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Informatica no Ensino da Matematica AD/01 1

Informatica no Ensino da MatematicaAD/01 23/02/2010

A entrega sera no dia 09/03/2010 para postagem registrada com AR (para o polo) e

no dia 13/03/2010 para entrega direta no polo.

Nome:Polo:

Pesquisa e Avaliacao de Softwares e Novas Tecnologias

Informatica e uma ciencia que evolui muito rapidamente! Novos paradigmas e programas de

computador aparecem a cada momento e, voce, como um futuro professor de matematica,

deve estar preparado a acompanhar criticamente as novas diretrizes e as inumeras possi-

bilidades que estas tecnologias podem lhe oferecer! O objetivo desta AD e exercitar esteprocesso de pesquisa e avaliacao!

Como avaliar um software? A resposta a esta pergunta nao e simples e muitas pessoas tem

sugerido diferentes processos de avaliacao! Para aprender mais sobre o assunto, recomen-

damos a leitura das referencias a seguir.

(a) O captulo 3 da dissertacao de mestrado SoftMat: Um Repositorio de Softwares para

Matematica do Ensino Medio Um Instrumento em Prol de Posturas mais Conscientes

na Selecao de Softwares Educacionais de Silvia Cristina Freitas Batista (Universidade

Estadual do Norte Fluminense, 2004). Neste captulo, a autora descreve e analisa seis

criterios de avaliacao diferentes, sendo que o ultimo, SoftMat, foi elaborado pela propria

autora. O captulo 4 apresenta doze exemplos de avaliacoes usando o criterio SoftMat.

Esta dissertacao de mestrado esta disponvel na secao BIBLIOTECAS da pagina

WEB:

http://www.professores.uff.br/hjbortol/car/.

(b) O arquivo modelo.doc disponvel no endereco

http://www.mat.uc.pt/~jaimecs/mes07/modelo07.doc

Fundacao CECIERJ HJB Consorcio CEDERJ

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da pagina Metodos Computacionais no Ensino da Matematica (do Mestrado em Ma-

tematica para o Ensino) na Universidade de Coimbra (em Portugal) e gerenciada pelo

professor Jaime Carvalho e Silva. Exemplos de avaliacoes de softwares e paginas WEB

usando este modelo podem ser encontrados nos apendices A e B no final deste texto.

Suas tarefas nesta AD sao as seguintes:

(1) Escolher um dos modelos de avaliacao descritos nas referencias acima e ar-

gumentar os motivos de sua escolha. Evidentemente, voce tem a total liberdade

de adaptar um dos modelos ou mesmo sugerir um modelo novo!

(2) Avaliar um dos seguintes softwares (disponveis em uma pagina WEB) com

o modelo escolhido (ou elaborado) no item (1):

[01] Uma Pletora de Poliedros: http://www.uff.br/cdme/pdp/ .

[02] Projecoes em Perspectiva: http://www.uff.br/cdme/v3d/ .

[03] Projecoes Ortogonais: http://www.uff.br/cdme/pro/ .


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[04] Trip-lets: http://www.uff.br/cdme/triplets/ .

[05] Os Solidos Platonicos: http://www.uff.br/cdme/platonicos/ .

[06] Mysterium Cosmographicum: http://www.uff.br/cdme/kepler/ .

[07] Jogo da Tomografia: http://www.uff.br/cdme/tomografia/ .


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[08] Jogo da Classificacao dos Triangulos: http://www.uff.br/cdme/jct/ .

[09] Jogo da Classificacao dos Quadrilateros: http://www.uff.br/cdme/jcq/ .

[10] O Numero de Ouro: http://www.uff.br/cdme/rza/ .

[11] Pavimentacao com Polgonos Regulares: http://www.uff.br/cdme/ppr/ .


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[12] Demonstracoes Sem Palavras: http://www.uff.br/cdme/dsp/ .

[13] Anatomia de Uma Funcao Quadratica: http://www.uff.br/cdme/fqa/ .

[14] A Expansao Decimal de Um Numero: http://www.uff.br/cdme/edn/ .

[15] Como b depende de a: http://www.uff.br/cdme/c1d/ .


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[16] Funcoes Trigonometricas: http://www.uff.br/cdme/ftr/ .

[17] Matrizes e Imagens Digitais: http://www.uff.br/cdme/matrix/ .

[18] O Triangulo de Pascal: http://www.uff.br/cdme/pascal/ .

[19] Distribuicoes de Frequencias e Seus Graficos: http://www.uff.br/cdme/distfreq/ .


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[20] Pesquisas Estatsticas no Dia a Dia: http://www.uff.br/cdme/pesqest/ .

[21] Medidas de Posicao: http://www.uff.br/cdme/medidasposicao/.

[22] Medidas de Dispersao: http://www.uff.br/cdme/medidasdispersao/ .

[23] Probabilidade Dois Dados: http://www.uff.br/cdme/prob-doisdados/.


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[24] Probabilidade Eventos Equiprovaveis: http://www.uff.br/cdme/prob-bonecos/.

[25] Taxas e Indices: http://www.uff.br/cdme/taxa/taxa-html/taxa-br.html.

[26] Graficos e Suas Escalas: http://www.uff.br/cdme/graficosesuasescalas/.

[27] Tangrans Pitagoricos: http://www.uff.br/cdme/tangrans_pitagoricos_eletronico/.


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[28] Jogos Artsticos Geometricos:

http://www.uff.br/cdme/jogos_artisticos_geometricos_eletronico/.

[29] Variacao da Funcao Afim: http://www.uff.br/cdme/afim/ .

[30] Variacao da Funcao Quadratica: http://www.uff.br/cdme/quadratica/ .

[31] Variacao da Funcao Exponencial: http://www.uff.br/cdme/exponencial/ .


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[32] A Pipa Tetraedrica de Alexander Graham Bell: http://www.uff.br/cdme/pgb/ .

IMPORTANTE!(1) Sua nota desta AD dependera do grau de profundidade e detalhamento de suas ava-

liacoes. Inclua figuras, seja criativo e organizado! Alem dos aspectos didaticos e ma-

tematicos, avalie tambem a clareza e o portugues do texto! Sua analise deve incluir

o guia do professor, se presente.

(2) Ao executar a atividade, voce deve imprimir e preencher o formulario de acompanha-

mento do aluno (quando presente) acessvel atraves dos cones

e .

O nao preenchimento deste formulario implicara na perda de 3 pontos em

sua nota!

(3) Voce tambem deve preencher o formulario de avaliacao online acessvel atraves dos

cones

e

que estao disponveis no topo da atividade. O nao preenchimento deste formulario

implicara na perda de 3 pontos em sua nota!

(4) Esta AD nao pode ser enviada por e-mail. Voce deve entregar uma versao impressa

em seu polo dentro dos prazos estabelecidos.

(5) A escolha do software a ser avaliado sera feita da seguinte maneira: acesse o topico com

o nome do seu polo no forum de nome AD-01. Voce deve registrar neste topico a sua


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escolha, que deve ser diferente das trinta e duas ultimas escolhas registradas. Se voce

for o primeiro a fazer o registro, entao a escolha e livre.

(6) Caso os links indicados nao estejam funcionando no servidor

http://www.uff.br/cdme/ ,

voce pode usar o servidor alternativo

http://www.cdme.im-uff.mat.br/.


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Apendice A

Exemplo de Avaliacao de uma Pagina WEB elaborada no curso Metodos

Computacionais no Ensino da Matematica da Universidade de Coimbra

1. Identificacao da pagina

Avaliadora: Telma Morais Madeira

Nome: Historia da Matematica http://www.hmat.hpg.ig.com.br/

Lngua: Portugues (do Brasil)

Autor: Lucinei Carneiro

Instituicao: Secretaria Estadual de Educacao do Parana

Data da criacao: Nao indicada

Data da ultima actualizacao: Nao indicada

2. Descricao

Trata-se de uma pagina (ou site) com conteudo e estrutura muito simples. A pagina

principal (Home) da as boas vindas ao visitante, saudando-o com a conhecida frase de

Platao Os numeros governam o mundo. Logo nesta primeira pagina ha a possibili-

dade de enviar apreciacoes ou sugestoes ao autor. Do lado esquerdo e possvel escolher

o assunto a consultar para embarcar na maravilhosa aventura dos numeros: Historia,

Biografias, Curiosidades, Frases celebres, Desafios, Links e Autor. Entre-

mos no fascinante mundo dos numeros, comecando pela pagina Historia, que contemuma sub-pagina na qual se pode aceder aos seguintes Topicos Historicos: algarismo,

algebra, calculo, fracoes, geometria, grau, numero concreto, numero natural, numero

negativo, numero , sistema chines, sistema egpcio, sistema mesopotamico, sistema

metrico, sistema romano, zero.

Em todas estas sub-paginas e possvel passar a seguinte sem ter de regressar a pagina

que os apresenta. Vejamos a seguir uma breve descricao de cada um desses Topicos

Historicos. A sub-pagina relativa ao topico Algarismo refere-se ao aparecimento do

Sistema de Numeracao Decimal e, consequentemente, do termo algarismo. Na sub-pagina Algebra, Dionfante de Alexandria e citado como um dos revolucionarios da

historia da Matematica, e os seus estudos baseados no uso de smbolos, como facilitadores

da escrita e dos calculos matematicos. Sao feitas pequenas referencias a historia da

Algebra desde cerca de 400 d.C. ate ao incio do seculo XVII, evidenciando-se a origem

dessa palavra. Existe tambem uma breve referencia a Criptografia e a Francois Viete,

pai da Algebra e responsavel pela introducao de smbolos no mundo matematico. Fala-se

tambem do contributo de Rene Descartes como impulsionador da Algebra simbolica. Na

sub-pagina Calculo, a mais pequena de todo o site, encontra-se a defini cao da palavra

calculo e refere-se o procedimento dos (antigos) pastores como processo de contagem.


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Na sub-pagina Fracoes e relatada uma breve historia sobre a possvel origem dos

numeros fraccionarios: medicoes de terrenos junto ao Rio Nilo. Refere-se tambem que

os egpcios apenas utilizavam fraccoes unitarias (com numerador igual a 1) por entende-

rem a fraccao como uma unidade, colocando um sinal oval sobre o denominador. Com

a criacao do Sistema de Numeracao Decimal, pelos hindus, o trabalho com as fraccoes

tornou-se mais simples e a sua representacao passou a ser expressa pela razao de dois

numeros naturais.

Tambem muito pequena e a sub-pagina Geometria, onde se evidencia o significado da

palavra geometria e se refere a interessante coincidencia de os primeiros passos no estudo

da geometria terem sido dados com base numa hipotese falsa: A Terra e plana. Faz-se

referencia a Euclides como pai da Geometria e a sua grande obra, Os Elementos,

como um dos maiores best-sellers de sempre.

No que concerne a sub-pagina Grau, nela e contado porque e que os antigos egpcios

e arabes entendiam o grau como a medida do arco que o Sol percorria em torno da

Terra durante um dia. Acrescenta-se ainda que apesar de hoje se saber que e a Terra

que gira em torno do Sol, manteve-se a tradi cao e convencionou-se dizer que o arco

de circunferencia mede um grau quando corresponde a 1/360 dessa circunferencia. A

leitura da sub-pagina Numero Concreto permite-nos relembrar que o Homem aprendeu

a contar (fazer marcas em objectos) antes de aprender a escrever e que, por isso, o

conceito de numero teve incio com a contagem de objectos.

Nesta sub-pagina ha um link para Calculo, mostrando a interligacao entre os dois

assuntos. O ponto-chave da sub-pagina Numero Natural e a referencia a ideia dos

hindus de introduzir uma notacao para uma posicao vazia, que ocorreu na India no final

do seculo VI (so passados muitos seculos e que esse smbolo chegou a Europa). Com a

introducao do decimo sinal, o zero, o sistema de numeracao, tal como hoje o conhecemos,

ficou completo. Esta sub-pagina termina com duas questoes as quais se podera responder

imediata e facilmente, recorrendo, por exemplo, a sub-pagina Algarismo para a qual

ha um link.

Na sub-pagina Numero Negativo, comeca-se por referir que os matematicos chineses

da antiguidade tratavam os numeros como excessos ou faltas, mas que, sem smbolos

proprios para que se pudesse realizar as operacoes, os numeros absurdos, como eram

chamados, nao se conseguiam tornar verdadeiros numeros. Refere-se tambem a pratica

dos comerciantes como responsavel pela adopcao da simbologia numero com sinal.

Com a leitura de Numero poder-se-a ficar a saber (ou pelo menos relembrar) algo

mais sobre o famoso numero pi, assim como sobre alguns matematicos envolvidos no seu

estudo. Ao longo do tempo foram feitas muitas tentativas para obter uma aproximacaode pi cada vez melhor. Neste contexto, e feita alusao ao grande matematico hindu


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Aryabhata que, no final do seculo V, deixou registado: Some-se 4 a 100, multiplique-se

por 8 e some-se 62 000. O resultado e aproximadamente uma circunferencia de diametro

20 000. O leitor podera aperceber-se que a solucao da equacao de Aryabhata indica

3,1416 como valor de . Muitas outras aproximacoes podem ser vistas nesta pagina,

nomeadamente o valor de pi com 100, 1000, 10 000, milhoes de casas decimais, que nos

dias de hoje pode ser facilmente calculado, em segundos, por um computador. Quase

no final da pagina e referido o matematico suco L. Euler (1707-1783) como o criador do

smbolo para o numero , assim como de quase todos os smbolos matematicos usados

actualmente. Foi tambem nesta epoca (cerca de 1737) que os matematicos conseguiram

demonstrar que pi e um numero irracional. Na sub-pagina Sistema Chines, o visitante

pode encontrar os caracteres tradicionais do Sistema Numerico Chines e ver, por exemplo,

os numeros 824 e 5097 escritos usando essa numeracao. Refere-se ainda que apesar de tais

caracteres ainda serem comuns na China e no Japao, nos calculos e utilizado o Sistema

Indo-arabe.

Na sub-pagina Sistema Egpcio a escrita e entendida como consequencia do desenvol-

vimento: o fim da Pre-Historia daria incio a Historia. Como efectuar calculos rapidos e

precisos com pedras, nos ou riscos em um osso? O numero concreto era pouco pratico

para responder a problemas criados pelo desenvolvimento da industria e do comercio, e

foi devido a essa necessidade imediata que os estudiosos do Antigo Egipto passaram a

representar a quantidade de objectos de uma coleccao atraves de desenhos - os smbolos.

Nesta altura e possvel aceder a um link para a sub-pagina Numero Concreto, por

forma a interligar os temas e a esclarecer duvidas. A visita a esta pagina da a conhecer

os sete numeros chave em que o Sistema de Numeracao Egpcio se baseava, assim como

os smbolos que se usavam para representar esses numeros. Todos os outros numeros

eram escritos combinando os sete numeros chave. O visitante podera encontrar alguns

exemplos no final da pagina. Faz-se ainda uma brevssima referencia aos sistemas posi-

cionais/nao posicionais.

Na sub-pagina relativa ao Sistema Mesopotamico, encontra-se o sinal com que se repre-

sentava a unidade no sistema numerico da Mesopotamia. Ao longo da pagina encontram-

se escritos varios numeros usando esta simbologia mas constata-se que se tratava de um

sistema muito confuso. Refere-se ainda que as antigas civilizacoes da Mesopotamia desa-

pareceram e, com elas, o seu sistema numerico. Contudo, alguns vestgios acompanham-

nos ate aos dias de hoje, como por exemplo o sistema sexagesimal ainda utilizado na

medicao de angulos, com aplicacoes na Trigonometria e na Astronomia. Quanto a sub-

pagina Sistema Metrico, esta comeca por citar a origem da palavra metro e o seu

significado. E referido o modo como apareceu este sistema de numeracao e as suas mo-

dificacoes ao longo do tempo, ate a actual definicao de metro. Em Sistema Romano edito que de todas as civilizacoes da Antiguidade, a dos romanos foi sem duvida a mais


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importante. Foi em Roma que se desenvolveu e aperfeicoou o numero concreto, que era

usado desde a epoca das cavernas. (Possibilidade de ligacao a numero concreto).

Os romanos nao inventaram nenhum smbolo novo para representar os numeros, usaram

apenas as proprias letras do alfabeto: I - V - X - L - C - D - M com alguns artifciosque poderao ser conhecidos ao longo da leitura da pagina. Nela encontram-se varios

numeros escritos em numeracao romana. Este sistema foi adoptado por muitos povos

mas tornava-se difcil para efectuar calculos, nomeadamente na multiplicacao. A pagina

termina propondo ao leitor que calcule o numero DCCVII - XCVIII ou MCDXVII +

DCCIX ou ainda MMDCLVI : DLXVII.

Na ultima sub-pagina (Zero) da pagina Topicos Historicos, atribui-se aos hindus a

criacao do sistema de numeracao posicional, referindo-se que muitos calculos por eles

efectuados eram realizados com a ajuda de um abaco - instrumento que para a epoca po-deria ser considerado uma verdadeira maquina de calcular. O visitante ficara a conhecer

o funcionamento de um abaco e podera ver um exemplo com o numero 203. Foi neste

contexto que os hindus criaram o zero que, desde aquela epoca, ja se parecia com o que

usamos hoje e ao qual chamaram Sunya (vazio).

Quanto a pagina Biografias, nela podemos consultar a biografia dos seguintes ma-

tematicos: Ampere, Aristoteles, Arquimedes, Descartes, Euler, Galileu, Gauss, Kelvin,

Maxwell, Newton, Pascal, Pitagoras, Platao, Snell, Sofia, Stevin, Tales, Torricelli. De-

pois de cada biografia e referido o livro de onde o texto foi extrado, com excepcao dabiografia da geometra russa Sofia Kowalevski. Em todos os outros casos, as biografias

foram retiradas da Colecao Aprendendo Fsica, Editora Scipione, 1996.

No que concerne a pagina Curiosidades, trata-se de uma pagina onde se encontram es-

clarecimentos acerca de alguns assuntos classicos da Matematica. Depois da apresentacao

de cada tema e referido o livro de onde o texto foi extrado. Vejamos um breve resumo

dos temas abordados e a respectiva referencia ao livro de onde foi retirado.

Jogo de xadrez refere-se a lenda do tabuleiro de xadrez, a famosa recompensa -

um grao de trigo pela primeira casa do tabuleiro, dois graos pela segunda casa, quatro

pela terceira, oito pela quarta e assim sucessivamente, ate a ultima casa do tabuleiro

- que o Rei nunca pode oferecer ao seu subdito. E referido no final da sub-pagina que

o texto foi extrado da Colecao Contando a Historia da Matematica, Editora Atica,

1994.

Multiplicacao russa Esta sub-pagina comeca por referir que alguns matematicos

atribuem aos antigos camponeses russos um processo especial de multiplicacao, que

nada tem de simples mas que nao deixa de apresentar um aspecto curioso. E descrito o

funcionamento de tal multiplicacao e exemplifica-se a multiplicacao de 36 por 13 e de 45

por 32. O autor termina referindo que o chamado processo dos camponeses russos,


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nao passa de uma simples curiosidade aritmetica, pois o processo que aprendemos

nas escolas pode ser muito burgues, mas nao deixa de ser muitssimo mais simples

e pratico. O texto foi extrado do livro Matematica Divertida e Curiosade Malba

Tahan, Editora Record.

Uma subtraccao diferente refere-se ao modo como era feita, em 830, a subtraccao de

numeros inteiros e exemplifica-se a subtraindo 3604 de 12025. No final da sub-p agina

refere-se que o texto foi extrado do livro Matematica Divertida e Curiosade Malba

Tahan, Editora Record.

Animais calculadores e uma sub-pagina que esclarece por que e comum dizer-se

que as aves sabem contar ate cinco. A leitura deste artigo mostrara o artifcio utilizado

por Leroy para o comprovar. O texto foi extrado do livro Matematica Divertida e

Curiosade Malba Tahan, Editora Record.

Queimem os livros de matematica Esta sub-pagina conta a historia de um astuto e

cruel imperador chines que, com o intuito de que se pensasse que a Matematica tinha

sido inventada durante o seu reinado, mandou queimar todos os livros de Matematica

existentes. Evidenciam-se os matematicos chineses em varios sentidos, nomeadamente

referindo um problema interessante que ocupou estudiosos de todo o mundo durante

centenas de anos. No final refere-se que o texto foi extrado da Colecao Contando a

Historia da Matematica de Oscar Guelli, Editora Atica.

Divisao aurea explica em que consiste a divisao aurea de um segmento, um curioso

problema de Geometria, e exemplifica-se com um segmento de 80 centmetros de com-

primento. De seguida refere-se a divisao em media e extrema razao, a sectio divina

de Lucas Paccioli, tambem denominada sectio aurea por Leonardo da Vinci e sao

dados alguns exemplos. No final da sub-pagina indica-se que o texto foi extrado do

livro Matematica Divertida e Curiosade Malba Tahan, Editora Record.

Lilavati, que significa Formosa, e o ttulo de um livro escrito por um famoso

matematico hindu, Bhaskara. A leitura desta sub-pagina da a conhecer a lenda (?!)

do casamento de Lilavati, filha de Bhaskara, que ficou por realizar. Conta-se entao

que, para alegrar a filha, Bhaskara prometeu escrever um livro com o seu nome pois

Ele perdurara ate o fim dos tempos, porque um bom nome e uma segunda vida e e a

base da existencia eterna.No final da sub-pagina refere-se que o texto foi extrado do

livro Matematica Divertida e Curiosade Malba Tahan, Editora Record.

Em todas estas sub-paginas e possvel passar a seguinte sem ter de regressar a pagina

que os apresenta. Nesta pagina e tambem possvel enviar curiosidades sobre Historia da

Matematica, para futuramente serem colocadas na pagina, por forma a torna-la cada vez

mais rica e completa.Visitando a pagina Frases Celebres podemos encontrar 25 frases/pensamentos sobre


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diferentes aspectos da Matematica. (No meu ponto de vista poderiam ser variadssimas

as frases escolhidas para evidenciar a importancia da Matematica mas como a variedade

(com qualidade!) e enorme, as exibidas sao uma possibilidade aceitavel.)

Da pagina Desafios fazem parte 21 problemas para os quais a solu cao pode ser vistaclickando no cone resposta que existe por baixo do respectivo problema. Trata-se

de um conjunto de exerccios interessantssimo, bastante diversificado e cuja resposta

nao e, na maioria dos casos, imediata. Estao, essencialmente, relacionados com logica e

aritmetica, e a maioria obriga a adopcao de uma estrategia de resolucao e esprito crtico

perante o resultado.

Relativamente a pagina Links, e possvel efectuar ligacoes a varias Universidades e

Editoras brasileiras, de entre as quais apenas e impossvel o acesso a pagina das Univer-

sidades FECILCAM e UERJ e da Editora Globo. Em todos os outros casos podemosconsultar informacao actualizada acerca da respectiva Universidade ou Editora.

Finalmente, a pagina Autor refere-se ao autor do site em estudo, nomeadamente, no

que concerne a sua vertente profissional. Acrescenta-se tambem que a elaboracao do

site vem no seguimento de um projecto sobre a Historia da Matematica desenvolvido no

Programa Vale Saber, criado pela Secretaria Estadual de Educacao do Parana.

3. Apreciacao

Pontos fortes:

Historia da Matematica e um site simples e bem estruturado. Na minha opiniao, um

dos pontos fortes deste site esta na qualidade das biografias mencionadas na pagina Bi-

ografias, que apesar de se tratarem de um brevssimo resumo, conseguem evidenciar

os pontos mais relevantes da vida de tao atarefados matematicos. Um outro ponto

forte e o facto de ser referido o livro de onde as biografias foram retiradas, assim como

as sete curiosidades, permitindo ao visitante interessado a posterior consulta do proprio

livro. Tambem bastante positivo e os desafios, no sentido de poderem despertar interesse

e curiosidade ao visitante e tambem na medida em que podem ser usados num ambiente

de sala de aula. Tal como foi dito na descricao, as sub-paginas Calculo e Numero

Concreto estao relacionadas, e o facto de ser possvel aceder-lhes imediatamente permite

interligar rapida e facilmente o assunto. O mesmo acontece com as paginas Numero Na-

tural e Algarismo. Para complementar a leitura da sub-pagina referente ao Numero

pi proponho a consulta do site: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm11/.

Pontos fracos:

Ao longo da pagina encontram-se varios erros de portugues, (por exemplo, a em vez

de ha, julho em vez de Julho, verdadeira em vez de verdadeira), frases iniciadascom letra minuscula, outras mal construdas, o que, obviamente, empobrece a pagina.


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Relativamente a pagina Biografias, o unico aspecto que tenho a apontar e a ausencia

da fotografia do matematico visado, por forma que o visitante crie uma imagem mental

da pessoa em causa.

De seguida tecerei alguns comentarios relativos a alguns conteudos do site, acrescentandoaquilo que considero que o podera melhorar.

Uma vez que se trata de uma pagina cujo tema central e a Historia da Matematica,

considero que alguns dos assuntos nela abordados deveriam ser tratados mais pormeno-

rizadamente, nomeadamente no que diz respeito, por exemplo, a Geometria e a Euclides,

mais conhecido pelo seu fabuloso tratado: Os Elementos. Devido a todo este merecido

prestgio de Euclides, considero que a sua biografia deveria constar na pagina Biogra-

fias, o que nao acontece. Para mais esclarecimentos de Geometria, proponho a consulta

da pagina

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm41/menu.htm.

Relativamente a sub-pagina Calculo, nunca e referida a criacao de calendarios como

um (importante) problema que levou a necessidade de contar. Alem disso, podia ainda

ser acrescentado o facto de alguns povos (por exemplo, os Papua da Nova Guine) terem

utilizado (e utilizarem ainda) diferentes partes do corpo, designadas por uma ordem

ritual, para contar.

No que diz respeito a sub-pagina Numero Concreto, teria sido oportuno referir que al-

gum do misticismo existente relativamente a certos numeros e consequencia da associacao

desses numeros a coisas concretas. Basta ler os jornais e algumas revistas especializadas

em Astrologia para encontrarmos os nossos numeros da sorte e do azar, por exemplo.

No sentido de completar a sub-pagina Numero Negativo, poder-se-ia falar um pouco

mais acerca da evolucao desde os debitos ate aos numeros negativos, acrescentando

que quando, em algumas equacoes, os algebristas indianos e arabes encontravam como

solucao um numero negativo, interpretavam-no como um debito (a sua aritmetica e a

sua algebra tinham em mira sobretudo o comercio); no entanto, para eles, os debitos

nao eram numeros, pelo que nao ousavam sequer criar regras operatorias para com eles

efectuarem operacoes. Os numeros negativos so comecaram a ser considerados como

tal, quando, no sec. XVII, a Geometria lhes atribui um sentido espacial (o positivo

indicava um avanco e o negativo um retrocesso). De notar, contudo, que em meados do

sec. XVII, Descartes ainda considerava falsas ou absurdas as solucoes negativas de

uma equacao. O aperfeicoamento do conceito de numero negativo e a sua integracao na

Matematica levou muito mais tempo no mundo Ocidental do que no Oriental: cerca de

20 seculos antes, ja os chineses tinham resolvido o problema da existencia dos numerosnegativos (no sec. IV a.C., efectuavam operacoes com estes numeros, manipulando bolas


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vermelhas e pretas dos seus abacos, representando respectivamente, numeros positivos e

negativos).

No que respeita aos Sistemas de Numeracao Egpcia e Chinesa, e possvel encontrar

textos com ligeiras modificacoes na representacao dos smbolos. Por exemplo, o smboloegpcio para o numero 1000000 e um homem de bracos levantados mas, comparando as

duas versoes a que me refiro, as pernas est ao viradas para lados diferentes. Smbolos

ligeiramente diferentes tem tambem os numeros 10 e 100 deste sistema, assim como os

numeros 1 e 10 da numeracao chinesa, onde ponho a hipotese de se tratar de problemas

de impressao e nao de um erro do autor . . .

Relativamente ao que foi dito na sub-pagina Sistema Romano, seria oportuno acrescen-

tar que, actualmente, ainda se encontra a numeracao romana, por exemplo, na designacao

de seculos, em gravacoes de monumentos, nos relogios ...Ja que ao longo da pagina se

fala de diversos sistemas de numeracao podia ter sido evidenciado que o sistema de nu-

meracao usado hoje tem como base apenas dez smbolos diferentes, e permite escrever

qualquer numero de forma simples. Teve origem na India ha mais de 2000 anos e terao

sido os mercadores arabes que os trouxeram ate a Europa, provindo da a designacao de

numeracao arabe. E um sistema que segue o modelo dos Babilonios (Mesopotamicos),

onde a posicao de cada smbolo no numero determina o seu valor. Desenvolveu-se na

base dez, seguindo assim a base mais representativa dos varios sistemas de contagem da

Antiguidade.

Por forma a melhor esclarecer/completar o que e dito na sub-pagina Sistema Meso-

potamico, podia ser referido que a primeira das antigas civilizacoes ocidentais a utilizar

um sistema de numeracao posicional foi a Sumeria. Apos a descoberta do ferro, os

Sumerios desenvolveram notavelmente as suas construcoes agrcolas e urbanas, o que

estimulou o aparecimento de um sistema de numeracao na base sessenta, que transmi-

tiram, posteriormente, aos Babilonios (sucessores dos Sumerios, na Mesopotamia) e que

lhes permitiu efectuar com grande habilidade operacoes aritmeticas. O nosso sistema

de contagem do tempo, bem como o sistema sexagesimal de medida de angulos e arcos,

sao vestgios do sistema de numeracao sumerio que permanecem na nossa cultura. Ao

contrario dos Sumerios, os Romanos e os Egpcios nao usavam sistemas de numeracao

posicional.

Uma das falhas deste site e, talvez, o facto de nunca ser referido o sistema de numeracao

usado nas calculadoras electronicas: o Sistema binario (base 2). Relativamente a sistemas

de numeracao, aconselho a visita a seguinte pagina:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm36/.

No que concerne a sub-pagina Zero, faltou acrescentar que o smbolo passou para o

arabe com o nome sifr (que deu origem a palavra cifra) e que, mais tarde, em 1202 (a


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epoca das Cruzadas), o matematico italiano Leonardo Fibonacci, na sua obra Liber abaci

(livro do abaco), procurou uma palavra latina que se assemelhasse ao som arabe sifr,

e escreveu zephyrus (brisa, que mesmo em portugues se chama zefirus), que passou em

portugues para zevero e finalmente zero. Nao foram os arabes que inventaram o Zero

nem o sistema de numeracao posicional que hoje utilizamos, mas foram eles a difundi-los

e os primeiros a tirarem deles as primeiras grandes consequencias praticas e teoricas.

Uma outra crtica que faco e que, neste contexto de numeros, considero importante falar

um pouco da Escola Pitagorica, fundada por Pitagoras (sec. VI a.C.), que influenciaria

toda a Antiguidade, dominando toda a ciencia da epoca e funcionando como uma co-

munidade cientfico-religiosa, em que o princpio basico orientador do seu trabalho era

Tudo e harmonia e numero. O caos que parecia existir no Universo nao era mais

do que o resultado da ignorancia dos homens ...Seriam os numeros e as suas relacoes

que explicariam toda a ordem universal. As actividades desta Escola estendiam-se a

muitos domnios, Aritmetica, Geometria, Astronomia e Musica, o que encaixaria na per-

feicao neste contexto. Apesar de nao haver referencia a Escola Pitagorica, a biografia de

Pitagoras pode ser encontrada na pagina Biografias.

Para terminar esta apreciacao/sugestao, e no sentido de completar o conteudo do site,

proponho referir a conhecida historia que envolve a famosa diagonal de um quadrado

unitario. Mais, numa pagina onde se fala essencialmente de numeros, porque nao in-

cluir alguns aspectos do estudo dos numeros primos? Ao leitor interessado neste ultimo

assunto, proponho a consulta da pagina

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm98/icm12/Historia.htm.

Uma vez que o site nao tem bibliografia relativa a certos assuntos nem apresenta alter-

nativas de consulta e aprofundamento dos temas nele abordados, atrevo-me a propor:

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm11/,

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm35/,http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm17/,

http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm31/.

Potencial de utilizacao educacional:

Todo o site esta revestido de grande interesse educacional, podendo servir de apoio tanto a

professores como a alunos, uma vez que Historia da Matematica e um tema transversal

que faz parte do actual currculo da Matematica e de Metodos Quantitativos. No que

concerne a esta ultima disciplina este site apresenta grande importancia e utilidade,

nomeadamente no que respeita ao captulo Evolucao do conceito de numero. A pagina


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Desafios contem problemas/desafios interessantssimos, que poderao ser analisados na

sala de aula, por exemplo, a nvel do 3o ciclo, e/ou como motivacao para a introducao de

conceitos, consolidacao de conteudos, tarefa complementar extra-aula, etc. O conteudo

e organizacao de Historia da Matematica permite que os alunos construam um visao

mais humanizadora da Matematica e notem a sua evolucao ao longo dos tempos.


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Apendice B

Exemplo de Avaliacao de um Software Matematico elaborada no curso

Metodos Computacionais no Ensino da Matematica da Universidade de

Coimbra

1. Identificacao

Avaliadora: Telma Morais Madeira

Nome: Estatstica: Explorar conceitos basicos

Endereco: http://www.dapp.min-edu.pt/nonio/softeduc/soft3/esta.htm

Lngua: Portugues

Concepcao: Vtor Duarte Teodoro e Pedro Seabra

Programacao: Pedro Seabra

Documentacao: Pedro Seabra

Instituicao: Faculdade de Ciencias e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa

Tamanho (em kB): 192 kB

Data da primeira versao: 1993

Data da ultima versao: nao indicada

2. Descricao

Tal como o nome indica, Estatstica: explorar conceitos basicos e um software de

exploracao de conceitos/conteudos de Probabilidades e Estatstica. Vejamos a sua brevedescricao. Logo ao incio temos a possibilidade de escolher um dos tres nveis:

Experiencias com moedas Neste programa o utilizador lanca moedas ao ar (cli-

cando no botao Lancar) e tem a possibilidade de escolher quantos lancamentos quer

fazer (no maximo, 1000). Se for introduzido um numero superior a 1000, o programa

altera automaticamente esse numero para 10, sendo a moeda lancada, portanto, 10 ve-

zes. Na coluna da esquerda (Sadas) surge uma lista que indica em cada lancamento

se saiu cara ou coroa. No lado direito, por baixo da imagem de cada moeda,

indica-se quantas caras e quantas coroas saram, bem como um histograma dessasfrequencias. Por baixo do histograma e indicado qual a media de cada face que ja

saiu, em todas as experiencias realizadas. Recomenda-se a contagem do numero de

experiencias sempre que se altera o numero de lancamentos a fazer. Por baixo do botao

Lancar e indicado/actualizado o numero de experiencias feitas ate ao momento. E

tambem apresentado um grafico de pontos que mostra a evolucao da media de caras

e de coroas no decurso das diversas experiencias: esta media tende para um limite

que e igual a metade do numero de lancamentos. Neste nvel, tal como no seguinte,

pretende-se que o aluno possa obter informacoes relevantes para facilitar a construcaodo conceito de probabilidade.


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Experiencias com dados A organizacao do ecra neste nvel e semelhante ao anterior

e as actividades a realizar apresentam o mesmo objectivo.

Experiencias com uma variavel Neste terceiro nvel, o utilizador pode gerar alea-

toriamente N valores de uma variavel X (ate ao maximo de 1000, mas se o numero

introduzido for superior a 1000, o programa altera automaticamente esse numero para

10) ou introduzir ele proprio valores para essa variavel. Ha possibilidade de gerar

dois tipos de valores: no tipo 1, a variancia e, em geral, maior do que no tipo 2,

para um mesmo N. De facto, a distribuicao dos valores do tipo 1 e pouco concen-

trada em torno da media; no tipo 2, os valores ajustam-se melhor a uma curva

normal. E possvel modificar o numero de grupos do histograma e desenhar a curva

normal que corresponde ao histograma desenhado. As escalas do histograma s ao ajus-

tadas automaticamente. Na zona inferior do histograma sao indicadas as frequencias

absolutas em cada intervalo. Clicando no quadrado Pontos, do lado esquerdo do

histograma, aparecem marcados os respectivos valores da variavel X. Neste nvel po-

dem ainda obter-se diversos parametros estatsticos (media, maximo, mnimo, desvio

padrao, etc.) e observar-se a representacao no histograma da media e do desvio padrao,

clicando no quadrado junto aos respectivos valores. E tambem possvel ver o respec-

tivo polgono de frequencias em cada caso, para isso basta clicar em Polgono, a

esquerda do histograma. Os botoes Esconder/Mostrar permitem fazer previsoes sobre

o histograma e a curva normal, desde que conhecidos os par ametros estatsticos, ou

sobre os parametros estatsticos, se conhecidos o histograma e/ou a curva normal.

Experiencias com relacoes entre duas variaveis Neste nvel podem gerar-se aleato-

riamente pares de valores de duas variaveis, designadas por X e Y. O numero N de

pares pode variar entre 1 e 30 (se o numero introduzido for superior a 30, o programa

emite um som como sinal de erro). Pode tambem escrever-se directamente os valores

nas colunas respectivas. O diagrama de dispersao apresenta, por defeito, uma escala

igual nos dois eixos. Esta escala pode ser alterada, num ou nos dois eixos, o que pode

originar o desaparecimento de pontos do grafico e/ou a mudanca da inclinacao da

recta de regressao (mas nao o seu declive). Os pontos podem ser manipulados direc-tamente no diagrama de dispersao, utilizando o rato; as respectivas coordenadas sao

ajustadas a medida que desloca o ponto. E possvel tambem indicar se se pretende

utilizar todos ou apenas alguns pontos no calculo da recta de regressao, para isso

basta clickar no quadrado junto a cada par de valores X, Y, a esquerda da tabela. Na

zona inferior do ecra sao calculados todos os parametros relevantes que relacionam X

com Y, incluindo o coeficiente de correlacao, bem com as medias e os desvios padrao

de X e de Y. Aparece tambem informacao relativa a equacao da recta de regressao,

mesmo que nao esteja accionada a opcao que a faca aparecer no grafico. Os botoes

Esconder/Mostrar permitem discutir como se apresenta um determinado diagrama de


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dispersao, conhecidos os valores de X e de Y e os par ametros calculados na zona infe-

rior do ecra. Ou vice-versa. Cada um dos quatro nveis apresentados contem um cone

Sair que permite regressar a pagina que os apresenta. Para mudar de nvel basta

clicar na bola a sua esquerda e de seguida clicar em Comecar.

3. Apreciacao

Pontos fortes:

Estatstica: explorar conceitos basicos utiliza um interface dito de manipulacao di-

recta. As accoes do utilizador sao efectuadas atraves de botoes e directamente sobre

objectos. Trata-se de um software de distribuicao gratuita, relativamente simples e de

facil utilizacao.

O ponto forte do programa e que ele oferece um ambiente poderoso de experimentacao.

Tal como foi referido na descricao, este e um dos softwares que pode e deve ser utilizado

por alunos, individualmente ou em grupo. As propostas de trabalho a realizar pelos alu-

nos nao devem ser excessivamente estruturadas, de modo a permitir que os alunos possam

definir eles proprios estrategias de investigacao e analise de dados com o programa. No

entanto, em alguns contextos, pode haver vantagens em ser o professor a utilizar o pro-

grama para toda a turma, recorrendo a um unico computador, um projector de ecras e um

retroprojector. Deste modo, e possvel criar e controlar um grande numero de situacoes

de inquerito para discussao em grupo. Este software pode, igualmente, ser utilizado num

contexto de exploracao individual ou em grupo em actividades extra-lectivas propostaspelo professor, com alguma estruturacao e com questoes investigativas, adequadas ao

nvel de estudos dos alunos.

Pontos fracos:

Um dos reparos que tenho a fazer como ponto fraco do software e que o programa nao

esta actualizado para a moeda corrente - Euro - como se pode verificar no primeiro item,

Experiencias com moedas.

Ao usar este programa, pressupoe-se que o aluno ja conhece, ainda que superficialmente,

os conceitos que vai explorar em cada nvel. Apesar deste aspecto nao poder ser consi-

derado um ponto fraco do software, nao deixa de ser uma limitacao para quem o utiliza.

Considero que tambem poderiam ter sido abordadas as medidas de localizacao moda

e quartis, assim como representados diagramas de extremos e quartis.

Um outro ponto fraco e o facto de nao ser possvel guardar o trabalho feito para ser

utilizado posteriormente, o que se torna pouco pratico.

Potencial de utilizacao educacional:

Estatstica: explorar conceitos basicos destina-se a ser utilizado por alunos do En-

sino Secundario que frequentam as disciplinas de Metodos Quantitativos (introduzida no


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ambito da reforma curricular em curso para alunos que nao frequentam Matematica -

alunos das areas de Letras do Agrupamento 4) e de Matematica. Este software podera

ser utilizado na aula de Matematica por professores que nao adiram a rotina das aulas

expositivas. Com ele e possvel realizar inumeras experiencias e confrontar resultados,

o que dificilmente seria possvel sem um programa deste genero. Alem disso, e aliado

a um grande factor motivacional, permite cultivar a investigacao, consolidacao e aper-

feicoamento de conteudos. Repare-se ainda que este programa apresenta os resultados

sem nunca mostrar as formulas que o permitem obter.

Estatstica: explorar conceitos basicos abrange os principais aspectos dos novos progra-

mas, no ambito da Estatstica e das Probabilidades, que se adequam a serem abordados

com software exploratorio, nomeadamente:

- conceito de probabilidade e lei dos grandes numeros;

- distribuicoes unidimensionais e respectiva caracterizacao;

- histogramas e polgonos de frequencias;

- distribuicoes bidimensionais e diagramas de dispersao;

- rectas de regressao;

- coeficiente de correlacao.

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