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MATEMÁTICA P/ DETRAN-SP TEORIA E EXERCÍCIOS COMENTADOS

Prof. Arthur Lima – Aula 02

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AULA 02: MATEMÁTICA

SUMÁRIO PÁGINA

1. Teoria 01

2. Resolução de questões 19

3. Questões apresentadas na aula 78

4. Gabarito 104

Olá!

Em nossa segunda aula trataremos dos seguintes tópicos do seu edital:

- Mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum;

- Potências e raízes;

- Juros simples;

- Porcentagem.

Como você pode reparar, os dois primeiros tópicos estão explícitos apenas

no edital do cargo de Agente. De qualquer forma, ainda que você vá prestar apenas

para o cargo de Oficial, recomendo o estudo integral desta aula. Isto porque os

temas mínimo múltiplo comum, máximo divisor comum, potências e raízes não

deixam de ser “Operações com números reais”, e este tópico se encontra presente

em ambos os editais!

Tenha uma boa aula, e sinta-se à vontade para me questionar pelo fórum

sempre que necessário.

1. Teoria

1.1 MMC, MDC e divisibilidade

Para a resolução de diversas questões que podem cair em sua prova, vale a

pena você desenvolver a rapidez na obtenção de múltiplos e divisores de um dado

número, calcular o mínimo múltiplo comum e máximo divisor comum entre dois

números, e conhecer regras práticas para saber se um número é ou não divisível

por outro (critérios de divisibilidade).




Os múltiplos de um número X são aqueles números que podem ser obtidos

multiplicando X por outro número natural. Por exemplo, os múltiplos de 3 são: 3, 6,

9, 12, 15 etc. Repare que esses números podem ser obtidos multiplicando 3 por 1,

2, 3, 4 e 5, respectivamente. Quando temos 2 números X e Y, e listamos os

múltiplos de cada um deles, podemos ter múltiplos em comum entre os dois.

Exemplificando, vamos listar alguns múltiplos de 8 e de 12:

Múltiplos de 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72 etc.

Múltiplos de 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72 etc.

Observe que os seguintes números são múltiplos de 8 e também de 12: 24,

48, 72. Isto é, são múltiplos em comum desses 2 números. O menor deles, neste

caso o 24, é chamado de mínimo múltiplo comum (MMC) entre 8 e 12. O cálculo do

MMC se mostra útil na resolução de diversos exercícios, como veremos adiante.

Um método simples de se calcular o MMC entre 2 números é dado pelos

seguintes passos:

1. Decompor cada número em uma multiplicação de fatores primos;

2. O MMC será formado pela multiplicação dos fatores comuns e não comuns dos

dois números, de maior expoente.

Decompondo 8 em fatores primos, temos que 8 = 2x2x2 = 23. E decompondo

12 em fatores primos, temos que 12 = 2x2x3 = 22x3.

Assim, o MMC será formado pelos fatores comuns (2) e não comuns (3) de

maior expoente (isto é, MMC = 23 x 3 = 24).

A título de exercício, vamos calcular o MMC entre 15 e 9. Veja que 15 = 3x5,

e 9 = 32. Portanto, MMC = 32x5 = 45.

Para você entender como o MMC pode ser útil na resolução de questões,

imagine o seguinte caso: dois colegas de trabalho, João e José, gostam de realizar

festas em suas casas periodicamente. João costuma realizar festas de 9 em 9 dias,

enquanto José costuma realizar festas de 15 em 15 dias. Sabendo que hoje houve

festa na casa de ambos, daqui a quanto tempo as datas das festas de ambos

coincidirão novamente?




Ora, se João dá festas de 9 em 9 dias, sua próxima festa será daqui a 9 dias,

a seguinte daqui a 18, a outra daqui a 27, e assim por diante. Já a próxima festa de

José será daqui a 15 dias, depois daqui a 30, depois 45 etc. Observe que os dias

em que ambos darão festas devem ser um múltiplos de 9 e também de 15, isto é,

múltiplos comuns de 9 e 15. A próxima festa ocorrerá no menor desses múltiplos,

isto é, no mínimo múltiplo comum entre 9 e 15. Como calculamos acima, MMC (9,

15) = 135. Portanto, a próxima vez em que as festas coincidirão ocorrerá daqui a

135 dias.

Dizemos que um número é divisível por outro quando esta divisão é exata,

não deixando resto nem casas decimais. Para saber se um número é divisível por

outro, basta efetuar a divisão e verificar se existe resto. Ex.: 25 5 5÷ = , portanto 25 é

divisível por 5. O problema surge quando queremos julgar, por exemplo, se o

número 1765830275 é divisível por 5. Efetuar esta divisão à mão consome muito

tempo. Para identificarmos rapidamente essa divisibilidade, existem os critérios de

divisibilidade. Os principais deles encontram-se na tabela abaixo:

Principais critérios de divisibilidade

Divisor* Critério Exemplos

1 Todos os números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8...

2 Números pares (isto é, terminados

em um algarismo par) 0, 2,4, 28, 490, 522 etc.

3 Números cuja soma dos algarismos

é divisível por 3

0, 3, 6, 9, 12 (1+2=3), 15 (1+5 = 6),

27 (2+7=9), 51 (5+1=6), 915

(9+1+5=15) etc.

4 Se o número formado pelos 2

últimos dígitos for divisível por 4 0, 4, 8, 12, 16, 912, 1816 etc.

5 Números terminados em 0 ou 5 0, 5, 10, 65, 120, 1345 etc.

6 Números divisíveis por 2 e por 3 0, 6, 12, 924 (é par, e 9+2+4=15)

etc.

9 Números cuja soma dos algarismos

é divisível por 9

0, 9, 18, 27, 126 (1+2+6 = 9), 7155

(7+1+5+5=18) etc.

10 Números terminados em 0 0, 10, 20, 150, 270, 1580 etc.




*7 e 8 foram omitidos intencionalmente, pois possuem critérios muito difíceis, motivo

pelo qual praticamente não são cobrados.

Chamamos de máximo divisor comum (MDC) entre dois números A e B o

maior número pelo qual tanto A quanto B podem ser divididos de maneira exata, isto

é, sem deixar resto.

Podemos calcular o máximo divisor comum entre 2 números listando os

divisores de cada um deles. Exemplificando, vamos listar os divisores de 32 e 40:

- 32 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

- 40 pode ser dividido por: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40.

- Divisores comuns entre 32 e 40: 1, 2, 4, 8.

Veja que 8 é o máximo divisor comum (MDC) entre 32 e 40.

Para calcular o MDC sem precisar listar todos os divisores de cada número

(como fizemos acima), basta seguir 2 passos:

1. Decompor cada um dos números em fatores primos (ex.: 32 = 25; 40 = 23×5)

2. O MDC será formado pela multiplicação dos fatores comuns de menor

expoente (neste caso, apenas o 2 é comum, e seu menor expoente é 3.

Logo, MDC = 23 = 8);

Para você visualizar uma aplicação prática do MDC, imagine o seguinte caso:

temos um conjunto de 20 cães e 30 gatos. Queremos criar grupos de gatos e

grupos de cães, sem misturá-los, porém todos os grupos devem ter o mesmo

número de integrantes. Qual o menor número de grupos possível?

Para obter o menor número de grupos possível, precisamos dividir 20 e 30

pelo maior número possível. Este maior número que divide tanto 20 quanto 30, sem

deixar resto, é justamente o MDC entre 20 e 30.

Decompondo 20 em fatores primos, temos que 20 = 22x5. Temos também

que 30 = 2x3x5. Portanto, MDC(20,30) = 2x5 = 10. Portanto, devemos formar

grupos de 10 elementos. Isto é, 2 grupos com 10 cães em cada, e 3 grupos com 10

gatos em cada. Assim, o menor número de grupos possível é 5.




1.2 Porcentagem

A porcentagem nada mais é do que uma divisão onde o denominador é o

número 100. Você certamente deve estar bem habituado a ver porcentagens nas

notícias da imprensa. Dizer que 12% (leia “doze por cento”) dos brasileiros são

desempregados é igual a dizer que 12 em cada grupo de 100 brasileiros não tem

emprego. Veja outros exemplos:

- “11% do seu salário deve ser pago a título de contribuição previdenciária”: de cada

100 reais que você recebe como salário, 11 devem ser pagos para a previdência.

- “a taxa de analfabetismo de adultos no Brasil é de 20%”: de cada 100 adultos no

Brasil, 20 são analfabetos.

- “o número de adolescentes grávidas cresceu 10% em 2011, em relação ao ano

anterior”: para cada 100 adolescentes grávidas que existiam em 2010, passaram a

existir 10 a mais em 2011, isto é, 110 adolescentes grávidas.

- “o número de fumantes hoje é 5%menor que aquele do início da década”: para

cada 100 fumantes existentes no início da década, hoje temos 100 – 5, isto é, 95

fumantes.

Para calcular qual a porcentagem que uma certa quantia representa de um

todo, basta efetuar a seguinte divisão:

quantia de interessePorcentagem = 100%

total×

Por exemplo, se queremos saber qual o percentual que 3 crianças

representam em um total de 4 crianças, temos:

quantia de interesse 3Porcentagem = 100% 100% 0,75 100% 75%

total 4× = × = × =




Podemos transformar um número porcentual (ex.: 75%) em um número

decimal (ex.: 0,75), e vice-versa, lembrando que o símbolo % significa “dividido por

100”. Isto é, 75% é igual a 75 dividido por 100, que é igual a 0,75:

7575% 0,75

100= =

Da mesma forma, se temos um número decimal (ex.: 0,025) e queremos

saber o valor percentual correspondente, basta multiplicá-lo por 100%:

1000,025 0,025 0,025 100% 2,5%

100= × = × =

Por fim, se quantia de interesse

Porcentagem = 100%total

× , então também

podemos dizer que:

quantia de interesse = porcentagem total×

(Obs.: veja que omiti o 100% desta última fórmula, afinal 100

100% 1100

= = ).

Esta fórmula acima nos diz que, se queremos saber quanto é 20% de 300,

basta multiplicar 20% por 300:

20% de 300 = 20% x 300 = 0,2 x 300 = 60

Isto é, 60 pessoas correspondem a 20% de um total de 300 pessoas.

Portanto, grave isso: em matemática, o “de” equivale à multiplicação. Portanto, 20%

de 300 é igual a 20% x 300, e assim por diante.

1.3 Juros simples

Juro é o termo utilizado para designar o “preço do dinheiro no tempo”.

Quando você pega certa quantia emprestada no banco, o banco te cobrará uma




remuneração em cima do valor que ele te emprestou, pelo fato de deixar você ficar

na posse desse dinheiro por um certo tempo. Esta remuneração é expressa pela

taxa de juros. Existem duas formas principais, ou regimes, de cobrança de juros:

juros simples e juros compostos. O seu edital exige que você conheça apenas a

primeira. Nos próximos parágrafos trabalharemos os Juros Simples.

Continuemos com o exemplo em que você contratou um empréstimo junto ao

banco. Pode ser que fique combinado que será cobrada uma taxa de juros mensal

apenas sobre o valor emprestado inicialmente. Não serão cobrados “juros sobre

juros”, isto é, sobre o valor que vai sendo acrescido à dívida a cada mês. Neste

caso, estamos diante da cobrança de juros simples. Para ilustrar, imagine que você

pegou um montante de R$1000 emprestados com o banco a uma taxa de juros

simples de 10% ao mês, para pagar após 5 meses. Quanto você deverá pagar ao

banco ao final dos 5 meses?

Como foi contratado um empréstimo a juros simples, ao final do primeiro

mês você deve aplicar a taxa de juros (10%) sobre o capital inicial (R$1000). Como

10% de 1000 é igual a 100, podemos dizer que ao final do primeiro mês a dívida

subiu para R$1100, onde R$1000 correspondem ao montante inicial e R$100

correspondem aos juros incorridos no período. Ao final do segundo mês, serão

devidos mais 10% de 1000, ou seja, mais 100 reais. Ao final do terceiro, quarto e

quinto meses serão devidos mais 100 reais por mês. Portanto, ao final de 5 meses

você deverá devolver ao banco o capital inicial acrescido de 5 parcelas de 100 reais,

totalizando R$1500. Deste valor, 500 reais referem-se aos juros (“preço” que você

paga por ter ficado com 1000 reais do banco durante 5 meses) e 1000 reais

referem-se ao Principal da dívida, que é outra forma muito comum de designar o

capital inicialmente obtido. Podemos usar simplesmente a fórmula abaixo:

= × + ×(1 )M C j t

Nessa fórmula, C é o capital inicial (R$1000), j é a taxa de juros (10% ao

mês), t é o período analisado (5 meses), e M é o montante (valor total) devido ao

final dos “t” períodos. Observe que a taxa de juros e o período analisado devem

referir-se à mesma unidade temporal (neste caso, ambos referem-se a meses). Se




elas não estiverem na mesma unidade, o primeiro passo da resolução deve ser a

uniformização destas unidades.

A fórmula acima pode ser dividida em duas partes, tirando os parênteses:

= + × ×M C C j t

Nesta fórmula, ×C j é o valor dos juros pagos a cada período (R$100), que é

sempre igual. Já × ×C j t é o total pago na forma de juros (neste caso, R$500).

Portanto, o valor dos juros totais devidos é simplesmente:

= × ×J C j t

Veja ainda que o valor dos juros totais é igual à diferença entre o Montante e

o Capital inicial:

J = M – C

Veja que as fórmulas apresentadas possuem 4 variáveis (C, M, j e t). A

maioria dos exercícios envolvendo juros simples fornecerão 3 dessas variáveis e

perguntarão a quarta. O exercício poderia ter dito que João pegou R$1000

emprestados à taxa de juros simples de 10% ao mês, e perguntar quanto tempo

levaria para que o valor devido chegasse a R$1500. Assim, você teria C = 1000, j =

10% e M = 1500, faltando encontrar t:

= × + ×

= × + ×

= + ×

= + ×

= ×

=

(1 )

1500 1000 (1 10% )

15001 0,1

1000

1,5 1 0,1

0,5 0,1

5

M C j t

t

t

t

t

t




Como a taxa de juros refere-se a meses, então t = 5 meses. Exercite esta

fórmula resolvendo o exercício abaixo.

1. CESPE – PM/AC – 2008) Em cada um dos itens seguintes, é apresentada uma

situação hipotética a respeito de juros simples e compostos, seguida de uma

assertiva a ser julgada.

( ) Um indivíduo emprestou R$ 25.000,00 a um amigo à taxa de juros simples de

1,8% ao mês. Ao final do período combinado, o amigo devolveu o montante de

R$32.200,00. Nessa situação, o período do empréstimo foi inferior a 15 meses.

RESOLUÇÃO:

Veja que o valor inicial da dívida era C = 25000 reais. A taxa de juros simples

mensal é j = 1,8% ao mês, e o montante final é M = 32200 reais. Para descobrir o

período “t” do empréstimo, podemos usar a fórmula de juros simples:

M = C x (1 + j x t)

Substituindo os valores conhecidos, temos:

32200 = 25000 x (1 + 1,8% x t)

32200 / 25000 = (1 + 0,018t)

1,288 = 1 + 0,018t

0,018t = 0,288

t = 0,288 / 0,018

t = 16 meses

Portanto, o período do empréstimo foi de 16 meses, prazo superior a 15

meses. Item ERRADO.

Resposta: E

Dizemos que duas taxas de juros são equivalentes quando são cap azes

de levar o mesmo montante inicial C ao montante fin al M, após o mesmo

intervalo de tempo . Por exemplo, sabemos que a taxa de 12% ao ano leva o

capital C ao montante final 1,12C após o período de 1 ano. Existe uma taxa de juros

mensal que é capaz de levar o mesmo capital inicial C ao montante final 1,12C após

transcorrido o mesmo período (1 ano, ou 12 meses). Esta é a taxa mensal que é




equivalente à taxa anual de 12%, motivo pelo qual vamos chamá-la de jeq. Podemos

obtê-la substituindo t = 12 meses e M = 1,12C na fórmula de juros simples:

= × + ×

= × + ×

= + ×

− = ×

= = =

(1 )

1,12 (1 12)

1,12 1 12

1,12 1 12

0,12 / 12 0,01 1%

eq

eq

eq

eq

eq

M C j t

C C j

j

j

j

Portanto, uma taxa de juros de 1% ao mês é equivalente a uma taxa de juros

anual de 12% ao ano, pois ambas levam o mesmo capital inicial C ao mesmo

montante final M após o mesmo período transcorrido.

Dizemos ainda que duas taxas de juros são proporcionais quando

guardam a mesma proporção em relação ao prazo . Por exemplo, 12% ao ano é

proporcional a 6% ao semestre, e também é proporcional a 1% ao mês. Para obter

taxas proporcionais com segurança, basta efetuar uma regra de três simples.

Vamos obter a taxa de juros mensal que é proporcional à taxa de 12% ao ano:

12% ao ano ----------------------------------- 1 ano

Taxa mensal ---------------------------------- 1 mês

Substituindo 1 ano por 12 meses, para deixar os valores da coluna da direita

na mesma unidade temporal, temos:

12% ao ano ----------------------------------- 12 meses

Taxa mensal ---------------------------------- 1 mês

Efetuando a multiplicação cruzada, temos:

12% x 1 = Taxa mensal x 12

Taxa mensal = 1% ao mês




Repare que quando trabalhamos com juros simples, taxas de juros

proporcionais são também taxas de juros equivalentes. Essa informação é

importantíssima, pois em muito simplifica o cálculo de taxas equivalentes quando

estamos no regime de juros simples. Isto é, neste regime de juros, 1% ao mês, 6%

ao semestre ou 12% ao ano são proporcionais, e levarão o mesmo capital inicial C

ao mesmo montante M após o mesmo período de tempo.

Sobre este tema, tente resolver as questões abaixo.

2. ESAF – SEFAZ-SP – 2009) Um capital unitário aplicado a juros gerou um

montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de

aplicação deste capital?

a) 4%

b) 10%

c) 60%

d) 54%

e) 48%

RESOLUÇÃO:

Aqui temos um capital inicial unitário (C = 1), um montante final M = 1,1 e o

prazo de 2 meses e 15 dias, isto é, t = 2,5 meses. Podemos descobrir a taxa de

juros simples através da fórmula:

(1 )

1,1 1 (1 2,5)

1,1 1 2,5

1,1 10,04 4%

2,5

M C j t

j

j

j

= × + ×= × + ×= +

−= = =

A taxa de 4% ao mês, em juros simples, é proporcional à taxa de 48% ao ano

(12 x 4%). Sabemos que, em juros simples, a taxa proporcional é também a taxa

equivalente. Portanto, 48% ao ano é a taxa anual equivalente a 4% ao mês.

Resposta: E

1.4 POTÊNCIAS E RAÍZES

1.4.1 POTENCIAÇÃO




Observe o exemplo abaixo: 35 5 5 5 125= × × =

(lê-se: “cinco elevado à terceira potência é igual a cinco vezes cinco vezes cinco”)

Pelo exemplo dado, você pode perceber que elevar um número X a uma

determinada potência “n” é simplesmente multiplicar X por ele mesmo, “n” vezes.

Outro exemplo, para não deixar dúvida: 42 2 2 2 2 16= × × × =

(“dois elevado à quarta potência é igual ao dois multiplicado por ele mesmo 4

vezes”)

Resumindo, quando tratamos sobre potências temos sempre uma base

(número X) elevada a um expoente (“n”). Entendido o conceito básico, podemos

analisar algumas propriedades das potências. Essas propriedades facilitarão

bastante o manuseio de equações que envolvam potências:

a) Qualquer número elevado a zero é igual a 1.

Trata-se de uma convenção, isto é, uma definição. Assim, podemos dizer

que:

0

0

0

5 1

( 25) 1

0,3 1

=− =

=

b) Zero elevado a qualquer número é igual a zero.

Isso é bem lógico, pois zero elevado a “n” significa zero multiplicado por ele

mesmo, “n” vezes. Ex.: 30 0 0 0 0= × × =

c) Multiplicação de potências de mesma base (X):

A questão aqui é como multiplicar 2 34 4× . Normalmente você faria assim:

× = × × × × =2 34 4 (4 4) (4 4 4) 1024

Veja que basta somar os expoentes (“n”), uma vez que as duas potências

têm a mesma base 4: +× = = =2 3 2 3 54 4 4 4 1024

d) Divisão de potências de mesma base (X):




Como você faria a divisão 5

3

44

? Provavelmente seria assim:

5

3

4 4 4 4 4 44 4 16

4 4 4 4× × × ×= = × =

× ×

Entretanto, observe que basta subtrair os expoentes (“n”), pois o numerador e

denominador da divisão tem a base 4. Veja:

55 3 2

3

44 4 16

4−= = =

Analogamente, observe que 33

14

4−= . Isto porque:

00 3 3

3 3

1 44 4

4 4− −= = =

O que vimos acima nos permitirá levar uma potência do numerador para o

denominador de uma divisão, ou vice-versa, simplesmente trocando o sinal da

potência. Exemplificando, vamos resolver a expressão 3 54 4− × . Temos duas formas:

� Usar a propriedade de multiplicação de potências de mesma base, somando

os expoentes: 3 5 ( 3) 5 24 4 4 4 16− − +× = = =

� Usar a propriedade que acabamos de ver, levando 34− para o denominador e,

a seguir, fazendo a divisão de potências de mesma base:

53 5 5 3 2

3

44 4 4 4 16

4− −× = = = =

e) Potência de potência:

A questão agora é resolver 2 3(2 ) . Você poderia inicialmente elevar 2 à

segunda potência (isto é, ao quadrado), e a seguir elevar o resultado à terceira

potência (ao cubo): 2 3 3(2 ) (4) 64= =

Entretanto, veja que basta você elevar 2 ao resultado da multiplicação entre

os dois expoentes: 2 3 2 3 6(2 ) 2 2 64×= = =

f) Raiz de potência:




Quando estudarmos radiciação (próximo tópico), veremos que trata-se de

uma operação inversa à potenciação. Assim, obter a raiz quadrada de um número é

equivalente a elevá-lo a 12

, obter a raiz cúbica é equivalente a elevá-lo a 13

, e assim

por diante.

Visto isso, vamos obter o valor de: 62 . Veja que poderíamos fazer

simplesmente assim:

62 2 2 2 2 2 2 64 8= × × × × × = =

Entretanto, como obter a raiz quadrada é igual a elevar a 12

, podemos fazer:

( )11

66 6 3222 2 2 2 8×

= = = =

Note que utilizamos a propriedade anterior (potência de potência) para

resolver este caso.

g) Potência de produto:

Se tivermos que resolver uma expressão como 2(2 3)× , podemos fazer de

algumas formas:

� 2 2(2 3) (6) 36× = =

� 2(2 3) (2 3) (2 3) 36× = × × × =

� 2 2 2(2 3) 2 3 4 9 36× = × = × =

Veja a última forma. Ela nos diz que um produto A B× elevado à uma

potência “n” é igual ao produto das potências nA e nB .

h) Potência de base 10:

Quando a base da potência for 10 e o expoente for um número natural “n”,

fica bem fácil resolver. O resultado será formado pelo número 1 seguido de “n”

zeros:

3

6

10 1000

10 1000000

==

Da mesma forma, se o expoente for um número inteiro negativo, basta usar

as propriedades que vimos acima. Veja exemplos:




33

66

1 110 0,001

10 10001 1

10 0,00000110 1000000

−

−

= = =

= = =

i) Potência de base negativa:

Quando a base da potência é um número negativo, devemos analisar qual

será o sinal do resultado. Por ex.: 3(-2) = 8 ou -8 ?

Para isso, fica aqui uma regra: se o expoente for par, o resultado é positivo.

Se o expoente for ímpar, o resultado será negativo. Neste caso, como 3 é ímpar, o

resultado correto é -8. Você pode visualizar isso melhor fazendo a conta em etapas: 3(-2) = (-2) (-2) (-2) (4) (-2) 8× × = × = −

Veja um exemplo com expoente par: 4(-2) = (-2) (-2) (-2) (-2) (4) (4) 16× × × = × =

j) Fração elevada a um expoente:

Uma fração elevada a um expoente é igual a outra fração onde numerador e

denominador estão elevados àquele expoente. Veja:

3 3

3

2 23 3 =

Isto pode ser visto fazendo a conta em etapas:

3 3

3

2 2 2 2 2 2 2 2 83 3 3 3 3 3 3 3 27

× × = × × = = = × ×

1.4.2 RADICIAÇÃO

Como já disse acima, a radiciação é uma operação inversa à potenciação.

Quando dizemos que a raiz quadrada de 9 é 3, isso significa que 3 elevado ao

quadrado será igual a 9. A operação de radiciação pode ser escrita usando-se o

símbolo n ou elevando o número em questão ao expoente 1n

. Veja alguns

exemplos: 1

3 327 27 3= = , pois 33 27=

12 216 16 4= = , pois 24 16=




Veja que, quando se trata de raiz quadrada, podemos usar o símbolo 2 ou

simplesmente .

As principais propriedades da radiciação são:

a) Qualquer raiz de zero é igual a zero:

Isto é, 0 0n = . Isto porque zero elevado a qualquer número também resulta

em zero.

b) Qualquer raiz de 1 é igual a 1:

Ou seja, 1 1n = . Isto porque 1 elevado a qualquer número também resulta em

1.

c) a

b a bx x=

Essa é uma propriedade muito importante. Exemplificando, 6

3 6 234 4 4 16= = = .

d) Raiz “n” de produto é igual ao produto das raízes “n”:

Isto é, a raiz “n” de A x B é igual a raiz “n” de A x raiz “n” de B:

n n nA B A B× = ×

Veja que essa propriedade só vale se ambas as raízes tiverem o mesmo

radical “n”. Ilustrando, temos que:

25 16 25 16 5 4 20× = × = × =

e) Raiz da divisão é igual à divisão das raízes:

A raiz de A/B é igual à raiz de A dividida pela raiz de B:

n

nn

A AB B

=

Veja esse exemplo:

25 25 516 416

= =




f) Raiz de raiz:

Por essa propriedade, temos que n m n mA A×= . Exemplificando:

3 3 2 62 2 2×= =

Isso pode ser visto usando-se as propriedades de potência:

11 1 11 1 333 62 3 62 22 2 2 2 2 2

× = = = =

=

Vamos estudar um método para extrair a raiz de um número. Ele consiste em

2 passos:

1. Decomposição do número em fatores primos

2. Aplicação da propriedade a

b a bx x=

A título de exemplo, vamos calcular 3 216 . Lembre-se que os números

primos são aqueles divisíveis apenas por 1 e por si mesmos, ou seja: 2, 3, 5, 7, 11,

13, 17, 19, 23 etc. Assim, iremos começar dividindo 216 pelo menor número primo

(2) e, quando não mais for possível, passamos para o número primo seguinte (3), e

assim sucessivamente. Teremos:

Número Dividido por (número primo)

216 2

108 2

54 2

27 3 (pois não é mais possível usar o 2)

9 3

3 3

1

Observe a coluna da direita. Veja que 216 = 2 x 2 x 2 x 3 x 3 x 3, isto é: 3 3216 2 3= ×

Feito isso, podemos aplicar a propriedade da radiciação da seguinte forma: 1 1 1

3 33 3 3 3 1 13 3 3 3 3216 (2 3 ) (2 3 ) 2 3 2 3 6× ×

= × = × = × = × =




Se você ficou em dúvida, talvez precise voltar na seção de Potenciação e

revisar as propriedades que estudamos.

Vamos resolver mais um caso: 7056 . Decompondo 7056 em fatores

primos, temos:

Número Dividido por (número primo)

7056 2

3528 2

1764 2

882 2

441 3

147 3

49 7

7 7

1

Veja que 4 2 27056 2 3 7= × × . Portanto:

1 1 14 2 24 2 2 22 2 27056 2 3 7 2 3 7 2 3 7 84

× × ×= × × = × × = × × =

Várias vezes você irá se deparar com números que não possuem raiz exata.

Apesar disso, é possível simplificar o resultado. Vamos calcular, por exemplo, a raiz

quadrada de 32.

Fazendo a decomposição em fatores primos, temos que:

32 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 25

Assim,

532 2=

Podemos simplificar esta expressão lembrando-se que 5 42 2 2= × :

5 4 432 2 2 2 2 2 4 2= = × = × = × ou, simplesmente, 4 2

Finalizando, é bom saber que no conjunto dos números reais, não existe raiz

par de números negativos (ex.: não existe 2 16− ), mas existe raiz ímpar

( 33 27 3, pois ( 3) 27− = − − = − ).




2. RESOLUÇÃO DE QUESTÕES

3. FCC – TRT/22ª – 2010) Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários receberam

um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês seguinte, indagados sobre

quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam:

Anabela: “6/11 do total das licitações receberam meu parecer”

Benivaldo: “A quantidade de licitações em que dei meu parecer corresponde a 3/5

do número de pareceres emitidos por Anabela”.

Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e

que a soma das quantidades que cada um emitiu era um número compreendido

entre 100 e 150, então:

a) X < 50

b) 50 < X < 100

c) 100 < X < 150

d) 150 < X < 200

e) X > 200

RESOLUÇÃO:

Sabemos que Anabela deu parecer em 6/11 do total de licitações (X), ou

seja, o número de licitações em que ela deu parecer é 6

X11

. Já a quantidade de

licitações com parecer de Benivaldo é 3/5 do total de Anabela, ou seja,

3 6 18X X

5 11 55 × =

.

Sabemos que tanto o número de licitações com parecer de Anabela quanto

de Benivaldo devem ser números inteiros. Isto é, 6

X11

e 18

X55

devem ser números

inteiros.

Somando os pareceres dados por Anabela e por Benivaldo, temos:




6 18X X

11 5530 18

X+ X=55 5548

X55

+ =

Sabemos que a soma dos pareceres dados por ambos deve ser um número

inteiro. E este número deve estar entre 100 e 150. Ou seja,

48100 X<150

55<

Repare que não há como simplificar a fração 4855

, ou seja, 48 e 55 são primos

entre si (não possuem um divisor em comum, além do número 1). Assim, não

existem muitas opções de X que atendem a condição acima. X deve

necessariamente ser divisível por 55, pois 48 não o é. Logo, devemos testar para X

valores que sejam múltiplos de 55. Veja que, se X = 55, então 48 48

X 55 = 4855 55

= ×

(inferior a 100). Já, caso X = 2×55 = 110, então 48

X 9655

= (ainda inferior a 100).

Porém, se X = 3×55 = 165, então 48

X 14455

= , que está dentro do intervalo

procurado. Veja que caso X seja maior (por ex., X = 210), 48

X55

será maior que 150.

Portanto, como X = 165 é o total de licitações a serem analisadas, a letra D é

a correta.

Resposta: D.

4. FCC – TRT/9ª – 2010) Para estabelecer uma relação entre os números de

funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram de

um curso sobre Controle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão:




em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres,

respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um número

compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que:

a) h+m = 158

b) h-m = 68

c) 70 < h < 100

d) 50 < m < 70

e) m.h < 4000

RESOLUÇÃO:

Devemos começar simplificando a expressão dada. Acompanhe os passos

abaixo:

13

13

13

31 1 1

3 3 31 1 3

3 3 3 19 1 8 8

3 31 1 1

3 3 33 24 3 21

38 8 88 8 63 8 55

3 1 321 21 21 21

hm

hm

hm

hm

= −−

−

= − = − = −− − − ×−

= − = − = −−−

−= − × = − = =

Como 5521

hm

= , podemos escrever que 5521

h m= . E como o exercício diz que

o total de participantes está entre 100 e 200 pessoas, temos que:

100 200

55100 200

2176

100 20021

h m

m m

m

< + <

< + <

< <




Veja que não é possível simplificar a fração 76/21. Assim, para que 7621

m

seja um número inteiro, m deve ser um múltiplo de 21 (ex.: 21, 42, 63 etc.). Veja que

se m = 21, então 76

7621

m = (abaixo de 100). Já se m = 2x21 = 42, então 76

15221

m =

(que está entre 100 e 200). Observe que se m = 63, 7621

m será maior que 200.

Portanto, m = 42 e h = 152 – 42 = 110.

Assim, h – m = 68, sendo B a alternativa correta.

Resposta: B.

5. FGV – CODEBA – 2010) Olegário faz a barba de 3 em e dias. Hoje é domingo e

Olegário está fazendo a sua barba. Ele voltará a se barbear num dia de domingo

daqui a quantos dias?

(A) 21 .

(B) 18 .

(C) 12 .

(D) 14 .

(E) 15 .

RESOLUÇÃO:

Olegário faz sua barba de 3 em 3 dias. Portanto, ele fará sua barba nos

seguintes dias, contados a partir de hoje: 3, 6, 9, 12, 15 etc.

Sabemos que a cada 7 dias temos um domingo. Portanto, contando a partir

de hoje, temos domingo nos seguintes dias: 7, 14, 21, 28 etc.

O próximo dia que Olegário fará a barba deve ser um múltiplo de 3. E para

que seja um domingo, esse dia também deve ser múltiplo de 7. Portanto, deve ser

um múltiplo comum entre 3 e 7. O primeiro múltiplo comum entre esses dois

números é justamente o mínimo múltiplo comum entre 3 e 7.

Como 3 e 7 já são números primos, não é possível decompô-los em fatores

primos. Basta, portanto, multiplicá-los para obter o MMC. Isto é, MMC (3,7) = 21.

Portanto, daqui a 21 dias Olegário fará a barba novamente em um domingo.

Resposta: A




6. FCC – TRT/15ª – 2009) Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se

que: 25

deveriam ser analisados e 47

referiam-se ao atendimento ao público interno.

Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse

arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre

a) 10 e 50

b) 60 e 100

c) 110 e 160

d) 150 e 170

e) 180 e 220

RESOLUÇÃO:

Observe que se o total de projetos for um número divisível por 5 e por 7 ao

mesmo tempo, será possível calcular 25

e 47

dos projetos, isto é, eles serão

números inteiros. Quais números são divisíveis por 5 e 7 ao mesmo tempo? Os

múltiplos comuns entre 5 e 7. O mínimo múltiplo comum entre eles é 35.

Portanto, se o número de projetos for múltiplo de 35, será um número divisível

por 5 e 7. As outras possibilidades para o número de projetos são os demais

múltiplos comuns entre 5 e 7. Você pode encontrá-los simplesmente buscando

os múltiplos de 35, que é o MMC (5,7). Portanto:

Nº de projetos = 35, 70, 105, 140, 175, 210, 245...

Dado que em todos os intervalos existe um múltiplo comum entre 5 e 7,

exceto naquele entre 150 e 170 (letra D), somente nesse intervalo é que o

número de projetos NUNCA poderia estar.

Resposta: D

7. VUNESP – CASA/SP – 2010) Para fazer cocadas, uma senhora espalha a massa

do doce sobre um tabuleiro retangular cujas medidas são 60 cm de comprimento

por 68 cm de largura, de forma que essa massa preenche totalmente o tabuleiro.




Sabe-se que as cocadas são cortadas em quadradinhos de maior tamanho possível

e que não ocorre nenhuma sobra. Se forem consumidos 3/5 do total dessas

cocadas, restarão ainda

(A) 164.

(B) 153.

(C) 135.

(D) 127.

(E) 102.

RESOLUÇÃO:

Sendo L o lado de cada quadradinho, caberão 60/L quadradinhos no sentido

do comprimento e 68/L quadradinhos no sentido da largura. Para que o tamanho do

quadradinho seja o maior possível, é preciso que L seja o máximo divisor comum

entre 60 e 68. Efetuando a fatoração desses números, veja que:

60 = 22x3x5

68 = 22 x 17

Portanto, MDC(60,68) = 22 = 4. Como cada quadradinho terá L = 4cm de

lado, caberão 60/4 = 15 quadradinhos no sentido do comprimento e 68/4 = 17

quadradinhos no sentido da largura, totalizando 15 x 17 = 255 quadradinhos.

Se 3/5 foram consumidos, restam 2/5, que são:

(2/5) x 255 = 102

Resposta: E

8. VUNESP – CASA/SP – 2010) Para dividir um grupo de pessoas em grupos

menores, utilizou-se a seguinte técnica: atribui-se um número de 1 a 5 para as 5

primeiras pessoas de uma fileira e depois repetem-se esses números para as

demais pessoas, sequencialmente até a última delas, conforme mostra o esquema:




Dessa forma, todas as pessoas que receberem o mesmo número farão parte de um

mesmo grupo. Se nesse grupo inicial havia 83 pessoas, então o número de

indivíduos que ficarão no grupo 4 será

(A) 16.

(B) 17.

(C) 18.

(D) 19.

(E) 20.

RESOLUÇÃO:

Para saber quantos grupos de 5 pessoas podemos fazer com 83, devemos

dividir 83 por 5, obtendo o quociente 16 e o resto igual a 3. Isto indica que teremos

16 pessoas com cada um dos números (1, 2, 3, 4 e 5), além de 3 pessoas

excedentes. Essas três pessoas excedentes pegarão mais um número 1, outro 2 e

outro 3.

Assim, teremos 16 pessoas com números 4 e 5, e 17 pessoas com números

1, 2 e 3.

Resposta: A

9. VUNESP – SAP/SP – 2012) Um ciclista ‘A’ completa cada volta em uma pista

circular em 12 minutos, outro ciclista ‘B’ completa cada volta em 15 minutos, e um

ciclista ‘C’, em 20 minutos. Se os ciclistas A, B e C partem do mesmo ponto, no

mesmo sentido e no mesmo instante, então os três ciclistas irão passar novamente

juntos, no mesmo ponto, após

(A) 50 min.

(B) 1 h.

(C) 1 h e 5 min.

(D) 1 h e 10 min.

(E) 1 h e 15 min.

RESOLUÇÃO:

Os horários em o ciclista A completará voltas serão todos múltiplos de 12

minutos, assim como o ciclista B completará voltas em múltiplos de 15 minutos, e o

ciclista C completará voltas em múltiplos de 20 minutos.

A próxima vez que eles passarão juntos é dada pelo mínimo múltiplo comum

entre 12, 15 e 20. Fatorando esses números, temos:




12 = 22 x 3

15 = 3 x 5

20 = 22 x 5

Portanto, MMC(12,15,20) = 22 x 3 x 5 = 60. Ou seja, daqui a 60 minutos (1h)

os ciclistas passarão juntos novamente.

Resposta: B

10. VUNESP – SAP/SP – 2009) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas

em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de controle a

cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 18 minutos.

Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de

controle a

cada

(A) 1 h 24 min.

(B) 1 h 18 min.

(C) 1 h 12 min.

(D) 1 h 06 min.

(E) 1 h.

RESOLUÇÃO:

Os acionamentos de um dos agentes ocorrem em múltiplos de 36 minutos,

de outro agente em múltiplos de 24 minutos, e do último agente em múltiplos de 18

minutos. O mínimo múltiplo comum entre esses 3 números nos diz quando eles

farão acionamento do relógio juntos novamente. Fatorando os números, temos:

36 = 22 x 32

24 = 23 x 3

18 = 2 x 32

Assim, MMC(18,24,36) = 23 x 32 = 8 x 9 = 72 minutos. Assim, daqui a 72

minutos (1 hora e 12 minutos) eles acionarão os relógios simultaneamente.

Resposta: C

11. VUNESP – SAP/SP – 2009) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no

setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de




detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse

número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os

detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados

(A) 5 grupos.

(B) 8 grupos.

(C) 10 grupos.

(D) 12 grupos.

(E) 13 grupos.

RESOLUÇÃO:

Se precisamos dividir os números 240 e 160 pelo mesmo valor N, e

queremos que N seja o maior possível, é preciso que N seja o máximo divisor

comum entre 160 e 240. Fatorando esses números, temos:

160 = 25 x 5

240 = 24 x 3 x 5

Assim, MDC (160, 240) = 24 x 5 = 80. Portanto, o total de grupos formado é

de 400 / 80 = 5 grupos, sendo 240/80 = 3 do setor X e 160/80 = 2 do setor Y.

Resposta: A

12. VUNESP – TJ/SP – 2011) Na transmissão de um evento esportivo, comerciais

dos produtos A, B e C, todos de uma mesma empresa, foram veiculados durante um

tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes números de

inserções para cada produto. Sabe-se que a duração de cada inserção, para todos

os produtos, foi sempre a mesma, e a maior possível. Assim, o número total de

comerciais dessa empresa veiculados durante a transmissão foi igual a

(A) 32.

(B) 30.

(C) 24.

(D) 18.

(E) 16.

RESOLUÇÃO:

Sendo T a duração de cada inserção, os números de inserções de cada

anúncio são dados por 140/T, 80/T e 100/T. Para que a duração seja a maior




possível, é preciso que T seja o máximo divisor comum entre 140, 80 e 100.

Fatorando esses números, temos:

140 = 22 x 5 x 7

80 = 24 x 5

100 = 22 x 52

Logo, MDC(80,100,140) = 22 x 5 = 20. Assim, o tempo de duração de cada

inserção foi T = 20 segundos. Deste modo, o número de inserções de cada

comercial foi:

Inserções de A = 140/20 = 7

Inserções de B = 80/20 = 4

Inserções de C = 100/20 = 5

Ao todo, tivemos 16 comerciais veiculados.

Resposta: E

13. VUNESP – TJ/SP – 2011) Ao longo de um dia, um supermercado fez vários

anúncios dos produtos A, B e C, todos eles com o mesmo tempo de duração. Os

tempos totais de aparição dos produtos A, B e C foram, respectivamente, iguais a

90s, 108s e 144s. Se a duração de cada anúncio, em segundos, foi o maior

possível, então, a soma do número de aparições dos três produtos, nesse dia, foi

igual a

a) 14

b) 15

c) 17

d) 18

e) 19

RESOLUÇÃO:

Sendo T a duração de cada comercial, o número de aparições de cada um é

dado por 90/T, 108/T e 144/T respectivamente. Para que a duração de cada anúncio

seja a maior possível (T seja o maior possível), é preciso que T seja o máximo

divisor comum de 90, 108 e 144. Fatorando esses números:

90 = 2 x 32 x 5

108 = 22 x 33




144 = 24 x 32

Assim, MDC(90,108,144) = 2 X 32 = 18. Portanto, a duração de cada anúncio

é T = 18 segundos. O número de aparições é:

Aparições de A = 90/18 = 5

Aparições de B = 108/18 = 6

Aparições de C = 144/18 = 8

Ao todo, temos 19 aparições.

Resposta: E

14. VUNESP – TJ/SP – 2004) A cobertura de um piso retangular de 12 x 18 metros

será feita com placas quadradas de lado igual a L metros. Se L é um número

natural, para que haja uma cobertura perfeita do piso, sem cortes ou sobreposições

de placas, é necessário e suficiente que

(A) L seja um número par.

(B) L divida 12.

(C) L divida 18.

(D) L divida o MDC (12,18).

(E) L divida o MMC (12,18).

RESOLUÇÃO:

Sendo L o lado do quadrado, no sentido da largura da sala caberão 12/L

placas, e no sentido do comprimento caberão 18/L. Portanto, L deve ser um divisor

comum de 12 e 18. Se ele for o máximo divisor comum, será utilizado o menor

número possível (número suficiente) de placas.

Resposta: D

15. FGV – CODESP/SP – 2010) Três amigos foram a um restaurante, e a conta, já

incluídos os 10% de gorgeta, foi de R$105,60. Se eles resolveram não pagar os

10% de gorjeta pois acharam que foram mal atendidos e dividiram o pagamento

igualmente pelos três, cada um deles pagou a quantia de:

a) R$31,68

b) R$30,60

c) R$32,00




d) R$35,20

e) R$33,00

RESOLUÇÃO:

Seja C o valor da conta sem os 10% de gorjeta. Incluindo a gorjeta, o valor da

conta passa a ser C + 10%C, e sabemos que totaliza R$105,60. Portanto:

C + 10%C = 105,60

C + 0,1C = 105,60

1,1C = 105,60

C = 105,60 / 1,1 = 96

Portanto, a conta, sem os 10%, é de R$96. Dividindo para três pessoas,

temos R$32 por pessoa. Letra C.

Resposta: C

16. FGV – CAERN – 2010) Um restaurante cobra 10% sobre o valor consumido.

Assim, quando a conta é apresentada ao cliente, o valor a ser pago já vem com os

10% incluídos. Ao receber a conta no valor de R$27,72, Marcelo percebeu que

haviam cobrado a sobremesa, que custa R$3,50, sem que ele a tivesse consumido.

O gerente prontamente corrigiu o valor cobrado. Assim, depois dessa correção,

Marcelo pagou:

a) R$21,70

b) R$22,50

c) R$23,87

d) R$24,22

e) R$52,20

RESOLUÇÃO:

Seja C o valor efetivamente consumido por Marcelo. Na conta, foi somado

3,50 relativos à sobremesa, isto é, foi considerado o consumo de C + 3,5. Sobre

este valor, foram cobrados 10%, resultado em 27,72 reais. Portanto,

(C + 3,5) + 10%(C + 3,5) = 27,72

1,1(C + 3,5) = 27,72

C = 21,7




Portanto, o consumo efetivo foi de 21,7 reais. Somando 10%, temos:

Valor pago (corrigido) = 1,1 x 21,7 = 23,87

Resposta: C

17. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) Um indivíduo apresenta um valor X na sua conta

corrente, que não rende juros nem paga taxas. Desse valor, ele retira em um dia

20%. Do valor resultante, ele retira 30%. O valor restante, como percentual do valor

original X, é

(A) 45 %.

(B) 46 %.

(C) 50 %.

(D) 54 %.

(E) 56 %.

RESOLUÇÃO:

Se retirarmos 20% de X, o saldo restante é X menos 20% de X:

Saldo1 = X – 20%X = 0,8X

Se, após isso, retiramos 30% deste Saldo1 (que é o valor resultante da

primeira retirada), sobra:

Saldo2 = Saldo1 – 30%Saldo1

Saldo2 = 0,8X – 30% x (0,8X)

Saldo2 = 0,8X – 0,3x0,8X

Saldo2 = 0,8X – 0,24X = 0,56X

Isto é, o valor restante é 0,56X, ou 56% de X (que era o valor original).

Resposta: E

18. FGV – MEC – 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos

os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos

restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens




passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total

de pessoas na sala, as crianças correspondem a:

(A) 12,5%

(B) 17,5%

(C) 20%

(D) 22,5%

(E) 25%

RESOLUÇÃO:

Chamemos de H, M e C o número de homens, mulheres e crianças,

respectivamente. Se saírem todos os homens da sala, sobram M + C pessoas.

Desta quantidade, M representa 80%. Isto é:

M = 80% x (M + C)

M = 0,8M + 0,8C

0,2M = 0,8C

M = 4C

Se saírem todas as mulheres da sala, sobram H + C pessoas. Desta

quantidade, H representa 75%, ou seja:

H = 75% x (H + C)

0,25H = 0,75C

H = 3C

Portanto, o total de pessoas na sala é de:

H + M + C = 3C + 4C + C = 8C

Veja que 8C corresponde ao total, isto é, 100% das pessoas na sala. Assim,

podemos montar a regra de três abaixo para descobrir o percentual X que as

crianças (C) representam:

8C ------------------100%

C --------------------X




Efetuando a multiplicação cruzada (nas diagonais), temos:

8C x X = C x 100%

8X = 1

X = 1/8 = 0,125 = 12,5%

Assim, as crianças representam 12,5% do total de pessoas que estavam

inicialmente na sala.

Resposta: A

19. VUNESP – CASA/SP – 2010) No preparo de 600 gramas de pó para capuccino

utiliza-se, entre outras coisas, chocolate em pó e café solúvel, sendo que este último

representa 20% do total da mistura. Se forem retirados 30 g de chocolate em pó e

acrescentados 30 g de café solúvel, a porcentagem de café, no total da nova

mistura, será de

(A) 35%.

(B) 32%.

(C) 30%.

(D) 28%.

(E) 25%.

RESOLUÇÃO:

Originalmente o café solúvel representa 20% dos 600 gramas, ou seja:

Café solúvel = 20% x 600 = 120 gramas

O restante é preenchido pelo chocolate:

Chocolate em pó = 600 – 120 = 480 gramas

Retirando 30g de chocolate e colocando mais 30g de café, passamos a ter

150g de café e 450g de chocolate. O café passa a ser 150g do total de 600g, ou

seja:

Percentual de café = 150/600 = ¼ = 25%

Resposta: E




20. VUNESP – CASA/SP – 2010) O número de livros infantis vendidos por uma

livraria durante um final de semana está registrado do seguinte modo:

Acidentalmente, o número de livros vendidos no sábado não ficou registrado, mas

sabe-se que, na média, foram vendidos 18 livros por dia. O número de livros

vendidos no sábado superou o número de livros vendidos na quinta-feira em

(A) 220%.

(B) 250%.

(C) 280%.

(D) 300%.

(E) 330%.

RESOLUÇÃO:

A média de livros vendidos por dia é dada pela divisão entre a soma dos

livros vendidos (10 + 16 + X + 14) e o número de dias (4 dias). Isto é,

Média = (40 + X) / 4

18 = (40 + X) / 4

40 + X = 72

X = 32

Assim, foram vendidos 32 livros no sábado, ou seja, 22 livros a mais do que

as vendas de quinta-feira. Percentualmente, esses 22 livros a mais representam, em

relação aos 10 livros de quinta, um acréscimo de:

Percentual = 22 / 10 = 2,2 = 220%

Resposta: A

21. VUNESP – CASA/SP – 2010) Dois reservatórios de água, A e B, ambos com a

mesma capacidade, não estão completamente cheios. O reservatório A está com

60% de sua capacidade preenchida e o B contém apenas 6000 litros de água. Se




toda a água do reservatório B fosse colocada no reservatório A, este ficaria com

80% de sua capacidade total preenchida. Então, com os dois reservatórios

completamente cheios, o número de casas que poderiam ser abastecidas com

1,5m3 cada uma seria

(A) 40.

(B) 45.

(C) 50.

(D) 55.

(E) 60.

RESOLUÇÃO:

Observe que adicionando 6000 litros de água no reservatório A, que já se

encontra com 60% de sua capacidade (0,60xA), chegamos a 80% de sua

capacidade (0,80xA):

6000 + 0,60A = 0,80A

6000 = 0,20A

A = 6000/0,20 = 30000 litros

Como o enunciado disse que ambos os reservatórios possuem mesma

capacidade, então B também possui 30000 litros. Com os dois reservatórios cheios,

temos 60000 litros de água. Como 1 litro é igual a 1dm3, podemos dizer que 1000

litros correspondem a 1m3. Assim, 60000 litros correspondem a 60m3 em volume. O

número de casas que poderiam ser abastecidas com 1,5m3 cada é:

6040

1,5Casas= =

Resposta: A

22. VUNESP – CASA/SP – 2010) Considere os gráficos publicados pelo jornal

Folha de S.Paulo, em julho de 2010.




De acordo com as informações desses gráficos, pode-se concluir que a razão entre

o n.º de matriculados e o n.º de cursos oferecidos em 2008 pelas escolas da rede

privada, em relação à mesma razão para as escolas da rede pública, é

aproximadamente

(A) 27% maior.

(B) 23% menor.

(C) 15% maior.

(D) 12% maior.

(E) 10% menor.

RESOLUÇÃO:




A razão entre o n.º de matriculados e o n.º de cursos oferecidos em 2008

pelas escolas da rede privada pode ser obtida a partir dos números nos gráficos

acima:

Matriculados em escolas privadas = 343000

Cursos oferecidos em escolas privadas = 3773

Matriculados 343000

Cursos 3773=

A razão entre o n.º de matriculados e o n.º de cursos oferecidos em 2008

pelas escolas da rede pública também pode ser obtida a partir dos números nos

gráficos acima:

Matriculados em escolas públicas = 69000

Cursos oferecidos em escolas públicas = 582

Matriculados 69000

Cursos 582=

Assim, a razão obtida nas escolas particulares, em relação à razão obtida

nas escolas públicas, é dada pela divisão:

343000Privadas 343000 5823773

69000Públicas 3773 69000582

= = ×

Privadas 343 582 1 194

Públicas 3773 69 11 23= × = ×

Privadas 1940,766

Públicas 253= =

Como podemos ver na igualdade acima, a razão nas escolas privadas é igual

a 76,6% da razão nas escolas públicas, ou seja, é 23,4% menor do que a razão nas

escolas públicas.

Resposta: B

23. VUNESP – CASA/SP – 2010) A frente de um terreno retangular mede 60% do

valor do comprimento dele. Sabendo-se que sua área é 375 m2, a medida, em

metros, do seu perímetro é




(A) 90.

(B) 80.

(C) 70.

(D) 60.

(E) 50.

RESOLUÇÃO:

Sendo C o valor do comprimento do terreno, sabemos que sua frente mede

0,60xC. A área do retângulo é dada pela multiplicação do comprimento pela largura

(frente). Assim,

Área = comprimento x largura

375 = C x (0,60xC)

375 = 0,60 x C2

C2 = 625

C = 25 metros

Assim, a sua frente mede 0,60 x 25 = 15 metros. Portanto, o perímetro (soma

dos lados) deste retângulo é 15 + 25 + 15 + 25 = 80 metros.

Resposta: B

24. VUNESP – SAP/SP – 2012) Em uma quadra há 40 crianças. Dessas crianças,

metade gosta de futebol, um quarto, de vôlei e 10%, de basquete. As demais

gostam de queimada. O número de crianças que gostam de queimada é

(A) 6.

(B) 7.

(C) 8.

(D) 9.

(E) 10.

RESOLUÇÃO:

O total de crianças é dado pela soma das que gostam de cada esporte:

Total de crianças = futebol + volei + basquete + queimada

Substituindo nessa equação as informações que conhecemos:

1 140 40 40 10% 40

2 4queimada= × + × + × +




40 20 10 4 queimada= + + +

queimada = 6

Assim, 6 crianças gostam de queimada.

Resposta: A

25. VUNESP – SAP/SP – 2009) A tabela mostra a lotação máxima e o respectivo

percentual de ocupação de três novos presídios construídos no interior:

Sabendo-se que os três presídios juntos abrigam um total de 800 detentos, pode-se

afirmar que a porcentagem de ocupação do presídio C é

(A) 85%.

(B) 80%.

(C) 75%.

(D) 70%.

(E) 65%.

RESOLUÇÃO:

O número de detentos em cada presídio é dado pela multiplicação entre a

lotação máxima e o percentual de ocupação. Assim:

Detentos em A = 300 x 0,80 = 240

Detentos em B = 500 x 0,60 = 300

Como o total de detentos é 800, então:

Detentos em C + 240 + 300 = 800

Detentos em C = 260

Como a capacidade máxima de C é de 400 detentos, então a sua ocupação

percentual é de:

2600,65 65%

400OcupaçãoC= = =

Resposta: E




26. VUNESP – SAP/SP – 2009) Um eletricista usou 60% de um rolo de fio de cobre

para fazer uma determinada ligação. Em seguida, usou 25% da quantidade de fio

que restou no rolo para fazer 10 ligações iguais, utilizando 80 cm de fio em cada

uma. Esse rolo tinha, inicialmente, uma quantidade de fio igual a

(A) 94 m.

(B) 80 m.

(C) 66 m.

(D) 40 m.

(E) 32 m.

RESOLUÇÃO:

Seja Q a quantidade inicial de fio de cobre. Após utilizar 60%, restaram 40%

de Q. Deste resto, 25% foi utilizado para fazer as ligações, ou seja:

Fio para as ligações = 25% x (40% x Q)

Fio para as ligações = 0,10Q

Veja que foram feitas 10 ligações com 0,80m de fio em cada, utilizando um

total de 10 x 0,8 = 8 metros de fio. Portanto,

8 = 0,10Q

Q = 80 metros

A quantidade total de fio, no início, era de 80 metros.

Resposta: B

27. VUNESP – TJ/SP – 2006) Certo plano de saúde emite boletos para pagamento

bancário com as seguintes condições:

Pagamento até o vencimento: x

Pagamento após a data de vencimento:

x + juros + multa

Um conveniado desse plano de saúde pagaria R$ 1.198,00 se tivesse feito o

pagamento até o vencimento. Porém, houve alguns dias de atraso, o que acarretou

uma multa de 10% e juros de R$ 0,60 por dia de atraso. Como ele pagou um

acréscimo de R$ 124,00, o total de dias em atraso foi igual a




(A) 3.

(B) 4.

(C) 5.

(D) 6.

(E) 7.

RESOLUÇÃO:

O valor da multa é de 10% multiplicado pelo valor inicialmente devido (1198

reais), ou seja, 10% x 1198 = 119,8 reais. Como o acréscimo total foi de 124 reais,

então a parcela devida aos juros é de:

Juros = 124 – 119,8 = 4,2 reais

Os juros são calculados multiplicando o número de dias de atraso (d) pelo

valor de 0,60 reais. Assim,

4,20 = d x 0,60

d = 7 dias

O tempo total de atraso foi de 7 dias.

Resposta: E

28. VUNESP – TJ/SP – 2006) O gráfico I mostra como seria, inicialmente, a

distribuição porcentual da verba publicitária total de uma empresa para 2007, sendo

que, somente para a TV aberta, estavam destinados 9 milhões de reais.

Posteriormente, a diretoria reformulou conceitos e estratégias e estabeleceu uma

nova distribuição porcentual da verba total conforme mostra o gráfico II, sendo que

não houve alteração no valor total da verba publicitária inicialmente prevista. Com a

nova distribuição, a soma dos valores destinados à publicidade na Internet e na Tv a

cabo superou a soma dos valores inicialmente previstos para esse fim em




(A) R$ 1,56 milhão.

(B) R$ 1,78 milhão.

(C) R$ 1,95 milhão.

(D) R$ 2,12 milhões.

(E) R$ 2,25 milhões.

RESOLUÇÃO:

Observe, no gráfico I, que os 9 milhões destinados à TV aberta

correspondiam a 60% do total. Deste modo, o valor total pode ser obtido assim:

9.000.00060%

Total=

15.000.000Total =

Ainda no gráfico I, os percentuais destinados à internet e tv a cabo somavam

1,7% + 2,3% = 4% do total. No gráfico II, vemos que os percentuais da internet e tv

a cabo passaram a somar 6% + 11% = 17% do total. Assim, houve um aumento em

relação ao inicialmente previsto correspondente a 13% do total. Esse aumento

corresponde, em valores absolutos, a:

Aumento da verba de internet e tv a cabo = 13% x 15.000.000 = 1.950.000 reais

Assim, houve um aumento de 1,95 milhão de reais em relação à previsão

inicial.

Resposta: C




29. VUNESP – TJ/SP – 2008) Do preço de venda de um determinado produto, 25%

correspondem a impostos e comissões pagos pelo lojista. Do restante, 60%

correspondem ao preço de custo desse produto. Se o preço de custo desse produto

é de R$ 405,00, então, o seu preço de venda é igual a

(A) R$ 540,00.

(B) R$ 675,00.

(C) R$ 800,00.

(D) R$ 900,00.

(E) R$ 1.620,00.

RESOLUÇÃO:

Seja V o preço de venda do produto. Como 25% de V corresponde a

impostos e comissões, então sobram 75% de V. Deste restante, 60% correspondem

ao custo. Assim,

Custo = 60% x (75% x V) = 0,45V

Como o custo é de 405 reais, então

405 = 0,45V

V = 900 reais

Resposta: D

30. VUNESP – TJ/SP – 2011) Uma pessoa pagou 30% do valor total de uma dívida

e o restante dela irá pagar em 30 dias, sem acréscimo. Se R$ 3.500,00

correspondem a 20% do valor restante a ser pago, então é correto afirmar que, ao

pagar 30% do valor da dívida, a pessoa desembolsou

(A) R$ 5.200,00.

(B) R$ 6.800,00.

(C) R$ 7.500,00.

(D) R$ 7.850,00.

(E) R$ 8.200,00.

RESOLUÇÃO:

Seja D o valor total da dívida. Pagando 30% de D, restam 70% de D a serem

pagos. Sabemos que 3500 reais correspondem a 20% deste restante, ou seja:

3500 = 20% x (70% x D)

3500 = 0,14D




D = 25000 reais

Assim, pagando 30% da dívida, a pessoa desembolsa 0,30 x 25000 = 7500

reais.

Resposta: C

31. VUNESP – TJ/SP – 2011) No 2º semestre, a receita líquida (RL) de certa

empresa subiu 45% em relação à do semestre anterior, totalizando 725 milhões,

enquanto o lucro líquido (LL) teve uma queda de 15%, em relação ao do semestre

anterior, totalizando 85 milhões. Desse modo, é correto afirmar que, no semestre

anterior, a razão LL/RL foi igual a

a) 1/6

b) 1/5

c) 1/4

d) 3/8

e) 2/5

RESOLUÇÃO:

Seja RL1 a receita líquida no primeiro semestre, e LL1 o lucro líquido no

primeiro semestre.

No segundo semestre, a receita subiu 45% em relação a RL1, passando a

ser de 145% x RL1. Este valor totalizou 725 milhões, portanto:

145% x RL1 = 725.000.000

RL1 = 500.000.000 reais

Da mesma forma, no segundo semestre o lucro caiu 15% em relação a LL1,

passando a ser de 85% x LL1. Como este valor somou 85 milhões, então:

85% x LL1 = 85.000.000

LL1 = 100.000.000 reais

Desta forma, no primeiro semestre tivemos:

LL/RL = 100.000.000/500.000.000 = 1/5

Resposta: B




32. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma concessionária de automóveis de certa marca

queria vender um carro zero quilômetro que acabara de ficar fora de linha pelo qual

ninguém estava muito interessado. Primeiro, tentou vendê-lo com um desconto de

5%, mas ninguém o comprou. Em seguida, experimentou vendê-lo com um

desconto de 10% sobre o preço do primeiro saldo. Como continuou encalhado,

finalmente fez um desconto de 20% sobre o segundo preço de saldo. Agora,

apareceu uma pessoa que o comprou por vinte mil e quinhentos e vinte reais.

Então, o preço inicial do carro era de

(A) R$ 25 500,00.

(B) R$ 27 000,00.

(C) R$ 28 500,00.

(D) R$ 29 000,00.

(E) R$ 30 000,00.

RESOLUÇÃO:

Seja P o preço inicial do carro. Ao reduzir seu preço em 5%, a loja passou a

oferecê-lo por 95%xP. A seguir, foi feita uma redução de 10% em relação ao preço

anterior, sobrando 90% do preço anterior, ou seja:

Preço após segundo desconto = 90% x (95%xP)

Após isso, foi dado mais um desconto de 20% em relação ao anterior, de

modo que a loja passou a cobrar apenas 80% do preço anterior:

Preço após o terceiro desconto = 80% x (90% x 95% x P)

Como o preço após o terceiro desconto foi de 20520 reais, então

20520 = 80% x (90% x 95% x P)

20520 = 0,684 x P

P = 30000 reais

Resposta: E

33. VUNESP – CASA/SP – 2010) O número de meses que se deve aplicar um

capital a juro simples, com taxa de 1,5% ao mês, para se obter um rendimento igual

a 6% do capital aplicado inicialmente é

(A) 8.

(B) 7.




(C) 6.

(D) 5.

(E) 4.

RESOLUÇÃO:

Sendo C o capital inicial, para termos um rendimento de 6% deste capital é

preciso que o montante final seja M = 1,06C. Sendo j = 1,5% ao mês, o tempo (t)

necessário é:

M = C x (1 + j x t)

1,06C = C x (1 + 0,015t)

1,06 = 1 + 0,015t

t = 4 meses

Resposta: E

34. VUNESP – SAP/SP – 2012) Elias pediu emprestado R$ 2.600,00 a juro simples

com uma taxa de 2,5% ao mês. Se o montante da dívida ficou em R$ 3.250,00, o

tempo, em meses, que ele demorou para quitar sua dívida foi

(A) 7.

(B) 8.

(C) 9.

(D) 10.

(E) 11.

RESOLUÇÃO:

Sendo C = 2600 reais o valor inicial da dívida, M = 3250 reais o montante

final da dívida, j = 2,5% ao mês a taxa de juros, e regime de juros simples, temos:

M = C x (1 + j x t)

3250 = 2600 x (1 + 0,025t)

1,25 = 1 + 0,025t

t = 10 meses

Resposta: D

35. VUNESP – SAP/SP – 2012) Para comprar uma camisa que custa R$ 80,00,

Arthur deu um cheque pré-datado para trinta dias de R$ 92,40. A taxa de juros

cobrada no período considerado é de

(A) 17,2%.




(B) 15,5%.

(C) 13,4%.

(D) 10%.

(E) 8,2%.

RESOLUÇÃO:

Sendo C = 80 reais o valor inicial, M = 92,40 o valor final e t = 1 mês, temos:

92,40 = 80 x (1 + j)

j = 0,155 = 15,5%

Resposta: B

36. VUNESP – SAP/SP – 2009) Um investidor aplicou R$ 25.000,00 no sistema de

juro simples durante 8 meses e recebeu, ao final da aplicação, um montante de

R$27.500,00. A taxa anual de juro simples dessa aplicação foi igual a

(A) 22%.

(B) 20%.

(C) 18%.

(D) 16%.

(E) 15%.

RESOLUÇÃO:

Sendo C = 25000 reais o valor inicialmente aplicado, t = 8 meses, M = 27500

reais, regime de juros simples, temos:

M = C x (1 + j x t)

27500 = 25000 x (1 + j x 8)

j = 0,0125 = 1,25% ao mês

Repare que obtemos a taxa mensal, uma vez que o prazo utilizado é mensal.

Para obter a taxa anual equivalente a esta, basta calcularmos a taxa proporcional,

multiplicando por 12, dado que no regime de juros simples sabemos que:

taxa proporcional = taxa equivalente

Assim, temos a taxa anual de:

12 x 1,25% = 15% ao ano.

Resposta: E




37. VUNESP – TJ/SP – 2006) Da quantia total recebida pela venda de um terreno,

João emprestou 20% para um amigo por um prazo de 8 meses, a uma taxa de juro

simples de 18% ao ano, e aplicou o restante, também por 8 meses, a uma taxa de

juro simples de 27% ao ano. No final, o total recebido de juros, considerando-se

empréstimo e aplicação, foi igual a R$ 3.360,00. Pela venda do terreno, João

recebeu um total de

(A) R$ 32.000,00.

(B) R$ 30.000,00.

(C) R$ 28.000,00.

(D) R$ 25.000,00.

(E) R$ 20.000,00.

RESOLUÇÃO:

Seja T o total recebido pela venda do terreno. Deste total, 20% (ou seja,

0,2T) foi emprestado ao amigo à taxa simples j = 18% ao ano (1,5% ao mês) por t =

8 meses. Os juros deste empréstimo foram:

J = C x j x t

J1 = 0,2T x 1,5% x 8 = 0,024T

O valor restante (0,8T) foi aplicado por t = 8 meses à taxa simples j = 27% ao

ano (2,25% ao mês, rendendo juros de:

J2 = 0,8T x 2,25% x 8 = 0,144T

Como o total dos juros foi de 3360 reais, então:

0,024T + 0,144T = 3360

T = 20000 reais

Portanto, o valor de venda do terreno foi de 20 mil reais.

Resposta: E

38. VUNESP – TJ/SP – 2008) Um investidor aplicou uma certa quantia durante 8

meses, a uma determinada taxa de juro simples, e recebeu um montante de

R$11.400,00. Aplicou de imediato o montante recebido por mais 4 meses, com a

mesma taxa de juro simples da aplicação anterior, e ao final recebeu mais R$798,00

de juros. A quantia inicialmente aplicada, por esse investidor, foi




(A) R$ 8.500,00.

(B) R$ 9.000,00.

(C) R$ 9.600,00.

(D) R$ 9.800,00.

(E) R$ 10.000,00.

RESOLUÇÃO:

Vamos começar da segunda aplicação. Veja que, nela, o capital inicialmente

aplicado foi igual ao montante final da primeira aplicação. Assim, C = 11400 reais.

Sabemos ainda que t = 4 meses e o total de juros é J = 798 reais. Assim,

J = C x j x t

798 = 11400 x j x 4

j = 0,0175 = 1,75% ao mês

Seja Q a quantia inicialmente aplicada. Como a primeira aplicação teve t = 8

meses, j = 1,75% ao mês, e M = 11400 reais, então:

M = C x (1 + j x t)

11400 = Q x (1 + 0,0175 x 8)

Q = 10000 reais

Resposta: E

39. VUNESP – TJ/MT – 2008) Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado por meio ano

com juros de 8% semestrais, capitalizados trimestralmente. Se esse mesmo capital

fosse aplicado a juro simples com a mesma taxa e pelo mesmo período, teria

rendido

(A) R$ 128,00 a mais.

(B) R$ 96,00 a menos.

(C) R$ 64,00 a menos.

(D) R$ 45,00 a menos.

(E) R$ 32,00 a mais.

RESOLUÇÃO:

A taxa nominal de 8% ao semestre corresponde à taxa efetiva j = 4% ao

trimestre, uma vez que temos 2 trimestres em 1 semestre. Assim, aplicando o

capital C = 40000 reais durante t = 2 trimestres (meio ano), temos:

M = C x (1 + j)t




M = 40000 x (1 + 4%)2 = 43264 reais

Se este capital fosse aplicado à mesma taxa e período, porém usando o

regime de juros simples, teríamos:

M = C x (1 + j x t)

M = 40000 x (1 + 4% x 2)

M = 43200 reais

Portanto, neste último caso teríamos um montante com 64 reais a menos do

que no primeiro.

Resposta: C

40. ESAF – SEFAZ-SP – 2009 – Adaptada) Um capital unitário aplicado a juros

gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros

simples mensal de aplicação deste capital?

a) 4%

b) 10%

c) 60%

d) 54%

e) 48%

RESOLUÇÃO:

Aqui temos um capital inicial unitário (C = 1), um montante final M = 1,1 e o

prazo de 2 meses e 15 dias, isto é, t = 2,5 meses. Podemos descobrir a taxa de

juros simples através da fórmula:

(1 )

1,1 1 (1 2,5)

1,1 1 2,5

1,1 10,04 4%

2,5

M C j t

j

j

j

= × + ×= × + ×= +

−= = =

Essa já é a taxa mensal, pois o período (t) utilizado estava nesta unidade

temporal.

Resposta: A




41. FCC – TCE/PR – 2011) Um capital no valor de R$ 18.000,00 é aplicado durante

8 meses a juros simples, com uma taxa de 18% ao ano. No final do período, o

montante é resgatado e aplicado a juros compostos, durante um ano, a uma taxa de

5% ao semestre. A soma dos juros das duas aplicações é igual a

(A) R$ 4.012,30.

(B) R$ 4.026,40.

(C) R$ 4.176,00.

(D) R$ 4.226,40.

(E) R$ 5.417,10.

RESOLUÇÃO:

Aplicando o capital C = 18000 à taxa de juros simples j = 18% ao ano, pelo

período de 8 meses (isto é, t = 8/12 ano), temos:

M = 18000 x (1 + 0,18 x 8/12) = 18000 x (1 + 0,18 x 2/3)

M = 18000 x 1,12 = 20160

Aqui, já vemos que a aplicação rendeu juros de 2160 reais (20160 – 18000)

nos primeiros 8 meses. O valor final (20160) foi aplicado à taxa de juros compostos

de 5% ao semestre, durante 1 ano (t = 2 semestres). Assim, o montante final será:

M = 20160 x (1 + 5%)2 = 20160 x 1,1025

M = 22226,4

Portanto, a segunda aplicação rendeu juros de 2066,40 (22226,4 – 20160).

Somando os dois ganhos, temos um total de juros de:

2160 + 2066,40 = 4226,40 reais

(letra D)

Resposta: D

42. FCC - ISS/SP - 2012) Em uma loja, um computador, cujo preço é R$2.200,00,

pode ser vendido nas seguintes condições:

- à vista, com abatimento de 10% no preço ou




- em duas parcelas, sendo a primeira delas dada como entrada, correspondendo a

25% do preço. A segunda, que corresponde ao restante financiado a juros

compostos à taxa de 4% ao mês, deve ser paga ao completar 2 meses da data da

compra.

Se R e S são, respectivamente, os totais pagos no primeiro e no segundo casos, é

verdade que:

a) S = R + R$354,64

b) S + R = R$4.312,00

c) R = S - R$179,52

d) S - R = R$ 99,52

e) S = 2R

RESOLUÇÃO:

No primeiro caso, basta tirarmos 10% do preço inicial. Assim,

R = 2200 – 10%x2200 = 2200 – 220 = 1980 reais

No segundo caso, a entrada é de 25% de 2200, isto é, 25%x2200 = 550

reais. O saldo devedor é de 2200 – 550 = 1650. Este valor será corrigido, por 2

meses, a juros compostos de 2% ao mês, totalizando:

2(1 ) 1650 (1 0,04) 1784,64tM C j= × + = × + =

Deste modo, os pagamentos referentes à segunda opção totalizam:

S = 550 + 1784,64 = 2334,64

Analisando as alternativas de resposta, temos que a letra A (S = R + 354,64)

está correta.

Resposta: A

43. CEPERJ – OFICIAL SEFAZ/RJ – 2011) Comparando o regime de juros simples

(JS) com o regime de juros compostos (JC), tem-se que:

a) Para o primeiro período, o valor final no regime de JC é o dobro do regime de JS




b) No regime de JS, o capital cresce a uma taxa linear

c) Os juros ganhos a cada período no regime de JC são constantes ao longo do

período

d) Os juros ganhos a cada período no regime de JS são decrescentes ao longo do

período

e) No regime de JC, o valor final é sempre o dobro do valor final no regime de JS.

RESOLUÇÃO:

Para entender essa questão, retorne à comparação que fizemos entre um

mesmo empréstimo a juros simples e juros compostos. Ali vimos que, ao final do

primeiro período, o valor seria igual no regime de JC e de JS. Por isso, a primeira

alternativa é falsa.

De fato, no regime de JS, o capital começa em C (montante inicial) e, a cada

período, aumenta na quantia fixa de ×C j . Portanto, a dívida cresce numa taxa

constante, isso é, linear. Já no regime de JC, o valor devido a título de juros é maior

a cada período, pois os juros de um período entram no cálculo dos juros do período

seguinte. Neste caso, a dívida cresce numa taxa exponencial (e, portanto, mais

rapidamente). Portanto, a alternativa B está correta.

Pelo explicado no parágrafo acima, vemos que a alternativa C está errada.

Afinal, os juros de um período são maiores que os juros do período anterior, no

regime de JC. Da mesma forma, a alternativa D está errada, pois vimos que no

regime de JS ganha-se o mesmo valor de juros a cada período.

A letra E não tem embasamento algum. Dependendo do valor da taxa de

juros, o valor final pode ser igual (se j = 0%) ou diferente entre os regimes de JC e

JS, e não necessariamente o dobro.

Resposta: B.

44. CEPERJ – Oficial SEFAZ/RJ – 2011) Foram oferecidas a um investidor as

seguintes opções: investir seu capital no ativo A e obter um rendimento de 10% ao

mês durante três meses, ou investir o mesmo capital no ativo B e obter um

rendimento de 33,1% ao trimestre durante o mesmo período. Considerando que os

ativos possuem o mesmo risco e o regime de juros compostos, pode-se afirmar que:

a) A taxa de juros efetiva é maior do que a taxa de juros nominal na opção A




b) O investidor não possui informações para escolher qual o melhor

investimento

c) Na opção B, o valor final do investimento é o dobro da opção A

d) As taxas de juros são equivalentes

e) Na opção B, o valor final do investimento é o triplo da opção A

RESOLUÇÃO:

Para comparar as duas possibilidades de investimento, devemos analisá-las

ao longo de um mesmo período, porém vimos que as taxas de juros são definidas

em relação a períodos diferentes: 10% ao mês e 33,1% ao trimestre. Para facilitar,

vamos analisar o ganho do investidor ao longo de 1 trimestre.

� Ativo A: aplicando o montante C à taxa de juros j = 10% ao mês durante o

período de 1 trimestre, isto é, t = 3 meses, temos:

= × += × += ×= ×

3

3

(1 )

(1 0,1)

1,1

1,331

tM C j

M C

M C

M C

� Ativo B: aplicando o montante C à taxa de juros j = 33,1% ao trimestre

durante o período t = 1 trimestre, temos:

= × += × += ×

1

(1 )

(1 0,331)

1,331

tM C j

M C

M C

Veja que, em ambos os casos, ao final de um período (três meses) o capital

acumulado será de = ×1,331M C . Portanto, as taxas de juros de ambos os

investimentos são equivalentes, apenas estão definidas em relação a períodos

distintos.

Resposta: D.

45. CESGRANRIO – ANP – 2008) A Empresa Mar Aberto Ltda. realizou uma

aplicação de R$ 10.000,00 pelo prazo de 3 meses, obtendo uma taxa de juros




compostos de 2% ao mês. O valor que a empresa vai resgatar no vencimento da

aplicação, em reais, será

(A) 10.612,08

(B) 10.620,00

(C) 10.822,34

(D) 10.888,34

(E) 10.913,56

RESOLUÇÃO:

O enunciado nos diz que um capital inicial C = 10000 foi aplicado pelo prazo t

= 3 meses a uma taxa de juros j = 2% ao mês. Note que a taxa de juros e o prazo já

estão na mesma unidade temporal (meses). Através da fórmula de juros compostos,

podemos obter o montante final M:

3

3

(1 )

10000 (1 0,02)

10000 (1,02)

10000 (1,02) (1,02) (1,02)

10000 1,061208

10612,08

tM C j

M

M

M

M

M

= × +

= × +

= ×

= × × ×= ×

=

Portanto, o valor a ser resgatado ao final do prazo de 3 meses é de

R$10.612,08.

Resposta: A

46. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) A taxa anual equivalente à taxa

composta trimestral de 5% é

(A) 19,58%

(B) 19,65%

(C) 19,95%

(D) 20,00%

(E) 21,55%

RESOLUÇÃO:




Aplicando o capital C ao longo de 1 ano (t = 4 trimestres) à taxa de 5% ao

trimestre, temos o seguinte montante:

4(1 ) (1 0,05)

1,2155

tM C j C

M C

= × + = × += ×

A taxa anual equivalente (jeq), que leva o mesmo capital C ao montante final

Cx1,2155, após o mesmo período (t = 1 ano), é:

1

1

1

(1 )

1,2155 (1 )

1,2155 (1 )

0,2155 21,55%

eq

eq

eq

eq

M C j

C C j

j

j

= × +

× = × +

= +

= =

Note que aqui nós obtemos a taxa equivalente sem recorrer a fórmulas como

aquela )(1 (1 )eqt

eqtj j+ = + , mas apenas utilizando o conceito de taxas equivalentes.

Considero esta a melhor forma de resolver (uma fórmula a menos para decorar!).

Resposta: E

47. FCC – DNOCS – 2010) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor

de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de

juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no

vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: 18) [(1,02) 1]a −

18) [18 1,36 1]b −

12) [18 1,24 1]c −

) [3 1,24 1]d −

3) [6 1,24 1]e −

RESOLUÇÃO:

Observe que a taxa de juros é definida na unidade temporal ano, enquanto a

capitalização é mensal. Portanto, estamos diante de uma taxa de juros nominal.

Para obter a taxa de juros efetiva, basta dividir 24% ao ano por 12, afinal temos 12




meses em 1 ano. Assim, a taxa efetiva é j = 2% ao mês. Além disso, sabemos que o

prazo é t = 18 meses, e o capital inicial é C = 25000. O valor final é dado pela

fórmula:

18

(1 )

25000 (1,02)

tM C j

M

= × +

= ×

O exercício pediu o valor dos juros apenas. O montante final é igual à soma

do capital inicial e dos juros: M = C + J. Portanto, temos:

18

18

18

18

25000 (1,02)

25000 25000 (1,02)

25000 (1,02) 25000

25000 [(1,02) 1]

M

J

J

J

= ×

+ = ×

= × −

= × −

Assim, o valor dos juros é igual a 25000 multiplicado pela expressão que

vemos na letra A.

Resposta: A

48. ESAF – AFRFB – 2009) No sistema de juros compostos um capital PV aplicado

durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização semestral resulta no valor

final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre à taxa

de it% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, se a taxa de aplicação

trimestral for igual a:

a) 26,25 %

b) 40 %

c) 13,12 %

d) 10,25 %

e) 20 %

RESOLUÇÃO:

Uma taxa de 10% ao ano com capitalização semestral é uma taxa nominal.

Para obter a taxa efetiva, basta dividi-la por 2, pois temos 2 semestres em um ano.

Assim, temos a taxa efetiva de 5% ao semestre.




Aplicando o capital PV durante 1 ano à taxa de 5% ao semestre, temos, ao

final do período:

2 2

(1 )

(1 0,05) (1,05)

1,1025

tM C j

FV PV PV

FV PV

= × +

= × + = ×= ×

Note que a aplicação rendeu 10,25% de juros. Para obter o mesmo

rendimento deixando o PV aplicado por t = 1 trimestre, a taxa de juros ao trimestre

(it) deve ser de 10,25%, como pode ser visto abaixo:

1(1 )

1,1025 (1 )

1,1025 (1 )

0,1025 10,25%

FV PV it

PV PV it

it

it

= × +× = × +

= += =

Resposta: D

49. CEPERJ – SEEDUC – 2009) Simplificando 20 19

18

2 22+

, encontra-se:

a) 2

b) 4

c) 6

d) 8

e) 212

RESOLUÇÃO:

Sabemos que 20 19 20 19

18 18 18

2 2 2 22 2 2+ = + . Portanto, basta aplicar as propriedades

das potências que vimos: 20 19

18 18

20 18 19 18

2 1

2 22 22 2

2 2

4 2

6

− −

+ =

+ =+ =

+ =

Resposta: C.

50. CEPERJ – RIO PREVIDÊNCIA – 2010) A soma dos algarimos de 1010 3− é:




a) 88

b) 89

c) 91

d) 95

e) 97

RESOLUÇÃO:

Lembrando da propriedade de potências de base 10, sabemos que 1010 é o

número formado pelo algarismo 1 seguido de 10 algarismos zero, isto é: 1010 10000000000=

Assim, é fácil efetuar a subtração:

1010 3

10000000000 3 9999999997

−− =

Somando os algarismos de 9999999997 temos:

9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 9 9 7 88+ + + + + + + + + = × + =

RESPOSTA: A.

51. CEPERJ – FAETEC – 2010) Considere a igualdade 12 9 88 9 12 2 3x y× × = × . O

valor de x + y é:

a) 64

b) 66

c) 70

d) 74

e) 78

RESOLUÇÃO:

Para poder comparar as potências de um lado e de outro da igualdade, é

preciso deixá-las na mesma base. Veja que 38 2= , 29 3= e 212 4 3 2 3= × = × .

Assim, podemos substituí-los na equação do enunciado e aplicar as propriedades

da potenciação que estudamos:




12 9 8

3 12 2 9 2 8

3 12 2 9 2 8 8

36 18 2 8 8

36 18 8 16

36 16 26

52 26

8 9 12 2 3(2 ) (3 ) (2 3) 2 32 3 (2 ) (3) 2 32 3 2 3 2 32 3 2 2 32 3 2 32 3 2 3

yx

yx

yx

yx

yx

yx

yx

× ×

×

+

+

× × = ×× × × = ×

× × × = ×× × × = ×× × = ×

× = ×× = ×

Portanto, x = 52 e y = 26, e x + y = 78.

Resposta: E.

52. FUMARC – CEMIG – 2010) A potência mais próxima de ( )245 é:

a) 105

b) 104

c) 103

d) 102

RESOLUÇÃO:

Utilizando as propriedades de potências, observe que:

( )24 4 2 85 5 5×= =

Como nas alternativas só temos potências com base 10, vamos “forçar” o

aparecimento de uma base 10. Basta lembrar que 5 = 10 / 2. Com isso,

8 88

8

10 105

2 2 = =

Sabemos que 28 = 256, que é aproximadamente igual a 1000 / 4, isto é,

3110

4× . Fazendo essa substituição, temos:

8 8 88 3 5

83

10 10 104 10 4 10

12 256 104

−= ≈ = × = ××

A potência mais próxima a 54 10× é 105. Este é o gabarito.

Resposta: A




53. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Seja t a solução de 5 3 0x − = . O

valor de 10 11 19( 1) ( ... )t t t t− × + + + é:

a) 27

b) 32

c) 72

d) 81

e) 96

RESOLUÇÃO:

Inicialmente, vamos achar a solução de 5 3 0x − = . Veja abaixo:

5

5

5 5 5

555

15 5

3 0

3

3

3

3 3

x

x

x

x

x t

− ==

=

=

= = =

Portanto, sabemos que t = 5 3 . Antes de substituir t por este valor na

equação dada, vamos manipular um pouco a equação. Veja que:

10 11 19

10 11 19 10 11 19

11 12 20 10 11 19

( 1) ( ... )

( ... ) 1 ( ... )

( ... ) ...

t t t t

t t t t t t t

t t t t t t

− × + + + =× + + + − × + + + =

+ + + − − − −

Nesta última equação, veja que temos 11t e 11t− , que se cancelam. Isso

acontece com a maioria dos termos, exceto 20t e 10t− . Portanto:

11 12 20 10 11 19

20 10

20 101 15 5

1 120 10

5 5

4 2

( ... ) ...

3 3

3 3

3 3

81 9

72

t t t t t t

t t

× ×

+ + + − − − −− =

− =

− =− =− =

Resposta: C.

*** Revisão: PRODUTOS NOTÁVEIS




Dados dois números “a” e “b”, é bom você saber que:

1. 2 2 2( ) 2a b a a b b+ = + × × +

2. 2 2 2( ) 2a b a a b b− = − × × +

3. 2 2( ) ( )a b a b a b+ × − = −

Esses três “produtos notáveis” podem auxiliá-lo a resolver questões como as

que veremos a seguir, evitando que você precise realizar contas complicadas.

54. CEPERJ – SEE/RJ – 2010) Na igualdade 7 5

7 5a b

+ = +−

, o valor de 2a b− é:

a) 1

b) 2

c) 3

d) 5

e) 7

RESOLUÇÃO:

Para resolver essa questão utilizaremos algumas das propriedades da

radiciação que estudamos. Você deve ter percebido que nós precisamos “dar um

jeito” de retirar as raízes do denominador de 7 5

7 5

+−

, para chegarmos a um

resultado na forma a b+ .

Algo que nos ajuda muito nessa hora são os “produtos notáveis” (que vimos

na revisão teórica acima). Em especial, lembrar que, dados dois números x e y,

então podemos dizer que: 2 2( ) ( )x y x y x y+ × − = −

Veja que o nosso denominador é na forma (x – y), isto é, 7 5− . Podemos

multiplicar esse denominador por (x + y), isto é, por 7 5+ , mas para isso

devemos multiplicar o numerador pelo mesmo número. Veja abaixo:

7 5 ( 7 5) ( 7 5)

7 5 ( 7 5) ( 7 5)

+ + += ×− − +

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação no numerador e no

denominador, teremos:




( 7 5) ( 7 5)

( 7 5) ( 7 5)

7 7 7 5 5 7 5 5

7 7 7 5 5 7 5 5

+ +× =− +

× + × + × + ×× + × − × − ×

Veja que, no denominador, os termos 7 5× e 5 7− × se cancelam. Além

disso, veja que 27 7 7 7 7 7× = × = = e, da mesma forma, 5 5 5× = . Veja que

com isso retiramos as raízes do denominador:

7 2 5 7 5

7 5

12 2 35

2

6 35

+ × × + =−

+ × =

+

Portanto,

7 56 35

7 5a b

+ = + = +−

Com isso, podemos afirmar que a = 6 e b = 35. Logo, 2 36 35 1a b− = − = .

Resposta: A.

55. FCC – TRT/4ª – 2011) Dos números que aparecem nas alternativas, o que mais

se aproxima do valor da expressão 2 2(0,619 0,599 ) 0,75− × é:

a) 0,0018

b) 0,015

c) 0,018

d) 0,15

e) 0,18

RESOLUÇÃO:

Veja que elevar 0,619 e 0,599 ao quadrado seria bem trabalhoso. Entretanto,

lembrando que 2 2( ) ( )a b a b a b+ × − = − , onde a = 0,619 e b = 0,599, temos que:

2 2

2 2

2 2

2 2

( ) ( )

0,619 0,599 (0,619 0,599) (0,619 0,599)

0,619 0,599 (1,218) (0,02)

0,619 0,599 0,0243

a b a b a b− = + × −

− = + × −− = ×

− =

Assim,




2 2(0,619 0,599 ) 0,75 0,0243 0,75 0,0182− × = × =

Resposta: C

56. FCC – TRT/24ª – 2011) Indagado sobre o número de processos que havia

arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática,

respondeu:

− O número de processos que arquivei é igual a 12,252 − 10,252.

Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que:

(A) X < 20.

(B) 20 < X < 30.

(C) 30 < X < 38.

(D) 38 < X < 42.

(E) X > 42.

RESOLUÇÃO:

Lembrando que 2 2 ( ) ( )a b a b a b− = + × − , onde a = 12,25 e b = 10,25,

podemos resolver a questão sem a necessidade de efetuar o cálculo das potências.

Assim, temos:

2 2

2 2

2 2

( ) ( )

12,25 10,25 (12,25 10,25) (12,25 10,25)

12,25 10,25 22,5 2 45

a b a b a b− = + × −− = + × −

− = × =

Portanto, o técnico arquivou 45 processos, ou seja, mais de 42 processos

(letra E).

Resposta: E

57. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Observe a expressão apresentada abaixo:

A = 1,02134 + 0,97874 + 2 x 1,0213 x 0,9787 x (2 x 1,02132 + 3 x 1,0213 x 0,9787 + 2 x 0.97872)

O valor de A é:

A) 8,0000

B) 9,2324

C) 10,9132

D) 12,8912

E) 16,0000

RESOLUÇÃO:




Vamos utilizar as letras a = 1,0213 e b = 0,9787 para reescrever a expressão:

A = a4 + b4 + 2 x a x b x (2 x a2 + 3 x a x b + 2 x b2)

Observe que esse formato nos permite imaginar que exista algum “produto

notável” com esta forma. Para testar, vamos desenvolver a expressão (a + b)4:

(a + b)4 = (a + b)2 x (a + b)2 = (a2 + 2ab + b2) x (a2 + 2ab + b2)

(a + b)4 = a4 + 2a3b + a2b2 + 2a3b + 4a2b2 + 2ab3 + a2b2 + 2ab3 + b4

(a + b)4 = a4 + b4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3

(a + b)4 = a4 + b4 + 2ab x (2a2 + 3ab + 2b2)

Observe que, de fato, a expressão do enunciado corresponde ao produto

notável (a + b)4. Assim, basta efetuarmos este cálculo mais simplificado:

A = (a + b)4 = (1,0213 + 0,9787)4 = 24 = 16

Resposta: E

58. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) A operação 6 equivale a:

A) 21/6

B) 61/2

C) 61/6

D) 26

E) 62

RESOLUÇÃO:

Sabemos que a radiciação é o inverso da potenciação. Assim, podemos dizer

que: 1

26 6=

Resposta: B

59. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Dentre os números abaixo, o que apresenta

menor valor é:

A) 2

B) 10/3

C) 1,71




D) 3/2

E) 31/2

RESOLUÇÃO:

A forma mais fácil de compararmos esses números é escrevendo-os, ainda

que aproximadamente, na forma decimal. Assim, temos:

A) 2 = 1,4 (pois 1,42 = 1,96, ou seja, aproximadamente 2)

B) 10/3 = 3,33...

C) 1,71

D) 3/2 = 1,5

E) 31/2 = 3 = 1,7 (pois 1,72 = 2,89, isto é, aproximadamente 3).

Assim, fica claro que o menor número é a raiz quadrada de 2.

Resposta: A

60. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Um time de basquete venceu 40 jogos dos

50 de que participou até o momento, restando ainda 40 jogos para disputar. O

número de jogos que esse time ainda deve vencer, para que seu total de vitórias no

torneio seja de 70%, é

(A) 23.

(B) 24.

(C) 25.

(D) 26.

(E) 27.

RESOLUÇÃO:

Ao todo o time vai jogar 50 + 40 = 90 jogos. Deste total, 70% são:

70% de 90 = 0,70 x 90 = 63 jogos

Como o time já ganhou 40 partidas, é preciso ganhar mais 23 dentre os jogos

restantes.

Resposta: A

61. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Para iluminar uma sala Caio utiliza

exatamente 3 velas, cada vela de uma marca diferente e que são consumidas




totalmente em 24 minutos, 36 minutos e 42 minutos, respectivamente. Apenas uma

vela de cada marca fica acesa por vez e cada vez que uma vela se apaga,

imediatamente Caio acende outra da mesma marca, repetindo esse processo até

que as 3 velas se apaguem ao mesmo tempo. Após acender simultaneamente as 3

primeiras velas, o tempo total que a sala ficará iluminada será de

(A) 8h 48min.

(B) 8h 40min.

(C) 8h 36min.

(D) 8h 30min.

(E) 8h 24min.

RESOLUÇÃO:

As velas se apagam em múltiplos de 24, 36 e 42 minutos. Logo, elas se

apagarão simultaneamente, pela primeira vez, no mínimo múltiplo comum entre 24,

36 e 42 minutos. Fatorando estes números, temos:

24 = 23 x 3

36 = 22 x 32

42 = 2 x 3 x 7

Assim, MMC(24, 36, 42) = 23 x 32 x 7 = 504 minutos = 8 horas e 24 minutos.

Resposta: E

62. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Aplicando R$ 1,00 no sistema de juros

simples a uma taxa de 0,5% ao mês, para que o montante atinja o valor de R$ 10,00

serão necessários(as)

(A) 3 000 dias.

(B) 18 semanas.

(C) 20 meses.

(D) 150 anos.

(E) 9 décadas.

RESOLUÇÃO:

Temos o capital inicial C = 1, taxa de juros simples j = 0,5% ao mês e

montante final M = 10. Assim,

M = C x (1 + j x t)

10 = 1 x (1 + 0,005 x t)




9 = 0,005t

t = 9 / 0,005 = 1800 meses

Veja que 1800 meses = 150 anos (basta dividir por 12).

Resposta: D

63. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) O produto de dois números pares, positivos

e consecutivos, vale 1 224. O máximo divisor comum desses números vale

(A) 10.

(B) 8.

(C) 6.

(D) 4.

(E) 2.

RESOLUÇÃO:

Podemos representar os números pares consecutivos por N e N + 2 (e não

N + 1, pois ambos os números devem ser pares). O enunciado diz que:

N x (N + 2) = 1224

Resolvendo essa equação:

N2 + 2N – 1224 = 0

22 2 4 1 ( 1224)

2 1N

− ± − × × −=

×

2 70

2N

− ±=

34 36N ou N= = −

Dentre os possíveis valores de N, devemos utilizar 34N = , pois estamos

atrás de números positivos. Portanto, N + 2 = 36.

Assim, o MDC (34, 36) é 2.

Resposta: E

64. VUNESP – TJM/SP – 2011) Uma imobiliária cobra uma comissão de 6% se a

negociação é inferior a R$200.000,00 e 4% se a negociação é superior a esse valor.

Em um mês foram negociados três imóveis. O 1º, no valor de R$150.000,00, o 2º,




no valor de R$450.000,00 e o 3º, no valor de R$180.000,00. Nesse período, a

comissão da imobiliária na venda desses três imóveis foi igual a:

a) R$37.800,00

b) R$33.500,00

c) R$28.700,00

d) R$19.800,00

e) R$18.000,00

RESOLUÇÃO:

Somando as comissões, temos:

0,06 x 150000 + 0,04 x 450000 + 0,06 x 180000 = 37800 reais

Resposta: A

65. VUNESP – TJM/SP – 2011) Pesquisa feita em uma cidade do interior revelou

que 6,3% das 2000 pessoas entrevistadas não gostam de jantar em restaurantes.

Nessa pesquisa, o número de pessoas que afirmaram não gostar de jantar em

restaurantes foi igual a:

a) 63

b) 96

c) 106

d) 126

e) 252

RESOLUÇÃO:

Sabemos que 6,3% de 2000 = 6,3% x 2000 = 0,063 x 2000 = 126.

Resposta: D

66. VUNESP – TJ/SP – 2012) Do valor total recebido pela venda de um terreno,

Ricardo separou 20% para custear uma pequena reforma em sua casa e reservou o

restante para a compra de um carro novo. Sabe-se que 60% do valor separado para

a reforma foi usado na compra de material de construção, e o restante, no

pagamento da mão de obra. Sabendo-se que Ricardo gastou R$ 6.000,00 com a

mão de obra empregada na reforma, pode-se afirmar que, para a compra do carro

novo, Ricardo reservou

(A) R$ 50.000,00.

(B) R$ 65.000,00.




(C) R$ 60.000,00.

(D) R$ 75.000,00.

(E) R$ 70.000,00.

RESOLUÇÃO:

Seja T o valor recebido pela venda do terreno. Ricado separou 0,2T para a

reforma e o restante, ou seja, 0,8T, para a compra de um carro.

Dos 0,2T reservados para a reforma, 60% foi usado para comprar material,

ou seja:

Material = 0,2T x 60% = 0,2T x 0,6 = 0,12T

O restante foi utilizado para a mão de obra:

Mão de obra = 0,2T – 0,12T = 0,08T

Como o valor gasto com mão de obra foi de 6000 reais, temos:

6000 = 0,08T

T = 75000 reais

Portanto, o valor utilizado com o carro foi:

Carro = 0,8T = 0,8 x 75000 = 60000 reais

Resposta: C

67. VUNESP – TJ/SP – 2012) Certo capital foi aplicado a juros simples, à taxa de

1,5% ao mês. Para que seja possível resgatar um montante igual a 7/4 do capital

inicial, o tempo mínimo que esse capital deverá permanecer aplicado é:

(A) 3 anos e 4 meses.

(B) 3 anos e 9 meses.

(C) 4 anos e 2 meses.

(D) 2 anos e 8 meses.

(E) 2 anos e 10 meses.

RESOLUÇÃO:

Seja C o capital inicial. Temos M = 7C/4, j = 1,5% ao mês, juros simples. O

tempo de aplicação é:

M = C x (1 + j x t)

7C/4 = C x (1 + 0,015t)




7/4 = 1 + 0,015t

1,75 = 1 + 0,015t

0,75 = 0,015t

t = 50 meses = 4 anos e 2 meses

Resposta: C

68. VUNESP – SEFAZ/SP – 2013) Uma dívida de R$ 20.000,00 foi quitada por

R$21.000,00, cinco meses após ser contratada. A taxa mensal de juros simples da

operação foi de

(A) 0,5%.

(B) 10%.

(C) 1%.

(D) 5%.

(E) 0,1%.

RESOLUÇÃO:

Temos o valor inicial da divida C = 20000 reais, montante final M = 21000

reais, prazo de pagamento t = 5 meses. Na fórmula de juros simples:

M = C x (1 + j x t)

21000 = 20000 x (1 + j x 5)

1,05 = 1 + 5j

j = 0,01 = 1% ao mês

Resposta: C

69. VUNESP – SEFAZ/SP – 2013) Uma pessoa adquiriu um bem e pagou o seu

valor total em duas parcelas do seguinte modo: uma primeira parcela de 30% do

valor total foi paga à vista; uma segunda parcela no valor de R$ 856,80 foi paga 1

mês após a data da compra. Se a taxa de juros, já incluída no valor da segunda

parcela,

foi de 2% ao mês, então o valor da primeira parcela foi de

(A) R$ 360,00.

(B) R$ 400,00.

(C) R$ 257,04.

(D) R$ 428,40.

(E) R$ 367,20




RESOLUÇÃO:

Seja V o valor total do bem. Como 30% foi pago a vista, sobrou uma dívida

de 70% de V, ou seja, 0,70V. Esta dívida inicial foi acrescida de juros de j = 2%am

e, após t = 1 mês, chegou ao montante M = 856,80 reais. Isto é:

M = C x (1 + j x t)

856,80 = 0,70V x (1 + 0,02 x 1)

856,80 = 0,70V x 1,02

V = 856,80 / (0,70 x 1,02)

V = 1200 reais

O valor total do produto é, portanto, 1200 reais. A parte paga a vista

corresponde a 30% disto, ou seja,

À vista = 30% x 1200 = 0,30 x 1200 = 360 reais

Resposta: A

70. VUNESP – TJ/SP – 2013) Uma empresa comprou um determinado número de

folhas de papel sulfite, embaladas em pacotes de mesma quantidade para facilitar a

sua distribuição entre os diversos setores. Todo o material deverá ser entregue pelo

fornecedor acondicionado em caixas, sem que haja sobras. Se o fornecedor colocar

25 pacotes por caixa, usará 16 caixas a mais do que se colocar 30 pacotes por

caixa. O número total de pacotes comprados, nessa encomenda, foi

(A) 2200.

(B) 2000.

(C) 1800.

(D) 2400.

(E) 2500.

RESOLUÇÃO:

Seja N o número de pacotes comprados. Colocando 25 pacotes por caixa,

serão usadas N/25 caixas. E colocando 30 pacotes por caixa, serão usadas N/30

caixas. Foi dito que:

N/25 = 16 + N/30

Assim,

N/25 – N/30 = 16




Para facilitar as contas, podemos multiplicar todos os membros por 150, que

é um múltiplo comum entre 25 e 30. Assim,

6N – 5N = 16 x 150

N = 2400 pacotes

Resposta: D

71. VUNESP – TJ/SP – 2013) Acessando o site de determinada loja, Lucas

constatou que, na compra pela internet, com prazo de entrega de 7 dias úteis, o

notebook pretendido custava R$ 110,00 a menos do que na loja física que, por outro

lado, oferecia a entrega imediata do aparelho. Como ele tinha urgência, foi até a loja

física e negociou com o gerente, obtendo um desconto de 5% e, dessa forma,

comprou o aparelho, pagando o mesmo preço que pagaria pela internet. Desse

modo, é correto afirmar que o preço que Lucas pagou pelo notebook, na loja física,

foi de

(A) R$ 2.110,00.

(B) R$ 2.200,00.

(C) R$ 2.000,00.

(D) R$ 2.310,00.

(E) R$ 2.090,00.

RESOLUÇÃO:

Seja P o preço inicial do produto na loja física. Na internet ele custava 110

reais a menos, ou seja, P – 110. No entanto, dando-se um desconto de 5% sobre o

preço da loja física (P), obtém-se este mesmo valor. Ou seja:

P – 5%P = P – 110

0,95P = P – 110

0,05P = 110

P = 110/0,05 = 2200 reais

Assim, o preço pago foi de P – 5%P = 2200 – 5%x2200 = 2090 reais.

Resposta: E

72. CESPE – CORREIOS – 2011) O Programa Nacional do Livro Didático e o

Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio são realizados pela ECT




em parceria com o Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação. A operação

consiste na entrega, todos os anos, de 100 milhões de livros didáticos a escolas

públicas de ensino fundamental e médio de todo o Brasil, volume equivalente à

metade de toda a produção gráfica do Brasil. Para a distribuição desses livros são

realizadas viagens de carretas das editoras para os centros de tratamento da

empresa instalados em pontos estratégicos do país. Nessas unidades, as

encomendas são tratadas e, depois, entregues nas escolas.

Internet: (com adaptações).

Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre

determinada editora e um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias,

respectivamente, e, ao completar um percurso de ida e volta, elas retomem

imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem

simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa

editora após

a) 45 dias.

b) 60 dias.

c) 10 dias.

d) 15 dias.

e) 30 dias.

RESOLUÇÃO:

Veja que uma carreta começa o percurso nos múltiplos de 4 dias, outra nos

múltiplos de 5 dias, e outra nos múltiplos de 6 dias. Elas partirão juntas novamente

em um dia que é múltiplo comum de 4, 5 e 6 dias. A próxima vez que isso vai

ocorrer é no mínimo múltiplo comum, que é MMC(4, 5, 6) = 60 dias.

Resposta: B

73. CESPE – CORREIOS – 2011) Uma empresa confeccionou catálogos dos tipos

A e B para presentear seus clientes. Um catálogo do tipo A pesa 240 g e um do tipo

B, 350 g. Os catálogos foram organizados em pacotes, contendo cada um deles

apenas catálogos de um mesmo tipo.

Se 540 catálogos do tipo A e 340 do tipo B forem separados em lotes, de modo que

cada lote contenha catálogos dos dois tipos e a mesma quantidade de catálogos de




cada tipo, então a quantidade máxima de lotes em que poderão ser separados

esses catálogos será igual a

a) 20.

b) 34.

c) 54.

d) 10.

e) 17.

RESOLUÇÃO:

Precisamos encontrar um único número que divida tanto os 540 catálogos do

tipo A quanto os 340 do tipo B de maneira exata (sem deixar resto). Isto é,

precisamos de um divisor comum entre 540 e 340. E precisamos do maior divisor

possível, para obter a quantidade máxima de lotes. Isto é, estamos atrás do MDC

entre 540 e 340, que podemos obter assim:

540 340 Divisor

270 170 2

135 85 2

27 17 5

- - 2 x 2 x 5 = 20

Assim, MDC(540,340) = 20, de modo que podemos formar 20 lotes, sendo

que cada um conterá 27 catálogos A e 17 catálogos B.

Resposta: A

Obs.: note que utilizei aqui um método alternativo para obter o MDC, calculando-o

diretamente. Para isso utilizei apenas os fatores que dividiam ambos os números

simultaneamente (2, 2 e 5). Você poderia ter usado o método que já vimos na teoria

(fatorar os dois números separadamente e pegar os fatores comuns de menor

expoente).








Com base nas informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes

tiverem o mesmo peso e se esse peso for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará

a) 8,3 kg.

b) 8,4 kg.

c) 8 kg.

d) 8,1 kg.

e) 8,2 kg.

RESOLUÇÃO:

Sejam NA e NB os números de catálogos dos tipos A e B presentes em cada

pacote. Nos pacotes contendo catálogos do tipo A, o peso será:

Peso = NA x 240g

Nos pacotes contendo catálogos do tipo B, o peso será:

Peso = NB x 350g

Para que todos os pacotes tenham o mesmo peso, é preciso que NA x 240

seja igual a NB x 350. Como NA e NB devem ser números exatos, é preciso que o

Peso de cada pacote seja um múltiplo comum entre 240 e 350. Obtendo o mínimo

múltiplo comum entre esses números, temos:

240 350 Divisor

120 175 2

60 175 2

30 175 2

15 175 2

5 175 3

1 35 5

1 7 5

1 1 7

24 x 3 x 52 x 7 =

8400

Portanto, o MMC(240,350) = 8400, de modo que o peso mínimo dos pacotes

é de 8400g, ou 8,4kg. Com isso, temos a alternativa B.




Note que, de fato, com 8400g é possível obter números NA e NB exatos para

cada pacote:

8400 = NA x 240 � NA = 35

8400 = NB x 350 � NB = 24

Resposta: B

Obs.: note que aqui utilizei um método alternativo para o cálculo do MMC. Bastou ir

dividindo os números por fatores primos. Quando um número era divisível e o outro

não, basta dividir apenas aquele que é divisível. Ex.: dividi 15 por 3, mas não dividi o

175 (simplesmente o repeti). Você poderia ter utilizado o método que vimos na

teoria, fatorando os dois números separadamente e depois pegando os fatores

comuns e não comuns de maior expoente.

**************************

Pessoal, por hoje, é só!!

Vemo-nos na aula 03.

Abraço,

Arthur

[email protected]




3. LISTA DAS QUESTÕES APRESENTADAS NA AULA

1. CESPE – PM/AC – 2008) Em cada um dos itens seguintes, é apresentada uma

situação hipotética a respeito de juros simples e compostos, seguida de uma

assertiva a ser julgada.

( ) Um indivíduo emprestou R$ 25.000,00 a um amigo à taxa de juros simples de

1,8% ao mês. Ao final do período combinado, o amigo devolveu o montante de

R$32.200,00. Nessa situação, o período do empréstimo foi inferior a 15 meses.

2. ESAF – SEFAZ-SP – 2009) Um capital unitário aplicado a juros gerou um

montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros simples anual de

aplicação deste capital?

a) 4%

b) 10%

c) 60%

d) 54%

e) 48%

3. FCC – TRT/22ª – 2010) Em julho de 2010, dois Analistas Judiciários receberam

um lote com X licitações para emitir pareceres. No mês seguinte, indagados sobre

quantos pareceres de tal lote haviam emitido em julho, eles responderam:

Anabela: “6/11 do total das licitações receberam meu parecer”

Benivaldo: “A quantidade de licitações em que dei meu parecer corresponde a 3/5

do número de pareceres emitidos por Anabela”.

Sabendo que cada licitação recebeu o parecer de apenas um desses Analistas e

que a soma das quantidades que cada um emitiu era um número compreendido

entre 100 e 150, então:

f) X < 50

g) 50 < X < 100

h) 100 < X < 150

i) 150 < X < 200

j) X > 200




4. FCC – TRT/9ª – 2010) Para estabelecer uma relação entre os números de

funcionários de uma unidade do Tribunal Regional do Trabalho, que participaram de

um curso sobre Controle e Prevenção de Doenças, foi usada a expressão:

em que h e m representam as quantidades de homens e de mulheres,

respectivamente. Sabendo que o total de participantes do curso era um número

compreendido entre 100 e 200, é correto afirmar que:

f) h+m = 158

g) h-m = 68

h) 70 < h < 100

i) 50 < m < 70

j) m.h < 4000

5. FGV – CODEBA – 2010) Olegário faz a barba de 3 em e dias. Hoje é domingo e

Olegário está fazendo a sua barba. Ele voltará a se barbear num dia de domingo

daqui a quantos dias?

(A) 21 .

(B) 18 .

(C) 12 .

(D) 14 .

(E) 15 .

6. FCC – TRT/15ª – 2009) Do total de projetos que estavam em um arquivo, sabe-se

que: 25

deveriam ser analisados e 47

referiam-se ao atendimento ao público interno.

Com essa informação, é correto concluir que o total de projetos existentes nesse

arquivo NUNCA poderia ser um número compreendido entre




f) 10 e 50

g) 60 e 100

h) 110 e 160

i) 150 e 170

j) 180 e 220

7. VUNESP – CASA/SP – 2010) Para fazer cocadas, uma senhora espalha a massa

do doce sobre um tabuleiro retangular cujas medidas são 60 cm de comprimento

por 68 cm de largura, de forma que essa massa preenche totalmente o tabuleiro.

Sabe-se que as cocadas são cortadas em quadradinhos de maior tamanho possível

e que não ocorre nenhuma sobra. Se forem consumidos 3/5 do total dessas

cocadas, restarão ainda

(A) 164.

(B) 153.

(C) 135.

(D) 127.

(E) 102.

8. VUNESP – CASA/SP – 2010) Para dividir um grupo de pessoas em grupos

menores, utilizou-se a seguinte técnica: atribui-se um número de 1 a 5 para as 5

primeiras pessoas de uma fileira e depois repetem-se esses números para as

demais pessoas, sequencialmente até a última delas, conforme mostra o esquema:

Dessa forma, todas as pessoas que receberem o mesmo número farão parte de um

mesmo grupo. Se nesse grupo inicial havia 83 pessoas, então o número de

indivíduos que ficarão no grupo 4 será




(A) 16.

(B) 17.

(C) 18.

(D) 19.

(E) 20.

9. VUNESP – SAP/SP – 2012) Um ciclista ‘A’ completa cada volta em uma pista

circular em 12 minutos, outro ciclista ‘B’ completa cada volta em 15 minutos, e um

ciclista ‘C’, em 20 minutos. Se os ciclistas A, B e C partem do mesmo ponto, no

mesmo sentido e no mesmo instante, então os três ciclistas irão passar novamente

juntos, no mesmo ponto, após

(A) 50 min.

(B) 1 h.

(C) 1 h e 5 min.

(D) 1 h e 10 min.

(E) 1 h e 15 min.

10. VUNESP – SAP/SP – 2009) Três agentes penitenciários fazem rondas noturnas

em um determinado presídio. O primeiro tem que acionar o relógio de controle a

cada 36 minutos; o segundo, a cada 24 minutos, e o terceiro, a cada 18 minutos.

Dessa maneira, pode-se afirmar que eles acionam simultaneamente o relógio de

controle a

cada

(A) 1 h 24 min.

(B) 1 h 18 min.

(C) 1 h 12 min.

(D) 1 h 06 min.

(E) 1 h.

11. VUNESP – SAP/SP – 2009) Em um presídio há 400 detentos, sendo 240 no

setor X e 160 no setor Y. Para realizar atividades na oficina de artes, o total de

detentos foi dividido em grupos com o mesmo número de integrantes, sendo esse

número o maior possível, sem deixar nenhum detento de fora e sem misturar os

detentos dos dois setores. Dessa forma, foram formados




(A) 5 grupos.

(B) 8 grupos.

(C) 10 grupos.

(D) 12 grupos.

(E) 13 grupos.

12. VUNESP – TJ/SP – 2011) Na transmissão de um evento esportivo, comerciais

dos produtos A, B e C, todos de uma mesma empresa, foram veiculados durante um

tempo total de 140 s, 80 s e 100 s, respectivamente, com diferentes números de

inserções para cada produto. Sabe-se que a duração de cada inserção, para todos

os produtos, foi sempre a mesma, e a maior possível. Assim, o número total de

comerciais dessa empresa veiculados durante a transmissão foi igual a

(A) 32.

(B) 30.

(C) 24.

(D) 18.

(E) 16.

13. VUNESP – TJ/SP – 2011) Ao longo de um dia, um supermercado fez vários

anúncios dos produtos A, B e C, todos eles com o mesmo tempo de duração. Os

tempos totais de aparição dos produtos A, B e C foram, respectivamente, iguais a

90s, 108s e 144s. Se a duração de cada anúncio, em segundos, foi o maior

possível, então, a soma do número de aparições dos três produtos, nesse dia, foi

igual a

a) 14

b) 15

c) 17

d) 18

e) 19

14. VUNESP – TJ/SP – 2004) A cobertura de um piso retangular de 12 x 18 metros

será feita com placas quadradas de lado igual a L metros. Se L é um número

natural, para que haja uma cobertura perfeita do piso, sem cortes ou sobreposições

de placas, é necessário e suficiente que




(A) L seja um número par.

(B) L divida 12.

(C) L divida 18.

(D) L divida o MDC (12,18).

(E) L divida o MMC (12,18).

15. FGV – CODESP/SP – 2010) Três amigos foram a um restaurante, e a conta, já

incluídos os 10% de gorgeta, foi de R$105,60. Se eles resolveram não pagar os

10% de gorjeta pois acharam que foram mal atendidos e dividiram o pagamento

igualmente pelos três, cada um deles pagou a quantia de:

a) R$31,68

b) R$30,60

c) R$32,00

d) R$35,20

e) R$33,00

16. FGV – CAERN – 2010) Um restaurante cobra 10% sobre o valor consumido.

Assim, quando a conta é apresentada ao cliente, o valor a ser pago já vem com os

10% incluídos. Ao receber a conta no valor de R$27,72, Marcelo percebeu que

haviam cobrado a sobremesa, que custa R$3,50, sem que ele a tivesse consumido.

O gerente prontamente corrigiu o valor cobrado. Assim, depois dessa correção,

Marcelo pagou:

a) R$21,70

b) R$22,50

c) R$23,87

d) R$24,22

e) R$52,20

17. FGV – SEFAZ/RJ – 2011) Um indivíduo apresenta um valor X na sua conta

corrente, que não rende juros nem paga taxas. Desse valor, ele retira em um dia

20%. Do valor resultante, ele retira 30%. O valor restante, como percentual do valor

original X, é

(A) 45 %.

(B) 46 %.




(C) 50 %.

(D) 54 %.

(E) 56 %.

18. FGV – MEC – 2008) Em uma sala há homens, mulheres e crianças. Se todos

os homens fossem retirados da sala, as mulheres passariam a representar 80% dos

restantes. Se, ao contrário, fossem retiradas todas as mulheres, os homens

passariam a representar 75% dos presentes na sala. Com relação ao número total

de pessoas na sala, as crianças correspondem a:

(A) 12,5%

(B) 17,5%

(C) 20%

(D) 22,5%

(E) 25%

19. VUNESP – CASA/SP – 2010) No preparo de 600 gramas de pó para capuccino

utiliza-se, entre outras coisas, chocolate em pó e café solúvel, sendo que este último

representa 20% do total da mistura. Se forem retirados 30 g de chocolate em pó e

acrescentados 30 g de café solúvel, a porcentagem de café, no total da nova

mistura, será de

(A) 35%.

(B) 32%.

(C) 30%.

(D) 28%.

(E) 25%.

20. VUNESP – CASA/SP – 2010) O número de livros infantis vendidos por uma

livraria durante um final de semana está registrado do seguinte modo:




Acidentalmente, o número de livros vendidos no sábado não ficou registrado, mas

sabe-se que, na média, foram vendidos 18 livros por dia. O número de livros

vendidos no sábado superou o número de livros vendidos na quinta-feira em

(A) 220%.

(B) 250%.

(C) 280%.

(D) 300%.

(E) 330%.

21. VUNESP – CASA/SP – 2010) Dois reservatórios de água, A e B, ambos com a

mesma capacidade, não estão completamente cheios. O reservatório A está com

60% de sua capacidade preenchida e o B contém apenas 6000 litros de água. Se

toda a água do reservatório B fosse colocada no reservatório A, este ficaria com

80% de sua capacidade total preenchida. Então, com os dois reservatórios

completamente cheios, o número de casas que poderiam ser abastecidas com

1,5m3 cada uma seria

(A) 40.

(B) 45.

(C) 50.

(D) 55.

(E) 60.

22. VUNESP – CASA/SP – 2010) Considere os gráficos publicados pelo jornal

Folha de S.Paulo, em julho de 2010.




De acordo com as informações desses gráficos, pode-se concluir que a razão entre

o n.º de matriculados e o n.º de cursos oferecidos em 2008 pelas escolas da rede

privada, em relação à mesma razão para as escolas da rede pública, é

aproximadamente

(A) 27% maior.

(B) 23% menor.

(C) 15% maior.

(D) 12% maior.

(E) 10% menor.




23. VUNESP – CASA/SP – 2010) A frente de um terreno retangular mede 60% do

valor do comprimento dele. Sabendo-se que sua área é 375 m2, a medida, em

metros, do seu perímetro é

(A) 90.

(B) 80.

(C) 70.

(D) 60.

(E) 50.

24. VUNESP – SAP/SP – 2012) Em uma quadra há 40 crianças. Dessas crianças,

metade gosta de futebol, um quarto, de vôlei e 10%, de basquete. As demais

gostam de queimada. O número de crianças que gostam de queimada é

(A) 6.

(B) 7.

(C) 8.

(D) 9.

(E) 10.

25. VUNESP – SAP/SP – 2009) A tabela mostra a lotação máxima e o respectivo

percentual de ocupação de três novos presídios construídos no interior:

Sabendo-se que os três presídios juntos abrigam um total de 800 detentos, pode-se

afirmar que a porcentagem de ocupação do presídio C é

(A) 85%.

(B) 80%.

(C) 75%.

(D) 70%.

(E) 65%.

26. VUNESP – SAP/SP – 2009) Um eletricista usou 60% de um rolo de fio de cobre

para fazer uma determinada ligação. Em seguida, usou 25% da quantidade de fio




que restou no rolo para fazer 10 ligações iguais, utilizando 80 cm de fio em cada

uma. Esse rolo tinha, inicialmente, uma quantidade de fio igual a

(A) 94 m.

(B) 80 m.

(C) 66 m.

(D) 40 m.

(E) 32 m.

27. VUNESP – TJ/SP – 2006) Certo plano de saúde emite boletos para pagamento

bancário com as seguintes condições:

Pagamento até o vencimento: x

Pagamento após a data de vencimento:

x + juros + multa

Um conveniado desse plano de saúde pagaria R$ 1.198,00 se tivesse feito o

pagamento até o vencimento. Porém, houve alguns dias de atraso, o que acarretou

uma multa de 10% e juros de R$ 0,60 por dia de atraso. Como ele pagou um

acréscimo de R$ 124,00, o total de dias em atraso foi igual a

(A) 3.

(B) 4.

(C) 5.

(D) 6.

(E) 7.

28. VUNESP – TJ/SP – 2006) O gráfico I mostra como seria, inicialmente, a

distribuição porcentual da verba publicitária total de uma empresa para 2007, sendo

que, somente para a TV aberta, estavam destinados 9 milhões de reais.

Posteriormente, a diretoria reformulou conceitos e estratégias e estabeleceu uma

nova distribuição porcentual da verba total conforme mostra o gráfico II, sendo que

não houve alteração no valor total da verba publicitária inicialmente prevista. Com a

nova distribuição, a soma dos valores destinados à publicidade na Internet e na Tv a

cabo superou a soma dos valores inicialmente previstos para esse fim em




(A) R$ 1,56 milhão.

(B) R$ 1,78 milhão.

(C) R$ 1,95 milhão.

(D) R$ 2,12 milhões.

(E) R$ 2,25 milhões.

29. VUNESP – TJ/SP – 2008) Do preço de venda de um determinado produto, 25%

correspondem a impostos e comissões pagos pelo lojista. Do restante, 60%

correspondem ao preço de custo desse produto. Se o preço de custo desse produto

é de R$ 405,00, então, o seu preço de venda é igual a

(A) R$ 540,00.

(B) R$ 675,00.

(C) R$ 800,00.

(D) R$ 900,00.

(E) R$ 1.620,00.

30. VUNESP – TJ/SP – 2011) Uma pessoa pagou 30% do valor total de uma dívida

e o restante dela irá pagar em 30 dias, sem acréscimo. Se R$ 3.500,00

correspondem a 20% do valor restante a ser pago, então é correto afirmar que, ao

pagar 30% do valor da dívida, a pessoa desembolsou

(A) R$ 5.200,00.

(B) R$ 6.800,00.

(C) R$ 7.500,00.

(D) R$ 7.850,00.




(E) R$ 8.200,00.

31. VUNESP – TJ/SP – 2011) No 2º semestre, a receita líquida (RL) de certa

empresa subiu 45% em relação à do semestre anterior, totalizando 725 milhões,

enquanto o lucro líquido (LL) teve uma queda de 15%, em relação ao do semestre

anterior, totalizando 85 milhões. Desse modo, é correto afirmar que, no semestre

anterior, a razão LL/RL foi igual a

a) 1/6

b) 1/5

c) 1/4

d) 3/8

e) 2/5

32. VUNESP – TJ/MT – 2008) Uma concessionária de automóveis de certa marca

queria vender um carro zero quilômetro que acabara de ficar fora de linha pelo qual

ninguém estava muito interessado. Primeiro, tentou vendê-lo com um desconto de

5%, mas ninguém o comprou. Em seguida, experimentou vendê-lo com um

desconto de 10% sobre o preço do primeiro saldo. Como continuou encalhado,

finalmente fez um desconto de 20% sobre o segundo preço de saldo. Agora,

apareceu uma pessoa que o comprou por vinte mil e quinhentos e vinte reais.

Então, o preço inicial do carro era de

(A) R$ 25 500,00.

(B) R$ 27 000,00.

(C) R$ 28 500,00.

(D) R$ 29 000,00.

(E) R$ 30 000,00.

33. VUNESP – CASA/SP – 2010) O número de meses que se deve aplicar um

capital a juro simples, com taxa de 1,5% ao mês, para se obter um rendimento igual

a 6% do capital aplicado inicialmente é

(A) 8.

(B) 7.

(C) 6.

(D) 5.




(E) 4.

34. VUNESP – SAP/SP – 2012) Elias pediu emprestado R$ 2.600,00 a juro simples

com uma taxa de 2,5% ao mês. Se o montante da dívida ficou em R$ 3.250,00, o

tempo, em meses, que ele demorou para quitar sua dívida foi

(A) 7.

(B) 8.

(C) 9.

(D) 10.

(E) 11.

35. VUNESP – SAP/SP – 2012) Para comprar uma camisa que custa R$ 80,00,

Arthur deu um cheque pré-datado para trinta dias de R$ 92,40. A taxa de juros

cobrada no período considerado é de

(A) 17,2%.

(B) 15,5%.

(C) 13,4%.

(D) 10%.

(E) 8,2%.

36. VUNESP – SAP/SP – 2009) Um investidor aplicou R$ 25.000,00 no sistema de

juro simples durante 8 meses e recebeu, ao final da aplicação, um montante de

R$27.500,00. A taxa anual de juro simples dessa aplicação foi igual a

(A) 22%.

(B) 20%.

(C) 18%.

(D) 16%.

(E) 15%.

37. VUNESP – TJ/SP – 2006) Da quantia total recebida pela venda de um terreno,

João emprestou 20% para um amigo por um prazo de 8 meses, a uma taxa de juro

simples de 18% ao ano, e aplicou o restante, também por 8 meses, a uma taxa de

juro simples de 27% ao ano. No final, o total recebido de juros, considerando-se




empréstimo e aplicação, foi igual a R$ 3.360,00. Pela venda do terreno, João

recebeu um total de

(A) R$ 32.000,00.

(B) R$ 30.000,00.

(C) R$ 28.000,00.

(D) R$ 25.000,00.

(E) R$ 20.000,00.

38. VUNESP – TJ/SP – 2008) Um investidor aplicou uma certa quantia durante 8

meses, a uma determinada taxa de juro simples, e recebeu um montante de

R$11.400,00. Aplicou de imediato o montante recebido por mais 4 meses, com a

mesma taxa de juro simples da aplicação anterior, e ao final recebeu mais R$798,00

de juros. A quantia inicialmente aplicada, por esse investidor, foi

(A) R$ 8.500,00.

(B) R$ 9.000,00.

(C) R$ 9.600,00.

(D) R$ 9.800,00.

(E) R$ 10.000,00.

39. VUNESP – TJ/MT – 2008) Um capital de R$ 40.000,00 foi aplicado por meio ano

com juros de 8% semestrais, capitalizados trimestralmente. Se esse mesmo capital

fosse aplicado a juro simples com a mesma taxa e pelo mesmo período, teria

rendido

(A) R$ 128,00 a mais.

(B) R$ 96,00 a menos.

(C) R$ 64,00 a menos.

(D) R$ 45,00 a menos.

(E) R$ 32,00 a mais.

40. ESAF – SEFAZ-SP – 2009 – Adaptada) Um capital unitário aplicado a juros

gerou um montante de 1,1 ao fim de 2 meses e 15 dias. Qual a taxa de juros

simples mensal de aplicação deste capital?

a) 4%

b) 10%




c) 60%

d) 54%

e) 48%

41. FCC – TCE/PR – 2011) Um capital no valor de R$ 18.000,00 é aplicado durante

8 meses a juros simples, com uma taxa de 18% ao ano. No final do período, o

montante é resgatado e aplicado a juros compostos, durante um ano, a uma taxa de

5% ao semestre. A soma dos juros das duas aplicações é igual a

(A) R$ 4.012,30.

(B) R$ 4.026,40.

(C) R$ 4.176,00.

(D) R$ 4.226,40.

(E) R$ 5.417,10.

42. FCC - ISS/SP - 2012) Em uma loja, um computador, cujo preço é R$2.200,00,

pode ser vendido nas seguintes condições:

- à vista, com abatimento de 10% no preço ou

- em duas parcelas, sendo a primeira delas dada como entrada, correspondendo a

25% do preço. A segunda, que corresponde ao restante financiado a juros

compostos à taxa de 4% ao mês, deve ser paga ao completar 2 meses da data da

compra.

Se R e S são, respectivamente, os totais pagos no primeiro e no segundo casos, é

verdade que:

a) S = R + R$354,64

b) S + R = R$4.312,00

c) R = S - R$179,52

d) S - R = R$ 99,52

e) S = 2R

43. CEPERJ – OFICIAL SEFAZ/RJ – 2011) Comparando o regime de juros simples

(JS) com o regime de juros compostos (JC), tem-se que:

a) Para o primeiro período, o valor final no regime de JC é o dobro do regime de JS

b) No regime de JS, o capital cresce a uma taxa linear




c) Os juros ganhos a cada período no regime de JC são constantes ao longo do

período

d) Os juros ganhos a cada período no regime de JS são decrescentes ao longo do

período

e) No regime de JC, o valor final é sempre o dobro do valor final no regime de JS.

44. CEPERJ – Oficial SEFAZ/RJ – 2011) Foram oferecidas a um investidor as

seguintes opções: investir seu capital no ativo A e obter um rendimento de 10% ao

mês durante três meses, ou investir o mesmo capital no ativo B e obter um

rendimento de 33,1% ao trimestre durante o mesmo período. Considerando que os

ativos possuem o mesmo risco e o regime de juros compostos, pode-se afirmar que:

f) A taxa de juros efetiva é maior do que a taxa de juros nominal na opção A

g) O investidor não possui informações para escolher qual o melhor

investimento

h) Na opção B, o valor final do investimento é o dobro da opção A

i) As taxas de juros são equivalentes

j) Na opção B, o valor final do investimento é o triplo da opção A

45. CESGRANRIO – ANP – 2008) A Empresa Mar Aberto Ltda. realizou uma

aplicação de R$ 10.000,00 pelo prazo de 3 meses, obtendo uma taxa de juros

compostos de 2% ao mês. O valor que a empresa vai resgatar no vencimento da

aplicação, em reais, será

(A) 10.612,08

(B) 10.620,00

(C) 10.822,34

(D) 10.888,34

(E) 10.913,56

46. CESGRANRIO – TRANSPETRO – 2011) A taxa anual equivalente à taxa

composta trimestral de 5% é

(A) 19,58%

(B) 19,65%

(C) 19,95%

(D) 20,00%




(E) 21,55%

47. FCC – DNOCS – 2010) Uma pessoa fez um empréstimo em um banco no valor

de R$ 25.000,00, tendo que pagar todo o empréstimo após 18 meses a uma taxa de

juros de 24% ao ano, com capitalização mensal. O valor dos juros a serem pagos no

vencimento pode ser obtido multiplicando R$ 25.000,00 por: 18) [(1,02) 1]a −

18) [18 1,36 1]b −

12) [18 1,24 1]c −

) [3 1,24 1]d −

3) [6 1,24 1]e −

48. ESAF – AFRFB – 2009) No sistema de juros compostos um capital PV aplicado

durante um ano à taxa de 10 % ao ano com capitalização semestral resulta no valor

final FV. Por outro lado, o mesmo capital PV, aplicado durante um trimestre à taxa

de it% ao trimestre resultará no mesmo valor final FV, se a taxa de aplicação

trimestral for igual a:

a) 26,25 %

b) 40 %

c) 13,12 %

d) 10,25 %

e) 20 %

49. CEPERJ – SEEDUC – 2009) Simplificando 20 19

18

2 22+

, encontra-se:

f) 2

g) 4

h) 6

i) 8

j) 212

50. CEPERJ – RIO PREVIDÊNCIA – 2010) A soma dos algarimos de 1010 3− é:




f) 88

g) 89

h) 91

i) 95

j) 97

51. CEPERJ – FAETEC – 2010) Considere a igualdade 12 9 88 9 12 2 3x y× × = × . O

valor de x + y é:

f) 64

g) 66

h) 70

i) 74

j) 78

52. FUMARC – CEMIG – 2010) A potência mais próxima de ( )245 é:

a) 105

b) 104

c) 103

d) 102

53. CEPERJ – PREF. SÃO GONÇALO – 2011) Seja t a solução de 5 3 0x − = . O

valor de 10 11 19( 1) ( ... )t t t t− × + + + é:

f) 27

g) 32

h) 72

i) 81

j) 96

54. CEPERJ – SEE/RJ – 2010) Na igualdade 7 5

7 5a b

+ = +−

, o valor de 2a b− é:

f) 1

g) 2

h) 3




i) 5

j) 7

55. FCC – TRT/4ª – 2011) Dos números que aparecem nas alternativas, o que mais

se aproxima do valor da expressão 2 2(0,619 0,599 ) 0,75− × é:

a) 0,0018

b) 0,015

c) 0,018

d) 0,15

e) 0,18

56. FCC – TRT/24ª – 2011) Indagado sobre o número de processos que havia

arquivado certo dia, um Técnico Judiciário, que gostava muito de Matemática,

respondeu:

− O número de processos que arquivei é igual a 12,252 − 10,252.

Chamando X o total de processos que ele arquivou, então é correto afirmar que:

(A) X < 20.

(B) 20 < X < 30.

(C) 30 < X < 38.

(D) 38 < X < 42.

(E) X > 42.

57. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Observe a expressão apresentada abaixo:

A = 1,02134 + 0,97874 + 2 x 1,0213 x 0,9787 x (2 x 1,02132 + 3 x 1,0213 x 0,9787 + 2 x 0.97872)

O valor de A é:

A) 8,0000

B) 9,2324

C) 10,9132

D) 12,8912

E) 16,0000

58. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) A operação 6 equivale a:

A) 21/6




B) 61/2

C) 61/6

D) 26

E) 62

59. CEPERJ – SEPLAG/RJ – 2013) Dentre os números abaixo, o que apresenta

menor valor é:

A) 2

B) 10/3

C) 1,71

D) 3/2

E) 31/2

60. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Um time de basquete venceu 40 jogos dos

50 de que participou até o momento, restando ainda 40 jogos para disputar. O

número de jogos que esse time ainda deve vencer, para que seu total de vitórias no

torneio seja de 70%, é

(A) 23.

(B) 24.

(C) 25.

(D) 26.

(E) 27.

61. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Para iluminar uma sala Caio utiliza

exatamente 3 velas, cada vela de uma marca diferente e que são consumidas

totalmente em 24 minutos, 36 minutos e 42 minutos, respectivamente. Apenas uma

vela de cada marca fica acesa por vez e cada vez que uma vela se apaga,

imediatamente Caio acende outra da mesma marca, repetindo esse processo até

que as 3 velas se apaguem ao mesmo tempo. Após acender simultaneamente as 3

primeiras velas, o tempo total que a sala ficará iluminada será de

(A) 8h 48min.

(B) 8h 40min.

(C) 8h 36min.




(D) 8h 30min.

(E) 8h 24min.

62. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) Aplicando R$ 1,00 no sistema de juros

simples a uma taxa de 0,5% ao mês, para que o montante atinja o valor de R$ 10,00

serão necessários(as)

(A) 3 000 dias.

(B) 18 semanas.

(C) 20 meses.

(D) 150 anos.

(E) 9 décadas.

63. VUNESP – Pref. Diadema – 2011) O produto de dois números pares, positivos

e consecutivos, vale 1 224. O máximo divisor comum desses números vale

(A) 10.

(B) 8.

(C) 6.

(D) 4.

(E) 2.

64. VUNESP – TJM/SP – 2011) Uma imobiliária cobra uma comissão de 6% se a

negociação é inferior a R$200.000,00 e 4% se a negociação é superior a esse valor.

Em um mês foram negociados três imóveis. O 1º, no valor de R$150.000,00, o 2º,

no valor de R$450.000,00 e o 3º, no valor de R$180.000,00. Nesse período, a

comissão da imobiliária na venda desses três imóveis foi igual a:

a) R$37.800,00

b) R$33.500,00

c) R$28.700,00

d) R$19.800,00

e) R$18.000,00

65. VUNESP – TJM/SP – 2011) Pesquisa feita em uma cidade do interior revelou

que 6,3% das 2000 pessoas entrevistadas não gostam de jantar em restaurantes.




Nessa pesquisa, o número de pessoas que afirmaram não gostar de jantar em

restaurantes foi igual a:

a) 63

b) 96

c) 106

d) 126

e) 252

66. VUNESP – TJ/SP – 2012) Do valor total recebido pela venda de um terreno,

Ricardo separou 20% para custear uma pequena reforma em sua casa e reservou o

restante para a compra de um carro novo. Sabe-se que 60% do valor separado para

a reforma foi usado na compra de material de construção, e o restante, no

pagamento da mão de obra. Sabendo-se que Ricardo gastou R$ 6.000,00 com a

mão de obra empregada na reforma, pode-se afirmar que, para a compra do carro

novo, Ricardo reservou

(A) R$ 50.000,00.

(B) R$ 65.000,00.

(C) R$ 60.000,00.

(D) R$ 75.000,00.

(E) R$ 70.000,00.

67. VUNESP – TJ/SP – 2012) Certo capital foi aplicado a juros simples, à taxa de

1,5% ao mês. Para que seja possível resgatar um montante igual a 7/4 do capital

inicial, o tempo mínimo que esse capital deverá permanecer aplicado é:

(A) 3 anos e 4 meses.

(B) 3 anos e 9 meses.

(C) 4 anos e 2 meses.

(D) 2 anos e 8 meses.

(E) 2 anos e 10 meses.

68. VUNESP – SEFAZ/SP – 2013) Uma dívida de R$ 20.000,00 foi quitada por

R$21.000,00, cinco meses após ser contratada. A taxa mensal de juros simples da

operação foi de

(A) 0,5%.




(B) 10%.

(C) 1%.

(D) 5%.

(E) 0,1%.

69. VUNESP – SEFAZ/SP – 2013) Uma pessoa adquiriu um bem e pagou o seu

valor total em duas parcelas do seguinte modo: uma primeira parcela de 30% do

valor total foi paga à vista; uma segunda parcela no valor de R$ 856,80 foi paga 1

mês após a data da compra. Se a taxa de juros, já incluída no valor da segunda

parcela,

foi de 2% ao mês, então o valor da primeira parcela foi de

(A) R$ 360,00.

(B) R$ 400,00.

(C) R$ 257,04.

(D) R$ 428,40.

(E) R$ 367,20

70. VUNESP – TJ/SP – 2013) Uma empresa comprou um determinado número de

folhas de papel sulfite, embaladas em pacotes de mesma quantidade para facilitar a

sua distribuição entre os diversos setores. Todo o material deverá ser entregue pelo

fornecedor acondicionado em caixas, sem que haja sobras. Se o fornecedor colocar

25 pacotes por caixa, usará 16 caixas a mais do que se colocar 30 pacotes por

caixa. O número total de pacotes comprados, nessa encomenda, foi

(A) 2200.

(B) 2000.

(C) 1800.

(D) 2400.

(E) 2500.

71. VUNESP – TJ/SP – 2013) Acessando o site de determinada loja, Lucas

constatou que, na compra pela internet, com prazo de entrega de 7 dias úteis, o

notebook pretendido custava R$ 110,00 a menos do que na loja física que, por outro

lado, oferecia a entrega imediata do aparelho. Como ele tinha urgência, foi até a loja

física e negociou com o gerente, obtendo um desconto de 5% e, dessa forma,




comprou o aparelho, pagando o mesmo preço que pagaria pela internet. Desse

modo, é correto afirmar que o preço que Lucas pagou pelo notebook, na loja física,

foi de

(A) R$ 2.110,00.

(B) R$ 2.200,00.

(C) R$ 2.000,00.

(D) R$ 2.310,00.

(E) R$ 2.090,00.

72. CESPE – CORREIOS – 2011) O Programa Nacional do Livro Didático e o

Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio são realizados pela ECT

em parceria com o Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação. A operação

consiste na entrega, todos os anos, de 100 milhões de livros didáticos a escolas

públicas de ensino fundamental e médio de todo o Brasil, volume equivalente à

metade de toda a produção gráfica do Brasil. Para a distribuição desses livros são

realizadas viagens de carretas das editoras para os centros de tratamento da

empresa instalados em pontos estratégicos do país. Nessas unidades, as

encomendas são tratadas e, depois, entregues nas escolas.

Internet: (com adaptações).

Considere que 3 carretas façam, repetidamente, viagem de ida e volta entre

determinada editora e um centro de tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias,

respectivamente, e, ao completar um percurso de ida e volta, elas retomem

imediatamente esse percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem

simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa

editora após

a) 45 dias.

b) 60 dias.

c) 10 dias.

d) 15 dias.

e) 30 dias.








Se 540 catálogos do tipo A e 340 do tipo B forem separados em lotes, de modo que

cada lote contenha catálogos dos dois tipos e a mesma quantidade de catálogos de

cada tipo, então a quantidade máxima de lotes em que poderão ser separados

esses catálogos será igual a

a) 20.

b) 34.

c) 54.

d) 10.

e) 17.





Com base nas informações do texto, é correto afirmar que, se todos os pacotes

tiverem o mesmo peso e se esse peso for inferior a 10 kg, então cada pacote pesará

a) 8,3 kg.

b) 8,4 kg.

c) 8 kg.

d) 8,1 kg.

e) 8,2 kg.




4. GABARITO

01 E 02 C 03 D 04 B 05 A 06 D 07 E

08 A 09 B 10 C 11 A 12 E 13 E 14 D

15 C 16 C 17 E 18 A 19 E 20 A 21 A

22 B 23 B 24 A 25 E 26 B 27 E 28 C

29 D 30 C 31 B 32 B 33 E 34 D 35 B

36 E 37 E 38 E 39 C 40 A 41 D 42 A

43 B 44 D 45 A 46 E 47 A 48 D 49 C

50 A 51 E 52 A 53 C 54 A 55 C 56 E

57 E 58 B 59 A 60 A 61 E 62 D 63 E

64 A 65 D 66 C 67 C 68 C 69 A 70 D

71 E 72 B 73 A 74 B

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