−

signx = −1,

isto e.limx→0+

signx 6= limx→0−

signx;

c) A funcao

y =

{(sinx)/x, x 6= 0,2, x = 0.

nao e contınua no ponto xo = 0, ainda que exista

limx→0

sinx

x(e igual a 1),

mas este limite e diferente com o valor da funcao no ponto x = 0 : y(0) = 2.

128

Exemplo 8.17 Esclarecer se a seguinte funcao e contınua no ponto xo = 0

y =

{ 1− cosx

x2, x 6= 0,

A, x = 0.

Solucao seja xo qualquer ponto diferente de zero. Entao limx→xo

x2 = x2o 6= 0 e lim

x→xo(1−cosx) =

1− cosxo, entao pela definicao de limite da definicao, temos

limx→xo

y(x) = limx→xo

1− cosx

x2=

1− cosxox2o

= y(xo).

Desta forma a funcao dada e contınua no ponto xo, se xo 6= 0.Seja xo = 0. Como

1− cosx

x2=

2 sin2 x2

x2=

1

2limx→0

(sin x

2

x/2

)2

=1

2.

Por isso, se y(0) = 1/2, a funcao dada e contınua no ponto x = 0, mas se y(0) = A 6= 1/2,entao a funcao nao e contınua em x = 0.

8.6 Principais Teoremas sobre Funcoes Contınuas

1. Sejam as funcoes y = f(x), x ∈ (a, b) e y = g(x), x ∈ (a, b) contınuas no ponto xo ∈ (a, b),entao;

(a) a funcao y = f(x) e limitada na vizinhanca do ponto xo, (xo − δ, xo + δ), δ > 0;

(b) se f(xo) > 0(f(xo) < 0), entao existe uma vizinhanca do pontoxo, (xo − δ, xo + δ), δ > 0, tal que para cada x deste intervalo f(x) > 0(f(x) < 0);

(c) as funcoes y = f(x)± g(x) sao contınuas no ponto xo;

(d) a funcao y = f(x)g(x) e contınua no ponto xo;

(e) se a funcao y = g(x) e diferente de zero no ponto xo, entao a funcao y = f(x)/g(x)e contınua no ponto xo;

(f) se a funcao y = f(x) monotonamente cresce(decresce) no intervalo (a, b), entao afuncao inversa x = f−1(y) e contınua no ponto f(xo).

2. Se a funcao f(x) e contınua no ponto xo, e a funcao g(u) e contınua no ponto uo = f(xo),entao a funcao composta g(f(x)) e contınua no ponto xo, isto e,

limx→xo

g(f(x)) = g

(limx→xo

f(x)

)= g(f(xo)).

129

Destas propriedades segue que cada funcao elementar e contınua em cada ponto de seudomınio de existencia.

Assim por exemplo, como a funcao f(x) ≡ C e g(x) = x sao contınuas em qualquer pontoda reta numerica, entao

1. o polinomio Pn(x) = aoxn + a1x

n−1 + . . . + aixn−i + . . . + an−1x + an e uma funcao

contınua em cada ponto da reta numerica;

2. a funcao racional y = Pn(x)/Qm(x), onde Pn(x) e Qm(X) sao polinomios, e uma funcaocontınua em toda a reta numerica onde ela esta definida.

Seja a funcao y = f(x) definida no intervalo (a, b). A funcao y = f(x) chama-se contınua adireita(esquerda) no ponto xo ∈ (a, b), se

limx→xox>xo

f(x) = limx→x+

o

f(x) = f(xo)

(limx→xox<xo

f(x) = limx→x−o

f(x) = f(xo)

).

Por exemplo,a) a funcao y = x2 e contınua a direita e a esquerda em qualquer ponto xo ∈ R, pois

limx→x+

o

x2 = x2o = lim

x→x−ox2;

b) a funcao

y =

{x, x ≥ 0,1 + x, x < 0,

e contınua a direita no ponto x = 0, pois

limx→0+

y(x) = limx→0x>0

y(x) = limx→0x>0

x = 0 = y(0),

mas nao e contınua a esquerda no ponto x = 0, pois

limx→0−

y(x) = limx→0x<0

y(x) = limx→0x<0

(1 + x) = 1 6= y(0);

c) A funcao y = signx nao e contınua a esquerda no ponto x = 0 e nem contınua a direita doponto x = 0, pois

limx→0+

y(x) = limx→0x>0

y(x) = limx→0x>0

(1) = 1,

limx→0−

y(x) = limx→0x<0

y(x) = limx→0x<0

(−1) = −1,

e y(0) = 0.

A funcao y = f(x), x ∈ (a, b) e contınua no ponto xo ∈ (a, b) se e somente se y = f(x) econtınua a esquerda e contınua a direita no ponto xo, isto e,

limx→0−

f(x) = limx→0+

f(x) = limx→0

f(x).

Dis-ze que funcao y = f(x) e contınua no intervalo (a, b) se e contınua em cada ponto desteintervalo.

A funcao y = f(x) chama-se contınua no intervalo [a, b], se ela e contınua no intervalo (a, b)e no ponto a e contınua a direita, e no ponto b e contınua a esquerda.

130

Exemplo 8.18 Analizar a continuidade da funcao

y =sinx

x2 − 5x+ 6.

Solucao: O domınio da funcao y(x) e todo R exceto os pontos x = 2 e x = 3. De fato,as funcoes y = sinx e y = x2 − 5x + 6, sao contınuas em toda a reta numerica e a funcaoy = x2 − 5x + 6 e diferente de zero em todo R exceto nos pontos x = 2 e x = 3. Porisso, pelo teorema da divisao de funcoes contınuas, a funcao dada e contınua nos intervalos(−∞, 2) ∪ (2, 3) ∪ (3,+∞).

O grafico de uma funcao contınua definida num intervalo apresenta-se como uma linha”contınua”, isto e, como uma linha que pode ser disenhada sem levantar o lapis do papel.

8.7 propriedades das Funcoes Contınuas num Intervalo

Seja a funcao y = f(x) contınua no intervalo [a, b], entao:

1. A funcao y = f(x) e limitada neste intervalo.

2. A funcao y = f(x) atinge seu valor maximo e valor mınimo, isto e, se m e o valor mınimo eM o valor maximo da funcao y = f(x) no intervalo [a, b], entao existem tais x1, x2 ∈ [a, b]tais que

f(x1) = m1, f(x2) = M.

3. Se f(a)f(b) < 0, entao existe um ponto xo ∈ (a, b), tal que f(xo) = 0. Geometricamente,esta afirmacao significa que o grafico da funcao contınua y = f(x) no intervalo [a, b], pelomenos num ponto corta o eixo 0X.

x xx1 2 3a b

(a,f(a))

(b,f(b))

0 X

Y

f(a)f(b) ¡ 0

131

4. Se m e o menor valor e M o maior valor da funcao contınua y = f(x) no intervalo [a, b],entao para qualquer c ∈ [m,M ], existe ao menos um xo ∈ [a, b] tal que f(xo) = c.

5. Se a funcao y = f(x) e igual a zero nos pontos x = a e x = b(f(a) = f(b) = 0), e ediferente de zero nos outros pontos de [a, b], entao em todo o intervalo (a, b) a funcaoy = f(x) ou e negativa ou e positiva.

Exemplo 8.19 Resolver a desigualdade

(1− x2) arcsinx > 0.

Solucao: Consideremos a funcao f(x) = (1 − x2) arcsinx, cujo domınio e o intervalo [−1, 1].Observamos que a funcao considerada e contınua neste intervalo e e igual a zero nos pontos:x = −1, x = 0 e x = 1. Portanto, pela propriedade 5., a funcao f(x) = (1 − x2) arcsinxconserva o sinal nos intervalos (−1, 0) e (0, 1).

Como f(1

2) =

(1− 1

4

)arcsin

1

2> 0, entao a funcao f(x) = (1 − x2) arcsinx e positiva no

intervalo (0, 1).

Como f(−1

2) =

(1− 1

4

)arcsin(−1

2) < 0, entao a funcao f(x) = (1−x2) arcsinx e negativa

no intervalo (0, 1).Assim cada x ∈ (0, 1) e solucao da inequacao (1− x2) arcsinx > 0.

132

Capıtulo 9

Derivada e suas aplicacoes

9.1 Definicao da Derivada

Seja a funcao y = f(x) definida no intervalo (a, b), xo ∈ (a, b) e o numero ∆x e tal quex+ ∆x tambem pertence ao intervalo (a, b). A diferenca

∆f(xo) = f(xo + ∆x)− f(xo)

chama-se incremento da funcao no ponto xo, e ∆x e o incremento da variavel no ponto xo.A derivada da funcao f(x) no ponto xo chama-se o limite da relacao ∆f(xo)/∆x quando

∆x→ 0 ( se o limite existe).A derivada de f(x) no ponto xo denota-se por f ′(xo). Assim, por definicao

f ′(xo) = lim∆x→0

∆f(xo)

∆x= lim

∆x→0

f(xo + ∆x)− f(xo)

∆x∆x=x−xo= lim

x→xo

f(x)− f(xo)

x− xo.

A funcao que possui derivada no ponto xo chama-se diferenciavel no ponto xo.Se a funcao y = f(x) e diferenciavel em cada ponto do intervalo (a, b), entao dizemos que ela ediferenciavel neste intervalo.

Exemplo 9.1 Calcular a derivada da funcao y = x3 no ponto xo = 1.

Solucao: Primeiramente encontremos o incremento da funcao y = x3 no ponto xo = 1;

∆y = f(1+∆x)−f(1) = (1+∆x)3−13 = 1+3∆x+3(∆x)2+(∆x)3−1 = 3∆x+3(∆x)2+(∆x)3.

Por definicao

lim∆x→0

∆f(xo)

∆x= lim

∆x→0

3∆x+ 3(∆x)2 + (∆x)3

∆x= lim

∆x→0(3 + 3(∆x) + (∆x)2 = 3.

Desta forma, a derivada da funcao y = x3 no ponto xo = 1 e igual a y′(1) = 3.

Exemplo 9.2 Mostre que(xn)′ = nxn−1, n ∈ N, x ∈ R.

133

Solucao: Escrevendo o incremento da funcao f(x) = xn, e considerando Cnk =

n!

k!(n− k)!,

temos

f(x+ ∆x)− f(x) = (x+ ∆x)n − xn =

=n∑k=1

Cnk x

n−k(∆x)k − xn =

= (xn + C1nx

n−1∆x+ C2nx

n−2(∆x)2 + · · ·+ Cnnx

n−n(∆x)n)− xn == nxn−1∆x+ C2

nxn−2(∆x)2 + · · ·+ Cn

n(∆x)n.

Desta forma∆f(x)

∆x= nxn−1 + C2

nxn−2(∆x) + · · ·+ Cn

n(∆x)n−1.

Como ∆x→ 0, entao todos os termos, exeto o primeiro tendem a zero, isto e

f ′(x) = lim∆→0

∆f(x)

∆x= nxn−1.


1. (cosx)′ = − sinx, x ∈ R

2. (sinx)′ = cosx, x ∈ R,

Solucao: 1) Para a funcao f(x) = cos x, temos

∆f(x)

∆x=

cos(x+ ∆x)− cosx

∆x=

=−2 sin(∆x

2) sin(x+ ∆x

2)

∆x=

=− sin(∆x

2)

∆x2

sin(x+∆x

2).

Portanto

lim∆x→0

∆f(x)

∆x= lim

∆x→0

(− sin(∆x

2)

∆x2

sin(x+∆x

2)

)=

= − lim∆x→0

(sin(∆x

2)

∆x2

)lim∆→x

sin(x+∆x

2) = − sinx.

Assim, (cos x)′ = − sinx em cada ponto x.Solucao: 2) Para a relacao do incremento da funcao f(x) = sin x e o incremento da variavelno ponto x, temos

∆f(x)

∆x=

sin(x+ ∆x)− sinx

∆x=

=2 sin(∆x

2) cos(x+ ∆x

2)

∆x=

=sin(∆x

2)

∆x2

cos(x+∆x

2).

134

Portanto

lim∆x→0

∆f(x)

∆x= lim

∆x→0

(sin(∆x

2)

∆x2

cos(x+∆x

2)

)=

= lim∆x→0

(sin(∆x

2)

∆x2

)lim∆→x

cos(x+∆x

2) = cos x.

Assim, (sin x)′ = cosx em cada ponto x.Para calcular

cos(x+ ∆x)− cosx

∆xe

sin(x+ ∆x)− sinx

∆x,

foram usados as seguintes afirmacoes

1) limt→0

sin t

t= 1; 2) lim

∆x→0sin(x+

∆x

2) = sin x; 3) lim

∆x→0cos(x+

∆x

2) = cos x.

9.2 Principais Regras para Calcular a Derivada

Enunciemos a seguir as principais regras de derivacao de uma funcao definida num intervalo(a, b).

1. (c)′ = 0, onde c e uma constante.

2. Se a funcao f(x) possui derivada no ponto x e c e uma constante, entao a funcao cf(x)tambem possui derivada no ponto x, e

(cf(x))′ = cf ′(x).

3. Se as funcoes f(x) e g(x) possuem derivadas no ponto x, entao a funcao f(x) ± g(x)tambem possui derivada neste ponto, e

(f(x)± g(x))′ = f ′(x)± g′(x).

4. Se as funcoes f(x) e g(x) possuem derivadas no ponto x, entao a funcao f(x)g(x) tambempossui derivada neste ponto, e

(f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

5. Se as funcoes f(x) e g(x) possuem derivadas no ponto x, e g(x) 6= 0, entao a funcaof(x)/g(x) tambem possui derivada neste ponto, e(

f(x)

g(x)

)′=f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g2(x).

Como exemplo, mostremos a regra 4.

Exemplo 9.4 Mostre que se as funcoes f(x) e g(x) possuem derivadas no ponto x, entao afuncao f(x)g(x) tambem possui derivada neste ponto, e

(f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

135

Prova: por hipotese, temos

lim∆x→0

f(x+ ∆x)− f(x)

∆x= f ′(x), lim

∆x→0

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x= g′(x).

Daqui por exemplo, obtemos

f(x+ ∆x)− f(x)

δx= f ′(x) + α,

onde α→ 0, se ∆x→ 0. Portanto, f(x+ ∆x) = f(x) + ∆x(f ′(x) + α)→ 0, se ∆x→ 0, e istosignifica que

lim∆x→0

f(x+ ∆x) = f(x).

Como

f(x+ ∆x)g(x+ ∆x)− f(x)g(x) == f(x+ ∆x)g(x+ ∆x)− f(x)g(x+ ∆x) + f(x)g(x+ ∆x)− f(x)g(x) == (f(x+ ∆x)− f(x))g(x+ ∆x) + f(x)(g(x+ ∆x)− g(x)),

entao

lim∆x→0

f(x+ ∆x)g(x+ ∆x)− f(x)g(x)

∆x=

= lim∆x

(f(x+ ∆x)− f(x)

∆xg(x+ ∆x) + f(x)

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x

)=

= lim∆x

f(x+ ∆x)− f(x)

∆xlim

∆x→0g(x+ ∆x) + f(x) lim

∆x→0

g(x+ ∆x)− g(x)

∆x=

= f ′(x)g(x) + f(x)g′(x),

e a regra 4 esta provada.De forma analoga mostra-se as otras regras de derivacao.

Exemplo 9.5 Encontrar a derivada do polinomio

Pn(x) = anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ ao.

Prova: usando a regra 3. e logo a regra 1., obtemos

P ′n(x) = (anxn)′ + (an−1x

n−1)′ + . . .+ (a1x)′ + (ao)′ =

= an(xn)′ + an−1(xn−1)′ + . . .+ a1(x)′ + (ao)′ =

= nanxn−1 + (n− 1)an−1x

n−2 + . . .+ 2a2x+ a1.

Exemplo 9.6 Encontrar a derivada da seguinte funcao

f(x) = (2x2 − 3x+ 2) cosx.

Prova: Pela regra de multiplicacao, temos

f ′(x) = ((2x2 − 3x+ 2) cosx)′= (2x2 − 3x+ 2)′ cosx+ (2x2 − 3x+ 2)(cosx)′

= (2.(x2)′ − 3x′ + (2)′) cosx+ (2x2 − 3x+ 2)(cosx)′

= (4x− 3) cosx+ (2x2 − 3x+ 2)(− sinx)= (4x− 3) cosx− (2x2 − 3x+ 2) sinx.

136

Exemplo 9.7 Encontre a derivada da funcao

f(x) =

{x2 sin 1

x, x 6= 0,

0, x = 0,

nos pontos x = 2 e x = 0.

Solucao: Para cada x 6= 0, usamos as regras de derivacao e formulas para o calculo dasderivadas, e obtemos

f ′(x) =(x2 sin 1

x

)′= 2x sin 1

x+ x2 cos 1

x(− 1

x2 ) == 2x sin 1

x− cos 1

x;

por isso f ′(2) = 4 sin 12− cos 1

2.

A derivada da funcao dada no ponto x = 0 vamos calcular usando a definicao de derivada numponto:

f ′(0) = lim∆x→0

f(0 + ∆x)− f(0)

∆x=

= lim∆x→0

(∆x)2 sin 1∆x− 0

∆x=

= lim∆x→0

(∆x sin1

∆x).

Como ∆x→ 0, e | sin 1∆x| ≤ 1, entao

lim∆x→0

(∆x sin1

∆x) = 0.

assim f ′(0) = 0.

Exemplo 9.8 Mostre que a funcao y = |x| nao e diferenciavel em x = 0.

Solucao: O incremento da funcao y = |x| e igual a

∆f(0) = f(0 + ∆x)− f(0) = |0 + ∆x| − 0 = |∆x|.

Por definicao, encontramos, que

f ′−(0) = lim∆x→0−

|∆x|∆x

= lim∆x→0−

−∆x

∆x= −1

f ′+(0) = lim∆x→0+

|∆x|∆x

= lim∆x→0+

∆x

∆x= 1

Como f ′−(0) 6= f ′+(0), entao a funcao y = |x| nao e diferenciavel no ponto x = 0(embora elaseja contınua neste ponto).

Exemplo 9.9 Mostre que a funcao y = |(x− 1)(x− 2)| nao e diferenciavel nos pontos x = 1e x = 2.

Solucao: Encontremos f ′−(1), f ′+(1) e f ′−(2), f ′+(2). Os incrementos da funcao f(x) nospontos x = 1 e x = 2 sao iguais respectivamente a

∆f(1) = f(1 + ∆x)− f(1) = |∆x(∆x− 1)|,∆f(2) = f(2 + ∆x)− f(2) = |∆x(∆x+ 1)|.

137

Por tanto

f ′−(1) = lim∆x→0−

|∆x(∆x− 1)|∆x

= lim∆x→0−

∆x(∆x− 1)

∆x= −1

f ′+(1) = lim∆x→0+

|∆x(∆x− 1)|∆x

= lim∆x→0+

−∆x(∆x− 1)

∆x= 1

f ′−(2) = lim∆x→0−

|∆x(∆x+ 1)|∆x

= lim∆x→0−

−∆x(∆x+ 1)

∆x= −1

f ′+(2) = lim∆x→0+

|∆x(∆x+ 1)|∆x

= lim∆x→0+

∆x(∆x+ 1)

∆x= 1.

Como f ′−(1) 6= f ′+(1) e f ′−(2) 6= f ′+(2), entao a funcao f(x) = |(x−1)(x−2)| nao e diferenciavelnos pontos x = 1 e x = 2.

Exemplo 9.10 Mostre que a funcao y = x|x| e diferenciavel no ponto x = 0.

Solucao: Temos

f ′−(0) = lim∆x→0−

∆x|∆x|∆x

= lim∆x→0−

(−∆x) = 0

f ′+(0) = lim∆x→0+

∆x|∆x|∆x

= lim∆x→0+

(∆x) = 1

Como f ′−(0) = f ′+(0) = 0, entao a funcao y = x|x| e diferenciavel no ponto x = 0 e f ′(0) = 0.

9.3 Interpretacao Geometrica da Derivada

Seja o ponto Mo(xo, yo) pertencente ao grafico da funcao y = f(x), definido no intervalo(a, b). Consideremos o ponto M(x, y) tambem pertencente ao grafico da funcao y = f(x), etracemos a reta secante MoM . Quando movemos o ponto M(x, y) pelo grafico da funcao, a retasecante mudara sua posicao. Se o ponto M tende para o ponto Mo, entao pode acontecer que areta secante ocupara uma posicao limite que nao depende de como o ponto M tenda para Mo.

M

M(x,y)

o

0 X

Y

138

Definicao 9.3.1 Chama-se reta tangente ao grafico da funcao y = f(x) no ponto Mo = (xo, yo)a posicao limite da reta secante que pasa pelos pontos Mo = (xo, yo) e M = (x, y)(se ele existe)quando o ponto M tende para Mo.

Vale notar que nem toda funcao y = f(x) possui reta tangente em cada ponto de seu grafico.Por exemplo na seguinte figura observamos que a funcao nao possui reta tangente no ponto xo.

0 X

Y

xo

A equacao da reta secante que passa pelos pontos Mo = (xo, f(xo)) e M = (xo + ∆x, f(xo +∆x)) e dado pela equacao:

y − f(xo)

x− xo=f(xo + ∆x)− f(xo)

∆x=

∆f(xo)

∆x,

ou seja,

y − f(xo) =∆f(xo)

∆x(x− xo). (9.1)

Do grafico abaixo, vemos que∆f(xo)

∆x= tan a. Se a funcao y = f(x) e diferenciavel no ponto

x = xo, entao a reta secante tende a sua posicao limite quando M → Mo(quando ∆x → 0).Desta forma o angulo a tende para o angulo limite b, isto e

tan b = lim∆x→0

tan a = lim∆x→0

∆f(xo)

∆x= f ′(xo).

Por conseguinte, a equacao da reta tangente ao grafico da funcao y = f(x) no ponto x = xo,pode-se obter de (9.1) e pode escrever-se como

y = f ′(xo)(x− xo) + f(xo).

Exemplo 9.11 Encontre a equacao da reta tangente ao grafico da funcao y = x3−x2 no pontoxo = 2.

139

M

M

o

o ox x + h

ab

N

0 X

Y

Solucao: Como y(2) = 4 e y′ = 3x2 − 2x, entao y′(2) = 8. Escrevendo a equacao da retatangente, y = y′(2)(x− 2) + y(2), obtemos y = 8x− 12.

Exemplo 9.12 Encontrar o angulo entre a direcao positiva da absicas e a reta tangente aparabola y = x2 − 4x− 17 no ponto com absica xo = 2, 5.

Solucao: Como y′ = 2x − 4, entao y′(2, 5) = 1. Por isso, supondo que ϕ seja o angulo queformam a reta tangente e o eixo das absicas, temos tanϕ = 1, donde segue que ϕ = π/4.

Exemplo 9.13 Encontre o angulo entre as retas tangentes ao grafico da funcao y = x3 − xnos pontos com absicas x1 = −1 e x2 = 0.

Solucao: Como y′ = 3x2− 1, entao y′(−1) = 2 e y′(0) = −1. Desta forma temos que calcularo angulo entre as retas tangente y = 2(x+ 1) e y = −x. Daqui encontramos

tanϕ1 = 2, tanϕ2 = −1, segue entao ϕ1 = arctan 2, e ϕ2 = 3π/4.

Como arctan 2 < π02 < 3π/4, entao o angulo desejado e o menor dos angulos ϕ2 − ϕ1 eπ − (ϕ2 − ϕ1), isto e o menor dos numeros 3/4π − arctan 2 e π/4 + arctan 2.

Como arctan 2 > arctan 1 = π/4, entao π04 + arctan 2 > π/2,e portanto o valor do menorangulo entre as retas tangentes e 3/4π − arctan 2.

Observacao 9.1 Se consideramos duas retas y = k1x + b1 e y = k2x + b2(k1 6= 0, k2 6= 0),entao o valor do angulo ϕ, 0 ≤ ϕ ≤ π/2, entre estas retas encontra-se pela relacao

tanϕ =∣∣ k2 − k1

1 + k1k2

∣∣, se k1k2 6= −1

e ϕ = π/2 se k1k2 = −1.

Exemplo 9.14 Encontre o angulo entre os graficos das funcoes f(x) =√

2x e g(x) = x2/2 noponto de suas intersecoes.

140

0 X

Y

y = g(x)

y = f(x)

Solucao: As absicas dos pontos de intersecao dos dois graficos satisfazem a equacao

√2x = x2)2

ou o seguinte sistema {x ≥ 0

2x = x4/4.

Daqui encontramos x1 = 0 e x2 = 2. Encontremos a tangente dos angulos de inclinacao dasretyas tangentes aos dois graficos das funcoes no ponto x2 − 2. Temos

f ′(x) =1

2

1√2x.2 =

1√2x, g′(x) =

1

2.2x = x.

Donde, f ′(2) = 1/2 e g′(2) = 2. Como f(2) = g(2) = 2, entao as equacoes das retas tangentesao graficos das funcoes y = f(x) e y = g(x) no ponto (2, 2) sao

y =1

2(x− 2) + 2 e y = 2(x− 2) + 2, respectivamente

isto e,

y =1

2x+ 1 e y = 2x− 2.

Portanto o angulo α entre as retas tangentes satisfaz a equacao

tanα =∣∣∣ 1

2− 2

1 + 12.2

∣∣∣ =3

4,

desta forma os graficos da funcoes f(x) e g(x) no ponto (2, 2) cortam-se num angulo igual aarctan 3

4.

141

9.4 Derivada das Funcoes Compostas e Inversas

Seja y = f(x) uma funcao contınua no intervalo [a, b], e alem disso o seu contradomıniopertence ao intervalo [c, d]. Seja z = g(y) uma funcao contınua no intervalo [c, d]. Entendendoy como funcao de x, obtemos a funcao composta de x:

z = g(y) = g[f(x)].

Teorema 9.4.1 Se a funcao y = f(x) e diferenciavel no ponto x = xo, e a funcao z = g(y)possui no ponto y = yo derivada, g′(y), entao a funcao composta z = g[f(x)] tambem possuiderivada no ponto xo, e

z′x = g′yf′x.

Prova: Seja ∆x o incremento, que damos ao ponto xo, entao ∆y = f(xo + ∆x) − f(xo) e oincremento da variavel y.

Agora passemos para a regra da funcao inversa. Se a funcao y = f(x) e contınua e cresceno intervalo (a, b), e alem disso, f(a) = c e f(b) = d., entao como ja sabemos, existe a funcaoinversa contınua no intervalo (c, d) que tambem e crescente x = ϕ(y).

Teorema 9.4.2 Se a funcao y = f(x) possui derivada no ponto xo, f′(xo) diferente de zero,

entao a funcao x = ϕ(y) possui derivada no ponto yo = f(xo), e

ϕ′(yo) =1

f ′(xo).

Prova: Seja ∆x o incremento, que damos ao ponto xo, entao ∆y = f(xo + ∆x) − f(xo) e oincremento da variavel y, e considerenado que ambos sao diferentes de zero, podemos escrever

∆x

∆y=

1δy∆x

.


1. (lnx)′ =1

x, x > 0;

2. (arcsinx)′ =1√

1− x2, |x| < 1;

3. (arctgx)′ =1

1 + x2, x ∈ R.

Solucao: Usando as regras de diferenciacao para as funcoes inversas e as formulas

(ex)′ = ex, (sinx)′ = cosx, (tgx)′ =1

cos2 x,

encontramos

1. (ln x)′ =1

elnx=

1

x;

142

2.

(arcsinx)′ =1

cos(arcsinx)=

1√1− sin2(arcsinx)

=

=1√

1− x2;

3.

(arctgx)′ =11

cos2(arctgx)

=1

1 + tg2(arctgx)=

=1

1 + x2.

.

De forma analoga mostra-se, que

1. (arccos x)′ =−1√

1− x2, |x| < 1;

2. (arcctgx)′ =−1

1 + x2, x ∈ R.


1. (ax)′ = ax ln a, x ∈ R, a > 0, a 6= 1;

2. (loga x)′ =1

x ln a, x > 0, a > 0, a 6= 1.

Solucao: 1) Como se sabeax = eln ax = ex ln a,

entao(ax)′ = (ex ln a)′ = ex ln a(x ln a)′ = ax ln a(x)′ = ax ln a.

2) Como

loga x =lnx

ln a,

entao

(loga x)′ =

(lnx

ln a

)′=

1

ln a(lnx)′ =

1

x ln a.

9.5 Tabela das Derivadas e Exemplos

Enumeremos uma tabela das derivadas das funcoes que ja foram encontradas e de outrasque podem ser calculadas usando a definicao de derivada:

1. (c)′ = 0, c-constante.

143

2. (cu(x))′ = cu′.

3. (u1 + u2 + . . .+ un)′ = u′1 + u′2 + . . .+ u′n.

4. (u1u2 . . . un)′ = u′1u2 . . . un + u1u′2 . . . un + u1u2 . . . u

′n

5.(uv

)′=u′v − uv′

v2.

6. (xn)′ = nxn−1 e (x)′ = 1.

7. (loga x)′ =1

x ln ae (lnx)′ =

1

x.

8. (ex)′ = ex e (ax)′ = ax ln a.

9. (sin x)′ = cosx.

10. (cos x)′ = − sinx.

11. (tan x)′ =1

cos2 x.

12. (cot x)′ = − 1

sin2 x.

13. (arcsin x)′ =1√

1− x2.

14. (arccos x)′ = − 1√1− x2

.

15. (arctan x)′ =1

1 + x2.

16. (arccot x)′ = − 1

1 + x2.

17. (uv)′ = vuv−1u′ + uvv′ lnu.

18. y′x = y′u.u′x (y depende de x atraves de u).

144

19. x′y =1

y′x.

Apliquemos as regras de derivacao acima para os seguintes exemplos:

Exemplo 9.17 y =1

6√x5

= x−5/6.

Entao

(y)′ = − 5

66√x11

= − 5

6x6√x5.

Exemplo 9.18 y = ln(x+√

1 + x2).Entao usando a regra da funcao composta 18, temos

(y)′ =1

x+√

1 + x2(x+

√1 + x2)′ =

=1

x+√

1 + x2[1 + (

√1 + x2)′] =

=1

x+√

1 + x2[1 +

1

2√x2 + 1

(1 + x2)′] =

=1

x+√

1 + x2(1 +

x√x2 + 1

) =

=1

x+√

1 + x2

x+√

1 + x2

√x2 + 1

=

=1√

1 + x2.

Exemplo 9.19 y =

(x

3x+ 2

)n.

De novo, usando a regra 18, temos

y′ = n

(x

3x+ 2

)n−1(x

3x+ 2

)′= n

(x

3x+ 2

)n−13x+ 2− 3x

(3x+ 2)2=

=2nxn−1

(3x+ 2)n+1.

Exemplo 9.20 y = cos(x2).Pondo u = x2 e usando a regra da cadeia, temos

y′ = − sinx2.(x2)′ = −2x cos(x2).

9.6 Analise das Funcoes e Construcao de Graficos

O esquema geral para analizar funcoes e construir seus graficos inclui elementos comoencontrar intervalos de crescimento e decrescimento, pontos de extremo, etc. A aplicacao daderivada permite simplificar o estudo das funcoes.

E de facil prova as seguintes afirmacoes:

145

1. Seja a funcao y = f(x) diferenciavel no intervalo (a, b). A funcao y = f(x) e constanteno intervalo (a, b) se e somente se f ′(x) = 0 para qualquer x ∈ (a, b).

2. Sejam f(x) e g(x) duas funcoes diferenciaveis no intervalo (a, b) e f ′(x) = g′(x) paratodo x ∈ (a, b), entao f(x) = g(x) + c, x ∈ (a, b), onde c e uma constante.

3. Se a funcao diferenciavel y = f(x) cresce (decresce) no intervalo (a, b), entao f ′(x) ≥0(f ′(x) ≤ 0), para todo x ∈ (a, b).

Teorema 9.6.1 (Criterio suficiente de crescimento(decrescimento))

1. Se a funcao f(x) e diferenciavel no intervalo (a, b) e f ′(x) > 0(f ′(x) < 0), x ∈ (a, b),entao a funcao cresce(decresce) neste intervalo.

2. Se a funcao f(x) e contınua no intervalo [a, b], diferenciavel no intervalo (a, b) e f ′(x) >0(f ′(x) < 0), x ∈ (a, b), entao a funcao cresce(decresce) no intervalo [a, b].

Teorema 9.6.2 (Fermat) Seja a funcao f(x) definida no intervalo (a, b) e o ponto xo ∈ (a, b)e ponto de maximo(mınimo). Entao se a funcao f(x) e diferenciavel em xo, f

′(xo) = 0.

Prova: Suponhamos que f(xo) e o valor maximo da funcao. Seja h ∈ R tal que xo+h ∈ (a, b).Como xo e ponto de maximo, entao

f(xo + h)− f(xo) ≤ 0.

Consideremos a seguinte relacaof(xo + h)− f(xo)

h.

Como o numerador da fracao e nao negativa, entao

f(xo + h)− f(xo)

h≤ 0 se h > 0. (9.2)

ef(xo + h)− f(xo)

h≥ 0 se h < 0. (9.3)

Por hipotese existe a derivada da funcao f(x) no ponto x = xo, entao de (9.2), temos

limh→0+

f(xo + h)− f(xo)

h= f ′(xo) ≤ 0.

Da mesma forma, de (9.3), temos

limh→0−

f(xo + h)− f(xo)

h= f ′(xo) ≥ 0.

Comof ′(xo) = f ′−(xo) = f ′+(xo),

146

(x , f(x ))

(x , f(x ))y = f(x)

y = f(x)

o

o

o

o

o

o

x x00 XX

YY

segue que f ′(xo) = 0.

O Teorema de Fermat fornece as condicoes necessarias para que uma funcao diferenciavelnum ponto interior do seu domınio de definicao atinja maximo ou mınimo. Enquanto a condicaof ′(xo) = 0 nao e condicao suficiente de maximo ou mınimo. Isto mostra-se facilmente naseguinte exemplo. Considere a funcao f(x) = x3, cuja derivada e f ′(x) = (x3)′ = 3x2. Notamosque f ′(x) = 0 quando x = 0, no entanto o ponto x = 0 nao e um ponto de maximo nemmınimo.

Do teorema de Fermat segue que os pontos de extremo da funcao f(x) encontra-se entre ospontos crıticos, isto e nos pontos do domınio onde a derivada e igual a zero ou nao existe.

Desta forma, a reta tangente que passa pelo ponto (xo, f(xo), onde xo e ponto de extremoda funcao f(x) e paralela ao eixo das absisas.

Teorema 9.6.3 (Condicoes Suficientes para os Extremos):

1. Seja a funcao f(x) definida no intervalo (a, b) e contınua no ponto xo ∈ (a, b). Sef ′(x) < 0 no intervalo (a, xo) e f ′(x) > 0 no intervalo (xo, b), entao o ponto xo e umponto de mınimo de f(x) no intervalo (a, b).

2. Seja a funcao f(x) definida no intervalo (a, b) e contınua no ponto xo ∈ (a, b). Se f ′(x) >0 no intervalo (a, xo) e f ′(x) < 0 no intervalo (xo, b), entao o ponto xo e um ponto demınimo de f(x) no intervalo (a, b).

9.6.1 Construcao de Graficos

O esquema geral para construir os graficos das funcoes inclui elementos como: intervalos decrescimento e decrescimento, pontos de extremo, intervalos de concavidade, etc. Agora veremosque alem disto, o uso da derivda permite simplificar a construcao e analise das funcoes.

147

Exemplo 9.21 Encontre os intervalos de crescimento e decrescimento da funcao

f(x) = x+1

x2.

Solucao: O domınio da funcao e a uniao dos intervalos (−∞, 0) e (0,∞). Como a funcaof(x) e diferenciavel em cada um dos intervalos (−∞, 0) e (0,∞) e

f ′(x) = 1− 2x

x3= 1− 2

x2,

entao f ′(x) = 0 quando xo = 3√

2. O Ponto xo = 3√

2 divide o domınio de definicao da funcaodada em tres intervalos: (−∞, 0), (0, 3

√2) e ( 3

√2,∞). Em cada um destes intervalos a

derivada conserva sinal constante. Portanto, a funcao dada cresce nos intervalos (−∞, 0)e ( 3√

2,∞). Como a funcao f(x) e contınua no ponto 3√

2, entao este ponto podemos juntar aointervalo onde ela cresce. Definitivamente obtemos que a funcao cresce nos intervalos (−∞, 0)e [ 3√

2,+∞). Tambem observamos que f ′(x) < 0 quando x ∈ (0, 3√

2) e como a funcao econtınua no intervalo (0, 3

√2], entao ela decrese em (0, 3

√2].

O grafico da funcao e dado a seguir.

y = x

0 X

Y

A

B

Figura 9.1: grafico da funcao f(x) = x+1

x2com A = 3

√2 e B = 3/ 3

√4

Exemplo 9.22 Encontre os pontos de extremo da funcao

f(x) = (x− 1)2(x+ 1)3.

148

Solucao: A funcao f(x) esta definida, e contınua e e diferenciavel para todos os valores de x.Como

f ′(x) = 2(x− 1)(x+ 1)3 + 3(x− 1)(x+ 1)2 = (x− 1)(x+ 1)2(5x− 1),

entao f ′(x) = 0 quando x = 1, x = −1, x = 1/5. Daqui, pelo metodo dos intervalos encontramosque f ′(x) > 0 quando x ∈ (−∞, 1/5) e x ∈ (1,+∞) e f ′(x) < 0 para x ∈ (1/5, 1). Portantocomo a funcao e contınua para todo x, entao ela cresce nos intervalos (−∞, 1/5] e [1,+∞) edecresce no intervalo [1/5, 1]. Desta forma, o ponto x = 1/5 e um ponto de maximo local, e oponto x = 1 e um ponto de mınimo local.Observamos que sendo f ′(−1) = 0, o ponto x = −1 nao e um ponto de extremo local para afuncao f(x).

1

A

-1 B0 X

Y

Figura 9.2: grafico da funcao f(x) = (x− 1)2(x+ 1)3 com A =3456

3125e B = 1/5

Exemplo 9.23 Encontre os intervalos de concavidade da funcao

f(x) = 3x4 − 4x3 + 1.

Solucao: A funcao dada e diferenciavel em cada ponto da reta numerica, e

f ′(x) = 12x3 − 12x2.

Para analizar os intervalos de concavidade da funcao f(x), e necessario estudar o crescimentoe decrescimento da funcao

h(x) = f ′(x) = 12x3 − 12x2.

149

Para isto, verifiquemos o criterio de monotonicidade da funcao

h′(x) = 36x2 − 24x = 36x

(x− 2

3

).

Como h′(x) = 0 quando x = 0 e x = 2/3, temos h′(x) > 0 quando x ∈ (−∞, 0) ex ∈ (2/3,+∞), h′(x) < 0 quando x ∈ (0, 2/3). Entao a funcao h(x) cresce nos intervalos(−∞, 0) e [2/3,+∞) e drecrsce no intervalo [0, 2/3]. Portanto a funcao f(x) e concava parabaixo nos intervalos (−∞, 0] e [0, 2/3], e concava para cima no intervalo [0, 2/3]. O graficodesta funcao e dada a seguir.

0 X

Y

1

A 1

Figura 9.3: grafico da funcao f(x) = 3x4 − 4x3 + 1 com A = 2/3

9.7 Formas Indeterminadas0

0,∞∞

Sejam f(x) e g(x) duas funcoes definidas no intervalo [c, d] e satisfazem as condicoes do Teoremade Cauchy e se anulam no ponto x = c, isto e f(c) = g(c) = 0 ou lim

x→cf(x) = lim

x→cg(x) = 0.

Entao a relacaof(x)

g(x)nao existe quando x = c. Mas para outros pontos x 6= c esta fracao esta

bem definida.

Teorema 9.7.1 (1o regra de L’Hospital-Bernoulli) Sejam f(x) e g(x) duas funcoes definidasno intervalo [c, d] e satisfazem as condicoes do Teorema de Cauchy e se anulam no ponto x = c,

150

isto e f(c) = g(c) = 0. Se existe o limite limx→c

f ′(x)

g′(x), entao existe lim

x→c

f(x)

g(x)e

limx→c

f(x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x).

Teorema 9.7.2 (2o regra de L’Hospital-Bernoulli) Sejam f(x) e g(x) duas funcoes contınuase derivaveis em todo ponto x 6= c e

limx→c

f(x) = limx→c

g(x) =∞.

A drivada g′(x) nao se anula numa vizinhanca do ponto x = c. se existe o limite

limx→c

f ′(x)

g′(x),

entao existe o limite limx→c

f(x)

g(x)e

limx→c

f(x)

g(x)= lim

x→c

f ′(x)

g′(x).

Dizemos que a funcao (x) = f(x)g(x) e uma indeterminacao do tipo 0 · ∞, se limx→c

f(x) = 0 e

limx→c

g(x) = ±∞. Reescrevendo F (x) na forma

limx→c

f(x)1

g(x)

ou na forma

limx→c

g(x)1

f(x)

,

temos que no primeiro caso transformamos a inderminacao 0 · ∞ na indeterminacao0

0e no

segundo caso na indeterminacao∞∞

.

Dizemos que a funcao F (x) = f(x) − g(x) e uma indeterminacao da forma ∞ − ∞se lim

x→cf(x) e lim

x→cg(x) valem ∞ ou −∞.

Podemos escrever F (x) na seguinte forma

F (x) = [1− f(x)

g(x)]/

1

f(x),

e transforma-lo numa indeterminacao do tipo0

0se,

limx→c

f(x)

g(x)= 1.

As indeterminacoes do tipo 1∞, 00 ou ∞0, podem ser transformados para a indeterminacao dotipo 0 · ∞ usando logaritmacao.

151

Exemplo 9.24 Calcule o limite da seguinte funcao

limx→0

sinx · ex − 5x

4x2 + 7x.

Solucao: Usemos a primeira regra de L´Hospital-Bernoulli para as funcoes f(x) = sinx·ex−5xe g(x) = 4x2 + 7x. Temos

limx→0

f(x)

g(x)= lim

x→0

f ′(x)

g′(x)= lim

x→0

cosx · ex + sinx · ex − 5

8x+ 7= −4

7.


limx→0

sinx · e2x − x5x2 + x3

.

Solucao: Usemos a primeira regra de L´Hospital-Bernoulli duas vezes para as funcoes f(x) =sinx · e2x − x e g(x) = 5x2 + x3, e g′(x) = 10 + 6x 6= 0 quando x→ 0. Temos

limx→0

f(x)

g(x)= lim

x→0

f ′(x)

g′(x)= lim

x→0

cosx · e2x + 4 sinx · e2x − 1

10x+ 3x2

= limx→0

f ′′(x)

g′′(x)= lim

x→0

− sinx · e2x + 4 cos ·e2x

10 + 6x

=2

5.


limx→∞

ex + sinx

x+ sinx.

Solucao: Observamos que a funcaoex + sinx

x+ sinxe uma indeterminacao do tipo

∞∞, e nao

podemos aplicar a regra de L´Hospital-Bernoulli pois o limite

limx→∞

(ex + sinx)′

(x+ sinx)′= lim

x→∞

ex + cosx

1 + cos xnao existe.

Mas limx→∞

sinx

x= 0, lim

x→∞

sinx

exe lim

x→∞

ex

x=∞, entao

limx→∞

(ex + sinx)′

(x+ sinx)′= lim

x→∞

ex(1 + sinxex

)

x(1 + sinxx

)=∞.


limx→0

ln(sin ax)

ln(sin bx).

Solucao: Usando a segunda regra de L´Hospital-Bernoulli, temos

limx→0

ln(sin ax)

ln(sin bx)= lim

x→0

a sin bx · cos ax

b sin ax · cos bx= lim

x→0

sin bxbx· cos ax

sin axax· cos bx

= 1.

Aqui usamos o fato que limu→0

sinu

u= 1.

152


limx→0

[(x− sinx) lnx].

Solucao: Observamos qua a funcao (x − sinx) lnx e uma indeterminacao do tipo 0 · ∞.Reescrevendo esta funcao na forma

(x− sinx) lnx =lnx

1x−sinx

,

obtemos uma indeterminacao do tipo∞∞, e usando a segunda regra de L´Hospital-Bernoulli,

temos

limx→0

lnx1

x−sinx

= limx→0

1x

−(1−cosx)(x−sinx)2

= limx→0

(1− sinx)2

x(cosx− 1).

uma indeterminacao do tipo0

0; usando a primeira regra de L´Hospital-Bernoulli, temos

limx→0

(1− sinx)2

x(cosx− 1)= lim

x→0

2(x− sinx)(1− cosx)

cosx− 1− x sinx=

= 2 limx→0

(1− cosx)2 + (x− sinx) sinx

− sinx− sinx− x cosx=

= 2 limx→0

1− 2 cosx+ cos2 x+ x sinx− sin2 x

−2 sinx− x cosx=

= 2 limx→0

1− 2 cosx+ x sinx+ cos 2x

−2 sinx− x cosx=

= 2 limx→0

2 sinx+ sinx+ x cosx− 2 sin 2x

−3 cosx+ x sinx=

= 0.

Portantolimx→0

[(x− sinx) lnx] = 0.


limx→1

(1− x) tanπx

2.

Solucao: Este limite e da forma 0 ·∞. Reescrevendo a funcao (1−x) tan πx2

na forma1− xcot πx

2

obtemos uma indeterminacao do tipo0

0, por isso;

limx→1

1− xcot πx

2

= limx→1

−11

sin2 πx2

· 2π

= limx→1

2

πsin2 πx

2=

2

π.

Portanto

limx→1

(1− x) tanπx

2=

2

π.


limx→0

(cotx− 1

x

).

153

Solucao: Este limite e da forma∞−∞. Reescrevendo a funcao (cot x− 1x) na seguinte forma(

cotx− 1

x

)=x cosx− sinx

x sinx

obtemos a indeterminacao do tipo0

0. Usando a regra de L´Hospital-Bernoulli, temos

limx→0

x cosx− sinx

x sinx= lim

x→0

−x sinx

sinx+ x cosx=

= limx→0

− sinx− x cosx

2 cosx− x sinx=

= 0.

Portanto

limx→0

(cotx− 1

x

)= 0.


limx→∞

(x−

√(x− a)(x− b)

).

Solucao: Este limite e da forma ∞−∞. Transformemos a funcao(x−

√(x− a)(x− b)

)=

(a+ b)x− abx+

√x− a)(x− b)

obtemos uma indeterminacao do tipo∞∞

. Usando a segunda regra de de L´Hospital-Bernoulli,

temos(a+ b)x− ab

x+√x− a)(x− b)

=(a+ b)

1 + 2x−(a+b)

2√x−a)(x−b)

=

=(a+ b)

1 +2−a+b

x

2√

(1− ax

)(1− bx

)

=

=a+ b

2.

Portanto

limx→∞

(x−

√(x− a)(x− b)

)=a+ b

2.


limx→∞

x1x .

Solucao: Este limite e da forma ∞0. Tomemos logaritmo da funcao f(x) = x1x e obtemos

ln f(x) =lnx

xuma indeterminacao da forma

∞∞

. Pela segunda regra de L´Hospital-Bernoulli,

obtemos

limx→∞

[ln f(x)] = limx→∞

[lnx1x ] = lim

x→∞

lnx

x= lim

x→∞

1x

1= 0.

Usando o fato que limx→∞

[ln f(x)] = ln[ limx→∞

f(x)], obtemos

limx→∞

x1x = e0 = 1.

154


limx→0

(1

x

)tanx

.

Solucao: Transformando a funcao e usando a segunda regra de L´Hospital-Bernoulli, obtemos

limx→0

(1

x

)tanx

= limx→0

eln( 1x

)tanx = limx→0

etanx ln 1x =

= elimx→0

(− tanx lnx)= e

limx→0

− 1x

− 1sin2 x =

= elimx→0

sinx

xsinx

= elimx→0

sinx

xlimx→0

sinx=

= e0 = 1.

9.8 Aplicacoes da Derivada

O domınio de aplicacao da derivada para resolver problemas de matematica elementar emuito basto. Por exemplo podemos ver o uso da derivada para mostrar igualdades, calculo desomas, resolucao de equacoes, desigualdades e sistemas, analise de funcoes, etc. Na base destasaplicacoes estao os teoremas basicos que enunciaremos enseguida.

1. Se a funcao f(x) e g(x) sao diferenciaveis no intervalo (a, b) e f(x) ≡ g(x), x ∈ (a, b),entao f ′(x) = g′(x),∀x ∈ (a, b).

2. Se a funcao f(x) e g(x) sao diferenciaveis no intervalo (a, b) e f ′(x) ≡ g′(x),∀x ∈ (a, b),entao f(x = g(x) + c, onde c e uma constante.Em particular, se a funcao f(x) e diferenciavel no intervalo (a, b) e f ′(x) ≡ 0,∀x ∈ (a, b),entao f(x) e identicamente a uma constante.

3. Se a funcao f(x) e diferenciavel no ponto xo ∈ (a, b), entao ela e contınua no ponto x = xo.

4. Se a funcao f(x) e diferenciavel no intervalo (a, b) e f ′(x) > 0(f ′(x) < 0), x ∈ (a, b),entao a funcao f(x cresce (decresce) no intervalo (a, b.

5. Teorema (Rolle) Se a funcao f(x) e contınua no intervalo [a, b] e diferenciavel no intervalo(a, b) e f(a) = f(b), entao existe ao menos um ponto c ∈ (a, b) tal que f ′(c) = 0.Prova: A funcao f(x) contınua no compacto [a, b] atinge seu maximo e mınimo nospontos deste intervalo. Suponhamos que seja m e M seu mınimo valor e seu maximovalor respectivamente. Se temos m = M , entao a funcao f(x) = constante, e portantosua derivada e zero em todos os pontos de (a, b).

Por outro lado, seja m 6= M , entao m < M . Como f(a) = f(b), entao algum dosnumeros m o M e diferente de f(a) e f(b). Suponhamos que f(a) = f(b) 6= M . Comoo maximo valor e atingido no interior do intervalo (a, b), entao pelo Teorema de Fermatexiste xo ∈ (a, b) tal que f ′(xo) = 0.

155

A B

M

0 X

Y

a bc

Observacao 9.2 Se a funcao y = f(x) nao e diferenciavel no interior do intervalo,entao a conclusao do teorema de Rolle pode ser falsa.

Por exemplo a funcaof(x) = 1− 3

√x2

e contınua no intervalo [−1, ]) e f(−1) = f(1) = 0, mas a derivada

f ′(x) =2

3 3√x

e diferente de zero no intervalo (−1, 1). Isto acontece porque a derivada f ′(x) nao existe(e+∞) quando x = 0.

6. Teorema (Lagrange-Teorema do Valor Medio(TVM)) Se a funcao f(x) e contınua nointervalo [a, b] e diferenciavel no intervalo (a, b), entao existe ao menos um ponto xo ∈ (a, b)tal que

f(b)− f(a) = f ′(xo)(b− a).

Prova: Consideremos a seguinte funcao contınua em [a, b] e diferenciavel em (a, b)

F (x) = f(a) +f(b)− f(a)

b− a(x− a), ∀x ∈ [a, b].

Observamos que F (a) = f(a) e F (b) = f(b). Derivando F (x), obtemos

F ′(x) =f(b)− f(a)

b− a.

156

-1 10 X

Y

Consideremos a funcao G(x) = f(x)− F (x), isto e,

G(x) = f(x)− f(a)− f(b)− f(a)

b− a(x− a), ∀x ∈ [a, b].

ComoG(a) = f(a)− f(a)− 0 = 0G(b) = f(b)− f(a)− f(b) + f(a) = 0,

a funcao G(x) satisfaz as condicoes do teorema de Rolle, portanto existe xo ∈ (a, b) talque G′(xo) = 0, isto e,

G′(xo) = f ′(xo)−f(b)− f(a)

b− a= 0,

donde

f ′(xo) =f(b)− f(a)

b− a,

e o teorema esta provado.

A interpretacao geometrica do Teorema de Lagrange consiste no seguinte: o valor da derivadaf ′(c) e igual ao valor da tangente do angulo(CAB), isto e,

f ′(c) =f(b)− f(a)

b− a=CB

AC= tan(CAB).

Ja sabemos que a derivada de uma funcao constante e zero. Podemos usar a formula deLagrange para mostrar um resultado inverso: Se a derivada f ′(x) = 0, ∀x ∈ (a, b), entao afuncao f(x) e constante neste intervalo.

157

0 X

Y

A

B

C

a bc

f(a)

f(b) - f(a)

D

De fato, tomemos um numero arbitrario x do intervalo (a, b), isto e, a < x < b. Aplicandoo Teorema de Lagrange para o intervalo (a, x), temos

f(x)− f(a) = f ′(xo)(x− a), xo ∈ (a, x),

como f ′(xo) = 0, segue quef(x) = f(a) = constante.

Exemplo 9.34 Encontre todos os pares de numeros (a, b), onde a > 0, b ≥ 0, tais que vale adesigualdade

a lnx+ b = ln(ax+ b), x > 0.

Solucao: Seja o par (ao, bo), e tal que

ao lnx+ bo = ln(aox+ bo)

para cada x > 0.Depois de derivar a funcao para x > 0, obtemos

aox

=ao

aox+ bo.

Esta ultima igualdade so e possıvel para o par (1, 0). Portanto uma verificacao rapida nosconvencemos que o par de numeros (1, 0) e uma solucao do exercıcio.

Exemplo 9.35 Para cada valor de a encontre o numero de raizes da equacao

x3 − 3x2 − a = 0. (9.4)

158

Solucao: Encontremos os intervalos de crescimento e decrescimento da funcao x3−3x2. Comof ′(x) = 3x2 − 6x = 3x(x− 2), entao

f ′(x) < 0, quando 0 < x < 2,f ′(x) = 0, quando x = 0 e x = 2,f ′(x) > 0, quando x < 0, e x > 2.

Desta forma, a funcao contınua f(x) no ponto x = 2 possui mınimo local, e no ponto x = 0um maximo local. E tambem f(0) = 0, f(2) = −4. Alem disso, a funcao f(x) decresce nointervalo [0, 2] e cresce nos intervalos (−∞, 0] e [2,+∞). Observamos que

limx→+∞

f(x) = +∞, limx→−∞

f(x) = −∞

Daqui segue, que para calcular a dependencia do numero de raizes da equacao (9.4) dos possıveisvalores de a, e necessario disenhar os graficos da funcao f(x) e reta y = a, quando a pode tomarvalores em (−∞,+∞). Como a funcao f(x) e contınua em cada ponto do seu domınio e e umpolinomio de terceiro grau, significa que ela possui uma raiz real ou tres raizes reais, entao

1. Quando a > 0 a equacao possui uma raiz;

2. Quando a = 0 a equacao possui tres raices (x1 = x2 = 0;x3 = 3), entre as quais doiscoincidem;

3. Quando −4 < a < 0 a equacao possui tres raices diferentes;

4. Quando a = −4 a equacao possui tres raices (x1 = x2 = 2; x3 = −1), entre as quais doiscoincidem;

5. Quando a < −4 a equacao possui uma raiz.

Exemplo 9.36 Demonstre a desigualdade

ln2 n > ln(n− 1) ln(n+ 1), n > 2.

Solucao: Reescrevamos a inequacao na seguinte forma

lnn

ln(n− 1)>

ln(n+ 1)

lnn.

Analizemos a funcao

f(x) =lnx

ln(x− 1)x ∈ (2,+∞),

e encontremos sua derivada.

f ′(x) =

ln(x−1)x− lnx

x−1

ln2(x− 1)=x ln(x−1)

x− ln(x− 1)

x(x− 1) ln2(x− 1).

159

Como f ′(x) < 0 para x > 2. Entao a funcao f(x) decresce no intervalo (2,+∞), e portantof(n) > f(n+ 1), n > 2, isto e

lnn

ln(n− 1)>

ln(n+ 1)

lnn.

de onde obtemos a desigualdade desejada.

Exemplo 9.37 Demonstre que

4 tg 5◦ tg 9◦ < 3 tg 6◦ tg 10◦.

Solucao: Analizemos a seguinte funcao

f(x) =tg x

x, 0 < x < π/4.

calculando a derivada de f(x),

f ′(x) =x− sinx cosx

x2 cos2 x, 0 < x <

π

4,

x− sinx cosx =1

2(2x− sin 2x) > 0, 0 < x <

π

4,

entao a funcao f(x) cresce no intervalo (0, π/4).Desta forma,

tg 5π180

5π

180

<tg 6π

180

6π

180

,tg 9π

180

9π

180

<tg 10π

180

10π

180

,

e portanto,4 tg 5◦ tg 9◦ < 3 tg 6◦ tg 10◦.

Exemplo 9.38 Qual desses numeros e maior

(sinπ/6)sinπ/3 ou (sinπ/3)sinπ/6

Solucao: Analisemos a funcao

f(x) =lnx

x, x > 0.

Calculando a derivada

f ′(x) =1− lnx

x2,

temos

1. f ′(x) > 0 quando 0 < x < e,

2. f ′(x) = 0 quando x = e,

3. f ′(x) < 0, quando x > e.

160

Desta forma, a funcao f(x) cresce no intervalo (0, e] e decresce no intervalo [e,+∞).Portanto, se 0 < x < y < e, entao

lnx

x<

ln y

y,

isto exy < yx quando 0 < x < y < e.

Analogamente, se e ≤ x < y, entaolnx

x>

ln y

y,

isto exy > yx quando e ≤ x < y.

Daqui, e considerando que

sin π/6 =1

2< sin π/3 =

√3

2

concluimos que(sin π/6)sinπ/3 < (sin π/3)sinπ/6.

Observamos que das desigualdades funcionais obtidas acima, temos, por exemplo

100101 > 101100, eπ > πe, (ln 5)3 < 3ln 5.

Exemplo 9.39 Mostre que para quaisquer numeros positivos a e b tais que a < b, e qualquernumero natural n ≥ 2 tem-se a seguinte desigualdade

n(b− a)an−1 < bn − an < n(b− a)bn−1.

Solucao: Consideremos a seguinte funcao f(x) = xn, x > 0. Temos

f(b)− f(a)

b− a=bn − an

b− a.

Como a funcao f(x) = xn e contınua no intervalo [a, b] e diferenciavel no intervalo (a, b), entaopelo teorema do valor medio, existe um ponto ξ do intervalo (a, b) tal que

bn − an

b− a= f ′(ξ) = nξn−1.

Considerando a desigualdade an−1 < ξn−1 < bn−1, temos

nan−1 <bn − an

b− a< nbn−1.

Daqui segue quen(b− a)an−1 < bn − an < n(b− a)bn−1.

Exemplo 9.40 Mostre que,ex > 1 + x para x > 0.

161

Solucao: Seja b um numero positivo qualquer. consideremos a funcao f(x) = ex no intervalo[0, b]. pelo teorema do valor medio, temos

f(b)− f(a)

b− a= f ′(ξ), ξ ∈ (0, b)

isto eeb − 1

b= eξ,

onde ξ ∈ (0, b). Como eξ > 1 para qualquer ξ > 0, entao daqui obtemos

eb − 1

b> 1,

isto e eb > 1 + b para qualquer numero positivo b.

Exemplo 9.41 Demonstre que1

52< ln

52

51<

1

51.

Solucao: Consideremos a funcao f(x) = ln x no intervalo [51, 52]. Temos

f(52)− f(51)

52− 51= ln 52− ln 51.

Pelo Teorema de Lagrange, concluimos que existe um numero α tal que 51 < α < 52, tal que

ln 52− ln 51 = f ′(α)(52− 51) =1

α.

Como 51 < α < 52, segue que

1/52 < ln 52− ln 51 < 1/51.

162

Capıtulo 10

Integral e suas Aplicacoes

10.1 Definicao da Integral

Seja a funcao f(x) contınua no intervalo [a, b]. Particionemos este intervalo em n partes edenotemos os pontos de divisao por xo, x1, · · · , xn−1, xn, isto e

a = xo < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b.

Denotemos por ∆xk o comprimento do intervalo [xk−1, xk]; entao ∆xk = xk−1 − xk. O di-ametro desta particao denotado por dn vamos chamar o comprimento do maior dos intervalos[xk−1, xk],isto e

dn = maxk

∆xk.

Em cada intervalo [xk−1, xk], k = 1, 2, · · · , n, escolhemos um numero arbitrario ξk; o valor f(ξk)da funcao f(x) no ponto ξk multiplicamos por ∆xk para k = 1, 2, · · · , n e escrevemos a somade todos esses produtos, que denotaremos por Sn e chamaremos de soma integral da funcaof(x) da particao dada, isto e

Sn = f(ξ1)(x1 − xo) + f(ξ2)(x2 − x1) + · · ·+ f(ξn)(xn − xn−1)

=n∑k=1

f(ξk)(xk − xk−1).

Desta forma, para cada n ∈ N a soma integraln∑k=1

f(ξk)∆xk depende da escolha dos pontos da

particao do intervalo [a, b] e escolha do ponto ξk.

Para a funcao f(x), contınua no intervalo [a, b] vale a seguinte afirmacao: Se o numerode intervalos n do intervalo [a, b] aumenta, e o diametro da particao dk tende a zero, entao asequencia das somas integrais Sn possui limite, que nao depende do modo como particionamoso intervalo [a, b] nem da escolha dos pontos ξ1, ξ2, · · · , ξn.

O numero que e igual a este limite, chama-se Integral definida da funcao f(x) de a ate b e

denotamos por∫ baf(x)dx; b e a chamam-se limite superior e inferior de integracao respectiva-

mente. Assim ∫ b

a

f(x)dx = limdn→0

n∑k=1

f(ξk)∆xk.

163

A definicao da integral definida surgeu de problemas praticos, um desses problemas e ocalculo das areas da figuras planas.

Consideremos a figura, limitada pelo grafico da funcao contınua f(x) no intervalo [a, b], quetoma so valores nao negativos e por duas retas verticais x = a e x = b e pelo eixo das absicas.Tal figura chama-se trapecio curvilineo.Usando a notacao anterior, escrevemos a soma integral

0 X

Y

a b

y = f(x)

Sn =n∑k=1

f(ξk)(xk − xk−1).

Neste caso, o termo k-esimo da soma integral Sn podemos considerar como a area do retangulode base xk − xk−1 e altura f(ξk), onde k = 1, 2, . . . , n; entao a soma integral Sn expresa aarea da figura formada por n retangulos. E claro que se aumentamos o numero de particoesdo intervalo [a, b], diminuimos o diametro da particao dn, entao a soma Sn se diferenca muitopouco do trapecio curvilineo.Um dos primeiros exemplos nao triviais do calculo de areas de trapezios curvilineos e o calculo

da area da figura limitada pela parabola y = x2 no intervalo [a, b] e o eixo das absicas, estudadopor Arquimedes.

Exemplo 10.1 Calcule a integral ∫ b

0

x2dx, b > 0.

Nao existe na geometria uma formula que nos permita calcular a area da igura formada pelaparabola y = x2, pelo eixo das absicas e pela reta x = b. Calculemos esta area usando a

definicao de integral definida para

∫ b

0

x2dx Para isto, particionemos o intervalo [a, b] e n partes

iguais. Entao δxk = b/n e xk = kb/n. Escrevendo ξk = xk = kb/n, obtemos f(ξk) = k2b2/n2.Entao, podemos escrever a soma integral Sn como

Sn =n∑k=1

f(ξk)(xk − xk−1) =n∑k=1

k2b2

n2

b

n=b3

n3(12 + 22 + . . .+ n2).

164

a=x x xx x x x x = bo 1 2 3 nn-1n-2n-3

A

BC

D E F

0 X

Y

k

Figura 10.1: A = f(ξ1), B = f(ξ2), C = f(ξ3), k = f(ξk), D = f(ξn−2), E = f(ξn−1), F =f(ξn)

Como

12 + 22 + . . .+ n2 =n(n+ 1)(2n+ 1)

6,

entao

Sn =b3

n3

n(n+ 1)(2n+ 1)

6=b3

6

(n+ 1)(2n+ 1)

n2=b3

6

(1 +

1

n

)(2 +

1

n

).

Por tanto ∫ b

0

x2dx = limdn→0

Sn = limn→∞

[b3

6

(1 +

1

n

)(2 +

1

n

)]=b3

3.

10.1.1 Somas de Darboux

Seja f(x) uma funcao limitada no intervalo [a, b], e seja P = {a = xo < x1 < . . . < xn = b}uma particao arbitraria do intervalo [a, b]. Escrevendo

mj = infx∈[xj ,xj+1]

f(x) e Mj = supx∈[xj ,xj+1]

f(x)

podemos considerar as seguintes somas:

sP =n−1∑j=0

mj∆xj e SP =n−1∑j=0

Mj∆xj

chamadas de soma inferior e soma superior de Darboux respectivamente correspondente aparticao P, onde ∆xj = xj+1 − xj. E obvio que sP ≤ SP.

Sejam P1 e P2 duas particoes de [a, b], dizemos que P2 e um refinamento de P1 se P1 ⊂ P2.Assim, pode-se provar que (ver, por exemplo [elon])

sP1 ≤ sP2 ≤ SP2 ≤ SP1 .

165

Definicao 10.1.1 O numero I = infPSP chama-se de integral superior de Darboux da funcao

f em [a, b].

Definicao 10.1.2 O numero I = supPsP chama-se de integral inferior de Darboux da funcao f

em [a, b].

E facil de ver que I ≤ I, pois

sP ≤ supPsP = I ≤ inf

PSP = I.

Definicao 10.1.3 O numero M −m = ω = ω[a,b], onde

M = M[a,b] = supx∈[a,b]

f(x) e m = m[a,b] = infx∈[a,b]

f(x)

chama-se de oscilacao de f em [a, b].

Lema 10.1.1 Se f e uma funcao limitada definida o intervalo [a, b], entao

supξ,η∈[a,b]

[f(ξ)− f(η)] = supξ,η∈[a,b]

|f(ξ)− f(η)| = M −m. (10.1)

Prova: Para qualquer ξ, η ∈ [a, b] temos

f(ξ)− f(η) ≤ |f(ξ)− f(η)| ≤M −m. (10.2)

De outro lado, existem ξ, η ∈ [a, b] tais que

f(ξ) > M − ε/2 e f(η) < m+ ε/2;

para tais ξ e η, temos

f(ξ)− f(η) > (M − ε/2)− (m+ ε/2) = M −m− ε,

ou sejaM −m− ε < f(ξ)− f(η) ≤M −m.

Assim ficam provados que o primeiro e terceiro termos de (10.1) sao iguais, e a expresao (10.2)mostra que eles sao iguais ao segundo termo em (10.1).

Segue do lema anterior que

supξj ,ηj∈[xj ,xj+1]

n−1∑j=0

|f(ξj)− f(ηj)|∆xj =n−1∑j=0

|f(ξj)− f(ηj)|∆xj =

=n−1∑j=0

(Mj −mj)∆xj =

=n−1∑j=0

ωj∆xj =

= SP − sP,

onde, ωj = ω[xj ,xj+1].

166

Teorema 10.1.1 Seja f uma funcao limitada definida no intervalo [a, b], entao sao equiva-lentes:

1. I = I;

2. Para qualquer ε > 0, existe uma particao P tal que

SP − sP < ε; (10.3)

3. Para qualquer ε > 0, existe δ > 0 tal que vale a desigualdade (10.3) para todas asparticoes P com subintervalos ∆xj < δ;

4. A integral ∫ b

a

f(x)dx = I

existe e I = I = I.

Prova: 1) → 2). Se 1) cumpre-se, entao podemos escrever I = I = I e supor que existemparticoes P1 e P2 tais que

I − ε/2 < sP1 e SP2 < I + ε/2.

Entao para P = P1 + P2, temos

I − ε/2 < sP1 ≤ sP ≤ sP ≤ SP2 ≤ I + ε/2

donde segue 2).2)→ 1). Seja P uma particao para a qual a desigualdade (10.3) e satisfeita. Entao da desigual-dade

sP ≤ I ≤ I ≤ SP

temos I − I < ε. Como ε > 0 pode ser arbitrariamente pequeno e I e I sao numeros queindependem de ε, entao podemos concluir que I = I, isto e, vale 1).

10.2 Relacao entre a Integral Definida e a Integral In-

definida

Consideremos a Area Sab limitado pelo eixo 0X, pelo grafico da funcao f(x) e as coordenadasx = a e x = b.

10.2.1 Propriedades da Integral Indefinida

10.2.2 Tabela das Integrais Elementares

Escrevamos uma tabela de integrais indefinidas de algumas funcoes:

1.∫dx = x+ c;

167

2.∫xαdx =

xα+1

α + 1+ c, α 6= −1;

3.

∫dx

x= ln |x|+ c, x 6= 0;

4.∫axdx =

ax

ln a+ c, a > 0, a 6= 1;

5.∫exdx = ex + c;

6.∫

cosxdx = − sinx+ c;

7.∫

sinxdx = cosx+ c;

8.

∫dx

sin2 x= −cotx+ c;

9.

∫dx

cos2 x= tanx+ c;

10.

∫dx√a2 − x2

= arcsinx

a+ c, a > 0, |x| < a;

11.

∫dx

x2 + a2=

1

aarctan

x

a+ c, a 6= 0;

12.

∫dx

x2 − a2=

1

2aln∣∣∣x− ax+ a

∣∣∣+ c, a 6= 0, x| 6= |a|.

As integrais das funcoes que nao constam na tabela, podem ser encontradas seguindo asseguintes regras:

1. A integral da soma de duas funcoes e igual a soma das integrais dos somandos, isto e,∫(f(x) + g(x))dx =

∫f(x)dx+

∫g(x)dx.

2. A constante pode ser retirado fora da integral, isto e,∫kf(x)dx = k

∫f(x)dx.

Exemplo 10.2 Encontre ∫ (1

x3− 5 cosx+ sinx

)dx.

168

Solucao: Usando as regras 1 e 2 dadas acima, encontramos∫ (1

x3− 5 cosx+ sinx

)dx =

∫1

x3dx−

∫5 cosxdx+

∫2 sinxdx =

= − 3

x4− 5

∫cosxdx+ 2

∫sinxdx =

= − 3

x4− 5(− sinx) + 2 cosx+ c =

= − 3

x4+ 5 sinx+ 2 cosx+ c.

Exemplo 10.3 Encontre ∫6

5x2 + 12dx.

Solucao: Temos ∫6

5x2 + 12dx =

6

5

∫dx

x2 + 125

=

=6

5

∫dx

x2 +

(√12

5

)2 .

Pela formula 11 da tabela de integracao, encontramos∫6

5x2 + 12dx =

6√

5

5√

12arctan

√5x√12

+ c.

10.2.3 Regra de Integracao por Partes

Um metodo geral para transformar integrais indefinidas e o metodo de integracao por partes.

Sejam f(x) e g(x) duas funcoes diferenciaveis num mesmo intervalo. Entao

(f(x)g(x))′ = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x),

e da definicao da integral indefinida, obtemos

f(x)g(x) =

∫(f ′(x)g(x) + f(x)g′(x))dx+ c,

isto e, ∫f ′(x)g(x)dx+

∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x) + c,

onde c e uma constante arbitraria. Como f ′(x)dx = df(x) e g′(x)dx = dg(x), entao podemosescrever a ultima igualdade∫

f(x)dg(x)dx = f(x)g(x)−∫g(x)df(x).

A expressao obtida chama-se formula de integracao por partes.

169

Exemplo 10.4 Encontre ∫x lnxdx.

Solucao: Seja f(x) = lnx e xdx = dg(x). Entao df(x) = f ′(x)dx e g(x) = x2/2. Da formulade integracao por partes encontramos∫

x lnxdx =

∫lnxd

(x2

2

)=x2

2lnx−

∫x2

2d lnx =

=x2

2lnx−

∫x

2dx =

=x2

2lnx− x2

4+ c.

Portanto ∫x lnxdx =

x2

2lnx− x2

4+ c,

onde c e uma constante arbitraria.

Exemplo 10.5 Calcular ∫eax sin bxdx.

Solucao: Seja f(x) = eax e g(x) = − cos bx. Usando a formula de integracao por partes duasvezes, encontramos∫

eax sin bxdx = −1

beax cos bx+

a

b

∫eax cos bxdx =

= −1

beax cos bx+

a

b2eax sin bx− a2

b2

∫eax sin bxdx.

Definindo da equacao obtida a integral∫eax sin bxdx, encontramos∫

eax sin bxdx =1

a2 + b2eax(a sin bx− b cos bx) + c.

Exemplo 10.6 Calcular ∫ √a2 − x2dx.

Solucao: Seja f(x) =√a2 − x2 e g(x) = x. Usando a formula de integracao por partes,

encontramos ∫ √a2 − x2dx = x

√a2 − x2 −

∫x−2x

2√a2 − x2

dx =

= x√a2 − x2 +

∫x

x√a2 − x2

dx =

= x√a2 − x2 +

∫x2 − a2 + a2

√a2 − x2

dx =

= x√a2 − x2 + a2

∫x

dx√a2 − x2

−∫

a2 − x2

√a2 − x2

dx.

170

Da igualdade obtida obtemos∫ √a2 − x2dx = x

√a2 − x2 + a2 arcsin

x

a−∫ √

a2 − x2dx.

Daqui, segue que, ∫ √a2 − x2dx = x2

√a2 − x2 +

a2

2arcsin

x

a+ c.

10.2.4 Regra de Mudanca de Variaveis

Exemplo 10.7 Encontre ∫dx

x ln2 x.

Solucao: ∫dx

x ln2 x=

∫(lnx)′

dx

ln2 x=

∫d lnx

ln2 x=

y=lnx=

∫dy

y2= −1

y+ c =

=1

lnx+ c.

Exemplo 10.8 Encontre ∫cosxdx

1 + sin2 x.

Solucao: ∫cosxdx

1 + sin2 x=

∫(sinx)′

dx

1 + sin2 x=

∫d sinx

1 + sin2 x=

y=sinx=

∫dy

1 + y2= arctan y + c =

= arctan(sinx) + c.

Exemplo 10.9 Encontre ∫dx

1 +√x.

Solucao: Escrevendo t =√x; entao x = t e dx = 2tdt. Daqui encontramos∫dx

1 +√x

=

∫2tdt

1 + t= 2

∫ (1− 1

1 + t

)dt =

= 2t− 2 ln |1 + t|+ c == 2√x− 2 ln(1 +

√x) + c.

Aseguir enumeremos as integrais indefinidas de algumas funcoes usando o metodo de mudancade variaveis.

1.

∫dx

x lnx=

∫d(lnx)

lnx= ln | lnx|+ c;

171

2.

∫sinn x cosxdx =

∫sinn xd(sinx) =

1

n+ 1sinn+1 x+ c;

3.

∫sin(mx)dx =

1

m

∫sinmxd(mx) = − 1

mcosmx+ c;

4.

∫dx

ax+ b=

1

a

∫d(ax+ b)

ax+ b=

1

aln |ax+ b|+ c;

5.

∫dx

sinx=

∫dx

2 sin x2

cos x2

=

∫dx

2 tan x2

cos2 x2

=

∫d tan x

2

tan x2

= ln | tanx

2|+ c;

6.

∫xdx√1− x2

=1

2

∫dx2

√1− x2

= −1

2

∫d(1− x2)√

1− x2= −√

1− x2 + c;

7.

∫sin(ax+ b)dx =

1

a

∫sin(ax+ b)d(ax+ b) = −1

acos(ax+ b) + c;

8.

∫(ax+ b)ndx =

1

a

∫(ax+ b)nd(ax+ b) =

(ax+ b)n+1

a(n+ 1)+ c;

10.3 Propriedades da Integral Definida das Funcoes

Contınuas

Enunciemos as principais propriedades da integral definida, que seguem imediatamente desua definicao.

1. Se a < b < c, entao ∫ c

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(x)dx+

∫ c

b

f(x)dx.

2.

∫ b

a

kf(x)dx = k

∫ b

a

f(x)dx, k − constante.

3. Se f(x) = g(x) + h(x), entao∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

g(x)dx+

∫ b

a

h(x)dx.

4. ∫ b

a

f(x)dx =

∫ b

a

f(y)dy =

∫ b

a

f(z)dz,

isto e, a integral definida nao depende da notacao da variavel independente.

5. Se f(x) ≥ 0, x ∈ [a, b], com a < b, entao∫ b

a

f(x)dx ≥ 0.

172

Ainda mais, se f(x) ≤ g(x), x ∈ [a, b], com a < b, entao∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

g(x)dx.

6. Se a < b, entao ∣∣ ∫ b

a

f(x)dx∣∣ =

∫ b

a

|f(x)|dx.


ln(1 + x) = x− x2

2+x3

3− . . .+ (−1)n−1x

n

n+

+(−1)n∫ x

0

yn

y + 1dy, n ∈ N, x ∈ (−1,+∞).

Solucao: Como

1− x+ x2 − . . .+ (−1)n−1xn−1 =1− (−x)n

1 + x, x 6= −1;

entao1

1 + x= 1− x+ x2 − . . .+ (−1)n−1xn−1 + (−1)n

xn

1 + x, x 6= −1;

integrando, temos∫ x

0

dy

1 + y= ln(1 + x) =

∫ x

0

(1− y + y2 − . . .+ (−1)n−1yn−1 + (−1)n

yn

1 + y

)dy

= x− x2

2+x3

3− . . .+ (−1)n−1x

n

n+ (−1)n

∫ x

0

yn

y + 1dy;

e com isto a igualdade esta provada.


arctan = x− x3

3+x5

5− . . .+ (−1)n−1 x

2n−1

2n− 1+

+(−1)n∫ x

0

y2n

y2 + 1dy, n ∈ N, x ∈ R.

Solucao: Como

1− x2 + x4 − . . .+ (−1)n−1x2(n−1) =1− (−x2)n

1 + x2, x ∈ R;

entao1

1 + x2= 1− x2 + x4 − . . .+ (−1)n−1x2(n−1) + (−1)n

x2n

1 + x2, x ∈ R;

integrando, temos∫ x

0

dy

1 + y2= arctanx =

∫ x

0

(1− y2 + y4 − . . .+ (−1)n−1y2(n−1) + (−1)n

y2n

1 + y2

)dy

= x− x3

3+x5

5− . . .+ (−1)n−1 x

2n−1

2n− 1+ (−1)n

∫ x

0

y2n

y2 + 1dy;

e com isto a igualdade esta provada.

173

Exemplo 10.12 Calcular ∫ 4

−3

x3dx.

Solucao: Uma das primitivas para a funcao y = x3 e a funcao y =1

4x4, entao pela formula

de Newton-Leibnitz, obtemos∫ 4

−3

x3dx =1

4x4∣∣∣4−3

=1

4(44 − (−3)4) =

175

4.

Exemplo 10.13 Calcular ∫ π/4

0

dx

cos2.

Solucao: Uma das primitivas para a funcao y =1

cos2. e a funcao y = tanx, entao pela formula

de Newton-Leibnitz, obtemos∫ π/4

0

dx

cos2= tanx

∣∣∣π/40

= tanπ

4− tan 0 = 1.


−1

exdx

1 + ex.

Solucao: Seja ex = t, se x ∈ [−1, 2], entao t ∈ [e−1, e2],∫ 2

−1

exdx

1 + ex=

∫ 2

−1

dex

1 + ex=

∫ e2

e−1

dt

1 + t=

∫ e2

e−1

d(1 + t)

1 + t=

= ln(t+ 1)∣∣∣e2e−1

= ln(1 + e2)− ln(1 + e−1) =

= ln1 + e2

1 + e−1=

= ln

(e+ e3

e+ 1

).


1

|1− 5x|dx.

Solucao: Como

|1− 5x| ={

1− 5x, se x ≤ 1/5,5x− 1, se x > 1/5,

174

temos ∫ 2

1

|1− 5x|dx =

∫ 1/5

0

(1− 5x)dx+

∫ 2

1/5

(5x− 1)dx =

=1

5− 5

∫ 1/5

0

xdx+ 5

∫ 2

1/5

xdx−∫ 2

1/5

dx =

=1

5− 5

(x2

2

) ∣∣∣1/50

+ 5

(x2

2

) ∣∣∣21/5−(

2− 1

5

)=

=1

5− 5

1

25.2+

5.4

2− 5.1

2.25− 9

5=

=10− 5 + 500− 5− 90

2.25

=41

5.

10.3.1 Teorema do Valor Medio para Integrais

Primeiramente mostremos o seguinte resultado

Lema 10.3.1 Consideremos f, ϕ : (a, b)→ R satisfazendo a seguinte condicao

f(x) ≤ ϕ(x), (10.4)

entao ∫ b

a

f(x)dx ≤∫ b

a

ϕ(x)dx, (10.5)

isto significa que as desigualdades podemos integrar.

Prova: Usando a definicao de integral, escrevamos a a soma integral para a diferenca ϕ(x)−f(x): ∫ b

a

f(x)dx−∫ b

a

ϕ(x)dx =

∫ b

a

(f(x)− ϕ(x))dx =

= limn→∞

n∑j=1

[f(cj)− ϕ(cj)](xj − xj−1), cj ∈ (xj, xj−1).

Da inequacao (10.4) segue que a soma integral nao e positiva e portanto o limite tambem naoe positivo, donde segue (10.5).

Teorema 10.3.1 ( Teorema do valor medio) Consideremos f, ϕ : (a, b) → R, e alem disso,suponhamos que a funcao ϕ(x) conserva o sinal no intervalo (a, b), entao∫ b

a

f(x)ϕ(x)dx = f(ξ)

∫ b

a

ϕ(x)dx, (10.6)

onde ξ e algum valor. do intervalo (a, b).

Prova: Consideremos por conveniencia ϕ(x) ≥ 0 no intervalo (a, b). Denotemos com m e Mos valores mınimo e maximo da funcao f(x) no intervalo (a, b) respectivamente, isto e,

m ≤ f(x) ≤M.

175

Como ϕ(x) ≥ 0, temosmϕ(x) ≤ f(x)ϕ(x) ≤Mϕ(x).

Usando o lema anterior e considerendo b > a, temos

m

∫ b

a

ϕ(x)dx ≤∫ b

a

f(x)ϕ(x)dx ≤M

∫ b

a

ϕ(x).

E claro que existe um numero K entre m e M , isto e, m ≤ K ≤M , tal que∫ b

a

f(x)ϕ(x)dx = K

∫ b

a

ϕ(x)dx,

pois a funcao f(x) e contınua no intervalo (a, b) e toma valores entre m e M e por isso existeξ ∈ (a, b) tal que f(ξ) = K, e com isto provamos (10.6).

Se ϕ(x) ≤ 0 em (a, b), entao −ϕ(x) ≥ 0 no intervalo (a, b). Aplicando a esta funcao aformula acima demonstrada, temos∫ b

a

f(x)[−ϕ(x)]dx = f(ξ)

∫ b

a

[−ϕ(x)]dx,

e multiplicando ambas partes da equacao acima por (-1), temos a igualdade (10.6):∫ b

a

f(x)ϕ(x)dx = f(ξ)

∫ b

a

ϕ(x)dx.

Em particular, se considerarmos ϕ(x) = 1, obtemos a seguinte formula∫ b

a

f(x)dx = f(ξ)

∫ b

a

dx = f(ξ)(b− a). (10.7)

0 X

Y

a b

A

B

Figura 10.2: A = f(ξ), B = ξ

176

10.3.2 O Teorema Fundamental do Calculo

Notamos que a integral ∫ b

a

f(x)dx

dada a funcao subintegral f(x) depende dos limites de integracao a e b. Consideremos a integral∫ x

a

f(t)dt

com limite inferior constante e limite superior depende de x. Por isso este integral sera umafuncao de x;

F (x) =

∫ x

a

f(t)dt.

Mostremos quedF (x)

dx= f(x).

Comecemos da definicao da derivada para a funcao F (x), isto e,

dF (x)

dx= lim

h→0

F (x+ h)− F (x)

h.

Temos

F (x+ h) =

∫ x+h

a

f(t)dt =

∫ x

a

f(t)dt+

∫ x+h

x

f(t)dt,

donde

F (x+ h) = F (x) +

∫ x+h

x

f(t)dt eF (x+ h)− F (x)

h=

1

h

∫ x+h

x

f(t)dt.

Denotando por ξ algum valor pertencente ao intervalo (x, x+ h), e aplicando (10.7), temos∫ x+h

x

f(t)dt = f(ξ)h

que nos daF (x+ h)− F (x)

h= f(ξ).

Quando h→ 0, qualquer valor de uma variavel em (x, x+ h), e em particular e ξ tende para xe devido a continuidade da funcao f , f(ξ)→ f(x), isto e,

dF (x)

dx= lim

h→0

F (x+ h)− F (x)

hlimh→0

f(ξ) = f(x).

Como consequencia, obtemos que a integral definida F (x), considerado como funcao do limitesuperior x, e uma funcao contınua no intervalo (a, b). E alem disso, a funcao contınua f(x)possui primitiva F (x) + C, isto e, ∫ x

a

f(t)dt = F (x) + C.

177

Quando x = a, temos C = −F (a), portanto,∫ x

a

f(t)dt = F (x)− F (a),

e pondo x = b, obtemos, definitivamente∫ b

a

f(t)dt = F (b)− F (a).

10.3.3 Regra de Mudanca de Variaveis

Consideremos a funcao f(x) contınua no intervalo (a, b). Seja a funcao ϕ(t) injetiva,contınua com derivada ϕ′(t) no intervalo (α, β), e alem disso,

ϕ(α) = a, ϕ(β) = b.

Exigimos tambem que ϕ([α, β]) ⊂ [a, b]. E com isto a funcao composta f [ϕ(t)] e uma funcaoda variavel t no intervalo α, β).

De fato, para mostrar as afirmacoes acima, consideremos , x como funcao de t:

x = ϕ(t),

entao a integral definida transforma-se pela formula:∫ b

a

f(x)dx =

∫ β

α

f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt. (10.8)

Denotemos esas integrais por:

F (x) =

∫ x

a

f(y)dy; Ψ(t) =

∫ t

α

f [ϕ(z)]ϕ′(z)dz.

Entao

F (x) = F [ϕ(t)] =

∫ ϕ(t)

a

f(y)dy.

Calculando sua derivada pela regra da funcao composta, temos

dF (x)

dx=F (x)

dx

dx

dt,

masdF (x)

dx= f(x) e

dx

dt= ϕ′(t),

donde:dF (x)

dx= f(x)ϕ′(t) = f [ϕ(t)]ϕ′(t).

Calculando a derivada da funcao Ψ(t), temos

dΨ(t)

dt= f [ϕ(t)]ϕ′(t).

178

As funcoes F (x) e Ψ(t) como funcoes de t possuem a mesma derivada no intervalo (α, β) e porisso se diferenciam so na constante, e por isso quando t = a, temos

x = ϕ(a) = a, F (x)∣∣∣t=α

= F (a) = 0; Ψ(α) = 0,

isto e, estas duas funcoes sao iguais quando t = α. para t = β temos

F (x)∣∣∣t=β

= F (b) =

∫ b

a

f(x)dx =

∫ β

α

f [ϕ(t)]ϕ′(t)dt.

10.3.4 Regra de Integracao por Partes

10.4 Aplicacoes da Integral definida

10.4.1 Calculo de Areas

10.4.2 Comprimento de Arco

10.4.3 Calculo de Volumes

179

Referencias Bibliograficas

[1] Aldo bezerra Maciel e Osmundo Alves Lima, Introducao A Analise Real, EDUEP, CampinaGrande, 2005

[2] S.M. Nikolsky, Um Curso de Analise Matematico, Vol I, II, MIR, Moscou 1975

[3] N. Piskunov, Calculo Diferencial e Integral, Vol I, II, MIR, Moscou 1972

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