17 Distribuições qui-quadrado, t de Student e F · Estimação de parâmetros Média: " estimador...
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ESTATÍSTICA Distribuições qui - quadrado, t de Student e F de Snedecor Lucas Schmidt [email protected]
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Estimação de parâmetros
MédiaVariânciaProporção
Estimação de parâmetros
Média: "̅ estimador de µ, padronizado, seguirá distribuição Z (Normal
com média 0 e variância=desvio-padrão=1) OU Distribuição t de
Student com n-1 graus de liberdade.
Variância: s² estimador de σ², seguirá distribuição qui-quadrado com
n-1 graus de liberdade.
Proporção: p estimador de π, padronizado, seguirá distribuição Z.
Distribuição da média amostral
A distribuição de "̅ estimador de µ será Z (normal) quando:conhecemos o valor do parâmetro σ ou n > 30
A distribuição de "̅ estimador de µ, será t de Student quando:não conhecemos o valor do parâmetro σ e n ≤ 30
Utilizada em:• Significância da regressão (simples e múltipla);• ANOVA (comparar 3 ou mais médias);• Teste de duas variâncias amostrais (razão de duas variâncias)
Distribuição F
Teste Qui-quadradoQuando as variáveis são de natureza categórica, os dados coletadossão apresentados como frequências de cada categoria.
Exemplo: Um distribuidor de ar-condicionados dividiu a cidade deSão Paulo em quatro regiões: S, N, L e O.
Deseja-se saber se a empresa atende igualmente as quatro regiõesda cidade com vistas a estabelecer o local da central dedistribuição.
Verificou-se a quantidade instalada (frequência observada) em cada região a partir de uma amostra aleatória de 40 instalações realizadas no ano anterior:
S N L O Total6 12 14 8 4010 10 10 10 40
Região
Frequência observadaFrequência esperada
Supondo-se que as regiões são atendidas de igual forma, espera-seque as 40 instalações estejam igualmente divididas entre as 4regiões (frequência esperada supondo igualdade).
Teste Qui-quadrado
Teste Qui-quadradoAs relações entre as variáveis serão testadas através da
comparação de frequências obtidas em amostras de suas
categorias, com frequências esperadas baseadas, em cada
caso, em hipóteses particulares.
Logo, são testes de hipóteses e possuem relação com a
análise dos dados de uma amostra.
Bondade de ajustamento (goodness of fit)A hipótese nula é uma condição estipulada referida ao padrãoesperado de frequências em uma série de categorias.Deseja-se testar se os dados evidenciam o padrão esperado.As frequências esperadas podem basear-se em qualquersuposição relativa à forma da distribuição de frequências napopulação.
São estabelecidas as hipóteses:
Os valores encontrados na amostra (valores observados) são comparadoscom os valores esperados supondo igualdade. Para a hipótese nula seraceita, a diferença entre os valores observados e os esperados deve seratribuída ao acaso (à variabilidade da amostragem). A estatística de testequi-quadrado baseia-se na magnitude dessa diferença para cada categoriana distribuição de frequência.
H0: A quantidade de instalações está igualmente distribuída entre as quatro regiõesH1: A quantidade de instalações não está igualmente distribuída entre as quatro regiões
Exemplo do Ar-condicionado de SP
O valor qui-quadrado para testar a diferença entre padrões obtidos e esperados de frequências é:
!"#$" =& '( − *( +
*(OU &'(+
*(− . ~ 01+
em que 2 = graus de liberdade = número de colunas - 1
Para o exemplo anterior, a estatística de teste será:
S N L O Total6 12 14 8 4010 10 10 10 40
Região
Frequência observadaFrequência esperada
!"#$" = ∑ '()*( +*(
= ,)-. +
-. + -0)-. +
-. + -1)-. +
-. + 2)-. +
-. = 4Assumindo α = 0,05 8 9 = 4 − 1 = 3, temos que
!=#> = ?@;.,.B0 = 7,81Conclusão: ao nível de 5% de significância, não rejeitamos Ho: as instalações estão igualmente distribuídas entre as quatro regiões da cidade.
FCC - Agente Fiscal de Rendas (SEFAZ/SP, 2009)Espera-se que o número de reclamações tributárias em um órgão público durantedeterminada semana seja igual a 25, em qualquer dia útil. Sabe-se que nesta semanaocorreram 125 reclamações com a seguinte distribuição por dia da semana:
Para decidir se o número de reclamações tributárias correspondente não depende do diada semana, a um nível de significância α, é calculado o valor do qui-quadrado (χ²) que sedeve comparar com o valor do qui-quadrado crítico tabelado com 4 graus de liberdade. Ovalor de χ² é
(A) 1,20
(B) 1,90
(C) 4,75
(D) 7,60
(E) 9,12Resposta: D
