3-1_Probabilidade_introducao

1

1

� Introdução

� Conceitos fundamentais

� Conceitos de probabilidade

� Teoremas para o cálculo de probabilidades

� Probabilidade condicional e independência

� Teorema de Bayes

Introdução à teoria das probabilidades

2

� O termo PROBABILIDADEPROBABILIDADE é utilizado todos os dias de formaintuitiva, pois nos mais variados aspectos da nossa vida estápresente a incertezaincerteza :

�dizemos que existe uma pequena probabilidade de ganhar a MegaSena;

�dizemos que existe uma grande probabilidade de chover num diacarregado de nuvens;

�o político quer saber qual a probabilidade de ganhar as próximaseleições;

�o aluno interroga-se sobre qual a probabilidade de obter resultadopositivo num teste de perguntas múltiplas, para o qual não estudou eresponde aleatoriamente.

�Todos estes exemplos têm uma característica comum, que é ofato de não conseguirmos prever com exatidãoexatidão ee dede antemãoantemãoqualqual oo resultadoresultado. No entanto os métodos probabilísticos vão nospermitir quantificar essa incerteza.

3

ESTATÍSTICA - Divisão

ESTATÍSTICADESCRITIVA

INFERÊNCIAESTATÍSTICA

PROBABILIDADETrata do resumo e da apresentação de dados

Estudo de populações a partir de amostras

4

MatemáticaMatemática

ModelosModelosProbabilísticosProbabilísticos

ModelosModelosDeterminísticosDeterminísticos

ProbabilidadeProbabilidade

CriaçãoCriação dede modelosmodelos

Estudo dos fenômenos da naturezaEstudo dos fenômenos da natureza

ExperimentosExperimentosProbabilísticosProbabilísticos

ExperimentosExperimentosDeterminísticosDeterminísticos

2

5

Modelo determinístico:Modelo determinístico: é aquele em que ao conhecermos as variáveis de entrada é possível determinar as variáveis de saída (os seus resultados).

�� Em experimentos determinísticosexperimentos determinísticos existe a certezacerteza doresultado que ocorrerá

�� FFísica clássicaísica clássica → fenômenos determinísticosExemplo:Exemplo: Distância percorrida no tempo em função da velocidade

Modelo aleatório, probabilístico ou estocástico:Modelo aleatório, probabilístico ou estocástico: é aquele em que, mesmo conhecendo as condições do experimento, não é possível determinar o seu resultado final.

�� Em experimentos aleatóriosexperimentos aleatórios só é possível determinar a chancechance de ocorrência de um resultado.

�� BiologiaBiologia → fenômenos probabilísticosExemplo:Exemplo: O nascimento de um bovino.

6

�� Quais as suas possíveis formas de ocorrência?Quais as suas possíveis formas de ocorrência?

�� Quais são as chances de cada ocorrência?Quais são as chances de cada ocorrência?

�� De que forma se pode calcular essas chances?De que forma se pode calcular essas chances?

A modelagem de um experimento aleatóriomodelagem de um experimento aleatório implica em responder três questões fundamentais:

Descrição do experimentoDescrição do experimento → açãoação e observaçãoobservação

7

EE11:: Ação:Ação: jogar um dado de seis faces

observação:observação: face voltada para cima

EE22:: Ação:Ação: selecionar uma carta do baralho

observação:observação: valor e naipe da carta

EE33:: Ação:Ação: lançar uma moeda até que apareça cara

observação:observação: número de lançamentos

EE44:: Ação:Ação: acender uma lâmpada

observação:observação: tempo decorrido até que ela se apague

Exemplos:Exemplos:

8

É o conjunto de todos os possíveis resultadostodos os possíveis resultadosde um experimento aleatório.

�� É o conjunto universoconjunto universo relativo aos resultadosde um experimento.

A cada experimento aleatório está A cada experimento aleatório está associado um conjunto de resultados associado um conjunto de resultados

possíveis ou possíveis ou espaço amostralespaço amostral ..

Espaço amostral (S)

3

9

SS11={1,2,3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6} ←← enumerável e finitoenumerável e finito

EE11:: Jogar um dado e observar a face voltada para cima.

Exemplos:

S2={ás de ouro,..., rei de ouro, ás de paus,...,rei de paus,..., ás de espada,..., rei de espada,ás de copas,..., rei de copas}

EE22:: Selecionar uma carta do baralho e observar o seu valore naipe.

←← enumerável e finitoenumerável e finito

10

EE33:: Lançar uma moeda até que apareça cara e observar onúmero de lançamentos.

SS33={1,2,3,4,5,...}={1,2,3,4,5,...}

EE44:: Acender uma lâmpada e observar o tempodecorrido até que ela se apague.

Cara

1 1 2 1 2 3

←← enumerável e infinitoenumerável e infinito

Cara CaraCoroa Coroa Coroa

← lançamentos

SS44={t; t>0}={t; t>0} ←← contínuo e infinitocontínuo e infinito

11

Evento ou ocorrência:Evento ou ocorrência: é todo conjunto particular de resultados de SS ou ainda todo subconjunto de SS.�� É designado por uma letra maiúscula (A, B, C).�� A todo evento será possível associar uma probabilidade.

BB = Ocorrência de face maior que 4 = Ocorrência de face maior que 4 = {5, 6}= {5, 6}

A A = Ocorrência de face ímpar = {1, 3, 5}= Ocorrência de face ímpar = {1, 3, 5}

SS={1,2,3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}

EventosEventos

Espaço Espaço amostralamostral

Exemplo: Lançamento de um dado

12

Ponto amostral:Ponto amostral: é qualquer resultado particular de um experimento aleatório

�� Todo espaço amostral e todo evento são constituídos por pontos amostrais.

Exemplo : S={1,2,3,4,5,6}S={1,2,3,4,5,6}

A = {1,3,5}A = {1,3,5}

B = {5,6}B = {5,6}

← seis pontos amostraisseis pontos amostrais

← três pontos amostraistrês pontos amostrais

← dois pontos amostraisdois pontos amostrais

4

13

Álgebra de Eventos

Como o espaço amostral S e os eventos são conjuntos, asmesmas operações realizadas com conjuntos são válidaspara os eventos.

Exemplo: AA e BB são eventos de SS

S={1,2,3,4,5,6} S={1,2,3,4,5,6}

A={1,3,5}A={1,3,5}

B={5,6}B={5,6}

SS

AA BB

Os diagramas de Venndiagramas de Venn são úteis para dar intuição geométrica sobre a relação entre conjuntos.

14

�� Intersecção:Intersecção: Ocorre AA∩∩∩∩∩∩∩∩BB , se ocorrer AA ee BB .

�� União:União: Ocorre AA∪∪∪∪∪∪∪∪BB , se ocorrer AA ouou BB (ou ambos).

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1,3,51,3,5}

B = {5,65,6}

AA∪∪∪∪∪∪∪∪B = {1, 3, 5, 6}B = {1, 3, 5, 6}

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {1, 3, 55}

B = {55, 6}

AA∩∩∩∩∩∩∩∩B = {5}B = {5}

15

�� Diferença: Diferença: Ocorre AA--BB , se ocorrer AA, mas nãonão ocorrer BB..

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {11, 33, 5}

B = {5, 6}

AA--B B = {1, 3}= {1, 3}

S = {1, 22, 3, 44, 5, 66}

A = {1, 3, 5}

A A = A= A cc = {2, 4, 6}= {2, 4, 6}

�� Complemento: Complemento: Ocorre AA, se ocorrer SS, mas nãonão ocorrer AA..

16

Evento Impossível:Evento Impossível: é aquele evento que nunca irá ocorrer,é também conhecido como o conjunto vazio (∅∅∅∅).

�� É um evento porque é subconjunto de qualquer conjunto,portanto é subconjunto de SS (∅⊂∅⊂SS).

Exemplo: A1 = {(x, y); x2 + y2 < 0}

Eventos Especiais

Evento Certo:Evento Certo: é aquele evento que ocorre toda vez que se realiza o experimento, portanto, esse evento é o próprio SS.

�� É um evento porque todo conjunto é subconjunto de simesmo (SS⊂⊂SS).

Exemplo: A2 = {(x, y); x2 + y2 ≥≥≥≥ 0}

5

17

Dois eventos AA e BB associados a um mesmo espaçoamostral SS, são mutuamente exclusivos quando a ocorrênciade um impedeimpede a ocorrência do outro (AA∩∩∩∩∩∩∩∩B=B=∅∅∅∅∅∅∅∅).

Eventos mutuamente exclusivosEventos mutuamente exclusivos

Exemplos:

Exp.1.Exp.1. Lançamento de uma moeda e observação do resultado

SS={c,k}={c,k}

AA == OcorrênciaOcorrência dede caracara AA == {c}{c}

BB == OcorrênciaOcorrência dede coroacoroa BB == {k}{k}

AA ee BB sãosão mutuamentemutuamente exclusivosexclusivos

18

Exp.2.Exp.2. Lançamento de um dado e observação da face voltada para cima

SS={1,2,3,4,5,6}={1,2,3,4,5,6}

A = ocorrência de um nº ímpar = {1, 3, 5}

B = ocorrência de um nº maior que 4 = {5, 6}

AA∩∩BB={5}={5} → A e B não são mutuamente exclusivos

19

Exercício: No lançamento de um dado, sejam:

A: saída de uma face par

B: saída de uma face menor que 4

Determine:

Tem-se que

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

A = {2, 4, 6}

B = {1, 2, 3}

BA ∪ , BA ∩ , A , B , BA ∪ , BA ∩ , BA ∪BA ∩ , AB − , BA − , BA ∩ , AB ∩ , AA ∩ .

20

Solução:

AA:: saídasaída dede umauma faceface parpar == {{22,, 44,, 66}}

BB:: saídasaída dede umauma faceface menormenor queque 44 == {{11,, 22,, 33}}

BA ∪ = { 1,2,3,4,6 } BA ∩ = { 2 }

A= { 1,3,5 } B = { 4,5,6 }

BA∪ = { 5 } BA ∩ = { 1,3,4,5,6 }

BA∪ = { 1,3,4,5,6 } BA ∩ = { 5 }AB− = { 1,3 } BA − = { 4,6 }

BA∩ = { 1,3 } AB∩ = { 4,6 }

AA∩ = ∅

6

21

Técnicas de contagem Técnicas de contagem →→→→→→→→ determinar o número de elementos de um conjunto ou o número de resultados possíveis de um experimento.

Análise combinatória

Seja AA um conjunto com nn elementos distintos entre si.

A = { a, b, c, d }A = { a, b, c, d }

Se são retirados xx elementos do conjunto AA é possível formar grupos de três tipos:

�� PermutaçõesPermutações�� ArranjosArranjos�� CombinaçõesCombinações

22

ordemordem

naturezanatureza

(b, c) (b, c) e (c, b)(c, b)

(a, b, c) (a, b, c) e (a, c, b)(a, c, b)

(b, c) (b, c) e (b, d)(b, d)

(a, b, c) (a, b, c) e (a, b, d)(a, b, d)

A = { a, b, c, d }A = { a, b, c, d }

23

Exemplo: A = { a, b, c, d } n = 4 e x = 4

grupos244!P4 =={(a, b, c, d), (a, b, d, c), (a, c, b, d), (a, c, d, b), (a, d, b, c), (a, d, c, b), (b, a, c, d), (b, a, d, c), (b, c, a, d), (b, c, d, a), (b, d, a, c), (b, d, c, a),(c, a, b, d), (c, a, d, b), (c, b, a, d), (c, b, d, a), (c, d, a, b), (c, d, b, a),(d, a, b, c), (d, a, c, b), (d, b, a, c), (d, b, c, a), (d, c, a, d), (d, c, d, a)}

{(a, b, c, d) , (a, b, d, c) , (a, c, b, d) , (a, c, d, b), ...

QuantasQuantas permutaçõespermutações dede quatroquatro elementoselementos éé possívelpossível formar?formar?

n!Pn =

Permutações:Permutações: grupos que se distinguem apenas pela ordemordem dos seus elementos. Todos os grupos têm os mesmos elementos.

nn xxnn:: número de elementos distintosxx:: número de elementos retirados

xx == nn

24

{(a, b), (b, a), (a, c), (c, a), (a, d), (d, a), (b, c), (c, b), (b, d), (d, b), (c, d), (d, c)}

{(a, b) , (b, a) , (a, c) , (c, a), ...

122!

2!342)!(4

4!A2

4 =××=−

= gruposx)!(n

n!A x

n −=

Exemplo : A = { a, b, c, d } n = 4 e x = 2

QuantosQuantos arranjosarranjos dede doisdois elementoselementos éé possívelpossível formar?formar?

Arranjos:Arranjos: grupos que se distinguem pela ordemordem e pela naturezanatureza dos seus elementos.

nn xx

nn:: número de elementos distintosxx:: número de elementos retiradosxx << nn

7

25

x)!(nx!n!

C xn −

=

Exemplo: A = { a, b, c, d } n = 4 e x = 2

{(a, b), (a, c), (a, d), (b, c), (b, d), (c, d)}

{(a, b) , (a, c) , (a, d), ...

62! 2!

2!342)!(42!

4!C2

4 =××=−

= grupos

QuantasQuantas combinaçõescombinações dede doisdois elementoselementos éé possívelpossível formar?formar?

Combinações:Combinações: grupos que se distinguem apenas pela naturezanatureza dos seus elementos.

nn xxnn:: número de elementos distintosxx:: número de elementos retirados

xx << nn

26

PermutaçõesPermutações →→ ordemordem →→ (x(x == n)n)

CombinaçõesCombinações →→ naturezanatureza →→ ((xx << n)n)

ArranjosArranjos →→ ordemordem e naturezanatureza →→ ((xx << n)n)

x)!(nn!

A xn −

= grupos

gruposn!Pn =

x)!(nx!n!

Cxn −

= grupos

27

Permutação com repetição:Permutação com repetição: entre os n elementos de um conjunto existem elementos repetidos .

ComoComo calcular?calcular?

Os elementos repetidos precisam ser identificados por a, b e assim sucessivamente

... c! b! a!n!

P c,...b,a,n = grupos

Exemplo: se o conjunto de elementos for composto pelas letras da palavra ARARA, então as permutações

possíveis serão {ARARA, ARRAA, ARAAR, AARRA,

AARAR, AAARR, RAAAR, RAARA, RARAA, RRAAA}

10 2! 3!

5!P3,2

5 ==

28

Conceitos de probabilidade

Teoria das probabilidades

Conceito clássico ou Conceito clássico ou probabilidade “a priori”probabilidade “a priori”

Jogos de azar

Laplace (1812) Laplace (1812) →→→→→→→→ Teoria Analítica das probabilidadesTeoria Analítica das probabilidades→→→→→→→→ sistematizou os conhecimentos da época

sobre probabilidades

Pierre-Simon Laplace(1749-1827)

8

29

Conceitos de probabilidade

DefiniçãoDefinição:: Seja EE um experimento aleatório e SS o espaçoamostral a ele associado, com nn pontospontos amostraisamostrais , todosequiprováveis.Se existe, em SS, mm pontospontos favoráveisfavoráveis à realização de umevento AA , então a probabilidade de AA , indicada por P(A)P(A),será:

1.Conceito clássico ou probabilidade “a priori”

nm

P(A) =S#A#=

←←←←←←←← número de elementos de Anúmero de elementos de A

←←←←←←←← número de elementos de Snúmero de elementos de S

pontos possíveispontos possíveis

pontos favoráveispontos favoráveis

30

Pressuposições básicas:Pressuposições básicas:

1.1. O espaço amostral S é enumerávelenumerável e finitofinito .2.2. Os resultados do espaço amostral S são todos

equiprováveisequiprováveis .

Exemplo:

Exp.: Lançar uma moeda não viciada duas vezes e observara face voltada para cima em cada lançamento.

SS = {cc,ck,kc,kk} = {cc,ck,kc,kk}

P(cc) = P(kc) = P(ck) = P(kk) = 1/4

A = ocorrência de uma cara

A = {ck,kc}A = {ck,kc}

31

nm

P(A) =

SS={cc,ck,kc,kk}={cc,ck,kc,kk}

AA={ck,kc}={ck,kc}

nn = número de pontos possíveis = #S=4#S=4

mm = número de pontos favoráveis à ocorrência de A = #A=2#A=2

S#A#=

21

42 ==

A probabilidade de ocorrer uma cara em dois lançamentos

de uma moeda não viciada é .2

1

32

nm

P(A) =

S={0,1,2}

A = ocorrer uma caraA = ocorrer uma cara

A = A = {1}{1}

#S=3#S=3

#A=1#A=1

S#A#=

31=

O espaço amostral se refere ao númeronúmero dede carascaras que podeocorrer em dois lançamentos de uma moeda não viciada.

Outra situação:Outra situação:

P(0) = P(kk) =

P(1) = P(kc) + P(ck) =

P(2) = P(cc) =

As pressuposições foram atendidas?As pressuposições foram atendidas?

21

41

41

Não é possível usar Não é possível usar o conceito clássico o conceito clássico

para calcular a para calcular a probabilidade de Aprobabilidade de A

Espaço Espaço amostral não amostral não equiprovávelequiprovável

9

33

�� Para usar o conceito clássicoconceito clássico no cálculo das probabilidades, é recomendável partir sempre do espaço espaço amostral básicoamostral básico (mais detalhado) do experimento que, geralmente, é não numérico.

SS = {cc, ck, kc, kk}= {cc, ck, kc, kk}

SS = {0, 1, 2}= {0, 1, 2}

Espaço amostral básico

Espaço amostral numérico

←← enumerável, mas não numéricoenumerável, mas não numérico

34

Exercício proposto:

a)a) de quantas maneiras diferentes pode ser escolhida a equipe para entrar no primeiro jogo?

b)b) quantas dessas combinações incluem um estudantecujo nome é Afonso?

c)c) se a escolha é feita por sorteio, qual é a probabilidadede Afonso fazer parte da equipe neste primeiro jogo?

Dez estudantes de um colégio são selecionados para formar a equipe de basquete para a competição.

a)a) C10,5 = 252

b)b) C9,4 = 126

c)c) P(A) = 126 / 252 = 0,5

35

2.Frequência relativa ou probabilidade “a posteriori”

Richard Von Mises(1883-1953)

O conceito de frequência relativa como estimativa de probabilidadesurgiu através do físico alemão

36

Definição:Definição: Seja EE um experimento aleatório e AA um evento.

Se após n n repetiçõesrepetições do experimento EE (sendo n

suficientemente grande), forem observados mm resultados resultados favoráveisfavoráveis ao evento AA, então uma estimativaestimativa da probabilidade P(A)P(A) é dada pela frequência relativa

2.Frequência relativa ou probabilidade “a posteriori”

nm

f =←←←←←←←← ocorrências de Aocorrências de A

←←←←←←←← repetições de Erepetições de E

10

37

Exemplo: Lançamento de uma moeda honesta.

A = ocorrência de cara

P(A) = 0,5

Repetições do exper. Resultado Ocorrências de A Freqüência relativa f

1 c 1 1

2 k 1 1/23 k 1 1/34 c 2 2/4

5 k 2 2/5

6 c 3 3/67 c 4 4/7

8 c 5 5/8… … … …n - m m/n

38

0

0,5

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 n

f

P(A)

Estabilização da frequência relativa Estabilização da frequência relativa ff quando quando nn cresce.cresce.

Pressuposição:Pressuposição: nn deve ser suficientemente grande para que se possa obter um resultado com margem de erro razoável.

39

Exercícios propostos:

1.1. Em Sobral (CE), observaram-se seis anos de seca no período de 1901-66 (66 anos). Qual é a probabilidade de ser seco o próximo ano?

2.2. Se os registros indicam que 504, dentre 813 lavadoras automáticas de pratos vendidas por uma grande loja de varejo, exigiram reparos dentro da garantia de um ano, qual é a probabilidade de uma lavadora dessa loja não exigir reparo dentro da garantia?

0,0909111

666

nm

f ====

0,3801271103

813309

nm

f ====

40

3. Conceito moderno ou axiomático

Andrei N. Kolmogorov(1903–1987)

No século XX, Andrei Kolmogorov conceituou probabilidade através de axiomasaxiomas rigorosos, tendo por base a teoria da medida.

11

41

DefiniçãoDefinição:: Se AA é um evento do espaço amostral SS, então onúmero real P(A)P(A) será denominado probabilidade daocorrência de AA, se satisfizer os seguintes axiomas:

3. Conceito moderno ou axiomático

AA∩∩∩∩∩∩∩∩B=B= ∅∅∅∅∅∅∅∅

AxiomaAxioma 11.. 00 ≤≤≤≤≤≤≤≤ P(A)P(A) ≤≤≤≤≤≤≤≤ 11

AxiomaAxioma 22.. P(S)=P(S)=11

AxiomaAxioma 33.. Se AA e BB são eventos de SS

mutuamente exclusivos, então,

P(AP(A∪∪∪∪∪∪∪∪B)B) == P(A)+P(B)P(A)+P(B)

42

�� O conceito axiomático não fornece formas e simcondiçõescondições para o cálculo das probabilidades.Os conceitos “a priori” e “a posteriori” se enquadramno conceito axiomático.

Exemplo:

Lançamento de um dado e observação da face voltada para cima

61

S#A#

P(A) ==B={1,3,5}B={1,3,5}

63

S#B#

P(B) ==

A={2}A={2}

S={1,2,3,4,5,6}S={1,2,3,4,5,6}

P(AP(A∪∪∪∪∪∪∪∪B)=P(A)+P(B)B)=P(A)+P(B)

P(AP(A∪∪∪∪∪∪∪∪B)=?B)=?P(A∪B)=1/6 + 3/6

P(A∪B)=4/6

Primeiro axiomaPrimeiro axioma Terceiro axiomaTerceiro axioma

43

Teoremas para o cálculo de probabilidades

Teorema 1Teorema 1. Se ∅∅ é um evento impossível, então P(P(∅∅∅∅∅∅∅∅)=)=00.

Teorema 2Teorema 2. Se AA é o complemento de AA, então P(A)=1P(A)=1--P(A)P(A).

44

Teorema 3Teorema 3. Se AA e BB são dois eventos quaisquer, então

P(AP(A--B) = P(A)B) = P(A)--P(AP(A ∩∩∩∩∩∩∩∩B)B) .

P(A)P(A) −−−−−−−− P(AP(A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B) = P(A= P(A−−−−−−−−B)B)

Demonstração:Demonstração:

12

45

Teorema 4. Teorema 4. Soma das ProbabilidadesSoma das Probabilidades

Se AA e BB são dois eventos quaisquer, então

P(AP(A∪∪∪∪∪∪∪∪B) = P(A)+P(B)B) = P(A)+P(B)--P(AP(A ∩∩∩∩∩∩∩∩B)B) .

P(A)+P(B)P(A)+P(B) = P(A= P(A∪∪∪∪∪∪∪∪B)B)−−−−−−−− P(AP(A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B)

Demonstração:Demonstração:

46

A probabilidade de ocorrer um acidente em uma competição de carros é 0,18; a probabilidade de chover em um dia de competição é 0,28; e a probabilidade de ocorrer acidente e chuva em um dia de competição é 0,08.

Determine a probabilidade de:

a) não ocorrer acidente na próxima competição;

b) chover ou ocorrer um acidente na próxima competição;

c) não chover e não ocorrer acidente na próxima competição;

d) chover, mas não ocorrer acidente na próxima competição


0,82

0,38

0,62

0,20

47

Solução: Sejam os eventos

AA: ocorrer um acidente em uma competição

BB : ocorrer chuva no dia da próxima corrida

AA∩∩∩∩∩∩∩∩BB :: ocorrer acidente e chuva em um dia de competição

P(A) = 0,18P(A) = 0,18

a) P(não ocorrer acidente na próxima competição)

P(B) = 0,28P(B) = 0,28

P(AP(A∩∩B) = 0,08B) = 0,08

P(A) = 1 – P(A) = 1 – 0,18 = 0,82

48

b) P(chover ou ocorrer um acidente)

c) P(não chover e não ocorrer acidente)

P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B)

= 0,18 + 0,28 – 0,08

= 0,38

∩∩∩∩ =

P(A∩B) = P(A∪B) = 1 – P(A∪B) = 1 – 0,38 = 0,62

13

49

d) P(chover, mas não ocorrer acidente )

P(B-A) = P(B) – P(A∩B) = 0,28 – 0,08 = 0,20

50

Probabilidade condicional e independência

Sejam AA e BB dois eventos associados a um mesmo espaçoamostral SS. Se AA e BB não são eventos mutuamenteexclusivos (AA∩∩∩∩∩∩∩∩BB ≠≠≠≠≠≠≠≠ ∅∅∅∅∅∅∅∅), então AA e BB poderão ser eventosindependentesindependentes ou condicionadoscondicionados .

Exemplo:

ExpExp.:.: Uma caixa contém cinco bolas equiprováveis, sendotrês azuis e duas brancas. Duas bolas são retiradas, uma auma, e suas cores são observadas.

duas bolasduas bolas

51

Situação 1.Situação 1. Consideremos que a primeira bola retirada não é reposta →→→→→→→→ retirada sem reposiçãoretirada sem reposição

SS = {B, B, A, A, A}= {B, B, A, A, A} ←←←←←←←← enumerável, finito e equiprovávelenumerável, finito e equiprovável

S#A#

)P(A 11 =

AA11 = {A, A, A= {A, A, A }}

53=

Definimos, então, dois eventos:

AA11: a primeira bola é azul: a primeira bola é azul

AA22: a segunda bola é branca: a segunda bola é branca

As probabilidades dos eventos AA11 e AA22 serão calculadas em duas situações: retiradas semsem e com reposiçãocom reposição da primeira bola.

52

AA22//AA11 = {B, B}= {B, B} 42=

A probabilidade do AA22 depende da ocorrência ou não do AA11?

�� Se ocorreu AA11, então temos P(P(AA22//AA11))

SS = {B, B, A, A}= {B, B, A, A}

S#/AA#

)/AP(A 1212 =

41=

SS = {B, A, A, A= {B, A, A, A }}

Se a bola Se a bola não for repostanão for reposta , a probabilidade de ocorrência do , a probabilidade de ocorrência do AA22 fica fica alteradaalterada pela ocorrência ou não do pela ocorrência ou não do AA11

P(AP(A22/A/A11) ) ≠≠ P(AP(A22))

�� Se não ocorreu AA11, então temos P(P(AA22))

AA22 = {B}= {B} S#A#

)P(A 22 =

14

53

Definição:Definição: dois eventos quaisquer, AA e BB , são condicionados quando a ocorrência de um alteraaltera a probabilidade de ocorrência do outro.

A probabilidade condicional de AA é denotada por

P(A/B)P(A/B)

(lêlê--se probabilidade de se probabilidade de AA dado que ocorreu dado que ocorreu BB)

Eventos condicionados

54

Situação 2.Situação 2. Consideremos que a primeira bola retirada é reposta antes de tirar a segunda →→→→→→→→ retirada com reposiçãoretirada com reposição .

SS = {B, B, A, A, A}= {B, B, A, A, A}

S#A#

)P(A 11 =

AA11 = {A, A, A= {A, A, A }} 53=

AA11: a primeira bola é azul: a primeira bola é azul

AA22: a segunda bola é branca: a segunda bola é branca

55

AA22//AA11 = {B, B}= {B, B} 52=

A probabilidade do AA22 depende da ocorrência do AA11?

�� Se ocorreu AA11, então temos P(P(AA22//AA11))

SS = {B, B, A, A, A= {B, B, A, A, A }}

S#/AA#

)/AP(A 1212 =

�� Se não ocorreu AA11, então temos P(P(AA22))

S#A#

)P(A 22 =

Se a bola Se a bola for repostafor reposta , a probabilidade de ocorrência do , a probabilidade de ocorrência do AA22

não é alteradanão é alterada pela ocorrência ou não do pela ocorrência ou não do AA11

P(P(AA22//AA11) = P() = P(AA22))

SS = {B, B, A, A, A= {B, B, A, A, A }}

52== {B, B}= {B, B}AA22

56

Definição:Definição: Dois eventos quaisquer, AA e BB , são independentes quando a ocorrência de um não alteranão altera a probabilidade de ocorrência do outro.

P(A/B)=P(A)P(A/B)=P(A) e P(B/A)=P(B)P(B/A)=P(B)

Eventos independentes

15

57

Teorema do Produto das Probabilidades

Se AA e BB são dois eventos quaisquer, então

P(AP(A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B) == P(A)P(A) P(B/A)P(B/A) ou P(AP(A∩∩∩∩∩∩∩∩B)B) == P(B)P(B) P(A/B)P(A/B)

)()∩(=)/(

APBA P

ABP BP

BA PBAP

)()∩(=)/(

58

Condicionados: a ocorrência de um altera a probabilidade de ocorrência do outro

mutuamente mutuamente exclusivosexclusivos

não não mutuamente mutuamente exclusivosexclusivos

AA∩∩∩∩∩∩∩∩BB ≠≠≠≠≠≠≠≠ ∅∅∅∅∅∅∅∅

AA∩∩∩∩∩∩∩∩BB== ∅∅∅∅∅∅∅∅

Grau máximo de dependênciaentre dois eventos: a

ocorrência de um impede a ocorrência do outro

Independentes: a ocorrência de um não altera a probabilidade de ocorrência do outro

Caso particular:Caso particular:

AA e e BB são independentessão independentes ⇔⇔P(B/A)=P(B) P(B/A)=P(B) ee P(A/B)=P(A)P(A/B)=P(A)

P(AP(A∩∩B)=P(A)B)=P(A) P(B)P(B)

59

Um grupo de pessoas é constituído de 60 homens e 40mulheres. Sabe-se que 45 desses homens e 30 dessasmulheres votaram numa determinada eleição. Tomando-se,aleatoriamente, uma dessas pessoas, calcule aprobabilidade de:


a) ser homem;b) ser mulher;c) ter votado;d) não ter votado;e) ser homem, sabendo-se que votou;f) ser mulher, sabendo-se que não votou;g) ter votado, sabendo-se que é mulher;h) não ter votado, sabendo-se que é homem.

60

Votou Não votou Totais

Homem

Mulher

Totais

25

1015

75

3045

100

4060

H = ser homem

V = ter votadoM = ser mulher

NV = não ter votado

Eventos

0,610060 ==a)

S#H#

P(H) =

b)S#M#

P(M) = 0,410040 ==

0,7510075 ==

0,2510025 ==

7545

75/10045/100 ==

2510

25/10010/100 ==

4030

40/10030/100 ==

P(M)M)P(V

P(V/M)∩=g)

S#V#

P(V) =c)

S#NV#

P(NV) =d)

P(V)V)P(H

P(H/V)∩=e)

P(NV)NV)P(M

P(M/NV)∩=f)

h)P(H)

H)P(NVP(NV/H)

∩=6015

60/10015/100 ==

16

61

Teorema de Bayes

Seja SS um espaço amostral, com nn partições, onde está definido o evento AA.

n=3n=3

B1

B2

B3

BB11∪∪∪∪∪∪∪∪BB22∪∪∪∪∪∪∪∪BB3 3 = S= SBB11∩∩∩∩∩∩∩∩BB2 2 = = ∅∅∅∅∅∅∅∅BB11∩∩∩∩∩∩∩∩BB3 3 = = ∅∅∅∅∅∅∅∅BB22∩∩∩∩∩∩∩∩BB3 3 = = ∅∅∅∅∅∅∅∅

BBii∩∩∩∩∩∩∩∩BBj j = = ∅∅∅∅∅∅∅∅Thomas Bayes(1702 –1761)

Evento de interesseAA

62

Exemplo: Em uma fábrica de parafusos, as máquinas 1, 2 e 3 produzem 25%, 35% e 40% do total produzido. Da produção de cada máquina, 5%, 4% e 2%, respectivamente, são defeituosos.

B1 = produção da máquina 1B2 = produção da máquina 2B3 = produção da máquina 3

S = produção total da fábrica

A = produção defeituosa

P(A) ?

Se escolhemos ao acaso um parafuso desta fábrica, qual é a probabilidade de que este parafuso seja defeituoso?

63

B1∩∩∩∩A B2∩∩∩∩A B3∩∩∩∩A

A = (B1∩∩∩∩A) ∪∪∪∪ (B2∩∩∩∩A) ∪∪∪∪ (B3∩∩∩∩A) P(A) = ?

= P(B1∩A) + P(B2∩A) + P(B3∩A)P(A) = P[(B1∩A) ∪ (B2∩A) ∪ (B3∩A)]

P(B1∩∩∩∩A) = P(B1) . P(A/B1)

P(B2∩∩∩∩A) = P(B2) . P(A/B2)

P(B3∩∩∩∩A) = P(B3) . P(A/B3)

P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) + P(B3) . P(A/B3)64

P(B1)=

P(B2)=

P(B3)=

0,25

0,35

0,40

Probabilidade de ser defeituoso dado que foi fabricado pela máquina 1



→ P(A/B1) = 0,05

→ P(A/B2) = 0,04

→ P(A/B3) = 0,02


P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) + P(B3) . P(A/B3)

17

65

P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) + P(B3) . P(A/B3)

P(A) = 0,25 . 0,05 + 0,35 . 0,04 + 0,40 . 0,02

P(A) = 0,0345 3,45% da produção de parafusos da fábrica é defeituosa

P(B1)=

P(B2)=

P(B3)=

0,25

0,35

0,40

P(A/B1) = 0,05

P(A/B2) = 0,04

P(A/B3) = 0,02

P(A) = P(B1) . P(A/B1) + P(B2) . P(A/B2) +...+ P(Bn) . P(A/Bn)

Teorema da Probabilidade Total:

∑=

=n

1iii )).P(A/BP(BP(A)

66

Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que ele édefeituoso. Qual é a probabilidade de que seja damáquina 1, da máquina 2 e da máquina 3?

B1 = máquina 1B2 = máquina 2B3 = máquina 3

Máquina 1 Máquina 3

Máquina 2

P(B1/A) = ? P(B2/A) = ? P(B3/A) = ?

67

Qual é a probabilidade de ocorrer B1, sabendo-se que ocorreu A?

Probabilidade condicionada:

P(B1/A) = ?

P(B1 ∩∩∩∩ A) = P(B1) . P(A/B1)

∑=

=3

1iii )).P(A/BP(BP(A)

P(A)

A)P(B/A)P(B 1

1

∩=

∑=

= 3

1iii

111

)).P(A/BP(B

)).P(A/BP(B/A)P(B

∑=

= n

1iii

iii

)).P(A/BP(B

)).P(A/BP(B/A)P(B

Teorema de Bayes

P(B1/A)

68

Escolhe-se ao acaso um parafuso e verifica-se que ele édefeituoso. Qual é a probabilidade de que seja damáquina 1, da máquina 2 e da máquina 3?


B1 = produção da máquina 1B2 = produção da máquina 2B3 = produção da máquina 3A = produção defeituosa

P(B1/A)

P(B2/A)

P(B3/A)

18

69

Se o parafuso é defeituoso, a probabilidade de ter sido fabricado pela Máquina 1 é 0,3623; pela Máquina 2 é

0,4058 e pela Máquina 3 é 0,2319

P(B1)= P(B2)= P(B3)=0,25 0,35 0,40

P(A/B1) = 0,05 P(A/B2) = 0,04 P(A/B3) = 0,02

Solução:

0,36230,0345

0,25.0,05P(A)

)).P(A/BP(B/A)P(B 11

1 ===

0,40580,0345

0,35.0,04P(A)


2 ===

0,23190,0345

0,40.0,02P(A)


3 ===

70

Exercício Proposto:Em uma certa comunidade, 6 % de todos os adultos com mais de 45 anos têm diabetes. Um novo teste diagnostica corretamente 84% das pessoas que têm diabetes e 98% das que não tem a doença.

a) Qual é a probabilidade de uma pessoa diagnosticada como diabética no teste, ter de fato a doença? 0,7283

b) Qual é a probabilidade de uma pessoa que faça o teste, seja diagnosticada como não diabética? 0,9308

DD – 0,84D – 0,06

DND – 0,16

DD – 0,02ND – 0,94

DND – 0,98

71

a) Qual é a probabilidade de uma pessoa diagnosticada como diabética no teste, ter de fato a doença?

P(D).P(DD/D)P(D/DD)

P(D).P(DD/D) P(ND).P(DD/ND)

0,06 0,84 0,0504 0,05040,7283 72,83%

(0,06 0,84) (0,94 0,02) 0,0504 0,0188 0,0692

=+

×= = = = =× + × +

b) Qual é a probabilidade de uma pessoa que faça o teste, seja diagnosticada como não diabética?

P(DND) P(D).P(DND/D) P(ND).P(DND/ND)

0,06 0,16 0,94 0,98 0,0096+0,9212 0,9308 93,08%

= += × + × = = =

DD – 0,84

D – 0,06

DND – 0,16

DD – 0,02

ND – 0,94

DND – 0,98

3-1_Probabilidade_introducao

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