1

π

0 1-1 2-2

2

เสนจานวน

X

Y

(0,0)

(4,3)

ระบบพกดฉาก

0 1-1 2-21x 2x

P1 P2

A(x1,0) B(x2,0)X

Y

0

P1(x1,y) P2(x2,y)

X

Y

0

2

X

Y

0

P1(x,y1)

P2(x,y2)X

Y

0

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

P1P2 = ?

X

Y

0

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)

Q (x2,y1)

),( 111 yxP ),( 222 yxPและ

221

221 )()( yyxx −+−

เปนจดในระนาบ

ระยะทางระหวางจด 1P 2Pและ เทากบ

ถา

8102.761

)27())5(1( 2221

≈=

−+−−=PP

ระยะทางระหวางจด P1(1,7) และ P2(-5,2) คอ

3

(1) จงหาพกดของจด P บนแกน X ซ3 งอยหางจากจด P1(1,-2) และจด P2(3,5) เปนระยะทางเทากน

(2) จงแสดงวาจด (1,1), (-1,-1) และ (-4,2) เปนจดยอดของรปสามเหล3ยมมมฉาก

(3) รปสามเหล3ยมรปหน3งมจด (10,0), (-12,0) และ (-8,8) เปนจดยอด จงหาพ8นท3ของรปสามเหล3ยมน8

(4) จด (0,0), (8,18) และ (12,27) อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม(5) รปวงกลมรปหน3งมจดศนยกลางท3จด (4,-3) และมแกน X เปนเสน

สมผส จงหาจดสมผส

X

Y

0

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)P (x,y)

ถา P (x,y) เปนจดก3งกลางของเสนตรง P1P2 แลว x และ y มคาเทาไร ?

A (x,y1) B (x2 ,y1)X

Y

0

P1(x1,y1)

P2(x2,y2)P (x,y)

221 yy

y+

=2

21 xxx

+=

ถา P (x,y) เปนจดก3งกลางระหวางจด P1(x1 ,y1) และ P2(x2 ,y2)

แลว และ

จดก3งกลางระหวางจด (-3,5) และ (4,-1) คอ (1/2,2)

จงพสจนวาสวนของเสนตรงท3เช3อมจดก3งกลางของดานสองดานของรปสามเหล3ยมใด ๆ จะยาวเปนคร3 งหน3งของดานท3สาม

4

nm

nymyy

+

+= 12

nm

nxmxx

+

+= 12

ถา P(x , y) เปนจดแบงของ เปนอตราสวน P1P : PP2 = m : n แลว

และ

ให P1(x1 , y1) และ P2(x2 , y2) เปนจดบนระนาบ

21PP

กาหนดให A(2,7) และ B(-5,6) เปนจดปลายของสวนของเสนตรง จงหาพกดของจดบนสวนของเสนตรงน8 ซ3 งอยหางจาก A เทากบ ¾ ของระยะทางระหวาง A และ B

(1) จงหาคา y ถากาหนดให (4 , y) อยหางจากจด (-5,2) และ (13,-6) เปนระยะทางเทากน

(2) จงพสจนวาระยะทางระหวางจดก3งกลางของดานตรงขามมมฉากของรปสามเหล3ยมมมฉากกบจดยอดท8งสามเทากน

(3) จงพสจนวาเสนทแยงมมของรปส3เหล3ยมดานขนานแบงคร3 งซ3 งกนและกน

(4) จงหาจดยอดของรปสามเหล3ยม ABC ถาจดก3งกลางของดานท8งสามมพกดเปน (-2,1), (5,2) และ (2,-3) ตามลาดบ

ของเสนตรง l คอ มม θ ซ3 งเสนตรง l ทากบดานท3มทศทางเปนบวกของแกน X ในทศทวนเขมนาฬกา โดยท3 0 ≤ θ <π

ให l เปนเสนตรงท3ผานจด P1(x1 , y1) และ P2(x2 , y2) โดยท3 x1 ≠ x2 จานวนจรง m เปน ของเสนตรง l

กตอเม3อ21

21

xx

yym

−

−=

(1) ถา y1 = y2 แลวเสนตรงจะขนานกบแกน X (ความชนเปน 0)

(2) ถา x1 = x2 แลวเสนตรงจะขนานกบแกน Y เราจะกลาววาเสนตรงน8ไมมความชน

(3)

(4) ความชนของเสนตรงท3ทามมแหลมกบแกน X จะมคามากกวาศนย

(5) ความชนของเสนตรงท3ทามมปานกบแกน X จะมคานอยกวาศนย

(6) ความชนของเสนตรงเสนหน3งมเพยงคาเดยวเทาน8น

12

12

21

21

xx

yy

xx

yym

−

−=

−

−=

5

(1) กาหนดให P(-6,4), Q(1,4), R(-1,-1) และ S(-8,-1) เปนจดยอดของรปส3เหล3ยมรปหน3ง จงหาความชนของเสนตรงแตละเสนซ3งแบงรปส3เหล3ยมน8ออกเปนรปสามเหล3ยมสองรปท3มพ8นท3เทากน

(2) กาหนดให A(-6,-2), B(2,-2), C และ D เปนจดยอดของรปส3เหล3ยมคางหม มดาน AB ยาวเปนสองเทาของดานคขนาน DC มมม A เปนมมฉาก และมพ8นท3 24 ตารางหนวย จงหาความชนของดาน BC

(3) ให A(2,4), B(-2,3) และ C(1,-2) เปนจดยอดของรปสามเหล3ยม ABC ถา P(a,b) เปนจดบนเสนมธยฐานของรปสามเหล3ยม ABC ท3ลากจากจด A ไปยงดาน BC จงหาความสมพนธระหวาง a และ b จงหามมเอยง(inclination) ของเสนตรง 2x+3y = 6

จงหามมเอยง(inclination) ของเสนตรง y - x = 0

พจารณาสมการ y = mx + b เปนเสนตรงท3มความชน m และจดตดแกน Y คอจด (0 , b)

ถาเสนตรง l ไมขนานกบแกน Y มมมเอยง θ และความชน mแลว m = tan θ

จากสมการ y = x จะไดวา ความชนของเสนตรงน8 เทากบ 1ดงน8น tan θ = 1 น3นคอ θ = π/4 เรเดยน หรอ 45 องศา

วธทา

ถาเสนตรงสองเสน (ไมต8งฉากกน) มความชน m1 และ m2 แลว(angle between the two lines : θ )

หาไดจาก21

12

1tan

mm

mm

+

−=θ

Find the angle between the two lines

Line 1 : 2x – y - 4 = 0 Line 2 : 3x + 4y - 12 = 0

2

11

)43)(2(1

243

tan =−+

−−=θ

Find the angle between the two lines

Line 1 : 2x – y - 4 = 0 Line 2 : 3x + 4y - 12 = 0

จากสมการจะได m1 = 2 และ m2 = -3/4วธทา

ดงน8น 391.12

11arctan ≈

=θ

หรอ ประมาณ 79.70 องศา

เรเดยน

6

(1) Find the slope of the line with inclination 5π/6.

(2) Find, in radians and degrees, the inclination of the line passing through the points

(3) Find, in radians and degrees, the angle between the lines x + 3y = 2 and x - 2y = -3.

(a) (12,8), (-4,-3)(b) (-2,20), (10,0)

เสนตรงสองเสน (ไมขนานกบแกน Y) จะ กน กตอเม3อ ความชนของเสนตรงท8งสองเทากน

เสนตรงท3ผานจด (4,5) และ (1,2) ขนานกบเสนตรงท3ผานจด (2,8) และ (-2,4)

ถาเสนตรงสองเสนมความชนเทากนและมจดรวมกนอยหน3งจดแลวเสนตรงท8งสองจะเปนเสนตรงเดยวกน

เสนตรงสองเสน (ไมขนานกบแกน Y) จะกน กตอเม3อ ผลคณของความชนของเสนตรงท8งสองเทากบ -1

เสนตรงท3ผานจด (-30,7) และ (-3,-2) ต8งฉากกบเสนตรงท3ผานจด (3,2) และ (1,-4)

y – y1 = m(x – x1)

เม3อ m เปนความชนของเสนตรง และ (x1 , y1) เปนจดบนเสนตรง

y = mx + C

เม3อ m เปนความชนของเสนตรง และ C เปนระยะตดแกน Y

Ax + By + C = 0

เม3อ A, B, C เปนคาคงท3 และ A, B ไมเปนศนยพรอมกน

7

สมการเสนตรงท3ผานจด (1,-4) และมความชนเทากบ 3 คอ y − (−4) = 3(x − 1) หรอ 3x − y − 7 = 0

1. จงหาสมการเสนตรงท3ผานจดก3งกลางและต8งฉากกบเสนตรงท3ผานจด (4,-2) และ (2,-6)

2. จงหาสมการเสนตรงซ3งผานจดตดของเสนตรง 3x – 5y + 9 = 0 กบ 4x + 7y – 29 = 0 และขนานกบเสนตรง 4x + 5y - 20 = 0

3. จงหาสมการของเสนตรงซ3งมความชนเทากบ -3/4 และรปสามเหล3ยมซ3งเกดจากเสนตรงเสนน8กบแกนพกดฉากท8งสองมพ8นท3เทากบ 24 ตารางหนวย

4. จงหาจดบนเสนตรง 3x + y + 4 = 0 ซ3 งหางจากจด A(3,2) และ B(-5,6) เปนระยะทางเทากน

กาหนด P เปนจด และ l เปนเสนตรงของ P บน l คอ จด Q บนเสนตรง l

ท3ทาใหสวนของเสนตรง PQ ต8งฉากกบ l

Pl

Q

1. โพรเจกชนของจด P บนเสนตรง l คอจดบนเสนตรง l ท3ทาใหระยะทางจากจด P ไปยงจดน8นส8นท3สด

2. โพรเจกชนของจด P(x,y) บนแกน X คอจด (x,0) โพรเจกชนของจด P(x,y) บนแกน Y คอจด (0,y)

ระยะหางระหวางจดกบเสนตรง The distance between a point and a line

ระยะหางระหวางเสนตรง Ax + By + C = 0 กบจด (x1 , y1) คอ

1 1

2 2

Ax By Cd

A B

+ +=

+

ระยะหางระหวางเสนตรง 3x + 4y = 10 กบจด (-2,-1) เทากบ

2 2

3( 2) 4( 1) 104

3 4

− + − −=

+หนวย

☺☺☺☺ ระยะหางระหวางเสนคขนาน x - 2y + 5 = 0 กบ x - 2y - 5 = 0 เทากบเทาใด

8

ระยะหางระหวางเสนคขนาน The distance between parallel lines

ระยะหางระหวางเสนตรง Ax + By + C1 = 0 กบ Ax + By + C2 = 0 เทากบ 1 2

2 2

C C

A B

−

+

ระยะหางระหวางเสนตรง x - 2y + 5 = 0 กบ x - 2y - 5 = 0

เทากบ2 2

5 ( 5)2 5

1 ( 2)

− −=

+ −หนวย

1. จงหาสมการเสนตรงท3ขนานกบเสนตรง 3x – 4y − 5 = 0 และอยหางจากเสนตรงน8 1 หนวย

2. จงหาสมการเสนตรงท3ขนานกบเสนตรง 4x + 3y − 7 = 0และอยหางจากจด (1, 5) เปนระยะ 8 หนวย

3. จงหาสมการเสนตรงท3ต8งฉากกบเสนตรง 12x − 5y + 2 = 0และอยหางจากจด (0, 8) เปนระยะ 3 หนวย

4. ถาเสนตรง 12x − 5y − 10 = 0 เปนเสนตรงท3อยตรงกลางระหวางเสนขนานคหน3ง ซ3 งอยหางกน 8 หนวย จงหาสมการของเสนขนานคน8

5. จงหาสมการเสนตรงซ3งแบงคร3 งมมซ3งเกดจากเสนตรง l1

: 7x – y +11 = 0และ l2: x + y = 15

Basic Conics

31

Degenerate Conics

32

9

33

วงกลม (circle) คอเซตของจดท8งหมดในระนาบท3หางจากจด จดหน3งท3ตรงอยกบท3เปนระยะทางคงตว

� จดท3ตรงอยกบท3 เรยกวา จดศนยกลาง (center)�ระยะทางคงตว เรยกวา รศม (radius)

X

Y

center

radius

34

C(h,k)

P(x,y)r

X

Y

สมการวงกลมท3มจดศนยกลางท3 (h,k) และรศมเทากบ r คอ(x - h)2+(y - k)2 = r2

35

จงเขยนกราฟของสมการ (x + 2)2+(y - 3)2 = 16

วธทา จากโจทยเปนสมการวงกลมท3มจดศนยกลางท3 (-2,3) และรศมเทากบ 4 หนวย ดงรป

(-2,3)

X

Y

36

สมการวงกลมสามารถเขยนไดในรปแบบท3วไป คอx2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

สมการรปแบบ x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 มกราฟเปนวงกลม หรอเปนจด หรอไมมกราฟ

10

37

parabolaaxis

vertex

focus

directrix

พาราโบลา (parabola) คอเซตของจดท8งหมดในระนาบซ3งหางจากจดท3ตรงอยกบท3จดหน3ง และเสนตรงท3ตรงอยกบท3เสนหน3งเปนระยะทางเทากน

� จดท3ตรงอยกบท3 เรยกวา โฟกส (focus)� เสนตรงท3ตรงอยกบท3 เรยกวา ไดเรกตรกซ (directrix) ของพาราโบลา

38

พาราโบลาท;มแกนสมมาตรขนานกบแกน Y

X

Yy = –p

(0, p) x2 = 4py

กรณ p <<<< 0

X

Y

y = –p

(0, p) x2 = 4py

กรณ p >>>> 0

สมการรปแบบมาตรฐาน x2 = 4py โฟกส F(0, p)

จดยอด V(0,0) ไดเรกตรกซ y = -p

39

พาราโบลาท;มแกนสมมาตรขนานกบแกน X

กรณ p <<<< 0กรณ p >>>> 0

สมการรปแบบมาตรฐาน y2 = 4px โฟกส F( p,0)

จดยอด V(0,0) ไดเรกตรกซ x = -p

X

Y

(p, 0)x = –p

y2 = 4px

X

Y

(p, 0)x = –p

y2 = 4px

40

เลตสเรกตม (latus rectum) คอคอรดท3ต8งฉากกบแกนของพาราโบลา และผานโฟกสของพาราโบลา

X

Y

F(p, 0)x = –p

y2 = 4px

� พกดของจดปลาย latus rectum คอ (p, 2p) และ (p, -2p)

� ความยาว latus rectum เทากบ |4p|

กรณพาราโบลาท3มแกนสมมาตรขนานกบแกน X

11

41

� พกดของจดปลาย latus rectum คอ (2p, p) และ (-2p, p)� ความยาว latus rectum เทากบ |4p|

กรณพาราโบลาท3มแกนสมมาตรขนานกบแกน Y

จงหาโฟกส ไดเรกตรกซ จดปลายของ latus rectum และความยาว latus rectum ของพาราโบลา แลวเขยนกราฟของสมการ 2

8

1xy =

42

ถา h และ k เปนจานวนจรงบวก แลวการแทน x ดวย x-h หรอ x+h

และการแทน y ดวย y-k หรอ y+k จะมผลตอกราฟของสมการใดๆ ในตวแปร x และ y ดงน8

แทน x ดวย x-h กราฟเล3อนไปทางขวา h หนวย

แทน x ดวย x+h กราฟเล3อนไปทางซาย h หนวย

แทน y ดวย y-k กราฟเล3อนไปดานบน k หนวย

แทน y ดวย y+k กราฟเล3อนไปดานลาง k หนวย

กราฟ ขอเทจจรง

สมการ

จดยอด

โฟกส

ไดเรกตรกซ

จดปลาย latus rectum

ความยาว latus rectum เทากบ

43

พาราโบลาท;มแกนสมมาตรขนานกบแกน Y

กรณ p <<<< 0

กรณ p >>>> 0

X

Y

y = k–p

F(h, k+p)

(h, k)

X

Y

y = k–p

F(h, k+p)

(h, k)

)(4)( 2 kyphx −=−

),( khV

),( pkhF +

pky −=

),2( pkph +±

p4

กราฟ ขอเทจจรง

สมการ

จดยอด

โฟกส

ไดเรกตรกซ

จดปลาย latus rectum

ความยาว latus rectum เทากบ

44

พาราโบลาท;มแกนสมมาตรขนานกบแกน X

กรณ p <<<< 0

กรณ p >>>> 0

X

Y

x = h–p

F(h+p, k)

(h, k)

X

Y

x = h–p

F(h+p, k)

(h, k)

)(4)( 2 hxpky −=−

),( khV

),( kphF +

phx −=

)2,( pkph ±+

p4

12

45

� แกนสมมาตรของพาราโบลาขนานกบแกน Y :x2 + Dx + Ey + F = 0 โดยท3 E ≠ 0

� แกนสมมาตรของพาราโบลาขนานกบแกน X :y2 + Dy + Ex + F = 0 โดยท3 E ≠ 0

46

The tangent line to a parabola at a point A make equal angles with the following two line

1. The line passing through Aand the focus

2. The axis of the parabola

X

Y

F(p, 0)

y2 = 4px

α

α

αA

47

วงร (ellipse) คอเซตของจดท8งหมดในระนาบซ3งผลบวกของระยะทางจากจดใด ๆ ไปยงจด F1 และ F2 ท3ตรงอยกบท3มคาคงตว (ดงรป) โดยคาคงตวน8มคามากกวาระยะหางระหวางจดท3ตรงอยกบท3ท8งสอง

� จดสองจดท3ตรงอยกบท3 เรยกวา โฟกส (foci)

d1 + d2 มคาคงตวd1 d2

F1 F2

48

major axis (แกนเอก)

minor axis (แกนโท)

center vertexvertex

foci

latera recta

13

49

Y

X

P(x,y)

F2(c,0)F1(-c,0)

สมมตโฟกสของวงรอยบนแกน X ท3จะจด (c,0) และ (-c,0)

50

Y

X

P(x,y)

F2(c,0)F1(-c,0)

a

กราฟ ขอเทจจรง

สมการรปมาตรฐาน เม;อ a > b > 0

จดยอด จดปลายแกนโท

แกนเอกอยบนแกน X มความยาว 2a

แกนโทอยบนแกน Y มความยาว 2b

โฟกส เม;อ

จดปลาย latus rectum และ

ความยาว latus rectum

51

วงรท;มจดศนยกลางท;จดกาเนด

12

2

2

2

=+b

y

a

x

)0,( a± ),0( b±

)0,( c±

b

a-a

Y

X(-c,0) (c,0)

-b 222 cba +=

a

b22

),(2

a

bc ± ),(

2

a

bc ±−

กราฟ ขอเทจจรง

สมการรปมาตรฐาน เม;อ a > b > 0

จดยอด จดปลายแกนโท

แกนเอกอยบนแกน Y มความยาว 2a

แกนโทอยบนแกน X มความยาว 2b

โฟกส เม;อ

จดปลาย latus rectum และ

ความยาว latus rectum

52

วงรท;มจดศนยกลางท;จดกาเนด

12

2

2

2

=+a

y

b

x

),0( a± )0,( b±

),0( c±

a

-a

Y

X-b b

222 cba +=

a

b22

),(2

ca

b± ),(

2

ca

b−±

(0,c)

(0,-c)

14

กราฟ ขอเทจจรง

สมการ เม;อ a > b > 0

จดยอด จดปลายแกนโท

แกนเอกขนานกบแกน X มความยาว 2a

แกนโทขนานกบแกน Y มความยาว 2b

โฟกส เม;อ

จดปลาย latus rectum และ

ความยาว latus rectum

53

วงรท;มจดศนยกลางท;จด (h,k)

1)()(

2

2

2

2

=−

+−

b

ky

a

hx

),( kah ± ),( bkh ±

),( kch ±

Y

X

222 cba +=

a

b22

),(2

a

bkch ±+ ),(

2

a

bkch ±−

(h-c, k) (h+c, k)

(h,k)(h+a, k)(h-a, k)

กราฟ ขอเทจจรง

สมการ เม;อ a > b > 0

จดยอด จดปลายแกนโท

แกนเอกขนานกบแกน Y มความยาว 2a

แกนโทขนานกบแกน X มความยาว 2b

โฟกส เม;อ

จดปลาย latus rectum และ

ความยาว latus rectum

54

วงรท;มจดศนยกลางท;จด (h,k)

1)()(

2

2

2

2

=−

+−

a

ky

b

hx

),( akh ± ),( kbh ±

),( ckh ± 222 cba +=

a

b22

),(2

cka

bh +± ),(

2

cka

bh −±

Y

X

(h, k-c)

(h, k+c)

(h,k)

(h, k+a)

(h, k-a)

55

สาหรบวงร หรอ เม3อ a > b > 0

ความเยGองศนยกลาง (eccentricity) ของวงร แทนดวย e คอ

อตราสวนของ c ตอ a

เม3อ

12

2

2

2

=+b

y

a

x1

2

2

2

2

=+a

y

b

x

a

ce =

22 bac −=

56

e = 0.95 e = 0.87

e = 0.1e = 0.5

0 < e < 1� ถา e มคาใกล 1 แลววงรมความรมาก(รปรางเรยวยาว) � ถา e มคาใกล 0 แลววงรมความรนอย(รปรางเกอบจะกลม)

15

57

สมการรปท3วไปของวงรท3มแกนเอกขนานกบแกน X หรอ แกน Y คอ

Ax2 + By2 +Dx + Ey + F = 0 โดยท3 A , B ≠ 0หรอ

x2 + By2 +Dx + Ey + F = 0 โดยท3 B > 0

ระวง ระวง !!สมการในรป Ax2 + By2 +Dx + Ey + F = 0 โดยท3 AB > 0

ไมจาเปนตองมกราฟเปนวงร

58

ดาวเคราะหโคจรรอบดวงอาทตยซ3 งอยท3โฟกสจดหน3ง จดท3ดาวเคราะหอยใกลดวงอาทตยมากท3สดเรยกวา perihelion และจดท3ดาวเคราะหอยไกลดวงอาทตยมากท3สดเรยกวา aphelion จดท8งสองน8 เปนจดยอดของวงโคจร โลกอยหางจากดวงอาทตย 147,000,000 กโลเมตรท3 perihelionและ 153,000,000 กโลเมตรท3 aphelion จงหาสมการของวงโคจรของโลกรอบดวงอาทตย (ใหจดกาเนดอยท3จดศนยกลางของวงโคจร)

59

แปลงดอกไมทาเปนรปวงร มสมการเปน 25x2 + 16y2 - 100x + 96y – 156 = 0

ตองการปลกหญาในสวนท3แรเงา (ดงรป) ถาหนวยท3ใชเปนเมตร และเสยเงนคาปลกหญาตารางเมตรละ 20 บาท จะเสยเงนคาปลกหญาท8งส8นเทาไร

F

F

60

ไฮเพอรโบลา (hyperbola) คอเซตของจดท8งหมดในระนาบซ3งผลตางของระยะทางจากจดใด ๆ ไปยงจด F1 และ F2 ท3ตรงอยกบท3มคาคงตว (ดงรป) โดยคาคงตวน8 มคานอยกวาระยะหางระหวางจดท3ตรงอยกบท3ท8งสอง

� จดสองจดท3ตรงอยกบท3 เรยกวา โฟกส (foci)

F1 F2

|d2 – d1 | มคาคงตว

d1 d2

16

61

Y

X

P(x,y)

F2(c,0)F1(-c,0)

สมมตโฟกสของไฮเพอรโบลาอยบนแกน X ท3จะจด (c,0) และ (-c,0)

62

– a

F(–c, 0)

–b

b

Y

XF(c, 0)

xa

by =asymptote

a

asymptote xa

by −=

แกนตามขวาง(transverse axis)

center

แกนสงยค(conjugate axis)

The graph of the hyperbola has two branches.

63

Parabolas do not have asymptotes. Thus a hyperbola is not a pair of parabolas.

กราฟ ขอเทจจรง

สมการรปมาตรฐาน เม;อ a , b > 0

จดยอด จดปลายแกนสงยค

แกนตามขวางอยบนแกน X มความยาว 2a

แกนสงยคอยบนแกน Y มความยาว 2b

สมการเสนกากบ

โฟกส เม;อ

จดปลาย latus rectum และ

ความยาว latus rectum

64

ไฮเพอรโบลาท;มจดศนยกลางท;จดกาเนด

12

2

2

2

=−b

y

a

x

)0,( a±

)0,( c± )(222 acbac >+=

a

b22

),(2

a

bc ± ),(

2

a

bc ±−

xa

by ±=

– a–c

–b

b

Y

Xc

a

xa

by −=

xa

by =

),0( b±

17

กราฟ ขอเทจจรง

สมการรปมาตรฐาน เม;อ a , b > 0

จดยอด จดปลายแกนสงยค

แกนตามขวางอยบนแกน Y มความยาว 2a

แกนสงยคอยบนแกน X มความยาว 2b

สมการเสนกากบ

โฟกส เม;อ

จดปลาย latus rectum และ

ความยาว latus rectum

65

ไฮเพอรโบลาท;มจดศนยกลางท;จดกาเนด

12

2

2

2

=−b

x

a

y

),0( a±

),0( c± )(222 acbac >+=

a

b22

xb

ay ±=

– a–c

–b b

Y

X

ca

),(2

ca

b± ),(

2

ca

b−±

)0,( b±

xb

ay =

xb

ay −=

66

ไฮเพอรโบลาท3มเสนกากบต8งฉากกนเรยกวา ไฮเพอรโบลามมฉาก (rectangular hyperbola)

เปนไฮเพอรโบลามมฉาก 144

22

=−xy

กราฟ ขอเทจจรง

สมการรปมาตรฐาน เม;อ a , b > 0

จดยอด จดปลายแกนสงยค

แกนตามขวางขนานกบแกน X มความยาว 2a

แกนสงยคขนานกบแกน Y มความยาว 2b

สมการเสนกากบ

โฟกส เม;อ

จดปลาย latus rectum และ

ความยาว latus rectum

67

ไฮเพอรโบลาท;มจดศนยกลางท;จด (h,k)

1)()(

2

2

2

2

=−

−−

b

ky

a

hx

),( kah ±

),( kch ± )(222 acbac >+=

a

b22

),(2

a

bkch ±+ ),(

2

a

bkch ±−

)( hxa

bky −±=−

),( bkh ±Y

X

(h-c, k) (h+c, k)

กราฟ ขอเทจจรง

สมการรปมาตรฐาน เม;อ a , b > 0

จดยอด จดปลายแกนสงยค

แกนตามขวางขนานกบแกน Y มความยาว 2a

แกนสงยคขนานกบแกน X มความยาว 2b

สมการเสนกากบ

โฟกส เม;อ

จดปลาย latus rectum และ

ความยาว latus rectum

68

ไฮเพอรโบลาท;มจดศนยกลางท;จด (h,k)

1)()(

2

2

2

2

=−

−−

b

hx

a

ky

),( akh ±

),( ckh ± )(222 acbac >+=

a

b22

),(2

cka

bh +± ),(

2

cka

bh −±

)( hxb

aky −±=−

),( kbh ±Y

X(h-c, k)

(h+c, k)

18

69

Y

X

Y

X

e 1

e ∞

ความเยGองศนยกลาง (eccentricity) ของไฮเพอรโบลา คอ

เม3อ 22 bac +=a

ce =

70

สมการรปท3วไปของไฮเพอรโบลาท3มแกนตามขวางขนานกบแกน X หรอ แกน Y คอ

Ax2 + By2 +Dx + Ey + F = 0 โดยท3 A , B ≠ 0หรอ

x2 + By2 +Dx + Ey + F = 0 โดยท3 B < 0

ระวง ระวง !!สมการในรป Ax2 + By2 +Dx + Ey + F = 0 โดยท3 AB < 0

ไมจาเปนตองมกราฟเปนไฮเพอรโบลา

71

Hyperbolic orbit Parabolic orbit

Elliptical orbit

72

Two microphones, 1 mile apart, record an explosion. Microphone A receives the sound 2 seconds before microphone B. Where did the explosion occur?(1 mile = 5,280 feet, sound travels at 1,100 feet per second)

Y

XAB

19

73

A hyperbolic mirror (used in some telescopes) has the property that a light ray directed at a focus will be reflected to the other focus. The focus of a hyperbolic mirror (see figure) has coordinate (24,0). Find the vertex of the mirror if the mount at the top edge of the mirror has coordinates (24,24).

Y

X

(24,24)

(24,0)(-24,0)

74

The graph of is one of the following.

1. Circle: A = C

2. Parabola: AC = 0 (A = 0 or C = 0, but not both)

3. Ellipse: AC > 0

4. Hyperbola: AC < 0

022 =++++ FEyDxCyAx

75

′Y

Y

′X

X

P

O Q S

TR

θ

θθ

θθ

cossin

sincos

yxy

yxx

′+′=

′−′=

สมมต P มพกดเปน ในระนาบ XY และมพกดเปน ในระนาบ ),( yx ′′

),( yx

YX ′′

76

The general second-degree equationcan be rewrite as by rotating the coordinate axes through an angle , where

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx

0)()( 22 =′+′′+′′+′′+′′ FyExDyCxA

θB

CA −=θ2cot

20

77

The rotation of the coordinate axes through an angle that transforms the equationinto the form has the following rotation invariants.

(1) (2)(3)

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx

0)()( 22 =′+′′+′′+′′+′′′+′′ FyExDyCyxBxA

θ

FF ′=

CACA ′+′=+

CABACB ′′−′=− 4)(4 22

78

The graph of the equation is, except in degenerate cases, determined by its discriminant as follows.

(1) Ellipse or circle: (2) Parabola:(3) Hyperbola:

022 =+++++ FEyDxCyBxyAx

042 <− ACB

042 =− ACB

042 >− ACB