~ 1 ~

21 – Noções de Matemática Financeira

PORCENTAGEM

Ao escrevermos 13% lemos “treze por cento” e significa que estamos considerando 13 partes em cada 100 .

13

13% = 100

é uma razão centesimal (razão de consequente 100 )

Razões como essa de consequente igual a 100 são denominadas de taxas percentuais.

O valor correspondente à taxa percentual é chamado de porcentagem.

Exemplos:

1. 10% de 70 é igual a 7

10

x 70 = 7 porcentagem100

2. 25% de 100 é igual a 25

25

x 100 = 25 porcentagem100

Pelos dois últimos exemplos notamos que: aplicando uma taxa percentual que chamamos de i sobre um

valor C , determinamos uma porcentagem p .

C corresponde ao inteiro 100%

p corresponde à fração i%

Sendo uma regra de três simples e direta, escrevemos:

C 100 =

p i

Utilizando esta expressão podemos calcular o valor da porcentagem p ou da taxa percentual i ou do capital

(principal) C , conhecido o valor das outras duas.

Exemplos:

1. Numa cidade de 5 000 habitantes, 1 200 são mulheres. Determinar a taxa percentual de mulheres.

C = 5 000 C 100Em = , isolando i temos:

p ip = 1 200

100pi = ?i =

C

100 1 200i = = 24%

5 000

2. Um quadrado tem uma área igual a 29 m . Se aumentarmos o lado de 50% , qual o valor da área desse novo

quadrado?

A área do quadrado é 2A = = 9 = 9 = 3m

2

= C = 3 C 100Em = , isolando p temos:

p ii = 50%

C ip = ? (aumento)p =

100

3 50p = = 1,5 p = 1,5

100

novo lado = 3 + 1,5 = 4,5 m

nova área = 4,5 4,5 = 20,25 m

~ 2 ~

3. Num cercado, 25% dos animais são cavalos; 40% são bois e há 70 carneiros. Qual o total de animais?

total percentual = 100%

taxa percentual dos carneiros = 100 - 25 - 40 = 35%

i = 35% C 100Em = , isolando C temos:

p ip = 70

100pC = ? (total de animais)C =

i

100 70C = = 200

35

4. Qual é o valor da taxa percentual se 2i = (10%) + 100% ?

Lembrando que 10

10% = 100

e 100

100% = 100

, substituímos:

2 210 100 1 1 1 + 100 101

i = + = + 1 = + 1 = = = 101%100 100 10 100 100 100

EXERCÍCIOS

111))) Calcular o valor de 3,8% de R$ 2 000,00 .

222))) Qual a taxa percentual que 125 representa de 250 ?

333))) Uma pessoa aplicou R$ 13 000,00 e teve um rendimento de 18% sobre o valor aplicado. Qual foi o valor do

seu rendimento?

444))) O valor de uma passagem de ônibus foi majorado de R$ 1,10 para R$ 1,35 . Qual foi a taxa percentual

aproximada do aumento?

555))) Numa classe 40% dos alunos são meninas e os meninos são 27 . Calcule o número de alunos desta classe.

666))) Comprando uma calça à vista, obtenho um desconto de R$ 9,00 correspondente a 20% do seu preço.

Calcule o preço da calça.

777))) Se a área de um círculo foi aumentada de 2314cm para 2490,625cm , qual foi a taxa percentual de aumento

dada ao seu raio? Dado 156,25 = 12,5 .

888))) Um livro tem marcado seu preço na capa: R$ 36,00 e é vendido pelas livrarias com 30% de lucro sobre o

preço da capa. Quanto lucrou um livreiro que vendeu 280 desses livros?

999))) Três cidades devem fornecer ao exército 4 800 homens. A primeira tem 30 000 habitantes; a segunda

50 000 e a terceira 80 000 . Quantos homens deve fornecer cada cidade?

Sugestão: total = 30 000 + 50 000 + 80 000 = 160 000

percentual da 1ª cidade = 3 000 000 : 160 000 = 18,75%

111000))) Calcule o valor da taxa percentual 2i = (100%) .

JUROS

O pagamento feito pelo uso de dinheiro tomado emprestado ou aplicado, nos dá uma idéia de juros.

O dinheiro tomado emprestado ou aplicado é chamado de capital ou principal; o dinheiro pago pela

utilização desse capital recebe o nome de juro, que é função do número de períodos de tempo t ou n e de taxa de

juros i.

TAXA DE JUROS

Taxa percentual corresponde ao juro do capital $ 100 no período determinado pela unidade de tempo.

Exemplo:

i = 3% a.m. (ao mês), significa que a cada $ 100 aplicados rendem $ 3 de juros por mês.

~ 3 ~

TAXA UNITÁRIA

Corresponde ao juro do capital $ 1 no período determinado pela unidade de tempo.

Exemplo:

i = 0,15% a.a. (ao ano), significa que a cada $ 1 aplicados rende $ 0,15 de juro por ano.

Nota:

Para transformar a taxa percentual em taxa unitária basta dividir a taxa percentual por 100. Naturalmente, da

unitária para a percentual multiplicamos a unitária por 100.

Exemplos:

percentual unitária

30% a.a. = 0,30 a.a.

1,5% a.m. = 0,015 a.m.

CLASSIFICAÇÃO DOS JUROS

Os juros podem ser: juros simples ou juros compostos conforme o processo utilizado no seu cálculo.

Juros simples quando os juros de cada período são calculados sempre em função do capital inicial.

Para definirmos juros compostos, vamos definir primeiramente montante:

Montante = Capital + Juros

Juros compostos quando ao final de cada período de capitalização, o montante se torna capital para o período

seguinte e assim por diante.

JUROS SIMPLES

Seja o capital C aplicado à taxa unitária i durante um prazo de n períodos de tempo.

Vamos determinar os juros simples decorrentes desta publicação.

1 1 período i

C n períodos J

Sendo a grandeza juros diretamente proporcional ao capital, à taxa e aos n períodos (tempo), podemos

escrever:

J = C i n

Cálculo do Montante

Vimos que

Importantíssimo:

a) Para a utilização dessas duas expressões de juros e montante na resolução de problemas de juros simples,

a taxa (i) e o prazo como número de períodos (n) devem referir-se à mesma unidade de tempo, ou seja, se

o tempo está expresso em anos, a taxa tem que ser anual, se o tempo em meses, a taxa deve ser mensal e

assim por diante. Caso contrário, devemos fazer as devidas conversões.

b) A taxa de juros utilizada nas fórmulas de juros e montante deve ser sempre a taxa unitária.

Montante Capital+ Juros

M C + J, substituindo J = C i n temos:

M C + C i n, colocando C em evidência:

M C (1+i n)

~ 4 ~

Exemplos:

1. Calcular os juros simples produzidos pela aplicação de R$ 3 600,00 à taxa 15% a.a., durante 6 meses.

C = R$ 3 600,00

i = 15% a.a. ÷ 100 temos a taxa unitária de 0,15 a.a.

6 1n = 6 meses convertidos em anos temos = ano

12 2

J = ?

J = C i n

1J = 3 600 0,15 = 270

2

J = R$ 270,00

2. Qual o capital que produziu R$ 300,00 a 20% a.t. (ao trimestre) durante 9 meses?

C = ?

J = R$ 300,00

i = 20% a.t. ÷ 100 temos a taxa unitária de 0,20 a.t.

n = 9 meses = 3 trimestres

J = C i n ou C i n = J

JC =

i n

300C = = 500

0,20 3

C = R$ 500,00

3. Determine o tempo em que aplicado o capital R$ 12 000,00 rendeu de juros de R$ 240,00 à taxa de

0,2% a.m..

C = R$ 12 000,00

J = R$ 240,00

i = 0,2% a.m. ÷ 100 = 0,002 a.m.

n = ?

J = C i n ou C i n = J

Jn =

C i

240n = = 10

12 000 0,002

n = 10 meses

4. Qual é a taxa mensal que aplicada ao capital de R$ 20 000,00 em 3 anos rende R$ 36 000,00 ?

i = ?

C = R$ 20 000,00

n = 3 anos 12 = 36 meses

J = R$ 36 000,00

J = C i n

Ji =

C n

36 000i = = 0,05

20 000 36

i = 0,05 a.m. (taxa unitária)

i = 0,05 100 = 5% a.m.

~ 5 ~

5. Qual o montante que o capital de R$ 5 000,00 aplicado a uma taxa 3,6% a.m. atinge 20 dias?

M = ?

C = R$ 5 000,00

i = 3,6% a.m. ÷ 30 = 0,12% a.d. (ao dia) ÷ 100 0 0012 a.d.

n = 20 dias

M = C 1 + i n

M = 5 000 1 + 0,0012 20

M = 5 000 1 + 0,024 = 5 000 1,024 = 5 120

M = R$ 5 120,00

,

EXERCÍCIOS

111111))) Depositei em um banco R$ 300,00 a 6% a.a. durante 3 meses. Quanto ganhei?

111222))) Qual o montante produzido por R$ 4 000,00 em 4 meses à taxa de 12% a.a.?

111333))) Durante quanto tempo devo aplicar um capital de R$ 40 000,00 a 20% a.a. para obter uma importância de

juros igual ao capital aplicado?

111444))) Calcule os juros simples resultantes da aplicação de R$ 3 000,00 a uma taxa de 15% a.a. por um período de

9 meses.

111555))) Quanto terei depois de 5 anos aplicando R$ 50 000,00 a 2% a.m. ?

111666))) Um investidor aplicou R$ 20 000,00 por 30 dias a uma taxa de 12% a.a.; R$ 25 000,00 por 42 dias a uma

taxa de 15% a.a. e R$ 32 000,00 por 60 dias a uma taxa de 30% a.a.. Qual o total de juros que ele obteve?

111777))) Qual será o valor do capital acumulado após 11 meses e 10 dias, produzido por R$ 1 200,00 aplicados a

15% ao bimestre?

111888))) Qual o capital que a 5% a.a. rende R$ 2 500,00 em 4 bimestres?

111999))) A que taxa foi emprestado o capital de R$ 15 000,00 , que em 3 anos rendeu R$ 1 800,00 ?

222000))) Qual foi o capital que aplicado em 6 meses à taxa de 18% a.a. produziu o montante de R$ 915 600,00 ?

JUROS COMPOSTOS

Vimos que no regime de capitalização composta, os juros do 1º período são calculados em função do capital

inicial e incorporados a ele formam o novo capital para o cálculo dos juros do 2º período e assim por diante.

Cálculo do Montante

Seja um capital C aplicado a juros compostos, à taxa unitária i durante um determinado período n . No final

de cada período teremos um montante M :

No final do 1º período:

1J = C i 1

M = C + Ci 1M = C 1 + i

No final do 2º período:

2J = C 1 + i i 2

M = C 1 + i + C 1 + i i 2

2M = C 1 + i

No final do 3º período:

2

3J = C 1 + i i

2 2

3M = C 1 + i + C 1 + i i

3

3M = C 1 + i

No final do n-ésimo período:

n

nM = C 1 + i

~ 6 ~

Exemplos:

1. Aplicando R$ 5 000,00 a juros compostos, a 8% a.m. durante 2 meses, qual o valor do montante e dos

juros adquiridos?

n

2

2

C = R$ 5 000,00 M = C 1 + i

i = 8% a.m. = 0,08 a.m. M = 5 000 1 + 0,08

n = 2 meses M = 5 000 1,08

M = ? M = 5 000 1,17

J = ? M = R$ 5 832,00

Como M = C + J, então

J = M - C

J = 5 832 - 5 000

J = R$ 832,00

2. Qual o capital que, aplicado a juros compostos à taxa de 3% a.d. (ao dia), produz em 5 dias um montante de

R$ 231,85 ?

Dados: log 1,03 = 0,0128 e log 1,16 = 0,0642

n n

5

5

5

i = 3% a.d. = 0,03 a.d. M = C 1 + i ou C 1 + i = M

n = 5 dias C 1 + 0,03 = 231,85

M = R$ 231,85

C = ? Chamando x = 1,03 e aplicando log:

log x = log 1,03

log x = 5 log 1,03

log x = 5 0,0128

log x = 0,0

642 x = 1,16

231,85C = 200

1 16

Então C = R$ 200,00

,

3. Por quanto tempo o capital de R$ 600,00 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 6% a.m. para que

montante produzido seja de R$ 902,18 ?

Dados: log 1,06 = 0,0253 e log 1,503 = 0,1771

n

n

n n

n

C = R$ 600,00 M = C 1 + i

i = 6% a.m. = 0,06 a.m. 902,18 = 600 1 + 0,06

902,18M = R$ 902,18 1,06 = 1,06 = 1,503

600

n = ? log 1,06 = log 1,503

log 1,503n =

log 1,06

0,1771n = 7 n = 7 meses

0 0253,

~ 7 ~

4. Que taxa devo aplicar ao capital de R$ 80 000,00 a juros capitalizados mensalmente durante 2 meses para

obter os juros de R$ 16 800,00 ?

Dados: log 1,21 = 0,0828 e log 1,10 = 0,04139

n

2

2 2

2

C = R$ 80 000,00 M = C 1 + i

n = 2 meses 96 800 = 80 000 1 + i

M = C + J = 80 000 + 96 800 = 1 + i 1 + i = 1,21

+ 16 800 = R$ 96 800,00 80 000

i = ? log 1 + i = log 1,21

2 log 1 + i = 0,0828

log 1 +

0,0828

i = = 0,041392

1 + i = 1,10 i = 0,10 ou i = 10% a.m.

EXERCÍCIOS

222111))) Calcule o montante produzido pelo capital de R$ 200 000,00 capitalizados mensalmente durante 2 meses à

taxa de 5% a.m. .

22) Aplicando R$ 65 000,00 a juros compostos durante 3 trimestres capitalizados mensalmente à taxa de

2% a.m. , determine o montante resultante e os juros. Dados: log 1,02 = 0,0086 e log 1,1950 = 0,0774 .

23) Qual o capital que aplicado a juros compostos a 7,5% a.a. produz o montante de R$ 76 930,81 em 15 anos?

Dados: log 1,075 = 0,0314 e log 2,9589 = 0,4711 .

24) Durante quanto tempo devo aplicar R$ 15 000,00 a juros compostos a 4% a.m. para atingir o montante de

R$ 18 249,79 ? Dados: log 1,04 = 0,0170 e log 1,22 = 0,0852 .

25) O jovem Evaristo tomou emprestado de uma tia amiga R$ 5 000,00 à 25% a.m. Qual será o montante que

irá pagar após 18 meses? Dados: log 1,25 = 0,09691 e log 55,51 = 1,7443 .

26) Descontando um título de valor nominal (montante) R$ 6 000,00 a 15% a.m. antecipado em 20 meses, qual

o capital recebido? Dados: log 1,15 = 0,06069 e log 16,366 = 1,2139 .

27) A que taxa deve aplicar R$ 1 000,00 para obter o montante de R$ 1 266,00 após 8 meses? Dados:

log 1,266 = 0,1024 e log 1,03 = 0,0128 .

28) A que taxa deve aplicar R$ 12 000,00 para atingir o montante de R$ 30 000,00 após 19 meses? Dados:

log 2,50 = 0,3979 e log 1,05 = 0,02094 .