Gabarito 24/05

Turma 1

1. Calcule a soma dos termos de cada uma das seguintes PG:

a) (5, 1, 1/5,...)

O fato do enunciado não explicitar a quantidade de termos dessa PG faz com que

consideremos ela como infinita.

A fórmula da soma de infinitos termos de uma progressão geométrica funciona

apenas quando a razão q é maior que -1 e menor que 1, ou seja, -1 < q < 1. Assim,

devemos verificar se a razão obedece a esse critério e, com as informações do

enunciado e tendo conhecimento da fórmula, podemos chegar á soma desejada.

Observando a sequência, vemos que 5 é o primeriro termo e 1 é o segundo, o que

nos leva a perceber que 1 é o produto de 5 pela razão, então:

5.q= 1

q= 1/5= 0,2

Como -1<0,2<1, podemos aplicar a fórmula:

Sn= a1/(1-q)= 5/(1-1/5)= 5/(5/5 - 1/5)= 5/(4/5)= 5/0,8= 6,25

Concluímos que a soma dos termos resulta em 6,25.

b) (20, 10, 5,...)

Devemos resolver do mesmo modo que o exercício anterior, verificando se a razão

obedece ao critério e aplicando a fórmula, para encontrar a soma dos termos dessa

PG.

20.q= 10

q= 10/20

q= 1/2

q= 0,5

Como -1<0,5<1, podemos aplicar a fórmula:

Sn= a1/(1-q)= 20/(1-1/2)= 20/(1/2)= 20/0,5= 40

Concluímos que a soma dos termos resulta em 40.

2-Obtenha a fração geratriz das seguintes dísimas periódicas:

a)0,999...=9/9=1

b)0,25151...=251-2/990=249:3/990:3=83/330

c)0,42333...=423-42/900=381:3/900:3=127/300

3)A soma dos termos da sequência infinita (a, a/3, a/9, ...) é:

a1=a

q=a/3:a=a/3.1/a=a/3a=1/3

s=a1 / (1-q)

s=a / 1-1/3

s=a / 2/3

s=a . 3/2

s=3a/2

4. A soma dos termos de ordem ímpar de uma PG infinita é 20 e a soma dos termos

da ordem par é 10. O 3° termo dessa PG é:

(X ) a- 15/4

( ) b- 5

( ) c- 11/2

( ) d- 4

( ) e- 13/2

Inicialmente devemos fazer uma observação sobre os termos de uma PG:

a1

a2= a1 . q

a3= a1 . q²

a4= a1 . q^3

a5= a1 . q^4

a6= a1 . q^5

...

Podemos dizer que os termos de ordem ímpar formarão uma PG infinita separada, onde o primeiro termo é a1 (primeiro termo de ordem ímpar) e razão passa a ser q², pois não estamos considerando como termo dessa nova PG os termos de ordem par (em roxo) que ficam entre os ímpares. Dessa forma, podemos escrever a fórmula da soma de infinitos termos ímpares e a igualar ao valor dado pelo enunciado, lembrando que a razão q deve ser substituída pela razão q² que acabamos de encontrar: Sn= a1/(1-q) a1/(1-q²)= 20

O mesmo pode ser feito dos termos de ordem par, pois eles também formam uma PG infinita de razão q². Mas, diferentemente dos termos de ordem ímpar, o primeito termo desta sequência será a1.q, que é onde começa a sequência par.

Então, realizamos o mesmo procedimento, substituíndo os valores correspondentes: Sn= a1/(1-q) a1.q/(1-q²)= 10

Sendo a soma dos termos de ordem ímpar 20 e a soma dos termos de ordem par

10, a soma de todos os termos da PG é 30 (20 + 10). Assim, podemos igualar 30 á

soma das fórmulas da soma dos termos de ordem ímpar e de ordem par e seguir

simplificando:

a1/(1-q²) + a1.q/(1-q²)= 30 (a1 + a1.q)/(1-q²)= 30

Na tentativa de encontrar o valor de uma das incógnitas, isolamos a1, colocando-o em função de q: (a1 + a1.q)/(1-q²)= 30 a1 + a1.q= 30.(1-q²) a1.(1 + q)= 30 - 30.q² a1= (30-30q²)/(1 + q) a1= [(1-q)(1+q).30]/(1 + q) a1= (1-q).30

Agora que temos o valor de a1 em função de q, podemos substituir este valor na fórmula da soma dos termos de ordem ímpar e simplificar até encontrar o valor numérico de q: a1/(1-q²)= 20

(1-q).30/(1-q²)= 20 (1-q).30/(1-q)(1+q)= 20

30/(1+q)= 20

30= 20(1+q)

30= 20 + 20.q

20.q= 30-20

20q= 10

q= 10/20

q=1/2

Tendo o valor numérico de q, podemos encontrar o valor numérico de a1, que

estava em função de q: a1= (1-q).30

a1= (1-1/2).30

a1= 1/2 . 30

a1= 15

Finalmente encontramos os valores de q e a1, podendo agora definir o terceiro termo da PG, que é o que o enunciado pede:

a1= 15

a2= a1 . q= 15.1/2= 15/2

a3= a1 .q²= 15. 1/4= 15/4

Concluímos que o valor do terceiro termo dessa PG é 15/4, alternativa a.

5. A solução da equação x + x/3 + x/9 + x/27 + ...= 60 é: ( ) a- 37

(X ) b- 40 ( ) c- 44

( ) d- 50

( ) e- 51

Inicialmente devemos encontrar a razão q dessa PG. Sabendo que o segundo termo é o produto do primeiro termo pela razão, montamos a seguinte igualdade: q. x= x/3

q= (x/3)/x

q= x/3x

q= 1/3

Sendo 1/3 a razão, podemos utilizar a fórmula da soma de infinitos termos, pois -1

< 1/3 < 1. Assim, substituímos os valores correspondentes á essa sequência na

fórmula:

Sn= a1/(1-q)= x/(1-1/3)= x/(3/3-1/3)= x/(2/3)= 3x/2

Dessa forma, encontramos que o resultado da soma de todos os termos dessa PG é

3x/2. Então, podemos igualar esse valor ao resultado dado pelo enunciado,

simplificando até encontrar o valor numérico de x:

3x/2= 60

3x= 60.2

3x= 120

x= 120/3

x= 40

Concluímos que o valor de x é 40, alternativa b.

Turma 2

2-)Complete calculando mentalmente:

a) 10% de 480 = 480 : 10 = 48

b) 5% de 480 = 480 : 20 = 24

c) 15% de 480 = 10% + 5% de 480 = 48 + 24 = 72

d) 25% de 800 = 800 : 4 = 200

e) 75% de 800 = ( 800 : 4 ) . 3 = 600

3) Dois números satisfazem esta condição: seu quadrado menos seus dois terços resulta em

7. Um desses números é:

X² - 2

3𝑥 = 7

X².3 – 2

3𝑥 .3 = 7 . 3

3x² - 2x = 21

3x² - 2x -21 = 0

A= 3

B= -2

C= -21

X= −(−𝟐)±√((−𝟐)𝟐−𝟒.𝟑.(−𝟐𝟏))

𝟐.𝟑

X=𝟐±√(𝟒+𝟐𝟓𝟐)

𝟔

X=𝟐±√𝟐𝟓𝟔

𝟔

X= 𝟐±𝟏𝟔

𝟔

S={3;−𝟕

𝟑 }

Resposta: múltiplo de três (alternativa C)

4)No Estatuto da Criança e do Adolescente, em seu artigo 60, encontramos o

seguinte: “É proibido qualquer trabalho a menores de catorze anos de idade,

salvo na condição de aprendiz”. Sempre bem informado e consciente de seus

deveres de cidadão, o Sr. Dorival denunciou ao Conselho Tutelar de sua cidade

que determinada fábrica estava utilizando crianças como operários. O Conselho

procurou apurar os fatos. Chegando à fabrica, soube que nela estão

trabalhando rapazes e meninos, sendo que o grupo de rapazes recebe R$ 54,00

por dia e mesmo valor é pago ao grupo de meninos. Também soube que cada

rapaz recebe R$ 1,20 a mais por dia que cada menino e que há 12 meninos a

mais que rapazes. Curiosamente ninguém quis lhe dizer quantos meninos

trabalhavam lá, mas, com as informações obtidas, é possível descobrir. O

número de meninos é:

a) 24

b) 30

c) 36

d) 49

e) 51

Resolução

Primeiro encontramos todas as multiplicações resultantes em 54:

1.54 2.27 3.18 6.9

Como há 12 meninos à mais que rapazes, pegamos todas as alternativas e

subtraímos 12:

24-12=12 30-12=18 36-12=24 49-12=37 51-12=39

Com os resultados obtidos, verificamos qual deles é um divisor de 54, que é o

18. Agora verificamos se a alternativa correta é a B:

18 rapazes recebem R$54,00 , ou R$ 3,00 cada um.

30 meninos recebem R$54,00 ou R$1,80 cada um, recebendo R$ 1,20 a menos

que cada rapaz.

A alternativa correta é a B)30 meninos

Turma 3

1) Escreva a expressão algébrica correspondente a: a) Quinze por cento de uma

quantia x. b) Dois terços de um úmero x. c) O preço de x sorvetes, cada um dos

quais custa R$ 1,20. d) O dobro do número x, somando com 7. e) O dobro da

soma de x com 7. f) O perímetro de um retângulo de lados medindo x e y.

.a) 15/100.x = 0,15x

b) 2/3.x

c) 1,20.x

d) 2.x+7

e) 2.(x+7)

f) x+x+y+y = 2x + 2y

2- Existe algum polígono regular cujos ângulos internos medem 160° cada um?Se

existe,quantos lados ele tem?

(18-2).180 = 2880/18= 160°

Sim existe,é um polígono de 18 lados que se chama octodecagono.

3- Calcule a média aproximada das notas de Matemática de certa turma, de acordo

com a tabela:

a) 6,85

b) 7,05

c) 7,20

d) 7,65

e) 8,15

.A resposta certa é a letra B pois para saber a média, devemos somar a nota de cada

aluno e por fim, dividir o resultado com a quantidade de alunos. A conta é:

4,0+4,0+5,0+5,0+6,0+6,0+6,0+6,0+6,0+6,0+6,0+6,0+7,0+7,0+7,0+7,0+7,0+7,0+7,0

+7,0+8,0+8,0+8,0+8,0+8,0+8,0+8,0+8,0+8,0+8,0+9,0+9,0+10,0+10,0= 240. Por fim,

vemos quantos alunos tem para depois dividir: 2+2+8+8+10+2+2= 34. Agora

fazemos 240:34= 7,05...

Responder, Responder a todos ou Encaminhar | Mais

4)responda aqui

a ) A

X ) B

c ) C

d ) D

e ) E

3x/5 - x-1/2 - 2/1 = 6x/10 - 5x-5/10 - 20/10 = 6x-5x-5-20/10 = x+25/10 ( Primeiro

eu organizei as equações, depois eu igualei todas, em seguida em juntei todas e fiz a

conta 6x-5x-5-20 que deu o resultado)

5)Se quisermos fatorar a expressão 8a³x³ +12a^5x - 20a^4x³ , o fator mais

adequado para colocar em evidência é:

a) 4a^4

b)a³x²

c)4a³x

d)2a³x²

e)2ax²

Em todos os números o maior múltiplo comum é o 4 , colocamos o 4 em evidência ,

e depois colocamos a letra comum em todos os termos com menor expoente que

é a e x , ficando então 4a³x.

Resposta certa: C .

Turma 5

1)Clique apenas nas afirmações verdadeiras:

o a) Todo número natural que termina em 0 (como 260, 40, 700

ou 47890) é divisível por 2 e também por 5.

Resolução: Todo número terminado em 0 é par, logo, todo número par

é divisível por 2. Todo número terminado em 0 é uma dezena (em

exceção ao próprio 0), e toda dezena é divisível por 5.

o b) Todo número divisível por 7 termina em 7.

o c) Existem números divisíveis por 7 que terminam em 7.

Resolução:

O próprio número 7 é terminado em 7 e é divisível por 7.

o d) Um número natural que termina em 3 nunca é divisível por

5.

Resolução: O número 5 só é divisível por número terminados em 5 e 0.

o e) Todo número divisível por 5 é também divisível por 2.

o f) Um número divisível por 5 pode ser divisível por 2.

Redolução: Os números divisíveis por 5 terminado em 0 podem ser

divisíveis por 2.

o g) Todo número divisível por 5 é também divisível por 10.

o h) Todo número divisível por 10 é também divisível por 5.

Resolução: todo número divisível por 10 é terminado em 0, logo, é

divisível por 5.

2)Um quarto de um queijo custa R$ 2,00. Dê o preço: a) de ¾ desse queijo; b)

de 4/4 do queijo; c) do queijo todo. *

A)3/4 do queijo vai custar R$6,00.

B)4/4 do queijo vai custar R$8,00.

C)o queijo inteiro vai custar R$8,00.

3)O número 13 é número primo porque tem apenas dois divisores, que são 1 e

13. Entre 20 e 30, quantos são os números primos? *

o a) 2

o b) 3

o c) 4

o d) 5

o a) 2

Resolução:

20 = 1, 20, 4, 5, 10, 2 25= 1, 25, 5

21= 1, 21, 7, 3 26= 1, 26, 2, 13

22= 1, 22, 11, 2 27= 1, 27, 3, 9

23= 1, 23 28= 1, 28, 7, 4, 14, 2

24= 1, 24, 6, 4, 8, 3 , 2, 12 29= 1, 29

30= 1, 30, 10, 3, 15, 2

4)45% de uma quantia de 300 reais correspondem a: *

o a) R$ 45,00

o b) R$ 90,00

o c) R$ 130,00

o d) R$ 135,00

Resolução:

45x300= 13500

13500/100= 135

5)Escrevendo-se, com algarismos, uma unidade e quarenta e cinco milésimos,

obtém-se: *

o a) 1,45

o b)0,145

o c)1,045

o d)1,45000