1614 APOSTILA Matematica - EXTENSIVO - Professor Roberto

2012

Professor

Roberto Bayestorff

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MATEMÁTICA EXTENSIVO

____________ _____________________________ MATEMÁTICA _________________________________ Prof. Roberto

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MATEMÁTICA

Prof. Roberto Bayestorff

1 Conjunto

Trata-se de uma coletânea de qualquer coisa. É um conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição.

Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12, ... }. Esta forma de representar um conjunto, pela enumeração dos seus elementos, chama-se forma de listagem. O mesmo conjunto também poderia ser representado por uma propriedade dos seus elementos, ou seja, sendo x um elemento qualquer do conjunto P acima, poderíamos escrever: P = { x | x é par e positivo } = { 2,4,6, ... }.

1.1 Relação de pertinência

Sendo x um elemento do conjunto A , escrevemos x ∈∈∈∈ A , onde o símbolo ∈∈∈∈ significa "pertence a". Sendo y um elemento que não pertence ao conjunto A , indicamos esse fato com a notação y ∉∉∉∉ A. O conjunto que não possui elementos , é denominado conjunto vazio e representado por φ ou por { }.. Com o mesmo raciocínio, e, opostamente, ao conjunto vazio, define-se o conjunto ao qual pertencem todos os elementos, denominado conjunto universo, representado pelo símbolo U. Assim é que, pode-se escrever como exemplos: ∅∅∅∅ = { x; x ≠≠≠≠ x} e U = {x; x = x}.

1.2 Subconjunto

Se todo elemento de um conjunto A também pertence a um conjunto B, então dizemos que A é subconjunto de B e indicamos isto por A ⊂⊂⊂⊂ B.

Notas: a) todo conjunto é subconjunto de si próprio. ( A ⊂⊂⊂⊂ A ) b) o conjunto vazio é subconjunto de qualquer conjunto. (∅∅∅∅ ⊂⊂⊂⊂ A) c) se um conjunto A possui m elementos então ele possui 2m subconjuntos. d) o conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {c, d} , o conjunto das partes de A é dado por P(A) = {φφφφ , {c}, {d}, {c,d}} e) um subconjunto de A é também denominado parte de A.

1.3 Conjuntos numéricos fundamentais

Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:

Conjunto dos números naturais N = {0,1,2,3,4,5,6,... }

Conjunto dos números inteiros Z = {..., -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,... } Obs: é evidente que N ⊂ Z.

Conjunto dos números racionais Q = {x; x = p/q com p ∈ Z , q ∈ Z e q ≠ 0 }. Temos então que número racional é aquele que pode ser escrito na forma de uma fração p/q onde p e q são números inteiros, com o denominador diferente de zero. Lembre-se que não existe divisão por zero!. São exemplos de números racionais:


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2/3, -3/7, 0,001=1/1000, 0,75=3/4, 0,333... = 1/3, 7 = 7/1, etc. Notas:

a) é evidente que N ⊂⊂⊂⊂ Z ⊂⊂⊂⊂ Q. b) toda dízima periódica é um número racional, pois é sempre possível escrever uma dízima periódica na forma de uma fração. Exemplo: 0,4444... = 4/9

Conjunto dos números irracionais I = {x; x é uma dízima não periódica}. Exemplos de números irracionais: π = 3,1415926... (número pi = razão entre o comprimento de qualquer circunferência e o seu diâmetro) 2,01001000100001... (dízima não periódica) √ 3 = 1,732050807... (raiz não exata). Conjunto dos números reais R = { x; x é racional ou x é irracional}. Notas: a) é óbvio que N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R b) I ⊂ R c) I ∪ Q = R d) um número real é racional ou irracional, não existe outra hipótese!

1.4 Intervalos numéricos

Dados dois números reais p e q, chama-se intervalo a todo conjunto de todos números reais compreendidos entre p e q , podendo inclusive incluir p e q. Os números p e q são os limites do intervalo, sendo a diferença p - q , chamada amplitude do intervalo. Se o intervalo incluir p e q , o intervalo é fechado e caso contrário, o intervalo é dito aberto. A tabela abaixo, define os diversos tipos de intervalos.

TIPOS REPRESENTAÇÃO OBSERVAÇÃO INTERVALO FECHADO [p;q] = {x ∈∈∈∈ R; p ≤≤≤≤ x ≤≤≤≤ q} inclui os limites p e q INTERVALO ABERTO (p;q) = { x ∈∈∈∈ R; p <<<< x <<<< q} exclui os limites p e q INTERVALO FECHADO A ESQUERDA [p;q) = { x ∈∈∈∈ R; p ≤≤≤≤ x <<<< q} inclui p e exclui q INTERVALO FECHADO À DIREITA (p;q] = {x ∈∈∈∈ R; p <<<< x ≤≤≤≤ q} exclui p e inclui q INTERVALO SEMI-FECHADO [p;∞∞∞∞ ) = {x ∈∈∈∈ R; x ≥≥≥≥ p} valores maiores ou iguais a p. INTERVALO SEMI-FECHADO (- ∞∞∞∞ ; q] = { x ∈∈∈∈ R; x ≤≤≤≤ q} valores menores ou iguais a q. INTERVALO SEMI-ABERTO (-∞∞∞∞ ; q) = { x ∈∈∈∈ R; x <<<< q} valores menores do que q. INTERVALO SEMI-ABERTO (p; ∞∞∞∞ ) = { x >>>> p } valores maiores do que p.

Nota: é fácil observar que o conjunto dos números reais, (o conjunto R) pode ser representado na forma de intervalo como R = ( -∞∞∞∞ ; + ∞∞∞∞ ).

1.5 Operações com conjuntos

1.5.1 União ( ∪∪∪∪ )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto união A ∪∪∪∪ B = { x; x ∈∈∈∈ A ou x ∈∈∈∈ B}. Exemplo: {0,1,3} ∪ { 3,4,5 } = { 0,1,3,4,5}. Percebe-se facilmente que o conjunto união contempla todos os elementos do conjunto A ou do conjunto B.

Propriedades imediatas: a) A ∪ A = A b) A ∪ φ = A


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c) A ∪ B = B ∪ A (a união de conjuntos é uma operação comutativa) d) A ∪ U = U , onde U é o conjunto universo.

1.5.2 Interseção ( ∩∩∩∩ )

Dados os conjuntos A e B , define-se o conjunto interseção A ∩∩∩∩ B = {x; x ∈∈∈∈ A e x ∈∈∈∈ B}. Exemplo: {0,2,4,5} ∩ { 4,6,7} = {4}. Percebe-se facilmente que o conjunto interseção contempla os elementos que são comuns aos conjuntos A e B.

Propriedades imediatas: a) A ∩ A = A b) A ∩ ∅ = ∅ c) A ∩ B = B ∩ A ( a interseção é uma operação comutativa) d) A ∩ U = A onde U é o conjunto universo.

São importantes também as seguintes propriedades : P1. A ∩ ( B ∪ C ) = (A ∩ B) ∪ ( A ∩ C) (propriedade distributiva) P2. A ∪ ( B ∩ C ) = (A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C) (propriedade distributiva) P3. A ∩ (A ∪ B) = A (lei da absorção) P4. A ∪ (A ∩ B) = A (lei da absorção) Obs: Se A ∩ B = φ , então dizemos que os conjuntos A e B são disjuntos.

1.5.3 Diferença

A - B = {x ; x ∈ A e x ∉ B} Observe que os elementos da diferença são aqueles que pertencem ao primeiro conjunto, mas não pertencem ao segundo. Exemplos: { 0,5,7} - {0,7,3} = {5}. {1,2,3,4,5} - {1,2,3} = {4,5}.

Propriedades imediatas: a) A - φ = A b) φ - A = φ c) A - A = ∅ d) A - B ≠ B - A ( a diferença de conjuntos não é uma operação comutativa).

1.5.3.1 Complementar de um conjunto

Trata-se de um caso particular da diferença entre dois conjuntos. Assim é , que dados dois conjuntos A e B, com a condição de que B ⊂⊂⊂⊂ A , a diferença A - B chama-se, neste caso, complementar de B em relação a A . Simbologia: CAB = A - B. Caso particular: O complementar de B em relação ao conjunto universo U, ou seja , U - B ,é indicado pelo símbolo B' .Observe que o conjunto B' é formado por todos os elementos que não pertencem ao conjunto B, ou seja: B' = {x; x ∉∉∉∉ B}. É óbvio, então, que:

a) B ∩ B' = φ b) B ∪ B' = U c) φ' = U d) U' = φ

1.6 Partição de um conjunto

Seja A um conjunto não vazio. Define-se como partição de A, e representa-se por part(A), qualquer subconjunto do conjunto das partes de A (representado simbolicamente por P(A), que satisfaz simultaneamente, às seguintes condições: 1 - nenhuma dos elementos de part(A) é o conjunto vazio.


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2 - a interseção de quaisquer dois elementos de part(A) é o conjunto vazio. 3 - a união de todos os elementos de part(A) é igual ao conjunto A.

Exemplo: Seja A = {2, 3, 5} Os subconjuntos de A serão: {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, e o conjunto vazio - Ø. Assim, o conjunto das partes de A será: P(A) = { {2}, {3}, {5}, {2,3}, {2,5}, {3,5}, {2,3,5}, Ø } Vamos tomar, por exemplo, o seguinte subconjunto de P(A): X = { {2}, {3,5} } Observe que X é uma partição de A - cuja simbologia é part(A) - pois: a) nenhum dos elementos de X é Ø . b) {2} ∩ {3, 5} = Ø c) {2} U {3, 5} = {2, 3, 5} = A Sendo observadas as condições 1, 2 e 3 acima, o conjunto X é uma partição do conjunto A. Observe que Y = { {2,5}, {3} } ; W = { {5}, {2}, {3} }; S = { {3,2}, {5} } são outros exemplos de partições do conjunto A. Outro exemplo: o conjunto Y = { {0, 2, 4, 6, 8, ...}, {1, 3, 5, 7, ...} } é uma partição do conjunto N dos números naturais, pois {0, 2, 4, 6, 8, ...} ∩ {1, 3, 5, 7, ...} = Ø e {0, 2, 4, 6, 8, ...} U {1, 3, 5, 7, ...} = N .

1.7 Número de elementos da união de dois conjuntos

Sejam A e B dois conjuntos, tais que o número de elementos de A seja n(A) e o número de elementos de B seja n(B). Nota: o número de elementos de um conjunto, é também conhecido com cardinal do conjunto. Representando o número de elementos da interseção A ∩∩∩∩ B por n(A ∩∩∩∩ B) e o número de elementos da união A ∪∪∪∪ B por n(A ∪ B) , podemos escrever a seguinte fórmula: n(A ∪∪∪∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩∩∩∩ B)

2 Frações

O símbolo significa a:b, sendo a e b números naturais e b diferente de zero.

Chamamos:

de fração; a de numerador b de denominador.

Se a é múltiplo de b, então é um número natural.

Veja um exemplo:

A fração é igual a 8:2. Neste caso, 8 é o numerador e 2 é o denominador. Efetuando a divisão de 8 por 2,

obtemos o quociente 4. Assim, é um número natural e 8 é múltiplo de 2.

Durante muito tempo, os números naturais foram os únicos conhecidos e usados pelos homens. Depois começaram a surgir questões que não poderiam ser resolvidas com números naturais. Então surgiu o conceito de número fracionário.

2.1 O significado de uma fração


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Algumas vezes, é um número natural. Outras vezes, isso não acontece. Neste caso, qual é o significado de

?

Uma fração envolve a seguinte idéia: dividir algo em partes iguais. Dentre essas partes, consideramos uma ou algumas, conforme nosso interesse.

Exemplo: Monique comeu de um chocolate. Isso significa que, se dividíssemos o chocolate em 4 partes iguais, Monique teria comido 3 partes:

Na figura acima, as partes pintadas seriam as partes comidas por Monique, e a parte branca é a parte que sobrou do chocolate.

2.2 Classificação das frações

Fração própria: o numerador é menor que o denominador:

Fração imprópria: o numerador é maior ou igual ao denominador.

Fração aparente: o numerador é múltiplo do denominador.

2.3 Frações equivalentes

Frações equivalentes são frações que representam a mesma parte do todo.

Exemplo: são equivalentes

Para encontrar frações equivalentes devemos multiplicar o numerador e o denominador por um mesmo número natural, diferente de zero.

Exemplo: obter frações equivalentes à fração .


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Portanto as frações são algumas das frações equivalentes a .

2.4 Simplificação de frações

Uma fração equivalente a , com termos menores, é . A fração foi obtida dividindo-se ambos os termos da

fração pelo fator comum 3. Dizemos que a fração é uma fração simplificada de .

A fração não pode ser simplificada, por isso é chamada de fração irredutível. A fração não pode ser simplificada porque 3 e 4 não possuem nenhum fator comum

2.5 Números fracionários

Seria possível substituir a letra X por um número natural que torne a sentença abaixo verdadeira?

5 . X = 1

Substituindo X, temos:

X por 0 temos: 5.0 = 0 X por 1 temos: 5.1 = 5.

Portanto, substituindo X por qualquer número natural jamais encontraremos o produto 1. Para resolver esse problema temos que criar novos números. Assim, surgem os números fracionários.

Toda fração equivalente representa o mesmo número fracionário.

Portanto, uma fração (n diferente de zero) e todas frações equivalentes a ela representam o mesmo número

fracionário .

Resolvendo agora o problema inicial, concluímos que X = , pois .

2.6 Adição e subtração de números fracionários

Temos que analisar dois casos:

1º) denominadores iguais

Para somar frações com denominadores iguais, basta somar os numeradores e conservar o denominador.

Para subtrair frações com denominadores iguais, basta subtrair os numeradores e conservar o denominador.

Observe os exemplos:


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2º) denominadores diferentes

Para somar frações com denominadores diferentes, uma solução é obter frações equivalentes, de

denominadores iguais ao m.m.c dos denominadores das frações. Exemplo: somar as frações .

Obtendo o m.m.c dos denominadores temos m.m.c(5,2) = 10.

(10:5).4 = 8

(10:2).5 = 25

Resumindo: utilizamos o m.m.c para obter as frações equivalentes e depois somamos normalmente as frações, que já terão o mesmo denominador, ou seja, utilizamos o caso 1.

2.7 Multiplicação e divisão de números fracionários Na multiplicação de números fracionários, devemos multiplicar numerador por numerador, e denominador por denominador, assim como é mostrado nos exemplos abaixo:

Na divisão de números fracionários, devemos multiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda, como é mostrado no exemplo abaixo:

2.8 Potenciação e radiciação de números fracionários Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente, conforme os exemplos abaixo:


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Na radiciação, quando aplicamos a raiz quadrada a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador, conforme o exemplo abaixo:

2.9 Dízimas periódicas

Há frações que não possuem representações decimal exata. Por exemplo:

1/3 = 0,333333..... 19/90 = 0,211111...

Aos numerais decimais em que há repetição periódica e infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome de numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.

Numa dízima periódica, o algarismo ou algarismos que se repetem infinitamente, constituem o período dessa dízima.

As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simples e dízimas periódicas compostas. Exemplos:

(período: 5) (período: 3) (período: 12)

São dízimas periódicas simples, uma vez que o período apresenta-se logo após a vírgula.

São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre o período e a vírgula existe uma parte não periódica.

Observações:

Consideramos parte não periódica de uma dízima o termo situado entre a vírgula e o período. Excluímos portanto da parte não periódica o inteiro.

Podemos representar uma dízima periódica das seguintes maneiras:

2.10 Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional) que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos esta fração de geratriz da dízima periódica.

Procedimentos para determinação da geratriz de uma dízima:

2.10.1 Dízima simples

A geratriz de uma dízima simples é uma fração que tem para numerador o período e para denominador tantos noves quantos forem os algarismos do período.


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Exemplos:

2.10.2 Dízima Composta

A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , onde

n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica.

d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica.

Exemplos:

2.11 Múltiplos e divisores naturais 2.11.1 Múltiplo e divisor de um número natural

Dizemos que um número natural n divide um número natural m, quando m : n não deixa resto, ou seja, a divisão é exata. Representamos simbolicamente: n|m. Nestas condições, n é um divisor de m e m é um múltiplo de n. Exemplos: 2 divide 16 ou seja, 2|16 porque 16:2 = 8 e resto = zero. Portanto, 2 é divisor de 16 e 16 é múltiplo de 2. 5 divide 35 ou seja, 5|35 porque 35:5 = 7 e resto = zero. Portanto, 5 é divisor de 35 e 35 é múltiplo de 5. 7 divide 105 ou seja, 7|105 porque 105:7 = 15 e resto = zero. Portanto, 7 é divisor de 105 e 105 é múltiplo de 7. Observações: a) O conjunto dos divisores naturais de n será representado por D(n). Exemplos: D(3) = {1,2,3} D(20) = {1,2,4,5,10,20} D(6) = {1,2,3,6} b) O conjunto dos múltiplos naturais de n será representado por M(n). Exemplos: M(2) = {0,2, 4, 6, 8, ...} M(5) = {0,5,10,15, ...} c) Os múltiplos de 2 são denominados números pares. Os demais números naturais são denominados números ímpares. Assim, denotando por P o conjunto dos números pares e por I o conjunto dos números ímpares, poderemos escrever: P = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... }


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I = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ... } Observa-se que ambos os conjuntos são infinitos.

2.11.2 Propriedades imediatas

P1) A unidade (ou seja, o número 1) divide qualquer número natural ou seja, n/1, para todo n natural. P2) Zero não divide nenhum número natural, ou seja, não existe divisão por zero. Imagine se você tivesse que dividir dez objetos por zero pessoas. Claro que isto não seria possível. Grave bem isto: a divisão por zero não existe. P3) Todo número natural diferente de zero, divide o número zero, ou seja, para n ≠ 0, 0/n, para todo n não nulo. P4) Todo número natural diferente de zero, divide a si próprio, ou seja, para n ≠ 0, n / n para todo n não nulo. Esta propriedade é conhecida como propriedade reflexiva. P5) Sendo m, n e p três números naturais, se m/ p e p / n então m/ n. Esta propriedade é conhecida com propriedade transitiva. Exemplo: 2 divide 6 pois 6 : 2 = 3 (divisão exata). 6 divide 42 pois 42 : 6 = 7 (divisão exata). Logo, 2 divide 42. Realmente, 42 :2 = 21 (divisão exata). P6) Todo número natural não nulo, é múltiplo de si mesmo. Isto decorre da propriedade P4. P7) Zero é múltiplo de todo número natural não nulo. Isto decorre da propriedade P3. ( p ≠ 1) é primo quando ele só possui dois divisores: ele próprio e a unidade. Caso contrário, o número é composto. Assim, se o conjunto dos divisores naturais de p, representado por D(p), for igual a D(p) = {1, p}, p é um número primo. Ora, os divisores de 2, são apenas a unidade (1) e ele mesmo (2). Logo, 2 é um número primo. Portanto, 2 é o único número natural primo que é par. Sendo ℘ o conjunto dos números primos, poderemos escrever: ℘ = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47, 53, 57, 59, 61, ..., 359, ... , } O conjunto dos números primos é infinito. Todo número composto pode ser escrito como um produto de números primos. Isto é conhecido como Teorema Fundamental da Aritmética – TFA. Exemplos: 12 = 3.2.2 15 = 3.5 49 = 7.7 105 = 7.5.3 240 = 2.120 = 2.5.2.2.2.3 = 5.24.3 Na prática, podemos usar o seguinte esquema:

Seja o caso de 240 acima. Teremos:

240 |2 120 |2 60 |2 30 |2 15 |3 5|5 1|


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Então: 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5 A decomposição de um número em fatores primos, é conhecida também como fatoração , já que o número é decomposto em fatores de uma multiplicação. 3 m.d.c. – Máximo divisor comum

Dois números naturais sempre têm divisores comuns. Por exemplo: os divisores comuns de 12 e 18 são 1,2,3 e 6. Dentre eles, 6 é o maior. Então chamamos o 6 de máximo divisor comum de 12 e 18 e indicamos m.d.c.(12,18) = 6.

O maior divisor comum de dois ou mais números é chamado de máximo divisor comum desses números. Usamos a abreviação m.d.c.

Alguns exemplos: mdc (6,12) = 6 mdc (12,20) = 4 mdc (20,24) = 4

3.1 Cálculo do m.d.c.

Um modo de calcular o m.d.c. de dois ou mais números é utilizar a decomposição desses números em fatores primos.

1) decompomos os números em fatores primos; 2) o m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns.

Acompanhe o cálculo do m.d.c. entre 36 e 90: 36 = 2 x 2 x 3 x 3 90 = 2 x 3 x 3 x 5

O m.d.c. é o produto dos fatores primos comuns => m.d.c.(36,90) = 2 x 3 x 3 Portanto m.d.c.(36,90) = 18.

Escrevendo a fatoração do número na forma de potência temos: 36 = 22 x 32 90 = 2 x 32 x5 Portanto m.d.c.(36,90) = 2 x 32 = 18.

O m.d.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns a eles, cada um elevado ao menor expoente.

3.1.1 Cálculo do m.d.c. pelo processo das divisões sucessivas

Nesse processo efetuamos várias divisões até chegar a uma divisão exata. O divisor desta divisão é o m.d.c. Acompanhe o cálculo do m.d.c.(48,30).

Regra prática:

1º) dividimos o número maior pelo número menor; 48 / 30 = 1 (com resto 18)


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2º) dividimos o divisor 30, que é divisor da divisão anterior, por 18, que é o resto da divisão anterior, e assim sucessivamente; 30 / 18 = 1 (com resto 12)

18 / 12 = 1 (com resto 6)

12 / 6 = 2 (com resto zero - divisão exata)

3º) O divisor da divisão exata é 6. Então m.d.c.(48,30) = 6.

3.1.2 Números primos entre si

Dois ou mais números são primos entre si quando o máximo divisor comum desses números é 1.

Exemplos: Os números 35 e 24 são números primos entre si, pois mdc (35,24) = 1. Os números 35 e 21 não são números primos entre si, pois mdc (35,21) = 7.

3.2 Propriedade do m.d.c.

Dentre os números 6, 18 e 30, o número 6 é divisor dos outros dois. Neste caso, 6 é o m.d.c.(6,18,30). Observe:

6 = 2 x 3 18 = 2 x 32 30 = 2 x 3 x 5 Portanto m.d.c.(6,18,30) = 6

Dados dois ou mais números, se um deles é divisor de todos os outros, então ele é o m.d.c. dos números dados.

Dados dois números naturais a e b não nulos, define-se o máximo divisor comum – m.d.c. como sendo o maior natural que divide simultaneamente a e b.

O m.d.c. de dois números será indicado por (a, b).

Óbvio que se tivermos o m.d.c. de n números naturais a1, a2, a3, ... , an , indicaremos por (a1, a2, a3, ... , an) Exemplos: Determine o m.d.c. dos naturais 10 e 14, ou seja, determine (10, 14). Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10. Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14. Os divisores comuns, são, portanto: 1 e 2.

Portanto, o máximo divisor comum é igual a 2 e, indicamos: (10, 14) = 2. Pode-se indicar também como: m.d.c.(10,14) = 2. Preferimos a primeira forma, por ser mais sintética. Determine (4, 10, 14, 60), ou seja, o m.d.c. dos números naturais 4,10,14 e 60. Os divisores positivos de 4 são: 1, 2, 4 Os divisores positivos de 10 são: 1, 2, 5, 10 Os divisores positivos de 14 são: 1, 2, 7, 14 Os divisores positivos de 60 são: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 60


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Os divisores comuns são, portanto: 1 e 2.

Portanto o m.d.c é igual a 2, ou seja: (4, 10, 14, 60) = 2 O método de decomposição de um número num produto de fatores primos, sugere uma nova forma para o cálculo do m.d.c. de dois números naturais não nulos, a e b, ou seja, para o cálculo de (a,b). Assim, seja calcular o m.d.c. de 408 e 240. Como já vimos acima, temos:

408 = 2.2.2.3.17 = 23.3.17 240 = 2.2.2.2.3.5 = 24.3.5 Tomando os fatores comuns elevados aos menores expoentes, teremos:

(408, 240) = 23.3 = 8.3 = 24 , que é o m.d.c. procurado. Portanto, (408, 240) = 24. O m.d.c. do exemplo anterior, poderia ser também determinado pelo método das divisões sucessivas, cujo dispositivo prático é mostrado a seguir:

1 1 2 3 408 240 168 72 24 168 72 24 0

Para entender o dispositivo prático, basta observar que: 408:240 = 1 com resto 168 240:168 = 1 com resto 72 168:72 = 2 com resto 24 72:24 = 3 com resto zero. Portanto o m.d.c. procurado é igual a 24, conforme já tínhamos visto antes. Nota: Se o m.d.c. de dois números naturais a e b for igual à unidade, ou seja, (a,b) = 1, dizemos que a e b são primos entre si, ou que a e b são co-primos. Ou seja: (a, b) = 1 ⇔⇔⇔⇔ a e b são primos entre si (co-primos). Exemplo: (7, 5) = 1 ∴ 5 e 7 são primos entre si.

4 m.m.c. – Mínimo múltiplo comum 4.1 Múltiplo de um número natural

Como 24 é divisível por 3 dizemos que 24 é múltiplo de 3. 24 também é múltiplo de 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24.

Se um número é divisível por outro, diferente de zero, então dizemos que ele é múltiplo desse outro.


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Os múltiplos de um número são calculados multiplicando-se esse número pelos números naturais.

Exemplo: os múltiplos de 7 são: 7x0 , 7x1, 7x2 , 7x3 , 7x4 , ... = 0 , 7 , 14 , 21 , 28 , ...

Observações importantes: 1) Um número tem infinitos múltiplos 2) Zero é múltiplo de qualquer número natural

4.2 Mínimo múltiplo comum (m.m.c.)

Dois ou mais números sempre têm múltiplos comuns a eles.

Vamos achar os múltiplos comuns de 4 e 6: Múltiplos de 6: 0, 6, 12, 18, 24, 30,... Múltiplos de 4: 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24,... Múltiplos comuns de 4 e 6: 0, 12, 24,...

Dentre estes múltiplos, diferentes de zero, 12 é o menor deles. Chamamos o 12 de mínimo múltiplo comum de 4 e 6.

O menor múltiplo comum de dois ou mais números, diferente de zero, é chamado de mínimo múltiplo comum desses números. Usamos a abreviação m.m.c.

Cálculo do m.m.c.

Podemos calcular o m.m.c. de dois ou mais números utilizando a fatoração. Acompanhe o cálculo do m.m.c. de 12 e 30:

1º) decompomos os números em fatores primos 2º) o m.m.c. é o produto dos fatores primos comuns e não-comuns:

12 = 2 x 2 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 2 x 2 x 3 x 5

Escrevendo a fatoração dos números na forma de potência, temos: 12 = 22 x 3 30 = 2 x 3 x 5 m.m.c (12,30) = 22 x 3 x 5

O m.m.c. de dois ou mais números, quando fatorados, é o produto dos fatores comuns e não-comuns a eles, cada um elevado ao maior expoente.

Processo da decomposição simultânea

Neste processo decompomos todos os números ao mesmo tempo, num dispositivo como mostra a figura ao lado. O produto dos fatores primos que obtemos nessa decomposição é o m.m.c. desses números. Ao lado vemos o cálculo do m.m.c.(15,24,60)

Portanto, m.m.c.(15,24,60) = 2 x 2 x 2 x 3 x 5 = 120

4.2.1 Propriedade do m.m.c.

Entre os números 3, 6 e 30, o número 30 é múltiplo dos outros dois. Neste caso, 30 é o m.m.c.(3,6,30). Observe:


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m.m.c.(3,6,30) = 2 x 3 x 5 = 30

Dados dois ou mais números, se um deles é múltiplo de todos os outros, então ele é o m.m.c. dos números dados.

Considerando os números 4 e 15, que são primos entre si. O m.m.c.(4,15) é igual a 60, que é o produto de 4 por 15. Observe:

m.m.c.(4,15) = 2 x 2 x 3 x 5 = 60

Dados dois números primos entre si, o m.m.c. deles é o produto desses números. 5 Potência de expoente natural

Sendo a um número real e n um número natural maior ou igual a 2, definimos a n-ésima (enésima) potência de a como sendo:

an = a.a.a.a.a. ^ .a

onde o fator a é repetido n vezes, ou seja, o produto possui n fatores. Denominamos o fator a de base e n de expoente; an é a n-ésima potência de a. Portanto, potência é um produto de n fatores iguais. A operação através da qual se obtém uma potência, é denominada potenciação.

Exemplos: 72 = 7.7 = 49 25 = 2.2.2.2.2 = 32 63 = 6.6.6 = 216 107 = 10.10.10.10.10.10.10 = 10000000 (dez milhões) 106 = 10.10.10.10.10.10 = 1000000 (um milhão) Nota: Observe que a potência 10n é igual a 1 seguido de n zeros. Assim, por exemplo, 1010 = 10000000000 (dez bilhões).

5.1 Convenções

a) potência de expoente zero: a0 = 1 Exemplos: 45670 = 1; 2430 = 1; (- 2001)0 = 1


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b) potência de expoente unitário : a1 = a Exemplos: 231 = 23; 20011 = 2001. As potências de expoente 2 e 3 recebem nomes especiais, a saber: a2 = a.a, é lido como a ao quadrado. a3 = a.a.a, é lido como a ao cubo.

5.2 Propriedades das potências

São válidas as seguintes propriedades das potências de expoentes naturais, facilmente demonstráveis: P1) am . an = am+n Exemplo: 25.23 = 25+3 = 28 = 2.2.2.2.2.2.2.2 = 256

P2) am : an = am-n Exemplo: 57:54 = 57-4 = 53 = 5.5.5 = 125 P3) (am)n = am.n Exemplo: (42)3 = 42.3 = 46 = 4.4.4.4.4.4 = 4096 P4) am.bm = (a.b)m Exemplo: 23.43 = (2.4)3 = 83 = 8.8.8 = 512 P5) am:bm = (a:b)m Exemplo: 124:34 = (12:3)4 = 44 = 4.4.4.4 = 256 P6) a-n = 1/an Exemplo: 5-2 = 1/52 = 1/5.5 = 1/25

Esta propriedade decorre de P2, ou seja: a-n = a0/an = a0-n = a-n. Nota: estas propriedades também são válidas para expoentes reais. Exercício: Calcule o valor da expressão a seguir: A = {[(23.24 : 43)]5}-2 Desenvolvimento: A = {[(27 : (22)3)]5}-2 = {[27 : 26]5}-2 = {[21]5}-2 = 2-10 = 1/210 = 1/1024

6 Radicais

A forma mais genérica de um radical é:

onde c = coeficiente, n = índice e A = radicando.

O radical acima é lido como: c raiz n-ésima (enésima) de A.

Se n = 2, costuma-se não representar o número 2 e lê-se como c raiz quadrada de A.


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Se n = 3, lê-se o radical como c raiz cúbica de A.

Exemplos:

que é lido com 5 raiz cúbica de 25, onde 5 é o coeficiente, 3 é o índice e 25, o radicando. 3√√√√10 que é lido como 3 raiz quadrada de 10, onde 3 é o coeficiente, 2 (não indicado, por convenção) é o índice e 10, o radicando.

6.1 Potência de expoente fracionário

Exemplo: A propriedade acima decorre de: Seja x = am/n . Podemos escrever: xn = (am/n)n e, daí, xn = am de onde vem, extraindo-se a raiz n-ésima de ambos os membros:

6.2 Introduzindo o coeficiente num radical

Uma importante propriedade dos radicais é a seguinte:

Exemplo:

Portanto, para introduzir um coeficiente num radical, basta elevar este coeficiente a um expoente igual ao seu índice.

Esta propriedade é bastante útil também, para a simplificação de radicais, pois às vezes, a depender do tipo de problema que está sendo abordado, pode tornar-se necessário percorrer o caminho inverso. Assim, por exemplo,

6.3 Raiz de raiz

Outra propriedade muito importante dos radicais é a que segue:

Exemplo:


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A operação com radicais é denominada radiciação e, esta operação é a inversa da potenciação.

Isto decorre de: Exemplos: Como 2 elevado a 4 é igual a 16, dizemos que 2 é uma raiz quarta de 16. Como 3 elevado a 2 é igual a 9, dizemos que 3 é uma raiz quadrada de 9. Como 5 elevado a 3 é igual a 125, dizemos que 5 é uma raiz cúbica de 125, etc

6.4 Radiciação

6.4.1 Potenciação de Radicais

Observando as potencias, temos que:

De modo geral, para se elevar um radical a um dado expoente, basta elevar o radicando àquele expoente. Exemplos:

6.4.2 Divisão de Radicais

Segundo as propriedades dos radicais, temos que:

De um modo geral, na divisão de radicais de mesmo índice, mantemos o índice e dividimos os radicais: Exemplos:

: =

Se os radicais forem diferentes, devemos reduzi-los ao mesmo índice e depois efetue a operação. Exemplos:

6.4.3 Racionalização de denominadores

Considere a fração: que seu denominador é um número irracional.


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Vamos agora multiplicar o numerador e o denominador desta fração por , obtendo uma fração equivalente:

Observe que a fração equivalente possui um denominador racional.

A essa transformação, damos o nome de racionalização de denominadores.

A racionalização de denominadores consiste, portanto, na obtenção de um fração com denominador racional, equivalente a uma anterior, que possuía um ou mais radicais em seu denominador.

Para racionalizar o denominador de uma fração devemos multiplicar os termos desta fração por uma expressão com radical, denominado fator racionalizante, de modo a obter uma nova fração equivalente com denominador sem radical.

6.4.4 Principais casos de racionalização

1º Caso: O denominador é um radical de índice 2: Exemplos:

é o fator racionalizante de , pois . = = a

2º Caso: O denominador é um radical de índice diferente de 2. Exemplos:

é o fator racionalizante de




6.5 Exercícios

01. Determine o m.m.c. entre 24 e 40 02. Determine o m.d.c. entre 24 e 40


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03. (CORREIOS – 2006) O mínimo múltiplo comum entre os números 6 e 8, elevado ao quadrado é: a) 1.024 b) 576 c) 324 d) 256 e) 144. 04. ( B.B– 007) A proposição funcional “existem números que são divisível por 2 e por 3 “ é verdadeira para todos os elementos do conjunto { 2 , 3 , 9 , 10 , 15 , 16 } 05. Quanto aos números pares 0, 2, 4 e 8, é CORRETO afirmar que: a) estão em progressão aritmética de razão 2. b) estão em progressão geométrica de razão de 2. c) são potências consecutivas da base 2. d) são múltiplos consecutivos de 2. e) têm máximo divisor comum igual a 2. 06. ( CORREIOS – 2006 ) O máximo divisor comum de 6 e 9, elevado à quarta potência é. a) 81 b) 71 c) 61 d) 51 e) 27 07. O número 18900 apresenta n divisores naturais, onde n é igual a: a) 12 b) 36 c) 72 d) 18 e) 24 08. O número 24 . 3a . 53 tem 120 divisores. Qual é o valor de a? 09. (UFSC) Um país lançou em 02/05/2000 os satélites artificiais A, B e C com as tarefas de fiscalizar o desmatamento em áreas de preservação, as nascentes dos rios e a pesca predatória no Oceano Atlântico. No dia 03/05/2000 podia-se observá-los alinhados, cada um em uma órbita circular diferente, tendo a Terra como centro. Se os satélites A, B e C levam, respectivamente, 6, 10 e 9 dias para darem uma volta completa em torno da Terra, então o número de dias para o próximo alinhamento é: 10. Três atletas correm numa pista circular e gastam, respectivamente, 2,4min, 2,0min e 1,6min para completar uma volta na pista. Eles partem do mesmo local e no mesmo instante. Após algum tempo, os três atletas se encontram, pela primeira vez, no local da largada. Nesse momento, o atleta MAIS VELOZ estará completando: a) 12 voltas. b) 15 voltas. c) 18 voltas. d) 10 voltas. 11. Em 1982 ocorreu uma conjunção entre os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos, respectivamente, em qual dos anos seguintes ambos estiveram em conjunção no céu da Terra? a) 1840 b) 1852 c) 1864 d) 1922 e) 960 12. Três viajantes partem num mesmo dia de uma cidade A. Cada um desses três viajantes retorna à cidade A exatamente a cada 30, 48 e 72 dias, respectivamente. O número mínimo de dias transcorridos para que os três viajantes estejam juntos novamente na cidade A é: a) 144. b) 240. c) 360. d) 480. e) 720. 13. Considere dois rolos de barbante, um com 96 m e outro com 150 m de comprimento. Pretende-se cortar todo o barbante dos dois rolos em pedaços de mesmo comprimento. O menor número de pedaços que poderá ser obtido é a) 38 b) 41 c) 43 d) 52 e) 55 14. Entre algumas famílias de um bairro, foi distribuído um total de 144 cadernos, 192 lápis e 216 borrachas. Essa distribuição foi feita de modo que o maior número possível de famílias fosse contemplado e todas recebessem o mesmo número de cadernos, o mesmo número de lápis e o mesmo número de borrachas, sem haver sobra de qualquer material. Nesse caso, o número de CADERNOS que cada família ganhou foi: a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 15. Para levar os alunos de certa escola a um museu, pretende-se formar grupos que tenham iguais quantidades de alunos e de modo que em cada grupo todos sejam do mesmo sexo. Se nessa escola estudam 1.350 rapazes e 1.224 garotas e cada grupo deverá ser acompanhado de um único professor, o número mínimo de professores necessários para acompanhar todos os grupos nessa visita é: a) 18 b) 68 c) 75 d) 126 e) 143


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16. Ônibus da linha 572 passam pelo Largo do Machado de 7 em 7 minutos. Se um ônibus passou às 15h 42min, quem chegar ao Largo do Machado às 18h 3min esperará quantos minutos pelo próximo ônibus? a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6 17. ( CORREIOS – 2006 ) Um carpinteiro adquiriu seis dúzias de pregos e quatro dezenas de tachas. A quantidade total de peças adquiridas é igual a a) 110. b) 100. c) 112. d) 122. e) 132.

18. Um trem faz o percurso da estação A até a estação B em 2 horas, 22 minutos e 35 segundos. Se o trem chegou na estação B exatamente às 10 horas, o seu horário de partida da estação A foi: a) 6 horas, 38 minutos e 35 segundos b) 6 horas, 37 minutos e 25 segundos c) 7 horas, 37 minutos e 25 segundos d) 7 horas, 38 minutos e 35 segundos e) 7 horas, 22 minutos e 25 segundos 19. Uma pessoa tem 36 moedas. Um quarto dessas moedas é de 25 centavos, um terço é de 5 centavos, e as restantes são de 10 centavos. Essas moedas totalizam a quantia de: a) 8,75 b) 7,35 c) 5,45 d) 4,35 20. ( FEPESE-2006) Assinale a alternativa correta. As cidades A e B são ligadas por uma única rodovia. Entre as cidades A e B tem-se o acesso para a cidade C. De A até B são 131 quilômetros; de A até o acesso para C são 25 quilômetros. Quantos são os quilômetros de B até o acesso para C, usando-se a mesma rodovia? a) 10 km b) 25 km c) 106km d)131km e) 156km 21. ( CORREIOS–2006 ) Calcule o valor da expressão matemática ( 0,48 ÷ 2 ) × 10 + ( 3,6 ÷ 4 ) e assinale a alternativa que contém o resultado. a) 4,6. b) 2,6. c) 3. d) 3,3. e) 3,6. 22. Ao analisar as notas fiscais de uma firma, o auditor deparou-se com a seguinte

situação: Não era possível ver o número de metros vendidos, mas sabia-se que era um número inteiro. No valor total, só apareciam os dois últimos dos três algarismos da parte inteira. Com as informações anteriores, o auditor concluiu que a quantidade de cetim, em metros, declarada nessa nota foi: a) 16 b) 26 c) 36 d) 46

23. A escada representada na figura tem sete degraus e altura 1,54m. A altura de cada degrau, em cm, é:

a) 18 b) 22 c) 25 d) 28 24. (ACAFE) Suponha que uma companhia de água cobre o consumo residencial pela seguinte tabela:


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Faixa de consumo por m3

Valor em reais por m3

0 - 10 1,20 11 - 25 2,00 mais de 25 2,50

O proprietário de uma residência, que num determinado mês consumiu 27m3 de água, pagará, em reais: a) 55,00 b) 67,50 c) 54,00 d) 45,00 e) 47,00 25. (UFSC) Suponha que em uma determinada espécie de animais os indivíduos tenham seus primeiros filhotes aos 8 meses, e que a partir de então para cada adulto da população nasçam, em média, 3 filhotes a cada 3 meses. Se no início de janeiro nascerem os primeiros 12 filhotes de 4 indivíduos com os quais se esteja iniciando uma criação, qual será o número provável de indivíduos que a população atingirá no início de outubro, não havendo mortes? 26. Visando evitar o desperdício de água, uma Companhia de Saneamento estipulou várias faixas de consumo para cobrar do usuário. Vejamos:

O cálculo do valor a ser pago é efetuado distribuindo-se o volume de água gasto por faixa de consumo. Os primeiros 10 m3 são calculados segundo a 1º faixa. O excedente, ou seja, os próximos 10 m3 são cobrados pela segunda faixa, o excedente pela 3º faixa e assim sucessivamente. Se uma família consumir 30 m3, vai pagar: a) R$ 22,07 b) R$ 29,77 c) R$ 42,62 d) R$ 53,85 e) R$ 77,10 27. ( FEPESE– 2006) Observe os dois anúncios de duas lojas de eletrodomésticos:

Assinale a resposta correta: a ) A loja B tem a melhor oferta pois ao comparar os dois valores é a que apresenta o menor valor total. b ) A loja A tem a melhor oferta pois ao comparar os dois valores é a que apresenta o menor valor total. c ) As duas lojas apresentam ofertas iguais. e ) Para comprar dois celulares na loja A vai ser necessário pagar o valor total de R$ 265,00 d ) O valor da mensalidade do celular da loja B é de R$ 12,00. 28. Antônio possui um carro a álcool que consome 1 litro de combustível a cada 8km percorridos, enquanto José possui um carro a gasolina cujo consumo é de 12km por litro. Sabendo-se que o litro de álcool custa R$ 1,14 e o litro de gasolina R$ 1,60, e que José e Antônio dispõem da mesma quantidade de dinheiro, quantos quilômetros irá percorrer José, tendo em vista que Antônio percorreu 320km?


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29. (UFSC) No livro O Código da Vinci, de Dan Brown, no local onde o corpo de Jacques Sauniere é encontrado, alguns números estão escritos no chão. Estes números fazem parte da Seqüência de Fibonacci, que é uma seqüência infinita de números em que cada termo, a partir do terceiro, é igual à soma dos dois termos que imediatamente o antecedem. Assim, o décimo primeiro termo da Seqüência de Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... é o número: 30. Em certo país, o limite legal para que uma pessoa, após consumo de bebida alcóolica, possa conduzir um carro é de 80 miligramas de álcool para cada 100 mililitros de sangue. A tabela a seguir mostra a quantidade de álcool que ainda permanece no sangue de uma pessoa a cada hora após o consumo, em função da quantidade retida inicialmente. Todos os valores são dados em mg de álcool/100mL de sangue.

a) Sabe-se que o consumo de uma garrafa de cerveja provoca uma retenção inicial de 30mg de álcool/100 mL de sangue. Suponha que Luiz beba três garrafas de cerveja. Determine a quantidade de álcool no sangue de Luiz três horas após o consumo.

b) Sabe-se que o consumo de uma dose de licor provoca uma retenção inicial de 25mg de álcool/100mL de sangue. Suponha que Virgínia deseja dirigir seu carro, sem infringir a lei, duas horas após consumir algumas doses de licor. Determine o número máximo de doses de licor que Virgínia poderá tomar. 31. ( ENEM) No quadro a seguir estão as contas de luz e água de uma mesma residência. Além do valor a pagar, cada conta mostra como calculá-lo, em função do consumo de água (em m3) e de eletricidade (em kWh). Observe que, na conta de luz, o valor a pagar é igual ao consumo multiplicado por um certo fator. Já na conta de água, existe uma tarifa mínima e diferentes faixas de tarifação.

Suponha que, no próximo mês, dobre o consumo de energia elétrica dessa residência. O novo valor da conta será de: a) R$ 55,23 b) R$ 106,46 c) R$ 802,00 d) R$ 100,00 e) R$ 22,90 32. O REAL ENFERRUJOU "(...) as moedas 1 e 5 centavos oxidam antes do previsto (...) Até agora, apenas 116 milhões entre os sete bilhões de moedas em circulação têm nova roupagem lançada pelo governo no dia 1Ž julho (...)" (ISTO É, 09/09/98)


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Desses 116 milhões de moedas, metade é de R$0,50, a metade do número restante é de R$0,10, a metade do que sobrou é de R$0,05 e as últimas moedas são de R$0,01. O total de moedas de R$0,01 corresponde, em reais, a: a) 14.500 b) 29.000 c) 145.000 d) 290.000 33. Desejo enviar uma mercadoria para Buenos Aires e consultei uma transportadora sobre preços de transporte aéreo de cargas. Recebi como resposta o fax a seguir. Destino: Buenos Aires/Argentina Cia Aérea: VIASUL Material: Bagagem desacompanhada Frete aéreo: até 45kg R$ 2,60 por quilo mais de 45kg, até 100kg R$ 2,30 por quilo mais de 100kg R$ 2,10 por quilo Despesas adicionais obrigatórias: Agentes de Cargas: R$ 100,00 INFRAERO: R$ 10,00 Obs.: Os Agentes de Cargas são os encarregados do embarque e desembarque das mercadorias nos respectivos aeroportos. Se a mercadoria que desejo enviar tem 78,5kg, quanto deverei desembolsar? a) R$ 310,10 b) R$ 290,55 c) R$ 264,65 d) R$ 201,10 e) R$ 180,55 34. (ENEM) No gráfico estão representados os gols marcados e os gols sofridos por uma equipe de futebol nas dez primeiras partidas de um determinado campeonato

Considerando que, neste campeonato, as equipes ganham 3 pontos para cada vitória, 1 ponto por empate e 0 ponto em caso de derrota, a equipe em questão, ao final da décima partida, terá acumulado um número de pontos igual a a) 15. b) 17. c) 18. d) 20. e) 24. 35. Observe as figuras 1 e 2. Todos os robôs são formados por estrelinhas iguais a da figura 1. O robô 1 não tem pernas. Todos os outros têm pernas, além de pés, tronco e cabeça, como você pode ver na figura 3. Veja a tabela. Apesar do robô 4 não estar desenhado, foi possível completar a tabela com o número de estrelinhas necessárias. Isso, porque existe uma regra para construção dos robôs. Descubra que regra é essa e faça os itens a seguir. a) Na tabela, complete quantas estrelinhas serão usadas para formar, no robô 5, cada pé, cada perna, a altura do tronco, a largura do tronco e a cabeça. b) Quantas estrelinhas serão necessárias para formar cada pé do robô 21? c) Quantas estrelinhas serão necessárias para formar cada perna do robô 10? d) Quantas estrelinhas serão necessárias para formar a altura do tronco do robô 11? e) Quantas estrelinhas serão necessárias para formar a largura do tronco do robô 11?


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36. Calcule:

a) 53

2+ b)

4

1

2

3− c)

3

1

2

35 −+

37. Determine:

a) 3

4.

5

2 c)

4

3:

2

5 d)

5

1:

3

23 −

38. Efetuando-se

30

2330

1

5

2

3

1++

tem-se:

a) 900

529 b)

23

21 c)

30

23 d) 1 e)

23

7

39. Ache o valor numérico de 52

1,

3

1−==

+−

beab

a

a) 0 b) 4

1− c)

4

1 d)1 e) –2

40. O IDH procura refletir a qualidade de vida dos cidadãos. No entanto, através de sua análise não é possível averiguar algumas desigualdades como é o caso, por exemplo, dos dados sobre trabalho feminino divulgados pela OIT (Organização Internacional do Trabalho). Segundo a organização, na década de 90 do século XX, o trabalho feminino correspondeu a 2/3 do total de horas trabalhadas no planeta enquanto o trabalho masculino apenas 1/3. Com base nesses dados é válido afirmar que, em termos de horas trabalhadas, as mulheres trabalharam em relação aos homens a) a terça parte. b) menos da metade. c) a metade. d) o dobro. e) o triplo. 41. ( B.B – 2007) A proposição funcional “ para qualquer x tem – se x2 > x “ é verdadeira para todos os valores de x

que estão no conjunto

2

1,2,

2

3,3,

2

5,5

42. Em julho de 2007, serão realizados os XV Jogos Pan-Americanos na cidade do Rio de Janeiro. Durante o período dos jogos, o Centro Aquático Nacional, que está sendo construído na Barra da Tijuca, com capacidade para 10 mil pessoas, será utilizado do seguinte modo: Em 1/6 do período ocorrerão apenas competições de saltos ornamentais;

Em 2/9 do período ocorrerão as competições de nado sincronizado; Em 1/3 do período ocorrerão as competições de natação; Nos demais dias, não haverá atividades no centro aquático.


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Sendo assim, responda: a) Que atividade esportiva ocupará por mais tempo o Centro Aquático Nacional durante os jogos: nado sincronizado ou natação? Por quê? b) Em que fração do período dos jogos não haverá atividades no centro aquático? c) A tabela abaixo apresenta os dias dos XV Jogos Pan-Americanos em que ocorrerão as competições de dois dos seguintes esportes: saltos ornamentais, nado sincronizado ou natação. Descubra quais são esses dois esportes e use-os para completar, adequadamente, os espaços em branco na tabela.

43. Sônia coleciona papéis de carta. Sabendo que 2/7 das folhas ela ganhou de sua mãe, 3/5 ela ganhou de suas avós e outras 4 folhas restantes ela ganhou de suas amigas, determine o número de folhas da coleção de Sônia.

44. Claudete leu 3/5 de um livro e ainda faltam 48 páginas para ela terminar de ler o livro todo. Quantas páginas desse livro ela já leu? Qual é o total de folhas que tem esse livro? 45. ( CORREIOS – 2006 ) Se dividirmos 0,144 por 1,2 obteremos o valor: a) 1,21. b) 0,2. c) 0,12. d) 12,1. e) 11. 46. ( FEPESE – 2006) Assinale a operação que está com a resposta correta.

a) 0,5 + 0,34 = 0,74 b) 25,04

1

4

1=+

c) 6

2

2

1

4

1=+ d) 5,12

2

112 =+ e) 0,2 + 0,2 + 0,2 = 0,8

47. ( PRF-1998) A distância entre duas cidades A e B é de 265 metros e o único posto de gasolina entre elas encontra-se a 3/5 desta distância, partindo de A. O total de quilômetros a serem percorridos da cidade B até este posto é de: a) 57 b) 106 c) 110 d) 159 e) 212 48. (FGV) No orçamento da Prefeitura de uma determinada cidade, a verba mensal total de R$ 24.000.000,00 é destinada à Educação. Sabe-se que 1/8 deste montante é dirigido à Educação Infantil e 3/8 ao Ensino Fundamental. Sabe-se também que 1/3 dos recursos dirigidos à Educação Infantil são destinados ao pagamento de salários e o restante para outras despesas. Sabe-se ainda que 2/5 dos recursos dirigidos ao Ensino Fundamental destinam-se ao pagamento de salários e o restante para outras despesas. Pede-se: a) Quais são, em reais, os recursos destinados para a Educação Infantil e para o Ensino Fundamental? b) Quais são as frações da verba total correspondentes aos recursos para pagamento de salários em cada um dos dois níveis de Ensino? c) Qual é a fração da verba total correspondente a outras despesas para a Educação Infantil? d) Mantidos os números do enunciado, exceto a última fração (2/5) referente aos recursos dirigidos para o pagamento de salários do Ensino Fundamental, pergunta-se qual deverá ser o novo valor desta última fração para que os recursos para pagamento de salários sejam iguais nos dois níveis de Ensino? 49. Em uma cidade, 5/8 da população torce pelo time A e, entre esses torcedores, 2/5 são mulheres. Se o número de torcedores do sexo masculino, do time A, é igual a 120.000, a população dessa cidade é constituída por a) 340.000 habitantes. b) 320.000 habitantes. c) 300.000 habitantes. d) 280.000 habitantes. e) 260.000 habitantes.


__________________________________________________________________________________________________________________________


50. (FEPESE – 2006) Um operário levou três dias para fazer um serviço de manutenção. No primeiro dia, concluiu

4

1 do trabalho total e no segundo dia, concluiu

5

3 do trabalho total. Assinale a alternativa que indica a fração do

trabalho total que foi realizado no terceiro dia.

a) 30

3 b)

20

17 c)

9

4 d)

20

8 e)

20

3

51. Numa escola foi feito um levantamento para saber quais os tipos de calçados mais usados pelas crianças. Foi obtido o seguinte resultado: um terço usa sandálias; um quarto usa tênis; um quinto usa sapatos, e os 52 restantes usam outros tipos de calçados. Pode-se concluir que, pelos tipos de calçados encontrados, há nessa escola um total de a) 240 crianças. b) 250 crianças. c) 260 crianças. d) 270 crianças. e) 280 crianças. 52. ( FEPESE – 2006) Um avião decola em Florianópolis, com destino a Salvador, às 8h, num vôo que tem a

duração total de 4 horas. Supondo que o avião precise reabastecer após 5

3 do tempo total de duração do vôo,

assinale a alternativa que indica o horário em que o avião deverá pousar para reabastecimento. a) 10 h 40 min. b) 11 h. c) 10 h 24 mim. d) 10 h 44 min. e) 09 h 44 min. 53. (FEPESE – 2006) Um grupo de pessoas saiu para caminhar em um parque, aproveitando o sol do outono. Utilizando uma equação, pode-se dizer que o número de pessoas que iniciou a caminhada é igual ao

quadrado da metade do número de pessoas que iniciou a caminhada. Após uma parada, 12

9 do número de pessoas

que iniciou a caminhada continuou até o final da aventura. Assinale a alternativa que indique a razão entre o número de pessoas que iniciou a caminhada e o número de pessoas que chegou ao final da aventura.

a) 12

3 b) 3 c)

4

3 d)

3

4 e) 4

54. (FEPESE – 2006) Uma construtora está executando uma obra e prevê a sua realização em quatro etapas. A tabela abaixo relaciona a fração do serviço total que foi executado, após a conclusão de cada uma das três primeiras etapas: ETAPAS Fração do serviço total executado

Etapa 1 5

2

Etapa 2 3

1

Etapa 3 5

1

Assinale a alternativa que indica a fração do serviço total de execução da obra que deve ser realizada na etapa 4 para que a obra seja concluída.

a) 15

14 b)

13

4 c)

13

9 d)

15

1 e)

75

2

55. Uma pessoa tem 36 moedas. Um quarto dessas moedas é de 25 centavos, um terço é de 5 centavos, e as restantes são de 10 centavos. Essas moedas totalizam a quantia de: a) 8,75 b) 7,35 c) 5,45 d) 4,35 56. Um pai tem o triplo da idade de seu filho que está com 10 anos. A soma das idades dos dois, em anos, quando o filho tiver a idade atual do pai será a) 70 b) 80 c) 90 d) 100

57. ( CORREIOS – 2006 ) Assinale a alternativa correta para o resultado do número 12 elevado ao expoente zero: a) -12 b) 12 c) 0 d) -1 e) 1


__________________________________________________________________________________________________________________________


58. ( CORREIOS – 2006 ) O valor da expressão [(-2)³-(-3)³]+[(-2)4+(-2)³] é igual a a) -8. b) 8. c) 16. d) -27. e) 27.

59. Calcule: a) 5 2 b) ( -5 ) 2 c) ( -2 ) 3 d) 3 0 e) 2431 f) 17 g)

2

3

2−

h) ( ) 15,0 −

i) ( )322

60. O valor da expressão 66 + 66 + 66 + 66 + 66 + 66 é: a) 66 b) 67 c) 76 d) 636 e) 366

61. Qual a metade de 222 ?

a) 211 b) 122 c) 111 d) 221 e) n.d.a

62. Calcule 5,03

2

98 + 63. Uma calculadora apresentava, em sua tela, o resultado da soma dos gastos do mês realizados por um pai

"coruja" que permitiu a seu filho apertar algumas teclas, alterando esse resultado. O pai observou que o menino havia apertado as teclas, uma única vez, na ordem mostrada na figura 1.

Para recuperar o resultado que estava na tela, o pai deverá apertar as teclas.

64. Calcule as seguintes raízes: a) 81 b) 400 c) 3 216

d) 4 256 65. Simplifique as seguintes raízes:

a) 12 b) 192

c) 3 108 d) 4 48

66. A expressão 12327482753 +−− vale:

a) 310 b) 312 c) 36

d) 34 e) 15

67. Simplifique a expressão: 624215054 ++−

68. Efetue: 1445125202

154 −+−

69. Racionalize os denominadores.

a) 2

3 b)

22

8 c)

52

5


__________________________________________________________________________________________________________________________


d) 25

2

−

70. Uma indústria consegue modelar a função do número de produtos montados em um dia, por um grupo de

funcionários, da seguinte forma: P(t) = 4

3

.1000 t sendo P o número de produtos montados e t o número de horas trabalhadas. Determine a alternativa que representa o número de produtos montados em 90 minutos.

a) 4 5,11000x b) 4 5,2,21000x

c) 3 375,31000x d) 4 375,31000x

e) 4

3

901000 x

71. Calculando o valor da expressão: ( )

−⋅+−÷ 75,04

1

2

17,01

5

2 obtemos:

a) 12

13 b)

100

13− c)

3

10− d)

12

19

e) 3

4

72. Resolvendo a expressão

−⋅−÷

−

−3

12

2

1

4

9

5

1

3

1

6

52

obtemos:

a) 12

17 b)

17

5 c)

85

3 d)

17

12 e)

8

3

73. O valor da expressão 0

32

73

2

4

3

2

130

35

12

5

17 +

⋅

+

⋅−÷

+ é:

a) 6

17 b)

6

27 c)

6

34 d)

6

23 e)

6

43

74. Calcule: 11

2

1

212

2

3

5

2

9

4

4

1

2

1

3

2

−−−

−−−

+

−−

−+

−−

a) 3

140 b)

56

243 c)

35

1

d)4

81 e) 1

75. Escreva a fração decimal equivalente a cada numeral decimal a seguir: a) 12,4 b) 7,52 c) 0,003 d) 10,8 e) 1,887 76. Quais dos seguintes números são racionais e quais são irracionais:

a) 0,2222... d)–7,212121... g) 163 +

b) 7,1317... e) 6 h) 91+


__________________________________________________________________________________________________________________________


c) 0,123456... f) 64 i) 3 27

77. Escreva sob a forma de fração: a) 0,555... b) 0,373737... c) 1,3333... 78. Resolva as expressões: a) ...444,05 −

b) 0,3 . 0,333...

c) ...666,03

12

++

d) ...121212,0

...60606,0

79. Se a = 0,444... e b = 0,333... , então b. a é igual a:

a) 9

1 b)

9

2 c)

3

2 d)

9

7 e)

3

5

80. Sendo : A = { 1 , 2 , 5 , 6 } e B = { 1 , 4 , 5 , 6, 7 } , determine: a) A ∪ B b) A ∩ B c) A – B d) ( A ∩ B ) – B e) (A ∪ B ) ∩ (A ∩ B ) 81. Coloque V ou F , considerando-se os conjuntos A = { x ∈ IN, x < 4 }, B = { x ∈ Z, 2x + 3 = 7 }, C = { x ∈ IR, x2 + 5x + 6 = 0 }, ( ) A ∪ B = A ( ) A ∩ B = { 2 , 3 } ( ) A – B = { 0 , 1 , 3 } ( ) A ∪ C = IR 82. Uma prova com duas questões foi aplicada em uma classe de 40 alunos. Após a correção, constatou-se que 10 alunos acertaram as duas questões, 25 alunos acertaram a primeira questão e 20 alunos acertaram a segunda questão. O número de alunos que erraram as duas questões é: a) 5 b) 15 c) 10 d) 20 e) 30 83. Sejam A e B dois conjuntos, onde (A ∪ B) possui 134 elementos e (A ∩ B) possui 49 elementos. Se A possui 15 elementos a mais do que B, então o número de elementos de A é: 84. Numa pesquisa de preferência pelas disciplinas de Matemática (M), Física (F), e Português (P), feitas aos alunos de um colégio, foram colhidos os seguintes resultados:

O número total de alunos entrevistados foi de: a) 900 b) 690 c) 650 d) 500 e) 140

85. Dos 540 alunos inscritos em uma academia, 200 fazem musculação, 250 natação e o restante, de 240, fazem outras modalidades de esportes. Assinale a alternativa correta.

Disciplina M F P M e F M e P F e P M, F e P

Alunos 400 300 200 150 50 30 20


__________________________________________________________________________________________________________________________


a) O número de alunos que fazem apenas musculação é 100. b ) O número de alunos que fazem apenas natação é 50. c ) 450 alunos fazem natação ou musculação. d ) 150 alunos fazem natação e musculação. e ) 300 fazem apenas uma modalidade de esporte. GABARITO 01. 120 02. 8 03. b 04. Falso 05. e 06. a 07. c 08. 5 09. 90 10. b 11. d 12. e 13. b 14. b 15. e 16. e 17. c 18. c 19. d 20. c 21. d 22. c 23. b 24. e 25. 88 26. c 27. a 28. 342 km 29. 89 30. a) 75 mg/mL b) 3 doses 31. b 32. c 33. b 34. c 35. Observe a tabela a seguir:


__________________________________________________________________________________________________________________________


b) 2 estrelinhas. c) 9 estrelinhas. d) 11 estrelinhas. e) 13 estrelinhas. 36. a) 17/3 b) 5/4 c) 37/6 37. a) 8/15 b) 10/3 c) -1/3 38. d 39. c 40. d 41. Falso 42. a) Natação: 1/3 = 3/9 Nado Sincronizado: 2/9 Natação, pois 3/9 > 2/9. b) 5/18 c) Natação; Nado Sincronizado 43. 35 44. 72 e 120 45. c 46. d 47. b 48. a) 3 milhões de reais para a Educação Infantil e 9 milhões de reais para o Ensino Fundamental. b) 1/24 e 3/20 da verba total, respectivamente, para a Educação Infantil e para o Ensino Fundamental. c) 1/12 da verba total. d) 1/9 dos recursos dirigidos ao ensino fundamental. 49. b 50. e 51. a 52. c 53. d 54. d 55. d 56. b 57. e 58. e 59. a) 25 b) 25 c) -8 d) 1 e) 243 f) 1 g) 9/4 h) 2 i) 64 60. b 61. d 62. 7 63. b 64. a) 9 b) 20 c) 6 d) 4

65. a) 32 b) 38 c) 3 43 d)

4 32 66. a

67. 63

68. 59−

69. 2

23

b) 22 c) 2

5

d) 452 + 70. d 71. a 72. c 73. e 74. b 75. a) 124/100 b) 752/100 c) 3/1000 d) 108/10 e) 1887/1000 76. a) Q b) I c) I d) Q e) I f) Q g) I h) Q i) Q 77. a) 5/9 b) 37/99 c) 4/3 78. a) 13/3 b) 1/10 c) 25/11 d) 5 79. b 80. a) { 1, 2, 4, 5, 6, 7 } b) { 1, 5, 6 } c) { 2 } d) { } ou ∅ e) { 1, 5, 6 } 81. V , F , V , F 82. a


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83. Desafio 84. Desafio 85. Desafio 7 Produtos Notáveis

Vamos relembrar aqui, identidades especiais, conhecidas particularmente como Produtos Notáveis.

7.1 Quadrado da soma e da diferença

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Das duas anteriores, poderemos concluir que também é válido que: (a+b)2 + (a-b)2 = 2(a2+b2) ou escrevendo de uma forma conveniente:

7.2 Diferença de quadrados

(a + b).(a – b) = a2 – b2

7.3 Cubo de uma soma e de uma diferença

(a + b)3 = a3 + 3.a2.b + 3.a.b2 + b3

Para determinar o cubo da diferença, basta substituir na identidade acima, b por -b, obtendo: (a – b)3 = a3 – 3.a2.b + 3.a.b2 – b3

Uma forma mais conveniente de apresentar o cubo de soma, pode ser obtida fatorando-se a expressão como segue: (a + b)3 = a3 + 3.a.b(a+b) + b3

Ou: (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Esta forma de apresentação, é bastante útil.

Exemplos: 1 – A soma de dois números é igual a 10 e a soma dos seus cubos é igual a 100. Qual o valor do produto desses números?

Solução: Temos: a + b = 10 e a3 + b3 = 100. Substituindo diretamente na fórmula anterior, fica: 103 = 100 + 3ab(10) de onde tiramos 1000 = 100 + 30.ab Daí, vem: 900 = 30.ab, de onde concluímos finalmente que ab = 30, que é a resposta solicitada. Nota: os números a e b que satisfazem à condição do problema acima, não são números reais e sim, números complexos. Você pode verificar isto, resolvendo o sistema formado pelas igualdades a+b = 10 e ab = 30. Verifique como exercício! Alerto para o fato de que é muito trabalhoso. Mas, vá lá, faça! É um bom treinamento sobre as operações com números complexos. Pelo menos, fica caracterizada a importância de saber a fórmula acima. Sem ela, a solução DESTE PROBLEMA SIMPLES, seria bastante penosa!


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2 - Calcule o valor de F na expressão abaixo, para: a = -700, b = - 33 , x = 23,48 e y = 9,14345.

Solução: Com a substituição direta dos valores dados, os cálculos seriam tantos que seria inviável! Vamos desenvolver os produtos notáveis indicados:

Se você observar cuidadosamente a expressão acima, verá que o numerador e o denominador da fração são IGUAIS, e, portanto, F = 1, independente dos valores de a, b, x e y. Portanto, a resposta é igual a 1, independente dos valores atribuídos às variáveis a, b, x e y. Resp: 1

8 Decomposição em fatores primos

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto num produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24 num produto: 24 = 4 x 6 24 = 2 x 2 x 6 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3 todos os fatores são primos. Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 num produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior que 1, a sua decomposição num produto de fatores primos.

8.1 Regra prática para a fatoração

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura ao lado mostra a fatoração do número 630.

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 630 = 2 x 32 x 5 x 7.

8.2 Números Primos


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Números primos são os números naturais que têm apenas dois divisores diferentes: o 1 e ele mesmo.

Exemplos: 1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um número primo. 2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é um número primo.

Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas um divisor que é ele mesmo. => 2 é o único número primo que é par.

Os números que têm mais de dois divisores são chamados números compostos. Exemplo: 15 tem mais de dois divisores => 15 é um número composto.

8.3 Reconhecimento de um número primo

Para saber se um número é primo, dividimos esse número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até que tenhamos: => ou uma divisão com resto zero e neste caso o número não é primo, => ou uma divisão com quociente menor que o divisor e o resto diferente de zero. Neste caso o número é primo.

Exemplos:

1) O número 161:

• não é par, portanto não é divisível por 2; • 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; • não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; • por 7: 161 / 7 = 23, com resto zero, logo 161 é divisível por 7, e portanto não é um número primo.

2) O número 113:

• não é par, portanto não é divisível por 2; • 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3; • não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; • por 7: 113 / 7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). • por 11: 113 / 11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é

diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.

8.4 Determinação dos divisores de um número

Na prática determinamos todos os divisores de um número utilizando os seus fatores primos. Vamos determinar, por exemplo, os divisores de 90:

1º) decompomos o número em fatores primos;

2º) traçamos uma linha e escrevemos o 1 no alto, porque ele é divisor de qualquer número;


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3º) multiplicamos sucessivamente cada fator primo pelos divisores já obtidos e escrevemos esses produtos ao lado de cada fator primo;

4º) os divisores já obtidos não precisam ser repetidos.

Portanto os divisores de 90 são 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.

9 Sistemas de Medidas

9.1 Medidas de comprimento

9.1.1 Sistema Métrico Decimal

Desde a Antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um deles possuía suas próprias unidades-padrão. Com o desenvolvimento do comércio ficavam cada vez mais difíceis a troca de informações e as negociações com tantas medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para cada grandeza.

Foi assim que, em 1791, época da Revolução francesa, um grupo de representantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único de medidas. Surgia o sistema métrico decimal.

9.1.2 Metro

A palavra metro vem do gegro métron e significa "o que mede". Foi estabelecido inicialmente que a medida do metro seria a décima milionésima parte da distância do Pólo Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado oficialmente em 1928.

9.1.3 Múltiplos e Submúltiplos do Metro

Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro:

Múltiplos Unidade

Fundamental Submúltiplos

quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro


__________________________________________________________________________________________________________________________


km hm dam m dm cm mm

1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m

Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os submúltiplos, para pequenas distâncias. Para medidas milimétricas, em que se exige precisão, utilizamos:

mícron (µ) = 10-6 m angströn (Å) = 10-10 m

Para distâncias astronômicas utilizamos o Ano-luz (distância percorrida pela luz em um ano):

Ano-luz = 9,5 � 1012 km

O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistemas métrico decimal, são utilizadas em países de língua inglesa. Observe as igualdades abaixo:

Pé = 30,48 cm

Polegada = 2,54 cm

Jarda = 91,44 cm

Milha terrestre = 1.609 m

Milha marítima = 1.852 m

Observe que:

1 pé = 12 polegadas 1 jarda = 3 pés

9.1.4 Leitura das Medidas de Comprimento

A leitura das medidas de comprimentos pode ser efetuada com o auxílio do quadro de unidades. Exemplos: Leia a seguinte medida: 15,048 m.

Seqüência prática

1º) Escrever o quadro de unidades:


2º) Colocar o número no quadro de unidades, localizando o último algarismo da parte inteira sob a sua respectiva.


1 5, 0 4 8

3º) Ler a parte inteira acompanhada da unidade de medida do seu último algarismo e a parte decimal acompanhada da unidade de medida do último algarismo da mesma.

15 metros e 48 milímetros

Outros exemplos:

6,07 km lê-se "seis quilômetros e sete decâmetros"


__________________________________________________________________________________________________________________________


82,107 dam lê-se "oitenta e dois decâmetros e cento e sete centímetros".

0,003 mm lê-se "três milímetros".

9.1.5 Transformação de Unidades

Observe as seguintes transformações:

Transforme 16,584hm em m.


Para transformar hm em m (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

16,584 x 100 = 1.658,4

Ou seja:

16,584hm = 1.658,4m

Transforme 1,463 dam em cm.


Para transformar dam em cm (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10 x 10 x 10).

1,463 x 1.000 = 1,463

Ou seja:

1,463dam = 1.463cm.

Transforme 176,9m em dam.


Para transformar dam em cm (três posições à esquerda) devemos dividir por 10.

176,9 : 10 = 17,69

Ou seja:

176,9m = 17,69dam


__________________________________________________________________________________________________________________________


Transforme 978m em km.


Para transformar m em km (três posições à esquerda) devemos dividir por 1.000.

978 : 1.000 = 0,978

Ou seja:

978m = 0,978km.

Observação:

Para resolver uma expressão formada por termos com diferentes unidades, devemos inicialmente transformar todos eles numa mesma unidade, para a seguir efetuar as operações.

9.2 Medidas de superfície

9.2.1 Introdução

As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a nossas perguntas mais corriqueiras do cotidiano:

• Qual a área desta sala? • Qual a área desse apartamento? • Quantos metros quadrados de azulejos são necessários para revestir essa piscina? • Qual a área dessa quadra de futebol de salão? • Qual a área pintada dessa parede?

9.2.2 Superfície e área Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida dessa grandeza, portanto, um número.

9.2.3 Metro Quadrado

A unidade fundamental de superfície chama-se metro quadrado. O metro quadrado (m2) é a medida correspondente à superfície de um quadrado com 1 metro de lado.

Múltiplos Unidade


quilômetros quadrado

hectômetro quadrado

decâmetro quadrado

metro quadrado decímetro quadrado

centímetro quadrado

milímetro quadrado

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1.000.000m2 10.000m2 100m2 1m2 0,01m2 0,0001m2 0,000001m2

O dam2, o hm2 e km2 sào utilizados para medir grandes superfícies, enquanto o dm2, o cm2 e o mm2 são utilizados para pequenas superfícies.

Exemplos:

1) Leia a seguinte medida: 12,56m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 12, 56


__________________________________________________________________________________________________________________________


Lê-se “12 metros quadrados e 56 decímetros quadrados”. Cada coluna dessa tabela corresponde a uma unidade de área.

2) Leia a seguinte medida: 178,3 m2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 1 78, 30

Lê-se “178 metros quadrados e 30 decímetros quadrados”

3) Leia a seguinte medida: 0,917 dam2

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 0, 91 70

Lê-se 9.170 decímetros quadrados.

9.3 Medidas Agrárias

As medidas agrárias são utilizadas para medir superfícies de campo, plantações, pastos, fazendas, etc. A principal unidade destas medidas é o are (a). Possui um múltiplo, o hectare (ha), e um submúltiplo, o centiare (ca).

Unidade agrária

hectare (ha) are (a) centiare (ca)

Equivalência de valor

100a 1a 0,01a

Lembre-se:

1 ha = 1hm2 1a = 1 dam2 1ca = 1m2

9.3.1 Transformação de unidades

No sistema métrico decimal, devemos lembrar que, na transformação de unidades de superfície, cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior:

Observe as seguintes transformações:

Transformar 2,36 m2 em mm2.

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2


__________________________________________________________________________________________________________________________


Para transformar m2 em mm2 (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000.000 (100x100x100).

2,36 x 1.000.000 = 2.360.000 mm2

Transformar 580,2 dam2 em km2.


Para transformar dam2 em km2 (duas posições à esquerda) devemos dividir por 10.000 (100x100).

580,2 : 10.000 = 0,05802 km2

Pratique! Tente resolver esses exercícios:

1) Transforme 8,37 dm2 em mm2 (R: 83.700 mm2) 2) Transforme 3,1416 m2 em cm2 (R: 31.416 cm2) 3) Transforme 2,14 m2 em dam2 (R: 0,0214 dam2) 4) Calcule 40m x 25m (R: 1.000 m2)

9.4 Medidas de volume

9.4.1 Introdução

Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume.

9.4.2 Metro cúbico

A unidade fundamental de volume chama-se metro cúbico. O metro cúbico (m3) é medida correspondente ao espaço ocupado por um cubo com 1 m de aresta.

9.4.3 Múltiplos e submúltiplos do metro cúbico

Múltiplos Unidade


quilômetro cúbico

hectômetro cúbico

decâmetro cúbico

metro cúbico decímetro cúbico

centímetro cúbico

milímetro cúbico

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 1.000.000.000m3 1.000.000 m3 1.000m3 1m3 0,001m3 0,000001m3 0,000000001 m3

9.4.4 Leitura das medidas de volume A leitura das medidas de volume segue o mesmo procedimento do aplicado às medidas lineares. Devemos utilizar porem, três algarismo em cada unidade no quadro. No caso de alguma casa ficar incompleta, completa-se com zero(s). Exemplos.

Leia a seguinte medida: 75,84m3


__________________________________________________________________________________________________________________________


km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 75, 840

Lê-se "75 metros cúbicos e 840 decímetros cúbicos".

Leia a medida: 0,0064dm3

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 0, 006 400

Lê-se "6400 centímetros cúbicos


Na transformação de unidades de volume, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:

Transformar 2,45 m3 para dm3.


Para transformar m3 em dm3 (uma posição à direita) devemos multiplicar por 1.000.

2,45 x 1.000 = 2.450 dm3


1) Transforme 8,132 km3 em hm3 (R: 8.132 hm3) 2) Transforme 180 hm3 em km3 (R: 0,18 km3) 3) Transforme 1 dm3 em dam3 (R: 0,000001 dam3) 4) Expresse em metros cúbicos o valor da expressão: 3.540dm3 + 340.000cm3 (R: 3,88 m3)

9.5 Medidas de capacidade

A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente, afinal quando enchemos este recipiente, o líquido assume a forma do mesmo. Capacidade é o volume interno de um recipiente.

A unidade fundamental de capacidade chama-se litro.

9.5.1 Litro

É a capacidade de um cubo que tem 1dm de aresta.

1l = 1dm3

9.5.2 Múltiplos e submúltiplos do litro


__________________________________________________________________________________________________________________________


Múltiplos Unidade


quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro kl hl dal l dl cl ml

1000l 100l 10l 1l 0,1l 0,01l 0,001l

Cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Relações

1l = 1dm3 1ml = 1cm3 1kl = 1m3

9.5.3 Leitura das medidas de capacidade

Exemplo: leia a seguinte medida: 2,478 dal

kl hl dal l dl cl ml 2, 4 7 8

Lê-se "2 decalitros e 478 centilitros".


Na transformação de unidades de capacidade, no sistema métrico decimal, devemos lembrar que cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe a seguinte transformação:

Transformar 3,19 l para ml.

kl hl dal l dl cl ml

Para transformar l para ml (três posições à direita) devemos multiplicar por 1.000 (10x10x10).

3,19 x 1.000 = 3.190 ml


1) Transforme 7,15 kl em dl (R: 71.500 dl) 2) Transforme 6,5 hl em l (R: 650 l) 3) Transforme 90,6 ml em l (R: 0,0906 l) 4) Expresse em litros o valor da expressão: 0,6m3 + 10 dal + 1hl (R: 800 l)

9.6 Medidas de massa


__________________________________________________________________________________________________________________________


9.6.1 Introdução

Observe a distinção entre os conceitos de corpo e massa:

9.6.2 Massa

É a quantidade de matéria que um corpo possui, sendo, portanto, constante em qualquer lugar da terra ou fora dela.

9.6.3 Peso

É a força com que esse corpo é atraído (gravidade) para o centro da terra. Varia de acordo com o local em que o corpo se encontra. Por exemplo:

A massa do homem na Terra ou na Lua tem o mesmo valor. O peso, no entanto, é seis vezes maior na terra do que na lua.

Explica-se esse fenômeno pelo fato da gravidade terrestre ser 6 vezes superior à gravidade lunar.

Obs: A palavra grama, empregada no sentido de "unidade de medida de massa de um corpo", é um substantivo masculino. Assim 200g, lê-se "duzentos gramas".

9.6.4 Quilograma

A unidade fundamental de massa chama-se quilograma.

O quilograma (Kg) é a massa de 1dm3 de água destilada à temperatura de 4ºC.

Apesar de o quilograma ser a unidade fundamental de massa, utilizamos na prática o grama como unidade principal de massa.

9.6.5 Múltiplos e Submúltiplos do grama

Múltiplos Unidade principal

Submúltiplos

quilograma hectograma decagrama grama decigrama centigrama miligrama

kg hg dag g dg cg mg

1.000g 100g 10g 1g 0,1g 0,01g 0,001g

Observe que cada unidade de volume é dez vezes maior que a unidade imediatamente inferior. Exemplos:

1 dag = 10 g

1 g = 10 dg

9.6.6 Medidas de massa

Relações Importantes

Podemos relacionar as medidas de massa com as medidas de volume e capacidade.

Assim, para a água pura (destilada) a uma temperatura de 4ºC é válida a seguinte equivalência:

1 kg <=> 1dm3 <=> 1l


__________________________________________________________________________________________________________________________


São válidas também as relações:

1m3 <=> 1 Kl <=> 1t

1cm3 <=> 1ml <=> 1g

Observação:

Na medida de grandes massas, podemos utilizar ainda as seguintes unidades especiais:

1 arroba = 15 kg

1 tonelada (t) = 1.000 kg

1 megaton = 1.000 t ou 1.000.000 kg

9.6.7 Leitura das Medidas de Massa

A leitura das medidas de massa segue o mesmo procedimento aplicado às medidas lineares. Exemplos:

Leia a seguinte medida: 83,732 hg


8 3, 7 3 1

Lê-se "83 hectogramas e 731 decigramas".

Leia a medida: 0,043g


0, 0 4 3

Lê-se " 43 miligramas".

9.6.8 Transformação de Unidades

Cada unidade de massa é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior.

Observe as Seguintes transformações:

Transforme 4,627 kg em dag.



__________________________________________________________________________________________________________________________


Para transformar kg em dag (duas posições à direita) devemos multiplicar por 100 (10 x 10).

4,627 x 100 = 462,7

Ou seja: 4,627 kg = 462,7 dag

Observação:

Peso bruto: peso do produto com a embalagem. Peso líquido: peso somente do produto.

9.8 Medidas de tempo

9.8.1 Introdução

É comum em nosso dia-a-dia pergunta do tipo:

Qual a duração dessa partida de futebol?

Qual o tempo dessa viagem?

Qual a duração desse curso?

Qual o melhor tempo obtido por esse corredor?

Todas essas perguntas serão respondidas tomando por base uma unidade padrão de medida de tempo.

A unidade de tempo escolhida como padrão no Sistema Internacional (SI) é o segundo.

9.8.2 Segundo

O Sol foi o primeiro relógio do homem: o intervalo de tempo natural decorrido entre as sucessivas passagens do Sol sobre um dado meridiano dá origem ao dia solar.

O segundo (s) é o tempo equivalente a do dia solar médio.

As medidas de tempo não pertencem ao Sistema Métrico Decimal.

9.8.3 Múltiplos e Submúltiplos do Segundo

Quadro de unidades

Múltiplos

minutos hora dia

min h d

60 s 60 min = 3.600 s 24 h = 1.440 min = 86.400s

São submúltiplos do segundo:

• décimo de segundo • centésimo de segundo


__________________________________________________________________________________________________________________________


• milésimo de segundo

Cuidado: Nunca escreva 2,40h como forma de representar 2 h 40 min. Pois o sistema de medidas de tempo não é decimal.

Observe:

10 Equações do primeiro grau

10.1 Introdução

Equação é toda sentença matemática aberta que exprime uma relação de igualdade. A palavra equação tem o prefixo equa, que em latim quer dizer "igual". Exemplos:

2x + 8 = 0

5x - 4 = 6x + 8

3a - b - c = 0

Não são equações:

4 + 8 = 7 + 5 (Não é uma sentença aberta)

x - 5 < 3 (Não é igualdade)

(não é sentença aberta, nem igualdade)

A equação geral do primeiro grau:

ax+b = 0

onde a e b são números conhecidos e a > 0, se resolve de maneira simples: subtraindo b dos dois lados, obtemos:

ax = -b

dividindo agora por a (dos dois lados), temos:


__________________________________________________________________________________________________________________________


Considere a equação 2x - 8 = 3x -10

A letra é a incógnita da equação. A palavra incógnita significa " desconhecida".

Na equação acima a incógnita é x; tudo que antecede o sinal da igualdade denomina-se 1º membro, e o que sucede, 2º membro.

Qualquer parcela, do 1º ou do 2º membro, é um termo da equação.

Equação do 1º grau na incógnita x é toda equação que pode ser escrita na forma ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.

10.2 Conjunto Verdade e Conjunto Universo de uma Equação

Considere o conjunto A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e a equação x + 2 = 5.

Observe que o número 3 do conjunto A é denominado conjunto universo da equação e o conjunto {3} é o conjunto verdade dessa mesma equação.

Daí, concluímos que:

Conjunto Universo é o conjunto de todos os valores que variável pode assumir. Indica-se por U.

Conjunto verdade é o conjunto dos valores de U, que tornam verdadeira a equação . Indica-


__________________________________________________________________________________________________________________________


se por V.

Observações:

O conjunto verdade é subconjunto do conjunto universo.

Não sendo citado o conjunto universo, devemos considerar como conjunto universo o conjunto dos números racionais.

O conjunto verdade é também conhecido por conjunto solução e pode ser indicado por S.

10.3 Raízes de uma equação

Os elementos do conjunto verdade de uma equação são chamados raízes da equação.

Para verificar se um número é raiz de uma equação, devemos obedecer à seguinte seqüência:

• Substituir a incógnita por esse número. • Determinar o valor de cada membro da equação. • Verificar a igualdade, sendo uma sentença verdadeira, o número considerado é raiz da equação.

Exemplos:

Verifique quais dos elementos do conjunto universo são raízes das equações abaixo, determinando em cada caso o conjunto verdade.

• Resolva a equação x - 2 = 0, sendo U = {0, 1, 2, 3}.

Para x = 0 na equação x - 2 = 0 temos: 0 - 2 = 0 => -2 = 0. (F)

Para x = 1 na equação x - 2 = 0 temos: 1 - 2 = 0 => -1 = 0. (F)

Para x = 2 na equação x - 2 = 0 temos: 2 - 2 = 0 => 0 = 0. (V)

Para x = 3 na equação x - 2 = 0 temos: 3 - 2 = 0 => 1 = 0. (F)

Verificamos que 2 é raiz da equação x - 2 = 0, logo V = {2}.

• Resolva a equação 2x - 5 = 1, sendo U = {-1, 0, 1, 2}.


__________________________________________________________________________________________________________________________


Para x = -1 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . (-1) - 5 = 1 => -7 = 1. (F)

Para x = 0 na equação 2x - 5 = 1 temos: 2 . 0 - 5 = 1 => -5 = 1. (F)



A equação 2x - 5 = 1 não possui raiz em U, logo V = Ø.

10.4 Resolução de uma equação

Resolver uma equação consiste em realizar uma espécie de operações de operações que nos conduzem a equações equivalentes cada vez mais simples e que nos permitem, finalmente, determinar os elementos do conjunto verdade ou as raízes da equação. Resumindo:

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade, dentro do conjunto universo considerado.

Na resolução de uma equação do 1º grau com uma incógnita, devemos aplicar os princípios de equivalência das igualdades (aditivo e multiplicativo). Exemplos:

Sendo , resolva a equação .

m.m.c. (4, 6) = 12

-9x = 10 => Multiplicador por (-1)

9x = -10

Como , então .

Sendo , resolva a equação 2 . (x - 2) - 3 . (1 - x) = 2 . (x - 4).

Iniciamos aplicando a propriedade distributiva da multiplicação:

2x - 4 - 3 + 3x = 2x - 8


__________________________________________________________________________________________________________________________


2x + 3x -2x = - 8 + 4 + 3

3x = -1

Como , então

10.5 Equações impossíveis e identidades

• Sendo , considere a seguinte equação: 2 . (6x - 4) = 3 . (4x - 1).

Observe, agora, a sua resolução:

2 . 6x - 2 . 4 = 3 . 4x - 3 . 1 12x - 8 = 12x - 3 12x - 12x = - 3 + 8

0 . x = 5

Como nenhum número multiplicado por zero é igual a 5, dizemos que a equação é impossível e, portanto, não tem solução. Logo, V = Ø.

Assim, uma equação do tipo ax + b = 0 é impossível quando e

Sendo , considere a seguinte equação: 10 - 3x - 8 = 2 - 3x.

Observe a sua resolução:

-3x + 3x = 2 - 10 + 8

0 . x = 0

Como todo número multiplicado por zero é igual a zero, dizemos que a equação possui infinitas soluções.

Equações desse tipo, em que qualquer valor atribuído à variável torna a equação verdadeira, são denominadas identidades.

10.7 Pares ordenados

Muitas vezes, para localizar um ponto num plano, utilizamos dois números racionais, numa certa ordem.

Denominamos esses números de par ordenado. Exemplos:


__________________________________________________________________________________________________________________________


Assim:

Indicamos por (x, y) o par ordenado formado pelos elementos x e y, onde x é o 1º elemento e y é o 2º elemento.

Observações

1. De um modo geral, sendo x e y dois números racionais quaisquer, temos: . Exemplos

2. Dois pares ordenados (x, y) e (r, s) são iguais somente se x = r e y = s.

10.8 Representação gráfica de um Par Ordenado

Podemos representar um par ordenado através de um ponto num plano.

Esse ponto é chamado de imagem do par ordenado.

10.9 Coordenadas Cartesianas

Os números do par ordenados são chamados de coordenadas cartesianas. Exemplos:

A (3, 5) ==> 3 e 5 são as coordenadas do ponto A.

Denominamos de abscissa o 1º número do par ordenado, e ordenada, o 2º número desse par. Assim:

10.10 Plano Cartesiano


__________________________________________________________________________________________________________________________


Representamos um par ordenado num plano cartesiano.

Esse plano é formado por duas retas, x e y perpendiculares entre si.

A reta horizontal é o eixo das abscissas (eixo x).

A reta vertical é o eixo das ordenadas (eixo y).

O ponto comum dessas duas retas é denominado origem, que corresponde ao par ordenado (0, 0).

10.11 Localização de um Ponto

Para localizar um ponto num plano cartesiano, utilizamos a seqüência prática:

O 1º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das abscissas.

O 2º número do par ordenado deve ser localizado no eixo das ordenadas.

No encontro das perpendiculares aos eixos x e y, por esses pontos, determinamos o ponto procurado.

10.12 Produto Cartesiano

Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4}. Com auxílio do diagrama de flechas ao lado formaremos o conjunto de todos os pares ordenados em que o 1º elemento pertença ao conjunto A e o 2º pertença ao conjunto B.

Assim , obtemos o conjunto: {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}

Esse conjunto é denominado produto cartesiano de A por B, e é indicado por:

Logo:

Dados dois conjuntos A e B, não-vazios, denominamos produtos cartesiano A x B o conjunto de todos os pares ordenados (x, y) onde

10.13 Equações de primeiro grau com duas variáveis

Considere a equação: 2x - 6 = 5 - 3y


__________________________________________________________________________________________________________________________


Trata-se de uma equação com duas variáveis, x e y, pode ser transformada numa equação equivalente mais simples. Assim:

2x - 3y = 5 + 6

2x - 3y = 11 ==> Equação do 1º grau na forma ax + by = c .

Denominando equação de 1º grau com duas variáveis, x e y, a toda equação que pode ser reproduzida à forma ax + by = c, sendo a e b números diferentes de zero, simultaneamente.

Na equação ax + by = c, denominamos:

x + y - variáveis ou incógnita

a - coeficiente de x

b - coeficiente de y

c - termo independente

Exemplos:

x + y = 30

2x + 3y = 15

x - 4y = 10

-3x - 7y = -48

2x- 3y = 0

x - y = 8

10.13.1 Solução de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Quais o valores de x e y que tornam a sentença x - 2y = 4 verdadeira?

Observe os pares abaixo:

x = 6, y = 1

x - 2y = 4

6 - 2 . 1 = 4

6 - 2 = 4

4 = 4 (V)

x = 8, y = 2

x - 2y = 4

8 - 2 . 2 = 4

8 - 4 = 4

4 = 4 (V) x = -2, y = -3

x - 2y = 4

-2 - 2 . (-3) = 4


__________________________________________________________________________________________________________________________


-2 + 6 = 4

4 = 4 (V)

Verificamos que todos esses pares são soluções da equação x - 2y = 4.

Assim, os pares (6, 1); (8, 2); (-2, -3) são algumas das soluções dessa equação.

Uma equações do 1º grau com duas variáveis tem infinitas soluções - infinitos (x, y) - , sendo, portanto, seu conjunto

universo .

Podemos determinar essas soluções, atribuindo-se valores quaisquer para uma das variáveis, calculando a seguir o valor da outra. Exemplo:

Determine uma solução para a equação 3x - y = 8.

Atribuímos para o x o valor 1, e calculamos o valor de y. Assim:

3x - y = 8

3 . (1) - y = 8

3 - y = 8 -y = 5 ==> Multiplicamos por -1

y = -5

O par (1, -5) é uma das soluções dessa equação.

V = {(1, -5)}

Resumindo:

Um par ordenado (r, s) é solução de uma equação ax + by = c (a e b não-nulos simultaneamente), se para x = r e y = s a sentença é verdadeira.

10.14 Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis

Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções.

Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y).

Dispondo de dois pares ordenados de uma equação, podemos representá-los graficamente num plano cartesiano, determinando, através da reta que os une, o conjunto das solução dessa equação. Exemplo:

• Construir um gráfico da equação x + y = 4.

Inicialmente, escolhemos dois pares ordenados que solucionam essa equação.

1º par: A (4, 0)

2º par: B (0, 4)


__________________________________________________________________________________________________________________________


A seguir, representamos esses pontos num plano cartesiano.

x y

4 0

0 4

Finalmente, unimos os pontos A e B, determinando a reta r, que contém todos os pontos soluções da equação.

A reta r é chamada reta suporte do gráfico da equação.

10.14 Sistemas de Equações

Considere o seguinte problema:

Pipoca, em sua última partida, acertou x arremessos de 2 pontos e y arremessos de 3 pontos. Ele acertou 25 arremessos e marcou 55 pontos. Quantos arremessos de 3 pontos ele acertou?

Podemos traduzir essa situação através de duas equações, a saber:

x + y = 25 (total de arremessos certo)

2x + 3y = 55 (total de pontos obtidos)


__________________________________________________________________________________________________________________________


Essas equações contém um sistema de equações.

Costuma-se indicar o sistema usando chave.

O par ordenado (20, 5), que torna ambas as sentenças verdadeiras, é chamado solução do sistema.

Um sistema de duas equações com duas variáveis possui uma única solução.

10.15 Resolução de Sistemas

A resolução de um sistema de duas equações com duas variáveis consiste em determinar um par ordenado que torne verdadeiras, ao mesmo tempo, essas equações.

Estudaremos a seguir alguns métodos:

10.15.1 Método de substituição

Solução

Isolamos x na 1ª equação.

x = 4 - y

Substituímos esse valor na 2ª equação.

2 . (4 - y) -3y = 3

Resolvemos a equação formada.

8 - 2y -3y = 3 -2y -3y = 3 -5y = 5

Multiplicamos por -1

5y = -5

y = 1


__________________________________________________________________________________________________________________________


Substituímos o valor encontrado de y, em qualquer das equações, determinando x.

x + 1 = 4

x = 4 - 1

x = 3

solução do sistema é o par ordenado (3, 1).

V = {(3, 1)}

10.15.2 Método da adição

Sendo U = , observe a solução de cada um dos sistemas a seguir, pelo método da adição.

Resolva o sistema abaixo:

Solução

Adicionamos membros a membros as equações:

2x = 16

x = 8

Substituímos o valor encontrado de x, em qualquer das equações, determinado y:

8 + y = 10 y = 10 - 8

y = 2

A solução do sistema é o par ordenado (8, 2)

V = {(8, 2)}

10.17 INEQUAÇÕES DO 1º GRAU

10.17.1 Introdução


__________________________________________________________________________________________________________________________


Denominamos inequação toda sentença matemática aberta por uma desigualdade.

As inequações do 1º grau com uma variável podem ser escritas numa das seguintes formas:

, , , , como a e b reais . Exemplos:

10.17.2 Repres. gráfica de uma ineq. do 1º grau com duas variáveis

Método prático

• Substituímos a desigualdade por uma igualdade. • Traçamos a reta no plano cartesiano. • Escolhemos um ponto auxiliar, de preferência o ponto (0, 0) e verificamos se o mesmo satisfaz ou não a

desigualdade inicial.

Em caso positivo, a solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar.

Em caso negativo, a solução da inequação corresponde ao semiplano oposto aquele ao qual pertence o ponto auxiliar. Exemplos:

• Representa graficamente a inequação •

Tabela

x y (x, y)

0 4 (0, 4)

2 0 (2, 0)

Substituindo o ponto auxiliar (0, 0) na inequação

Verificamos:


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(Afirmativa positiva, o ponto auxiliar satisfaz a inequação)

A solução da inequação corresponde ao semiplano ao qual pertence o ponto auxiliar (0, 0).

10.17.3 Inequações de primeiro grau

Resolução Gráfica de um Sistema de Inequações do 1º grau

Para resolver um sistema de inequações do 1º grau graficamente, devemos:

• traçar num mesmo plano o gráfico de cada inequação; • determinar a região correspondente à intersecção dos dois semiplanos. Exemplos:

• Dê a resolução gráfica do sistema:

Solução

Traçando as retas -x + y = 4 e 3x + 2y = 6.

Tabela

x y (x, y)

0 4 (0, 4)

-4 0 (-4, 0)

Tabela

x y (x, y)

0 -1 (0, -1)

1 0 (1, 0)

Gráfico

10.18 Exercícios

1 - Calcule o valor de “x” nas equações a seguir:

a) 3x + 4 = x + 16 b) 5x - 3 + x = - 3 + 4x - 7 +15 c) 2( 2 - 3x ) - 4( x + 1 ) = - (3 + 2x ) - 3


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d) 7 = 3 . x - 2 - 6x + 12 e) ( x - 60 ) + 3x + 2(3x + x ) = 0 f) x - 2 = 5 x - 4 11 (Agente Administrativo - DASP) g) 259 - 2x = x - 7 13 11 (Exator da fazenda - SC) 2 - Calcule a raiz da equação abaixo 1 . - 2 . = 1 . (ESA) x + 1 x - 1 x² - 1 3 - Calcule “x” para que a equação abaixo seja solúvel. 1 . + 2 . = x – 2 x - 1 x - 2 x² - 3x + 2 (ESA) 4 - Um operário, depois de receber o seu ordenado pagou na Cooperativa uma quantia igual a 1/4 do que recebeu, no açougue uma quantia igual a 1/9 do resto e ainda ficou com UM$ 460,00. Calcule o salário do operário. (Exator - Secretaria da Fazenda - SC)

5 - Depois de gastar 1/3 do seu salário com alimentação e 1/4 com habitação, João fica com UM$ 259,00 para outras despesas. Calcule o salário de João. (Agente Administrativo - Secretaria da Fazenda) R. UM$ 621,60

6 - Doze rapazes fizeram uma “vaquinha”para comprar um barco. Como dois deles desistiram , cada um teve que desembolsar mais UM$ 20,00. Qual o preço do barco? (ESA) 7 - Dizia um pastor: “se eu tivesse mais duas ovelhas, poderia dar a meus três filhos, respectivamente, 1/3, 1/4 e 1/6 daquele total e ficaria com as três restantes, Quantas ovelhas o pastor possuía? (ESA) R. 10 8 - Qual a condição para que a equação 5x + b = a tenha raiz nula? (ESA) 9 - A metade de um número aumentada de 6 é igual ao triplo do número, diminuído de 4. Qual é o número? 10 - O número que somado aos 2/3 resulta 30 é a) ímpar; b) múltiplo de 9 c) divisor de 30 d) primo e) quadrado perfeito. 11- 3/5 de um número somados a 1/2 ë igual a 2/3 desse mesmo número. O número é: a) 0 b) 1 c) 20/33 d) 33/20 e) 15/2 12 - A soma de três números inteiros e consecutivos é 60. Então é verdade que: a) o quociente do maior pelo menor é 2 b) o produto dos três números é 8.000 c) não existem números nesta condição d) falta informação para determinar os três números e) o produto dos três números é 7.980. 13 - A diferença entre o triplo da idade da Maria e doze é igual à soma entre a sua idade e dez. Qual é a sua idade? R.: 11

14 - O Vítor foi às compras e gastou metade do dinheiro que tinha num livro e a quinta parte do restante num chocolate. Determine quanto dinheiro levava o Vítor se lhe sobraram R$ 880,00.

15 - Pretende-se trocar a quantia de 500$00 pelo mesmo número de moedas de 20$00 e de 100$00. Será possível? Será possível com moedas de 25$00 em vez de 20$00?

16 - Dois capitais estão entre si na razão 8 para 3 e o maior deles excede o menor em UM$ 25.000,00. Calcule a soma dos capitais. (Banco do Brasil)


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17 - Um atirador ganha UM$ 10,00 por tiro acertado e perde UM$ 15,00 por tiro errado. Se num total de 100 tiros lucrou UM$ 250,00, quantos tiros errou? (Banco do Brasil) 18 - Mauro cria galinhas e porcos em sua fazenda. São ao todo, 64 cabeças e 200 pés. Qual o número de galinhas? (Banco do Brasil) 19 - Qual a fração equivalente a 2/3 cuja soma dos termos é 40? (ESA) 20 - A diferença entre dois números é 15. Multiplicando-se o maior por 11, a diferença passa a ser 535, Qual o número maior? (ESA)

21 - A soma de dois números é 180 e a sua diferença é 120. Calcular o quociente entre o maior e o menor número.

22 - A soma das idades de Eduardo e Cláudia é 26 anos. Daqui a 4 anos, Eduardo terá o dobro da idade que Cláudia tinha há 3 anos atrás. Calcule a idade de Cláudia. 23- Carla e Fernando receberam R$ 6.000,00 de sua mãe para guardar. Carla aplicou a sua parte a 20% ao mês, e Fernando gastou a metade e aplicou a outra metade a 30%. Ao fim de 30 dias, eles terão juntos R$ 5.000,00. Quanto coube inicialmente a cada um ? 24- As idades de pai e filho somam hoje 52 anos; mas há 10 anos, a idade do pai era 15 vezes a idade do filho. Determine as idades. 25 - Um pai tem hoje 54 anos e seus 4 filhos tem juntos 39 anos. Daqui a quantos anos a idade do pai será igual à soma das idades de seus 4 filhos ? 26 - Em uma classe de 50 alunos, o número de moças excede em 5 o dobro do número de rapazes. Qual o número de rapazes dessa classe ?

27 - Determine uma fração que se adicionarmos 4 unidades aos seus dois termos, ela ficará equivalente a 3/4, e que se subtrairmos 2 unidades de ambos os termos, ela ficará equivalente a 1/2.

28 - misturando 2 litros de um xarope A com 3 litros de um xarope B, obtém-se um xarope de R$ 400,00 o litro. Agora, se misturar 3 litros do xarope A com 2 litros do xarope B, obtém-se um produto de R$ 300,00 o litro. Qual o preço de cada xarope ? 29 - Um livreiro vende, num dia, 3 exemplares de Língua Portuguesa e 7 de Matemática, recebendo R$ 3.240,00 No dia seguinte, vende 2 de Língua Portuguesa e 5 de Matemática, e então recebe R$ 2.260,00. Qual é preço de cada exemplar ? 30 - Certa quantidade de sacos precisam ser transportados e para isto dispõe-se de jumentos. Se colocarmos dois sacos em cada jumento, sobram treze sacos; se colocarmos três sacos em cada jumento, sobram três jumentos. Quantos sacos precisam ser carregados? (TTN) 31 – Em um ônibus, se em cada banco for ocupado por 2 pessoas, ficam 5 pessoas em pé. Se em cada banco tomarem assento 3 pessoas, sobram 5 bancos vazios. Quantas pessoas estão sendo transportadas ? 32 - Eu tenho o dobro da idade que tu tinhas, quando eu tinha a idade que tens. Quando tiveres a idade que eu tenho, juntos somaremos, hoje, 63 anos. Quais as nossas idades hoje? 33 - A um aluno propuseram o seguinte problema: "Um número é tal que multiplicado por 3/4 diminui de 5 unidades; dividido por 4/5 aumenta de 5 unidades; adicionando-se-lhe 10 unidades obtém-se outro número que é 3/2 do número dado. " O aluno respondeu que o problema é impossível porque, embora as duas primeiras partes do problema fossem possíveis, o mesmo não se verifica em relação ao último item. Nestas condições, é correto afirmar que: a) o aluno acertou na resposta que deu; b) o aluno errou porque o problema só se verifica em relação às duas últimas partes; c) o aluno errou porque o problema é possível; d) o aluno errou porque o problema só é possível em relação à primeira e a última parte.


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34 – Luís e Maria resolveram comparar suas coleções de “compact disc” . Descobriram que têm ao todo 104 CDs e que se Maria tivesse 12 CDs a menos teria o triplo do número de CDs do Luís. É possível afirmar que a quantidade de CDs que Luís possui é:

a) 46 b) 40 c) 32 d) 23

35 – Em um restaurante há 12 mesas, todas ocupadas. Algumas por 4 pessoas, outras por apenas 2 pessoas num total de 38 fregueses. Qual o número de mesas ocupadas por apenas duas pessoas?

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7

36 – Um aluno ganha 5 pontos por exercícios que acerta e perde 3 por exercício que erra. Ao fim de 50 exercícios, tinha 130 pontos. Quantos exercícios acertou?

a) 35 b) 30 c) 25 d) 15

37 – Em um restaurante existem mesas de 3, 4 e 6 cadeiras num total de 16 mesas. Ocupando todos os lugares nas mesas de 3 e 4 cadeiras, 36 pessoas ficam perfeitamente acomodadas. Sabendo-se que o restaurante acomoda no máximo 72 pessoas, quantas mesas de cada tipo ( 3, 4 e 6) , respectivamente, existem?

a) 6, 4 e 6 b) 6, 6 e 4 c) 4, 6 e 6 d) 3, 7 e 6

38 – Um jogador de basquete fez o seguinte acordo com seu clube: cada vez que ele convertesse um arremesso, receberia R$ 10,00 do clube e cada vez que ele errasse pagaria R$ 5,00 ao clube. Ao final de uma partida em que arremessou 20 vezes, ele recebeu R$ 50,00. Pode-se afirmar que o número de arremessos convertidos pelo jogador foi:

a) 0 b) 5 c) 10 d) 15

39 – Um copo cheio tem massa de 385g; com 2/3 de água tem massa de 310g. A massa do copo com 3/5 da água é:

a) 160 g b) 225 g c) 260 g d) 295 g 40 – Num escritório de advocacia trabalhavam apenas dois advogados e uma secretária. Como Dr. André e Dr. Carlos sempre advogam em causas diferentes, a secretária, Cláudia, coloca um grampo em cada processo do Dr. André e dois grampos em cada processo do Dr. Carlos, para diferenciá-los facilmente no arquivo. Sabendo-se que ao todo são 78 processos, nos quais foram usados 110 grampos, podemos concluir que o número de processos do Dr. Carlos é igual a:

a) 64 b) 46 c) 40 d) 32

41 - Uma pessoa retira R$ 70,00 de um banco, recebendo 10 notas, algumas de R$ 10,00 e outras de R$ 5,00. Calcule quantas notas de R$ 5,00 a pessoa recebeu.

a) 10 b) 6 c) 4 d) 2

42 – Numa lanchonete, 2 copos de refrigerantes e 3 coxinhas custam R$ 5,70. O preço de 3 copos de refrigerantes e 5 coxinhas é R$ 9,30. Nessas condições, é verdade que cada copo de refrigerante custa:

a) R$ 0,70 a menos que cada coxinha. b) R$ 0,80 a menos que cada coxinha.

c)R$ 0,90 a menos que cada coxinha. d) R$ 0,80 a mais que cada coxinha.

43 – Carlos e sua irmã Andréia foram com seu cachorro Bidu à farmácia de seu avô. Lá encontraram uma velha balança com defeito que só indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles se pesam dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:

• Carlos e o cão pesam juntos 87kg; • Carlos e Andréa pesam 123kg e


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• Andréia e Bidu pesam 66kg.

Podemos afirmar que:

a. Cada um deles pesa menos que 60kg b. Dois deles pesam mais de 60kg c. Andréia é a mais pesada dos três d. Carlos é mais pesado que Andréia e Bidu juntos.

44 -

=−

=+

1

5

yx

yx

45 -

=+

=−

73

32

yx

yx

46 -

=+−

=+

32

623

yx

yx

47 - Uma empreiteira destinou originalmente alguns operários para a construção de uma obra de 72m2. Como 4 deles foram demitidos antes do início da obra, os demais tiveram que trabalhar 9m2 a mais cada um para compensar. a) Qual o número de operários originalmente designados para a obra? b) Qual a porcentagem de operários demitidos? 48 - Helena tem 3 anos a mais que Ana. Sabendo que a soma das idades é 57 anos, qual a idade de Ana? 49 - ( FEPESE-2007)Numa caixa o número de bolas vermelhas é o triplo de bolas brancas. Se tirarmos 2 bolas brancas e 26 bolas vermelhas, o número de bolas de cada cor ficará igual. A quantidade de bolas brancas encontrada é: a) 42 b) 24 c) 21 d) 13 e) 12 50 - Os alunos de uma turma resolveram comprar um presente custando R$ 48,00 para o professor de Matemática, dividindo igualmente o gasto entre eles. Depois que 6 alunos recusaram-se a participar da divisão, cada um dos alunos restantes teve que contribuir com mais R$ 0,40 para a compra do presente. Qual a percentagem de alunos da turma que contribuíram para a compra do presente? a) 85% b) 65% c) 60% d) 80% e) 75% 51 - (FUVEST 84) Um copo cheio de água pesa 325g. Se jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é: a) 20g b) 25g c) 35g d) 40g e) 45g 52 - A soma de três números racionais é igual a 521. O maior número igual ao dobro do menor deles e o outro número tem 5 unidades a mais que o número menor. Qual o valor desses três números? 53 - Um pai tinha 27 anos quando seu filho nasceu. Hoje, a idade do pai é o quádruplo da idade do filho. A atual idade do pai é: a) 40 anos b) 36 anos c) 32 anos d) 44 anos 54 - A soma das idades de um pai e um filho é 42 anos. Há 3 anos passados, a idade do pai era onze vezes a idade do filho. Determine a idade atual do pai 55 - (Soldado-PM) Duas amigas foram juntas à feira. Uma delas comprou meia dúzia de bananas e dois melões, gastando R$ 10,80. A outra gastou R$ 11,40, comprando meia dezena de bananas e três melões. A razão entre os preços de uma banana e de um melão é:

a) 5

3 b)

3

5 c)

2

3 d)

3

2


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56 - ( FEPESE )Seja y

zex

y1

11

1 −=−= assinale a opção que representa o valor de z.

a) z = x b) x

z2

= c) x

z−

=1

1 d) z = 1 – x e)

xz

1=

57 - Em agosto de 2000, Zuza gastou R$192,00 na compra de algumas peças de certo artigo. No mês seguinte, o preço unitário desse artigo aumentou R$8,00 e, com a mesma quantia que gastou em agosto, ele pode comprar duas peças a menos. Em setembro, o preço de cada peça de tal artigo era a) R$ 24,00 b) R$ 25,00 c) R$ 28,00 d) R$ 30,00 e) R$ 32,00 58 - (FEPESE -2006) Uma papelaria vende cadernos fabricados por duas empresas, denominadas por A e B. Ao se analisar as vendas destes produtos durante dois meses consecutivos, obteve-se o seguinte resultado: 1º dia: foram vendidas 20 cadernos da marca A e 30 cadernos da marca B, resultando num total de vendas de R$ 310,00. 2º dia: foram vendidas 10 cadernos da marca A e 20 cadernos da marca B, resultando num total de vendas de R$ 190,00. Assinale a alternativa que indica a razão entre o preço do caderno da marca B e o preço do caderno da marca A. a) 0,7 b) 1 c) 2 d) 1,4 e) 1,5 59 - ( ACAFE) Uma concessionária está fazendo uma promoção de 51 automóveis de três marcas diferentes, a, b e c. O número de veículos da marca b é igual a 8/5 da a e o dobro da c. A diferença entre o número de automóveis das marcas a e c é: a) 12 b) 3 c) 9 d) 7 e) 1 60 - ( UNICAMP) Uma transportadora entrega, com caminhões, 60 toneladas de açúcar por dia. Devido a problemas operacionais, em um certo dia cada caminhão foi carregado com 500kg a menos que o usual, tendo sido necessário, naquele dia, alugar mais 4 caminhões. a) Quantos caminhões foram necessários naquele dia? b) Quantos quilos transportou cada caminhão naquele dia? 61 - O gráfico da função f(x) = ax + b está representado na figura.

O valor de a + b é: a) -1 b) 2/5 c) 3/2 d) 2 62 - ( CEFET-SC ) Uma agência de aluguel de automóveis cobra R$ 40,00 por dia mais R$ 0,50 por Km rodado. Quanto custa alugar um carro para uma viagem de um dia, percorrendo 250 Km ? Uma pessoa pagou R$ 89,00 pelo aluguel de um dia quantos Km rodou ? a) R$ 125,00 e 89Km b) R$ 125,00 e 98Km c) R$ 165,00 e 89Km d) R$ 165,00 e 98Km 63 - O gráfico a seguir fornece o perfil do lucro de uma empresa agrícola ao longo do tempo, sendo 1969 o ano zero, ou seja, o ano de sua fundação. Analisando o gráfico, podemos afirmar que:


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( ) 10 foi o único ano em que ela foi deficitária. ( ) 20 foi o ano de maior lucro. ( ) 25 foi um ano deficitário. ( ) 15 foi um ano de lucro. ( ) 5 foi o ano de maior lucro no período que vai da fundação até o ano 15. 64 - Na figura a seguir tem-se o gráfico da função f, onde f(x) representa o preço pago em reais por x cópias de um mesmo original, na Copiadora Reprodux

De acordo com o gráfico, é verdade que o preço pago nessa Copiadora por a) 228 cópias de um mesmo original é R$22,50. b) 193 cópias de um mesmo original é R$9,65. c) 120 cópias de um mesmo original é R$7,50. d) 100 cópias de um mesmo original é R$5,00 e) 75 cópias de um mesmo original é R$8,00. 65 - (Unb) Cada bilhete vendido em um parque de diversões dá direito à utilização de apenas um brinquedo, uma única vez. Esse parque oferece aos usuários três opções de pagamento: I. R$ 2,00 por bilhete; II. valor fixo de R$ 10,00 por dia, acrescido de R$ 0,40 por bilhete; III. valor fixo de R$ 16,00 por dia, com acesso livre aos brinquedos. Com base nessa situação, julgue os itens a seguir. (1) Se uma criança dispõe de R$ 14,00, a opção I é a que lhe permite utilizar o maior número de brinquedos. (2) Se x representa o número de vezes que uma pessoa utiliza os brinquedos do parque, a função f que descreve a despesa diária efetuada, em reais, ao se utilizar a opção III, é dada por f(x)=16x. (3) É possível a um usuário utilizar determinado número de brinquedos em um único dia, de modo que a sua despesa total seja a mesma, independente da opção de pagamento escolhida. 66 - A promoção de uma mercadoria em um supermercado está representada, no gráfico a seguir, por 6 pontos de uma mesma reta.


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Quem comprar 20 unidades dessa mercadoria, na promoção, pagará por unidade, em reais, o equivalente a: a) 4,50 b) 5,00 c) 5,50 d) 6,00 67 - Em uma partida, Vasco e Flamengo levaram ao Maracanã 90.000 torcedores. Três portões foram abertos às 12 horas e até as 15 horas entrou um número constante de pessoas por minuto. A partir desse horário, abriram-se mais 3 portões e o fluxo constante de pessoas aumentou. Os pontos que definem o número de pessoas dentro do estádio em função do horário de entrada estão contidos no gráfico a seguir:

Quando o número de torcedores atingiu 45.000, o relógio estava marcando 15 horas e: a) 20 min b) 30 min c) 40 min d) 50 min 68 - ( TÉCNICO-INSS ) Seu Manoel comprou uma saca que ele pensava conter 100 Kg de feijão por R$ 81,00. Depois de empacotar o feijão em sacos de 2 Kg, seu Manoel contou apenas 45 sacos, ou seja, havia na saca menos feijão do que ele pensava. Na realidade, quanto ele pagou, em reais, por cada quilo de feijão ? a) 0,80 b) 0,81 c)0,90 d) 1 69 - Para publicar certo livro, há um investimento inicial de R$200.000,00 e depois um gasto de R$5,00 por exemplar. Calculando-se o custo por exemplar, numa tiragem de 4000 exemplares e numa tiragem de 16.000 exemplares, obtém-se respectivamente. a) R$ 55,00 e R$ 22,00 b) R$ 55,00 e R$ 13,75 c) R$ 105,00 e R$ 30,00 d) R$ 55,00 e R$ 17,50 e) R$ 105,00 e R$ 26,25 70 - (PRF-1998) Num determinado Estado, quando um veículo é rebocado por estacionar em Local proibido, o motorista paga uma taxa fixa de R$ 76,88 e mais R$ 1,25 por hora de permanência no estacionamento da polícia. Se o valor pago foi de R$ 101,88 o total de horas que o veículo ficou estacionado na polícia corresponde a : a) 20 b) 21 c) 22 d) 23 e) 24 71 - Sabedoria egípcia Há mais de 5.000 anos os egípcios observaram que a sombra no chão provocada pela incidência dos raios solares de um gnômon (um tipo de vareta) variava de tamanho e de direção. Com medidas feitas sempre ao meio dia, notaram que a sombra, com o passar dos dias, aumentava de tamanho. Depois de chegar a um comprimento máximo, ela recuava até perto da vareta. As sombras mais longas coincidiam com dias frios. E as mais curtas, com dias quentes. (Adaptado de Revista "Galileu", janeiro de 2001.)


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Um estudante fez uma experiência semelhante à descrita no texto, utilizando uma vareta OA de 2 metros de comprimento. No início do inverno, mediu o comprimento da sombra OB, encontrando 8 metros. Utilizou, para representar sua experiência, um sistema de coordenadas cartesianas, no qual o eixo das ordenadas (y) e o eixo das abscissas (x) continham, respectivamente, os segmentos de reta que representavam a vareta e a sombra que ela determinava no chão. Esse estudante pôde, assim, escrever a seguinte equação da reta que contém o segmento AB: a) y = 8 - 4x b) x = 6 - 3y c) x = 8 - 4y d) y = 6 - 3x 72 - Os dados experimentais da tabela a seguir correspondem às concentrações de uma substância química medida em intervalos de 1 segundo. Assumindo que a linha que passa pelos três pontos experimentais é uma parábola, tem-se que a concentração (em moles) após 2,5 segundos é: Tempo (s) Concentração (moles) 1 3,00 2 5,00 3 1,00 a) 3,60 b) 3,65 c) 3,70 d) 3,75 e) 3,80 73 - Usando uma unidade monetária conveniente, o lucro obtido com a venda de uma unidade de certo produto é x-10, sendo x o preço de venda e 10 o preço de custo. A quantidade vendida, a cada mês, depende do preço de venda e é, aproximadamente, igual a 70-x. Nas condições dadas, o lucro mensal obtido com a venda do produto é, aproximadamente, uma função quadrática de x, cujo valor máximo, na unidade monetária usada, é a) 1200 b) 1000 c) 900 d) 800 e) 600 74 - Observe o gráfico: Crepúsculo da garrafa azul Os brasileiros estão trocando o vinho branco alemão por produto de melhor qualidade (em milhões de litros).

("Veja", 13/09/1999) Se o consumo de vinho branco alemão, entre 1994 e 1998, sofreu um decréscimo linear, o volume total desse consumo em 1995, em milhões de litros, corresponde a: a) 6,585 b) 6,955 c) 7,575 d) 7,875 75 - Para produzir um objeto, um artesão gasta R$ 1,20 por unidade. Além disso, ele tem uma despesa fixa de R$123,50 , independente da quantidade de objetos produzidos. O preço de venda é de R$ 2,50 por unidade. O


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número mínimo de objetos que o artesão deve vender, para que recupere o capital empregado na produção dos mesmos, é: 76 - O balanço de cálcio é a diferença entre a quantidade de cálcio ingerida e a quantidade excretada na urina e nas fezes. É usualmente positivo durante o crescimento e a gravidez e negativo na menopausa, quando pode ocorrer a osteoporose, uma doença caracterizada pela diminuição da absorção de cálcio pelo organismo. A baixa concentração de íon cálcio (Ca++) no sangue estimula as glândulas paratireóides a produzirem hormônio paratireóideo (HP). Nesta situação, o hormônio pode promover a remoção de cálcio dos ossos, aumentar sua absorção pelo intestino e reduzir sua excreção pelos rins. (Adaptado de ALBERTS, B. et al., "Urologia Molecular da Célula." Porto Alegre: Artes Médicas, 1997.) Admita que, a partir dos cinqüenta anos, a perda da massa óssea ocorra de forma linear conforme mostra o gráfico abaixo.

(Adaptado de "Galileu", janeiro de 1999.) Aos 60 e aos 80 anos, as mulheres têm, respectivamente, 90% e 70% da massa óssea que tinham aos 30 anos. O percentual de massa óssea que as mulheres já perderam aos 76 anos, em relação à massa aos 30 anos, é igual a: a) 14 b) 18 c) 22 d) 26

77 - Muitos restaurantes adotam o sistema de “comida a kilo”, isto é, o freguês paga pela quantidade de alimentos que consome. Num desses restaurantes o preço do quilo é R$ 8,00. Uma pessoa que consome 340 gramas de alimento e toma 2 latas de refrigerante, no valor de R$ 0,80 cada uma, pagará pela conta, em reais:

a) 2,72 b) 4,32 c) 3,62 d) 3,52 e) 4,52 78 - (SOLDADO-PM) A cidade de Campos de Jordão fica numa região cujas temperaturas são as mais baixas do país. O gráfico a seguir descreve a temperatura nessa região, das 2 às 8 horas da noite de um dia de inverno. Em que horário, a temperatura atingiu 0ºC, nesse dia?

a) 3 horas e 30 minutos b) 3 horas c) 4 horas d) 2horas 79 - Um fabricante vende um produto por R$ 0,80 a unidade. O custo total do produto consiste numa taxa fixa de R$ 40,00, mais o custo de produção, de R$ 0,30 por unidade. Se o fabricante vender 200 unidades desse produto, ele terá: a) um lucro de R$ 100,00. b) um prejuízo de R$ 60,00. c) nem lucro nem prejuízo. d) um lucro de R$ 60,00. e) um prejuízo de R$ 100,00.


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80 - ( TÈCNICO – INSS) Um motorista parou num posto para abastecer seu caminhão com óleo diesel, ele pagou com uma nota de R$ 100,00 e recebeu R$ 5,75 de troco. Se o litro do óleo diesel custava R$ 1,450, quantos litros ele comprou ? a) 55 b) 58 c) 65 d) 75 e) 78 81 - Um recipiente, contendo uma barra de gelo que se encontra a -30ºC, é colocado para aquecer sobre a chama de um fogão. O gráfico abaixo indica a evolução da temperatura (T) em função do tempo (t), em minutos. Assinale a alternativa correta.

a) T= 25t - 175 para 7≤ t < 11. b) T= 0 para 0 ≤ t < 7. c) T= -10t - 30 para 0 ≤ t < 3. d) T= 100 para t > 7. e) T= -10 para t = 1. 82 - O preço total cobrado por um eletricista A inclui uma parte fixa, referente à visita, e outra que depende da quantidade de metros de fio utilizada no serviço. O gráfico abaixo apresenta o valor do serviço efetuado pelo eletricista A em função do número de metros de fio utilizados. O preço cobrado por um outro eletricista B depende unicamente do número de metros de fio utilizado, não sendo cobrada a visita. O preço do serviço é de R$ 3,50 por metro de fio utilizado. Com base no exposto, está correta a afirmação da alternativa:

a) Se forem utilizados 40 metros de fio, o preço cobrado pelos eletricistas A e B será o mesmo. b) O eletricista A cobra R$ 2,50 por metro de fio utilizado. c) A parte fixa cobrada pelo eletricista A é de R$ 30,00. d) Por 50m de fio, o eletricista A cobrará R$ 190,00. e) Sendo necessários 60 metros de fio, convém contratar o eletricista B. 83 - Um comerciante paga R$ 7,00 por 3 unidades de uma mercadoria, e revende por R$ 18,00 cada 5 unidades. Na comercialização dessa mercadoria, ele obtém um lucro de R$ 342,00 quando vende um total de unidades igual a a) 210. b) 240. c) 270. d) 300. e) 330. 84 - O gráfico a seguir descreve o crescimento em determinada população de uma doença infecto contagiosa em certo vilarejo desde 1910 até 1990. No eixo das ordenadas, a população infectada é dada em milhares de habitantes.


__________________________________________________________________________________________________________________________


a) Determine em que década a população infectada atingiu a marca de 5.000 habitantes. b) Observe que a partir de 1960 o crescimento da população infectada em cada década tem se mantido constate. Suponha que esta taxa se mantenha inalterada no futuro. Determine em que década o vilarejo terá 20.000 habitantes infectados. 85 - (ACAFE) Dois atletas A e B fazem teste de Cooper numa pista retilínea, ambos correndo com velocidade constante. A distância (d) que cada um percorre é mostrada no gráfico abaixo.

0

d(m)

10 20 30x

100200300400500

t(min)

A

B

Com base no gráfico, a alternativa correta é: a) A é mais veloz que B, pois percorre 600m em 20 min. b) B percorre 1km em 20 min. c) B é mais veloz que A, pois percorre 400m em 5 min. d) A e B correm na mesma velocidade. e) A percorre 400m em 30 min.


__________________________________________________________________________________________________________________________


Gabarito 1) a) 6 b) 4 c) 3/4 d) 2 e) 5 f) 1/3 g) 84

23) 200 e 4000 45) (2;1) 67) b

2) – 4 24) 40 e 12 46) (0;3) 68) c 3) ∅ 25) 5 47) a) 8 b) 50% 69) d 4) 690 26) 15 48) 27 70) a 5) 621,60 27) 5/8 49) e 71) c 6) 1200 28) 100 e 600 50) d 72) d 7) 10 29)300 e 380 51) c 73) c 8) a = b 30) 57 52) 258; 134; 129 74) d 9) 4 31) 45 53) b 75) 95 10) b 32) 36 e 27 54) 36 76) d 11) e 33) c 55) d 77) b 12) e 34) d 56) c 78) c 13) 11 35) b 57) e 79) d 14) 2200 36) a 58) d 80) c 15) Não/Sim 37) c 59) b 81) a 16) 55000 38) c 60) a) 28 b) 2000 82) a 17) 30 39) d 61) c 83) c 18) 28 40) d 62) d 84) a) 40

b) entre 2040 e 2050 19) 16/24 41) b 63) FVFFV 85)b 20) 52 42) 1 64) b 21) 5 43) d 65) FFF 22) 12 44)(3;2) 66) a 11 Equações de 2º grau

11.1 Definições

Denomina-se equação do 2º grau na incógnita x, toda equação da forma:

ax2 + bx + c = 0; a, b, c IR e

Exemplo:

• x2 - 5x + 6 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = -5 e c = 6.

• 6x2 - x - 1 = 0 é um equação do 2º grau com a = 6, b = -1 e c = -1.

• 7x2 - x = 0 é um equação do 2º grau com a = 7, b = -1 e c = 0.

• x2 - 36 = 0 é um equação do 2º grau com a = 1, b = 0 e c = -36.

Nas equações escritas na forma ax² + bx + c = 0 (forma normal ou forma reduzida de uma equação do 2º grau na incógnita x) chamamos a, b e c de coeficientes.

a é sempre o coeficiente de x²;

b é sempre o coeficiente de x,

c é o coeficiente ou termo independente.

11.2 Equação completas e Incompletas


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Uma equação do 2º grau é completa quando b e c são diferentes de zero. Exemplos: x² - 9x + 20 = 0 e -x² + 10x - 16 = 0 são equações completas.

Uma equação do 2º grau é incompleta quando b ou c é igual a zero, ou ainda quando ambos são iguais a zero. Exemplos:

• x² - 36 = 0 (b = 0)

• x² - 10x = 0 (c = 0)

• 4x² = 0 (b = c = 0)

11.3 Raízes de uma equação do 2º grau

Resolver uma equação do 2º grau significa determinar suas raízes.

Raiz é o número real que, ao substituir a incógnita de uma equação, transforma-a numa sentença verdadeira.

O conjunto formado pelas raízes de uma equação denomina-se conjunto verdade ou conjunto solução. Exemplos:

• Dentre os elementos do conjuntos A= {-1, 0, 1, 2}, quais são raízes da equação x² - x - 2 = 0 ?

Solução Substituímos a incógnita x da equação por cada um dos elementos do conjunto e verificamos quais as sentenças verdadeiras.

Para x = -1 (-1)² - (-1) - 2 = 0 1 + 1 - 2 = 0

0 = 0 (V)

Para x = 0 0² - 0 - 2 = 0 0 - 0 -2 = 0

-2 = 0 (F)

Para x = 1 1² - 1 - 2 = 0 1 - 1 - 2 = 0

-2 = 0 (F)

Para x = 2 2² - 2 - 2 = 0 4 - 2 - 2 = 0

0 = 0 (V)

Logo, -1 e 2 são raízes da equação.

• Determine p sabendo que 2 é raiz da equação (2p - 1) x² - 2px² - 2 = 0. Solução Substituindo a incógnita x por 2, determinamos o valor de p.


__________________________________________________________________________________________________________________________


• Logo, o valor de p é .

11.4 Resolução de equações incompletas

Resolver uma equação significa determinar o seu conjunto verdade. Utilizamos na resolução de uma equação incompleta as técnicas da fatoração e duas importantes propriedades dos números reais:

1ª Propriedade:

2ª Propriedade:

1º Caso: Equação do tipo .

Exemplo:

• Determine as raízes da equação , sendo . Solução Inicialmente, colocamos x em evidência:

Para o produto ser igual a zero, basta que um dos fatores também o seja. Assim:

Obtemos dessa maneira duas raízes que formam o conjunto verdade:

De modo geral, a equação do tipo tem para soluções e .

2º Caso: Equação do tipo

Exemplos:

• Determine as raízes da equação , sendo U = IR.

Solução


__________________________________________________________________________________________________________________________


De modo geral, a equação do tipo possui duas raízes reais se for um número positivo, não tendo

raiz real caso seja um número negativo.

11.5 Resolução de equações completas

Para solucionar equações completas do 2º grau utilizaremos a fórmula de Bhaskara.

A partir da equação , em que a, b, c IR e , desenvolveremos passo a passo a dedução da fórmula de Bhaskara (ou fórmula resolutiva).

1º passo: multiplicaremos ambos os membros por 4a.

2º passo: passar 4ac par o 2º membro.

3º passo: adicionar aos dois membros.

4º passo: fatorar o 1º elemento.

5º passo: extrair a raiz quadrada dois membros.

6º passo: passar b para o 2º membro.

7º passo: dividir os dois membros por .

Assim, encontramos a fórmula resolutiva da equação do 2º grau:


__________________________________________________________________________________________________________________________


Podemos representar as duas raízes reais por x' e x", assim:

Exemplos:

• resolução a equação:

Temos

11.6 Discriminante

Denominamos discriminante o radical b2 - 4ac que é representado pela letra grega (delta).

Podemos agora escrever deste modo a fórmula de Bhaskara:

De acordo com o discriminante, temos três casos a considerar:


__________________________________________________________________________________________________________________________


1º Caso: O discriminante é positivo .

O valor de é real e a equação tem duas raízes reais diferentes, assim representadas:

Exemplo:

• Para quais valores de k a equação x² - 2x + - 2 = 0 admite raízes reais e desiguais? Solução

Para que a equação admita raízes reais e desiguais, devemos ter

Logo, os valores de k devem ser menores que 3.

2º Caso: O discriminante é nulo

O valor de é nulo e a equação tem duas raízes reais e iguais, assim representadas:

Exemplo:

• Determine o valor de p, para que a equação x² - (p - 1) x + p = 0 Solução

Para que a equação admita raízes iguais é necessário que .

Logo, o valor de p é 3.


__________________________________________________________________________________________________________________________


3º Caso: O discriminante é negativo .

O valor de não existe em IR, não existindo, portanto, raízes reais. As raízes da equação são número complexos.

Exemplo:

• Para quais valores de m a equação 3x² + 6x +m = 0 não admite nenhuma raiz real? Solução

Para que a equação não tenha raiz real devemos ter

Logo, os valores de m devem ser maiores que 3.

Resumindo

Dada a equação ax² + bx + c = 0, temos:

Para , a equação tem duas raízes reais diferentes.

Para , a equação tem duas raízes reais iguais.

Para , a equação não tem raízes reais. 11.7 Equações literais incompletas

A resolução de equações literais incompletas segue o mesmo processo das equações numéricas.

Observe os exemplos:

• Resolva a equação literal incompleta 3x2 - 12m2=0, sendo x a variável.

Solução

3x2 - 12m2 = 0

3x2 = 12m2

x2 = 4m2

x=


__________________________________________________________________________________________________________________________


Logo, temos:

• Resolva a equação literal incompleta my2- 2aby=0,com m 0, sendo y a variável.

Solução

my2 - 2aby = 0

y(my - 2ab)=0

Temos, portanto, duas soluções:

y=0

ou

my - 2ab = 0 my = 2ab y=

Assim:

Na solução do último exemplo, teríamos cometido um erro grave se tivéssemos assim resolvido:

my2 - 2aby= 0

my2 = 2aby

my = 2ab

Desta maneira, obteríamos apenas a solução .

O zero da outra solução foi "perdido" quando dividimos ambos os termos por y.

Esta é uma boa razão para termos muito cuidado com os cancelamentos, evitando desta maneira a divisão por zero, que é um absurdo.

11.8 Equações literais completas

As equações literais completas podem ser também resolvidas pela fórmula de Bhaskara:

Exemplo:

Resolva a equação: x2 - 2abx - 3a2b2, sendo x a variável.

Solução

Temos a=1, b = -2ab e c=-3a2b2


__________________________________________________________________________________________________________________________


Portanto:

Assim, temos: V= { - ab, 3ab}.

11.9 Relações entre os coeficientes e as raízes

Considere a equação ax2 + bx + c = 0, com a 0 e sejam x'e x'' as raízes reais dessa equação.

Logo:

Observe as seguintes relações:

• Soma das raízes (S)

• Produto das raízes (P)


__________________________________________________________________________________________________________________________


Como ,temos:

Denominamos essas relações de relações de Girard. Verifique alguns exemplos de aplicação dessas relações.

• Determine a soma e o produto das raízes da equação 10x2 + x - 2 = 0.

Solução

Nesta equação, temos: a=10, b=1 e c=-2.

A soma das raízes é igual a . O produto das raízes é igual a

Assim: Assim:

• Determine o valor de k na equação x2 + ( 2k - 3)x + 2 = 0, de modo que a soma de suas raízes seja igual a 7.

Solução

Nesta equação, temos: a=1, b=2k e c=2.

S= x1 + x2 = 7

Logo, o valor de k é -2.

• Determine o valor de m na equação 4x2 - 7x + 3m = 0, para que o produto das raízes seja igual a -2.

Solução

Nesta equação, temos: a=4, b=-7 e c=3m.

P= x1. x2= -2

Logo, o valor de m é .


__________________________________________________________________________________________________________________________


• Determine o valor de k na equação 15x2 + kx + 1 = 0, para que a soma dos diversos de suas raízes seja igual a 8.

Solução

Considere x1 e x2 as raízes da equação.

A soma dos inversos das raízes corresponde a .

Assim:

Logo, o valor de k é -8.

Determine os valores de m para os quais a equação ( 2m - 1) x2 + ( 3m - 2) x + m + 2 = 0 admita:

a) raízes simétricas;

b) raízes inversas.

Solução

Se as raízes são simétricas, então S=0.

Se as raízes são inversas, então P=1.

11.10 Composição de uma equação do 2º grau, conhecidas as raízes

Considere a equação do 2º grau ax2 + bx + c = 0.


__________________________________________________________________________________________________________________________


Dividindo todos os termos por a , obtemos:

Como , podemos escrever a equação desta maneira.

x2 - Sx + P= 0

Exemplos:

• Componha a equação do 2º grau cujas raízes são -2 e 7.

Solução

A soma das raízes corresponde a:

S= x1 + x2 = -2 + 7 = 5

O produto das raízes corresponde a:

P= x1 . x2 = ( -2) . 7 = -14

A equação do 2º grau é dada por x2 - Sx + P = 0, onde S=5 e P= -14.

Logo, x2 - 5x - 14 = 0 é a equação procurada.

• Formar a equação do 2º grau, de coeficientes racionais, sabendo-se que uma das raízes é .

Solução

Se uma equação do 2º grau, de coeficientes racionais, tem uma raiz , a outra raíz será .

Assim:

Logo, x2 - 2x - 2 = 0 é a equação procurada.

FORMA FATORADA


__________________________________________________________________________________________________________________________


Considere a equação ax2 + bx + c = 0.

Colocando a em evidência, obtemos:

Então, podemos escrever:

Logo, a forma fatorada da equação ax2 + bx + c = 0 é:

a.(x - x') . (x - x'') = 0

Exemplos:

• Escreva na forma fatorada a equação x2 - 5x + 6 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação x2 - 5x + 6 = 0, obtemos x1= 2 e x2= 3.

Sendo a= 1, x1= 2 e x2= 3, a forma fatorada de x2 - 5x + 6 = 0 pode ser assim escrita:

(x-2).(x-3) = 0

• Escreva na forma fatorada a equação 2x2 - 20x + 50 = 0.

Solução

Calculando as raízes da equação 2x2 - 20x + 50 = 0, obtemos duas raízes reais e iguais a 5.

Sendo a= 2, x1=x2= 5, a forma fatorada de 2x2 - 20x + 50 = 0 pode ser assim escrita:

2.(x - 5) (x - 5) = 0 ou 2. (x - 5)2=0

Escreva na forma fatorada a equação x2 + 2x + 2 = 0.

Solução

Como o , a equação não possui raízes reais.


__________________________________________________________________________________________________________________________


x

y

-2 -1 0 1 2 3

0

2

x

y

-2 -1 0 1 2

-2

0

2

x

y

-2 -1 0 1 2

-2

0

2

x

y

-2 -1 0 1 2

-2

0

2

x

y

-2 -1 0 1 2

0

2

4

Logo, essa equação não possui forma fatorada em IR.

11.11 FUNÇÃO DO 2º GRAU Uma função f de IR em IR é chamada quadrática ou do 2º grau, se a cada x∈ IR, associa o elemento (ax²+bx+c) ∈ IR (a≠ 0). f: IR→ IR x→ ax²+bx+c (a≠ 0) 11.11.1 GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU O gráfico dessa função é uma parábola. Para construirmos o gráfico da função quadrática devemos primeiramente encontrar os zeros(raízes) da função em seguida fazer uma análise gráfica. Devemos considerar 3 possíveis casos. I) Se ∆ >0, então teremos duas raízes distintas. a) Se a>0 o a parábola fica voltada para cima: Ex.: y = x²– 3x + 2 b) Se a<0 o gráfico a parábola passa a ter concavidade para baixo: Ex.: y = – x²+1 II) Se ∆ =0, então teremos duas raízes iguais (raízes duplas) a) Se a>0 o a parábola fica voltada para cima: Ex.: y = x² b) Se a<0 o gráfico a parábola passa a ter concavidade para baixo: Ex.: y = - x² III) Se ∆ < 0, então a função não possui raízes reais, isto é, o gráfico da parábola não toca o eixo dos x. a) Se a>0 Ex.: y = x²+1


__________________________________________________________________________________________________________________________


0

2

b) Se a<0 Ex.: y = –x²–1 11.11.2 COORDENADAS DO VÉRTICE DA PARÁBOLA O vértice é formado pela abscissa xv e a ordenada yv:

∆−−

a4,

a2b

V

Obs.: Para a>0, o ponto V do vértice é ponto de mínimo da função. Para a<0 o ponto V do vértice é ponto de máximo da função. 11.11.3 Imagem da função quadrática A imagem dessa função é obtida projetando-se ortogonalmente os pontos da parábola no eixo y. Desse modo a ordenada yv será sempre um dos extremos do intervalo do conjunto imagem, observe: a>0 Im = [yv, +∞ ) a<0 Im =(+∞ , yv] 11.12 Exercícios 1 - Calcule as raízes das equações abaixo: a) x² - 7x + 10 = 0 b) 2x² - 20x + 18 = 0 c) - x² + 10x - 21 = 0 d) (x + 3)(x - 5) = 0 e) (x - 1)(x - 2) = 0

f) (x + 5)² = 0

2 - Calcule a soma das raízes da equação 2x² - 6x - 5 = 0 ( Ag. Adm. - SC)

3 - Qual o valor de p para que a equação 3x² - 6x + p = 0 tenha raízes reais e iguais? ( ESA)

4 - Calcule a soma e o produto das raízes da equação 5x² + 3x - 4 = 0 (ESA)

5 - Qual a equação, cujas raízes são 7 e - 2 ? ( Exator - SC)

x

y

-2 -1 0 1 2

-4

-2

0

y

x xv

V yv

0

2

yv V

xv x

y

X1 X2

f(X2)

f(X1)


__________________________________________________________________________________________________________________________


6 - Calcule m para que a equação 3x² - 2x + 2m = 0 tenha uma raiz igual a 2. (ESA)

7 - Calcule o valor de m para que uma das raízes da equação mx ² + (m - 1)x + 2m - 3/4 = 0 seja igual a 1. (AMAN)

8 - Quais os valores de b na equação x² - bx + 48 = 0 , para que uma raiz seja o triplo da outra? ( AMAN)

9 - Qual o valor de m para que a equação x² - 14x + m = o tenha raízes reais e iguais ?

10-Quais os valores de b e c para que a equação ax² + bx + c = 0 ( a>0), tenha duas raízes reais e simétricas? (

AMAN)

11-Calcule as raízes da equação (x - 3)(x + 10) . (x - 5)(x + 2) = 0

(x - 5)(x + 2)

12- Determine a de modo que a diferença entre as raízes da equação x² + ax + 40 = 0 seja igual a 6.

13- Na equação 4x² - 4mx + (m – 16) = 0, determine o valor de m de modo que uma das raízes seja o inverso da

outra.

14- Determine o valor de p na equação x² - 7x + p= 0, de modo que a soma dos inversos das raízes seja 7/10.

15- Qual deve ser a relação entre a e b para que a equação ax² + (2a + 1)x + (a² + b)/a = 0 tenha:

a) Raízes iguais b) Raízes reais e diferentes c) Raízes não-reais

16- Qual o número cujo quadrado excede em 30 unidades o próprio número ? R. 6 ou – 5

17- Determine três números inteiros, positivos e consecutivos, tais que o quadrado do menor seja igual à diferença entre os quadrados dos outros dois.

18- A diferença entre o quadrado e o dobro de um número é 195. Determine esse número.

19 - Para pagar as despesas mentais de um condomínio, ficou combinado que todos contribuiriam com a mesma quantia. Num certo mês, em que as despesas totalizaram R$ 10.800,00, deviado à inadimplência de dois dos condôminos, cada um dos demais foi obrigado a pagar, além da sua cota normal, um adicional de R$ 32,00. Qual é o número de condôminos? 20 - Um pai tinha 30 anos quando seu filho nasceu. Se multiplicarmos as idades que possuem hoje, obtém-se um produto que é igual a três vezes o quadrado da idade do filho. Quais são as suas idades? R.: 15 e 45 21 - Os elefantes de um zoológico estão de dieta juntos, num período de 10 dias devem comer uma quantidade de cenouras igual ao quadrado da quantidade que um coelho come em 30 dias. Em um dia os elefantes e o coelho comem juntos1.444 kg de cenoura. Quantos Kg de cenoura os elefantes comem em 1 dia? 22 - Se tirarmos 8 cm ao lado de um quadrado e adicionarmos 12 cm ao outro obtém-se um retângulo de área 96 cm2. Qual o valor do lado do quadrado?

23 - Interrogado sobre a sua idade, disse o Paulo: "o quadrado de metade dos anos que já fiz é igual ao seu quíntuplo". Quantos anos tem o Paulo?

24 - A soma de dois quadrados perfeitos consecutivos é 265. Encontre-os.

25 - O número de diagonais D de um polígono com n lados é dado pela fórmula:


__________________________________________________________________________________________________________________________


a) Existirá algum polígono que tenha 44 diagonais?

b) Existirá um polígono com 30 diagonais?

26 - Assinale a ÚNICA proposição CORRETA. A figura a seguir representa o gráfico de uma parábola cujo vértice é o ponto V. A equação da reta r é

a) y = -2x + 2. b) y = x + 2. c) y = 2x + 1. d) y = 2x + 2. e) y = -2x - 2. 27 - Observe a figura

Nessa figura, está representada a parábola de vértice V, gráfico da função de segundo grau cuja expressão é a) y = (x2 /5) - 2x b) y = x2 - 10x c) y = x2 + 10x d) y = (x2/5) - 10x e) y = (x2/5) + 10x 28 - Um supermercado fez campanha publicitária para vender o estoque de determinado produto. Suponha que x dias após o término da campanha as vendas diárias foram calculadas segundo a função y = - x2 + 10x + 75. Conforme o gráfico abaixo, as vendas se reduziram a zero depois de:

a) 15 dias


__________________________________________________________________________________________________________________________


b) 10 dias c) 25 dias d) 75 dias e) 50 dias

29 - Sobre o gráfico da função, definida por f(x) = -x2 + 4x - 5, de IR em IR, a alternativa correta é:

a) Todo ponto pertencente ao gráfico possui ordenada negativa. b) O gráfico é uma parábola com a concavidade voltada para baixo e vértice V (2, 1). c) O ponto (0, 5) pertence ao gráfico. d) A parábola tangencia o eixo x. e) Todo ponto da parábola pertence ao primeiro ou segundo quadrante. 30 - O custo C, em reais, para se produzir n unidades de determinado produto é dado por: C = 2510 - 100n + n2. Quantas unidades deverão ser produzidas para se obter o custo mínimo? 31 - A função real f, de variável real, dada por f(x)= -x2 + 12x - 20, tem um valor a) máximo, igual a 16, para x = 6 b) mínimo, igual a -16, para x = -12 c) máximo, igual a 56, para x = 6 d) mínimo, igual a 72, para x = 12 e) máximo, igual a 240, para x = 20 Resposta: a 32 - Uma bola é largada do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão h=-25t2+625. Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? a) 2,5 b) 5 c) 7 d) 10 e) 25 33 - A função L(x) = – x2 + 12x – 27 representa o lucro de uma empresa, em milhões de reais, onde x é a quantidade de unidades vendidas. Nesse contexto, considere as seguintes afirmações: I. Se vender apenas 2 unidades, a empresa terá lucro. II. Se vender exatamente 6 unidades, a empresa terá lucro máximo. III. Se vender 15 unidades, a empresa terá prejuízo. Está(ão) correta(s) apenas: a) I b) II c) III d) I e I e) II e III 34 - ( B.B – 2007 ) Um grupo de amigos fez, em conjunto, um jogo em determinada loteria, tendo sido premiado com a importância de R$ 2.800.000,00 que deveria ser dividida igualmente entre todos eles. No momento da partilha, constatou-se que 3 deles não haviam pago a parcela correspondente ao jogo, e, dessa forma, não faziam juz ao quinhão do prêmio. Com a retirada dos 3 amigos que não pagaram oi jogo , coube a cada um dos restantes mais R$ 120.000,00 . Considerando a situação hipotética apresentada, julgue os itens que se seguem.

1 - Se x é a quantidade de elementos do “grupo de amigos” , então xx

000.800.2000.120

3

000.800.2=+

−

2. - Considerando que, em uma função da forma f(x) = ax2 + bx +c . em que a , b e c são constantes bem determinadas, a equação f(x) = 0 determina a quantidade de elementos do “grupo de amigos”então é correto afirmar

que, para essa função, o ponto de mínimo é atingido quando x = 2

3.

3 - A quantidade de elementos do grupo de amigos que fizeram juz ao prêmio é superior a 11. 4 - Cada um dos elementos do “grupo de amigos” que efetivamente pagou a parcela correspondente ao jogo recebe uma quantia superior a R$ 250.000,00.


__________________________________________________________________________________________________________________________


Gabarito

1a) (5 ;2) b) (9; 1) c) (3; 7) d) (- 3; 5 ) e) (1; 2) f) (5; – 5)

2 - ( 3 )

3 – (3)

4 – (4/5)

5 – (x² - 5x – 14)

6 – (- 4) 7 – (7/16) 8 – (± 16) 9 – (49) 10 – (b = 0 e c<0) 11 – (3; -10) 12 – (b = 0 e c<0) 13 – ± 12 14 – (10) 15 – (8a² +4a+4b)/a²=0

(8a² +4a+4b)/a²>0

(8a² +4a+4b)/a²<0

16 – (6;10) 17 – 93; 4; 5) 18 – (15; - 13) 19 – (27) 20 – (15;45) 21- (1440) 22- 12 23- (20) 24- (11; 12; - 11; -

12) 25 –Sim/Não

26 – d 27 – a 28 – a 29 – a 30 – 50 31 – a 32 – b 33 – a 34 – (F; V; F; V)

12 Razões

Vamos considerar um carro de corrida com 4m de comprimento e um kart com 2m de comprimento. Para compararmos as medidas dos carros, basta dividir o comprimento de um deles pelo outro. Assim:

(o tamanho do carro de corrida é duas vezes o tamanho do kart).

Podemos afirmar também que o kart tem a metade do comprimento do carro de corrida. A comparação entre dois números racionais, através de uma divisão, chama-se razão.

A razão pode também ser representada por 1:2 e significa que cada metro do kart corresponde a 2m do carro de corrida.

Denominamos de razão entre dois números a e b (b diferente de zero)

o quociente ou a:b.

A palavra razão, vem do latim ratio, e significa "divisão". Como no exemplo anterior, são diversas as situações em que utilizamos o conceito de razão. Exemplos:

• Dos 1200 inscritos num concurso, passaram 240 candidatos. Razão dos candidatos aprovados nesse concurso:

(de cada 5 candidatos inscritos, 1 foi aprovado).


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• Para cada 100 convidados, 75 eram mulheres. Razão entre o número de mulheres e o número de convidados:

(de cada 4 convidados, 3 eram mulheres).

Observações:

1) A razão entre dois números racionais pode ser apresentada de três formas. Exemplo:

Razão entre 1 e 4: 1:4 ou ou 0,25.

2) A razão entre dois números racionais pode ser expressa com sinal negativo, desde que seus termos tenham sinais contrários. Exemplos:

A razão entre 1 e -8 é .

A razão entre é .

12.1 Termos de uma razão

Observe a razão:

(lê-se "a está para b" ou "a para b").

Na razão a:b ou , o número a é denominado antecedente e o número b é denominado consequente. Veja o exemplo:

3:5 =

Leitura da razão: 3 está para 5 ou 3 para 5.

12.2 Razões inversas

Considere as razões .


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Observe que o produto dessas duas razões é igual a 1, ou seja, .

Nesse caso, podemos afirmar que são razões inversas.

Duas razões são inversas entre si quando o produto delas é igual a 1.

Exemplo:

são razões inversas, pois .

Verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra, e vice-versa.

Observações:

1) Uma razão de antecedente zero não possui inversa. 2) Para determinar a razão inversa de uma razão dada, devemos permutar (trocar) os seus termos.

Exemplo: O inverso de .

12.3 Razões equivalentes

Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente da seguinte maneira:

Multiplicando-se ou dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero), obtemos uma razão equivalente.

Exemplos:

são razões equivalentes.

são razões equivalentes.

12.4 Razões entre grandezas da mesma espécie

O conceito é o seguinte:

Denomina-se razão entre grandezas de mesma espécie o quociente entre os números que


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expressam as medidas dessas grandezas numa mesma unidade.

Exemplos:

1) Calcular a razão entre a altura de dois anões, sabendo que o primeiro possui uma altura h1= 1,20m e o segundo possui uma altura h2= 1,50m. A razão entre as alturas h1 e h2 é dada por:

2) Determinar a razão entre as áreas das superfícies das quadras de vôlei e basquete, sabendo que a quadra de vôlei possui uma área de 162m2 e a de basquete possui uma área de 240m2.

Razão entre as área da quadra de vôlei e basquete: .

12.5 Razões entre grandezas de espécies diferentes

O conceito é o seguinte:

Para determinar a razão entre duas grandezas de espécies diferentes, determina-se o quociente entre as medidas dessas grandezas. Essa razão deve ser acompanhada da notação que relaciona as grandezas envolvidas.

Exemplos:

1) Consumo médio:

Beatriz foi de São Paulo a Campinas (92Km) no seu carro. Foram gastos nesse percurso 8 litros de combustível. Qual a razão entre a distância e o combustível consumido? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = (lê-se "11,5 quilômetros por litro").

Essa razão significa que a cada litro consumido foram percorridos em média 11,5 km.

2) Velocidade média:

Moacir fez o percurso Rio-São Paulo (450Km) em 5 horas. Qual a razão entre a medida dessas grandezas? O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = 90 km/h (lê-se "90 quilômetros por hora").

Essa razão significa que a cada hora foram percorridos em média 90 km.


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3) Densidade demográfica:

O estado do Ceará no íltimo censo teve uma população avaliada em 6.701.924 habitantes. Sua área é de 145.694 km2. Determine a razão entre o número de habitantes e a área desse estado. O que significa essa razão? Solução:

Razão =

Razão = 46 hab/km2 (lê-se "46 habitantes por quilômetro quadrado").

Essa razão significa que em cada quilômetro quadrado existem em média 46 habitantes.

4) Densidade absoluta ou massa específica:

Um cubo de ferro de 1cm de aresta tem massa igual a 7,8g. Determine a razão entre a massa e o volume desse corpo. O que significa essa razão? Solução:

Volume = 1cm . 1cm . 1cm = 1cm3

Razão =

Razão = 7,8 g/cm3 (lê-se "7,8 gramas por centímetro cúbico").

Essa razão significa que 1cm3 de ferro pesa 7,8g.

13 Proporções

13.1 Introdução

Rogerião e Claudinho passeiam com seus cachorros. Rogerião pesa 120kg, e seu cão, 40kg. Claudinho, por sua vez, pesa 48kg, e seu cão, 16kg.

Observe a razão entre o peso dos dois rapazes:

Observe, agora, a razão entre o peso dos cachorros:


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Verificamos que as duas razões são iguais. Nesse caso, podemos afirmar que a

igualdade é uma proporção. Assim:

Proporção é uma igualdade entre duas razões. 13.2 Elementos de uma proporção

Dados quatro números racionais a, b, c, d, não-nulos, nessa ordem, dizemos que eles formam uma proporção quando a razão do 1º para o 2º for igual à razão do 3º para o 4º. Assim:

ou a:b=c:d

(lê-se "a está para b assim como c está para d")

Os números a, b, c e d são os termos da proporção, sendo:

• b e c os meios da proporção. • a e d os extremos da proporção.

Exemplo:

Dada a proporção , temos: Leitura: 3 está para 4 assim como 27 está para 36. Meios: 4 e 27 Extremos: 3 e 36

13.3 Propriedade fundamental das proporções

Observe as seguintes proporções:

Produto dos meios = 4.30 = 120 Produto dos extremos = 3.40 = 120




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De modo geral, temos que:

Daí podemos enunciar a propriedade fundamental das proporções:

Em toda proporção, o produto dos meios é igual ao produto dos extremos. 13.4 Aplicações da propriedade fundamental

Determinação do termo desconhecido de uma proporção

Exemplos:

• Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . x = 8 . 15 (aplicando a propriedade fundamental) 5 . x = 120

x = 24

Logo, o valor de x é 24.

• Determine o valor de x na proporção:

Solução: 5 . (x-3) = 4 . (2x+1) (aplicando a propriedade fundamental) 5x - 15 = 8x + 4 5x - 8x = 4 + 15 -3x = 19 3x = -19

x = Logo, o valor de x é .

• Os números 5, 8, 35 e x formam, nessa ordem, uma proporção. Determine o valor de x.

Solução:

(aplicando a propriedade fundamental)

5 . x = 8 . 35 5x = 280


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x = 56

Logo, o valor de x é 56.

13.5 Resolução de problemas envolvendo proporções

Exemplo:

• Numa salina, de cada metro cúbico (m3) de água salgada, são retirados 40 dm3 de sal. Para obtermos 2 m3 de sal, quantos metros cúbicos de água salgada são necessários?

Solução:

A quantidade de sal retirada é proporcional ao volume de água salgada. Indicamos por x a quantidade de água salgada a ser determinada e armamos a proporção:

Lembre-se que 40dm3 = 0,04m3.


1 . 2 = 0,04 . x 0,04x = 2 x = 50 m3

Logo, são necessários 50 m3 de água salgada.

13.6 Quarta proporcional

Dados três números racionais a, b e c, não-nulos, denomina-se quarta proporcional desses números um número x tal que:

Exemplo:

• Determine a quarta proporcional dos números 8, 12 e 6.

Solução: Indicamos por x a quarta proporcional e armamos a proporção:

(aplicando a propriedade fundamental) 8 . x = 12 . 6 8 . x = 72


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x = 9

Logo, a quarta proporcional é 9.

13.7 Proporção contínua

Considere a seguinte proporção:

Observe que os seus meios são iguais, sendo, por isso, denominada proporção contínua. Assim:

Proporção contínua é toda a proporção que apresenta os meios iguais.

De um modo geral, uma proporção contínua pode ser representada por:

13.8 Terceira proporcional

Dados dois números naturais a e b, não-nulos, denomina-se terceira proporcional desses números o número x tal que:

Exemplo:

Determine a terceira proporcional dos números 20 e 10. Solução

Indicamos por x a terceira proporcional e armamos a proporção:


20 . x = 10 . 10 20x = 100

x = 5 Logo, a terceira proporcional é 5.

13.9 Média geométrica ou média proporcional

Dada uma proporção contínua , o número b é denominado média geométrica ou média proporcional entre a e c. Exemplo:


__________________________________________________________________________________________________________________________


• Determine a média geométrica positiva entre 5 e 20. Solução:

5 . 20 = b . b 100 = b2 b2 = 100 b = b = 10

Logo, a média geométrica positiva é 10.

13.10 Propriedades das proporções

1ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração Considere as proporções:

Adicionando 1 a cada membro obtemos:

Exemplo:

• Determine x e y na proporção , sabendo que x+y=84. Solução:

Assim:

x+y = 84 => x = 84-y => x = 84-48 => x=36.


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Logo, x=36 e y=48.

2ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos dois primeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim como a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º).

Demonstração Considere as proporções:

Subtraindo 1 a cada membro obtemos:

(Mult. os 2 membros por -1)

Exemplo:

• Sabendo-se que x-y=18, determine x e y na proporção . Solução:

Pela 2ª propriedade temos que:

x-y = 18 => x=18+y => x = 18+12 => x=30. Logo, x=30 e y=12.

3ª propriedade:

Numa proporção, a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.

Demonstração Considere a proporção:


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Permutando os meios, temos:

Aplicando a 1ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

4ª propriedade:

Numa proporção, a diferença dos antecedentes está para a diferença dos consequentes, assim como cada antecedente está para o seu consequente.


Permutando os meios, temos:

Aplicando a 2ª propriedade, obtemos:

Permutando os meios, finalmente obtemos:

Exemplo:

• Sabendo que a-b = -24, determine a e b na proporção . Solução:

Pela 4ª propriedade, temos que:


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5ª propriedade:

Numa proporção, o produto dos antecedentes está para o produto dos consequentes, assim como o quadrado de cada antecedente está para quadrado do seu consequente.


Multiplicando os dois membros por , temos:

Assim:

Observação: a 5ª propriedade pode ser estendida para qualquer número de razões. Exemplo:

13.11 Proporção múltipla

Denominamos proporção múltipla uma série de razões iguais. Assim:

é uma proporção múltipla.

Dada a série de razões iguais , de acordo com a 3ª e 4ª propriedade, podemos escrever:


__________________________________________________________________________________________________________________________


14 Grandezas 14.1 Introdução

Entendemos por grandeza tudo aquilo que pode ser medido, contado. As grandezas podem ter suas medidas aumentadas ou diminuídas. Alguns exemplos de grandeza: o volume, a massa, a superfície, o comprimento, a capacidade, a velocidade, o tempo, o custo e a produção.

É comum ao nosso dia-a-dia, ituações em que relacionamos duas ou mais grandezas. Por exemplo:

Em uma corrida de "quilômetros contra o relógio", quanto maior for a velocidade, menor será o tempo gasto nessa prova. Aqui as grandezas são a velocidade e o tempo.

Num forno utilizado para a produção de ferro fundido comum, quanto maior for o tempo de uso, maior será a produção de ferro. Nesse caso, as grandezas são o tempo e a produção.

14.2 Grandezas diretamente proporcionais Um forno tem sua produção de ferro fundido de acordo com a tabela a seguir.

Tempo (minutos) Produção (Kg)

5 100

10 200

15 300

20 400

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos o tempo, a produção também duplica. 5 min ----> 100Kg 10 min ----> 200Kg

Quando triplicamos o tempo, a produção também triplica. 5 min ----> 100Kg 15 min ----> 300Kg

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são diretamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual a razão entre os valores correspondentes da 2ª

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual a razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.


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14.3 Grandezas inversamente proporcionais

Um ciclista faz um treino para a prova de "1000 metros contra o relógio", mantendo em cada volta uma velocidade constante e obtendo, assim, um tempo correspondente, conforme a tabela a seguir

Velocidade (m/s) Tempo (s)

5 200

8 125

10 100

16 62,5

20 50

Observe que uma grandeza varia de acordo com a outra. Essas grandezas são variáveis dependentes. Observe que:

Quando duplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. 5 m/s ----> 200s 10 m/s ----> 100s

Quando quadriplicamos a velocidade, o tempo fica reduzido à quarta parte. 5 m/s ----> 200s 20 m/s ----> 50s

Assim:

Duas grandezas variáveis dependentes são inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da 1ª grandeza é igual ao inverso da razão entre os valores correspondentes da 2ª.

Verifique na tabela que a razão entre dois valores de uma grandeza é igual ao inverso da razão entre os dois valores correspondentes da outra grandeza.

14.4 Exercícios

1. Dividindo-se 840 em partes diretamente proporcionais a 2, 3, 4, 6, qual a parte

correspondente ao número 4?


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2. Dividir 540 em partes proporcionais aos números 1, 2, 3.

3. Dividir 840 em partes proporcionais aos números 2/3, 1/2 e 5/6 4. Dividir 15.000 em três partes , tais que a primeira esteja para a 2ª como 3 está para

5 e a segunda para a terceira , como 5 para 7 5. Um número foi dividido em partes diretamente proporcionais a 3 1 ; 0,25 e 2 Nesta

divisão o maior número obtido foi 126 qual o número inicial? 2 3 6. Dividindo-se um número N em partes inversamente proporcionais aos números 0,4;

3,2 e 6,4 foi encontrado 800 como sendo a parte correspondente ao número 3,2 . Qual o valor de N ?

7. Dividindo-se 1720 em partes proporcionais a 0,2; 1/3 e 2/7, qual a segunda parte? 8. Na divisão do número 840 em partes diretamente proporcionais aos números 4, 5 e

6 qual a parte correspondente ao número 5 ? 9. Divida 372 em 5 partes, sendo cada uma metade da anterior, Quanto vale a

segunda parte ? 10. Divida 4774 em 5 partes proporcionais de modo que cada uma seja o quádrupulo

da anterior. Qual o valor da segunda parte ? 11. Divida 4,93 em partes diretamente proporcionais a 0,3 1 e 8/5. Qual o valor da

segunda parte? 12. Divida 14,3 em 3 partes, sendo cada uma o triplo da anterior. A maior parte vale? 13. Dividindo 286 em partes inversamente proporcionais a 0,2, 3/4 e 1, a menor parte é?

14. Dividindo 3720 proporcionalmente a 4, 3, e 5 e ao mesmo tempo a 5, 2 e 1, qual a

maior parte ? 15. Dividindo 620 em partes proporcionais a 7, 3 e 2 e inversamente a 1, 5 e 3 , qual a

segunda parte? 16. Dividindo-se 48.400 entre duas funcionárias que faltaram 4 e 7 dias

respectivamente, qual a gratificação da menos assídua ? 17. Dividindo uma quantia em partes inversamente proporcionais a 2,5 e 1/3, a diferença

entre a metade da 3ª e o dobro da 1ª é 95. Qual o dobro da segunda parte? 18. Dividi 49.220 proporcionalmente a 0,2 ; 1/3 e 1. Qual a diferença entre as 2 partes

maiores? 19. Dividi uma quantia proporcionalmente às idades 22 anos, 31 anos, 42 anos e 53

anos. A diferença entre as duas primeiras é R$ 81.900,00. Qual é a soma das partes das duas últimas idades?


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20. Divida R$ 123.000,00 inversamente proporcional a 2, 3 e 7 anos . Qual a parte do mais velho?

21. Divida R$ 34.750,00 em três partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 1/5 e inversamente a 3, 4 e 1/2. Qual o valor de menor parte? 22 Dividiu-se R$ 63.270,00 entre três pessoas. Se cada pessoa recebeu sete vezes o

que recebeu a anterior, qual a parte que tocou à terceira pessoa? 23. Dividindo-se R$ 28,60 em duas partes inversamente proporcionais a 0,6 e 1 e

diretamente a 8 e 4, a segunda parte será? 24. Divida uma herança em partes inversamente proporcionais às idades: 20 anos e 12

anos. Se a do mais novo é de R$ 243.000,00, qual a do mais velho? 25. Um número foi dividido proporcionalmente a 3, 8 e 6. O triplo do segundo menos o

dobro do terceiro e menos o primeiro é de R$ 11.700,00. Qual o valor da soma das 2 primeiras partes?

26. Divida R$ 24.600,00 entre três pessoas, inversamente às suas idades que são 28,

12 e 8 anos. Qual a importância que toca ao mais novo? 27. Divida R$ 34.400,00 em partes proporcionais a 1/5, 2/7 e 0,333... Qual o valor da

terceira parte? 28. Se eu dividir meu ordenado em partes proporcionais a 3, 5 e 9, a terceira parte é R$

5.400,00. Qual a segunda parte , se eu dividi-lo em partes proporcionais a 2,5 e 13? 29. Divida 148,8 em 5 partes de modo que cada uma seja a metade de seguinte. Qual a

última parte? 30. Divida R$ 104.000,00 em 4 partes, de modo que cada uma seja 2/3 da anterior. A

primeira parte é? 31. Dividi um número proporcionalmente a 5, 7, 11 e 4. O triplo do último menos o dobro

do primeiro dá R$ 446,00. Qual é o segundo? 32. A é 13/17 de B. C é a metade de B. O total é 1232. Qual o valor de A? 33. Divida R$ 2.280,00 em 3 partes, cada uma sendo 0,666... da seguinte. A terceira

parte é... 34. Três números são proporcionais a 5, 7 e 9. O dobro do último menos a soma dos

dois primeiros é 66. Qual o menor deles? GABARITO


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1- 224 2- 90, 180, 270 3- 280, 210, 350 4- 3.000, 5000, 7000 5- 159 6- 7.600 7- 700 8- 280 9- 96 10- 56 11- 1,7 12- 9,9 13- 39 14- 2400 15- 45 16- R$ 17.600,00 17- 76 18- R$ 21.400,00 19- R$ 864.500,00 20- R$ 18.000,00 21- 6.000 22- R$ 54.390,00 23- R$ 6,60 24- R$ 145.800,00 25- 14.300 26- R$ 12.600,00 27- 14.000 28- R$ 2.550,00 29- 4,8 30- 43200 31- 1.561 32- 416 33- 1.080 34- 55

PROBLEMAS DE CONCURSOS 1 - Três crianças tem, 3 anos, 5 anos e 8 anos, respectivamente. Quer-se distribuir um prêmio de R$ 340,00 em partes diretamente proporcionais às idades. Calcule quanto recebeu a mais velha. (Ag. Adm. - SC) 2 - João tem 6 anos mais que Pedro. José tem 5 anos menos que Pedro. Antônio tem 9 anos mais que José. A soma das idades é 37 anos. Dividiu-se uma herança de R$ 952.750,00 em partes inversamente proporcionais às idades de cada um. Diante de tais informações, podemos afirmar que:

a) Antônio e João receberam, juntos, R$ 515.000,00 b) Pedro e José receberam, juntos, R$ 629.000,00 c) José recebeu R$ 83.250,00 a mais que os outros três juntos. d) João recebeu R$ 231.750,00 a menos que os outros três juntos.

(Fiscal de mercadorias em trânsito - SC) 3 - Dividindo-se 728 em partes diretamente proporcionais a 2, 5 e 6, calcule a maior parte. (Exator-SC) 4 - 165 balas foram distribuídas entre três irmãos, cujas idades totalizam 33 anos. Sabendo-se que a distribuição foi diretamente proporcional à idade de cada um, que o irmão mais moço recebeu 40 balas e o do meio, 50, calcule as idades de cada um. ( Banco do Brasil) 5 - Certa herança foi dividida de forma diretamente proporcional às idades dos herdeiros, que tinham 35, 32 e 23 anos. Se o mais velho recebeu R$ 525,00, calcule quanto coube ao mais novo. (Banco do Brasil ) 6 - Destinam-se 24 Fiscais do ICM para as cidades A, B e C, com respectivamente, 30, 48 e 66 estabelecimentos comerciais. Segundo uma distribuição proporcional, calcule o número de fiscais do ICM destinados para a cidade B. (Fiscal do ICM- RS ) 7 - Os amigos A, B e C compraram um bilhete de Loteria, sendo que B gastou o dobro de A e C gastou o dobro de B. Dividindo-se o prêmio do bilhete, proporcionalmente ao que cada um gastou, C ganharia R$ 18.150,00. Calcule o prêmio do bilhete. (Fiscal do ICM – RS) 8 - A quantia de R$ 477.900 foi repartida entre três irmãos, de modo que o primeiro recebeu o dobro do que coube ao segundo, e este, o triplo do que recebeu o terceiro. Calcule quanto o primeiro irmão recebeu. (Banco do Brasil ) 9 - Deseja-se dividir R$ 3.780,00 entre dois (2) homens, 4 mulheres e 6 crianças, dentro do seguinte critério: cada mulher deverá receber 50% a mais do que cada criança e cada homem deverá receber 60% a mais do que cada


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mulher. A partir de tal posicionamento, calcule as quantias recebidas por cada homem e cada criança, respectivamente. ( Fiscal de Tributos - SC ) 10 - Dividir R$ 7.200,00 depositados em RDB (Recebidos de Depósitos Bancários) do Banco do Brasil em três partes proporcionais a 3, 6 e 7. 11- Cinco pessoas desejam repartir um prêmio no valor de R$ 7.765.000,00 em partes proporcionais aos números 1, 2, 3, 4 e 5. Quanto recebeu cada uma? 12- Duas pessoas repartem a importância de R$ 350,00 proporcionalmente aos números 3 e 4. Quanto recebe cada uma? 13- A importância de R$ 36.500 foi dividida entre três pessoas em partes diretamente proporcionais às suas idades e inversamente proporcionais, ao mesmo tempo, ao número de filhos. Sabendo-se que o primeira pessoa tem 30 anos e 2 filhos, a Segunda 36 anos e 3 filhos e a terceira 38 anos e que a primeira recebeu R$15.000. Calcule quantos filhos tem a terceira pessoa.

GABARITO 1) 170 2) c 3) 336 4) 8; 10 e 15 5) 345 6) 8 7) 31.762,50 8)286.740 9) 540 e 225

10) 1.350,00; 2.700,00 e 3.150,00 11) 517.650; 1.035.350 ; 1.553.000; 2.070.650; 2.588.350 12)150 2 200 13) 4

14.5 Regra de três simples

Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dos quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados numa regra de três simples:

1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma linha as grandezas de espécies diferentes em correspondência.

2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.

3º) Montar a proporção e resolver a equação.

Exemplos:

1) Com uma área de absorção de raios solares de 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia solar consegue produzir 400 watts por hora de energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual será a energia produzida?

Solução: montando a tabela:

Área (m2) Energia (Wh) 1,2 400

1,5 x

Identificação do tipo de relação:


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Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a área de absorção, a energia solar aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª coluna. Montando a

proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora.

2) Um trem, deslocando-se a uma velocidade média de 400Km/h, faz um determinado percurso em 3 horas. Em quanto tempo faria esse mesmo percurso, se a velocidade utilizada fosse de 480km/h?


Velocidade (Km/h) Tempo (h) 400 3 480 x

Identificação do tipo de relação:

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna). Observe que: Aumentando a velocidade, o tempo do percurso diminui. Como as palavras são contrárias (aumentando - diminui), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Assim sendo, colocamos uma outra seta no sentido contrário (para cima) na 1ª coluna. Montando a

proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, o tempo desse percurso seria de 2,5 horas ou 2 horas e 30 minutos.

3) Bianca comprou 3 camisetas e pagou R$120,00. Quanto ela pagaria se comprasse 5 camisetas do mesmo tipo e preço?


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Camisetas Preço (R$) 3 120

5 x

Observe que: Aumentando o número de camisetas, o preço aumenta. Como as palavras correspondem (aumentando - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são diretamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, a Bianca pagaria R$200,00 pelas 5 camisetas.

4) Uma equipe de operários, trabalhando 8 horas por dia, realizou determinada obra em 20 dias. Se o número de horas de serviço for reduzido para 5 horas, em que prazo essa equipe fará o mesmo trabalho?


Horas por dia Prazo para término (dias) 8 20

5 x

Observe que: Diminuindo o número de horas trabalhadas por dia, o prazo para término aumenta. Como as palavras são contrárias (diminuindo - aumenta), podemos afirmar que as grandezas são inversamente proporcionais. Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

14.6 Regra de três composta

A regra de três composta é utilizada em problemas com mais de duas grandezas, direta ou inversamente proporcionais.

Exemplos: 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 de areia. Em 5 horas, quantos caminhões serão necessários para descarregar 125m3?

Solução: montando a tabela, colocando em cada coluna as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, as grandezas de espécies diferentes que se correspondem:


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Horas Caminhões Volume

8 20 160

5 x 125

Identificação dos tipos de relação: Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x (2ª coluna).

A seguir, devemos comparar cada grandeza com aquela onde está o x. Observe que: Aumentando o número de horas de trabalho, podemos diminuir o número de caminhões. Portanto a relação é inversamente proporcional (seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, devemos aumentar o número de caminhões. Portanto a relação é diretamente proporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões de acordo com o sentido das setas.

Montando a proporção e resolvendo a equação temos:

Logo, serão necessários 25 caminhões.

2) Numa fábrica de brinquedos, 8 homens montam 20 carrinhos em 5 dias. Quantos carrinhos serão montados por 4 homens em 16 dias?


Homens Carrinhos Dias

8 20 5 4 x 16

Observe que: Aumentando o número de homens, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão).

Aumentando o número de dias, a produção de carrinhos aumenta. Portanto a relação também é diretamente proporcional (não precisamos inverter a razão). Devemos igualar a razão que contém o termo x com o produto das outras razões.



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Logo, serão montados 32 carrinhos.

3) Dois pedreiros levam 9 dias para construir um muro com 2m de altura. Trabalhando 3 pedreiros e aumentando a altura para 4m, qual será o tempo necessário para completar esse muro?

Inicialmente colocamos uma seta para baixo na coluna que contém o x. Depois colocam-se flechas concordantes para as grandezas diretamente proporcionais com a incógnita e discordantes para as inversamente proporcionais, como mostra a figura abaixo:


Logo, para completar o muro serão necessários 12 dias.

14.7 Exercícios

Agora chegou a sua vez de tentar. Pratique tentando fazer esses exercícios:

1) Três torneiras enchem uma piscina em 10 horas. Quantas horas levarão 10 torneiras para encher 2 piscinas? Resposta: 6 horas.

2) Uma equipe composta de 15 homens extrai, em 30 dias, 3,6 toneladas de carvão. Se for aumentada para 20 homens, em quantos dias conseguirão extrair 5,6 toneladas de carvão? Resposta: 35 dias.

3) Vinte operários, trabalhando 8 horas por dia, gastam 18 dias para construir um muro de 300m. Quanto tempo levará uma turma de 16 operários, trabalhando 9 horas por dia, para construir um muro de 225m? Resposta: 15 dias.

4) Um caminhoneiro entrega uma carga em um mês, viajando 8 horas por dia, a uma velocidade média de 50 km/h. Quantas horas por dia ele deveria viajar para entregar essa carga em 20 dias, a uma velocidade média de 60 km/h? Resposta: 10 horas por dia.

5) Com uma certa quantidade de fio, uma fábrica produz 5400m de tecido com 90cm de largura em 50 minutos. Quantos metros de tecido, com 1 metro e 20 centímetros de largura, seriam produzidos em 25 minutos? Resposta: 2025 metros.

14.8 Exercícios complementares


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1. Se 4 kg de um produto custou R$ 72,00, Quanto custarão 5,5 kg deste mesmo produto?

2. Se 100 kg de trigo fornecem 85 kg de farinha que quantidade de farinha se obterá

com 150 sacos de 75 kg de trigo cada? 3. Se 14 pedreiros levam 180 dias para construir uma casa, quanto tempo levarão para

fazê-la 10 pedreiros? 4. Um automóvel percorre 240 km em 3 h. Quanto tempo levará para percorrer 400

km? 5. Quanto tempo levará um automóvel para se deslocar de A a B, andando a 80 km / h,

se andando a 60 km/ h leva 2 horas para percorrer a mesma distância? 6. Uma roda dá 2376 voltas em 9 minutos. Quantas voltas dará em 1 h e 27 min? 7. Duas rodas dentadas que estão engrenadas uma na outra têm, respectivamente, 12

e 54 dentes. Quantas voltas dará a menor, enquanto a maior dá 8? 8. Se um relógio adianta 18 minutos em 1 dia, quanto adiantará em 6 3/4 horas? 9. Num internato, 35 alunos gastam R$ 15,40 pelas refeições de 22 dias. Quanto

gastariam 100 alunos pelas refeições de 83 dias no mesmo internato? 10. Se com 36 kg de fio foram feitos 126 m de tecido de 0,60 m de largura, pergunta-se

quantos metros de 0,72 m se podem tecer com 48 kg do mesmo fio? 11. Uma adega de vinho abastece 35 homens por um mês, dando a cada um deles 3/5

de litro por dia. Se os homens ficassem reduzidos a 20 e se cada um deles recebesse 3/4 de litro, quantos dias a adega poderia abastecê-los?

12. Um andarilho percorre certa distância em 2 dias e 8 h, andando 10 horas por dia. Aumentando a sua velocidade em 2/5, pergunta-se quantas horas diárias deve andar

para vencer a mesma distância em 2 dias? 13. Para alimentar 15 cavalos durante 11 dias são necessários 2.200 kg de alfafa.

Retirando-se 7 cavalos, em quanto tempo serão consumidos 1.280 kg de alfafa? 14. Se 10 operários, trabalhando 8 h diárias, levam 5 1/2 dias para levantar uma parede

de 22 m de comprimento por 0,45 m de espessura, em quanto tempo 16 operários, trabalhando 8 h dia levantam outra parede de 18 m de comprimento, 0,30 m de espessura e de altura duas vezes maior que a primeira?

15. Um bloco de mármore de 3 m de comprimento, 1,50 m de largura e 0,60 de altura

pesa 4.350kg. Quanto pesará um outro bloco do mesmo mármore cujas dimensões são: comprimento 2,20 m, largura 0,75 m e altura 1,20 m?

GABARITO

1) R$ 99,00 2) 9.562,50 kg 3) 252 dias 4) 5 h 5) 1 h 30min 6) 22.968 voltas


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7) 36 voltas 8) 5 min e 3,75 segundos. 9) R$ 166,00 10) 140 m 11) 42 dias 12) 8 h e 20 minutos 13) 12 dias 14) 3 3/4 dias = 3 d 18 h 15) 3.190 kg

PROBLEMAS DE CONCURSOS 1 - 15 operários, em 9 dias de trabalho, ganham R$ 10.800,00, trabalhando 8 horas diárias. Quanto ganhariam 23

operários, em 12 dias, trabalhando 6 horas por dia ? 2 - Um operário levou 10 dias, trabalhando 8 horas por dia, para tecer 1.000 m de fazenda. Quantos dias levaria

para tecer 2.000 m de outra fazenda, trabalhando 6 horas diárias, sabendo-se que esta apresenta uma dificuldade igual aos 3/4 da primeira. ?

3 - Com 30 operários, trabalhando 8 horas por dia, certo engenheiro poderá concluir uma construção em 45 dias. Desejando terminá-la 15 dias antes, contrata mais 6 operários. Quantas horas diárias deverão todos trabalhar, para que a obra seja terminada nesse prazo ?

4 Se 8 lâmpadas de certa potência, permanecendo acesas 13 noites e 3 horas por noite, consomem 78 Kw,

quantos quilowatts consumirão 5 lâmpadas de dupla potência, permanecendo acesas 16 noites e 4 horas por noite ? R. 160 Kw

5 - Um livro tem 144 páginas de 25 linhas cada página e 66 letras cada linha. Reimprimindo-se esse livro, com os mesmos caracteres, porem fazendo páginas de 30 linhas cada uma e com 60 letras por linha, quantas páginas terá o novo livro ?

6 - 18 operários, em 24 dias, fizeram 3.240 m de tecido. Quantos dias levarão 20 operários, para fazerem 2.040 m,

se os primeiros são três vezes mais ativos que os segundos ? 7 - Um grupo de 10 trabalhadores pode fazer uma estrada em 96 dias, trabalhando 6 horas por dia. Quantos dias

levarão o mesmo grupo, se trabalharem 8 horas diárias ? ( TTN ) 8 - Duas máquinas imprimem 12.000 folhetos em 18 dias. Em quantos dias 4 máquinas imprimem 16.000 folhetos,

trabalhando o mesmo número de horas por dia ? 9 - Um pintor gasta 10 latas de tinta para pintar um muro de 40 m de comprimento e 2 m de altura. Quantas latas

de tinta gastará para pintar um muro de 24 m de comprimento e 3 m de altura ? 10 - Trabalhando 6 horas por dia, durante 10 dias, 16 pedreiros construíram um muro de 140 m de comprimento.

Quantas horas por dias deverão trabalhar 24 pedreiros, para construírem 210 m de um muro, de mesma altura, em 15 dias ?

11 - Um navio possui provisões para uma viagem de 15 dias. Devido a um contratempo qualquer, esta sofre um

atraso de 5 dias. De quanto deve ser reduzida a ração de cada tripulante ? 12 - Uma torneira enche um tanque em 3 horas e outra o esvazia em 5 horas. Mantendo-se as duas torneiras

abertas, simultaneamente. Calcule o tempo necessário para encher o tanque. R.: 7h 30m 13 - Na fabricação de pães, juntou-se 36g de fermento a 80 g de farinha. Para a obtenção da massa, a cada porção

de fermento e farinha, acrescentou-se 50% de água. Quando levada ao forno, a cada 168 Kg de massa, obteve-se 140 Kg de pães. Um padeiro usa 400,32 Kg de fermento e:

a) Deverá usar 889,6 g de farinha b) Precisará de 1.290 l de água c) Obterá 1.935 Kg de massa * d) Produzirá, ao final, 1.612,4 Kg de pães. ( Fiscal de Tributos - SC) 14 - Quantos litros de água são desperdiçados por uma torneira que dá um pingo por segundo, em 6 horas, se cada

gota tem 1 ml?


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15 - O passo de um homem é cerca de 8 dm. Se andar a 3 passos a cada 2 segundos, quanto tempo levará para percorrer 4,68 Km ? ( Exator - SC)

15 Progressão aritmética

15.1 Introdução

Chama-se seqüência ou sucessão numérica, a qualquer conjunto ordenado de números reais ou complexos. Assim, por exemplo, o conjunto ordenado A = ( 3, 5, 7, 9, 11, ... , 35) é uma seqüência cujo primeiro termo é 3, o segundo termo é 5, o terceiro termo é 7 e assim sucessivamente.

Uma seqüência pode ser finita ou infinita. O exemplo dado acima é de uma seqüência finita. Já a seqüência P = (0, 2, 4, 6, 8, ... ) é infinita.

Uma seqüência numérica pode ser representada genericamente na forma: (a1, a2, a3, ... , ak, ... , an, ...) onde a1 é o primeiro termo, a2 é o segundo termo, ... , ak é o k-ésimo termo, ... , an é o n-ésimo termo. (Neste caso, k < n).

Por exemplo, na seqüência Y = ( 2, 6, 18, 54, 162, 486, ... ) podemos dizer que

a3 = 18, a5 = 162, etc.

São de particular interesse, as seqüências cujos termos obedecem a uma lei de formação, ou seja é possível escrever uma relação matemática entre eles. Assim, na seqüência Y acima, podemos observar que cada termo a partir do segundo é igual ao anterior multiplicado por 3. A lei de formação ou seja a expressão matemática que relaciona entre si os termos da seqüência, é denominada termo geral.

Considere por exemplo a seqüência S cujo termo geral seja dado por an = 3n + 5, onde n é um número natural não nulo. Observe que atribuindo-se valores para n, obteremos o termo an (n - ésimo termo) correspondente. Assim por exemplo, para n = 20, teremos an = 3.20 + 5 = 65, e portanto o vigésimo termo dessa seqüência (a20) é igual a 65. Prosseguindo com esse raciocínio, podemos escrever toda a seqüência S que seria: S = ( 8, 11, 14, 17, 20, ... ).

Dado o termo geral de uma seqüência, é sempre fácil determiná-la. Seja por exemplo a seqüência de termo geral an = n

2 + 4n + 10, para n inteiro e positivo. Nestas condições, podemos concluir que a seqüência poderá ser escrita como: (15, 22, 31, 42, 55, 70, ... ). Por exemplo: a6 = 70 porque a6 = 6

2 + 4.6 + 10 = 36 + 24 + 10 = 70. 15.2 Conceito de Progressão Aritmética

Chama-se Progressão Aritmética – PA – à toda seqüência numérica cujos termos a partir do segundo, são iguais ao anterior somado com um valor constante denominado razão.

Exemplos: A = ( 1, 5, 9, 13, 17, 21, ... ) razão = 4 (PA crescente) B = ( 3, 12, 21, 30, 39, 48, ... ) razão = 9 (PA crescente) C = ( 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) razão = 0 (PA constante) D = ( 100, 90, 80, 70, 60, 50, ... ) razão = -10 ( PA decrescente)


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15.3 Termo Geral de uma PA

Seja a PA genérica (a1, a2, a3, ... , an, ...) de razão r. De acordo com a definição podemos escrever: a2 = a1 + 1.r a3 = a2 + r = (a1 + r) + r = a1 + 2r a4 = a3 + r = (a1 + 2r) + r = a1 + 3r .....................................................

Podemos inferir (deduzir) das igualdades acima que: .............. an = a1 + (n – 1) . r A expressão an = a1 + (n – 1) . r é denominada termo geral da PA. Nesta fórmula, temos que an é o termo de ordem n (n-ésimo termo) , r é a razão e a1 é o primeiro termo da Progressão Aritmética – PA.

Exemplos:

Qual o milésimo número ímpar positivo? Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) onde o primeiro termo a1= 1, a razão r = 2 e queremos calcular o milésimo termo a1000. Nestas condições, n = 1000 e poderemos escrever: a1000 = a1 + (1000 - 1).2 = 1 + 999.2 = 1 + 1998 = 1999. Portanto, 1999 é o milésimo número ímpar.

Qual o número de termos da PA: ( 100, 98, 96, ... , 22) ? Temos a1 = 100, r = 98 -100 = - 2 e an = 22 e desejamos calcular n. Substituindo na fórmula do termo geral, fica: 22 = 100 + (n - 1). (- 2) ; logo, 22 - 100 = - 2n + 2 e, 22 - 100 - 2 = - 2n de onde conclui-se que - 80 = - 2n , de onde vem n = 40. Portanto, a PA possui 40 termos.

Através de um tratamento simples e conveniente da fórmula do termo geral de uma PA, podemos generaliza-la da seguinte forma:

Sendo aj o termo de ordem j (j-ésimo termo) da PA e ak o termo de ordem k ( k-ésimo termo) da PA, poderemos escrever a seguinte fórmula genérica:

aj = ak + (j - k).r

Exemplos:

Se numa PA o quinto termo é 30 e o vigésimo termo é 60, qual a razão? Temos a5 = 30 e a20 = 60. Pela fórmula anterior, poderemos escrever: a20 = a5 + (20 - 5) . r e substituindo fica: 60 = 30 + (20 - 5).r ; 60 - 30 = 15r ; logo, r = 2.

Numa PA de razão 5, o vigésimo termo vale 8. Qual o terceiro termo? Temos r = 5, a20 = 8. Logo, o termo procurado será: a3 = a20 + (3 – 20).5 a3 = 8 –17.5 = 8 – 85 = - 77.

15.4 Propriedades das Progressões Aritméticas

Numa PA, cada termo (a partir do segundo) é a média aritmética dos termos vizinhos deste.

Exemplo: PA : ( m, n, r ) ; portanto, n = (m + r) / 2

Assim, se lhe apresentarem um problema de PA do tipo: Três números estão em PA, ... , a forma mais inteligente de resolver o problema é considerar que a PA é do


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tipo: (x - r, x, x + r), onde r é a razão da PA.

Numa PA, a soma dos termos eqüidistantes dos extremos é constante.

Exemplo: PA : ( m, n, r, s, t); portanto, m + t = n + s = r + r = 2r

Estas propriedades facilitam sobremaneira a solução de problemas.

5 - Soma dos n primeiros termos de uma PA

Seja a PA ( a1, a2, a3, ..., an-1, an). A soma dos n primeiros termos Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an , pode ser deduzida facilmente, da aplicação da segunda propriedade acima.

Temos: Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an

É claro que também poderemos escrever a igualdade acima como: Sn = an + an-1 + ... + a3 + a2 + a1

Somando membro a membro estas duas igualdades, vem: 2. Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + ... + (an + a1)

Logo, pela segunda propriedade acima, as n parcelas entre parênteses possuem o mesmo valor ( são iguais à soma dos termos extremos a1 + an ) , de onde concluímos inevitavelmente que: 2.Sn = (a1 + an).n , onde n é o número de termos da PA.

Daí então, vem finalmente que:

Exemplo: Calcule a soma dos 200 primeiros números ímpares positivos. Temos a PA: ( 1, 3, 5, 7, 9, ... ) Precisamos conhecer o valor de a200 . Mas, a200 = a1 + (200 - 1).r = 1 + 199.2 = 399 Logo, Sn = [(1 + 399). 200] / 2 = 40.000 Portanto, a soma dos duzentos primeiros números ímpares positivos é igual a 40000.

15.5 Exercícios resolvidos

1 - Qual é o número mínimo de termos que se deve somar na P.A. :( 7/5 , 1 , 3/5 , ... ) , a partir do primeiro termo, para que a soma seja negativa? a) 9 * b) 8 c) 7 d ) 6 e) 5

SOLUÇÃO: Temos: a1 = 7/5 e r = 1 – 7/5 = 5/5 – 7/5 = -2/5, ou seja: r = -2/5. Poderemos escrever então, para o n-ésimo termo an: an = a1 + (n – 1).r = 7/5 + (n – 1).(-2/5) an = 7/5 – 2n/5 + 2/5 = (7/5 + 2/5) –2n/5 = 9/5 –2n/5 = (9 – 2n)/5


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A soma dos n primeiros termos, pela fórmula vista anteriormente será então: Sn = (a1 + an). (n/2) = [(7/5) + (9 – 2n)/5].(n/2) = [(16 – 2n)/5].(n/2) Sn = (16n – 2n

2) / 10

Ora, nós queremos que a soma Sn seja negativa; logo, vem: (16n – 2n2) / 10 < 0

Como o denominador é positivo, para que a fração acima seja negativa, o numerador deve ser negativo. Logo, deveremos ter: 16n – 2n2 < 0

Portanto, n(16 – 2n ) < 0 Ora, como n é o número de termos, ele é um número inteiro e positivo. Portanto, para que o produto acima seja negativo, deveremos ter: 16 – 2n < 0, de onde vem 16 < 2n ou 2n > 16 ou n > 8.

Como n é um número inteiro positivo, deduzimos imediatamente que n = 9. Portanto, a alternativa correta é a letra A.

2 - As medidas dos lados de um triângulo são expressas por x + 1, 2x , x2 - 5 e estão em P.A. , nesta ordem. O perímetro do triângulo vale: a) 8 b) 12 c) 15 *d) 24 e) 33

SOLUÇÃO: Ora, se x + 1, 2x , x2 – 5 formam uma P.A. , podemos escrever: 2x – (x + 1) = (x2 – 5) – 2x 2x – x –1 + 5 – x2 + 2x = 0 3x + 4 – x2 = 0

Multiplicando por (-1) ambos os membros da igualdade acima, fica: x2 – 3x – 4 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos x = 4 ou x = - 1.

Assim, teremos: x = 4: os termos da P.A . serão: x+1, 2x, x2 – 5 ou substituindo o valor de x encontrado: 5, 8, 11, que são as medidas dos lados do triângulo. Portanto, o perímetro do triângulo (soma das medidas dos lados) será igual a 5+8+11 = 24. O valor negativo de x não serve ao problema, já que levaria a valores negativos para os lados do triângulo, o que é uma impossibilidade matemática, pois as medidas dos lados de um triângulo são necessariamente positivas. Portanto, a alternativa correta é a letra D.

3 - UFBA - Um relógio que bate de hora em hora o número de vezes correspondente a cada hora, baterá , de zero às 12 horas x vezes. Calcule o dobro da terça parte de x. Resp: 60

SOLUÇÃO: Teremos que: 0 hora o relógio baterá 12 vezes. (Você não acha que bateria 0 vezes, não é?). 1 hora o relógio baterá 1 vez 2 horas o relógio baterá 2 vezes 3 horas o relógio baterá 3 vezes .................................................... .................................................... 12 horas o relógio baterá 12 vezes.

Logo, teremos a seguinte seqüência: (12, 1, 2, 3, 4, 5, ... , 12)

A partir do segundo termo da seqüência acima, temos uma PA de 12 termos, cujo primeiro termo é igual a 1, a razão é 1 e o último termo é 12.


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Portanto, a soma dos termos desta PA será: S = (1 + 12).(12/2) = 13.6 = 78

A soma procurada será igual ao resultado anterior (a PA em vermelho acima) mais as 12 batidas da zero hora. Logo, o número x será igual a x = 78 + 12 = 90. Logo, o dobro da terça parte de x será: 2. (90/3) = 2.30 = 60, que é a resposta do problema proposto.

4 - UFBA - Numa progressão aritmética, o primeiro termo é 1 e a soma do n-ésimo termo com o número de termos é 2. Calcule a razão dessa progressão. Resp: r = -1

SOLUÇÃO: Temos: a1 = 1 e an + n = 2, onde an é o n-ésimo termo. Fazendo n = 2, vem: a2 + 2 = 2, de onde vem imediatamente que a2 = 0. Daí, r = a2 – a1 = 0 – 1 = -1, que é a resposta procurada.

5 - A soma dos múltiplos positivos de 8 formados por 3 algarismos é: a) 64376 b) 12846 c) 21286 d) 112 *e) 61376

SOLUÇÃO: Números com 3 algarismos: de 100 a 999. Primeiro múltiplo de 8 maior do que 100 = 104 (que é igual a 8x13) Maior múltiplo de 8 menor do que 999 = 992 (que é igual a 8x124)

Temos então a PA: (104, 112, 120, 128, 136, ... , 992). Da fórmula do termo geral an = a1 + (n – 1) . r poderemos escrever: 992 = 104 + (n – 1).8, já que a razão da PA é 8. Daí vem: n = 112

Aplicando a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos finalmente: Sn = S112 = (104 + 992).(112/2) = 61376 A alternativa correta é portanto, a letra E.

6 – Determinar o centésimo termo da progressão aritmética na qual a soma do terceiro termo com o sétimo é igual a 30 e a soma do quarto termo com o nono é igual a 60. Resp: 965

SOLUÇÃO: Podemos escrever: a3 + a7 = 30 a4 + a9 = 60

Usando a fórmula do termo geral, poderemos escrever: a1 + 2r + a1 + 6r = 30 ou 2.a1 + 8r = 30 a1 + 3r + a1 + 8r = 60 ou 2.a1 + 11r = 60

Subtraindo membro a membro as duas expressões em negrito, vem: 3r = 30 , de onde concluímos que a razão é igual a r = 10.

Substituindo numa das equações em negrito acima, vem: 2.a1 + 8.10 = 30, de onde tiramos a1 = - 25.

Logo, o centésimo termo será: a100 = a1 + 99r = - 25 + 99.10 = 965

15.6 Exercícios propostos

1. (MACK-SP) – O trigésimo primeiro termo de uma progressão aritmética de primeiro termo 2 e razão 3 é:


__________________________________________________________________________________________________________________________


a. 63 b. 65 c. 92 d. 95 e. 98

2. (FEI-SP) – A razão de uma PA de 10 termos, onde o primeiro termo é 42 e o último é –12, vale:

a. -5 b. -9 c. -6 d. -7 e. 0

3. O termo geral de uma PA é dado por an = 2n – 1. Então o terceiro termo da PA vale:

a. 2 b. 3 c. 5 d. 6 e. 4

4. (PUC – PR) – Calculando o número de termos de uma PA, onde o primeiro termo é 0,5 , o último termo é 45,5 e a razão é 1,5, obtém-se:

a. 45 b. 38 c. 43 d. 31 e. 57

5. (FEI-SP) – O 10º termo da PA (a, 3a/2, ...) é igual a :

a. 11a/2 b. 9a/2 c. 7a/2 d. 13a/2 e. 15a/2

6. (UFPA) – Numa progressão aritmética, temos a7 = 5 e a15 = 61. Então, a razão pertence ao intervalo:

a. [8,10] b. [6,8[ c. [4,6[ d. [2,4[ e. [0,2[

7. (MACK-SP) – O produto das raízes da equação x² + 2x – 3 = 0 é a razão de uma PA de primeiro termo 7. O 100º termo dessa PA é:

a. -200 b. -304 c. -290 d. -205 e. -191

8. (UFRS) – O número de múltiplos de 7 entre 50 e 1206 é:

a. 53 b. 87 c. 100


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d. 165 e. 203

9. A razão de uma PA, na qual a3 + a5 = 20 e a4 + a7= 29, vale:

a. 3 b. 5 c. 7 d. 9 e. 11

10. (FAAT) – A quantidade de números compreendidos entre 1 e 5000, que são divisíveis por 3 e 7, é:

a. 138 b. 238 c. 137 d. 247 e. 157

11. (FGV-SP) – A soma do 4º e 8º termos de PA é 20; o 31º termo é o dobro do 16º termo. Determine a PA:

a. (-5, -2, 1, ...) b. (5, 6, 7, ...) c. (0, 2, 4, ...) d. (0, 3, 6, 9, ...) e. (1, 3, 5, ...)

12. (PUC-PR) – Se em uma PA de 7 termos, de razão K, retirarmos o segundo, terceiro, quinto e sexto termos, a sucessão restante é uma PA de razão:

a. k b. 2k c. k/2 d. 3k e. 5k

13. O número de termos n de uma PA finita, na qual o primeiro termo é 1, o último 17 e a razão é r = n – 1, vale:

a. 4 b. 5 c. 7 d. 8 e. 12

14. Numa PA de n termos e razão r, temos a1= -2/15, an = 2/3 e r . n = 1. Então r e n valem, respectivamente:

a. 1/5 e 5 b. 1/3 e 3 c. 1/6 e 6 d. 1/7 e 7 e. 1/9 e 9

15. A soma do 2º e do 4º termos de uma PA é 15 e a soma do 5º e 6º termos é 25. Então o 1º termo e a razão valem, respectivamente:

a. 7/3 e 3 b. 7/4 e 4 c. 7/2 e 2 d. 7/5 e 5 e. 7/6 e 6


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16. (MACK-SP) – O n-ésimo termo da progressão aritmética 1,87; 3,14; 4,41; ... é:

a. 1,27n² + 0,6 b. 1,27n + 0,6 c. 1,27 + 0,6 n d. 1,27 + 0,6 e. 0,6n2 + 1,27

17. Interpolando-se 6 meios aritméticos entre 100 e 184, a razão encontrada vale:

a. 11 b. 12 c. 15 d. 17 e. 19

18. ( POLI ) Inscrevendo-se nove meios aritméticos entre 15 e 45, o sexto termo da PA será igual á:

a. 18 b. 24 c. 36 d. 27 e. 30

19. A quantidade de meios aritméticos que se pode inserir ente 15 e 30, tal que a razão tenha valor 3, é:

a. 3 b. 2 c. 4 d. 5 e. 9

20. ( UFPI ) A soma dos números pares de 2 a 400 é igual á:

a. 7432 b. 8200 c. 40200 d. 80200 e. 20400

21. Em uma PA, a soma dos termos é 70, o primeiro termo é 10 e a razão é 5. O número de termos é:

a. 10 b. 8 c. 4 d. 12 e. 16

22. ( FATEC - SP ) Se o termo geral de uma PA é an = 5n - 13, com n IN* , então a soma de seus 50 primeiros termos é:

a. 5850 b. 5725 c. 5650 d. 5225 e. 5150

23. ( PUC ) A soma dos n primeiros termos de uma PA é n2 + 2n. O 10º termo dessa PA vale:


__________________________________________________________________________________________________________________________


a. 17 b. 18 c. 19 d. 20 e. 21

24. A soma dos termos de uma PA, cujo primeiro termo é 4, o último termo é 46 e a razão é igual ao número de termos é:

a. 50 b. 100 c. 175 d. 150 e. 195

25. ( CEFET - PR ) Inserindo-se K meios aritméticos entre 1 e K2, obtém - se uma progressão aritmética de razão:

a. 1 b. k c. k-1 d. k+1 e. k2

26. O número de termos que devemos tomar na PA ( -7, -3, ...) a fim de que a soma valha 3150 é:

a. 38 b. 39 c. 40 d. 41 e. 42

27. ( PUC - RS ) Um teatro têm 18 poltronas na primeira fila, 24 na segunda, 30 na terceira e assim na mesma seqüência , até a vigésima fila que é a última .O número de poltronas desse teatro é :

a. 92 b. 150 c. 1500 d. 132 e. 1320

28. ( FATEC ) A soma de todos os números naturais, não nulos, não maiores que 600 e não múltiplos de 5,é:

a. 180300 b. 141770 c. 144000 d. 136415 e. 147125

29. ( FGV - SP ) Sabendo que a soma do segundo e do quarto termos de uma progressão aritmética é 40 e que a razão é ¾ do primeiro termo , a soma dos dez primeiros temos será:

a. 350 b. 270 c. 400 d. 215 e. 530


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30. ( MACK - SP) Se soma dos 10 primeiros termos de uma progressão aritmética é 50 e a soma dos 20 primeiros termos é 50, então a soma dos 30 primeiros termos é:

a. 0 b. 50 c. 150 d. 25 e. 100

Numa estrada que liga a entrada de uma fazenda até a sua sede existem duas palmeiras, uma a 8 metros da entrada e outra a 260 metros. O proprietário deseja plantar, entre elas, outras cinco palmeiras, com a mesma distância entre elas. A distância, em metros, entre as palmeiras, é de: a) 54 b) 42 c) 50,4 d) 36 e) n.d.a 31. Uma progressão aritmética de n termos tem razão igual a 3. Se retirarmos os termos de ordem ímpar, os de ordem par formarão uma progressão a) aritmética de razão 2 b) aritmética de razão 6 c) aritmética de razão 9 d) geométrica de razão 3 e) geométrica de razão 6 Resposta: b 32. Para todo n natural não nulo, sejam as seqüências (3, 5, 7, 9, ..., an, ...) (3, 6, 9, 12, ..., bn, ...) (c1, c2, c3, ..., cn, ...) com cn = an + bn. Nessas condições, c20 , é igual a a) 25 b) 37 c) 101 d) 119 e) 149 33. Se as medidas dos ângulos internos de um triângulo estão em progressão aritmética e a medida do maior ângulo é o quádruplo do menor, então, a diferença entre o maior e o menor ângulo, em graus, é: a) 36 b) 96 c) 60 d) 24 e)72 34. Um veículo parte de uma cidade A em direção a uma cidade B, distante 500km. Na 1ª hora do trajeto ele percorre 20km, na 2ª hora 22,5km, na 3ª hora 25km e assim sucessivamente. Ao completar a 12 hora do percurso, a distância esse veículo estará de B? a) 95 km b) 115 km c) 125 km d) 135 km e) 155 km


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35. Num programa de condicionamento físico um atleta corre sempre 300 metros a mais do que correu no dia anterior. Sabe-se que no segundo dia ele correu um quilômetro. Então, no décimo dia, ele correrá em metros: a) 3700. b) 3100 c) 3400 d) 4000 e) 2800 36. Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término da 15ª semana de tratamento? a) 22,50 kg b) 15 kg c) 10,7 kg d) 10,55 kg e) 10,46 kg 37. Sobre Progressão Aritmética, propriedades e generalidades. Analise as afirmações a seguir. 1. Existem 81 múltiplos de 11 entre 100 e 1000. 2. Sabendo que 1, (3 + x) e (17 - 4x) são termos consecutivos de uma P.A., o valor de x é 2. 3. O quarto termo da P.A.(a - b, 5a - 2b, ...) é a4 = 13a - 4b. 4. Dada a P.A. (82, 76, 70, ...), o número 22 ocupa a 11a posição. Marque a alternativa correta:

38. Eddie Sortudo não deseja contar com a sorte e espera ganhar um pouco de tempo, acreditando que a munição do inimigo acabe. Suponha então que, a partir do primeiro número falado por Eddie, ele dirá, cada um dos demais, exatamente 3 segundos após ter falado o anterior, até que chegue ao número determinado pelo seu comandante. Assim, com sua estratégia, Eddie conseguirá ganhar um tempo, em segundos, igual a:

a) 177 b) 188 c) 237 d) 240 Resposta: c 39. Uma criança anêmica pesava 8,3 kg. Iniciou um tratamento médico que fez com que engordasse 150 g por semana durante 4 meses. Quanto pesava ao término da 15ª semana de tratamento?


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a) 22,50 kg b) 15 kg c) 10,7 kg d) 10,55 kg e) 10,46 kg Resposta: d 40. Um agricultor estava perdendo a sua plantação, em virtude da ação de uma praga. Ao consultar um especialista, foi orientado para que pulverizasse, uma vez ao dia, uma determinada quantidade de um certo produto, todos os dias, da seguinte maneira: primeiro dia: 1,0 litro; segundo dia: 1,2 litros; terceiro dia: 1,4 litros; ... e assim sucessivamente. Sabendo-se que o total de produto pulverizado foi de 63 litros, o número de dias de duração deste tratamento nesta plantação foi de: a) 21 b) 22 c) 25 d) 27 e) 30 Gabarito 1 (c) 2(c) 3(c) 4(d) 5(a) 6(b) 7(c) 8(d) 9(a) 10(b) 11(c) 12(d) 13(b) 14(a) 15(c) 16(b) 17(b) 18(e) 19(c) 20(c) 21(c) 22(b) 23(e) 24(c) 25(d) 26(e) 27(c) 28(c) 29(a) 30(b) 31(b) 32(c) 33(e) 34(a) 35(c) 36(d) 37(b) 38(c) 39(d) 40(a) 16 LOGARITMOS E EXPONENCIAIS 16.1 INTRODUÇÃO

O conceito de logaritmo foi introduzido pelo matemático escocês John Napier (1550-1617) e aperfeiçoado pelo inglês Henry Briggs (1561-1630). A descoberta dos logaritmos deveu-se sobretudo à grande necessidade de simplificar os cálculos excessivamente trabalhosos para a época, principalmente na área da astronomia, entre outras. Através dos logaritmos, pode-se transformar as operações de multiplicação em soma, de divisão em subtração, entre outras transformações possíveis, facilitando os cálculos. Na verdade, a idéia de logaritmo é muito simples, e pode-se dizer que o nome logaritmo é uma nova denominação para expoente, conforme veremos a seguir.

Assim, por exemplo, como sabemos que 42 = 16 , onde 4 é a base, 2 o expoente e 16 a potência, na linguagem dos logaritmos, diremos que 2 é o logaritmo de 16 na base 4. Simples, não é? Nestas condições, escrevemos simbolicamente: log416 = 2.

Outros exemplos: 152 = 225, logo: log15225 = 2 6

3 = 216, logo: log6216 = 3 54 = 625, logo: log5625 = 4 7

0 = 1, logo: log71 = 0

16.2 DEFINIÇÃO

Dados os números reais b (positivo e diferente de 1), N (positivo) e x , que satisfaçam a relação bx = N, dizemos que x é o logaritmo de N na base b. Isto é expresso simbolicamente da seguinte forma: logbN = x. Neste caso, dizemos que b é a base do sistema de logaritmos, N é o logaritmando ou antilogaritmo e x é o logaritmo.

Exemplos: a) log28 = 3 porque 2

3 = 8. b) log41 = 0 porque 40 = 1. c) log39 = 2 porque 3

2 = 9. d) log55 = 1 porque 5

1 = 5.


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Notas:

1 - quando a base do sistema de logaritmos é igual a 10 , usamos a expressão logaritmo decimal e na representação simbólica escrevemos somente logN ao invés de log10N. Assim é que quando escrevemos logN = x , devemos concluir pelo que foi exposto, que 10x = N.

Existe também um sistema de logaritmos chamado neperiano (em homenagem a John Napier - matemático escocês do século XVI, inventor dos logaritmos), cuja base é o número irracional e = 2,7183... e indicamos este logaritmo pelo símbolo ln. Assim, logeM = ln M. Este sistema de logaritmos, também conhecido como sistema de logaritmos naturais, tem grande aplicação no estudo de diversos fenômenos da natureza.

Exemplos: a) log100 = 2 porque 102 = 100. b) log1000 = 3 porque 103 = 1000. c) log2 = 0,3010 porque 100,3010 = 2. d) log3 = 0,4771 porque 100,4771 = 3. e) ln e = 1 porque e1 = e = 2,7183... f) ln 7 = loge7

2 - Os logaritmos decimais (base 10) normalmente são números decimais onde a parte inteira é denominada característica e a parte decimal é denominada mantissa .

Assim por exemplo, sendo log20 = 1,3010, 1 é a característica e 0,3010 a mantissa. As mantissas dos logaritmos decimais são tabeladas.

Consultando a tábua de logaritmo (qualquer livro de Matemática traz) , podemos escrever por exemplo que log45 = 1,6532. As tábuas de logaritmos decimais foram desenvolvidas por Henry Briggs, matemático inglês do século XVI. Observe que do fato de termos log45 = 1,6532 , podemos concluir pela definição de logaritmo que 101,6532 = 45.

3) Da definição de logaritmo, infere-se (conclui-se) que somente os números reais positivos possuem logaritmo. Assim, não têm sentido as expressões log3(-9) , log20 , etc.

4) É fácil demonstrar as seguintes propriedades imediatas dos logaritmos, todas decorrentes da definição:

P1) O logaritmo da unidade em qualquer base é nulo, ou seja: logb1 = 0 porque b0 = 1.

P2) O logaritmo da base é sempre igual a 1, ou seja: logbb = 1 , porque b1 = b.

P3) logbbk = k , porque bk = bk .

P4) Se logbM = logbN então podemos concluir que M = N. Esta propriedade é muito utilizada na solução de exercícios envolvendo equações onde aparecem logaritmos (equações logarítmicas).

P5) blogbM = M ou seja: b elevado ao logaritmo de M na base b é igual a M.

16.3 PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LOGARITMOS

P1 - LOGARITMO DE UM PRODUTO

O logaritmo de um produto é igual a soma dos logaritmos dos fatores, ou seja: logb(M.N) = logbM + logbN

Exemplo: log20 =log(2.10) = log2 + log10 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Observe que como a base não foi especificada, sabemos que ela é igual a 10.

P2 - LOGARITMO DE UM QUOCIENTE


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O logaritmo de uma fração ordinária é igual a diferença entre os logaritmos do numerador da fração e do denominador, ou seja: logb(M/N) = logbM - logbN

Exemplo: log0,02 = log(2/100) = log2 - log100 = 0,3010 - 2,0000 = -1,6990. Do exposto anteriormente, podemos concluir que, sendo log0,02 = -1,6990 então 10-1,6990 = 0,02.

Da mesma forma podemos exemplificar: log5 = log(10/2) = log10 - log2 = 1 - 0,3010 = 0,6990.

Observação: a não indicação da base, subtende-se logaritmos decimal (base 10).

Nota: Chamamos de cologaritmo de um número positivo N numa base b, ao logaritmo do inverso multiplicativo de N, também na base b. Ou seja: cologbN = logb(1/N) = logb1 - logbN = 0 - logbN = - logbN. (menos log de N na base b). Exemplo: colog10 = -log10 = -1.

P3 - LOGARITMO DE UMA POTÊNCIA

Temos a seguinte fórmula, facilmente demonstrável: logbMk = k.logbM.

Exemplo: log5256 = 6.log525 = 6.2 = 12.

P4 - MUDANÇA DE BASE

Às vezes, para a solução de problemas, temos necessidade de mudar a base de um sistema de logaritmos, ou seja, conhecemos o logaritmo de N na base b e desejamos obter o logaritmo de N numa base a . Esta mudança de base, muito importante na solução de exercícios, poderá ser feita de acordo com a fórmula a seguir, cuja demonstração não apresenta dificuldades, aplicando-se os conhecimentos aqui expostos.

Exemplos: a) log416 = log216 / log24 (2 = 4:2) b) log864 = log264 / log28 (2 = 6:3) c) log25125 = log5125 / log525 = 3 / 2 = 1,5. Temos então que 251,5 = 125.

Notas: 1 - na resolução de problemas, é sempre muito mais conveniente mudar um log de uma base maior para uma base menor, pois isto simplifica os cálculos.

2 - Duas conseqüências importantes da fórmula de mudança de base são as seguintes: a) logbN = logN / logb (usando a base comum 10, que não precisa ser indicada). b) logba . logab = 1

Exemplos: a) log37 . log73 = 1 b) log23 = log3 / log2 = 0,4771 / 0,3010 = 1,5850

16.4 A FUNÇÃO LOGARÍTIMICA E A FUNÇÃO EXPONENCIAL

Considere a função y = ax , denominada função exponencial, onde a base a é um número positivo e diferente de 1, definida para todo x real.

Observe que nestas condições, ax é um número positivo, para todo x ∈ R, onde R é o conjunto dos números reais.

Denotando o conjunto dos números reais positivos por R+* , poderemos escrever a função exponencial como segue:

f: R R+* ; y = ax , 0 < a ≠ 1


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Esta função é bijetora, pois: a) é injetora, ou seja: elementos distintos possuem imagens distintas. b) É sobrejetora, pois o conjunto imagem coincide com o seu contradomínio.

Assim sendo, a função exponencial é BIJETORA e, portanto, é uma função inversível, OU SEJA, admite uma função inversa.

Vamos determinar a função inversa da função y = ax , onde 0 < a 1. Permutando x por y, vem: x = ay y = logax

Portanto, a função logarítmica é então: f: R+

* R ; y = logax , 0 < a ≠ 1.

Mostramos a seguir, os gráficos das funções exponencial ( y = ax ) e logarítmica ( y = logax ), para os casos a > 1 e 0 < a ≠ 1. Observe que, sendo as funções, inversas, os seus gráficos são curvas simétricas em relação à bissetriz do primeiro e terceiro quadrantes, ou seja, simétricos em relação à reta y = x.

Da simples observação dos gráficos acima, podemos concluir que:

1 - para a > 1, as funções exponencial e logarítmica são CRESCENTES. 2 - para 0 < a ≠ 1, elas são DECRESCENTES. 3 - o domínio da função y = logax é o conjunto R+

* . 4 - o conjunto imagem da função y = logax é o conjunto R dos números reais. 5 - o domínio da função y = ax é o conjunto R dos números reais. 6 - o conjunto imagem da função y = ax é o conjunto R+

* . 7 - observe que o domínio da função exponencial é igual ao conjunto imagem da função logarítmica e que o domínio da função logarítmica é igual ao conjunto imagem da função exponencial. Isto ocorre porque as funções são inversas entre si.

16.5 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

1 - Se S é a soma das raízes da equação log2 x - logx - 2 = 0 , então calcule o valor de 1073 - 10S.

SOLUÇÃO: Façamos logx = y; vem: y2 - y - 2 = 0 Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos: y = 2 ou y = -1. Portanto, logx = 2 OU logx = -1

Como a base é igual a 10, teremos: log10x = 2 x = 10

2 = 100 log10x = -1 x = 10

-1 = 1/10


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As raízes procuradas são, então, 100 e 1/10. Conforme enunciado do problema, teremos: S = 100 + 1/10 = 1000/10 + 1/10 = 1001/10

Logo, o valor de 1073 - 10S será: 1073 - 10(1001/10) = 1073 - 1001 = 72 Resp: 72

2 - Calcule o valor de y = 6x onde x = log32 . log63 .

SOLUÇÃO: Substituindo o valor de x, vem: y = 6log3

2 . log63 = (6log6

3)log32 = 3log3

2 = 2 Na solução acima, empregamos a propriedade blogb

M = M , vista anteriormente. Resp: 2

3 - UEFS - Sendo log 2 = 0,301, o número de algarismos de 520 é: a) 13 b) 14 c) 19 d) 20 e) 27

SOLUÇÃO: Seja n = 520 . Podemos escrever, usando logaritmo decimal: log n = log 520 = 20.log5

Para calcular o valor do logaritmo decimal de 5, ou seja, log5, basta lembrar que podemos escrever: log 5 = log (10/2) = log 10 - log 2 = 1 - 0,301 = 0,699

Portanto, log n = 20 . 0,699 = 13,9800 Da teoria vista acima, sabemos que se log n = 13,9800, isto significa que a característica do log decimal vale 13 e, portanto, o número n possui 13 + 1 , ou seja 14 algarismos. Portanto, a resposta correta é a letra B.

4 - UFBA - Considere a equação 10x + 0,4658 = 368. Sabendo-se que log 3,68 = 0,5658 , calcule 10x.

SOLUÇÃO: Temos: 10x + 0,4658 = 368 Daí, podemos escrever: log 368 = x + 0,4658 x = log 368 - 0,4658 Ora, é dado que: log 3,68 = 0,5658, ou seja: log(368/100) = 0,5658

Logo, log 368 - log 100 = 0,5658 log 368 - 2 = 0,5658 , já que log 100 = 2 (pois 102 = 100). Daí, vem então: log 368 = 2,5658

Então, x = log 368 - 0,4658 = 2,5658 - 0,4658 = 2,1 Como o problema pede o valor de 10x, vem: 10.2,1 = 21 Resp: 21

5 - Se log N = 2 + log 2 - log 3 - 2log 5 , calcule o valor de 30N.

SOLUÇÃO: Podemos escrever: logN = 2 + log2 - log3 - log52

logN = 2 + log2 - log3 - log25 logN = 2 + log2 - (log3 + log25) Como 2 = log100, fica: logN = (log100 + log2) - (log3 + log25) logN = log(100.2) - log(3.25) logN = log200 - log75 logN = log(200/75)


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Logo, concluímos que N = 200/75 Simplificando, fica: N = 40/15 = 8/3 Logo, 30N = 30(8/3) = 80 Resp: 30N = 80

16.6 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1 - UFBA - Sendo log2 = 0,301 e x = 53 . , então o logx é: *a) 2,997 b) 3,398 c) 3,633 d) 4,398 e) 5,097

2 - UEFS - O produto das raízes da equação log(x2 -7x + 14) = 2log2 é: 01) 5 02) 7 *03) 10 04) 14 05) 35

3 - UCSal - Se 12n+1 = 3n+1 . 8 , então log2 n é igual a: a) -2 *b) -1 c) 1/2 d) 1 e) 2

4 - UEFS - O domínio da função y = log [(2x-3)/(4-x)] é: a) (-3/2,4) b) (-4,3/2) c) (-4,2) *d) (3/2,4) e) (3/2,10)

5 - UFBA - Determine o valor de x que satisfaz à equação log2 (x-3) + log2 (x-2) = 1. Resp: 4

6 - UFBA - Existe um número x diferente de 10, tal que o dobro do seu logaritmo decimal excede de duas unidades o logaritmo decimal de x-9. Determine x. Resp: 90

7 - PUC-SP - O logaritmo, em uma base x, do número y = 5 + x/2 é 2. Então x é igual a: a) 3/2 b) 4/3 c) 2 d)5 *e) 5/2

8 - PUC-SP - Se x+y = 20 e x - y = 5 , então log(x2 - y2 ) é igual a: a) 100 *b) 2 c) 25 d) 12,5 e) 1000 Sugestão: observe que x2 - y2 = (x - y) (x + y)

9 - Calcule o valor dos seguintes logaritmos:

a) b)

c) d)

e) f)

10 - Calcule o valor da incógnita "N" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) b) c) d)

11 - Calcule o valor da incógnita "a" em cada exercício, aplicando a equivalência fundamental:

a) b) c)


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12 - O número real x, tal que , é

(A) X

(B)

(C)

(D)

(E)

13 - (PUCRS) Escrever , equivale a escrever

(A) X (B)

(C)

(D)

(E)

14 - Se , o valor de é:

(A) -2 (B) -1 X (C) 0 (D) 1 (E) 2

15 - (PUCRS) A solução real para a equação , com a>0, a≠1 e b>0, é dada por

(A)

(B)

(C)

(D)

(E) X

16 - ( CESGRANRIO - RJ ) Se log ( 2x - 5 ) = 0 então x vale:

a. 5 b. 4 c. 3 d. 7/3 e. 5/2

17 - ( FGV - SP ) A equação logx ( 2x +3 )= 2 apresenta o seguinte conjunto solução:

a. { -1, 3 } b. { -1 } c. { 3 } d. { 1, 3 } e. nda


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18 - (UEL-PR) É correto afirmar que no universo IR o conjunto solução da equação lo3 ( -x2 -10x ) = 2:

a. é Æ b. é unitário c. tem dois elementos irracionais d. tem dois elementos inteiros e. tem dois elementos racionais e não inteiros

19 - ( ESAL - MG ) O valor de x tal que log648 = x é:

a. 2 b. 3 c. 2/3 d. 1/2 e.3/2

20 - ( PUC - SP ) Quanto a solução da equação ( logx )2 - 3. log x + 2 = 0 é verdade que :

a. só uma delas é real b. a maior delas é 1000 c. a menor delas é 100 d. a menor delas é 10 e. a maior delas é 1

21 - ( UEPG - PR ) Sendo ( log2x)2 - 3 log2x - 4 = 0 então o produto entre as raízes da equação vale:

a. -8 b. 16 c. -1/4 d. 4 e. 8

22 - ( CONSART - SP ) A solução da equação log8x + log8 (3x-2) = 1 é dada por:

a. -4/3 b. 1/2 c. -2 d. 2 e. nda

23 - ( PUC - SP ) O conjunto verdade da equação 2. log x = log 4 +log ( x + 3 ) é:

a. { -2, 6 } b. { -2 } c. { 2, -6 } d. Æ e. { 6 }

24 - ( CEFET - PR ) A soma das raízes da equação log2x - logx4 = 0 é:

a. 1000 b. 1001 c. 101 d. 10001 e. 11

25 - ( UFSC ) Indica-se por log x o logaritmo decimal do número x. Se 4 + log x = 4. log 4, então x é igual a:

a. 16 b. 2,56 c. 0,4 d. 0,256 e. 0,0256

26 - ( UNIMEP - SP ) O logaritmo na base 2, do número x2 - x é igual a 1. O valor de x que satisfaz a sentença é:

a. 2 ou -1 b. -1 ou 0 c. 1 d. 0 e. 3

27 - ( PUC - SP ) Aumentando um número x de 16 unidades, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2 unidades. Então x é:

a. 2 b. 1 c. 3 d. 4 e. 5

28 - ( UEBA ) No universo IR a solução da equação log2x + log2 ( x +1 )= 1 é um número:

a. ímpar b. entre 0 e 1 c. maior que 3 d. múltiplo de 3 e. divisível por 5

29 - ( UECE ) O conjunto solução da equação log24x- log42 = 0 é:

a. { /4 } b. { /2} c. { } d. {2 } e. nda


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30 - ( CEFET - PR ) Se loga , então b2 é igual a :

a. 1 b. 4 c. 8 d. 3 e. 9

31 - ( UEPG - PR ) Se log2x+log8x = 1 , então x vale :

a. X b. c. 2 d. 3 e. nda

32 - ( MACK - SP ) Se , a > 0, a 1, então o valor de x é:

a. a b. 1/a c. a2 d. 1/a2

e.

33 - ( FGV - SP ) A solução da equação é :

a. x= log2 ( 12/5 ) b. x = log2 ( 5/12 ) c. x = log5/122 d. x = log12/52 e. x = log125

34 - ( CEFETR - PR ) Se log2x - log4x = -1/2, então xx é igual a:

a. 1/4 b. 4 c. /2 d. 1/2 e.

35 - ( PUC - PR ) A diferença das soluções da equação , em modulo , é:

a. 2 b. -2 c. 4 d. 0 e. 6

36 - (FUVEST-SP) O conjunto solução da equação x . ( log53x + log521 ) + log5 ( 3/7)

x = 0 é:

a. Æ b. {0} c. {1} d. {0,2} e. {0,-2}

1) 2) 3) 4)

17. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS

17.1 Exercícios resolvidos


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5) 6) 7)

1) Aplicando as propriedades de exponencial temos:

10x(x-1)

=10-6 Agora com as bases igualadas podemos cortá-las.

x(x-1)=-6 Operando

x2-x=-6

x2-x+6=0

Chegamos em uma equação do segundo grau, aplicando Báskara achamos os resultados

Note que temos uma raiz quadrada de um número negativo! Isto não é um número do conjunto dos REAIS (R), portanto a resposta é x R (x não pertence aos REAIS).

2) 4x2=256 4

x2=4

4 x

2=4

3) 2x2-7x+12=1 2

x2-7x+12=2

0

x2-7x+12=0 (Báscara)

x=4 x=3

4) Tirando MMC

8·2

x+2

x=18

9·2x=18

2x=2

x=1

5) 3x(x-4)=3-3 x(x-4)=-3 x

2-4x=-3


x'=3 x''=1

6) 3x2-10x+7=3-2 x

2-10x+7=-2

x2-10x+7+2=0


x'=9 x''=1

7) 4-(x-1)=42(x+2) -(x-1)=2(x+2) -x+1=2x+4 -x-2x=4-1 -3x=3 x=-1

8) Se , então "x" vale:

(A) -1/6 (B) -1/3 (C) -1/2 (D) ½ (E) 1/5

- Primeiro vamos transformar os decimais (números com vírgula) em frações:

- Veja que podemos simplificar a fração da esquerda e transformar em potência o lado direito da igualdade:

- As bases estão quase igualadas, só que uma é o inverso da outra. Vamos inverter uma delas e adicionar o expoente "-1".


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- Agora sim, com as bases igualadas podemos cortá-las:

Resposta certa letra "B".

9) (PUC-RS) A soma das raizes da equação 9·5x2-2x+1=5625 é:

(A) -4 (B) -2 (C) -1 (D) 2 (E) 4

- Primeiro vamos "passar" o nove que está multiplicando o lado esquerdo para o lado direito dividindo:

5x2-2x+1=5625/9 5x2-2x+1=625

- Fatorando:

5x2-2x+1=54

- Cortando as bases:

x2-2x+1=4 x

2-2x+1-4=0 x

2-2x-3=0

- Sendo a fórmula da soma das raizes S=-b/a, temos:

S=-(-2)/1 S=2 Resposta certa letra "D".

10) (UFRGS) Sabendo-se que 6x+2=72, tem-se que 6-x vale:

(A) -4 (B) -2 (C) 0 (D) ½ (E) 2

- Para resolver este problema, não precisamos achar o valor de "x" . É pedido quanto vale 6-x, se nós calcularmos quanto é 6x podemos calcular o que é pedido. Veja só:

6x+2=72 6x�62=72 6x�36=72 6x=72/36 6x=2

- Agora podemos inverter ambos os lados que a igualdade continua verdadeira:


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- Aplicando as propriedades de potenciação:

6-x=½ Resposta certa letra "D"

17.2 EXERCÍCIOS PROPOSTOS

11) (UFRGS) O valor de x que verifica a equação é:

*(A) -1 (B) -1/2 (C) 0 (D) ½ (E) 1

12) (UFRGS) A solução da equação é

(A) -2 *(B) ½ (C) 14/15 (D) 15/14 (E) 2

13) (UFRGS) Sabendo que 4x-4x-1=24 então x1/2 vale

(A) /2 (B) /2 (C) (D) /5 *(E) /2

14) (PUCRS) A soma das raizes da equação é:

*(A) -2 (B) -1 (C) 0 (D) 1 (E) 2

15 - ( CESGRANRIO - RJ ) Se 8x = 32, então x é igual a:

a. 5/2 b. 5/3 c. 3/5 d. 2/5 e. 4

16 - ( UEPG - PR ) Se 8x-9 = 16x/2, então é igual a:

a. 1 b. 2 c. 4 d. 5 e. nda

17 - ( PUC - SP ) O valor de x que satisfaz a equação 33x-1 . 92x+3 = 273-x é:

a. 1 b. 3 c. 5/2 d. 1/3 e. 2/5

18 - ( FUVEST - SP ) Sendo x = (22)3 , y = e z = , calcule x . y . z :

a. 221 b. 210 c. 223 d. 24 e. 220

19 - ( VUNESP - SP ) Se , então :

a. m = 0,1 b. b. m = ( 0,1)2 c. m = ( 0,1 )3


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d. m = ( 0,1 )4 e. m = ( 0,1 )5

20 - ( UFRN ) Se 2x = 2048, então, x vale :

a. 7 b. 11 c. 13 d. 17 e. 19

21 - ( PUC - SP ) Se , então os valores de x são :

a. 1 e 3 b. 2 e 3 c. 1 e 2 d. 1 e 4 e. 2 e 4

22 - ( FCC - BA ) A solução da equação 0,52x = 0,251-x é um número x, tal que:

a. 0 < x < 1 b. 1 < x < 2 c. 2 < x < 3 d. x > 3 e. x < 0

23 - ( CEFET - PR ) Se ( 73 )-x+2 = , x1/2 valerá:

a. b. -9 c. 49 d. e. 1

24 - . ( UEL - PR ) Se 2x = u e 3-x = t, o valor da expressão 12x + 18-x é:

a.

b.

c. d. u2 + t2 e. u3 + t3

25 - ( UFMG ) A soma das raízes da equação , é:

a. 0 b. -1 c. 1 d. 7 e. 8

26 - ( UFPA ) A raiz da equação ( 7x - 2 ) . ( 7x + 2 ) = 9 é um número:

a. irracional negativo b. irracional positivo c. par

d. inteiro negativo e. inteiro positivo

27 - ( PUC - RS ) Se 3x - 32-x = 23, então 15 - x2 vale:

b. 16 b. 15 c. 14 d. 11 e. 6

28 - ( UFBA ) O conjunto solução da equação 2x - 2-x = 5 ( 1 - 2-x) é:

a. { 1; 4 } b. {1 ; 2 } c. { 0; 1 } d. { 0; 2 } e. Æ


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29 - ( UEPG - PR ) A soma das raízes da equação 32x - 12. 3 x + 27 = 0 pertence ao intervalo:

a. [ 10, 12 ] b. [ 0, 3 ] c. [ 1, 2 ] d. ( 10, 12 ) e. ( 1, 3 )

30 - ( UFPR ) Se 2x + 2-x = 3, então o valor de 8x + 8-x é:

a. 12 b. 18 c. 21 d. 24 e. 27

31 - ( FUVEST - SP ) Se 416 . 525 = . 10n, com 1 <10, então n é igual a:

a. 24 b. 25 c. 26 d. 27 e. 28

32 - ( FGV - SP ) A equação 4x + 6x = 2.9x tem como solução o conjunto:

a. {1} b. {2} c. {3} d. {0} e. nda

33 - ( UECE ) Se 7m - 32n = 1672 e - 3n = 22, então mn é igual a:

a. 16 b. 64 c. 128 d. 256 e. nda

34 - ( PUC - MG ) A expressão é igual a:

a. 2x b. 2-x c. 2-3 d. 7 e. 8

35 - ( UFCE ) A soma das raízes da equação xf(x) = 1, onde f(x) = x2 - 7x + 12, é igual a :

a. 5 b. 6 c. 8 d. 9 e. 10

36 - ( CESGRANRIO - RJ ) Os números inteiros x e y satisfazem 2x+1 + 2x = 3y+2 - 3y . Então x é:

a. 0 b. 1 c. 2 d. 3 e. 4

18 ANÁLISE COMBINATÓRIA

Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições

18.1 Fatorial Notação : ( ! ) Def . : Denomina-se fatorial de um número positivo inteiro n ao produto n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) ( n - 4 ) ..... e anotamos n !


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Ex . : a ) 7 ! = 7.6.5.4.3.2.1 = 5040 b) 4! = 4.3.2.1 = 24 Por Definição 1 ! = 1 e 0! = 1 Simplifique as expressões abaixo:

a) 10!

8! b)

( )!

( )!

n

n

+−

1

1 c)

( )!n

n

+1 d)

m

m

!

( )!−1

e) 12

9 3

!

!. ! f)

m

m

!

( )!− 2

18.2 Princípio fundamental da contagem O princípio fundamental da contagem nos diz que sempre devemos multiplicar os números de opções entre as escolhas que podemos fazer. Por exemplo, para montar um computador, temos 3 diferentes tipos de monitores, 4 tipos de teclados, 2 tipos de impressora e 3 tipos de "CPU". Para saber o numero de diferentes possibilidades de computadores que podem ser montados com essas peças, somente multiplicamos as opções: 3 x 4 x 2 x 3 = 72 Então, têm-se 72 possibilidades de configurações diferentes. Um problema que ocorre é quando aparece a palavra "ou", como na questão: Quantos pratos diferentes podem ser solicitados por um cliente de restaurante, tendo disponível 3 tipos de arroz, 2 de feijão, 3 de macarrão, 2 tipos de cervejas e 3 tipos de refrigerante, sendo que o cliente não pode pedir cerveja e refrigerante ao mesmo tempo, e que ele obrigatoriamente tenha de escolher uma opção de cada alimento? A resolução é simples: 3 x 2 x 3 = 18 , somente pela comida. Como o cliente não pode pedir cerveja e refrigerantes juntos, não podemos multiplicar as opções de refrigerante pelas opções de cerveja. O que devemos fazer aqui é apenas somar essas possibilidades: (3 x 2 x 3) x (2 + 3) = 90 Resposta para o problema: existem 90 possibilidades de pratos que podem ser montados com as comidas e bebidas disponíveis. Outro exemplo: No sistema brasileiro de placas de carro, cada placa é formada por três letras e quatro algarismos. Quantas placas onde o número formado pelos algarismos seja par, podem ser formadas? Primeiro, temos de saber que existem 26 letras. Segundo, para que o numero formado seja par, teremos de limitar o ultimo algarismo à um numero par. Depois, basta multiplicar. 26 x 26 x 26 = 17.567 -> parte das letras 10 x 10 x 10 x 5 = 5.000 -> parte dos algarismos, note que na última casa temos apenas 5 possibilidades, pois queremos um número par (0 , 2 , 4 , 6 , 8). Agora é só multiplicar as partes: 17.567 x 5.000 = 87.835.000 Resposta para a questão: existem 87.835.000 placas onde a parte dos algarismos formem um número par. 18.3 Arranjo simples Na aplicação An , p calculamos quantos números de 2 algarismos distintos podemos formar com 1,2,3,4 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43


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Observe que os números em questão diferem ou pela ordem dentro do grupamento (12 ¬ 21 ) ou pelos elementos componentes (13 ¬ 24 ) cada número se comporta como uma sequência, isto é : ( 1,2 ¬ 2,1 ) a ordem é diferente, mas os números são os mesmos. ( 1,3 ¬ 3,4 ) os números são diferentes A este tipo de grupamento chamamos de arranjo simples Def . : Dado um conjunto com n elementos, chama-se a chama-se arranjo do p elementos distintos a todo grupo formado por p dos n elementos, sendo um grupo distinto do outro quando em cada um dos dois houver, pelo menos : Um dos p elementos distintos ou dois dos p elementos em ordem diferente Fórmula : p A = n ! { p , n } Є N n ( n-p )! n = número total de elementos p = número de elementos de cada arranjo Ex . : Seja o conjunto de três elementos { a, b, c } e formemos arranjos de dois elementos ( A 2,3) p 2 A n,p = n! A = 3! . = 3. 2. 1 = 6 n ( n - p ) ! 3 ( 3 - 2 ) ! 1

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: As(n,p) = n!/(n-p)!

Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, n=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.

Fórmula: Ar(n,p) = np.

Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, n=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

Fórmula: N=A(n1,p1).A(n-n1,p-p1)

Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de n=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem n1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:


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PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}

Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

18.3.1 EXERCÍCIOS 1. Dado o conjunto de 4 elementos { a, b, c, d}, formar arranjos com 3 elementos. R. 24 2. Dado o conjunto {1, 2, 3, 4, 5}, determinar o número de arranjo de 4 elementos. R. 120 3. No Estado de Santa Catarina as placas de automóveis possuem 3 letras seguidas de 4 algarismos. Determinar o número de placas que começam por ABC e não tem algarismos repetidos. 4. Doze atletas disputam uma prova. De quantas maneiras distintas podemos formar o grupo dos 3 primeiros colocados (medalha de ouro, prata e bronze)? R. 1.320 5. Resolver os problemas: a) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados com os algarismos de 1 a 8. R. 6.720 b) Vinte tenistas disputam um torneio regional. De quantos modos diferentes podem ser formado o grupo dos 5 primeiros colocados, que irão disputar num torneio internacional? R. 1.860.480 c) Os 25 alunos de uma classe querem formar uma comissão de 3 alunos, sendo um presidente, um secretário e um tesoureiro. Quantas comissões diferentes poderão formar? R. 13.800 6. Quantas palavras de 3 letras, sem repetição, podemos formar com as 9 primeiras letras do nosso alfabeto ? 7. Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos. Dentre eles, quantos são divisíveis por 5 ? 8. Considere o conjunto A = { 2, 4, 5, 6 } a) Calcule quantos algarismos diferentes podemos formar com os elementos de A b) Dos números obtidos no ítem anterior, quantos são múltiplos de 5 ?

9. Numa sala de 20 alunos, deseja-se formar grupos de estudos de 3 elementos, que tenham projetos diferentes. a) De quantos modos diferentes se pode escolher os alunos ? R. 6.840 b) De quantas maneiras se podem escolher os alunos, sabendo-se que 2 dos alunos não podem pertencer ao

mesmo grupo ? R. 6.732 10. Resolver a equação A n,6 + A n,5 . = 9 R. 7 A n,4 18.4 Permutação simples Consideramos os números de 3 algarismos distintos formados com os algarismos 1, 2 e 3 esses números são: 123, 132, 213, 231, 321, 312 A quantidade desses números é dada por A3. 3 = 6 Esses números se diferem entre sí somente pela posição de seus elementos . Cada números é chamado de permutação simples , obtida com algarismos 1, 2 e 3.


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18.4.1 Definição Dado um conjunto com n elementos, chama-se permutação simples de n elementos distintos a todo grupo formado pelos n elementos, sendo um grupo distinto do outro quando em cada um dos dois houver pelo menos, dois dos n elementos em ordem diferente Pn = n! Ex.: Considere a palavra CAFÉ. Quantas permutações podemos formar? Pn = n! P4 = 4! P4 = 4.3.2.1 = 24 18.4.2 EXERCÍCIOS 1. Na palavra ATREVIDO. a) Quantas permutações podemos formar R. 40320 b ) Quantos anagramas começam com a letra A R. 5040 c ) Quantos anagramas começam com a sílaba TRE R. 120 d ) Quantos anagramas possuem a sílaba TRE R. 720 2 ) Quantos anagramas podemos formar com a palavra CAPÍTULO 3 ) Quantos números de 4 algarismo distintos podemos formar com os dígitos 2, 4, 6, 8 ? R. 24 4 ) De quantos modos diferentes 6 pessoas podem sentar em 6 cadeiras alinhadas ? R. 720 5 ) Cinco candidatas participam de um concurso de beleza. Quantos são os possíveis resultados ? R . 120 6 ) Possuo 5 livros de Matemática, 4 de Estatística e 3 de Raciocínio lógico. De quantas maneiras posso dispo-los em uma prateleira, se desejo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos? R. 103.680 7 ) Calcule o valor de m que verifica a equação Pm + m.P(m-2) . = 3/8 P(m + 1) 8) Permutando os algarismos 2, 4, 6 e 8, formamos números. Dispondo esses números em ordem crescente, qual o número que ocupa a vigésima Segunda posição ? 9) Considere os números obtidos do número 12.345, efetuando-se todas as permutações de seus algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, qual o lugar ocupado pelo número 43.521 ? 10) De quantos modos podemos ordenar 2 livros de Matemática, 3 de Português e 4 de Física, de modo que os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e, além disso, os de Física fiquem, entre si, sempre na mesma ordem. 18.4.3 Permutação com elementos repetidos αααα, ββββ, χχχχ P n = n! . αααα !ββββ ! χχχχ ! Ex . : Qual o número de anagramas que podemos formar com a palavra ARARA. α β 3,2 α = A = 3 Pn = n! . P5 = 5! . P5 = 10 β = R = 2 α! β! 3! 2! n = 5


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18.4.4 Exercícios

1 ) Qual o número de permutações que podemos formar com a palavra PARALELA ? 2 ) Quantos anagramas podemos formar com a palavra MATEMÁTICA , quantos anagramas começam com a sílaba MA. 3 ) Quantos anagramas podemos formar com a palavra : a ) Diferente b ) Determinação c ) Elemento 4 ) Determine a quantidade de números distintos que podemos obter permutando-se os algarismos dos números a) 73.431 b) 343.434 5 ) Quantos anagramas podem ser formados com as letras da palavra ARAPONGA, de modo que a letra P ocupe sempre o último lugar. 6 ) Usando uma vez a letra A, uma vez a letra B e ( n- 2 ) vezes a letra C, podemos formar 20 anagramas diferentes com n letras em cada anagrama. Calcule n. 18.5 Combinação simples

13.5.1 Def . : Dado um conjunto de n elementos, chama-se de combinação simples de p elementos distintos a todo subconjunto formado por p dos n elementos. Um subconjunto é distinto de outro, quando em cada um dos dois houver pelo menos um dos p elementos distinto. Fórmula p C = n ! . n p!(n-p)! Exemplos 1 ) Quantos subconjuntos de 3 elementos tem um conjunto de 5 elementos Cn,p = n ! C5,3 = 5! . C5,3 = 10 p!(n-p)! 3! ( 5 - 3 )! 2 ) Dado um conjunto de 7 elementos calcule a quantidade de subconjuntos de 2 elementos. C7,2 = 7 ! C7,2 = 21 2!(7-2)!

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(n,p) = n!/[(n-p)! p!]

Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, n=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.


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Fórmula: Cr(n,p)=C(n+p-1,p)

Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, n=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD} 18.5.1 Exercícios 1 ) Quantas comissões com 4 alunos podemos formar numa classe de 20 alunos ? R. 4.845 2 ) Quantas comissões de 8 pessoas podemos formar com um grupo de 10 pessoas ? R. 45 3 ) Com 7 professores quantas comissões de 3 professores podemos formar ? R. 35 4 ) 12 pessoas participam de um jantar. No final eles se despedem com um aperto de mão. Quantos apertos de mão serão dados no total ? R. 66 5 ) Com 4 homens e 6 mulheres, quantas comissões de 5 pessoas podemos formar se desejo que em cada comissão esteja presente, pelo menos, um homem ? 6) Com 5 mulheres e 5 homens, quantas comissões de 4 pessoas podemos formar se desejo que cada comissão tenha, no máximo, 2 mulheres ? 7 ) Calcule x na equação abaixo 2 4 C = 60 R. 6 x 8 ) Complete: x vale ...... 4 3 C : C = 1 R. 7 x x 9 ) Calcule o numero de diagonais de um hexágono regular. R. 9 10 ) Calcule o número de diagonais de um icoságono. R. 170 11) De quantas maneiras podemos escalar um time de futebol de salão dispondo de 8 jogadores ? 12) Sobre uma reta marcam-se 8 pontos e sobre uma outra reta, paralela à primeira, marcam-se 5 pontos.Quantos triângulos obteremos unindo 3 pontos quaisquer desses pontos ? R. 220 13) Uma empresa é formada por 6 sócios brasileiros e 4 japoneses. De quantos modos podemos formar uma diretoria de 5 sócios, sendo 3 brasileiros e 2 japoneses ? 14) Um examinador dispõe de 6 questões de Álgebra e 4 de Geometria para montar uma prova de 4 questões. Quantas provas diferentes ele pode montar usando 2 questões de Álgebra e 2 de Geometria ? 18.5.2 Exercícos resolvidos


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1 - Maria vai sair com suas amigas e, para escolher a roupa que usará, separou 2 saias e 4 blusas. De quantas maneiras ela pode se arrumar? Solução: O chamado Princípio Fundamental da Contagem (PFC) diz, se alguma escolha pode ser feita de M diferentes maneiras e alguma escolha subseqüente pode ser feita de N diferentes maneiras, há M×N diferentes maneiras pelas quais essas escolhas podem ser feitas sucessivamente. Observe a tabela abaixo:

blusa 1 blusa 2 blusa 3 blusa 4

saia 1 saia 1 e blusa 1 saia 1 e blusa 2 saia 1 e blusa 3 saia 1 e blusa 4

saia 2 saia 2 e blusa 1 saia 2 e blusa 2 saia 2 e blusa 3 saia 2 e blusa 4

Contando as possibilidades, vemos que Maria pode se arrumar de 8 maneiras distintas. De fato, a ação é constituída de duas etapas sucessivas. A primeira (vestir a saia) pode ser realizada de 2 maneiras distintas. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (vestir a blusa) pode ser realizada de 4 maneiras distintas. Assim, pelo princípio fundamental da contagem (PFC), o número de efetuar a ação completa é 2 × 4 = 8.

2 - Há quatro estradas ligando as cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantas maneiras distintas pode-se ir de A a C, passando por B? Solução: A ação é constituída de duas etapas sucessivas. A primeira (ir de A até B) pode ser realizada de 3 maneiras. Para cada uma dessas possibilidades, a segunda (ir de B até C) pode ser realizada de 4 maneiras. Então, pelo PFC, o número de maneiras de ir de A até C é 3 × 4 = 12. 3 - Uma prova de Matemática consta de 10 questões do tipo V ou F. Se todas as questões forem respondidas ao acaso, qual o número de maneiras de preencher a folha de resposta? Solução: O PFC é também conhecido como PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO e pode ser generalizado para acões constituídas de mais de duas etapas sucessivas. Resolver uma prova de 10 questões do tipo V ou F representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que correspondem à resolução das 10 questões propostas. Para cada questão, há duas possibilidades de escolha de resposta: V ou F. Logo, pelo PFC, o resultado procurado é: 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 210 = 1024. 4 - De quantas maneiras podemos arrumar 5 pessoas em fila indiana? Solução: Ao escolher uma pessoa para ocupar a primeira posição na fila temos 5 possibilidades; para o segundo lugar, como uma pessoa já foi escolhida, temos 4 possibilidades; para o terceiro lugar sobram 3 pessoas a serem escolhidas; para o quarto lugar 2 pessoas, e para o último lugar na fila sobra apenas a pessoa ainda não escolhida. Então, pelo PFC temos: 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Assim, calculamos o número de modos de ordenar ("embaralhar") 5 elementos distintos. Em outras palavras , calculamos o número de permutações simples de 5 elementos, ou seja, P5 = 120. 5 - Uma multiplicação do tipo N × (N - 1) × (N - 2) × ... × 1 é chamada Fatorial do número N (N é natural e N > 1) e representada por N! ( lemos N fatorial ). Definimos ainda 1! = 1 e 0! = 1. O número de permutações simples de N elementos é N! (por exemplo, o número de permutações de 5 elementos é 5! = 120). Calcule 10! / (6!×4!). Solução:

6 - Para a eleição do corpo dirigente de uma empresa candidatam-se oito pessoas. De quantas maneiras poderão ser escolhidos presidente e vice-presidente? Solução: Para escolher o presidente temos 8 possibilidades; para escolher o vice-presidente, como uma pessoa já foi escolhida, temos 7 possibilidades. Assim pelo PFC temos: 8 × 7 = 56 maneiras. Por outro lado, poderíamos usar a fórmula:


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Este procedimento é chamado de cálculo do número de arranjos simples de 2 elementos escolhidos entre 8 elementos, ou seja A8,2 = 56 7 - Em uma obra havia três vagas para pedreiro. Cinco candidatos se apresentaram para preencher as vagas. De quantas formas o encarregado da obra pode escolher os três de que precisa? Solução: Note que ele não vai usar todos os candidatos, de 5 escolherá apenas 3. Além disso, a ordem em que ele vai escolhê-los não faz diferença (se escolher primeiro Mário, depois José e por último Pedro, ou primeiro José, depois Pedro e por último Mário, o grupo escolhido é o mesmo). Se a ordem de escolha dos candidatos importasse, poderíamos usar o PFC. Nesse caso, teríamos 5 candidatos para a primeira vaga, 4 candidatos para a segunda e 3 candidatos para a última. A solução seria 5 × 4 × 3 = 60. No entanto, usando o PFC, contamos várias vezes o mesmo grupo de três candidatos. Para "tirar" as repetições, vamos ter que dividir o resultado pelo número de vezes que eles se repetem na contagem. Os grupos repetidos são as formas de "embaralhar" três candidatos escolhidos. Sabemos que "embaralhar" três objetos é o mesmo que fazer permutações de três objetos. Logo, basta dividir 60 por 3!, ou seja, dividir 60 por 6 para não contarmos as repetições dentro de cada grupo formado. Isso significa que há 10 maneiras de escolher os três novos pedreiros, entre os 5 candidatos.

De outra maneira, podemos usar a fórmula do número binomial:

Assim, calculamos o número de combinações simples de 5 objetos (os 5 candidatos) tomados 3 a 3 (apenas 3 serão escolhidos), isto é, C5,3 = 10

8 - Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada placa é formada por 2 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)? Solução: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 6760000 veículos. 9 - Quantos veículos podem ser emplacados num sistema em que cada placa é formada por 3 letras (de um total de 26) e 4 algarismos (de 0 a 9)? Solução: Pelo PFC temos: 26 × 26 × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 175760000 veículos 10 - ANAGRAMA é uma palavra formada pela transposição (troca, ou permutação, ou "embaralhamento") de letras de outra palavra. Por exemplo: ROMA, MARO, OMAR, RAMO, MORA, RAOM, são alguns dos 24 anagramas da palavra AMOR . Quantos são os anagramas da palavra MARTELO? Solução: Pelo PFC temos: 7×6×5×4×3×2×1 = 7! = 5040 anagramas. 11 - A senha de um cartão eletrônico é formada por duas letras distintas seguidas por uma sequência de três algarismos distintos. Quantas senhas poderiam ser "confeccionadas"?


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Solução: Pelo PFC temos: 26×25×10×9×8 = 468000 senhas. 12 - O quadrangular final de um torneio mundial de basquete é disputado por quatro seleções: Brasil, Cuba, Rússia e EUA. De quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados? Solução: Pelo PFC temos: 4×3×2 = 24 maneiras distintas (número de arranjos de três seleções escolhidos entre 4 seleções). 13 - Um colégio Estadual da cidade do Rio de Janeiro quer organizar um torneio de futebol com 8 equipes, da forma que cada equipe jogue exatamente uma vez com cada uma das outras (octogonal). Quantos jogos terá o torneio? Solução: Dado o conjunto de 8 equipes, cada jogo é um subconjunto de 2 equipes (a ordem não tem importância). Assim, o número de jogos é o número de combinações de 2 equipes escolhidos entre 8 equipes, ou seja, C8,2 = (8×7) / 2! = 56/2 = 28 jogos. 14 - Considere a palavra ARARA. Se todas as 5 letras (elementos) fossem distintas, teríamos 5! = 120 anagramas (permutações). Entretanto, devemos dividir esse número por 3! (que é o número de permutações das letras A, A e A, porque elas não são distintas) e por 2! (número de permutações das letras R e R, porque elas não são distintas). Assim. a palavra ARARA tem 10 anagramas. Quantos anagramas podemos formar com a palavra CARRETA? Solução: O número de anagramas é: 7!/(2!×2!) = 7!/4 = 5040/4 =1260 anagramas. 15 - De quantas formas 12 pessoas podem sentar-se ao redor de uma mesa circular? Solução: O números de maneiras de colocar 12 pessoas em uma fila é o número de permutações simples de 12 elementos, isto é, 12!. Ao colocarmos estas 12 pessoas sentadas ao redor de uma mesa circular teremos 12 permutações correspondendo a uma única permutação, pois, agora o primeiro da "fila" é vizinho do último. Na verdade não existe mais o primeiro e nem o último. Agora temos uma "fila" sem início e sem fim. Então, no número de permutações de 12 elementos, existem 12 permutações repetidas. Logo, temos que "tirar" estas 12 permutações do cálculo dividindo 12! por 12. Assim, o número de permutações pedido é 12! / 12 = 11! = 39916800. Este procedimento é freqüentemente chamado de cálculo do número de permutações circulares ou cíclicas. De um modo geral, o número de permutações circulares de n elementos (n é natural e n > 0) é n! / n . 16 - Um edifício tem 16 portas. De quantas formas uma pessoa poderá entrar no edifício e sair por uma porta diferente de que usou para entrar? Solução: Para entrar existem 16 possibilidades, em seguida, para sair existem 15 possibilidades. Então pelo PFC, existem 16×15 = 240 possibilidades. 17 - Ao final de uma reunião com 16 pessoas, cada um dos presentes cumprimentou os demais com um aperto de mão uma única vez. Quantos apertos de mão foram trocados? Solução: Temos um grupo de 16 pessoas. Uma pessoa qualquer desse grupo deve ter apertado a mão de 16-1 = 15 pessoas, e isso é verdade para cada uma das 16 pessoas presentes. Mas para não contarmos duas vezes (2!) o aperto de mão dado por duas pessoas quaisquer, temos que contar o número total de apertos de mão como o número de combinações de 2 pessoas escolhidas entre 16 pessoas, ou seja, C16,2 = (16×15) / 2! = 120 apertos de mão. Quantos divisores positivos tem o número 3888? Solução: Decompondo em fatores primos, vem que: 3888 = 24×35. Então, cada divisor de 3888 é da forma 2a × 3b onde a pode ser 0, 1, 2, 3, 4, e b pode ser 0, 1, 2, 3, 4, 5. Portanto, existem 5 possibilidades para a e 6 possibilidades para b. Logo, pelo PFC, o número de divisores é 5×6 = 30 divisores. 18 - Em um baralho de 52 cartas, três são escolhidas sucessivamente. Quantas são as seqüências de resultados possíveis se a escolha for feita com reposição? Solução: Pelo PFC temos: 52×52×52 = 140608 seqüências. 19 - Em um baralho de 52 cartas, três são escolhidas sucessivamente. Quantas são as seqüências de resultados possíveis se a escolha for feita sem reposição? Solução: Pelo PFC temos: 52×51×50 = 132600 seqüências.


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20 - São sorteados na mega-sena seis números escolhidos entre os números de 1 a 60. Quantos são os resultados possíveis para o sorteio da mega-sena? Solução: No jogo da mega-sena, a ordem com que os seis números são escolhidos não tem importância, portanto, o resultado deste jogo não é uma seqüência. Como o resultado é um subconjunto, então o número de resultados possíveis neste tipo de loteria é o número de combinações de 6 números escolhidos entre 60 números, ou seja, C60,6 = (60 × 59 × 58 × 57 × 56 × 55) / 6! = 10 × 59 × 29 ×19 × 14 ×11 = 50063860 resultados possíveis. Nota: Observe que a probabilidade (número de chances) que uma pessoa tem de acertar nesta loteria fazendo uma única aposta de seis números é de 1 em 50063860. 21 - Uma prova de Matemática contém dez questões do tipo múltipla escolha, tendo cada questão cinco alternativas. Se todas as questões forem respondidas ao acaso, qual o número de maneiras de preencher a folha de resposta? Solução: Resolver a prova representa uma ação constituída de 10 etapas sucessivas, que correspondem à resolução das 10 questões propostas. Para cada questão, há 5 possibilidades de escolha de resposta. Então, pelo PFC temos: 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 × 5 = 510 = 9765625 maneiras. 22 - Sobre uma circunferência, tomam-se 10 pontos. Quantos triângulos podem ser construídos com vértices nesses pontos? Solução: Para construir um triângulo precisamos escolher 3 pontos (vértices) dentre os 10 pontos disponíveis, e mais, a ordem com que esta escolha é feita não tem importância. Logo, o número de triângulos é o número de combinações de 3 vértices escolhidos entre 10 pontos, ou seja, C10,3 = (10 × 9 × 8) / 3! = 720 / 6 = 120 triângulos. 18.5.3 Exercícios 1 ) Determine o número de placas de carro que podem ser formadas contendo 2 letras distintas, seguidas por 3 algarismos, com o primeiro diferente de zero. R. 585.500 2 ) Uma agência de propaganda deve criar o nome de um produto novo a partir de 4 sílabas significativas, já definidas. Qualquer uma dessas 4 sílabas, sozinhas ou combinadas com uma ou mais das outras três, poderá formar um nome atraente. Calcule o número de nomes diferentes possíveis de serem montados, sem repetição de sílabas. R. 64 3 ) Uma empresa distribui a cada candidato a emprego um questionário com três perguntas. Na primeira, o candidato deve declarar a sua escolaridade, escolhendo uma das cinco alternativas. Na Segunda, deve escolher em ordem de preferência, três dos seis locais onde gostaria de trabalhar. Na última, deve escolher dois dias da semana em que quer folgar. Quantos questionários com conjuntos diferentes de respostas pode o examinador encontrar? R. 12.600 4 ) Uma empresa tem 5 diretores e 10 gerentes. Quantas comissões constituídas de 1 diretor e 4 gerentes podem ser formadas ? R. 1.050 5 ) Calcule o número de diagonais do dodecágono. R . 54 6 ) São dados 12 pontos em um plano, dos quais 5 e somente 5 estão alinhados. Quantos triângulos podem ser formados com vértices em 3 dos 12 pontos. R. 210 7 ) Num acidente automobilístico, depois de ouvidas várias testemunhas, conclui-se que o motorista culpado pelo acidente dirigia um veículo cuja placa era constituída de duas vogais distintas e quatro algarismos diferentes, e o algarismo das unidades era o dígito 2. Calcule o número de carros suspeitos do acidente. R 10.080 8 ) Do cardápio de uma festa constavam dez diferentes tipos de salgadinhos., dos quais só quatro seriam servidos quentes. O garçom encarregado de arrumar a travessa e servi-la foi instruído para que a mesma contivesse só 2 diferentes tipos de salgadinhos frios e só 2 diferentes tipos quentes. De quantos modos diferentes o garçom teve liberdade de selecionar os salgadinhos para compor a travessa, respeitando as instruções ? R. 90 9 ) Resolva a equação 2.A n, 2 + 50 = A 2n, 2 R. 5 10) De quantos modos podemos guardar 12 bolas distintas em 4 caixas, se a primeira caixa deve conter 3 bolas, a segunda caixa, 5 bolas, a terceira caixa, 3 bolas e a Quarta caixa, 1 bola ? R. 110.880


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11) Numa Kombi viajam 9 pessoas, das quais 4 podem dirigir. De quantas maneiras diferentes é possível acomodá-las ( 3 no banco da frente, 3 no banco do meio e 3 no banco de trás ) de forma que uma das 4 pessoas que dirigem ocupe o lugar na direção?R. 161.280 12) Em um campeonato de dois turnos em que devem jogar 12 equipes de futebol, qual o número total de jogos a serem realizados? R. 132 19 Probabilidades Experimento aleatório: São experimentos que, mesmo repetidos várias vezes sob condições semelhantes, apresentam resultados imprevisíveis. Espaço amostral ou conjunto universo: ë o conjunto de todos os resultados possíveis de um fenômeno ou experimento aleatório. Ponto amostral: É qualquer elemento do espaço amostral. Evento certo: É o próprio conjunto universo. Intuitivamente, é o fato que ocorre sempre, com certeza. Evento impossível: É o subconjunto vazio do conjunto universo. Evento soma: É a reunião de dois eventos. Evento produto: É a intersecção de dois eventos. Eventos mutuamente exclusivos: São dois eventos que nunca ocorrem simultaneamente. Eventos complementares ou contrários: São dois eventos cuja soma é o próprio espaço amostral. 1 - Completar, dando os espaços amostrais das seguintes experiências:

a) Distribuição dos 3 filhos de uma família, quanto ao sexo. U = { .................................................................................. )

b) Lançamento de um dado e uma moeda. U = {.................................................................................... ) c) Retirada sucessiva de duas bolas de uma urna, que contem três bolas numeradas de 1 a 3. U = { .................................................................................. )

19.1 Probabilidade Se, num fenômeno aleatório, o número de elementos do conjunto universo é n(U) e o número de elementos do evento A é n(A), então, a probabilidade de ocorrer o evento A é o número P(A), tal que: P(A) = n(A) . ===� Casos favoráveis n(U) ====> Casos possíveis 2 - No lançamento de um dado, determinar a probabilidade de se obter:

a) O número 5 b) Um número ímpar c) Um número menor ou igual a 5 d) Um número maior ou igual a 5

3 - No lançamento de dois dados, determinar a probabilidade de se obter:

a) Soma dos pontos igual a 8 b) Pares de pontos iguais c) Soma de pontos igual a 4

4 - No lançamento simultâneo de duas moedas, calcule a probabilidade de se obter:


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a) Duas caras b) Duas coroas c) Uma cara e uma coroa

5 - No lançamento de um dado, calcular a probabilidade de ocorrer valor menor ou igual a 2 ou maior ou igual a 5. 6 - No lançamento de três moedas, calcular a probabilidade de ocorrer:

a) Três caras b) Pelo menos, uma cara c) No máximo, uma coroa d) Coroa na primeira moeda.

7 - No lançamento de dois dados, calcular a probabilidade da:

a) A soma dos pontos ser ímpar b) A soma dos pontos ser maior do que 5 c) A soma dos pontos ser menor que 9 d) Ocorrência de resultados iguais nos dois dados

8 - Qual a probabilidade de sair o ás de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? p = 1/52

9 - Qual a probabilidade de sair um rei quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? p = 1/13

10 - Em um lote de 12 peças, 4 são defeituosas. Sendo retirada uma peça, calcule:

a. a probabilidade de essa peça ser defeituosa. p = 1/3

b. a probabilidade de essa peça não ser defeituosa. p = 2/3

11 - De dois baralhos de 52 cartas retiram-se, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus? p = 1/676

12 - Uma urna A contém: 3 bolas brancas, 4 pretas, 2 verdes; uma urna B contém: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contém: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola é retirada de cada urna. Qual é a probabilidade de as três bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde? p = 1/27

13 - De um baralho de 52 cartas retiram-se, ao acaso, duas cartas sem reposição. Qual a probabilidade de a primeira carta ser o ás de paus e a segunda ser o rei de paus? p = 1/2652

14 - Qual a probabilidade de sair uma figura quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? p = 3/13

15 - Qual a probabilidade de sair uma carta de copas ou de ouros quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas? p = 1/2

16 - No lançamento de um dado, qual a probabilidade de se obter um número não-inferior a 5? p = 1/3

17 - São dados dois baralhos de 52 cartas. Tiramos, ao mesmo tempo, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade de tirarmos uma dama e um rei, não necessariamente nessa ordem? p = 2/169

18 - Num clube desportivo 30 meninos praticam futebol. Doze treinam para o ataque, quinze para a defesa e cinco para guarda-redes. Qual é a probabilidade de escolhendo um desportista ao acaso ele treinar para a defesa e o ataque? p = 1/15

19.2 Problemas resolvidos

1 – Uma moeda é viciada, de forma que as caras são três vezes mais prováveis de aparecer do que as coroas. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.


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Solução:

Seja k a probabilidade de sair coroa. Pelo enunciado, a probabilidade de sair cara é igual a 3k. A soma destas probabilidades tem de ser igual a 1. Logo, k + 3k = 1 \ k = 1/4. Portanto, a resposta é 1/4 = 0,25 = 25%.

2 – Uma moeda é viciada, de forma que as coroas são cinco vezes mais prováveis de aparecer do que as caras. Determine a probabilidade de num lançamento sair coroa.

Resposta: 5/6 = 83,33%

3 – Três estudantes A, B e C estão em uma competição de natação. A e B têm as mesmas chances de vencer e, cada um, tem duas vezes mais chances de vencer do que C. Pede-se calcular a probabilidades de A ou C vencer.

Solução:

Sejam p(A), p(B) e p(C), as probabilidades individuais de A, B, C, vencerem. Pelos dados do enunciado, temos: p(A) = p(B) = 2.p(C).

Seja p(A) = k. Então, p(B) = k e p(C) = k/2. Temos: p(A) + p(B) + p(C) = 1.

Isto é explicado pelo fato de que a probabilidade de A vencer ou B vencer ou C vencer é igual a 1. (evento certo).

Assim, substituindo, vem:

k + k + k/2 = 1 \ k = 2/5. Portanto, p(A) = k = 2/5, p(B) = 2/5 e p(C) = 2/10 = 1/5.

A probabilidade de A ou C vencer será a soma dessas probabilidades, ou seja 2/5 + 1/5 = 3/5. 4 – Uma moeda é viciada, de maneira que as CARAS são três vezes mais prováveis de aparecer do que as COROAS. Calcule as probabilidades de num lançamento sair COROA.

Resp: 1/4.

5 – Um dado é viciado, de modo que cada número par tem duas vezes mais chances de aparecer num lançamento, que qualquer número ímpar. Determine a probabilidade de num lançamento aparecer um número primo.

Solução:

Pelo enunciado, podemos escrever: p(2) = p(4) = p(6) = 2.p(1) = 2.p(3) = 2.p(5). Seja p(2) = k. Poderemos escrever: p(2) + p(4) + p(6) + p(1) + p(3) + p(5) = 1, ou seja: a soma das probabilidades dos eventos elementares é igual a 1.

Então, substituindo, vem: k + k + k + k/2 + k/2 + k/2 = 1 \ k = 2/9.

Assim, temos:

p(2) = p(4) = p(6) = 2/9 p(1) = p(3) = p(5) = 2/18 = 1/9.

O evento sair número primo corresponde a sair o 2, ou o 3 ou o 5. Logo, p(2) + p(3) + p(5) = 2/9 + 1/9 + 1/9 = 4/9.

6 – Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de num único lançamento sair um número ímpar.


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Resp: 1/3

7 – Um cartão é retirado aleatoriamente de um conjunto de 50 cartões numerados de 1 a 50. Determine a probabilidade do cartão retirado ser de um número primo.

Solução:

Os números primos de 1 a 50 são: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43 e 47, portanto, 15 números primos. Temos, portanto, 15 chances de escolher um número primo num total de 50 possibilidades. Portanto, a probabilidade pedida será igual a p = 15/50 = 3/10.

8 - Use o mesmo enunciado anterior e determine a probabilidade de numa única retirada, sair um cartão com um número divisível por 5.

Resp: 1/5.

9 – Das 10 alunas de uma classe, 3 tem olhos azuis. Se duas delas são escolhidas ao acaso, qual é a probabilidade de ambas terem os olhos azuis?

Solução:

Existem C10,2 possibilidades de se escolher duas pessoas entre 10 e, existem C3,2 possibilidades de escolher duas alunas de olhos azuis entre as três. Logo, a probabilidade procurada será igual a:

P = C3,2 / C10,2 = (3.2/2.1)/(10.9/2.1) = 6/90 = 3/45 = 1/15.

Comentários sobre o cálculo de Cn,p.

Como já sabemos da Análise Combinatória ,

Esta é a forma tradicional de se calcular Cn,p.

Na prática, entretanto, podemos recorrer ao seguinte expediente: Cn,p possui sempre p fatores no numerador a partir de n, decrescendo uma unidade a cada fator e p fatores no denominador a partir de p, decrescendo uma unidade a cada fator.

Exemplos:

C10,4 = (10.9.8.7)/(4.3.2.1) = 210.

C8,3 = (8.7.6)/(3.2.1) = 56.

C16,3 = (16.15.14)/(3.2.1) = 560.

C12,4 = (12.11.10.9)/(4.3.2.1) = 495.

C10,5 = (10.9.8.7.6)/(5.4.3.2.1) = 252.

10 – Considere o mesmo enunciado da questão anterior e calcule a probabilidade de na escolha de duas alunas, nenhuma ter olhos azuis.

Resp: 7/15.


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Dica: como nenhuma das alunas deve ter olhos azuis, restam 10 – 3 = 7 alunas. Portanto, ...

11 - ESAF) Num sorteio concorreram 50 bilhetes com números de 1 a 50. Sabe-se que o bilhete sorteado é múltiplo de 5. A probabilidade de o número sorteado ser 25 é:

a) 15% b) 5% c) 10% d) 30% e) 20%

Solução: Como os números múltiplos de cinco (5, 10, 15, ..., 50) formam uma PA de razão r = 5, a1 = 5 e an = 50, temos que: 50 = 5 + 5(n-1). Então n = 45/5 + 1 = 9 + 1 = 10. Sendo 1 o número de casos favoráveis e 10 o número de casos possíveis, segue que a probabilidade procurada é 1/10 = 0,1 = 10% (resp c). 12 - Um casal decidiu que vai ter 5 filhos. Qual seria a probabilidade de que tivesse pelo menos 2 meninos? Solução: A ação é constiuída de 5 etapas. Para cada etapa existem 2 possibilidades (menino ou menina). Pelo PFC, o número de casos possíveis é 2×2×2×2×2 = 32.

O número de casos favoráveis é o número de maneiras de ter pelo menos 2 meninos (dois meninos ou mais), ou seja, de ter 2 meninos e 3 meninas, ou, 3 meninos e 2 meninas, ou, 4 meninos e 1 menina, ou, 5 meninos e 0 meninas. Observe que estamos contando permutações com repetições, então o número de casos favoráveis é:

5!/(2!×3!) + 5!/(3!×2!) + 5!/(4!×1!) + 5!/(5!×0!) = 10 + 10 + 5 + 1 = 26

Logo, a probabilidade de que tivesse pelo menos 2 meninos é P = 26/32 = 13/16 = 81,25%

19.3 Propriedades P( A - B ) = P( A ) – P( A ∩ B ) A B 8 - Fez-se uma pesquisa entre um grupo de pessoas e chegou-se à conclusão de que o conjunto A das pessoas

que falam francês tem 40 elementos, o conjunto B das pessoas que falam inglês tem 70 elementos e o conjunto A ∪ B tem 100 elementos. Qual a probabilidade de que, escolhida ao acaso uma dessas 100 pessoas, ela fale francês mas não fale inglês.

P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P ( B ) – P ( A ∩ B ) A B 9 - Considere o lançamento de um dado. Calcular a probabilidade de que o resultado seja par ou múltiplo de 3. 10 - Uma moeda será lançada duas vezes. Calcular a probabilidade de que:

a) Não ocorra cara nenhuma vez. b) Obtenha-se cara na primeira ou na segunda jogada.


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19 .4 PROBABILIDADE CONDICIONAL Se A e B são eventos de um espaço amostral U, com P (B ) ≠ 0, então a probabilidade condicional do evento A, tendo ocorrido o evento B, é indicada por P ( A?B ) e definida pela razão P( A/B ) = P ( A ∩ B ) . P ( B ) 11 - Numa escola com 100 alunos, 40 estudam só Biologia, 30 estudam só Alemão e 20 estudam Biologia e Alemão.

Qual a probabilidade de um aluno que já estuda Biologia, estudar também Alemão ? 12 - Sorteando ao acaso um número do conjunto U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }, qual a probabilidade dele ser um

múltiplo de 3, com a condição de ser ímpar ? 19.4.1 Propriedades A probabilidade do evento-produto é igual ao produto de P ( A ) por P ( B/A ) é a probabilidade condicional do evento B, tendo ocorrido o evento ª P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B/A ) Se A e BV forem eventos independentes, temos P ( B /A ) = P ( B ) e, portanto P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B ) 13 - Considere uma família com 3 filhos e os seguintes eventos

A: 2 são meninos. B: O mais velho é menino a) Qual a probabilidade de A, visto que ocorreu B? b) A e B são eventos independentes?

14 - Uma urna contém 10 bolas brancas, 15 pretas e 5 vermelhas. Duas bolas são retiradas sucessivamente. Qual a

probabilidade de que a primeira bola seja branca e a segunda, preta? ( Considerar o problema com ou sem reposição da primeira bola, antes da retirada da segunda).

20 Geometria

20.1 Teorema de Pitágoras e relações métricas no triângulo retângulo “Em todo triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma do quadrado das medidas dos catetos”. a = Hipotenusa b = cateto c = cateto m = projeção do cateto b n = projeção do cateto c h = altura c a b c h b m n


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a² = b² + c² Relações importantes no triângulo retângulo h² = m . n b . c = a . h b² = a . m c² = a . n a = m + n 20.1.1 Exercícios

1- Calcule a altura de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 8 cm. R: 4√3 cm 2- Quanto mede a diagonal de um quadrado cujo lado mede 5√2 cm? R: 10 cm 3- Qual é a área de um triângulo eqüilátero cujo lado mede 3 cm ? R: 9√3 cm² 4 4- A diagonal de um quadrado mede 15 cm. Qual é a sua área ? R: 112,5 cm² 5- O perímetro de um quadrado mede 28 cm. Quanto mede sua diagonal ? R: 7√2 cm 6- Em um triângulo eqüilátero, a altura mede 2√3 cm. Qual é o perímetro? R: 12 cm 7- Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 26 cm e a diferença entre os catetos é 14 cm. Determine a medida

dos catetos. 8- Num triângulo retângulo, a hipotenusa excede de 3 unidades um dos catetos. Sabendo que a razão dos catetos é

5 : 12, determine seus lados. 9- Num triângulo retângulo, sabe-se que a soma dos catetos vale 7k e a área, 6k² + k – 2.

a) Determine a hipotenusa em função de k. b) Quanto vale a hipotenusa quando k = 2 ?

10- Num triângulo retângulo, a hipotenusa a mede 25 cm e a altura relativa à hipotenusa mede 12 cm. Calcule os elementos b, c, m e n.

11- Determine os lados a, b e c de um triângulo retângulo ABC, sabendo que b + c = 7 dm e h + AD mede 2,4 dm. 12- Num triângulo retângulo ABC, o cateto menor é b = 35 cm. A diferença entre as projeções m e n dos catetos

sobre a hipotenusa é 1. Calcule a medida da hipotenusa: 13- Duas torres, de 13 m e 37 metros de altura, distam 30 m uma da outra. Qual é a distância entre seus extremos?

(As torres se localizam num terreno plano). R: 6√41 m 14- Determine os catetos de um triângulo retângulo, sabendo que a razão de suas medidas é 1 : 2 e que a

hipotenusa mede 8√5 cm. R: 8 cm e 16 cm 15- Num triângulo retângulo ABC, a diferença entre os catetos é 2 cm e o seu produto é 48 cm². Determine:

a) a hipotenusa. R: a = 10 cm b) A altura relativa à hipotenusa. R: h = 4,8 cm c) As projeções dos catetos sobre a hipotenusa. R: m = 6,4 cm e n = 3,6 cm

16- Num triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa mede 12,5 cm e a divide em dois segmentos cuja diferença é 11,5 cm. Determine seus lados. R: 14,98 cm, 23,30 cm e 27,7 cm

17- Calcule a área de um triângulo retângulo, sabendo que um de seus catetos mede o triplo do outro e seu perímetro vale 8 + 2√10 unidades. R: 6 unidades de área

18- Num triângulo retângulo ABC, o cateto b mede 12 cm e a projeção do cateto c sobre a hipotenusa vale 25/ 13 cm. Calcule a, c, h e n. R: a = 13 cm, c = 5 cm, h = 60 cm e n = 144

13 13 19- Num triângulo retângulo de área s, a diferença dos catetos é d.

a) Calcule a hipotenusa em funções d e s. R: √d² + 4s b) Quanto vale a hipotenusa quando d = 2 e s = 8 ? R: 6

20- Num triângulo retângulo ABC, sabe-se que a área vale 2s e que a razão entre os catetos é b/c = k. Calcule seus lados. R: 2 √s(k²+1) ; 2√ks ; 2√s

k k 21- Determine a hipotenusa de um triângulo retângulo, dadas a soma de seus catetos 5k + 5 e sua área 3k² + 8k –3.

R: √13k²+18k+37 22- Calcule a área de um triângulo retângulo, sabendo que um de seus catetos é o triplo do outro e que seu

perímetro é p. R: p²(13-4√10) 12


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20.2 Áreas de figuras planas e polígonos inscritos numa circunferência

Retângulo

Quadrado

Triângulo

Paralelogramo

Trapézio

Losango

Triângulo equilátero

Círculo


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Hexágono regular R = raio a = apótema l = lado l = R a = R √3 2 Quadrado l = R √2 a = l/2 a = R√2/2

Triângulo l = R √3 a = R/2

20.2.1 Exercícios 1 - O lado de um quadrado mede 10 cm. O círculo circunscrito ao quadrado está inscrito num triângulo equilátero. Calcule o lado do triângulo. R. 10 \/ 6 cm


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2 - A diferença entre as medidas do lado de um triângulo equilátero e de um hexágono regular inscritos no mesmo círculo é 0,4 cm. O raio do círculo mede

a) 10 cm b) 0,546 cm c) 54 cm d) N.R.A. 3 - O lado do hexágono regular circunscrito mede 2,5 cm. O apótema do quadrado inscrito no mesmo círculo mede

a) 2,5 cm b) 25 cm c) 1,53 cm d) N.R.A. 4 - A soma das medidas dos apótemas de um triângulo equilátero e de um quadrado inscritos no mesmo círculo é

5 cm. O raio do círculo mede a) 4,142 cm b) 4 cm c) 4,3 cm d) N.R.A.

5 - Escolha o equacionamento adequado para a resolução do problema abaixo:

“Quais as dimensões de um retângulo que tem 28,4 m de perímetro e 49,6 m² de área”. (B.B.) a) x + y = 14,2 b)x + y = 28,4 c)x + y = 14,2 d)2x + 2y = 28,4 e) x + y = 14,2 2xy = 49,6 xy = 49,6 x² + y² = 49,6 x²y² = 49,6 xy = 49,6

6 - Os lados de um triângulo equilátero tem medida “l “. Determine a altura em função do lado. 7 - Calcule a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles, cujo perímetro é 4 m . R . 4 ( √ 2 - 1 ) m 8 - Nos dois terrenos vizinhos da figura, AB = 30 m, BC = 40 m e AD = 20 m. O terreno ABC é “k” vezes maior que o ACD. O valor de “k “é: (Fiscal do ICM – RS)

a) 1,2 b) 1,5 c) 1,8 d) 2 e) 3 C D A B

9 - A base de um triângulo mede 1 palito mais 3 cm e a sua altura 1 palito menos 2 cm. Sabendo-se que a sua área é

de 12 cm², quantos centímetros mede a sua base ? ( B.B.) a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14

10 - O perímetro de um losango mede 52 cm e uma de suas diagonais mede 24 cm. A área desse losango, em

centímetros quadrados, mede: a) 120 b) 96 c) 108 d) 90 e) 100 ( DASP – Ag. Adm.)

11 - As diagonais de um losango medem 16 m e 12 m. Então, a distância entre dois lados paralelos, medido em

centímetros é: a) 1000 b) 1920 c) 960 d) 1200 (Fiscal de Mercadorias em Trânsito – SC)

12 - Num losango de 28 cm de lado, a distância entre dois lados paralelos é 19 cm. A área desse losango, em

centímetros quadrados é: a) 266 b) 532 c) 846 d) 984 ( DASP – AG. Adm.)

13. Calcular a área de um losango, sabendo que sua diagonal maior mede 5 cm e a diagonal menor mede 2,4 cm. R: 6 cm2

14.Sabendo que a base maior de um trapézio mede 12 cm, base menor mede 3,4 cm e sua altura mede 5 cm. Calcule a área deste trapézio. R: 38,5 cm2

15.PRF-1998) Para ladrilhar o piso retangular de um salão de 6,30m por 8,10m, uma pessoa comprou ladrilhos quadrados, de 30cm de lado. Calcule o número necessário (aproximado) de material, considerando que é aconselhável 20% a mais de peças de ladrilhos, por causa das eventuais quebras (estragos). A alternativa correta é: a) 600 b) 6800 c) 680 X d) 6000


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16.(SOLDADO-PM) Uma pessoa deseja cercar um terreno que tem a forma de um triângulo retângulo, utilizando 8 fios em torno dele. Sabendo-se que seus lados perpendiculares medem 15m e 20m, a quantidade de fio, em metros, que será utilizado, é: a) 480 b) 400 c) 440 d) 560 X 17.( CEFET-SC ) As cidades de Quito e Cingapura se encontram próximo da linha do Equador e em pontos diametralmente opostos no globo terrestre. Considerando o raio terrestre igual a 6370 Km, pode-se afirmar que um avião saindo de Quito, voando em média com velocidade de 870 Km/h, leva para chegar em Cingapura, aproximadamente: ( não considerando as escalas ) a) 20 horas b) 16 horas c) 23 horas X d) 32 horas 18.( TÉCNICO-INSS)

A área da região mostrada acima é de 15 cm2 Considerando que as medidas indicadas na figura estão em cm, pode-se afirmar que o perímetro do retângulo, em centímetros, é de: a) 16 X b) 14 c) 10 d) 12 e) 8 19.(FEPESE -2006) Na figura, a região sombreada é formada por diversos triângulos e por um quadrado. As medidas estão indicadas em centímetros. Nessas condições, a área da região não sombreada, em cm2, é igual a:

a) 20 X b) 16 c) 12 d) 8 20.(FEPESE -2006) Um indivíduo pretende colocar uma cerca em torno de seu terreno, que possui área total de 364 m2. O terreno tem o formato de um retângulo, sendo que um dos lados mede 13 metros. Assinale a alternativa que indique o comprimento total da cerca que ele deverá comprar para cercar o terreno. a) 52 metros. b) 54 metros. c) 26 metros. d) 69 metros. e) 82 metros. Resposta: e 21.(PRF-1998) Um triângulo tem 0,675 m2 de área e sua altura corresponde a 3/5 da base. A altura do triângulo, em decímetros, é igual a: a) 0,9 b) 1,5 c) 9,0 X d) 15,0 e) 24,0 22.(ACAFE) Com uma corda de 23 metros contorna-se um canteiro em forma de trapézio isósceles, cuja base maior é 3 unidades maior que a menor e os lados oblíquos têm medidas iguais à base menor. Se com essa mesma corda se contorna um retângulo com uma das dimensões igual à da base menor do trapézio, pode-se afirmar que a razão entre a área do retângulo e a área do trapézio é: R: 12,5 23.(ACAFE) A base de um triângulo mede 72cm e sua altura, em cm, é h. Se a base for aumentada em 48cm e a altura em 32cm, obtém-se um novo triângulo, cuja área é o triplo da área do primeiro. O valor da altura h, em cm, é: a)12. b)64. c)80. d)20. e)40. X

x + 3 x + 1


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24.(FEPESE -2006) Em um terreno retangular cujos lados medem 12 metros e 30 metros, foi construída uma casa que ocupa 88 metros quadrados do terreno. O proprietário está projetando a construção de uma piscina com a forma de um trapézio, cujas medidas estão na figura a seguir:

Área do Trapézio = ( )

2

hxmenorBasemaiorBase +

Entretanto, antes de construir a piscina, o proprietário ficou preocupado com a área livre que ainda teria no terreno. Se considerarmos que a área livre será dada pela área total do terreno, excluindo-se a área que a casa e a piscina ocupam, assinale a alternativa que representa a medida da área livre do terreno.

a) 251 m² b) 257 m² X c) 260 m² d) 263 m² e) 272 m² 25.(FEPESE-2006) Assinale a afirmativa correta relacionada com as figuras geométricas que seguem:

a) A soma dos perímetros é igual a 24 centímetros. b) A área do quadrado é igual à área do retângulo. c) O perímetro do quadrado é a metade do perímetro do retângulo. d) A soma das áreas é igual a 12 centímetros quadrados. X e) A área do retângulo é igual a: 2 cm + 2 cm + 4 cm + 4 cm = 12 cm. 26.(ACAFE) Numa madeireira estão empilhadas 75 tábuas, umas de 2cm de espessura e outras de 3cm. A pilha tem 1,80m de altura. Com base nessas informações, é correto afirmar que: a) O número de tábuas de 2cm é o dobro do número de tábuas de 3cm. b) A altura da pilha que se pode obter somente com tábuas de 2cm é 90cm. X c) A diferença entre o número de tábuas de cada espessura é 30. d) A altura da pilha obtida somente com tábuas de 3cm é 60cm. e) Os números que representam as quantidades das tábuas de cada espessura são múltiplos de 10. 21 Relações trigonométricas no triângulo retângulo 21.1 Razões trigonométricas Catetos e Hipotenusa

Em um triângulo chamamos o lado oposto ao ângulo reto de hipotenusa e os lados adjacentes de catetos.

Observe a figura:


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Hipotenusa:

Catetos: e

Seno, Cosseno e Tangente

Considere um triângulo retângulo BAC:

Hipotenusa: , m( ) = a.

Catetos: , m( ) = b.

, m( ) = c.

Ângulos: , e .

Tomando por base os elementos desse triângulo, podemos definir as seguintes razões trigonométricas:

Seno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:


__________________________________________________________________________________________________________________________


Cosseno de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto adjacente a esse ângulo e a medida da hipotenusa.

Assim:

Tangente

Tangente de um ângulo agudo é a razão entre a medida do cateto oposto e a medida do cateto adjacente a esse ângulo.

Assim:


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Exemplo:

Observações:

1. A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre seno deste ângulo e o seu cosseno.

Assim:

2. A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.


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3. O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.

As razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Considere as figuras:

quadrado de lado l e diagonal Triângulo eqüilátero

de lado I e altura

Seno, cosseno e tangente de 30º

Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para os ângulos de 30º, temos:


Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para um ângulo de 45º, temos:


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Aplicando as definições de seno, cosseno e tangente para

um ângulo de 60º,

temos:

Resumindo x sen x cos x tg x

30º

45º

60º

EXEMPLOS

1-) Vamos calcular o sen, o cos e a tg dos dois ângulos agudos do triângulo abaixo:

Resolução: sen = 3/5 ; sen = 4/5 cos = 4/5 ; cos = 3/5 tg = 3/4 ; tg = 4/3

2-) Com o auxílio da tabela trigonométrica, vamos calcular o valor do lado X no triângulo retângulo dado:


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Resolução: cos 40o = X/10 X = 10 . cos 40o X = 10 . 0,766 X = 7,66

21.2 Exercícios 1 - um caminhão sobe uma rampa que forma um ângulo de 30º com a horizontal. Após ter andado 5 km, qual a

altura em relação a horizontal ? R. 2,5 km 2 - Calcule a altura de um triângulo equilátero de lado igual a 7 m, sabendo que sen 60º = √3/2 . 3 - O comprimento de uma escada de bombeiros é 20 m. A base da escada está a 2 m do chão, sobre um caminhão. A que altura do chão está o topo da escada quando ela forma um ângulo de 70° com a horizontal? sen 70º = 0,940 R. 20,8 m 4- Para determinar a distância entre os pontos B e C de um lago, um agrimensor determinou as medidas AC = 400 m e α = 55°. Determine BC na figura. Sen 55º = 0,819 R. 327,6 m

C 55º A B

5- Um avião está a 7.000 m de altura em relação à pista de um aeroporto. O piloto tem ordens de aterrisar sob um ângulo constante de 17º em relação à horizontal. A que distância da pista o piloto deve iniciar a sua descida ? sen 17º = 0,306

6- No triângulo retângulo isósceles, a tangente de um dos ângulos agudos é : a) 1/2 b) 2 c) 1 d) – 1/2 e) 3/2

7- Duas pessoas observam um objeto sob ângulos de 30º e 60º respectivamente. Se a distância entre os observadores é de 100 m, calcular as distâncias entre os observadores e o objeto e a altura do objeto em relação a horizontal.

Exercícios complementares 1) Uma pessoa está distante 80m da base de um prédio e vê um ponto mais alto do prédio sob um ângulo de 16° em relação à horizontal. Qual é a altura do prédio? 2) Um avião levanta vôo em B, e sobe fazendo um ângulo constante de 15° com a horizontal. A que altura estará e qual a distância percorrida quando passar pela vertical que passa por uma igreja situada a 2km do ponto de partida? 3) Uma torre vertical de altura 12m é vista sob um ângulo de 30° por uma pessoa que se encontra a uma distância x da sua base e cujos olhos estão no mesmo plano horizontal dessa base. Determina a distância x. 4) Dois observadores A e B vêem um balão, respectivamente, sob ângulos visuais de 20° e 40°. Sabendo que a distância entre A e B é de 200m, calcula a altura do balão. Obs.: os observadores encontram-se do mesmo lado em relação ao balão. 5) Num exercício de tiro, o alvo se encontra numa parede cuja base está situada a 82m do atirador. Sabendo que o atirador vê o alvo sob um ângulo de 12° em relação à horizontal, calcula a que distância do chão está o alvo.


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6) A partir de um ponto, observa-se o topo de um prédio sob um ângulo de 30°. Caminhando 23m em direção ao prédio, atingimos outro ponto, onde se vê o topo do prédio segundo um ângulo de 60°. Desprezando a altura do observador, calcula, em metros, a altura do prédio. 7) Queremos encostar uma escada de 8m de comprimento numa parede, de modo que forme um ângulo de 60º com o solo. A que distância da parede devemos apoiar a escada no solo? 8) Um avião levanta vôo sob um ângulo de 30º. Quando tiver percorrido meio quilômetro, a que altura estará do solo? 9) Um observador em A vê uma torre vertical CD sob um ângulo de 30º e caminhados 40m em direção a torre passa a vê-la sob 40º. Sabendo que a altura do observador é 1,70m, calcula a altura da torre e a que distância ela se encontra do observador. 10) Um mergulhador percorreu uma distância de 40m, entre a superfície e o fundo do mar, segundo uma trajetória retilínea que forma um ângulo de 50º com a superfície. a) Qual é, aproximadamente, a profundidade do local alcançado pelo mergulhador? b) Subindo verticalmente para a superfície, a que distância do ponto em que mergulhou ele sairá aproximadamente? • Respostas 1) h = 22,93 m (sem levar em conta a altura da pessoa). 2) h = 0,53589 km = 535,89 m d = 2,07055 km = 2070,55 m 3) x = 20,78 m 4) h = 128,56 m 5) d = 17,43 m 6) h = 19,92 m 7) d = 4 m 8) h = 0,25 km = 250 m 9) h = 75,73 m d = 128,23 m 10) a) h = 30,64 m b) x = 25,71 m

TABELA TRIGONOMÉTRICA

Podemos tabular os valores trigonométricos dos ângulos agudos, isto é, ângulos entre 1o e 89o. Abaixo temos a tabela:

Ângulo sen cos tg

1 0,017452 0,999848 0,017455

2 0,034899 0,999391 0,034921

3 0,052336 0,99863 0,052408

4 0,069756 0,997564 0,069927

5 0,087156 0,996195 0,087489

6 0,104528 0,994522 0,105104

7 0,121869 0,992546 0,122785

8 0,139173 0,990268 0,140541

9 0,156434 0,987688 0,158384

10 0,173648 0,984808 0,176327

11 0,190809 0,981627 0,19438

12 0,207912 0,978148 0,212557

13 0,224951 0,97437 0,230868

14 0,241922 0,970296 0,249328

15 0,258819 0,965926 0,267949

16 0,275637 0,961262 0,286745


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17 0,292372 0,956305 0,305731

18 0,309017 0,951057 0,32492

19 0,325568 0,945519 0,344328

20 0,34202 0,939693 0,36397

21 0,358368 0,93358 0,383864

22 0,374607 0,927184 0,404026

23 0,390731 0,920505 0,424475

24 0,406737 0,913545 0,445229

25 0,422618 0,906308 0,466308

26 0,438371 0,898794 0,487733

27 0,45399 0,891007 0,509525

28 0,469472 0,882948 0,531709

29 0,48481 0,87462 0,554309

30 0,5 0,866025 0,57735

31 0,515038 0,857167 0,600861

32 0,529919 0,848048 0,624869

33 0,544639 0,838671 0,649408

34 0,559193 0,829038 0,674509

35 0,573576 0,819152 0,700208

36 0,587785 0,809017 0,726543

37 0,601815 0,798636 0,753554

38 0,615661 0,788011 0,781286

39 0,62932 0,777146 0,809784

40 0,642788 0,766044 0,8391

41 0,656059 0,75471 0,869287

42 0,669131 0,743145 0,900404

43 0,681998 0,731354 0,932515

44 0,694658 0,71934 0,965689

45 0,707107 0,707107 1

46 0,71934 0,694658 1,03553

47 0,731354 0,681998 1,072369

48 0,743145 0,669131 1,110613

49 0,75471 0,656059 1,150368

50 0,766044 0,642788 1,191754

51 0,777146 0,62932 1,234897

52 0,788011 0,615661 1,279942

53 0,798636 0,601815 1,327045

54 0,809017 0,587785 1,376382

55 0,819152 0,573576 1,428148

56 0,829038 0,559193 1,482561

57 0,838671 0,544639 1,539865

58 0,848048 0,529919 1,600335


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59 0,857167 0,515038 1,664279

60 0,866025 0,5 1,732051

61 0,87462 0,48481 1,804048

62 0,882948 0,469472 1,880726

63 0,891007 0,45399 1,962611

64 0,898794 0,438371 2,050304

65 0,906308 0,422618 2,144507

66 0,913545 0,406737 2,246037

67 0,920505 0,390731 2,355852

68 0,927184 0,374607 2,475087

69 0,93358 0,358368 2,605089

70 0,939693 0,34202 2,747477

71 0,945519 0,325568 2,904211

72 0,951057 0,309017 3,077684

73 0,956305 0,292372 3,270853

74 0,961262 0,275637 3,487414

75 0,965926 0,258819 3,732051

76 0,970296 0,241922 4,010781

77 0,97437 0,224951 4,331476

78 0,978148 0,207912 4,70463

79 0,981627 0,190809 5,144554

80 0,984808 0,173648 5,671282

81 0,987688 0,156434 6,313752

82 0,990268 0,139173 7,11537

83 0,992546 0,121869 8,144346

84 0,994522 0,104528 9,514364

85 0,996195 0,087156 11,43005

86 0,997564 0,069756 14,30067

87 0,99863 0,052336 19,08114

88 0,999391 0,034899 28,63625

89 0,999848 0,017452 57,28996

22 Juros simples 22.1 Conceitos básicos

A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.

Capital O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).

Juros Juros representam a remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.


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JUROS SIMPLES: o juro de cada intervalo de tempo sempre é calculado sobre o capital inicial emprestado ou aplicado.

JUROS COMPOSTOS: o juro de cada intervalo de tempo é calculado a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.

O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.

Quando usamos juros simples e juros compostos? A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa, etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.

22.2 Taxa de juros

A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período de tempo a que se refere:

8 % a.a. - (a.a. significa ao ano). 10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).

Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:

0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês). 0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre)

22.3 Cálculo dos juros simples e do montante

Juros é a remuneração paga pela aplicação de um capital.

Montante é, por definição, a soma do capital com os juros.

Chamamos de regime de juros simples aquele onde se admite que os juros são diretamente proporcionais ao tempo e a taxa da operação indicada. Neste regime, só o capital rende juros. J = C . i . t M = C + J 100

Pra que possamos usar as fórmulas acima, devemos nos lembrar que a taxa e o tempo sempre devem ser expressos na mesma unidade de tempo.


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Assim, se temos a taxa expressa ao mês, por exemplo, devemos exprimir o tempo em meses, também, e vice-versa.

22.4 Taxas proporcionais

Dizemos que duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção direta com os respectivos tempos, considerados numa mesma unidade. Desta forma, 60% a.ª e 5 a.m. são taxas proporcionais. Pois 60 % = 5 % aplicando o princípio fundamental das proporções e considerando 12 o ano = 12 meses, teremos uma identidade 22.5 Taxas equivalentes Dizemos que duas taxas são equivalentes quando produzem os mesmos juros, desde que sejam aplicadas ao mesmo capital e ao mesmo período de tempo. Convém lembrar que no regime de juros simples as taxas equivalentes sempre serão proporcionais. 22.6 Prazo médio Dado um conjunto com duas ou mais aplicações a juros simples, cada qual com seus próprios valores de capital, taxa e tempo, dizemos que prazo médio é um prazo único tal que, substituindo os prazos de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo total de juros das aplicações originais. Ex. Três capitais de R$ 1.000,00, R$ 2.000,00 e R$ 3.000,00 foram aplicados às taxas de juros simples de 2%, 3% e 4% ao mês durante 3 meses, 2 meses e 1 mês, respectivamente. Qual o prazo médio para estas três aplicações ?

PRAZOS (meses)

CAPITAIS (R$) TAXAS (%) PRODUTOS PESOS

3 1000 2 3 . 1000 . 2 = 6000 1000 . 2 = 2000 2 2000 3 2 . 2000 . 3 = 12000 2000 . 3 = 6000 1 3000 4 1 . 3000 . 4 = 12000 3000 . 4 = 12000

Prazo médio = 6000 + 12000 + 12000 = 1,5 m 2000 + 6000 + 12000 Isso implica que, se trocássemos todos os prazos pelo prazo médio, o juro total obtido pelas três aplicações continuaria o mesmo. 22.7 Taxa média Taxa média é uma única taxa tal que, substituindo as taxas de cada uma das aplicações dadas, produzirá o mesmo juro total das aplicações originais.

Utilizando os dados do exemplo anterior, temos:

TAXAS (%) CAPITAIS (R$) PRAZOS

(MESES) PRODUTOS PESOS

3 1000 2 3 . 1000 . 2 = 6000 1000 . 2 = 2000 2 2000 3 2 . 2000 . 3 = 12000 2000 . 3 = 6000 1 3000 4 1 . 3000 . 4 = 12000 3000 . 4 = 12000

Prazo médio = 6000 + 12000 + 12000 = 1,5% a.m. 2000 + 6000 + 12000 22.8 Exercícios


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1 - Calcule os juros anuais de R$ 6.000 a 6 % a. a. R. R$ 360,00 2 - Calcule o juro mensal de R$ 40.000,00 à taxa de 24 % a. a. R. R$ 800,00 3 - Qual a taxa anual que um capital de R$ 1.440,00 rende R$ 33,00 de juros em 2 meses e 15 dias ? R. 11 % a. a. 4 - Para que taxa um capital produz 1/5 do seu valor em 2 anos ? R. 10% a. a. 5 - Calcule o tempo para que uma quantia depositada a 12% a.a. triplique. R. 16 a e 8 m 6 – Dois capitais são aplicados a 4% a. a. durante 8 meses e 3% a. a. durante 9 meses, respectivamente,

rendendo juros iguais. Calcule esses capitais sabendo que a diferença entre eles é de R$ 125,00 R. R$ 675,00 e R$ 800,00

7 - Depositei certa importância a 5% a. a. . No fim do primeiro ano, somei os juros ao capital e depositei a soma a

6% a. a., recebendo no fim do ano o juro de R$ 1.260,00. Que quantia foi inicialmente depositada ? R. R$ 20.000,00

8 - Um capital de R$ 100,00 rendeu juros de R$ 10,80 em 90 dias. Quanto renderia em 12 meses, a uma taxa

mensal 0,1% maior do que a primeira ? (Banco do Brasil) a) R$ 26,40 b) R$ 42,00 *c) R$ 44,40 d) R$ 55,20 e) R$ 79,20 9 - Se aplicarmos determinada quantia durante 8 meses, seu montante será de R$ 63.000,00. Caso a aplicação

durasse 13 meses, seu montante seria de R$ 74.250,00. Qual a taxa mensal empregada ? (Banco do Brasil) a) 4% *b) 5% c) 6% d) 7% e) 8% 10 - Um capital foi aplicado durante 5 meses à taxa de 8% a. m. . Seu montante foi retirado e aplicado a 10% a. m.

durante 3 meses. Qual a taxa única, na forma unitária, que poderia ser aplicado esse capital, durante o prazo total para que no final desse prazo o montante fosse o mesmo? a) 0,105 *b) 0,1025 c) 0,10 d) 0,0092 e) 0,087

11 - Uma pessoa coloca 2/3 dos seus haveres a 6% a. a. e o resto a 5% a. a., recebendo um juro anual de R$

340,00. Calcule o capital aplicado. R. R$ 6.000,00 12 - Um investidor aplicou 1/4 do seu capital a 36% a. a.; 2/3 do mesmo a 48% a. a. e o restante a 60% a.a. Após 1

ano e 8 meses recebeu R$ 618.930,00 de juros. O capital inicial era: ( Fiscal de Tributos – SC ) a) R$ 897.000,00 b) R$ 742.716,00 c) 742.776,50 *d) 807.300,00 e) 807.300,50

13 - Eu tinha certo capital para investir. Apliquei 2/3 dele a 9% a. m. durante 1 trimestre; 1/5 dele a 8% a.m. durante

dois bimestres e o restante 10% a. m. durante um certo prazo. Que prazo foi esse se o juro total obtido foi igual a 30% do capital que eu tinha para investir ? ( C.E.F. ) a) 6 m b) 5 m 3 d c) 4,5 m * d) 4 m 6 d e) 4 m2 d

14 - Arno, Carlos, Décio e Evaldo investiram um total de R$ 23.540,00 durante 1 ano, 1 mês e 10 dias, à taxa de

54% a. a. . Ao receberem os juros, Carlos recebeu R$ 1.240,00 a mais que Arno; Décio recebeu R$ 620,00 a menos que Carlos e Evaldo, R$ 440,0 a menos que Décio. Assinale a alternativa correta: ( Fiscal de Tributos – SC ) a) Arno investiu R$ 7.101,00 b) Arno investiu R$ 5.035,00 *c) Arno investiu R$ 5.335,00 d) Arno investiu R$ 3.021,00 e) Arno investiu R$ 7.335,00

15 - Um capital colocada, parte a 4% a. a. e parte a 5,5% a. a., dá um juro anual de R$ 2.475,00. Se a parte

colocada a 4% a. a. fosse colocada a 5,5% a. a. e vice-versa, o juro seria de R$ 2.370,00. Calcule o capital total investido. R. R$ 51.000,00

16 - Um capital é aplicado a juros simples no dia 10 de fevereiro ao dia 24 de abril, do corrente ano, a uma taxa de

24 % ao ano. Nessas condições calcule o juro simples exato ao fim do período, como percentagem do capital inicial, desprezando as casas decimais superiores à segunda. (Auditor de Tributos Municipais – Fortaleza -CE)

a) 4,70 % b) 4,75 % *c) 4,80 % d) 4,88 % e) 4,93 % 17 - Se não houvesse inflação e se a capitalização dos rendimentos da caderneta de poupança fosse simples, a taxa

de juros seria então de 5 % ao mês. Admitindo isso, o tempo t, em anos, necessário para que um depósito em


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caderneta de poupança, aplicado à taxa mensal de 0,5 %, produza juros simples iguais a 150 % de seu valor, satisfaz à condição (Ministério Publico da União )

a) t < 10 b) 10 = t < 20 c) t = 20 *d) 20 < t < 30 e) t = 30 18 - Uma pessoa possui um financiamento (taxa de juros simples de 10% a.m.). O valor total dos pagamentos a

serem efetuados, juros mais principal, é $ 1.400,00. As condições contratuais prevêem que o pagamento deste financiamento será efetuado em duas parcelas. A primeira parcela, no valor de setenta por cento do total dos pagamentos, será paga ao final do quarto mês, e a segunda parcela, no valor de trinta por cento do total dos pagamentos, será paga no final do décimo primeiro mês. O valor que mais se aproxima do valor financiado é:

a) $ 816,55 * b) $ 900,00 c) $ 945,00 d) $ 970,00 e) $ 995,00 19 - Uma firma deseja alterar as datas e valores de um financiamento contratado. Este financiamento foi contratado há 30 dias, a uma taxa de juros simples de 2% ao mês. A instituição financeira não cobra custas nem taxas para fazer estas alterações. A taxa de juros não sofrerá alterações.Condições pactuadas inicialmente: Pagamento de duas prestações iguais e sucessivas de $ 11.924,00, a serem pagas em 60 e 90 dias. Condições desejadas: O pagamento em três prestações iguais - a primeira no final do10° mês; a segunda ao final do 30° mês; a terceira ao final do 70° mês. Caso sejam aprovadas as alterações, o valor que mais se aproxima do valor unitário de cada uma das novas prestações é:

a) $ 8.200,00 b) $ 9.333,33 c) $ 10.752,31 * d) $ 11.200,00 e) $ 12.933,60

19 - Uma pessoa deposita uma determinada importância numa instituição financeira. No final de três meses, ao encerrar sua conta, verificou que o valor inicialmente depositado, acrescido dos juros creditados, totalizava R$ 11.500,00. Esse valor é, então, integralmente depositado, em outra instituição financeira por um prazo de cinco meses. No final desse período o montante acumulado na segunda instituição financeira totalizava R$ 14.375,00. Sabendo-se que ambas as instituições remuneram seus depósitos a juros simples e a uma mesma taxa, determinar o valor do depósito inicial na primeira instituição e a taxa de juro das duas instituições.R.: 5% e 10.000

20 – Um investidor aplicou 5/6 do seu capital a juros simples comerciais, de 36 % a. a. , durante 4 meses e o

restante do capital também aplicou a juros simples comerciais, à taxa de 72 % a. a., durante 8 meses. Qual é o valor do capital inicial total se a soma dos montantes recebidos das duas aplicações totalizou R$ 212.400,00 ? ( AFTN )

a) R$ 160.000,00 b) R$ 192.000,00 c) R$ 168.000,00 *d) R$ 180.000,00 e) R$ 200.000,00 21 - Se 6/8 de uma quantia produzem 3/8 desta mesma quantia de juro simples, em 4 anos, qual é a taxa unitária

aplicada ? a) 0,12 b) 0,15 * c) 0,125 d) 0,128 e)N.R.A.

22 - Três capitais são colocados a juro simples, o primeiro a 25% aa, durante 4 anos; o segundo a 24% a.a, durante 42 meses e o terceiro a 20% aa durante 2 anos e 4 meses, perfazendo um rendimento total de R$ 27.591,80 . Sabendo que o segundo capital é o dobro do primeiro e que o terceiro é o triplo do segundo, calcule o valor do terceiro capital. R. R$ 30.210,00

23 - Há cinco meses passados, um capital de R$ 1.500,00 foi aplicado à taxa de 7% ao mês. Se aplicarmos hoje um

capital de R$ 1.800,00 à taxa de 10% ao mês, daqui a quantos meses os dois capitais terão produzido juros iguais ? R.: 7

24 - Um capital é aplicado do dia 5 de maio ao dia 25 de novembro do mesmo ano, a uma taxa de juros simples

ordinário de 36% ao ano, produzindo um montante de R$ 4.800,00. Nessas condições, calcule o capital aplicado, desprezando os centavos. (AFTN 98)

a) R$ 4.067,00 b) R$ 4.000,00 c) R$ 3.996,00 *d)R$ 3.986,00 e) R$ 3.941,00 25 - A quantia de R$ 10.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 12 de abril ao dia 5 de setembro do

corrente ano. Calcule os juros obtidos, à taxa de 18% ao ano, desprezando os centavos.(AFTN 98) *a) R$ 720,00 b) R$ 725,00 c) R$ 705,00 d) R$ 715,00 e) R$ 735,00

27- Os capitais de R$3.000,00, R$5.000,00 e R$ 8.000,00 foram aplicados todos no mesmo prazo, a taxas de juros simples de 6% ao mês, 4% ao mês e 3,25% ao mês, respectivamente. Calcule a taxa média de aplicação desses capitais. (AFTN 2002) a) 4,83% a.m. b) 3,206% a.m. c) 4,4167% a.m. * d) 4% a.m. e) 4,859% a.m.


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28 - Durante o mês de abril, um capital de R$ 20.000,00 foi colocado no open market (sistema de juros simples) pelo prazo de 24 dias, tendo produzido um montante de R$ 24.800,00. A taxa anual de juros simples a que esse capital esteve aplicado foi de: (TCI PI/2000) a) 30% b) 80% c) 120% *d) 360% e) 720% 29 - Um aplicador investiu R$ 12.000,00 numa instituição financeira, no período de 6 meses, à taxa de juros simples de 24 % ao ano. O montante recebido foi de (Ass. Adm. BRDES 2001) a) R$ 12.640,00 *b) R$ 13.440,00 c) R$ 16.800,00 d) R$ 25.440,00 e) R$ 29.280,00 30 - Uma pessoa aplicou o valor de R$ 3.000,00 no mercado financeiro e, após 12 dias, recebeu juros de R$ 72,00. A taxa de juros simples dessa aplicação foi de: (Ass. Adm BRDES 2001 ) a) 0,06% ao mês. b) 0,06% ao dia. c) 0,6% ao mês. d) 0,6% ao dia. *e) 6 % ao mês.

31 - Os capitais de R$ 20.000,00, R$ 30.000,00 e R$ 50.000,00 foram aplicados à mesma taxa de juros simples mensal durante 4, 3 e 2 meses respectivamente. Obtenha o prazo médio de aplicação desses capitais. (AFTN 98) a) Dois meses e meio b) Três meses e dez dias * c) Dois meses e vinte e um dias d) Três meses e nove dias e) Três meses 32- (AFPS-2002) Uma pessoa física recebeu um empréstimo de um banco comercial no valor de R$ 10.000,00 por um prazo de três meses para pagar de volta este valor acrescido de 15% de juros ao fim do prazo. Todavia, a pessoa só pode usar em proveito próprio 75% do empréstimo, porque, por força do contrato, usou o restante para fazer uma aplicação no próprio banco que rendeu R$ 150,00 ao fim dos três meses. Indique qual foi a taxa efetiva de juros paga pela pessoa física sobre a parte do empréstimo que utilizou em proveito próprio. a) 12% ao trimestre b) 14% ao trimestre c) 15% ao trimestre d) 16% ao trimestre e) 18% ao trimestre X

23 Desconto simples Desconto é o abatimento que uma dívida sofre quando ela é paga antes do vencimento. O documento que atesta uma dívida é chamado genericamente de título de crédito. São exemplos de títulos de crédito as notas promissórias, duplicatas e as letras de câmbio. Valor nominal é o valor do título de crédito, ou seja, é o seu valor de face. Valor atual é o valor pelo qual o título acabou de ser negociado. De outra forma, é o valor pago. Quando tomamos como referência o valor nominal, temos o desconto comercial ou por fora. Caso a referência seja o valor líquido, temos o desconto racional ou por dentro. Quando não se menciona o tipo de desconto, adota-se o comercial.

Temos, então D = V . i . t d = V . i . t 100 100 + i t

Onde D = desconto comercial d = desconto racional i = taxa t = tempo 23.1 Exercícios 1 - A que taxa anual uma letra de R$ 250,00, paga 25 dias do vencimento, foi descontada se o desconto obtido foi

de R$ 5,00 ? R. 28,8 % a.a.


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2 - Calcule o valor atual de uma letra de R$ 17.400,00 descontada a 6 7/8 % a.a. , 1 ano 2 meses e 4 dias antes do vencimento. R. R$ 15.991,09

3 - Calcule o desconto racional de uma letra de R$ 250.000, a 6% a. a., que é paga a 7 de agosto, sendo a sua

data de vencimento no dia 18 de outubro mesmo ano. 4 - Um título de R$ 182.700,00 é descontado a 9% a. a., 60 dias antes do vencimento. Calcule a diferença entre os

descontos comercial e racional. R. R$ 40,50 5 - Calcule o tempo que foi antecipado o pagamento de um título de R$ 25.600,00, a uma taxa de 6% a. a., sendo

que foi pago R$ 23.722,70. R. 1a 2m 20 d 6 - Uma duplicata de R$ 180.900,00, a 6% a. a., foi paga um mês antes do vencimento. Calcule o desconto

racional. R. R$ 900,00 7 - Calcule a diferença entre os descontos comercial e racional, a 8% a. a., sobre um título de R$ 12.000,00 pago

50 dias antes do vencimento. R. R$ 1,46 8 - Uma letra sofre um desconto racional a 9% a. a. , de R$ 3.600,00, com vencimento para 60 dias. Calcule o

desconto comercial. R. R$ 3.654,00 9 - Uma letra de R$ 1.200,00, com vencimento para 15 de agosto, foi paga em 6 de julho, com desconto comercial

de 9 ½ % a. a. Calcule o valor pago. R. R $ 1.187,33 10 - Você desconta em um banco uma letra de R$ 90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a 3 ½ % a. a. e paga ao

banco 1 1/8% sobre o valor nominal de comissões. Qual o valor líquido produzido pelo título ? 11 - Uma Nota Promissória no valor de R$ 5.300,00 foi comprada, numa financeira, por R$ 5.000,00. Se a taxa de

juros simples exigida pelo comprador foi de 18% ao ano, sob o critério do desconto racional, então o vencimento dessa Nota Promissória era de (Ass. Adm BRDES 2001) a) 2 meses. b) 2 anos. c) 3 meses. d) 3 anos. e) 4 meses.

12 -Uma empresa é devedora, em um banco, de dois títulos de crédito, um no valor de R$

1.000,00 vencível em 2 meses e outro no valor de R$ 3.000,00 vencível em 6 meses. O

banco, cuja taxa de juros é de 12 % ao ano, aceita a liquidação da dívida em um pagamento

único vencível em 8 meses. Adotando o critério do desconto comercial simples, o valor desse

pagamento é (Ass. Adm BRDES 2001)

a) R$ 3.680,60 b) R$ 3.800,00 c) R$ 4.130,43 d) R$ 4.500,80 e) R$ 5.000,00

13 - a promissória de R$240.000,00 é descontada em um banco 60 dias antes do vencimento pelo desconto

comercial simples, aplicando-se uma determinada taxa de desconto. Se a operação resulta em uma taxa linear efetiva de desconto de 12,5% ao mês, a taxa mensal de desconto comercial simples praticada pelo banco é de (TCI RJ 1999)

a) 15,0 % b) 10,0 % c) 9,5 % d) 8,5 % e) 6,5 % 14 - O desconto comercial simples de um título quatro meses antes do seu vencimento é de R$ 600,00. Considerando uma taxa

de 5% ao mês, obtenha o valor correspondente no caso de um desconto racional simples. (AFTN 1998) a) R$ 400,00 b) R$ 600,00 c) R$ 800,00 d) R$ 700,00 e) R$ 500,00

15 - O desconto racional simples de uma nota promissória, cinco meses antes do vencimento, é de R$800,00, a uma taxa de 4% ao mês. Calcule o desconto comercial simples correspondente, isto é, considerando o mesmo título, a mesma taxa e o mesmo prazo.(AFTN 2002)

a) R$ 960,00 b) R$ 666,67 c) R$ 973,32 d) R$ 640,00 e) R$ 800,00


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16 - Uma empresa descontou em um banco uma duplicata de R$2 000,00 dois meses e meio antes do seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 4%am. A taxa efetiva de juros da operação no período foi: (ICMS 2000) a) 10% b) 10,44% c) 10,77% d) 11,11% e) N.R.A. 17- (AFPS-2002) Um título no valor nominal de R$ 10.900,00 deve sofrer um desconto comercial simples de R$ 981,00 três meses antes do seu vencimento. Todavia uma negociação levou a troca do desconto comercial por um desconto racional simples. Calcule o novo desconto, considerando a mesma taxa de desconto mensal. a) R$ 890,00 b) R$ 900,00 c) R$ 924,96 d) R$ 981,00 e) R$ 1.090,00

24 JUROS COMPOSTOS Chamamos de regime de juros compostos aquele onde os juros de cada período são calculados sobre o montante do período anterior. n S = P ( 1 + i ) S = Montante P = Principal (Capital) i = Taxa (unitária) n = Nº de períodos 24.1 Taxa nominal e taxa efetiva Podemos definir taxa de juros como sendo a relação entre os juros cobráveis ou pagáveis no fim de um período anual, mensal, etc.) e a soma monetária devida no início do período. Sendo i a taxa de juros por período de capitalização e havendo n períodos de capitalização por ano, a taxa de juros é dita nominal quando o período de capitalização não coincide com a unidade de tempo expressa pela taxa. Por exemplo, a taxa de 12 % a.a. com capitalização mensal, é uma taxa nominal. As taxas nominais são muito usadas como meio de exprimirmos a taxa de juros de uma forma mais simples para o entendimento. Se a taxa for de 1 % a.m. com capitalização mensal, temos uma taxa efetiva. Temos, nesse caso, que o período de capitalização coincide com a unidade de tempo da taxa. Exemplos de taxa nominal: 24 % a.a., com capitalização trimestral. 30 % a.m., com capitalização diária Exemplos de taxa efetiva: 2 % a.m., com capitalização mensal 12 % a.a., com capitalização anual. 24.2 Taxas equivalentes Sempre que utilizamos as fórmulas, devemos utilizar taxas efetivas. Contudo, as taxas nem sempre se apresentam de maneira que se possa aplicar diretamente nas fórmulas para o cálculo. Assim sendo, temos que achar uma taxa equivalente.

A relação de equivalência entre as taxas é dada abaixo 2 3 4 6 12 360

( 1 + i a) = ( 1 + i s) = ( 1 + i q) = ( 1 + i t) = ( 1 + i b) = ( 1 + i m) = ( 1 + id) ia = taxa anual is = taxa semestral iq = taxa quadrimestral it = taxa trimestral ib = taxa bimestral im = taxa mensal id = taxa diária


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24.3 Exercícios 1 ) Calcule o montante produzido por um capital de UM$ 1.000,00 aplicado a 2 % a.m. capitalizado mensalmente, durante 10 meses. R.: UM$ 1.218,99 2) Calcule o montante produzido por um capital de UM $ 5.000,00 aplicado a 36 % a.a., capitalizado mensalmente,

durante um semestre. R.: UM $ 5.970,26 3) No final de 2 anos, uma pessoa deverá efetuar um pagamento de UM $ 200.000,00 referente ao valor de um

empréstimo contraído hoje, mais os juros devidos, correspondentes a uma taxa de 4% a.m., capitalizados mensalmente. Calcule o valor do empréstimo. R.: UM $ 78.024,29

4) Um capital de UM $ 300.000,00 foi aplicado a 3 % a.m., capitalizado mensalmente, produzindo um montante de

UM $ 427.728,26. Qual o tempo em que esteve aplicado? R.: 1 ano 5 ) Um capital de UM $ 100.000,00 foi aplicado a 5 % a.m., capitalizado mensalmente, produzindo um montante de UM $ 322.509,44. Qual o tempo em que esteve aplicado? R.: 2 anos 6 ) O montante de UM $ 296.048,85 foi obtido através da aplicação de um capital de UM $ 200.000,00 durante 10 meses. Qual foi a taxa mensal de aplicação ? R.: 4 % a.m. 7 ) Um capital de UM $ 100.000,00 aplicado durante 1 ano produziu um montante de UM $ 179.585,93. A que taxa mensal esteve aplicado ? R.: 5 % a.m. 8) Calcule o montante obtido através da aplicação UM $ 4.000,00, a juros compostos de 6,3 % a. a., ao final de 4

anos. 9) Calcule o montante obtido, pela aplicação de UM $ 1.000.000,00, aplicado a 1,8 % a. m. , capitalizados

mensalmente, durante 2 anos. 10) Calcule o montante produzido pela aplicação de um capital de UM $ 5.000,00 durante 2 anos, a uma taxa de 2,5

% a.b., capitalizados bimestralmente. 11) Calcule o montante obtido através da aplicação de UM $ 2.000,00, a 5% a.a. , a juros compostos, durante 5 a 8

m. 12) Calcule o capital aplicado a 5 % a. a., a juros compostos, sendo que o montante obtido no fim de 4 a 2 m 20 d foi

de UM $ 4.000,00. 13) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 3.000,00, a juros compostos semestralmente a 6% a.a.,

durante 12 anos. R. R$ 6.098,37 14) Qual a taxa anual equivalente a 2,956 % semestrais? 15) Calcule as taxas semestrais equivalente e proporcional a 6 % a. a. 16) Coloquei a metade de certo capital a 5 % a. a., capitalizados semestralmente, durante 4 anos.Emprestei a outra metade a juros simples durante o mesmo período a 6 % a. a.. Podemos afirmar que:

a) O melhor negócio foi o empréstimo a juros compostos. b) O empréstimo a juros simples rendeu 10 % a mais que o feito a juros compostos. c) O melhor negócio foi no empréstimo a juros simples.* d) O empréstimo a juros compostos gerou 50 % dos juros obtidos pela aplicação do total do capital.

17) No término de 9 anos, retirei um montante de R$ 270.000,00 resultante da aplicação de R$ 150.000,00 Calcule a taxa. 18) Uma pessoa aplicou um capital de R$ 20.000,00 durante 4 anos à taxa nominal de 14% ao ano capitalizada semestralmente. Ao término desse período, somente os juros ganhos, foram reaplicados por 15 meses à taxa nominal de 12% ao trimestre capitalizada mensalmente. Qual o rendimento dessa última aplicação? (TCI RJ – 1999) a) R$ 10.308,29 b) R$ 11.504,53 c) R$ 12.718,97


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d ) R$ 12.856,78 e) R$ 13.082,56 19) Dois capitais foram aplicados pelo prazo fixo de 2 anos. O primeiro à taxa nominal de 20% ao ano capitalizada semestralmente e o segundo, a 16% ao semestre capitalizada trimestralmente. Sabendo-se que ao término do prazo os juros ganhos pelos dois capitais totalizaram R$ 2.042,14, e que o primeiro capital é R$ 1.000,00 maior do que o segundo, o valor de cada capital é,respectivamente, (TCI RJ – 1999) a) R$ 2.000,00 e R$ 1.000,00 b) R$ 2.180,00 e R$ 1.180,00 c) R$ 2.200,00 e R$ 1.200,00 d) R$ 2.240,00 e R$ 1.240,00 e) R$ 2.280,00 e R$ 1.280,00 20) Um capital foi aplicado por dois anos a juros efetivos compostos de 2% ao ano. No término desse prazo, um terço dos juros ganhos foram reaplicados à taxa efetiva composta de 5% ao ano, obtendo-se uma remuneração de R$ 6.368,25 ao fim de 3 anos. Qual o valor do capital inicialmente aplicado? (TCI- 1999) a) R$ 2.000.000,00 b) R$ 2.900.000,00 c) R$ 3.000.000,00 d) R$ 3.100.000,00 e) R$ 3.120.000,00 21) Indique qual a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 8% ao ano com capitalização semestral. (AFTN –1998) a) 8,20% b) 8,16% c) 8,10% d) 8,05% e) 8,00% 22) O capital de R$ 1.000,00 é aplicado do dia 10 de junho ao dia 25 do mês seguinte, a uma taxa de juros compostos de 21% ao mês. Usando a convenção linear, calcule os juros obtidos, aproximando o resultado em real. (AFTN – 1998) a) R$ 331,00 b) R$ 340,00 c) R$ 343,00 d) R$ 342,00 e) R$ 337,00 23) Indique a taxa de juros anual equivalente à taxa de juros nominal de 12% ao ano com capitalização mensal. (AFTN – 2002) a) 12,3600% b) 12,6825% c) 12,4864% d) 12,662% e) 12,5508% 24) Um capital é aplicado a juros compostos durante seis meses e dez dias, a uma taxa de juros de 6% ao mês. Qual o valor que mais se aproxima dos juros obtidos como porcentagem do capital inicial, usando a convenção linear? (AFTN – 2002) a) 46,11% b) 48,00% c) 41,85% d) 44,69% e) 50,36% 25) Um investidor aplicou R$ 10.000,00 em uma instituição de crédito que paga 10 % ao mês, no regime de capitalização composta. Se o juro recebido foi de R$ 3.310,00, o período em que o capital esteve aplicado foi de (Ass. Adm. BRDES – 2001) 2 meses. b) 3 meses. c) 4 meses e) 5 meses. e) 6 meses. 26) Uma pessoa deseja comprar um imóvel. Para isso ela deposita a quantia de R$ 16.850,00 numa aplicação financeira, à taxa de juros compostos de 20 % ao ano capitalizados semestralmente. Em 6 anos, essa pessoa terá o montante, desconsiderando-se os centavos, de (Ass. Adm. BRDES – 2001) R$ 29.841,00 b) R$ 45.000,00 c) R$ 50.297,00 d) R$ 52.882,52 e) R$ 55.000,00 27) 02. Após a data de seu vencimento, uma dívida é submetida a juros compostos com taxa mensal de 8%, além de ser acrescida de uma multa contratual correspondente a 2% da dívida original. Sabendo-se que log102 = 0,30 e log103 = 0,48 e utilizando-se para todo o período o sistema de capitalização composta, determine o tempo mínimo necessário, em meses, para que o valor a ser quitado seja 190% maior do que a dívida original. (C.E.F.) a) 24 b) 23,5 c) 13 d) 11,5 X e) 10 28) A taxa efetiva anual de 50%, no sistema de juros compostos, equivale a uma taxa nominal de i % ao semestre, capitalizada bimestralmente. O número de divisores inteiros positivos de i é (C.E.F.) a) 4 X b) 5 c) 6 d) 7 e) 8


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29- (AFPS-2002) Obtenha os juros como porcentagem do capital aplicado à taxa de juros compostos de 10% ao semestre por um prazo de quinze meses, usando a convenção linear para cálculo do montante. a) 22,5% b) 24% c) 25% d) 26,906% e) 27,05% X 30 - (AFPS-2002) Calcule o montante obtido ao fim de dezoito meses por um capital unitário aplicado a uma taxa de juros nominal de 36% ao ano com capitalização mensal. a) 1,54 b) 1,7024 X c) 2,7024 d) 54% e) 70,24% TABELA I FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL an = (1 + i)n

1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10% 12% 15% 18%

1 1,010000 1,020000 1,030000 1,040000 1,050000 1,060000 1,070000 1,080000 1,090000 1,100000 1,120000 1,150000 1,180000 2 1,020100 1,040400 1,060900 1,081600 1,102500 1,123600 1,144900 1,166400 1,188100 1,210000 1,254400 1,322500 1,392400 3 1,030301 1,061208 1,092727 1,124864 1,157625 1,191016 1,225043 1,259712 1,295029 1,331000 1,404928 1,520875 1,643032 4 1,040604 1,082432 1,125508 1,169858 1,215506 1,262476 1,310796 1,360488 1,411581 1,464100 1,573519 1,749006 1,938777 5 1,051010 1,104081 1,159274 1,216652 1,276281 1,338225 1,402552 1,469329 1,538624 1,610510 1,762341 2,011357 2,287758

6 1,061520 1,126162 1,194052 1,265319 1,340095 1,418519 1,500730 1,586874 1,677100 1,771561 1,973822 2,313061 2,699554 7 1,072135 1,148685 1,229873 1,315931 1,407100 1,503630 1,605781 1,713824 1,828039 1,948717 2,210681 2,660020 3,185474 8 1,082856 1,171659 1,266770 1,368569 1,477455 1,593848 1,718186 1,850930 1,992562 2,143588 2,475963 3,059023 3,758859 9 1,093685 1,195092 1,304773 1,423311 1,551328 1,689478 1,838459 1,999004 2,171893 2,357947 2,773078 3,517876 4,435454

10 1,104622 1,218994 1,343916 1,480244 1,628894 1,790847 1,967151 2,158925 2,367363 2,593742 3,105848 4,045558 5,233835

11 1,115668 1,243374 1,384233 1,539454 1,710339 1,898298 2,104852 2,331639 2,580426 2,853116 3,478549 4,652391 6,175926 12 1,126825 1,268242 1,425760 1,601032 1,795856 2,012196 2,252191 2,518170 2,812665 3,138428 3,895975 5,350250 7,287592 13 1,138093 1,293606 1,468533 1,665073 1,885649 2,132928 2,409845 2,719623 3,065804 3,452271 4,363493 6,152787 8,599359 14 1,149474 1,319479 1,512589 1,731676 1,979931 2,260903 2,578534 2,937193 3,341727 3,797498 4,887112 7,075706 10,147244 15 1,160969 1,345868 1,557967 1,800943 2,078928 2,396558 2,759031 3,172169 3,642482 4,177248 5,473565 8,137061 11,973748

16 1,172578 1,372786 1,604706 1,872981 2,182874 2,540351 2,952164 3,425942 3,970306 4,594972 6,130393 9,357621 14,129022 17 1,184304 1,400241 1,652847 1,947900 2,292018 2,692772 3,158815 3,700018 4,327633 5,054470 6,866040 10,761264 16,672246 18 1,196147 1,428246 1,702433 2,025816 2,406619 2,854339 3,379932 3,996019 4,717120 5,559917 7,689966 12,375453 19,673251

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1614 APOSTILA Matematica - EXTENSIVO - Professor Roberto

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