1._Aulas_Vetores
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7/31/2019 1._Aulas_Vetores
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Ministrio da Educao
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN Campus Cornlio Procpio
MATEMTICA IProf. MsC. Everton J. Goldoni Estevam
Ministrio da Educao
UNIVERSIDADE TECNOLGICA FEDERAL DO PARAN Campus Cornlio Procpio
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Objetivos Estabelecer os conceitos de Geometria
Analtica e lgebra Linear a fim delevar o aluno a se familiarizar com alinguagem matemtica e com osmtodos de construo doconhecimento matemtico, bem como,capacitar os alunos para a resoluo deproblemas relacionados reaespecfica de formao.
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Ementa
Sistemas de coordenadas. Matrizes.
Sistemas de equaes lineares. Vetores. Produto de vetores. Aplicao de vetores ao estudo da reta e do plano.
Espaos vetoriais. Transformaes lineares. Autovalores e autovetores. Espao com produto interno.
Cnicas e Qudricas.
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Critrios de Avaliao Quatro avaliaes dissertativas, com
os seguintes valores:
- Avaliao 1: valor: 9.0 Pontos + APS I ( valor 1,0) - Avaliao 2: valor: 9,0 Pontos + APSII ( valor 1,0) - Avaliao 3: valor: 9,0 Pontos + APSIII ( valor 1,0) - Avaliao 4: valor: 9,0 Pontos + APS IV ( valor 1,0)
Ao final uma substitutiva da menor nota para quem noatingir a nota 6,0 e no exceder as faltas com todo ocontedo da disciplina
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Bibliografia STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo.Geometria Analtica , 2
ed. So Paulo: Makroon Books, 1987. ______________. lgebra Linear. 2 ed. So Paulo. McGraw-Hill,
1987. CAMARGO, l; BOULOS, P. Geometria Analtica: um tratamento
vetorial. 2 ed. So Paulo: Ed. Makroon Books, 1987.
ANTON, H; RORRES, C.lgebra Linear com aplicaes. 8 ed. Porto Alegre: Bookmam, 2001.
BOLDRINI, J. L... [ et al.].lgebra Linear.3 ed. So Paulo: Harbra,
1986. LEITHOLD, Louis.Clculo com Geometria Analtica. 2ed. So
Paulo Harbra, 1994. POOLE, David.lgebra Linear. So Paulo: Pioneira Thomson
Learning, 2004.
SWOKOWSKI, E. W.Clculo com geometria analtica. Vol. 1. 2ed. So Paulo: Makron Books do Brasil,1995.
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origem
1
Coordenadas de um ponto noPlano
0 2-1-2
22
1
Conjuntos Numricos:
N = {0,1,2, ...} Naturais
Z = {... , -2,-1,0,1,2, ....} Inteiros
Q = Racionais
I = R-Q Irracionais
0,,; q Z q p q p
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3 Q 4 Q
2 Q 1 Q
Coordenadas de um pontono Plano
1 2-1-2
1
2
-1
P=(x,y) Par Ordenado
x abscissa
y ordenada
d(0,P)
Exemplos:
(-3,-9)
(50,-1)
(-25,4)
3 Q
4 Q
2 Q
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Retas e Segmentos Orientados
Reta orientada r
AB
Segmento orientado com origemem A e extremidade em B
Existe umsentido AB
1 u.c.
Existe uma direo
Existe um Comprimento ouMdulo ouAB AB
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Segmentos Equipolentes Mesmo mdulo , direo e sentido
A B
C D
Notao: CD AB ~
Propriedades:i. AB ~ AB (reflexiva)ii. Se AB ~ CD, CD ~ AB (simtrica)iii. Se AB ~ CD e CD ~ EF, AB ~ EF (transitiva)iv. Dado um segmento AB e um ponto C, existe um nico
ponto D tal que AB ~ CD
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Vetor
Chama-se vetor determinado por um segmento orientado AB oconjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a AB
2
1
1 2-1-2
-1
3
4
6
3 4 5
)3,1(v v
AB AB
Obs: Versor um vetorno nulo e unitrio de
mesma direo esentido do vetor
Ex: .1v v
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Operaes com Vetores:SOMA
A B
C
?v u AC AB v
u
Propriedades:i. Comutativa:ii. Associativa:iii. Elemento Neutro:iv. Oposto:
u v v u )()( w v u w v u
v v v 000)( v v v v
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Operaes com Vetores:DIFERENA
A B
C
?v u AC AB v
u
Portanto:u v v u v u )(
v
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SOMA e DIFERENA de Vetores
Geometricamente podemos representar a soma e a diferena devetores por meio de um paralelogramo:
A B
C
v
u
D
A B
C
v
u
D
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1 2 3
1
2
3
u
v
4
5
4 5
v u v u
.vuevurepresenteecalcule,planonoeeIdentifiqu v u
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Produto de um escalar (R)por um vetor
v 3
v
v 3
v 21
v 21
Portanto:
i. Mdulo:
ii. Direo: a mesma de
iii. Sentido: o mesmo de se k>0 e o contrrio se k
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Norma de um Vetor
x
y
),( 11 y x v
1y
1x
21
21 y x v
21
21
21 z y x u
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Versor de um Vetor
v
u
11v v
v v
v v v
v v
u
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Propriedades da Multiplicao deVetor por Escalar
Dados e vetores quaisquer e a e b nmeros reais, temos:
i. Associativa:
ii. Distributiva (escalares):
iii. Distributiva (vetores):
iv. Identidade:
v ab v b a )()(
v b v a v b a )(
v a u a v u a )(
v v 1
v u
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Exerccios
STEINBRUCH, Alfredo; WINTERLE, Paulo.Geometria Analtica , 2 ed. So Paulo:Makroon Books, 1987.
P. 13 e 14: ex. 1, 2 e 3
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Vetor no Sistema deCoordenadas
x
y
z
),,( 111 z y x v
1x
1y
1z
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Operaes com vetores noEspao
x
y
z
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
u v u
v
v u
.vuevurepresente ecalcule,RnoveuRepresente
),4,6,2(e)2,3,5(Dados3
v u
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Produto Escalar Chama-se Produto Escalar (ou produto interno
usual) de dois vetores e , e serepresenta por ou ainda , l- se uescalar v, o nmero real:
v u
11, y x u 22 , y x v v u ,
2121 y y x x v u
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Propriedades do Produto Escalar
Dados , e vetores quaisquer e , temos:
i.
ii. Comutativa:
iii. Distributiva (vetores):
iv.
v.
)0,...,0,0,0(0sesomente,0e0 u u u u u
u v v u
w u v u w v u )(
)()()( kv u v u k v ku
v u w R k
2u u u
???e???22
v u v u
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ngulo entre dois vetores
u
v u
v
0
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Clculo de nguloentre dois vetores
A B
C
v
u
D
coscos v u v u v u v u
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Paralelismo eOrtogonalidade de Vetores
Se dois vetores e so paralelos (ou colineares), existe um nmero k tal que:
),( 11 y x u ),( 22 y x v
k y y y k y kv u
2
1
2
12211 x
x),(x),(x ou
Se dois vetores e so ortogonais ,o ngulo por eles formado de 90 :),( 11 y x u ),( 22 y x v
vu 0)()x(x ou 0 2121 y y v u
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Projeo de um Vetor
v v v
v u
u
vproj.
Dados e , com e , e o ngulopor eles formado, queremos calcular o vetorque a projeo de sobre .
u
u
v
v
0v 0u
w
v
u
W
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Definio: Dados n vetores .
Dizemos que so LinearmenteDependente (L.D.), se existirem escalares
, no todos nulos, tais que:
Caso contrrio, so Linearmente
Independente (L.I.) .
Dependncia eIndependncia Linear
n v v v v ,...,,, 321n v v v v ,...,,, 321
n a a a a ,...,,, 321
0...332211 n n v a v a v a v a
n v v v v ,...,,, 321
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Dependncia eIndependncia Linear
L.D.?ouL.I.so)3,3(e)2,1( 21 v v
1 2 3
1
2
3
1v
2v
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Dependncia eIndependncia Linear
L.D.?ouL.I.so)2,4(e)1,2( 21 v v
1 2 3
1
2
3
1v
2v
4
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ngulos Diretores eCossenos Diretores
x
y
z
v
i j
k
zk yj xi v
v x
v z y x
i v i v
1)0,0,1(),,(cos
v z
k v k v
cos
v y
j v j v
cos
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Propriedades
I. Quais as componente do versor de um vetor
II. Qual a relao existente entre
),,( z y x v
222 cosecos,cos
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Combinao Linear
k a 1
j a 2
i a 3
v
i j
k
Escrever o vetor v em funo dos
vetores i,j e k
O vetor v umacombinao linear dosvetores i,j e k, a partirdo coeficientes a1,a2e a3