ENCARTE ESPECIALMATEMATICA3

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EJ oo tinha 14 carrinhos, ganhou 5.Com quantos ficou?

de mais ou de menos? U, se ele ganhou, ento s pode

ser de mais! Maria tem 7 bonecas. Quando ela

mudou de casa, 3 sumiram. Com quan-tas bonecas ela ficou?

Esse de menos porque ela per-deu as bonecas...

Quantas vezes voc j ouviu comen-trios como esse ao formular um pro-blema matemtico para a turma? Osalunos ficam aflitos para saber qualoperao usar e chegar ao resultado

final e voc, muitas vezes, precisa do-mar a tentao de dar a dica. Quandoas operaes so assim apresentadas,h a tendncia de a turma acreditarque ambas so opostas e conflitantes,quando na verdade elas podem serconsideradas irms gmeas. pos-svel resolver o mesmo problema usan-do uma ou outra porque h vrios ca-minhos que levam resoluo, dizPriscila Monteiro, formadora do pro-grama Matemtica D+, da Funda-o Victor Civita.

Um dos primeiros pesquisadores arelacionar esses clculos como sendo

Operaes irmsTeoria do campo aditivoestimula o aluno a pensar na complexidade da adio e da subtrao e a entend-las como operaescomplementaresCAROLINA COSTAnovaescola.abril@atleitor.com.br

TEORIA

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Um novo jeito de fazer contasAo lidar com o conceito de campo aditivo, voc perceber que as diferenas de abordagem em relao maneira tradicional no se restringem aoenunciado: os caminhos que o aluno usa para resolver o desafio do enunciadoso importantes e devem ser valorizados na discusso em grupo.

ENUNCIADO

PALAVRA-CHAVE

COMO O ALUNO PENSA

RESOLUO

INTERAO COM O ALUNO

REGISTRO

Fontes: Lcia Mesquita e Virgnia Villaa, professoras do Ensino Fundamental do Colgio Santa Cruz, em So Paulo

PERSPECTIVA ANTERIOR

A incgnita est sempre no fim do enunciado (5 + 5 = ?;16 - 3 = ?)

Palavras como ganhar e perder do certeza ao aluno sobre a operao a ser usada

Para chegar ao resultado, preciso saber qual operaousar (soma ou subtrao)

Est diretamente ligada operao proposta noenunciado

Cabe ao professor validar ouno a resposta encontrada

Conta armada

PERSPECTIVA DO CAMPO ADITIVO

A incgnita pode estar em qualquer parte do enunciado (? + 5 = 10; 16 - ? =13)

No se estimula o uso. As crianas precisam analisar os dados do problema para decidir a melhorestratgia a ser utilizada

Com vrias possibilidades de chegar ao valor final, o aluno tem mais autonomia e o pensamento fica menos engessado

Est atrelada anlise dasinformaes e criao de procedimentos prprios

O professor prope discusses emgrupo e o aluno tem recursos parajustificar seus procedimentos

O percurso do raciocnio valorizado,seja ele feito com contas parciais,armadas ou no, desenho de pauzinho ou outra estratgia

CAMPO ADITIVORE

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as duas faces de uma mesma moeda foio psiclogo francs Grard Vergnaud,em 1977, ao elaborar a teoria dos cam-pos conceituais (leia entrevista na pg.71). Preocupado com as dificuldadesdas crianas no aprendizado de ope-raes elementares, o pesquisador pro-curou conhecer os procedi-mentos mais utilizadospor elas. Dentro e fo-ra da escola, os pe-quenos j lidamcom situaes queenvolvem ganhar,perder, tirar, acres-centar, juntar e com-parar. Elas costumamcompreender com maisfacilidade quando os pro-blemas esto relacionados a es-sas noes, observa Milou Sequerra,coordenadora pedaggica de 1o e 2o

anos do Colgio Santa Cruz e estudio-sa do assunto. Assim, Vergnaud for-mulou a idia de campos conceituais,que pode ser utilizada em qualquerrea das cincias. Em Matemtica, elaengloba, entre outras, as noes decampo aditivo e campo multiplicati-vo, tema do encarte da edio de ju-nho de NOVA ESCOLA.

Pistas do problema Vergnaud divide o campo aditivo emcinco classes. As caractersticas de ca-da uma delas podem ser percebidas pe-la forma como elaborado o enuncia-do (leia exemplos no quadro da pg. 70).So elas:Transformao Alterao do esta-do inicial por meio de uma situaopositiva ou negativa que interfere noresultado final; Combinao de medidas Junode conjuntos de quantidades preesta-belecidas; Comparao Confronto de duasquantidades para achar a diferena; Composio de transformaes Alteraes sucessivas do estado inicial; Estados relativos Transformaode um estado relativo em outro estado

relativo (essa categoria no aborda-da nos Parmetros Curriculares Nacio-nais de 1 a 4 srie por ser de maiorcomplexidade e, por isso, no tratare-mos de problemas referentes a ela).

Alm de identificar essas situaespara elaborar o enunciado do pro-

blema, preciso ficar aten-to para oferecer ao alu-

no a possibilidade derealizar vrias ope-raes, positivas ounegativas. im-portante variar olugar em que a in-

cgnita colocada.A alterao do X da

questo possibilita ra-ciocnios diferentes, aju-

dando o estudante a entendero sentido das operaes e ampliandoas opes de resoluo, observa Pris-cila Monteiro (voc encontra mais noquadro abaixo).

D para perceber que essas novasconcepes mudam totalmente a ma-neira de ensinar problemas de adioe subtrao, certo? Se antes a contaarmada era a nica opo disponvel,agora o aluno tem variados caminhospara chegar ao fim, assim como re-gistrar esse percurso.

Da mesma forma como h um le-que de situaes matemticas, tam-bm o aluno pode buscar variados ca-minhos para encontrar o resultado.Vamos entender como isso funcionacom a ajuda de um exemplo: Numagincana escolar, a turma B fez 48 pon-tos, e a A, 29. Quantos pontos a tur-ma A precisa fazer para ficar igual B? Colocar um nmero em cima dooutro e fazer a conta armada ape-nas uma forma de resolver essa ques-to mas no a nica.

Um aluno pode partir do 29 e ir con-tando de um em um at chegar ao 48,encontrando o resultado por meio do

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Os diferentes caminhos para a resoluo de problemasVoc pode usar a teoria do campo conceitual da qual o campo aditivo faz parte para melhor organizar as prticas em sala de aula: nos problemas apresentados, observe se os significados envolvidos esto sendo explorados. Dessa forma, as crianas percebem que diferentes situaes podem ser resolvidas pelo uso de uma mesma operao. Acompanhe a seguir alguns exemplos de problemas.

Fonte: Clia Maria Carolino Pires, professora titular do Departamento de Matemtica, coordenadora do curso de Licenciatura em Matemtica e professora do Programa de Estudos Ps-Graduados em Educao Matemtica da PUC-SP

TRANSFORMAO POSITIVA DE UM ESTADO INICIAL

EXEMPLOMarina tinha 20 figurinhas eganhou 15 num jogo. Quantasfigurinhas ela tem agora?

Pedro tinha 37 bolinhas, masperdeu 12. Quantas bolinhasele tem agora?

Numa classe, h 15 meninose 13 meninas. Quantascrianas h ao todo?

Paulo tem 13 carrinhos e Carlos tem 7 a mais que ele. Quantos carrinhostem Carlos?

No incio do jogo, Flvia tinha42 pontos. Ela ganhou 10pontos e, em seguida, mais 25. O que aconteceu com seuspontos no fim?

OBSERVAO VARIAES Marina tinha algumas figurinhas,ganhou 15 num jogo e ficou com 35.Quantas figurinhas ela tinha?

Pedro tinha vrias bolinhas,perdeu 12 e agora tem 25. Quantas bolinhas ele tinha antes?

Em uma classe de 28 alunos, h alguns meninos e 13 meninas.Quantos so os meninos?

Paulo tem 13 carrinhos, e Carlos,20. Quantos carrinhos a mais Pauloprecisa para ter o mesmo que Carlos?

No incio do jogo, Flvia tinha 42 pontos. Ela perdeu 10 pontos e, em seguida, perdeu mais 25. O que aconteceu com seus pontos no fim?

Marina tinha 20 figurinhas.Ganhou algumas e ficou com 35.Quantas figurinhas ela ganhou?

Na semana passada, Pedro tinha37 bolinhas. Hoje tem 25. O queaconteceu no decorrer da semana?

Em uma classe de 28 alunos, 15 so meninos. Quantas so as meninas?

Carlos tem 20 carrinhos. Paulo tem 7 a menos que ele.Quantos carrinhos tem Paulo?

No incio do jogo, Flvia tinha 42 pontos. Ela ganhou 10 pontose, em seguida, perdeu 25. O que aconteceu com seus pontos no fim?

TRANSFORMAO NEGATIVA DE UM ESTADO INICIAL

COMBINAO DE MEDIDAS

COMPOSIO DE TRANSFORMAES

ILUS

TRA

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LLU

S

tirar

acrescentar? 15 25

juntar

comparar

COMPARAO

acrescentar/acrescentar

tirar/tirar

acrescentar/tirar

20 ? 35

? 12 25

13 ?20

37 ? 25

1328

?

?28

15

20 7 ?

42 10 25 ? 42 10 25 ?

+ +

+

Do pensamento ao conceitoO psiclogofrancs GrardVergnaud valorizaos caminhos que o aluno percorrepara solucionar um problema.Discpulo de Jean

Piaget (1896-1908) e Lev Vygotsky(1896-1934), Vergnaud sugere quediversas reas do conhecimento sejamensinadas sob a perspectiva doscampos conceituais, que nada mais so do que a apreenso progressiva de conceitos por meio de um conjuntovariado de problemas, contedos,situaes, estruturas e relaes. Em Matemtica, ele concebeu as estruturas aditivas e asmultiplicativas. Aqui, os principaistrechos da entrevista dada pelopsiclogo, por e-mail, a NOVA ESCOLA.

Por que importante pensaradio e subtrao sob o enfoque do campo aditivo?Porque no se pode entenderseparadamente o desenvolvimentocognitivo e o aprendizado de umconceito. Desenvolvemos conceitos erepresentamos objetos e pensamentospor meio de suas caractersticas gerais,

para enfrentar situaes. E sempre huma variedade enorme de situaesenvolvidas na formao de um conceito e tambm uma variedade de conceitosenvolvidos no entendimento de umasituao. Juntos, eles formam sistemasprogressivamente organizados, quedevem ser estudados ao mesmo tempo.

O que o levou a incluir os problemas matemticos nessaperspectiva?As primeiras idias das crianas arespeito de adio e subtrao sedesenvolvem entre 4 e 6 anos. Noentanto, existem problemas queimplicam apenas uma adio e quemuitos alunos no conseguem entender,mesmo depois de concluir o primeirociclo do Ensino Fundamental.Pior: s vezes eles desenvolvem idiaserradas sobre determinados conceitos.Ento, til tentar classificar essassituaes e analisar as dificuldades e os obstculos epistemolgicosencontrados por esses estudantes.

Quais as dificuldades dos alunospara compreender problemas de adio e subtrao?O mais comum no saber o que fazerquando o estado inicial ou a

transformao so desconhecidos,pois geralmente se pede o valor final,que sempre maior do que o inicial.Alguns ficam em dvida quando atransformao uma subtrao.Outro ponto a resistncia emconceber, num mesmo raciocnio,operaes com nmeros de sinaisdiferentes (negativo e positivo).

Por que o conceito de campoaditivo ainda pouco utilizadonas escolas?A teoria no difcil, mas ela nocorresponde ao senso comum,formado pelos prottipos quetambm os professores aprenderam e continuam a ter em mente sobreadio e subtrao. O conceito decampo aditivo precisa ser explicadocom cuidado, com muitos exemplos.

Essa forma de ensinar pode ser usada em quais reas?Em estruturas multiplicativas comcerteza, mas tambm em lgebra,geometria e em outros contedos que no so da Matemtica, comoBiologia, moral e tica, compreensode textos e competncias profissionais e sempre que voc precisar fazeranlises e pesquisas especficas.

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licenciatura em Matemtica da Ponti-fcia Universidade Catlica de So Pau-lo. As estratgias encontradas, a manei-ra como defendem ou validam o que

fizeram e a comparao comas solues dos colegas

tm tanto ou mais va-lor que o resultadocerto. Clia ressaltaa importncia de oprofessor socializarcom a classe as so-

lues encontradaspelos alunos. Essa

prtica ajuda as crian-as a perceber as diferen-

tes formas de encontrar a so-luo e permite que elas faam as es-colhas dos procedimentos mais prti-cos e econmicos.

complemento. Outro jeito comeardo 48 e ir subtraindo at alcanar o 29.H a possibilidade de escolher um n-mero qualquer e ir ajustando as hip-teses at chegar ao 48, obten-do o valor final atravs desucessivas adies. No difcil que os me-nos experientes nes-sas operaes op-tem por desenharpauzinhos, contarnos dedos ou aindaprocurem os nme-ros com a ajuda deuma tabela.

As crianas no resolvemproblemas s quando j tm um mo-delo pronto, lembra Clia Maria Ca-rolino Pires, coordenadora do curso de

QUERSABER+?CONTATO Colgio Santa Cruz, Av. Arruda Botelho, 255,05466-000, So Paulo, SP, tel. (11) 3024-5199BIBLIOGRAFIA A Matemtica na Escola: Aqui e Agora,Delia Lerner, 192 pgs., Ed. Artmed, tel. 0800-703-3444, 42 reais Aprender Matemtica ResolvendoProblemas, Vania Marincek e Zlia Cavalcanti(coord.), 86 pgs., Ed. Artmed, 30 reais Cadernos da TV Escola PCN na Escola,disponveis na internet emportal.mec.gov.br/seed/arquivos/pdf/matematica1.pdf Didtica das Matemticas, Jean Brun (dir.), 280 pgs., Ed. Instituto Piaget, tel. (51) 3371-3383, 65,90 reais Ensinar Matemtica na Educao Infantile nas Sries Iniciais Anlise e Propostas,Mabel Panizza e colaboradores, 188 pgs., Ed. Artmed, 40 reais

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