159430106 Iniciacao a Logica Matematica Edgard de Alencar Filho

Edgerd de Alencat Fiiho

Nobel

D 1975 Edgard de Alencar Filho

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Alcncar Filho, Edgard de, 1913 A.355 Iniciao lgica malemtica/ Odgard de Alencar Filho. - So Paulo : Nobel. 2002.

Bibliografia ISBN 85-213-0403-X

1. Lgica simblica e matemtica f. Ttulo.

86-0802 CDD-511.3

ndice para catlogo sistemtico: 1. Lgica matemtica 511.3

PROIBIDA A RLPRODUO

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Indice

Captulo 1PROPOSIES. CONECTIVOS

1. Conceito dc proposio . .............................................................. I j2. Valores lgicos cias proposies................... .. ..................................................... p3. Proposies simples e proposies com postas................................................... p4. Conectivos ........................ ..................................................................................... jg5. Tabela-verdade........................................................................................................ j j6. N o ta o ................................ .................................................................................. j^

Exerccios ................................................ .. ..........................................................

Captulo 2o p e r a e s l g ic a s s o b r e p r o p o s i e s

2. N egao ................................................................................................................... p3. Conjuno ............................................................................................................. Ig4. Disjuno .............................................................................................................. 205. Disjuno exclusiva ................................................................................ 216. C ondicional.............................................................................................................7. Bicondicional ..................................................................., .................................. 23

Exerccios ................ ............................................................................................ 27

Captulo 3CONSTRUO DE TABELAS-VERDADE

1. 1 abela-verdadc de uma proposio com posta ................................................... 292. Nmero de linhas de uma tabela-verdade........................................................... 29

3. Construo da tabela-vcrdadc de uma proposio composta4. Exemplificao ......................................................' ...................5. Valor lgico de uma proposio com posta .............................6. Uso de parntesis ......................................................................7. Outros smbolos para os conectivos.....................................

Exerccios .................................................................................

Captulo 4TAUTOLOGIAS, CONTRADIOES E CONTINGNCIAS

1. Tautologia ................................................................................... 2. Princpio de substituio para as tautologas ........................3. Contradio...................................................................................4. Contingncia ..............................................................................

Exerccios ...........................................................................

Captulo 5IMPLICAO LGICA

1. D e f in i o d e im p l ic a o l g ic a .............................................................

2. Propriedades da implicao lgica ........................................3. Exemplificao ...........................................................................4. Tautologias c implicao lgica ..............................................

Exerccios ...................................................................................

Captulo 6EQUIVALNCIA LGICA

1. Definio de equivalncia l g ica .............................................2. Propriedades da equivalncia l g ica ........................................3. Exemplificao ...........................................................................4. Tautologas e equivalncia lgica..............................................5. Proposies associadas a uma condicional........................ .. 6. Negao conjunta de duas proposies...................................7. Negao disjunta de duas p roposies...................................

Exerccios ................ - ............................. * ................................

Captulo 7LGEBRA DAS PROPOSIES

1. Propriedades da conjuno........................................................2. Propriedades da d is ju n o ........................................................

303036383939

4345464748

494950

53

5555565759626363

6769

3. Propriedades da conjuno e da d is ju n o .................................................... 714. Negao da condicional........................................................................................ 745. Negao da bicondicional .............................. .................................................. 74

Exerccios ................ , , ......................................... - .......................................... 75

Captulo 8MTODO DEDUTIVO

2. Exemplificao................................................................ . ..................................... 783. Reduo do nmero de conectivos................................................................... 814. Forma, normal das proposies ........................... ............................................ 825. Forma normal conjuntiva . . .............................................................................. 826. Forma normal disjuntiva ............................. ..................................................... 847. Princpio de dualidade ................................... ................................................ 85

Exerccios ................................................ - .............* .......................................... '85

Captulo 9ARGUMENTOS. REGRAS DE INFERNCIA

1. Definio de argumento. . . , .............................................................................. 8 /2. Validade de um argumento................................................................................... 873. Critrio de validade de um argum ento .............................................................. 8X4. Condicional associada a um a rg u m en to ..................................................... .. . 895. Argumentos vlidos fundam entais..................................................................... 906. Regras de infcrcncia ..................................................................................................... 917. Exemplos do uso das regras de inferncia........................................................ 92

Exerccios ........................................................ . ................................................ 96

Captulo 10VALIDADE MEDIANTE TABELAS-VERDADE

2. Exemplificao ............................. ...................3. Prova de no-validade........................................

Exerccios ........................................................ ..

Captulo 11VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERNCIA

2. Exemplificao. ........................................ .. ..........................................................Exerccios .........................................................................................................- - 118

Captulo 12VALIDADE MEDIANTE REGRAS DE INFERNCIA E EQUIVALENCIAS

1. Regra de substituio................................................................................2. Equivalencias notveis ........................................................... ....................3. Exemplificao ................ .. ................................................................................4. Inconsistncia ........................................................................................ ..

Exerccios ................... - ..........................................................................

Captulo 13 DEMONSTRAO CONDICIONAL E DEMONSTRAO INDIRETA

1. Demonstrao condicional...........................................* .................. * 2. Exemplificao ...........................................................................................3. Demonstrao indireta ...........................................................................4. Exemplificao ...........................................................................................

Exerccios .................................................................................................*

Captulo 14SENTENAS ABERTAS

1. Sentenas abertas com uma varivel...........................................2. Conjunto-verdade de uma sentena aberta com uma varivel .3. Sentenas abertas com duas vanveis ......................................4. Conjunto-verdade de uma sentena aberta com duas variveis5. Sentenas abertas com n variveis.............................................6. Conjunto-verdade de uma sentena aberta com n variveis. .

Exerccios ................................................................... - .............

Captulo 15OPERAES LGICAS SOBRE SENTENAS ABERTAS

2. Conjuno ........................................ * ..................3. Disjuno ............. .. .............................................................4. Negao ...................................................................................5. Condicional................................... ..........................................6. Bicondicional ......................................................................*7. lgebra das sentenas abertas..............................................

Exerccios ......................................................... * .................

129129131138141

145146149150153

156156158159160161162

164166168169170171172

Captulo 16 QUANTIFIC ADORES

1. Quantificador universal......................................* ........................................- . . 1752. Quantificador existencial .......................................................................... .. - 1783. Varivel aparente e varivel liv re ......................................................................... 1804. Quanti ficador de existncia e unicidade ................................................ .. 1805. Negao de proposies com quantificadoT ................................................... 1816. Contra-exemplo ................................ .................................................................. 183

Exerccios ........................................................... .................................................. 183

Captulo 17QUANTIFICAO DE SENTENAS ABERTAS COM MAIS DE UMA VARIVEL

1. Quantificao parcial.............................................................................................. 1872. Quantificao m l tip la ......................................................................................... 1873. Comutatividadc dos quantificadores................................................................ .. 1894. Negao de proposies com quanti ficadores................... . . . ............................... 190

Exerccios ........................................ .................. .............................* .................. 190

RESPOSTAS DOS EXERCCIOS ......................................................................... 193

B IB LIO G R A FIA ......................................................................................................... 203

Captulo 1

Proposies. Conectivos

1. CONCEITO DE PROPOSIO

Definio - Cbama-se proposio todo o conjunto de palavras ou smbolos que exprimem um pensamento de sentido completo.

As proposies transmitem pensamentos, isto , afirmam fatos ou exprimem juzos que formamos a respeito de determinados entes.

Assim, p. ex., so proposies:

(a) A Lua um satlite da Terra(b) Recife a capital de Pernambuco(c) n > \ 5

(d) sen = 1

A Lgica Matemtica adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes princpios (ou axiomas):

(I) PRINCIPIO DA NO CONTRADIO: Uma proposio no pode serverdadeira e falsa ao mesmo tempo.

(II) PRINCIPIO DO TERCEI RO EXCLUDO: Toda a proposio ou verdadeira ou falsa, isto , verifica-se sempre um destes casos e nunca um terceiro.

Por virtude deste princpio diz-se que a Lgica Matematica uma Lgica bivalente.

Por exemplo, as proposies (a), (b), fc) e (d) so todas verdadeiras, mas so falsas as cinco seguintes proposies:

(a) VASCO DA GAMA dcscobriu o Brasil(b) DANTE escreveu os Lusadas

(c) - j um numero inteiro

(d) O nmeTo n racional

(e) t g | =2

Assim, as proposies so expresses a respeito das quais tem sentido dizer que so verdadeiras ou falsas.

. 2. VALORES LGICOS DAS PROPOSIES

Definio Cliatna-se valsr lgico de uma proposio a verdade se a proposio verdadeira e a falsidade sc a proposio c falsa.

Os valores lgicos verdade e falsidade dc uma proposio designam-se abreviadamente pelas letras V e F, respectivamente. Assim, o que os princpios da no contradio e do terceiro excludo alirmam c que:

Toda a proposio tem um, e um s, dos valores V, F.

Consideremos, p. ex., as proposies;

(aj O mercrio mais pesado que a gua(b) O Sol gira cm torno da Terra

0 valor lgico da proposio (a) a verdade( V) e o valor lgico da proposio(b) a falsidade! F).

3. PROPOSIES SIMPLES E PROPOSIES COMPOSTAS

As proposies podem ser classificadas em simples ou atmicas e compostas ou moleculares.

Definio l Chama-se proposio simples ou proposio atmica aquela que no contm nenhuma outra proposio como parte integrante dc si mesma.

As proposies simples so geralmente designadas pelas letras latinas minsculas p, q, i , s , . . . , chamadas letras proposici onais.

Assim, p. ex., so proposies simples as seguintes:

p : Carlos 6 carecaq : Pedro estudanter : O nmero 25 quadrado perfeito

Definio 2 Chama-se proposio composta ou proposio molecular aquela formada pela combinao de duas ou mais proposies.

As proposies compostas sao habitualmente designadas pelas letras latinas maisculas P. O. R, S, . . . , tambm chamadas letras proposicionais.

12 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O

I N I C I A O L G IC A M A T E M T I C A 13

Assim, p. ex.f so proposies compostas as seguintes:

P : Carlos careca e Pedro estudante Q : Carlos careca ou Pedro estudante R : Se Carlos careca, ento e infeliz

visto que cada uma delas formada por duas proposies simples.As proposies compostas tambm costumam ser chamadas frmulas propo-

sicionais ou apenas frmulas.Quando interessa destacar ou explicitar que uma proposio composta P

formada pela combinao das proposies simples p, q, r , . . . , escreve-se: P(p, q, i\ }

As proposies simples e as proposies compostas tambcm so chamadas respectivamente tomos c molculas.

Observaremos ainda que as proposies componentes de uma proposio composta podem ser, elas mesmas, proposies compostas.

4 CONECTIVOS

Definio Chamam-se conectivos palavras que se usam para formar novas proposies a partir de outras.

Assim, p. ex., nas seguintes proposies compostas:

P : 0 nmero 6 c par e o nmero 8 cubo perfeito Q : O tringulo ABC retngulo ou issccles R : No est chovendoS : Se Jorge engenheiro, ento sabe Matemtica T : O tringulo ABC equiltero se e somente se equingulo

so conectivos usuais em Lgica Matemtica as palavras que esto grifadas, isto c:

e , ou, no , se . . . ento . . . . . . se e somente se . . .

S. TABELA-VERDADE

Segundo o Princpio do terceiro excludo, toda proposio simples p c verdadeira ou falsa, isto c, tem o valor lgico V(verdade) ou o valor lgico F(falsidade).

Em se tratando de uma proposio composta, a determinao do seu valor lgico, conhecidos os valores lgicos das proposies simples componentes, se faz com base no seguinte princpio:

O valor lgico de qualquer proposio composta depende unicamente dos valores lgicos das proposies simples componentes, ficando por eles univocamente determinado.

Admitido este princpio, para aplic-lo na pttica determinao do valor lgico de uma proposio composta dada, recoirc-se quasi sempre a um dispositivo denominado tabela-verdade, na qual figuram todos os possveis valores lgicos da proposio composta correspondentes a todas as possveis atribuies dc valores lgicos s proposies simples componentes.

Assim, p. ex., tio caso dc urna proposio composta cujas proposies simples componentes so p e q, as nicas possveis atribuies de valores lgicos a p e a q so:

, v


P ql v v2 v F3 F v4 F F

Observe-sc que os valores lgicos V e F sc alternam dc dois em dois para a primeira proposio p e de um em um para a segunda proposio q, e que, alm disso. W , VF, FV e FF so os arranjos binrios com repetio dos dois elementosV e F.

No caso de uma proposio composta cujas proposies simples componentes so p, q e r, as nicas possveis atribuies de valores lgicos a p, a q e a r so:

V

P q r

1 v v v2 v v F3 v F v4 v F F5 F v v6 F v F7 F F v8 F F F

I N I C I A A O A L G I C A M A T E M T I C A 15

Analogamente, observe-se que os valores lgicos V e F se alternam de quatru em quatro para a primeira proposio p, de dois em dois para a segunda proposio q ede um em uni para a terceira proposio r. e que, alem disso, V W , W F , VFV.VFF, F W , FVF, FFV c FFF so os arranjos ternrios com repetio dos dois elementos V e F.

6. NOTAO

0 valor lgico de uma proposio simples p indica-$e por V(p). Assim, exprime-se que p verdadeira! V), escrevendo: V(p) - V.

Analogamente, exprime-se que p falsa(F), escrevendo: V(p) - F.Sejam, p. ex., as proposies simples:

p : O Sol verde q : Um hexgono tem 9 diagonais r ; 2 c raiz. da equao x2 + 3x - 4 =

Temos:

V(p) = F, V(q) - V, V(r) = F

Do mesmo modo, o valor lgico de uma proposio composta F indica-sc porV(P).

EXERCCIOS

1. Determinar o valor lgico (V ou F) de cada uma das seguintes proposies:

( a ) O nmero 17 c primo. ^b ) Fortaleza a capital do Maranho.

( c ) TIRADENTES morreu afogado.( d ) (3 + 5f = 32 + 52

( e ) O valor archimediano de ir ~ -

( { ) - K - 7( g ) 0,131313. . . uma dzima peridica simples.( h ) As diagonais de um paralelogramo so iguais.( i ) Todo polgono regular convexo inscritvel.( j ) O hexaedro regular tem 8 arestas.

16E D G A R D DE A L E M C A R F I L H O

( k. ) A expresso n2 - n + 4 1 (n t N) s produz nmeros primos.I 1 ) Todo nmero divisvel por 5 termina por 5.(m) 0 produto de dois nmeros mpares um nmero mpar.( n ) sen2 30 + s e n 2 b0c - 2. ^o J 1 + 3 + 5 + . . . + o - 1 f = n2.

i, p j As razes da equao x3 - 1 0 so todas reais.( q J O nmero 125 c u b o porfcito.( r ) 0,4 e -4 so as razes da equao x3 I 6x = 0.( s) O cubo um poliedro regular.

( t j sen( ~ + x) = sen( f - x).

U ) 5 < * f

Captulo 2

Operaes Lgicas sobre Proposies

1. Quando pensamos, efetuamos muitas vezes certas operaes sobre proposies, chamadas operaes lgicas. Estas obedecem a regras de um clculo, denominado clculo proposicional, semelhante ao da aritmtica sobre nmeros. Bstudarcmos a seguir as operaes lgicas fundamentais.

2. NEGAO O ) ,',T

Definio Chama-se negao de uma proposio p a proposio representada por no p , cujo valor lgico a verdade(V) quando p falsa c a falsidade(F)quando p verdadeira.

Assim, "no p tem o valor lgico oposto daquele de p.Simbolicamente, a negao de p indica-se com a notao " p , que se l:

no p .O valor lgico da negao de uma proposio , portanto, definido pela seguinte

tabela-verdade muito simples:

ou seja, pelas igualdades:

V - F, ~ F = V

e

V( - p) = - V(p)

Hxemplos:

( 1) p : 2 + 3 = 5 ( V ) c p ; 2 + 3 5 (F )V( ~ p) = ~ V(p) '= ~ V = F

(2) q : 7 < 3 (F) e. ~ q ; 7 < 3 (V)V( - q . ) > - V(q) = ~ F = V

(3) r : Roma a capital da Frana (F) t ~ r : Roma no a capital da Frana (V)V( - r) - - V(r) = ~ F - V

Na linguagem comum a negao efetua-sc, nos casos mais simples, antepondo o advrbio no ao verbo da proposio dada. Assim, p. ex., a negao da proposio:

p : O Soi uma estrela

~ p : O Sol no uma estrela

Outra maneira de efetuar a negao consiste cm antepor proposio dada expresses tais como no verdade que , falso que . Assim, p. ex., a negao da proposio:

q : Carlos mecnico

(j : No verdade que Carlos c mecnico

ou

~ q : falso que Carlos c mecnico

Observe-se, entretanto, que a negao dc Todos os homens so elegantes Nem todos os homens so elegantes e a de Nenhum homem c elegante" Algum homem elegante .


3. CONJUNO ( A > I - :

Definio Cbama-se conjuno de duas proposies p e q a proposio representada por p e q '\ cujo valor lgico a verdade(V) quando as proposies p e q so ambas verdadeiras e a falsidade(F) nos demais casos.

Simbolicamente, a conjuno de duas proposies p e q indica-se com a notao: p a q , que se l: p e q .

O valor lgico da conjuno de duas proposies c, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade;

I N I C I A O L G I C A M A T E M T I C A 19

p q p A q

V v vV F FF V FF F F


V A V = V, V A F = F, F A V = F, F A F - F

e

V(p A q} = V(p) A V(q)

Fxemplos:

(1) ( p : A neve branca (V) 4 (F)

\ q : sen j = O (F)

p A q : rc > 4 e sen ^ = 0 (F)

V( p A q) = V(p) A V(q) = F A F = F

4. DISJUNO ( V ) e g

Definio Chama-se disjuno de duas proposies p e q a proposio representada por p ou q , cujo valor lgico a verdade(V) quando ao menos uma das proposies p e q verdadeira e a falsidade(F) quando as proposies p e q so ambas falsas.

Simbolicamente, a disjuno de duas proposies p e q indica-se com a notao: p V q , que se l: p ou q .

O valor lgico da disjuno de duas proposies 6, portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:

2 0 E D G A R D OE A L E N C A R F I L H O

p q p V q

V V VV F VF V VF F F


V V V = V, V V F - v , F V v = V, F V F = F

V(p V q ) = Vip) V V(q)

Hxemplos:

(1) p : Paris a capital da Frana (V)\ q : 9 - 4 = 5 (V)

p V


(4) i p : CARLOS GOMES nasccu na Bahia (F)\ q : V ^ = l (F)________________________

p V q : CARLOS GOMES nasceu na Bahia ou \ / - T ; l (F)V(p V q) - V(p) V V(q) = F V F = F

5. DISJUNO EXCLUSIVA ( V )

Na linguagem comum a palavra "ou tem dois sentidos. Assim, p. ex., consideremos as duas seguintes proposies compostas:

P : Carlos mdico ou professorO : Mario c alagoano ou gacho

Na proposio P sc est a indicar que uma pelo menos das proposies Carlos mdico , Carlos professor verdadeira, podendo ser ambas verdadeiras: Carlos c mdico e professor . Mas, na proposio Q, se est a precisar que uma csomente uma das proposies Mario alagoano , Mario gacho verdadeira,pois, no c possvel ocorrer Mario alagoano c gacho .

Na proposio P di/.-sc que ou inclusivo, enquanto que, na proposio Q, diz-se que ou exclusivo,

Fin Lgica Matemtica usa-se habitualmente o smbolo V para ou' inclusivo e o smbolo V para ou exclusivo.

Assim sendo, a proposio P c a disjuno inclusiva ou apenas disjuno das proposies simples Carlos c mdico, Carlos proessor , isto c:

P ; Carlos mdico V Carlos c professor

ao passo que a proposio O c a disjuno exclusiva das proposies simples Mario alagoano, Mrio c gacho, isto c;

O' : Mario alagoano V Mario c gacho

De um modo geral, chama-se disjuno exclusiva de duas proposies p e q a proposio representada simbolicamente por p V q , que se le: ou p ou q ou p ou q, mas no ambos, cujo valor lgico c a verdade(V) somente quando p verdadeira ou q verdadeira, mas no quando p c q so ambas verdadeiras, c a falsidade(F) quando p c q so ambas verdadeiras ou ambas falsas.

Logo, o valor lgico da disjuno exclusiva de duas proposies c definido peia seguinte tabela-verdade:

p q p v q

v V FV F vF v vF F F


v v v = F , v v f = v, F y v = v , f v f = fe

V(p v q) = V(p) v V(q)

NOTA A lngua latina tem duas palavras diferentes correspondentes aos dois sentidos distintos da palavra ou na linguagem comum. A palavra latina "vei" exprime a disjuno no seu sentido dbil ou inclusivo, ao passo que a palas latina au t exprime a disjuno no seu sentido forte ou exclusivo.

6. CONDICIONAL ( -*)

Definio Charna-se proposio condicional ou apenas condicional umaproposio representada por sc p ento q , cujo valor lgico a falsidade'F ) no caso em que p verdadeira c q falsa c a verdade( V) nos demais casos.

Simbolicamente, a condicional de duas proposies p e q indica-se com a notao: p - q , que tambm se l dc uma das seguintes maneiras:

(1) p condio suficiente para q(ii) q condio necessria para p

Na condicional 'p - ^ q , diz-sc que p o antecedente e q o consequente. Osm b o lo L > c cham ado sm bolo de implicao.

0 valor lgico da condicional de duas proposies . portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:

2 2 E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O

p qV v vV F FF V vF F v


V -v V - V, V - F = P\ f ->v = v , f - f = v

C

V(p -> qj = V(p) - V(q)

Portanto, uma condicional verdadeira todas as vezes que o seu antecedente uma proposio talsa.


Exemplos:

(1) p : GALOIS morreu em duelo (V)1 q : 17 c um nmero real (V){

p -> q : Sc GALOIS morreu em duelo, ento 7r um nmero real (V)V(p -qj = V(p) -+ V(q) = V V = V

(2) i p : O mes de Maio tem 31 dias (V)( q : A Terra plana (F)

p -* q : Se o mcs de Maio tem 31 dias, ento a Terra plana (F)V(p -* q) = V(p) -> V(q ) = V -F = F

(3) i p : DANTE escreveu os Lusadas (F)I q : CANTOR criou a Teoria dos Conjuntos (V)

p q : Sc DANTE escreveu os Lusadas, ento CANTOR criou a Teoria dos Conjuntos (V)

V(p -* q) = V(p) -> V(q) = F V - V

(4) j p : SANTOS DUMONT nasceu no Cear (F)) q : O ano tem 9 meses (F)

p -> q : Se SANTOS DUMONT nasceu no Cear, ento o ano tem 9 meses (V) V(p -+ q) = V(pj -* V(q) = F -* F = V

NOTA Uma condicional p -* q no afirma que o consequente q se deduz ou conseqncia do antecedente p. Assim, p. ex., as condicionais:

no esto a afirmar, de modo nenhum, que o lato de Braslia ser lima cidadc se deduz do fato de 7 ser um nmero mpar ou que a proposio SANTOS DUMONT nasceu no Cear5' conseqncia da proposio u3 + S = 9 . O que uma condicional afirma c unicamente uma relao entre os valores lgicos do anlcccdcn- te e do consequente de acordo com a tabela-verdade anterior.

7. BICONDICIONAL ( )

Definio Chama-se proposio bicondicional ou apenas bicondicional umaproposio representada por p sc c somente se q , cujo valor lgico c a verdade{ V) quando p q so ambas verdadeiras ou ambas falsas, c a falsidade(F) nos demais casos.

7 um nmero mpar -* Braslia c uma cidade 3 + 5 = 9 - * SANTOS DUMONT nasceu no Cear

Simbolicamente, a bicondicional de duas proposies p e q indica-se com anotao: p q, que tambm sc l de uma das seguintes maneiras:

(i) p condio necessria c suficiente para q(ii) q condio necessria e suficiente para p

O valor lgico da bicondicional de duas proposies , portanto, definido pela seguinte tabela-verdade:


p q p


(4) ( p ; A Terra plana (F)\ q : V ^ c um nmero racional (F)

p q : A Terra c plana se e somente se yJ~T um nmero racional (V)V(p q) - V(p) V(q) = F > F = V

EXERCCOS

1. Sejam as proposies p : Est frio e q : Est chovendo. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposies:

(a) - p (b) p A q (c) p V q(d) q p

2. Sejam as proposiocs p : Jorge rico c q : Carlos c feliz. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposies:

(a) q -* p (b) p V ~ q (c) q ~ p(d) ~ p q (e) ~ ~ p ( f ) - p A q - p

3. Sejtm as proposies p : Cludio lla ingls e q : Cludio fala alemo. Tradu/.ir para a linguagem corrente as seguintes proposies:

(a) p V q (b) p A q (c) p A ~ q(d) - p A - q (c) ~ ~ p (f) ~ ( - p A -q )

4. Sejam as proposies p : Joo gacho e q : Jaime c paulista. Traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposies:

(a) H P A - q ) (b) p (c) ~ ( - p V - q )(d) p - * - q (e) ~ p ~ q (f) ~ (~q-> -pJ

5. Sejam as proposies p : Marcos alto e q : Marcos elegante. Traduzir para a linguagem simblica as seguintes proposies:

(aj Marcos alto e elegante(b) Marcos alto, mas no elegante(c) No verdade que Marcos baixo ou elegante(d) Marcos no c nem alto e nem elegante(e) Marcos alto ou c baixo e elegante(f) falso que Marcos c baixo ou quo no elegante

6. Sejam as proposies p : Suely c rica c q : Suely feliz. Traduzir para a linguagem simblica as seguintes proposies:

(a) Suely pobre, mas feliz(b) Suely rica ou infeliz(c) Suely pobre e infeliz(d) Suely pobre ou rica, mas inleliz

7. Sejam as proposies p : Carlos (ala francs, q : Carlos fala ingls e r : Carlos fala alemo. Traduzir para a linguagem simblica as seguintes proposies:

(a) Carlos fala francs ou ingls, mas no fala alemo(b) Carlos fala francs e ingls, ou no fala francs e alemo(c) falso que Carlos fala francs mas que no fala alemo(d) falso que Carlos fala ingls ou alemo mas que no fala francs

8. Traduzir para a linguagem simblica as seguintes proposies matemticas:

(a) x = 0 o i.i x > 0 1 t>u x + y = 0 (d ) x2 = x . x e x = 1


(a) (x + y = 0 e z > 0) ou /. = 0(b) x - 0 e (y + 7 > x ou 7 = 0)(c) x ^ 0 ou (x = e y < 0)(d) (x = y e *= t.) ou (X < y c r. - 0)


(a) Se x > 0 ento y - 2 b) Se x + y = 2 ento z > 0(c) Se x = 1 ou z = 2 ento y > J(d) Se z > 5 ento x # I e x = 2(c) Se x y ento x + z > 5 e y + z < 5{f) Se x + y > z e /. = 1 ento x + y > 1(g) Se x < 2 ento x = I ou x - 0(h) y - 4 esc x < y ento x < 5

11. Simbolizar as seguintes proposies matemticas:

(a) x maior que 5 e menor que 7 ou x no igual a 6(b) Se x menor que 5 e maior que 3, ento x c igual a 4(c) x maior que 1 ou x menor que 1 e maioi que 0


I N I C I A O L G IC A M A T E M T I C A


(a) 3 + 2 = 7 e 5 + 5 = 10 (b) 2 + 7 = 9 e 4 + 8 = 1 2(c) sen n = 0 e cos n = 0 (d) 1 > 0 A 2 + 2 = 4(e) 0 > 1 A y / T irracional (f ) ( \ ~ T )2 - -1 A it racionai(g) \ f T < 1 A \ f s " racional


(a) Roma a capital da Frana ou tg45' = I

(b) FLEMING descobriu a penicilina ou sen30 = ^

(c) V ? < o ou Londres a capital da Itlia(d) 2 > > /T ou Recife a capital do Cear(e) > 1 V rr nao um nmero real ( 0 2 = 2 V sen90 tg45(g) 52 = 10 V 7r racional(h) 3 * 3 V 5 * 5( i ) \ f -4 ' = 2 \ f~ - T V 13 um nmero primo ) -5 < - 7 V | - i i = - 2

(k) | -5 | < 0 V tg | < 1


(a) Se 3 + 2 - 6 entao 4 + 4 = 9(bj Se 0 < 1 ento \ / T irracional(c) Se V 3 > 1 ento -1 < -2(d) Se j 1 1 = 0 ento sen30 = ^(e) LgO0 = y / J - 2 = 2(f) y / j > V T -> 2 - 2(g) - -1 -* V 2 T = 5(h) 7J > 4 3 > y f T

1 5. Determinar o valor lgico (V ou F) de cada uma das seguintes proposies:

(a) 3 + 4 = 7 sc c somente se 53 = 125(b) 02 =1 sc c somente se (1 + 5) = 3(c) = 4 sc e somente se \J~T - 0(d) tg7r = 1 scc somente sc senir = 0(e) -1 > -2 -> rr2 < 2 0(f) - 2 > 0 - JT2 < 0(g ) 3J + 4 2 = 5 2 rr racional

(h) 1 > sen ^ +-+ cos ^ < I

( i ) seri20 > I cos20 > 2(j) v ^ T = - ] < - > - 2


(a) No verdade que 12 um nmero mpar(b) No verdade que Belm a capital do Par(c) falso que 2 + 3 = 5 e 1 + 1 - 3(d) E falso quo 3 + 3 = 6 ou \ / -1 = 0(e) ~{J + 1 = 2 3 + 4 = 5)(i ) '-(1 + 1 = 5 * 3 + 3 = 1)(g) 2 + 2 = 4 ->-(3 + 3 = 7 1 + 1 - 4 )(h) - ( 2 + 2 * 4 e 3 + 5 - 8 )


(a) ~(senO = 0 ou eosO = 1)(b) ~ (2 3 =8 ou 4 3 t 4 3)(e) ~(tg45 = 2 se e somente se ctg45 = 3)(d) Braslia a capital do Brasil, c 2o = 0 ou 3o = I(e) ~ (3 2 = 9 -> 3 -- 5 A O2 = 0)(O 34 = 81 ^ - ( 2 + I = 3 /. 5 . 0 = 0)(g) 43 64 ~ (3 + 3 = 7 1 + i - 2)

18. Sabendo que os valores lgicos das proposies p e q so respectivamente V c h determinar o valor lgico (V ou F) de cada uma das seguintes proposies:

(a) p A ~~q (b) p V - q (c) ~ p A q(d) ~ p A ~ q (e) ~ p v ~ q (f) p A ^ p V q)

19. Determinar V(p) em cada um dos seguintes casos, sabendo:

(a) V(qJ = F e V(p A q ) - F (b) V(q) = F e V(p V q) = F(c) V(q) - F e V(p.-*q) = F (d) V(q) = F e V(q -> p) = V(e) V(q) = V e V ( p ^ 'q ) = F ( f ) V(q) = F e V(q p) = V

20. Determinar V(p) e V(q> cm cada um dos seguintes casos, sabendo:

(a) V(p -> q) = V e V(p A q) - F(b) V(p -> q) = V e V(p V q) = F(c) V( p q) = V e V(p A qj = V(d) V(p > q) = V e V(p V qj = V(e) V(p q) = F e V (~p V qj = V


Capitulo 3

Construo de Tabelas-Verdade

1. TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Dadas vrias proposies simples p, q, r, . . . , podemos combin-las pelos conectivos lgicos:

, A , V , - ,

e construir proposies compostas, tais como:

p(p> q) ~ ~p v (p -* q)Q


Dem. Com efeito, toda proposio simples tem dois valores lgicos: V e F, que se excluem. Portanto, para uma proposio composta P (p i, p2, . . . , pn,) com n proposies simples componentes p i, p2 , . . . , Pn h tantas possibilidades deatri- buio dos valores lgicos V c F a tais componentes quantos so os arranjos com repetio n a n dos dois elementos V e F, isto , A2jn = 2n, segundo ensina a Anlise Combinatria.

3. CONSTRUO DA TABELA-VERDADE DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Para a construo prtica da tabcla-verdade dc unia proposio composta comea-se por contar o nmero dc proposies simples quo a integram. Sc h n proposies simples componentes: p , , p , . . . , pn , ento a tabcla-verdade contm 2n linhas. Posto isto, 1? proposio simples p, atribuem-se 2n/2 ~ 2n ~ valoresV seguidos de 2n_1 valores F; 2? proposio simples p2 atribuem-se 2n/4 = 2n - * valores V, seguidos de 2n - 2 valores F, seguidos dc 2n 2 valores V,seguidos, finalmente, dc 2n " 2 valores F; e assim poT diante. De modo genrico, a k-sima proposio simples p |< (k< n) atribuem-se alternadamente 2n/2*c = 2n ^ valores V seguidos de igual nmero de valores F.

No caso, p. ex., de uma proposio composta com cinco (5) proposies simples componentes, a tabela-veidade contm 25 " 32 linhas, e os grupos de valores V e F sc alternam de 16 em 16 para a Ia proposio simples p , , de 8 em 8 para a 2? proposio simples p2, de 4 em 4 para a 3? proposio simples p ;1, de 2 cm 2 para a 4? proposio simples p4, c, enfim, de 1 em 1 para a 5? proposio simples ps .

4. EXEMPLIFICAO

( I ) Construir a tabela-vcrdade da proposio:

P(p, q) = ~ (p A - q )

1? Resoluo Forma-se, em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes s duas proposies simples componentes p c q. Em seguida, forma-se a coluna para -q . Depois, forma-se a coluna para p a ~ q Afinal, forma-se a coluna relativa aos valores lgicos da proposio composta dada.

p


2? Resoluo Formam-se primeiro as colunas corrcspondentes s duas proposies simples p e q. Em seguida, direita, traa-se uma coluna para cada Uma dessas proposies c para cada um dos conectivos que figuram na proposio composta dada.

p q ~ (P A - q)V vv FF vF F

Depois, numa certa ordein, completam-se essas colunas, escrevendo em cada uma delas os valores lgicos convenientes, no modo abaixo indicado:

p q ~ (P A ~ v v v v F F Fv F F v v v FF v v F F F vF F v F F v F

4 1 3 o 1

Os valores lgicos da proposio composta dada encontram-se na colunacompletada em ltimo lugar (coluna 4).

Portanto, os valores lgicos da proposio composta dada correspondentes a todas as possveis atribuies dos valores lgicos V e F s proposies simples componentes p c q (W , VF, FV e FF) so V, F, V e V, isto , simbolicamente:

P< W ) = V, P( VF) = F, P( FV) = V, P( FF) = V

ou seja, abreviadamente:

P (W . VF, FV, FF) = V F W

Observe-se que a proposio P(p, q) associa a cada um dos elementos do conjunto U - { W , VF, FV, FF } um nico elemento do conjunto {V, F} ,isto , P(p, q) outra coisa no que uma funo de U em {V, F} :

P(p, q) : U -* {V, F }

cuja representao grfica por um diagrama sagital a seguinte:


U

3? Resoluo Resulta de suprimir na tabela-verdade anterior as duas primeiras colunas da esquerda iclativas. s proposies simples componentes p e q, o que d a seguinte tabela-verdade simplificada para a proposio composta dada:

(P A q)V v F F vF v v v Fv F F F vv F F v F4 1 3 2 1

(2) Construir a (abela-vcrdadc da proposio:

P(p, q) = M p a q) V

I N I C I A O L G IC A M A T E M T I C A

Portanto, simbolicamente;

P(VV) * F, P( VF) = V, P(FV) = V, P< FF) = V


P (W , VI, FV, FF) - F V W

Obscrve-sc que P(p, q) outra coisa no 6 que uma funo de li - ( W , VF, FV, FF) em (V , F} , cuja representao grfica por um diagrama sagital 6 a seguinte:

3? Resoluo.

- (P A q) ,v (q P)F v v v F F v v vV v F F v v F F vv F F V v v v F Fv F F F v F F v F

3 1 2 1 4 3 1 2 1

(3) Construir a tabela-verdade da proposio:

P(p, q, r) = p V ~ r - q A r

1? Resoluo:

P q T ~ r p V ~ r q A p V - r - ^ q A - r

v v v F v F Fv v F v V v vv F v F V F Fv F F v v F FF V v F F F VF v F v v v VF F v F F F VF F F v v F F

_ E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O34

2? Resoluo:

p q r P V - ! i A r

V v v v v F v F v F F vv v F v v v F v v v v Fv F v v v F v F F F F Vv F F v v v F F F F v FF v v F F F v v v F F VF v F F v v F v v v v F*F F v F F F v v F F F vF F F F v v F F F F v F

1 3 2 J 4 1 3 2 1

Portanto, simbolicamente:

P( V W ) - F, P (W F ) = V, P(VFV) - F, P(VFF) = F

P(FVV) = V, P(FVF) = V, P(FFV) = V, P(FFF) = F

ou seja. abreviadamente:

PfVVV, W F . VFV, VFF, F W , FVF, FFV, FFF) ~ FV FF W V F

Observe-se que a proposio P(p, q, r) outra coisa no que uma funo de u 3= {w v , W F . VFV. V FF, F W , FVF, FFV, FFF) em {V, F) , cuja representao grfica por um diagrama sagital a seguinte:

INIC IA O LGICA MATEMTICA

3a Resoluo:

35

p V ~ r -+ q A - r

v v F v F v F F vv v v F v v v v Fv v F v F F F F vv v v F F F F v FF F F v v v F F vF v v F v v v v FF F F v v F F F vF v v F F F F v F

1 3 2 1 4 1 3 2 i


P(p, q, r) - (p - q) A (q -* r) - (p -> r)

Resoluo:

P q r (P -* q) A (q r) -> (P -y r)

v v v v v v v v v V v v V vv v F v v v F v F F v v F Fv F v v F F F F v V v v v vv F F v F F F F v F v v F FF v v F v v v v v v v F v vF v F F v v F v F F v F v FF F v F v F v F v v v F v VF F F F v F v F v F v F v F

1 2 1 3 1 2 1 4 1 2 1


P (W V ) = V, P(VVF) = V, P( VFV) = V, P(VFF) = V

P (F W ) = V, P{FVF) = V, P(FFV) = V. P(FFF) = V


P (W V . W F , VFV, VFF, F W , FVF, FFV, FFF) - VVVVVVW

Observe-se que a ltima coluna (coluna 4) da ta bei a-verdade da proposio P(p, q, r) s encerra a letra V(verdade), isto , o valor lgico desta proposio sempre V quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies componentes p q e r.


P(p, q, r) = (p -> (~ q V r A ~ (q V (p ~ r))

3 e E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O

Resoluo:

(p -y (~ q V r A ~ (q V (P r))

V v F v v v F F v v v F F vV F F v F F F F v v v v v FV v v F v v v v F F v F F vV v v F v F F F F v v v v FF v F v v v F F v v F v F vF v F v F F F F v v F F v FF v v F v v F F F v F v F vF v v F v F v v F F F F v F

1 4 2 1 3 1 6 5 1 4 1 3 2 1

Note-se que uma tabela-verdade simplificada da proposio P(p, q, r), pois, no encerra as colunas relativas s proposies componentes p, q e r.


P (W V ) = F, P(VVF) = F, P(VFV) = V, P(VFF) = F

P (F W ) = F, P(FVF) = F, P(FFV) = F, P(FFF) = V


P (W V , W F , VFV, VFF, F W , FVF, FFV, FFF) = FFVFFFFV

5. VALOR LGICO DE UMA PROPOSIO COMPOSTA

Dada uma proposio composta P(p, q, r , , . .), pode-se sempre determinar o seu valor lgico (V ou F) quando so dados ou conhecidos os valores lgicos respectivos das proposies componentes p, q, r, . . .


Exemplos:

(1) Sabendo que os valores lgicos das proposies p e q so respectivamenteV e F, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio:

PP- q) = ~ (p v q) ~ p A ~ q

Resoluo Temos, sucessivamente:

V(P) - ~ (V V F)-+ ~ V A ~ F = ~ V F A V - F +-* F = V

(2) Sejam as proposies p : ir = 3 e q : sen ~ = 0 . Determinar o valor lgico (V ou F) da proposio:

P(p, q) = (p -* q) -* (p -+ p A q)

Resoluo As proposies componentes p e q so ambas falsas, isto , V(p) = F e V(q) = F. Portanto:

V(P) = (F + F ) - M F - * F A F) = V (F -> F) = V -> V = V

(3) Sabendo que V(p) = V, V(q) = F e V(r) = F, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio:

P(p, q, r) = (q F ) = F V F = F

(4) Sabendo que V(r) = V, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio: p -* ~ q V r.

Resoluo Como r c vcrdadcira(V), a disjuno --q V r vcrdadcira(V). Logo, a condiciona] dada verdadeira(V). pois, o seu consequente verdadeiro(V).

(S,) Sabendo que V(q) = V, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio: (p - q) - ( ~ q -> ~ p).

Resoluo Como q verdadeira(V), ento ~ q falsa(F). Logo, a condicional ~ q -> ~ p verdadeira(V), pois, o seu antecedente falso(F). Por conseqncia, a condicional dada verdadeira(V), pois, o seu consequente verdadciro(VJ.

(6) Sabendo que as proposies x = 0 e x = y so verdadeiras e que a proposio y = z falsa, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio:

x ^ O V x ^ y - t y ^ z


~V V ~V -> -rF = FV F - V = F -* v = v

. 6. USO DE PARENTESIS

bvia a necessidade de usar parntesis na simbolizao das proposies, que devcin ser colocados para evitar qualquer tipo de ambiguidade. Assim, p. ex., a expresso p A q V r d lugar, colocando parntesis, s duas seguintes proposies:

(0 (p A q) V r e (ii) p A (q V r)

que no tm o mesmo significado, pois, na (i), o conectivo principal " V , e na(ii), o conectivo principal c A , isto , a (i) 6 uma disjuno e a (ii) c uma conjuno.

Analogamente, a expresso p A q - + r V s d lugar, colocando parntesis, s seguintes proposies:

t(P A -s- r> V s, p A ((q -+ r) V s), (p A (q -* r)) V s,

p A (q -* (r V s)), (p A q ) - +( r V s)

tais que, duas quaisquer delas, no tm o mesmo significado.Por outro lado, cm muitos casos, parntesis podem ser suprimidos, a fim dc

simplificar as proposies simbolizadas, desde que, naturalmente, ambiguidade alguma venha a aparecer.

A supresso de parntesis nas proposies simbolizadas se faz mediante algumas convenes, das quais so particularmente importantes as duas seguintes:

(I) A ordem de precedencia para os conectivos :

(1) ~ ; (2) A e V ; (3) +; (4)

Portanto, o conectivo mais fraco c e o conectivo mais ' forte .ssim, p. ex., a proposio:

p -> q


e, analogamente, para convert-la numa conjuno;

(p q s) A r

O conseqente da condicional uma bcondicional. Desejando-se converter este consequente numa conjuno cumpre escrever:

P "* ((q s) A r)

Tambm so bicondicionais as trs seguintes proposies;

p A q j - t - r V s; p q (~ (p V r))))

escrevem-se mais simplesmente assim:

- . '- (p A q ) V ' p ; (p V ~ q ) A (r A ~ p )

(p V - q) A r A ~ p ; ~ p -* (q -* -~ (p V rj)

7. OUTROS SMBOLOS PARA OS CONECTIVOS

Nos livros de Lgica, usam-se diferentes smbolos para os conectivos, Assim, p. ex., so frequentemente usados os smbolos:

1 para a negao ( )

. e ec para a conjuno ( A )

D (ferradura) para a condicional (->-)

EXERCCIOS

1. Construir as tabelas-verdade das seguintes proposies:

(a) ~ (p V - q) (b) ~ ( p - > - q )(c) p A q - > p V q (d) ~ p -*-( q ^ P (hj (p * * ~q ) - ~ p A q

2. Construir as ta belas-verdade das seguintes proposies:

(a) - p A r ^ q V - r (b) p -* r q -:(cj p~Mp -+ ~ r)* -* q V r (d) (p A q r) V f ^ p * q V - i>

4 0 E D G A R D DE A L E N C A R F f L H O

3. Determinar P (W , VF, FV, FF) em cada um dos seguintes casos:

(a) P(p, q j = ~C^P q)(b) P (p .q ) = ~ p V q - p(0) P(p, q) = (p V q) A H p A q)(d) P(p, q j - (p A ~ q ) V ( ~p A q_)(e) P(p, q) = - ( (p V q) A (~ p V - q))( f) P(p, q) - - q V p ^ q - ~ p(g.) p(p. q) = (p V q) A - p -+ (q -> p)

Determinar P (V W , W F , VFV. VFF, F W , FVF, FFV, FFF) em cada um dos seguintes casos:

(a) P - (p V - r )(d) P(p, q, r) = {r A (p V - q ) ) A ~ (~ r V (p A q)j(e) P(p, q, r) = (p V q -> r) - q V ~ r( f ) P(p, q, r) = (p V ( q - * - r ) ) A (~ p V r * -q)

6. Sabendo que os valores lgicos das proposies p e q so respectivamente F e V, determinar o valor lgico (V ou F) da proposio:

{ p A (, - q -4- p)) A ~ ((p *-*' ~ q ) - q V ~ p )

7. Sejam as proposies p : tg(jr -x.) = ctgx c q : n < 2. Determinar o valor lgico (V ou F) de cada uma das seguintes proposies:

(a) (~ p A q ) V (p A - q ) (b) (p - q) A ~ p -* ~ q(c ) ~ (p A q) ** - p v - q (d) (p V ( ~ p v qj) V ( ~ p A - q )

8 Sabendo que os valores Lgicos das proposies p, q e r so respectivamente V,F e F, determinar o valor lgico (V ou F) de cada uma das seguintes p ropo res: , . i(a) (pp - ^ q ) V ( p- *r ) (b) ( p -*~

14. Determinar o valor lgico (V ou F) de cada uma das seguinies proposies:

(a) p ** q A ~ r, sabendo que V(pJ - V(r) = V(b) p A q - p V r, sabendo que V(p) = V(r) = V(c) (p -> ~ q ) A ( ~ p V r), sabendo que V(qJ = F c V(r) = V

15. Suprimir o maior nmero possvel de parntesis nas seguintes proposies:

(a) {(q (r V q)) ** (p A (~ ( -q ) ) ) )(b) ((p A ( '- (~ q ))) ^ ( q ^ ( r V q)(c) (((p V q )-+ (~ r)) V ((((q> A r) A q)))


Capitulo 4

Tautologas, Contradies e Contingncias

I. TAUTOLOGIA

Definio Chama-sc tautologia toda a proposio composta cuja ltima coluna da sua tabcla-verdade encerra somente a letra V( verdade).

Em outros termos, tautologia toda proposio compostn P(p, q, r , . . .) cujo valor lgico sempre V(verdade), quaisquer que sejam os valores lgicos das proposies simples componentes p, q, r, . . .

As tautologas so tambm denominadas proposies tautolgicas ou proposies logicamente verdadeiras.

imediato que as proposies p ^ p e p ** p so tautolgicas (Principio de identidade para as proposies),

hxeniplos:

(1) A proposio ~{p A ~ p ) (Princpio da no contradio) tautolgica, conforme se v pela sua tabela-verdade;

p ~ p p A ~p ~ (p A ~*-p)

v F F vF v P V -

Portanto, dizer que uma proposio no pode ser simultneamente verdadeira e falsa sempre verdadeiro.

(2) A proposio "p V p (Princpio do terceiro excludo) tautolgica, cornoimediatamente se vc pela sua labcla-verdadc:


p ~p P V ' Pv F vF v v

Portanto, dizer que uma proposio ou verdadeira ou falsa sempre verdadeiro.

(3) A proposio up V M p A q f c tautolgica, conforme se v pela sua tabeia- -verdade:

p 9 p A q H p A q) p V ~ (p A q)

v v v F vv F F v vF v F v vF*' F F v v

(4) A proposio p A q -M p+-+q) tautolgica, conforme mostra a sua (abcla- -verdade:

p q p A q p*-*q'

p A q -^(p-e q)

v V v v vv F F 1 vF v F F vF F F v v

(.5) A proposio p V ( q A ~ q ')+ -+ p tautolgica, conforme mostra a sua labela-verdidc:

p q ^q q A - q p V (q A ~ q ) p V (q A ~ q) p

v v F F v vV f v F v vF v F F F vF v F F v

(6) A proposio up A r -+ q V r c tautolgica, conforme se v pela sua tabela-verdade:

I N I C I A O L G IC A M A T F M T I C A 45

p q r ~ q p A r ~ q V r p A r - * ~ q V r

v v v F v v vv v F F F F vv F v v v v vv F F v F v vF V V F F v vF v F F F F vF F v v F v vF F F v F v v

(7) A proposio %((p -* q> *) {p - (q -+ r)J c tautolgica, conforme mostra a sua tabela-verdade:

IIP -> q) -* r) - (P (q r))

v v v v v v v v v v vV v v F F v V F v F Fv F F V v v V v F v vv F F V F v v v V V vF v v v v v F v v V vF v v F F v F v v F FF v F V v v F v F V vF v F F 1 v F v F v F

1 2 1 3 1 4 1 3 1 -) 1

2. PRINCIPIO DE SUBSTITUIO PARA AS TAUTOLOGIAS

Seja Pfp. q, r . . . . ) uma tautologia e sejam P0(p. q, r , . . .), Qo


3. CONTRADIO

Definio Chama-se contradio toda a proposio composta cuja ltima coluna da sua tabela-verdade cncerra somente a letra F(falsidade).

Km outros termos, contradio toda proposio composta P(p, q. r , . . .)cujo valor lgico sempre F(faisidade), quaisquer que sejam 'os valores lgicos das proposies simples componentes p. q, r , . . .

Como uma tautologia sempre verdadeira(V), a negao de uma tautologia sempre falsa(F), ou seja, uma contradio, e vice-versa.

Portanto, P(p. q, r , . . . ) uma tautologia se e somente se ~P(p, q. r , . . . ) uma contradio, e P(p. q, r . . , uma contradio se e somente se ~P(p, q. r , . . . ) uma tautologia.

As contradies so tambm denominadas proposies contravlidas ou proposies logicamente falsas.

Para as contradies vale um Princpio de substituio anlogo ao que foidado' para as tautologas:

Se P(p, q, r, . . . ) uma contradio, ento P(P0, Qo- ) tambm uma contradio, quaisquer que sejam as proposies P0, Q0, R0. , . .

Exemplos:

(3) A proposio (P A q) A ~ (p V q) uma contradio, conforme se v pela sua tabela-verdade;


p q p A q p V q ~(p V q) (pA q) A ~ (p V q)

V v v v F FV F F v F FF v F v F FF F F F v F

(4) A proposio ~-p A (p A ~ q ) uma contradio, conforme mostra a sua tabela-verdade:

P q ~ p ~ q ! p A ~ q ~ p A (p A ~ q )

v v F F F Fv F F v v FF v v F F FF F v V | F F

4. CONTINGNCIA

Definio Chama-se contingncia toda a proposio composta em cuja ltima coluna da sua tabela-verdade figuram as letras V e F cada uma pelo menos uma ve?.,

Em outros termos, contingncia toda proposio composta que no tautologia nc-m contradio.

As contingncias so tambm denominadas proposies contingentes ou proposies indeterminadas.

Exemplos;

(1) A proposio p - ~ p uma contingncia, conforme se v pela sua tabela verdade:

P ~p p-*~pv F FF v v

(2) A proposio p V q - ^ p uma contingncia, conforme mostra a sua tabda-verdade:

4g E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O

p q p V q p V q p

v v v vv F v vF v v FF F F v

(3) A proposio x - 3 A (x y x f- 3) uma contingncia, conforme mostra a sua tabcla-verdadc:

x= 3 x = y x 3 x # y x v* y x i~- 3 x = 3 A (x A y -+ x t- 3)

v v F F v vv F F V F FF v v F v FF F v V V F

EXERCCIOS

1. Mostrar que as seguintes proposies sao tautolgicas:

(a) (p p) v (P -* ~P> (b) (p p A - p ) -> ~ p -> (p +-* q) ( D f p ^ q ) A p - > q

Mostrar que as seguintes proposioes sao tautolgicas:

(a) (p -> q )-* (p A r -> q) (b) (p -> q) - (p -* q V r)(c) (p - q) -> (p A r q A r) (d) (p q) > ( p V r -> q V i

Mostrar que as seguintes proposies so contingentes:

(a) p V q ^ p A q (b) (q -* p )-* (p -> q)(c) (p -+ (p -* q)) -+ q (d) p ^ ( p - ^ q A - q )

4. Determinar quais das seguintes proposoes so tautolgicas, contra vlidas, ou contingentes:

(a) p -> (~ p - q) (b) - p V q ^ ( p ^ q )(c) p (q -+ (q -> p}) (d) ((p -> q) *- q) p(e) p V ^ q ^ ( p ^ - v q ) (f) ~ p V ~ q - ( p q )(g) p (p V q) V r (h) p A q - ^ ( p ^ q V r )

Captulo 5

Implicao Lgica

1. DEFINIO DE IMPLICAO LGICA

Definio Diz-se que uma proposio Pp, q. r . . . .) implica logicamente ou apenas implica uma proposio Q{p, q; r . . . se Qlp. q, r . . . . } c verdadeira(V) todas as vc7.es que P(p, q. r , . . . ) verdadeirat V),

Em outros termos, uma proposio P(p, q. r. . . . ) implica logicamente ou apenas implica uma proposio Q(p, q, r , . . .) todas as vezes que nas respectivas tabelas-verda.de dessas duas proposies no aparece V na ltima coluna dc P(p. q , i , e F na ltima coluna de Q(p. q. r , . . . ) , com V e F em uma mesma linha, isto e. no ocorre P(p, q, r , . . .) e Q(p, q. r . . . . ) com valores lgicos simul - teos respectivamente V c F.

Indica-se que a proposio P(p, q, r , . . ,) implica a proposio Q(p, q, r , . . . ) com a. notao:

P(p, q, r , . . . ) = Q(p. q- r----- >

Em particular, toda proposio implica uma tautologia e somente uma contradio implica uma contradio.

2. PROPRIEDADES DA IMPLICAO LGICA

imediato que a relao de implicao lgica entre proposies goza das propriedades reflexiva(R) e transitiva(T). isto . simblicamente:

(R ) P(p, q, r, . . . ) ^ Pp. q, r, . . .)

(T) Se P(p, q, r , . . .) => Q(p, q: r , . . .) eQ(p, q, r , . . .) => R(p, q, r , . . .) , entoPfp, q, r , . . . ) => R(p, q, r , . . . )

50 EDGARD DE ALENCAR FILHO

3. EXEMPLIFICAO

( I ) As tabeias-verdade das proposies:

p A q, p V q, p q =* p -^ q e p ^ q => q ^ p

(3) A tabehirverdade da proposio: (p V q) A ~ p c:


p q pV q ~p (p V q) A ~ p )

v v v F Fv F v F FF v v v vF F F v F

Esta proposio verdadeira(V) somente na linha 3 e, nesta linha, a proposio q tambm verdadeira(V). Logo, subsiste a implicao lgica:

(p V q) A ~ p => q

denominada Regra do Silogismo disjuntivo.Outra forma desla importante Regra de inferncia :

(p V q) A ~ q => p

(4) A tabcla-verdade da proposio (p -* q) A p :

P q p- * q (p -> q) a pv v v vv F F FF v v FF F v F

Esta proposio verdadeira(V) somente na linha 1 e, nesta linha, a proposio q tambm verdadeira(V). Logo, subsiste a implicao lgica:

(p q) A p = q

denominada Regra Modus ponens.

(5) As tabelas-verdade das proposies (p -* q ) A - q e ~p so:

P q p-+q ~q (p- *q) A ~q) - p

v v v F F Fv F F v F FF v v F F vF F v v v v

A proposio ,v(p -> q ) A - q verdadeirafV) somente na linha 4, e nesta linha, a proposio ~ p tambm vcrdadeira(V). Logo, subsiste a implicaao lgica:

(p~> q) A ~ q => ~ p

denominada Regra Modus tollens.As mesmas tabelas-vcrdadc tambm mostram que M~ p implica p -+ q \

isto : ~ p => p -* q-

4. TAUTOLOGIAS E IMPLICAO LOGICA

Teorema A proposio P(p. q, r, . . .) implica a proposio Q(p. q, r----- ).isto :

P(p, q. r___ ) => Q(p, q. r, . . .)

se e somente se a condicional:

P(p. q, r___ ) -* Q(p, q. i ----- ) d )

tautolgica.Dem. - (i) Se Pp, q, r , . . .) implica Q(p. q. r, . . .), ento, no ocorre que os

valores lgicos sim ultneos destas duas proposies sejam respectivamente V e l . e por conseguinte a ltima coluna da tabela-verdade da condicional (1) encerra somente a letra V, isto , esta condicional tautolgica.

(ji) R e c ip r o c a m e n te , se a condicional (1) tautolgica, isto , se a ltima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V, ento, no ocorre quo osvalores lgicos simultneos das proposies P( p. q, r----- ) e Q(p, q, r , . . .) sejamrespectivamente V e F, e por conseguinte a primeira proposio implica a segunda.

Portanto, a ioda im plicao lgica corresponde uma condicional tautolgica, e vice-versa.

Corolrio - Se P(p, q, r , . . . ) => Q (p , q, r , . . .), ento, tambm se tem:

P(P, Q0, Rn. . . .) => 0 ( P so distintos, pois, o primeiro de operao lgica (aplicado, p. ex., s proposies p e q d a nova proposio p - q), enquanto que o segundo de relao (estabelece quo a condicional P(p, q, r , . . .)-*- -> Q(p, q, r , . . . ) tautolgica).

E D G A R D DE A L E N C A R F I L H O

Exemplos:

(1) A condicional (p -* q) A (q -> r) -* (p -* r) tautolgica, pois, a ltim;coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V (Cap. 3, 4, Ex. 4)

Logo, subsiste a implicao lgica:

Cp -> q) A (q -> r) => p r

denominada Regra do Silogismo hipottico.

(2) A condicional p e tautolgica, pois, a ltima coluna da su;tabela-verdade encerra somente a letra V:

IN I C I A O L C G I C A M A T E M T I C A 5

p q ~p P A ~ p p A ~ p - qV v F F vV F F F vF v v F vF F v F v

Logo, subsiste a im plicao lgica; p A ~ p => q. Assim, de uma contradio p A ~ p se deduz qualquer proposio q (Princpio da inconsistncia).

(3 ) A proposio (p > q) A p implica a proposio q", pois, a condicional(p > q) A p -> q tautolgica conforme se ve pela sua tabela-verdade:

p q p q (p *+ q) A p (p - q) A p qv v v v vv F F F vF v F F vF F v F v

Portanto, simbolicamente: (p q) cm cada um do seguintes casos:

(a) p : n > 3; q : tg45 = 1(b) p : sen30 = 1; q : y j 2 > \ f 1(c) p : ABCD um losango; q : ABCD um paralelogramo

(d) p : O polgono ABCDE . . . regular; q : O polgono ABC DE . . . inscrit vel

(e) p ; O nmero inteiro x termina por 0; q : O nmero mte;ro x i divisvel por 5

(f> p : ABC um tringulo; q : A soma dos ngulos internos A. B e C igual a 180

(g) p ; t s | = v ^ i q ;sn f = cos f

2. Mostrar: (a) q => p -+ q; (b) q =* p A q * p

3. Mostar que p q no implica p - q.Resoluo As tabelas-verdade das duas proposies dadas so:

5 4 E D G A f t D D A L O CAR F I L H O

p q - q p -+ ~ q p-+ q

V v F F vv F v v FF v F v vF F v F v

A proposio p ~ q verdadeiraf V) na linha 2 e, nesta linha, a proposio p -* q falsa(F). Logo, a primeira proposio no implica a segunda.

4. Mostrar que p no implica p A q e que p V q no implica p.

5. Mostrar: (x = y V x < 4) A x < 4 => x = y.

6. Mostrar: (x = 0 -> x = y) A x = y = x = 0.

Captulo 6

Equivalncia Lgica

. DEFINIO DE EQUIVALNCIA LGICA

Definio Diz-sc que uma proposio P(p, q, r. . . .) logicamente equivalente ou apenas equivalente a uma proposio Q(p, q. r , . . se as tabelas-verdade destas duas proposies so idnticas.

Irtdica-sc que a proposio P(p. q. r, . . .)c equivalente a proposio Q(p, q, r , . . .) com a notao:

P(p, q, r , . . .) *** Q(p, q, r , . . . )

Em particular, se as proposies P(p, q, r , . . .) e Q(p, q, r, . . . ) so ambas tautologas ou so ambas contradies, ento so equivalentes.

2. PROPRIEDADES DA EQUIVALNCIA LGICA

imediato que a relao de equivalncia lgica entre proposies goza das propriedades reflexiva(R), simtricaS) e transitiva(T), isto , simbolicamente:

entoP(p, q r , . . ) R(p, q, r , . , )

3. EXEMPLIFICAO

( i ) As p r o p o s i e s ~ p e p so e q u iv a le n te s , is to , s im b o l ic a m e n t e : p p (Regia de CLAVIUS). Realmente, o que demonstra a tabela-verdade:

P ~ p ~ p -> p

v F vF v Ft t

(3) As condicionais p -> p A q c p -> q tm tabelas-verdade idnticas:

P q p A q p -* p A q p-*q

v v v v vv F F F FF v F v vF F F v v

+ _ *

Por consequncia, estas condicionais so equivalentes, isto , subsiste a equivalncia lgica:

p -* p A q p -> q denominada Regra de absoro.

(4) A condicional p - q e a disjuno ~ p V q tm tabelas-verdades idnticas:

p q p~*q - p ~ p v q

v v v F vv F F F FF v v v vF F v v v

+ *

Por consequncia, estas duas proposies so equivalentes, isto c, subsiste a importante equivalncia lgica:

p H- q p) tem tabelas- verdade idnticas:

I N t C I A O L G I C A M A T E M T I C A 57

P q p ^ q p -^q q -^ p (p -+ q) A p)

v v v v v vv F F F v FF v F v F FF F v v v v

...

Por consequncia, estas duas proposies so equivalentes, isto , subsiste a importante equivalncia lgica:

p q) a (q -> p)

(6) A bicondicional *p q,J c a disjuno (p A q) V (~ p A ~ q ) tm tabelas-verdade idnticas:

P q p -> q (P A q) V (~ p A ~ q )

v v v v v v v F F FV F F v F F F F F vF v F F F V F v F FF F v F F F v v v v

t t

Por consequncia, estas duas proposies so equivalentes, isto , subsiste a importante equivalncia lgica:

p +-* q =* (p A q) V (~ p A ~ q )

4. TAUTOLOGIAS E EQUIVALNCIA LGICA

Teorema - A proposio P( p, q, r , . . . ) equivalente proposio Q(p, q, r , . . .)> isto c:

P(p, q, r , . . .)

Dem. (i) Sc as proposies P(p, q, r, . . .) e Q(p, q, r, . , , ) so equivalentes, ento, tm tabelas-verdade idnticas, e por conseguinte o valor lgico da bicondicional (1) sempre V(verdade), isto c, (1) tautolgica.

(ii) Reciprocamente, se a bicondicional (1) tautolgica, ento, a ltima coluna da sua labela-verdade encerra somente a letra V(verdade), c por conseguinte- os valores lgicos respectivos das proposies P(p, q. r , . . .) e Q(p. q, r , . . . } so ambos V(vcrdade) ou so ambos F(falsidade), isto , estas duas proposies so equivalentes.

Portanto, a toda equivalncia lgica corresponde uma bicondicional tautolgica, c vice-versa.

Corolrio Se P(p, q, r , . . . )


(2) bicondicional (p A q - > r ) ^ ( p - > ( q - > r ) ) tautolgica, pois, a ltima coluna da sua tabela-verdade encerra somente a letra V(vcrdade):

p A q -> r) (P (q - 0)

V v v v v v v v v v vv v v F F v v F v F Fv F F v v v v v F v vv F F v F v v v F v FF F v v v v F v v v vF F v V F v F v v F FF F F v v v F v F v vF F F v F v F v F v F

1 2 1 3 1 4 1 3 1 2 1

Portanto, as condicionais p A q -> r e p - (q -* r) so equivalentes, isto , simbolicamente:

p A q r *=> p (q - r)

Esta importante equivalncia lgica denominada Regra de Exportao-lmpor- tao .

(3) As proposies x = I V x < 3 e ~ { x < 3 A x = 1) no so equivalentes, pois. a bicondicional:

(x = 1 V x < 3) q, chamam-se proposies associadas a p -> q as trs seguintes proposies condicionais que contcm p e q:

(a) Proposio recproca de p -+ q : q - p(b) Proposio contrria de p - q : - p -*~-q(c) Proposio contrapositiva de p -> q : ~ q -> ~ p

s tabelas-verdade destas quatro proposies so:

6 0 E O G A R D DE A L E N C A R F I L H O

p q p "* q q~>p ~ p - ~ q ~ q -> ~ p

v v v v v vv F F v v FF v v F F vF F v v v v

t t

, c demonstram as duas importantes propriedades:(I) condicional p -> q c a sua contrapositiva ~ q - > ~ p so equivalentes, is

to , simbolicamente:

p - q < = * ~ q ^ ~ p

(II) A recproca q -> p e a contrria ~ p - > ~ q da condicional p -+ q so equivalentes, isto , simbolicamente:

q -> p ~ p ~ q

As mesmas tabelas-verdade tambm demonstram que a condicional p - + q e a sua recproca q -+ p ou a sua contrria p > ~ q nto so equivalentes.

A contrria de p -* q tambm denominada a inversa de p -> q e a contrapositiva de p - q outra coisa no que a contrria da recproca de p q c por isso tambm denominada contra-recproca dc p > q. Tambm se diz que p ^ -q a direta cm relao s associadas.

Exemplos:

(1) Seja a condicional relativa a um tringulo T:

p "> q : Se T equiltero, ento T issceles

A recproca desta proposio :

q -> p : Sc T c issceles, ento T equiltero

Aqui, a condicional p -> q verdadeira(V), mas a sua recproca q -> p falsa(F),

(2) A contrapositiva da condicional:

p -+ q : Se Carlos professor, ento c pobre

~ q -> ~ p : Se Carlos no pobre, ento no e professor


(3) Seja achar a contrapositiva da condicional: Sc x c menor que zero, ento x no positivo.Representando por p a proposio x menor que 7.ero,k e por q a proposio x positivo , a condicional dada sob forma simblica escreve-se: p ^ - q , e por conseguinte a sua contrapositiva c:

q ^ ~ p ^ = > q -* ~ p

isto , em linguagem corrente: Se x c positivo, ento x no menor que zero .

(4) Seja demonstrar a proposio condicional:

p -? q : Se x2 mpar, ento x c mpar

A contrapositiva desta condicional :

q ~ p : Se x par, ento x 2 c par

que vamos demonstrar ser verdadeira.Com efeito, suponhamos x par, isto c, x = 2 n (n Z ). Como x2 = 2 .2 n 2 , segue-se que x2 e par. Logo, a contrapositiva verdadeira, e por conseguinte a proposio condicional dada p q tambm verdadeira.

(5) Determinar:(a) A contrapositiva da contrapositiva de p - q(b) A contrapositiva da recproca de p -> q(c) A contrapositiva da contrria dc p -> q

Resoluo (&) A contrapositiva de p-> q ~ q -> ~ p . a contrapositiva de ~ q -* ~ p : ~ ~ p -> - q -v~p q -> p.Observe-se que a recproca, e a contrria so cada uma a contrapositiva da outra c que a condicional e a contrapositiva so cada uma a contrapositiva da outra.

(6) Determinar:(a) A contrapositiva de p -> *- q(b; A contrapositiva de ~ p q(c) A contrapositiva da recproca dc p -+ ~ q(d) A recproca da contrapositiva de - p ^ q

Resoluo (a) A contrapositiva de p -* ~ q :

q + ~ p q - * ~ p

(b) A contrapositiva dc ~ p -* q :

4 *" p - q - p

(c) A recproca de p - * ~ q - q - > p. E a contrapositiva de - q - p :

~ p ~ q p -* q

( d) A contrapositiva. de ~ p -* ~ q :

' 9 * -p= q -* p

E a recproca de q -> p c p - q.

(7) Determinar;(a) A contrapositiva da recproca de x = 0 -+ x < 1(b) A contrapositiva da contrria de x < 1 \ < 3

Resoluo (a) A recproca de x = 0 - x < 1 c x


7. NEGAO DISJUNTA DE DUAS PROPOSIES

Definio Chama-se negao disjunta dc duas proposies p e .q a proposio no p ou no q, isto , simbolicamente ~ p V ~ q .

A negao disjunta de duas proposies p e q tambm se indica pela notao p t q . Portanto, temos:

p t q ' p V ~ q

Como a proposio ~ p V ~ q falsa somente no caso em que p e q so ambas verdadeiras, ento, a tabela-verdade de p t q c a seguinte:

p q p f qv v Fv F vF v vF F v

Os srnbolos t so chamados conectivos de SCIIEFFER ,

EXERCCIOS

1. Mostrar que as proposies p e q sao equivalentes ( p ^ q) cm cada um dos seguintes casos:

(a) p : l + 3 = 4 ; q : ( l + 3)2 = 16(b) p:senO = l ; q :c o s0 0;=:(c) p : 2o = 1; q : n

2. Exprimir a bicondicional p * q em funo dos trs conectivos: A, V e ~ . Resoluo Temos:

p q p -+ q( ) (p - -q ) A ( p ^ r ) * = * p - > q A r (f) (p - qj V (p r). p q V r(gJ (P q) "*1 *=* P A ~ r -> ~ q

4. Mostrar que as proposies x = l V x < 3 c {x < 3 A x = l ) no so equivalentes.

5. Demonstrar que o conectivo V ( ou exclusivo) exprime-se em funo dos trs conectivos A e V do seguinte modo:

p V q (p V q) A ~ (p A q)

Dern. Com efeito, as tabelas-vcrdade de p V q e (p V q) A - ( p A q) so idnticas:


p q p v q (P V q) A (P A

Dem. Realmente, o que demonstram as tres tabelas-vcrdadc seguintes:


(a)

p ~p P 1 Pv F FF v v

+ t

9. DemOmtxar que o conectivo V exprimose em funo unicamente de -* " pela equivalncia: p V q (p -* q) -* p-

10. Demonstrar que a negao conjunta e a negao disjunta gozam da propriedade comutativa, isto :

p 1 q

Captulo 7

lgebra das Proposies

I . PROPRIED/VIJES DA CONJUNO

Sejam p, q e r proposies simples quaisquer e sejam t c c proposies tambm simples cu|os valores lgicos respectivos so V(verdadc) c F(falsidade).

(a) Idempotente: p A p (^ * pDem. - Com efeito, so idnticas as t a b c l a s - v e T d a d e das proposies p A p c p, ou seja, a bicondiconal p A p^> p tautolgica:

p p A p p A p x < 0 A x < 0 = * x < 0

(b) Comutativa: p A q q A pDem. Com efeito, so idnticas as tabelas-vrdade das proposies p A q c q A p, ou seja, a bicondicional p A q ** q A p tautolgica:

p 4 p A q q A p p A q *-* q A p

v v v v vv F F F vF v F F vF F F F v

t t

Assim , p. ex ., temos:

(i) x 1 A X > 0 0 A x ^ 1(ii) t i > 3 A / r < 4 n < 4 A 7r > 3(iii) \[2 > 1 A s/~$ < 3 V T < 3 A V ? > I

(c) Associativa: (p A q) A r 1) A X < 3 X # 0 A (x > 1 A X < 3)

(d) Identidade; p A t < => p C pADem. Com efeito, so idnticas as tabelas-vordade das proposies p a t e p, p A c e c, ou seja, as bicondicionais p A t > p e p A c c so tautolgicas:

P t c p A P A C p A t - * p p A c f c

v v F v F v vF

v Ft

F

- t -

F

t

v v

Kstas propriedades exprim em quo t e c sao respectivam ente elemento neutro e elemento absorvente da conjuno.

Assim, p. ex., temos:

(i) x = 1 A I x | > 0 x = 1(ii) x ^ 1 A | x | < 0 *=> | x | < 0

I N I C I A A Q A L G I C A M A T E M T I C A 69

2. PROPRIEDADES DA DISJUNO

Sejam p, q e r proposies simples quaisquer e sejam t e c proposies tambmsimples cujos valores lgicos respectivos so V(verdade) e F(falsidade).

(a) Idempotente: p v p

(c) Associativa: (p v q) V rp v (q v r)Dem. Com efeito, so idnticas as tabelas-verdade das proposies (p v q) v re p v (q V r):


p q r p v q (p V q) V r q V r P V (q V r)v v v v v v vv v F v v v vv F v v v v vv F F v v F vF v v v v v vF v F v v v vF F v F v v vF F F F F

F F

t

Observc-se que a bieondicional (p v q) V r ** p v (q v r) tautolgica.Assim, p. ex., temos:

(i) (x # 1 V X > 2) V X < 4 x * 1 V (x> 2 V X < 4 )(ii) j a ^ b V b < c) v c < d **=> a ^ b v (b < c v c < d)

(d) Identidade: p V t t e p V c>p so tautolgicas:

P t c p v t p V c p v t - M t p V c p

v v F v v v vF

vt

F vt

F

v v

Estas propriedades exprimem que t e c so respectivamente elemento absorvente e elemento neutro da disjuno.Assim, p. ex., temos:

(i) x * 1 V 1 x | > 0 | x J > 0(ii) x * 1 V | x | < 0 =# x = 1

(ii) x * 0 V x2 < 0


3. PROPRIEDADES DA CONJUNO E DA DISJUNO

Sejam p, q e r proposies simples quaisquer.

(a) Distributivas:

(i) p a (q v r) *=> (p A q) V (p a r)0 0 P V (q A r) (p V q) A (p V r)

Dem. (i) Com efeito, so idnticas as tabelas-verdade das proposiesp A (q v r) e (p A q) V (p a r):

p q r q V r P A (q V r) P A q p A r (p A q) v (p A r)v v v v v v v vv v F v v v F vv F v v v F v vv F F F F F F FF v v v F F F FF v F v F F F FF F v v F F F FF F F F F

F F F

Obs-erve-sc quo a bieondicional p A (q V r) ^{p a q) v (p a r) tautolgica,(ii) Analogamente, so idnticas as tabelas-verdade das proposies p v (q A r)e (p v q) a (p V r):

P q r q A r P V (q A r) P v q p V r (p V q) A (p v r)v v v v v v v vv v F F v v v vv F v F v v v vv F F F v v v vF v v v v v v vF v F F F v F FF F v F F F v FF F F F F

F F F

Observe-se que a bicondicional p V (q a r) (p V q) A (p V r) c tautolgica. A equivalncia (i) exprime que a conjuno distributiva em relao disjuno e a equivalncia (ii) exprime que a disjuno distributiva em relao conjuno.

Assim, p, ex., segundo (i), a proposio:

Carlos estuda e Jorge ouve msica ou l4'

equivalente seguinte proposio:

Carlos estuda e Jorge ouve msica ou Carlos estuda e Jorge J

Segundo (ii), a proposio;

Chove ou faz vento e frio

equivalente seguinte proposio:

Chove ou faz vento e Chove ou faz frio"

(b) Absoro:

(i) p A (p V q) *=* P(ii) p V p A ^ ^ P

Dem. - (i) Com efeito, so idnticas as tabelas-verdade das proposies p A (p v l ) c P ou sca a bicondicional p a (p v q) *-* p tautolgica;


p q. p V q p A (P V q) p A (p V q)


(c) Regras de DE MORGAN (1806-1871):

(0 "(p Aq)^=>~pv' vq(ii) ~ (p v q) - p A ~ q

Dem. (i) Com efeito, so idnticas as tabelas-verdade das proposies ~ (p A q) c - p v ~ q :

p q P a q H P A q) ~ p - q - p v -qv v v F F F Fv F F v F v vF v F v v F vF F F v v v v

t

Observe-se que a bicondicional ~ (p A q) * ~ p v ~ q tautolgica.(ii) Analogamente, so idnticas as tabelas-vcrdadc das proposies - ( p V q)e -v-p a ~q:

p q p v q ~ (P V q) ~ p ~ q - p A ~ qv v v F F F Fv F v F F v FF v v F v F FF F F v v v v

t r

Observe-sc que a bcondcional - ( p V q ) ^ - p A - q c tautolgica.As Regras dc DE MORGAN ensinam:

(i) Negar que duas dadas proposies so ao mesmo tempo verdadeiras equivale a afirmar que uma pelo menos falsa.

(ii) Negar que uma pelo menos de duas proposies verdadeira equivale a afirmar que ambas so falsas.

Estas Regras de DE MORGAN podem exprimir-se ainda dizendo que a negao transforma a conjuno em disjuno e a disjuno em conjuno.Assim, p. ex,, segundo (i), a negao da proposio:

K inteligente e estuda

a proposio:

"Nao inteligente ou no estuda

Segundo (ii), a negao da proposio:

E mdico ou professor*

a proposio:

"No & mdico e no professor

NOTA As Regras de DE MORGAN mostram como possvel definir a disjuno a partir da conjuno e da negao, ou a conjuno a partir da disjuno e da negao:

pvq= > ~ (~ p A ~q ) p A ~ (~ p v ~ q )

4. NEGAO DA CONDICIONAL

Como p -> q q) ' p A - q

Esla cquivalncia tambm demonstrada pelas tabclas-vcrdadc das proposies ~ (p e p a ~q, que so idnticas:

74 E D G A R D DE A L E N C A R Fl LH O

p q p->q ~(p -* q) ~ q P A ~ qv v v F F Fv F F v v vF v v F F FF F v F v F

t t

NOTA A condicional p -* q no goza das propriedades idempotente, comutativa e associativa, pois, as tabelas-verdade das proposies p - > p e p , p -^ q e q -> p, (p -> q) r e p (q -> r) no so idnticas.

5. NEGAO DA B1CONDICIONAL

Como p p) (Cap. 6, 3, Ex. 5), temos:

P - q


e, portanto:

M.p q) ^ v q ) v ~ (~ q iv p )~ (P +-+ q) => (~ ~ p A ~ q ) V (---- q A - p )

ou seja:

~(p 9) ^ ( P A ~q) v (*P A q)

Esta equivalncia tambm c demonstrada pelas tabelas-verdade das proposies - ( p q) c (p A ~ q ) V (~- p A q), que so idnticas:

(P q) (P A q) V (~P A q)

f v v v v F F F F F vv v F F v v v v F F Fv F F v F F F v v v vF

t

F v F F F v F

t

v F F

As tabelas-verdade das proposies M p * q), p ** ~ q e ~ p ^q so idnticas:

P 9 P * * 9 ~ (p+-*q) ~ q p - q ~p ~p*-> q

v v v F F F F Fv F F v v v F vF v F v F v v v

F F v F

t

v F

t

v F

t

PortantO, subsistem as equivalncias:

~(p + -* q)

76 EDGARD DE ALENCAR FILHO

2. Demonstrar por tabelas-verdade as equivalencias:

(a) p -> q A r r) (b) p - + q v r => (p -> q) v (p - )

Dem. (a) Com efeito, so idnticas as tabelas-verdade das proposies p -> qA re (p q) a (p - r ) :

P q A r (P q) A (p -> r)

v V v v v v v v v v v v v F v F F v v v F v F F

v F F F v v F F F v v vv F F F F v F F F v F FF v v v v F v v v F v vF v v F F F v v v F v FF v F F v F v F v F v vF v F F F F v F v F l v F

t t

(b) Analogamente, so idnticas as tabelas-verdade das proposies p -+ q V r e(P + q) v (p -> r):

p q V r (P 4) V (P -* , r)v v v v v v v v v v v vv v v v F v v v v v F Fv v F v v v F F v v v vv F F F F v F F F v F FF v v v v F v v v F v vF v v v F F v v v F v FF v F v v F v F v F v vF v F F F F v F v F v F

t t

A equivalncia (a) exprime que a condicional distributiva esquerda emrelao conjuno e a equivalncia (b) exprime que a condicional distributiva esquerda em relao disjuno.A condicional no 6 distributiva direita em relao i nenhuma dessas duasoperaes (conjuno e disjuno).

3. Dar a negao em linguagem corrente da proposio: Rosas so vermelhas evioletas so a7.uis .


Resoluo Denotando por p a proposio Rosas so vermelhas c por q a proposio Violetas so azuis , a proposio dada sob forma simblica cscreve-se p a q , cuja negao (P A O)

Captulo O

Mtodo Dedutivo

1. Todas as implicaes c equivalncias foram demonstradas ate aqui pelo Mtodo das tabelas-verdade . Vamos agora exemplificar a demonstrao de implicaes e equivalencias por um mtodo mais eficiente, denominado Mtodo dedutivo.

No emprego do Mtodo dedutivo desempenham papel importante as equivalencias relativas lgebra das Proposies , que, observamos, subsistem quando as proposies simples p, q, r, t (verdadeira) e c (falsa), que nelas figuram,so substitudas respectivamente por proposies com postas P, Q, R, I (tautologa) c C (contradio).

2. EXEMPLIFICAO

(1) Demonstrar as implicaes:

(i) c => p (ii) p =* t

onde p urna proposio qualquer c c e t sao proposies cujos valores lgicos respectivos so F(falsidade) c V(verdadc).Dem. - Temos, sucessivamente:

(i) c p *=> ~ c V p t v p p p-M

v F v v vF F

v v v


(2) Demonstrar a implicao: p A q => p (Simplificao)Dem. Temos, sucessivamente:

p A q -*P *=* ~ (p A q) v p => (~ p V ~ q ) V p (~ p v p) V ~ q ^ T V ~ q * = T

(3) Demonstrar a implicao: p=>p V q (Adio)Dem. Temos, sucessivamente:

p -> p V q *=> ~ p V (p V q) (~ p V p) V q T V q T

(4) Demonstrar a implicao: (p * q) A p =* q (Modus ponens)Dem. Temos, sucessivamente:

(P ) A P P A ( ' P Vq) q) A ~ q ~ p (Modus tollens)Dem. Temos, sucessivamente:

(p - q) A q *= (~ p V q) A ~ q = ( - p A - q ) V (q V ~-q)(p a ~ q ) V C a ~q^> ~ p

(6) Demonstrar a implicao: (p v q) A ~ p = q (Silogismo disjuntivo)Dem. Temos, sucessicamente:

(p v q) A ~ p *=* (p A"*-p) V (q A - p ) => C V (q a ~ p ) ^ q A - p ^ q

(7) Demonstrar a implicao: p a q * p V qDem. Temos, sucessivamente:

p A q - p V q *=* ~ (p A q) V (p V q) p) ' T V ~qT

p V (~ q V p) (-p v p ) V ^ q

(9) Demonstrar a implicao: p=>~p-*-q Dem. Temos, sucessivamente:

p -> (~ p -* q ) = -p V (~ p - q) => - p V {~ p V q )< = > ~ p V (p V q ) ( ~ p V p) V q

(10) Demonstrar a implicao: p-> q=>p A r -* q Dem. Temos, sucessivamente:

(p q ) -> ( p a r q ) p A ~q- q ) A ( p -* ~ q ) * * ( ~ , p V q ) A ( ~ p V ~ q ) ~ p V (q A ~ q )

*=* p V C ~ p

(14) Demonstrar a equivalncia: p A q - r *=* p - (q -* r) (Ex p or taao-I mporta o) Dem. Temos, sucessivamente:

p -> -(q - r) ~ p V ( q - > r) = > ~ p V ( ~ q V r ) ( - p V ~ q ) V r

< => ( p A q ) V r * * p A q r

(15) Demonstrar a equivalncia: (p - r) A (q - r) p v q rDem. Temos, sucessivamente:

( p -> r) A ( q -> r) ( - p V r) A ( ~ q V r ) ( ~ p A ~ q ) V r

~ ( p V q ) V r < = > p V q ^ r

(16) Demonstrar a equivalncia: (p -* q) V (p - r) => p - * q v i Dem. Temos, sucessivamente:

( p -> q ) V ( p -> r) =* ( ~ p V q) V ( - p v r)

IN IC I A O L G I C A M A T E M T I C A 81

(17) Demonstrar a equivalncia: (p -* r) v (q 7+ s) r V s Dem. - Temos, sucessivamente:

(p - r) V (q -> s) r V s

(18) Demonstraras equivalencias:

(a) ~ p p 4 p(b) p A q (p 4 p) 1 (q 4 q)(c) p v q < ^ ( p l q) 1 (p 4 q)(d) p -> q ((p l p) 4 q ) 4 ((p 4 p) 4 q)

Dem. Temos, sucessivamente:

(a) ~-p ~ p A ~ p p 4 p(b) p A q

(2) V , -+ c exprimem-se e m te r m o s de ~ e A :

p V q - ^ > - p V ~ ~ q * = s > - ~ ( ~ p A ~ q )

p -> q * = * V q q(p-> q ) A ( q -* p ) =* ~ ( p A ~ q ) A ~ ( ~ p A q )

(3) A , v e exprimem-se em termos de e -:

p A q ***. . ^ ( ~ p v ~ q ) ~ ( p -> ~ q )

pV q< = > ~ p V q qp p e la equivalncia:

p V q < > (p -> q ) -> q.Todos os conectivos exprimem-se em termos de um n ic o : 1 ou t , cortforme

mostrou A. M. SCHEFFBR em 1913 (2, Ex. 18 e 19).

8 2 E D G A R D DE A L N C A R F I L H O

4 FORMA NORMAL DAS PROPOSIES

Deinio - Diz-se que uma proposio est na forma normal (FN) se esomente se, quando muito, contm os conectivos ~ , A e v .

Exemplificando, esto na forma normal (FN) as seguintes proposies:

- p A ~ q , ~ ( ~ p V ~ q ) , ( p A q) V (~ q V r)

Toda a proposio pode ser levada para uma FN equivalente pela eliminao dos conectivos -> e , sc existirem, isto , pela substituio de p q por ~ p V q e de p q por (~ p v q) A (p V ~q).

H duas espccies de FN para uma proposio: a forma normal conjuntiva(FNC) e a forma normal disjuntiva (FND), que a seguir vamos definir c exemplificar.

5. FORMA NORMAL CONJUNTIVA

Definio - Diz-se que uma proposio est na forma normal conjuntiva (FNC) se c somente sc so verificadas as seguintes condies:

(1) Contm, quando muito, os conectivos A e V ;(2) ~ no aparece repetido (como ~ ~ ) e no tem alcance sobre A e v

(isto , s incidc sobre letras proposicionais);(3) v no tem alcance sobre a (isto e, no h componentes do tipo p V (q a r)).


Exemplificando, esto na FNC as seguintes proposies:

~ p v ~ q , -~p A q A r, ( - p V q) A (~ q V ~ r )

Para toda pToposio pode-se determinar uma FNC equivalente mediante as seguintes transformaes:

(.1) Eliminando os conectivos -* c mediante a substituio de p ^ -q por ~ p v q e de p ^ q por (~ p v q) A (p v ~ q);

(2) Eliminando negaes repetidas e parntesis precedidos dc ~ pelas regras da Dupla negao e de DE MORGAN;

(3) Substituindo p v (q A r) e (p A q) v r pelas suas equivalentes respectivas (p v q) A (p v r> e (p v r) A (q v r).

Lxemplos:

(1) Determinar a FNC da proposio (((p v q) A ^q ) v (q A r))Resoluo Temos, sucessivamente:

~ ( ( p V q ) A ' q) A ~ ( q A r ) (~ (p V q ) V - ~ q ) A ( ~ q V ~ r ) ( ( - p A - q ) V q ) A ( - q v - r )< > ( - p v q) A (~ q v q) A(~-qV ~ r)

Observe-sc que uma outra FNC da proposio dada c:

0 ~ P V q) A ( ~ q V ~ r )

equivalente anterior. Assim sendo, uma mesma proposio pode ter mais de uma FNC, mas equivalentes.

(2) Determinara FNC da proposio: ( p -> q)^+ ( - q * - p)Resoluo Temos, sucessivamente:

t e p V q ) ^ (> - q V - p ) *=* ( - p V q) * (q V ~ p )( - ( ~ p v q ) V ( q V - p ) ) A ( ( ~ p V q ) V ~ (q V ~ p)) ( ( ----- p A ~ q ) V ( q V - p ) ) A ( ( ~ p V q ) V ( ~ q A - p ) ) ^

((p A ~ q ) V (q V ~ p ) ) A ( ( ~ p V q ) V ( ~ q A p)>( p V q V - p ) A (~ ~ q V q V ~ p ) A ( ~ p v q V ~ q ) A ( ~ p V q V p)

Observe-se que a proposio dada tautolgica, pois, cada elemento da sua FNC tautolgico. Realmente, o 19 elemento contm p c ~ p , o 29 elemento contm q e - q, o 3? elemento contm q c ~ q , e, finalmente, o 49 elemento contm p e ~ p .De modo geral, tautolgica toda a proposio cujos elementos da sua FNC encerram, cada uni deles, uma proposio e a sua negao, isto , cujos elementos so todos tautolgicos.

(3) Determinar a PNC da proposio: p (p V q V - t ) A (' (q V ~ r ) V p)

I N I C I A O A L G I C A M A T E M T I C A 85

(2) Determinar a FN'D da proposio: ~ (((p V q) A ~ q ) V (q A t))Resoluo Temos, sucessivamente:

~ ( ( p v q ) A ~ q ) A ~ (q A r ) ( ~ ( p V q ) V ' q) A ( ~ q V ~ r ) p deduz-se, pelo Princpio de dualidade, a equivalncia p v (p A q )< = p .

Analogamente, a partir de (p A ~ p ) v deduz-se, pelo Princpio dcdualidade: (p v ~ p ) A q*=* q.

EXERCCIOS

1. Demonstrar as equivalencias:

( a ) p A ( p v q ) *= p ( b )

Dem. Temos, sucessivamente:

(a) p A (p V q ) (p V c) A (p V q ) ^(b) p v (p A q ) p

p V (c A q) p V C p p A (t v q ) ^ p A t p

2. Simplificar as proposies:

(a) '~L'- p -> '-q ) ( b ) - ( p V q ) v (~ p A q )


(a) - ( - p -+ ~ q ) ~ ( ~ ~ p v ~ q ) ^ ~ (P v ~ q ) ^ ~ P A 9( b ) - ( p V q ) v ( - v p A q ) ( p A ~ q ) V ( ~ p A q ) ~ q )

4. Demonstrar a equivalncia: p -> q ((p t p) t (p f p)} ^ (q t q)

5. Usar o Mtodo dedutivo para demonstrar;

( a ) p A - p = > q ( b ) ~ p - * p < = > p

( c ) p ^ p A q p - ^ q ( d ) (p q) -+ q p V q(e) ( p - r) V (q -* r) p A q ^ i( 0 (p -^ q ) A (?-* r ) = * p - > q A r

6. Demonstrar: p t q *=* ((p 4- p) 4- (q l q)) l ((p f p) l (q i q))

7. Determinar uma forma normal conjuntiva (FNC) equivalente para cada umadas seguintes proposies:

8 6 D G A R D DE A L E N C A R F I L H O

(a) p -^ q (b) p - ^ p

( c > p 4- - p (d) p v ~ p(e) p t q ( f ) p t p

(g) p t ~ p (H)

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