1991 Brasil XII Encontro Nacional Partículas e Campos ...

1991 BrasilXII Encontro Nacional

Partículas e CamposParticles and Fields

SOCIEDADE BRASILEIRA DE FÍSICA

530.06P273 Partículas e Campos = Particles and Fields / Sociedade Brasileira de

Física - São Paulo: A Sociedade, 1993242 p.XII Encontro Nacional de Física de Partículas e Campos, realizadoem Caxambu, entre 18 e 22 de setembro de 1991Texto em português e inglêsl.Física - Congressos. 2.Partículas 3.Teoria de Campos ( Física ).

I.Sociedade Brasileira de Física . II.Encontro Nacional de Física dePartículas e Campos (12. : 1991 : Caxambu ) III.Título: Particlesand Fields

XII ENCONTRO NACIONAL DE FÍSICA DEPARTÍCULAS E CAMPOS

Caxambu, 18-22 de setembro de 1991

Esta publicação contém os trabalhos apresentados durante o XII Encontro Na-cional de Física de Partículas e Campos, realizado em Caxambu, MG, entre 18 e22 de setembro de 1991.

Como aconteceu nos anos anteriores, a reunião contou com cerca de 150 partici-pantes, entre eles pesquisadores estrangeiros convidados especialmente a participarna reunião com palestras de revisão.

Também contamos nesta oportunidade com o financiamento da FAPESP e doCNPq. Aproveitamos a oportunidade para agradecer o apoio destas instituiçõesde fomento à pesquisa. Agradecemos em particular à FAPESP pela concessão deauxílio para aquisição do material usado na confecção destes anais e ao Institutode Física da UNICAMP que possibilitou sua impressão.

A realização destes Encontros e a posterior publicação dos anais são parte deuma tradição estabelecida nos anos anteriores e, por ser uma amostra representa-tiva do esforço da produção dentííica no país, esperamos que tenha continuidadenos anos seguintes.

No ficai deste volume apresentamos a relação nominal dos participantes aosquais estendemos nossos agradecimentos.

Comissão Organizadora

Antonio Lima Santos (IFUSP)

Eugênio Ramos Becerra de Mello (UFPb)

José Antonio Martins Simões (UFRJ)

José Augusto Chínellato (UNICAMP)

Vicente Pleitcz (IFT/UNESP)

iii

XII NATIONAL MEETING ON PARTICLEPHYSICS AND FIELDS

Caxambu, 18-22 Setember 1991

This volume collects most of the material presented in the XII National Meetingon Particle Physics and Fields, which was held in Caxambu, MG, from 18 to 22Setember 1991.

As in previous occasions there were about 150 participants, some of them visi-ting scientists invited to give review lectures.

The Meeting was sponsored by brazilian financial agencies FAPESP and CNPqand we express here our gratitude to them. We are grateful to FAPESP (for finan-cial support ) and to the Instituto de Física /Universidade Estadual de Campinas(printing facilities), whose support made possible the publication of this volume.

The Meeting and the publication of its Proceedings are already a tradition that,we hope, will continue in the future.

The full list of the participants appears at the end of this book. To all of themwe are very grateful.

ORGANIZING COMMITEE

Antonio Lima Santos (IFUSP)

Eugênio Ramos Becerra de Mello (UFPb)

José Antonio Martins Simões (UFRJ)

José Augusto Chinellato (UNICAMP)

Vicente Pleitez (IFT/UNESP)

ÍNDICE

L PALESTRAS DE REVISÃO E SEMINÁRIOS

1. Osvaldo M. Moreschi"Fixing the gauge at future null infinity"

2. Roberto Percacci"Mean field approach to quantum gravity"Publicado em'The Higgs phenomenon in quantum gravity*R. Percacci, Nud. Phys. B353, 271 (1991)'Coleman Weinberg effect in quantum gravity'R. Floreanini, R. Percacci e E. SpallucciClass. And Quantum Gravity 8, L193 (1991)

3. S. P. Sorella"Finiteness in gauge field theories" -. 24

II. CONTRIBUIÇÕES CIENTÍFICAS

A. Cosmologia e Gravitação

1. C. Romero e A. Barros"A presença da constante cosmológica na teoria deBrans-Dicke e a solução geral para o vazio" 36

2. Patrício S. Letelier"On gravitational waves, vortices and sigma models" 40

3. M. D. Maia"A constante cosmológica na cosmologia de membranas" 45

4. V.B. Bezerra and I.B. dos Santos"Topological effects due to a cosmic string" 48

5. J.A.S. Lima and J.M.F. Maia"Some cosmological consequences of a A-term varying as

( /?, a and n constants )" 52

6. Mário EveraJdo de Souza"New karyonic force for the Universe" 57

vii

7. Manoelito Martins de Souza"(•auge e integrabilidade em equações lineares e não lineares" W»

8. Manoelito Martins de Souza"Forinalismo para sistemas de estatísticas generalizadas" 71

9. Cesar A. Linhares e Juan A. Mignaco"Sobre a equação de Dirac em três dimensões" 75

AyfO. Cesar A. Linhares e Juan A. Mignaco' UA relação entre a equação de Dirac e as algebras de

grupos unitários para qualquer dimensão do espaco-tempo" 79

11. Rudnei 0 . Ramos and G. C. Marques"Bubbles in the early universe" 80

B. Fenomenologia

12. F. Pisano e V. Pleitez"SU (3) ® U (1) model for electroweak interactions and neutrinolessdouble beta decay" 86

13. Patricia Ball, H.G. Dosch e Erasmo Ferreira"Form factors of the charmed meson decays D + —> ~K°*e+v 91

14. J. Bellandi, R.J.M. Covolan, C. Dobrigkeit, C.G.S. Costa e L.M. Mundim"Estudo da distribuição lateral da cascata nucleonica induzidapor um único nucleon na atmosfera" 95

15. V. E. Herscovitz e F. M. Steffens"Skyrmions não vibrantes e vibrantes" 99

16. Juan A. Mignaco e Stenio Wulck"Os solitons do modelo de Skyrme com o termo de massa do pion" 103

17. Juan A. Mignaco e Stenio Wulck"Sobre o conteúdo físico do Modelo de Skyrme" 104

18. G. KreinV_ "Massa hadrônicas num modelo com confinamento e

simetria quiral" 109

I!). C E . Navia, F.A. Pinto, H. Porlella, H.V. Pinto, R.H. Maldoi.ado"Mini-Jets seen in cosmic ray interaction with carbon target chamber" . 118

20. l{. SimoiK'Ui e C. Escobar"Alguns aspectos da detecção de neutrinos cosrnológiros einalcria escura" i22

viii

21. A.S. de Castro, H.F. de Carvalho e A.C.B. Antunes"Espectro de Massas de Bánoos no modelo quark-diquark" 126

i C. Teoria de Campos

22. H. Aratyn, C.P. Constantinidis, L.A. Ferreira, J.F. Comes, |-A.H. Zimmermann »"Simetrias de Spins mais Altos do Modelo de Toda Conforme Afim" . . . KW

23. M.E.V. Costa e HJ. de Vega"Quantum string scattering in shock waves backgrounds" 136

24. Rudnei O. Ramos, E.C. Marino, G.C. Marques, J. S. Ruiz '-"Correlation function and mass spectrum of quantum vortices" 140 (

25. Elso Drigo Filho e Regina Maria Ricotta t"Supersnnetria, algebrização parcial e o potencial fV ( x ) = x * + A ( x J / ( l + g x a ) ) " 144 '.

26. Elso Drigo Filho :

"Resolução da equação de Schroedinger com potencialbi-dimensional usando supersimetria" 148

I 27. Álvaro de Souza Dutraj "Cálculo das funções de Green do modelo de Schwingeri generalizado pelo método de integração 'uncionaP 152

\ 28. S.A. Dias e A. de Souza Dutra !

\ ^ "An alternative prescription for gauging Floreanini-Jackiwchiral bosons" 156

29. Carlos Alberto S. Almeida e J. Abdalla Helayd-Neto"Acoplamento Yang-Mills/modelo sigma (2,0) em variedadescom torção" 164

30. H. Boscht-Filho"A expansão do heat kernel no espaco-tempo curvo atemperatura finita" 168

31. B.M. Pimentel, A.T. Suzuki and J.L. Tomazelli ,"Radiative corrections in ( 2 + 1 ) - dimensional QED" 172

/ ; y 32. J.R.S. Nascimento and E.R. Bezerra de Mello' "Fermions and O (3) - nonlinear sigma model in a

thr.w-dimensional space-time" 176 j

'\'\. Jainiiiinatha Jaydramaii, Rafael de L. Rodríguen e A.N. Vaidya '"0 eH|w»rtro do oscilador de Dirar via álgebra deiwrtlailor generalizado de Wignrr lleiffenberjc" IH1 !

ix *a • •

34. R.L. Rodrigues, A.N. Vaidya e J. Jayarainan"Estados coerentes via álgebra de Wigner-Heisenberg" 188

35. R.L. Rodrigues, A.N. Vaidyae J. Jayaraman"Estados coerentes do oscilador radial 3D" 192

36. Adolfo Maia Jr. and Waldyr A. Rodrigues Jr."The Feynman-Dyson proof of Maxwell equations andmagnetic monopoles" 196

37. J.C. Montero, A.A. NaUlc, V. Pleitez e J.A.S. Sobrinho"The Vacuum Energy of QED with Four-Fcrmion Interaction" 20ft.

B. J.E. Maiorino, J.R. Zeni e W.A. Rodrigues Jr."Unobservability of the sign change of spinors under a 2 p rotationin neutron interferometric experiments" 209

D. Painéis

' ' O 39. Álvaro de Souza Dutra"Non-anomalous bosonized theories from a gauge principle" 214

K/

40. R.L. Rodrigues, A.N. Vaidya e J. Jayaraman"Estados super-coerentes do oscilador radial SUSI 3D" 218

W. R.L. Rodrigues, A.N. Vaidya e J. Jayaraman"Estados coerentes do oscilador harmônico isotrópico 3D de spin 1/2" . 222

42. S. J. Rabello and A. N. Vaidya"Cálculo algébrico de propagadores em espaços curvos" 226

. J. R. Zeni"Geometria dos autoestados de spin" 230

44. Vera Lúcia Vieira Baltar, Jorge Llambias and Luís Masperi"Quantum corrections to classical solutions" 234•/

Participantes 239

Programação 241

?!

Osvaldo M MoreschiFAMAF

Facultad de Matemáticas Astronomia y FísicaUniversidad Nacional de Córdoba

854

Argentina

ABSTRACT

After a review of the fundamental concepts around the notion of isolatedsystems in curved spacetimes, we analyze die problem of the ambiguities ofthe supertranslations at future null infinity. We propose a tool thatprovides a clean way to fix the gauge problem; namely the notion of "nicesections". We conclude with some resent results on "nice sections" on aparticular class of radiating spacetimes.

M-mhri nf dwnrj» NOTNIMI dc InvrXipKinnri dcMfficas y tfcniru

CnNUKl.

01

I HfTRODUCnON

Among the interactions defined by physicists, gravitation appears as the

weakest of them. And since the source of gravitational interactions is the

presence of matter, physically interesting gravitating system» normally

involve large concentration of it.

There arc two types of physical systems where the use of the general

reiativistk picture of the gravitational interactions is essential, they are

the systems that involve very compact objects and the systems that involve

all known matter, namely the universe. We will next be concerned with the

first type of systems.

In the study of very compact objects it is generally the case that we

can neglect the influence of the rest of the universe on them. In this case

we say that the system can be modeled by an isolated system. In the Newtonian

picture an isolated system is normally represented by a gravitational poten-

tial that goes to zero at large distance as 1A. In a relativistic theory of

gravity one expects that at large distances from the central object the

spacetimc will approach more and more the characteristics of Minkowski space;

more precisely, the discussion of isolated systems is made in terms of the

class of spacetimes which have their curvature going to zero when one recedes

to infinity, these are called asymptotically flat spacetimes.

The notion of asymptotically fiat spacetimes (that we will discuss in

the second pan of our talk) introduces a partial boundary for the spacetime,

that is very convenient for studying the asymptotic physical fields. However

a new ingredient appears (in comparison with what happens in Minkowski space-

time), now the gauge group at infinity is much larger than the Poincaré one;

in fact it has infinite dimension. This has as a consequence that it is much

more difficult to handle the physical fields in this case. We will later pro-

pose a solution for the gauge problem.

2 ASYMPTOTIC FLATNESS

2.1 WHAT SHOULD WE LOOK FOR?

Since isolated systems in relativistics theories of gravity should be

modeled by asymptotically flat spacetinies, we should have a precise idea of

the meaning of (his concept. A definition of an asymptotically flat spacetime

02

should include somehow the statement that the curvature trnsor tends to zerowhen one recedes from the central region where the sources are placed. How-ever in a Lorcntzian spacetime there arc three types of distinct directionwhich one could take to move away from the central region; besides, oneshould be very careful with the idea of a tensor tending to zero since inprinciple, the notion of the limit of a tensor is not geometrically clear.Comparison of components with respect to some particular chart will not work.Another problem that should also be considered is the one of having toexpressed the conditions in the limit to infinity.

Since we would tike to take into account the effects of radiation, itturns out that it is more convenient to discuss these phenomena when onerecedes along null directions; therefore we should search for the notion ofasymptotic flatness at null infinity.

Although the notion of isolated systems is very frequent in physics, wenote that tliere is a great difference whether the theory one is consideringinvolves the very structure of the spacetime or not. For example in Maxwelltheory in Minkowski spacetime, the notion of isolated system does not intro-duce any problem. In this case if one have a localized distribution of char-ges, and the electromagnetic field goes to zero at infinity (in an appro-priate way) one says to have an isolated system. In contrast in general rela-tivity the spacetime structure is not given a priori, in fact using Einsteinequation, it depends on the matter distribution. In this case instead it ismuch more difficult to figure out which are the appropriate boundary condi-tions to be imposed on the spacetime and which are also consistent with thefield equation.

In order to deal with the difficulties of taking the limits of tensoralong asymptotic regions, it has been convenient the use of the conformaitechniques, by which one introduces a conformai metric

Since to get to infinity one needs to cover an infinite distance, withrespect to the metric g^, one may think fiat if one makes an appropriatechoice of Í2, infinity will he at a finite distance with respect :o g . Thefunction il should go to zero as we approach infinity. Also in theseinhniqiit-s one usually ;iii;irhes new points to the spacctimc manifold, so thatllii" region where i l - 0 is included in a new enlarged manifold. By doing this

'13

. ^ j - . " ^ •» . . - _ . . . — . .

one could replace limits to infinity by statements on these boundary points.

In the definitions of spacetimes representing isolated systems, one has

to specify the precise asymptotic behavior of the geometry as SI goes to zero.

The choice of appropriate asymptotic conditions for a spacetime is a delicate

one, since conditions too strong will rule out solutions that clearly repre-

sent isolated physical systems, and conditions too weak will allow for too

many cases in which useful aspects of the asymptotic behavior of physical

fields are messed up with unnecessary bad behavior.

It is interesting to consider the possibility of separating the notion

of isolated system in general relativity from a particular field equation.

This is suggested by the following fact. Taking into account that any physi-

cally meaningful gravitational theory has to have Newton theory as a weak

field limit, one can deduce from the geodesic hypothesis that in such a limit

the time component of the metric should have the following asymptotic

behavior:

Then, assuming some uniform smoothness condition (that we will not discuss

here), one could expect that all physically meaningful theories of gravity

should admit the notion of asymptote flatness.

However, in studying this kind of ideas it is good to recall a statement

appearing in the literature1: "so far no firm arguments have been presented

either in favour of or against the conjecture that nonstationary isolated

systems can really be described by asymptotically flat spacetimes, in the

sense in which this concept has been made precise up to now".

We can deal partially with this situation by working with a notion of

isolated system which is independent of a particular field equation; in this

way one should see later whether the theory one likes admits this notion. We

will next present a definition of an asymptotically flat spacetime which does

not refer to any field equation.

2.2 GENERAL FUTURE ASYMPTOTICALLY FLAT SPACETIMES2

Let M be a C°° manifold and g a C3 metric in M. We define the orientable

spacetime (M,g) to be general future asymptotically flat (GeFAF) if there

exists 0 and g = Í22 g ;»b ah

04

b) at 5+: fl = 0 and í i is C°; 5* is diffeomorphic to S2 x R; at every

point of 9* there end future directed null geodesies of M, and g is

non-degenerate; and finally

c) the leading behavior of the Ricmann tensor for £1 --» 0 can be

expressed by

R j - / ( O ) R j + 8Rj (2.1)

where there exists Qn > 0 such that for Q < Qn, tL > 0. •«<" / = 0; R *0 ° dft I1--.0 **

is a regular tensor at 9*, and BR^J is a tensor that goes to zero faster

than f{Sl) for Í1 —» 0. Condition (2.1) must be understood as saying that every

component of the Riemann tensor R d with respect to an orthogonal tetrad of

g , which is regular at 9*, behaves like eq. (2.1).

Note that from condition b) one can see that we are implicitly requiring

g to be C1 at 9*, since we can write and solve the geodesic equation up to

t A

9* itself . Also observe that in general the tensor R is unrelated to the

curvature of the metric g.

This definition of asymptotic flatness along null directions is clearly

more general th:>t former ones; in particular it is clear that implies a

flatness condition, and also has the property that it does not refer to any

field equation.

2.3 DISCUSSION OF GEFAF SPACETIMES

Since the definition of GeFAF spacetimes involves metric conditions

along with curvature conditions, it seems that a direct way of obtaining

information is to introduce a tetrad, if naturally available, in order to

study everything with respect to it. The use of null tetrads for the study of

gravitational radiation has proved to be quite useful over the years. Here we

will use the G.H.P. notation3 for the spin coefficients.

Using these technic one can prove for example that future null infinity

is a null hypersurface. Also that the components H*4 and M*3 of the curvature

tensor (in the above notation) behave like radiation field, although one has

not mentioned any field equations yet!

!) in primouiMfil "irn phis".

In what follows we give the explicit asymptotic behavior of the

spacetime implied by the definition of asymptotic flatness. We make use of

the fact that the conformai factor Q can be taken as the inverse of a radial

coordinate that measures affine distance along outward null geodesies; that

is:

and we also take the physical asymptotic behavior described by:

For completeness we write down next all the quantities that can be defined in

our formalism.

In the framework we are considering, the most basic object is the te-

trad. Each vector of the tetrad can be expressed in terms of the coordinate

system (x°= u, x'= r, x2, x3) by the equations

r - (d v

"^ • ( V ^ ) ' i =2,3ax'

axwhere m* is a complex vector, end it is satisfied that

r n = i

m* m = -1 ,

and all other contractions give zero.

The torsion free metric conditions on the connection provide equations

that relate the spin coefficients, as defined by G.H.P., and the tetrad

components2. These equations can be used to express the spin coefficients in

terms of the tetrad components as described in ref. (2).

The definition of asymptotic flatness impose conditions on the behavior

of the metric and the curvature tensor explicitly. Using these conditions and

after a long calculation4 one can obtain the leading behavior of the diffe-

rent fields

The spin coefficients with spin-boost weight have the following

asymptotic behavior

06

. _ * _ « ^ 4 *

p = . _J_ + 0 -r3

O = J Í

, (V; + o° è0 + aj 0°)p' - r ? + — 2 2 — + 0 ( r >

r

^ _ + » " a Í — + 0(r3)

x' - - t

r2 ) .

The spin coefficients p and 0 express also the expansion, shear an twist

of the congruence of null geodesies generated by the vector field t.

The leading behavior of the curvature components is given by

07

d è° ^22 = + 0(T 2 )

r d>,, = + 0(r-')

where the y 's are the components of the Weyl tensor, and A and the 4>'s arethe components of the Ricci tensor.

One often deals with the case of Einstein vacuum field equation, that isthe case of zero Ricci tensor. The behavior of the Weyl tensor in this caseis usually called peeling behavior.

In analogy with the case of Maxwell field in Minkowski spacetime oneassociates the component y 4 to the notion of radiation. So y = 0 meansabsence of radiation. In fact, neglecting divergent asymptotic behavior ofthe Weyl tensor one can actually prove that V4 = 0 implies that all theother components are constant in time. This reinforce the interpretation ofy as the gravitational radiation content of the spacetime.

It is also observed that y } refer to radiation content, since when thereis no radiation y } = 0.

We will later refer to the physical meaning usually attached to thecomponents y2> y ( and yo .

3 ASYMPTOTIC SYMMETRIES

3.1 THE BMS GROUP

The asymptotic structure of an asymptotically flat spacetime singles out

a preferred set of coordinate systems and tetrads at null infinity. This is

analogous to the case of Minkowski space in which the metric gives preference

to the orthogonal Cartesian coordinates along with their associated tetrads.

A set of coordinates at future null infinity are said to be of Bondi

type if the restriction of the conformai metric to the boundary of the

spacetime is given by the metric of the unit sphere; that is:

gl3* d + CC)2

where we have used stereographic coordinates.

Transformations among these coordinates system form a group; the so

called BMS" group.

The following is a representation of the Lie algebra of the BMS group in

terms of the generators acting on 3*:

(1+50

B .

R = R* B = I 7

where Y^ are the spherical harmonics, and i as usual is any non-negative

integer, while |m| £ i. In Minkowski space one can chose the Bondi frame so

that the generators Rjf R* and R' coincide with the Killing rotations, the

generators B^ B* and B coincide witl» the boosts symmetries, and the

generators pf m with i^ á I coincide with the generator of translations. The

rest of the infinite family of generators p( m with >2 > 1 do not have a

Minkowskian analog and are associated to the notion of the so called

supertranslations.

The appearance of the supertranslations constitutes the main difference

09

' - » . li—

between the asymptotic symmetries of an isolated system and the symmetries of

Minkowski space; and because of this it is difficult in general to extend the

physical concepts of flat space to the boundary t* of an asymptotically flat

spacetime.

3J PHYSICAL QUANTITIES AT FUTURE NULL INFINITY

One of the main reasons for introducing the notion of isolated systems

is that one would like to have access to physical concepts, like total

momentum or total angular momentum of the system, in order to simplify the

description of the system.

Therefore having defined the notion of asymptotically flat spacetime. we

would like now to know what is the appropriate notion of total momentum at

null infinity.

Let us recall that in flat spacetime the total momentum is given as an

integral over a spacelike hypersurface, where the integrand contains the

translational Killing vectors as argument We also know that this integral is

equivalent to an integral on the boundary of the hypersurface, that is on a

2-dimensional surface.

To each generator of Bondi transformations one can associate an integral

on a section of 9*. Following the approach of Geroch and Winicour7, as

described by Walker*, we define de components of the supermomentum with

respect to a section u=constant of sen, by the equation

P (u) s - _ L f Y tf + o* õ° • tit) dS2 .191 VST K * 2 °

Only the P with i <, 1 have an invariant meaning since only the four genera-

tor of translation generate an invariant subgroup of the BMS group. It is

because of this reason that the Bondi momentum, defined by:

(Pw. ± </„ - /,,). - ± (Pu + r»)A P10)

is a physically meaningful object.

The Bondi mass is given by P- from which it can be seen that when we

take a frame for which the spacelike components of the Bondi momentum are

zero, the Bondi mass gives the total energy content of the spacetime.

The fuel that translations form a normal subgroup of the BMS group,

permits to relate the Uondi momentum defined on two different sections of

10

sen. In fact one can express a flux law.

Since there is no Foincaré subgroup of the BMS group, it is not simple

to extend the definition of total angular momentum to asymptotically flat

spaceu'mes. In fact, there are several inequivalent definitions of angular

momentum it null infinity. The usual problem with these definitions is that

they depend too much on the section in which they are calculated; and so it

is very difficult to relate the corresponding angular momentum values which

belong to two different cuts. A further difficulty in standard approaches is

the supertranslation ambiguity, since even if one had succeeded in relating a

definition for two different cuts, one is still left with the supertransla-

tion gauge freedom. The only definition of angular momentum which is free of

supertranslation ambiguities is the one introduced in reference [9]. In order

to get rid of the supertranslation gauge dependence, a unique Bondi system

was defined by imposing some conditions in the limit of the retarded time u

going to -«o. This kind of construction has advantages9 and disadvantages. One

natural criticism is that we think of an astrophysical observer as residing

at future null infinity, which we assume has complete information on the

local properties of the spacettme. This observer, using the local informa-

tion, should be able to make a physical description of the system. If we were

forced to define a Universal center of mass system by using the properties of

the spacetime at the retarded time u * -—, then, this would imply going

against the idea of local information description.

Since the definition of angular momentum at future null infinity is a

difficult task, one can imagine that the definition of multipole moments will

be even worse. As usual the difficulty has to do with the supertranslation

problem, since one does not know in general what to ào with it. In 2* Janis

and Newman10 have argued on a interpretation of data at null infinity and

multipole moment structure of the sources. In relation to this, a personal

interpretation is that: the leading behavior of y 2 is associated with the

monopole structure which in turn has to do with the mass aspect of the sour-

ces, the leading behavior of y, is associated with the dipole structure which

in turn has to do with the angular momentum aspect of the sources, and the

leading behavior of yQ is associated with the higher multipole structure

which in first order would describe the quadrupole aspect of the sources. For

the cases of static and stationary spacetimes Geroch" and Hansen12 have

introduced a definition of multipole moments; however their construction is

done at spacelike infinity. In other words, there is still lacking a systema-

11

tic study of multipolc moments at future null infinity.

4. SUPERCENTER OF MASS SYSTEM

4.1 "NICE" SECTIONS OF FUTURE NULL INFINITY

The fact that the group of symmetries of null infinity, of an

asymptotically flat spacetime, is not the Poincaré group but the infinite

dimensional BMS group, has been a difficulty in the physical understanding of

the geometric asymptotic fields.

Over the years a number of trials have been made in order to restrict

this infinite dimensional freedom to a more convenient one. Some of these

efforts included conditions of a global character, as has been mentioned, in

which a unique Bondi system was singled out by imposing conditions in the

limit for the retarded time u going to -K», or -«>.

Let us recall that in Minkowski space, every point singles out a Lorentz

group, which leaves that point intact (those are the Lorentz rotations around

that point). Analogously, in a general future asymptotically flat spacetimc,

any section S of f singles out a set of fix generators of the BMS group that

leave S intact For a general space, S will not be the intersection of the

future null cone of a point with 9*.

Is there any invariant way we can fix a family of sections at future

null infinity?

We present here a choice of retarded time which is local in character,

in contrast to the previous ones, and which has a dear geometrical meaning.

We define" a section S to be nice if the G-W supermomentum P satis-

fies

P_ = 0 for i * 0 . (4.1)Ml

Let us study next this definition in the simple case of a stationary

isolated system.

4.2 THE CASE OF STATIONARY ASYMPTOTICALLY FLAT SPACETIMES

When there is no radiation content in the spacetime, we can prove13 that

it is possible to find a section 5 that satisfies

P, (S) - 0 for i * 0 ;

which is our condition of nice section.

If we now make a translation from 5, we will still get a nice section.

In other words, there is a 4-paramctcr family of nice sections in stationary

isolated systems.

In order to determine a unique set of sections, we select a family of

them that follows the system, as we now explain. Using the construction of

reference |9), we can define an asymptotic section for the retarded time

u —. -«o, by the requirement that the angular momentum coincides with the

intrinsic angular momentum. Then, if we allow only for translations that are

parallel to the Bondi momentum, we will get a unique set of sections on 3+

which, in this particular case, agrees with the set of sections given by

u = constant of the Center of Mass Bondi system9.

The question arises: can we carry out this construction in the presence

of radiation?

4.3 THE CASE OF "NICE" SECTIONS IN RADIATINGISOLATED SYSTEMS

It was pointed out in ref. [9] that in any asymptotically flat spacetime

admitting the notion of angular momentum, one could single out a Center of

Mass Bondi system, which in particular contains an asymptotic sphere in the

limit u-»-«° which satisfy the property of nice spheres. As was mentioned in

the previous section, when there is no radiation content, we can obtain a

unique set of nice sections by performing timelike translations which are

parallel to the Bondi momentum. Since we know that physically reasonable

astronomical systems will radiate gravitational energy very slowly, we expect

to be able to find a consecutive section from the original one, which will

still be nice even in the general radiating case.

More concretely in ref.(13) it was shown that if the time derivative of

is less than one; that is

V < 1 ;

then given an initial nice section S, there exists a local family of nice

sections around S.

At this point two questions remain open: a) is the condition \f < 1

physically reasonable?, and b) can we find an original nice section S in a

non-trivial radiating spacetime?

13

Question a) was answered in ref.(13]. It turns out to be a reasonable

condition; since even studies on systems including collapsing black holes

have

V < 10* .

In the next subsection we refer to question b).

4.4 RESULTS ON "NICE1* SECTIONS IN THEROBINSON-TRAUTMAN METRICS

A very important example of radiative spacetimes is the one of Robinson-

Trautman metrics14 (R-T). These are spacetimes which are solutions of the

vacuum Einstein equation, and which contain a congruence of null geodesies,

with vanishing shear and twist, but diverging.

We will specialize our study to those (R-T) spacetimes whose null con-

gruence reaches future null infinity and has no angular singularities.

From the assumption that the twist is zero, it can be deduced that the

congruence is hypcrsurfacc-orthogonal; that is, by hypothesis, there exists a

family of null hypersurfaces which contain shear-free null geodesies. This

fact allows us to introduce a coordinate system as follows. Let u be a para-

meter which labels these null hypersurfaces with u=const We can associate an

affine parameter r for the null geodesies of the congruence.

To complete the coordinate system we introduce a pair of complex

stercographic coordinates Ç and Ç for the 2-surfaces S defined by

u=const., r=const, which are topologically 2-spheres. The pair (Ç.Q labels

the geodesies in the hypersurface u=const

With this choice of coordinates, the Robinson-Trautman line element

takes the form:

2 ( ^"h 2 r2

ds2 « 1-2 H r + K + 2 -L-) du2 + 2 du dr - -I— dÇ dÇ ;

where P is a function of u, Ç and Ç, and the functions H and K arc related to

P through:

K « A inP

where (•) stands for d/du, and A is the 2-dimensional Laplacian for the 2-

surfaces S with line elementu,»

14

p2

The fnnction *F° is the coefficient of the leading term in an expansion in

powers of (1/r) of *P, which represents a component of the Weyl tensor in the

spin coefficient formalism.

The vacuum condition becomes an equation for P as follows.

which is called the Robinson-Trautman equation.

An immediate solution to this equation is V = constant, which when V = 1

characterizes the Schwarzschild metric. In several works1116'17'1* it has

been indicated that the R-T metrics of the spherical type tend asymptotically

to the Schwarzschild form. More concretely, in ref.(16] it was established

that the Schwarzschild solution is asymptotically stable in the Lyapunov

sense.

This means that when the retarded time u tends to — the R-T spaces cease

to radiate, since they tend to the Schwarzschild spacetimc which is static.

Then this suggests that probably in this asymptotic regime, one can find nice

sections (which we know exists in stationary spacetimes).

In fact in the Appendix it is proved that in the R-T spaces one can find

nice sections in the asymptotic region of 3+ for u »<•».

In this way we answer question b) of section 43, on the existence of

nice section for non-trivial radiating spacetimes.

5 FINAL COMMENTS

Whether one is interested in asymptotically flat spacetimes because one

wants to tackle problems of celestial relativistic mechanics, or the quanti-

zation of the gravitational degrees of freedom, one is always faced with the

gauge problem at null infinity. We have here presented, by a clear geometric

and physical construction, a way of fixing this gauge problem.

ACKNOWLEDGMENT

The calculations described in the Appendix were done in collaboration

with Simona Frittelli.

15

- - • - • - • - - * - - - > - - - - • - ' - - - a , - -

APPENDIX

The Robinson-Tnuitman equation

can be simplified by noting that the function Y? can be made constant by

redefining u without involving other coordinates; more concretely, by a

transformation of the form u* = f(u).

It is convenient to make use of the GHP notation3, where the differen-

tial operators edth and eddi bar are defined; and which in our case, for a

function / of spin weight s, become

and

respectively. Furthermore, we define the function V(u,Ç,Ç) and Pfl by

*o Tand

With this conventions, the Robinson-Trautman equation can be put in the

following form:

- H V = V4 aVv - V3 ^V ?V , (I)

where

M m -3 H* > 0

and í and ff are defined with respect to the unit sphere; that is

*Originally * c tdtf» afttmoi if * M M by S. «bidi hoMvn wr « t (owf 10

• K lo itpifKM lhe «Mt oprmof for fee m * tphcic. «met « wiU

frequently. For lh» f»»»on wt hoc denote Ac ofifiMl e*h operator by Sf.

16

and

The natural coordinate system adapted to the R-T family of spacetimes,which we have already used in the last section to express the line element ofthe Robinson-Trautman metrics, does not coincide with a Bondi system;instead, it belongs to a more gener?! class of coordinate systems that wecould call NU (Newman-Unti) type.

The induced conformai metric on scri in terms of a NU system will be

ds2 - - 2dudfjr - —LP -

where one has taken 6) * 1/r and P = P(u,Ç.Q is smooth and positive. Among NUcoordinates there exists the freedom in the choice of the coordinate u atfuture null infinity, given by

where one should also change accordingly the conformai factor ft = r'1 and theradial affme coordinate r by

r* - Ú 1 r

and

£1* = Ò SI ,

for some smooth function G such that G is also smooth and positive. In thisway one obtains another coordinate system (u ,r ,£,£) in a neighborhood offuture null infinity which is also of the NU type; for which

P* = G'1 P .

A Bondi coordinate system can be characterized in these terms by thosewhich have the property that

p , - d + CO

17

It follows that a coordinate system (u,r,Ç,Ç). adapted to theRobinson-Trautman metrics, is related to a Bondi coordinate system(uB,rB,ÇB,ÇB) by a transformation for which

6 = V .

More explicitly the relating transformation has the asymptotic form

uB =uo

rB = V 1 r +

where uB(Ç,Ç) is an arbitrary smooth function. Note that uB and u have thesame origin, that is they define the same section u = uB = 0, if one choosesuJ(U) « 0 and u0 = 0.

In ref. [19] it was shown that in the asymptotic future one canexpressed the function V by

-Km<I

where the 6's have the following asymptotic behavior

8Im(u) = e x p ^ " "' ^ ( u ) ,

in which the q lm are polynomials of order s, with s < n.II

Therefore one can write the transformation from RT coordinates to Bondicoordinates in terms of this expansion

uB - P1

Ju

= u ' uo

18

and carrying out the integration, one obtains

uB= u - u + fy exp ^ plm(u)|Y,

(4..;

where again pjm(u) is a polynomial of degree s < n.

It is observed in the last expression that the departure of the RT coor-

dinate system from a Bondi coordinate system is given in terms of an asympto-

tic expansion of the form

where the Elm(u) have similar behavior as the 5lm(u); in particular they areII R

governed by the exponential exp(-6nu/n). We can then cany out a sum, up to

certain order n=N to make an approximation of this expression with error of

order N+l. All the discussion on the asymptotic behavior of the 6n of ref.

[19] are applicable to this expansion also.

The first order calculation

Let us assume that the section uB = 0 coming from the above

transformation does not coincide with a nice section; then we can try to

reach one of them by a further Bondi transformation

SB » K (uB - Y)

rB - a £ B * kc Ç B + d

Then the supermomentum in the new section uB = 0, with respect to the new

Bondi system, is given by

19

where we are using the definition

in order to simplify the expression.If we set uB = 0, then the section uB = 0 coincide with the sectiono

u = u of the original RT coordinate system. Then, since the RT metrics tendsin the asymptotic future to the Schwarzschild space, for which the sectionsu = constant are nice, we expect that if we take u very big the sectionuB = 0 will be very close to a nice section. More concretely we expect y tobe small, in some appropriate measure, and K to be almost the identity.

We can also express the supermomentum in the new section 5 with respectto the original Bondi system, giving

" fJ

where the matrix Kta is the transformation matrix of the generators ofsupertranslations, that is

and where the generators are given by

W •

The quantity *PB can be expressed by

fU " t B </(uBl) + f

where M*B is the limit of S*B for uB - » «> and • denotes now ô/auB.Calculating ¥ in terms of the Bondi quantities, it is obtained

and Ó8 can in turn be expressed in terms of the function V characterizing theRT metrics as follows

20

= v1

- d - 6, + ...) (afa, + ^52 + ...)

Therefore the first order of the asymptotic behavior of c 8 is given by

,-6 *

o8 = / T AJ" exp1»» "J .jYjC.0 + O(n=2) ;

where the A2™ are constants determining the space; and so the first order of

the asymptotic expansion of *r*B is

* B = 3 cxpV^ J I , A2" A2"1 Y X ' + -•

for 0 £ L á 4 y -L á M á L. The coefficients B^1 are given by:

B^1 - 5 [4n(2I+l)](1/2) Z (-If* AJ1" A2<-m) <22mm'|LM>

where the sum is over all values of -2 < m and m' < 2 such that m + m' = M.

Explicit calculation of B'm and B*01 show that they are zero.

Working up to second order in the calculation of the supermomentum, we

can replace duB by du, since they differ by first order terms. In fact one

has the relation

duB = ( l + [ 5 > ) YJÇ.Õ)) du .

Let us define the quantity

ü) = exp ^ °

21

and assume that the function y is 0(0)); then we can express ¥ B evaluated at

the new section by

-12

^ ^ U) du 3 B j - Y^ + ...

-12r " [i 12r] [$ B;- YJ •...

( "J [4. Bj- vj

Let us define

12-12

T " [-5-and let us express Y by

T-T. + T, .

where Y( contains only spherical harmonics with 1 = 0, 1 and y is expressed

in terms of spherical harmonics with 1 2 2. Then if y satisfies

one has

where C is a constant term of order <o2.

Therefore, for 1 * 0 the expression

I . 11FVvanishes up to order co3.

A Lorentz transformation of order w3 induces a transformation of the

22

formK = 1 + O((o}) ;

which does not alter the present result

We conclude then that it is possible to determine a nice section in

order 0(a>2) by finding y from the above condition and choosing some y

(which should be C(<o)).

It is important to note that in this order of approximation y is

independent fonr the proper translation part y. This is so because an O((o)

y induces variation in y of 0(0)).

REFERENCES

[I) B. G. Schmidt in: Isolated gravitating systems in general relativity,

Ed. J. Ehlers, North-Holland Pu. Co., (1979).

[2] O. M. Moreschi, Class. Quantum Grav., 5, 1063, (1987).

[3] R. Geroch, A. Held and R. Penrosc, J.Math.Phys., 14, 874, (1973).

[4] O. M. Moreschi, S.I.S.S.A. report 37/86/A.

[5] H. Bondi, M.G.H van der Burg and A.W.K. Metzner, Proc,R.,Soc.,A

269,21,(1962).

(6] R.K. Sachs, Proc.,R..Soc., A 270, 103, (1962).

[7] R. Geroch and J. Winicour, J.Math.Phys.,22,803,(1981).

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19] 0. M. Moreschi, Class. Quantum Grav, 3, 503, (1986).

[10] A.I. Janis and E.T. Newman, J.Math.Phys.,6,902,(1965).

[II] R. Geroch, J.Math.Phys., 11,2580,(1970).

[12] R.O. Hansen, J.Math.Phys.,15,46,(1974).

[13] O. M. Moreschi, Class, Quantum Grav., 5, 423, (1988).

[14] I. Robinson and A. Trautman, Proc.R.Soc.Lond., 265A, 463, (1962).

[15] J. Foster and E.T. Newman, J.Math.Phys., 8, 189, (1967).

[16] B. Lukacs, Z. Pcrjcs, J. Porter and A. Sebestyen, Gen.Rel.Grav., 16,

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[17] B.G. Schmidt, Gen. Rel. Grav., 20, 65, (1988).

[18] A.D. Rendail, Class.Quantum Grav., 5, 1339, (1988).

[19] S. Frittclli and O.M. Moreschi, Study of the Robinson-Trautman metric in

the asymptotic future, to appear in Gen. Rel. Grav.

23

FINITENESS IN GAIK3E FIELD THEORIES

S. P. Sorella

Universidade Católica de Prtrójiolis

l . C . E . N .

Rua Darão do Amazonas, 124. 25685

Petrópolis RJ . - Brasil

Abstract

Fínitenrss properties of gauge tield theories are discussed hy means of a

functional differential equation which hold» in the Landau-gauge and which allows to

estahiiish the non-renormalization of the ghost field c and of the composit operator (frr3).

( Talk given at "XII Encontro Nacional Física i\r Partículas e Campos". Caxamhu (MG),

Brasil. 18 22 September 1991 )

1. Introduction

It is known since many years, mainly through direct insertion of Fryuman graplis

[1], that the Landau-gauge [2,3] exihihits remarkable muteness properties.

Recently |4j, a general renormalization scheiiv indepfiidwit proof of these miiteness ,

properties has been done by means of a functional differential equation which holds to • -!.'

all orders of perturbation theory. •*

This equation, which represents the integrated equation of motion of the ghost field, can '• . -

lie imposed ( among the class of linear irnormaJtzablr covariant gauges ) only in the t ,

Landau-gauge and turns out to Ix- very powerful for studying the quantum properties of

a large class of models as. for instance, the Yang-Mills theories and the recently proposed ' ,-.

topological field theories in three and four space-time dimensions [4.5]. ] •

In these notes, which are close related to a work [4] done in collaboration with A. Blasi and

0. Piguet, I will limit myself to discuss in details the example of the non-abclian gauge

theories in four space-time dimensions.

We will see that, thanks to the ghost-equation, the model turns out to lie described only • .'> ...

by two independent parameters which can be associated with the renormalization of the ' .

gauge coupling constant and of the gauge field-amplitude: in other words the ghost field c

is not renormalized. !

A second important consequence of the ghost-equation is related to the proof of the

finiteness of the gauge-invariant composit operator (/re3), whose importance is due to its

relation with the U(l) axial anomaly [1]. Indeed, na it is well known ( sec for instance [6] ), ! ;

the anomalies in a gauge theory ran be rliaracterized by means of a sot of descent equations '

whose solutions are given by gauge invariant polynomials in the ghost-fields. It is not

strange, then, that thp finiteness of (/rr1) plays <i crucial role for the non-rcnormalization '.

theorem of the Ufl) axial anomaly.

25

The work is organized as follows: in section 2. we establish the classical ghost-equation

and the non-linear algebraic constraints which will 1«> tin* starting ]*>int for the quantum

analysts. In section 3. we discuss the quantum extension of the ghost-equation and we

show the nou-renormalization of the ghost-field r. Finally, in section 4. we present the

proof of the finiteness of the composite operator (Ire*).

2. The ghost-equation

Let us start with a purely mnssless gauge theory quantized in the Landau-gauge:

where b, c.c arc resi>ei'tively the Lagrangian multiplier, the ghost, the antighost and

(2.i)

is the rovariaiit derivative with /"'"" the structure constant of a coni]>act semisimple gauge

group G. The artion (2.1) is invariant under the nilpontent BRS transformations |7):

sc. =

se" - b" , «*• = O(2.2)

To write down the Slavnw identity corresponding to the w-invariancr we couple (7) the

non-linear transformations of (2.2) to external sources ft, L:

S. (2.3)

26

r.= s -•• .s\ (2.4)

obeys» to the classical Slavnov identity

(2.5)

Let us introduce, foi further use. the lincfuiyed uil]>otcnt n|ici'titoi Bz

(2.6)

PvPv •- 0

The dimension» mid the ghost muulwrs of the fields «nd the sources are { see table 1 ):

«lim

•»r

A10

b20

<•01

T'2

-1

ÍÍ

3- 1

L4

_2fablr I. l>iniKii*innn itiid Ghovi

The Landau-gauge, heiiig linear in the Lagrungian-inultipliei. allows us to inijtose [8] the

equation of motion of the //field:

(2.7)

Commuting (2.7) with the Slavnov iitentiiy 12.5) *vm* obtains the usual roustiaint [8|:

Ç"i.r\T -T h 1" *

r?"(r) Mi"

which is n o t h i n g but the «juafioi» o! iiiotiuii foi thi- iinti^lntst field r(.r).

Tl ir actjon 12.4) i* idrti» iiiv<iri;uil ntnl lipid ifjuiu*' tt'iiiisfoniiatioiis:

(2.8)

H" v D (2.9)

27

where

(2-10)

V? - A,,,r,c,l,,L.U

i. e.. all the fields belong to the adjoint representation of the gauge group Ç.

Let us l«H>k now at the equation of motion of tin- ghost field c:

or-V 4 (2.11)

Integrating on spare-tiine and using the gauge condition (2.7) we get the ghost functional

equation:

•^ A"

where

and

E = A (2.12)

" J \*t* (2.13)

fttbt ( i l ^ - l V ) (2.14)

The ghost-equation (2.12) is peculiar of the Lnndnu gauge and, as we will see in the next

sections, imposes strong constraint» on the structure of the Slavnov-invariant rounterterins.

The breaking A*, being linear in the quantum fields A,, and r is a classical breaking and

allow» us to try the quantum extension of the ghost-equation.

The Slavnov identity (2.5), the gauge condition (2.7) and the ghost-cquntion (2.12) form

a nonlinear algebro who*e relevant part takes the form:

29

= ~fmlr9 (2.15)

where 7 is a generic functional with even ghost number. It is interesting to note that the

rigid gauge invariant* is a consequence of thr Slavnov identity and of thr ghost-equation.

3. Stability and Renormaltzation

To promote the previous classical equations to the quantum level, let us begin by showing

that the ghost-equation (2.12) holds to all orders of perturbation theory. Thr proof in

based by assuming the existence of a quantum vrrtex functional

which oljcys:

t) the Slaviiov identity |7j:

r - E - f iwfc) (3.1)

Pi D = 0

29

(3.2)

n) thr gnugrcondttiiHi (2.7) {8]:

(3 3)

m) tlit* rÍRÍ<l gauge invariance [Sj:

- o (3.4)

Let us writ*1, now. a brokm ghost-equation:

:*" + =" (3.5)

wliere H" represents the breaking induced by the radiativo correction». According to the

Quantum Ai tW>;i Principle [9] the lowest-order nonvanishing contribution to the breaking -

of order h at least - is a local integrated field functional of dimensions 4 and ghost number

- 1 .

The most general expression for E" reacts:

H" = / (3.6)

where «»•*•", r-*r, <r"*r, A"**',(*** are arbitrary cudficieuts. From the no» linear algebra

(2.15) it follows that the breaking E" must satisfy the coimsUiiry condition*;

t3 f ?B _ . n

)E» = 0 (3.7)

30

u>abe = TB*C — <Tn'' — \al>rd _ f abr _ Q (3.8)

Equation (3.8) proves the ghost-equation (2.12) at the order considered, heiire to all orders

\vy induction.

For whnt concerns the stability (4), let us pert nil) the classical action E by an integrated

local functional T. of dimensions 4 and zero ghost number and let us iin]>ose that the

pertur1»ed actum

(3.9)

satisfies, to the order t, the same equations of £, i. e.:

To the first order in < one gets:

Í?B(T)S = 0

(3.10)

(3.11)

(3.12)

(3.13)

(3.14)

The con<íitioiis (3.12) and (3.13) imply that E is '•-independent and that the field r and

the source i f enter only through the combination

(3.15)

31

i. e.:

\From the condition (3.11) one has:

g = ~ ^ /"*'' ( V " ) f tf£ jfs [-Uy + Cn-M;) (3.16)

when*

t = S - I tf* r [VOA") (3.17)

and

tt _ Í u ( àt b fit b bt 6 ét b \_ Í u ( àt b fit b

is the restriction of the Uucarized operator 5v to fr-iudependent fuitctionals ottcying to

equation (2.8).

As it is well known [8]. the expression (3.1C) shows that, thr most general local solution

of the Sliivnov identity (2.5) compatible with th«- gnttgo condition (2.7) contains three.

arbitrary parameter» C#«Cr.C/i which, in thr parameterization of the cla^isital action (2.4),

ran 1M» identified with H renonnali/ation of tht> roit]>ling constant g ( given by £v ), a

renormalization of the gauge field .4 ( given by (4 ) and a renorinalization of the ghost

field r ( given by (f ).

Finally, from the ghost roii'lition (3.14). it follows that

C = 0 (3.19)

which mean» that the ghost field r in nor tf

32

ToKttnly the BRS invariant compositfojw'iatoi (fir3) we couple it to HII invariant external

field p of dimension 4 «ml ghost uumlxr - 3 , i. e. we add to the classical equation (2.4)

the term

(4.Í)

It is not difficult to sec that the action

Sp — S + 5, +

satisfies:

i) the Slavnov identity

J = 0

it) the gauge-condition

(4.2)

(4.3)

iii) the modified ghost-equation

(4.4)

= A" (4.5)

The possible invariant countertonns allowed by the Slavnw identity (4.3) and by the

gauge-condition (4.4) an* the sanir as bofori' ( HOC rxpr. (3.16) ) with in addition one local

roiinterterin of the form

(4.6)

where o is an arbitrary pnntmrtei. llov.twi. pre^ervsiliou of the modified ghost-equation

(4 5) implies that

This weans tljal the

fit-ldfirr'lisfiniU.

o =- O

field /> is not ii

(4.7)

I or, in other words, the ronij>osite

Ackuowledgeinents

I would like Ui thank tin- organizers of the conference for the invitation and the Fajxrj

of Rio de Janeiro for financial support.

I Hin editorially grateful to my friends and colleagues Eliane. Fernando, Jorge, José and

Renato wifh whom 1 lmvr had the pleasure of sharing the 1>eautiful and stimulating

atmosphere of the "Casina" of Potmpolis.

34

REFERENCES

[11 C. Lucdiesi, O. Piguet and K. Sihold, Int. J. Mod. Phys. A2 (1987) 385;

|2) T. E. Clark, Nuel. Phys. B 90 (1975) 484;

|3] C. Becchi, "The renormalization of gauge theories",

in Proc. Les Houches Summer School 1983, ed. B. S. Dewitt and R. Stora.

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[4] A. Blast, 0 Piguet, S. P. Sorella, Nucl. Phys. B 356 (1991), 154;

[5] N. Maggiore and S. P. Sorella, Tiniteness of the Topological Models in the Landau

Gauge", Preprint LAPP - TH - 328,1991; , '

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T. E. Clark and J. H. Lowenstein, Nucl. Phys. B 113 (1976) 109.

. ! •

35

A PRESENT DA CONSTANTE OOSMOLÚGICA NA TEORIA DE BRAN5-DICKE E ASOLUÇÃO GERAL PARA O VAZIO.

C. Romero e A.forrosDepartamento de Física / UFPb

58059 J Pt rs a «*> BRASIL

I. Introdução.A teoria da gravltnçfto 'te Br:<ns-Dlcke. surgida e» 1961,

desfrutou de grande popularidade i»os anos sessenta, ocasião ea quefoi considerada uma séria alternativa A Relatividade Gera)tref.lj. Tendo coao principal característica a presença de uacaapo escalar f na lagrangiana de ação acoplado não-mlnina)mente Ageometria, a teoria de Brans-Ulcke pertence à classe das teoriasda gravltação C O B G variável fref.21, sendo G a constantegravltacional Newtonlana. f ib> ru tinia ctreçam de confirmaçãoexperimental, esta classe de teorias vem apresentando recentementegrande interesse teórico, especialmente ea conexão COM a questãocosaológlca.

As equações d» campa da teoria de Brans-Dicktc/constante cosmológlca provéa da lagrangiana total

onde H é u parftaetro adimensloiial. . ssr dtterainado a posteriorie La é a lagrangiana da matéria. Dados observaclonals impõem olimite inferior w>500 e se fizermos w — » • e f » const, asequações de campo se reduzem as et.ua -6t s te Einstein.

Em 1968^Dlcke fref.3] obteve uma solução cosmológlca, apartir desta teoria, que representava um modelo de universoespecialmente homogêneo e lsotrõplco. com seção espacialeuclidiana, e que evoluía a partir de uma singularidade inicial.Curiosamente, esta solução era a mesma que havia sido proposta ea1933 por Dlrac tref.4) através de argumentos heurísticos quepartiam da hipótese de G ser variável. A generalização do modelode Dlcke foi posteriormente obtida por Narlal (1968){ref.5l.

A Inclusão da constante cosmológica na teoria originaldeu origem a diversos trabalhos na literatura, em particular,citamos os de Uehara e Klm (1982), Lorenz-Petzold (1984), os quaisconsideraram um fluido perfeito como fonte da curvaturelrefs.6,7).

Por outro lado, soluções para o vazio de matéria foramobtidas por vários autores, destacando-se o trabalho de 0'Hanlone Tupper (1972) lref.8), os quais encontraram a solução geral parano caso de geometria do tipo Priedman-Robertson-Ualker coa k=o,demostrando também a não-existência de soluções para w <-3/2. Osresultados de 0'Hanlon e Tupper foram reobtidos num contexto beamais geral por Romero, Oliveira e Mello Neto (1989) [ref.9], osquais aplicando métodos da teoria de sistemas dinâmicos, tambémInvestigara* exaustivamente as propriedades de modelos lsotrópicoscom homogeneidade espacial e k=0 para fluido perfeito com equac&ode estado p » Ap na teoria de Brans-Dicke.

Em 1983,Cervero e Estévez propuseram uma teoria na qualo termo cosmológico aparece modificado comparando-se com ala/ranglana usual e encontraram soluções para o vazio de natérlaIrei.101.

Mantendo a lagraiiglana original da teoria de Brans-Dick»

Neste trabalho, aostraaos coso as propriedades destassoluções podes ser estudadas através dos chaaados dlagraaas defase definidos pelas equações de caapo. As expressões analíticasdas soluçQes estio contidas na ref. 11.

n.Jtepresentaçào d»s soJuçfies através dos dUgramas de fmse.Partindo-se ds Métrica ds2* dil- eV4)CVfvV Y ^ d V

isto é| tipo FRW cos k"0, as equações de caapo para o vazio deBateria e constante cosaolôglcm A na teoria de Brans-Dlcke sâodadas por;

Definindo f *na seguinte foraa: *

é . - 0% - Y -

'f/f , as equaçõesCL»)

aclaa podes ser postas

onde 8 * 3&/R descreveBrans-Dlcke o caapo escalar

a expansão do aodelo. Coso na teoria dear f é identificado a C , > • f/f é, na

variável associada a variação no teapo da constantegravitaclonal Neutoniana G. Estas equações conduzes aalgébrlca entre as vari&vels e e ft

espécie de

relação

vínculo do sisteaa dlnaalcoque funciona cosodefinido .por 2b e 2c.

Oto dlagraaas que se segues representa» as soluções dasequações de caapo expressas nas variáveis 0 e f. Podeaos, assiater uaa visão da evolução dos aodelos coa relação à variaçãodesses dois paraaetros, conforae o valor da constante 'deacoplaaento w.

0 8 ©

\

\

AB \V

j . <a

<*) No prwanUM M A<0 n r r t f . l l .

tratMilw A>0. Fará *

37

SV°N. c

W

breveaente alguns desses dlagraaas. Ea priselro Itexceção do caso ea que. -a/* * w » -*&, verlftcaaos ea todos

os dlagraaas a presença doa pontos de equilíbrio A e 9, os quaiscorrespondeaa a soluções (8,^)"(0O ,9» t

m const., descrevendo,portanto, aodelos eosaológicos do tipo de Sitter. Eases pontos deequilíbrio reallzaa uaa rotaçio no plano de fase 6f A aedlda que vvaria no intervalo (-•,«•) (ver figuras la-li). Quando v —t,veaos que A e B representas duas soluções estáticas (9*0),configuração que. corresponde a uaa geoaetria de Hintowakl, poréacoa a constante grayltacional C variando no teapo (crescendo nuacaso e decrescendo no outro). Nestes aodelos constataaos que adlnaalca de C é deterainada unlcaaente psla presença da constantecosaológlca A usa vez que nao exlstea caapos de aatéria e devidoao fato de a geoaetria ser estática. Estas considerações nos levaanaturalaente a indagar a respeito da existência de uaa reiaçiocosaJc* entre C e A, idéia que Já foi levantada ea contextosdiferentes (ver refs. 12 e 13, por exeaplo).

A conjectura foraulada por Dirac de que G deveriadecrescer ea nosso Universo A aedida que este expandisse pode serencontrada nos diagrams de fase coso uaa propriedade exibida poralguaas soluções desde que w a 0. Estas soluções sfto representadaspelo ponto A e pelas curvas que tendea a A coa é > 0..

Coa relação A existência ds singularidades, uaastaples inspeção dos dlagraaas nos aostra que nlo existes soluçõessingulares para v * -a/2. Por outro lado, quando w >-4/a as únicas

38

curvas que tendem a estes pontos. A e 8 correspondemexatamente ao modelo de de Sitter p/ o vazio na Relatividade Geralcom 6 • 1/4 • constants. As outras duas soluções, todavia, nãosatisfazem as equações de Einstein p/ o vazio cos constantecosmoI6glca, correspondendo , na verdade, a configurações daRelatividade Geral geradas por usa distribuição de matériaequivalente a us fluido perfeito com equação de estado p • p.

Referências1.Brans.C. and Dlcke.R.:1961.Phys.Rev.124.9252.W11.C: 1961, Theorj and Experiment In Gravitational Physics,Cambridge University Press,Cambridge.

3.Dicks,R.H:: 1888, Astrophys.J. 184,882.4.Htlnberg.S.: 1872, Gravitation and CosmoJofy, John Wiley andSons,Mew York. .8. Narlal, H.: 1968a, Prog. Theor. Phys. 40,48.B.Uenmra.K. and Kia.C.W.: 1962, Phys.ftev.D26,2575.7. Lorenz-Petzold,D.:1984,Phys.Rev.D28.2388. #8.0'Banlon,J. and Tupper.B.O.J. :1972,Nuovo Cimente,7,305.9.Romero.C. , Oliveira.H.P. and ds Mello Neto.J.T. :18B8,Astropnys.Space Sel.l9B,228.

10.Gerver6,J.M. and EBté*z,P.G.:1983.Gea.llel.Grav.lS,3Sl.11. Romero,C. and Barros.A.:1991,Astrophys. Space Scl. ( apublicado) .

12. Pol lock, M. D.: 1884, Phys. Lett. 148B. 287.13.Tosasek.F.:1985,Lett.Nuovo Cimento,44.241.

39

r

ON GRAVITATIONAL WAVES. VORTICES AND SIGMA-MODELS

Patrício S. Letelier

Departamento de Matemática Aplicada-IMECCUniversidade Estadual de Campinas

13081 Campinas, S.P., Brazil

We rind that the existence of either vortices or cosmic

strings solutions is not affected by the presence of gravitational

plane fronted waves and that curvature singularities appear due to

the interaction between the wave and either the string or the

vortex.

The metric associated to a finite number of parallel cosmic

strings and its generalization for a continuum of parallel cosmic

strings was found by the author without making reference to its

field theory origin. Since cosmic strings are produced by symmetry

breaking in early stages of the evolution of the Universe a

consistent way to define cosmic strings is to consider the

Einstein equations coupled to the Yang-Mills-Higgs field

equations. A solution to the previous equations that can be

interpreted as a finite number of parallel vortex lines or a

finite number of parallel cosmic strings was considered by Linet?

A similar solution was studied by Comtet and Gibbons4 together

with solutions to the Einstein equations coupled with «"-model type

of field theories. The existence of the above mentioned solutions,

as well as the multiple vortex solutions, relays on the fact that

40

in a particular curve spacetime, albeit sufficiently general to

contain the cosmic strings, the BogomoPnyi equations obtained in

the Bogomornyi limit are essentially the same equations that in

Miukowski spacetime3' .

The purpose of this communication is to study the Einstein

equations coupled with either an Abelian gauge field interacting

with a charged scalar field in presence of the usual symmetry

breaking potential or a nonlinear «r-model type of field equations

for the metric

dsz» Hdu2+2dudv + 2Adudx *2Bdudy - e~4V(dx2* dy2). Í1)

where II, A and B, are functions of u, x, and y; V is a function of

x, and y only. In particular, we shall be interested in the

solutions that can be interpreted as cosmic strings. In Refs. 3

and 4 the existence of cosmic strings solutions were studied for

the special case of a spacetime (1) with H=A-D-0. We shall

consider the case in which the functions A, B, and II are

restricted by

A - B - 0, A • B - 0, II + H *0 . (2),y . * . * .y t*« .yy

When V =0 the metric (1) with the restrictions (2) represents a

plane fronted wave with a constant wave vector k . The metric (I)

is a particular case of the general metric that admits a null

vector with zero covariant derivative.

The Einstein tensor for the metric (1) with the restrictions

(2) can be cast as

G --2e4V(V + V HI k + I k ). (3)

where k ^ H ^ +SW+BoJ. i^ôj. n y ^ V . and n^ e"2V

is and orthonormal vlerbein.

. The Lagrangeon Tor the U(l) gauge Held that we sliall

consider is the the covariant generalization or the

Giuigurg-Laudau model,

L»-(I/4)F*"'F v*{\/Z)id • -leA •)(ôJV+ieA<V) -A(|»|2- ij2)2. (4)

where F • d A - ^.A,; e ' *» an(' * are three coupling constants.

Assuming that A « (O.O.Aj), and that A.«(A ,A ), and •s#>l*i» are

functions of x= (x,y) only, we get

L — ( l / ^ j r ' V r y F ^ - iVZhfVDpDf- X(|*|2- i>2)2. Í5)

where jrIJ« e*V StJ, and D • • 8 a -ec A • , with c m-e •!, andI A t ft %D I D 12 21

When the coupling constant are related by eZ=8A and the fields by

Fu" e V'* |Z" ' ^ D J V V . / DA- (6)

where ii • e" c , the Lagrangean (5) is a total divergence and

in consequence the solutions of the first order equations (6)

(Bogomol'nyl equations) are solutions or the second order

Euler-Lagrange field equations derived from (5). Furthermore, by

direct substitution one can verify that T » 0. In this case we

can cast the EMT associated to (5) as*

with -L « l l / W V ' ^ d H t l 2 * Tj2tn|*|2). Defining the

orthonormal vectors 21 * « kM+ 1 V2zM« k*1- f, .we can put (7) in

42

the form or the EMT that represents a cloud or strings,

. (8)

with pa-L. When -LM>. p represents the density of the cloud. For

multiple vortex solutions p is a distribution with sup|>orl on

straight lines. From (3), and (7) we have that the Einstein

equations reduce to the Laplace equation and can be explicitly

integrated. Moreover, one can show for the field equations (6) the

existence of solutions Tor the boundary conditions that define one

or several vortices ' ' .

Now we shall consider a o-inodel with target metric on a

Kahler manifold. Let ^*(x) a map from S into a 2n-dimensional

kahler manifold M with metric C if) and complex structure /«•*),

A=l,2,....n,. The Lagrangean Tor this 2-dimensional model is

The quantity " is another coupling constant. When the fields are

related b d<f • J* if 8+C, tlie Lagrangean is a topologies!

invariant and in consequence the Euler-Lagrange equations

associated to (9) are identically satisfied. Again, one can show

by direct substitution1 that T «0. Thus, when the field are

holomorphic the EMT for the r-model (9) can be cast as (7), i.e.,

as a ctoud of cosmic strings.

Since in the interaction of cosmic strings with plane fronted

gravitational waves the spacetime can develop nontrivial curvature

singularities we have that in the cosmic string limit the vortex

43

and the holoinorfic «-model solutions will present tlie same

singular behavior, la other words we have proved that the

singularities studied in Ref.lO have a physical origin.

REFERENCES

1. P.S. Letelier, Class. Quantum Grav. 4, L75 (1967).

2. For a review see A. Vilenkin, Phys. Rep. 121, 263 (1985).

3. D. Liiiet, C«ni. Rel.Crav. 20. 451 (1968).

4. A. Cotntet and C.W. Gibbons. Nucl. Phys. B 299. 719 (1989).

5. E.B. Bogomol'nyl, Sov. Journ. Nucl. Phys. 24. 449 (1977).

6. W, Kundt. Z. Phys. 163, 77 (1961).

7. See for instance, P.S. Letelier Cen. Ret. Gr.v. l l , 367

(1979) aiiU references tliercin.

8. P.S. Letelier. Class. Quantum Grav. 8, U37-L140 (1991).

9. C.H. Taubes, Comro. Math. Phys. 72, 277 (1980).

10. PS. Letelier. Phys. Rev. Lett. 66. 263 (1991).

44

A Constante Cosmológica naCosmologia de Membranas

M. 1). Maia*Universidade de Brasilia, Departamento de Matemática

70.9J9 Brasília. DF., Brasil

Setembro de 1991

Abstract

O problema da constante cosraológica i exara iiiado cm uma gdr volume ratiiiroo. Nesta coamologia a constante c«twológica é i> quadradoda i urvatura extrúwca do «ptço-tempo.

O aparecimento da constante cotmiokígica em relatividade geral é uma iron*d» geometria riemauníana adotada para a descrição do enpaço-tetnpn e

da «tttrutura das equações de Einstein. De fato, o tensor mais geral, construídocoin a métrica o suas dorivadas até ordem 2 o satisfazendo a condição (T';J = 0 ói> t*>nH«>r t\e Kinstoin «-om a contitanU; A (já que g,ílk = D):

Islo resulta da integral (U' açá<»

o ícnno cm A é dinâmiro c assume o papel da densidade de energia <l<»váciK». A?) (tfliinativas atuais da astrofísica sugerem o valor A w Kr*7(íeVM en>nsiW|H(>)iteiii«i»ti» » (ermo em A p<x|e wr desprezado em congideraçòef» clásska*.1'or outro lh<l<i. M. levarmos em <outa a (ouria quántk*a de caiiifxw em <rspai;»>»lurvo». <mte ÚTIIIO de vácuo com uma constante de proporcionalidade An. »>freuniu <<imi;kttd\ resultante da.s duLua(;õe» quátitic as <lo caui|Mi, n.ttultainio em umvalor «letivo para a constante rosuiolópici

A € / / = A,, + M

45

Tomando i> exemplo do campo escalar obtem-BO |l] b\ fv IO74(?fV4. Assim, deve-se proceder urna regularizarão do campo de modo que A« compense o ò.\ paracomparar A*/; com o valor observado. Como isto deverá Her repelido a cadainteração e como o uuiverso se expande continuamente, o processo de regularizarãonuuca cessa, persistindo mesmo DOS dias atuais. Assim.o problema da constante«asníológira pode ser resumido como sendo uoi problema de "sintonia fina* <'inteoria de campo, relativamente ao valor observado de A [2j. A mera substituiçãodi> A por tuna função «scalar como sugerido em (3| e outros, não resolveria oproblema pois de qualquer forma teríamos uma constante A em (I), a menos quese altere a geometria de modo que gtj*£ 0.

Nesta uota, exploramos a possibilidade de que A possa ser interpretada comouni campo escalar de natureza geométrica (já que a mesma está no lado esquerdodas equações de Einstein), sem cootudo modificar a geometria riemanniana. I'araimplementar isto, considere o espaço-tempo como uma hipersnperficie c!e uniespaço plano D-dimensionaJ A/o. As coordenadas de imersão X* satisfazem aswj nações1

= 0, gAB = AfJjWJ;^- (2)

uade JV não vetores ortogonais ao espaço-tempo e gA& = ±1. AH coadiç/ws deintegrabilidade de (2) são a» equações de (Jauss-(?odazzi-Rirei para .subvariedades.Para as nossas considerações é suficiente tomar a equação de CZUHH

Ri}u=2gAliKtlkAKt]iB (3)

que relaciona a curvatura riemaaniaua com os coeficiente» da seguuda forma fuo-datiicutal K,jAí definidos |x>r

Por contração teusorial em (3) obteinoM

«., - Jfffti = A'*.4«T4 ~ HAK.,Â - | < * a - W) f t / (5)

onde denotamos as cuvaturaa extrisera e móàvà mtpectivameute |K»r

A'3 = 9AeiKm,AKmj = KmiAKnib e H> = f*H*Hit HA » j'Kt,Â.

iiml») agora que g,f satisfaz w equações de Einstein para 11m dado tensor deemvrjria- iiiomcniCo Ttí

U T.í-\9l, (6)

'()»ímilrnt latlfinn pe<)iii»iiim variam •!«« i & 4 e o» índiff» latino* maiiuruli» variam <ic 5 à I).cioí os iiijíre (irrjíDS viiriam de 1 à I),

4b

e comparando esta equação com com (5), resulta

K%mAK~* - UAKtf - i(A* - IP)*, = T,, - \gir (7)

Estas equações dizeot quo a segunda forma fundamental Kf|A deve ajustar-se coina fonte clada e a constante cosmológica. Note que (7) é uma equação algéhrica omKtiAx CUJO *raÇ° *

(A'a-//J)=4A-r (H)Tara determinar a geometria associada à constaote cosinológica, considere o caso«io vácuo Tit - 0,f obtendo de (8)

K,n,AK,"A - l^n, = -k% e K2 - /T = 4A (0)

Vemos que A esta associado á irurvatura extrinsec A'2 e a curvatura média IP, asquais tteveiu se ajustar âe forma a compeusar o pequeno valor observado âe A.

Uni caso particularmente interessante é aquele em que o espaço-tempo pos-sui volume míuinio(4|, ciracterísado por H = 0, de forma que o espaco-tempocomporta-so como uma membrana de 4 dimensões imersa em MD. Neste caso eobtemos de (9) A = A'2/4, permitindo descrever a constante cosmok>gica exclusi-vaiuente em termos da curvatura extriuseca K2. Ootoo esta curvaturas extrinsetanão é acessível ao observador riemanaiano clássico, interpretamos «ste resultadoaiiniiaudo que a adoção da geometria riemanuiana è correta ao nível clássico daUtoria. Por outro lado em teoria quãntíca, A comporta-se como um campo escalardevidamente inserido na geometria, o qual deve ser sintonizado.

References|l] 1. Klotianov, WormhiileJi & The Cosmological Constant Problem. Princelou

U. I'll IT-II53, Novembro (1989).

|2] S. WomlxTg, The Co»mologicat Constant Problem. V. Texas UTT(i-12-88.

|3j M ih>ít li. MO. Talra, Nitcl. Phys. B387, 777 (1987)

|4j Ml) MMAL W.t, Roque. PIIVH. U l . Vol. A139, 121 (1989)

47

TOPOLOGICAL EFFECTS DUE TO A COSMIC STRING •

V. B. Bezerra and 1. B. dos Santosl>|Mirtiuiieiil«> *le Ffcfca,

lliiiwrnidnde I'Vdernl ilii I'mttElm5Rtl.r>» Jim» IVMMMI, 1*1», llriwll.

deferia of i<jwurliine can be characterized by a s|>arelhiie metik with nullrurvntnrr tcnm«r everywhere cxrcpt on the defects, that Is, by conic type of curvature singu

Iniilie*. Hccenl nil em pin to marry tin; grand unified theories of particle iiliyaics with general lelnlivinMcmodel» of the enrly evolution «if the universe have predicted the existence of such topologicnl dcfrrUt. Our

of these topot'igicnl ticfrrtu are the ronmic Btringa1 which appear naturally > "KP tltroriffi with

(',>«...ir ntriiift nrc expected to be created during the phase transitions. Some may slifl exist and may««veil ln> iilmcrvnble; olhei* may liavt* collapsed long ngo, gel have nerved as Urn BMNIS of the galtixics1'7.

I he line element of the sparctinic described by an infinite, alralght and slalir cylitulriiHlly «yinmetrlc«•wiiiir Hiring7, lying nlotig (he i--i»xiw, h given by*

H»*~d?~Hp7-alp',!l*-d? (I)

in n rylindrirnl rdordinnii* «tyiitriH (t,p,tp,z) willt /• 2 U aiMl 0 < y a - I - 4/i. This metric describes the spacetime which is locally flat (for p £ 0 ) but has condikeBingiilnrily nl p ™ U with the angle deficit Sufi. Then, lhe spacetiine around an infinile ntrnijçht and staticronmii- nil iim is luLiilly llnl lint of «oumc not Rlohnlly flat, It dm n not differ from Minhownki «piw el linn I<M:HIIy,il. IIIMN dilfer Rlolmlly. IIion- in IN» Newloninu grnvilnlioiinl |M>lmiUal around lhe airing, Imwever we ImvnmiiiK- very iiiler<»*l ing grnvilul.iirtial rlfixüi nwociaUnl with the non-lrivlnl tofmlogy of the npiMi-Uke Hm:l.ioi«nriMiitil tlie riminic wiring. Among ihen* elferta, a cosmic string can nets as a gravitational lens1 and caninduce* a rcpiifoive forre on an electric charge at rest4. Others effects include pair production by a highenergy photon when it \n placed in the spitcelime niu....J a cosmic string* and a gravitational analogue* ofl.lie fieri roitiFiKHH.ir AliniMiiov-Roliin ellert7.

In this pnper we nlmly oornc cITecto of the global features of the spacettme of a straight cosmic string«*n <|nmi(iiin ^Hilii'leii To do lliin we uw tfie Klein-üonloti and Dirar eqiinUous in covariant forii».

del ii» coiinidrr n tvnlnr <|iiRiiünn pnrlirle imhedded in a clnssicnl borkground gravilntioiml lirlil. itslielinviiT w dmcrihrd by lhe covnrinnt Klein (Jonlon equation

^ I T Í V ) + > « > = « (2)

in is the mum of I lie pellicle ami A = c = 1 nulls are choaen.

The spnceiime correnpcniiliiig to a comiilr ittiing In time ludtrpeudeiit, mi the llnif dependence of the«live film lion Clint milves l''<<\(2) n*ny l»e wimrnlcd M e m' mui OIK* is led to a slationHry |ir<»ttlein «( fixer!energy I'!. M renver, rot.nliounl iuvnrinuce mill iuvnrinncc nknig the x axi* of the rnetrlr allow unlivt* if mui i tlejwiMciiee* In view of Iheiw we fhoiwe the solutions of Rq(2), ${t,p,<p, t) in the form

(.1)

* We wind lo »wkfKiwle«lne <'mim-llii» Nnrlomil «I» D'-ffiiVfrlvlini'iil.»» (JlfiMdiro c '|W-ii'»l«KÍ(vt (f 'Nl' ' | ) for

/ ? , / mnl A: are

In IIN> sparelinie rorrn>pondiiig to acosmic string, the Klein-Gonlon equation |Eq (2)| takes the form

hop{pdt) + [ B 1 - (*» + w,')]pJ - 1 1 fí{p) = o (4)

trlirrc wr haw imcrl the nnmUs given by Bq(3).

Equation (1) in n Henri difTrrciitinl equation with tlic gmiernl solution given by

(5)

where A1 = E 7 - (fc7 + m*), v -= f*/a, C ^ and ^ are normalization cotwlaiite, and J\v\{\p) and/V|,|(V) «re Bessel fimrtioiw of the first and second kind, respectively.

We assume that the scnlar quantum particle is restricted to move in a ti-gion bounded by the cylindricalPtirEnre* p = a and p = 6 , where 6 > a. The boundary conditions

/?(o) = /l(6) = 0 (fi)

dclcruiitie tlw energy levels of tltc particle. This condition yields the following equation for Die energyspectrum of the particle

./w(Aa)/Vw(Ao) - J,^(Air)ArM(Au) - 0 (7)

In order to obtain the spectrum explicity we will consider a situation in which \a » 1 and A6 » 1.Tlieii using Hankel's asymptotic expansion «hen v is fixed, we get

(8)

FVnm Px|.(8) we m*«« Mini the energy spectrum depends on (.he factor a (as well as the wave functicn)relative to the Miukowski case. Out the Bpacetime Is locally fiat; the Riemann curvature teiMor vanisheseverywhere outside the string. So, the fact that this spacetime is locally flat but not globally (it is conicalwith deficit angle 2%a) deforms the energy spectrum respect to or.

Now let us consider the Dirac equation in a curved spacctime, which is taken to be

B

wlu'tc V(x) nrc tlie generalized Dirac matricns an<l are giwn in terms of the staiiriard flat spacetimeV*' by the relation

i'(z) = «£,,(*) •/•» (10)

^ .(r) nre vicrbeine defined by the relations

£.<?. f/"M*) K ff>* (1|)

The product •//',, that appears in the Oirac equation can be written as*

where -j* = í - j C í y í r y O y MK] /\^ and /?(,) are given by

49

n !•.•».• '(,i)(i-)(-)(rf) fe* '•»•' •••MtiplHfly niilittyintwlrlr, foiirlli o n k r IMIH i.riinor, mid UM» annum dctiwtrn Ü/tlx/t

l*'iir I In* inH-rir rnrrm|x>iMliiig In n rnrnnlc airing we ahull use Uie following net »r viprln>iim:

(15)

«l,i,|i yH-l- DM- |V»>|-V(IHI » | w l l n i r limit (n = 1). lining Rq«.('?)(13) wnl (H) and the above ncl of

(IC)

ing lhe niisatz

Tin1 Ditm: «i|unti<Hii* I

y/WTm «,0») \\

\»'[-(^ + i;) + i ( '+ | ) ] -(B + m) / Vt^£-Hi «j/

'I'hff n»*iiiTnl milnlioim of lli<* nl)<>v«* rt|iinC!»Mifl nrr givni by

i « 1,2, A' «= /J» - in? and i/ = i t* - J, C{| wid CJJ' arc normalization cunalanls andi»(V) BIKI 'Vjct(i i)|('V') W f tVwwl fuiHlioim of Uie fimt mid wcmid kiixl, r«»(Tclively.

Now, 1**1 u» i<nit|Hili> llit* riirront. If </• In n innmlve Held, j " rmi be writtm m

fit**(VÜ)

50

(V x M)

w ( ^ ) t (21)

MKI

where the convective |*»rt« IUT derived from •^ftr^xi', tlie polarisation densities are given by

PM-2

and (22)

RIKI the components of M are given by

4and (23)

'Jlie vector M has the meaning of a magnetization current density If we regard to MI external electro-magnetic field.

Note tlie dependence of /", thonght the component fa, on the parameter a. Then, the currentdfflrrs from the Minkowskt spncethne cape by a term containing a dependence on a. So, the fact that the*|mc'0ine correnpondlng U» a cosmic string is locally flat but not globally I* also coded into tiie probabilitycurrent. 1'hcre is a physic»! «fleet on Ute current retative to Minkowski spaeetlme which comes out from thetopologlcal features of the «rmcalime surrounding a cosmic string.

1. Ya. Zeldovlrh, I Yti. Kotanrev ami I. B. Okiin, Zh. Rksp. Thcor. V\7.. 87, 3 (1974)(Sov. Tliys. JETP40, I (1075)1

2. A. Vilciikln, Thy*, n.'v. 121,203 (Í98R).1. J. n. CJotl (II, Abruptly*. -I. 3M, 472 (1985); W. A. fliscock, Phys. Rev. DM, 3288 (108ft); B. Mnet,

Of. IM. Ürav. 17,1109 (1085),4. D, Li.iet, Pliyi. Rev. DSS, 1833 (1086);B. Ping» D. liarari and Vladimir D. Skarxhhwky, Phys. l«tt. B240, 322 (1990).6. J. S. Dowkrr, Nuov» Contento. BS2,129 (1967); L. II. Ford and

J. Audretsdi and C. I^iiniiieraahl ) . Phys.AlA, 24R7 (19R3);aml V. B. B«erraJ. Math. Pliy». 30,2895 (1089).

7. Y. AIMHHIUV and )>. lluliiii, I'hys. Rev. 115, 485 (1950);8. (!. n . Olivfirn and A.'YUmtm, NIIMVO Clntnil» 24, (172 (1D02).

51

SOME COSIiOLOGICAL CONSEQUENCES OF A A-TERM

VARYING AS plf+aR^ift, ft and n constants)

J. A. S. Uma and J. M. F. Maia

Departamento de Física Teórica e Experimentai

59072 CP1641 Natal. RN - BRASIL

ABSTRACT - A phenomenologicai decay law for the cosmological A-term isproposed and its influence on the standard universe model is examined. As ageneral feature, singular and nonsingular solutions are present and the ageuniverse problem can be solved. It is also shown that kinematic expressionssuch as the luminosity distance and angular diameter versus red-shiftrelation are significantly modified.

1. INTRODUCTION

In the framework of the quantum field theories, the cosmological

A-term present in Einstein's equations can be interpreted as the vacuum

energy density. On the other hand, the cosmological estimatives of such a

term (A/811G s 10~*7GeV4) is smaller than the limits derived from gauge

theories by at least forty orders of magnitude. Such a puzzle is the

essence of the so-called cosmological constant problem1. "

Some physical mechanisms have been proposed to explain the current

small value of the cosmological constant. Recently, several authors have

argued that the vacuum energy density, coupled with the other fields, is a

time dependent quantity2'? In this way the A-term is small today because

the universe evolves. From a phenomenologicai point of view, the problem

reduces to determine the dependence of A on the scale factor R and its

first derivatives, taking into account the cosmological data.

In this article we examine some consequences of an effective A-term

varying as

A • 3pH2* 3oR"", (1)

where a, & and n are constants, R is the universal scale function, H*R/R is

the Hubble parameter with the factor 3 being introduced by mathematical

convenience.

2. THE MODELS

We start writing the Einstein's equations for the FRW line element

with a comoving perfect fluid plus a A-term as source of curvature (a dot

means time derivative)

52

8«Gp - A = - 2 | - 5 - Í (3)K RZ RZ

By considering the "y-Iaw" equation of state p=(y-l)p, and the A-term

defined in eq.(l), one obtains the following differential equation for the

scale factor

Rft • AR2+ ok - 2£f*. . o, (4)

the first integral of which is given by

R ** + 2A +2-n ~ Ã~ ' ( V 0 | " 2 " ' '

where

37(1-01-2 3j^2 | s a r ^} e p e n ( { e n t constant.

From eqs. (1M3) one obtains for p and p , the matter and vacuum

energy densities, the following expressions:

(7)

For a«0*O, the dynamic equation and the energy density of the standard

FRW models are recovered7. Universes with A constant can also be described

putting 0«n»O. Further, recent models with variable A are simple

particularizations of eqs. (4)-(7), namely: Ozer and Taha2^*0, a>lc*l and

n«2), Freese et al3 (a«k«0, p»p /p*p ), Gasperini4O»0, 9/5<n<2), Chen and

Wu* O«0, n«2)F Carvalho et al6 (n«2). It is easy to see that singular and

nonsingular solutions are present in our equations. If we put A<0 the

singularity can be avoided for generic choices of the constants ct,0 and n.

This happens, for instance, in the Ozer and Tana model. Such solutions are,

in fact, compatible with the weak and dominant energy conditions.

Conversely, taking A>0 singular solutions are obtained as in the Chen and

Wu model. It is worth mentioning that the several phenomenological laws

53

analysed by the mentioned authors are grounded in different arguments which

will not be critically discussed here. Formally, the behaviour assumed in

eq.(l) is the simplest generalization of the above considered particular

cases.

3. SOME PHYSICAL RESULTS

(i) Universe Age

Defining the present time quantities q « - RRVR2| and

H «R/R|tato one obtains from eqs.(4M5) the following expression

for the universe age

where x=R/R and the function f(x) is defined by

f(x) • 1 -

- ,r(n-2Hl-x3p'1 Ml-#)(l-x*"")

tn general, the above integral cannot be exactly solved in terms of

elementary functions. However, some interesting particular cases emerge

from eqs. (8) and (9). If n«2, the expression derived in ref. (7) is

recovered. Moreover, if n-2«l-30 then, to«2H^/(3-30) showing that ages

greater than H"1 can be obtained from eq.(8). The same result holds for n»2

and k-0 (see ref. (7)).

(ii) Matter Creation

For models with variable A the energy conservation law (T*U'> • 0)

takes the following form* *

P + 3 | ( p + p ) - - ^ j . (10)

Thus, if Á<0 energy is transfered from decaying vacuum to the material

component. In the present matter dominated phase, the matter creation rate

can be written as

where Q *p /p is the present value of the density parameter. For n»2,

this expression reduces to the case studied by Carvalho et ai6. The factor

3p H is exactly the creation rate of the steady state universe8.

observational data in order to put limits on the free parameters of the

model. Using the canonical procedure to compute the luminosity and diameter

angular distances9, analytical expressions are obtained in the following

cases:

a) k»0 and n-2«l-30

2H:1 , - * *(1-tt) (12)

b) n«2, k-O.±l

1-30-Z\ (sin"1^-sln"1^)!, (13)

where

»2

For both cases d «d (1+z) , so that the distance relations are

modified by the presence of the 0 parameter. As one should expect, if 0-»O

the results of the FRW universes are recovered.

4. CONCLUSION

We investigate some physical consequences of a decaying vacuum energy

density. It was implicitly assumed that the vacumm couples only with the

dominant component in each phase. Note also from eq. (5) that the

recollapse conditions are strongly modified. In fact, models with kX) may

expand forever regardless the value of the parameters & and n.

Alternatively, universes with k*0 may recollapse in a finite time interval.

Finally, we call atention that the Landau-Lifshits fluctuation theory was

applied by Pavón' to study the physical consistency of the several

phenomenological taws for the A-term. Such a paper was recently generalized

in the spirit of the present article by Salim and Waga10.

Acknowledgements: We thank J, Carvalho and I. Waga for helpful

discussions. We also are grateful to the Brazilian research

agencies CNPq and CAPES for financial support.

55

References

1. For a review see S. Weinberg; Rev. Mod. Phys. 61, 1 (1989)

2. M. Ozer and M. O. Tana; Phys. Lett. BI71, 363 (1986); Nucl. Phys. B287.

T76 (1987).

3. K. Freest, F. C. Adams, J. A. Frieman and M. Mottola; Nucl. Phys. B287,

797 (1987).

4. M. Casperini; Phys. Lett. BI94. 347 (1987).

5. W. Chen and Y-S. Wu; Phys. Rev. D4I, 695 (1990).

6. J. C. Carvalho, J. A. S. Lima and I. Waga; to be published.

7. M. J. D. Assad and J. A. S. Lima; Gen. Rel. Grav.21,527 (1988).

8. S. Weinberg; Gravitation snd Cosmology, Wiley (1971).

9. D. Pavón; Phys. Rev. D43, 375 (1991).

10.J. M. Salim and I. Waga; oral communication at this meeting.

56

New Baryonic Force for lhe Universe

Mário Everaklo do S ,Departamento de Física- CCET, Universidade |*«tl.»ul d.: :>«.-» |,i|.<:,

CainpiiB Universitário, 49(100 Aruraju, Scrgiix:, llra/.il

It has been established, beyond any <l«>ubt, thai the tJnivunic is uiidcrguiiih ;u> cK|iait.HÍon.Recent dato of several investigators show lliat gafexie» form gigaiilit strutlm-trs in spare. l)eLapparent et al.'falso,either papers by the same authont) have ttliow» that thwy ftirm hulthleswhich contain huge voids of many megaparseca of diameter. Hroadhurat el al.1 |>rui*:<l dtt-pcrregkms of the universe and snowed that there are (bubble) waits up to a distance of about 2.5billion light-yean from our galaxy. Even more disturbing is the apparent rcsuku-iiy of the w.JIswith a period of about ISOfc'Mpc. Recent dato9 show, Imwcver, that t l * bubble wall» arc mil soregularly spaced and, therefore, the medium formed by them is rather a liquid than a «did. Wenay call this médium the 'galactic liquid'.

At the other end of the distance scale, in the fenni region, it appearB now, that the quark isnot elementary after all. This can be implied just from their number, which, now, stands at 18.Theorist* in particle physics have already begun making models addressing tins roínposileneta1.

b the past, science has utilised specific classifications of matter whidi have revealed hiddenlaws and symmetries. Two of the roost known classifications are the Periodic Tal»kt of Hie Elementsand GeU-Mann's classification of particles( which paved the way towards the quurk model).

Let as attempt to achieve a general classification of matter, including all kinds of matter, andby doing so we may find the links between the elementary particles and the large bodies of thennivere. This classification, although empirical, is surprisingly consistent.

i t is well known that the different kinds of matter of nature appeared at different epochs ofthe universal expansion, and that, they are imprints of the different sites of thi. universe along theexpansion. Taking a closer look at the different kinds of matter we may classify them as belongingto two general states. One state is characterised by a single entity with angular momentum, andwe may call it, the 'whirling' state. The angular momentum may be either the intrinsic angularmomentum, spin, or the orbital angular momentum. The other state L* characterised by collectiveinteractions and may be called the 'soup* state. It» lhe whirling states we find the fundamentalmatter» that make the soups. The different kinds of fundamental matter are tlic building blocks ofeverything, stepwine. In what follows we will not talk about the weak force tsim-.u it does not formany stable matter. Later on we will include it in the dm-.umion. The whirling «late in formed byonly one kind of fundamental force. In the soup state our always finds two tyi>os of fundamentalforces, i.e., this state is a link between two whirling slab». Due to the iiitcnulioiut among thebodies (belonging to a particular whirling state) one expect» other kinds of forces in the soup slate.In this fashion we can form a chain from the quarks to the galactic superstructures.

The kinds of matter belonging to the whirling stab» are the nucleons, the atom, lh<: iial. jcies,«tc. The 'et cetera' will become clearer later on in this hrtUM:. h Lhe s»up state ni«> iiwlu the i|i:arks,the nuclei, the gasea, liquids and solids, and the galartK li«|ii».l l*:t us, for exampli;, examine thesequence nucleon-nucleus-atom. A nuclvon is made out of quark» and held t<>g>:lh<rr by ir<:ai>« ofthe strong force. The atom is made out of the nurlcnt; ami tin: «lectroii(we will talk about Lh«electron later), and is held together by means of lh<; rlcrfcrumagnrtic force. The umittm, wliirli isin the middle of the sequence, is held together by the Htrong force anil by the ef.-ilr<>ina|',nrU<- fmve.In other words, we may say that the INICIVIIH is a link licl.wirn U«- titrong and (In- d. . (.nun.ii-rrrlirforces. Let US, now, turn to the 8»'(|iU'iicc aloiii-(giUJ,liitiiid,!i<>lid) i-akxy Tin iv •••••, li>|iii.h; and

57

solids form the link between the electromagnetic force and the gravitational force because theyform big dumps of matter, which are all, part of the biggest individual clumps, the galaxies, hithe name fashion as with nuclear i*>itter, one expects other kinds of forces in the gaacs, liquids and•olid» due to collective interactions. We arrive again at a aiitgk- fundamental force thai hoMs a.galaxy together, which is the gravitational force. There is always lhe same |Kitlcrii: «me gut» fromone fundamental force which exists in a single entity (nucleou, atom, galaxy) to two fundamentalforce» which coexist in a medium. The interactions in the medium form a new entity in which theaction of another fundamental force appears.

By placing all kinds of matter together in a table in the order of the universal erjmnaiom wecan construct the two table» below, one for the states and another for the fundamental forces.

In order to make the atom we need the electron besides the nucleus. Therefore, just thedumping of nudeons is not enough in this case. Let us just borrow the electron for now.

b order to heap the same pattern, which should be related to an underlying tty uiinetry, lhe lablesreveal that there should be another force, other than the strong force, holding lhe quarks together,and that th» force alone should hold together the prequarlu. Let us name it the supcrstrong force.Ann, for the galactic liquid, there must be another fundamental force at play. From the enormousdistance» invorved(aad thus, the very slow transmission of this force at the present epoch) we expectit to be a very weak force. Let us call it the superweak force.

up all fundamental forces forming the single entities we arrive al five forces. Theelectron, apparently, belong» t o a separate dam. Adding the weak force to the other five we obtainair farce». Placing all five forces at the corners of an hexagon(Fig.l) in the order in which theyappeared in Table 2(l*e order of the c p i w i ) , and adding the weak force to the missing cornerwe obtain very interesting relatk—hip» among the forces. For example, we find that the electro-magnetic and the weak forem eve «raptadas they should be); the supentroug force is coupled tothe gravitational force; and, the strong force is coupled to the superweak force. These relation-ships indicate that in the Planck e n there are three forces, not orne 1) The electroweak force;2) The aupewtrong-gi «ttnukoal force; 3) The stroog-wperweak force. This would explain theunexplained "threeneaws* of the standard model(in particle physics) as discussed by Fritssch11. Ifthe thrum—as* are related to the number of forces 'in the beginning of the universe', then thenumber of quark generation» should be 3/ where / is an integer larger or equal U> one. Therefore,three would be the minimntp number of generations.

The ultimate superstructure formed out of the galactic liquid is the universe, of course. There•bouH exist only one uoivesae otherwise there would still exist another fund&menlal force involvedin the interact» among universes.

Let us now consider the 'soups' and let us focus our attention in the forces which form neutralordinary matter(gases, liquids and solids) and in the nuclear force. There is one type of force whichis commoin to both casa. it w known that the nuclear force can be represented in terms of theSeyler-Bkwchard interaction'* which is a type of Van der Waals equation of stale. The Van derWaak interaction is ah» wary common in ordinary matter and is described by ucveial kinds ofequations depending on the nature of the dipoles.

In order to bare the galactic liquid it is also necessary U» have a sort of Van tic» WuuUi»Uru<:li»ii.Therefore, we need another force with a repulsive characterful preaent).

At we saw above, the superweak force is coupled U> the strong force an«l Uicy muttl havebeen unified 'in the beginning of the universe*. l«t us now try lo find a possüilu inalliemalicalexpression for this force. There have been reports of a fifth force inferred from the rciinalyui* ofthe Eotvot experiment sn<* from lhe mine-gravity daU(Pi»r.lil>a<:li 1087). The di* i.|>im.:i<Hthe existence of a composition dependent inlcrmmlialv-nuigc forre.

58

The potential energy of such hypothetic»! force is usually represented by u Ynk;twu |x>U:itlialwhich, when added to the standard Newtonian potential energy, b 7

K(r) = ^ ( H « e X p ( r/A)), (I)

where o ii the new coupling in unit» of gravity and A IB ila range. The dependence on <:om|>ottitiouCAD be made explicit by writing a = g,?/f with

~H = coriiti + ZWiti + sinõiN- Z)Í/H, (2)

where the new effective charge has been written as a linear combination of the baryon nuuil>er andnuclear isotpin per atomic mass unit, and ç is the coupling constant in temiB of C.

Until now the results confirming the existence of such a force have been inconclusive', althoughthey do not rule it out because its coupling constant(s) may be smaller than previously thought.It it worth noting that the experimente performed until now did not involve vtry large maaeejfi.e.,m lunge number of tarpons J

The superweak force proposed in this paper, although being a long range force, has the samecharacter as the one of the proposed fifth force does. Since it should be unified with the strong forceat short distances, it may be connected with baryon number or isoepin. From the above expressionfor the fifth force potential we may express the potential of the superweak force in terms of thebaryon numbers and isospins of two bodies i and j as

V(r,N,Z) « (AB(

+At8((N + Z)<{N - Z)i + (N + Z),(N - gM)f*2kll*l (S)

when AB and Aj are the force coupling constants of the baryon number and isospin terms, respec-tively, and AJB represents the mixing coupling of isospin and baryon number, and g is the strongforce charge. Let us assume that the constants AB, AJ and Am are positive. Taking into accountthe homogeneity of the universe we may disregard the distinction between t and j and the formulabecomes simplified somewhat,

V{r,N,Z) = (ABÍN + Z)UAl(N-Z)i+2A,B(N + Z){N-Z))yíO-?-tr^)-. (4)

The superweak force is given by minus the derivative of the above potential with respect tor, which is a function of time(a!ong the expansion). Taking into account conservation of baryonnumber we have

F(r,N(r),B) = - 4 ^ (A,(2iV(r) - B) ^

(r,N(r),B) (h)

where B is the baryon number of any of the two portions. The number of biiryonu of llicyo twoportions has to be extremely large, otherwise we would already have clearly identified thm force onEarth.

With the above expression for the superweak force we will lie ul>|c> u> explain Lin exiKmuion ofthe universe itself and its cyclic behavior.

59

; . :;

At some time in the 'beginning' of the universe Pi wat* equal to Z. l-ti ut «nine it i ~ 0.For t > 0, N decrea8tt(from B/i) with respect to Z via the weak interaction. Therefore, theasymmetry begins and the repulsive part of the auperweak force increases. Asymmetry here meansthe asymmetry in the number of neutrons with respect to the number or protons. I<cl us call itnucleonic asymmetry- During the next epoch, the lepton era, lhe nucleonic asymmetry increasedand the repulsion outpaced gravity easily, for, during this era N decreased ilraulicaly. At the endof the lepton era the neutrons made up only 13% of all baryons, the remaining 87% being protons.Therefore, at the end of this era the repulsion attained its maximum value. After this point therepulsion decreased due to the combined effect of the dependence of the 8U|jcrweak force with rand to the bait in the production of protons. As the universe ages the stare become white dwarfs,neutron stars and black boles(not observed yet). During the aging process the cure density of a starincreases and the high electron Fermi energy drives electron capture onto nuclei mid free protons.This last process, called neutronisation0, happens via the weak interaction. The must significantneutronisation reactions are electron capture by nuclei and electron capture by fri - protons.

Of courrc, neutronisation takes place in the stars of all galaxies, and thus, the number ofneutrons increases relative to the number of protons as the universe ages. For example, a whitedwarf in the slow cooling stage(ior T<107K) reaches a steady proton to neutron density of about1/8, and takes about 10? yean to cool off completely. At a later time one expects that the neutronswill decay via the weak interaction and the number of protons will increase agaiii(with respect tothe number of neutrons). Therefore, we expect to have N and Z as a function of time as shownin iig.2. The end of the lepton era is represented by t = i t , and tt is the time when N and Zbecome equal again. According to the arguments above, there is a time which is the inverse of theend of the lepton era, with much more neutrons than protons. Let us name it t ~ tn. In this way,the attractive terms of the equation of the auperweak force above become more dominant thanthe repulsive term(s) and the force doses the universe. It will DO shown that this force drives theexpansion and contraction of the universe and behaves overall as a spring-like force. In Fig.3 £Ta

-1

is the present age of the universetlf» is the Hubble constant). The two turning points, where theforce changes sign are t =• 0 and t = Tt, and Tv is the maximum age of the universe includingexpansion and contraction.

From the arguments presented above, the superweak force should be zero at t ~ 0 and at t = Tt.Moreover, around t = T$, this force must be a restoring force. Let us expand the potential aroundt = Tt(r = f]>) and find the condition for a minimum(in the potential). Up to third order in t-rfthe potential is gives by

- 1 ) ) ( r - rT) + ^ (ih^lB + W A , t AhAt{2m- -l)){r- r T ) 3

+— (ÍCTAIB + 4cTA|(2i|r - 1) + 8 « r M / ) (r rr)% (6)

Twhere or, br *°d cj are the first, second and third derivative» of >/(r) with MU\H'<I to r. Tin: linearterm in r •• rj- should be sero so that we have a minimum al r -~ rr- Tliia leads to the conditiontjr = \(i - AIB/AI). Using this condition and the condition /'' - 0, al i - U and I - Tt we

obtain ABAI = A/B* and % = ~ ^I(AB/AI)1^ where r0 ia the distance between tin: two bodiesin consideration at t = 0.

Taking into account that ABAJ - Am*, iff liecomeit iff -• \(\ - J%j) from wUkli w<: »l>luiuAB < Ai.

60

Considering that ABAJ = Am , the expressions for ihc poLuuliul and fur lli. fort:u

0)'

and

The potential around r = rj«, up to third order in r - tr becomes

- *T?) • (9)

One can easily notice that V = 0 at r ~ ry. Let us analyze in some detail the |x>inl r - rj^or

The expression for the force around I = Tt up to first order hi r- rr,i* givon by

From this expression we obtain

which shows that vr can not be tero.Now, let us show that the contraction begins at i = t,(mhen n = 1/2). At t - t, we have

and

Since ft < 0, we can not haw i), > 0, for, in that case v, would have to be |>o»itiv(;, and so wewould just leave the question of the contraction to a Uter time, but the shape of tj(i) would notallow it to happen. We can have a contraction at t = t, if we have rjt = 0, becauue in this case wemust also have v, = 0. Let us show that we have a maximum for rç(in) and a minimum for rç(ít),and by doing so we justify the shape of the curve Bhown in Fig(2). Taking the derivative of theforce as expressed by Eq-(5), and considering that it must be zero, and ^ = 0 at ( -- it and atI = tn, we obtain

at these two times, where Q - (Atí/Ai)lli At t - t», 2»; 1 > 0, and therefore, '£? v 0, and UIIIBtl(t) has a maximum at t — in- At I - ti, we may rearrange lhe ubove cxjtrcwiídn au

r,

61

. ^

where we have used the relation fj(I'i) — |(1 - \j^)- Because »//, < ijy, the SMOIUI derivative ispositive, and so at ( = Ij,, f)(t) has a miniinuin. This is consistent with the qualitative slia|x; of qshown in Fig J.

We can also show that around 1 = 0 the superwuak force ia given l>y un i:x|>re:;sion identicalto the strong force. By expanding the potential around r = ru up l<» firul order in r ru, midcalculating F, we have

(16)

Thie is, of course, the expression for the strong force at t — 0. Therefore, the atrony force and the$%perve*k force are unified att~Q. This result is consistent with Pig.l.

We represent in Fig.4 tbe potential of tbe superweak force according In our calculations andconsiderations. According to tbisj figure the universe spends most of its time at the bottom of thepotential, where it is more stable.

Expressing the expansion rate as ghy^ji = / ( ' ) - 11(1) where II(t) is lluhlilc's constant, and

making L(tf) = AB + A[[2rj - I)3 + 2{A1AB)II7(2V ~ 1) we obtain(disregardint gravity)

(17)

where R(t) = r(t)/r«, r« = r(0) and mp is the mass of the proton. In the range between t = ii andt = i,, ij > 0,i} < 1/2, and therefore L it negative. H~l is the time of expansion between tj, and i.\L\jE and L may have the same order of magnitude for times close to T,. Let us consider t as beingthe present epoch of the universe. If the expansion is slowing down we must have H < 0, L > 0 inthis range. Solving the cubic equation in H for H < 0, we obtain

(18)

which means that U is positive.If we include tbe gravitational force, we add an extra negative term to H which makes the

expansion to slow down more.In the range tn < t < Ty +<t, taking into account special relativity and gravity and touuidcring

that the two bodies are identical, we obtain

(19)(c» -

We can calculate how tf(i) depends on time around I - 0 if we make some usi;inii|><,ioini mi therelative proportions of neutrons to proton» prevailing unmiul i -- 0. The nude») rum Linn;; whichmust be considered in determining the proton-neutron ratio ar<: the following:

n «^ p I e I I n

62

li

By considering that the temperature is not very high no thut m«c2»AT, Alplici vL al.1" haveshown(in another context) that, among the reaction* aliove, free neutron <lc< uy is tJ«; linminuntreaction. Taking this into account and considering the condition thai we round at t i)(F - 0),

Í = "fe h

(21)

where t is given in second*.We can explain the (flat)rotationat curve of galaxies, v versus r in the following way: We

expect that, since the time of it* formation, a galaxy experiences an overall repulsion, winch mustbe stronger between its bulge and its outskirts. Since the gravitational force is responsible forholding all the galaxy's stars together, the repulsion must cause a small effect, only observableover • long time. This repulsion is consistent, for example, with the outward motion of two largeexpanding arms of hydrogen gas which have been observed clone to the center of the Milky Way11.This phenomenon! is not particular to our galaxy, and similar outbursts are happening in manyother galáxias. Let us take a look at Pig.(S). Galaxy formation happened at a time i = ia > II-From to up to the present epoch, a galaxy is subjected to the repulsive force shown as the firsthump in Fig.(3).

Because of the repulsion the tangential velocities of the stars of a galaxy(uut of lhe bulge)are kepi constant due to the positive work performed by the repulsion on a particular star. Thiswork is done against the gravitational potential and the star gains gravitational energy and movesoutward. Therefore, the star's tangential velocity does not change.

Let us consider a star in an orbtt(l) at a distance R\. The total energy, £7, of the system (innerrepon)-sUr, is

E = (22)

where K\ is its kinetic energy, V\ is its gravitational energy, and Vx is its superweak potentialenergy. The inner galactic region includes the bulge of the galaxy and the stars up to the radiusR\. h the orbit with radius R%, the energy E, is given by

E = (23)

Because the gain in gravitational energy, Vt-Ui, was obtained at the expense of the superweakpotential energy released, V\ - Vt, the kinetic energy remains the same, i.e., K* = Jfj, There-fore, vj = vi. Since the star moves outwards and keeps the same tangential velocity its angularmomentum increases. The increase is given by

A t = mv[R% - K|) (24)

where m is the mass of the star, v is its tangential velocity, R, in its original orbital radius uniiA3 is its final(at a particular time) orbital radius. Because v remains constant its angular velocitydecreases with respect to the centra] part of the galaxy.

Because of conservation of angular momentum the galactic bulge nnml .lerrcii.se it» angularmomentum by the same amount, A l . If we consider that the angular velocity <>r the IniJgc doesnot diminish(wbich is more plausible thai» otherwise), then it» mutm must diinint.ili, it:., lin- centra]hub sheds more matter outwards. This fact has been olmerved in many galuxir.i. 'I'IUM, m.illei isshed outwards because of repulsion and because; of angular momi;ntiim <oim«;j val-imi 'Ilunfort, as

63

^ : - £ : l £ < V ^ ^

the galaxy age», its nucleus diminishes in 8Ízt. The upposiii: lt,i|>|><:iib In lhe a wlm.li tuimmbigger and bigget. This helps us understanding tin- {urination ol arm.'» i» |;al;i:.ji:;

REFERENCES

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9. S. L. Shapiro and S. A. TeukoJsky, Black Holes, While Dwarfs and Ntultv,. .Sum,, Wiley, NewYork/1983)10. R.AAJpber, J.W.FoUiii,Jr., and R.C.Herman, I'ltyi; |u>v ü.,,i:i47 iac.1 IU!>:11. W.J.Kaufmann,III, in Galaxies and Qua»ar»{V/.11.Fri«inau and Cumpaio, Kai. l'i animu,, J979J

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64

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t. IMC IMini UM •Ifli^ I».

GAUGE E INTEGRABILIDADE EM EQUAÇÕES LINEARES E NAO LINEARES

Manoelito Martins de SouzaUniversidade Federal do Espírito Santo

Departamento de Física e Química29069 - Vitória - ES

Usamos simetrias permutacionais para introduzir umcritério algorítmico de decisão sobre a integrabilidade(solvabilidade) de um sistema de equações. Comparamos as

estruturas de gauge das equações de Maxwell e das

equações de Einstein, tomadas como exemplos de sistemas

lineares e não lineares, respectivamente. Somente paraequações lineares podemos fixar o gauge sem perda de

completa generalidade (em contradição à literatura

corrente), isto porque só para estas equações a condição

de gauge coincide com a condição de integrabilidade.

A) SIMETRIAS PERMUTACIONAIS EM SISTEMA DE EQUAÇÕES

1) A ação de operadores de Permutação <P_O, a, 0=1 a n), em_A a a p

sistemas de equações, 3 =<F^(x ,..,Y(x) ,...)=0, A - 1 a L},

P/vflFA(xa,..,Y(x)°,...l=FB<A..,Y(x)/í,...]com r* , F*€ 8

divide o sistema em classes invariantes de equivalência, [r J.

Obs. Para resolver um sistema de equações no formalismo das

simetrias de permutação, trabalhamos com as classes de

equivalência, [f ) e não com as equações, F ( ) =0.

2) Qualquer equação pode ser escrita como uma equação de

autovalor nulo de um polinômio de operadores de permutação.

FA(xa, ..,Y(x)a,... )=0 O.íaJFNa) = 0 , onde

0(a): polinomial de operadores envolvendo a (P _, P , etc)I ap 07

AÀ

F (a): núcleo ou autofunçao de 0( a)

Exemplos :Q (<*)Pxy + pxz> (Pxy + pxz> í

Pxy + Pxz-pxt>

66

BASE DE EXPANSÃO DOS

1) FUNÇÕES DE ARGUMENTOS ORDENADOS» (FAO), são conjuntos defunções, f|a£y...|, an&itnániaa e çenénicau, que se distinguem

entre si pela ordem de seus argumentos e por um fator global.

Ex. Se f\afit...\, = xa+orcosxT então f|£ajr...| , x^+xacosxT

EB um conjunto de FAO só uma é totalmente arbitrária. As outras

são determinadas, a partir da primeira, a menos de um fator

global.

2) F*<xa )=0 -tOôOFôOÔ * r V ) = 0,,(o) f|op...| onde 0|((«)

é outro polinomial em Paj3fPar» etc, tal que 0,(a) 0,,(«)

f|a0...| = 0. Observações:

a) f|a0...| sendo genérico e arbitrário * Q (a) fl«(3...l mostra

a existência de propriedades algébricas e topológicas comuns a

todas as possíveis soluções de uma categoria inteira de equações,

à qual pertence F^(x° )=0

b) r[a) = 0 (a) f|a/3...| e uma equação, em geral, muito mais

simples que F (x, )=0 Exemplos:é uma solução.se

Se

F N X " .

. . )- ( 1 + p «3> ^ ( a )

F A ( x a , . . . ) + =

* ^ ( a ) =(1-Paj8)

^(o) , então

( 2 - p « f l - p a T ) f l a { P l r )

é uma de suas infinitas classes de soluções possíveis.

B) CRITÉRIO DE INTEGRABILIDADE (DEFINIÇÕES)

1) Um sistema de equações, 5, representa um PROBLEMA BEM COLOCADO

se o n° de equações independente for igual ao n° de incógnitas.

2) EQUAÇÃO PRESUMIVELMENTE INTEGRAVEL, EPh a que envolve ou podeser colocada em uma forma que envolve não mais que uma

incógnita.

3) SISTEMA <*e equações PRESUMIVELMENTE INTEGRA VEL, SPI« ° «Jue

tem,ou que pode ser colocado em uma forma que tem pelo menos uma

EPI, e que as demais se tornam EPI com a integração das

primeiras. Em caso contrário o sistema não é integrável.

4) Um sistema não integrável pode se tornar um SPI com o

acréscimo de outras equações, vínculos ou condições adicionais.

Estas seriam, então, suas CONDIÇÕES DE «NTEGRABILIDADE.

67

EXEMPLOS (aparentemente em contradição)

a) vxB=O. São 3 equações, (B. .=B. ,, i,j = 1,2,3), cada uma com*•> J J > *•

duas incógnitas. É SPI, pois pode ser escrito como(l-P i j)B i j=O * Bi(j= flijl+fljil=f|(ij)l-»Bifj=*fi. * B= V*.

b) V.B=O. Uma eq. com 3 incógnitas. Mas e EPI pois #

(l+P +P )B , =0. B = VxA é apenas uma de suas (infinitas)*»y XZ X X

classes de possíveis soluções.Só é um PROBLEMA BEM COLOCADO porcausa de suas simetrias

permutacionais (B^=P^.B.).

c)Condição de curvatura nula # *u'v~ \'u + ^Av'Au^ = °» ou

(M, matriz invertível).

C) EQUAÇÕES DE MAXWELL (em espaço p l a n o )

1) Abordagem usual

?UV,V = -JU com F ^ - A ^ - A^,^. 4 incógnitas e 3 eqs. já que

JM, =0. A 4 a eq. é suprida pela condição de gauge, A**, =0 ••

aA =J . As soluções físicas são soluções simultâneas de A , =0

e de o A » 1 ^ .

2) Usando as simetrias permutacionais.

(l+P+Pv t)(Ax;J -Ay;J - J31/!) = 0 implica emy z y t y y x v v x x

(Axíj -t?\* - Jx/3) = 0|((y)flxyzt|.Esta eq. é claramente não integravel, pois envolve 2 incógnitas,

Ax e Av. Precisamos de mais uma eq. relacionando Ax e A , dadapela cond. de gauge (1+P

yz+Pyt)(*

yfy -**>y/3) = °» <!ue resolve o

problema.

3) Diferenças (sutis) desta abordagem

a)São 4 eqs. mas consideramos apenas uma (FXfí, «-J u),

representando a classe de equivalência.

b) O fato que as 4 eqs. não são independentes não é utilizado. A

não integrabilidade está presente no fato que elas envolvem 2

incógnitas.

c) A condição de gauge é também a condição de integrabilidade já

que a adoção da condição de gauge não restringe o universo das

possíveis soluções. Não se perde generalidade com a escolha do

gauge. Esta afirmativa não pode ser generalizada, como se faz na

63

literatura, para sistemas não lineares.

d) Outra abordagem equivalente seria checar quais soluções da

condição de gauge, (l+Pxy+PX2

+Pxt)AX.x=0 •» Ax,x= 0(|(x)fIxyztl

satisfazem a O A ' W 1 .

D) AS EQUAÇÕES DE EINSTEIN (G^ * T ^ )

1) Notação: a, (3, 7 e 5sempre representam DIFERENTES índices ou

componentes. Não vale a convenção de Einstein.

2) Escolhemos , sem perda de generalidade, coordenadas que

diagonalizam o tensor métrico em um ponto genérico Q.

ds 2| Q = eaea(dxa)2+ c<3e

ÍJ(dxV+ c ?eT(dxV+ cfie

ô(dxÔ)2,

onde a, $, 7 e ôsão funções genéricas de todas coordenadas, e c ,co> c-w# c. = 11. Portanto, estamos considerando as eqs. deP i o

Einstein em sua mais completa generalidade, inclusive quanto à

assinatura da métrica. Nenhuma hipótese é feita sobre T , a nã~

ser da mais completa generalidade, o que corresponde a um tensor

totalmente simétrico sob permutações.

3) As eqs. se dividem em duas classes invariantes:

'V V^r^-r2.^) ] + 8/3

onde a^da/ôx?, aa<=da/dxa , etc. , (oc^gap' »+%u' p'Op»' a' V y V W

CONDIÇÕES DE INTEGRABILIDADE

Cada eq. envolve todas as 10 incógnitas de um modo tal que para

torna-las integráveis, sen quebrar a simetria, precisaríamos de

10 condições de gauge. Como só dispomos de A, só nos resta a

redução simétrica do n° de incógnitas, o que implica em 9 a Q= 0' A

métrica é globalmente diagonalizavel. As eqs. se reduzem a

69

Ainda não integráveis.

Para \aa> não há possibilidade de simplificação através de

eventual condição de gauge, porque cada um des seus termos

envolve mais de uma incognita.

\ocfi> poderia, em princípio, admitir uma condição de gauge do tipo

onde F(y) é uma dada função de y e de suas derivadas. Mas paranão quebrar a simetria precisaríamos de 6 condições iguais a es ta(uma para cada |a/3>). Como só podemos t e r 4 temos que reduzir o n°de incógnitas, a única possibilidade ê a=/9=jr=S=#, ou seja am é t r i c a t e m q u e s e r c o n f o r m e : "SOLUÇÕES TOTALMENTE SIMÉTRICAS

DAS EQUAÇÕES DE EINSTEIN SAO CONFORMALMENTE PLANAS". E c o m o

c o n s e q ü ê n c i a : "SOLUÇÕES DE VÁCUO TOTALMENTE SIMÉTRICAS SAO

PLANAS".

E) LIBERDADE DE GAUGE E GENERALIDADE

Para as eqs. de Einstein, diferentemente do caso das eqs. de

Maxwell, a condição de gauge não é igual à condição de

integrabilidade, e isto implica em possível perda de generalidade

com a adoção da condição de gauge. Por exemplo, se tivéssemos

imposto o gauge g" H: =0 (cond. harmônica) só poderíamos ter

soluções planas, porque a cond. de integrabilidade não é afetada

pelo gauge, e este, para uma métrica conforme implicaria em <p, =0

para todos os pontos da variedade.

Conclusão:

Liberdade de gauge não é garantia de máxima generalidade. Ao se

adotar um gauge para sistemas não lineares deve-se atentar para

possíveis exclusões no universo de soluções.

70

FORMALISMO PARA SISTEMAS DE ESTATÍSTICAS GENERALIZADAS

Manoelito Martins de SouzaUniversidade Federal do Espírito SantoDepartamento de Física e Química

29069 - Vitória - ES

Sob permutações de índices um sistema de equações se

particiona em classes de equivalência. Qualquer equação

pode ser escrita como uma equação de autovalor nulo de uma

função polinomial de operadores de permutação. Este

operador polinomial define uma categoria de equações que

tem em comum uma mesma álgebra e uma mesma topologia,definidas sobre uma base apropriada de expansão de suasautofunções. Esta álgebra e esta topologia classificam o

sistema de equações de acordo com a estatística dé suas

soluções, isto é, o comportamento delas sobre permutações.

Incluídas nestas classes se encontram as estatísticas deBose-Einstein, Fermi-Dirac e de sistemas exóticos(anyons).

A) SIMETRIAS PERMUTACIONAIS EM SISTEMA DE EQUAÇÕES

1) A ação de operadores de Permutação <Pag» «#£=1 a n } , em

sistemas de equações, 5 ={FA(xa,.. ,Y(x)a,... ]=0, A = 1 a L},

Pa^FX(xot,..fY(x)

a,...]=FB(x^f..,Y(x)P,...]coni F* , A 3

divide o sistema em classes invariantes de equivalência, [Fj.

Obs. Para resolver um sistema de equações no forroalisraos das

simetrias de permutação, trabalhamos com as classes de

equivalência, [f ] e não com as equações, f( ) =0.

2) Qualquer equação é uma equação de autovalor nulo de um

polinômio de operadores de permutação.

FA(xa,..,Y(x)a,... J=0 >0(a)FA(a) = 0, onde

Q(a): polinomial de operadores envolvendo a iP^o, ?„„, etc)

F (a): núcleo ou autofunção de 0( a)I A»

Exemplos: 0(«) F (a)

> (1 + Pxy+ Pxz)

71

B) BASE DE EXPANSÃO DOS

1) FUNÇÕES DE ARGUMENTOS ORDENADOS» (FAO>, são conjuntos defunções, fla0r...l, onJkiinánUux e oenéntcoa, que se distingue*

entre si pela ordem de seus argumentos e por U B fator global.

Ex. Se f|ot£ir...|, = xa+x^cosx* então f|/9o7...l - ^-«"cosx*2) K n = {Ki:jl3 Kl\, KijKj^l, i.Ml.n]«Z+>, onde *Lj é u» fatorassociado ao par de posições dos indices (i,j) no argumento de

flot.a. a I, quaisquer que seja* os índices. K™ define a

estatística (comportamento sob perautações) das FAO (e as divide

en classes):P f I.. .o... .ot.... |= K. .f I • • .et... .a....)

*~ 2 nObservações:i) Isto garante Pflrfi

=1f sen nenhuaa restrição sobre Kii) Os sistemas usuais de estatísticas de FD e de BE pertencem àsclasses de FAO c^n j.-t=±^t ^r j € [l»n]

iii) Em um conjunto de FAO só una é totalmente arbitrária. As

outras são determinadas,a partir daprimeira, a menos de um fator

global.

C) REDES DE FAOS

1) Definimos redes de FAOs associando cada f la.ou.. .anla um

vértice ou ponto, e a cada par de pontos, associamoos uma aresta

ou direção, representando um operador P _. Cada vértice é ligado

a n(n-l)/2 novos vértices por n(n-l)/2 arestas.

n s i > i ponto: flola a

n = 2 > 1 duble te: f l a ^ l = =

n £ 3: rede de dimensão n-1, de extensão e multiplicidade

infinitas, construídas de hexagonos e quadrados Esta rede é uma

representação da algebra dos P . sobre as FAOs Para um £

abeliano, ela è definida por:

(Geometria algeb.)

^ I - J V V Í = V - i - , ^ para 0<i<j<ksn

a i a j a k a m ak om t fi aj Í'j'k'm' d i s t i n t o s OUADRADOObs. Esta álgebra contém o grupo das trancas (braid group) que só

admite geradores da forma p

°ia

2) Qualquer restrição a «" gera deformações desta álgebra e desta

topologia, porque implica em identificação de vértices. Esta

restrição pode ser motivada por argumentos físicos/matemáticos ou

pode provir do conjunto de equações que descreve o sistema

D) EXPANDINDO

F^x" )*0 •K)(a)FA(a)«O * £*(«) = Q[a) t\ap...\ onde ()„(«) é

outro polinomial em Pa- p , etc, tal que

0,(«> 0M'(«) fl«!3...l = o.

Obs.: sendo fla£...| genérico e arbitrário, 0..(«) t\afi...\

denota a existência de propriedades algébricas e topológicas

comuns a todas as possíveis soluções de uma categoria inteira de

equações, à qual pertence F^(xa )=0.

Exemplos:

Para n«2, se F^x".. O-(1+Pap) FX(o) * FA(o) - f Ia/51 - K12f||5a|

Cada valor atribuído a K._ define uma classe de simetria distinta

(estatística). Não há restrição a K...

Para n-3, se F^(xa...Jail+P^.+P ) F {a) , suas soluções requerem2 2 2 - p '

K12K23eK13' e S a° d a £oriBa

yFA(xa,...)+ - a{-K^fl«OT)l + fl

(PoT)|}

b <-K~l

yy

F A ( x a , . . . ) . - a {K^

^ + f |[ |5r]al>,

correspondendo a K13=±K12K2_, respectivamente, a e b são

constantes arbitrárias, e os parêntesis (colchetes) indicam a

simetria (anti-simetria) dos índices envolvidos.

Observe que enquanto não há restrição sobre sistemas

bidimensionais, para sistemas tridimensionais a restrição é

forte. Sistemas formados por componentes idênticas (K121=Ki3=:K23'

só podem ter estatísticas de BE ou FD (K..=±1). Topologicamente:

a multiplicidade da variedade das FAO se reduz a 1.

73

ALGUNS EXEMPLOS DE REALIZAÇÕES (para n=3 , b=0 ,

1) C l a s s e ( 1 1 1 ) , ou s e j a K 1 2 = K 1 3 = K 2 3 = 1 •*

Para V2* = 0 * • X x " ( 1 + P y z ) ( 1 " P x y ) f | X y z |

2 3f|xyzl= x /r gera <p = l /r ,

3 2 7 3

fflxyzl = [m x + x (ym + zm_)]/r gera * = m.r/r , etc. Todas

as soluções de multipolo estão presentes nesta classe.

2) Classe (-1-1-1)(K12=K13=K23=-1)

A l = fl(xy)zl -( ) ^ yfl(xz)yl

Para V.B=0 # Bv = f|(xy)z| - f|(xz)yl # f|(xy)z| = -

Az,xy *BV=A,, - A_ . Observe que V K = - Au, pois A pertence à classex y, z z, y xy x jf(-1-1-1), enquanto que P B • B . Nao se pode obter V.B = 0 em

2 xy * y

classe (ill), e nem V ip = 0 em classe (-1-1-1),. o que e um

indicativo da relevância da existência de distintas classes.

74

Sobre a Equação de Dirac em Três Dimensões *

Cesar A. LinharesInstituto de Estudos Avançados (CTA)

12234 São José dos Campos, SP

Juaii A. MignucoCentro Brasileiro de Pesquisas Físicas

22290 Rio de Janeiro, RJ

£:n trabalhos anteriores [1], comprovamos a existência de uma ligação bem definidaentre a equação de Dirac com o grupo SU(2"^), sendo n um número par de dimensões doespaço-tempo. Mostramos que essa ligação é válida para a formulação usual cm termosde matrizes e, também, como uma conseqüência lógica do isomorfisrno, provado por Graf[2], entre matrizes de Dirac e formas diferenciais exteriores, estas dotadas ainda de umproduto, dito "de Clifford". Mostra-se [3] que estas formas, satisfazendo a álgebra deKãlilcr-Atiyah, mantém ínvariantes os ideais mínimos à esquerda do espaço das formas.

Os físicos teóricos estão mais familiarizados, no entanto, com o emprego «.'as matrizes:lc Dirac. Na última década, por outro lado, houve um ini.errs.se crescente pela física numespaço-tempo com dimensão três. Eni geral, é costume representar as matrizes de Diraccorrespondentes pelas matrizes de Pauli cm representação bidimensional. Em alguns casos,usa-se uma representação por matrizes 1 x 4 em dois blocos idênticos 2 x 2.

Entretanto, o presente trabalho mostra que as representações habituais das matrizes deDirac são inconsistentes, não satisfazem as condições que a álgebra correta das matrizes 7deve preencher. A descrição correta exige matrizes de Dirac «le dimensão 4, com estruturade blocos diagonal não idênticos. Isto decorre do falo do que as formas de Kalilcr Atíyahpodem ser escritas como combinações de geradores do grupo .Ví'(2) x SV{'2), ideiUifícáveisunicamente a partir de suas propriedades algóbríca*. O isomorfísino do Craf [2] 011, sim-plesmente, a transcrição em lermos de matrizes destas propriedades algi>brícas conduz aoresultado.

Alem do mais, a reversão temporal e a de um único eixo espacial são incompatíveiscom um fonnalisjiio de matrizes 2 x 2 .

'Tiabalho aptcitciitado 110 XII Encontro Nacional de Física de Partícula* e Campos, Caxambu, MU,•elcmbfode 1991.

75

li-

, » . : ' _ » ' . , _ . • '. v .'..• v . . . ' U C . ' . i i.\i\ .'- - . . ' - - • « . f - . 1 «1 . ^ \ . ' 4 .

Como é usual, defina-se o produto de Clifford eutre duas formas diferenciais exteriorescomo

em que V é o símbolo do produto de Clifford, A denota o produto exterior usual c g"" é otensor métrico do espaço-tempo, com p,i/ = 0,1,2.

Podemos construir os seguintes quatro produtos independentes:

• I dx° A dx1, dx° A dx2, dx' A dx3, dx° A dx1 A dx3.•i

| Designando genericamente por dx" os diferenciais elementares e seus produtos, definimosf! o comutador "de Clifford" entre qualquer par destes objetos comoí' •jj| [dxH,dxL\v = dx K V dx1 - dxL V dxK.

Aplicando esta definição, temos os seguintes comutadores não nulos:

[dz°,dz'lv = 2dz°Adz' ( 5 = 1 , 2 )

[dx°, dx° A dx«)v = 2d*' ( 3 = 1 , 2 )

[dz'.dx0 A di'lv = 2dt° (3 = 1,2)[dz l,dzIAdx2)v=-2dx3

(dx,dxI (dx° A dr1 ,dx° A dz3]v = -2dx' A dx2

[dx° A dx\dxl A dx2]v = -2dx° A dx3

[dx° A d x 3 ^ ! 1 A dx3lv = 2dz° A dx1.

A forma de volume comuta com todos os outros.Consideremos como exemplo ilustrativo:

li!para os quais temos

Temos também que os duais de Hodgc [4\ dos A\ acima,

J i = -tdz A dx , Vj = -~dx

76

^ f ô .;• •

satisfazem

Definimos, então,

e temos, portanto,

ou seja, estes objetos constituem geradores de uma álgebra SU{2) X SU(2). Para os A'*,podemos escolher à vontade qualquer par de 1- ou 2-forruas e seu produto exterior. Éválida a seguinte propriedade:

sendo • o operador de dualidade de Hodge.Se representados por matrizes, os geradores da álgebra SU{2) x 51/(2) são escritos da

seguinte maneira:* \ w . _ ( 0 0

°/Coir isto e mais o isoinorfismo de Craf 7** «-» <fz"V, podemos reconstruir as matrizes 7de Dirac. Algumas "imagens", com X% *+ 7°, Xj *•* 71 , X3 «-» j 2 , são exempliricadas aseguir:Dirac-Pauli:

7 V 0 a 3 j ' 7 " * \ 0 a» j ' 7 " * \ 0 - a , )

Kramers-Weyl:

Note-se a diferença de sinais dos blocos. Isto é devido ao fato de que, independentementeda imagem,

r 7 \ 0 - / ) '

77

onde / é* a matriz identidade 2 x 2 . Assim, as representações corretas dos matrizes 7 sãomatrizea 4 x 4 , diagonais em blocos 2 x 2, as quais diferem das utilizadas usualmente paraa representação 4 x 4 de espinores em três dimensões.

Cada bloco de 51/(2) identifica uma quiralidade. Assim, os Wf correspondem aosestados em que a rotação do spin é dextrógira e os W£" aos de rotação levógira.

Para terminar, temos as expressões das matrizes responsáveis pelas transformaçõescorrespondentes à inversão de um eixo coordenado e à reversão temporal [5]:Dirac-Pauli:

a, \Oj

Kramers-Weyl:

i \ * / VHagen [6] argumentou que a caracterização correta das invariâncias por transformações

discretas em três dimensões é crucial para a interpretação em termos de "anyons" dasteorias invariantes de gauge tipo Chern-Simons em interação com espinores.

A operação de conjugação de carga não mistura os blocos de SU{2). A operaçãocomposta CPi^T dá, cm geral, uma matriz diagonal em blocos, mas cada bluco é nãodiagonal. Há uma consistência entre o eixo que é invertido e a matriz que aparece noresultado de C / T .

Todas as operações representadas pcia'ação de uma matriz 7" pudem ser igualmentedescritas por ma*rizes isoiuorfas à forma dual de dx".

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(3] P. Decher e II. Joos, Zcits. fiir Phys. 16 (1982) 343.

[4] T. Eguchi, P.l). Gilkcy e A.J. Hanson, Phys. Itep. 86 (1980) 213.

[5] CA. Linhares e J.A. Mignaco, "On the Dirac equation in three dimensions", enviadopara publicação, contém por extenso os tópicos aqui resumidos.

[6] CR. Hagen, "Parity conservation in Chern-Simons theories and the anyoii interpreta-tion". Preprint University of Rochester UR-1212 (1991).

73

If

A RELAÇÃO ENTRE A EQUAÇÃO DE DIRAC E AS ALGEBRAS DE GRUPOS

UNITÁRIOS PARA QUALQUER DIMENSÃO DO ESPAÇO-TEMPO

' !

Cesar A. Linhares (*)Inst. de Estudos Avançados, CTASão José dos Campos

Juan A. MignacoCentro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF/CNPq)Rio de Janeiro, RJ

Damos a demonstração geral para dimensões pares e ímpares que o

anel de Dirac Formado pelas matrizes de Dirac e os seus produtos

desenvolve a algebra de comutação do grupo SU(2 ' ) para as di-

D-1 D-l"~2~ ~~T~mensoes pares e do grupo SU(2 ) x SU(2 ) para as dimensões

ímpares. Discutimos as eventuais conseqüências físicas destes

resultados.

(*) Em licença no Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas,Rio de Janeiro, RJ

79

r

! BUBBLES IN THE EARLY UNIVERSE1

1 RUDNEI 0 . RAMOS and G.C. MARQUESInstituto de Física, Universidade de São Paulo

i CP. 20516, 01498 São Paulo, SP, Braul

ABSTRACT We analyse bubble formation as a result of thermal fluctua-; tious. Bubbles appear whenever there is phase coexistence in the Universe.

We have shown how the droplet model of phase transition allows us to; determine the radius of the most favorable bubbles and their densityi contrast. In tire case of the 51/(5) model we get Zel'dovich spectrum with

the proper order of magnitude as well as other interesting consequences tocosmology.

I!!• I N T R O D U C T I O N

['• \ Spontaneous symmetry breakdown seems to play an essential role in for-[|; ! mulating theories of the fundamental interactions. Grand Unified theories\\A are based on the idea that at very short distances the fundamental inter-im, actions can be described by a theory based on a larger than the standard

• 51/(3) x SU(2) x U(l) gauge group G whose symmetry is spontaneously'i broken at large distances.,': If at zero temperature the symmetry is spontaneously broken, then there! will be symmetry restoration at high temperatures. The system will then\, exhibits two phases. Since the Universe started at very h«gh temperatures (inI; the symmetric phase) one then expects that during the course of its evolution•, the Universe went through a series of cosmological phase transitions.i, The understanding of the dynamics of phase transitions might be relevant in

the solution of cosmological problems such as the flatness, horizon, cosmologicalconstant and the large scale structure of the Universe.

In the context of the large scale structure of the Universe cosmological phasetransition might play an important role, since the appearance of inhomogeneities(defects) in the system is a common feature of theories whose symmetries arespontaneously broken. In fact, there are suggestions that topological defectssuch as strings and domain walls generates the required contrast density forgiving rise to the observed structures in the Universe.

The formation of bubbles {at droplets) is a feature of systems that exhibitsphase coexistence along the phase transition. The approach that we have used(the droplet picture of phase transition (Langcr 1967, Gunton, San Miguel andSalmi 1983, Marques and Ramos 1991) has been developed for dealing withbubble formation in phase transitions that are very familiar tc physicists. Oneof our motivations for dealing with this problem, and its role in cosmology, is

'Work partially supported by FAPES»> Mid CNPq.

90

the similarity of the observed geometrical structures and the ones formed alongsome phase transitions.

FIELD TIIEORF/TICAI, DESCRIPTION OF CONDENSATION ANDÇOSMOLOGICAL APPLICATIONS

We will show how the evaluation of the partition function for a collection ofnoainteracting droplets may lead to the thermodynamic properties of a condens-ing system and the derivation of macroscopic features of a two phase system.This is so called condensation problem (Langer 1967).

The droplet model pictures the system as a "dilute gas" of small dropletsof radius R. The number of bubbles of size R might be approximated by asimple Boltzman factor, that is

N(R) ~ exp{-M^»)( i l ) } (1)

where à.F^l\R) is the energy cost for introducing a single bubble in the system.The cost in energy for introducing an interface in the system can be defined

as (Marques and Ramos 1991)

• (2)

For spherical bubbles of radius R,AF is a function fpr It, and one can write

Only bubbles whose size R is above a critical value Ra- are stable andthey survive in the system. This critical value is given by the condition

= 0 . (3)dR

Bubbles with radius smaller than Rer are unstable and disappear again.These bubbles are assumed to be macroscopic objects.

The value R - Rer determined by (3) corresponds to the limit beyondwhich large quantities of the new phase begin to be formed. Bubbles beyondthe critical range (with R > R<r) will inevitably develop into a new phase.

We will assume that the distribution of bubbles is a dilute one. Under thesecircumstances one can write the partition function Z as

= cxpp

where Z(o' now stands for the partition function at the vacuum field configu-ration, 4>u, and Z'1' at the bubble field configuration <j>B.

31

is!:II

-111

In the high temperature limit and considering spherical bubbles one can finda general form to F which is given by (Marques and Ramos 1991)

F = - 2g(0)]3/2 /1 \»

2TT J V/3/

x exp V"' ^ " ~ "v*'| (5)

AF in (5) is the energy difference between the two vacua (Carvalho and Marques1986) (cosmological constant), a(T) is the surface tension and R is the bubbleradius.

Let one takes the vacua as a degenerate one, i.e., AF in (5) is equal zero.In this case, (5) becomes

||[ The critical radius of the bubble can be obtained by minimizing the freeenergy (6) and one obtains

From this expression for Rc{T), one can see that for T — Tc the bubbleradius becomes infinite.

Within the dilute gas approximation the average number of bubbles is(Gross, Pisarslci and Yaffe 1981)

With (9) and (7) one finds for the bubble density the expression

where one uses the expression (7) for /£„. in (6).Thc> contrast density associated to bubbles is defined as

(10)

where />cidn.pwi. <s ^ne energy density associated to the elementary particlesand it can be written in terms of the number of degrees of freedom fermiouic

and bosonic (NB) as

. = ^ (/Ve + l Np) T* . (11)

32

From the expressions above one can see that all one need to know is theform of o(T)t the surface tension, to determine all the quantities of interest.

One can write a(T), in the one loop order and iu the high temperatureapproximation, in the general form given by (Marques and Ramos 1991)

/ T2\a(T) = a(0) 1 - — (12)

where a(0) and Tc depends on the parameters (masses and coupling constants)of the model.

From (9) and (11) one can write the contrast density (10), by taking a(T)given by (12), as

ip 1

v~r; V1 ft)/Zi)

Furthermore, taking T <TC, one obtains the simple result

which is completely general and leading to a contrast density depending onlyupon the number of particles in the model.

In the minimal SU{5) model, NB+7/8NF= ICO, 75, so that for T ~ T c / 3one gets

^ ~ 6 10"4 . (15)P

This result is compatible with the bounds imposed by the auisotropy of thebackground radiation (6p/(. satisfy Zcl'dovich's condition) (ZelMovich 1972;Harrison 1970).

Let us analyze if the length of fluctuations is larger than the Jeans length.The lenght of fluctuations that we propose here is essentially the distance be-tween two bubbles. Unfortunately we are not able to compute this distance,by using thermodynamical arguments, for the range of temperatures coveringthe critical temperature (1015 GeV) until recombination (1 eV). We can dothis however, for temperature close to the critical one. For this range of tem-peratures, one has that if the average number of bubbles is given by (9) withR = Rer . This density will be given by n = N{T, Rçr)/V where N(T) isgiven by (8).

If one assume further that the bubbles are uniformly distributed over thes|>;ic<! the (average) distance between two bubbles (theirs centers) will be given

*4 m M • (IG)

83

I;'

>- • * ! . « » t _ / C •- i I—«* .» - - .

For T s: Tc/3 (Tc ~ 10" GeV) one gets the SI/(5) model

~ 8.2xlO"5GeV-1 ~ KrMcm . (17)

In order to estimate the lenght of fluctuation in the recombination era, onejust makes the hypothesis that the distances between bubbles (XB) expandsconformally, that is, the ratio between this distance and the horizon distance isconstant. Consequently at any time one has

jGUT(18)

So that during the recombination (í = ÍR) one has, by using (17)

A B ( T ~ l e V ) =d//(0.2xlO-3 7 i )

Since the Jeans length at recombination is

AJ(ÍH) K 2 .9x l0 t 9 cm

~ 1.2xl0 3 1cm . (19)

it follows from (19) that AB > Aj .The mass associated to the distance (20) is

~ 1OIOM0

(20)

(21)

which fits very well in the galactical mass spectrum and is probably consistentwith all of them if the dynamics of the bubbles below Te is considered.

A legitimate condusion would be that the number of aglutination centers isroughly the number of great structures observed in the Universe today. In fact,one can estimate the number of aglutination centers. This number is roughlygiven by

- iy x lv • W

The greatest known strucures are the superdusters of galaxies that consistof groups with an average of 10s galaxies, that have densites dose to criticalpe ~ Krw<7cm~3 and spread over dimensions from 50 to 100 Mpcs (from 1.5 to3.0 x 10M cm). The number of these structures (sub-dusters) may be estimatedby the ratio

^ . U f - C - l O 6 (23)

because tr ~ 1O10 years and </y/(0,ip) = 3t, =s 2.7 X 10w cm.We see that the results from (22) and (23) are quite close to each other.

CONCLUSIONS

Bubbles might appear in cosmological phase transitions for theories withnondegenerate or degenerate vacua. In botli cases one can predict phase co-existence in the Universe and the appearance of bubbles as a result of thermalfluctuations. The basic ingredient for making relevant prcdictons to cosmologyis the cost in energy to introduce such an object in the system.

As an application to cosmology we have analysed the GUT phase transitionin the minimal 5t/(5) model. In this application we have assumed that thesebubbles survive until the recombination era. This is a dynamical problem thatone has to solve in order to be sure that these objects act as seeds for structureformation.

Our simple estimates based only upon the intcrbubble distance indicatesthat one might get a surprinsigly good picture for the formation of structuresin the Universe from the analysis of bubble formation in the early Universe.

REFERENCES

Carvalho, CA. and Marques, G.C. 1986, Pliys. Lett., B169, 398.Gross, D.J., Pisarski, R.D. and Yaffc, L.G. 1981, Rev. Mod. Phys., 53, 43.Guntou, J.D., San Miguel, M. and Sahni, P.S. 1983, The Dynamics of First-

Order Phase Transitions, in Phase Transitions and Critical Phenomena,Vol. 8, Academic Press.

Langer, J.S. 1967, Ann. Phys., 41, 108.Lifshitz, E.M. and Pitacvskii, L.P. 1980, Physics Kinetics, Vol. 10 (Landau and

Lifshitz, Course of Theoretical Physics).Marques, G.C. and Ramos, R.O. 1991, Phase Transitions and Formation of

Bubbles in the Early Universe, Preprint IFUSP, submitted to Phys. Rev. D.Zcl'dovich, Ya.D. 1972, M.N.R.A. Soc., 160, IP; Harrison, E.R., Phys.

Rev., D l , 2726.

35

SU(3) <g> í/(l) Model for Electroweak

Interactions and neutrinoless double beta

decay

F. Pisano and V. Pleitez

Institute de Física Teórica

Universidade Estadual Paulista

Rua Pamplona, 145

CEP 01405-São Paulo, SP

Brazil

Abstract

i We consider a gauge model based on a SU(Z)®U(l) symmetry in

which the lepton number is violated explicitly by charged scalar ami

| gauge bosons, including a vector field with doub'e electric charge.

f This model also produces (/?/?)o* with massless neutrinos.

l

Here we are concerned with a gauge model based on a SUL(3) & UM(1)

symmetry. The model is anomaly free if we have equal number of triplets

and antitriplcts, counting the color of SU(Z)C, and furthermore requiring

8 6

à

the sum of all fcrinion charges to vanish. The anomaly cancellation occurs

for the three generations together and not generation by generation. The

price we must pay is the introduction of exotic quarks, with <>l<'<tiic charge

5/3 and - 4 / 3 . [1]

We start by choosing the following triplet representations for the left-

handed fields of the first family, (3,0) : (vt,c,e')] for the lcptons, and

(u,d, J\)\ : ( 3 , + | ) for the quarks, and the right fields in singlets. Notice

that we have not introduced right-handed neutrinos. The numbers 0,2/3

and 2/3 r —1/3 and 5/3 are Í / N ( 1 ) charges. The other two lepton general.ions

also belong to triplet representations, and the second and third quarks

generations belong to antitriplets.

In order to generate fermion masses, we introduce the following

Higgs triplets, n : (vQ,m,rj})T,(3,0), p : (p+,p°,p++f,(3,l) aud \ :

(\",r".A-°)T.(3,-I) and the sextet (6,0) »

a\ hi hi

14 (1)

These Higgs mtiltiplcts will produce the following hierarchical symmetry

breaking

^ <J^ (2)SUL(3)®UN(l) ^ SUd2)®UY(\) <J^ VtM(l)t

l h e Yukawa interactions with the leptons is

'We thank» II. Foot for c.illing our attention to this powiibilly.

87

. . 1

*:" _. t .

As (<z°) = 0 the neutrinos remains massless. For the first and second

quark generations we have Yukawa interactions like Gu(üLuHr]0 + (l^uni]J,

trii^i,anpT + aiflftp .

I» Here we will not write explicitly the physical gauge bosons, but only to

K mention that there are consistent with the usual relation between the mass

of the lighter neutral gauge boson n%z and that of the lighter charged one

mw. mz/mw = 1/ctf where cw is the cosine of the Weinberg anpie

As the sextet does not couple to quarks it is not able to produce (/?/? V

by itself. Notwithstanding, by considering the most general potential in-

volving the f) triplet and the H sextet, it is possible to verify that the

physical charged scalar are linear combination either of T77-/1J or '/J-/tj~

both degenerates in mass. (2] This degeneration will be broken when we

allow the coupling with the other two triplets, p and x, with 17. With the

sextet they will anly coupled through the term (\/2)piXjH'K

It Is very well known that the observation of neutrinoless double beta

decay, {00)o», will imply a new physics beyond the standard model. Usu-

ally, two kinds of mechanisms for this decay were assumed to be indepen-

dent: massive Majorana neutrinos and right-handed currents [3]. In both

cases, the bosons exchanged in diagrams producing the decay are vector

ones. Even for those models in which there are contributions of the scalars

exchange, they are negligible [4],

Then, the Yukawa interactions with the scalars feJ"tJ with leptons and

88

• • . . . • • • . • . . . - . • " . • - • • • • • ; . " , ' - ' • • • ; ' , • - . . . ; • . » : • : : > '

• - • > • * . • • • - . . • • • • • • • • • • , . • . - ' . . . • • . • • • . . - ' - , • • • • • - . •

t/i with quarks in, allow all the couplings appearing in Fig. 1, for example,

with the physical scalar <f>i . We can estimate a lower lxmml on the DKISS of

<f>i, by assuming that its contribution to (pfi)^ is less than th<; amplitude

due to massive Majorana neutrinos and vector bosons \V~ exchange. We

obtain m^ > ZGeV.

We can see that (/4/?)ov proceeds in this model only as a Higgs Uvsous

effect, with niiissless neutrinos at tree level. There are not contributions to

(IÍB)OL, from trilinear Higgs interactions because the charged leptons couple

only to the »/-like tri]>lets, and those triplets do not contain doubly charged

scalars. In models in wind» these contributions exist, they are negligible [4]

unless a neighboring mass scale (~ 10*GeV) exist [5].

References

[1] F. Pisano and V. PleitM, SU(Z) ® U(\) model for the electvoweak

interactions, to be published in Physical Review D.

[2] In preparation.

[3] M. Doi, T. Kotani and E. Takasugi, Prog. Theor. Phys. 83, 1( 19S5).

[4] J. Schediter and J. W. F. Vallc, Phys. Rev. D25, 2951(19S2).

(5) C. 0 . Escobar and V. Pleitez, Phys. Rev. D28, 11GC(19S3).

89

Fig.l Scalar contribution to i

mixing'

*i t fíR\ a an* Yukawa coupling :m«l "1,1the (WW- *>•* ar<

* - {

a

u.

90

Form Factors of the Charmed Meson, O Decays D+ -

r "'• -' Patricia Ball aud H-G. DoschJ

r. s

r - 'J Institui far Theoretiache Physik, Umversttit Heidelberg

Philosophenweg 16, D. 6900 Heidelberg, Germanyand

Erasmo FerreiraDepartamento de Fixica, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

CP. S8071, 22^52 Rio de Janeiro RJ, Brasil

Abstract. As an attempt to explain discrepancies between experimental results and theoretic»!calculations on the ratios between longitudinal and transversal polarizations of the A" * meson inthe svmileptoiiic D* decay, we evaluate the simplest hadronic corrections to the form factors. Weshow that the influence of these corrections is too small to account for the existing discrepancies.

1. Introduction and general methodScmileptonic decays of charmed and beautiful hadrons are a most important source of

information on fundamental parameters in the Higgs-sector of the standard model of weak

interactions. However, these parameters, which are elements of the Cabibbo-Kobayashi-

Maskawa matrix, have to be extracted from the hadron decays taking into account the

strong QCD-interaction confining the quarks inside hadrons. The main source of un-

certainty in the results that can be thus obtained comes from the treatment given to

non-perturbative QCD.

Quark model calculations1"5 give in general a reasonably adequate description of non-

perturbative effects despite the rather crude way of achieving chiral symmetry breaking

through non-zero constituent quark masses. However, in the case of the sernileptonic decays

of charmed mesons into vector mesons D+ -* Ã" e+u there is a rather poor agreement

between quark model calculations and experimental results6"9, concerning both total rates

and polarizations. A detailed study of this decay in the framework of QCD-sum rules10'11

shows better agreement with the data, except for the ratio of the longitudinal to the

trim*versai polarizations of the A'* meson. The central experimental value for this ratio is

about twice as large as the theoretical result.

It was already pointed out1011 that within the sum rule approach a large ratio for the

longitudinal over the transversal polarization raimot be obtained and that therefore, in

raw of confirmation of the present experimental value, OIK; has to look beyond tin: simple

91

quark levels for sources of the disagreement. The clarification of this question is of great

importance, not only for our understanding of the mesons systems consisting of a charmed

and a light quark, but also in view of the determination of the weak matrix elements

involving bottom quarks.

It was suggested iti ref. 10 that hadronic corrections might influence the semilep-

tonic decays and be the source for the discrepancy between theory and experiment. In

fig. 1 we show the dominant diagram providing such a correction, hi the present work its

contribution is evaluated and compared to the simple quark results of ref. 11.

D+ PD

Fig. 1. Dominant hadronic contribution to the semileptonic decay D* -»7w°*e+i/, whose contributions toform factors are calculated in the present work.

The calculation of the diagram of fig. 1 must take into account that hadrons are not

elementary particles with pointlike couplings, and therefore internal contributions of high

virtuality must be supressed. This is done in our calculation in the following way. We

represent the hadronic contributions to the different form factors by double dispersion

integrals_, . fam da fum du

J»i a — nip /uj u — mfc

where the index FF specifics each of the form factors. The quantities s\ and uj are the

kiiieinatical thresholds. The double spectral function can be obtained from diagram (1) by

using the Cutcosky rules, putting the internal lines on mass shell, so that only on-mass-

shell vertex functions occur in the determination of the double spectral function. The

internal contributions with high virtuality are then suppressed through cut-offs sm and um

in the .' and //-integrations.

The cutoffs am and u,n are determined by the hadronic excitation energies, shire above

them the single diagram (1) is no longer representative. We have thus ]>araiiiet ri/ed .s,,,

and nm as

*m = (»»D + A)" ; "m = {mK- + A)' (2)

wh«TP A is conservatively varied in the range 0.6 < A < 2 GeV.

With a cutoff value s,u the al>ove mentioned non-Landau singularities occur only far

t i4miD./sm.

The point rti2D is always outside the integration interval of 5, but m j^-. is not always

outside that of u. We therefore take into acocunt the finite width of the A'* meson, through

the replacement

1 u - m2K. - imK.TK.

u-m~K. + ÍE lu-m2K.)2 + {micTi{')2

where Tip is the full width of the A'*-meson. The imaginary part of the hadronic correc-

tions obtained in this way can be viewed as a consequence of a final state interaction.

2. Results

In the table we display the effect on measured quantities due to the hadronic cor-

rections, for cutoff values (in GeV2 units) given by (sm;um) = (6.0; 1.7),(8.2;3.6) and

(15.0; 8.35). The results of ref. 11 have to be multiplied by the entries of that table in or-

der to include the effects of hadronic corrections. We observe that for the case (6.0; 1.7) the

effects are completely negligible, and that even for the extreme large cutoff sm = 15 GeV2

the effect of the hadronic corrections on the longitudinal to transversal polarization ratio

is «mailer than 20%. The main influence is on the decay rate, which is increased by 77%.

The cifrei <>f tlic iiiuiginary part is .dways completely negligible.

Table. Multiplicative factors representing the influence of the hadronic corrections on the polar-ization ratios aad on the total decay rate. As in the table, $*, and um represent the cutoff valuesin units of GeV2.

RLT: Ratio of the longitudinal over transversal ratio including hadronic corrections, divided bythe corresponding uncorrected quantity;

_: Analogous ratio for the relation between positive and negative hdicities;

RM: Ratio between the total semileptonic decay rates including and not including hadronic correctkms.

(4«;«i»)

(6;U)

(8.2;3.6)

(15;8.35)

Rir

1.01

1.04

1.19

1.01

1.10

1.49

Ru*

1.02

1.15

1.77

Summarizing we remark that hadronic corrections cannot explain the existing discrep-

ancy between the central value of the experimental results for the D+ -* Hi*e+u decay

and the theoretical result obtained from sum rules fiar the ratio of the longitudinal to

the transversal polarization. However, it can be remarked that the corrections obtained

slightly move the polarization ratios towards a better agreement with experiment.

References

1. M. Bauer, B. Stech, M. Wirbel, Z. Phys. C29 (1985), 637

2. T. Altomari, L. Wolfenstein, Phys. Rev. Lett. 58 (1987), 1583; Phya. Rev. D37

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3. N. Isgur, D. Scora, Phys. Rev. D40 (1989*), 1491

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5. F.G. Gilman, R.L. Singleton, Phy». Rev. D41 (1990), 142

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7. J.C. Anjos et at., Phys. Rev. Lett. 62 (1989), 722 (E691-collaboration)

8. H. Albrecht et al., Phys. Letters B255 (1991), 634 (Argus-collaboration) .

9. J.C. Anjos et al., Phys. Rev. Lett. 65 (1990), 2630 (E691-collaboration)

10. P. Ball, V.M. Braun, H.G. Dosch, M. Neubert, Phys. Letters B259 (1991), 481

11. P. Ball, V.M. Braun, H.G. Dosch, Form factors of semileptonic I>-decays from QCD

sum rules; Heidelberg preprint HD-THEP-9M6. Subm. to Phys. Rev. D

94

\ ' . k . l . i >• k-'*

ESTUDO DA DISTRIBUIÇÃO LATERAL DA CASCATANIKTLEÒNICA INDUZIDA POR UM ÚNICO NUCLEON

NA ATMOSFERA

J. Bellandi, R J.M. Covolan, C. l)«.brigkcil.CGS Costa .• LM. Mundini.

Drpio. Raios Cósmicos c Cronologia. IFGW • UNICAMI».

Em recente artigo ', estudamos o comportamento da cascata nucieónicainduzida por um único nucleon, que interage com a atmosfera numa pro-fundidade („ (g, cm1) com energia E,. (arbitrariamente escolhida como sendo£„ H)4Tt\), usando as soluções da equação de difusão tridimensional, ob-lidas |>tlo método de ordenação de operadores exponcnciais de Feynman I S .Apresentamos! aqui somente a discussão de alguns aspectos importantes docomportamento lateral da cascata: dependência com a energia; com a alturade interação; com a dispersão lateral e com a quantidade média de matériaatravessada pela cascata.

A análise da solução é feita com base nas seguintes variáveis: a) E e í,energia e profundidade de detecção; b) a distância r no plano perpendicularà direção da cascata com relação ao seu centro; c) T - (/ - í,,)/A\, alturaem que ocorre a interação com relação ao detetor, em unidades de livrecaminho médio de interação nucJeônico; d) 7/ = //A/v, nível obsorvaciona!em unidades de AJV - nos cálculos usamos 7 / = 6,75, nível de observaçãode Chacaltaya, Bolívia (54Oy/cm2); e) parâmetro de dispersão lateral a =ETIPT H,<t sendo pr ° momento transversal transferido na colisão, supostoaqui constante e igual ao seu valor médio e //„ um fator de escala, definidopelo modelo isotérmiro para a densidade atmosférica.

A componente lateral Ffj, em função de a, está representada na Figura 1(multiplicada pela quantidade 1>\HJ.), indicando que para cada valor deT existe um alrance máximo no desenvolvimento lateral, determinado por<ifnl/, calculado como sendo

T/T/).

O comportamento de 1'fj em função ri» energia K, para diferentes alturasde interação, indica que para evento» iniciado» nas proximidades do ponto

95

de medida (7* pequeno), o fluxu apresenta um espectru mais rico em energias"altas" ( > ÍO3?'^') e mais pobre em energias "baixas" (• 1027"« V) do quepara eventos iniciados muiio acima do puniu de observação, quando então odesenvolvimento da cascata já está bastante avançado. Com isto, as curvaspara diferentes valores de T se cruzam, como mostra a Figura '.'. na qualassumimos o = 0,1 .

O fluxo lateral em função de 7* demonstra, como era de se esperar, umaintensidade tanto maior quanto mais próximo do centro ê realizada a medida(Figura 3, com E •-- I007YI'). Também é de se notar a presença de um |xmio

>• de máximo no fluxo a uma determinada profundidade. Este resultado éi análogo ao que ocorre no desenvolvimento da cascata eletromagnética, para' a qual existe um ponto crítico na produção de pares e fóloris 4.

Uma característica da componente lateral é a dependência com a profun-.lidade do nível de observação Tf. Como exemplo, mostramos na Figura 4 asmodificações introduzidas nas curvas de Ffj em função de T, para diferentes

} valores de Tf. 6,75 (Chacaltaya, Bolívia), 8,125 (Ml. Fuji, Japão); 10.625(Gran Sasso, Itália) e 12,875 (nível do mar). Esta dependência é introdu-zida nos cálculos como conseqüência da variação da densidade atmosféricaao longo do percurso desenvolvido pela cascata.

Outro fator impo.'inte na análise é a dispersão lateral quadrálica média,*. a2 >. A sua raiz quadrada está relacionada com a largura media dadistribuição lateral da cascata e apresenta o mesmo comportamento que ovalor de Qmdz, na medida em que se varia T (Figura 5).

A dependência de < o2 > com a energia é muito fraca, mesmo paradiversas ordens de grandeza em E. Este resultado pode ser comparado comaquele obtido por A. Ohsawa e S. Yamashita i , que resolveram a equação dedifusão nucleónica seguindo um método de cálculo bem diverso. A Figura €apresenta a variação de < a1 > com a razão Eo/E, tomando por base o nívelde observação Tf - 6,00, reunindo resultados da Ref.[5J e os deste t rabalfao,para 3 diferentes altitudes de interação T• A coincidência é completa e ascurvas se superpõe.

Apesar de não existirem dado* ex|MTÍmeniaÍ5 só para a rasrata nu-clcónira, esta análise é importante para o estudo do comportamento da cas-cata hadrõnira (nucleons -t pions). O ronlierimento da solução da equaçãode difusão para a parle nucleónica da cascata permite resolver de formacompleta o sistema de equações diferenciais acoplada» que descreve a ca.vcaia hadrónica *', a partir da qual podr-iu- proceder a análise dos dadosexperimentai* em radiação cósmica.

96

' ' • / • . . . • . '

• V«:'- v .'V.'- . 'A

. '•'.*'.:,• v v - - ' N

fc

10"

Figura 1. Comportamento de F£ Figura 2. Comportamento de f £(prftt)3 em função da dispersão late- (pr//,,)2 em função da energia £ , parural a, para diversos valores de T (com diversos valores de T (com a = 0.1 ).E = VMTtV ) .

£^\ p - 10 O». T.V

T». 12.87»

T2.00 lf.00

Figura 3. Coniportanienio de Ffj[yrH,,)"1 em função da altura <le in-trra(ão T, para diverso» valore» dt u(com £.' = lOOTtV ) .

Figura 4. Comportamento d<. Ffj •[prti.,)- ero função de T, para diver-sos valore» do nível de observação Tj

= 1007*«V,o = 0.1 ).

97

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to ' to1 to* to*

10"

O . Í O I 3 O J 3 O ""iW" 4.Ó0 S.ÔÒ «oo

T = ( ( - »,)/*«

1 Figura 5. Variação de y/< o 2 > e d»t»,,,,ir em função da altitude de in-teração T, para diverso» valores daenergia de limiar E.

Figura 6. Variação de < a* > tinfunção da razão £•,,/•£ para 3 valurt.-de T (usando Tj = 0.00 ). Oi cálculo*da Ref.|S| : o» deste trabalho fornecemo» mesmo» resultado».

Agradecimentos:Os aulores agradecem à FAPESP (CGSC e LMM) e ao CNPq (JB) pelo

auxílio financeiro concedido.

f;

/lií ".

Referências Bibliográficas:(1] J. Bellandi et ai., Preprint DRC • TH 02/91.j'jj J. Dcllandí F^ et ai., Hadronic Journal 12, 245 (1989).J3| J. Bellandi F? et ai., Hadronic Journal 13, 165 (1990).|4) J. Nishimura, llandbuck der Physik • XLVI/2, Spriger-Verlag (1967).|5] A Ohsawaand S. Yamushita, Prog. Tlieor Phys. 77, 14J1 (1987).|6| J. Bellandi F(-' et ai., Hadronic Journal 13. 4»» (1990).

98

SKYRMIONS NÃO VIBRANTES E VIBRANTES *

V.E. Herscovitz e F.M. Steffenslusliliilo di> Física, Universidade Ftxleral do Rio Cirande do Sul

CP. I5051, 91500, Porto Alegre, RS, Brasil.Abstract

A instabilidade da solução estática do modelo a não linear levou Skyrmea adicionar uma interação quártica ao lagrangeaiio. A obtenção de soluçõessolitônicas no modelo a não linear continua sob análise na literatura, agoraao nível quántico, sobretudo com propostas de quajitizaçâo de grau de li-Iterdade de vibração. Comparamos no presente trabalho os liamiltonianosde algumas destas formulações considerando, também, a interação quárticasimétrica incluída em uma generalização do modelo de Skyrme.

1 INTRODUÇÃO

Ao sugerir que os núcieons p,>dem ser descritos por sólitons topológicos de uma te-oria de campos mesôiiicos, Skyrme1 recorre a uma configuração de campo estática,da forma "ouriço"

lk = eirfFlr) , l)0 e SU(2) , U0(r = oo) = 1 , (1)

com f (oc ) = 0 e F(0) = ir para número apológíco n = 1.Considerando que a solução clássica do modelo a não linear puro não é estável

ao colapso, Skyrme adiciona ao lagrangeaiio uma interação quártica que asseguraa estabilidade do sóliton. Omitindo temporariamente o termo de massa:

(2)

sondo /'„ = 186 MeV a constante de decaimento do píon e t1, uni parâmetroadiineiisional a ajustar.

A «olfiçáo de Skyrme é MUI estado de "simetria máxima" para o qual umarotação no ett|*aço de isospin eqüivale a uma rotação espacial, c en> que o ânguloquiral ou função perfil /''(») c s<.luçào da equação (de Euler-Lagrangc) que mini-miza a massa estacionaria, definindo um ponto estacionário da »<;ãü.

Adkiiih, Nappi c Witten3, tralaraiu as flutuações em torno da solução de-SkyriiK! liierar<|iiicaineiitr cm uma U.-oria de campos fracauxüite acoplados, tniaii-tizaudo os graus de lilx-nladc coletivo» rotacionais, c llajduk c Scltwruiiiger1 in-cluíram o modo vii>iit<ioual do skyrinioii para estudar a n-snoiiáucin RO|MT e

•j-

Jfalmllu, ,>t>r<-ialiu<Hii<' linanriít.lo |K.r (1NI'«|, FAI'KHCS «• I'lNKP.

99

isóbaros A. Aborda-se, também, na literatura a situação em qu<> o lagrangea.nodo modelo de Skyrme é, desde o início, quánticoV

Ademais, como prcdiçòes sobre a interação NN pelo modelo d<- Skyiinc apre-.seiitadasSi<i evidenciam que o mesmo não descrevo a interação atrativa a distânciasmédias, c proposta a adição da interação quártica simétrica7'8

£.„., = ^ j

ao lagraiigeano de Skyrme, o que resolve cm parte8 tal problema. Como <•*!<•termo contribui com sinal negativo à massa estática, os |K>ssíveis valores de ~t sãolimitados superiormente. Os autores desprezam as derivadas temporais qnárlicas,|H>r serem de ordem (v2/cs)a em relação à massa estática M.

2 SOLUÇÕES DO MODELO a NÃO LINEARA existência de soluções estáveis para o modelo a não linear é ainda alvo dediscussão na literatura, face à possibilidade de estabilização quântica do sóliton.Carlson" incorpora, além dos de rotação, efeitos de vibração em uma teoria vin-culada, onde o vínculo preserva a simetria quiral no limite de massa zero para opíon. Dividindo o conjunto de configurações de campo em classes de equivalênciade cani|)os que diferem por escalamento do sistema de coordenadas, a integralfuncional

Ré (l JGiV(? l)]*) *W 2 / V"l (4)= jdV j R

inclue um campo representativo de cada classe (em 6), sendo G uma função localpositiva da configuração de campo e A(l) a variável que promove a dilatarão

V(?,t)^U(\-3>3?,t). (5)

decorrendo ao lagrangeano do modelo a não linear, ao campo V na forma"ou-ríço " e adotando como vínculo o termo de Skyrme, Carlson determina o ânguloquiral F(r) que satisfaz 6\L — pG\ = 0.

A proposição de estabilização das soluções do modelo a não linear por flu-tuações quãntícas10, com a introdução de uma variável coletiva vibracionat adici-onal R(t) à função perfil do campo U, é contestada na literatura11'12, onde seressalta a importância da presença de uma interação adicional estabilizadora,como o termo de Skyrme, mesmo ao nível quântico. Contudo, para a análisedestas situações, são adotadas formas es|wcííiras para o ângulo quiral, que nãosão, obviamente, soluções clássicas das equações de movimento e que deoeiidemde parâmetros clássicos.

.lá em uma variante alternativa de estaMIí/H^ão das soluções do modelo pelaintrodução de mu parâmetro de corte c a pequenas distâncias" pani o funcionalde energia, <• »ua posterior <|iiantização, o |K-r(il /''(t) <'• determinado.

100

ÉMMÊÊMiãMâMÉÉÊÈMÉkMÊ3 HAMILTONIANOS PARA SÓLITONS

VIBRANTES E NÃO VIBRANTES(Jonsideretn-se as duas situações seguintes:

1. Ao lagrangeano que.inclui os termos tio modelo a uào linear, de Skym<> t>quártiro simetria), com qiiautização das variáveis coletivas rotacionais c vibracio-ual para o caiii|M>

u = ^

e A(t) — atí -+- a • F, ii:cor|>ora-se a restrição nas variáveis a^ de SI J(2) via umltipli-rador de Lagrange.

II. Ao lagraiigeauo do motlelo a não linear, incorpora-se como vínculo a in-teração composta doa termos de Skyrme e quártico simétrico, via multipl< aclor deLagrange.

Desprezando contribuições das derivadas temporais quárticas do último termoe promovendo a quantizaqão covariante14, após o estabelecimento dos vínculosdas duas teorias (todos de 2 a classe) e a determinação dos parênteses de Dirac15,obtém-se os Hamiltonianos quânticos gerais

sendo (fpU(<i) o tensor métrico, g s= deig^, e qM as coordenadas generalizadas.Como casos específicos, para as situações I e II acima, citam-se:

1.1 Termo quártico simétrico e modo vibracional ausentes: Hamiltoniano de Skyr-me1; 1.2 Modo vibracional ausente7**; 1.3 Termo quártico s-Tiétrico ausente12; ].4Nenhum termo ausente.11.1 Termo quártico simétrico ausente9; II.2 Nenhum termo ausente.

Aos hamiltonianos 1.1 e 1.2 correspondem sólitons não vibrantes e aos de-mais, sólitons vibrantes. De 1.4 obtém-se diretamente 1.1, 1.2 e 1.3 eliminando oparâmetro 7 e,ou o grau de liberdade vibracional. A forma funcional dos coefici-entes, que são funções do ângulo <|iiiral, nao se altera de um caso a outro, mas oângulo quiral se modifica.

Os hainiltonianos II.1 e 11.2, bem como os das situações III10 c IV'3 sãoidênticos na forma diferindo, contudo, os coeficientes, à semelhança da situação J.

Na situação III nào existe* solução clássica (para o ângulo quíral)16, sendo estadificuldade evitada cm IV |x*la introdução do parâmetro de corte t.

A comparação mire IM v II. I (1.4 <; 11.2) é particularmente interessante |x>r<|iieos icNrficiciitüs dependeiil.es do tcrino d<- Skyrme (Skyrme mais quártico .SÍIIKHIÍÍ o)não conlribiieni a 11.1 (11.2) embora os termos contribuam à função perfil cones\H>\u\eiilc.

Sc, para »/*»=(), aju«lann<*«J a massa do mírlcon A !K)8.*J MCV na aust-ncia <l<-nuxlo vilMacioiiat (l'n <• t compatívd.s ), oliIcK-tnox para a uiliiaçào 1.3 o valor

101

if"f!

j • . . . . .

IUN=1036 MeV e para 1.4, 1045 MeV (f = 0.11). Ja para f;=18G MeV, II.1conduz9 a m/y=1101 Mt'V e 11.2 a 1152 MeV, enquanto o caso I gera valore» mais«•levados.

Considerações mais detalhadas, serão apresentadas em breve.

REFERÊNCIAS1. T.II.R. Skyrme, Proc.ltoy.Soc.A260, 127; A262, 237 (1*161); Niicl.Pliys.31,

550, 556 (1962).2. C S . Adkins, CR. Nappi and E. Wit ten, Nucl.Phys. B228, 552 (1983); D.

Wittou, Nucl.Phys. B223, 422 (1983); G.S. Adkins, in Chinú Solilons, K-FLiued., World Sdentilic, p.99 (1987).

3. Ch. Ilajduk and B. Schwesinger, Phys. Ijett. 140B, 172 (1984).4. K. Fiijii, A. Kobushkin, K. Sato and N. Toyota, Phys. Rev. D35, 1896

5. A. Jackson, A.D. Jackson and V.Pasquier, Nucl. Phys. A432 567 (1985).6. R. Vinil Mau, M. Lacombe, B.Loiseau, W.N. Cottingham and P. Lisboa,

Phys. Lett. 150B, 259 (1985).7. J.F. Donoghue, E. Colowich and B.R. Holstein, Phys. Rev. Lett. S3, 747

(1984).8. M. Lacombe, B. Loiseau, R. Vinh Mau, Phys. Lett. 161B, 31 (1985);

169B, 121 (1986).9. J.W. Carlson, Nucl. Phys. D253, 149 (1985); B277, 253 (1986).10. P. Jain, J. Schechter and R. Sorkin, Phys.Rev. D39, 998 (1989).11. A. Kobayashi, H. Otsu and S. Sawada, Phys. Rev. D42, 1868 (1990).12. H. Asano, H. Kanada and H. So, Phys. Rev. D44, 277 (1991).13. B.S. Balakrishna, V. Sanyuk, J. Schechter and A. Subbarainan, Preprint

SU-4228-482(1991).14. B.S. DeWitt, Phys. Rev. 85, 653 (1952).15. P.A.M Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Yeshiva University, New

York (1964).16. J.A. Mignaco and S. Wulck, Phys. Rev. Lett. 62, 1449 (1989).

102

i

/•, •

OS SOLITONS DO MODELO DE SKYRME COM O TERMO DE MASSA DO PION

Juan A. MignacoCentro Brasileiro de Pesquisas Físicas (CBPF/CNPq)Rio de Janeiro - RJ

Stenio WulckInst. de Pisict\, UFRJRio de Janeiro, RJ

Damos os desenvolvimentos analíticos na origem e no infinito

para a solução da equação de Euler-Lagrange do modelo em quês

tão, e estudamos em função dos, parâmetros relevantes as solu-

ções correspondentes a número bariõnico inteiro. Mostramos que

a inclusão do termo de massa muda a topologia, e o espaço de

configuração não é mais uma tri-esfera.

103

Sobre o Conteúdo Físico do Modelo de Skyrme

SU(2)

Juau A. Miguacu

Centro Brasileiro de Posquisas Físicas(CBPF/CNPi|)

Rua Ür Xavier Sigaud 150 - CEP 22290

Rio LUÍ Jaiioiio, Brasil

Stenio VVulck

I Instituto de Física, Universidade Federal do Riu de

CEP 21U11, llio de Janeiro, Brasil

!

104

trabalho t* urn rvsiiuio mint o coinpiuuidu «If um milro tiiilmllio ..n.l.-

ittTilk*"*—f , ml i f outius |Kiiii(Jt>, us GOIUCOCS do Mudclo <lr SkyuiM* ua r»|»u-

sentação ouiiço do 5 / ' (2 ) <:t.niu unia fuuç&o du* parâiucti Jo iiiixltlo jlj As

icgru» Jc suma que uljUriuob it paitii *lu <.t|ua^w> clifciuiicial |»niu n r«tit*;ft<> uiipil»

quiiml aqtiowMit&iu-rH.' t-ointj ft-irtatm ntutv lilirw uttitit ituâlwe. i IUIUIH'IU USUIIUIS «ulu fN-M é i-onlit>liwl;i jus

am paiiiuelro espocflico p. que lent valuies dislintos ^i, <>},&• • - pura soln.-üi •>

coiroiftondente* a aúlituns cum difi-rcutca nuuictus baiionicu^ B = 1,2,3- • . res

peclivamcnte. É muatraJu que um |miâiiictio diuiriiciHinal n|nucce HUM SH(III>;I>*I

irgulaira. na oiig«iii,v qur |HKle MI tuiuadu como a inclintrçuu dtis cmvus c«>i-

i«|Kmdetitef às ditaw Molut^mAléni dvno. mutlratuo« Uuiibciu qu<- •• |miâimti<>

adiuusnMtMial d» Skytnu? (e) teiu unt pupt>l peculiar poi* cle vxplicilu. u i«.hil^l)ili-

dade da boluçào nólitou clássico visto que. a este nível, nào v tc-m como lixa Io,

mestnü sabendo que ele i- linitu c vstá delinido no iulei valo M < e < se. Poi outiu

lado. a quantixação do niudciü atiavrá das coordenadas coletivas nus Kvu u uniu

exprcmào para u energia que 6 Função do patânicliu de Skytmc P quer ti-m uni

mínimo entável liem definido para ciula número bariônko iiiliiio. Üeslu iiiuiK-im

fixa-ne o valor do paiãmHio «..

'.C trabalho obtriiii», tainljciu, w* niussois dos sólilous cm termos de núnicior>

'cwdependent*M do pnràmrtto ^, domoineniurnangulai e du<uustui)tt> '\i-

icMto do pfc>u ( / , ) o qual pode m.'i tido rumo um paiâtuelro livit-, | ;UÜ

ajustar as pievuto» do moHulo rom <w dados experimental» on tiitrui UM <ál<ulos

com o «MI talor expitiliiiüital (0.1 MC (Jt*v). MIMIIÜIIMW, »ÍIK)U, IIID IJÚIÍOII H =

2 , l s J s | com ma>!>a I|IIUM: duu.-. wita o valor da niauttt do nuclcon \i = \. l —

J = 1/2, v uni e«ladu H = 3 , / = J ss 1/2 que é muw lt>vc <(ii<- u piínuito (itimu

citado.

No modelo de Skyime. todo* os biirioiu» toritainiH; ciulu ve2 mais l«;\«s nu

ii-lução ns muwMMi conliir-idiM do» uiuAvm U:\vx, a imxlida que H auiiumu.

Nu Tabela 1 b|tu>M:iiluiiiosoK vbloi<'H(lopaibiiic'liu ^comsjuHidt nl(s a súlilonv

105

com núnuio B = 1,2,3. Ni-tita nu-Kiua tabela ditiiHw o vul<>i úv i nu mii:tm<>

quáuiico (pata rada vului di> tí) e u niMMia Jo üúlitoii iu'.-w>i> iitíiiiinu. O vulur

/ , = 0.129 Gev é aquele do trabalho d*> C S. Adkiiw, C. U. Nuppi e \í. Will, n |3j

e fui colocado paia efeito de compaiaçàu .

Na Tabela 2 damos as ptincipais caracteiúticas <lo HÓlitou tiuriüiiico H = 1.

Na Figura 1 repn^entaiuuM algumas noluçôeii da equação de movimento, cuiiio

função do parãtuetro ç. A boluçio regular ê aquela que vai u z n o no inlinitu.

Na Figura 2 damos alguns resultado» obtidos atravát das regras de t>omu, como

função de +.

Na Figuta 3 teiuos o espectro de inassa, de acordo com a Tabela 1.

Referências

(1] J A Migitacoaud Stcuio Wulck 1991 CBPF • UFHJ " Ou l'h« Hi>sictU ( o u

teut of The SU(2) Skyrnie Model" aparecerá em bicvi- como I'npiiiil

[2] G H Derrick 1961 Journal of Mathematical Ph>»io* S 12Ü2

[3] G S Adkúw, C tt Noppi and L Wit teu 1983 Ni.cl PI.VH B228 ">7

106

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hiuhôniciis íniin modelo com confinamento e

simetria quiral *

' Trabíilliu |iarci;iliitc(itc financiado \m)o CNl'i| (Braail) c

INIC (Portugal)

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Gastão Krein «.*£;,Instituto de Físicu Teórica - Universidade Estadual Paulista • • •

Rua Taniplona, 145 - 014% São Paulo/SP ^

L •;

Resumo '. .;

Nesta comunicação apresentamos os resultados de um cálculo de • . ,!,

massas de mesons pesados c núcleons e deltas usando um modelo de •' V

quarks com confínanicnto e simetria quiral (P.J.A. Bicudo, G. Krcin,

J.E.F^T. Ribeiro c J.C. Villate, aceito para publicação em Phys. . .;";,\. ''l

Rev, D). As massas dos inésons são obtidas resolvendo a equação . ''<

de Salpeter e as massas dos núcleons c deltas são obtidas usando um • j

método variacional para a equação de Salpeter. Os resultados obtidos '•'.., •

são muito bons. ;

109 • ,( .' .', ' t

A CToinodinâinica quântica (QCD) tem sido bem sucedida na análise<k> dados experimentais de sistemas hadrônicos a altas energias v grandesiiioinentii transferidos. Este sucesso é devido principalmente a sua pro-priedade de liberdade assintótica, a qual permite o emprego da teoria d<-l>erturbações para tais processos. Por outro lado, fenômenos de baixos mo-menta tranferidos e baixas energias, tais como o coufinamento da cor «• aquebra dinâmica da simetria quitai, não foram ainda derivados da U-oiia.Estes fenômenos são eminentemente não jxrturbativos, o que torna difícilseti estudo de maneira sistemática. Cálculos usando su]>crconiputadores(teorias de calibre na rede) têm se mostrado promissores, mas ainda seencontram num estágio muito preliminar, e os resultados obtidos até o mo-mento ainda não ]>odem ser comparados com a experiência. Portanto, oemprego de modelos fcnomcnológicos, que incorporam algumas das carac-terísticas básicas da QCD, são a única alternativa disponível no momentopara o estudo da QCD a baixas energias. Nesta comunicação apresentamoso resultado de um cálculo das massas dos mésons pesados e dos núclcons edas deltas empregando um modelo que incorpora o confínaincnto da cor <•que realiza a simetria quiral no modo de Nambu-Goldstonc.

Aqui vamos ajHMias apresentar os elementos essenciais do cálculo, osdetalhes podem ser encontrados na publicação que deverá aparecer em brevena Piiys. Rev. D. O modelo está baseado no seguinte Hamiltoniano[l,2]

)) , (1)

onde Ho éa. densidade Hamiltouiana livre e H/ corresponde a uma interaçãoefetiva:

tfo(x) = ^(xHm/í-í-ÍVW-íx), (2)

(3)

As A°'s são as matrizes <!<• cor de Gcll-Mann. A estrutura cspínorial destainteração efetiva c do tijn> "Coulombiana"; mas o formalism») p<Tiiiitc oemprego de outros tipos de interações (possivelmente o retardamento ]>ossaser incluído).

O operador de campo ti-in u forniii

110

(4)

onde b and d referem-se resjtcctivanicntt.1 aos operadores de destruição dequarks e antiqtinrks no vsimço de Pock, os quais carregam índices <le snlior,spin c cor. Uma soma sobre índices repetidos está implícita. Os espiuoresu and t», e os operadores do cs]>aço de Pock, não são os corespondentes deuma teoria livre, mas sim combinações lineares destes, ti, c v, são dados

9ÍP) = V 1 " 8 " 1 ^ ? ) ' (5) : . . • » "•'••:_onde « | e « J são os espinores livres usuais. A função tp(p) é chamada de - . ;.':}ênpdo juiraL Esta função é determinada de modo que a energia do vácuo = .;-•••é mínima. As propriedades de <p(p) foram estudadas com detalhe em [1,3]e mais abaixo voltaremos à discussão de algumas destas. • 7 . ?'

Em termos dos operadores de Fock e do ângulo quiral, o Hamiltoniano r;.',. 'fica sendo ôndo por • '•.'•'.

WW ^ ^ Wf i Wt * f *

J L J • •)';'••

Em Ht, os dez diferentes termos (obtidos somando-se sobre os índices j el) sào combinações dos seguintes vértices 6 '

e i c ( p , p ' ) = « } ^* 4 (6)

H4

111

r

Os termos //^ e i/4 forain ordenados na ordem normal. O ordcimuirnionormal do operador energia potencial introduz termos de auto-ouorgiu, osquais estão incluídos em H3, dando origem ao termo E(k),

E(k) = A(k)Hm<p(k) + B(k)cosr(k), (7)

A(k) = m+lJtPpVik-p^hMp), (8)

D(k) s k + JiPy&pWik-p)™^). (9)

O ordenamento normal dos termos de energia cinética e potencial dá origem,além de E(k), a um tt .mo constante (indejxmdente de operadores de criuçãoe destruição), o qual representa a energia do vácuo. A iniiiimizbção daenergia do vácuo com relação a <p{p) nos fornece a equação de gap:

A(k)cosv>(fc) - B(jfc)sinv>(lt) = 0 , (10)

a qual determina <p{p).A física do ângulo quiral é que se <p{p) / 0, temos a quebra dinâmica

da simetria quiral: no limite de massas de corrente iguais a zero, o termode energia dos quarks (E(k)) apresenta um termo de massa, o gerado di-namicamente.

Neste trabalho, o potencial confinante empregado foi o seguinte

V(x) = -K3Qx2 + U. (11)

0 termo constante U, independente das corrdenadas do espaço, é necessáriopara definir estados assintóticos "in" e "out" . Ambos Ko e U são posi-tivos e têm dimensão de energia. O potencial q - q total pode ser vistocomo o limite, quando U—» +00, de uma sucessão de potenciais cada vezmais profundos com V(±oo) = 0 eventualmente. É importante notar queU não corresponde a um deslocamento universal, como num formalismo

\í de primeira quantização, dau massas hadrônicas. Este U entra no Hainil-i; toniuno (3) multiplicado por um produto de qtiatro operadores de campo. foriniônicos ip e duas matrizes de cor. Portanto, U é um operador e não um

n núincro-c. Ainda nmis, como .será visto abaixo, a, interação ofetiva entre os' qnUtkH no interior do» há<lrous é atrativa, iipcHiir de V ser positivo.

E possível provar os seguintes resultados:

112

l^g^. - -

a) Quando U—» +oo, a autoenergia dos quarks (antiquaries) tende a maisinfinito. Isto significa que não existem quarks livres!b) A adição de um termo constante ao potencial não modifica a equaçãodo gap.c) Um potencial "constante" não contribui para amplitudes de aniquilarão(criação) quark-anti-quark.d) A equação dos estados ligados (equação de Salpeter) é icvariante sob odeslocamento da energia potential por U.e) 0 Hamiltoniano confina a cor.

Passemos agora à discussão dos estados ligados correspondentes aosmésons charmosos e núcleons e deltas. Neste trabalho, como estamostratando com potenciais instantâneos (e desprezamos canais de energia neg-ativa) a equação de Salpeter pode ser escrita como

(12)

onde | V*) é um auto-estado do Hamiltoniano, com massa M. 0 operadorque cria um méson é escrito como

L L (13)e o operador de núcleons (e deltas) é escrito como

onde i/>, x e « são as funções de onda nas variáveis espaciais, de spin-isospin ecor, respectivamente. Para os mésons, fatorando a parte angular da funçãode onda de acordo com

obtemos a equação para ui(k)

113

^•V•V•^V^vV;^^'•vi7^•'•:^\>{^I^*'•:^•••'••^l^v•••iV '•t -':-;v - » ,

A equação para V* para os bárions é dada por

i) - M - - V p i l + -< -5

1)] (1 - sisin¥>,)(! - sin V*) , P2, Pa) = 0 .

Nas equações acima, os momenta, energias é massas são dadas em unidadesde (4/3) l /3Ko e sin ipi significa sin <p(j>i). L é o momento angular orbitaltotal, S,' é o spin do i'esimo quark, S éo spin total e V^3 é o Laplacianoem relação ao momentum relativo (pi — Pa)/2.

As equações acima se parecem com equações de Scbrõdinger com in-terações spin-spin, spin-órbita e tensorial. Estas interações implicam emdiferentes massas para os diferentes hádrons, dependendo dos valores de5, L and J. É importante notar que todas as interações foram derivadasde um mesmo termo do potencial e dependem do ângulo quiral <pt o qualreflete a estrutura do vácuo.

A equação dos mésons é resolvida numericamente usando o método deRunge-Kutta[l]. Os resultados obtidos estão mostrados na Tabela I abaixo.

114

Tabela 1:290 MeV

: EsjKictro i, m.

são da Ref. 3

Méson

VcJ/VXcoXc,Xcif

V"'V"DD:D*D,DiD;

jPC

0~+

10 + +

J++2++

1""1—1—1—1—o-0+1-1+1+2+

= 1362

SL,

lS03S,+3

3 D

3 p3p t 335Í+335,+3

3S,+3

35,+3

35,+3

•5o3Po35,3P,+J

3P,+'3P2+3

íiesónico ao setor do charm,M

Di

F,DiDiDiDiDi

PiPiF,

eV e mu =

Calculado(MeV)3096309733323343336535793611415542094935199822162005227124992552

nit = 0. Os \

Experimental(MeV)29793097341535113556368637704040415944151869—.

2007—

24242459

/)Os valore» cxpeiiiitmt.ii.s

Tabela 2: Massas dos núcleons e deltas, para diferentes valores para asmassas de corrente m = mu = mj. O parâmetro do potencial é o mesmoque o usado para o charmônio (•1/3)I'3Á'O = 290 MeV. a é o parâmetrovariacional.

m (MeV)00.7257.25290

MN(MeV) 11378137813751844

MA (MeV)1612161116072005

r»N (fm)0.6290.6280.6220.479

«a (fir0.5400.5390.5370.435

* 1 t.

• * • '

• . • , > ;

• • , ' • v

' • • ' !

115

, ' « • ' . • • , ' (

0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 \2

Resultados do método variacional para as massas dos núcleons e das deltas.A massa M e o parâmetro variacional a estão apresentados em unidades! ( 4 / ) ' / 3 A '

116

•.',!

A equação para núclcons e deltas foi resolvida usando o método viuia-cional. As funções varíacionais foram tomadas como gaussianas, comparâmetro r*. Como teste do método, empregamos este para o channônio.Obtemos resultados em excelente acordo com os calculados exatamente(Tabela I). Na Figura abaixo mostramos os resultados para as massas dosistema N — A, como função de a, para o caso de massas de corrente iguaisa zero. Os valores numéricos para diferentes valores das massas de correnteestão mostrados na Tabela II. Os resultados para as massas N — A suorazoavelmente bons, considerando-se que não incluímos canais acoplados(píoiis, principalmente). ' '''

Como conclusão, temos que o presente modelo é capaz de fornecer re- \ ' vsultados muito bons para o espectro dos mésons pesados e para o sistema ! •'N — A . Os resultados aqui obtidos dependem de um único parâmetro, A'o. '.Os desdobramentos dependentes de spin são dependentes do ângulo quiral .. '•"•' <<p(k), o qual é resultado da quebra dinâmica da simetria quiral. 0 próximo ' - \,passo, é a inclusão de canais acoplados, bem como o cálculo de outras pro-priedades dos hádrons (funções de estrutura). Apesar de não-relativístico, o ' >presente modelo certamente é um avanço em relação aos modelos de quarks ; "'não-relativísticos do tipo Isgur e Karl[5]. '

1 ,'''.

Referências .' . •(1] P.J.A. Bicudo e J.E.F.T. Ribeiro, Phys. Rev. D 42, 1611(1990), . . ':

1625(1990), 1635(1990).

|2] M. Finger, D. Horn, and J. E. Mandula, Phys. Rev D 20, 3253 (1979);

A. Casher, Phys. Lett. 83B, 395 (1979). \ ['<

(3] A. Le Yaouanc et ai., Phys. Rev. D 29,1233(1984). ; :"J

[4] Particle Data Group, Phys. Lett. B239, (1990). . , ' ^

[5] N. Isgur em Proceedings da 16th. International School of Subuuclear . ' ,Physics, Erice 1978, ed. A. Zichiclii (Plemun, N.Y., 1980). ! .,;:

117

.' ». -i_ ._*L_A, !»*>*„**. 4 **. .. P. »_ *

MINI-JETS SEEN IN COSMIC RAY INTERACTION WITHCARBON TARGET CHAMBER

C.E.Navia,F.A.Pinto,H.Portella,H.V.Pinto,R. II.Maldonado

Instituto de Fisica-Unlversidade Federal Fluminense24020-Niteroi- RJ -Brazil

In this work we use two differents procedures by minijets identification in cosmic ray particules interactionwith carbon target chamber (C jets) observed by Brazil -Japan Collaboration.This events concerns the overlappingenergy region with CERN and FNAL collider experiments(v/s~ 500 GeV). Our results are discuted and interpreted interms of fire-ball model and we find which those studiesare common in many aspects with modern version of multi-particles production models such as quark-string inspiredby OCD. I

1-INTRODUCTION. The present work covers experimental re-Bults and phenomenological studies with use of the emulsion chamber exposed to the cosmic radiation at the top ofMountain Chacaltaya,Bolivia(altitude 5200 above sea level)by Brazil-Japan Collaboration1 . Me carried a systematicanalysis on the data of carbon target interaction^-jets)of cosmic ray particules observed by two storeyed emulsionchamber. The cosmic ray observation is confined in theforward region while the collider experiment works' in thecentral region.However C-jets of Chacaltaya exposure is ingood agreement with CERN collider experiment* Both cosmicray C-Jets and CERN collider experiment found frequentemission of "mini-jets" and also rapid increase of itsproduction rate with collision energy. They believe thatthe association of such mini-Jets are the cause of increa-se of < Pt > and multiplicity. According OCD picture mini-jets are the result of "gluon-gluon" collision. The inco-ming nucleon is a bundle of quark and gluons, where thenumber of associated gluons (mini-jets) increase withenergy.

2-C-JETS CHARACTERISTIC AND MINI-JETS IDENTIFICATION.Lowerchamber is designed to be a detector for secondary gammaray from the cosmic hadrons in carbon target interaction(C-Jets). For every C-Jet detected in the lower chamber wehave energy E and position (r ,$> ) of all detected gammaray. The detection threshold energy in nuclear emulsionplates for gamma rays in lower chamber Is around E~0.1 TeV.The energy weighted of C- Jet is taken as the origin of thecoordinates and after the correction for slanting arrivaldirection we obtain the zenithal and the azimuthal anglesof gamma rays in laboratory system, In this work we use171 C-Jets events with total visible energy greater than10 TeV and two differents methods by mini-Jets iidt-nt j cat! -on a) JETS-ANALYSIS. This mot hod is very similar to usein the study of atmospheric gamma ray families caller! "de-caacddjng". The jets analysis procedure use the parameter

1 IH

relative transverse-momentum between i and j gamma w

ray in a C-Jet defined as:

Ptij» E; Ej (Rlj/H)/(Ei • E; ) (1)where Ej and Ej are the respective energies, R,; is their•utual distance and H is the helgth of the interaction(H~1.7m for C-jets) and impose the criterion PtjJ c Pte-T ,putting the pair Jointly into one. Repeating the procedureover all possible combination of pairs we arrive at a fa-mily cosposed of jets. The number of sini-Jets in every ' ;•.'••'event depending of chosed of PtewT- The dependence on PttliTis examined in Fig. 1,for the purpose of choosing an appro- .'...priate value for Ptcat, where we find a rapid decrease in /.*'>V \number of jets aa Ptt,Tincreases up to 0.25 GeV/c while the ''\-'•decrease becomes slow as Pt runs in the region beyond and ,, 'the critical value Pt cur can be taken near 0.3 GeV/c. ".<b) VETOR-ANALYSIS. According with fire-ball model an in- | .. >'termediate object (fire-ball) is forsed in a high energy :.''>".,collision.decays into a number of secondary particles to '<• , 'fora a jet in the c.s.s. The aoaentua of every secondary X'particles can be resolved in two components p.f and p^ . The , •'-;p^ is along the direction of the fire-ball aoaentua and : '.;*. •pt is at right angles to the axis referred to as spin axis (' <;which makes an angle with fire-ball aoaentua direction '. :',:

as is shown in Fig.2. The momentum conservation impose the > "••condition J Pti * 0 .where N is the number of secondary , particles produced in nuclear collision. If the secondary , .•particle momentum $ makes angles if and S$ with the emissiondirection of the fire-ball and spin axis .respectively, we /•' '•,have: a i a a. '

(1-K )cos & *2K cost cos*f cosff-K cosf « 0 , (2) "where K«P^ /Pt and ff «6f [9 A) , ii-Sf 19,^) . Here O andÇ are the zenithal and azimuthal angles of a secondary ' ;

particle in the c.m.s. When K is constant the relation (2) !

represents the equation of a scew elliptic curve in 0 and0 variables. In Fig.3, we can see three difeerent types of •diatribuition of secondary particles according whit rela- 'tion (2). The Fig.3C is for all possible values of k and^ | ,";,'The Fig.3B is for k>l, for bothy and k variables, and the .".Fig.3A is for fixed values of both k and y . Typical c.m.s ' ,0 - } plots are shown in Fig.4 A,B,C of secondary gamma rays ' ;!produced in three differents hadron-nucleus interactions '"(C-Jets). The elliptic like distribuition is shown by do- ;' ;.*",'tted curves.

The number of jets obtained for both procedures, jets*analysis and and vetor-analysis is shown in Fig.5 and wecan see a good agreement between both. \ ',,:

ft

3-SECONDARY ENERGY DISTRIBUITION AND "MINI-JETS". In thefire-ball language the scaling characteristical multiple ,.production of hadrons observed in both cosmic ray and ecce- i-lerator experiment a low energies is a consequence of the ' •existence of a minimum unit fire-ball in multiple-pion pro- ;duction called H-quantum. Those old ideas from cosmic raystudies are common in many respects with modern version of '-',multl-pion production models such as "quark-string" and we ' '•,'.

119

rrar\^:»«.^*.j»^.t. iL- -IÍÍÉI.-V^".-»»_V-*~. -••I.»^:".»_ . ..-•— i- •• »• - --•

may identify H-quantum as an unit piece of the "quark-string". After 1970 Brazil-Japan Collaboration has observedin two storeyed emulsion chamber events with large Pt andlarge multiplicity and were assumed the existence of alarger fire-ball called "SH-quantum" or "Acu-jets" and isthe responsable by scaling break when the energy increasesThe "Acu-jets" events are associated with "mini-jets" and"mini-jets" is a consequence of two steps decay of the"SH-quantum" first going into a few "H-quantum" and then"H-quantum" decay in pions like a mini-Jet. Analysis of se-condary energy distribution for a C-jets with large mul-tiplicity is shown in Fig.6. The full lines is the theorJ-cal distribution of gamma-rays from a "SH-quantum" underthe assumption of direct decay in gamma-rays through TT°-The broken line is the theoricsl distribution of gamma-rayfrom "SH-quantum" under the assumption of two steps decayfwhere a "SH-quantum" First goes into N H-quanta and thenemits N gamma-rays through mesons and can be expressed bythe convolution of two thermodinamic like distributions.

«-CONCLUSION- We analyse the existence of one or moregroups of secondary particles in cosmic ray particles inte-raction with carbon target(C-Jets).each of those groups isrepresented by points on elliptic curve in c.m.s. ©-<£ plot.Each of those groups is identified as a mini-Jet.This typeof analysis is in good agreement with other type of frame-work called "jet-analysis".Multiple production is a processwhich can be considered in two steps: first,a sub-hadronicprocess(fire-ball production) and second,a subsequent decayor transmutation in Jets of hadrons. The sub-hadronic pro-cess can be interpreted under the light of the OCD likemodela.

â

l-C.M.G.Lattes et al- Phys.Report,v.65,n. 3,1980,152.2-N.Arata- Nucl.Phys.,B211,1983,189.3-D.MaJumbar- Proc. 20th I.C.R.C.,Moscou,v.5,1987,174.4-C.Navia et al- II Nuovo Cimento,(in press),1991.

(fl 12-

4)-5

8-

Q

32 4-

FIG 1

0 " rTrrnTTTfTTTTTrrTTTnTTTTTfriTT

000 0.10 0.20 O.ioPt cut (GeV/c)

Írmrn0 oéo

120

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10'

10:

1 :

HMH-I

HC 4

10 -10

i y,

! • '

•'•• V 1

ALGUNS ASPECTOS DA DETECÇÃO DE NEUTRINOS COSMOLÓG1COS

. O E MATÉRIA ESCURA\ 'J

( R.Simonetti e C.Escobar

Instituto de Física, Universidade de Sio Paulo

CP. 20516. 01498, S.Paulo, SP

R E S U M O : Visando a detecção de partículas candidatas à matéria escura, incluindo

neutrinos, estudamos o espalhamento coerente inelástico destas partículas por um alvo

composto (macroscópico). Através da excitação coletiva do alvo (cristal) investigamos a

produção de fônons, fora do equilíbrio térmico. Analisamos o espectro dos fônons pro-

duzidos, com especial interesse nos fônons balísticos (GHz-THz), que são mais facilmente

detectados. Investigamos ainda a possibilidade de se utilizar estados coerentes como es-

tado inicial do processo.

1 Introdução

Nosso objetivo [1] é investigar processos através dos quais poderiam vir a ser detectados

neutrinos cosmológicos, assim como outras partículas, fracamente interagentes, candidatas

à matéria escura.

Estamos interessados na magnitude destes processos, isto é, qual a probabilidade com

;,. que ocorrem e as respectivas taxas de eventos.

jíPor se tratar de W I M P S , Weakly Interacting Massive Particles, a seção de choque

é proporcional à Cíj., a constante de Fermi (* lO~6GeV'i), sendo portanto muito re-

duzida. Exibtem outros agravantes, como por exemplo as baixas energias de partículas

presas à galáxia (com velocidades da ordem de 300fcm/<) ou em equilíbrio térmico a uma

temperatura de 1,95/f.

A seção de choque típica destas partículas interagindo com a matéria ordinária (u, d,

e) é da ordem de ld'Mmb para partículas de massa nula, 10~27m6 para massas da ordem

j de 10eV e 10 wmb para massas da ordem de 2GeV.

A questão é, portanto, como aumentar esta seção de choque. Unia maneira possível é

122

explorar a coerência deste processo. Devido às baixas energia envolvidas (comprimentos

de onda longos) ocorre coerência em escala nuclear e atômica em alguns casos.

0 espalhaniciito coerente pode se dar de duas maneiras: elástica c inelaslicaniente.

Vamos tratar aqui apenas do caso inelástico. , v

2 Espalhamento Coerente Inelástico; • r '

Consideramos neste caso, que ao sofrer uma colisão, as partículas transferem energia para í ..<

o alvo (rede cristalina) de modo a provocar excitações coletivas. Numa rede cristalina [ '

o deslocamento dos átomos de suas posições de equilíbrio pode ser descrito atreves da ' '

produção/aniquüação de fônons. A idéia portanto é produzir fônons a partir da interação , ' -•c-cristal e detectá-los. | .

f • vObservou-se que em cristais a baixas temperaturas (com poucos fônons térmicos) pode-

se detectar fônons na superfície do cristal que foram produzidos no seu interior mas que

não sofreram termalização. São chamados fônons balísticos e possuem freqüências da • •; •

ordem de CHz-THz [2]. \ .[

Nesta situação teríamos um cristal preparado com número de ocupação de fônons bem , ''t

definido (auto-estado do operador N) e portanto fora do equitíbrio térmico. ; • .-

A interação i/-cristal pode ser medida através do monitoramento dos fônons produzidos :

no estado final. Para tal precisamos conhecer o seu espectro, que é dado por:

Ao <T0 \\a ;';"'.( + 1)

^ S . 1 I**"» I . I . . | - 3 f l f » W | . If 111 ' V '

F r

para neutrinos sem massa e para neutrinos com massa diferente de zero (ou outras

partículas candidatas a ME):í .;-.;

Oonsiderunios dois casos, num o cristal é preparado inicialmente com fônons acústkos ','' )

(A fa lOVifíeV ') c no outro com fônons balísticos (A a WGeV'1). :

123

Os gráJicos abaixo apresentam o espectro de fônous produzidos a partir da interação

de partículas massivas com um cristal (Si) preparado inicialmente com fôiions acústicos

(à esquerda) c com l>alít>tic<>s (»\ direita).

Si ( m , = lÜeV). X,= IO11 G e V 1

oúE

oX

•o

os

0.4

OS

n n

• »

-

-

\V\. . 1 . ,

" 1 "

. . 1 . . . . 1 . .

" 1 "

—• . -

' ' 1"

-'

-

. . 1."

0.2 0.4 O.d 0.8

A, (x IO i

«« n-w-»Si (m,= IMeV). A,» IO18 GeV

>o

IO10 1 0 " 10'*

A, (CeV)

Si (in,= 2GeV), .\,« IO12 CeV"1

10»ojá

b

K, (CeV")

Si (m,,= lOeV). X, GeV- i

sJD

O

M

b•O 0.0

o.4 o.a o» iX, (X 1 0 ' CeV"1)

Si (m r« IMeV), \t= IO7 GeV- i

o

Í

b•o

0.862

0.060

I _

0BM 0.08 O.BIK! 0.004 0.000 0008

*, (X 10T C«V')

Si (m,,= 2GeV), \ ,= IO7 GeV"1

lü8 10a 10* |ÜB 10° IO7 10"

124

Na tabela, abaixo se encontram as taxas de eventos para os processos dtados:

010 eV

lAfeV2GeV

fônons acústicos

5.62 x IO"48

9.0 x 10"*5.52

6.30 x IO15

fônons balísticos

8.42 x IO"*9.0 x 10"1"9.12 x 107

6.30 x 10»

ates. O interesse

3 Estados Coerentes

Uma outra possibilidade é utfliiar um cristal preparado em estados a

neste caso é investigar se há aumento da seção de choqae devido a mn fenômeno análogo

ao efeito de "super-radiáuáa" em ótica. Em princípio o que se quer observar é a transição

entre dois estados coerentes, que pode ser caracterizada pelo surgimento de uma fase

relativa. Os resultados numéricos para este processo estão sendo obtidos.

4 Conclusão

Os dados relativos à produção de fônons num cristal inicialmente ocupado com fônons

balísticos são bastante animadores, principalmente se considerarmos partículas candidatas

à matéria escura com massas superiores a alguns MeVs. Quanto à possibilidade da

utilização de estados coerentes é «ma questão ainda em aberto, a ser decidida quando

estiverem concluídos os cálculos numéricos acima referidos.

Referências

[1] HSimonetti, Dissertação apresentada ao IFUSP para obtenção do título de Mestre,

1991.

[2] J.P.Wolfe, Phys.Today, Dec.l980(44).

t . .

125

t .d •

i

ESPECTRO DE MASSAS DE BARIONS NO MODELO QUARK-Dl QUARK*

A.S. de Castro - UNESP, Campus de Guarátinguetà, DFQH.F. de Carvalho e A.C. B. Anfunes - UIHJ, IF

ill

Calculamos as massas dos estados fundamentais dos barions ciespin 3/2 através í.a reduç&o do problema de três quarks ao problemaequivalente envolvendo um quark e um diquark. O potencialnfio-relatlvistico utilizado teve seus parâmetros fixados no setormesônlco, e difere do potencial quark-antiquark apenas por umfator associado com o operador de Caslmlr quadratlco do grupoSUO) de cor. 0 espectro de massas obtido por essa aproximação écomparado COB O espectro obtido pelo método de Zlckendraht e com oespectro experimental. A aproximação quark-dlquark e o método deZlckendraht fornecem espectros similares, apesar do dlquark terdimensão de mesma ordem de grandeza do méson.

Acredita-se que a QCD (cromodlnamica qu&ntica) seja a teoria

das Interações fortes, descrevendo as interações entre quarks e

gluons. No modelo de quarks ordinário mesons e barlons s&o estados

ligados QQ e QQQ, respectivamente. Barlons podem ainda ser

interpretados como estados ligados de um quark e um dl quark. As

excltacões bariônicas s&o excitações do diquark, do quark-diquark,

ou ambos. 0 propósito deste trabalho é investigar essa

possibilidade calculando as massas dos estados fundamentais dos

barions de spin 3/2 com o modelo de potencial não relativistico.

A equação de Schrôdinger com o potencial estático

V(r) - F 4 • Kr0'8 II)

acrescido de correções relatlvistlcas dependentes de spin, foi

usada no setor de quarks leves e pesados, mostrando excelente

concordância com os espectros experimentais de mésons (1) e

barlons (2]. A extensão para o setor gluônlco também Já foi

considerada 13J. F é o valor esperado do produto escalar doscspins F de cor de dois corpos, relacionado com o operador de

Caslmir quadrático do grupo SU(3) de cor. Para o par QQ no estadosingleto de cor F * -4/3 e a paiametrlzação do potencial (1) paracesse sistema é

126

. • ; . . . . . • " . . , > ' - . • . • • . . ; « • • ; . • ; . • • . ; ' • . " . • ! • : • . . : • ' . • • ; . . : • • ' : : ' . • - : • , >

m « 4 .5 GeV, m = 1,5 GeV (2a)b c

m = 0 ,5 CeV. m = m = 0,38 GeV (2I>)• d u

o a = 0,187, K = 0.7B7 GeV3'2 (2c) '

C • (O.Olx* • 0,14Bx - 1 .412) GeV (üd) '

x ' Lníím n- •«>*•> ]ceV~3l (2e)LL q i q q j J : >%

i

com as massas em (2e) dadas em GeV. Para o tratamento da •' ••

espectroscopla de três corpos na Bef. 2 introduziu-se um sistema <->

de coordenadas interno, que descreve a forma do triângulo formado , .'

pelos três corpos, e um sistema de coordenadas externo, que ,,;

descreve a orientação desse triângulo no espaço. A equação de ; ."l

Schroellnger para esse problema reduz-se então a um sistema de

equações acopladas nas coordenadas Internas. Para os estados de •* .

onda S,P e D um método formulado por Zickendraht [4] permite 't\

transformar o problema de três corpos num problema unidlmensional. :

0 espectro de bárions foi calculado supondo que o potencial de ) ' •

três corpos é uma soma de potenciais entre pares. 0 par QQ na ' '

representaç&o irredutível 3~ tem F * -2/3, de modo que o par QQ , .c ,

tem um peso relativo ao quarkônlo igual a 1/2. 0 potencial de • •

curto alcance para o par QQ é 1/2 vezes o potencial de curto • • • ,•

alcance para o quarkônlo. Conjectura-se que essa regra sobrevive

para o potencial confinante. '',•-

Na aproximação quark-dlquark para o calculo da espectroscopla '••

barionica supomos, como no caso do método de Zickendraht na Ref. '. •

2, que o potencial de três corpos ê uma soma de potenciais entre

pares e a regra de multiplicar todos os parâmetros do potencial

por ua peso relativo. Desse modo n&o há parâmetros livres. • ,•.

Calculamos as massas dos estados 1 unrlumentais dos dl quarks de spin . '

1 (F • -2/3) e em seguida as massas dos estados fundamentais dos ,; 'c . '

sistemas quark diquark de spin 3/2 (F « -4/3), considerando o 'diquark como uma partícula elementar IIÜ comhliwgào com o <juurk ' '.

! ,

i

. • » . • • • . •

para fornar o bárion. Alguns de nossos resultados estão Ilustrados

na Tabela I.

Na Tabela II consta* as Massas dos -dlquarks e as massas dos

mésons assim COMO OS respectivos ralos quadrat Icos médios. As

massas dos diquarks e mésons não diferem significativamente mas os

diquarks são Maiores que os nésons por um fator pouco maior que

1,5. E» geral o dl quark ten raio quadrat ico médio maior que o do

sistema quark-diquark. Somente diquarks constltuidos de dois

quarks pesados e coablnado co» UM quark leve reverte essa

situação, devido a Menor energia cinética dos quarks pesados que

tendes a estar Mais próxinos. Apesar disso nota-se que os

resultados obtidos coa a aproximação quark-dtquark s&o tão bons

(ou tão ruins) quanto a solução (também aproximada) obtida com o

método de Zickendraht.

* Trabalho parcialmente financiado pelo CNPq, FAPESP e FINEP

REFERÊNCIAS:1. H.F. de Carvalho et ai., Lett. Nuovo Cim. 22, 679 (1978); H.F.

de Carvalho e A.B. d'Oliveira, Lett. Nuovo Cia. 23.. 572(1982); A.S. de Castro et ai., Lett. Nuovo Cim. 42, 161(1989).

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3. A.S. de Castro et ai., «uovo dm. A lfil, 423 (1989); A.S. deCastro et ai., Z. Phys. C 41, 4S3 (1990); A.S. de Castro etai., J. Phys. G IS, L81 (1990).

4. H.V. Zickendraht, Am. Phys. 25. 18 (1965).5. J.J. Hernandez (Particle Data Croup), Phys. Lett. B g39, 1

(1990).

128

— TABELA I

Quark-dlquark Zickendraht Exp.

(bb)b

(ss)s

(qq)q

(bb)q

(bq)b

(ss)q

(sq)s

(qq)s

(sq)q

iqq)b

(bq)q

(bc)q

(bq)c

(cq)b

14.495

1,707

1,341

10,422

10,185

1,611

1.571

1,440

1,474

5,747

6,055

7,200

7,083

6,924

14.362

1,707

1,339

10,172

10.172

1,587

1,587

1,448

1.448

5,838

5,838

6,935

6,935

6,935

If(1,672)

4(1,230-1.234)

£(1.532-1.535)

S( 1.532-1.535)

1(1,383-1.387)

1(1.383-1,387)

0.21

0,60

0,67

0,58

0,24

0,65

0,61

0,62

0,62

0,42

0.59

0,59

0,34

0,31

Massas dos estados fundaaentals dos barIons de spin 3/2 naaproxiaaçfto quark-dlquark (em GeV). 0 par entre parênteses é odl quark. As •ffman obtidas con o método de Zickendraht estãoIlustradas para comparação (M.A.B. do Vale et ai., Ref.2).Resultados experiaentals: Ref.5. 0 ralo quadràtlco médio tanbemé fornecido (ea fa). q • u ou d.

bb

ss

«Hbqbc

cq

sq

Diquark

9.352

1,159

0,910

5,208

6,285

2,080

1,028

TABELA II

Rrqa

0,35

0,93

1,04

0,80

0,48

0,85

0,99

Méson

9.466

1,020

0,770

5,270

6,285

2,088

0,892

R

0,25

0,69

0,78

0,60

0,48

0,63

0,73

Massas dos estados fundamentais dos dlquarks de spin I (en GeV) eralos quadratIcos médios (em fm). Os resultados para mésons|Vetorlals também estão ilustrados, q • u ou d. I

I •>'

V;

J29

ü:Mr

if

i

Simetrias de Spins mais Altos do Modelo de TodaConforme Afim

H.Aratyn, C.P.Constantinidis, L.A. Ferreira, J.F.Gomes, A.H.ZiinerumnInstituto de Física Teórica - UNESP

O estudo de modelos imegráveis tem levado a observação de estruturasalgébricas interessantes. Além disso, alguns desses modelos apresentaminvariância conforme, sendo portanto natural procurar uma relação entreessas propriedades. Os modelos de Toda, de certa forma, servem comoum laboratório para essas investigações . Estes são classificados em trêscategorias:

O primeiro, denominado "Toda Molecule*1, é obtido através da condiçãode curvatura nula de potenciais de gauge definidos numa álgebra de Lie Çcujos geradores satisfazem [7"*,T*J = /"^T*. Para o caso sl(2), obtemos aequação de Liouville:

onde x± = x ±t, d± — \(dz ± dt). A invariância conforme é facilmenteobservada na equação acima a partir das transformações :

x+->F(z+)*- ->(?(x-)

•4(2)(3)

(4)

Recentemente as cargas desta teoria foram obtidas [1], observando-seserem elas geradoras da álgebra W, que é uma extensão da álgebra deVirasoro.

O segundo modelo de Toda usualmente encontrado na literatura é o"Toda Lattice", cuja equação de movimento é novamente obtida através dacondição de curvatura nula de potenciais de gauge descritos por unia "loopalgebra", [7^,7^) = fabeT^n. Quando Ç = sl{2) olitcinos:

a_é?+^-cJ* + e-3*=0 (5)

A integrabilidade completa deste modelo foi obtida por Olivi: c Turok[2], ou seja, foram construiria» infinitas cargas conservaria» (já (jiu: o modelo

130

possui infinitos graus de liberdade) e demonstrada sua involução . Noentanto este modelo não apresenta invaríância conforme como pode serobservado impondo-se (2), (3) e (4) em (5).

Mais recentemente foi proposto por Babelon e Bonora [3] uma terceiraclasse de modelos de Toda, descritos por uma álgebra de Kac-Moody:

K . 23 = /"TU» + «nr tU , * (6)fc2a«m2SfM«[ef2y-"0 (7)

Os dois novos geradores d e c implicam a introdução de dois novos camposna teoria, fi e v respectivamente. As equações de movimento para o casode sl(2) são:

(8)= 0 (9)

d-d+u = e-W (10)

Á introdução desses novos campos faz com que recobramos a invaríânciaconforme:

<}> -» ^+| /n(F'C?') (11)

ix -» fi + ln(F'G') (12)v -* v-Bln(FG') (13)

onde B é arbitrário. A questão por nos colocada diz respeito às simetriasdo modelo denominado "Toda Conforme Afim".

Propomos uma construção para as cargas deste modelo e explorar assimetrias nele existentes. O fato do modelo ser invariante conforme implicaa existência de quantidades construídas a partir das correntes conservadas,W(x+) e W(x~).

Considerando a quiralidade ( i + ) percebemos

(14)Portanto as integrais espaciais de tais densidades são conservadas no

tempo:

^ = j dxd,w = j dxdtw = o (15)

131

_Tu»—XL _SA — ' . 1

Note que qualquer função d«- W, F( W), também satisfaz jt J dxF(W) = 0.A Lagrangeana do modulo de Toda Conforme Afítn, escrita nas coorde-

nadas do cone de luz é dada ]>or:

£ = d+4>d-<l> + d_/zd+i/ + 0+/10.I/ + e2* + e2"~2* (1G)

Definimos os momentos canônicos em relação ao "tempo" x~ como:

(17)

cuja estrutura algébríca é dada pelos parênteses de Poissou:

= 6\x-y) (18)

Escrevendo o tei.dor de Energia-Momento modificado cm termos dasquantidades (17)temos:

^ 3 = 11^ — 11^ + 211^11^-211' (19)

onde os termos com derivadas são introduzidos de tal forma que W2 tenhatraço nulo. Com o auxílio de (18) observamos que o tensor de EM modifi-cado satisfaz:

{W2(x), W2(y)) = 2W2{y)6\X -y)- dvW2(y)6(x - y) - l~6"\x - y) (20)

que é a álgebra de Virasoro. Lembremos que estamos tratando apenas ocaso sl(2). A generalização para outras algebras é encontrada em [4]. Alemdisso o modelo possui uma corrente conservada Jc, satisfazendo

, Je(y)) = Je(y)6'(x - y) - dv J'(y)6(x - y) - 26"(x - y) (21)

Para construirmos as cargas de spins mais altos introduzimos o seguinte-operador

) (22)V. = 0 + -

132

i~t*ml^'7i n i l I iJ'fc^ki-*

onde a e rj sâfi definidos nas equações que si: «-guri». Uni f.uii|M» tic spin.s, Vt deve satisfazer a seguinte relação :

x - y) - V't{y)b(x - y) + cK*«'H»U ;,) (23)

Assim, uma corrente de spin 1, seguindo a definição acima satisfaz:

{W2(x), J(y)} = J(y)S'(x - y) - J'(y)S(x -y) + cj6"(x - y) (24)

Portanto, para obtermos um operador de spin s + l a partir t\v uni oiitmde spin s, aplicamos o operador definido em (22) em V,:

V.+I(i) = V.VAx) = Vj(x) + -J(x)V.(x) (25)

que satisfaz:

{W2(x), V.+I(y)} = (s + l)V^,(y)á'(x -y)- y) + cvV.(y)6l'"\x - y) (26)

Observamos na relação (26) que o campo Vt+l só será primário se par-tirmos de um campo primário Vt com cv = 0, pois o último termo desça- . .racteriza a relação (23) (definição de campo primário de spin s). >

Voltando ao modelo de Toda Conforme Afim, observamos <juc ;i corrente 'Jc satisfaz a relação (24) com cj = —2, conforme mostrado na equação (21).No entanto o campo primário Wj(x) possui cv = - 1 / 2 (veja (20)), mas a !existência de 7^ nos permite construir um segundo campo de spin 2, que • •dcuoiuiiiamos W3:

WA*) = \VC(*))2-Je'(x) (27)

que satisfaz a relação de comutação : ( v

{W,(x) , W2(y)) = 2W2(y)6'{x - y) - W'i(V)8{x - y) - 16"'(j - y) (28) • •

, portanto, construir uni rainjx) priiuário de spin 2 livre de 'itt com o auxílio <\v. (27), düdo |x>r: .'•'•

VA*) = W-AT)-\WA*) (29) •";I ,

] 3 3

A partir dc V2 construímos uma torre de campos primários, que Uunlxunserão densidades de cargas conservadas da teoria dc Toda Conforms Atiur.

W?\x) = (d - (3 - l)Jc(x)/2)(d - (a - 2)Jc(x)/2)...

...(d-2Jc(x)/2)VÀ{X) (30)

para a > 2.Notamos, no entanto, que existem outros campos primários livres de

anomalia construídos a partir de Vj e que sâo as próprias potências dele:

2(x),(V2(y))N} = 2N(V2(y))N6'(x-y)-dv(V2(y)f6(x-y) (31)

Logicamente estas potências também darão origem a outras torres de cam-pos primários livres de anomalia. Portanto, dc maneira geral podemosescrever:

= (d-(s- l)Je(x)/2) (d - (s - 2)J'(x)/2)...l)Je{x)/2){d-2NJc(x)/2){V2)

N{x) (32)

onde s > 2N. Resta-nos ainda estudar eventuais degenerescências exis-tentes entre as torres (30) e (32).

Outra questão interessante é a estrutura da álgebra dos campos primários.Mostramos o resultado da relação para WJ1' obtido a partir de (30):

\x -y)- 3W'2(y)6"(x - y)

\je(x)J'(y))6'"(x - y)

(33)

onde B(y) = Je(y)W2(y) + 2 Jc(y)W2(y) - (Jc(y))2W2(y). Observamos em(33) uma estrutura de álgebra W um pouco diferente da estrutura paraalgebras de Lie ordinárias.

Observamos também que no limite Jc gruude:

V2{x)1 6 y (34)

134

obtendo uma relação que se comixirta como

W.(x),W,(y) « 1(3 - l)lV.+i._2(í) + <s' - l)H'.+.'-2(l/))A(3- - V) (30)

<juc é a relação da álgebra w^ [5].A relação nciina é válida tiuito paiai obtidos cm (30) quanto (32).

Referências \jl] J. Balog, L. Feher, P. Forgacs, L. O'Raifeartaigh and A. Wipf, Phys.Lett. B 227 (1989) 214[2] D.OIive, N.Tbrok Nucl. Phys. B257, (1985) 277-301[3] O.Babelon,L.Bonora Phys. Lett. B 244 (1990) 220[4] H.Aratyn,C.P.ConstantinJdÍ8,L.A.Ferreira, J.F.Gomes, A.H.Zimerinan IPhys. Lett. B 281 (1992) 245[5] I. Bakas, Phys. Lett. B 228 (1989) 57

\ '

] 35

, '* „..., ^ J»»;..

I QUANTUM STRING SCATTERING IN; SHOCK WAVES BACKGROUNDS

; M.E.V. Costa:f Instituto th.» Física, Uuivursitlade Federal do Rio Grande do SulI Caixa Postal 15015, 91500 Porto Alegre, RS, BrasilÍ and; H.J. de Vega

LPTHE, Université Pierre et Marie CurieTour 1C, l f r étage, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05, France

At. particle energies of the order or larger than the Planck mass, the curvedspace-time geometry created by the particles dominate their collision process. Insucli situation, the description of fields or strings in flat space-time is no longer valid.Tin- dynamics of the quantum fields or strings is then governed by their equationsof motion in the classical background geometry.

This has been the motivation to investigate string propagation in relevant back-ground geometries. In ref. (1] a systematic approach to quantize strings in curvedspace- times was proposed. It has been applied to cosmological space-times [2], black-hole geometries [3] and more general ones [4]. In addition, the string equations ofmotion turned out to be exactly soluble, in closed form, for some interesting geome-tries, like gravitational shock waves [5,6] and conical space-time [7] (the geometryitioniid a straight cosmic string).

The purpose of these papers [8] is to investigate the scattering of particles by agravitational shock wave in the framework of string theory. As it was stressed in ref.[!)], the shock wave described by the Aichelburg-Sexl metric (that is the gravitationallield of a neutral spinless ultrarelativistic particle) is relevant to particle scatteringat I'lanck energy. We then choose to investigate specifically the scattering of a string(in one of its stationary states) by a particle with an energy of the order or largerihiin the IMauck mass. The string is considered here as a test string, in other wordsits energy must be much smaller than the energy carried by the shock wave.

To compute N-point, particle amplitudes in a curved, but asymptotically flat,spare lime we start from the following generalization of the usual flat space-timeformula |f>]:

136

Here V{k,X{<T,T)) represents the vertex operator for a particle of asymptotic mo-mentum k in curved space-time. It is a solution of the corresponding wave equationin the given geometry, i.e. the Klein-Gordon equation for a scalar particle [6j. Fur-thermore, the string coordinates X*{O,T) fulfil the propagation equations in thechoosen curved geometry,

(o\,X")(9*X1')=0 , *

where G^,(X) is the space-time metric (n,v = 0,1,...,D — 1) and we use theorthonormal gauge for the world- sheet. Hence, the string interaction with thegeometry shows in two different places: the functional form of Vf(k,'X) and thesolution for X"(afr).

The vertex operators *(ifc>, X{OJ,TJ)) pinch the world-sheet at N different points.These pinches describe the ingoing and outgoing particles intervening in the process.Of course, the integration in the expression of AN must cover the whole string world-sheet.

We start by solving exactly the string equations of motion and the constraintequations for a shock wave space-time, in the light-cone gauge [5,6]. We recall thatthe string obeys the flat equations of motion in one side (<) and the order (>) ofthe shock wave. There is a non-trivial matching between both flat space-time stringsolutions, which is reviewed and completed. The ambiguity in the longitudinalcoordinate is solved explicitly. We find that the constraints are satisfied if and onlyif we choose a mean-value prescription. This string solution will be used as thestarting point for the computation in of the scattering amplitude in shock wavespace-time.

The aim of the present articles is to compute the two-point amplitude, i42(&2, &i),for the scattering of a scalar particle (the tachyon in a bosonic string) by te shockwave,

°" t da2 j * 2 dr, dr2 {0< |: *' (k2, X(<r2, T, ) ) :

where ^1( 2) is the momentum of the incoming (outcoming) particle. The vertex 1 . •"operator for the scalar particle, $(k,X), is a solution of the Klein-Gordon equationin the shock wave space-time and Xt>(a, r) stands for the string solution in the shock 'wave metric. The total amplitude A2 is naturally written as a sum of four terms. ! ,,They correspond to qualitatively different space-time histories contributing to thescattering process. For simplicity, we choose the light-cone gauge to perform our ! "•calculations. f j;

As it is clear, the exact evaluation of the expectation value in the right hand > .side of the above equation is a difficult task, since it involves the matrix elements • .;of exponentials of non- polynomial functions of oscillator operators. [The operatorsX*(o,T) after the collision contain non- polynomial functions of oscillators). We '.'

137 i -

r •i •

then evaluate -4-j(Ar , Jti) for large impact parameters q, that is when the scatteringangle as well as the momentum transfer are small. In such a regime, we can start byneglecting the oscillator modes since | q \ » yet'. This zerolh order approximationcan in- improved by expanding the string coordinates operators in powers of y/t?(i.e. |M>wers of the oscillators modes). Analogous approximations have been usedin Hat space-lime [12]. We arrive at an explicit integral representation for the totalamplitude in terms of matrix elements S(t,p) of the vertex operator. As for S((,p)itself, we show that it admits a series expansion in Gegenbauer polynomials.

In lhe impact parameter representation, we find that the string contribution:,for large q appear as corrections of order s/q (s is the usual Madclstani variable)to lhe Coiilombian phase. Il must be noticed that flat space-time calculations yieldcorrections of order s/q2 and smaller for large q [12]. In oter words, the correctionterms we find do not seem to be obtainable through flat space-time compulations.

As is well known, the point particle amplitude for te scattering by a gravitationalshuck wave, as follows from the Klein-Gordon equation, possess an infinite number

| of purely imaginary poles in s, for Im a < 0 [9,10]. The /42(&2I&I) amplitudes,here computed in the string framework, exhibit an additional sequence of imaginarypoles. Their positions are obtained in the small momentum transfer approximation.Ou lhe contrary, the Coulomb poles come from the vertex operator as an exact F-fiiiictiou factor. In other words, the position of the Coulomb poles are not affectedby out approximations.

Up to our knowledge, this is the first lime that the amplitude for the quantumscattering of a particle by a curved geometry is computed within the framework ofstring theory.

We still want to notice that the present calculations can be easily generalized foroilier string states (that is, for higher spin and higher mass particles) by insertinglhe appropriate vertex operators. Of course, extensions to superstrings are alsopossible.

References

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[2| N. Sanchez and ti. Veueziano, Nucl. Phys. B 333, 253 (1990).

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1121 I). Amati, M. Ciafaloni and G. Veneziano, Int. Jour. Mod. Phys. A 3, 1615

K -

139

t -

S P " * "ii

COIUIKLATION FUNCTION ANI) MASS SI'ECTUUM OF QUANTUM

ltuduci O. Ramos», lá,C. Mariiio**, G.C. Marquut* and J.S. Kiiia

AIISTIIACT — The moLliud of solilon quantisation is used tu obtain explicit,

for the vortex mass s|X'ctrum anil lhe asymptotic Ix-haviour oi vortex ÍOI relation fuiu tiuu

in lhe Abcliaii Uiggs Model in 2+11), , ,.

INTRODUCTION

In a recent publication' ', a general method of vortex quantization in continuum

QFT was introduced, based on the concept of order-disorder duality of statistical

mechanics^. It was obtained that the extended lojK)logical excitation», which in the

Abcliau lliggs Model (A1IM) in 2+10 is the vortex, could be descried by nonlocal firhb

analogous to the Wilson loop operator K In [1], a general procedure for the obtenlion of

correlation functions involving vortices was cstablisltod and an explicit operator realizai ion

of the vortex field was obtained. In [4] we have take the formulation of [1] and it was

applied to the computation of the vortex two jwint correlation function in the AI1M in

2+1D «and from the large distance behavior of this function, we obtain an explicit

expression for the quantum vortex mass in lite tree level and its quantum correction at

1-looj) level. The main steps of the procedure are shown below.

CORRELATION FUNCTION OF NONLOCAL VORTJiX OHiltATOKS

I-oL us consider lhe A11M in 2+1U, given by

C m - \ (I), (I)

where D(t = + ieA | (, A(1 being the electromagnetic field and e , the electronic

charge. For m2 > Ü the system is the "unbroken" or disordered plia.se, where <4>> - U ,

1'or in'2 < Ü, lite Iliggs field (j> dcveloj>s a nonzero vacuuin cxjM'ctalion value ami the

photon acquires a mass through the lliggs mechanism. We call it the "IHOI.UI" or

t\Vork partially auppurted by FAPESl1, CNlNj, CAl'ES and FlNlil».'Instituto de Física, 1 nivcrüidade de Sao Paulo.

''Pontifícia Universidade Católica do Kio de Janeiro.* * * LJiii v. Simón llolivui, Venezuela.

140

ordered phase. In this phase Nielsen and Olcscii' J observed that this model possessed

classical solutions with the long distance behavior

• GO

1*1 — L

These solutions we called vortices and they arc associated with the identically conserved

to]M)logical current j = 1/2 c l*'^ whose tojwlogical charge Q is the magnetic flux

along the (xi,xa) plane.

In [1] a nonlocal vortex operator \i was introduced through the equal time

commutation relations

(3.a)

and

y-il ^ T(c)

(3.b)

where c defines a certain plane curve on which the vortex operator /<(c) is defined and

T(c) is the minimal surface bounded by c .

The cuclidcan correlation function of the vortex operator satisfying the algebra (3)

is given byl '

;Cl) /í*(y;c,,)> = '/"'(O) J D

cxp l>(l *)* (D110)

where P(U/(S) = 0^ Ã^S) - 0v Ã^S) and Ã(l(S) is an external field introduced in (4)

such that it guarantee that <///**> is simultaneously surface and path indcj>cii<lciu:c. S is

an arbitrary surface such thai its boundary in ifá ~ c^c^ .

141

íi

MASS SPECTRUM

From (4) oiiucan see thai </</!*> mlucea to

whore A is the sum of all I'eynm.-m graphs with the ex tcriul field Ã(l(.S) in i.ln: <:ximiid

legs. From the asymptotic behavior of (5) one can predict the following Ix.liavioi' '

c -Mv| * -y | (())

where Mv will be the mass of the excitations produced by the field /<(c) and that in llii.s

case will be the mass of the vortex excitation.

Choosing A^S) as defined by the surface S : Sx U Sy = (K; - Ti) U(K; - T.Â)

where 1\ and T2 arc plane surfaces bounded by ct and c2 resjKxtivcly (with radiu.,

R),thcn Ã^S) can be written in the form

and choosing in both phases lhe Lorcnlz gauge as the fixing gauge term:

one can make the shift A^ —* A^-A^S) in (4) and define a new D(l us

D(l = ^ i e í A . - A . Í S ) ) .

In the symmetric phase (in3 > 0), since < = 0, we need not make any shift in

the fields in (1). In the "broken" phase (in2 < 0), we have < i Ú. Taking

4>= l/vîî+iâ) and clioosiug «f>\> = b and < ^ > = 0 one will obtain, after the

shift in # i , the mass terms M ! = e V for the A(l Held and i\\\ = 2 | in |2 for the Iliggs

In both phases one extracts from C the tcrnw that depend on À|((S) and then one

has the respectively Feymnan rules.

After an explicit calculation one obtains the following expimi<;u to A in (0) ' '

A = A u w + Awhore

J42

^ £ s ü i » u » ^ ^ • •'"* '"• '•''•'*•'* • • ' • > : » ' : - v

I Hi) '

witli A. .(a), given by , .iml(2) L 4r|x|

Q(2)

where

(1)

., (st) = -ii-ÍL J:L J í^)3 k2+lll'f

in (10) and (11) ^gflflfP*^00 represent» the external field Ã(l(S).

Taking the limit |x-y | —«» in (ü) we get' '

A • • - M v | x - y | i\:i)| x -y | -*«

where, in the symmetric phase, Mv «= Ü , iis was expected, and in the "broken" plui.se

e 2 G

In (14), ir -72 is the result at the tree level and is just the scmicliissical result fur the

vortex mass' \ The second term hi (14) represents the 1-luop quantum currectiun to the

vortex mass.

jlj ICC. Marino, /Vij/a. Rev. M 8 , IJlíM (l!)S8).

(2J L.I». Kadanuff and 11. Ceva, i'Uyn. Htv. IW, »l!)» (15)71); ivS. Ki;t<ll<in ;UMI \..

Siisbkind, Phya. llvv. 1)17, 2037 (J«í7íi).

|3J K.li. Wilson, l'hyo. llcv. I)H, 2155 (l))7l).

|'l] K.C. Marino, Ü.C. Marques, K.O. Uainos uud .IS. Kmz, IMKJI'KKI'lllN'l' (I •>!* i >.

|5) ll.lt. Nidsen .nici I». OlcDCii, Nucl. I'lup. llfil, 4.r» (l!)7;J).

|üj II. tio Vi:ig;i ÍUIII V. SchajNMiiik, l'hys. Urn. DM, I ion (I'.iVii).

143

i

if:'-É l l :

I

x SUPERS!METRIA, ALGEBRIZAÇXO PARCIAL

E O POTENCIAL VCxJ • x* + \ [ x 2 / ! • g x 2 l

ELSO DR1GO FILHO - IBILCE/UNESP-S*O JOSÉ DO RIO PRETO-SP

REGINA M. RICOTTA - IFT/UNESP-S*O PAULO-SP

RESUMO: Exploramos a relação entre a mec&nica

supersimétrica e a algebrizaÇ^o parcia l do problema espectral para

resolver o potencial n2o polinomial- V(x) = >i * *- t>: / i + a;c 3.

em vários contextos

Particularmente, a

resolução da equação de Schr^dinger atrav«e da super-algebra tem

s'*'

A supersimetria tem sido aplicada

relacionados a mecânica quàntica ordinár ia

sido tratada em potenciais exatamente soKweis'*' • Estespotenciais possuea uma simetria especial em sua forma, queposs ib i l i ta a soluÇ?o exata. Outros potenciais, parcialmentesolúveis, tamb»m t4m sido estudados ' .

Por outro lado, o método de al9ebrizaç2o parcialfornece elementos para t ra tar potenciais onde apenas uma parte doespectro • exatamente solúvel . Este método • baseado na presençade uma simetria escondida no Hamiltoniano (SU(2) no casoí -d imensioital >.

Neste trabalho usamos a relação entre aúu&ntica Supers írn^tr ica e o h"»todo Ae algebrizaçSopara resolver a equação de Schrodinger para o

morai ai :

hecán ica

pare tal

potenr. lal

1

(1)

autores

1 -t g::

reviultados a n a l í t i c o s vem sendo estudados porÍ7-ÍO>

E-.ni h e c â n i c a O u ^ n t i c a Super s i m e t r ica o Hutnt l t o n i a n o

í-ícr 11 o i»or

12

144

W2 ( « ) (2 )

ii

• • ' ' - - • > • • * ' • ' • f - ' • • • • • • • . • • - • . • • • - • - • ' - . •

o n d e o s u p e r p o t e n c i a l W C i í T d e v e s a t i s f a z e r a e q u a ç ã o de H i c a t t i

( p a r a o s e t o r " b o s o n i c o * ) .

VCx> -E = — - U2<>:) i - W' 2 (x )

e a auto função do estado fundamental •

M

Jo• o = e (4>

Para o setor "Fermiànico* o sinal da expoitencial é trocado, e

neste caso a autofunç2>o n^o * normalizável.

A ligação entre formalismo supersim*trico e o h^todo de

Algebrizaç3o Parcial • f e i to através do superpotencial

... . . . . * ' . . . i J f'(;<) ._.

onde *<>:) obtida através de uma transformação de gauge

"imaginário" na função de onda original: *(x) —» •(:<> e~J A ( 3 > d a .

0 Hamiltoniano original também sofre uma transformação, a derivada

simples e substituída por uma derivada covariante

— —» — — - A<x)|. 0 Hamiltoniano assim transformado poesue umad x d it )

simetria escondida, neste caso SU(2>. 0 Índice j (semi inteiro)

indica o n'-'mero de estados que sa*o d lagonal izados: (2j>i) estados.

Para estudar o potencial proposto em (i>, no^ usamos

Aíx) = x - íó)

N

f í«) = E c ::*n (7)n

r,»O

onde b e c sâ'o coeficientes numéricos a serem determinadosr»

através da equação i'3).

• — - - ••-- ••-rn',7i lpliiiWiiiiii'¥'- " -*1 T I r'i«Firi"« •-••-"•—^V> I ••'"

vaaos nos restringir a j « ~õ~> ° ***** significa que

apenas 2j + 1 = 2 estados serio diagonalizados. Assia usando W(x>

dado ea (S) na equaçSo de Ricatti (3) obteaos

b(b-l) + _X_ 1 . f >_ «. . X

x* a i • gx*2E - 2b - 1 -

an .. an-* tn-1cn <-4nx • 4bn x • 2n(2n-i) x >nmo

N

n-O

e(8)

Do resíduo ea x * • obteaos a condição

b « • ou b « i (9)

Manipulando algebricaaente a equaçSo <8> obteaos para

b * i e N " l:

- 3g ~ - 4

o que nos leva a autofunçXo e autova^or:

3 - J - - 39 (11)

fixaaos cQ = i , pois n*o estaaos preocupado* aqui coa a exata

noraalizaçlo.

Toaando b » • tereaos para cada N usa soluçSo que fixa g

e K e que fornece Junto coa ( i i> o par de sotuçXo. Para N • 1

obteaos g < • que nSo posaue interesse f ís ico. Coa H « 2 obteaos

ct - *, c, , g - E - 4 - 3g (12)

ou- 3fl (13)

Finalaentc, para N * 3 a autofunçZo e ant ova lor para a estado

excitado vale

*m = (1 • Ctx* • Cax* • CjX*) e"*''** E^ « 9. - 3g (14)

146

-i- .-i ..::,,> ,

C M

C, -

113

3 * - * - . C,

1.457

IT

Assia. usando ua 'ansatz* apropriado. achaaos doit, pat e%

de soluções para a equação de Schròdinger or ig ina l , e q . ( l l ) e »>3>

COB g - 1/2 e eq. i l l ) e (14) coa g c 1,457. Podeaos nos perguntar

ne e possível obter ua nüaero de soluções aaior que 2. para que

isto ocorra e preciso fixar j > — — na equação (5) e procurar as

soluções de ( 3 ) .

Finalaente, noteaos que o par^aetro b está relacionado a

pnridade das autofunçOes b = 1 para o estado fundamental indica

paridade iapar e b = • para o estado excitado fornece paridade

par.» • • j

Referências

Cl3 L.E. Gedenshteín and 1. Krive, Sov. Phys. Usp. 2£ (1985) 645

C21 L.E. Gedenshteín 'CTP L*tt. 'JQ (19B3). 356

L3J F. Cooper, J.N. Ginocchiro and A. Khare Phys. Rev.

(1987) 2458

C43 E. ürigo Filho and R.H. Ricotta Mod. Phys. Lett ó

2283

Llil ti.A. Shifaan int . J. Mod. Phy*. ^á (1989) 33«5

LAJ h.A. Shifaan /nt . J. Mod. Phys. & (1989) 2897

C/1 E. Driso Filho and R.H. Ricotta Mbd. P/iys. Lett. d

(1V89)

(1991)

I tíl H.U. Beia*i and J.A.C. Gallas

L9.I (i.Vdiiden Berghe and H.fc. De

l i*TI «i.C.

. firaãií. Fis 2ft <1?90)

147t ,

«v.

I

RESOLUÇÃO DA EQUACXO DE SCHROD1NGER COM POTENCIAL

BI-DIMENSIONAL USANDO SUPERSIMETRIA

•J'El so Dr í go Fi 1 ho

IBILCE'UNESP-'Sao Jose do Rio Preto

fcua CristovSo Colombo. £265, Jd. Nazareth, Caixa Postal

CEP.: 15.O55, Fone CO1723 £4-4966 - Ramal 59

RbSUMOi Introduzimos uma realização não usual para algebra5»ip*ft simétrica em Mecânica Quantica. Esta realização permitedesenvolver um método para determinar a soluçSo d» equação deS-;hrõdinger para certos t ipos de potenciais bi-dimensionais. Opotencial de Hartmann e estudado para i lustrar o método.

Km Mecânica Quantica Super si métrica <N=cO nos temos é,

s CQ

1 comutação.

Q que obedecem a seguinte relação de

Q. O I Q, Q+ \

uma nào usual realização desta superalgebra e:

x c~

O

o_aO

»j

O

oo

0oob ~

0O0

o

ooOO

+aO

o0

oooo

ob00

a «=

onde a e b sà'o operadores boson icos CA r e a l i z a ç ã o usual

superalgebra pode ser encontrada, por exemplo, na r e f . í l l D

1» oni ano super s i métr ico dado pe la eq. ( U assume a t o r ma:

da

ü

a00o

ob* b"

oo

«>0

a aO

O00

b" b*

£0 *oo

oH"O*o

o0H'0~

OOoH

H+ O I

O H_ J

geradores U e Q aplicados as autofunçòes de H atuam da

nt *• maneira

•i:)•[.;.) • * m - i v )148

' - ' i ' • ' - " t

x f» X sa"o autot unçúAs de H e H_.

•-> Hanultomano original e total a 2 di mensâ«s pod** ser

rado como s»ndr>

H = t r H = a a + b b i t->>org ••

Km uma di niensaío a superaigebra permite »m ai guns r ^çrjç

••iis<iMir mna tanulia de Hanu J tomamos ligados entre si pela

.«il»»rsini«trj a'2> roiwr» i lustrado na i j guia 1.

. * . " = H - t ' 4 >

4 4 4 <;»

a V = H - E<a>a a so

H -V . H - Ecl>

E1 « 1 o

Figura 1-. I lustração da famíl ia de Hanu 1 tom anos gerados por

•ipwr«s) m*»t.ri a.Sabemos que o espectro e as autor* unções dentes

H*mj 1 *.oni anos «st*© relacionados entre si !i

, , ' # » - ' n > M> * * + ir» . _ .

b = E «• v' = » * • • • a V '-7>f • ^ n t 2 n o

Potenciais um-dimensionais que permitem ta l construção possuem

•ima invariancia na torma quando passamos de um Hanu 1 tom ano para

•M»ro d»niro da famí l ia , o que signif ica uma mudança apenas nos ,

a metros do potencial e n3Co na sua forma funcional. '

Com a r«aJizaçào que demos para a super algebra estes

•.os u?ados em uma dimensão safo automaticamente estendidos '

para cada componente de H CH' «# H":> no caso bi-djim*nsionaJ . ;

Km part icular , podemos usar a relação C7) para encontrar a solução

• 1* **>]»i3çáo de ürhrcráinger

agora um exemplo, o potencial de Hai f nw#nr> * ' .

°_ - -L-2 I ,r2 «en2 « J °

149

!l potencial pode ser aplicado, por exemplo, a molécula de

Em nossa notação a e o raio de Bohr o estado

t uri<1«m«ntal do átomo de hidrogênio, y & a são parâmetros positivos

<* constantes. Em termos de coordenadas parabólicas "quadradas"

equação de Schródinger original pode ser separada em duas

"<\ c ,=—r Í / X . 5 s

- l / l^^J

( X .1t

' * I dxz x*v a 2

'Vide x =

~t 2

•MCO

ít2o relacionadas as

c».>rdenadas cartezianac pelas relações:

x = <T) cosy . y = <JT> sen y e z = —

A t unçüo d» ondas em ternos das novas coordenadas sera—1/"2 i m

cr,2 -

C115

M 2 2 Temos ainda um vinculo entre os parâmetros a e

N*cte caso em part icular , H' e H" s2o idênticos e devido a sua-«•rut.ura d» oscilador harmônico com barreira de potencial sabemos•l*i<ê- «rle apresenta a invariáncia na forma Ca re i . [11 trás alguns

rs do potencial harmônico com barreira de potencial numasuper s i métrica!). Vamos estudar H', onde os resultados para

H" Í i o obtidos por analogia.•*mr>r ando que a a

n i

b". =n

s H - E , podemos verif icar usando C7) que

C n * O , l ,2, . . . >

• n. Jill t i 4)

l .n= a

150

^ y r a a g a ^ ^ y^-t;

'Mvie- x <* obtido pela equação diferencial:

. J"h- .--=?->a t = . » . » * = xl'l e 2h (.16»* o o • • .

No problema original obtemos portanto «da igualdade | • •'

•rsr , É -I- = E + E * -£ — r — <. 21MI+2+C £n +£r\ J n e n = O,l .ri , ." :

" J ' . » " * h I I « a C 1 7 J ; ,

l*oi- outro lado cde C91> e Cl CO D " Í*y

K • t = • f Ca + a 3 '. Ití) ',»;

• K»ndo i. 1V> e ClbJ obtemos:

f

lu» são os a ut oval or es da energia para o potencial o r i g i n a l , a • '

runçào de onda e obtida usando a eq. C I O onde y e * tem a f

torma descrita por C153. Portanto, nosso resultado fornece a ! * ,

anal í t ica exata para o potencial de Hartmann CEO. -,;:

Concluímos frizando que através da realização de '.';,

algebra introduzida neste trabalho podemos usar a í ;.'

fur*r í in»tr ia para resolver a equação de Schrodinger para alguns {,,

i t iais bi -dimensionais. Entretanto, o método não e gera l , pois )' '

todos os potenciais bi -dimensionais, permitem que o !, ;

tom ano original seja separado em dois Hamil tom anos |.,'.r.v

•mi -dlmensionai «. |

kKKi-;kt;Nc:iAS

ti.'

I 1 i NA. Alves e E. Drigo Filho I. Phys. A^l CítíStí) 321B •

Iríl C V. Sifriimar J. f>hy% AlH Clw«6f I.S7 ! '

1^1 l. E. ^ d # i nsiAi n Jetp Lett. 3£ ( lu&3) 3t>6 ] .

141 H Hartniann Theor Clhem. Act a £Í4_tltí72D SOI , ,

|»S| <; i; 'i*rry F'hys L.^tí , AJ 1B Cl MHt:O 448. f,

151

^UA «.

••

CALCULO DAS FUNÇÕES DE GREEN DO MODELO DE SCHWINGER GENERALIZADO

PELQ MÉTODO DE INTEGRAÇÃO FUNCIONAL

Álvaro de Souza Dutra - UNESP/Campus de Guaratinguetâ-DFQ

Calculam-se as funções de Green do modelo de Schwangergeneralizado nXo-anômalo, usando variadas fixações de calibre,através de uma seqüência de transformações nos campos do modelo.Em particular tratamos do caso em que o parâmetro de regularizaçãoassume o valor a • g (a=l,no modelo de Schwinger qujral).

Verifica-se também que, como observado por Girotti e Rotbe [I], asfunções de correiaçSo invariantes de gauge . s3o iguais nos daismodelos. Isto implica que o termo de fonte na integral funcionaldeve ser tal que gere apenas tais soluções [2].

A Lagrangeana do Modelo de Schwinger generalizado

nãto-anômalo, após serem feitas as transformações que desacoplam os

fermions, • dada por

Ô )

ir) + 0)ax

onde M » ae e os campos n e x s3o, respectivamente, as

componentes longitudinal e transversal do campo de gauge

eA « â T) + € àVXt <2)

e o campo B é a campo de Wess-Zumino, aquele que restaura a

simetria de gauge do modelo. Sendo esta uma versão invariante do

modelo, devemos fixar o calibre a fim de obter as funções de

Green. Vamos usar os seguintes termos de fixação de calibres

ii) K,Qr m -il/2a)â 6(T6t (3b)

onde et e (i sà*o parâmetros de gauge.

C A S O ti3 t g\t

Neste caso, para o primeiro gauge fazemos a transformação;

152

w* 1, t - ftIX - V1 J

(4a)

de modo que o modelo desacoplat

com

• 4 (l/:'nea)l9* tf1

- (l/2ae2)i) UÍ» , (5)

(6)

n(H* - ©*

Fazemos as mesmas transformações nos termos de fonte do fune íoiio)

gerador, por exemplo

d,- + fix > •

de modo que o propagador de fóton, que se obtém a partir de :

<A A > » - 6*Z/6J ÓJ i (8)

vai ser dado n» representação de momentum por:

D (k) * -(1/e ) Ik k D , + ipk + k )(ftk + k )D .1, (9)

onde k" s « k^. Usando os propagadores livres dos campos |)' e

obtem-set

* •

No caso da segunda fixaçãCo de calibre, teremos ana logamentes

1) Iran formamõesi

153

• • bid2) Lagrangeana:

X o x' e ©"

( l i a )

( l i b )

i it I 9 9 2 2

m )x" + <l/2ne )(#* - M

3) Termo de fopte|

j pf m (i/e)J(

4) Propagadori

V < k ) " u/ík

(11')

• •

:' - e +

Une' +

- a(M* T •-*,-> - (,;+ < ) ! ! •

CASO

(14)

Nests caso vamos usar um outro método para calcular os

propagadores do fóton. Para isso reescrevemos a Lagrangeana (1)»

onde omitimos o termo de férmicns por simples conveniência, na

formai

K, « U/2)pTW p, (15)

onde p • I pi, de modo que temos por exemplo no caso do segundo

gauge (99 • 0)f

' o t (g\ + s^IH • (a/e )

(/2ne* ) -(g^g^Lni )"

0

0 (l/2o«e )

( 16)

Invertendo a matriz acima obtemos a matriz

154

•r1»<x

( 1

oncle 1)% elementos <* *>, <* >;>, etc., sSo as tunçSes» de

de ttois pontos entre os respectivos campas, a partir das quais

podemos escrever por exemplo o propagador através da

— —e usando que k k - g + li k , ob temos finalmente que:

Finalmente pode-se verificar que as funçSes de Green invariantes

de gauge sXo as mesmas que no modelo anômalo, para isso podemos

definir a corrente comoi

+ (l/e)^©] s (20)

onde A^ definido como o campo invariante de gauoe. Observa-se

ainda que os resultados acima podem ser comparados com aqueles

encontrados na literatura, por exemplo no caso particular do

modelo de Schwinger quiral [3,4] para o "gauge Õ" no caso em que

a » 0, e parm o "gauge de Lorentz generalizado" quando

ft • ia - l)~ ou ft • O. Alem disso vé-se que o "mal comportamento"

do propagador de fòton quando e -» 0 [4] em (14), mostra-se ser um

artefato do gauge, pois este termo pode ser eliminado através de

uma adequada escolha do parâmetro de gauge a no "gauge 9"

i •.-,

\i

I .

{ '

REFERÊNCIAS»

[Jj H. D. Girottí e K. 0. Rothe, Int. J. Mod. Hhvs. A

(J VB9),3041.

12] C. A. Linhares, H, J. Hothe e K. D. Rothe, Phys. Mev. D

(1VH/), ?501.

[3] K. Harctila e 1. Isutsui, Z. Phys.. C 39 (1VBB), 137.

|i|] N . M . r d l t k e ü . ¥ i din»'i , 7 .

15 b

3B

I. 37 (1VBÜ), 5.M.

An alternative prescription fur gauging Floroaiiiui -Jackiw cliiral IKMSOIISS. A. Dias(<) and A. de Souza Dutra"'

'•'CBPF/DCP and <t>UNES17Guaratinguetá/DFQ

We seek new couplings of chirul bosons to ( / ( ! ) gauge fields. Lorenlzcovanancc of the resulting constrained Lagrangtan is checked with the help of aprocedure tased in the first-order formalism of Faddeev and Jacktw. We findIIarada '3 constraint and another local ont not previously considered. We analyzethe constraint structure and part of the spectrum of this second solution and showthat it is equivalent to an explicitly covariant coupling of Siegel's chiral hoson togauge fields, which preserves chtrality under gauge transformations.

In the course of the analysis of chirni bosons properties, one natural step is tocouple them to abelian and non-abelian gauge fields[l,2,3] in order to study thecorresponding anomalies, or to provide an alternative approach to chiral modelsin two dimensions[4]. These couplings have been proposed both in Siegel's [5]explicitly covarianl fonnalisni[2,6] and in the approach of Floreanini and Jackiw(FJ)[7,8).

In the context of chiral theories in two dimensions, IIarada has shown re-cently hdw to obtain a consistent coupling of FJ ehiral bosons with a {/(I)gauge field, starting from the chiral Schwinger model (CSM) and discarding theriglil-handed degrees of freedom by means of a projection in phase space imple-mented by the chml constraint X4 — 4> (8). The resulting theory had the samespectrum of the CSM frith the additional characteristic that the maseless modewas self-dual. Tltere was no trace, at the end, of the right-handed fcrmionoriginally present (which, however, was necessary for the eigenvalue problem ofcomputing the forrnion determinant to be well defined [9]). It has been shownlater by Razeia[10] that Harada's approach was equivalent to the one of Bellucci,Golteriiian and Petcher(2] under Faddeev and Jackiw's first-order formalismjl 1].

We investigate, in this letter, the possibility of obtaining different couplingsfor the FJ chiral boson, starting from the generalized Schwinger model, whereboth cliiralities interact with the gauge field. We obtain the Lagrangian of thecoupled system under a generalized ciiiral constraint and propose a check testwhich can straightforwardly decido whether the resulting coupling is Lorentzcovariant or not. We observe that starting with the left-handed cliiral Schwingermodel it is possible to couple cliiral bosons tc U(\) gauge fields in two Lorentzcovarianl ways, using different chiral constraints for one chirality («^ = ^ )and for the other (*+ = -$ + e(A0 - Ai)). The constraints *+ = -$' andWf = 4> + e(Au I A\) are the ow.» allowed for the right-handed CSM. Thetheory obtained using *> = -</>+ t{Ao — A]) in shown to he equivalent to

156

fòVii&ifc^

a s p e d lie coupling of Sicgel's chiral IMWOIIS with ( ' ( 1 ) gauge fields which is i ,'•ctyiiiniftrit- under chiralily -preserving gauge transformations. ;•• •

Our starling point is the (.agrangiau of the generalized Scliwingcr model 1 '<•((iSM), '

£ - *i>U + euA/±±-^+eLA/±^)* (!) "

whicli is equivalent to its bosuuized vergiuii[12,i4] J- '*

1 . 1 / v M2 PvCB = j (oV 9) + -7= I Si <r - j , O'^ 0 i4^ + — ^ (2) * .•;

where f, J

9\ - 2 ' ^? = 2 ' = 2 ' ^ !"'

In (3) i t and in are arbitrary couplings introduced by the regularization ; '-procedure[13] and Ft and en are defined as[12] j ,'

«/. = [ft + («i - et) j , en = leH + (e« - CR) I • (4) t •

The llarnillonian obtained from Co is p ••'

1 i y "'•f\Q — ~z \*4 — Si '•O "" y2 ' • 1 / ^ •

1 , , Af' o *'' '

with yji 9i-9~i and # A/2 = M2. ','We project one chiralily with the aid of a generalized chiral constraint i<

fl = KA - a 4 (6) f;

In (6 ) , a can be a function of ^, <j> and A , , but not of ^, in order that il remains '•;',conittrrtiill We furtlicr inipow; the requirement on a that { 0 , 0 } is not to be [>'field dependent, mi tliul il can be adsorbed in the normalization of the functional •'integral [ >'

Z<h\A) = jv<t>V*tb(il)\tLmi,U)\\ expitJfx^i-Ko)). (7) !•'

Under Ihew; aa»uiii|>tioii» tin- Hiinlysi» can proceed along claiwical lines. Kunc- ,lionnlly iiitcgrnling over tin- *+ field in (7) we obtain our effective I.agrangian ,

''

t,\

r

i157

rr~mi-i m— mm U

^ ((<* 91 ~ 92) Ao + (a 92 - 9l)

^ i. A j . i iJ _i * * ' jl (8)

Now, we ask which value» of o are allowed in order to produce a Lorcntzcovariant theory- We exemplify our strategy with the non-gauged original FJLagrangian,

CFi = i f - f \ (9)Performing a Lorentz rotation,

cosh 6 sinh 0sinh 0 cosh $

this Lagrangian changes to

with

(10)

(ID

(12)

Using the first-order formalism of Faddeev and Jackiw we construct a first-order Lagrangian to (11)

(13)

Now we notice that although Cpj describes a constrained system, this is notwhat happens to Cpj. It is thus legitimate to ask whether the resulting theoryis equivalent to the previous one in the new reference frame, if the constraint istaken into account, imposing that *+ = f we obtain simply

C-Vi U, = 4' = CFJ, (H)

thus showing that under the chiral constraint assumption, both Lagrangians((I I) and (9)) are equivalent.

Let us make the same analysis for £„, eq. (8). The LorenU rotation (10)

produces (rotating also, obviously, Ao and At),

a * " \Xj 0 ^ CMX1 00 ~f~ CIX) 0

•2 - J) 0 f (x* + I) <6'} {df (x) Ao + d. (x) A,)

158

I,."-' ,-'- (« , ,1,, 4 c At)2 -t - A / - A-, (15)

'I'lic lirsl ortliT Lagrangian after the impoüilíoii of the generalized constraint

( a e . -

This expression only equals (8) if

( / » ' - ' - l)4>' - [itiO + ijjjAo - ly2ct + y i ) A } = 0 (18)

Solving this equation for a we find the set of constraints which preserve»covariance,

I'Voni (111) w< wt- tlial tlii.ri.' an- only two raw;» where we can gel {Si.li) fieldiitili'iMiiilinl iind .•iiiiiiillrtiii'iiusly oliliiin a polijiomifil Lagrangiiui, namely>) Hi - 'Ji - ' (f'Kl'1 h"inli-d chiral ücliwinger inodi-l), willi IDIISITÍIÍIIU

illl.l

Sx-' ' '

t ( x ) = - ^ ( « M ' 4 - 1 ) - 2 « . ( x 1 + I ) -( x " - I ) f

(x) = - <J J"3 ^ (a2 (x2 -f I) - 2 o (x ; - I) -f x' -H) (lfi)

ii) yi = -J/-J = e (left handed cliiral Schwinger model), with constraints

*• = *' (22)

and»• = - • ' + e(i*o-Ai). (23)

Cases (20) and (22) are the cases studied by Harada and found elsewherein the literature {2,43,10}. Cases (21) and (23) have not been previously con-sidered. To be definite we will start from case (ii) and complete the gauging ofthe cliiral boson within the context of the left-handed chiral Schwinger mode).Imposing (23) on (2), with gt = - y 2 = y/He, we obtain in the same way thatwe did before

Ccu = - # ' - • * ' * + * ( * + *') {Ao - Ax)

+ Ç A^A" - l-F^F"" (24)

where we added a kinectical term to the resulting Lagrangian. From (24) wecompute the canonical Hamiltonian

Tic = {jÇ- + **A'O + 4* -ej^-Ai) - ÇA*. (25)

The constraint (23) is second class,

V-V1) (26)

with ft,! = r+ + <t>' - e{Ao-A\). There is another primary constraint,fíj = w°, whose consistence under time evolution produces

fll =

= dm' + t4 + A/Mo + e«j = 0. (27)

This determines uj, while u, is determined through íí2 = 0- The inverseof the constraint matrix is given by

(28)hW-y?) 0 /

am) the non null IVirac hrackcU are

\ -eí(x'-j/') O

160

^î^^^&iîv*^^ :;

One ran rlionw- 0 to IM- eliminated from (25), after using the constraints strongly,and I Inn itrrivi- to lh<- linal llamilloiiian,

(«V - 2(a - Vt'kl

= I ,

= 0 (33)

161

\

f

Thank* I» I In- mm standard roiiiliiutalion relations oliiyiil |>y Alt, it i» not Jeasy to sulvi- lli<- ii|iialions of niotion oblainrd from (30). To sre soiiH-thing \.ahonl tin- s|H>rtrun> of this theory we can integrate fiiiiclionally over tlu- A,, (',Held t» obtain an I'lfrrlivi' Lagrangian for llie <t> field, r

U&ing A/1 = rla, we see that then- are poles in the following regions in the f'(t+,i-_)-plane: I

t + = 0 Í 3 2 ) '• ;*;

«•AllIMIIIÎI the <-x|>rir.vii»n fur tin- k. curve is not directly Lun.-nU rovariaid, j - "

w< ran sir rxplKilly tin itn.-M.-nci- of a üelf dual \»>k in the .s|xTlruin of the | 'tlnor>, with tin- rurn-t-l. i-hiralily. _ .

Vil lli<- ii|i)H'iiriiii(<- of only t li<- A. lompniu ills of tin A,, field in the La-f^f.iiifium .iiity-i-st.s thai tin» kind of coupling roiihl \>r ohtain.il l>y a kind of i' ;"w II iliijil" gauging, in wliicli only tin: (L (IrriviitiM wiHild IM ii>varianli/rd 'Tins has Iril us tn roiisidrr Sirg> I» f'iriiialiMii for tin- right liandrd rlnral IIOMOII i •

Ls = M I 0 Í 0 f

* ' • • . * • . * . - V . ' V ^ ^^ ^

Performing the substitution

d-4>—* 0-<t> + 2eA. (35)

wu get

• C% = i ^ * » + A*' + i i j i l* 1 * + e (* + «') (/>o - Ax). (36)

The first-order Lagrangian is

+ 5e'(iio-i*i)}. (37)

Solving the constraint through the equation of motion for A, we obtain

r* H - / + eMo-^ l i ) (38)

and, after substitution in (37), we gel CCH given by

^o - 1 i ) (39)

which is the same as Leu • eq.<24), without the last two terms.Finally, we would like to notice that the gauge symmetry of the model pro-

posed in (36) is a kind of "clnral" gauge symmetry: the symmetry of the modelin <t> — ^ + £ and >4_ -» A- - 2Í&-C, t = «(*')• This symmetry preservesthe chirality of the chiral boson under gauge transformations. It is abo re-sponsible for more degrees of freedom than those present in the case consideredby Harada(S], as we can take >4+ as a gauge invariant quantity under theserestricted transformations. If this model is an alternative description for theminimal chiral Schwinger model, is a very interesting question to be adressed inlhe near future.

We would like to thank Marco Antonio Andrade for introducing us to theDERIVE package and Dr. Juan Alberto Mignaco for continuous encouragementand useful criticisms. One of us (A.S.D.) is partially supported by ConselhoNacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq), K

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[11] Our convention» are 7 0 = cr1, 71 = - i a7, 75 = 7°7' = a3,»;„, = diag( + , - ) , £01 = - f o i = + 1 . ÕM = eM,d",•Ji * t . « = T*t ,« , * = do*, 4! = drf,

1 .

1 d ' f

j*i. "•- '-"*•'-•*•* « * >: .wj-jK.-tnui) ffSYl

ACOPLAMBHTO TAWJ-MILLS/1IODKLO SIOIA (2,0) EM VARIEDADES COM TORCiO

CARLOS ALBERTO S. ALMEIDA-DEPTO. DE FÍSICA-UFCE .<>

J. ABDALLA HELAYEL-NETO-CBPF

RMOMOi No superespaço (2,0) efetua-se o acop lamento do

supermultipleto de Yang-Mills ao modelo o* não linear. Isto é

realizado através do gauging das isonetrias do espaco-alvo do modelo

o*, neste caso, considerado como uma variedade genérica com torção.

A ação do modelo-o* manifestamente invariante sob a

Bupersimetria-(2,0) é a seguinte :

» i d2x d9 d9+ [ Kjll, (1)

ond« o vetor K (•,•), algumas vezes chamado de prepotencial, é

definido no espaço alvo, cujas coordenadas são os supercampos

ascalares •,• do superespaço (2,0), Os indices latinos 1(1)»

1, ,n(n) denotam um espaço alvo 2n-dimensional. O prepotencial

contém toda a informação sobre a geometria do modelo, uma vez que a

partir dele podemos obter a métrica e a torção, ou seja

••4 (2)

Vale lembrar que estes supercampos são "quirais*, no sentido

que obedecem aos vínculos D 9 • D • • 0 .• •

Duas invariáncias de 'gauge* estão presentes na ação (1):

iítA(t,f) com A real

1com fl-F sõ,F-=0

(3)

(4)

Devido è óbvia semelhança com a transformação de Kahler, a

menos do fato de que esta é definida para escalares, enquanto que

(4) é definida para vetores, rotulemos esta última de transformação

vetoriai do tipo KAhler.

Notações e convenções sobre o superespaço (2,0) podem ser

encontradas no trabalho Hodmlo de Schwingmt Quiral no Supermtpaço

(2,0), apresentado neste mesmo volume.164

Consideremos transformações nos super campos (c<>. .i deitadas da

variedade) tais que; j

5#' = A*V (•) ; a*'=AaJc1(#) . (5)a a

j aonde k é um vetor do espaço alvo e A é um paiãmetro global. Ovetoi k (•) (k <•)) é uma função holomorfica (anti-holomorfica), no

sentido de que dependem apenas de um supeicampo quiral(anti quiral) •

Sob as traní

da seguinte forma

Sob as transformações (S), o prepotencial K (•,•) comporta-se ;i1 r<

valendo, também, é claro, o conjugado complexo da equação acima.

As condições para a invariáncia da ação (1) sob as[

transformações (5), podem ser resumidas na expressão: I

f^•.•) = F ^ * ) * i a^ (•.•) (7) j,

onde St K é a derivada de Lie do prepotencial na direção do vetorI a 1 >

A- e é d e f i n i d a como

t K • K , Jk1 • K - JtJ + K S Jt3 . (8) j

_ i

Lembramos que L(*,*) é uma função escalar real. A partir da equação |f

(7) podemos obter as condições para a invariáncia do modelo ,1 »

bosônico, a saber, que o vetor k seja um vetor de Killing da [

variedade e que a derivada de Lie do potencial de torção se anule,

caracterizando que as transformações (5) são isometrias da

variedade. i

Nosso objetivo agora é introduzir supercampos de gauge através t

do procedimento de elevar as isometrias à condição de simetrias f

locais. Como sabemos, uma transformação de isometria deixa a métrica

invariants, portanto o prepotencial K <•,•), também o sera { Ver eq. {

(2)), tt menos de uma transformação vetorial de Káhler. Em outras •

palavras, se a variação ÔK não for zeio, deve ser no máximo ;

lyna) à tiannf oi inação de Kahlei . Iteata loirna, podemos identificai í'

dl' «K (•;•') K, (•,*)-A Bík lK . k J K t ,|-A°F <•) (9)i i i \ a \,) a i, ij ia

Considerando a ilepeiufên<.'ia dos pt«potenciais nos super campou •

» • , e levando em conta aín-irt a simetria da ação e da métrica, a165

equação «cima devem ser modificadas para

*(10)

As tranformações tocaia do subgtupo de isometria são escritas

na forma

= A* kl(•)s

«V Ã* dl)

onde AJBA ( X ; 6 . 6 ) Q é um supercampo quiral parâmetro de gauge.

Na forma finita estas transformações tornam-se

(12)

onde os operadores I». t L: - são definidos comoA-k A-k

"A.t «d S • (U)

A fim de covariantizar o prepotencial K e expressar todas as

variações de gauge em termos do supercampo A(x,-9,0), de tal forma a

imitar o caso das transformações globais, propomos uma redefinição

de campos onde esteia embutida a troca A -+ IV . Definimos um

supercampo 9, que corresponde a uma 'covariantização* do supercampo

4 , tal que

(14)

onde a transformação de gauge da V é fixada na forma abaixo

(15)

Portanto , 9 transforma-se como

(16)

No entanto, esta prescrição não é suficiente para tornar a ação

do modelo-a* simultaneamente invariant* sob simetria de gauge e

transformações d« Kahler local*. Para isso, sugere-se a introdução

de um par de supercampos auxiliares quirais * anti-quirais, (#)

(t). cujas transformações de Yang-Mills são tais que compensam a

variação de isometria d*

auxiliares são tais que

No caso global estes snpercampos

166

« £ . « • ) • A* F|a(*> ; «€,(<)• *"P|a((9> . (17)

Formulamos a prescrição dn gauging fazendo as substituições

• • • e Ç — • Ç . de tal forma que ohtemits a soguinte

lagi<«ngeana

£ç = [K((«.Í) - ç^tíiv •' - iR^t.f) - (ijiv #' (is) ;;;

onde • ' •i

V •' « 3 #' - gr* *'<•) ; V •' • õ Í1 - gr* *'<Í) (19) I

Na equação (16). K((»,í) indica o complexo conjugado de K( (*,•). t' •

Considerando que as derivadas covariantes (19) transforma»-se l

como os supercampos • e • . e tendo em vista que f.

i;-.«Ç^*) m A* PtB(#) ; «^(w) • A* Fia(*) . (20) £'

ra variação da Lagrangeana (lc) é dada por '• ,

Portanto a condição para a invariancia tocai da Xcuytanqeana

(18) é que existam vetores R e R , tais que

Vi • VKi ~ €i* " ° •' ' « V V V ^ 1 0 (22> !Acerca dos supercanpos auxiliares, assinalamos que no caso da

t

variedade com torção, o gauging de um subgrupo de isometria requer a fi

introdução de supercampos auxiliares, os quais são vetores da

variedade alvo. No entanto, uma vez que eles são holomórfícos ou '

anti-holomorficos, a métrica definida a partir dos vetore:, R é a ;

mesma obtida a partir dos vetores K . Desta forma diferentes

escolhas de Ç correspondem á mesma ação do modelo-^ em termos dos i.

campos component'es. í

i •,

167

A EXPANSÃO DO HEAT KERNEL NO ESPAÇO-TEMPO CURVOÀ TEMPERATURA FINITA

H. Boschi Filhoücputtamtiito dt: Física r. Química

Universidade Estadual Paulista - Campas dt: Guaratinifav.iá

12500 Guarutiwjur.ttí, Caixa Postal 205, SP, Ihusil r\ \

ffC. P. Natividade

Departuiat:nto de Matemática

Universidade Estadual Paulista • Campas dt: Guaratinijur.tá

12500 Gnaruiingactá, Caixa Postal 205, SP, Brasil

Resumo. Neste trabalho encontramos u expansão do heat kernel no espaço-tempo curvoà temperatura finita. Usauio», então essa expansão para calcular UM anomalias quiral e <letraço, nessa situação .

O heat kernel no espaço-tempo curvo é bem conhecido [1] e tem sido utilizado em

técnicas de rugularização em teoria qufmtica de campos desde a década de GO. A partir

dos trabalhos de Fujikawa [2j, envolvendo o cáculo de anomalias via método funcional,

houve um renovado interesse por essa técnica.

Neste trabalho vamos calcular a expansão assintótica do heat kernel no espaço-tempo

curvo à temperatura finita, usando para isto o formalismo de tempo imaginário [3]. Este

trabalho c uma generalização de outro anterior, restrito ao espaço-tempo chato [4].

O heat kernel no espaço-t'-mpo curvo, à temperatura zero, é usualmente definido como

( 1 )

, .1 ' ) / ( . r , . l ' )d( ;r ,a ' ) (1)

oiiíle D1 = D''Dlt -f A', Dt, é ti operador de Dirar, l'(.i:,.i') ('• o determinante de Vau

Vleck Morette e /( r , ,r ') o deslocamento £<od<'li<o paralelo. A expansão assintótica para

t - • 0 de sua parte tMagoiial (,r = ,i') ('• dada poi

^ ( / j | ( ( , , ) / , ( 2 )

163

onde Af i* a dimensão do espaço t«*ui| ><» < — ilrt t " e os <i,,(.r) são os coelicient.es de Stflcy,

<JII«' são usualmente calculados por fórmulas de ívconênHa [1 j . lliitictiiiito a ItViuca dcscii

volvida |«M Fujikawa paia <» <-.il<u)<< de anomalias via inh-^ra^ao fuiiriDiia) pode tainl>óni

ser usada para este tini. Ksla .IIIOUIÍI^IIII >• parliculainu'iil) ' útil no iorinalisiiio de t r inpo

A t c i n p i ' i a l m a l i i i i l . i , o l i r a ) l;< i i n l j x i d i , r n t a o , M T i ^ c i i l o c o m o :

' a função dell,« gcni-iali/ada, a Imipcra tura iinila, <• dada \nn

(4)

qii«i .substituída <MII (2) nos fornece a expressão do lieat kernel no espaço-tempo curvo à

temperatura Ünita. Dessa forma, os kernels às temperaturas huita <• /ero hão íchu-ionados

por:

Os coeficiente* à t eu ipe ra tu i a / e ro , </,„(.r), são os usuais (spin 1/2) [1]:

" o ( ' ) = 1 (7«)

" ! ( • ' ) - lit X (lb)

•L\l-vv i

li1 1 1 1. 1 . / . ' A ) , , '' t ( . / . ' A r . (7«)

J 6 9

análoga à forma coircspondcníf no espado-tempo chato [3,4]. Calw ressaltar «jue «rsta '/•

fónnula c valida para caaupos fcnniônicos, que são antipcriódico.s em relaçãu à trauslacòcs ,

temporais. A fónnula correspondente paru campos liosónicos <• nhtida trocando n + 1/2 par

it mi função delta usual. Aplicando a técnica de Fujikawa paia o cálculo dos coeficientes h !

temperatura ftuita [4], encontramos \f

As anomalias, em geral, podem ser escritas (-«uno unia soma divergente [*2|, o mesmo

acontecendo à temperatura fiuita:

onde 7 = 75 para a anomalia quiral e 7 = 1 para a anomalia de traço [2j. Sua expressão

regularizada é então dada por

M*) a—Ortg

(9)

onde Kp(x,x',s) é o kemel do operador potência, definido pela transformada de Meltin [5]

f-'/O*,*;*). (10)AJ,W;a) = = rdttH^\^x;t).

Substituindo (5), (C) e (10) na Eq. (0), fazendo a integração em t e tomando o limiteem s, obtemos:

(11)rtg rtg V / n=N/2

logo as anomalias quiral e de traço são independentes da temperatura. Esse resultadopara a anomalia quiral já é bem conhecido 110 espaço-teinpo chato [3], assim como para aanomalia de traço nos espaço-tempos estáticos [G] ou conformalmente chatos [7]. O resul-tado apresentado aqui, então , pode ser entendido como uma generalização dos anteriores.Fisicamente, este resultado pode ser explicado com base no fato dessas anomalias seremfenômenos de grandes momentos e consequentemente de pequenos comprimentos de onda.Logo, a pequenas distâncias a estrutura global do espaço tempo não modifica essas quanti-dades, uma vez que sempre é possível aproximar um espaço-tenjpo curvo, nas vizinhançasde um ponto, por um espaço-tempo chato.

Um aspecto interessante que convém .salientar é a característica topológica da anomaliaquiral. Essa anomalia pode SIT obtida através do teoiema do indite, como é bem sabido[2], logo, era de se esperar que essa anomalia fosse independente da temperatura, já quea temperatura c uma característica global da variedade não modificando sua topologia.Entretanto a aiiomalalia de traço apesar de não ter tal origem topológica, também exibeum comportamento semelhante. Esse fato sugere, um estudo mais profundo das possíveisrelações topológícas com essa anomalia.

Cabe ainda lembrar que a análise discutida aqui pode também ser estendida à anomaliagravitational [8] assim como á de siiperrorreute [9].

170

flfi&üaa^^ ; -

3 7 1

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I'

\-

»••''

RADIATIVE CORRECTIONS IN (2+l>DIMENSIONAL QED

B.M.Pimentel1, A.T.Suzuki, and J.L.Tomazelli2

Instituto de Física Teórica •'Universidade Estadual PaulistaRua Pamplona, 145

01405 - São Paulo - SP - Brazil .- 0E.mail UESP©BRFAPESP ( / y

Abstract

I We have calculated the vacuum polarisation tensor for (2+l)-di-mensional quantum electrodynamics (QED) using the analytic regu-larisation technique by means of a gauge invariant construct. We havethus demonstrated that the gauge boson acquires physical mass at theone-Soop level in the Abelian case. A generalisation for the non-Abcliancase showed up straightforward from this result.' ~7 "

1. IntroductionGauge theories in (2+l)-dimensions^1'^ are interesting because of their

association with high temperature phenomena in four dimensions'3'. Theypresent, however, a challenging theoretical ambiguity in their physical result:gauge field mass may be induced radiatively at the one-loop level, depend-ing on the choice of the method for regularizing ultraviolet (UV) divergentintegrals. For instance, the Pauli-Villars method does not generate such agauge boson mass (also called topological mass), both for Abelian and non-Abelian theories even np to two-loop level, in contrast with other techniques(see, for example, reis. [2,4,5,6]).

Among several regularization techniques available to tackle UV diver-gent integrals, there is one known as analytic regularizaüon^, which essen-tialy consists in considering an analytic extention for the fermion propaga-tor to ensure convergence in the Feynman amplitudes. However, care mustbe taken, since naive implementation of this technique may violate Ward'sidentity!*) and so it requires a certain criterion to be implemented such thatgauge invariance is preserved.

In this work we shall address this problem through a construct whichpreserves gauge invariance in the analytic regularization procedure and em-ploy such a method to evaluate the one-loop photon self-energy for QED inthree-dimensional space-time.

'With partial support of CNPq, Brazil2S*pp«f led by Cape», Brasil

172

i

2. Analytic Regularized One-Loop Photon Self-Energy

In three-dimensional spat -e time Die algebra for l)ira< gamma, inatrkesis realized using the I'auli-matrices

V ' = «T3 , 7 ' = i « » , 7» = i«» , (1)

7'V = f - «""7(. , , „ = *«,( I, -1, -1) . (2)

Consider now the vacuum polarization diagram. The general structurefor the regularized polarization tensor expressed in a gauge-invariant formreads

( ) ° » * « a ) ? (3)

wheie r | l | /o is the usual three-dimensional I/Cvi-Civita tensor. Note that theequivalent for the last term in Ecj.(3) is absent in a four-dimensional theory.

Following closely ref. [8], and using the gauge invariant analytic regular-ization there outlined, the regulated expression for the polarization tensoris given by

where j

AU = tJvA M3 - j>2 - it) + | ( 1 + A)j»V , (5) J

and I

TV = - ( I + A) ['2i(C - 1 )k2{giaf - ^ ) + » n W f r ° ] (6) |

with

It is convenient to rewrite E<|.(4) in the form (.'{), where j

•a - -*

17 3

and

••a s - 4 j *

The gauge-breaking terms 1 1 ^ and IIGjj add up to zero, since on eval-uation the two contriliulions given by Eqs. (10) aad (11) cancel each othernut. This means that the regulated polarization tensor llji? is already gauge-invariant even before going to the limit A —» 0.

3, MASS Generation for the Photon Field

The polarization tensor leads to the modified gauge boson propagator

whereIK.*2) s n(I)(fca) + mII<2»(fc2)M(fc2) (13)

and2

From Eq.(8) one verifies that Il(l)(0) = 0. As a result, the only contribu-tion to the gauge boson mass comes from the n'^(0) term. After performingthe momentum integral this term results in

(0)- 2(2jr)jW / W r ( A + 1 ) J / ( m 2 _ . ( ) H j •

If we now take the limit A — 0 we finally obtain

so that a lo|>ological mass is induced at the one-loop level, in contrast wkiithe Pauli-Villars rcgularizatioii nicllim. where- ll'2)(0) = 0.

4. Conclusion

We have considered the tliriH'-ilinuNisioiial <|iiaiiliiiu-eleclrodynainicsregularized via analytic extension fur llt«> fcrnitini |>ro|>;ig;üor and shown the

174

transversality of the one loop vacuum polarization tensor, l-'irsl and origi-nally envisaged for four dimensional gauge theories, this formalism of analylic regulariza lion embedding gauge invariant by construction WAS -SIIOWII

to produce, a one loop radialively rornYtml photon propagator with a dislo-cated |MII«> in sncli a way that we ran attribute a imn-vanishing mass to thereal pliulun. This contrasts with the I'auli- Villars regularization, where thelopologi<-aj mass term in the regularized vacuum polarization tensor doesnut contribute for such photon mass. We would like to point out here thatthe odd-parity contribution from fenuions is proportional to the sign uf theirmass, aitd is therefore naturally cancelled out by the regulator fields in theI'auli Villar.s method. On the oilier hand, since the analytic regulari/ationhas no additional Grids of thai sort, >l leaves tlie original fennions' effectunchanged.

(Icneralization to the non-Abclian case presents no difficulties since upto the one-loop level, besides the analogous Fcyninan diagram for QKDwe would have the additional contributions from diagrams involving gluonself interaction verlicc-s as well as diagrams with ghost loops, wliose cor-responding Fcynniau amplitudes can IK.- regularized by means of I be samegauge invariant-? preserving formalism. However, in this case the only con-tribution to the lo|H)logical mass term comes from a closed ferinion loop.Thus, the noriAbeliaii calculation is formally the same, the only differencelying on another coupling constant as well as colour group overall factors.

5. References

(1] R Jackiw and S. Templeton, Phys. Rev. D 23 (1981) 2291.|2] S. Deset, R. Jackiw and S. Templeton. Ann. Phys. (NY) 140 (1932)

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(1964)550|8] P Breitenlohner and II Milter, Nucl Pbys I) 7 (1968)443.

J75

FKIIMIONS AND 0(3)-NONLINEAR SIGMA MODEL JN A

THREE-DIMENSIONAL SPACE TIME-

J. R. S. do Nateimeato and E. R. Beierr» d* MelloDepkrUn»nto «le Fíaie». üBi»er.id»de Federá d« I»

C«. P. SOOS - CEP M.0S8 - Joio POM«» - PBBruil

ABSTRACT

In this paper we «íudy the O(3)-nonlJnear a model teuton coupled with a tsospin-1/2ictmion doublet by the Yukawa-type interaction. Describing the boaosic Q = 1 sector bycollective coordinate, we abow that a purely fcnniomc action can be obtained far thb sy»-tem. We abo ralnilate the induced Hopf term for the boaooic sector by integrating out theiennionic degree» of freedom, and abo the induced fenmonic current.

I - INTRODUCTION

It is well known that the 0(3>nonÜnear sgma model p^LoM) defined in a 2+1-

ilBpace^àjaejwwfintsto

actcrJesed by a charge Q de&ned in the next section. These solitam describe antinucas

mops from the coB^actifieUcoopdJaate^ace 5 s iuotbe group spaced*. Saw» ti« second

bomoiopy fro-p B#P)- Z, the NlxrM admiu infinite chwrfsoltarf1).

hi tbtepHperwefthaD study tbciuTTftctiooof the Ç = l sufitoasector with a isospio-

1/2 fennjonic doublet uspig a Yukawa type coupling. Describing the bononk sector by a

coUectmi coordtoates, we shall be able to quantise, in a semíclasúcal way, the total system

and abo to express it by a purely fermioiiJc action. In order to obtain tue ioduced Ilopf

leruis and tlic topologica] current we shall develop a perturbation tímory in the YnkHwa

iJ-TUC SOLITON-FÍ-IHMION SYS'I'CM

'Mr '£ I ] iliiii'iiMoiiii) ()(3) N I . D M IS ili-Sfiitxi) \>y ( I r fi»!l.M\ÍI>;> Lif>r(in; inn:

J76

where <pm(x, í), fur n* 1,2,3, arr real bosonR CM that i-itisfy U«J musUaint rnii<l>li<>n

ç)*y7* «= 1; m, the field manifold is equivalent to a sphere S1.

T l r sector C.> — 1 can bf rpjiri»scnlf»d by the ism-cicr <j'(f) — (isiug(r),co^g(r)) ,

wlterr í is a 2-diiiieiiyon«l unit rit.Jial vectors, and g(r) \n-wf a function Hint obey tit? (••

boundhry «.ndition g(0) = 0 nnd $(co) = %.. M. t"P«>"g>' «J à*"& d c f ' I i e d ^ :><.

Q=JtPxJ'(z), (2 2)

where the identically conserved current J* is

(2 - 3)

We can fitudy the interact::» of an isospinor-1/2 Dirac formion V' with the sobton field

, vit the Yukawn (.oupling. So, the firm ionic lagraugian density is given by

Tlie intitmiion Ingran^ian HUHLÍIJ' ol tUi* Diuic fcrinioii with t.hu> m.-tv toi

«.in he- vvritcii n&

»" 9»'/')*'' ) "(OV'T 0 V (2 7«)

I /7

r I*

i. *

V.1,

whore ^ has ftmr complex components; ^ <= co)(Vr. Vf»^i, Vi) fhere the indices 1,2 refer W

to isospin (charge) end -f - - to Bpia. The gamma matrices are given by y = (a9, vr1,*

Now, let as go back to am original probbin. The Q «= 1 sector configuration is

invariant nnder a combined spatial and isospin U{t) transfonnation^. Let the Bcb-gxmp L

of SUÇ2) -gencreted by 7a be tais synmecry group, U. , V{i) - e*^J>i e (/(I). So, nsder ' ' J

this transformatba we have \

f' I (2-5)

il w>- a^bUim; ll::tl d — d ( t ) I>IK) V' - '" ' v IÍI«H»J>I:I|Í I In- p t i n i " l l i i lni iii l l . '

<ii Kl, the- la iuni ig iu i t i s .

T.ie- LKwonir lagrangian for the configuration (2 - 5) is.

(?-8«)

where

2*A/ ' (2-8c)

We can see that (2-8a) is equivalent to a free rotator lagrangian.

Tbe total lagrangian for our system is written by

LT = 1>NUM + Í-FJI •= -M + slóítf + á(t)Q+£/•, (2 - 9ó) -2

with

Q= J<Pxjrfj1>, (2 9i)

and

Cnt can see tliat if» Lj, o(f) is a cydi: vwriible, so its conjugate niomentiin) P is

(ousei ved

We riin fliiiijii;>t( (t[i) in fi.voi of / ' and il Irnrf In |>.ircly r«.-riiri>iiiii liriiriili'iniiii)

IVi

III - SOME P) KTURBATIVE RESULTS

II] - 1. Tbe Induced flopl terms fur the NLaM.

ettet-Lve L(i..n6mn to the à(t) fiild CT. be obtsinsd by ths diagram shorni in

Fig. 1, that is obtained by integrating out the ferniionic degrees of freedom.

Fig. 1 - Lowe* order in ó(í) in tbe bosomc eifcetive k-graaviaa.

We sljall concetrace ourselves only in tbe first dia araras, tbat, as we shall see, provides

the Hopf term for tbe bosonic sector.

»W - " ^ /A*- [s(x,x)V .] , (3-1)

h'.-ie I he trace is over tlie Dime unit i.sospin matrices.

The full fermion propagator S(x, y)(~^=) must obey tlic differential equntion:

v).

i D{x) Iti-inf Mn' Dirai ojMiiitor l.'-low

PU) if) m

\VP <ÍIII «rl.iiiin S(i,n) I'y 'I'•fi»»«K

^

where C is i> ruiiMil ii>nfoiir in

'Hie fennimiic propagator can be obtained only by a pertubatne expression given bj-

folJoiying series in jHMet of gr

0

Introducing the Fourier transforms òf Ss{£, jf) and <p(x), we have

) = J Jwncre

f

P.-k, -*») + ... (3-2Í)

with

Now, iii i>r<itr to ubtoiii tlie iiiducced H»pf U-iin fur the NI.0M we Imve U> use tlie

pi-rr nrliitlioi, ( Tjiiinsion (íi-21») in die cnl( ulalion of (lie effective «rlion (31).

1 8 - )

(Ji>l ( i i l i i i l i i i i i H , (<« I In- i i i i l u r c i ] l l o j i f l i r m i i l l In* ill v t l i . | . i - . l i i i I In» f u m t l i «mil M : l i .

i in 1.1M» |i.ir.un<i<7 gt in tlic M.TMS (,'t 2I>)

'«ilf ulatiiig t l * 0($J) in S Í Í P / . Ã ) given in (3 2n) Hnd substnting iu (3-3) we get:

where

.Hm

- ft * -

So, alfer seine fcteps we get:

(3 - 4o)

(3 -46 )

mid

tns

(3-56)

Uiifoil miiil^lj' iiiM-fi iiiK (3 5) ii* :'nii<rical V.IIIK* for ÜIP KK-fiiii-nt ofllic induced Il«»l»f term, nnd UiVing

Hi. limii i«r I r/ic ifi. or tiimll iiifim- IIIH «i, J |* W i; «fouler £ --• 0 . So, IKI Hopf UTIJ.

i.- iiriiK<-<t IIKMI llii; ordi-t

a ^ ^

"iif Ci.kul.,1 i. >n of I Lv «•ffi-cli v.- act i..n in or.kr (.£) ,-.•.„ b.- üonc- iu I )*• siiim- wiiy 11s HIP

|iwvi.iiih 'ii!i iiliilion hut is 111111I1 hiinliT Afitr wi have n> >.h Ult- riyiiiii.»iirc'iKiriiiiciiÍ7.»-

tion ;# ' / H > " f i A , jHgkrlfd l«in> wit), tf , r«J,j j.mvci of E, etc, r»e,forming tlie

truce oves the ghiuina JiMtrkxs, and AIHO iu>ii)g the 11EDUCE and MAPLE program in

eomc Ftt-ops of tlik cakndalion, we found tliat in the limit as m is lnrge tht- Ilopf term •

obUiiiied.

whore ^ is a non-mill niimoricnl constant of order 0,1-

III-2 The JnihtcnA Torw»lo«inl current

tbv cak:tilnt>on of t)io induced topokigic?il current bas be done by others

nutlwrs usiiij; otlx-rs ntokels™ ivnd tcdiuKjiK?"', wo aLso wo^ld like to present our ca!cn-

Í^»H>»I for O"< »»KX!"1 Viir»r t1>" pTLwU't»-"! un,'tlv>H fJcvrit-' >ii prfvicwsly. .So. let us start

v.-)t.li tue s.tarnliir-.i expression for tiie fermionic current.

< J>(x) >-< TV^/Vto >. (3-7)

btftiii this ex]>ectutian value in presence of a general bockgraonod besenne &>kl

V/c •S'"»'I consider as fbr iaUviKtvih nciiori

S, = • J fjg

Ik-n;us:- llx- I(I|M>^|',K;I1 ciiriciit fur lite NI - . JM, VA\.(2-2\>), is a tn-hncur expression iu tbe

f'li'i <f°(i) , all ' ' ii( wr Ihtve (11 tin IN In work out (>'t-7). By tluee iiKcrlioii uf tlie

|K-II .I i l t i i l i o n , n u i i i ' i !'•<! b y lli'- HII | .I i i i u l i c i l f i -riuioi i ic j tropi igj iUir , i n i i t o m c n u i i i i :,j>uce,

w r liiiVl-

V.I H I .

iria -i 97+*) - * í / (£7 7v

The expression almve can be obtained by the « w of Lite Feymman rcparamelmatinn,

arikxliug »ll tlie terms proportional to nf and m* and performing the trace over the

gnin.im and Pauli matrices; the result, in tlie limit as m it large, *

- - (jjjj)' i ^

- (3 - 10)

wow, unerring into we get, ú gy ~ m,

that is in agreement with previous results given in Refe.(3,H).

IV - C O N C L U S I O N A N D DISCUSSION

In this pa{>er we have siiown that the Ç = 1 sofcto» sector of the NLaM coupled

with iifipiiior-l ferniions by a Yubtwa coupling can be expressed by a purely fermionic

action. Fbr this system it k abo possible to develop a pertwbatbe secies for the fermion

propagator and obtain sooe perturbative results; i) Fbi the induced Hopf tens we hove

show» that, altltougli it formally can be expressed as a fourth powerpof the bosoaic fold

tf?(x), it only a]:pears in the sixth order in ^ in tlie perturhutive series, ii) The topoJogical

current agroct, unless a factor j with its formul expression.

RBPEUENCES

fi

II?

r<

1 A A fMiivin hiiff At.'. r'ui.y«it(»v, JIJTH Leu 22 (1975), 245 .,

r, l.:..i Ji..«.j<J. ]) Kapi*!» ;m<l I, < H Wi}rvArd)uiim, Nud Pbys B 271 ílí»8d)( 417

.j T. .Jii/nizi v / id r h y * \JPII V. I ii. ( I ! IM6) 337

4 ,i Í.OH-.I.,11. Mini f Wilful, i'li.v J(^ 1,,-t 47 (I9H);,!«<., y . f ! CTIM.|I«I,.| )

^ i l / i In: .Intuir.} of MIMJ I'ly; H 3 (J!(hf>; 12,r.i

IH i

O ESPECTRO DO OSCILADOR DE DIRAC VIA ALGEBRADE OSCILADOR GENERALIZADO DE WIGNER-HEISENBERG

IVo

Jambunatha Jayarainan (Departamento de Ffeica-CCEN, UFPB, 58059 - João Pessoa-PB),Rafael de L. Rodrigues e A.N.Vaidya (Instituto de Ffaica-UFRJ, 21941 - Rio de Janeiro - RI)

RESUMO

No presente trabalho, incorporamos o oscilador de Dirac dentro da estrutura da álgebra deWigner-Heisenberg na sua forma super-realizada. Tal conexão nos permite a conversão do problemaespectral do oscilador de Dirac para o problema correspondente de uma matriz simples Hermitianano espaço de número para a partícula de Wigner, proporcionando-nos uma fácil determinação doespectro de energia completo. Do nosso método algébríco, apontamos a assimetria inerente doespectro para energia positiva e negativa e indicamos também a conexão com o oscilador SUSItridimensional associado ao oscilador de Dirac.

1. INTRODUÇÃO

A equação do oscilador de

A

(1)0 (v = 1,2,3)),

tem atraído muita atenção na literatura recente^ devido os aspectos supersimétricos (SUSI) doseu espectro de energia. No entanto, a interessante conexão de HD com o oscilador generalizadode Wigner-Heisenberg (WH) parece não ter sido abordada na literatura. No presente trabalho,incorporamos Ho dentro da estrutura da álgebra WH super-realizada (Seção 2) de modo a extrairfacilmente as propriedades especiais do seu nspectro (Seção 3). A Seção 4 contém os comentários.

2. A ÁLGEBRA WJ1 SUPER-REALIZADA EM TRÊS DIMENSÕES

A Hamíltoniana de Wigner ff(g.-L+1) e seus operadores escada ai{g_-ii+1) nas suas formassuper-realizadas dadas por (Jayaraman e Rodrigues*1))

^ + r) (2)

184

\ o

o \

ir+Cc.ijsir-fe-it+i)/(3)

satisfacem as seguintes relações de (anti-)comutação da álgebra WH em três dimensões (3D):

£ (>'<£-&+*) •«*<£'*+^l* = z"k- (5)

Também os a*(g • £ +1) satisfazem a seguinte relação generalizada da comutação quânüca:

Tal forma super-realizada da álgebra WH, contida nas equações (2)-(6), foi desenvolvida por nos")como uma técnica do operador para achar, de modo fácil, a resolução espectral dos potenciaisrelacionados ao oscilador. (Veja os detalhes em Jayaraman e Rodrigues*1) para obter os espectrosde / / ( £ • £ + l) , / f_(£-£)etf t(£-£) por operações puramente algébricas.)

3. O ESPECTRO DO OSCILADOR DE DIRAC

Após uma transformação unitária feita por V, a equação de autovalor HOÍ>D — se torna

(7)

onde

Ho f — - - Mwr)

• L + (9)

com a1 (2 • L 4 1) juHtainuiile <w uperadures escada em (2) da Hamíltoniana de Wigiicr em (3).IVAtainos abaixo o cawi de g. • L +1 - * ' +1 explicítarneiite.

S»brc o conjunto completo «Io» esladw)«;/ +1 > H |» > (n = 0,1,2, • • •) da partícula de WignervaU-in as «eguínte» pro))rteclailtí»(4>:

!.• ), (10)

( /+ l)|2m> = V2iH2ni-1 > ,a"(/+ I)j2m+1 >= ^2»»+1+2(/+l) |2m>,

> = V2m+2|2m+2>,

, £ , | 2 m + l > = - | 2 m + l > (m = 0,l,2, ••)• (11)

Expandindo a parte radial de XD «n termos da base |n >, isto é, XD - YZL*> e com uso de (11) em (7) a (9), obtemos após simplificação, que

CW.l(n=O,l, . . .íT-jsO) (12)

a qual fornece a resol'icao espectral:

E$\t + l) = M, £ ^ ( / +1) = ±yjM* + Ahiun (n=l,2,--) (13a)

com

K» >• xg±(< +1) « { ( 4 | i ( < + 1 ) + *f) |2n> +»%/4MÍS|2n-1 > } ( n = 1 , 2 , . ) . (136)

A nio-dependência de E$±(l+1) em / significa que existe um grau de degenerescênda infinitodesses autovalore».

A repetição da análise acima para s. k+1 ~* -(*+1) fornece

f2Afw(2n+2 / + 3) ( n = 0,1,-• • ; / = 0,1, ••) (14a)

com

('-* 0! « i'« { (BRI-C+ J)l - w) |2n > -V2Mw(2n+2í+3)|2»+1 >} (n = 0,1,• • •). (Ub)

A ausência do autovalor -M para a energia significa uma assimetria do espectro do oscilador deDirac entre as energias puvítivas e negativas.

186

As autofunçoes físicas ^p na repreatatação de Dirac podem ser facilmente obtidas através datransformação inversa de I) sobre \D-

A conexão de Hj, com l/(e • L + *) « "SIBI segue-se das equações (8), (9), (3) e (6)

>%í (15c)

= 0, |/fswY,QT)_ - C (15c)

4. COMENTÁRIOS

Uma questão interessante sobre a existência ou não de uma interação que inverte a assimetriado espectro deduzido acima pode ser respondida afirmativamente, Tal interação não mínima corre-sponde à p - * 2 = j>+ngem vez de £ - • I = £ - M £ como em (1). A não equivalência dos espectrosnestes dois casos segue-se «ia ausência de uma transformação unitária a qual deve transformarfl -»afi -* 0 mas çfi -»-sfi.

REFERÊNCIAS

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4 J. K. Sharma, C. L. Mehtae E.C.G. Sudarshan, J. Math. Phys 19, 2069 (1978)

187

ESTADOS COERENTES VIA ALGEBRA DE VIGNER-HEI

R. I.. Rodrigues (Departamento de Ciências Exatas e da

Natureza-UFPB. CaJazelras-PB, S8.900)

A. N. Vaidya (Instituto de Fisica-UFRJ, Rio de Janeiro-.U, 21.945)

J. Jayaraman (Departamento de Fisica-UFPB, João Pessoa-PB, 58.OOO)

Resumo. Desenvolvemos um formalismo geral para se construir osestados coerentes canonicos de potenciais gerais tipo oscllador coibarreira centrifuga. Mostramos que eles são não-ortogonais,super-completos e normaliza ve is, Extensões para os estadoscoerentes generalizados sfio discutidas.

I. INTRODUÇÃO

Num artigo recente, Jayaraman e Rodrigues (JR) (1) mostraram a

utilidade do método algébrieo de Wigner-Helsenberg (WH) [2-5] para

se resolver os problemas espectrais de sistemas quanticos que

possuem conexões com osclladores. Neste trabalho, construiremos os

Estados Coerentes Canònicos (ECC) de um oscilador generalizado,

embutido no setor bosonico do Hamiltonlano de Uigner (veja eq.(3)),

como uma superposição dos seus repectlvos autoestados, de modo

análogo àqueles do oscilador harmônico simples 16]. Utilizando o

sistema de unidades em que M=l=«=Ti, a super-realização JR da

álgebra WH é alcançada através dos seguintes operadores escada

mutuamente adjuntos:

t, assim, nos proporcionando um ilamiltoniano de Uigner diagonal com

dois setores (bosónico e fermlônico ),

(m', (2)

cujo aetor bubônico é o Ilamilloniano de um oscilador harmônico mais

uma barreira centrifuga, a saber,

(3)

A |><ii I ir da rulaçã» de comutarão cucada <ln álgcbru WH,

|xxJeMOS derivar inu relação de comutação gem-rul i'mda:

£ das propriedades <):»;. mulrizttu de Pauli, £ (1 = 1,2,3), obtenos:

As eqs. (2) e (4) Juntamente com as eqs. derivadas (ü) e (ti),

constituem a algebra WIJ, a qual ê para-bose de u* grau de

liberdade.tf*

Os autoelados do üetor boaónico. I^Kc^-O^ . pertencei» ao

autoespaço associado aos quanta pares. Os operadores escada destes

quanta, fl-Ais} • são realizados por operadores quadraticos, obtidos

a partir da relação de comutação escada da algebra UH:

-1 2

Da relação de comutação escada dada por (8), vemos que esses

operadores deslocam os quanta pares em duas unidades, i. é, 2m -»

2»±2, ou equivalentemente, m -> nil. Neste caso, obtemos:

no)

I I. I STAIJOS COl-:i<t'NTLS CANONiroS IX) s r ioK H0í/)Nlfí)

ihi KCÍ' do s i ; tor UCJÓIIIIJO do Ilunil II oi i iaim <!«.• Wlgiic-r siio

(li.i'i)ii(hju cumo Bcndo 0 Ü ÍHIIUV.ÍIÍHÍOLÍ ilo o|>tjru<J(ir iJt.- aniijui lui;ão lios

18'J

onde o autovalor 0> pode assumir valores complexos. Existe» outras

derinlções possivels [8). Expandindo os ECC na base,{| 7*i-J)^} .

obtemos a seguinte expressão para os coeficientes da expansão, 4 :

^ ^ ^ .

onde P é a função Cana ordinária. Agora, usando a condição de

normalização, obtemos os seguintes ECC normalizados:

r*k <x>JJ-ii'1/ . (13)

onde as funções de Bessel modificadas Ti X) são dadas por:

(14)

Note que o estado de vácuo taMbèn é um ECC, o qual esta associado

ao autovalor zero. Considerando o produto escalar entre dois ECC

associados a autovaiores diferentes, obtencs:

l,-í

(15)

Isto nos assegura a nao-ortogonal idade dos ECC. A importante

propriedade de completeza Juntamente com a não-ortogonalIdade, nos

permite fazer a expansão üe um estado arbitrário, JiW'j-l)^ ,

numa base constituída de ECC. Em particular, podenos expandir um

ECC em tal base, o que eqüivale a dizer que os ECC são

super-completos. Isto será mostrado em outra parte.

II. CONCLUSÕES

Construímos os Estados Coerentes Canônicos do setor bosônlco

do Hamiltonlano de Wlgner super-realizado, Dies são os autoestados

de um operador de aniquilação quadratico, independente do número de

quanta. Os ECC sao n&o-ortogonals, super-romplelos e normalizâveis.

J90

Ao contrário dos ECC para-bose deduzidos por Sharaa. Mehta e

Sudarshan 17), estes pode-t ser Identificados COB aqueles do

oscllador radial tridimensional |aj, do oscllador isotrôplco 3D de

spin 1/2 [9], dos osciladores isotônlco 1Ü e radial D-dimensional

110). EspecifIcaaente, tal correspondência ocorre quando a

constante característica da álgebra Ml. c/2 ,for substituída |»of,

respect) vaaente, (f*l) , t - aoaento angular orbital; por (cr. M l ) ,

a-aatriz de spin \/2 de Paul I e L-operador aoaento angular orbital

em 3 dlaensões; por ( A • 1 ). A € B e, no caso D-diaenslonal. por

nto angular orbital ea D-dlaensões. Os

° 2 * iioperadores Lfoíy) e jH/jf-i^ são geradores do grupo SL(2,R), Logo,

podenos construir os estados coerentes generalizados pela ação de

ua eleaento unitário, desse grupo, sobre o vácuo. Ua trabalho

referente a esta generalização está sendo desenvolvido por nós.

Este trabalho foi financiado parcial«ente pelo CNPq.

REFERÊNCIAS

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19, 2089, (1978)

f81 R. L. Rodrigues, A. N. Vaidya e J. Jayaraman, XII Encontro

Nacional de Fislca de Partículas e Caapos, (1991)

19) Idea

1101 K. L. Rodrigues, A. N. Vaidya e J. Jay-iranan FX Encontro de

Física do Norte e Nordeste (1!«U)

I'M

I TADOS COERENTES DO OSCILADO* RADIAL 3D

R. L. Rodrigues (Departamento de Ciências Exatas e da

Natureza-UFPB, CaJazetras-PB, 58.900)

A. N. Valdya (Instituto de Fislca-UFRJ. Rio de Janeiro-RJ, 21.945)

J. Jayaraman (Departamento de Fisica-UFPB, J. Pessoa-PB, 58.000)

Resumo. Encontrados os estados coerentes canonicos e generalizadosdo oscllador radial 3D, através de operadores derivados dasuper-reallzação da algebra de Ulgner-Heisenberg. Usamos os estadoscoerentes de Perelomov do grupo SL(2,R) para obter o espectro desseoscllador.

I. INTRODUÇÃO

Construiremos os autovalores de energia do Oscilador Radial

(0R) via o operador resolvente, na representação de Schwinger (1],

sobre iwa base de Estados Coerentes Generalizados (ECC), Os EC

pode* ser definidos de três maneiras, em geral, inequi vai entes: (1)

EC canonlcos. são os autoestados de um operador de aniquilação

independente do número de quanta [21; (li) EC de Incerteza minima,

são as soluções de uma equação diferencial deduzida da relação de

incerteza de Heisenberg [3]; (lii) os ECG são aqueles obtidos pela

ação de ua operador sobre o vácuo (estado fundamental). Tal

operador pode ser unitário e pertencer a ua certo grupo (4), ou um

funcional complicado [5]. No caso do oscllador harmônico simples,

estas definições são equivalentes (61. Aqui utilizaremos as

definições (1) e (ili). Os ECC radiais de um operador de

aniquilação, dependente do número de quanta foram construídas para

o OR 3D (7). Então, q\~>is são os ECC do 0R 3D como autoestado de ua

operador de aniquilação independente dos quanta? Utilizando a

super-reallzacão de Jayaraman e Rodrigues (JR) da álgebra de

Wigner-Heisenberg (Wll) |8), obtemos a resposta desta questão.

A álgebra WH para o OR 3D, discutidas na seção 3 da ref. |8),

é a seguinte:

4 [dm), aU*i\lf,

(2)

onde os operadores escada do supei—oscilador radial de Uigner e o

liamlltoniano do selur bosônico são, respectivamente:

Seguindo o aaquinárlo para se construir os operadores escada,

Independentes dos quanta, do setor bouònlco |9|, obteaos:

(S)

onde os operadores d« criação,

oscilador radial são:

, e de aniqullaçâo, , do

Esses operadores quadraticos diwinue» ou aumentam os quanta em duas

unidades,

(7)

II. ESTADOS CÜEHENTES CAMONICOS ti CtNERAJ.IZAUOS

Agora, construiremos os ECC radiais, |y ../ítf' , como sendo

uma superposição dos autoestados do 0l< 3D. Ele-j são os autoestados

do operador de aniqui lação, $'((tl), do 0H 31);

Apesar deles sere» nâo-orlogormlb,

rti

..o.

193

eles são normalizávels, e dados por:

«**/1*1=0

• <•»

onde JjT'*') sao as funções de Bessel Modificadas, y è a função

Gama e yK - (? + 4/a -A Importante propriedade de completeza

será demonstrada nua trabalho que vamos submetè-lo a publicação

numa revista Internacional.

Agora, calcularemos os Estados Coerentes Generalizados(ECG)

associados ao grupo de simetria SL(2,R). A partir de (3-5), obtemos

a seguinte realização da álgebra de Lie do SL(2,R):

De acordo com a nossa realização acima, (Ç('K-1) , K - (•* Ví dão os

autovaiores do operador de Casimir do SL(2,R). Os ECG de Perelomov

associados a essa álgebra geradora do espectro do OR 3D, são dados

P ° r : , > * l-r-ZK-f-r. I

(14)

onde a medida de integração é a seguinte:

(15)

Estes ECG são análogos aos do potencial Coulombiano na equação de

Klein-Gordon [10] e, assim, são não-ortogonals e super-completos.

III. A FUNÇÃO DE CREEN E 0 ESPECTRO

A função de Green definida sobre uaa base constituída dos ECG,

• é uaa soma parcial de funções de Green, i.é,

(16)

onde Q é o operador resolvente, o qual na representação

Schwínger toma a seguinte forma exponenclal:

194

- ((17)

De (14) e (17) em (16). a função de Green torna-se:

Os pólos do tra-,1, do operador resolvent*?, na base dos l.t'tl,

l

s&o os autovalores de energia do OR 3D.

IV. CONCLUSÕES

Construímos uu Estados Coerentes Camônicos e Generalizados (ECC

e ECG) para um oscilador harmônico radial 3D, via operadores

derivados da álgebra de Wigner-Helsenberg supei—realizada.

Calculamos a função de Green e o espectro, através do operador

resolvente, na representação de Schwlnger, definido sobre uma base

constituída dos ECG do OR 3D.

Este trabalho foi financiado parcialmente pelo CNPq.

REFERENCIAS

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3223, (198R)

The Feynman - Dyson proof of Maxwell equationsand magnetic monopoles

Adolfo Mata Jr. and Walãyr A. Itoânynes Jr.

Departamento d« Maleinátira Aplicada, IMKOC-UNICAMI',l)i)iv<-rNÍ(lnili> l^nladiml de CampiiwiH, \'.\\V&',\ OampiiiRH, Sl%11rnv-.il

Abstract. Using a violation of the Jacobi Identity3'4 we are able to generalize theFeyiimau's Proof of the Maxwell Emulations including magnetic inoiiopoles.

In KMH) Dyson1 published a proof due to Feyninaii that the Maxwell rqiiulion»

follow from Newton* s equation

mxj = Fj(x,i,t) (I)

and the quantum mechanical canonical rules

[*i,x*] = 0 (2)

m[xj,ik] = ih6jk. (-1)

Soon after, IHX>2 extended lite Keytimnn's proof to no'i - alxrliau gaug<- iirlds,

obtaining ttie Yang-Mills equations, in his paper, Lee suggested that magnetic

monopoles can be introduced, through Feynman's approach using the dual Loroulz

force equation

It is possible to obtain the magnetic moiiopoles without |K>stulating the dual

Lorcntz force. This is shown below.

In his proof Feynmau have used twice tlt<; well known J.KOM hlculily

(/I, (£?, CJI + [II, {C, A)} + [C% [A, I3}\ = Ü. »

196

Magnetic Jiionopolcs appear when we have a violation of Jatolii Identity for Llic

kinetic momenta pk = m ik.

We follow Dyson-I'eyuman1 closely and |>oint out the necessary «huugrs to iiu Imlc

magnetic inonopoles.

From (1) and (!1) we have

Now, we aw* the .lacobi Identity (5) for operators x} and xk in the form

= ü. (7)

From (3) it's easy to see that the two last terms in the left-handed side of a

equation, vanish.

So (7) can l>e write»: [x,,\i),ik)) = Q. (8)

This eqttation means that the coinutalor [i ; , ijt] is a function of x and / only.

So, from (6) and (8) we can define the magnetic field / / as

l*,JQ =(£)** lit (»)

and the elelric field as

and, of course, lit &>><l £ j a r e &lso functiuns of x and t only.

Sulwtituting (6) and (9) in the Jacobi Identity in the form

ejU\xt,[xJ,xk)} = 0. (11)

We conclude that

is «'(jiiivalent Io

d'-v/7=U. (I»)

Now, as shown by Jackiw3 and Wu and Zee4, the existence of magnetic

implies the violation of Jacobi Identity (11) and this is the very definition of magnetic

charge, namely

div H = ^ ejkl[Vl, \p,,pi)| = pumê (II)

where we have rewritten (11) in terms of kinetic momenta p} = mij.

Using (6) we can rewrite (U) as

// \ i \ ( is)

The total time derivative of (15) is

< ? / / , . OH, - i m *

After some calculations on the right-hand side the above equation we gel

Ei . dllk

The right-handed side of this equation defines lhe magnetic current, ii.sing (M)

-itpnvtt = jt (18)

and so we obtain the second generalized Maxwell equation

The other two non-homogeneous Maxwell equations

dív Ê = Pcki,K (20)

j- ^ = j t l t l l i c (21)

are inlcrjireted in Feynman-Dyson approach as defining the very clolric charge and

current.

This have caused a certain uneasiness*"10 because apparently there i.s no physi-

cal or mathematical principle to lix the nun homogeneous equations such 1.1ml. the

198

complete set of Maxwell equations results I,orentz invariant.

Nevertheless, we agrw willi Farina and Vaydia5, and llojiiian and Shepley1" iliat

it is necessary lo introduce a parameter with units of velocity. This arliilrary pa-

rameter is shown to be inde{>eiident of the observer" using weaker assumptions on

isolropy and homogeneity of space than tin* original conditions used by Kinslt>iii,

obtaining in tliis way the U»rentz transforinations. Hut, nnforj uualrly we ran m>l

yet lix the iion-hoiiioKeueouH c(|iialions from the postulates (I) , (2), (.')).

Another shortcoming is related to a l*agrangian formulation of nui^iu'tic

mouopoles theories, llojman and Shepley"1 have shown that if we don't have a

Lagrangian for a physical .system we can't quantize it.

However the moiiopole theory, where the inoiiopole didn't arise from a dinner of

the topology of the world inanilfold, is an example of a <|uantiiiu system for which

there doesn't exist a liAgraitgiau12 giving simultaneously the lirld equations and the

equations of motion of changes and mouopolea. So, it would !><• ÍI»I<T<-NIÍH;; U> in-

vestigate how and why this kind of inouopolc overrides the llojman and Shipley's

theorem. To end wc call the reader's attention that wc have shown elsewhere13 that

the equations of motion for both charges and mouopole.s follow» «Hrn-lly from 1.1K-

generalized Maxwell equations without any ad-hoc postulate, a result complementar

lo the above one.

R E F E R E N C E S

1 - Fretüiian J. Dyson, "Feynman's proof of I IK; Maxwell equations."

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200

The Vacuum Energy of QED withFour-Fermion Interaction

J. C. Montero, A, A. Natale, V. Pleitez,and

J. A. S. SobrinhoInstituto de Física Teórica

Universidade Estadual PaulistaRua Pamplona, 145

01405-Sào Paulo, SPBrazil

Abstract

We consider quantum electrodynamics in the quenched approxi-mation including a four-fermion interaction with coupling constant g.The effective potential at stationary points is computed as a functionof the coupling constants a and g and an ultraviolet cutoff A, show-ing a minimum of energy in the {a,g) plane for a = ac = ir/3 andg = oo. When we go to the continuum limit (A —> oo), keeping finitethe dynamical mass, the minimum of energy moves to (a -0,g -- 1),which correspond to a point where the theory is trivial.

There are several works devoted to the analysis of a non-trivial phase ofquantum electrodynamics (QED) in the strong-coupling regime, where ithas been shown that the chiral symmetry is sjxjntaneously broken [1], Forthe existence of such symmetry breaking, the gauge-coupling constant amust have a particular relation to an ultraviolet cutoff (A), from winch itcan be inferred that the theory has a non-trivial ultraviolet fjx»'d |x>int |2).The existence of a fixed-point changes completely tin? argument that rcnur*-malizen QED is a trivial theory |3], As long as thirsfr ralniliit.iojis w«;ri' niudc

201

in t)i<> quenched approximation, where the coupling constant is not allowedto inn, it is far from obvious that we uwiy define a jeiiuiinali/ation group jifunction [4], and from it we are able to determine the pirwencr of tin- fixed|M»iut. Morver, t)i«: result» wen* obtained solving the Schwiugei Dysonrquatious (SDE) in the ladder approximation, and it is not an easy ta.skto determine how accurate these solutions are. However, a strong supj>oi Ifor these calculations conies out from lattice .simulations, where the samebroken symmetry phase was found at strong coupling [5,6].

Another important result is that, in the planar limit the dimension ofthe fom feriuion ojierators approach dimension four at the critical couplingconstant a,, then, to study the fixed points we must include this four f<unioninteraction [7] with dimensional coupling constant G. It is interesting tokeep in mind that this four-fermion interaction introduced by hand, couldIK- dynamically generated by the theory [6]. The dynamical generation ofnew interactions at a fixed point occurs also for example in »/<£fi theory |8].It has also been shown that solutions to the gap equation for an arbitraryvalue of G will break the scale symmetry unless G approaches a fixed-pointvalue [7]- On the other hand, it is well know that weak coupling solutionsof the Schwinger-Dyson equations does not produce spontaneous breakingof the chiral symmetry (9,10]. However, when four-fcrniion interactions areadded. si>oiitaneous breaking occurs even for weak gauge coupling, but inthis case a critical line in the (a,G) plane appears [11,12].

Even though the triviality of QED docs not have any phenomenologicalconsequence, because it will probably be unified to the other interactionsbefore we arrive at the Landau's pole, it is crucial to know if the simplestand (perna]») the best known gauge theory we have, behaves well at highenergies. It is clear that if the theory is not trivial at str<»*tg coupling,and cliiral symmetry is broken when the coupling constant is larger than acertain critical value, say n > <»r, the vacuum energy must be well definedand different from zero. In the case of QED without foui fennion inteiaction it was verified that the tlu-oiy has a uiiiiiiniiiu of energy, exactlyat n =• a, [13]. In this work, we will compute an effective potential forconqMisite o|>erators [14] at stationary |joints in the ca.se of QED with »four fciinion interaction, looking for minima of energy in the In,//) plane,

/)The durai invariant four fennion inlnaction lo be added to the

2Q2

Lngriuigian is |7]

In the chiral limit, in the quenched (ladder) approximation and in theLandau gauge, the Schwinger-Dyson equation for the fermion self-»;iiergy,S(p2) takes the form [7],

where, we have made a Wick rotation and integrated over the angular vari-ables, with x = p'jA = 3a/4w = 3e2/16ff2 and g = Gfi*/4*2. Eq. (2) canbe solved by standard methods [7,11,12], and a critical line can be deter-mined from these solutions. This critical line separates the spontaneouslybroken and unbroken phases of the chiral symmetry. It has also been ar-gued that the whole critical line is the fixed point i.e., we have in this casea "fixed line" [11].

With the non-pexturbative solutions of the Schwinger-Dyson equationfor the fermionic propagator we can start the calculation of the effectivepotential of QED. In the Euclidean space and after integrating over theangular variables the effective potential for composite operators [14] is givenby :

where

F[x,y,\,A)= -B(x-v) + - j

By using Eq. (2) as an identity in Eq. (3), we obtain the following expies-

In virtue of the condition &V/6L — 0 which implies (2), il tneau» the valueof the effective jx>tential at the extreme jM>int». Notice thai Í2 is alwaysnegative for any non-trivial «oliitiou S(a-).

203

Without going into tin- details |15], we u«>w discuss the ixi^i.-n. • (,f .,minimum for the viw-iiuni energy, hi Pig. 1 we show a plul. of (8ar*/A')'iagainst « for several values of 9. Notice that tin; rase g ~ i) is not reduceddirectly to the 0111* in Ref. |13], where a simpler approximation to thesolution of tin1 Sdiwingei Dyson equation was used and when- the iipjxrilimit of Eq. (4) was appnaituated to infiuity. FVoiu Fig. 1 we can a r thatthe minimum of energy tends towards the point a = trc. To illustrate thebehavior of (2 as a function of»/ we .show, in Fig. 2, (Sn7/A1 )il against./ f< >ivalues of a around ac . For large values of g Fig. 2 tells us that the dee|x-stminimum occurs for a = o f . For larger or smaller values of » all curves ofFig. 2 lie al>ove the curve with u = oe. Strictly speaking the minimum willoccur at (a = ac,g = 00). The position of the minimum in the (u,y) planeis shown in Fig. 3 by the thick solid curve. At the point (ao ,0) the valueof (8ir?/A*)íí is —0.0012, and it becomes deeper and deeper as we increasetlic value of g and approximate a = ae.

In Fig. 3 we show also another curve (dot-ebshed) which can be interpret«;d as follows. Away from the critical line the fermion self-energy isapproximately constant, therefore the solution for the gap equation leadsto a consistency condition (16]:

(5)

Etj. (5) in the limit E2/A2 —» 0, gives a mean-field curve, <j — 1 - o /4o c

by the dot-dashed straight-line in Fig. 3. For larger values of ytlit.s curve) we approach a trivial Nambu-Jona-Lasinio theory [10].

Therefore, if we allow for largr values of g we conclude that tlie núuímumof energy happens for values of the coupling constants where tlie tlieory istrivial, and it is clear from Fig. 3 that viilues of minima are alx>ve the mean-fichl curve d<rscribed by &|. (5). However, we have idso to keep in mindthat the curve g = 1 - n/4nc wan obtained with a crude approximation«uid it should lie regarded more a» a qualitative result. The question nowin: how arbitrary is </? This point is of fundamental ini|>ortnncL' ixruiise ify \n limited to nome finite value, we do have a definite minimum of energyin tin? («,</) plane (wr Fig. 3), otherwise the miiiimiiin will l>e linaled at</ equal to infinity where the theory is> «eitninly diviitl.

In our ralnilation» we have H free nm»» parHUK-t.fi A lltiil inu l>e fiirtoi -i/eil in HIK'II a way that A enter» in if only a» H iiiulti|)lic;ilivi- liirtor In fart,

1(tA

the quantity 11/A4 is inde|>cndent of A. We CIUI ask what II;I|>|K-U^ if weconsider the continuiun limit A —» oo. In urder to take A —»<x> seriously wvmust know the behavior of g and a as a function of A and this limit mustfulfill the hypothesis of Miransky and others [2,7] alunit the existence of nfixed-point. In that case we can have a possible limit that results in ytnand m finite and therefore a definite minimum of energy. We notice thatthere is a possibility of taking this limit even if not in a rigorous way. W«-can argue that when A r * o o , j and a are related through the rritira] line.In this case, A goes to infinity but m goes to zero keeping rn constant andso ft, i.e., the limits on A and m are taken in such way that their productis equal to K over the critical line, where n has a definite value. La this caseall points of minimum in the curve lie under the mean-field line showed inFig. 3 coinciding with the critical line. However, Cl for a = ae and g = 1/4is not the deeper minimum. In fact ft becomes deeper and deeper as wedecrease the value of a and approach o = 0 and g — 1. This result tells usthat in this picture i.e., A —» co and g and a related by the critical line,the 4-fcrmion interaction alone is more efficient to break chiral-symnietrythan both interactions together. Notice that the minimum of energy at(a = 0,0 = 1) is the only one that also corresponds to a point (accordingto Eq. (5)) where the theory is trivial. The above procedure is useful toiUoatrate the possibility that when A goes to infinity we can have a well

of energy.mnUDSaDila condnskai, we computed the vacuum energy of QED with fbur-

fennkn interaction. Starting from the solutions of the Sen winger-Dysonequation for the fermion self-energy, we determined the values of minimaof energy m the {a,g) plane. The minimum we have found is located at(a = a e ,$ = oo), and we argued that this point corresponds to one wherethe theory is trivial. The theory has an unique mass parameter which isgiven by the ultra-violet cutoff A. When we go to the continuum limit(A —» oo) we only obtain a sensible result imposing the same condition ofMiransky and others 12,7] i.e., we must impose a relation between a,g,mand A in such a way that when A -» oo and m is kept finite a and <j go tosome specific critical line. However, performing the calculation over the crit-ical line, with A/m —• oo, we found the global minimum at (« = (),// = 1)which is again a point that characterize a trivial theory. All thewr -OIK Insions probably do not hold if the four fermiou is generated dynamically,when & well defined minimum of energy could !i|»|war as a function of a

205

certain critical value of «.

Acknowledgments

This work was partially supported l>y Conselho Nacional de JVisqui.sii (AA. N. BIK' V. P.), Conselho de A|>erfBÍçoainf:iito de Pessoal de Nivel Sujniioi(J. A. S. S) and Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de- São Paulo(J. C. M).

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FIGURE CAPTIONS

Fig. 1. ÍÍ calculated from Eq.(4) for a > atc and the following values ofg:g = 0(a), 0.25(6), 0.50(c),0.75(<f), 1.00(e).

Fig. 2. (2 calculated from Eq.(4) for the three different regions: Í2, foro = 0.8<ke (dot-daehed curve); SI? for a = ac (sohd curve) and il3 fora = 1.4ac (dashed curve).

Fig. 3. The critical line (solid curve). The line separating the; regions withtrivial and non-trivial solutions obtained from Eq.{5) (clot-dashed curve).The local minima of Q (thick solid curve).

207

-0.003

-aoo7

a

|S

a 0085

[7

\ \

5 250

rt*. t

Í1J.E.Maiorino and J.R.H.Zeni

Instituto de Física, Universidade Estadual de Campinas,13081, Campinas, SP, Braziland

W.A.Rodrigues, Jr.Instituiu de Matemática, Estatística c Ciência da Computação, Universidade Estadual de

Campinas, 13081,Campinas, SP, BrazilAbstract

We show that the neutron inlerferonielric experimenta do not imply that the neutron wavefunction must be described by a Pauli c-spinor wave function that changra sign under a 'itrotation. We argue that the papers supporting the opposite view have jumbled up the timeevolution of the Pauli c-spinor wave function with its transformation law under rotations. Kvenmore, we show that the experiment can be well described using a Pauli algebraic «pinor wavefunction tbat does not change sign under a 'iff rotation.

PACS: 03.C5.Ilz 03.65.Fd

There are essentially three different definitions of fipinors in the literature: (i) the covarinnidefinition, where a particular kind of covariant spinor (c-spinor) is a set of complex variablesdefined by their transformations under a particular kind of spin group; (ii) the idcul definition,where a particular kind of algebraic spinor (e-spinor) is an element of a lateral ideal (defined by theidempotent e) in an appropriate Clifford algebra (when e is a primitive idempotent we call it ana-spinor, instead of e-spinor); and (Hi) the operator definition, where a particular kind of operatorspinor (o-spinor) is a Cltflbrd number in an appropriate Clifford algebra \RPw<l determining a setof tensors by bilinear mappings. In [1,2] we have clarified the relations between and the possibleequivalence of all these kinds of spinors and in [3,4] we studied the corresponding spinor fields assections of appropriate bundles over a manifold modelling spacetime.

Physicists use almost exclusively c-spinor fields (despite the fact that operator spinor fields havebeen introduced by Ivanenko and Landau [5] already in 1928 and rediscovered by K;ililer(0] in 1961):is the representatives of spin l/2ferrak>nic matter. As is well known, a c-spiuor wave function hasthe pro|K>rty of changing its sign under an active 2T rotation, which is not the case for algebraic oroperator spinor wave functions interpreted as sections of appropriate Clifford bundles [I]. Whichkind of spinor fields, covariant or algehruic/operator gives the best mathematical aud physicalrepresentation of fennioiiic matter is a very important problem, since algebraic and o|>er;itor spinorfields can be written as sums of non-homogeneous differential form» [l,2,4,5,7,H] thus challenging the"majority view" that spinon are objects more fundamental than tensors [9,10,11]. (We emphasizehere that when a-spinor fields are interpreted as sections of the so called Spin-Clifford bundle theyhave the usual transformation law [4].)

HeniHtein [12], Aharauov and Susskind [13) and Moore [11] pro|M>sed exiM.-riiiK-iils fur the verifi-cation of the sign change of c-fipiiiors under an active 2f relation, llcgerfeldl and Kraius* [15] putforth a critical remark on the Aharanov and Susskind argument, showing that it is in Daw (a pointon which we agree). Also Jordan [16] invoked the spin statistics theorem for spin 1/2 particles toargue that 2JT rotations are uiiobscrvahle.

After the neutron inlerferometrtc experiments [17,18,10] the controversy on the interpretationof lhe uigii change of the neutron c-Bpinor wave function in a magnetic field went out, m> it is wellillustrated by the many papers that appeared on this subject [20 30]. It HOHIIS to lie the "majority

209

view" that the neutron interfcromelric experiments da indeed prove that the neutron wave functionmust be described by a Pauli c-spinor wave function (on the nonrelativistic limit appropriate forthe cx|>eriuienl) thai changes sign under an active 2» rotation.

Here we challenge such a viewpoiut. Indeed, we are going to show that the neutron iuterforo-uictric experiment as described e.g. in [30] can be perfectly explained when the spin 1/2 neutronmatter is described by a I'auli a-spinor wave function that does not change sign under a 2* activeroUtiuM. What happens is simply that the unitary evolution operator for such a wave functionis an element of Spin(3) ~SU(2) ! For what follows nonrelativistic (first quantization) quantummwhanicg will suffice. We are going to use elementary definitions of the c-spinor ami a spinor wavefunctions, i.e. we are not going to present these objects as sections of some vector bundle. (TheiuUrresled reader may consult e.g. (4] on that topic.)

We take as arena of physical phenomena the Newtonian sparetime N = Dl3 x It and define aPanli c-spinor wave function as a mapping

• :JV-C2 (1)

whereC* is a two-dimensional vector space over the complex field C. The space C2 is equipped withthe spinorial metric

tfC'Cy^ (2)

•COwhore • = f . I and f stands for Hermitian conjugation. The spinorial metric is invariant

under the action of SU(2)~Spin+(3) (in fact it is invariant under the action of U(2) [2]). As it iswell known Paul! c-spinors carry the fundamental representation JD1'2 of SU(2). Under an activerotation R in the Euclidian space Bt3 the Pauti c-spinor wave function transforms as

• & U{R)*, U(R) € SU(2) (3)

iven axis, then • 35 —#. In a given magnetthe neutron wave function • satisfies as it is well known [31] Pauli's equationand if It is a 2x rotation around a given axis, then • 35 —#. In a given magnetic field B : N —» Bl

(4)

where we use units such that h = 1, m is the neutron mass and

where Oj, j = 1,2,3 are the Paul! spin matrices, Dj, j = 1,2,3 are the components of B in a givenreference frame of Ml3 and /i is the neutron's magnetic moment. In what follows we are interestedonly in the spin precession motion and so we consider instead of eq.(4) the equation

/<•, • : ! • - . • ( i ) e C (G)

We chouse B in the * direction and then write //, = -ftlica. We now write # = C| I fl J +

f2 I i I - T.ci\j > a i t a observe that O\OI<JM >= t|l > and ai<7j«73|2 >= - i | 2 >. 1 lien eq.(O)

ran bu written°J = -ii Hat*. (7)

210

We now define the Pauli a-spinor wave function and writ' the (Pauli) equation satisfied by thisobject for the situation of the neutron interferometric experiment. We first recall [1,2] that the I'aulialgebra IR3 is the Clifford algebra generated by lande, , j = 1,2,3 such that ejej+e,-Cj = 2i,: where{*,; 3 = 1,2,3} is a basis of the Euclidian vector space V Ü H ' ^ Bt3. We take {<T,; t = 1,2,3}as a basis of V*, the dual space of II3, with <r,(e,) = 6 | ; and call I»(cs lt3) ihe Clifford algebragenerated by 1 and the o\, t = 1,2,3. A Pauli a-spinor wave function in then defined as a mapping

V>:JV-{IPe} (8)

where e = J(l + 03) is a primitive idem potent of I* and {Ve} is the class of equivalent minimalleft ideal of IP generated by e, i.e. tp is a sum of non-homogeneous differential forms (3,4,7] Underan active rotation A in IK3 the Pauli a-spinor wave function transforms as

f/,Áu(ã)i,u-\R) (9)

where u € Spin+(3)(~ SU(2)) C IP. (More precisely this is the transformation law when (x,if>(x))is taken as a section of the Clifford bundle. See [3,4] for details.) This has as a consequence thatunder a 2ir rotation V *•+ 1>- The spinorial metric defined by eq.(2) can also be defined within thePauli algebra [1,2] but it is not necessary here.

The spinorial basis generated by e = | ( 1+<r3) is {e,<rt e} [1,2] and we can write $ = c\e+cjaiewith C|,c3 £ C, generated by { l , i } . Also i = <ri<73<r3 is the volume element of R3 and iAp isessentially *\p, where Ap € A,(T*Bl3) is a p-form and • is the Hodge dual operator. To write the(Pauli) equation satisfied by V for the neutron interferometric experiment we need only to takeV': t >-* {JPe} and to make in eq.(7) the substitutions • •- V, °i *-> «i, (>' = 1,2,3). We get

$ (10)

The solution of this equation is(11)

where Spin+(3) 3 u(t) = exfiftBiaat) = cos(/ifl/) + «r^jsinf/iiii) (33).Equation (11) shows that the predictions for the nentron interfcrometric experiment when one

uses a Pauli a-apinor wave function are the same as when a Pauli c-spinor wave function is used.Since these two kinds of spinor wave functions have different transformation laws under rotations(<><|.(3) and cq.(d)), it follows that the experiment does not prove tliat the fcrmionic matter of theneutron must lie described by a Pauli c-spinor wave function.

Hcfore we end we must add that the notion of algebraic spinor fields leads to a new point ofview [4] concerning the spinor structure of spacetime and the relation between bosons and fcrmions(sii|K!rsyiiimctry) [34]. Also our translation of the Panli equation satisfied by • into the (Pauli)equation satisfied by if) provides a geometrical meaning for the imaginary unit i - y/-i, a fact thatmay have nonlrivial consequences as already emphasized by He» tones [3538] who has been sincelung using algebraic and operator spinor wave functions for the interpretation of the rulativinlic(|iiaiiluin mechanics of the electron.

At least, to those who might not be convinced by our arguments, we recall the fact that therearc many two-state quantum systems described by equations identical to eq.(6). Indeed as shownin ('hap. 11-3 of [31] this is the case of the amoiiia molecule (a boson) in an clvlric field. In a(possible) interferoinelric two-slit experiment with amonia molecules, with one of the paths passingthrough an vlulric field E, we could tee for an appropriate E a phase change 01-> -<$>. Neverthelesswe Ate. fui re that in stirh a case nobody would claim that we are observing a 'It solution of a spinor!

211

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213

NON-ANOMALOUS BOSONIZED THEORIES FROM A GAUGt PRINCIPI E

fílvara 1)1 tilNI/fl 1)111 im /

IINtSrVLIdmpub tie liitdrdl iiiiiuel^ Dili

Av. l>r . Arthur to Herejra <Jd liunhd -\S\t liudr dl nii|iit>t á SI'

I :«ii» I r o lit a«.ii Iciiri» He »'I.".,»|MI u.is r 1 S H .is/DCI'

Ov. D r . Ktivit?r bicjdiul ISO- llr Ld K iu tie . Idi iciru IM IIMA'.iil

Ali*-»* i ai I : tit i t r l jn t | f r iwi a i|Hw<|e p r i n t - i | i l i> fur d «. tdlnr liti*>tni WL»

• .h«iw t i n t ttim i «»n c|t»t , i n I M <l imf'iiH t D M % , t I I H I Hi|rant| I H I I I I H M * I 1 t y

n l MM- (|fiM'r .i i i 7t»il Ht'hwi ni|t*r mtHlcl (<iSM) in i t i . hc»Htin i ?i*<l v«»r*>iiiii.

M u s in i nr lur a |»nr t i cul t i r v n l i i e n ( I lie r e»t|«i l«»r i ?tSt if?»i i i a r d m c l r r ,

M H - I I »«e <>IIIIM how lt> CM'I l h e mudcl w i l d t in 1 a r l t i t r c t r y |i<»f diiicl I T

H » P i f i t rnf lMf . t . ion of llx? W f s s - / n m i n o fn>l<J.

* I J I T riicJiir>iit

n»-. l *•> w e l l known, SCXIIP two-riin»€»n%ii nr«n I mnfk?l% (iri?wr.*iit?j t I»H

mW' f i".l tiHi I r a l u r f n l tlyn.imi r ti I m.isí ut'i>r»rij t» on for I IK* ti.iui|i>

i Hf.i H I M , iinil I hi1., lir» ('I't?'i w i t h o u t In ' jb of ciiitiqH mv. i r l i inf f*. In l<<it

l l u - . i ' , .> miM li.ui ism tht i t would be wt' l l t . idM* in lun l icr rlimcni-i i n n s ,

ii.ir 1 i i u l c i r l y in S* I , i n order' t o c i rch icvp a -,t din<l.jr cl OK H If.11 wr Lliout

l t l ( | i | - , I I f Id' . . .

I in I I»H o i l ie r hand t lit» pu&bj b j J i t.y o l I r rint. lor m,i I ion n l

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ml*>ri-".l itii| U'.«l ur I'tj nl I liu I wo il imt*n*> iniiii I moili'l'i. I IIH

I I I I M H I I / r uitit innti iron» it i|ivi>n luuili'l . In dti I l lu * . I yjin

ol <i|i|ir n.n h id imw.nluy'j III.-IIKJ sli i i l icil MI I I I I | I M T il IIIM-IIS IOM'. I I | ,

lh rnu i | l i I l i i ' o|n»r dl or i . i l | i M t u r i > .

In I l i i - i l<-l It-r wii i ii 11 ff ul |<> show l h . i l , Irnni I ht* wi.'l I Known

i|.iiii|c |M i m i |»l«.'f wt.' i tin n l i l . t i n I I H - ^ Í . ; I I U M H I I / I M I l l n * o r i i " i i n 1 * J

il mien1, i mi*, in lhe • I I I H I I . H I I <I«.I». l int) is ilnni.' hy ohsi>rviiii| I hi» I I hi>

Iri-i- ',« .i I .ir l<u|rdui|idn i l i ' i r . i l y

2 ) 4

is invariant under the global transaction:

where v is a constant» As usual, now we impose that this model lie

invariant under a local translation

(3)

This is mafle by the introduction of a gauqe vector f ie ld , that

the us^al transformation

E (x) -. E (M) - <l/<7>0 V(K) , (-»)

wbpre <7 is a dimensional coupling constant. With the-.i* etcmonts in

h<3nds, i t is not d i f f i cu l t to sc?e that the invariant'

density shall b*1

+ 9 E

In fact the above Lagrangian density is valid in an arh.trary

number of dimensions. Here we will restrict our analysis to i+1

dimensions. Up to MOW we Ho not have identified tlte qauqe 1it?ld b

with the nholon field A , but in two dimensions we can

these fields throur/h the uoner• a\

this relation we uet for the l.aqranqian density:

V •- ll/2)«» 4, y V f '> <rt «j'"**' • »: t

;"'> d .

215

C #//•*!> ( c * -i c2 ) f t

t lHM» ' t l l l l | t l M ' I I N I | l l i l U | L l>tlL>t r l l t t Q dta I H Í M I C | t i l l ; t ' l t M i f U I I I ll.JI l | | -

lh.il i=» the dimuii&JOMal parameter in two dimension,;

i l i ent I f y I I M | i ami i w i l l i L impl i n i | par awt»! i;r £• o i \ he liiiM | V* 1 , ' 1/

iiitil * / re->|MM l i v e l y , we h a v e t h a t

V. - ( 1 / V M '/- «i'V' * •-<{/ » I P " * Í/ «=MI> •* / / ' « * <fc?2/^)A O*', ( I I )

wt» I I 'JL- I I im|iu*9etl t h a i y • </ - 1 f ? . | . l h e d l inve I at|r <«iii| 1 an

l y , tip t o t h e ar h i t r a r y r e g u l a r i z H t i c i n pHrami?tpr , n . itiv>l I hi?

/ e i l vi«rr»iiin o f I I U Í i>HM L ^ l ,

th.»1 in Hit» p a r t i c u l a r r a s e s in wh ich q = t = - q , aticl t h a t

il - f>. «1 - I , r e c a l l s t h e c h i r a l Schwinqc?r moilel and i lit?

Lie IIWIIKM>r cm»-1 r »»m>ecti ve 1 y t 4 , 5 1 .

llfiwi'vi-'r . tis can be «-»et;n from above , the L riqr<9nr|j«tn rlí?nç.ity c»f

t h e hiciif i 1 /«'il (;!1M, wa% o b t a i n e d i n a p a r t i r u ta r valtif? of I hr

r n i i i l . i r i / , i t ion \u%r timeter . Nc»w wi? w i l l *»ef.« hr>w t o u i t r o d u t t ' th is

<ir h 1 I r <ir y prtr iMiMjtt*r. This w i l l be made thruuffh the use ot the

/iif»iii«i f 11? I d .

this J i-> made through t\\e tranbf urnat ions:

) it 0, ( IOI»)

t h a i r t l l i i r Mih',1 1 l u l Kin i n ( 7 ) ant! r uur r anqi tif| t f i v u u :

V ^

NUM we can eliminate ojie of llie constant*» te and k , l»y

intimating that tlte crossed term «in tlie f ie lds </• and t* vain

This condition raises" Irom th* fact thai such Irrm would

rebounds to. an interactICMI between the termiim field*, .mil Ihr

•»-/umino one, and thib would render-s the Ilieory uiutm.*!

llsincj this condition tu eliminate the constant k , we uht.tin

• e (tf tf • ••• t f e ) à •(4\

(aeZ/2)A

U.S)

H)>ikiria the f i n i t e r normalization & •* - ( l / k )0, we r^l f

JHÍ correct, non-anomalous GSM, with the Uess-Zumirio Itujranip an

fiiisi ty

»i -- ( l / 2 J ( a - q*)d S d^e - e eUa - fyçf1' + Qt q -J?1 1 Í> ;A ( , ( 1 4 )

I hat is the correct Wess-Zuminn Lagranqian density, ds tdii Iw

vi>r i I icd IriMn the particular cases of chiral b^hwintipr moilel

(tf -- 1 = - i/, ) and tin? vet t o n a l !U:hwinc|t?r one (// - 0, t/ 1)

IM.

Kl I I Ml NCI íií

111 h . C. nar m o , Phys. L e t t . II 2Ç3 (17V1) 6A

| 7 | C. W«»l/.is«ik and C. Naun, 2 . Phys. L 4li (1VIIV) 11'.».

I \ | I». lli»y«»nuvtiky, • ! . tiijimicft and M. \-. I ' . I it» I lor man* Aim. I'hyi».

( N . V . ) HIS (1VIIÜ) 1 1 1 .

M l U. Ja ik iw and H. Uaiaramait, Mhys Mev L e t t . HA (1VH'.>) 171 ' / .

| :> | . 1 . Sirhwiri«|«r, Hhys. Hey. 12M 11762) 717b.

| / i | K. llarada and J . I t M i t s m , Phys. I e l t . H ) t ) í (17IJ/) . M l .

217

ESTADOS SUPER-COERENTES DO OSCILADOR RADIAL SUSI 3D

R. L. Rodrigues (Departamento de Ciências Exatas e d*

Natureza-UFPB. CaJazelras-PB, 58.900)

A. N. Vaidya ( Ins t i tu to de Fislca-UFRJ, Rio de Janelro-RJ, 21.945)

J. Jayaiaman (Departamento de Fislca-UFPB João Pi-ssoa-PB. 58.000)

Resumo. Encontramos os estados super-coerentes canõnicos doosctlador radial SUBI 3D. Mostramos que eles sao de três tipos:bosônlco, fermlônlco e Fuper-stmétrico (SUBI).

I. INTRODUÇÃO

0B estados coerentes podem ser definidos de varias maneiras,

sendo algumas delas equivalentes [1]. Eles têm uma vasta aplicação

em física 121. Uma extens&o dos estados coerentes do oscllador

harmônico simples sao os Estados Super-Coerentes Canonicos (ESCC)

do oscllador harmônico supers1métrico (SUSI) ID, os quais sao os

autoestados de um operador de anlquilaç&o SUSI de primeira ordem

13}. Estes estados geram espaço de Hllbert bidimensional: um estado

é feraiônico puro, e o outro é uma mistura de estados bosonlco e

fermiônico,i.é, um estado SUSI. Aqui, faremos a extensão dos

estados coerentes radiais. Dei conexão entre o oscilador radial SUSI

3D e o oscilador radial generalizado de Wigner, obtên-se uma

realização das super-cargas, , em termos da super-r^alização

de Jayaraman e Rodrigues (JR) da algebra de Wigner-Heisenberg (WH)

[4]. No sistema de unidades em que h=l=M=u, tal realização da SUSI

em mecânica quantica ê a seguinte:

oiKle \\(Çk i) è o Hamilton!ano do oscllador radial generalizado

d« Wigiier |6), comuta com a coordenada feralônlca, X ? . E as

buper-cargas são dadas por;

&tz i(i 1:,)ufaÍ)

218

onde Q.~{fti) • s*0 os operadores escada da partícula de Uigner.

Como tíffci) * 5>i coautaa. então \\s% e Híffj) também comuta*.Neste caso, podeaos diagonalIzar este Itamiltonlano SU5I na mesma

base dos estados esplnorlals de Uigner. Denotando os estados

associados aos quanta pares e 1 apares, por l <|L«V e | i ^ ^

respectIvãmente, obteaos :

O espectro deste slstena SUSI é degenerado para a^l. 0 vácuo é ua

estado singleto de energia zero, logo a SUSI é nSo quebrada.

II. ESTADOS SUPER-COERENTES CANÚNICQS

Os ESCC são os autoestados de ua operador de aniquilac&o SUSI

do OR 3D. A partir da Algebra WH obteaos três tipos desse operador,

os quais sao escritos ea termos do operador de aniquilação da

partícula de Uigner. 0 priaeiro, ê diagonlizavel na base dos

estados super-coerentes feraiônicos puros [7],

(6)

Este operador de anlquilaç&o. possuea as seguintes propriedades:

Então, expandindo os ESCC na base dos autoestados ortonoraais,

pertencentes ao autoespaço associado aos quanta pares, de dimensão

um, deduzimos a seguinte forma espinorial:

(8)

oixle os kets \f.t(\ sfto os estados coerentes do OR 3D da ref. |5J.

Estes ESCC sao os análogos radiais dos estudos super-coerentes

fermionicos puros do oscllador SUS] ID da ref. (4).

219

O operador de aniquilaç&o do OR SUSI 3D que, atua sobre os

autoestados pertencentes aos quanta impares,

(10)

é diagonal tzaiio pelos ESCC bosonicos puros,

(11)

onde os kets \/^ £ V , são os ECC n&o-normalizados do OR 3D con

•onento angular adicionado de uma unidade , (f+1), a saber:

y (12)

0 operador de aniquilaç&o SUSI que atua sobre os autoestados

associados aos quanta pares ou Impares (estados fermiônicos ou

bosonicos) e, consequentemente diagonalizável pelos ESCC SUSI,

(13)

2

tem as seguintes propriedades:

Expandindo os ESCC SUSI na base [ Hf u>/ \^^ , obtemoa:

M

b\

220

Estes estados Super-Coerentes Canonicos (ESCC) possuem também as

duas propriedades importantes dos estados coerentes usuais:

nào-ortogonalidade e completeza. Estas propriedades serão mostradas

por nós nua trabalho mais detalhado sobre os estados coerentes do

osctlador radial SUSI 3D, o qual está sendo preparado para

submetê-lo a publicação numa revista cientifica internacional.

III. CONCLUSÕES

Construiaos os ESCC do OR SUSI 3D. Mostramos que eles são de

três tipos: (1) estados canônlcos, análogos dos estados

super-coerentes feralônlcos puros do oscllador SUSI ID [31, (li)

ESCC bosônicos puros e (ill) ESCC SUSI. Todos esses estados

super-coerentes sao super-completos e nâo-ortogonais. Assim como foi

possível esta extensão dos estados coerentes canônicos, podemos

encontrar os estados coerentes generalizados associados a algebra

OSPU/2) da SUSI em mecânica quantica. Um trabalho nesta linha esta

sendo desenvolvido por nós.


REFERENCIAS

(1) M. M. Nieto e L. M. Simmons, Jr. Phys. Rev. D20, 1321

(1979)

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[4] J. Jayaraman e R. L. Rodrigues, J. Phys. A: Math. Cen. 23,

3123, (1990)

(5) R. L. Rodrigues, A. N. Vaidya e J. Jayaraman, Proceedings do XII

Encontro Nacional de Fisica de Partículas e Campos (1991)

(6) Adotaremos a convenção de estados bosônico e ferraiônico usada

na ref. 14). A convenção empregada na ref. 15) é o contrário

desta.

221

ESTADOS COERENTES DO OSCILADOR HAMfONICO ISOTROPICO 30 DE SPIN 1/2

H. L. Rodrigues (Departamento de Ciências Exatas e da

Natureza-UFPB, CaJazeiras-PBt SB. 900)

A. N. Valdya (Instituto de Fislca-UFRJ. Rio de Janetro-RJ, 21.945)

J. .layaraman (üepartanento de Flslca-UFPB, João Pessoa-PB, 58000)

Resumo. Os estados coerentes esféricos sao construídos via atécnica algébrlca de Ulgner-llelsenberg de três graus de liberdade.Eles são os autoestados do operador de aniquitação esférico deua oscilador harmônico Isotrôplco 3D de spin 1/2.

I.INTRODUÇÃO

Faremos um desenvolvimento análogo ao da nossa construção dos

Estados Coerentes Canon1cos (ECO para um oscilador generalizado ,

o qual emergiu do setor bosônlco de um liami1 toniano de Wlgner (1).

Usaremos o sistema de unidades em que h=l=m=u.

A super-reallzaç&o da álgebra de Wigner-Heisenberg (WH)

proposta por Jayaranan e Rodrigues (JR) possibilitou uma simples

resolução espectral do oscilador harmônico isotrópico 3D não

relativistico e de spin 1/2 [2], Este sistema é descrito pela

seguinte equação de Schrttdinger independente do tempo:

m

cujo Kami 1 toniano aparece embutido no setor bosônico do

Hamiltonlano de Wigner 3D. Na eq.(l), usamos as identidades [2,3]

envolvendo as matrizes de spin 1/2 de Paull, o- (i-1.2.3),

(2)

A BUper-realIzaçfio JR dos operadores escada, mutuamente adjuntos,

•) ) )

nos proporciona una álgebra WH em 3D:

(5)

(6)

A relação de comutação generalizada derivada desta álgebra é:

X- à + Ifc t *OJL (7)

As coordenadas fermiõnicss £ (1=1,2.3) são as matrizes de Pauli

também, mas não descrevem o spin e, por sua vez, comutam com as

matrizes de spin 1/2, <r .

As autofuncões do operador matricial («T.L+1) são os bem

conhecidos harmônicos esféricos de spin.

(8)

Pode-se mostrar que (<r. L*1) comuta com todos os elementos da

álgebra WH 3D. Então, seus autovalores vão rotular as

representações Irredutíveis que varrem os autoespaços de H(tr. L*1),

para um valor fixo do momento angular total, J=£+l/2=(Z+l)-l/2.

Os autovetores da partícula de Wigner no autoespaço de (<r. L+1)

-» (£+1), formam um conjunto completo associado aos quanta pares ou

impares, satisfazendo a seguinte equação de autovalor:

De (5)-(7), nesse autoespaço, obtemos as seguintes realizações para

o operador de anlqullação dos quanta da partícula de Wigner:

(10)

223

A projeção do comutador LHf^wt l } , { fy^tM)) J § „<, autoespacoassociado aos quanta pares, nos da os operadores escada esféricos

do oscilador lsotróplco 3D de spin 1/2, Q

W*»Dj={ Bf tfh»' (12)

à

onde

(14)

A partir de (10)-(14), venos que os operadores quadraticos,

mutuamente adjuntos satisfazes as seguintes propriedades:

.1

(16)

Propriedades semelhantes se verificam também no autoespaço

pertencentes aos quanta impares e, por sua vez, os operadores de

criação e de aniqullação , deduzidos por nós, independem do número

de quamta.

II, ESTADOS COERENTES CANONICOS ESFÉRICOS

Os autoestados esféricos do operador de anlquilação, Ç> , estão

a ,soe lados ao aulovalor complexo, f . Eles são exatamente os ECC do

oNcllador hamõnlco lsotróplco 3D de spin 1/2. E» plena analogia com a

riíf.ll], obtemos os ECC normalizados como uma expansão na base

ort onormal. \\»\6 k , y ^ }j , ou seja:

-Hi "T (17)

undfc J.( \Y\) são ><H fundões, de Bessel modificadas, a saber,

224

-(1,(111). > l""J . ..

A propriedade de não-ortogonalidade é evidenciada abaixo pelo

produto escalar entre dois ECC associados a autovalores distintos,

Estes estados coerentes canônicos esféricos satisfazem a una

propriedade de conpleteza e, portanto, são super—completos. Esta

propriedade será demonstrada por nós num trabalho que está sendo

preparado para ser subnet ido a publicação internacional.

III. CONCLUSÕES

A partir da super-realização JR da álgebra WH 3D, obtemos o

operador de aniqullaçào de un oscilador harmônico isotrópico 3D de

spin 1/2, cujos autoestados são exatamente os estados coerentes

canônicos esféricos deste oscilador. Eles possuem as propriedades

de não-ortogonalidade e completeza. Os operadores escada obtidos

aqui não dependem do núnero de quanta. Esta construção nos permite

várias aplicações em física quântica. Alén das possíveis extensões

daquelas aplicações usadas no tratamento unidimensional [5],

podemos analisar a fase de Berry [6) sobre uma base constituída

destes estados coerentes 3D.


REFERENCIAS

(1J R. L. Rodrigues, A. H, Vaidya e J. Jayaraman, XII Encontro

Nacional de Física de Partículas e Campos (1991)

12] J. Jayaraman e R. L. Rodrigues, J. Phys, A; Math. Cen. 23,

3123, (1990)

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14) L. C. Biedenhan Found Phys. 13,13, (1983)

(5) J.R. Klauder e B. S. Skagerstam, Coherent States (World

Scientific, Singapore, 198S)

(6) M. V. terry, I'roc. R. Soc. London. Ser. A 392, 45 (1984)

225

CALCULO ALGÊBRICO DE PROPAGADORES EM ESPAÇOS CURVOS

S.J.HABLIi.0 & A.N.VAIDYA

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Instituto de Física ,Cx.P. 68.Ü28. 21944 Hlu de Janeiro , B

\

Resumo .Utilizando a representação de Schwinger, fórmulas BCH .

e a álgebra de Lie do grupo Sü(2,l) oblivemos as fundões de Green

do campo escalar em alguns modelos cosmológlcos.

0 estudo do comportamento de campos qu&nticos na presença de

campos gravitacionais externos é de vital importância no

entendimento de fenômenos como a evaporação de buracos negros , o

universo primordial,etc (Birrel & Davies 1982 ( D ) . Neste estudo é

necessário obter as funções de Green da teoria, através das quais

podemos obter as diversas quantidades de interesse como as ações

efetivas e taxas de produção de pares.

0 que vamos fazer neste trabalho é obter as funções de Green do

campo escalar com acoplamento conforme em alguns modelos

cosraológicos , que satisfazem [1]:

i á • m2 • ÍR ) C ( X , X ' ) = - — ó * ( x - x ' ) (1)LB B

Onde g s detg*1", R è a <-urvatur-a escalar e A é o operador de

Laplace-Beitrami,

(2)

!

Na representação de Schwinger temos H ) :

.x* )=Lim I dC-» O J

Cíx.x* )=Lim I ds expI-KA^* ^R •m2-ic)sl(-g)l/2 Ó4<x-x')Jo

(3)

O que vamos fazer é obter a atuação da exponenclal acima

sobre a função delta de Dirac . para tal vaaos considerar

casos ea que o arguaento da exponenclal pode ser escrito COMO uma

combinação linear de geradores da álgebra de Lie S0(2,1):

"l T, lVV * "l T3 lVV

Utilizando as relações de coautaç&o acima e fórmulas BCH

(Baker-Campbell-Hausdorff) poderemos encontrar C(x,x") .corno foi

feito para o problema de Kepler relativist ico por Mil'shtein e

Strakhovenko 1962 [2] e para diversos potenciais da mecânica

quantica por Boschi e Vaidya 1990 [3).

MODELOS ANISOTROPICOS DE BIANCHI DO TIPO I

Estes modelos são descritos pela métrica [1]:

g*1"» diag(l,- t2,- l**\,- í**2) , 0 s t < m (5)

Onde p}e p£ s&o parâmetros constantes que assumem os valores 0 e

1. Para P.sP2sl temos um universo isotróplco, espacialmente chato,

de Robertson-Walker com expansão linear, enquanto que para outros

valores dos p 's temos universos anisotrôplcos.

227

Coao ainda temos simetria por translaç&o podeaos escrever:

1 -*d 3 k e l k ( ? - í')

(B)

A equ. (1) assume a forma

Iat l ô. • Ik 2t t t2 x

k 2 • i k2

•a**jcktt.r)

f"Wõ(t-f) (7)

onde j é uma constante determinada por p e p :

1/3 , (8)

' p l = p 2 = 0 '

podemos identificar na equação (7) o gerador T

quando ent&o (9)

v -iU t i l i z a n d o o »6todo a l g é b r l c o ( I 2 J , (31) pode-s»; mostrar que:

224<•',<••'

m

-1

onde i»-gííP1+P2)2-4ík* + P ik

2*p 2k*n))1 / 2 (10)

N» expressão acima I (z) é a funç&o de Bessel modificada

(Cradshtein e Ryzhlk 1965 [4]).

Integrando en s na equ. (10) teams [4]:

- - | (tf )"'Vp2>/a H^2) (ntl J y(Mf) . t > t' (11)

onde H(2>(z) é a função de Hankel de segunda espécie e J (z) é a

função de Bessel cilíndrica (4].

Os resultados acima conferem con os encontrados por Charach 1982

[5] e Duru e ünal 1986 [6] ,que utilizaram integrais de caminho.

Referências

(1] - Blrrel.N.D. & Davies .P.C-W.,"Quantum Fields in Curved

Space", Cambridge University Press, 1982.

[2] - Mil'shteln, A.I. & Strakhovenko, V.M., Phys. Lett. 9QA

(1982) 447.

[ 31- Boschi-Filho ,H & Vaidya.A.N., Preprint IF/UFRJ/90/45;A

aparecer em Annals of Physics 211 1991.

(41 - Cradshtein, I.S. 8. Ryzhlk, I.M, ,"Table of Integrals, Series

and Products", Academic Press, N.Y.,1965.

15] - Charach,C. , Phys. Rev. D 26 (1982) 3367.

16) - Duru,I.H. & ünal,N., Phys. Rev. D 34 (1986) 9S9.

229

GEOMETRIA DOS AUTOESTADOS DE SPIN

J.R. ZENI1 - Inst. de Física, UN1CAMP. Campinas, SP

Depto de Mat. Aplicada. UNICAMP, Campinas, SP.

ABSTRACT: usando o fato bem conhecido da geometria splnorial de que à um

spinor podemos associar um vetor (por sua vez interpretado como o eixo da

rotação associada ao spinor) através do produto direto do spinor pelo seu

conjugado hermit lano, mostramos que os operadores de projeção de spin da

teoria quântlca tem por autoestados os splnores associados, através do produto

direto, à direção espacial definida pelo operador.

INTRODUÇÃO - Na Mecânica quântica os sistemas físicos são descritos por

vetores de estado, enquanto que os observáveis físicos são relacionadas a

operadores lineares que atuam sobre os estados transformando um estado em

outro. [Landau e Lifchltz, pg 19] 0 principal problema em Mecânica Quântica é

obter os autoestados e autovalores dos operadores representando os observáveis

físicos relevantes ao problema em questão.

Na teoria Quântica (não relatlvista) de partículas com spin 1/2, os

estados das partículas no que se refere a variável de spin são descritos por

espinores [Rodrigues e Zeni; Landau e Lifchitz, pg 232; Santaló, pg 29-33],

que são elementos de um espaço vetorlal complexo bidimensional, sendo

representados por matrizes colunas 2X1. Por outro lado, os operadores de

projeção de spin 1/2 (ou simplesmente operadores de spin) são representados

por matrizes hermit lanas 2X2 complexas, que podem ser escritas em termos das

matrizes de Pauli [Landau e Lifchltz, pg 232; Sakural, pg 163-65].

Assim, um operador de spin 5» é definido por

ft/2 (1)

onde t» é a constante de Planck e N é o operador de spin 1/2 adimensional

definido como sendo um vetor (real) expandido nas matrizes de Pauli:

Ü m t.t « ni<rl * nz*a • n ^nt • In, (2)

A expressão acima é conveniente pois associamos a cada direção do espaço,

sndereço permanente: üept. Cisne. Na t . , FUNREI, Sãu João Del Rei , MG.

230

definida pelo vetor n, um operador de projeção de spin ao longo desta direção.

AUTOESTADOS E PHOUUTO DIRETO - os autoestados do operador de spin tf , serão

indicados pelo splnor é . Considerando apenas vetores unitáriosn

(|n| = n • n • n = 1), os auto vai ores do operador de spin W estão

restritos aos valores ±1,

Passamos a expor nosso método para obter o autoestado de spin up.

Itecordamos Inicialmente que o produto direto de uma matriz coluna 2X1, digo o

tiplnor ^, por uma Matriz linha 1X2, como o splnor conjugado liermltlano f ,

resulta numa matriz quadrada 2X2 cujas linhas (colunas) sào caracterizadas por

f {+ ), de acordo COM a seguinle definição: [Wlgner, pg 17; Santa Io, pg.99)

Vi Va1 1 1 2 (3)

oiule ^ é o conjugado complexo de # . Como qualquer matriz 2X2 complexa, a

matriz resultante do produto direto £x£ pode ser escrita como combinação

linear das matrizes {I, v), onde I é a matriz identidade 2X2.

Agora, considerando o produto direto de UM splnor pelo seu conjugado

hermitiano, i.e., #*# , notamos dois fatos importantes que podem ser

verificados diretamente da eq. (3) [Rodrigues e ZeniJ:

(i) as componentes do produto direto if>xtf> na base ti,o-} sao reais (a matriz é

hermitlana). A componente da identidade é Igual a 1/2 V :

(11) o splnor ^ é um autoestado da matriz resultante do produto direto

, com autovalor $ ty. Slabollcanente este fato é expresso como:

* - í/^) * - (| |2 • |^|2) V> (4)

0 fato (1) nos diz que sempre poduwos expressar UM operador de spin A

através do produto direto de UM particular splnor e ueu conjugado lierulllano

COMO mostrado ubalxo;

íí - nJ m 2 + x^f - *% I " (5)n n * n n

0 fator 2 foi introduzido na eq. (S) pole deste modo o vetor n

é unitário se e somente se o splnor 0 também o for. As fórmulas relacionandoti

231

as cowpoiienlus Uo operador de spin M ao splnur £ podem ser deduz Idas da

eq. (2) para í) e da formula explicita para o últiao membro da eq. (li).

Ressaltamos que quando expressamos ua operador de spin através do produto

direto de UM splnor pelo seu conjugado hcrMltlano, o spliior assim obtido é

definido a menos de uaa fase global, Isto é, se trocarmos f por e f , onde &

é UM uuacro real, então o aesao operador N é obtido através da eq. (5)

|Rodrigues e Zenl). Esta liberdade na escolha tia fase global é também Inerente

na descrição da Mecânica quântica [Landau e Lllslillz, pt» U; Darut, |ig 141. de

aodo que a eq.(5) atribue UM único estado ftslco para o sistema.

1'or outro lado, o fato (ii), eq. (4), nos garante que o :;pinor (k é w

autoestado do operador •), eq. (5), correspondente ao autovaior *•!.

Discutimos agora iwa interpretação geoaétrlca para a eq.(5), que se

Mostrará significativa na análise física da variável de spin. Inicialmente,

observamos que podemos relacionar ua splnor a una rotação através do seguinte

raciocínio lltodrlgues e Zenl; Santalo, pg 35; 1'cnroue e Illndler. pg. 10-14): o

eixo de rotação está na direção do vetor definido pelo splnor através da

eq.(5); o angulo de rotação c dado pela fase do splnor CM relação a UM

particular spinor, que representa a rotação por 2tt radianos ao redor do eixo

em questão.

A relação acima entre um splnor e uma rotação leva a seguinte

interpretação para a Mecânica Quântica de partículas COM spin 1/2: o

autoestado de spin up de UM dado operador (de projeção) de spin é dado pelo

splnor associado a uma rotação ao redor do eixo definido pelo operador de spin

em questão.

Para completar a discussão dos autoestados de spin, ressaltamos que o

auloestado de spin correspondente ao autovaior -1, denominado spin 'down',

pode ser obtido do autoestado de spin up atravúu da Inversão temporal

[Sakural, pg 277*81.

CUUCLUSAO: Os métodos usuais de se obter os autoeylados de spin (seja

rvtiolvendo o problema ulgébrlco de autovaloru» IKusslur, j>g.9-10), seja usando

u recurso de que o operador de spin W ao longo de uma. direção qualquer pode

ser obtido do operador v por uma rotação e portanto os autoestados de W estão

relacionados aos uutoestados de ? 3 pelu meskta rotação (Sakural, pg 167-8]) não

fornecem uma Interpretação geométrica I>OM ucresccnlaw outra relação alé« da

232

F

definição euli-e o operador de spin c os splnores que são seus autoestados.

Por outro l«do, neste artigo nos servimos de uma relação be» conhecida d»

teoria de grupos e geometria splnorlal lRodrigues e Zenl; Santaló, pg.3S;

Penrose e Rlndler; pg.32-71 entre splnores c rotações, que resulta no

seguinte: o autoestado de spin up para um dado operador de spin é o splitor

ussuclado auma rotação ao redor do eixo espacial definido pelo operador de

spin.

Além disso, nossa Metodologia nos penal te concluir que se um sistema

físico é descrito por um dado splnor, enlào o spin do sistema (ou a projeção

do spin) está ao longo da direção do vetor definido pela eq.(5).

Por fim, ressaltamos que os resultados aqui discutidos fora»

originalmente elaborados usando a algebra de Clifford gerada pelos vetores

euclidianos IZeni e Rodrigues, 1990 e 1991) e a teoria de spinures algebi-lcos

Oliveira e Rodrigues; Rodrigues c ZeniJ.

AGRADECIHENftJS: o autor e grato ao prof. Lh* üuilhermo Cabrera por algumas

observações relevantes, e em especial ao prol'. l)r. Waldyr Rodrigues por uma

leitura do manuscrito e tambe* pelas diversus discussões sobre o assunto. Este

trabalho foi parcialmente financiado pela FAPEüP.

KEFEKCNCIAS

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HUUE1BLU). V.L.; OLIVEIRA, EC. e HüDHlüULS. W.A. - (1U90) - Alg. Croupsand Ueom., 7. 153.

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QUANTUM CORRECTIONS TO CLASSICAL SOLUTIONS

Vera Lúcia Vieira BaltarDepartamento de Física, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro

C P . 38071, 22452 Rio de Janeiro RJ, Brasil

Jorge Llambias and Luis Masperí (VCentro Atômico Baríloche and Instituto Balsceiro yj

8400 San Cario de Barilochc, Argentina

Abstract - In a real scalar field model in 1 + 1 dimensions with quartic and sixticselfcoupling there appears a classically unstable nontopological soliton which, in acertain parameter range of the model, is stabilized by quantum corrections.

rA'

1. INTRODUCTION

The real scalar field theory in 1 + 1 dimensions with quartic and sixtir self

interactions corresponding to a deepest central well and two lateral ones has a

static classical solution which takes values in one of these for all the space except for

a finite region where it approaches the absolute minimum1. In a lattice quantum

version of the model it has been shown2 that the condensation of these bubble type

states, together with the kinks, determines the phase diagram, which exhibits a

tricritical point that may be related to the He3 -He4 mixture3.

The bubble type solution is unstable. Equivalent static classical unstable

bubbles appear in the non linear Schroedinger equation4, but, due to the non

relativistic nature of the theory, they may achieve stability when they move

exceeding a critical velocity with respect to the medium.

The purpose of this work is to indicate that in the relativistic theory bubbles

may be stabilized by quantum corrections. The problem has two aspects. One

is that the bubble is classically unstable against small perturbations. The other

is that the classical bubble lives mostly in a false vacuum which may tunnel into

the true one. Regarding the former problem, it will be seen in section 2 that if

higher order terms around the classical contributions are considered, by means of

u quadratic approximation, all the energies of the excitations turn out to be real,

and therefore no decay is possible. Regarding the later problem, in will be been

in section 3 that quantum corrections at one and two loops give rise to dynamical

symmetry breaking, turning the false vacuum into a stable one.

It must be stressed that these indications for the quantum stability of the

bubble are different from those corresponding to other non topological soli tons

which are always related to a Nocther charge.

234

2. BUBBLE STABILIZATIONGiven a Lagrungian in 1 •* 1 dimensions for a real field 4>

\ (1)

whore

the change of variables <f>— J j ^, *>• — P*? allows us to write

where

V(^) = -rr-fá* — 1)2(^2 — A) and A = - r (4)2 P

If A < 0 there is spontaneous symmetry breaking and topological soli tons of

kink type appear. If 0 < A < 1 the central minimum is the absolute one, the true

vacuum corresponds to <j> = 0 and there is a static solution of the bubble type

9c — ^{ l ~ 0 ~ j4)tgh [A'v/l — A(x — XQ)]\ (5)

which satisfies J(^')2 = V(0).

The bubble Eq.(5) is classically unstable since a small perturbation t/'(?) i w /

satisfies

and being the zero mode <f<'c(x) a one node function, the ground state of £q.(6)

corresponds to imaginary u>.

Let us see how Eq.{6) is modified when corrections higher than the quadratic

ones are included

^(x,r) = ^f(x) +^(z, / ) (7)

whith

~ ! ' c-'-' + alrtUJf-i (8)

where |an,«jt] = 6,,u wid {V'nU)) '** i* coni|iliU- Ml of functions.

Keeping only the second ordej teniib in 4>(i\1), (he Hauiilfonjau inrus out to

he

235

if ipn(x) satisfies Eq.(6). The existence of an imaginary frequency formally

produces the instability, though the strict treatment of £q.(8) requires **>„ to be

real. Inspired by ref. 5 we keep the cubic and quartic contribution and approximate

it as a quadratic expansion around its minimum, which will be valid if 4> is small

Now we have

(10)

$ . f<«) - Y"(*,) + fSeparating from ^ a time independent part

(11)

such that -tf' + gi} + / = 0, we have for the operator term of Eq.{ 10)

EC*) = I X" + J \ \ (12)

The t? dependent contribution to Eq. (12) adds a real constant to the energy

whereas the expansion of the operator x m^° & complete set produces a

Schroedinger equation analogous to Eq.(6) but with V"(<t>c) replaced by g{x).

To see whether this equation has a negative eigenvalue we use the semiquantum

method*, which provides a lower bound to the ground state.

-U6

fr«5< , ' ' » A

Figure 1.

A* shown in Fig 1, for A > 0.654 thr eigruvtiluc lowrj lioimd ih |MM>)IIVI'

indicating a stabilize ion of the bubble.

236

3. DYNAMICAL SYMMETRY BREAKINGThe effective potential correspoudings to Eq.(4) has been calculated, up to one

loop, in ref. 7

V ^ J v ^ ^ . - M ^ l } ^ l.,(g) + .MMW (13)where tlie contribution divergent for A —* oo has been separated and the infinite

part of <M , 6j and C\ must be chosen so as to cancel it. The finite part of aj merely

adds a constant. Two of the other three parameters are independent and, replaced

by In/**, and ln/ i | allow us to write

This approximation is not defined when V"(4>) is negative but it is valid close

to its minima. Therefore, we may obtain the shift e for the position of the lateral

minima from V",ff{4>as 1 + e) = 0. Moreover we may define a critical parameter

Xc equating the values of the two minima at 4> = 0 and 4> — 1 + t

in terms of dimensionless parameters Uf = tf/K2. These may be chosen for fixed

A so that e = 0 and Ac is sufficiently small to ensure the validity of the loop

approximation8. Once this is done, A and A', the last two parameters of Vef/, are

determined e.g. by the renormalized mass and quarlic coupling at the symmetry

breaking vacuum

"1 - V.//U, , a^Vjft^ (16)For the two loop correction we have7

. A2 - In V"W? i «, ^ t ^ 1 117)

We will not establish the sanw rtnommlization condition» at all order»,

tin oiii- that e — 0 (the lattuul luiiiiiiiuui occurs hlwnys a\ <p = \). W<* may

establish e.g. that the aiffcreure between t\u- two niininin reduces at each 01 «lei

to a half of that of th<' previous otic as n frixlrury towards syinnuMry breaking,

n- tlx counterterms are dettrrinined in Hgreeniutit with these conditions, the

237

renormalized mass and quartic coupling will be obtained from Eq.(16). For an

indication of the convergence of the loop expansion it will be important that each

correction is smaller than the one for the previous order.

Cl» 320 o tf O.«O 100 A •io o» cio *to M O too A

Figure 2.

In fig(2) the corresponding values for mass and quartic coupling are shown

indicating that for small enougij values of A, and A not too close to 1, the expansion

seems to converge.

To compare, in the framework of the loop expansion, the previous renormal-

ization with the renormalization done at the origin, we refer the reader to Ref. 8.

RERFNCES1. D. Boyanovsky and L. Masperi, Phys. Rev. D21,1550 (1980)2. L. Masperi, Phys. Rev. D41, 3263 (1990)3. M. Blume, V. Emery and R. Griffith, Phys. Rev. A4, 1071 (1971)4. I. Barashenkov and V. Makhankov, Phys. Uiitn A128, 52 (1988)5. C. Bonato, M. Thomaz and A. Malbuisson, Phys. Rev. D41, 1939 (1990)

C. Bonato, M. Laucas, M, Thomaz, Proceedings oftlie XI Encontro Nacional de Físicade Partículas e Campos (1990)

6. C.T. Sachrajda, H.A. Weldon and R. Blankenbeder, Phys. Rev. D17, 507 (1978)7. R. Rajaraman and M. Raj Lakshmi, Phys. Rev. D23, 2399 (1981)6. Vera L.V. Baltar, J. Llambias, Luís Masperi, Phys. Rev. D, to be published

m

( • ' • . •

t.í,

238

Participantes

Adilson José da Silva - IFUSPAdolfo Maia Junior • UNICAMPAdriana Gomes Moreira- UFMGAdriano Antonio Natale - IFTAlexandre Frohlicb - UFRJAlfredo Takashi Suzuki - IFTÁlvaro de Sousa Dutra - UNESP/GUARAAnna Maria Freire Endler - CBPFAntônio Carlos da Silva Filho - FUEMAntonio Ceaar Germano Martins - IFUSPAntonio Lima Santos - IFUSPAntonio R. Perissinoto Biral • UNICAMPArmando Turtellí Junior - UNICAMPAugusto Brandão D'Oliveira - UNESP/GUARAAuta Stella de Medeiros Germano - UFRNBruto Max Pimentel Escobar - IFTCarla Burlamaqui de MelloCA. Aragão de Carvalho Filho - PUC/RJCarlos Alberto Santos de Almeida - UFCECarlos Augusto Romero Filho - UFPbCarlos Enrique Navia Ojeda - UFFCarlos Frajuca-IFUSPCarlos Henrique Costa Moreira - UFMGCarlos Ourivio Escobar - IFUSPCesar Gustavo Silveira da Costa • UNICAMPCezar Augusto Bonato - UFPbCtóvis José Wotzakek - UFRJCláudio Maia Porto - UFRJClifford Neves Pinto- PUC/RJCtistenis Ponce Constantinídis • TFTEdgar Corrêa de Oliveira - CBPFEdmilson J. Toaelli Manganote - UNICAMPEdmundo Marinho do Monte - UNBEduardo Cantera Marino - PUC/RJEduardo Oliveira Renek - EFEIEduardo Souza Fraga - PUC/RJElso Drigo Filho - IBILCEErasmo Madureira Ferreira - PUC/RJÉrica Regina Takano - IFUSPErnesto Kemp - UNICAMPEugênio R. Bezerra de Mello - UFPbF Toppiw - UNIV. P.M. CURIE

M. <lf Carvalho Filho - IFUSP

Felipe Pisano - IFTFernando Miguel Pacheco Chaves - UFSEFernando Monti SteffenB - UFRGSFernando Rabelo de Carvalho - UCPFlávio lassuo Takakura - PUC/RJFrancisco Aires Pinto- UFFF.E. Mendonça da Silveira - IFTFrandscua Jozef Vanhecke - UFRJFranklin Noe Fonseca Romero - IFUSPGastão Inácio Krein - IFTGentil Oliveira Pires - CBPFGerson Bazo Costamiian - CBPFGesil Sampaio Amarante Segundo - UFRJGustavo Adolfo Moyses Alvarez - IFTHaUumi Mukai - IFTHélio Manoel Portella- UFFHélio Teixeira Coelho - UFPeHenrique Boschi Filho- UNESP/GUARAHersy Vasconceltoe Pinto - UFFHildelene de Castro - UFFHorário Oscar Girotti - UFRGSHugo Carneiro Reis - IFUSPHumberto de Menezes France» - IFUSPIoav Waga - UFRJIvone F.M.E. Albuquerque - IFUSPIvonete Batista dos Santos - UFPbJackson Max Fortunate Maia - UFRNJambunatha Jayaraman - UFPbJanilo Santos - CBPFJefferson de Lima Tomazelli - IFTJoão Francisco Justo Filho • IFUSPJoana D'Arc Ramos Lopes - UFFJorge Ananias Neto - PUC/RJJorge Eduardo Cieza Montalvo - IFUSPJorge Ricardo Valardan Domingos - UCPJosé Luiz Matheus Valle- CBPFJR. Soares do Nascimento - (IFPbJosé Ademir Sales de Lima - (IFRNJosé Alberto C. Nogales - UFFJosé Augusto Chineliato - UWCAMPJosé Emílio Maiorino - UNICAMPJosé Ricardo de Rezende Zeni UNICAM!'JOHÍ' Roberto PinliRÍro Mahoii

239

José Rodrigo Pairara - IFÜSPJosé de Si Borges FUho - ÜFRJJuan Alberto Mignaeo - CBPFJuan Cario» Montero Garcia - IFTJulio Miranda Pure*» - PUC/RJKwokSauFa-IFTLaça Roberto Augusto Moricooi - PUC/RJLois Carlo* Lobato Botelho - UFPaLu» Carlos Santos de Oliveira - CBPFLuís Cláudio Marques Albuquerque - UFRJLoi* Martins Mundim Filho - UNICAMPLuit Otávio BnffoD - IFUSPLoii Paulo Colatto • CBPFManoeUto Martins de Sousa - UFESMarcelo Batista Hott - UNESP/GUARAMarcelo Maneschy Horta Barrara - UFRJMarcelo Otávio Caminha Gomes • IFUSPMarcelo de Oliveira Soma - UFRJMareio Lima de Sousa • UFRJMarcas Duarte Maia- UNBMareut Venidus Cougo Pinto - UFRJMaria Augusta Constante Puget - IFUSPMaria Beatrii Dias da Süva- UFRJMaria Emilia Corrêa Render • UNICAMPMario Eduardo Vieira da Costa - UFRGSMario Everaldo de Sousa - UFSEMauro Doniieti Tonasse • IFTMiguel Luksys- IFUSPNadja Simões Magalhães - IFUSPNardso Ferreira Santos - UFESNuira Abacbe Tomimura - UFFNelmaraArbex- IFUSPNelson Pinto Neto-CBPFNeusaAmato-CBPFNUton Mengotti-Silva- UNICAMPOM. Moreschí - UNIV. CORDOBAOrlando Luis Goulart Pens - UFRGSOsvaldo Monteiro dei Cima • CBPFOsvaldo Negrim Neto - IFTOswaldo Henrique Gutierrez Branco - IFUSPPatrício Aníbal Letelíer Sotomayor - UNICAMPPedro Zambianchi Junior - IFTPhilippe Gouffon- IFUSPRafael de Lima Rodrigues - UFRJRegina Célia Arcuri - CBPFRegina Helena Cesar Maldonado - UFFRenato Melchiades Doria- UCPRenío dos Santos Mendes • FUEMRoberta Simonettí - IFUSPRoberto J. M. Covolan - UNICAMPRoberto Percacci - SISSARoland KÒberle - 1FQSC

Ronald Cintra Shellard - PUC/RJRubens Luis Pinto Gurgel do Amara) - PUC/RJRudnei de Oliveira Ramos - IFUSPSamuel Maier Kurcbart - IFTSérgio Luis Schubert Duque - CBPFSérgio Martins de Sousa * UFFSilvestre Ragusa - IFQSCSilvia Aparecida Brunini - FUEMSilvia Petean- UNICAMPSflvio José Rabello - UFRJSílvio Paolo Sordla • UCPSimone Barbosa de Moraes - UFFThais Scattolini Lorena Luogov • IFUSPValdir Barbosa Beserra - UFPbVera Lúcia Vieira Baltar • PUC/RJVicente Pleites - IFTVilson Tonin Zanchin • UNICAMPWaldemar Monteiro da Silva Junior - UFFWashington Figueiredo Chagas Filho - UFRJWeuber da Silva Carvalho - UFRJ

240

XII ENCONTRO NACIONAL DEFÍSICA DE PARTÍCULAS E CAMPOS

P R O G R A M A

QUARTA FEIRA, 18/09/91

14:00 - Saída dos ônibus para CaxambuSão Paulo - Instituto de Física - USPRio de Janeiro - Centro Brasileiro de Pesquisas Físicas

QUINTA FEIRA, 19/09/91

09:00 - TESTES DO MODELO PADRÃO NO LEP*Prof. R. Shellard (PUC/RJ)

10:15 - Café10:30 - Sessões de comunicações

Física de HadronsFísica das Interações EletrofracasFísica Experimental de Altas Energias e Raios CósmicosTeoria de CamposGravitação e Cosmología

12:30 • Almoço15:15 - "EQUAÇÕES DE YANG-BAXTER, GRUPOS QUÂNTICOS,

INVARIÂNCIA CONFORME ETC "Prof. R. Kôberle (IFQSC-USP)

16:15 - Café16:30 - Abertura da Sessão de Painéis17:30 - Grupos de Trabalho

Física de HadronsFísica das Interações EletrofracasFísica Experimental de Altas Energias e Raios CósmicosTeoria de CamposGravitação e CosmologiaComputação Algébrica

19:00 - Jantar

ti

8Í

SEXTA FEIRA, 20/09/91

09:00 - "QUANT1ZAÇÂO CANÔNICA DA GRAVITAÇÃO"Prof. N. Pinto Neto (CBPF)

10:15 Café10:30 - Sessões de comunicações

Física de Hadrons241

& •

Física das Interações EletrofracasFísica Experimental de Altas Energias e Raios CósmicosTeoria de CamposGravitação e Cosmologia

12:30 - Almoço15:30 - "FIXING THE GAUGE AT FUTURE NULL INFINITY"

Prof. O.M. Moreschi (Univ. de Córdoba)16:15 - Café16:30 - "POTENCIAL EFETIVO NÃO RELATIVÍSTICO NA

TEORIA DE MAXWELL-CHERN-SIMMONS"Prof. H. Girotti (UFRGS)

17:30 - "MEAN FIELD APPROACH TO QUANTUM GRAVITY n

Prof. Roberto Percacd (SISSA)19:00 - Jantar21:00 - Assembléia

SÁBADO, 21/09/91

09:00 - TEORIA DE CAMPOS, EFEITO HALL QUÂNTICO,SUPERCONDUTIVIDADE E ANYONS "

Prof. E. Marino (PUC/RJ)10:15 - Café10:30 - Sessões de comunicações

Física de HadronsFísica das Interações EletrofracasFísica Experimental de Altas Energias e Raios CósmicosTeoria de CamposGravitação e Cosmologia

12:30 - Almoço15:00 - "DETECTABILIDADE DA MATÉRIA ESCURA •

Prof. CO. Escobar (IFUSP)16:15 - "RECENT DEVELOPMENTS IN CONFORMAL FIELD

THEORIES AND INTEGRABLE MODELS "Prof. F. Toppan (Univ. Pierre et Marie Curie, Paris)

17:30 - "ALGEBRAIC PROPERTIES OF LANDAU GAUGE "Prof. S.P. Sorella (LAPP- Annecy e UCP-Petrobraa)

19:00 - Jantar

DOMINGO, 22/09/91

09:00 • Saída dos ônibus para São Paulo e Rio de Janeiro

242

1991 Brasil XII Encontro Nacional Partículas e Campos ...

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