2011_00149_BRASILIO_ALVES_FREITAS.pdf

Universidade Federal de Juiz de ForaPROFMAT - Mestrado Profissional em Matemtica em Rede

Nacional

Brasilio Alves Freitas

Introduo Geometria Euclidiana Axiomticacom o Geogebra

Juiz de Fora

2013



Dissertao apresentada ao Programa dePs-graduao PROFMAT (Mestrado Pro-fissional em Matemtica em Rede Nacional),na Universidade Federal de Juiz de Fora,como requisito parcial para obteno do graude Mestre em Matemtica, na rea de Geo-metria.

Orientador: Prof. Dr. Olmpio HiroshiMiyagaki

Juiz de Fora

2013

Freitas, Brasilio Alves.

Introduo Geometria Euclidiana Axiomtica com o Geogebra.

Brasilio Alves Freitas. - 2013.

61f. : il.

Dissertao (Mestrado Profissional em Matemtica em Rede Nacional)

Universidade Federal de Juiz de Fora, Juiz de Fora, 2013.

1. Axiomas. 2. Geometria Euclidiana. 3. Geogebra.

I. Ttulo.



Dissertao aprovada pela Comisso Exami-nadora abaixo, como requisito parcial paraa obteno do ttulo de Mestre em Matem-tica, pelo Mestrado Profissional em Matem-tica em Rede Nacional na Universidade Fe-deral de Juiz de Fora.

Prof. Dr. Olmpio Hiroshi Miyagaki(Orientador)PROFMAT

Instituto de Cincias Exatas - UFJF

Prof. Dr. Rogrio CasagrandePROFMAT

UFJF

Prof. Dr. Mercio Botelho FariaUFV

Juiz de Fora, 25 de maro de 2013.

AGRADECIMENTOS

Agradeo a Deus pela beleza e perfeio na criao de tudo e de todos.

A Moreira e Lourdes, meus pais, pelo empenho em criar todos os filhos, com exemplo

de retido, respeito e moral.

A Geraldo, in memorian, e Mariinha, meus sogros, pela receptividade, confiana e

amizade.

A Corlia, meu amor, Ana Lusa e Pedro, frutos desse amor, pela compreenso das

constantes ausncias, apoio e incentivo a mim dispensados.

Aos professores do Departamento de Matemtica da UFJF, pelo acolhimento, paci-

ncia e dedicao durante esses dois anos, em especial, a um certo senhor Olmpio, que

sempre sorridente me mostrou que a simplicidade sempre o melhor caminho.

CAPES, pelo apoio financeiro (concedendo bolsa de estudo).

Aos trs valentes, que comigo pelejaram nessa 040, durante esse perodo.

RESUMO

Por conhecer a grande dificuldade dos alunos de Ensino Mdio, da rede pblica Es-

tadual de Minas Gerais, em relao aos conceitos, demostraes e dedues bsicas da

Geometria Euclidiana plana, foi elaborado um pequeno roteiro de estudo dos axiomas que

regem esses contedos e tambm uma introduo s construes geomtricas bsicas, uti-

lizando os instrumentos euclidianos e o software gratuito GeoGebra. O desenvolvimento

do trabalho trouxe como objetivo dotar os alunos do Ensino Fundamental, cursando oi-

tavo ano (antiga stima srie), de uma compreenso gradual e intuitiva da geometria

euclidiana plana, buscando, de forma fundamentada fixar os aspectos conceituais bsicos

que so extremamente necessrios para estudos mais aprofundados em cursos posteriores.

As atividades propostas no captulo 4 foram criadas com o intuito de que o aluno, percor-

rendo os conceitos mostrados no captulo 2, tenha oportunidade de abstrair-se literalmente

e ou com recursos algbricos em um processo de demonstrao das propriedades de diver-

sas figuras geomtricas.

Palavras-Chave: Axiomas; Geometria Euclidiana; Geogebra.

ABSTRACT

Knowing the great hardship high school students of Minas Gerais public school sys-

tem have concerning the basic concepts, demonstrations and deductions of the Euclidean

Geometry, a small study guide of the axioms that rule these contents was made, and

also an introduction to the basic geometry constructions using the Euclidean instruments

and the free software GeoGebra. The works development brought as a goal to endow

the middle school students, attending the eight year (the old seventh grade), a gradual

and intuitive understanding of the Euclidian Geometry, trying to fix the basic conceptual

aspects that are deeply necessary for further studies. The proposed activities on chapter

four intend to give the student, going trough the concepts shown on chapter two, the

opportunity to abstract on a descriptive way and/or use algebraic resources in a process

of demonstration of many geometrical forms.

Key-words:Axioms; Euclidean Geometry; Geogebra.

LISTA DE FIGURAS

1 Retas que passam pelo ponto A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Reta que passa pelos pontos A e B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3 Pontos na reta e pontos fora da reta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4 Semirreta AB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

5 Semirreta AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

6 Segmento AB e ponto mdio C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

7 Circunferncia de centro O e raio r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

8 Regies determinadas pelas semirretas AB e AC . . . . . . . . . . . . . 23

9 Regio convexa formada entre as semirretas AB e AC . . . . . . . . . . 23

10 Regio no-convexa formada entre as semirretas AB e AC . . . . . . . 24

11 Transferidor - Fonte: www.portaldoprofessor.mec.gov.br - acessado em

25/02/2013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

12 ngulos consecutivos e adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

13 Retas concorrentes mostrando ngulos opostos pelo vrtice . . . . . . . 25

14 Bissetriz de um ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

15 ngulo raso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

16 ngulo nulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

17 ngulos suplementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

18 ngulos retos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

19 ngulo agudo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

20 ngulo obtuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

21 Par de paralelas cortadas por uma transversal . . . . . . . . . . . . . . 29

22 Segmentos consecutivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

23 Poligonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

24 Polgono ABCDE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

25 Construo da mediatriz e do ponto mdio do segmento AB . . . . . . 35

26 Construo de uma reta paralela outra reta . . . . . . . . . . . . . . 36

27 Construo de uma reta perpendicular outra reta . . . . . . . . . . . 37

28 Construo de um tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

29 Construo de um paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

30 Construo da bissetriz de um ngulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

31 Interface do GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

32 Ferramenta ponto mdio no GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

33 Ferramenta bissetriz no GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

34 Ferramenta polgono no GeoGebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

35 ngulos opostos pelo vrtice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

36 Tringulo issceles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

37 Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

38 Paralelogramo com as bissetrizes dos ngulos A e B . . . . . . . . . . . 47

39 Trapzio ABCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

40 Atividade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

41 Atividade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

42 Atividade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

43 Atividade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

44 Atividade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

45 Atividade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

46 Atividade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

47 Atividade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

SUMRIO

INTRODUO 10

1 PRELIMINARES 13

1.1 CONTEXTUALIZAO HISTRICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2 O QUINTO POSTULADO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 A GEOMETRIA AXIOMTICA EUCLIDIANA PLANA 19

2.1 AXIOMAS DE INCIDNCIA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2 AXIOMA DE ORDEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3 NGULO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Tipos de ngulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.2 ngulos Formados por Retas Paralelas e Uma Concorrente . . . 29

2.4 POLGONOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2.4.1 Tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.4.2 Quadrilteros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3 CONSTRUES GEOMTRICAS 34

3.1 COM RGUA E COMPASSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.1.1 Construo do Ponto Mdio de Um Segmento . . . . . . . . . . 35

3.1.2 Construo de Uma Reta Paralela a Outra Reta . . . . . . . . . 36

3.1.3 Construo de Uma Reta Perpendicular a Outra Reta . . . . . . 36

3.1.4 Construo de Um Tringulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1.5 Construo de Um Paralelogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.1.6 Construo da Bissetriz de Um ngulo . . . . . . . . . . . . . . 39

3.2 COM O GEOGEBRA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.2.1 Construo do Ponto Mdio de Um Segmento . . . . . . . . . . 41

3.2.2 Construo da Bissetriz de Um ngulo . . . . . . . . . . . . . . 42

3.2.3 Construo de Um Polgono . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4 ATIVIDADES 44

5 COMENTRIOS DAS ATIVIDADES 50

CONCLUSO 59

REFERNCIAS 61

10

INTRODUO

Diferentes autores tm afirmado que o ensino da geometria euclidiana continua rele-

gado ao segundo plano, sobretudo na escola pblica pois, os principais componentes do

processo educativo (alunos, professores, autores de livros didticos e pesquisadores) tm

oscilado entre diversos modismos, desde o formalismo e suas demonstraes apoiadas pelo

raciocnio lgico-dedutivo, passando pela algebrizao, at chegar ao empirismo de poucos

resultados.

Segundo [9], a Geometria no Ensino Fundamental no deve ser vista com uma lista

completa de axiomas e conceitos. Deve, sim, ser capaz de convencer o aluno, por meios

de argumentos precisos e claros, os quais podero eventualmente valer-se de fatos acei-

tveis que pertenam experincia intuitiva e que possam ser provados em cursos mais

avanados. A geometria est presente na natureza, nos objetos que usamos, nas brin-

cadeiras infantis, nas construes, nas artes. nossa volta podemos observar as mais

diferentes formas geomtricas. Muitas dessas formas fazem parte da natureza, outras j

so resultados das aes do homem.

Segundo [6], a geometria ativa as estruturas mentais, possibilitando a passagem do

estgio das operaes concretas para o das operaes abstratas. O ensino de geometria, ao

enfocar os aspectos topolgico, projetivo e euclidiano, possibilita ao estudante conhecer e

explorar o espao onde vive, fazer descobertas, identificar as formas geomtricas, alm de

contribuir para o desenvolvimento do pensamento crtico e autnomo.

A mesma autora, em [7], afirma tambm que a geometria pode ser considerada a parte

da Matemtica mais intuitiva, concreta e ligada realidade (1999, p. 20).

No entanto, a escola, durante muito tempo, no procurou estimular de maneira sufici-

ente nos alunos essa percepo da geometria, no mundo em que vivemos. Ao analisar a

geometria, nas diversas modalidades de ensino, podemos observar que alguns alunos do

ensino fundamental e mdio, apresentam grandes dificuldades nesta rea do conhecimento

matemtico.

No Brasil, alguns argumentos podem ser usados para tentar justificar essas dificul-

11

dades, pois pesquisas realizadas por vrios autores, entre eles: [13] e [12] constataram

um abandono do ensino da geometria nas aulas de matemtica. Provavelmente, um dos

motivos que levaram a esta ausncia foi a falta de preparo do professor, em geometria,

detectada aps o movimento da Matemtica Moderna no Brasil, na qual a lgebra era

mais enfatizada.

Nas ltimas dcadas, uma necessidade de modificaes no ensino da geometria cresceu

ao redor do mundo, devido s dificuldades encontradas e ao baixo desempenho mostrado

por alunos secundrios em geometria. Preocupados, professores pesquisadores tm desen-

volvido maneiras que faam o aluno se interessar e envolver-se no estudo da geometria.

Segundo os Parmetros Curriculares Nacionais - (BRASIL, 1997, p. 55): "Os con-

ceitos geomtricos constituem parte importante do currculo de matemtica, no ensino

fundamental, pois, atravs deles, o aluno desenvolve um tipo especial de pensamento que

lhe permite compreender, descrever e representar, de forma organizada, o mundo em que

vive".

Desta forma, ensinar contedos de geometria a partir das sries iniciais, tem como

principal objetivo resolver problemas do cotidiano. Sendo, posteriormente, um suporte

para compreenso das definies e demonstraes mais aprofundadas, em cursos mais

adiantados.

Em seu prefcio, em [10], traz a seguinte afirmao de George Polya: "a primeira

regra do ensino saber o que se deve ensinar e a segunda saber um pouco mais do que

aquilo que se deve ensinar".

Essa fala de Polya sintetiza o atual estgio em que se encontra o ensino de geometria

no Brasil, constatada por [13]: ..."a maioria dos professores de matemtica no domina

o assunto, o que acaba por fazer com que muitos deles deixem de ensinar geometria sob

qualquer enfoque." E destacada por [12]: ... "ningum pode ensinar bem aquilo que no

conhece."

O ensino da geometria costuma ser muito desprivilegiado na educao bsica, sendo

muitas vezes o ltimo contedo a ser abordado no ano letivo, isso quando h tempo para

esta abordagem. Soma-se a essa mazela o fato de que os autores dos livros didticos utili-

zam uma sequncia no muito correta na distribuio dos contedos, sem a preocupao

em formalizar e aprofundar os conhecimentos bsicos, necessrios ao pleno desenvolvi-

mento dos alunos, para posterior entendimento das demonstraes deles decorrentes em

questes mais avanadas. Alm disso, muitos professores no tm segurana ao ensinar

12

geometria, com seus axiomas e teoremas, muito menos sabem da existncia de outras

geometrias.

Um fator que poderia amenizar essa falha, durante as sries do Ensino Fundamental

seria a introduo de construes geomtricas simples. O professor poderia utilizar apenas

os instrumentos de desenhos ditos euclidianos (rgua, compasso e transferidor) e, nas

escolas que possuem laboratrio de informtica, as construes poderiam ter o auxlio dos

softwares de geometria dinmica. Dentre vrios existentes pode-se utilizar o GeoGebra

por se tratar de software gratuito, na internet e de fcil aprendizado.

Trabalhando com alunos do Ensino Mdio, na rede pblica estadual, em Minas Gerais,

tenho percebido um acentuado despreparo dos mesmos em relao aos contedos geom-

tricos bsicos. Essa falha que pode ser considerada gritante resultado de um ensino

deficitrio, acumulado ao longo das sries do Ensino Fundamental.

Face a essa constatao, o presente trabalho tem como objetivo a construo de um

pequeno modelo de estudos, a ser aplicado no oitavo ano do ensino fundamental, con-

tendo, inicialmente de forma intuitiva, uma descrio dos principais axiomas da geome-

tria euclidiana plana e uma introduo s construes de figuras geomtricas usando os

instrumentos euclidianos e o GeoGebra. Para finalizar so propostas atividades que visam

a aplicao dos referidos axiomas na obteno de resultados deles decorrentes.

13

1 PRELIMINARES

Neste captulo feito um pequeno relato histrico da geometria, ao longo do tempo, at

chegar na importante contribuio de Euclides, com a publicao de "Os Elementos", no

desenvolvimento da geometria plana. Mostra tambm a possibilidade de novas geometrias

que surgiram atravs da interpretao e buscas por demonstraes do quinto postulado

de Euclides.

1.1 CONTEXTUALIZAO HISTRICA

Segundo [5], as primeiras consideraes do homem a respeito da geometria foram feitas

observando a natureza, denominadas descobertas geomtricas subconscientes.

De acordo com [2], afirmaes sobre a origem da matemtica, seja da aritmtica, seja

da geometria, so necessariamente arriscadas, pois os primrdios do assunto so mais

antigos que a arte de escrever.

muito comum encontrarmos relatos em livros didticos que a geometria surgiu s

bordas do Nilo, devido s enchentes e necessidade de medir a rea das terras a serem

redistribudas entre aqueles que haviam sofrido prejuzos. Esta hiptese, segundo [10] tem

sua origem nos escritos de Herdoto.

Por outro lado, segundo [15], Aristteles afirma que a matemtica surgiu em lugares

nos quais as pessoas dispunham de lazer, razo que leva a crer que teria surgido primeiro

no Egito, pois a casta dos sacerdotes tinha permisso para desfrutar de lazer.

Os povos mesopotmicos e egpcios realizavam clculos com medidas de comprimen-

tos, reas e volumes. Nas prticas de medida, os problemas geomtricos so transformados

em problemas numricos. Sem dvida, os primeiros matemticos gregos praticavam uma

geometria baseada em clculos de medidas, como os povos antigos, pois segundo [2] os

gregos no hesitavam, nada, em absorver elementos de outras culturas. No h,contudo,

uma documentao confivel que possa estabelecer a transio entre a Matemtica meso-

14

potmica e egpcia e a Matemtica grega.

Ainda segundo [15], um dos primeiros matemticos gregos foi Tales de Mileto, que

teria vivido nos sculos VII e VI a.E.C. e sido influenciado pelos mesopotmicos e egpcios.

Diz-se que um de seus feitos teria sido o clculo da altura de uma das pirmides do Egito,

a partir da semelhana existente entre as razes desta altura, com sua sombra e, de sua

prpria altura com sua prpria sombra.

Parece ser fato que, por volta do sculo V. a.E.C., seu nome era empregado em conexo

com resultados geomtricos. Alm disso, Aristteles menciona Tales, na Metafsica, como

o fundador da filosofia. Esta honra, somada circulao da referncia a seu nome como

gemetra, pode ter levado a se atribuir ao filsofo de Mileto importantes descobertas

geomtricas.

A Matemtica pitagrica, datada da primeira metade do sculo V a.E.C., teria feito

a transio entre as pocas de Tales e Euclides. Em [2], pgina 33, encontra-se uma frase

escrita por Proclo onde ele afirma que Pitgoras, que veio depois de Tales, transformou a

Matemtica numa forma liberal de instruo, investigando os teoremas de modo imaterial

e intelectual.

De acordo com [15], Pitgoras, influenciado pela Matemtica egpcia, teria introduzido

um tipo de Matemtica abstrata na Grcia. A narrativa histrica tradicional enfatiza a

transio do tipo de Matemtica realizada pelos babilnios e egpcios, profundamente

marcada por clculos e algoritmos, para a Matemtica terica, praticada pelos gregos,

fundada em argumentaes consistentes e demonstraes.

Segundo [15], no final do sculo VII a.E.C., diversas realizaes tecnolgicas podem

ter contribudo para o desenvolvimento da Matemtica. Alguns termos de geometria j

apareciam, por exemplo, na arquitetura. H escritos tcnicos do sculo VI a.E.C. tra-

tando de problemas relacionados astronomia e ao calendrio. Neles intervinham alguns

conceitos geomtricos, como crculos e ngulos. Os enunciados geomtricos a contidos

podem ter ficado conhecidos como sendo de Tales. No entanto, difcil estabelecer as

bases factuais destas afirmaes.

De acordo com [2], Plato passou a criticar os gemetras por no empregarem critrios

de rigor, desejveis, nas prticas matemticas. Sendo assim, ainda que no possamos dizer

que a transformao dos fundamentos da Matemtica grega devida Plato, ele expressa

o descontentamento dos filsofos com os mtodos empregados e articula o trabalho dos

pensadores sua volta para que se dediquem a formalizar os conceitos e tcnicas utilizadas

15

indiscriminadamente, na Matemtica da poca. Os membros da Academia debatiam o

modo de descrever as disciplinas matemticas, o que pode ter tido um papel na legitimao

deste saber, em sua forma abstrata e na consolidao da posio da Matemtica como

uma disciplina do pensamento puro.

Segundo [15], os livros de histria da Matemtica reproduzem a lenda de que a des-

coberta dos incomensurveis provocou uma crise nos fundamentos da Matemtica grega.

Esta lenda atribuda a um pitagrico, que tambm deve ter tido outras origens, contribuiu

para a separao entre a geometria e a aritmtica, a primeira, devendo se dedicar as gran-

dezas geomtricas e a segunda, aos nmeros. Esta separao um dos traos marcantes

da geometria grega, ao menos na maneira como ela se disseminou com Euclides.

Ainda segundo [15], com Euclides, que viveu em torno de 300 a.E.C., a Matemtica na

Grcia parece ter adquirido uma configurao particular, passando a empregar enunciados

geomtricos gerais, que no envolvem somente procedimentos de medida. "Os Elemen-

tos" de Euclides representam, neste contexto, o resultado dos esforos de formalizao

da Matemtica para apresentar uma geometria consistente e unificada que valesse para

grandezas quaisquer, fossem elas comensurveis ou incomensurveis.

"Os Elementos" so formados por treze livros, escritos por volta do ano 300 a.E.C.,

que expem resultados de tipos diversos, organizados sistematicamente, muitos deles atri-

budos a outros gemetras, alguns anteriores a Euclides. Apesar disso, os Elementos no

podem ser vistos apenas como uma compilao, pois, alm de conterem resultados origi-

nais, propem um tratamento sistemtico e uniforme da Matemtica grega bsica.

Segundo [5], para os gregos, os elementos de uma cincia constituam as proposies

fundamentais, a partir das quais seria possvel deduzir as outras. Ou seja, no tinham

que ser enciclopdicos, mas mostrar uma escolha judiciosa do que seria apresentado. Por

exemplo, nos "Elementos" de Euclides, no est demonstrado que as trs alturas de um

tringulo se encontram em um ponto, mas este teorema pode ser deduzido a partir de

outros, mais bsicos, demonstrados por Euclides.

De acordo com [2], "Os Elementos", consiste de treze volumes que contm a maior

parte da matemtica conhecida na poca. Trata-se de um texto sistemtico, organizado

segundo os critrios de rigor lgico-dedutivo, mas tambm de experincia intuitiva. O

volume I trata de geometria plana e sua construo baseia-se em dez proposies, se-

paradas em dois grupos: cinco foram classificadas como (noes comuns) axiomas e as

outras como postulados. Aristteles considerava que os axiomas consistiam basicamente

em verdades aplicveis a todas as cincias, enquanto que, os postulados eram verdades

16

acerca da particular disciplina em estudo, como a geometria.

Os cinco axiomas eram:

1. Coisas que so iguais a uma mesma coisa, so iguais entre si.

2. Se iguais so adicionados a iguais, os resultados so iguais.

3. Se iguais so subtrados de iguais, os restos so iguais.

4. Coisas que coincidem uma com a outra, so iguais.

5. O todo maior do que qualquer uma de suas partes.

Os postulados eram:

1. Existe uma nica reta contendo dois pontos dados.

2. Todo segmento de reta pode ser estendido indefinidamente em todas as direes.

3. Existe uma circunferncia com quaisquer centro e raio dados.

4. Todos os ngulos retos so iguais entre si.

5. Se uma reta intercepta outras duas retas formando ngulos colaterais internos cuja

soma menor do que dois retos, ento as duas retas, se estendidas indefinidamente,

interceptam-se no lado no qual esto os ngulos cuja soma menor do que dois

retos.

Um sistema axiomtico consiste num conjunto de verdades acerca de uma determi-

nada realidade, organizado de tal forma que todos os conceitos so definidos a partir de

alguns poucos conceito bsicos, chamados termos primitivos, os quais no se define e so

conhecidos intuitivamente. Esses conceitos so ento, articulados por meio de algumas

proposies primitivas, chamados axiomas, que no se demonstram, pois sua veracidade

evidente pela intuio que temos acerca do domnio em estudo. As demais proposies,os

teoremas, so ento obtidos por demonstrao a partir dos axiomas.

Segundo [3], um sistema axiomtico tambm deve satisfazer as trs condies seguin-

tes:

X ser consistente, ou seja, os axiomas no podem contradizer uns aos outros, por si

mesmos ou por suas consequncias;

17

X deve ser completo, no sentido de serem suficientes para provar verdadeiras ou falsas

todas as proposies formuladas no contexto da teoria em questo;

X por fim, cada axioma deve ser independente dos demais, no sentido de que no

consequncia deles, sob pena de ser suprfluo.

1.2 O QUINTO POSTULADO

Se uma reta, interceptando duas outras, forma ngulos internos de um mesmo lado

cuja soma menor que dois retos, ento estas duas retas, se prolongadas indefinidamente,

se encontram naquele lado, cuja soma dos ngulos internos menor que dois retos. (5o

postulado de Euclides)

Segundo [3], nota-se, primeira vista, que a natureza do enunciado do quinto postu-

lado diferente da dos precedentes e s usado partir da definio 29 (quando uma reta

corta duas paralelas, formam-se ngulos correspondentes iguais). Segundo a Definio 23,

do volume I, dos "Elementos", retas paralelas so retas contidas num mesmo plano que, se

prolongadas indefinidamente, no se interceptam, de modo que ele descreve exatamente

uma situao em que duas retas no so paralelas.

Segundo [5], ainda na poca dos gregos, algumas dvidas foram levantadas quanto

colocao desse enunciado, como um postulado e no como uma proposio passvel de

demonstrao. Dentre as tentativas gregas de prov-lo, destacam-se as de Ptolomeu e

Proclo.

Em [3], encontramos a relao de outros famosos matemticos que tentaram demonstr-

lo e deixaram nas suas obras referncias relevantes sobre o assunto: Nasir Eddin All Tusin

(1201 1274), John Wallis (1616 1703), Girolamo Sacheri (1667 1733), Johann Hein-

rich Lambert (1728 1777), Adrien Marie Legendre (1752 1833), Louis Bertrand (1731

1812) e Carl Friedrich Gauss (1777 1855).

Ainda de acordo com [3], os primeiros a compreenderem que o quinto postulado de

Euclides era indemonstrvel e que se poderia, a partir de sua negao, construir geome-

trias novas e totalmente coerentes foram Gauss, Wolfgang Boylai (1775 - 1856), Nicolai

Ivanovich Lobachevski (1792 1856) e Johann Bolyai (1802 1860), que chegaram s

suas concluses de forma independente um dos outros.

Para os gregos, principalmente para os seguidores de Plato, o espao fsico era uma

entidade absoluta, a realizao direta de um objeto platnico. A geometria Euclidiana

18

era a cincia do espao fsico e, portanto, a nica geometria possvel e, certamente a

verdadeira, constitua-se do estudo de propriedades das figuras geomtricas mergulhadas

nesse espao.

Com as descobertas de Gauss, Lobachevski e Bolyai, no apenas a geometria Eucli-

diana deixou de ser a nica possvel, mas tambm deixou de ser aquela verdadeira. Pois

segundo Poincar, uma geometria no pode ser mais verdadeira do que a outra, poder

ser apenas mais cmoda.

Finalizou-se assim, uma poca na histria da matemtica, que fora inaugurada dois

milnios antes, originando-se uma transformao profunda, no apenas do pensamento

matemtico, mas tambm do pensamento terico em geral, que acabaria por influenciar

nossas concepes do universo e do mundo fsico.

De acordo com [5], os trabalhos de Gauss, Lobachevski e Bolyai, principalmente, dos

dois ltimos, foram levados s suas devidas propores, por Friedrich Bernhard Riemann

(1826 1866), que deu incio a um segundo perodo, no desenvolvimento das geometria

Euclidianas e no-Euclidianas, perodo este caracterizado pelas investigaes sob o ponto

de vista do Clculo Diferencial, em contraste com os mtodos sintticos previamente

utilizados.

Segundo [2], a preocupao com a fundamentao da geometria, em bases slidas,

dominou a pesquisa matemtica sobre o assunto, culminando com a reconstruo da

geometria Euclidiana, por David Hilbert (1862 1943) o que, finalmente, encerrou a

longa batalha com o quinto postulado de Euclides.

19

2 A GEOMETRIA AXIOMTICAEUCLIDIANA PLANA

Neste captulo so apresentados axiomas, definies, teoremas e postulados que regem

a geometria euclidiana plana. Esse conjunto de conhecimentos bsico para que os alunos

tenham condio de entender demonstraes mais elaboradas, em cursos mais avanados.

Os conceitos geomtricos so, aqui, apresentados sem uma preocupao excessiva com

a formalizao, visto que dirigida a alunos do Ensino Fundamental. Sendo extremamente

importante que as descobertas tenham um carter gradual e de forma intuitiva.

As figuras elementares, no plano, so os pontos e as retas.

O plano constitudo de pontos e, as retas so subconjuntos destacados do plano.

Uma reta possui infinitos pontos e um plano contm infinitas retas.

Segundo [11], o ponto, a reta e o plano so denominados noes primitivas, pois no

h necessidade de definio.

Para efeito de estudos, essas noes primitivas so denominados da seguinte forma:

- Ponto: letras latinas maisculas.

- Reta: letras latinas minsculas.

- Plano: letras gregas minsculas.

20

2.1 AXIOMAS DE INCIDNCIA

Axioma 2.1.1- Por um ponto qualquer do plano passam infinitas retas.

Figura 1: Retas que passam pelo ponto A

Axioma 2.1.2- Dois pontos distintos de um plano, determinam uma nica reta.

Proposio: Duas retas distintas, de um mesmo plano, ou no se intersectam ou se

intersectam em um nico ponto.

Se as retas se intersectam so ditas concorrentes e quando no se intersectam so ditas

paralelas.

Figura 2: Reta que passa pelos pontos A e B

21

Axioma 2.1.3- Dada uma reta qualquer de um plano, existem infinitos pontos que

pertencem e infinitos pontos que no pertencem essa reta. Os pontos B e E, da Figura

3, no pertencem reta r.

Trs pontos distintos de um plano que pertencem uma mesma reta so ditos coline-

ares. Na reta r, abaixo, os pontos A, C e D so colineares.

Figura 3: Pontos na reta e pontos fora da reta

Axioma 2.1.4- Um ponto qualquer sobre uma reta de um plano determina, sobre a

reta, duas partes denominadas semirretas.

A semirreta possui origem, mas no possui fim.

Como a origem comum e os sentidos so contrrios as semirretas so ditas opostas.

Figura 4: Semirreta AB Figura 5: Semirreta AC

2.2 AXIOMA DE ORDEM

Axioma - Dados trs pontos distintos de uma reta, um e apenas um deles localiza-se

entre os outros dois.

22

Definio: O conjunto constitudo por dois pontos distintos A e B, sobre uma reta de

um plano, e por todos os pontos que se encontram entre os dois chamado segmento de

reta AB. Os pontos A e B so denominados de extremidades do segmento.

Dado um segmento de reta AB existe um nico ponto C, entre A e B, que divide o

segmento AB em dois segmentos congruentes (AC CB).

Figura 6: Segmento AB e ponto mdio C

Um segmento de reta pode ser medido usando uma rgua graduada em uma unidade

de medida padronizada.

A medida de um segmento de reta um nmero maior ou igual a zero. A medida

zero quando os dois pontos extremos so coincidentes.

Dois segmentos de reta de mesma medida so ditos congruentes.

Definio: Seja O um ponto qualquer do plano e AB um segmento de reta de medida

r. Chama-se circunferncia o conjunto de todos os pontos cuja distncia at o ponto O

seja igual medida de AB = r. O valor de r dito raio da circunferncia.

Figura 7: Circunferncia de centro O e raio r

23

2.3 NGULO

Definio 1- Duas semirretas de mesma origem formam duas regies no plano.

Uma regio dita convexa e a outra no-convexa.

Cada uma dessas regies so denominadas por ngulo.

Todo ngulo possui vrtice (ponto A) e lados (semirretasAB e

AC).

Figura 8: Regies determinadas pelas semirretas AB e AC

Uma regio dita convexa, quando o segmento que une quaisquer dois de seus pontos

estiver totalmente contido em seu interior.

Figura 9: Regio convexa formada entre as semirretas AB e AC

24

Uma regio dita no-convexa, quando existir segmento que une dois de seus pontos

e este no estiver totalmente contido em seu interior.

Figura 10: Regio no-convexa formada entre as semirretas AB e AC

Definio 2- Um ngulo medido em graus, cujo smbolo (o), com o auxlio de um

instrumento denominado transferidor.

Todo ngulo possui uma medida maior ou igual a zero. A medida de um ngulo

zero se, e somente se, ele for constitudo por duas semirretas coincidentes.

Dois ngulos de medidas iguais so congruentes.

Figura 11: Transferidor - Fonte: www.portaldoprofessor.mec.gov.br - acessado em25/02/2013

25

Definio 3- Dois ou mais ngulos que possuem um lado em comum so ditos ngulos

consecutivos.

Dois ngulos consecutivos que no possuem pontos em comuns so ditos ngulos

adjacentes.

Figura 12: ngulos consecutivos e adjacentes

Definio 4- Duas retas que se interceptam formam quatro ngulos opostos. Dois a

dois eles so ditos ngulos opostos pelo vrtice.

Figura 13: Retas concorrentes mostrando ngulos opostos pelo vrtice

26

Definio 5- Dado um ngulo do plano existe uma nica semirreta com origem no vr-

tice desse ngulo e que o divide em dois ngulos congruentes. Essa semirreta denominada

por bissetriz.

Figura 14: Bissetriz de um ngulo

2.3.1 Tipos de ngulos

De acordo com a medida um ngulo possui diferentes classificaes. Normalmente,

compara-se a medida do ngulo, com um quarto de volta ou meia volta em torno de uma

circunferncia que possui 360o.

a) ngulo raso ou de meia volta: quando formado por duas semirretas opostas. A

medida do ngulo raso igual a 180o.

Figura 15: ngulo raso

27

b) ngulo nulo: quando as duas semirretas (AB e AC) estiverem no mesmo sentido

sobre a mesma reta. A medida do ngulo nulo igual a 0o.

Figura 16: ngulo nulo

c) ngulos adjacentes suplementares: quando a soma de suas medidas for igual

medida de um ngulo raso, ou seja, for igual a 180o.

Figura 17: ngulos suplementares

d) ngulo reto: ngulos adjacentes suplementares congruentes so ditos por ngulos

retos, eles medem 90o.

Duas retas que se intersectam formando ngulos retos so ditas perpendiculares.

Sendo representadas pelo smbolo ().

Figura 18: ngulos retos

28

e) ngulo agudo: quando sua medida for maior que a de um ngulo nulo e menor que

a de um ngulo reto.

Figura 19: ngulo agudo

f) ngulo obtuso: quando sua medida for maior que a de um ngulo reto e menor que

a de um ngulo raso.

Figura 20: ngulo obtuso

29

2.3.2 ngulos Formados por Retas Paralelas e Uma Concorrente

Dadas trs retas distintas r, s e t de um plano, se r for paralela s e t for concorrente

r ento, t tambm ser concorrente s.

Figura 21: Par de paralelas cortadas por uma transversal

Na figura anterior temos que a = c; b = d; e = g; f = h por serem opostos pelo

vrtice.

Os pares de ngulos a e e; b e f ; c e g; d e h so ditos correspondentes. Como as retas

r e s so paralelas esses ngulos so congruentes.

Os pares de ngulos c e e;d e f so ditos alternos internos.

Os pares de ngulos a e g;b e h so ditos alternos externos.

Sabemos que a = c e a = e ento, c = e. De maneira anloga podemos provar que se

as retas r e s so paralelas os pares de ngulos alternos so congruentes.

Os pares de ngulos e e d; c e f so ditos colaterais internos.

Os pares de ngulos a e h; b e g so ditos colaterais externos.

Temos que a + d = 180o e que a = e ento e + d = 180o.

Usando esse procedimento para os outros pares de ngulos colaterais podemos provar

que eles so suplementares.

30

2.4 POLGONOS

Definio 1- Quando dois segmentos de reta possuem uma extremidade em comum,

eles so ditos segmentos consecutivos.

Quando dois segmentos consecutivos esto sobre a mesma reta, eles so ditos coline-

ares.

Figura 22: Segmentos consecutivos

Definio 2- Uma sequncia de segmentos consecutivos no-colineares forma uma po-

ligonal, que pode ser aberta ou fechada.

Figura 23: Poligonais

Definio 3- Uma poligonal fechada que no possui cruzamento entre seus segmentos

denominada polgono. Na figura anterior a poligonal JKLMNO forma um polgono.

Existem polgonos convexos e no-convexos.

31

Todo polgono possui:

vrtices (extremidades dos segmentos de reta);

lados (segmentos de reta);

ngulos internos (abertura entre dois segmentos consecutivos);

ngulos externos (abertura entre o prolongamento de um lado e o lado consecutivo).

Figura 24: Polgono ABCDE

Na figura acima:

os pontos A, B, C, D, E so os vrtices;

os segmentos AB; BC; CD; DE e EA so os lados;

A; B; C; D; E so os ngulos internos;

a; b; c; d; e so ngulos externos.

Em todo polgono, o nmero de vrtices, de lados, de ngulos internos e de ngulos

externos o mesmo.

O segmento que une dois vrtices no consecutivos de um polgono dito diagonal.

Em um mesmo vrtice, o ngulo interno e o externo so adjacentes suplementares.

O nome de um polgono dado de acordo com o nmero de lados. Exemplos: tringulo

(trs lados); quadriltero (quatro lados); pentgono (cinco lados).

32

Definio: Dois polgonos com mesmo nmero de lados, que possuem ngulos internos

correspondentes congruentes e lados correspondentes proporcionais so ditos semelhantes.

Se os lados correspondentes forem congruentes, eles so ditos congruentes.

2.4.1 Tringulo

Definio: Um polgono que possui trs lados denominado tringulo. O tringulo

o nico polgono que no possui diagonais.

Todo tringulo possui as seguintes condies de existncia:

Em todo tringulo, a soma das medidas dos ngulos internos igual a 180o.

Em todo tringulo, o maior ngulo oposto ao maior lado.

Em todo tringulo, a soma das medidas de dois lados sempre maior que a medidado terceiro lado.

Um tringulo pode ser classificado quanto s medidas dos ngulos internos ou quanto

s medidas dos lados.

Quanto s medidas dos ngulos internos podemos ter:

tringulo acutngulo - os trs ngulos so agudos.

tringulo retngulo - possui um ngulo reto e dois ngulos agudos.

tringulo obtusngulo - possui um ngulo obtuso e dois ngulos agudos.

Quanto s medidas dos lados, podemos ter:

tringulo escaleno - os trs lados possuem medidas diferentes.

tringulo issceles - dois lados possuem medidas congruentes.

tringulo equiltero - os trs lados possuem medidas congruentes.

Todo tringulo equiltero acutngulo.

No tringulo issceles, o lado de medida diferente dito base, e o ngulo oposto

base dito ngulo do vrtice.

Os ngulos da base de um tringulo issceles so congruentes.

33

2.4.2 Quadrilteros

Um polgono que possui quatro lados denominado quadriltero.

Em todo quadriltero a soma das medidas dos ngulos internos igual a 360o.

Todo quadriltero possui duas diagonais.

Definio: Os quadrilteros que possuem os dois pares de lados opostos paralelos so

denominados paralelogramos.

Os lados e os ngulos opostos de um paralelogramo so congruentes.

Os ngulos consecutivos de um paralelogramo so suplementares.

As diagonais de um paralelogramo se intersectam no ponto mdio.

O paralelogramo de ngulos internos congruentes, todos retos, dito retngulo.

Em todo retngulo as diagonais so congruentes.

O paralelogramo cujos lados so congruentes dito losango.

As diagonais do losango so bissetrizes dos ngulos internos e, so perpendiculares

entre si.

O paralelogramo que possui ngulos internos congruentes e lados tambm congruentes

dito quadrado.

O quadrado possui as caractersticas do retngulo e do losango.

Definio: Os quadrilteros que possuem apenas um par de lados opostos paralelos

so denominados por trapzio. Esses lados paralelos so as bases.

Em todo trapzio, ngulos consecutivos de bases diferentes so suplementares.

Trapzios que possuem dois ngulos retos so denominados trapzios retngulos.

Quando os lados no paralelos de um trapzio so congruentes ele dito trapzio

issceles.

Os ngulos de uma mesma base do trapzio issceles so congruentes.

As diagonais de um trapzio issceles so congruentes.

34

3 CONSTRUESGEOMTRICAS

Nesse captulo so apresentadas as construes da bissetriz de um ngulo e do ponto

mdio de um segmento. Para ilustrar essas construes so apresentadas duas alternati-

vas: com rgua e compasso e com um software de geometria dinmica.

Como na maioria das escolas Pblicas Estaduais, emMinas Gerais, no h laboratrios

de informtica que esteja sempre a disposio, para uso durante as aulas, apresentada

a maneira clssica utilizando a rgua e o compasso. Apesar de parecer fora de moda,

as construes geomtricas usando rgua e compasso de muita valia no processo de

ensino-aprendizagem de geometria plana. Nesse treinamento possvel fixar vrios con-

ceitos bsicos. Muitos professores no utilizam essa tcnica por desconhecimento total do

assunto.

Em seguida, mostrada a opo do uso de um software de geometria dinmica que

pode simplificar muito essas construes. O software escolhido foi o GeoGebra, por ser

gratuito, de fcil utilizao que rene recursos de geometria, lgebra e clculo. O Geo-

Gebra possui todas as ferramentas tradicionais de um software de geometria dinmica:

pontos, segmentos, retas e sees cnicas. Por outro lado, equaes e coordenadas podem

ser inseridas diretamente. Assim, o GeoGebra tem a vantagem didtica de apresentar, ao

mesmo tempo, duas representaes diferentes de um mesmo objeto que interagem entre

si: sua representao geomtrica e sua representao algbrica.

Segundo [8], as abordagens pedaggicas, com o uso de tecnologias digitais deve ser

planejada de tal forma que a aprendizagem dos conceitos matemticos, dos alunos, no

dependa permanentemente do apoio dessas tecnologias.

35

3.1 COM RGUA E COMPASSO

Nessa seo so apresentadas algumas construes tradicionais. Essas construes

foram retiradas e adaptadas das que constam em [1] e [16].

3.1.1 Construo do Ponto Mdio de Um Segmento

Com a ponta seca do compasso centrada no ponto A e abertura um pouco maior do que

a metade do segmento, traa-se dois arcos, um em cada lado do segmento. Sem alterar

a abertura do compasso, muda-se a ponta seca para o ponto B e repete-se o processo

anterior. Marca-se os pontos C e D, nas interseces dos arcos. Em seguida, traa-se a

retaCD, marcando o ponto E, na interseco entre o segmento e a reta. O ponto E

o ponto mdio do segmento AB. A reta perpendicularCD dita mediatriz do segmento

AB.

Definio: Mediatriz o lugar geomtrico de todos os pontos que equidistam das

extremidades de um segmento.

Figura 25: Construo da mediatriz e do ponto mdio do segmento AB

Demostrao: Se a retaCD a mediatriz, ento AC BC. Logo o tringulo ABC

issceles e, portanto, os ngulos da base so congruentes.

Os tringulos ACE e BCE so congruentes, pois AC BC e CE lado comum.Portanto temos que AE BE. Assim temos que E o ponto mdio do segmento AB.

36

3.1.2 Construo de Uma Reta Paralela a Outra Reta

Dada uma reta r qualquer, do plano e um ponto P, fora de r, existe uma nica reta s

que passa por P e paralela reta r.

Construo da reta s: com o compasso centrado em P e uma abertura qualquer, traa-

se um arco que intersecta a reta r em um ponto (A).

Sem alterar a abertura, centra-se o compasso no ponto A e traa-se outro arco que

intersecta a reta r, em um ponto (B).

Novamente, sem alterar a abertura, centra-se o compasso no ponto B e traa-se um

arco que intersecta o arco que passa por A, em um ponto (C).

Com o auxlio de uma rgua, traa-se a retaPC, que paralela reta r.

Figura 26: Construo de uma reta paralela outra reta

Prova: Traando os segmentos AB, BC, CP e PA formamos um quadriltero. Como

os crculos foram construdos usando o mesmo raio temos que os segmentos citados so

todos congruentes, logo o quadriltero um losango. Como o losango um paralelogramo,

temos que os lados opostos so paralelos. Dessa forma conclu-se que as retasAB e

PC

so paralelas.

3.1.3 Construo de Uma Reta Perpendicular a Outra Reta

Dados uma reta r e um ponto P do plano, existe uma nica reta s, que passa por P e

perpendicular reta r.

Construo da reta s: com o compasso centrado em P e uma abertura qualquer, traa-

se um arco que intersecta a reta r, em dois pontos (A e B).

Com uma abertura um pouco maior que a metade do segmento AB, centra-se o

37

compasso no ponto A e traa-se um arco. Com mesma abertura e centro em B, traa-se

um arco que intersecta o anterior em um ponto (C).

Com o auxlio de uma rgua, traa-se a retaPC, que perpendicular reta r, pois

essa reta a mediatriz do segmento AB.

Figura 27: Construo de uma reta perpendicular outra reta

3.1.4 Construo de Um Tringulo

Seja um tringulo ABC cujos lados medem AB= c; AC= b e BC= a, de forma que a

soma das medidas de dois desses segmentos seja sempre maior que a medida do terceiro

segmento.

Traa-se uma das trs medidas (a, b ou c), utilizando-se de uma rgua e marca-se as

extremidades do segmento, conforme a medida escolhida.

Como exemplo foi escolhido a medida a, logo foram marcados os pontos B e C.

Para construir o lado AB, traa-se a circunferncia com centro em B e abertura do

compasso correspondente medida c.

Mudando a abertura do compasso para a medida b e a ponta seca para o ponto C,

traa-se outra circunferncia.

As duas circunferncias traadas tero dois pontos de interseco, que sero marcados

por A e A. Cada ponto determina um tringulo distinto, com um lado em comum (lado

BC). Esses dois tringulos so congruentes, pois as medidas dos trs lados so congruentes.

38

Figura 28: Construo de um tringulo

3.1.5 Construo de Um Paralelogramo

Seja um paralelogramo PQRS cujos lados medem PQ = a; RS = b.

Traa-se uma das duas medidas (a ou b), utilizando-se de uma rgua e marca-se as

extremidades do segmento conforme a medida escolhida.

Como exemplo foi escolhido a medida a, logo foram marcados os pontos P e Q.

Abre-se o compasso com medida igual a b e traa-se duas circunferncias: C com

centro em Q e C1 com centro em P.

Nomeia-se por R um ponto qualquer da circunferncia C, que no pertena ao seg-

mento PQ. Centra-se o compasso, com abertura igual medida a, nesse ponto e traa-se a

circunferncia C2. As circunferncias C1 e C2 tero dois pontos de interseco, que sero

marcados por S e T.

Desenha-se o quadriltero PQRS traando-se os segmentos PQ, QR, RS e SP. Esse

quadriltero um paralelogramo.

Figura 29: Construo de um paralelogramo

39

Justificativa: Os lados QR e SP so congruentes por serem os raios das circunferncias

C e C1. Os lados PQ e RS so congruentes, pois so iguais ao segmento a. Sabemos que

todo paralelogramo possui lados opostos congruentes. Portanto o quadriltero PQRS

um paralelogramo.

3.1.6 Construo da Bissetriz de Um ngulo

Dado um ngulo AOB, existe uma nica semirreta denominada bissetriz, com origem

no ponto O que divide esse ngulo em dois ngulos adjacentes congruentes.

Para construir a bissetriz devemos inicialmente centrar o compasso no ponto O, com

uma abertura qualquer, e traar um arco que encontrar os ladosOA e

OB, nos pontos

C e D, respectivamente.

Em seguida, centra-se o compasso com uma abertura qualquer, no ponto C e traa-se

o arco c. Mudando o centro para o ponto D e conservando a abertura, traa-se o arco d.

Esses dois arcos se interceptaro no ponto E. Com o auxilio de uma rgua, traa-se a

semirretaOE, que ser a bissetriz do ngulo AOB.

Figura 30: Construo da bissetriz de um ngulo

40

3.2 COM O GEOGEBRA

De forma geral, os ambientes de geometria dinmica fornecem uma representao

computacional para o plano euclidiano e suas ferramentas bsicas so concebidas para

reproduzir rgua no graduada e compasso fsicos - os chamados instrumentos euclidia-

nos. Esta estrutura permite a simulao de construes geomtricas que podem ser feitas

com os instrumentos euclidianos, sendo que, nesses ambientes, as construes podem ser

manipuladas de forma que as propriedades e relaes dos objetos construdos sejam pre-

servadas. A maior parte dos ambientes de geometria dinmica incorpora ainda outros

recursos, tais como traado de lugares geomtricos, representao de seces cnicas, co-

ordenadas cartesianas e medidas aproximadas para comprimentos e reas.

Segundo [8], em virtude das limitaes inerentes ao software, as representaes com-

putacionais apresentam diferenas importantes em relao ao modelo matemtico. No

modelo matemtico terico, o plano euclidiano completo e ilimitado. Por outro lado,

nas representaes em geometria dinmica, lidamos sempre com uma regio retangular

formada por uma quantidade muito grande, porm finita de pixels.

Nas atividades propostas nesta seo, teremos como referncia o software GeoGebra

verso 4.2, encontrado gratuitamente na internet em http://www.geogebra.org.

O programa permite realizar construes geomtricas com a utilizao de pontos, re-

tas, segmentos de reta e polgonos assim como permite inserir funes e alterar todos

esses objetos dinamicamente, aps a construo estar finalizada. Equaes e coordenadas

tambm podem ser inseridas diretamente no campo de entrada. O GeoGebra capaz de

lidar com variveis e ainda oferecer comandos para se encontrar razes de uma funo.

Com isto, o programa rene as ferramentas tradicionais de geometria com outras mais

adequadas lgebra. Isto tem a vantagem didtica de representar, ao mesmo tempo e

em um nico ambiente visual, as caractersticas geomtricas e algbricas de um mesmo

objeto.

Na figura abaixo temos a interface inicial do GeoGebra. Onde aparecem as opes do

menu e os botes para acesso s ferramentas.

41

Figura 31: Interface do GeoGebra

3.2.1 Construo do Ponto Mdio de Um Segmento

Aps iniciar o GeoGebra escolha no boto de ferramentas ponto a opo novo ponto.

Marque dois pontos distintos (A e B) na tela de desenhos. Acesse a ferramenta retas e

escolha a opo segmento definido por dois pontos, clique no ponto A e depois no ponto

B, determinando o segmento AB.

Depois, na ferramenta ponto, escolha a opo ponto mdio ou centro. Desloque o

cursor at o segmento e d um clique sobre o mesmo. Imediatamente aparecer o ponto

C, que ser o ponto mdio de AB.

Figura 32: Ferramenta ponto mdio no GeoGebra

42

3.2.2 Construo da Bissetriz de Um ngulo

Aps iniciar o GeoGebra escolha no boto de ferramentas ponto a opo novo ponto.

Marque trs pontos distintos (A, B e C) na tela de desenhos. Acesse o menu Editar e

escolha a opo Propriedades fazendo surgir uma caixa de dilogo. Selecione o ponto C

na lista da direita e na aba Bsico troque o nome para O.

Acesse a ferramenta retas e escolha a opo semirreta definida por dois pontos, clique

no ponto O e depois no ponto A, determinando a semirretaOA. Repita a operao para

os pontos O e B. Assim construdo o ngulo AOB.

Depois, no boto reta perpendicular, escolha a opo bissetriz. Desloque o cursor at

o desenho e d um clique em cada um dos pontos do ngulo. O segundo clique deve ser

sempre sobre o vrtice. Imediatamente aparecer uma reta que passa no ponto O. Essa

reta contm a bissetriz do ngulo AOB.

Figura 33: Ferramenta bissetriz no GeoGebra

43

3.2.3 Construo de Um Polgono

Aps iniciar o GeoGebra acesse a opo polgono nos botes de ferramentas.

Desloque o cursor at a tela de desenhos e d cliques sucessivos em locais distintos.

Cada novo clique forma um lado da figura. Para fechar o polgono retorne ao ponto inicial

e d um clique sobre ele.

Figura 34: Ferramenta polgono no GeoGebra

44

4 ATIVIDADES

Nesse captulo so apresentadas cinco atividades.

Em cada atividade esto descritos os objetivos, os materiais a serem usados, os conhe-

cimentos que devem ser empregados, o grau de dificuldade e o tempo de durao estimado

para realizao da referida atividade.

Essas atividades visam avaliar qualitativamente a absoro, por parte do aluno, dos

axiomas, definies e proposies colocadas no trabalho.

Deve-se atribuir s referidas atividades um carter instigante e desafiador, retirando

qualquer enfoque relacionado conceito ou nota.

As possveis respostas de cada atividade encontram-se no prximo captulo.

1. Provar que dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes.

Figura 35: ngulos opostos pelo vrtice

Objetivos:

X Reconhecer ngulos opostos pelo vrtice e ngulos adjacentes.

X Comprovar um teorema sem realizar medidas.

45

Materiais utilizados:

X Alm de lpis e borracha necessrio o uso de rgua para desenhar as retas

concorrentes.

Conhecimentos empregados:

X Propriedades dos ngulos adjacentes suplementares.

X Manipulao de expresses algbricas.

X Uso da propriedade aditiva da igualdade.

Grau de dificuldade:

X Fcil, devido simplicidade algbrica empregada.

Tempo de durao:

X Estimado em aproximadamente 5 minutos.

2. Provar que o tringulo issceles possui os ngulos da base congruentes.

Figura 36: Tringulo issceles

Objetivos:

X Reconhecer tringulo issceles e seus elementos.

X Comprovar uma propriedade dos tringulos issceles sem realizar medidas.


46

X Alm de lpis e borracha necessrio o uso de uma rgua graduada e compasso,

para construir o tringulo e determinar o ponto mdio da base ou a bissetriz do

ngulo do vrtice. Na ausncia do compasso interessante um par de esquadros.


X Construo de um tringulo issceles.

X Determinao do ponto mdio e da mediatriz de um segmento.

X Construo da bissetriz de um ngulo.

X Congruncia de tringulos.


X Essa atividade pode ser avaliada como fcil ou moderadamente difcil, pois pode

requerer uma construo mais elaborada.

Tempo de durao:

X Estimado entre 5 e 10 minutos.

3. Mostrar que as diagonais de um paralelogramo cortam-se nos seus pontos mdios.

Figura 37: Paralelogramo

Objetivos:

X Reconhecer um paralelogramo e suas diagonais.

X Comprovar, com utilizao de recursos algbricos, uma propriedade geral das

diagonais dos paralelogramos.


47

X Alm de lpis e borracha necessrio o uso de, pelo menos, uma rgua graduada

para construir o paralelogramo e traar as diagonais. Podendo ser muito til um

par de esquadros e um compasso.


X Construo de um paralelogramo e de suas diagonais.

X Propriedade dos ngulos alternos.

X Congruncia de tringulos.


X Essa atividade pode ser avaliada como moderadamente difcil, pois requer uma

construo mais elaborada.

Tempo de durao:


4. Sendo AI e BI bissetrizes, mostre que o ngulo AIB reto.

Figura 38: Paralelogramo com as bissetrizes dos ngulos A e B

Objetivos:

X Reconhecer um paralelogramo, seus ngulos internos e suas bissetrizes.

X Recordar a propriedade da bissetriz de um ngulo.

X Comprovar, com utilizao de recursos algbricos, uma propriedade geral das

bissetrizes de dois ngulos consecutivos de um paralelogramo.

48


X Alm de lpis e borracha necessrio o uso de uma rgua graduada e compasso,

para construir o paralelogramo e as bissetrizes de dois ngulos consecutivos. Seria

interessante o uso de um par de esquadros.


X Construo de um paralelogramo e da bissetriz de um ngulo.

X Propriedade dos ngulos consecutivos de um paralelogramo.


X Soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo.


X Essa atividade pode ser avaliada como moderadamente difcil, pois requer uma

construo mais elaborada.

Tempo de durao:


5. Considere o trapzio da figura abaixo. Prove que os ngulos consecutivos de bases

diferentes so suplementares.

Figura 39: Trapzio ABCD

Objetivos:

X Reconhecer um trapzio, seus elementos e sua principal caracterstica.

49

X Comprovar, com utilizao de recursos algbricos, uma propriedade importante

dos ngulos consecutivos de bases diferentes de um trapzio.


X Alm de lpis e borracha necessrio o uso de uma rgua para construir o trapzio

e uma de suas diagonais.


X Construo de um trapzio e de uma de suas diagonais.


X Propriedade dos ngulos colaterais.

X Soma das medidas dos ngulos internos de um tringulo.


X Essa atividade pode ser avaliada como fcil, devido simplicidade algbrica

empregada.

Tempo de durao:

X Estimado em 5 minutos.

50

5 COMENTRIOS DASATIVIDADES

ATIVIDADE 1 - Provar que dois ngulos opostos pelo vrtice so congruentes.

Devido simplicidade, provavelmente, os alunos no encontraro dificuldades na re-

soluo dessa atividade. De forma geral, espera-se que as respostas tenham o formato de

uma das que esto apresentadas abaixo.

Figura 40: Atividade 1

RESPOSTA 1.1

Na figura temos que os ngulos AOB e BOC so adjacentes suplementares, assim

como os ngulos BOC e COD. Como a soma dos dois pares de ngulos citados sempre

180o e o ngulo BOC comum s duas somas, podemos concluir que os ngulos opostos

pelo vrtice AOB e COD so congruentes.

De forma anloga temos que os ngulos BOC e AOD tambm so congruentes.

51

RESPOSTA 1.2

Na figura temos:

AOB + BOD = 180o

DOC + BOD = 180o

Subtraindo membro a membro, as equaes acima, temos:

AOB - DOC = 0

AOB = DOC

O que mostra que ngulos opostos pelo vrtice so congruentes.

A resposta 1.1, descreve uma possvel prova que o aluno far utilizando a forma dis-

sertativa. Essa forma , para muitos deles, mais simples, por no existir preocupao com

manipulaes nem com o rigor algbrico.

Na resposta 1.2 o recurso algbrico simples. Requer apenas que o aluno utilize a

equao para ngulos suplementares e, um recurso muito utilizado na resoluo de sis-

temas lineares com duas equaes e duas incgnitas. Essa maneira mais consistente e

evidencia o domnio dos recursos algbricos elementares, pelo aluno.

ATIVIDADE 2 - Provar que o tringulo issceles possui os ngulos da base congru-

entes.

Devido simplicidade, provavelmente os alunos no encontraro dificuldades na re-

soluo dessa atividade. De forma geral espera-se que as respostas tenham o formato de


Alm das duas respostas descritas abaixo, uma outra pode ser construda com a uti-

lizao da bissetriz do ngulo do vrtice; no citada por ser equivalente resposta 2.1.

52

RESPOSTA 2.1


Determina-se na figura o ponto mdio (M) do lado BC (base do tringulo).

Temos que os tringulos AMC e AMB so congruentes, pois AB = AC, BM = CM

e AM lado comum.

O ngulos ABM e ACM so correspondentes, pois so opostos ao lado comum AM .

Logo, eles so congruentes.

RESPOSTA 2.2

Sabemos que em todo tringulo o maior lado oposto ao maior ngulo. Logo, lados

iguais devem ser opostos a ngulos iguais. Como o tringulo ABC issceles e AB =

AC, dizemos que ngulos opostos a esses lados so iguais, portanto B = C.

ATIVIDADE 3 - Mostrar que as diagonais de um paralelogramo cortam-se nos seus

pontos mdios.

Provavelmente os alunos encontraro dificuldades na resoluo dessa atividade, visto

que exigido, em uma das respostas, um pouco mais de critrio na resoluo. De forma

geral espera-se que as respostas tenham o formato de uma das que esto apresentadas a

seguir.

53

RESPOSTA 3.1


Sabemos que os lados e ngulos opostos de um paralelogramo so congruentes.

Traando a diagonal AC temos que os tringulos ADC e CBA so congruentes pelo

caso lado-lado-lado. Portanto DAC = BCA e CAB = ACD por estarem opostos a lado

congruentes.

Traando, agora, a diagonal BD temos que os tringulos ABD e CDB so congruen-

tes. Portanto, ABD = CDD e ADB = CBD por estarem opostos a lado congruentes.

Analisando o paralelogramo com as duas diagonais traadas temos que os ngulos for-

mados em torno do ponto P so, dois a dois, opostos pelo vrtice, logo so congruentes.

Portanto, temos que os tringulos APD e CPB so congruentes, pois possuem os trs

ngulos internos correspondentes congruentes e os lados DA e BC, que so corresponden-

tes, tambm so congruentes.

Conclumos que PB = PD; logo, P ponto mdio da diagonal BD.

Usando a mesma argumentao temos que P tambm ponto mdio de AC.

Dessa forma fica provado que as diagonais de um paralelogramo se intersectam no

ponto mdio.

54

RESPOSTA 3.2


Utilizando o paralelismo dos lados AB e CD e traando as diagonais AC e BD temos

que os pares de ngulos ABP e CDP so congruentes pois so alternos internos. Da

mesma forma temos que BAP = DCP, pois tambm so alternos internos.

Sabemos que os ngulos APB e = CPD so congruentes por serem opostos pelo vr-

tice.

Logo, os tringulos APB e CPD so congruentes por terem ngulos internos congruen-

tes e os lados AB e CD, que so correspondentes, tambm congruentes. Portanto, temos

que PB = PD, logo P ponto mdio da diagonal BD.

Como PA = PC temos, tambm, que P ponto mdio de AC.

Portanto, fica provado que as diagonais de um paralelogramo se intersectam no ponto

mdio.

ATIVIDADE 4 - Provar que o ngulo entre as bissetrizes de dois ngulos consecutivos

de um paralelogramo reto.




55

RESPOSTA 4.1


Sabemos que os ngulos consecutivos de um paralelogramo so suplementares. Logo,

na figura acima, A + B = 180o.

Como AI e BI so bissetrizes temos que:

BAI =A

2e ABI =

B

2

BAI + ABI =A

2+

B

2=

A+B

2=

180

2= 90o

Somando os ngulos do tringulo BIA e substituindo as expresses anteriores temos:

BAI + ABI + AIB = 180o

90o + AIB = 180o

AIB = 90o

Provando que o ngulo formado entre as bissetrizes de dois ngulos consecutivos de

um paralelogramo reto.

56

RESPOSTA 4.2


Sabemos que os ngulos consecutivos de um paralelogramo so suplementares, por-

tanto A + B = 180o.

Na figura temos que a =A

2e b =

B

2, pois AI e BI so bissetrizes.

Traando, pelo ponto I, uma paralela ao lado AB temos pela, propriedade de retas

paralelas cortadas por uma transversal que a = m e b = n por serem ngulos alternos

internos.

Como m + i + n = 180o, podemos escrever ento que:

a + i + b = 180o

a + b + i = 180o

A

2+

B

2+ i = 180o

A+B

2+ i = 180o

90o + i = 180o

i = 90o

Provando que o ngulo formado pelas bissetrizes de dois ngulos consecutivos de um

paralelogramo reto.

57

ATIVIDADE 5 - Provar que os ngulos consecutivos de bases diferentes do trapzio

so suplementares.




RESPOSTA 5.1


Traando as retas suportes dos lados paralelos AB e CD e utilizando as propriedades

dos ngulos formados por um par de retas paralelas intersectadas por uma transversal

temos que, os ngulos internos A e D so colaterais, portanto so suplementares.

58

RESPOSTA 5.2


Traando a diagonal BD do trapzio temos, no tringulo ABD,

A + y + z = 180o (I).

Como t e y so ngulos alternos temos que t = y.

Substituindo em (I):

A + y + z = 180o

A + t + z = 180o

Como t + z = D teremos

A + D = 180o

Portanto, os ngulos consecutivos de bases diferentes de um trapzio so suplementa-

res.

59

CONCLUSO

O presente trabalho no tem a pretenso de ser comparado a um livro didtico, no

qual o autor dispe de recursos e muito tempo para aprimorar a apresentao dos con-

tedos e corrigir as possveis falhas, alm de contar com a opinio dos professores que se

utilizam deste material.

Apesar das limitaes, j citadas neste trabalho, esperado que os alunos consigam um

desenvolvimento bastante razovel nos conceitos bsicos da geometria euclidiana plana.

Os contedos foram colocados de maneira simples, para que a absoro e compreenso

tenha uma grande parcela do carter intuitivo, que sempre se espera durante o processo

de ensino aprendizagem de geometria.

Muitos pesquisadores afirmam que o conhecimento geomtrico possui nveis diferenci-

ados de compreenso, que cresce gradativamente com a qualidade dos estudos oferecidos.

Esses nveis vo do reconhecimento visual de uma figura geomtrica (mais bsico),

passando pela identificao das propriedades, at chegar na fase de abstrao, que torna

possvel compreender e demostrar teoremas.

Esse nvel de capacidade em abstrair para solucionar um problema deve ser estimu-

lado pelo professor, atravs de atividades que instigue o aluno a tentar compreender o que

est sendo proposto e chegar resposta desejada.

A proposta dos Parmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Fundamental su-

gere que o ensino de geometria enfatize a importncia do desenvolvimento do pensamento

indutivo e dedutivo e de se trabalhar explicaes, argumentaes e demonstraes. Alm

disso, o mencionado documento tambm ressalta a importncia de se incorporar ao ensino

os recursos das tecnologias da comunicao.

Estudos recentes indicam que alunos que passaram pela experincia de lidar com

construes geomtricas, representaes dinmicas de figuras e propriedades geomtricas

demonstraram uma evoluo maior em relao compreenso dos conceitos geomtricos,

assim, como suas justificativas determinadas indagaes conceituais melhoraram, de-

monstraram uma melhor apreenso dos conceitos.

Deve ser ressaltado que o uso da construo geomtrica e da geometria dinmica pode

trazer uma importante contribuio para o currculo de matemtica, tanto do Ensino Fun-

60

damental quanto do Mdio, pois exigir um maior planejamento das atividades, por parte

do professor.

61

REFERNCIAS

[1] BARBOSA, J. L. M. Geometria Euclidiana Plana. Geometria Plana, Rio de Janeiro:SBM, 1995.

[2] BOYER, C. B. Histria da Matemtica, revista por Uta C. Merzbach; traduo ElzaF. Gomide. Hist. Matemtica, So Paulo: Blcher, 1996.

[3] BRAZ, F. M. Histria da Geometria Hiperblica. Geometria Hiperblica, BeloHorizonte: UFMG, 2009.

[4] DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de Matemtica Elementar Vol. 9. Geo-metria Plana, So Paulo: Atual Editora, 1996.

[5] EVES, H. Histria da Geometria; traduo Hygino H. Domingues, Tpicos de Histriada Matemtica para uso em sala de aula. Hist. Geometria, So Paulo: Atual Editora,1992.

[6] FAINGUELERNT, E. K., O ensino de Geometria no 1o e 2o graus. SBEM A EducaoMatemtica em Revista, So Paulo, n. 4, p. 45-53, 1995.

[7] FAINGUELERNT, E. K., Representao e construo em Geometria. EducaoPorto Alegre: Artes Mdicas, 1999.

[8] GIRALDO, V.; PINTO MATOS, F. R.; SILVANI CAETANO, P. A. Recursos Com-putacionais no Ensino de Matemtica. Coleo Profmat Rio de Janeiro: SBM, 2012.

[9] LIMA, E. L. Meu Professor de Matemtica e outras histrias. Matemtica Rio deJaneiro: SBM, 2006.

[10] LIMA, E. L. Medidas e formas em geometria. Matemtica Rio de Janeiro: SBM,1991.

[11] LIMA, E. L.; CARVALHO, P. C. P.; WAGNER, E.; MORGADO, A. C. A Matem-tica do ensino mdio Vol. 2. Matemtica Rio de Janeiro: SBM, 2006.

[12] LORENZATO, S. Por que no ensinar Geometria? SBEM A Educao Matemticaem Revista, So Paulo, n. 4, p. 3-13, 1995.

[13] PAVANELLO, R. M. O abandono do ensino da Geometria no Brasil: Causas e con-sequncias. Educao - Revista Zetetik, So Paulo, ano I, n. 1, p. 7-17, 1993.

[14] Parmetros Curriculares Nacional. Matemtica, Braslia: MEC, 1997.

[15] ROQUE, T. M.; PITOMBEIRA, J. B. Tpicos de Histria da Matemtica. ColeoProfmat Rio de Janeiro: SBM, 2012.

[16] WAGNER, E. Construes Geomtricas. Geometria, Rio de Janeiro: SBM, 1993.

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