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x- A 0

|Fel| = K.x

Fel

Fel = - K.x

Fel = - K.x = - K( - A) = +K.A




x- A 0

Fel

- A/2

Fel = - K.x

Fel = - K.x = - K( - A/2) = +K.A/2




x- A + A0

Fel = - K.x

Fel = - K.0 = 0




x- A + A0

Fel = - K.x

Fel = - K.x = - K( + A/2) = -K.A/2

+ A/2

Fel




x- A + A0

Fel

Fel = - K.x

Fel = - K.x = - K( + A) = -K.A




x- A + A0

F = + K.A F = - K.AF = 0

Fel Fel




x- A 0

Fel = + K.A

Fel

a = Fel/m

a = +K.A/m

a


Sistema Massa-Mola Aceleração


x- A 0

Fel

- A/2

a

Fel = + K.A/2

a = Fel/m

a = +K.A/2m




x- A + A0

Fel = 0

a = Fel/m

a = 0




x- A + A0 + A/2

Fel

a

Fel = - K.A/2

a = Fel/m

a = -K.A/2m




x- A + A0

Fel

a

Fel = - K.A

a = Fel/m

a = - K.A/m




x- A + A0

Fel Fel

a

a = + K.A/m a = 0

a

a = - K.A/m


F = + K.A F = - K.AF = 0

Sistema Massa-Mola Força e Aceleração


x- A 0

Fela

V = 0


Sistema Massa-Mola Velocidade


x- A 0

Fel

- A/2

a

v




x- A + A0

v




x- A + A0 + A/2

Fel

a

v




x- A + A0

Fel

a

V = 0




x- A + A0 + A/2

Fel

a

v




x- A + A0

v




x- A 0

Fel

- A/2

a

v




x- A 0

Fela

V = 0




x- A + A0

Fel Fel

a

a = + K.A/m a = 0

a

a = - K.A/m

v = 0 v = 0vmáx


F = + K.A F = - K.AF = 0

F=f(t), a = f(t), v = f(t),

x=f(t), EM = f(t),...

Sistema Massa-Mola Força, Aceleração e Velocidade

Física 3 | Oscilações Movimento Harmônico Simples


j0



j1



j2

t

j

. tj

0 0.( )t tj j

0 .( 0)tj j

0 .tj j



j0 p/3

j = 5p/6

0 .tj j

t0 = 0st = 1s

.3 2

tp p

j

0 .03 2 3

p p pj

1

2 3 5.1

3 2 6 6

p p p p pj

0 ;3 2

radrad

s

p pj



x- A + A0

0 .tj j

X = f(t) = ?

MCU

MHS



x- A + A

j

x

r = A

cosx

Aj cosx A j

0cos( )x A tj



x- A + A

j

cos( )2

xv

v

pj

0s ( )v A en t j

v

vxx

j

vx

.cos( )2

xv vp

j

cos .cos .s2 2

xv v sen enp p

j j

0

( )xv v senj

( )xv v senj . .v r A

0 tj j

1

r = A



x- A + A

j

cos( ) x

C

a

aj p

0² cos( )a A t j

aC

ax x

j

ax

.cos( )x Ca a j p

cos .cos .sx Ca a sen enj p j p 0

( cos )x Ca a j

cosx Ca a j ². ².Ca r A

0 tj j

p

-1

r = A



x- A + A0

0² cos( )a A t j

0s ( )v A en t j

0cos( )x A tj

²a x

- A x + A

- wA v + wA

- w2A a + w2A

v = 0

a = + w2A

v = ± wA

a = 0

v = 0

a = - w2A



0s ( )v A en t j

0cos( )x A tj


0s ( ) v A en t j

0cos( ) x A tj 0cos( )

xt

Aj

0s ( )

ven t

Aj

2 2

0 0( ) cos ( ) 1 sen t tj j

2 2

1

v x

A A

2 2

2 2 21

v x

A A

2 2 2

2 21

v x

A

2 2 2 2 2 v x A

2 2 2 2 2 v A x

2 2 2 2( ) v A x

Equação de Torricelli para o MHS

Física 3 | Oscilações Movimento Harmônico SimplesExercício

1

Complete os espaços em branco.

Seja a equação que nos dá a posição de um móvel realizador de MHS:

a) A fase inicial do MHS é _____________.

b) A velocidade angular do MHS é _____________.

c) A amplitude do movimento é _____________.

d) O período é _____________.

e) A frequência é _____________.

f) A equação da velocidade é _____________.

g) A equação da aceleração é _____________.

h) A equação de Torricelli é _____________.

20cos( ) ( . .)2 4

x t S Ip p


1

20cos( )2 4

x tp p

a) A fase inicial do MHS é _____________.

b) A velocidade angular do MHS é _____________.

c) A amplitude do movimento é _____________.

d) O período é _____________.

e) A frequência é _____________.

f) A equação da velocidade é _____________.

g) A equação da aceleração é _____________.

h) A equação de Torricelli é _____________.

p/2 rad

p/4 rad/s

20 m

0cos( )x A tj

2

T

pw

2 T

p

w

2

4

p

p8 s

8 s

1 f

T

1

8 10,125 s 0,125 Hz

0,125 Hz

0( ) v Asen t j

5 ( )2 4

v sen tp p

p

5 ( )2 4

v sen tp p

p

2

0( ) a Acos t j

21,25 cos( )2 4

a tp p

p21,25 cos( )

2 4 a t

p pp

2 2 2 2( ) v A x2

2 2(400 )16

v xp2

2 2(400 )16

v xp

Resolução


2

(EsPCEx-Aman-2014) Peneiras vibratórias são utilizadas na indústria de

construção para classificação e separação de agregados em diferentes tamanhos.

O equipamento é constituído de um motor que faz vibrar uma peneira retangular,

disposta no plano horizontal, para separação dos grãos. Em uma certa indústria de

mineração, ajusta-se a posição da peneira de modo que ela execute um movimento

harmônico simples (MHS) de função horária x = 8 cos(8pt), em que x é a posição

medida em centímetros; e t, o tempo em segundos. O número de oscilações a cada

segundo executado por essa peneira é de

a) 2 b) 4 c) 8 d) 16 e) 32

Resolução

8cos(8 )x tp0cos( )x A tj

8rad

s p

2 f p 8 2 fp p8

2 f

p

p4 Hz


3

(UFMG - adaptada) Em uma feira de ciências, Rafael

apresenta um dispositivo para traçar senoides, como o

mostrado na figura a seguir Esse dispositivo consiste

em um pequeno funil cheio de areia, que, pendurado

na extremidade de um fio longo, oscila num plano

perpendicular à direção do movimento da esteira

rolante, mostrada na figura. A areia escoa, lentamente,

do funil sobre a esteira, que se move no sentido

indicado pela seta. Quando a esteira se move a umavelocidade de 5,0 cm/s, observa-se que a distância entre dois máximos

sucessivos da senoide é de 20 cm. Considerando as informações dadas e a

situação descrita:

1. Calcule o período de oscilação do funil.

Em seguida, Rafael aumenta quatro vezes o comprimento do fio que prende o

funil.

2. Sabendo que o período de um pêndulo é dado por , calcule a dis-

tância entre os máximos sucessivos da senoide nesta nova situação.

2L

Tg

p


4 s

Movimento Harmônico SimplesExercício

3

1. A distância entre dois máximos é percorrida pela

esteira exatamente em um período

de oscilação do pêndulo, ou seja, num intervalo de

tempo t = T. Logo:

Sv

t

Sv

T

205

cmcm

s T

20

5

sT

A distância entre dois máximos sucessivos é a distância percorrida pela esteira S

no novo período T2 = 8 s, ou seja:

1 2 4 L

T sg

p 2

42

LT

gp 2 2

L

gp 12 T 2 4 8 s

Sv

t S v t 2 v T 5 8

cms

s40 cm

2. Comparando os período inicial (T1) com o novo período teremos:

Resolução


4

(UFPR 2010) A peça de uma máquina está

presa a uma mola e executa um movimento

harmônico simples, oscilando em uma

direção horizontal. O gráfico a seguir

representa a posição x da peça em função

do tempo t, com a posição de equilíbrio em

x = 0. Com base no gráfico, determine:

a) O período e a frequência do sistema

peça-mola.

b) Os instantes em que a velocidade da

peça é nula. Justifique a sua resposta.

c) Os instantes em que a aceleração da

peça é máxima. Justifique a sua resposta.


4

a) Pelo gráfico, um ciclo completo de

oscilação demora 4 s. Logo, T = 4 s.

A frequência é o inverso do período, ou

seja:

1 10,25

4 f Hz

T

b) A velocidade num oscilador em MHS é nula quando a elongação x é máxima, ou

seja, x = + A ou x = - A (no caso x, = ± 2 m).

Portanto, no intervalo dado no gráfico: t = 1 s, t = 3 s e t = 5 s.

c) A aceleração num oscilador em MHS é máxima quando a força é máxima, o que

corresponde às elongações máximas (no caso, x = ± 2 cm) que coincidem com as

posições de velocidade nula (ver item “b”).

Portanto, no intervalo dado no gráfico, temos os mesmos instantes:

t = 1 s, t = 3 s e t = 5 s.

Resolução


5

(UPE 2014) Um gerador que produz energia

a partir das ondas do mar consiste

essencialmente em uma boia que sobe e

desce com o movimento das ondas, fazendo

um motor girar e produzir eletricidade. Com o

objetivo de verificar a disponibilidade e

eficiência dessa forma de geração de energia

na costa pernambucana, um grupo de

pesquisadores instalou uma boia no mar.

Um trecho do gráfico da altura da boia y em função do tempo t é mostrado a seguir.

A altura foi medida em relação ao nível da água do mar sem ondas. Com base

nessas informações, a equação que descreve, da melhor forma, o gráfico mostrado

é

a) y(t) = (0,3 m) sen(pt)

b) y(t) = (0,3 m) cos(pt)

c) y(t) = (0,3 m) sen(0,5pt)

d) y(t) = (30 m) sen(1,5pt)

e) y(t) = (30 m) cos(1,5pt)


5

0,3A m

Do gráfico:

2T s

2

T

p

2

2

p rad

sp

0 0y m

Pelas alternativas temos .

Precisamos optar por usar uma das seguintes funções:

0( ) y A sen tj 0,3 ( ) y sen tp

OU

0cos( ) y A tj 0,3 cos( ) y tp

0 0 radj

0 0t 0,3 ( 0) y sen p 0,3 (0) y sen 0,3 0 0,0 y m

0,3 cos( 0) y p 0,3 cos(0) y 0,3 1 0,3 y m

Alternativa: A

Resolução


(UFB) A função horária da elongação de uma partícula em MHS é x = 4∙cos( +pt);

no SI, determine:

a) a função horária da velocidade.

b) a velocidade máxima e a velocidade mínima.

c) o gráfico da velocidade em função do tempo.

d) a função horária da aceleração.

e) a aceleração máxima e a aceleração mínima.

f) o gráfico da aceleração em função do tempo.

g) o gráfico da aceleração a em função da elongação x.

Extra

1Movimento Harmônico Simples

Física 3 | Oscilações Movimento Harmônico SimplesExtra

1

4cos( )x tp 0cos( )x A tj A = 4 m; f0 = 0 e w = p rad/s.

a) 0( ) v Asen t j w 4 ( ) v sen tp p

b) min 4 m

vs

p m 4 áx

mv

spe

2

T

p

2 T

p

2

p

p2 s

c)

0,0 : 4 ( 0) 4 (0) 0 m

t s v sen sens

p p p

10,5 : 4 4 4

2 2

mt s v sen sen

s

pp p p p

1,0 : 4 1 4 0 m

t s v sen sens

p p p p

3 31,5 : 4 4 4

2 2

mt s v sen sen

s

pp p p p

Resolução


d) 2

0cos( ) a A t j w 24 cos( ) a tp p

e) 2

min 24

ma

sp 2

m 24 áx

ma

spe

f)

2 2 2

20,0 : 4 cos( 0) 4 cos(0) 4

mt s a

sp p p p

2 2

2

10,5 : 4 cos( ) 4 cos( ) 0

2 2

mt s a

s

pp p p

2 2 2

21,0 : 4 cos( 1) 4 cos( ) 4

mt s a

sp p p p p

2 2

2

3 31,5 : 4 cos( ) 4 cos( ) 0

2 2

mt s a

s

pp p p

2 2 2

22,0 : 4 cos( 2) 4 cos(2 ) 4

mt s a

sp p p p p

Extra

1


2

T

p

2 T

p

2

p

p2 s

Resolução


g) 24 cos( ) a tp p

4cos( )x tp

24cos( ) a tp p 2 a xp ²a x

Função linear

(reta inclinada decrescente e que passa pela origem)

Intervalo de valores de x:

- 4 m x + 4 m

Intervalo de valores de a:

- 4p² m/s² a + 4p² m/s²

Extra

1


2

T

p

2 T

p

2

p

p2 s

Resolução


(Ufes) Uma partícula pontual realiza, na vertical, um movimento harmônico simples

(MHS), dado por:

y(t) = A.cos(wt)

O plano de oscilação da partícula é perpendicular ao eixo principal (eixo x) de um

espelho esférico côncavo gaussiano e está a uma distância do vértice igual a

três vezes a distância focal do espelho. Determine:

a) a frequência angular de oscilação da imagem da partícula.

b) a amplitude de oscilação da imagem.

c) a diferença de fase F entre o movimento de oscilação da partícula e o da sua

imagem.

Extra

2Movimento Harmônico Simples


a) A frequência angular

de oscilação da imagem

é a mesma do objeto:

w.

Usando nossos conhecimentos de Óptica Geométrica:

C F3F

C F3F

C F3F

Ao

Ao

Ai

Ai

fA

f p 3

f

f f 2

f

f

1

2

b) Pela equação do aumento linear

transversal:

2 o

i

AA

c) Objeto e imagem oscilam

em oposição de fase.

Logo, a diferença de fase entre

as oscilações vale p rad.

cos( )o oy A t

cos( ) i iy A tp

Exemplo:

Extra

2

Resolução

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