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CENTRO FEDERAL DE EDUCAO TECNOLGICA DE SANTA CATARINAGERNCIA EDUCACIONAL DE ELETRNICA

Respost a em Fr eqnciaFI LTROS PASSI VOS

AUTOR: PROF. FERNANDO LUIZ ROSA MUSSOIREVISO: PROF. CARLOS G. ESPERANAEDIO 2.0

FLORIANPOLIS JULHO, 2004.

Ger nci a Educaci onal de El et r ni ca

Not a do Aut or

O objetivo deste material fazer a apresentao terica e matemtica do cortamento dos circuitospassivos filtrantes, disponibilizando ao professor tempo para uma abordagem maisprtica desses circuitos,em laboratrio e atravs de simulao eletrnica.Este material no tem a pretenso de esgotar, tampouco inovar o tratamento doassunto por ele abordadomas, simplesmente, facilitar a dinmica de aula e a compreenso por parte dos alunos.Este trabalho foi construdo com base nas referncias bibliogrficas, devidamente citadas ao longo do texto,nas notas de aula e na experincia do autor na abordagem do assunto com os alunos.

Em se tratando de um material didtico elaborado em uma Instituio Pblicade Ensino, permitida areproduo do texto, desde que devidamente citada a fonte.Quaisquer contribuies e crticas construtivas a este trabalho sero bem-vindas pelo ator.

[email protected]

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi2 ndi ce

NOTA DO AUTOR.........................................................................................................................................................1NDICE............................................................................................................................................................................21. RESPOSTA EM FREQNCIA...............................................................................................................................41.1. RESISTOR QUANTO FREQNCIA:.........................................................................................................................4


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1.2. CAPACITOR QUANTO FREQNCIA:......................................................................................................................51.3. INDUTOR QUANTO FREQNCIA: .........................................................................................................................52. RESSONNCIA..........................................................................................................................................................72.1. FREQNCIA DE RESSONNCIA:..............................................................................................................................72.2. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................123. FUNO DE TRANSFERNCIA..........................................................................................................................143.1. DIAGRAMA DE BLOCOS: .......................................................................................................................................143.2. FUNO DE TRANSFERNCIA: ..............................................................................................................................143.3. GRFICOS DA FUNO DE TRANSFERNCIA.......................................................................................................163.4. GANHO, ATENUAO E FASE ...............................................................................................................................173.5. DECIBEL (DB)...............................................................

........................................................................................183.6. FREQNCIA DE CORTE:.......................................................................................................................................213.7. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................224. FILTROS...................................................................................................................................................................244.1. TIPOS DE FILTROS QUANTO TECNOLOGIA EMPREGADA:......................................................................................244.2. TIPOS DE FILTROS QUANTO FUNO EXECUTADA:......................................

.......................................................255. FILTROS PASSA-BAIXA .........................................................

..............................................................................265.1. FILTRO PASSA-BAIXA IDEAL ................................................................................................................................265.2. FILTRO PASSA-BAIXA RL.....................................................................................................................................275.3. FILTRO PASSA-BAIXA RC.....................................................................................................................................32

5.4. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................376. FILTRO PASSA-ALTA ...........................................................................................................................................406.1. FILTRO PASSA-ALTA IDEAL..................................................................................................................................406.2. FILTRO PASSA-ALTA RL.......................................................


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................................................................................416.3. FILTRO PASSA ALTA RC.......................................................................................................................................456.4. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................48Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi37. FILTRO PASSA-FAIXA..........................................................................................................................................507.1. FILTRO PASSA-FAIXA IDEAL.................................................................................................................................507.2. FILTRO PASSA-FAIXA SRIE: ................................................................................................................................517.3. FILTRO PASSA-FAIXA PARALELO..........................................................................................................................567.4. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................61

8. FILTRO REJEITA-FAIXA.....................................................................................................................................628.1. FILTRO REJEITA-FAIXA IDEAL: .............................................................................................................................628.2. FILTRO REJEITA-FAIXA SRIE...............................................................................................................................638.3. FILTRO REJEITA-FAIXA PARALELO.......................................................................................................................688.4. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................739. FATOR DE QUALIDADE...........................................................

............................................................................749.1. EXEMPLOS:..................................................................

................................................................................

.........759.2. EXERCCIOS: .........................................................................................................................................................7610. LARGURA DE FAIXA E SELETIVIDADE........................................................................................................7810.1. EXERCCIOS........................................................................................................................................................79APNDICE A - DIAGRAMAS DE BODE....................................................

.............................................................81APNDICE B SRIES DE FOURIER .......................................................

.............................................................82REFERNCIAS BIBLIOGRFICAS ........................................................................................................................85

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi4


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1. Respost a em f r eqnci aAt aqui estudamos a resposta de tenso e corrente de um circuito de corrente alternada comfreqncia fixa, ou seja, no domnio do tempo e da freqncia. O objetivo desta unidadetudara resposta em freqncia, ou seja, o comportamento dos circuitos quanto variao dafreqncia dos sinais de tenso ou corrente aplicada (excitao).Sabemos, do estudo dos componentes passivos, que o resistor o capacitor e o indutorapresentam comportamentos tpicos quanto freqncia do sinal a eles aplicad, conformedemonstra a figura 1.

(rad/s)f (Hz)R ()XC()XL()X

LRXC R|XL| = |XC|Figura 1.1 Comportamento da Resistncia, da Reatncia Indutiva e da Reatncia Capacit

va com a variao dafreqncia

1.1. Resi st or quant o f r eqnci a:Sua resistncia independe da freqncia do sinal aplicado. Depende apenas darelao entre a

tenso e a corrente, conforme a Lei de Ohm:

IVR

Portanto, graficamente seu comportamento expresso atravs de uma reta de

resistnciaResposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi5constante como na figura 1.1.

1.2. Capaci t or quant o f r eqnci a:Sua reatncia capacitiva depende da freqncia do sinal aplicado. A variao reatncia

capacitiva inversamente proporcional freqncia do sinal, conforme a expresso:


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XC f CC

1 12

Pela figura 1.1 podemos perceber que: quanto maior a freqncia do sinal aplicado, menor ser a reatncia capacva. Parafreqncias muito altas, o capacitor se comporta como um curto-circuito. quanto menor a freqncia do sinal aplicado, maior ser a reatncia capacva. Parafreqncia zero (CC), o capacitor se comporta como um circuito aberto.

1.3. I ndut or quant o f r eqnci a:Sua reatncia indutiva depende da freqncia do sinal aplicado. A variao da reatnciativa diretamente proporcional freqncia do sinal, conforme a expresso:

X L f LL 2

Pela fig 1.1 podemos perceber que: quanto maior a freqncia do sinal aplicado, maior ser a reatncia indut. Parafreqncias muito altas, o indutor se comporta como um circuito aberto. quanto menor a freqncia do sinal aplicado, menor ser a reatncia indut. Parafreqncia zero (CC), o indutor se comporta como um curto-circuito.

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi6Observao:Devemos lembrar que a Resistncia, a Indutncia e a Capacitncia depende das caractersticasconstrutivas do componente.

Exemplo 1.1: Para o circuito RLC srie da figura 1.2, analise sua resposta em freqnciapreenchendo o quadro abaixo.Dados: v(t) = 10.sen(.t) V ; R = 100; L = 10mH; C = 1F

Figura 1.2 Circuito RLC Srie

(rad/s)f(Hz)R()


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|XL|()|XC|()ZEQ() ret.ZEQ() polar F.P.cos IT(A)VR

(V)PR(W)0101001K9K10K11K

100K1M

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi72. Ressonnci aComo percebemos, da anlise da resposta em freqncia do exemplo 1.1, existe umadeterminada freqncia em que as reatncias indutiva e capacitiva se anulam, pois so iuais emmdulo e o circuito apresenta um teor resistivo puro (Fator de potnciaunitrio). Neste caso, o

ramo LC se comporta como um curto-circuito e toda a tenso da fonte estar sobre o resistor,provocando mxima dissipao de potncia. Essa condio chamada de Ressonncia.A freqncia que provoca esta situao no circuito da figura 2 ( = 10.000 rad/s) chadeFreqncia de Ressonncia e dizemos que o circuito ressonante.Assim um circuito RLC ressonante srie aquele que apresenta a menor oposio possvel passagem de corrente eltrica numa determinada freqncia, a chamada Freqncide


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Ressonncia [1].Para quaisquer valores de freqncia inferiores ou superiores a esta, o circuito srieapresentarmaior oposio corrente. Assim, em qualquer circuito RLC, ressonncia a condio exquando a impedncia equivalente puramente resistiva, ou seja, a tenso ea corrente nosterminais de entrada (fonte) esto em fase e o fator de potncia unitrio (cos=1) [2No circuito RLC ressonante paralelo ocorre o contrrio do descrito acima, ou seja, a maioroposio possvel a passagem da corrente.2.1. Fr eqnci a de r essonnci a:A Freqncia de Ressonncia a freqncia na qual um circuito RLC se compcomo umcircuito resistivo, ou seja, na qual o fator de potncia unitrio e, portanto, h a mximatransferncia de potncia da fonte para a carga.A Ressonncia pode ocorrer em circuitos RLC sries, paralelos ou mistos.

2.1.1. Ressonnci a Sri e:Seja o circuito RLC srie como o apresentado na figura 1.2. A sua impedncia equivalente determinada por:

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi8C1j L j R X X R ZL C EQ

+ + +

O circuito srie ressonante quando Zeq = R e |XL| = |X

C|, ou seja, a reatncia total deve sernula, ento:

0C1j L j C1j L j

C1L 1 LC2


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LC1

A freqncia de ressonncia num circuito RLC srie pode ser dada por:

RL C1

.(rad/s) ou

C LfR. 21

(Hz)

Na figura 1.1 a freqncia de ressonncia

R aquela onde as curvas de XLe XCse cruzam, ouseja, quando |XL|=|XC|.Se para o exemplo 1 traarmos as curvas de Z x e PR

x obteramos os grficos da figura 2.1.

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi9|Z| () (rad/s)TEORCAPACITIVO|Z| = R100

TEORINDUTIVO

TEOR RESISTIVO R= 10Krad/sa) Curva Impedncia x Freqncia (rad/s)PR(W)


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R= 10Krad/sb) Curva Potncia x FreqnciaFigura 2.1 Resposta em Freqncia do circuito do Exemplo 1.1

Portanto, dos grficos da figura 1.1 e 2.1 podemos concluir que na ressonncia srie: f < fR: o circuito apresenta teor capacitivo e a corrente est adiantada da tenso. f > fR: o circuito apresenta teor indutivo e a corrente est atrasada da tenso. f = fR: o circuito tem teor resistivo, a impedncia equivalente mnima e a corrente estem fase com a tenso. A corrente mxima e a tenso da fonte est toda bre aresistncia. A potncia dissipada no resistor ser mxima. H tenso no indue nocapacitor, iguais em mdulo, porm defasadas de 180o, anulando-se.

2.1.2. Ressonnci a Paral el a:Seja um circuito RLC paralelo, como o apresentado na figura 2.2. A sua impednciaequivalente dada por:

,`

.

|++

,`

.|+

C LC LC LC LC L eqX XX X


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RX XX XRX X R Z || ||


Figura 2.2 Circuito Ressonante Srie

O circuito somente ser ressonante quando Zeq= R, ou seja, quando a reatncia equivalente doparalelo do capacitor com o indutor for infinita (circuito aberto).

Exemplo 2.1: Encontre a expresso para o clculo da freqncia de ressonancido circuito

paralelo da figura 2.2.

Conclumos, ento, que a freqncia de ressonncia num circuito RLC paralelo de serdada por:

LC1R (rad/s) ou

LCfR 21

(Hz)

Exemplo 2.2: Para o circuito RLC paralelo da figura 2.2, analise suaresposta em freqnciapreenchendo o quadro e esboce os grficos da Zeqx e da PRx . Analise o comportamento docircuito com relao variao da freqncia.Dados: v(t) = 10.sen(.t) V ; R = 100; L = 10mH; C = 1F

Resposta em Freqncia Filtros Passivos

CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi11(rad/s)f(Hz)R()|XL


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|()|XC|()ZEQ() ret.ZEQ() polar F.P.cos IT(A)VR(V)

PR(W)0101001K9K10K11K100K1M

|Z| () (rad/s) Ra) Curva Impedncia x Freqncia (rad/s)PR(W) Rb) Curva Potncia x Freqncia

Figura 2.3 - Resposta em Freqncia do circuito do Exemplo 2.2

Analisando a resposta em freqncia do circuito do exemplo 2.2, podemos concluir que naressonncia paralela: f < fR: o circuito apresenta teor indutivo e a corrente est atrasada em relao a tenso. f > f


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R: o circuito apresenta teor capacitivo e a corrente est adiantada emrelao atenso. f = fR: o circuito tem teor resistivo, a impedncia equivalente mxima e a corrente noresistor mnima (igual a da fonte) e estar em fase com a tenso. A potncia dissipadser mxima. Existem correntes no indutor e no capacitor, iguais em mdulo,porm

defasadas de 180, anulando-se.

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi12Ressonnci a Mi st a:Alm dos circuitos RLC srie e paralelo, outros circuitos tambm podem apresentar freqia deressonncia.Para determinarmos a equao para clculo da freqncia de ressonncia em circuitos misnecessrio lembrarmos das condies para haver a ressonncia e, ento, procuros anular aparte imaginria (reatncias) da equao.

A freqncia de ressonncia para o circuito RLC misto da figura 2.3 pode ser calculadapor [2]:

Figura 2.4 Circuito Misto Ressonante

,`

.

| 22.1LRC LR

2.2. Exer cci os:2.2.1) Determine a freqncia de ressonncia em rad/s e em Hz para os seguintes casos:a) L= 300 H e C= 0,005 Fb) L= 250 H e C= 400 pF

2.2.2) Qual o valor do indutor necessrio para obter a ressonncia 1500kHz com umacapacitncia de 250 pF?


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2.2.3) Qual o capacitor que dever ser colocado em srie com um indutor de 500 mH para haverressonncia em 50 Hz?

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi132.2.4) Um circuito srie formado por R-125, L=800 mH e C=220pF. Qual ovalor da

impedncia (e o teor) a ser colocado (e como) no circuito a fim de torn-lo ressonante a 10kHz [2]?

2.2.5) Um circuito srie formado por R=30, L=0,382H e C=0,2F, determine:a) Zeq em 550kHzb) O capacitor C ser ligado em paralelo para provocar ressonncia numa freqncia

2.2.6) Seja circuito de ressonncia de um rdio AM tem uma bobina de 100H. Quais oslimitesde um capacitor varivel para que o rdio sintonize de 530kHz a 1600 kHz?

2.2.7) Um capacitor de sintonia pode variar de 20pF a 350pF [2].a) Calcule a indutncia a ser ligada em srie para produzir a freqncia dressonncia mais

baixa de 550 kHz.b) Calcule a freqncia de ressonncia mais alta.

2.2.8) Determine a freqncia de ressonncia para os circuitos abaixo:

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi143. Funo de Tr ansf er nci a

Os equipamentos e sistemas eletrnicos podem ser constitudos de vrios componentes ecircuitos. A fim de mostrar as funes desempenhadas pelos componentes, circuitos ouconjuntosdestes, usamos em anlise de circuitos, os diagramas de blocos.3.1. Di agr ama de Bl ocos:Um diagrama de blocos de um equipamento ou sistema eletrnico uma representao dasfunes desempenhadas por cada componente ou circuito e do fluxo dos sinais dos quaisestamos interessados e indica a inter-relao existente entre os vrios circuitos [4].Exemplo 3.1:

Cada bloco desempenha uma funo ou um conjunto de funes e corresponde a um ou ioscircuitos eletrnicos.Quando se analisa um bloco, estamos interessados nas informaes (sinais de tenso e corrente)presentes na sua entrada, na sua sada e na relao existente entre elas.Por exemplo, se


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dispusermos de informaes sobre os valores de tenso e corrente de entradade um circuito

(bloco) e poderemos obter os valores de tenso e corrente na sua sada, desde que conheamosqual a relao existente entre entrada e sada proporcionada pelo bloco (circuito).

3.2. Funo de Tr ansf er nci a:Em um diagrama de blocos, todas as variveis do sistema so ligadas umas s outras atravs decada bloco. Assim, cada bloco pode ser representado por uma operao matemticarelacionando os sinais de entrada e de sada.Por exemplo, no bloco da figura 3.1 aplicado um sinal de tenso na entrada e estamosinteressados no valor de tenso que teremos na sada. Este valor depende da funo que blocodesempenha, ou melhor, da funo que desempenha o circuito que o bloco representa.Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi15BLOCO 1Circuito 1EntradaV

eSadaVsVe(t) = VP.sen(.t)Figura 3.1 Representao por Bloco

Se, por exemplo, o bloco representar o circuito da figura 3.2, podemo

s relacionarmatematicamente o sinal de sada Vs em funo do sinal de entrada Ve por um divisor detenso:

Figura 3.2 Circuito que desempenha a funo do bloco da figura 1

eLLsV

jX RX

V +Se relacionarmos a tenso de sada com a tenso de entrada, temos:LLesjX RX


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VV+L j RL jVVes +Como podemos perceber, a relao Vs/Vedepende da freqncia do sinal ().A expresso que relaciona o sinal de sada com o sinal de entrada em um bloco, em funoda freqncia angular chamada de Funo de Transferncia H( ).Assim, a funo de transferncia H() para o bloco da figura 3.2 dada por:L j RL j

) ( HVVes + Com esta representao matemtica e de posse dos valores do resistor e doindutor, podemoscalcular o mdulo e a fase (ngulo) de tenso de sada para cada valor de freqncia Uma funo de transferncia H() pode relacionar:Resposta em Freqncia Filtros Passivos

CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi16 Tenso de sada / Tenso de entrada:) () () (esVV

H Tenso de sada / Corrente de entrada:) () () (es


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IVH Corrente de sada / Corrente de entrada:) () () (esIIH Corrente de sada / Tenso de entrada:) () () (es

VIH Com a Funo de Transferncia de um circuito conhecida, poderemos, por exemplo, avaliar osinal de sada em funo do sinal de entrada, tanto para o seu mdulo, no e freqncia,assim:) ( H V Ve s

Exemplo 3.2:Para o circuito da figura 3.2, determine o mdulo e o ngulo do sinal de sada para qu

ando o sinalde entrada tiver as freqncias =10 rad/s, =1000 rad/s e =100Krad/s sendo=50 eL=10mH. Ve(t)=20.sen(t).

3.3. Gr f i cos da Funo de Tr ansf er nci aComo podemos perceber, a Funo de Transferncia H( ) um nmero complexo e pode representado na forma polar (mdulo e fase) e nos permite fazer a anlis

e de resposta emfreqncia de um circuito, ou seja, analisar o comportamento dos sinais em funo da vaiao dafreqncia.Portanto, podemos representar graficamente a funo de transferncia atravs dgrficos do

mdulo e da fase em funo da freqncia.Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi17


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) ( ) ( ) ( H H

O grfico do mdulo da funo de transferncia com relao variao da freqncia e odo ngulo de fase da funo de transferncia com relao variao da freqncia para da figura 3.2 tero a aparncia mostrada na figura 3.3: (rad/s)f (Hz)|H()|Curva Caracterstica do Mdulo de H() - Ganho (rad/s)f (Hz)()Curv Caracterstica do ngulo de H() - Fase-45o-90oCCFigura 3.3 Curvas de Resposta em Freqncia para a Funo de Transferncia do circuitFigura 3.2

3.4. Ganho, At enuao e FaseComo pudemos perceber, a funo de transferncia H() um nmero complexo omo tal,pode ser expresso (na forma polar) por um mdulo (amplitude) e um ngulo (fase).

3.4.1. Ganho e At enuaoO mdulo da funo de transferncia chamado de Ganho, assim, o ganho a relao entro mdulo do sinal de sada e o mdulo do sinal de entrada.O ganho pode ser expresso como:Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi18

Ganho de tenso:esVV) ( H GV Ganho de corrente:esII) ( H GI Ganho de potncia:

esPP) ( H GP

Se o valor do ganho for maior que 1, o circuito um amplificador, ou seja, o sinal de sada maior que o sinal de entrada.Se o ganho for menor que 1 o circuito um atenuador, ou seja, o sinal de sada meno


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r que osinal de entrada.Observao: como o Ganho uma relao entre duas grandezas de mesma nature(mesmaunidade) adimensional.3.4.2. Fase:A fase de uma funo de transferncia () o seu correspondente ngulo, ou seja, o do nmero complexo na forma polar. Representa o adiantamento do sinal de sada em relao aosinal de entrada.) ( ) ( ) ( e s+

3.5. Deci bel ( dB)No tpico anterior estudamos que o Ganho de uma funo de transferncia relciona duasgrandezas de mesma natureza e , portanto, adimensional.O Decibel uma forma de medir a relao entre duas grandezas fsicas de esma natureza,sendo adotado para expressar o ganho nas curvas de resposta em freqnciade circuitos

eletrnicos. O nome Decibel deriva do sobrenome de Alexander Grahan Bell.O conceito de Decibel (dB) est ligado aos nossos sentidos, em especial audio [1].

ouvidohumano no responde de forma linear aos estmulos que lhe so impostos (potncia sonora),mas de forma logartmica. Por exemplo, se a potncia sonora sofrer uma variao de 1W para2W, a sensao sonora no dobrar. Para que a sensao sonora dobre, a potncia associaResposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi19ele dever ser multiplicada por dez, ou seja, variao de forma logartmica (1, 10, 1001000, ...).Os logaritmos so usados para comprimir escalas quando a faixa de variaode valor muito

ampla e, tambm para transformar as operaes de multiplicao e diviso em aes desoma e subtrao, respectivamente.Na anlise de circuitos eletrnicos comum usarmos a escala logartmica parexpressar os

valores de Ganho, em Decibel.O Decibel (dB) equivale a um dcimo de um Bel (B). O Bel relaciona dois nveis de potncia PeePsda seguinte forma [5]:

esPPlog GP (B)

Desta forma, se Ps=10.Pe


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o ganho de potncia vale 10 pois a sada dez vezes maior que aentrada:1 10 logPP 10log GPee Ento o ganho de potncia 1B, isto , Psest 1 bel acima de Pe(temos uma amplificao de 1Bel).Para as grandezas que estudaremos, a unidade Bel muito grande, por isso, usamoso Decibelatravs da seguinte equao:

,`

.| esdBPPlog 10 | GP

Desta forma, se P

s=1000.Pe, o ganho de potncia vale 1000 pois a sada mil vezes maior que aentrada,, ento:30 3 10 1000 log 10 | GPdB

E o ganho de potncia de 30 dB, isto , uma amplificao de 30 dB.Por outro lado, se Ps=0,001Pe

o ganho de potncia vale 0,001, pois a sada ser mil vezes menorque a entrada, ento:( ) 30 3 10 001 , 0 log 10 | GPdB

O ganho de potncia de -30dB, ou seja, uma atenuao de 30 dB.Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi20Consideremos um quadripolo (circuito com quatro terminais) representando um circ


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uito eletrnicocom uma impedncia de entrada Ze e uma impedncia de sada (carga) Zs, conforme a figura3.4.~Pe PsVeV

s+

_+

_ZeZ

sQuadripoloFigura 3.4 Quadripolo representando um circuito com uma entrada e uma sada

As potncias mdias de entrada e de sada so dadas por:e2eeRVP es2ssR

VP Observao: a potncia mdia (ativa) est relacionada apenas com a parcela rstiva daimpedncia.Calculando o Ganho de Potncia em dB, temos:]]]]

,`

.|


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,`

.|

,`

.|

,`

.| s

e2ess2ee2se2e

s2sesdBRRVV


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log 10R VR Vlog 10RVRVlog 10PPlog 10 | GP

,`

.| +

,

`

.|

,`

.

| +

,`

.| se

esse2esdBRR


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log 10VVlog 20RRlog 10VVlog 10 | GPComo o ganho de tenso a relao entre a tenso de sada e a tenso dada, podemosconcluir da equao acima, que o ganho de tenso de um quadripolo em dB calculado pelaexpresso:

,`

.|

esdBVVlog 20 | GVDa mesma forma, o ganho de corrente:

,`

.| esdBIIlog 20 | GI


Observao:!" Podemos desprezar a ltima parcela porque consideramos a condio de Casamento deImpedncia, ou seja, situao de mxima transferncia de potncia, onde Re= Rs. QuandoRe


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=Rsos ganhos de potncia e tenso sero iguais ( situao de mxima transferncia depotncia).( ) 0 1 log 10RRlog 10se

,`

.| A classificao de equipamentos eletrnicos de comunicao, como por exemplamplificadores e microfones, normalmente estabelecida em dB. A equao deganho depotncia em dB indica claramente uma relao entre dois nveis de potncia.

ra uma Psespecificada, deve haver um nvel de potncia de referncia (Pe). O nvel de referncianormalmente aceito 1mW. A resistncia associada ao nvel de potncia de 1mW 600(valor de impedncia tpico de linha de transmisso de udio). Quando se adta 1mW comonvel de referncia, comum a unidade dBm, como indica a equao:

,

.| 600sdBm| mW 1Plog 10 | GP

3.6. Fr eqnci a de Cor t e: definida como a freqncia na qual a potncia mdia de sada a metadeotncia deentrada, ou seja, quando o Ganho de Potncia for 0,5. Matematicamente,21PPGPe


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s como:s2ssRVP ee2eeRVP , temos:21RVRVGP

e2es2s Para RsRe, temos:707 , 0

21VV21VVes2e2

s Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi22Portanto, na Freqncia de Corte;Vs 0,707.Ve


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ou21GV Ento:( ) 3 15 , 0 log 20VV 707 , 0log 20VVlog 20 | GVeeesdB

,`

.|

,`

.| O Ganho de Tenso ser GV|

dB= -3dB na freqncia de corte

Tambm podemos dizer que:A Freqncia de Corte a freqncia na qual a tenso de sada aproxima70,7% da tenso de entrada, ou seja, a freqncia que provoca um ganho de -3dB.

3.7. Exer cci os:3.7.1) Determinar, a partir da funo de transferncia, o ganho de tenso adimensionale em dBe a fase do sinal para o circuito abaixo para as freqncias de 60Hz,1700Hz e 10kHz ecompare os resultados. Sejam R=5 e L=3mH.

3.7.2) Determinar, a partir da funo de transferncia, o ganho de tenso adimensionale em dBe a fase do sinal para o circuito do exerccio 1, invertendo as posiesdo resistor com oindutor, para as freqncias de 60Hz, 1700Hz e 10kHz e compare os resultados. Sejam:R=50 e L=25mH.3.7.3) Um quadripolo tem ganho de tenso de 10 dB. Se a tenso de entrada 5V, qual a


27/104

tenso de sada ?3.7.4) Qual a potncia e dB quando a relao entre Ps/Pe : 1/1000, 1/100,1/10, 1, 10, 100 e1000 ?3.7.5) Determine a funo de transferncia, o mdulo e a fase do sinal par=100 rad/s,

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi23=1000 rad/s e =100Krad/s considerando o circuito abaixo. Ve(t)=10.sen(t)


4. Fi l t r osAt aqui estudamos o comportamento dos circuitos RLC mistos em regime permanente(freqncia constante), a resposta em freqncia dos componentes passivos e a ressonncqueocorre nos circuitos.Existem vrias configuraes simples de circuitos, tambm chamadas de redes,

ue so degrande importncia principalmente para os circuitos eletrnicos. Estas redes(circuitos) so

chamadas de Filtros.Na sua definio mais simples, Filtro um circuito que apresenta um comportamento tpico emfuno da freqncia do sinal a ele aplicado, permitindo a passagem de sinas com certasfreqncias, enquanto suprime sinais com outras freqncias [3].Os filtros so basicamente compostos por impedncias interligadas (redes) eo comportamento

destes circuitos depende do valor das resistncias, capacitncias e indutncias envolvidas e da

maneira como so interligadas.Os filtros so classificados quanto tecnologia e componentes empregados na sua construo equanto funo que dever ser executada por ele num circuito eletrnico [2].

4.1. Ti pos de f i l t r os quant o t ecnol ogi a empr egada:a) Filtros Passivos: So os filtros construdos apenas com os elementos passivos doscircuitos,ou seja, resistores, capacitores e indutores.b) Filtros Ativos: So os filtros que empregam na sua construo elementospassivosassociados a algum elemento ativo amplificador, como por exemplo, transistores eamplificadores

operacionais.c) Filtros Digitais: So os filtros que empregam tecnologia digital nasua construo,implementados atravs da programao de um sistema microprocessado.

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi254.2. Ti pos de Fi l t r os quant o f uno execut ada:


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a)Filtros Passa-Baixas;b)Filtros Passa-Altas;c)Filtros Passa-Faixa (Passa-Banda);d)Filtros Rejeita-Faixa (Rejeita-Banda);

Nesta apostila estudaremos em maiores detalhes os Filtros Passivos que,como vimos, so

aqueles circuitos capazes de selecionar determinadas faixas de freqnciasusando apenascomponentes passivos.O ganho dos filtros passivos geralmente menor ou igual a 1, com algumas excees.Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi265. Fi l t r os Passa-Bai xaUm Filtro Passa-Baixa Passivo um circuito que permite a passagem desinais de tenso ecorrente somente em freqncias abaixo de um certo limite, atenuando os sinais cujafreqnciaultrapassar esse valor.Esse valor limite de freqncia a Freqncia de Corte (C) do filtro.

5.1. Fi l t r o Passa-Bai xa I dealPara sinais de freqncias abaixo da freqncia de corte do filtro, o ganho unitru seja, omdulo do sinal de entrada igual ao de sada. Para freqncias acima da freqncia deoganho zero, ou seja, o mdulo do sinal de sada atenuado at zero.Na prtica, porm, no se obtm resposta em freqncia de um filtro passa-bideal comoapresentado na figura 5.1.GV(dB)(rad/s)c

01Figura 5.1 Curva de Resposta em Freqncia para um Filtro Passa Baixa Ideal

Simbologia Usual:

Ve VsV

e Vs

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi275.2. Fi l t r o Passa-Bai xa RLUm circuito RL passivo como o apresentado na figura 5.2 pode comportar-se como um filtropassa-baixa real.Para sinais de baixa freqncia o indutor apresenta baixa reatncia, X


29/104

L> R e seu comportamentotende a um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso deentrada estar sobre oindutor e a tenso sobre o resistor de sada ser muito pequena. Podemosdizer que o circuitoimpede a passagem de sinais de altas freqncias.

Figura 5.2 Circuito de um Filtro Passivo Passa-Baixa RL

5.2.1. Ganho e FasePara este circuito a tenso de sada em funo da tenso de entrada pode dada pela

expresso:e

LesV

L j RRX RV RV ++

ou ainda:L j RRVVes +

Se fatorarmos a expresso, dividindo tanto o numerador como o denominador por R, t

emos:Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi28RLj 11RR


30/104

L j RRVVes + +

Portanto, esta expresso a Funo de Transferncia de um Filtro Passa-BaixRL, na formafatorada:( )RLj 11H +

Sabemos que a funo de transferncia um nmero complexo e que o ganho

tenso omdulo da funo de transferncia na forma polar, e a fase o ngulo.Observao: Para determinarmos o mdulo e o ngulo de um nmero complexo deoslembrar:( ) ( )2 2aginria Im al Re Mdulo +

,`

.

|al Reaginria Imarctg ngulo

Para encontrarmos o mdulo precisamos obter a raiz quadrada da soma dosquadrados das

partes real e imaginria, tanto do numerador como do denominador. Assim,( )2 222 2

RL11RL10 1GV H


31/104

,`

.| +

,`

.| ++

Portanto, a expresso para o Ganho de Tenso de um Filtro Passa-Baixa RL :

2RL11

GV,`

.| +

Para obtermos a Fase precisamos subtrair o ngulo do numerador com o ngulo do denominador.Resposta em Freqncia Filtros Passivos

CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi29Estes ngulos so calculados pelo arco tangente (tg-1) do quociente da parte imaginria pelaparte real.

,`

.|

,`


32/104

.| ,`

.| RL

rctg 01RLarctg10arctgPortanto, a expresso para a Fase de um Filtro Passa-Baixa RL :

,`

.| RL

rctg

5.2.2. Freqnci a de Cort e:Sabemos que o ganho na freqncia de corte :707 , 021| GV

c Ento:2cRL1121

,`

.| +elevando ao quadrado ambos os lados da expresso e operando a expresso para isolarmos


33/104

C,temos:2cRL1121

,`

.| +2RL12

c ,`

.| +1 2RL2

c

,`

.| 1 1RLc

Portanto, a Freqncia de Corte para um Filtro Passa-Baixa RL dada por:

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi30LRc

Na freqncia de corte ( =


34/104

C), a fase ser:( ) 1 arctgRLLRarctgRLarctgc

,`

.| ,`

.|

!45 5.2.3. Curvas Caract erst i cas:Com a expresso do ganho e da fase podemos traar as curvas de respostaem freqncia do

Filtro Passa-Baixa RL, como indicam as figuras 5.3a e 5.3b.

(rad/s)GV10,707

c0

Figura 5.3a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL Ganho de Tens

(rad/s) -45o

c0-90o

Figura 5.3b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RL Fase


35/104

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi31!" Ganho:0 GV707 , 021GV1 GV 0c !" Fase:( )( )( )!

!!90 arctg

45 1 arctg0 0 arctg 0c Tambm podemos traar a curva de resposta em freqncia do Ganho em dB deum FiltroPassa-Baixa RL usando uma escala logartmica, como indica a figura 5.4.

(rad/s) GV|dB

-3c010.c100.

c-20-40Figura 5.4 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RLGanho de Tenso em dB (escala logartmica

Pela curva da resposta em freqncia para o ganho em dB de um Filtro Passa-Baixa, podemosperceber que aps a freqncia de corte, cada vez que a freqncia aumenta de um fator 10,o ganho diminui em 20dB. Dizemos que h uma atenuao de 20dB por dcada de aumento dafreqncia.Tambm podemos usar uma aproximao do grfico da figura 5.4 atravs de retchamadas

Assntotas. O grfico de resposta em freqncia aproximado por retas assintt


36/104

s chamadoDiagrama de Bode, como o apresentado na figura 5.5 para o Filtro Passa-Baixa RL.

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi32 (rad/s) GV|dB-3c010.c100.

c-20-40Figura 5.5 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RLGanho de Tenso em dB (escala logartmica)Diagrama de Bode aproximao por assntotas

5.3. Fi l t r o Passa-Bai xa RCUm circuito RC como o apresentado na figura 5.6 pode comportar-se como um Filtro PassivoPassa-Baixa.Para sinais de baixa freqncia, o capacitor apresenta alta reatncia, XC>> R e seu

comportamento tende a um circuito aberto. Desta forma, a maior parcelada tenso de entrada

estar sobre o capacitor de sada. Podemos dizer que o circuito apresentado deixa passar sinaisde baixa freqncia.Para sinais de altas freqncias, o capacitor apresenta baixa reatncia, X

C


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335.3.1. Ganho e Fase:Para este circuito, a tenso de sada em funo da tenso de entrada pode r dada pelaexpresso:

e eccsV

C j1RC j1VX RXV +

+ou ainda:C j1RC j1VVes

+Se fatorarmos esta expresso, dividindo tanto o numerador como o denominador por R, temos:RC j 11RC j1 RC jRC j1RC j1

1RC j1RRC j1RC j1


38/104

VVes ++ +,`

.|+

Portanto esta expresso a Funo de Transferncia de um Filtro Passa-BaixaC, na formafatorada:( )RC j 11H +

Sabemos que a funo de transferncia um nmero complexo e que o ganho tenso o

mdulo da funo de transferncia na forma polar, e a fase o ngulo da detransferncia.Portanto, a expresso para o ganho de tenso e fase para um Filtro Passa-Baixa RC so,respectivamente:( )2RC 11GV +

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi34( ) RC arctg

5.3.2. Freqnci a de Cort e:Sabemos que o ganho na freqncia de corte :707 , 02


39/104

1| GVc

Ento:( )2cRC 1121 +Elevando ao quadrado ambos os lados e operando a expresso para isolarmos C, temos:( )2cRC 11

21 +( ) 2 RC 12

c +

( ) 1 2 RC2

c ( ) 1 1 RC

c Portanto, a Freqncia de Corte para um Filtro Passa-Baixa RC pode ser dada por:

RC1c

Na freqncia de corte ( = C), a fase ser:

( ) ( ) 1 arctg RCRC1arctg RC arctgc

,`

.


40/104

| !45

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi355.3.3. Curvas Caract erst i cas:Com a expresso do ganho e da fase podemos traar as curvas de respostaem freqncia do

filtro Passa-Baixa RC. Assim, se:!" Ganho:0 GV707 , 021GV1 GV 0c

!" Fase:( )( )( )!

!!90 arctg45 1 arctg0 0 arctg 0c

Ento as formas de onda que representam a variao do ganho de tenso e da fase em funda variao da freqncia num Filtro Passa-Baixa RC, sero as apresentadas nas figuras a e5.7b.

(rad/s)GV1

0,707c0

Figura 5.7a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RC Ganho de Tens

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi


41/104

36

(rad/s) -45oc0-90o

Figura 5.7b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RC Fase

Traando a curva do Ganho de Tenso em dB em funo da freqncia para o Filtro Passa-BRC, obtemos a curva da figura 5.8. Percebemos que, aps a freqncia de corte, h umaatenuao de 20dB por dcada da freqncia do sinal aplicado. Na figura 5.9 temos o Diamade Bode, ou seja, a curva do ganho em dB aproximado por retas.

(rad/s) GV|

dB-3c010.c100.

c-20-40Figura 5.8 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RC

Ganho de Tenso em dB (escala logartmica) (rad/s) GV|dB-3c010.c100.

c-20-40

Figura 5.8 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Baixa RCGanho de Tenso em dB (escala logartmica)Diagrama de Bode aproximao por assntotas

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi37Como podemos perceber, a expresses das funes de transferncia na forma faorada para


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Filtros Passa-Baixa, tanto RL como RC so semelhantes. O que difere ocoeficiente do termoj. No filtro RL esse coeficiente (L/R) e no filtro RC (RC). Se chamarmos esse coeficiente dafuno de transferncia de podemos concluir que:

1

c

Desta forma, podemos calcular a Freqncia de Corte a partir do coeficiente do termoimaginrioda funo de transferncia de qualquer filtro, na forma fatorada.

Observao: Notamos que a forma das curvas dos filtros passa-baixa RL e RC so iguais. O que asdiferenciam a freqncia de corte, que depende dos componentes utilizados na construdos filtros RL ou RC.5.4. Exer cci os:5.4.1) Para o filtro Passa-Baixa RL abaixo, determine [6]:a) Funo de transferncia (na forma fatorada);

b) Freqncia de corte em rad/s e em Hz;c) Curvas caractersticas;d) Freqncia para um ganho de tenso de 60dB.Vs-+Ve-+R110L11mH

5.4.2) Para o filtro abaixo, determinar [6]:a) Tipo de filtro e explicar o seu funcionamento;Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi38b) Funo de transferncia (na forma fatorada);c) Freqncia de corte em rad/s e em Hz;d) Curvas caractersticas;e) Freqncia para um ganho de tenso de 23dB.+

-Ve+-VsC 100uFR10C 100uFR


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10

5.4.3) Dado o circuito abaixo, pede-se [1]:a) A freqncia de corte (em rad/s e em Hz);b) A funo de transferncia na forma fatorada;c) A expresso do ganho;d) A curva de resposta em freqncia do ganho em dB;e) A freqncia quando a diferena de fase entre o sinal de entrada e sada for 45o;f) A tenso complexa (fasor) na sada, para Ve=100oV e =2c.Vs-+Ve-+

R11kL1100mH5.4.4) Projete um filtro Passa-Baixas RC com fc= 1kHz (dica: adote R=10k) [1].5.4.5) Projete um filtro Passa-Baixas RL de forma que a freqncia de corte seja de3kHz (dica:adote R=2,5k) [1].5.4.6) Projete um filtro Passa-Baixas para uma freqncia de corte de 2kHz a partir de um

capacitor de 4,7pF [1].5.4.7) Dado o circuito abaixo, determine [6]:a) A funo de transferncia na forma fatorada;b) A freqncia de corte (em rad/s e em Hz0;c) A curva caracterstica;Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi39d) Identifique o tipo de filtro e explique o seu funcionamento.+-Ve+

-VsL12.4mHR18C 22uFL12.4mHR1


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8C 22uFResposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi406. Fi l t r o Passa-Al t aUm Filtro Passivo Passa-Alta um circuito que permite a passagem de sinais de tenso ecorrente somente em freqncias acima de um certo limite, atenuando os sinais cujasfreqncias estiverem abaixo desse valor.Esse valor limite de freqncia a Freqncia de Corte (c) do filtro.

6.1. Fi l t r o Passa-Al t a I dealPara sinais de freqncias acima da freqncia de corte do filtro, o ganho unitrio, ou seja, omdulo do sinal de entrada igual ao de sada. Para freqncias abaixo da freqncia doganho zero, ou seja, o mdulo do sinal de sada atenuado at zero.Na prtica, porm, no se obtm resposta em freqncia de um filtro passa-aideal como a

apresentada na figura 6.1.GV(dB)(rad/s)c01Figura 6.1 Curva de Resposta em Freqncia para um Filtro Passa Alta Ideal

Simbologia Usual:

Ve VsV

e Vs

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi416.2. Fi l t r o Passa-Al t a RLUm circuito RL como o apresentado na figura 6.2 pode comportar-se com

o um filtro passa-altareal.

Vs-+Ve-+L


45/104

RFigura 6.2 Circuitos de um Filtro Passivo Passa-Alta RL

Para sinais de alta freqncia, o indutor apresenta alta reatncia (XL>>R) e seu comportamentotende a um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso deentrada estar sobre oindutor de sada. Podemos dizer que o circuito deixa passar sinais de alta freqnciaPara sinais de baixa freqncia, o indutor apresenta baixa reatncia (XL


46/104

VVes+ +Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi42Portanto, esta a expresso da funo de transferncia de um Filtro Passa-a RL, na formafatorada:( )LRj 11H

Sabemos que a funo de transferncia um nmero complexo e que o ganho tenso omdulo da funo de transferncia na forma polar e a fase o ngulo.Portanto, as expresses para o ganho de tenso e a fase para um filtroPassa-Alta RL so,respectivamente;2LR

11GV

,`

.|+

,

.|+ LR

rc

g


47/104

6.2.2. Freqnci a de Cort eSabemos que o ganho na freqncia de corte ;707 , 021| GVc

Ento, para um filtro Passa-Alta RL:2cLR1121

,`

.|+Operando esta equao, encontramos a expresso para a Freqncia de Corte dem FiltroPassa Alta RL:LRc

Na freqncia de corte (=c) a fase ser:Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi43( ) 1 arctgLLRR

arctgLRarctg

,`


48/104

.|,`

.| !45 +

Observao:Na expresso da funo de transferncia H() na forma fatorada para o FiltrPassa-Alta RL, ocoeficiente de na parte imaginria L/R. Portanto:LR

RL1 1c

conforme foi visto anteriormente.

6.2.2. Curvas Caract erst i casCom a expresso do ganho e da fase podemos traar as curvas de respostaem freqncia do

Filtro Passa-Alta RL, como indicam as figuras 6.3a e 6.3b.

(rad/s)GV10,707c0Figura 6.3a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Alta RL Ganho de Tenso

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi

44

(rad/s)+45oc0


49/104

+90o

Figura 6.3b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Alta RL Fase

!" Ganho:1 GV707 , 021GV0 GV 0c

!" Fase:( )( )( )

!!!0 0 arctg45 1 arctg90 arctg 0c +

A curva de resposta em freqncia para o Ganho de Tenso em Decibis pode

ser dada pelaexpresso j conhecida:( ) GV log 20 | GVdB

Assim, pelas curvas da figura 6.4 podemos perceber que cada vez que a freqncia aumenta deum fator de 10, o ganho aumenta em 20dB, at chegar freqncia de corte c. H, portanto, umganho de 20dB por dcada de aumento da freqncia.

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi45 (rad/s)GV|dB-40c0


50/104

0,1.c10.

c-20-30,01.cFigura 6.4 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Alta RLGanho de Tenso em dB (escala logartmica)

A figura 6.5 apresenta o Diagrama de Bode para o Ganho em dB para um Filtro Passa-Alta RL.

(rad/s)GV|dB-40c00,1.c

10.c-200,01.cFigura 6.5 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Alta RLGanho de Tenso em dB (escala logartmica)Diagrama de Bode - Aproximao por Assntotas

6.3. Fi l t r o Passa Al t a RCUm circuito como o apresentado na figura 6.6 pode comportar-se como um Filtro Passa-Alta RC

real.Vs-+Ve-+RCFigura 6.6 Circuito de um Filtro Passivo Passa-Alta RC realResposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi

46

Para sinais de alta freqncia, o capacitor apresenta baixa reatncia capacitiva (XC


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Para sinais de baixa freqncia, o capacitor apresenta alta reatncia capacitiva (XC>>R) e o seucomportamento tende a um circuito aberto. Desta forma, a maior parcelada tenso de entrada

estar sobre o capacitor e a tenso sobre o resistor de sada ser muito pequena. Podems dizerque o circuito impede a passagem de sinais de baixa freqncia.

6.3.1. Ganho e FasePara o circuito da figura 6.6, a tenso de sada em funo da tenso de enda pode ser dadapela expresso:ecesV

C j1RRX RV R

V ++ou ainda:C j1RRV

Ves+Se fatorarmos esta expresso, dividindo tanto o numerador como o denominador por R, temos:RC j111R

C j1RRRVVes


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++Portanto, a Funo de Transferncia de um Filtro Passa-Alta RL, na forma fatorada :( )RC1j 11H

Sabemos que a funo de transferncia um nmero complexo e que o ganho tenso omdulo da funo de transferncia na forma polar, e a fase o ngulo.Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi47Portanto, as expresses para o ganho de tenso e a fase para um filtroPassa-Alta RC so,

respectivamente:2RC111GV

,`

.|

+

,`

.| RC

1 rc

g

6.3.2. Freqnci a de Cort eSabemos que o ganho na freqncia de corte ;707 , 021| GVc


53/104

Ento, para um filtro Passa-Alta RC:2cRC11121

,`

.|+Operando esta equao, encontramos a expresso para a Freqncia de Corte de

m FiltroPassa Alta RC:RC1c

Na freqncia de corte (=c) a fase ser:( ) 1 arctgRCRC

11arctgRC1arctg

,`

.|,`


54/104

.| !45 +

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi48Observao:Na expresso da funo de transferncia H() na forma fatorada para o Filtro Pa-Alta RC, ocoeficiente de na parte imaginria RC. Portanto:RC1 1c

conforme foi visto anteriormente.

6.3.3. Curvas Caract erst i cas

Com a expresso do ganho e da fase podemos traar as curvas de respostaem freqncia doFiltro Passa-Alta RC, e concluiremos que forma das curvas dos filtrosPassa-Alta RL e RC soidnticas. O que as diferenciam o valor da a Freqncia de Corte, que dpende doscomponentes utilizados na construo dos filtros RL ou RC.

6.4. Exer cci os:6.4.1) Para o circuito abaixo, determine [1]:a) Tipo de filtro e funcionamento;b) Funo de transferncia na forma fatorada;c) Freqncia de corte (em rad/s e em Hz);

d) Expresso do ganho e fase;e) Tenso de sada para Ve=50oV e =1,5c;f) Esboar o grfico de ganho em dB em funo de uma variao de freqncia.Vs-+Ve

-+L110mHR110k

6.4.2) Projetar um filtro passa-alta com freqncia de corte de 200Hz [1]


55/104

. Use um capacitor deResposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi490,1F.

6.4.3) Projete um Filtro Passa-Alta a partir de um indutor de 50mH para que a freqncia decorte seja 500Hz [1].

6.4.4) Esboce a curva de resposta em freqncia para o ganho do circuito abaixo.Vs-+Ve-+R115kC10.01uF

6.4.5) Analisar o desempenho do filtro abaixo, sabendo que o t

eeter tem boa re

sposta acima de3kHz [6].Ve-+SPK18 ohmC12.2uFResposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi50

7. Fi l t r o Passa-Fai xaUm Filtro Passivo Passa-Faixa um circuito que permite a passagem desinais de tenso ecorrente com freqncias situadas numa faixa intermediria, atenuando os sinais comfreqncias abaixo ou acima dessa faixa.Essa faixa intermediria delimitada por uma freqncia de corte inferior (CI) e uma freqnciade corte superior (CS).7.1. Fi l t r o Passa-Fai xa I deal

Para sinais de freqncia intermediria, ou seja, acima da freqncia de corte inferiorabaixo dafreqncia de corte superior do filtro, o ganho unitrio, portanto, o mddo sinal de sada

igual ao de entrada.Para sinais de freqncias abaixo da freqncia de corte inferior ou acima da freqncicortesuperior o ganho do filtro nulo, ou seja, o mdulo do sinal de sada totalmente ateuado.Na prtica, porm, no se obtm resposta em freqncia de um filtro passa-f


56/104

ideal como aapresentada na figura 7.1.GV(dB)(rad/s)CI01CIRFigura 7.1 Curva de Resposta em Freqncia para um Filtro Passivo Passa Alta Ideal

Simbologia Usual:

Ve VsV

e Vs

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi517.2. Fi l t r o Passa-Fai xa Sr i e:Um circuito RLC como o apresentado na figura 7.2 pode comportar-se como um Filtro PassivoPassa-Faixa real.-+Vs Ve-+

RC LFigura 7.2 Circuito de um Filtro Passivo Passa-Faixa Srie

Um Filtro Passa-Faixa baseado na Ressonncia que ocorre entre indutores ecapacitores emcircuitos CA.Para sinais de freqncias baixas o indutor do circuito da figura 7.2 apresenta baixa reatnciaindutiva e tende a comportar-se como um curto-circuito, porm, o capacitor apresenta altareatncia capacitiva e tende a comportar-se como um circuito aberto. Des

ta forma, a maiorparcela da tenso de entrada estar sobre o capacitor e a tenso sobre o resistor de sada sermuito baixa, ou seja, o sinal ser atenuado. Podemos dizer que o circuito impede a passagemde sinais de baixa freqncia.Para sinais de freqncias altas o capacitor apresenta baixa reatncia capacitiva e tende acomportar-se como um curto-circuito, porm, o indutor apresenta alta reatncia indutiva e tende a


57/104

comportar-se como um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela de tenso de entrada estarsobre o indutor e a tenso sobre o resistor de sada ser muito baixa, ou seja, o sinal seratenuado. Podemos dizer que o circuito impede a passagem de sinais de alta freqnciaPara sinais de freqncias intermedirias, ou seja, sinais cujas freqncias estiverem a faixaprxima Freqncia de Ressonncia do circuito, o indutor e o capacitor jus apresentarobaixa reatncia e tendero a comportarem-se como um curto circuito, como estudado nocaptulosobre Ressonncia. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre o resistor desada. Podemos dizer, ento, que o circuito deixa passar sinais dentro de uma determiada faixade freqncia.

7.2.1. Ganho e FasePara o circuito da figura 7.2, a tenso de sada em funo da tenso de enda pode ser dadaResposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi52

pela expresso:eC LesV

C j1L j RRX X RV RV

+ ++ +ou ainda:C j1L j RRVV

es+ +tirando o mnimo mltiplo comum e fatorando a expresso obtemos:( )RCLC 1j 1


58/104

1RC jRC j LC 1RC jRC jRC j LC 1RC jC j1 LC j RC jRVV2 2 2 2 2es +

+ + + Portanto, a Funo de Transferncia para um Filtro Passa-Faixa, na forma fatorada :( )

,`

.| RCLC 1j 11H2

Sabemos que a funo de transferncia um nmero complexo e que o Ganho de Tenso omdulo da Funo de Transferncia e a Fase o ngulo, na forma polar.Portanto, as expresses para o Ganho de Tenso e a Fase para um filtro Passa-Faixa Srie so,respectivamente:22RC


59/104

LC 111GV

,`

.| + ou22RCLC 111GV

,`

.| +

,`

.| RCLC 1arctg

2

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi537.7.2. Freqnci a de Cort eSabemos que o Ganho na Freqncia de Corte :707 , 0


60/104

21| GVc

Ento, para um Filtro Passa-Faixa RLC srie:22RCLC 11121

,`

.|

+Elevando ao quadrado ambos os lados e operando esta equao, encontramos:2RCLC 1122

,`

.| +1RCLC 1

22

,`

.


61/104

| 1RCLC 12

t RC LC 12

t Esta igualdade nos fornece duas equaes:' + 0 1 RC LC

0 1 RC LC22

Como a expresso do ganho de 2aordem, obtemos duas equaes do 2ograu, cada uma comduas solues que correspondero Freqncia de Corte Superior e FreqncteInferior do Filtro Passa-Faixa Srie:

( )LC 2LC 4 RC RC2

CI+ t ( )LC 2LC 4 RC RC2

CS+ t +

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi547.2.3. Freqnci a Cent ralA chamada Freqncia Central de um Filtro Passa-Faixa ocorre justamente naFreqncia de

Ressonncia.Como sabemos, para haver Ressonncia Srie necessrio que as Reatncias Ca


62/104

itiva eIndutiva do circuito se anulem e se comportem como um curto-circuito, ou seja:0 Xeq| X | | X |C L

Nesta situao o ganho ser unitrio, pois, como podemos perceber, no circuito da figur7.2 todaa tenso de entrada estar disponvel na sada. Assim,1 | GVR1RCLC 1112R

2R

,`

.|

+1RCLC 112R2R

,

.| +1


63/104

RCLC 112R2R

,`

.| +0RCLC 12

R

2R

,`

.|

0 LC 12

R

1 LC2R

LC1R

Como esperado, obtivemos para a Freqncia Central a mesma expresso j conhcida para oclculo da Freqncia de Ressonncia.Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi557.2.4. Curvas Caract erst i casCom a expresso do Ganho e da Fase, podemos traar as curvas de resposta em freqncia


64/104

para o Ganho e a Fase de um Filtro Passa-Faixa RLC Srie, como indicam as figuras7.3a e 7.3b.

(rad/s)GV10,707R0CSCIBWFigura 7.3a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Faixa RLC Srie Ganho denso

(rad/s)-90o

CI0+90o-45o+45o

RCS

Figura 7.3b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Faixa RLC Srie Fase

( )'

,`

.|


65/104

!90 arctg01arctg0 GV 0 V X0S C( )' !

90 arctg0 GV 0 V XS L

( )'

!

0 arctg1 GV V Ve S

R

A curva do Ganho de Tenso em dB para um Filtro Passa-Faixa RLC Srie apresentada na

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi56figura 7.4. Se utilizarmos o Diagrama de Bode para representar o Ganho de um Filtro Passa-Faixa obtemos o grfico da figura 7.5. (rad/s) GV|dB-3R0

CSCIBWFigura 7.4 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Faixa RLC SrieGanho de Tenso em dB Escala Logartmica

(rad/s) GV|dB


66/104

R0CSCIBWFigura 7.5 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Passa-Faixa RLC SrieGanho de Tenso em dB Escala LogartmicaDiagrama de Bode Aproximao por Assntotas

A curva de resposta em freqncia para o ganho em Decibis pode ser dadapela expresso jconhecida:( ) GV log 20 | GVdB

7.3. Fi l t r o Passa-Fai xa Par al el oUm circuito RLC como o apresentado na figura 7.6 pode comportar-se como um Filtro Passa-Faixa Real.

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi57-+-Ve+VsCLR

Figura 7.6 - Circuito de um Filtro Passa-Faixa RLC Paralelo

Para sinais de freqncias baixas, o capacitor da figura 7.6 apresenta reatncia elevada e seucomportamento tende a um circuito aberto, porm, o indutor apresenta baixa reatncia e seucomportamento tende a um curto-circuito. Desta forma, a maior parcelada tenso de entradaestar sobre o resistor e a tenso de sada ser muito baixa, ou seja, osinal ser atenuado.Podemos dizer que o circuito impede a passagem de sinais de baixa freqncia.Para sinais de freqncias altas, o indutor apresenta reatncia elevada e seu comportamento

tende a um circuito aberto, porm, o capacitor apresenta baixa reatnciae seu comportamentotende a um curto-circuito. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre oresistor e a tenso de sada ser muito baixa, ou seja, o sinal ser atenuado. Podemos izer queo circuito impede a passagem de sinais de alta freqncia.Porm, para sinais de freqncias intermedirias, ou seja, sinais cujas freqs estiveremprximas ao valor da Freqncia de Ressonncia do circuito, o indutor e o


67/104

apacitor juntosapresentaro alta reatncia e seus comportamentos tendero a um circuito aberto, comoestudado no captulo sobre Ressonncia Paralela. Desta forma, a maior parcela da tenso deentrada estar sobre o circuito LC ressonante de sada. Podemos dizer, ento, que o circuitodeixa passar sinais dentro de uma determinada faixa de valores de freqncias.

7.3.1. Ganho e FasePara o circuito da figura 7.6, a tenso de sada em funo da tenso de enda pode ser dadapela expresso:( )( )

+ ++ + ++

+++C L C LC LC LC L C LC LC LC L

C LC LC LesX X X X RX XX XX X X X RX XX XX XX X

RX XX XVV



68/104

+

,`

.| +

,`

.|

+

,`

.|

+ LCCLLCC jLC 1R

LCCLCLC jLC 1RC


69/104

LC j1L jC j1L j RC j1L j2 2

,`

.|

,`

.| +

LRLC Rj 11L jRLC R112 2

A Funo de Transferncia de um Filtro Passa-Faixa RLC Paralelo, na forma fatorada :( )

,`

.|


70/104

LRLC Rj 11H2

As expresses para o Ganho de Tenso e a Fase so, respectivamente:22LRLC R11GV

,`

.| +

,`

.| LRLC Rarctg2

7.3.2. Freqnci a de Cort eSabemos que o Ganho na Freqncia de Corte :

707 , 021| GVc

Ento, para um Filtro Passa-Faixa RLC Paralelo:Resposta em Freqncia Filtros Passivos


71/104

CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi5922LRLC R1121

,`

.| +Elevando ao quadrado ambos os lados e operando esta equao, encontramos:2

LRLC R122

,`

.

| +1LRLC R2

t L RLC R

2 t 0 R L RLC2 t

0 1RLLC


72/104

2

Esta igualdade nos fornece duas equaes. Como a expresso do Ganho de segunda orde,obtemos duas equaes de segundo grau, cada uma com duas solues que correpondem Freqncia de Corte Superior e Freqncia de Corte Inferior do Filtro Passa-Faixa Parlo.LC 2LC 4RLRL2

CI+,`

.|

t

LC 2LC 4RLRL2

CS+,

`

.|t +

7.3.3. Freqnci a Cent ralA chamada Freqncia Central de um Filtro Passa-Faixa ocorre justamente naFreqncia de

Ressonncia.Como sabemos, para haver Ressonncia Paralela, necessrio que a impednciaequivalente

do circuito ressonante seja infinita, ou seja, um circuito aberto. Para que issoocorra necessrioque as reatncias capacitiva e indutiva do circuito se anulem:Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi60C LX X

tal que:


73/104

+C LC LEQX XX XXNesta situao o Ganho do circuito da figura 7.6 unitrio, ento;

1 | GVR1LRLC R112R2

R

,`

.| +

1LRLC R12R2R

,

`

.| +0L


74/104

RLC RR2R 0 RLC R2

R

RLCR2R

LC1R

LC1R

Como esperado, obtivemos para a Freqncia Central a mesma expresso j conhcida para aFreqncia de Ressonncia de um circuito RLC.

7.3.4. Curvas Caract erst i casCom a expresso do Ganho e da Fase podemos traar a curva da resposta em freqncia paroGanho, Ganho em dB e a Fase de um Filtro Passa-Faixa RLC Paralelo.As curvas resultantesResposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi

61sero semelhantes quelas curvas para um Filtro Passa-Faixa Srie, como apresentadas nasfiguras 7.3a, 7.3b, 7.4 e 7.5.

7.4. Exer cci os:7.4.1) Seja o Filtro Passa-Faixa abaixo, determinar [6]:a) A freqncia de ressonncia;b) As freqncias de corte inferior e superior;c) As curvas caractersticas;d) A freqncia para um Ganho de Tenso GV=0,1;e) A tenso de sada instantnea vs

(t) para ( ) t sen 2 ) t ( ve e freqncia de 167Hz.

Vs+--Ve+


75/104

R110C110uFL10.1 H

7.4.2) Use os componentes do filtro do exerccio anterior para implementar um Filtro Passa-FaixaParalelo e determinar:a) A freqncia de ressonncia;b) A freqncia de corte;c) A curva caracterstica;d) A freqncia para um Ganho de Tenso GV=0,1;e) A tenso de sada instantnea vs(t) para ( ) t sen 2 ) t ( ve e freqncia de 167Hz.

f) Compare o comportamento dos dois filtros.Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi62

8. Fi l t r o Rej ei t a-Fai xaUm Filtro Passivo Rejeita-Faixa um circuito que atenua, impede a passagem de sinais detenso e corrente com freqncias situadas numa faixa intermediria, permitina passagemde sinais com freqncias acima ou abaixo dessa faixa. Essa faixa intermediria delimtada poruma Freqncia de Corte Inferior (CI) e uma Freqncia de Corte Superior (CS).

8.1. Fi l t r o Rej ei t a-Fai xa I deal :Para sinais de freqncias intermedirias, ou seja, acima da Freqncia de Corte Inferie abaixoda Freqncia de Corte Superior do filtro, o Ganho nulo, portanto, o mdulo do sinal e sada totalmente atenuado (zero).Para sinais de freqncias abaixo da Freqncia de Corte Inferior ou acima a Freqncia deCorte Superior, o Ganho do filtro unitrio, ou seja, o mdulo do sinalde sada igual ao deentrada.Na prtica, porm, no possvel obter a Resposta em Freqncia de um Filjeita-Faixa

Ideal, como a apresentada na figura 8.1.GV(dB)(rad/s)CI01CI


76/104

RFigura 8.1 Curva de Resposta em Freqncia para um Filtro Passa Alta Ideal

Simbologia Usual:

Ve VsV

e VsResposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi638.2. Fi l t r o Rej ei t a-Fai xa Sr i eUm circuito RLC como o apresentado na figura 8.2 pode comportar-se como um Filtro PassivoRejeita-Faixa Real.Vs+--

+VeCLRFigura 8.2 Circuito de um Filtro Rejeita-Faixa Srie

Um Filtro Rejeita-Faixa baseado na Ressonncia que ocorre entre indutores e capacitores emcircuitos CA.Para Sinais de Freqncias Baixas o indutor do circuito da figura 8.2 apresenta baixa reatncia

(tende a um curto-circuito), porm, o capacitor apresenta alta reatncia etende a comportar-secomo um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre ocapacitor e a tenso sobre o resistor ser muito baixa, ou seja, a tensode sada ser

praticamente igual tenso de entrada. Podemos dizer que o circuito permite a passagem desinais de baixa freqncia.Para Sinais de Freqncias Altas o capacitor apresenta baixa reatncia e tende a comportar-secomo um curto-circuito, porm o indutor apresenta alta reatncia e tendea comportar-se como

um circuito aberto. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada estar sobre oindutor e atenso sobre o resistor ser muito pequena, ou seja, a tenso de sada ser praticamentgual tenso de entrada. Podemos dizer que o circuito permite a passagem de sinais de altafreqncia.Porm, para Sinais de Freqncias Intermedirias, ou seja, sinais cujas freqs estiveremnuma faixa prxima Freqncia de Ressonncia do circuito, o indutor e o


77/104

acitor juntosapresentaro baixa reatncia e tendero a comportar-se como um curto-circuito, como estudadono captulo sobre Ressonncia Srie. Desta forma, a maior parcela da tenso de entrada starsobre o resistor e a tenso de sada ser praticamente nula, ou seja, osinal ser atenuado.Podemos dizer, ento, que o circuito impede a passagem (rejeita) sinais dentro de umadeterminada faixa de freqncias.

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi648.2.1. Ganho e Fase:Para o circuito da figura 8.2, a tenso de sada em funo da tenso de enda pode ser dadapela expresso:( )( )C Le C LsX X R

V X XV+ + +ou ainda:

,`

.

|+ +

,`

.|+

C j1L j RC j1L jVVe


78/104

sFatorando a expresso, obtemos:

,`

.| +

,`

.

|+ +

,`

.|+ +LC 1RC j11C j

1 LCR11C j1L jR11


79/104

VV2 2esPortanto, a Funo de Transferncia para um Filtro Rejeita-Faixa Srie, na forma fatoraa :( )

,`

.| + LC 1RCj 11H

2

Sabemos que a funo de transferncia um nmero complexo e que na forma polar, o Ganhde Tenso o mdulo da funo de transferncia e a Fase o ngulo da transferncia.Portanto, as expresses para o Ganho de Tenso e a Fase para um FiltroRejeita-Faixa Srieso, respectivamente;22LC 1RC

11GV

,`

.| + ou

22LC 1RC11GV

,`


80/104

.| +

,`

.| LC 1RCarctg2Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi

658.2.2. Freqnci a de Cort eSabemos que o Ganho de Tenso na Freqncia de Corte :707 , 021| GVC

Ento, para um Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie;

22LC 1RC1121

,`

.

| +Elevando ao quadrado ambos os lados e operando esta equao, encontramos;2LC 1RC1


81/104

22

,`

.| +1LC 1RC2t

LC 1 RC2

t0 1 RC LC2

t Esta igualdade nos fornece duas equaes do segundo grau:

0 1 RC LC2 + 0 1 RC LC2

Como a expresso do Ganho de segunda ordem, obtivemos duas equaes de segundo grau,cada uma como duas solues que correspondero Freqncia de Corte Inferior e Freqde Corte Inferior do Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie.

( )LC 2LC 4 RC RC2

CI+ t

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi66( )

LC 2LC 4 RC RC2

CS+ t +

8.2.3. Freqnci a Cent ralA chamada Freqncia Central de um Filtro Rejeita-Faixa ocorre justamentena Freqncia de


82/104

Ressonncia.Como sabemos, para haver Ressonncia Srie necessrio que as Reatncias Caitiva eIndutiva do circuito se anulem e se comportem como um curto-circuito, ou seja:C LX X

Nesta situao o Ganho ser nulo, pois, como podemos perceber do circuitoda figura 8.2 areatncia total da sada ser zero e o seu comportamento tender a um curto-circuito e tensode sada ser nula e toda a tenso de entrada estar sobre o resistor.Assim, para que a expresso do Ganho seja igual a zero necessrio queo termo dodenominador seja igual a um valor infinito, ento:

0 GV 0LC 1RC1122

RR

,`

.|

+01Para que se verifique esta igualdade, o denominador deve ser infinito. Para tanto, o denominadordo termo dentro da raiz quadrada deve ser igual a zero, pois uma diviso por zero um nmeroinfinito. Assim:0 LC 1

2R

1 LC2R

LC


83/104

1R

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi67Como esperado, obtivemos para a Freqncia Central de um Filtro Rejeita-Faixa Srie amesmaexpresso j conhecida para o clculo da Freqncia de Ressonncia.

8.2.4. Curvas Caract erst i cas:A partir das expresses do Ganho e da Fase, podemos traar as curvas deresposta em

freqncia para o Ganho e a Fase de um Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie, como indicam asfiguras8.3.a e 8.3b.

(rad/s)GV10,707R0

CSCIBWFigura 8.3a Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie GanhoTenso

(rad/s)-90

o CI0+90o-45o+45

o R CS

Figura 8.3b Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Rejeita-Faixa RLC Srie Fase!" Ganho:( )


84/104

' ,`

.| !

0 0 arctg10arctg1 GV V V X0e s C

Resposta em Freqncia Filtros Passivos

CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi68( )' ,`

.

|

,`

.|

!

0 0 arctg1arctg arctg1 GV V V 0 X2e s L


85/104

't ,`

.|t !

900RCarctg0 GV 0 V

RSRA resposta em freqncia para o Ganho em dB apresentada na figura 8.4.Na figura 8.5podemos verificar o Diagrama de Bode para representar o Ganho em dBde um Filtro Rejeita-Faixa Srie.-3BW (rad/s) GV|dB

R0CSCI-Figura 8.4 Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Rejeita-Faixa RLC SrieGanho de Tenso em dB (escala logartmica)

BW (rad/s) GV|

dB R0CSCI-Figura 8.5 Diagrama de Bode - Curva de Resposta em Freqncia do Filtro Rejeita-Fai


86/104

xa RLC SrieGanho de Tenso em dB (escala logartmica)

8.3. Fi l t r o Rej ei t a-Fai xa Par al el oUm circuito RLC como o apresentado na figura 8.6 pode comportar-se como um Filtro PassivoRejeita-Faixa Real.Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi69Vs+- -Ve+C

LRFigura 8.6 Circuito de um Filtro Rejeita-Faixa RLC Paralelo

Para Sinais de Freqncias Baixas, o capacitor do circuito da figura 8.6apresenta reatnciacapacitiva elevada e seu comportamento tende a um circuito aberto, porm, o

indutor apresentabaixa reatncia indutiva e tende a comportar-se como um curto-circuito.Desta forma, a maiorparcela da tenso de entrada estar sobre o resistor de sada. Podemos dizer que o circuitopermite a passagem de sinais de baixas freqncias.Para Sinais de Freqncias Altas, o indutor apresenta reatncia indutiva elevada e tende acomportar-se como um circuito aberto, porm, o capacitor apresenta baixa reatncia capacitiva etende a comportar-se como um curto-circuito. Desta forma, a maior parcela da tenso de entradaestar sobre o resistor de sada. Podemos dizer que o circuito permite a passagem de

inais dealta freqncia.Porm, para Sinais de Freqncias Intermedirias, ou seja, para sinais cuja reqncia estivernuma faixa prxima Freqncia de Ressonncia do circuito, o indutor e o acitor juntosapresentaro alta reatncia e ambos tendero a comportarem-se como um circuito aberto,comoestudado no captulo sobre Ressonncia Paralela. Desta forma, a maior parcela da tenso deentrada estar sobre o circuito LC ressonante e a tenso sobre o resistor de sada serpraticamente nula, ou seja, o sinal ser atenuado. Podemos dizer, ento, que o circu

ito impede apassagem de sinais (rejeita sinais) de uma determinada faixa de freqncias.

8.3.1. Ganho e FasePara o circuito da figura 8.6, a tenso de sada em funo da tenso de enda pode ser dadapela expresso:( )+


87/104

+

,`

.|++

,`

.|+

+C LC LC LC LC LC L esX X RX X1

1RX XX XRRRRX XX XRRV

VResposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi70

,`

.


88/104

| + ,`

.|+

,`

.|+

+

,`

.|

,`

.|

+ +RLC R

Lj 11RLC RC j


89/104

CL11C j1 LCRCL11C j1L j RC j1L j11222A Funo de Transferncia de um Filtro Rejeita-Faixa Paralelo, na forma fatorada :

( )

,`

.| + RLC R

Lj 11H2

As expresses para o Ganho de Tenso e a Fase so, respectivamente;22RLC RL1

1GV

,`

.|


90/104

+

,`

.| LRLC Rarctg2

8.3.2. Freqnci a de Cort eSabemos que o Ganho de Tenso na Freqncia de Corte :21

707 , 0 | GVC

Ento para um Filtro Rejeita-Faixa Paralelo:22RLC RL112

1

,`

.| +Elevando ao quadrado e operando esta equao, temos;2

RLC RL122

,`

.


91/104

| +Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi711RLC RL2t

RLC R L2

t

0 R L RLC2 t

Dividindo toda a expresso por R, obtemos;

0 1RLLC2 t Como a expresso do Ganho de segunda ordem, obtemos duas equaes do segndo grau,cada uma com duas solues que correspondem Freqncia de Corte Inferior eeqnciade Corte Superior do Filtro Rejeita-Faixa Paralelo:

LC 2

LC 4RLRL2

CI+,`

.|

t

LC 2LC 4RLRL2


92/104

CS+,`

.|t +

Observao:Podemos verificar que as expresses das freqncias de corte superior e inferior de um FiltroRejeita-Faixa RLC Paralelo so iguais s de um Filtro Passa-Faixa RLC Srie. Porque?8.3.3. Freqnci a Cent ralA chamada Freqncia Central de um Filtro Rejeita-Faixa ocorre exatamentena Freqncia deRessonncia.Como sabemos, para haver Ressonncia Paralela necessrio que as reatnciasequivalentesdo circuito ressonante paralelo sejam infinitas para se comportarem como um curto-circuito:Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi

72 +C LC LX XX XOu seja, necessrio que as reatncias capacitivas e indutivas do circuito se anulem,ento:C LX X

Nesta situao, o Ganho do circuito da figura 8.6 nulo, ento:0 | GVR0RLC RL1122

RR

,`

.


93/104

| +010 RLC R2

R

1 LC2R

LC1R

Esta a mesma equao j conhecida para a Freqncia de Ressonncia de um circuito RLC

8.3.4. Curvas Caract erst i casCom a expresso do Ganho e da Fase podemos traar as curvas de Respostaem Freqncia

para o Ganho em dB e para a Fase de um Filtro Rejeita-Faixa Paralelo. As curvasresultantes sosemelhantes s curvas de um Filtro Rejeita-Faixa Srie, como as apresentadas nas figuras 8.3a,8.3b, 8.4 e 8.5.

Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi738.4. Exer cci os:8.4.1) Seja o filtro rejeita-faixa abaixo, determine [6]:a) Freqncia de ressonncia;b) Freqncia de corte;c) Curvas caractersticas;d) Freqncia para um ganho de tenso GV=0,5;e) Tenso de sada instantnea vs(t) para( ) ( ) t sen 2 t v

s e freqncia de 167Hz.

Vs+- -Ve+C1


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10uFL10.1HR110

8.4.2) Use os componentes do filtro do exerccio anterior para projetarum filtro rejeita-faixaparalelo e determinar:f) Freqncia de ressonncia;g) Freqncia de corte;h) Curvas caractersticas;i) Freqncia para um ganho de tenso GV=0,5;j) Tenso de sada instantnea vs(t) para( ) ( ) t sen 2 t vs

e freqncia de 167Hz.k) Compare o comportamento dos dois filtros.Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi

749. Fat or de Qual i dadeO Fator de Qualidade fq, tambm chamado de Fator de Mrito, expressa a rlao entre aenergia armazenada e a energia dissipada a cada ciclo do sinal aplicado a um circuito. Assim:DAEEfq onde:fq- Fator de Qualidade

EA Energia armazenada por cicloED Energia dissipada por ciclo

Sabemos que energia o produto da potncia pelo tempo. O tempo corresponde a um ciclo (umperodo), ento;DAD

ADAPPt Pt PEEfq


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DAPPfq onde:fq- Fator de QualidadePA Potncia armazenada por cicloPD Potncia dissipada por ciclo

Nos circuitos RLC, a energia dissipada nos resistores e armazenada nos indutores e noscapacitores. Portanto, a potncia dissipada corresponde Potncia Ativa nosresistores e apotncia armazenada corresponde Potncia Reativa nos indutores e capacitores. Assim:

PQfq Resposta em Freqncia Filtros PassivosCEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi75onde:fq Fator de QualidadeQ Potncia Reativa em VarP Potncia Ativa em W

9.1. Exempl os:

1) Consideremos um circuito RL srie. Encontremos a expresso para o Fator de Qualidade fqdo circuito:RLIRXI RI XPQ

fqL22L L R


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LfqLsrie

2) Consideremos um circuito RLC srie. Encontremos a expresso para o fator de qualidade fqdo circuito:CRL

!" Se a freqncia do sinal aplicado for maior que a freqncia de ressonn, o circuitoapresentar teor indutivo e o Fator de Qualidade ser dado pela expressodo circuito RLsrie:RLfqLsrie

!" Se a freqncia do sinal aplicado for menor que a freqncia de ressonn, o circuitoapresentar teor capacitivo e o Fator de Qualidade ser dado pela expresso do circuito RCsrie;RC1fqCsrieResposta em Freqncia Filtros Passivos

CEFET/SC - Gerncia Educacional de Eletrnica Prof. Fernando Luiz Mussoi76!" Se a freqncia do sinal aplicado for exatamente a freqncia de ressonncia do circo, oteor do circuito resistivo, ou seja, no predomina nem o teor indutivonem o capacitivo.

Assim, o Fator de Qualidade pode ser determinado tanto pela expresso do circuitoRL sriecomo pela expresso do circuito RC srie. Como;LC1R

temos:RCLRLCLRLLC


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1RLfq2RLsrie

CLR1fqRLCsrie

ou ainda:RCLR

LC1RLCC1RCLC11RC1

fq2RCsrie

CLR1fqRLCsrie

9.2. Exer cci os:9.2.1) Determine as equaes para o Fator de Qualidade fq e preencha o quadro resumo abaixo,


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para os seguintes circuitos:a) RC srie;b) RL paralelo;c

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