Segunda Lista de Exercícios de SMA304-Álgebra Linear

1. Sejam M =1= Ouma matriz simétrica e N -=I- Ouma matriz anti-simétrica em M3(1R). Mostre que Me N são l.i.2. Determinar m e n para que os conjuntos de vetores dados abaixo sejam l.i. em 1R3.

(a) {(3,5m,1),(2,0,4),(1,m,3)}(b) {(1,3,5),(2,m+1,10)}(c) {(m,2,n),(3,m+n,m-1)}

3. Mostre que o conjunto de vetores A = {1,x,x2,2 + x + 2x2} de P3(1R) é l.d. e que qualquersubconjunto de A, com três elementos é l.i..4. Mostrar que se o conjunto {u, v, w} de vetores de um espaço vetorial V for l.i., o mesmo acontecerácom {u+v,u+w,v+w}.5. Mostre que os subconjuntos do 1R3

WI = {(x, y, z) E 1R31 2x - 3y + 4z = O}

W2 = {(x, y, z) E 1R31 3x + 2y - 5z = O}

--+São subespaços vetoriais. Quais suas dimensões? Ache um vetor v E WI n W2, v -=I- O.

6. Sejam UI = (1,3,5) e U2= (2,4, -3) vetores de 1R3. Determine os valores de k para os quais (2,7, k)pode ser escrito como combinação linear de UI e U2.7. Sejam A E Mn(lR) e UI, U2,... , ur vetores coluna n x 1. Mostre que se AUI, AU2, ... , AUr sãovetares Li., então UI, U2,... , Ur são Li..8. Seja V o espaço das funções de IR em IR. Mostre que j, g, h E V são l.i., onde j(t) = sen(t),g(t) = cos(t) e h(t) = t.9. Considere os seguintes subespaços de 1R3

S = [(1, -1, 2), (2, 1,1)]T = [(0,1, -1), (1,2,1)]U = {(x, y, z) I x + Y = 4x - z = O}V = {(x, y, z) I 3x - y - z = O}Determine as dimensões de(a) S (b) T (c) U (d) V (e) S+T (f) SnT (g) T+U (h) TnU.

10. Determinar uma base e a dimensão do espaço solução de cada um dos sistemas lineares homogêneos

{

2x - 2y + z = O {X - Y = O(a) 3x-y+3z=0 (b) 2x-3y=0

3y + 4z = O 3x - h = O11. Sejam U e W os seguintes subespaços de 1R4

U={(a,b,c,d)1 b-2c+d=0}W = {(a, b, c, d) I a = d, b = 2c}Ache uma base e a dimensão de(a) U (b) W (c) UnW (d) U+W.

12. Determinar uma base de 1R4 que contenha os vetores (1,1,1,1), (2,1,2,1).13. Mostre que se V = WI E9W2, a = {VI,V2,oo.,vd é uma base de WI e f3 = {WI,W2,oo.,Wr} éuma base de W2, então 'Y= {VI, V2, ... , Vk, WI, W2, ... ,wr} é uma base de V.14. Verifique que o espaço vetorial P(IR) dos polinômios com coeficientes em IR,não pode ser geradopor um número finito de elementos.15. Ache uma base e a dimensão do subespaço W de P(IR) gerado pelos polinômios

(a) U = t3 + 2t2 - 2t + 1, v = t3 + 3t2 - t + 4, W = 2t3 + t2 - 7t - 7.(b) U = t3 + t2 - 3t + 2, V = 2t3 + t2 + t - 4, W = 4t3 + 3t2 - 5t + 2.

16. Se U e W são dois subespaços de V tais que U E9 W = V, dizemos que U é suplementar (oucomplementar) de W (ou W é suplementar de U).(a) Determinar um suplementar de {(x, y, z)) E 1R3 I x - y = O}.(b) O mesmo para {(x,y,z,t)) E 1R41 x - y = z - t = O}.

17. Sejam U e W subespaços de IR4 de dimensão 2 e 3 respectivamente. Mostre que a dimensão deU n W é pelo menos 1. O que ocorre se a dimensão de U n W for 27 Pode ser 3718. Sejam U e W são dois subespaços de um espaço de dimensão n. Suponha que dim U > n/2 edim W > n/2. Mostre que U n W i- 0.19. Seja V = {x E IR I x > O} e considere em V as seguintes operações: u + v = uv e a . u = u",(a) O conjunto B = {I} é uma base para V7 Justifique sua resposta.(b) Determine uma base e a dimensão de V.20. (a) Determinar as coordenadas de p(x) = x2 em relação à base {I, 2 - x, 2 + x + x2

} de P2(IR).(b) Determinar as coordenadas de 1 - 2i E <Cem relação à base C = {I - i, 1 + i}.21. Sejam B = {(I, O), (O, I)}, e, = {( -1,1), (1, I)} e B2 = {(V3, 1), (V3, -I)} bases de IR2.(a) Quais as coordenadas do vetor (3,2) em relação à base B7 E em relação a Bl e a B27(b) Encontre: a matriz de mudança da base B para a base Bç: a matriz de mudança da base Bl paraa base B2 e a matriz de mudança da base B para a base B2.(c) Existe alguma relaçã entre as matrizes encontradas em (b)722. Se B é uma base de um espaço vetorial V, qual é a matriz de mudança da base B para a base B723. Seja V o espaço das matrizes 2 x 2 triangulares superiores. Sejam

duas bases de V.(a) Encontre as coordenadas de (~ ~) em relação às base B e à base C.

(b) Encontre: a matriz de mudança da base B para a base C e a matriz de mudança da base C paraa base B.24. A matriz de mudança de uma base B do IR2 para a base {(I, 1), (0,2) } desse mesmo espaço é

(~ ~). Determine B.

25. A matriz de mudança da base {I + x, 1 - x2} para uma base C ambas do mesmo subespaço de

P2(IR) é (~ ~1). Determine C.