2fase Nivel1 Gabarito 2014

7/18/2019 2fase Nivel1 Gabarito 2014

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36ª Olimpíada Brasileira de MatemáticaGABARITO Segunda Fase

Solu!es "í#el $ % Segunda Fase % &arte A

'RIT(RIO )* 'ORR*+,O- &ART* A

Na parte A serão atribuídos . pontos para cada resposta correta e a pontuação máxima para essa

parte será 30. NENHUM PONTO deverá ser atribuído para respostas que não coincidirem com o

gabarito oficial, abaixo

&ro/lema 0$ 01 03 02 0. 06!esposta " #$ " %" 33 3%

0$ 4Resposta- 65

Note que a sequ&ncia segue o padrão

, repetindo'o a cada

n(meros. )abendo que deixa resto na divisão por , o n(mero será igual ao

n(mero da sequ&ncia, que * .

01 4Resposta- 2.5

+amos considerar a ordem de altura das crianças do menor para o maior, camando o menor de

, o segundo menor de , e seguimos at* camar o maior de . -emos então .

m cada troca, um n(mero / direita de outro passa / esquerda desse n(mero. ntão, podemoscontar que o n(mero de trocas feitas * pelo menos o n(mero de passadas da direita para a

esquerda que devem acontecer. deve passar ve1es, cada um dos n(meros de a .

n(mero deve passar ve1es, e assim por diante. 2ortanto podemos concluir que o n(mero de

trocas * pelo menos .

e fato, podemos fa1er com essa quantidade de trocas se fi1ermos o trocar ve1es para a

esquerda, em seguida o trocar ve1es para a esquerda, seguindo at* que o troca uma ve1

para a esquerda.

03 4Resposta- 65

A menor soma possível de tr&s n(meros inteiros diferentes maiores que 1ero * .

2ortanto, se conseguirmos colocar , e nas casas destacadas, essa soma será a menor

possível. tal situação * possível como no exemplo a seguir.

Note que a lina e coluna do somam 40, a lina e coluna do somam e, finalmente, a lina

e coluna do somam .

36ª Olimpíada Brasileira de Matemática % Ga/arito Segunda Fase % "í#el $ o/morg/r



02 4Resposta- 765

5omo * possível coincidir CN com AD, temos CN = AD = 6 cm. 7ogo o ret8ngulo ABCD tem

lados AD = 6 cm e AB = AM + MB = # 9 6, ou se:a, AB = ;4 cm. 2ortanto a área do ret8ngulo

ABCD * 6 < ;4 = %" cm4.

0. 4Resposta- 335

bserve que o con:unto , com , satisfa1 a propriedade quando

esse modo, podemos notar que os con:untos são .

+e:a que se tomássemos . 5oncluímos, portanto, que

existem con:untos com essa propriedade e tendo dois n(meros menores que .

06 4Resposta- 375

bserve que a maior soma possível de quatro n(meros de a * .

ntão, observando o canto superior esquerdo, sabemos que o n(mero do centro * no mínimo .

bservando os n(meros do canto inferior direito, vemos que a menor soma possível deles *

.

-omamos o n(mero do centro e dos bordos , e . >sso * suficiente para determinar o

elemento central, que s? pode ser . para determinar a soma da borda, basta calcular

5om isso :á temos a resposta do problema e note que podemos completar o tabuleiro usando tal

proposta.




Solu!es "í#el $ % Segunda Fase % &arte B

&ROB8*MA $-

a@ menor inteiro positivo com essas características * o .

Observação: se o aluno interpretar que “soma dos algarismos impli!a ter dois ou maisalgarismos" a resposta seria " que ser# !onsiderada de a!ordo !om o !rit$rio a seguir%

b@ maior n(mero que não possui algarismos repetidos * .

as a soma dos algarismos desse n(mero * que não * primo. ntão

devemos excluir pelo menos um dígito desse n(mero. maior primo menor que * ,

portanto devemos excluir o e obtemos .

sse n(mero * o maior n(mero com as tr&s características.

bserve que excluir mais que um algarismo resulta em um n(mero com menos algarismos e,

portanto, menor.

'RIT(RIO )* 'ORR*+,O-

• >tem a [3 pontos]

• !esposta 4. [3 pontos]

• >tem b [7 pontos]

• screver o n(mero %6B"$#34;0 [2 pontos]

• bservar que a soma dos dígitos * #$ que não * primo [+2 pontos]

• !etirar o algarismo 4 e obter %6B"$#3;0 [+3 pontos]

Pontuações não acumulativas: Cas pontuaçDes abaixo não podem ser somadas com as

pontuaçDes dos itens anteriores@

• 2ara o item a, resposta ;4. [2 pontos]

• 2ara o item a, qualquer resposta diferente de 4 e de ;4. [0 ponto]

• 2ara o item b, escrever %6B"$#3;0 sem :ustificativa. [3 pontos]




&ROB8*MA 1-

a@ 2or simetria, notamos que &D = ;4 cm, portanto o lado do quadrado ABCD * ;"9;4 = 46 cm,

consequentemente sua área * 46 < 46 = B6# cm4.

b@ 2elo teorema de 2itágoras aplicado ao tri8ngulo A&' , temos

&' ( = A& ( + A' (=;44 9 ;"4 &' ( = ;##94$" = #00 &' = 40 cm

ntão a área do quadrado &')* * 40 < 40 = #00 cm4.

c@ )e:a o quadrado cin1a interior e se:a o comprimento do seu lado.

+e:a que os 8ngulos , pelos 8ngulos do quadrado , logo os

tri8ngulos e são semelantes, e como * ponto m*dio a proporção * de . 7ogo,

. 2or simetria, todos os outros pedaços análogos serão , então o quadrado

foi dividido em um quadrado e tri8ngulos ret8ngulos de catetos e . -emos

ntão a área do quadrado * 60 cm4.

'RIT(RIO )* 'ORR*+,O-• >tem a [3 pontos]

• 5alcular o lado do quadrado ABCD igual a 46 cm. [2 pontos]

• 5alcular corretamente a área do quadrado ABCD igual a B6# cm4. [+1 ponto]


• 5alcular o lado do quadrado &')* igual a 40 cm. [2 pontos]

• 5alcular corretamente a área do quadrado &')* igual a #00 cm4. [+1 ponto]

• >tem c [4 pontos]

• e são semelantes [2 pontos]

• bservar que o quadrado &')* * dividido por quatro tri8ngulos congruentes e o quadradocin1a [1 ponto]

• 5alcular corretamente a área do quadrado igual a 60 cm4. [+1 ponto]



• 2ara o item a, escrever B6# cm4 sem :ustificativa. [1 ponto]

• 2ara o item b, escrever #00 cm4 sem :ustificativa. [1 ponto]

• 2ara o item c, escrever 60 cm4 sem :ustificativa. [1 ponto]

• 2ara o item c, escrever 60 cm4 usando como :ustificativa as divisDes de quadradinos sugerida

na figura do problema, mas sem demonstração formal. [3 pontos]




&ROB8*MA 3-

a@ Não podemos dividir C por , logo o primeiro sinal s? pode ser .

Note que o resultado não será inteiro quando o terceiro sinal for e o segundo não for nem

, para esses dois sinais a divisão seria . ntão temos

)e o primeiro sinal for

)e o primeiro sinal for , o caso * análogo.

)e o primeiro sinal for , temos

5oncluímos, portanto, que resultados não são inteiros.

b@ Easta contar que temos maneiras de escoler o primeiro sinal, maneiras de colocar o

segundo e maneiras de escoler o terceiro, ou se:a, maneiras.

c@ +amos analisar casos para organi1ar os resultados.

)e o primeiro sinal for .

• )e o segundo sinal for ou

o )e o terceiro sinal for ou , resulta em .

o )e o terceiro sinal for , resulta em .


• )e o segundo sinal for .

o )e o terceiro for temos .









)e o primeiro sinal for .




• )e o segundo sinal for ou

o )e o terceiro sinal for ou , resulta em .













)e o primeiro sinal for , temos exatamente os mesmos resultados que tivemos com , pois

sabemos que e t&m as mesmas possibilidades de resultados.

ntão os resultados são . +emos um total de

resultados diferentes possíveis.

'RIT(RIO )* 'ORR*+,O-

• >tem a [3 pontos]

• Afirmar que os resultados não são inteiros quando ocorre . [2 pontos]

• Afirmar que isso gera quatro resultados diferentes. [+1 ponto]


• Afirmar que podemos colocar os sinais de 3, # e # maneiras, respectivamente. [2 pontos]

• ultiplicar e concluir #6 maneiras no total. [+1 ponto]

• >tem c [4 pontos]

• )e o primeiro sinal for [2 pontos]

• )e o primeiro sinal for Cou , se o aluno fi1er qualquer um deles@. [1 ponto]

• Afirmar que se o primeiro sinal for * análogo Cou se for caso o aluno faça o outro caso@.

[+1 ponto]



• 2ara o item a, escrever # sem :ustificativa. [1 ponto]

•

2ara o item b, escrever #6 sem :ustificativa. [1 ponto]• 2ara o item c, escrever ;" sem :ustificativa. [1 ponto]




• 2ara o item c, escrever ;" e mostrar como obter cada um deles [3 pontos]


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