Algebra Linear Revisão prova

7/25/2019 Algebra Linear Reviso prova

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lgebra Linear e Vetorial

Prof. Me Alexandre Suguimoto

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Reviso para Prova

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1) Dados os sistemas, reduza a forma escada,determine seu posto, e se possvel sua

soluo e o grau deliberdade.

a) = 6 = 2 = 0 b) = 6 = 22 2 2 = 4

c) = 6 = 22 2 2 = 12

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1) a) = 6 = 2 = 0 1 1 11 1 11 1 1620

1 1 10 2 00 0 2646 1 1 10 1 00 0 1623 1 0 10 1 00 0 1423

1 0 00 1 00 0 1123 = = 3 = ()

1 0 0 = 10 1 0 = 20 0 1 = 3 = 1 = 2 = 3 = * 1,2,3

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1) b) = 6 = 22 2 2 = 4 1 1 11 1 12 2 2624

1 1 10 2 00 0 0 648 1 1 10 1 00 0 0621 1 0 10 1 00 0 0421

= 3,

= 2, logo Sistema impossvel,

=

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1) c) = 6 = 22 2 2 = 12 1 1 11 1 12 2 2 6212

1 1 10 2 00 0 0640 1 1 10 1 00 0 0620 1 0 10 1 00 0 0420

= 2,

= 2,

= 3 > SPI (infinitas solues)

Grau de liberdade, = 3 2 = 1. = 4 = 20 = 0

= 4 = 20 = 0 = * 4 , 2, = , , ; = 4 = 2

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2) Dada a matriz = 1 2 10 1 30 1 2 , determine.

1 2 10 1 30 1 2

1 0 00 1 00 0 1

1 2 10 1 30 0 1

1 0 00 1 00 1 1

1 2 10 1 30 0 1

1 0 00 1 00 1 1

1 2 10 1 01 0 00 2 3 1 0 10 1 01 4 60 2 3

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2)1 0 10 1 00 0 1

1 4 60 2 30 1 1

1 0 00 1 00 0 1

1 3 50 2 30 1 1

Portanto,= 1 3 50 2 30 1 1

.

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3) Calcule o determinante da matriz

= 1 2 1 31 1 5 0

5 1 3 01 0 2 1

det = 3. 1 +.det 1 1 55 1 3 1 0 20. 1 + det-0. 1 +.det-1. 1 + det 1 2 11 1 5

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4) Mostre que = ; , , , , , = um subespao vetorial.Sejam

, , com

= e

= ,

temos

i)

=

= , pois.

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4) Mostre que = ; , , , , , = um subespao vetorial.Sejam

, , com

= e

= ,

temos

ii)

=

=

, pois

= .

Portanto, um subespao vetorial de ().

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5) Sejam = (1,1,2), = 1,2,1 vetores de ,determine , para que o vetor = 3, , 0 seja umacombinao linear dos vetores e .Soluo:

combinao linear desses vetores se

existirem e reais tais que = (3,,0) = (1,1,2)(1,2,1)

(3, , 0) = (, , 2) (, 2, )

(3, , 0) = ( , 2, 2 )

= 3

= 3 = 1

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6) (Atividade 12-(d) p.104) Seja = , , , , 2 = 0 e =, , , ; . Determine a base, a dimensopara

,

,

e

.

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6) Base para Seja = (, , , ) com = 2 Assim, = (2 , , , )

= 2,,0,0 0,0,,0 (,0,0,)

= 2,1,0,0 0,0,1,0 (1,0,0,1) = 2,1,0,0 , 0,0,1,0 ,(1,0,0,1) (gera)2 10 01 0 0 01 00 1 0 10 01 0 0 21 00 1 1 00 10 0 0 10 21 0 LI base com

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6) Base para Seja = (, , , ) Assim, = (, , , )

= 1,1,1,1

= (1,1,1,1) (gera)e LI, logo (1,1,1,1) base com dim = 1.

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6) Base para Temos = 2,1,0,0 , 0,0,1,0 , 1,0,0,1 , (1,1,1,1) ,note que

2 10 011 01

0 01 001 11

0 30 011 01

2 21 001 11

0 10 010 01

2/3 2/31 001 10

0 10 0 2 / 3 2 / 31 00 1 0 10 0 2/3 2/31 0

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6) Base para 0 10 010 00

2/3 2/31 001 12

0 10 010 00

0 2 / 31 000 12

0 10 010 00

0 2 / 31 000 11

0 10 010 00

0 01 000 01

1 00 100 00

0 00 010 01

Assim, 2,1,0,0 , 0,0,1,0 , 1,0,0,1 ,(1,1,1,1) LI eportanto base para , com dim = 4.

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6) Base para Um vetor deve satisfazer 2 = 0edeve ter a forma (,,,), da temos 2 = 0 = = = 2 = 0 = 0

= 0e

= 0. Assim,

= (0,0,0)-que LD,

com dim = 0.Prova real;

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7) Verifique se uma transformao linear , , = (, 3 )Sejam = (, , )e = (, , ), temos = (, , ) ( , , )

= (, , ) ( , , ) = , ,

= (

, 3

)

= ( , 3 3 )

= , 3 (,3 )= , 3 ,3

uma transformao linear

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8) Seja : uma transformao linear dadapor , , = ( , 5 ).Determine uma base e a dimenso para:

a) ()b) ()

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8) , , = ( , 5 ).a) ()Seja = ,, ()

, ento

= 0 , , = (0,0)

, 5 = (0,0)

= 05 = 0 0 1 15 1 100 0 1 1 0 1 1 / 5 1 / 5 0 temos SPI, pois .

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8) a)Com grau de liberdade = 3 2 = 1.Segue da ltima matriz que = 0 = 0 = 0e = Assim, como = (, , ), temos

= (0, , )

= (0,1,1)Portanto, temos = (0,1,1)-que tambm LI. Portanto, base para o ncleo de com

.

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8) , , = ( , 5 ).b) ()Temos, , , = ( , 5 )

= 0,5 , (,)= 0,5 1,1 (1,1)Assim,

= 0,5 , 1,1 ,(1,1), segue que

0 51 1 0 11 1 , logo uma base 0,5 , 1,1 com .

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8) , , = ( , 5 ).Note que

dim

= dim dim()

3 = 1 2

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9) Dada matriz = 2 1 40 2 30 0 2 , obtenha seusautovalores e autovetores.

= det 2 1 40 2 30 0 2

= 2

2 = 0, logo = 2.Assim, temos um nico autovalor = 2.

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9)Para = 2, temos =

2 1 40 2 30 0 2 . = 2. 2 42 32 =

222

2 4 = 22 3 = 2 4 = 03 = 0 0 1 40 0 300

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9)0 1 40 0 30 0 0

000

0 1 40 0 10 0 0

000

0 1 00 0 10 0 0

000

()Como = 2e = 2, o sistema admite soluo,alm disso, como = 3(n de incgnitas), ,logo, o SPI (infinitas soluo) com grau de liberdade = 3 2 = 1

(uma varivel livre). Segue de

() = 0 = 0 = , , = (, 0,0). Portanto, oautovetor com .

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10) Dada a transformao linear: , = ( 2, 5 4)Determine:a) A matriz da transformao

b) Seus autovalores e autovetores

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10) Dada a transformao linear: , = ( 2, 5 4)Determine:a) A matriz da transformao

= 1 25 4

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10) Dada a transformao linear: , = ( 2, 5 4)Determine:b) Seus autovalores e autovetores

= det 1 25 4

= 1 4 10

= 5 6 5 6 = 0 = 49 = 6e = 1.Assim, seus autovalores so e .

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10)

b) Para = 6, temos = 1 25 4 . = 6.

2 = 65 4 = 6 5 2 = 05 2 = 0 5 25 200 5 20 000 1 2/50 0 00 ()

, temos SPI, pois

= = 1 2 = , segue de ()que = 0, assim o autovetor , com .

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10)

b) Para = 1, temos = 1 25 4 . = 1.

2 = 5 4 = 2 2 = 05 5 = 0 2 25 500 1 11 100 1 10 000 ()

, temos SPI, pois

= = 1 2 = , segue de ()que = 00 = 0 , assim o autovetor , com .

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