1

Prof Ms. Elisangela Parra Zigart Perez

Curso: Cincia da computao 3/4

Disciplina : matemtica II

Contato: eliszigart@gmail.com

Sistemas Lineares- Material de Apoio

1. Equao Linear

Toda equao da forma bxa...xaxa nn 2211 denominada equao linear, em

que:

na,..,a,a 21 so coeficientes

nx,...,x,x 21 so as incgnitas

b um termo independente

Exemplos:

a) 532 321 xxx uma equao linear de trs incgnitas.

b) 1 tzyx uma equao linear de quatro incgnitas.

Observaes:

1) Quando o termo independente b for igual a zero, a equao linear denomina-se equao

linear homognea. Por exemplo: 05 yx .

2) Uma equao linear no apresenta termos da forma 212

1 x.x,x etc., isto , cada termo da

equao tem uma nica incgnita, cujo expoente sempre 1.

As equaes 323 22

1 xx e 24 zy.x no so lineares.

3) A soluo de uma equao linear a n incgnitas a seqncia de nmeros reais ou

nupla n,...,, 21 , que, colocados respectivamente no lugar de nx,...,x,x 21 , tornam verdadeira a igualdade dada.

4) Uma soluo evidente da equao linear homognea 03 yx a dupla 00, .

Vejamos alguns exemplos:

1 exemplo: Dada a equao linear 24 zyx , encontrar uma de suas solues.

Resoluo: Vamos atribuir valores arbitrrios a x e y e obter o valor de z.

0

2

y

x

6

2042

z

z.

Resposta: Uma das solues a tripla ordenada (2, 0, -6).

2 exemplo: Dada a equao 523 yx , determinar para que a dupla (-1, ) seja soluo da

equao.

2

Resoluo: ,1

y

x 1

482

523

521.3

Resposta: = 4

Exerccios Propostos:

1. Determine m para que 2,1,1 seja soluo da equao 62 zymx .

Resp: -1

2. Dada a equao 132

yx

, ache para que 1, torne a sentena verdadeira.

Resp: -8/5

2. Sistema linear.

Denomina-se sistema linear de m equaes nas n incgnitas nxxx ,...,, 21 todo sistema da

forma:

nnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

...

...

2211

22222121

11212111

nn bbbaaa '2'1'11211 ,...,,,,...,, so nmeros reais.

Se o conjunto ordenado de nmeros reais n'2'1' ,...,, satisfizer a todas as equaes do sistema, ser denominado soluo do sistema linear.

Observaes:

1) Se o termo independente de todas as equaes do sistema for nulo, isto ,

021 n'' b...bb , o sistema linear ser dito homogneo. Veja o exemplo:

0325

04

02

zyx

zyx

zyx

Uma soluo evidente do sistema linear homogneo x = y = z = 0.

Esta soluo chama-se soluo trivial do sistema homogneo. Se o sistema homogneo

admitir outra soluo em que as incgnitas no so todas nulas, a soluo ser chamada

soluo no-trivial.

2) Se dois sistemas lineares, S1 e S2, admitem a mesma soluo, eles so ditos sistemas

equivalentes. Veja o exemplo:

3

2142

531

,S

yx

yx:S

211

3

22

3

2

,Syx

yx

:S

Como os sistemas admitem a mesma soluo {(1, -2)}, S1 e S2 so equivalentes.

Exerccios Propostos:

1. Seja o sistema

2

52

032

321

321

321

1

xxx

xxx

xxx

:S .

a) Verifique se (2, -1, 1) soluo de S. ( Resposta : verdadeira)

b) Verifique se (0,0,0) soluo de S. (Resposta: falsa)

2. Seja o sistema:

32

93 2

kyx

kyx. Calcule k para que o sistema seja homogneo.

Resp: k = -3

3. Calcular m e n de modo que sejam equivalentes os sistemas:

52

1

yx

yx e

2

1

mynx

nymx

Resp: m = 0 e n = 1

3. Expresso matricial de um sistema de equaes lineares.

Dentre suas variadas aplicaes, as matrizes so utilizadas na resoluo de um sistema

de equaes lineares.

Seja o sistema linear:

nnmnmm

nn

nn

bxa...xaxa

...

...

bxa...xaxa

bxa...xaxa

2211

22222121

11212111

Utilizando matrizes, podemos representar este sistema da seguinte forma:

4

mnmm

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

............

...

...

21

22221

11211

.

nx

x

x

...

...

2

1

=

nb

b

b

...

...

2

1

matriz constituda matriz coluna matriz coluna

pelos coeficientes constituda pelas dos termos

das incgnitas incgnitas independentes

Observe que se voc efetuar a multiplicao das matrizes indicadas ir obter o sistema

dado.

Se a matriz constituda pelos coeficientes das incgnitas for quadrada, o seu

determinante dito determinante do sistema.

Exemplo:

Seja o sistema:

827

1634

052

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

Ele pode ser representado por meio de matrizes, da seguinte forma:

8

1

0

.

217

634

152

3

2

1

x

x

x

Exerccios Propostos:

1. Expresse matricialmente os sistemas:

a)

03

52

yx

yx

b)

253

0

12

cba

ca

cba

2. A expresso matricial de um sistema S :

7

4

13

52

b

a. . Determine as equaes de S.

5

4. Classificao dos sistemas lineares

Os sistemas lineares so classificados, quanto ao nmero de solues, da seguinte

forma:

5. Regra de Cramer

A regra de Cramer consiste num mtodo para se resolver um sistema linear.

nnmnmm

nn

nn

bxa..xaxa

...

...

bxa..xaxa

bxa..xaxa

2211

22222121

11212111

:sistema o Seja

Vamos determinar a matriz A dos coeficientes das incgnitas:

mnmm

n

n

a...aa

...

...

...

a...aa

a...aa

A

21

22221

11211

Vamos determinar agora a matriz Ax1, que se obtm a partir da matriz A, substituindo-

se a coluna dos coeficientes de x1 pela coluna dos termos independentes.

mnmn

n

n

x

a...ab

...

...

...

a...ab

a...ab

A

2

2222

1121

1

Pela regra de Cramer: Adet

Adetx x11

6

De maneira anloga podemos determinar os valores das demais incgnitas:

mnnm

n

n

x

a...ba

...

...

...

a...ba

a...ba

A

1

2221

1111

2

Adet

Adetx x22

nmm

xn

b...aa

...

...

...

b...aa

b...aa

A

21

22221

11211

Adet

Adetx xnn

Generalizando, num sistema linear o valor da incgnita x1 dado pela expresso:

Adet

Adetx ii

tes.independen termosdos coluna pela

xde escoeficient dos colunas as

se-dosubstituinA de obtida matriz a A

sistema. do incompleta matriz a A

i

i

Vejamos alguns exemplos.

1 Exemplo: Resolver o sistema

25

72

yx

yx.

Resoluo: 1151

12

AdetA

3352

1711

AdetA

1121

7222

AdetA

311

331 Adet

Adetx 1

11

112

Adet

Adety

Resposta: 13 ,S

2 Exemplo: Resolver o sistema

2

5

yx

yx.

Resoluo: 011

11

AdetA

712

15

xx AdetA

7

721

51

yy AdetA

0

7

Adet

Adetx x impossvel

0

7

Adet

Adety

y impossvel

Resposta: S

3 Exemplo: Resolver o sistema

1

10543

02

321

321

321

xxx

xxx

xxx

.

Resoluo:

1) Clculo do determinante da matriz incompleta.

126543104

111

543

121

AdetA

2) Clculo do determinante das incgnitas.

24200410100

111

5410

120

11

AdetA

1205103010

111

5103

101

22

AdetA

061000204

111

1043

021

33

AdetA

3) Clculo das incgnitas.

212

2411

Adet

Adetx

112

1222

Adet

Adetx

012

033

Adet

Adetx

Resposta: 012 ,,S Sistema Possvel e Determinado.

8

Exerccios Propostos:

1. Solucione os sistemas a seguir, utilizando a regra de Cramer.

a)

432

52

yx

yx

Resp: {(1,2)}

b)

93

143

yx

yx

Resp: {(3,2)}

2. Calcule os valores de x, y e z nos sistemas:

a)

3233

932

22

zyx

zyx

zyx

Resp: {(1,2,3)}

b)

03

05

010

zy

zx

yx

Resp: {(6,4,1)}

3. Resolva as equaes matriciais:

a)

13

9

31

12

y

x.

Resp:

5

2

b)

8

2

2

115

632

741

z

y

x

.

Resp:

1

2

1

9

6. Discusso de um sistema linear

Seja o sistema linear de n equaes a n incgnitas.

nnnnnn

nn

nn

bxa...xaxa

...

...

bxa...xaxa

bxa...xaxa

2211

22222121

11212111

Discutir o sistema saber se ele possvel, impossvel ou determinado.

Utilizando a regra de Cramer, temos:

Adet

Adetx,...,

Adet

Adetx,

Adet

Adetx nn

22

11

Possvel e Determinado 0Adet

Possvel e Indeterminado

0

0

21 nAdet...AdetAdet

e

Adet

Impossvel

0 um menos pelo

0

nAdet

e

Adet

Vejamos alguns exemplos:

1) Exemplo: Discutir o sistema

1

23

yx

myx.

Resoluo: Vamos calcular o valor dos determinantes:

mAdetm

A

3

11

3

mAdetm

A

2

11

211

111

2322

AdetA

Fazendo: 3030 mmAdet

20201 mmAdet

Resposta: SPD 3 m (sistema possvel e determinado)

SPI m (sistema possvel e indeterminado), pois det A2 = 1 para qualquer valor

de m

SI 3 m (sistema impossvel)

10

2) Exemplo: Determinar m, de modo que o sistema

4

0

2

zyx

zmyx

yx

seja incompatvel.

Resoluo: 1

111

11

011

mAdetmA

62

114

10

012

mAdetmA xx

4

141

101

021

yy AdetA

66

411

01

211

mAdetmA zz

Fazendo: 1010 mmAdet

30620 mmAdet x

10660 mmAdet z

Para m = 1, teremos: 0

4x (impossvel)

0

4y (impossvel)

0

0z (indeterminado).

Resposta: SI 1 m

3) Exemplo: Verificar se o sistema

0

023

yx

yx determinado ou indeterminado.

Resoluo: Vamos calcular o valor dos determinantes:

5det11

23

AA 0det

10

20

xx AA 0det

01

03

yy AA

Como 05det A , o sistema determinado.

Vamos achar a soluo:

05

0

det

det

A

Ax x e 0

5

0

det

det

A

Ay

y

0,0S

11

Resposta: O sistema determinado e 0,0S .

Observao:

Todo sistema homogneo sempre possvel, pois admite a soluo (0, 0,.., 0) chamada

soluo trivial.

Observe que para um sistema homogneo teremos sempre 0det,...,0det,0det 21 nAAA

Portanto, para a discusso de um sistema linear homogneo, suficiente o estudo do

determinante dos coeficientes das incgnitas.

Determinado 0det A

Indeterminado 0det A

4)Exemplo: Calcular o valor de a para que o sistema

0

0

ayax

yax tenha solues diferentes

da trivial.

Resoluo: Neste caso, o sistema deve ser indeterminado, e teremos 0det A .

1ou 001.0det1

aaaaaaA

aa

aA

Resposta: 1,0

Exerccios Propostos:

1. Discuta os sistemas:

a)

myx

ymx 2

b)

2

1

yx

ykx

c)

qpzyx

zyx

zyx

4

6

1037

12

2. Classifique, quanto ao nmero de solues, os seguintes sistemas homogneos.

a)

086

043

21

21

xx

xx

b)

03

0422

0

zyx

zyx

zyx

c)

04

03

02

yx

zyx

zyx

Respostas exerccios propostos:

1. Discusso de um Sistema Linear. 1. a) SPD se 1m SI se m = 1

b) SPD se 1k SI se k = 1

c) SPD se 1p ; SPI se p = 1 e q = 8; SI se p = 1 e 8q

2. a) indeterminado. b) indeterminado.

c) determinado

7. Escalonamento de Sistemas Lineares

Considerando um sistemas genrico m x n, dizemos que ele est escalonado quando os

coeficientes aij, com i > j , so todos nulos.

Exemplos:

84

123

752

z

zy

zyx

454

11723

zy

zyx

1054

92

tz

tzyx

Classificao e resoluo de sistemas lineares escalonados

1

105

024

623

z

zy

zyx

13

Sistema 3 x 3 j escalonado (nmero de equaes = nmero de incgnitas)

Da 3 equao tiramos z = 2

Da 2 equao, fazendo z = 2, tiramos y = 1

Fazendo y =1 e z = 2 na 1 equao tiramos x = -2

Podemos concluir que o sistema possvel e determinado, com S={(-2,1,2)}

2

90

325

642

1329

w

wz

wzy

wzyx

Sistema 4 x 4 j escalonado.

A 4 equao permite dizer que o sistema impossvel, logo S =

3

063

0

zy

zyx

Sistema 2 x 3 j escalonado (nmero de equaes < nmero de incgnitas)

Quando um sistema escalonado tem mais incgnitas que equaes e pelo menos um

coeficiente no nulo em cada equao, ele possvel e indeterminado. A varivel que

no aparece no comeo das equaes chamada varivel livre. Nesse exemplo z a

varivel livre. Fazemos z = k, com k R, para descobrir a soluo geral do sistema.

Da 2 equao, temos kyzy 2063 .

Usando z = k e y = 2k, temos kxkkx 302 .

Portanto, o sistema possvel e indeterminado e sua soluo geral (-3k, 2k, k).

4

132

22

tz

tzyx

Aqui o sistema possvel e indeterminado (est escalonado e tem 2 equaes e 4

incgnitas) e duas so variveis livres (y e t).

Fazemos ReRcom,tey .

Substituindo nas equaes:

4

3523524

42312422

312

2

31312132

xx

xx

zzz

Soluo geral:

,,,

2

31

4

352

14

Exerccio: Classifique e resolva os sistemas lineares escalonados:

a)

62

12

032

z

zy

zyx

b)

0

223

zy

zyx c)

0

22

dc

dcba

8. Processo para escalonamento de um sistema linear

Para escalonar um sistema linear e depois classific-lo e resolv-lo, alguns

procedimentos podem ser feitos:

1 Eliminamos uma equao que tenha todos os coeficientes e o termo independente nulos. Por exemplo: 0x + 0y + 0z = 0 pode ser eliminada, pois todos os termos de

nmeros reais so solues:

2 Podemos trocar a posio das equaes. Exemplo:

623

14

14

623

yx

yx

yx

yx

3 Podemos multiplicar todos os termos de uma equao pelo mesmo nmero real diferente de zero:

1022653 zyxzyx

Podemos multiplicar os 2 membros de uma equao por um mesmo nmero real

diferente de zero e somarmos aos membros correspondentes da outra equao. Regra

de Chio de matrizes = 10 propriedade. Exemplo:

43

742

25953

3742

zy

zyx

zyx

zyx

4 Se no processo de escalonamento obtivermos uma equao com todos os coeficientes nulos e o termo independente diferente de zero, esta equao suficiente

para afirmar que o sistema impossvel., isto , S = .

Exemplo 1:

3216

135

72

73

3135

72

135

73

72

8253

2172

3272

z

zy

zyx

zy

zy

zyx

zy

zy

zyx

zyx

zyx

zyx

O sistema obtido est escalonado e equivalente ao sistema dado. Podemos agora

resolver:

15

17232

31325

216

32

xx

yy

z

Sistema possvel e determinado, com S = {(-1,3,2)}

Exemplo 2:

)inarlime(zyx

zy

zyx

zyx

zyx

zyx

0000

847

32

6242

13

2332

847

32

zy

zyx

Sistema possvel e indeterminado (escalonado e 2 x 3). Varivel livre: z.

7

48

847

y

yz

7

53

7

482

xx

Soluo geral:

,,

7

48

7

5

Exerccios propostos:

1) Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares abaixo:

a)

02

833

132

zy

zyx

zyx

Resp: Sistema possvel e determinado, com S = {(1,-1,2)}

b)

5232

2

zyx

zyx

Resp: Sistema possvel e indeterminado, com S = {(1+5k, 1-4k, k)}

c)

032

3

zyx

zyx

Resp: Sistema possvel e indeterminado, com S = {(9-2k, k-6, k)}