Exatas + Prof.o Nunes MATEMTICA

1) (ITA-80) Sejam A, B e C matrizes reais quadradas de ordem n e On a matriz nula, tambm de ordem n. Considere as seguintes afirmaes: 1. AB = BA 2. Se AB = AC, ento B = C 3. Se A

2 = On, ento A = On 4. (AB)C = A(BC)

5. (A B)2 = A

2 2AB + B

2

A respeito destas afirmaes, qual das alternativas a seguir verdadeira? a)Apenas a afirmao 1 falsa. b) Apenas a afirmao 4 verdadeira. c) A afirmao 5 verdadeira. d) A afirmaes 2 e 3 so verdadeiras. e) As afirmaes 3 e 4 so verdadeiras.

2) (ITA-83) Seja a matriz A = a b

c d

, onde a

2 1 52( log ) ;

b 2 2 8log ; c log3

81 e d log3

27 .

Uma matriz real quadrada B, de ordem 2, tal que AB a matriz identidade de ordem 2 :

a) log

log3

3

27 2

2 81

d)

23

23

252

log

b)

3

22

3 5

e) log log

log

2 3

81

5 3 81

5 2 2

c)

3

22

25

2

3) (ITA-89) Sendo

213

230

121

A ento o elemento da terceira

linha e primeira coluna, de sua inversa, ser: a) 5/8 b) 9/11 c) 6/11 d) 2/13 e) 1/13

4) (ITA-89) Sabendo-se que x e y so reais, tais que x + y = /4,

verifique se a matriz yy

xx

tantan1

tan1tan2

ou no inversvel:

5) (FUVEST-96) Considere o sistema de equaes lineares:

x y z m

x y z m

x y z m

2

2 2

2 2 3 5

a) Para cada valor de m, determine a soluo (xm, ym, zm) do sistema. b) Determine todos os valores de m, reais ou complexos, para os quais o produto xmymzm igual a 32.

6) (ITA-87) Quaisquer que sejam os nmeros reais a, b e c, o determinante da matriz

c

b

a

1111

1111

1111

1111

dado por:

a) ab + ac + bc b) abc c) zero d) abc + 1 e) 1

7) (ITA-85) Dadas as matrizes:

A

x

x

x x

e B

x

x

x x

1

1

3 2

1

2

3 3

0 1

0 1

1

0 0

0 0

0

onde x1, x2 e x3 so razes da seguinte equao em x: x

3 + ax

2 + bx 2 = 0. Se det A = 4x1 e det (A B) = 8, ento

podemos afirmar que: a) det (A B) = b e a = 2 b) det A = b e a = 2 c) det B = 2 e b = 5 d) det (A B) = a e b = det A e) det A = a/2 e b = a/2

8) (UNESP-99) Seja A

3 2 1 2

1 2 3 2

/ / 0

/ / 0

0 0 1

a) Justifique, atravs do clculo do determinante, que A inversvel. b) Mostre que A

1 = A

t.

9) Mostrar que o determinante da matriz abaixo independente de x:

1)sin()cos(

1)sin()cos(

1)sin()cos(

cxcx

bxbx

axax

10) Mostrar que a equao abaixo tem soluo para x = 10 e x = 1/10:

0

111

1010

10log10loglog10

xxx

11) Se a, b e c so reais mostrar que:

2sin

2sin

2sin4

cossin1

cossin1

cossin1bacacb

cc

bb

aa

12) Mostrar, sem desenvolver, que o determinante

639

476

521

divisvel por 13. 13) Demonstrar que o determinante D divisvel por (x y) sem desenvolv-lo:

Exatas + Prof.o Nunes MATEMTICA

32

32

32

xyz

zxy

zyx

D

14) Provar que:

))()()((

111

333

cbabcacab

cba

cba

15) (PUC/RS-96) O sistema

2 4 2 4

2 3 9

3 3 3

x y z

x y z

x y nz

nas variveis x, y, e z, tem como soluo x = p, y = 2p e z = q. O valor de n + p q a) 3 b) 2 c) 0 d) 1 e) 6 16) (PUC/RJ-98) Seja a um nmero real. Para que valores de a o sistema linear: (1 + a)x + (1 a)y = 1 (1 a)x + (1 + a)y = 1 tem soluo? Para quais desses valores a soluo nica? 17) (UNICAMP-93) Resolva a seguinte sistema de equaes lineares:

2 1

2 2

2 3

2 4

x y z w

x y z w

x y z w

x y z w

18) (ITA-89) Considere a equao

x y z

4

16

4

5

1

2

7

0

3

0

0

0

, onde x, y e z so nmeros reais.

verdade que: a) a equao admite somente uma soluo b) em qualquer soluo, x

2 = z

2

c) em qualquer soluo, 16x2 = 9z

2

d) em qualquer soluo, 25y2 = 16z

2

e) em qualquer soluo, 9y2 = 16z2 19) (ITA) Determinar os valores de m para os quais o sistema.

mx y

x my

3 11 0

3 9 0 , possui soluo e os valores de m

para os quais o sistema no admite soluo.

20) (ITA-88) Sobre o sistema

032

037

028

zyx

zyx

zyx

Podemos afirmar que: a) possvel e determinado b) impossvel c) possvel e qualquer soluo (x, y, z) tal que os nmeros x, y, z formam nesta ordem, uma progresso aritmtica de razo igual a x. d) possvel e qualquer soluo (x, y, z) tal que y = (x + z)/3 e) possvel e qualquer soluo (x, y, z) tal que os nmeros x, y, z formam nesta ordem, uma progresso aritmtica de razo igual a (x + y + z)/3. 21) (ITA-89) O sistema de equaes: x + 3y z = 6 7x + 3y + 2z = 6 5x 3y + 4z = 10 a) tem somente uma soluo. b) tem infinitas solues com 9(x + y) = 14 e 9(2x z) = 40. c) tem infinitas solues com 9(x + y) = 34 e 9(2x z) = 20. d) tem infinitas solues com x dado em funo de y e z. e) no possui soluo. Gabarito 1.B 2.C 3.B 4. No inversvel 5. 6.B 7.C 17. x=-1; y=0; z=1; w=2 18.E 20. B 21.E