,I

5. Distribuição

O Interna EJ Externa

O Restrita

Nelso:Je~~·Diretor .

11. Oltima págin~: B.4

12. Revisada por

~N. S. Venkataraman

13. Autorizada por.

3. Data

Junho, 1982

INPE-2454-TDLj09410. Páginas: 153

MODELAGEMDAS FORÇAS E TORQUESATUANTES EM SATÉLITES

7. C.D.U.: 629.7.015.7

1. Publicação nQ 2. Versão

INPE~2454~TDLj094-

4. Origem Programa

DRH/DCE FRf.!/CEA

6. Palavras chaves - selecionadas pelo(s) autor(es)FORÇAS EM SATÉLITESTORQUES EM SATÉLITESAERODINÂMICAS EM SATÉLITES

9. Autori a Valdemir Carrara

8. Titulo

Assinatura responsável

14. Resumo/Notas .

A dre~cente necessidade de simular, com a máxima precisão,tanto a posição quanto a atitude de satélites artificiais tem provocadoo desenvo~vimento de teorias mais sofisticadas, que calculam as forças.perturbadas que atuam nestes satélites. Estudam-se, neste trabalho, asteorias encontradas na literatura que melhor representam o fenômeno real,sem contudo introduzirem muita complexidade .na sua formualação. Foramconsideradas as principais forças.e torques atuantes em satélitestipicos~e a seguir foi desenvolvido um programa conputacional qu~ baseado nestasteorias, calcula numericamente as forças através da descrição da geometria do satélite. Este programa fei aplicado em seguida a um satélite e~perimental, cujo formato é semelhante ao proposto para um dos satélitesda missão espacial brasileira. Foram então calculados para este satéliteas forças e torques perturbadores, com a intensão de deteminar a grandeza relativa de cada uma, bem como os parâmetros mais influentes. Veriicou-se que a atitude possui grande correlação com as forças,principalmente com os torques. As caracteristicas da superficie do satélite tantoquanto sua temperatura e geometria também influem em algumas forças.

15. ObservaçõesDissertação de mestrado em Ciência Espacial, aprovada em 16

de fevereiro de 1982~

,

•

Ap~ovada pela Banca Examinadora

em cump~;'mento a ~equisito exigido

para a obtenção do Titulo de Mestre. .

em Ciência Espacial

Membro da Banca

":convidado-

,Cà'i A·~·.Membro da Banca

s~~-~ rJ)N0~ruu~'~ Presidente

1k4L,Ç~Orientador

T~~·

ti,Dr.Xydano Barreto Carleial

Candidato: Valdemir Carrara

Dr.Santiago Alves Tavares

Dr.Nellore S.Venkataraman

Dr.Atair Rios Neto

Dr.Jerzy Tadeusz Sielawa..

são Jose dos Campos, 16 de fevereiro de 1982

•

,

AGRADECIMENTOS

Ao Instituto de Pesquisas Espaciais pelas facilidades

concedidas ã realização deste trabalho. por meio do projeto ORBAT.

Ao Dr. N~llore S. Venkataraman pela orientação e dedic!

ção durante o desenvolvimento dessa dissertação.. .

Aos demais membros da Banca Examinadora, em especial ao

Dr. Atair Rios Neto, pelas sugestões e conselhos ao longo do trabalho.

~ minha esposa, Renata, pelo in~entivo e auxilio na da

tilografia.

A todos os integrantes da Divisão de Dinâmica Orbital,

que muito contribuíram com sugestões e comentários, e em particular a

Vãlder Matos de Medeiros pela colaboração na confecção das figuras.

•

,

ABSTRACT

The increased demand to simuZate, withhigh precision,

the position as 'we'LZas the attitude of an rirtificia"l Earth sateUitehas Zead to the deveZopment of very comp"lex theories that caZcuZate

thé perturbing forcesacting on sat~Zt,ites. In this work, the theoriesencountered in the Ziterature that best represent the physicaZ

phenomenon without introducing too much forrrrru"lationcomp"lexity ax>estudied. The main forces andtorques acting on typicaZ sateHites are

discussed, and, foZZowing this, a computer program based on the~e

theories UJaS deve"loped to caZcuZate numericaZ"ly these forces. Then the

px>ogramhas been appZied toan exp~Pimenta"l sateZ"lite, whose configuration is simiZarto a proposed sateZZite for the BraziZian space ­

progràm. The forcesand tOl'ques were CaZcuZated for thissateHitewith the object of studying their. reZative magnitudes as weH the

parameters that. infl,uence them. The forces and the torques are strong"ly

dependent on the sate"lZite attitude. AZsó, the sate"lZite surfacecharacteristics, its temperature and geometry infl,uencé some of the

fopces and torques.

I,

SU~RIO

LISTA DE FIGURAS

LISTA DE TABELAS

•• '•••• '•••• ti '••••••••••••••. ,••••• ' ••••• '. • • • • • • • • • • • •• 1,...%

. ...• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • :x:z, 1..1,

LISTA- DE SrMBOLO~ •••••••••••• ,•.••••• ',•••••••• '••. ,••• ,•• ,••.•••••••.•••••• :r:v

CAPITULO 1 - INTRODUCAO •••••••••••••••••••••••••••••••••••••• ,.... 1

CAPITULO 2 - ROTACOES E SISTEMAS DE COORDENADAS •••••••••••••••••• 5

2.1 - Rotações •.... _ _ . 5

2.2 - Sistemas de coordenadas ••••••••••••••••••••••••••••••••• ~.. 6

2.2.1 - Sistema geocêntrico inercial - XiViZi•••••••••••••••••••• 7

2.2.2 - Sistema geocêntrico orbit~l- XOVoZo ••••••••••••••••••• ;. 8

2.2.3 - Si stema 'do a1tredo - XaVaZa ••••••• '.••••••••••••••••••••••• 9

2.2.4 - Sistema do satelite - XSVSZS ••••••••••••••••••••••••••••• 10

2.2.5- Sistema do elemento de sup~rflcie - XeVe~e ••••••••••••••• 11

CAPITULO 3 -FORCA E TORQUE AERODINAMICOS •••••••••••.•••••••••••• 13

3.1 - Introdução .........•....•..•. ; ...••.•.•.......... '•........... 13

3.2 - A interação entr~ o -gãs e a superfície ••••••••••••••••••••• 14

~.3 - Expressões para força e torque num elemento •••••••••••••••• 17

CAPITULO 4 - FORCAS DE RADIAC~O ••••••••••••••••••••••••••••••.•••• 27

4.1 - Introdução ..•.......••.•.••.•..••..••.•.•.••......•.••.••.. 27

4.2 - Radiação solar direta •••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 28

4.3 - Radiação refletida pela Terra •••••••••••••••••••••••••••••• 38

4.4 - Radiação emitida pela Terra •••••••• u •••••••••••••••••••••• 46

'cApITULO 5 - TORgUE DE·GRADIENTE DE GRAVIDADE ••••••••••••••.••••• 51

5.1 - Introdução •.•....••.••.•.••••••••••••••••••......••.•.•.•.. 51

5.2 - Torque de gradiente de gravidade num corpo rígido ••,........ 52

CAPITULO 6 - FORCAS E TORQUES ELETROMAGNtTICOS ••••••••••••••••••• 57

6.2 - O potenciai do satelite •••••.••••••.•••••••••••••••••••••••••

.................................. ,.

6.1 - Intro·ducão' ..................••.•..... ~...•................... 57

58

616.3 - Força e torque de Coulomb

- vii -

- viii -

,CAPITULO 7 - APLICAC1O DA TEORIA E· RESULTAOOS••••••••••• ~.;...... 67

REFERE:NCIASBIBLIOGRAFICAS ••••••••.•••• ~••••••••••• '•••••• ~•••••••• '117

APrNDICE A - JNTEGRACAOANALfTICA E TESTE, DA INTEGRACAO' NUMrRICA. DO COEFICIENTE DE ARRASTOAERODlNAMlCO EM ~ORPOS SIM

PLES

APE:NDICEB - rrUEGRAC1OANALfTICA E TESTE DA-':lNTEGRACAO';'-NUM!RICA";"DO COEFICIENTE~DE FORCADE RAOtAC1OEM,CORPOS~iMPLESJ,

61

63

,,64

.............................

,

6.5 - Força e torque de, indução ••••••••••••••••••••••• ~•• ~•••••• ~

6.6 - Outros tipos de forças ••••••••••••••••.•.••••••••••••••••••••• . ... i .,. • '.

6.4 - Torque de corrente de Foucault

,.

7.1 - Introdu'ção ...........•...• -••••• 4"••••• <. . •.• . . • . • • .• • . . . . .. . • . 67.'

7.2 - Coeficientes aerodinâmicos ·•••••••••••• P .•••••••••• eó ••••••• 71

7.3 - Coeficiente de força de radiação ••••••••••••••••••••••••••• 79

7.4 - Coeficientes dotorque de gradiente de gravidade •• " ••••••• 95

7.5 - Forças e torques ao longo de uma órbita •••••••••••••• ; ••••• 98

. CAPITULO 8 - COMENTARIOSE CONCLUSOES••••••••••••••••• ~•••••••••• 113

I

LISTA DE FIGURAS

2.1 - Rotação sobre o eixo Xb ••••••••••••••••••••••••••••••••••••

2.2 - Sistem? de referência geoc~ntrico inercial •••••••••••••••••

2.3 - Sistema geocêntricoorbital ••••••••••••••••• n ••••••••••• ••

2.4 - Sistema do albedo'XayaZa ••••••••••••••••••••• '••••••••••••••

2.5 - Sistema do satélite',XSysZs ..••••••••• p •••.••••••••••••••••••

2.6 - Sistema do elemento de superfície ••••••••••••••••••••••••••

3.1 - Caminho livre médio em função da altura ••••••••••••••••••••

3.,: - Sistema de coordenadas no elemento •••••••••••••••••••••••••

4.2 - Sistema de referência no elemento •••••••••••••••••••••••• n

4.3 - Radiação refletida ~ifusamente ••••••• ~•••••.••••••••••••••••

.4.4 - Angulos no sistema do albedo •.••••••••••••••••••••••••••••••

4.5 - Região visível totalmente iluminada •••••••• ,~•••••••••••••••

4.6 - Região visível parcialmente iluminada, com 60 ~ n/2 ••••••••

4.7,- Região visível iluminada parc~almente com 80> n/2 •••••••••4.8 -"Região visível na sombra terrestre •••••• ~••••••••••••••• ~.

4.9 -'max em funç~o de e para alguns valores de 80 ••••••••••••••5.1 - Elemento de massa do satéli.te •••••••••••••••••••••.•••••••••

6.1 - Velocidades dos elétrons e íons com relação ao satélite, na

ausência de campo magnético ••••••••••••• ~•••••••••••••• ~••• 59

6.2 - Efeito do campo magnético terrestre na distribuição superfi

cial de ·cargas •.•••••••••••••.•••••••••••••••••• ~.•••••..• : 60

6.3 - Correntes elétricas induzidas na superfície do satélite pelo

campo magnético da Terra •••••••••••.•••••.••••••••••••••.••••• 62

6.4 - Fluxo de elétrons e íons no satélite ••••••••••••••••••••••• 64

7.1 - Geometria, dimensões e eixos do satél ite experimental •••'•••. 69

7.2 - Angulos aA,e BA no sistema do satélite •••••••.••••••••••••• "72

7.3 - Coeficiente de arrasto aerodinâmico, como função do ângulo B(J:'para alguns valores da razão de velocidades s' ••••• ~........ 73

7.4 - Coeficiente de arrasto, COA, em função da razão de velocida

des s e de a e aI (ângulos de ataque nulos: aA = BA = O •••: 73

7.5 - Coeficiente de arrasto, em função de s COma e aI variandode

O a 1 (ângulos de ataque: aA = O, BA'= 22,50 e Tw"Ti= 1 74

- 1.:x; -

,

7.6 - Coeficiente COA em f~nção do ângulo aA e da razão de velocidades S(BA=O, a = a = TJTi = 1)•••••••••••••••••••••••••• 75

7.7 - Coeficiente de ~rr~sto aerodin~mico em função de aAe S(BA == 22,50 e a = a. = lJTi = 1)••.•••••••.••.•••••••••••••.••••••75

7:8 - Variação de CDA com se"TJT i (aA= o, BA = 22,50 e a = aI> == 1)•••••••••••••••••• ,••••••••• ~'•••••••••••••••••••••••••••• 76

7.9 - Coeficiente,de torque no eixo yS do satelite,.em função 'do·- . I . -' "angulo aA e de s, para l3A =. O e a = a =TJTi = t 77

7.10- Coeficiente de torqueno eixo XSem função de aA e de l3A(a == a = Tw'Ti = 1, s = ··6).••••••••••••••••••••••••••••••••••• 77

7.11- Coeficiente'de torque a7rOdinâmico CMAY no eixo.yS em funçãode BA eaA(s = 6, a = a = TwlTi= 1)....................... 78

7.12- Coeficiente de tor~ue no 'eixo ZS em função de l3A e aA(s = 6"TJTi = 1, e a = a = 1)••••••.•••••••.•••.••~••••~•••••••••••• 78,

.7.q- J\ng!!losde incidência aR e l3R da radiaç~o solar no sistema dosatel ite ~ _ -., ' -.. 79

7.14- Coefieie~t~,ck!força de ,r~diaç~oem função dos ângulos.:aR e

.6R (coefl~lente de reflex~o: y = p,= 0,7)••••••••••••••••••• 80

7.15- Coeficente:de força.,.de·radiação em:fUIlÇ~Od~ I3R,tpitr-a •.alguns 'valores de aR (y = p = O,7) .•••.••••••••P ••••••••••• :.~ •• ~ •• 81

7.16- Componente'do coeficiente de força de radiação no eixo XS,

'. em funç~o de aR e SR' para y = p = 0,7 •••••~••••••••••••••• 82

7.17- Componente dO coeficiente de força de radiação no eixo yS,_em

funç~o dos ~ngulos aA e 6A, para y = p =: 0,7 ••••••••••••••• 82

7.18~Coeficiente de força de radiação no eixo ZS pm função dos ân'

. gulos aR e í3R (reflectância e parcela especular: y = p = O,TT 837.19~ Influência da-reflectância y no coeficiente de radiação em

, funç~o de aR (BR = 22~50 e p ='D,5).•••••••••••••••••••••••• 83

7.20- Influência de y no coeficiente de força de radiaçãoemfunção

do~nguloaR (l3R = 22,5° e p = 1,0) ••.•••••••••••~••.•••••••• 84

7.21- Componente do.coeficiente de radiação no eixo.Xs em função'

de aR e y (l3R = 22,50 e p = 1,0) ••~•••••••••••••••••••••••• 84

7.22- Coeficiente de radiaçãó projetado'no eixo yS, em função de

aR' para alguns valores de y(BR= 22,50 e p = 1,0)••••••••• 85

7.23- Componente no eixo ZS do coeficiente de radiação em função de

. aR'e y (l3R = 22,50 e p = 1,0).••••••••••••••••.•••'.••••••••••• 85

7.24- Coeficiente de torque de radiàção'no eixo XS, em função de

aR e BR'(y = 0,7 e p = 0,7) ••••••••••••• o. ••••••• '. •• • • • • • • • • • 86

7.25- Componente do coeficiente detorque de radiação no eixo yS

em função de aR e BR (y = p = 0,7) •••••••••••••••••••••••• 87

,- z-

1~

~

rl:

~

~

i~

(

4f.,~

~.

~l,11~

. il\

~il\]\

J\

T--,

T

,

7.26- Coeficiente do torque de radiação no eixo' XS(SR = 00, p = 1,0). 87

7.27- Coeficiente do torque de radiação no eixo yS em função do ân .

gulo aR e de y (8R = 00 e p = 1,0). ~••••••••••••••••••••••• :- 88

7.28- Coeficiente do torque de radiação no eixo ZS em função de aR

e y (SR = 00 e p = 1,0) •••••••••••••••••••••••••• ~••••••••• 88

7~29- Angulos de rotação $s' ese ~sno sistema do albedo •••••••. 89

7.30- Componente do coeficiente de força dO albedo na direção de

ZS em função de ao e de alt~tude h(y = p = 0,7) •••••••••••. 90

7.31- Coeficiente do albedo na direção horizontai, yS, em função de

ao e de h (~s = as = ~s = O: y = p = 0,7) ..••••••••••••••• 91

7.32- Componente vertical do coeficiente· do albedo em função de ao

e as (y= p = 0,7,~s = ~s = O e h = 700 km) •••••••••••••••• 91

7.33- Componente horizontal do coeficiente do albedo em função de

ao e as (~s = .s = O; y = p = 0,7 e h = 700 km) •••••••••••• 92

7.34- CompOnente vertical do coeficiente do albedo em função de ao

e as (.s = O, ~s = 900, y = p = n,7 e h = 700 km), ••·•••••••• 92

7.35- Componente horizontal do coeficiente do albedo em função de

ao e as (y = p = 0,7;·~s = 600; .s = O e h = 700 km) ••••• ~. 93

7.36- Coeficiente verÚcalda radiação terrestre em função de h e

do ângulo as (y = p = 0,7; ~s ~ .s= 00) ••••••••••••••••••• 94

7.37- Componente vertical do coeficiente de radiação terrestre em

funç~o de as e .s (h = 700 km; ~s =.0 ey = p = 0,7) ••••••• 94

7.38- Coeficiente horizontal da .radiaç~o terrestre em função de as

e .s (h = 700 km; ~s = O e y = p= 0,7) ••••• ~•••••••••••••• 95

7.39-A~gulos âG e 8Gque fo~n~cem a direção do versor Terra-satéllte no slstema do satellte •••••••• ~••• ~••••••••••••••••••• 96

7.40- Coefici~nte do.torgue de gr~diente de gravidade no.eixo XS

em funç~o da dlreç~o do z~n1te l?cal,aG e BG •••• ~••••••••• 97

7.41- Coeficiente de torque de gradiente de gravi.dade no e.ixo yS

. em funç~o dos ~ngul os aG e BG •••• ,........................... 97

7.42 ••Coeficiente de torque:noeixo Zs, devido ao gradiente de gra

vidade, em função de aG e,8G .~•••••••••••••••••••••••••••• 7 98

7.43- Angulos de ·atitude $s' es e ~s com relação ao sistema orbital ~...• ~•.••.•..••....••••... , .. _., 99

7.44- Configuração entre o planoorbital e a eclTtica para n = 00e o = 1800 •• ~•••••••• ~••• , •••••••••••••••••••••••••••••••• 100

7.45- Forças em N no eixo XO com os elementos orbi~ais iguais a:

a = 71~8 km (h = 750 km); n = O; e = 0,007; 1 = 22.; w == 14,3 .....••............•.•..•.....••..•... ~.• - - 102

- ~i·.~

•

,

7.46- Forças em N no eixo yO, perpendicular ao plano orbital (a == 7128 km, e = 0,007, i = 220, o = 0° e w = 14,3°) •••••••••• 102

7.47- ForçasJio eixo Zo (elementos orbitais: a = 7128 km, e =0,007,

i = 220, o = 00 e.~ = 14,30) ••••••• ~•••••••••••••••••••••••• 103

7 .48- Tor~ues em Nm no eixo XS do sistema do, s9tél ite· (or.jentação

" com' relaç~o' ao sistem'a'orbital:t.cjIs= :6,5 ';' Ws ="O) .: •••••••• 103

7.49- Torques em Nm no eixoYs do sistema do satelite (orientação

com retação'ao sistema orbital: cjIs:i6s= 1Vs = O) ••• ~ •••••• :·104

7.50- Torques em Nm no eixo ZS (orientação do ·satélitecom relação­

ao sistema orbitar~da por: 's='es = Ws = O) •••••••••••• 104

7.51- Forças em N no eixo XO (elementos orbitais: a = 7128 km,e == 0,007, i = 22°, o = 180° e w = 14,3°) •••••••••••••••••••• 105

7.52- Forças em N no eixo yO (elementos orbitais: a = 7128 km, e == 0,007. i = 22°, o = 180° e w = 14,3°) •••••••••••••••••••• 106

, 7.53- Forças em N no eixo ZO (elementos orbitais: a = 7128km, e =

= 0,007, i = 22°, o = 180° e Ul. = 14,3°) •••••••••••••••••••.• 106

7.~4- Torques em Nm no eixo XS (ângulos de atitude com relação ao

. sistema orbital: cjIs= a ='ws = 0°) •••••••••••••••••••••••• 107

7.55- Torques em Nm no eixo Y~ do satélite (ângulos de atitude com

, relaç~o ao sistema orbital: cjIs= 6s = 1/.Js = O) ••••••••••••• " 107

7.56- Torques'no eixo ZS em Nm (ângulos de atitude com relação ao

sistema xoyozo: <l>s= as = 1/.1s·= O) •.••••••••••••••••••••••••• '108

, 7.5'7- Forças no eixoXo em N (elementos orbitais:. a = 6878 km, e =

=0, i = 22°, w = '14,3°, o = 180° e h = 500 km) •••• ~••••.••• 109

7.58- Forças em N no eixo yO (elementos orbitais:a = 6878 km (500

km de altitude), e = O, i =220, o· = 1809, Ul = 14,3°) •••••• 110

7.59- Torques em Nm no eixo XS do sistema do satélite (ângulos de

atitude com relaç~o a Xoyozo: '5 = 6s = 1Ps = O) .~ •••••••••• 110

7.60- Torques em Nm no eixo yS (ângulos de atitude com relação ao

sistema Xoyozo: cfls = 6s = tPs = O e h = 500 km) ••••••••••••• 111

7.61- Ponto deequillbrio entre os torques aerodinâmlcos e de gradiente de' gravidade, a 500 km de altitude ••~••••••••.•••••• -:-111

A.1 - Angulo de ataque a num cilindro •••••••••••••••••••••••••••• A.2

A.2 - Precisão do integrador nUlI)ericoem função do número de divisões num cilindro •••••••••••• ~•••••••• ;••••••••••••••••••• -:-A.3

A.3 - Precisão da integração do coeficiente de arrasto numaesfer~em função do número de divisões •••••••••••••••••••••••••••• A.6. .

•• :cÍ,Í,-

LISTA DE TABELAS

_ pãg.

3.1 - Valores de a e a para o ar ••••••••••••••••••••••••••••••••• 16

6.1 - Numero de moleculas por m3 na atmosfera •••••••••••••••••••• 57

6.2 - Valores de k para alguns formatos •••••••••••••••••••••••••• 63

A.1 - Teste comparativo para cilindro •••••••••••••••••••••••••••• A.4

A.2 - Teste comparativo para esfera •••••••••••••••••••••••••••••• A.5

B.1 - Teste comparativo para cil:indro .••••••••••••••••••••••••••• B.2

B.2 - Teste comparativo para-esfera •••••••••••••••••••••••••••••• B.3

- ;;iii -

•

,

..- .. .

, ~,

,

LISTA DE SfMBOLOS

a - Semi-eixo maior da órbita do satélite

Ar - ~rea de referência

At - Area dá seção transversal do satélite

A - ~rea do disco solar--_.

S - Vetorcampo magnético terrestre·

c - Velocidade da luz no vãcuo

C - Matriz de rotaç~o entre o sistema do satélite e o sistema dos ei

xos principais de inércia

CSH - Coeficiente do albedo na direç~o yS

CSV- Coeficiente do albed~ na direç~o ZS

COA - Coeficiente de ~rrasto

CDL - Coeficiente de sustentaç~o

CEH - Coeficiente de radiaç~o terrestre na direç~o yS

CEV - Coeficiente de radiaç~o terrestre na direç~o ZS

CMAXt CMAY' CMAZ -Componentes do coeficiente do torque aero~inâmico

CMGXt CMGyt CMGZ - Componentes do coeficiente do torque de .gradiente

de gravidade

CMRXt CMRyt CMRZ - Componentes do coeficiente do torque de radiação

CRS - Coeficiente de força de radiaç~o na direção de incidênc1a

CRL - Coeficiente de força de radiaç~o na direção perpendicular ã" deincidência

do ~ Distância da Terra' ao Sol

dA - ~rea de um elemento de superficiedo satélite

dAT - ~reade um elemento na superfície terrestre

dF: - Força aarodin~mica num elemento

-:x:v-

"

dFN - Força devido ã radiação incidente normal a um elemento

dF~ - Força de radiação num elemento ,

dM: - Torque aerodinâmico no centro de massa devido a dF:

dM~ - Torque em rel,ação ao centro de massa devido a dF~

dPN - Força de radiação' normal a um elemento1,,; t'.:.;li.

dPT - Força de radiação tan~~ncia] a ~~ elemento

e - Excentricidade da órbita do satélite

erf'-função erro

ff.1

fwFS'a-s

FB-s

FE

F.c-sFR

h

- Anomalia verdadeira

- Função de distribuição de velocidades das moleculas incidentes

- Função de distribuição de velocidades das moléculas emergentes

- Força aerodinâmica no satélite

- Resultante das forças devidos ao albedo no satélitet ••. '. t.'

- Resul tante das forças devi.dos ãradiação terrestre

- Força de Coulomb

- Força de radiação no satélite

- Altitude do satélite

i - Inclinação da órbita do satélite

s s s s s s

. Ixx' IXY' Ixz' Iyy' Iyz' Izz - Componentes do tensor ..detema do satél fte

•••

inercia no sis

l~x' lri' I~z Componente do tens'or principal de-inercia'

k - Constante de Boltzmann

k .- Constante de forma do satélite

Lr - Comprimento caracterlstico do satelite

m - Massa media de uma molecula da" atmosfera

mi - Massa media de um 10n da atmosfera

- %v1. -. ,," .

1----

,

ms - Massa do satelite

M - Anomalia media do satelite

-M - Massa molecular media local da atmosfera

-s

Ma - Torque aerodinâmico no satelite-s

Mg -Torque de gradiente de gravidade-s

MR - Torque em relação ao centro de massa devido ã radiação

ni - Numero de ions por unidade de volume local

nT - Versor normal a um elemento de ãrea da Terra

Na - Numero de Avogrado

Ps Pressão de radiação normal a um elemento

Pn - Pressão aerodinâmica normal a um elemento

.p - Pressão aerodinâmica na direção tangencialtq - Carga eletrica do satelite

r - Razão entre o raio da õrbitae o raio da Terra

r~g - Raio vetor do centro de massa no sistema do satelite

r~ - Raio vetor do centro de um elemento no sistema do satelite

r~ Raio vetor do satélite no sistema inercial

RT - Raio terrestre

Ro - Raio medio da órbita da Terra

s - Razão de velocidades

5s _ Versor Terra-Sol no sistema do satelite

S - Constante solar ãdistância R do Sol

So - Constante solar .~ dist~ncia ,Ro do Sol

Sl - Potência emitida pelo disco solar

Ti - Temperatura local da atmosfera

Tw - Temperatura de um elemento de superflcie do satelite

- ~ii -

ÜS _ Velocidade da atmosfera com relação ao satélite

-i - .va - Velocidade da atmosfera com relaçao ao slstema inercial-i - -Vs - Velocidade do satelite com relaçao ao sistemainercial

w - Velocidade de rotação do satelite

w~ - Velocidade de rotação da Te~rano sistema inercial. ,.a - Coeficiente de acomodação térmica~. !'

a . - Albedo médio terrestre

ao - Ascensão reta do Sol

aA - Angulo entre ÜS e o plano XSys

,aR - Angulo entre SS eo plano XSys <l;

aS - Angulo entre ZO e o plano XSyS

ao '-'Angulo entre .xa e XO

BA - Angulo entre a projeção; de ÜS noplanefXsyse oeix().4~s

BS - Angulo e~tre o' eixo ·Xs ~ aprojeéio cfe'Z()' no? plâno~xSy.S., ,~,.,,;,,,:,,:~'::'_<.a;~'::':).' -''':.cT

B _ Angulo entre o eixo XS e a prôjeçãg~dess no plano XSys'.',.,~'..R

.y - Reflectância do elemento de superfície do satélite

60 - Declinação do Sol

6s ~ Angulo formado por ~T e Za

e - Emissividade do elemento de superfT~ie do satélite

n - Angulo, formado pela direção de incidência da radiação e pela nor'0 ..'

mal ao elemento de superfície do satélite

a - Angulo formado por üSepela normal ao elemento. ' .

ao - Angulo entre Za e o vetor Te~ra-Sol,. _sa

as - Angulo entre ZO e ZS

amax - Angi:.loque del imita a região v'isível sobre'a Tert'a

À - Caminho livre medio das moléculas na atmosfera

- %Viii -

CAPITULO 1

INTRODUÇAO

A principal força que atua em sate1ites artificiais ter

restres e a atração gravitaciona1 da Terra. As demais forças, embora

pequenas, modificam ao longo do tempo os elementos orbitais dos sate1i

tes, dificultando desta forma seu rastreamento, ou seja, a determina

ção da sua verdadeira posição no espaço. Essas forças causam tambem tor

ques sobre o centro de massa· do sate1ite, podendo com isso alterar sua

orip.ntação (atitude) preestabe1ecida, na qual normalmente se deseja que

o sate1ite permaneça. O conhecimento preciso desses torques, bem como

sua variação com o tempo, e uti1 não só para estudar o controle e a e~

tabi1idade do sate1ite, com~ tambem para simular a atitude. Outra apli

cação da determinação desses esforços. e fornecer recursos para dimen

·sionar certos componentes da estrutura de alguns satelites, assim como

verificar seu comportamento e funcionamento quando submetidos a essas

forças. r imprescindlvel, portanto, quando se deseja determinar, conh!

cer, prever ou simular órbitas ou atitudes, a perfeita compreensão dos

fenômenos que acarretam o aparecimento de tais forças.

Em vista disso propõe-se a construção de um programa com

putacional que, utilizando algoritmos capazes de aliar rápido process~

mento ã grande precisão, calcule as principais forças e torques em s~

te1ites com órbitas compreendidas entre 200 e 2000 km, sobre a superfl

cie da Terra.

Um estudo crltico das teorias desenvolvidas na 1iteratu

ra deverá então ser feito, tendo como base a sua precisão, quando co~

frontadas com resultados experimentais. Tambem deverão ser levadas em

contas as hipóteses simp1ificadoras que foram feitas durante sua formu

1ação, o que limitaria a região de abrangência e reduziria a ap1icabi

l:dade. De extrema importância será o grau de complexidade dessas te~

rias, frente ã dificuldade de serem obtidos os parâmetros com a preci

são necessária para o cálculo das forças. Outro fator que ainda deve

1 -

- 2 -

ser levado em conta seria a não-fixação da teoria por nenhuma configu

ração especifica de satélite, que restringi.ria desta forma a aplicação

do programa computacional a ser gerado; esta teoria deverã,outrossim,

possuir um carãter geral a fim de que possa ser util izada em outras mis

sões e abranger todas'as fases de cada uma delas.

As principais forças e torques que agem nos satélites

. com altitude entre 200 e 2000 km e'que serão tratadas nos capitulos suÉ.

sequentes são:

a) Forças etorquesaerodinâmicos.

b)

Forças eto)~quesdevidosã pressão deradiação solar.

c)

Forças etorquesdevidosao albedo terrestre.

d)

Forças etorquesdevidosã radiação terrestre.

e)

Torque de gradiente de gravidade.

f)

Forças e torques eletromagnéticos.

As perturbações causadas na õrbita, devido ao achatame~

to terrestre e às perturbações luni-solares, por serem passiveis de ser

obtidas facilmente e com grande precisão, não serão abordadas neste tra

balho.

A força aerodinâmica, tratada no Capitulo 3, surge em

decorrência do choque entre as moléculas da atmosfera com a superficie

do satelite. Ela é predominante em satelites de baixa altitude (menor

que 1000 km); por isso deverã ser calculada com mais precisão. A mode

lagem proposta por Schaaf and Chambré (1961) para a forçaaerodinâmic~

baseada na Teoria Cinetica dos Gases de Maxwell, Boltzman e outros, for

nece resultados altamente confiãveis, conforme foi demonstrado por

Boettcher and Legge (1980) e Fredo and Kaplan (1981).

A radie.ção solar direta, tratada na Seção 4.2, deriva

da reflexão e absorção dos fõtons solares pela superficie do satélite.

- 3 -

Praticamente independe da altitude do satélite, sendo normalmente a

maior componente a partir dos 1000 km. Sua formulação, coerente com os

requisitos aqui exigidos, foi feita nos artigos de Evans (1964) e Geo!

gevic (1973a). A radiação refletida pela Terra ou albedo, juntamente

com a emitida, ou radiação terrestre, serão tratadas nas Seções 4.3 e

4.4 respectivamente, utilizando-se para isso o equacionamento formula

do nos artigos de Cunningham (1963a, 1963b).

Por sua vez, o torque de gradiente de gravidade dese~

volvido no Capitulo 5 surge devido a diferentes partes do satélite e~

tar~m a diferentes altitudes. Vãrios livros e artigos trazem as equ~

ções do torque de gradiente de gravidade, entre outros Robertson (1958),

Beletskii (1966) e Meirovitch (1970).

Devido ã grande dificu·ldade em obter a solução das equ~

cões que fornecem as forças e torques eletromagnéticos num satélite g~

nérico, serã feita no ·Capitulo 6 apenas uma descrição qualitativa de~

tas forças que resultam da interação mutua do satélite com o campo ma~

nético terrestre e com os ions e elétrons da atmosfera.

Finalmente no Capitulo 7 aplicar-se-ã a teoria desenvol

vida nos capitulos precedentes a um satélite experimental, ~ os resul

tados serão analisados, com o sentido~·de d~terminar os parâmetros que

mais influem nas forças e torques atuantes neste satélite.

CAPITULO 2

ROTAÇOES E SISTEMAS DE COORDENADAS

Serão utilizados neste trabalho vários sistemas de coor

denadas, interligados por rotações angulares cuja notação e introduzi

da na Seção 2.1. Os vetores serão indicaàos pelo traço superio~enqua~

to o índice minusculo sUp'erior indica o sistema de coordenadas a que

este se refere. Os vetores unitários ou versores trazem acento circun. -flexo em vez de traço, sendo que as direções do triedro de referência

são denotadas sempre por i, J e ~·nas direções X, Y e Z, respectivame~

te. Matrizes trazem um traço inferior.

2.1 - ROTAÇOES

Serã estabelecida tambem uma sistemática para efetuar ro

tações entre dois sistemas de coordenadas cartesianas. Considerândo-se

o sistema XbybZb indicado na Figura 2.1, efetua-se uma rotação de um

ângulo e no sentido direto, sobre o eixo Xb, fazendo-o coincidir com o

sistema XCycZc. A expressão que relaciona um vetor ~bno sistema XbybZb

com o me$mo vetor referido ao sistema XCycZc e:

"nde:

1 o o

RX(e) = o cos e sen e

O-sen e cos e

- 5 -

(2.1)

(2.2)

- 6 -

Fig. 2.1 - Rotação sobre o eixo Xb•

Anal ogamente , se a rotação for efetuada sobre o eixo yb

ou Zb, as matrizes resul tarão, respectivamente, em: '

coseO-sene

RY(e)

=O1O,

sen

eOcosa

cos

eseneO

RZ(e)

=-sen(;coseO

O

O1

(2.3)

(2.4)

Note-se que a formadas matrizes só depende do eixo s~

.bre o qual se efetua a rotação. Justamente por isso não ê necessário

descrever'a rotação que foi feita sobre o eixo Xb, bastando que se in

dique a letra x superior. Algumas propriedades úteis das matrizes de

rotação podem ser encontradas em: Goldstein (1973) e Deutsch (1963).

2.2 - SISTEMAS DE COORDENADAS

Serão adotados aqui, em essência, 5 sistemas de referên

cia, inter-relacionados pelos elementos orbita~s, posição do Sol,orie~

- 1 -

tação e geometria do satelite. Os três primeiros são geocêntricos; o

quarto e fixo na estrutura do satelite; e o quinto tem sua origem cen

trada num elemento de superficie externa do satelite.

2.2.1 - SIST~MA GEOCtNTRICO INERCIAL _ XiyiZi

No sistema inercial os eixos Xi e yi estão contidos no

plano do equador terrestre, com o eixo Xi coincidindo com a interseção

do plano da eclitica (plano da õrbita do Sol em relação ã Terra) e com

o plano do equador. O eixo Zi aponta para o Põlo Norte. (Figura 2.2).

Fig. 2.2 - Sistema de referência geocêntrico inercial.

Os ângulos ao e ôo' ascensão reta e declinação do Sol,

numa determinada data, fornecem o vetor posição do Sol no sistema iner

cial, r~,

o;lde ;i, Ji e Ki são os versores unitários no sistema geocêntrico iner

-eial, e do e a distância Terra-Sol.

~ "..,X" o~/ i ir'" = k~ (új '), 1-':' (\ ) • "- ,,~_) (' •

-tC.52.CW_SS2C1SU)

rO:=P -c.JI--. 5rj) _ G-Y_ C-~eu]

s52.. S'l -cJZ. !5;

- 8 -

2.2.2 - SISTEMA GEOCtNTRICO ORBITAL _ XOyoZo

o sistema orbital aqui definido tem sua origem no cen

tro da Terra, com o eixo ZO passando pela origem do sistema do satéli

te e yO perpendicular ao plqno da órbita, com o sentido da velocidade

angular orbital do satélite (Figura 2.3).

Fig. 2.3 - Sistema' geocêntrico orbital.

A relação que une o sistema geocêntrico inercial com o

sistema orbital será:

(2.6)

onde ri é um vetor cujas componentes são dadas no sistema inercial: Q,

a ascençao reta do no do ascendente da órbita; i, a incl inação; w, o ar

gumento do perigeu; f, a anomalia verdadeira; e rO, o vetor ri com re

laç~o ao sistema orbital. O vetor de estado do satélite (posição e v~

locidade) é obtido atraves dos elementos acima descritos juntamente com

o semi-eixo maior da órbita, a; a excentricidade, e; e a anomalia me

dia, M (Escobal, 1965).

- 9 -

2.2.3 - SISTEMA DO ALBEDO _ XayaZa

Neste sistema, tambem com a origem localizada no centro

da Terra, o eixo Za passa pela origem do sistema do satelite; o raio

vetor Terra-Sol estã contido no plano formado por ya e Za (Figura2.4),

de modo a formar com ya um ângulo sempre menor que n/2.

Fig. 2.4 - Sistema do albedo XayaZa.

As componentes

transformadas num vetor cujas

tal, empregando-se a relação:

de um vetor no sistema do a1bedo, y:a, são

componentes se referem ao sistema orbi

(2.7)

onde So e o ângulo formado por yO e ya, definido pelo seu seno eco-se

no:

sen"'0• 1 , (2.8.a)

- 10 -

(2.9)

(2.10)

(2.11)

,(2.8.b)

rS = RZ(~s) RX(as) RZ(~s) RZ(_n) RX(_i) RZ(-w-f)

RZ(_n/2) RX(-n/2) RZ(S ) ra•o

onde r~ e o vetor Terra-Sol 'com componentes no sistema orbital, obtido

a partir de r~, utiliza~do-se a Equação 2.6.

Se inicialmente o vetor for dado no sistema do albedo,

2.2.4 - SISTEMA DO SATtLITE _ XSVsZs

Este sistema tem sua origem fixada no satélite, em rel!

ção ao qual deverá ser descrita sua geometria e fornecidos os momentos

de inércia, juntamente com as coordenadas do seu centro de massa.

A orientação dl> satélite com relação a outro sistema XVZ

será dada em· função dos ângulos de Euler, ~s' as e vs' apresentados na

Figura 2.5. A equação que relaciona os dois sistemas' é

O sistema XVZ pode representar o sistema inercial ou o

orbital, .caso, respectivamente, o satélite seja controlado inercialme~

te (a maior parte dos satelites atuais) ou tenha sua orientação como

função da vertical local (satélite estabilizado por gradiente de gravi

dade, por exemplo). Logo, dado um vetor com componentes no sistema iner

cial, ri, se ~s' as e ~s forem as rotação angulares relativas a este

sistema, então as componentes do vetor no sistema do satélite serão:

- 11 '-

v

Fig. 2.5 - Sistema do satélite XsVsZs•

No caso de a orientação do satélite ser fornecida em re

lação ao sistema orbital, a relação que transforma r', com componentes

no sistema inercial, nas componentes forneci das com relação ao sistema

do satélite é:

rS = RZ(~s) RX(es) RZ($s) RX(~/2) RZ(~/2)

RZ(w + f) RX(i) RZ(n) ri. (2.12)

Caso as componentes do vetor inicial sejam fornecidas em

relação ao sistema do albedo, terão no sistema do satélite o seguinte

valor:

..~(2.13)

2.2.5 - SISTEMA DO ELEMENTO DE SUPERFTcIE - XeVeZe

Esse sistema tem o eixo Ze normal a um elemento de su

perficie externa do satélite; os eixos Ve e Xe contidos no plano do el~

mento, de tal forma que üS, uma direção conhecida em relação ao siste

ma do satélite, esteja contida no plano ZeVe (Figura 2.6).

ou

(2.15)

(2.14)

-s- u

- 12 -

Fig. 2.6 - Sistema do elemento de superficie.

Com estes sistemas e com aS,rotações ~ndicadas, podem

ser obtidas as forças e torques em qualquer sistema, embora normalme~

te se desejem os torques no sistema do satélite - para o estudo do co~

trole, simulação e estimação da atitude - e as forçás no sistema orb.i

tal, o que torna mais fácil a integração analitica ou numérica da õrbi

ta.

A direção je pode ser colocada-em termos da normal ao

elemento, Ke, e do versor üS:

CAPITULO 3

FORCA E TORQUE AERODIN~MICOS

3.1 - INTRODUCAO

A força aerodinâmica e normalmente predominante em sate

lites com perigeu menor que 1000 km sobre a superficie terrestre. EmbE.

ra seu mõdulo diminua exponencialmente com a altura (aproximadamente a

800 km iguala-se a pressão de radiação, e aos 1500 km seus efeitos são

praticamente despreziveis), e ainda a principal responsâvel pelo decai

mento da órbita e, portanto, pelo tempo de vida do satelite. Alem di~

so, e no perigeu que esta força atinge seu mâximo e, por ter sua resul

tante atuando quase no sentido contrârio à velocidade do satêlite,oco~

re uma p~rda de energia da orbita mais acentuada n~ste ponto. Perdendo

velocidade no perigeu, a altura do apogeu decai numa proporção muito

mais alta que o primeiro, diminuindo com isso a excentricidade da õrb.:!.

ta, tornando-a gradativamente circular no decorrer do tempo de vida

(King-Hele, 1964).

Devido à atmosfera muito rarefeita nas altas altitudes,

a mecânica dos meios continuos não pode ser usada na determinação das

forças aerodinâmicas, mas sim a teoria molecular dos gases. O parâmetro

que indica se o meio e continuo ou rarefeito e o numero de Knudsen, d~

do pela razão entre o caminho livre medio das moleculas (a distância

media percorrida por uma molecula da atmosfera entre duas colisões mo

leculares sucessivas) e o comprimento caracteristico do corpo. Basea~

do-se em evidências experimentais, um processo onde o numero de Knudsen

e maior que'O,1 e classificado como rarefeito.

O fluxo de um gâs rarefeito e principalmente governado

pela equação de Boltzmann, uma equação diferencial-integral não-linea~

A maior dificuldade em obter a solução de tal equação e devida às inte

graisde colisão. Felizmente as colisões intermoleculares podem ser com

pletamente desprezadas para numero de Knudsen maiores que 10, devendo

- 13 -

- 14 -

ser considerada apenas as colisões entre as moleculas e a superficie.

Para altitudes orbitais tipicas e para a maioria dos sateli~es, o cami

nho livre medio e muito superior ao comprimento caracteristico~ resul

tando em um numero de Knudsen notadamente maior que 10, como pode ser

visto na Figura 3.1.

E(C

Q 105 10Sow::E

wo::>~102 10&o%Z::Eeto10' 104

100 200 SOO 400 ·.:iOO 400 500 600 700 800 900 1000

ALTITUDE Km

Fig. 3.1 - Caminho li·vre'medio em função da altura.

FONTE: United States Air Force (1976).

Em contrapartida, a interação entre o gás e a superfi

cie ou colisão, como será tratada aqui, e um fenômeno complexo, estuda

do na literatura por muitos autores, mas ainda sem resultadosprãtico~

3.2 - A JNTERAÇ~O ENTRE O G~S E A SUPERF!CIE

As moleculas do gãs rarefeito incidem com certa veloci

dadê na superficie, interagem com uma fina camada superficial desta e

são então reemitidas para o meio. A completa descrição do fenômeno e~

volve a especificação da função de distribuição de velocidade das mo~e

culas refletidas e, devido ã natureza complexa do fenômeno, a interação

entre o gãs e a superficie está longe de ser perfeitamente compreendi

- 15 -

da e de ter resultados conclusivos. Boettcher (1979), inspecionando tr!

balhos referentes a esta interação (predominantemente publicados em

lnternational Symposium on Rarefied Gas Dynamics, 1968 - 1976) verifi

cou que:

a) Poucos artigos relacionam diretamente o fenômeno ao problema

das forças aerodinâmicas nos satelites.

b) Os modelos teóricos, alem de requerer considerável tempo de co~

putação, são confrontados apenas com resultados experimentais

sob condições especiais criadas em laboratôrio, deixando pa!

cialmente sem solução o f~nômeno real de interação entre a at

mosfera e a superf;cie do satelite.

Em virtude, portanto, de escassos resulta~os, tanto te~

ricos quanto experimentais, pertinentes ao fenôme'no real ,continuam se..!!

do amplamente usados os coeficientes de acomodação a, o e o' introduzi

dos por Smoluchowski e Knudsen, de acordo com Schaaf e Chambre (1961),

que descrevem a interação numa escala macroscôpica.

O coeficiente de acomodação termica, a, traduz a troca

de energia entre o fluxo de gás incident~ e a superf;c~e:

E. - E, ra=---E. - E, w

(3.1)

E,.e E indicam o fluxo de energia incidente e emergenr -te, respectivamente; Ew seria a energia ,emergente, caso as moleculas

fossem refletidas com distribuição maxwelliana de velocidade correspo~

dente ã temperatura da superf;cie, Tw'

A quantidade de movimento troca da na colisão e traduzi

da por dois coeficientes, o e o', que representam respectivamente a al

teração na quantidade de movimeato das moleculas na direção tangencial

e normal:

a =T. - T1 r

T.1

- 16 -

(3.2)

p. - P1 rai = _p. - P1 W

(3.3)

onde p e T são as componentes da quanti9ade de movimento do fluxo na

direção normal e tangencial; os lndices i e r indicam o gãs incidente

e emergente; e pw representa a quantidade de movimento na direção nor

mal, quando as moleculas são refletidas com distribuição max\'Ielliana

de velocidade e temperatura Tw•

Os valores de a, a e ai normalmente situam-se entre os

seguintes limites:

a) Reflexão especular sem acomodação:

ai = a = a =0.

b) Reflexão difusa com acomodação completa:

ai = a = a = 1.

. (3.4.a)

(3.4.b)

Alguns valores de a e a foram tabelados por Schaaf e

Chàmbre (1961) e transcritos na Tabela 3.1.

TABELA 3.1

VALORES DE a E o PARA O AR

' ..;

ao

Bronze usinado

0,89 - 0,931~00

Alumlnio polido

0,87 - 0,95...

Alumlnio usinado

0,95 - 0,97...

Vidro

...0,89

FONTE: Schaaf e Chambre (1961).

17-

Deve ser ressaltado, no entanto, que os valores desta

tabela são aproximados e que tanto a, a' como a dependem da temperat~

ra erugosidade da superf;cie, pressão, temperatura fi velocidade do fl..Y.

xo e do ângulo de incidência, entre outros, conforme os resultados de

Knechtel e Pitts, 1973. Em vista, porem, das incertezas na descrição

do fenômeno de interação e na obtenção dos coeficientes, aliado ao fa

to de que mesmo ·em superflcies bastante polidas estes se mantêm altos

(Tabela 3.1), admite-se que a, a' e a serão constantes e pre-especifi

cados.

3.3 - EXPRESSOES PARA FORCA E TORQUE NUM ELEMENTO

A teoria molecular dos gases foi desenvolvida progressi

vamente, e Maxwell, Boltzmann, Enskog, Jeans, Burnett, Chapman entre

outros estão associados ~ este desenvolvimento (Chapman and Cowling,

1970). Esta teoria utiliza-se de dois postulados básicos:

a) Todas as propriedades do gás podem ser deduzidas a partir do mo

vimento de suas moleculas.

b) Este movimento. pode ser predito utilizando-se apenas a Mecâni

ca Clássica.

Ao lado destas hipóteses, serao feitas ainda as segui~

tes suposições (Schaaf e Chambre, 1961):

a) Serão desprezadas as colisões intermoleculares nas altitudes

orbitais.

b) O caminho livre medio das moleculas emergentes, após colidir

com a superflcie, tambem e superior ã dimensão caracteristica

do satelite. Desta forma, será possivel tratar separadamente

os efeitos das particulas incidentes e refletidas.

c) A atmosfera pode ser representada por um gás compostu de um uni

co elemento, cuja massa molecular e igual ã massa molecular me

dia local da atmosfera.

- 18 -

d) O fluxo de gis incidente esti em equiltbrio com distribuição

maxwelliana de velocidade.

e) Não serão consideradas as colisões em que as parttculas coli

dem mais de uma vez com a superftcie. ('N,NIf.,r\ÚI. - ~\lv(5V)

A probabilidade de uma molecula estar numa dada posição

e ter exatamente uma dada velocidade v e zero. Assim, e necessiriousar

uma função de distribuição, que defina o numero de parttculas num p~

queno volume as quais possuam veloci~ade dentro de um intervalo centra

do em uma dada velocidade. A quantidade fundamental que descreve as

propriedades do gis e a função de distribuição de velocidades. O nume

ro mais provivel de moleculas que num instante t ocupam, com relação a

,um sistema carteziano XVZ, o volum~'limitado por x e x + dx, y e y+dy

e z 'e z + dz e que possuem velocidade entre Vx e Vx + dvx' vy e vy + dvy

e Vz e Vz + dVz' e dado por f(x, y, z, vx' vy' vz' t) dxdydzdvXdvydvz•Uma vez conhecida a função de distribuição de velocidade, todas as ou

tras propriedades do gis (tais como densidade, velocidade media, temp~

ratura e pressão) podem ser determinadas.

Em condições de equiltbrio e na ausência de forças ex

ternas, a função de distribuição torna-se (Chapman and Cowling, 1970;

Lee et a1ii, 1963):

Pi ( m) 3/2fi(v) = - --

m 2ITkT i- [ m (v - üF]

2~kT .e , , (3.5)

onde Pi e a densidade do gis; k, a constante de Boltzmann; Ti' a tempe

ratura do gis; e m, a massa de uma molecula, dada por:

m = M/Na '(3.6)

-onde M ê a massa molecular media do gis e Na e o numero de Avogrado.

Finalmente, ü e a velocidade media ou velocidade de corrente das mole

culas, relativo ao referencial XVZ.

- 19 -

Considere-se agora um elemento de superficie com área

dA (Figura 3.2), com um sistema de coordenadas fixo no seu centro geo

métrico e com o eixo Ze coincidindo com a normal ao elemento. A quanti

dade de movimento na direção normal, trocada entre o gás e a supérfI

cie durante a colisão, vale:

p = p. + p ,n 1 r(3.7)

ou, isolando-se Pr da Equàção;y.1e substituindo-o na Equação 3.7, tem

-se:

(3.8)

Fig. 3.2 - Sistema de coordenadas no elemento.

o fluxo de quantidade de movimento devido is moleculas

incidentes, P, que atinge a superficie por 'unidade de tempo e por uni

dade de área, é igual ã pressão atuante neste elemento e vale:

p = ( = _00 ( = _~ ( = _00 m v fi vz dv x dvY dvz • (3 •9)x y z

-cuja componente normal, Pi' e

- 20 -

Da mesma forma, a pressão normal devida às moléculas emergentes, Pw'

com temperatura igual.à da superf;cie, Tw' sera

(3.11)

onde Pw' da expressao de fw' é calculado a partir da imposição de se

rem iguais OS numeros de part;culas incidentes e emergentes.

Efetuando-se a integração indicada por P,.e Pelemw -

brando-se que a pressão guarda, com, relação à quantidade de movimento,

uma'relação idêntica à da Equação 3.8, tem-se que a pressão atuante no

elemento na direção normal vale:

41I Twcos a + ..E- --

2 T.,

onde:

o I .r-=-t+-r1f2 I+w-- s

T., cos aJ ·(3.12)

cos a = _ ús •.J<e ,(3.13)

em que úS é o versor de direção de úS, velocidade da atmosfera com re

lação ao satélite, no sistema do satélite. Por sua vez, úS é obtido a

partir d~ velocidade da atmosfera relativa ao satélite no sistema iner

eial:

-i -i -iU = va - Vs '

(3.14)

- 21 -

efetuando-se as rotações indicadas pelas Equações 2.10 ou 2.12. v~ e a

velocidade do satélite com relação ao referencial inercial, obtida em

função dos elementos keplerianos no instante considerado (Deutsch,1963;

Brower and Clemence, 1961 e Escobal, 1965 trazem as relações necessã

rias) e v~ é a velocidade da atmosfera no sistema inercial. Esta ulti

ma, entretanto, é pouco conhecida em virtude das escassas informações

disponiveis sobre a real velocidade da alta atmosfera (King-Hele, 1964)

e, embora usualmente seja considerada nula, é mais real;stico supor que

ela tenha a mesma velocidade de rotação da Terra:

-i -i X -iva = \Vt r s '

(3.15)

onde w~é a velocidade angular de rotação da Terra e r~ e o raio vetor

do satélite, ambos no sistema inercial.

A razão de velocidade,' s, e obtida de

e a função erro e definida como:

erf(x) = __2__ JX ey2 dy.(TI' O

(3.16)

(3.17)

Analogamente, na direção tangencial a quantidade de mo

vimento trocada é:

l' = 1". - 1" = 01"·.1 r 1(3.18)

A força por unidade de ãrea, devida às moleculas

dentes na direção tangencial, serã então:

inci

(3.19)

- 22 -

que, integrada, resulta em:

n .I;-;S 12P _~ ot- 2 sl"iT' _S2 cos2 e

sen e e +

+ R·s cos e.[1 + erf(s cos e)] •(3.20)

A presença do termo Tw/Ti na Expressão 3.12 indica que

a temperatura do elemento de superficie deverã ser obtida resolvendo

-se as equações de transmissão de calor, o que normalmente e dificil

por envolve~ equações diferenciais de segunda ordem, com geração inte~.

na de calor (aquecimento pelos raios solares e correnteseletricas, di~

.sipação por irradiação) e transferência de energia efetuada pelas mole

culas da atmosfera. Porem, a influência de Tw/Ti no cãlculo das forças

e ~equena por se tratar apenas das moleculas.refletidas difusamen~e,

não excedendo a 10% de variação, quando Tw/Ti varia de 0,1 a 1,0. t co

mum, portanto, a adoção da relação como uma constante fornecida.

A força aerodinâmica no elemento será dada por:

(3.21)

Substituindo-se a Relação 2.13 na Equação 3.21, tem-se:

(3.22)

Essa expressão fornece a força aerodinâmica atuante num

elemento de ãrea dA, projetada nas direções Ke, norma; ao elemento e

uS, velocidade da atmosfera com relação ao satelite.

o torque aerodinâmico resulta em:

dM-s_ (-s -s) X dF-sa re - rcg a '

(3.23)

- 23

onde r~ é o raio vetor do centro do elemento ã origem do sistema do s~

télite, e r~g é o vetor posição do centro de gravidade (Figura 2.6).

As equações aqui obtidas são aplicãveis apenas a eleme~

tos planos. t raro, porem, encontrar satélites onde todas as suas su

perf;cies externas sejam planas. No caso de superf;cies curvas (como

um cilindro, poi exemplo), pode-se subdividi-las em in~meros elementos

infinitesimais, tal que cada um deles seja razoavelmente plano.

-s _ _A resultante das forças, Fa, sera entao a integral das

fo)~ças elementares, dF:, sobre toda a superf;cie externa do sat~lite.

(3.24),

A componente da resultante na direção da velocidade de

corrente, üS, define o coeficiente de arrasto aerodinâmico:

-s -sFa • u

/ -521 2 Pi u Ar

onde Ar é uma ãrea de referência qualquer do satélite, e o coeficiente

de sustentação:

(3.25)

Na realidade este coeficiente, assim definido, é uma com

binação do coeficiente de sustentação com o coeficiente de força lat~

ral, definidos na literatura aeronãutica. Justifica-se entretanto o m~

do como foi definido aqui, visto que não hã, na maioria dos satélites,

uma direção preferencial para a sustentação.

Analogamente ã força, tambem podem ser definidos coefi

cientes para o torque. Entretanto a resultante dos torques não estã,

como a força, necessariamente numa direção próxima ao vetorvelocidad~

por isso o coeficiente de torque deverã ser definido de-outra forma.Jã

- 24 -

que o conhecimento do torque e útil no controle e simulação da atitude,

e natural que seu coeficiente seja fornecido no próprio sistema do sa

telite, decomposto nas direções XS, yS e ZS:

-s..•.sMa

,CMAX

= -S21/2Piu ,ArLr

-s

..•sMa

JCMAy

=1/2 P . ÜS2Ar Lr, , (3.26)

(3.27)

CMAZ =(3.28)

-s

que fornecem as três componentes do coeficiente de torque, onde Ma e a

resultante 'do torque aerodinâmico e Lr e um comprimento caracterlstico

do satelite.

As expressões de COA e COL foram integradas analitica

mente em corpos convexos simples, tais como esfera, cilindro, cone, cor. -pos compostos em vários artigos (Stalder and Zurick, 1951; Schaaf and

Chambre, 1961) e comparados com resultados experimentais (Stalder et

alii, 1950; Boettcher and Legge, 1980) com grande compatibilidade e~

tre teoria e experimentos. Poucos artigos, porem, tratam de superfl

cies côncavas (Chahine, 1961) ou de superflcies convexas de um modo g~

ral (Boettcher, 1979; Fredo and Kaplan, 1981).

A dificuldade da integração analltica das forças e tor

ques aerodinâmicos, ã medida que o grau de complexidade do formato ex

terno do satelite aumenta, e óbvia, ainda mais se for considerado que

a maioria dos s~telites atuais não possuem formatos tão simples. Torn~, '

-se necessário então a integração numerica; neste sentido foi construI

da uma sub-rotina que calcula a força e o torque aerodinâmico para um

satelite cuja geometria deve ser fornecida por outra sub-rotina. No

Apêndice A faz-se uma comparação entre os resultados da integração ana

- 25"-

litica com a numerica para um cilindro e uma esfera, em função das va

riãveis envolvidas e do numero de partes em que ambos são divididos.

Finalmente, a densidade atmosférica pode ser obtida a

partir de modelos atmosféricos fornecidos por COSPAR (1972) ou United

States Air Force (1976), ou mesmo de sub-rotinas numéricas como ADEN

(Jacchia, 1972) "ou ATDENS (Negreiros de Paiva, 1979; Jacchia, 1971;

Roberts, 1971).

CAPITULO 4

FORCAS DE RADIAC~O

4.1 - INTRODUC~O

Gs fõtons, ao incidirem na superf;cie externa do satéli

te, sao refletidos ou absorvidos por esta; nesse processo ocorre uma

mudança na quantidade de movimento, que se traduz por uma força e por

um torque no satélite. As principais fontes de radiação que se mostram

capazes de alterar os elementos orbitais do satélite são o Sol ~ a Te!

ra. Ao Sol sera feita a referência de radiação solar direta ou, simp1e~

mente, de radiação solar, ao passo que ã Terra ter-se-a a radiação re

fletida difusamente, ou a1bedo terrestre, e a radiação ou reemissão ter

restre.

Por ser inversamente proporcional ã djstância da fonte

emissora, a força atuante no satélite devido ã radiação solar é 7% me

nor quando a Terra passa do perié1io para o afélio. Como praticamente

independe da altitude (ca~o seja desprezada a parcela absorvida pela

atmosfera e as pequenas variações na distância do Sol ao longo de uma

õrbita), a força de radiação solar atinge a magnitude da aerodinâmica,

sob condições atmosféricas normais, a partir dos 700 km. Sua influên

cia nos elementos orbitais e maior na excentricidade, mas, conforme. a

geometria da õrbita, pode alterar tambem o semi-eixo maior. Chega me~

mo a diminuir a altura do perigeu, contribuindo para o encurtamento do

tempo de vida (Musen, 1960). O equacionamento das forças de radiação

foi baseado na formulação proposta por Evans (1964) e Georgevic (1973a),

em virtude da grande semelhança entre o método de integração destas e

das forças aerodinâmicas.

A radiação solar refletida difusamente pela Terra, ou

albedo, mantem sua magnitude quase invariavel com a altitude~ pois o

efeito de afastamento (quando se incrementa a altura) é compensado p~

la maior area terrestre vis;vel. Em satélites de inclinação moderada,

- 27 -

(4.1)

- 28 -

o albedo provoca uma diminuição dos efeitos da radiação solar direta,

pois age em sentido contrário a esta, raramente ultrapassando 10% de

sua magnitude. Poucos artigos tratam o albedo de forma sistemática, sem

grandes aproximações. Cunningham, (1963a, 1963b) obtem a expressão da

força devido ao albedo numa placa plana girante,e de uma forma que, d~

n.nte a integração numerica, possa se fazer uso das expressões da radi~

ç~o solar direta. Outros artigos tratam o albedo por meio de fatores

de forma (Clark and Anderson, 1965; Bannister, 1965), com pouca aplic~

'bilidade num caso geral, onde a ge6metria do satelite tem importincia

fundamental.

Da mesma forma que o albedo, a radiação ou reemissão ter

~estre varia pouco com a altitude. Seus efeitos são ainda menores que

os do albedo, já que seu módulo e praticamente constante, não importa~

,do s~ o satelite está no lado iluminado ou não. Alem disso a força r~

sultanteatua bastante próxima ã vertical local, a não ser em satel ites

altamente assimetricos, o que diminui ainda mais os efeitos da reemi!

são,. Justamente em virtude desta pouca influência, poucos artigos fa

zero mençao a sua obtenção (Clark and Anderson, 1965; Abadie, 1968).

Embora as forças de radiação tenham a mesma orÍ'flem,,sua

formulação difere substancialmente em cada caso; por isso e necessário,

tratã-las separadamente.

4.2 - RADIACAO SOLAR DIRETA

As'hipõteses que ser~o feitas para a radiação solar s~

rão mais bem compreendidas introduzindo_se o conceito de intensidade

de radiação (Sparow and Cess, 1978; Kreith, 1962). Considere-se então

um elemento de área dAI, fixo 'num sistema de eixos, tal que sua normal

coincida com a direção ~ (Figura 4.1). Seja dSE a quantidade de ene!.

- LJgia que deixa dAl num intervalo de tempo dI, numa direção n, confinada

num ângulo sólido dn centrado em P. O versor normal, K, faz com n um, ,

ângulo 6. Resultados experimentais indicam que a razão

dSE

cos e dAl dn d-

- 2! -

tende a um valor finito para um dado ponto P e para uma dada direção n

..__--,,;/quando dAlt dn e d,f-tendem a se anular, em qualquer ordem.

x

y

Fig.4.1 Instensidadede radiação.

Este limite será denominado intensidade de radiação no

ponto P, na direção n, e denotado. por I~ Então

«

I =lim d5E

dA -)o- O cos e dA1 dn *' '.dn -+ O

dt -+ O

(4.2)

Note-se aqui que a energia e emitida ao longo deumafal

xa de comprimentos de onda; portanto I r.epresenta a integral da inte~

sidade de radiação monocromãtica sobre o comprimento de onda. Cabe ob

servar, tambem, que dA1 cos e representa a projeção da ãrea dA1 numa dlreção normal a n, tornando dessa form~ a definição de I independente

da orientação de dA1• A quantidade de energia por unidade de tempo e

de area que deixa dA, 51' vale portanto

51 = J I cos e dn,H .

(4.3)

- 30 -

onde H indica integração sobre um hemisfério. Usando-se coordenadas es

féricas (Figura 4.1), tem-se:

Sl = J21T J1T/2I(e, ~) cos e sen e de d~.

~=O e=O

(4.4)

Neste ponto é comum supor que a intensidade de radiação,

I, é isotrõpica, ou seja, não depende de e ou ~. Logo,

(4.5)

o fato de a intensidade de radiação independer da dir~

ção de emissão faz com que o Sol se assemelhe a um disco de 1uminosid~

de uniforme, tanto no centro quanto nos bordos, quando visto daTerra

Essa caracter;stica, associada ã ~equena distância angular do Sol medi

da' na superf;cie terrestre (aproximadamente '0,530 no equador solar),

fornece elementos para considerar o Sol como um elemento de ãrea p1~

no que irradia uniformemente. Assim, por simetria, este elemento está

sempre com sua face voltada para o elemento. receptor. A potência inci

dente por unidade de área numa superficie perpendicu1 ar ã 1inha que une

seu centro ao centro do Sol, situada a uma distância R do disco solar,

vale:

(4.6)

onde Sl e a potência por unidade de area emitida pelo disco solar, de

ãrea A1'

A potência S é chamada constante solar; para a distân

cia media da Terra ao Sol, Ro = 149 X 109 m vale:

So = 1353 watts/m2• (4.7)

Esse valor se mantem aproximadamente constante, sofre,!!.

do apenas pequenas variações conforme a atividade solar. A potência por

- 31 -

(4.8)

unidade de área num ponto qualquer do espaço, cuja distância ao Sol

R metros, pode ser obtida em função de So:

R2oS=S --o

o R2

-e

A pressão devida ã radiação solar incidente que atua ne~

te ponto e dada por:

S R'~'o o 1 K

Ps = c ~ = ~(4.9)

ond~ c é a velocidade da luz. A constante K vale (Georgevic, 1973a):

K = 1,011 • 1017 N. (4.10)

Num caso genérico, a radiação incidentE é parte refleti

da e parte absorvida (supõe-se aqui que a superficie seja opaca); a pa~

cela refletida pode ainda ser refletida especular ou difusamente. Diz

-se que a reflexão é especular quando o ângulo de incidincia éigual ao

ângulo de reflexão, com os raios incldente, refletido e normal conti

dos num mesmo plano; diz-se que ela é difusa quando não há uma direção

preferencial para a radiação emergente da superficie. As superficies

reais comportam-se aproximadamente como uma combinação de ambas as re

flexões, especular e difusa. Baseando-se r.isto, pode-se afirmar que uma

parcela y da radiação incidente é refletida, e uma parcela p desta e

refletida na forma especular. Os coeficientes y e p, embora variem com

a temperatura da superficie, frequincia da radiação incidente, ângulo

de incidincia, entre outros (Kreith, 1962, 1973; Sparow and Cess,

1978), serão considerados constantes aqui.

Têm-se assim doi s casos 1imites: refl exão especul ar qua.!!.

do p = 1 e reflexão difusa quando p = o.

A força que age num elemento de área dA, cuja normal for

ma um ~ngulo r: com a direção de incidincia, 5S (Figura 4.2), será pro

porcional ã área do elemento projetada nesta direção, ou seja:

- 32 -

dF I = Ps dA cos n = dFN cos n ,

onde dFN e a força na direção normal.

Fig. 4.2 - Sistema de referência no elemento.

(4.11)

Decompondo-se a Expressão 4.11 nas componentes normal e tangencial a

superficie, têm-se:

dT I = - dFN cos n sen n •

(4. 12a)

(4. 12b)

A força devida ã radiação emergente na forma especular

possui o mesmo mõdulo da incidente, diminuido por um fator yp, que e a

parcela dos fõtons refletidos especularmente:

dTE = yp dFN cos n sen n ,

(4 .13a)

(4.13b)

onde os sina is negati vos nas forças indi cam que estas atuam em di reções co.!!.

trãrias aos eixos. A intensidade de radiação da parcela refletida difu

- 33 -

samente (supondo-se que sua distribuição seja uniforme em todas as di

reções) serã então:

1 = ::L (1 - p) S cos n •1T

(4.14)

A força que age na superf;cie devida ã radiação reflet~

da numa direção e e subentendida num ãngulo sõlido dAz/r2 (Figura 4.3)

torna-se:

dF = dA _I cos e • dA2O c rI

ss~

Fig. 4.3 - Radiação refletida difusamente.

(4.15)

que, decomposta nas direções XeyeZe, resulta respectivamente em:

dPO = :...::L (1 - p) dFN cOsnCOs2a sene de d4>,1T . .

dTO = - ~ (1 - p) dFN COSncose senecos<l> de d<l>

dLO = - ~ (1 - p) dF N cos n cos e sen e sen <I>de d<l>

(4. 15a)

(4. 15b)

(4. 15c)

- 34 -

Integrando-se as componentes, com e variando de O a TI/2

e com ~ variando de O a 2TI, as forças TO e LO tornam-se nul~s, e a com

ponente normal resulta em:

2Po = - - y (1 - p) dFN cos n •3

A energía emitida difusamente pela superflcie

porcional ã quarta potência de sua temperatura absoluta, Tw'

com a Equação de Stefan-Boltzmann:

(4.16)

sera pro

de acordo

(4.1n

(4.18a)

onde E e a emissividade da superflcie e a e a constante de Stefan

-Boltzmann.

A radiação reemitida, da mesma forma .que a refletida di

fusamente, causa uma força apenas na direção normal:

2 E a T~dPR= - ---dA3 c

A obtenção de Tw' porem, envolve a resolução de equações

diferenciais de troca de calor, onde fontes tais como radiação solar,

atrito atmosferico, dissipação de correntes elétricas em condutores,

etc, deverão ser consideradas.

Georgevic (1973a, 1973b) sugere a multiplicação da ra

diação absorvida por um coeficiente k, que depende das emissividades e. ".

temperaturas nos dois lados (frente e trãs) da superflcie. Nas superfl

cies adiabãticas k = 1, e nas superflcies que possuam a mesma emissiv~

dade e temperatura em ambos os lados .k= O. Entretanto, ainda assim per

manece a dificuldade de obter Tw• Entretanto, a hipótese de superflcies

adiabãticas e comum em satelites que não possuam paineis ou não te

nham alta velocidade de rotação, jã que em ambos os casos haverã uma

grande diferença de temperatura entre as partes expostas ã radiação e

- 35 '-

as partes encobertas. Pode-se admitir, assim, que toda a energia abso!

vida e reemitida instantaneamente pela superficie, com uma emitância

igual ã sua absortância, 1 - y, o que resulta para a fqrça na direção

normal em

2dPR = - - (1 - y) dFN COSn. (4.18b)3

A resultante das forças na direção normal sera a soma

de suas componentes

dPN = - dFN cos n ( 1 + yp) cos n + 1..- [y (1 - p) + \I ( f -y ) J , (4. 19)3

onde o coeficiente, \I, aqui introduzido vale

T4 dAcr w\1=-----,c dFN cos n

~~--c c

': v~ ;:Y<- ~------

'I-' os dA cp:;, v\

"v1

(4.20)

caso' se conheça a temperatura do elemento, ou \I = 1, como melhor apro

ximação caso Tw seja desconhecido (não calculado). Aqui tambem foi s~

posto que a emissivida?e da superficie e igual ã sua absortância, e em

bora a grande parte dos materiais não possua esta caracteristica, pod~

-se sempre adotar um valor medio para y sem se esquecer, porem, de que

a influência da absortância (1 - y) no cálculo das forças é maior que

aemitância (Kreith, 1973). 1~<i ~;.. n,..à."p;;';'T,c.d", :.,,,.d,,,';V.p./VY~.J' -~. Ç3.?.....

Na direção tangencial a força vale:

dPT = -dFN cos n (1 - yp) sen n •

.1)

.J)) "-17"" (4.21)

Obtem-se, ass im, a expressao da resul tante (Figura 4.2):

(4.22)

Substituindo-se as Equações 4.19,4.21 na Equação 4.22

e tirando-se a direção je em função de 5s e Ke, obtem-se:

+ v(1

- 36 -

dA cos n ([2 yp cos n + 1.- ry(1 - p) +3

e ~/ s- y))] k ~ (1 - yp) s . (4.23)

Esta.resultante deverá ser integrada sobre toda

flcie externa do satelite, com a condição de que os elementos

iluminados, isto e,

-ss • r:e ~ Ocos n = - r;.

a supe.!:.

estejam

(4.24)

Deve-se integrar o lado não-iluminado do satelite ape

nas quando se conhece a temperatura de cada elemento. Neste caso,

-s 2 - é-// o edFR = - ~~~J - r4 dA k . (4.25). 3 ./. C W

para:

cos n ~ O.

o torque elementar resulta em:

(4.26)

(4.27)

(4.28)

onde r~ e r~9sao os vetores poslçao do centro do elemento e centro demassa do satelite, respectivamente.

Analogamente ã força aerodinâmica, podem ser definidos.

dois coeficientes; CRS e CRL, que representam respectivamente o coefi

ciente da força de radiação na direção Sol-Terra e na direção perpendi

cular a esta:

-s -sFR • s

CRS = Ps • Ar '

,

- 37 -

(4.29)

-s _onde FR e a força devida ã radiação integrada sobre toda a superficie

do satélite, e Ar e uma área de referência qualquer.

(4.32)

(4.31)

(4.30)

ques

Da mesma forma, podem ser definidos coeficientes de tor

análogos aos aerodinâmicos:

-s ~st4R • 1

C --'--

MRX - P A Ls r r-s .•.sMR • J

CMRV = ---,Ps Ar Lr

-s

MR • f<s

CMRZ =--­.Ps Ar Lr

onde M~ é integrado sobre toda a sup~rficie e Lr é um comprimento ca

racter;stico do satélite.

A integração anal;tica de CRS e CRL em corpos convexos

e mais fácil que a integração dos coeficientes aerodinâmicos,· em virt~

de de não possu;rem função exponencial e fJnção erro no integrando. As

expressões de CRS para um cilindro e uma esfera são fornecidos no Apê~

dice B e comparados com a integração numérica em função do numero de

divisões efetuadas nos dois corpos.

Quanto a corpos côncavos, frequentemente desprezam~se

múltiplas reflex?es (Georgevic, 1973a,b; Evans, 1964), embora o som

breamento ou ocultação de partes do satélite por outras partes deva ser

considerado.

Uma ultima observação refere-se ã obtenção da

de incidência, 5S, no sistema do satélite. Esta é calculada a

direção

partir

- 38 -

da posição do Sol no sistema inercial, si, utilizando-se das Rotações

2.10 e 2.12. Quanto ao valor de si, est~ pode ser tirado diretamente de

Tabelas (Anuário Astronômico 1974) ou de procedimentos computacionais

(Flandern and Pulkkinem, 1979; Medeiros e Kuga, 1980).

4.3 - RADIAÇAO REFLETIDA PELA TERRA

Uma pequena parcelada energia solar que incide na Te!

ra c absorvida pela atmosfera. A maior parte atinge a superficie, onde

parte e absorvida e parte e refletida. A parcela refletida especula!

mente e muito pequena (Cunningham, 1963b) quando comparada com as d~

mais, de forma que, para fins práticos, pode ser totalmente desprezada~

A quantidade absorvida irá aquecer e elevar a temperatura da superfi

~ie, que assim passa a trocar calor com a atmosfera por condução ê con

vecção, que, por sua vez transporta este calo~ para as regiões mais

frias da Terra. Alem disso, há transferência de energia por condução

na própria superficie, que tambem emite radiação na região do infrave!

mélho, proporcionalmente ã quarta potência de sua temperatura absoluta.

Considerando-se apenas os efeitos predominantes, parte da radiação s~

·lar ·incidente na Terra e refletida difusamente e parte e absorvida e

reemitida para o espaço. A parcela da radiação refletida difusamente,

ou albedo terrestre, e aproximadamente co~stante (varia ligeiramente

com a quantidade de nuvens, as caracteristicas da superficie e tempera

tura do local), e foi equacionada por Cunningham (1963a, 1963b, 1961).

A radiação solar refletida, juntamente com a emitida pe

la Terra, provocam no espaço uma pressão de radiação da mesma natureza

que o Sol (embora diferindo quanto ao comprimento de onda), causando

uma força e um torque no satelite.

A Terra será adotada como esferica sem que se alterem

significativamente os resultados. As dist~ncia~ da ordem de grandeza

do raio terrestre tambem serao desprezadas em comparação com a distân

cia do Sol.

- 39 -

o sistema de coordenadas empregado e o sistema do albe

do, definido na Seção 2.3 e representado tambem na Figura 4.4, onde es

tão indicados os ângulos Vs (formado pela normal "T a um elemento de

área dAT da superflcie terrestre e pela direção Terra-Sol, - sa, e e <p,

que definem a posição desse elemento.

-as~

Fig. 4.4 - ~ngulos no sistema do albedo.

A potência devida a radiação solar que incide em dAT va

le, portanto:

dWT = S cosvs dAr (4.33)

A energia refletida difusamente por unidade de area e

de tempo torna-se:

So = aSCOS Vs ' (4.34)

onde a e a reflectância media terrestre tambem denominada albedo ter

restre e vale (Cunningham, 1973b)

a = 0,34. (4.35)

(4.36)

- 40 -

A potência por unidade de área incidente num ponto so

bre o eixo Za, situado a uma altura h sobre a superficie da Terra, de

vido apenas ã radiação provinda de dAT, serã então

dAT

dSO = cos Os I • -a2 'p

onde Os ê o ângu 10 formado pela norma 1 ã dAT e pe1a direção pa, que une

o centro do elemento ao ponto no eixo Za. A intensidade de radiação,

de acordo com a Equação 4.5, vale

SoI = -- •1T

Por geometria, obtêm-se as relações

COS "s .= sen 60 sen 6 cos 4J + COS 60 COS 6

e:

(4.37)

(4.38)

cos Os - R r cos 6 -- T Ipal

onde RTê o raio da Terra e

RT + hr=---RT

, (4.39)

(4.40)

o vetor pa vale

- [RT (1 - COS 6) + h] (a,

cujo mõdulo ê

(4.41)

(4.42)

- 41 -

Substituindo-se as Equações 4.37, 4.38, 4.39 e 4.42 na

Expressão 4.36, divindo-se elas pela velocidade da luz, c, e lembrando

-se que

dAT = Rrsen e de dep,(4.43)

resulta que o fluxo de quantidade de movimento incidente num elemento

de ãrea da superf;cie em P, por unidade de ãrea normal ã direção de i~

cidência pa, por unidade de tempo e devido ã radiação solar refletida

difusamente por um elemento de ãrea dAT da Terra, vale:

dPD = Selc(sen e sen ecos </> + cos e cos e ) •1f o o

(r cos e - 1) sen e de dep.

(r2 _ 2r cos e + 1)3/2

(4.44)

Desta forma, a força que age num elemento de superf;cie

do satelite pode ser tratada como se fosse originado de radiação solar

direta, simpiesmente subsituindo-se o valor de Ps na Equação 4.23 pelo

valor de dPD dado pela Expressão 4.44, cuja direção de incidência, 5S,

serã dada por pa, efetuando-se a rotação indicada nas Equações 2.11 ou-s

2.13, obtendo-se p •

Para obter a força devida

ceder ã integração da Equação 4.23 sobre

vis;vel pelo satelite, definida por

onde

emax = arcos(1/r).

ao albedo total, deve-se pro

toda a superf;cie terrestre

(4.45)

(4.46)

Entretanto, a região visível nem sempre ~stã totalmente

iluminada pelo Sol. Quando o satelite ingressa na sómbra da Terra, a

- 42 -

região vislvel passa de totalmente iluminada para totalmente escura. róbvio, portanto, que o limite de integração na variável ~ deva depe~

der da posição relativa entre esta região e a direção do Sol, que defi

ne o contorno da separação entre o dia e a noite na superficie terres

tre. A região iluminada e obtida da' imposição

cos "s ~ O.

Surgem com isso 4 casos distintos:

(4.47)

a) Região vislvel totalmente iluminada pelo Sol. Este caso ocorre

quando (Figura 4.5)

(4.48)

e como não existe sombra na região visivel, nao há restrição a~, ou

seja,

<Pmax = ir,

que define o intervalo de variação em ~:

- ~max s ~ ~ ~max •

região visivel

/.-a5

Fig. 4.5 - Região vislvel totalmente iluminada.

(4.49)

(4.50)

- 43 -

b) Região visivel iluminada parcialmente, com ao ~ n/2. A

terrestre ainge neste caso parte da ãrea visivel, e da

4.6 conclui-se que:

noite

Figura

(4.51)

Pode-se agora separã-la em duas regl0es de integração

complementares, a primeira das quais e totalmente iluminada, onde:

a ~ n/2 - ao ou cotg a cotg ao;;:1

e

cjlmax= n,

e a segunda e parcialmente iluminada, tal que:

n/2 - ao.;::!;a ~ amax ou O ~ cotgacotgao~ 1,

onde

cjlmax= arcos (-cotg a cotg ao) .

totalmente iluminada

parcialmente iluminada

-as~

Fig. 4.6 - Região visivel parcialmente

iluminada, com ao ~ n/2 •.

(4.52)

(4.53)

(4.54)

(4.55)

- 44 -

c) Região vislvel iluminada parcialmente, com 60 > n/2. A sombra,

neste caso, atinge mais da metade da região vislvel, e, confo~

me a Figura 4.7, a integração em 8 deverá ser entre os limite~

80 - n/2 ~ 8 ~ ~max ou -1 ~ cotg 8 cotg 80 ~ O;

novamente o limite em $ será dado por:

$max = arcos(-cotg 8 cotg (0) •

/região escuraregião iluminada

~a

Fig. 4.7 - Região vislvel iluminada parcialmente,

com 80 > n/2.

d) Região vislvel na sombra (Figura 4.8). Neste caso,

6max ~ 80 - n/2 ou cotg 8max cotg 80 ~ -1,

(4.56)

(4.57)

(4.58)

e não serã necessário efetuar a integração, pois a contribuição do al

bedo será nula.

- 45 -

~a

Fig. 4.8 - Região vislvel na sombra terrestre.

Os quatro limites de integração tambem podem ser vistos

na Figura 4.9, onde ~max foi colocado em função de a e 60, de acordo

com a Equação 4.55. O caso a) corresponde ã ~ =1800; o caso b) ã remax -

gião 90 s ~max < 1800; o caso c) ã região O < ~ < 900 e, finalmente,

o caso d) a valores de ~max nulos.

180

C/)

::><o:::C)1: 120UJ aoxn:sE~ o

60

-l ::>C)z<o

o

8 16 24ANGULO a EM GRAUS

Fig. 4.9 - ~max em função de a paraal~uns valores de a •o

- 46 -

Cabe observar que os limites de integração em e e ~ de

pendem tambem do ângulo n, formado pela normal ao elemento de superfi

cie do satelite, Ke, e pela direção de incidência, pS. A co~djção

cos n = _Ke • pS ~ O (4.59)

pode alterar os limites de integração em e e ~. A anãlise desses novos

limites, porem, alem de ser complexa em virtude dos inumeros casos a

analisar, torna-se desnecessãria quando se utiliza a integração numerl

ca, jã que o elemento que não satisfaz tal condição e simplesmente re

tirado da integração.

(4.69)

Podem-se, da mesma forma que na radiação direta,

nir coeficientes adimensionais para as forças devidas ao albedo,

permitem uma visualização mais rãpida da influência dos diversos

metros envolvidos na sua determinação. As expressões

-s aFs . K

CSV = --­a ps Ar

e

defi

que

para

(4.61)

serão dénominadas, respectivamente, coeficiente de albedo vertical e

coeficiente de albedo horizontal, onde F~ e a resultante da força atua.!!­

te no satelite devido ã radiação refletida pela Terra.

4.4 - RADIAÇAO EMITIDA PELA TERRA

A parcela da energia solar absorvida pela superficie da

Terra não fica totalmente retida no local. A atmosfera se incumbe, por

meio de convecção, de transferir calor das regiões mais quentes (eqlJ!

toriais) para as regiões mais frias (polares) da Terra. Desta forma, a

diferença de temperaturas media entre tais regiões não e tão elevada

47 -

quanto seria se não houvesse atmosfera. Apesar de a emissão terrestre

depender da temperatura absoluta do localt pelo exposto acima, e pela

influência relativa desta força, mencionada na Seção 4.1, justifica-se

o fato de adotar a temperatura uniforme e constante sobre toda a Terra.

Corno na radiação refletida difusamente, serã suposto tam

bim que a parcel~ da radiação que não i refletida i emitida difusamen

te (Abadie, 1968), e considera-se novamente a Terra esfirica.

A energia por unidade de tempo absorvida por um elemen

to de superficie dAT na Terra, cuja normal faz com a direção do Sol um

ângulo Vs (Figura 4.4), vale:

dWE = (1 - a) S cosvsdAr (4.62)

Integrando-se a Expressão 4.62 sobre toda a superficie

terrestre, com a condição cosvs~ O, a potência total absorvida resul

ta em:

(4.63)

A hipótese de a temperatura ser unica em toda a Terra

significa que esta deveria possuir urna condutância tirmica bastante

elevada na superficie. Nesse caso, todo o calor absorvido num ponto.s~

rã distribuido equitativa e instantaneamente aos demais pontos. A p~

tência emitida por unidade de ãrea torna-se então:

(4.64)

o fluxo de quantidade de movimento por unidade de ãrea

e por unidade de tempo incidente numa superficie situada em P (Figura

4.4) e normal ã direção de incidência torna-se:

- 48 -

(4.65)

Substituindo-se as Equações 4.39, 4.40, 4.42, 4.43 e

4.64 na Equação 4.65 obtem-se:

dp = (1 - a) S (r cos 6 - 1) sen a da dep.E 4'11'c (r2 - 2r cos 6+ 1 )3/2

(4.66)

Da mesma forma que no cã1cu10 das forças do a1bedo, p~

de-se tratar a radiação terrestre como radiação solar direta, substi

tuindo-se o valor de Ps da Equação 4.23 por dPE da Relação 4.66, que

deve ser integrada obedecendo-se aos limites

o ~ a ~ arcos(1/r) e - n ~ ep ~ n,

que delimitam a região vis;vel. A direção de

por pa que, após efetuada a rotação indicada-s

resulta em p •

(4.67)

incidência será fornecida

na Equação 2.11 ou 2.13,

Pelas hipóteses feitas, serã indiferente se a região vi

s;vel pelo sate1ite estiver sendo iluminada pelo Solou não. Porem, do

mesmo modo que o alb~do, a Condição 4.59 deve ser satisfeita para g~

rantir que o elemento de superf;cie do sate1ite seja vis;ve1 ao e1emen

to sobre a Terra. Embora a Relação 4.66 seja muito semelhante ã Equ~

ção 4.44, não podem entretanto ser agrupadas, visto que os limites de

integração de ambas são diferentes, exceto no caso a.

Ana 1ogamente ao a1bedo, serão defi nidos os coefi cientes

de .radiação terrestre vertical e horizontal, respectivamente como:

-s .F KS

C _ E , (4.68)

EV - (1 - a) ps Ar

- 49 -

-s sFE • j

C -----

EH - (1 - a) ps Ar '

-s _

onde FE e a resultante das forças de radiação terrestre.

(4.69)

CAPITULO 5

TORQUE DE GRADIENTE DE GRAVIDADE

5.1 - INTRODUÇAO

O torque de gradiente de gravidade e causado pela varia

ção da força gravitacional com a altitude, fazendo com que a força por

unidade de massa varie ao 'longo do corpo do satelite. Fica claro, as

sim, que este torque depende da altitude, da geometria e da orientação

(atitude) do satelite.

Juntamente com os demais torques, o torque de gradiente

de gravidade e de importância fundamental na determinação, previsão e

controle de atitude, pois afeta consideravelmente o movimento do sat~

lite em torno do seu centro de massa. Por outro lado, por ter um ponto

de equilibrio estãvel, o torque pode ser utilizado para estabilizar d~

terminados satelites numa atitude preestabelecida (Beletskii, 1966;

Robertson, 1964). Os assim chamados satelites estabilizados passivame~

te possuem a grande vantagem de ter o eixo associado ao seu menor mo·

mento de inercia quase coincidente com a vertical local. Esses sateli

tes dispensam, desta forma, os complexos aparelhos de estabil.ização e

controle, embora a precisão no apontamento seja inferior ã destes ulti

mos.

De acordo com Robertson (1964), alguns resultados con

cernentes ao problema do equacionamento dos torques de gradiente de gra~ -vidade foram obtidos por Tisserand, em 1981. Mais recentemente, com o

lançamento dos primeiros satelites, o torque de gradiente de gravidade

foi reformulado peloprôprio Robertson (1958), que já considerava os

efeitos do achatamento terrestre. Beletskii (1966) obtem os torques d~

rivando o potencial gravitacional da Terra e em função dos momentos

principais do satelite. r comum, entretanto, que os satelites não po~

suam suas direções principais coincidentes com seu sistema de referên

cia, que normalmente e o melhor sistema para se terem representados os

- 51 -

- 52 -

torques. A formulação apresentada por Meirovitch (1970), cujos torques

estão em função do tensor de inércia em relação a um sistema de refe

rência fixo no satélite, facilita assim a compatibilização entre este

torque e os calculados nos capitulos anteriores.

Cabe observar que foi considerado nesta anãlise apenas

as forças e torques externos ao satélite. Torques que resultam devido

ao uso de sistemas não inerciais,como o gradiente de força centrifug~

por exemplo, tratado por Beletskii (1966) não foram aqui equacionados.

5.2 - TORQUt DE GRADIENTE DE GRAVIDADE NUM CORPO R!GIDO

A força que age num elemento de massa dm do satélite e

dada por

r- ~dm-r3

(5.1)

onde ~ e a constante gravitacional terrestre.e r é o raio vetor, no

sistema orbital, que vai do centro da Terra ao elemento de massa e va

le (Figura 5.1):

- ~o ~o . or = x 1 + Y J + (R + z) K , (5.2)

onde R é a distância de centro da Terra ao centro de massa do satélite

O efeito do achatamento terrestre, por ser pouco significativo, foi de~

prezado.

-o

Expandindo-se as componentes de dFg em série de Taylor

em torno de z/R próximo a zero e desprezando-se os termos iguais ou su

periores aos de segunda ordem, tem-se que

(5.3)

- 53 -

Calculando-se o momento elementar em relação ao centro

de massa r~g do satelite e passando-se a integração, obter-se-ã

Fig. 5.1 - Elemento de massa do satelite.

A relação que une o sistema orbital ao sistema do

lite e dada pela Equação 2.9, que aqui será resumida por

-s A-or = _ r ,

onde

all a12 a13

A = a2I a22 a23

a31 a32 a33

Logicamente,

(5.4)

satê

(5.5)

(5.6)

(5.7)

- 54 -

-o

Substituindo-se o valor de Mg na Equação 5.7 pela Rel~

ção 5.4 e trocando-se x, y e z pelos valores correspondentes dados p~

la relação inversa da Equação 5.5, obtem-se

-s 3 II S S . ( 2 2) S

Mg = ~ [-a13a33 IXY + a13a23 Ixz + a23 - a33 Iyz +

+ a23a33 (I~z - I~y)] iS ~ [a23a33 I~y +

(Is IS)] r.S ,+ a13a23 yy - xx ~

(5.8)

s s s s s s .-

onde Ixx' IXY' Ixz' Iyy' Iyz e Izz sao as componentes do tensordeiner

cia, definidas como:

15 = r (y2 + Z2) dm,xx JM

IS =-J x y dm,xy M

I~z =-JM x z dm,

IS = J (x2 + Z2) dm,yy M

I~z =-J Y z dm,. M

IS = J (x2 + y2) dm,zz M

(5.9a)

onde x, y e z fornecem a posição do elemento de massa dm num sistema

paralelo ao sistema de referência do satelite, com origem no centro de

massa, e M representa a integração sobl°a toda a massa ms do satel ite.

As propriedades do tensor de inercia aqui utilizadas e sua relação com

os momentos principais de inerci~ de um corpo rigido podem ser encontra

das, por exemplo, em Crandall et alii (19G8).

- 55 -

Considere-se agora o sistema XlylZI associado aos eixos

principais do satélite. Seja também a matriz de rotação ~ que relaci~

na este sistema ao sistema de referência fixo no satélite. O tensor de

inércia pode, então, ser obtido indiretamente pela relação

s S'sI~x

OOIxx IXYIxz

IS

sIS = COI~y

OCT (5.10)xy

Iyyyz

,s

ISIS OOI IIxz yz

zz zz

ondp 11 11 e 11 sao os momentos principais de inércia, e _CT é a m_axx' yy zz

triz ~ transposta. Se, entrentanto, os eixos principais coincidirem com

o sistema de referência do satélite, f se reduzirá ã matriz identidade

e a Expressão 5.8 se resumirá em (Nidey, 1960)

-s 3 11 ••.s (I I ) .•.•.sMg = ~ [a23a33(I~z - Iyy) 1 + a13a33 I~x _. zz J +

+ a13a23 (Iyy - I~x) KS] •(5.11)

Note-se também que, da forma como foi proposto o torque­

de gradiente de gravidade, este só depende da direção que a vertical

local possui com relação ao sistema do satélite, cujos co-senos diret~

res sao dados por a13' a23 e a33 nas direções XS, yS e ZS, respectiv~

mente.

Finalmente, adimensionalizando-se o torque de qradiente

de gravidade para mais facilmente se compreender a influência dos pro

dutos de inércia, introduzem-se os coeficientes de gradiente de -gravi

dade:

-s .•.s

Mg • 1=----311 m A

R3 s r

, (5.13)

M-s ..•s9 . J

CMGY = ~---,3lJ moA

R3 s r

M-s r;S_ g' r;. ,

CMGZ - --"'----

3lJ m A

R3 S r

- 56 -

(5.14)

(5.15)

onde ms e a massa total do satélite e A~ é uma area de referência adotada.

CAPITULO 6

FORÇAS E TORQUES ELETROMAGNtTICOS

6.1 - INTRODUÇ].!;O

o movimento do satelite atraves da atmosfera parcialme~

te ionizada, bem como a interação tanto do satelite quanto dos ions e

eletrons com o campo magnetico terrestre, causam o aparecimento de for

ças e torques de origem eletrostãtica e eletromagnetica. O numero ,de

moleculas neutras, ions e eletrons por unidade de volume, assim como a

porcentagem de ionização da atmosfera, são mostradas na Tabela 6.1 em

função da altitude. A 4000 km de altura praticamente todas as molecu

las da atmosfera estão ionizadas (Brundin, 1963).

TABELA 6.1

NOMERO DE MOLrCULAS POR m3 NA ATMOSFERA

Alturan(neutras)

In. (Ions) ne(elétrons)

%.•.

lons

km

-31 -3-3m

m m

300

7 • 1014(1)7• 1011 3 .1011(2)0,1 (3)

1500

3.101°(4)7.109(4)7 •109 (4) 23

FONTE: (1) USAF, 1976; (2) Oya, 1970; (3) Brundin, 1963;(4) Hohl and Wood, 1963.

As forças eletromagneticas foram inicialmente investiga

das por Jastrow and Pearse (1957), que concluiram que um satelite em

movimento na ionosfera deveria apresentar uma carga eletrfca negativa.

Artigos posteriores (Beard and Johnson, 1960) incluem a influência do

campo magnetico terrestre e o efeito foto-emissor de eletrops (Chang

and Smith, 1960; Brundin, 1963). Nos artigos de Halverson and Cohen

(1964) e Smith (1964), os torques de Foucault foram determinados em sa

...57 ..

- 58 -

télites esféricos. Hohl and Wood (1963) e Hohl (1966) sintetizaram as

forças e torques coulombianos e de indução, obtendo o potencial do s~

télite sem grandes aproximações. A distribuição de cargas na .esteira

do satélite (face voltada contra a velocidade) foi formulada por Kiel

et alii (1968) e Vaglio-Laurin and Miller (1970). Finalmente, alguns

dados relativos is 'con~ições e ã composição i6nica da atmosfera, foram

fornecidos por Oya (1970) e Samir and Wrenn (1969), que utilizaram as

medidas efetuadas pelo foguete K-9M-21 e o satélite Explorer XXXI, res

pectivamente.

6.2 - O POTENCIAL DO SATtLITE

Com exceção dos artigos de Beard and Johnson (1960) e

Chu and Gross (1966), todos os demais admitem um satélite esférico cu

ja superficie externa é condutora no equacionamento das forças e tor

ques. t claro, portanto, que as inúmeras soluções formuladas nestes a~

tigos (algumas das quais diferem substancialmente quanto aos resulta

dos) encontram pouca aplicação em satélites de outros formatos, a nao

ser que se façam inúmeras hipóteses simplificadoras a fim de ajustar

a teoria a estes satélites. Sem dúvida, a grande dificuldade em tratar

de satélites genéricos é a dificuldade em obter a distribuição do cam

po elétrico e do potencial na sua superficie, resolvendo-se a equação

de Poisson. Outro problema também é obter o fluxo das correntes elétri

cas na superficie e fora delas. Em vista disso, aliado ao fato das for

ças e torques eletromagnéticos serem menores que as demais forças tra

tadas anteriormente, serã feita aqui apenas uma descrição qualitativa

das primeiras.

Embora a temperatura cinética dos elétrons seja aproxi

madamente igual i dos ions na alta atmosfera, sua velocidade média e

entretanto muito maior, devido ã sua pequena massa. Por outro lado a

velocidade do satélite, tambem muito menor que a velocidade dos ele

trons, é superior i dos ;ons, de tal forma que se pode visualizar

(Brundin, 1963) que o satélite estã em repouso em relação aos elétrons

e que os ions estão parados na atmosfera em relação ao satélite. Desta

- 59 -

forma, o numero de elétrons que colidem com a superf1cie do satélite é

muito maior que o numero de 10ns, e, portanto, se o satélite for cond~

tor, irá adquirir um potencial negativo, equilibrando assim o fluxo de

elétrons e 10ns. Forma-'se então ao redor do satélite uma fina camada

onde a densidade dos elétrons é inferior ã do ambiente, por serem e~

tes repelidos pelo potencial negativo da superf1cie. Admite-se normal

mente, também, que na colisão com a superf1cie do satélite os ions a~

quiram elétrons e se tornen neutros. Além disso, em virtude de sua v~

locidade térmica ser significativamente menor que a velocidade do sat~

lite, esta colisão ocorre preferencialmente na parte frontal (com rel~

ção ã velocidade), ao passo que os elétrons incidem vindos de qualquer

direção (Figura 6.1).

<J--

~ eletrans

4---r'ti' 10ns<l--~

~<J--

--t>

<J--<r-

Fig. 6.1 - Velocidades dos elétrons a 10ns com relaçãoao satél ite, na ausência de campo magnético.

Isso provoca na parte traseira (esteira) uma região com

potencial tambem negativo, pela ausência de ions, que se estende até

algumas vezes a dimensão do satélite (Kiel et alii, 1969). O potencial

na superficie do satélite atinge, con~orme seu tamanho e altitude, de

alguns centésimos a no máximo alguns Volts negativos (Hohl, 1966) na

sombra da Terra. Quando exposto ã luz solar, o equilibrio é deslocado

no sentido de tornar o potencial menos negativo pelo efeito de fotoemis

são eletrônica.

- 60 -

As cargas elementares não se distribuem, porem, igual

mente pela superficie do satelite, pois a presença do campo magnetico

terrestre irá produzir uma voltagem induzida dada por Vs X B, onde B e

o vetor campo magnetico e Vs e a velocidade do satelite. Essa voltagem

fará então que uma extremidade do satelite se torne mais negativa, en

quanto a outra se torna menos negativa (Figura 6.2), atingindo valores

positivos apenas em satelites muito longos (Chu and Gross, 1966).

Fig 6.2 - Efeito do campo magnetico terrestre nadistribuição superficial de cargas.

Outro fato a se levar em conta, ne~te caso, e que, na

presença de um campo magnetico, tanto os eletrons quanto os ions des

crevem trajetórias helicoidais na ionosfera, sendo que o raio de giro

medio para os eletrons e de 3 a 5 cm, enquanto para os 10ns normalmen

te estã compreendido entre 5 e 10 m (Chu and Gross, 1966). Isto quer

dizer que os eletrons caminham na ionosfera girando ao longo das linhas

do campo magnetico e que, n~sta direção, o fluxo de eletrons na supe!

ficie do satelite e maior.

Todos os aspectos acima descritos influem em certo grau

na distrlbuição de carga no satelite. A interação deste potencial com

a ionosfera e com o campo magnetico da Terra irá produzir forças e tor

ques no satelite que serão descritos nas seçoes seguintes.

- 61 -

6.3 - FORCA E TORQUE DE COULOMB

Devido ao potencial negativo do satelite, os ;ons incl

dentes, preferencialmente na direção da velocidade do satelite, são d~

fletidos no s~u campo eletrico, colidindo a seguir com a superf;cie.

Nestes dois processos, deflexão e colisão, hã uma mudança na quantid~

de de movimento dos ;ons, que provoca uma força e um torque no sateli

te. Alem disso, conforme pode ser visto na Figura 6.2, alguns ;ons, c~

ja trajetõria não era de colisão antes de serem defletidos, chocam-se

efetivamente com a superf;cie, de tal forma que se pode tratar essa fo..!:.

ça como se houvesse um aumento na seção transversal do satelite. A p~

larização provoca da pelo campo magnetico causarã uma deflexão nos ;ons,

maior na extremidade mais negativa, tornando o fluxo assimetrico (no

caso de um satelite esfericó) e provocando com isso um torque.

Em virtude da pequena massa dos eletrons, seu efeito na

força e no torque coulombiano e frequentemente desprezado.

A fim de se obter apenas a grandeza do arrasto de Coulomb,.

a seguinte expressão, forneci da por Jastrow and Pearse (1957), pode ser

util izada:

(6.1)

onde mi e a massa media de um ;on; ni, o numero de ;ons por unidade de

volume no local; At, a ãrea da seção transversal; e FC a força de

Coulomb na direção da velocidade Vs do satelite.

6.4 - TORQUE DE CORRENTE DE FOUCAULT

A variação, tanto em mõdulo quanto em direção, do campo

ffi:.lgneticoterrestre causa circuitos fechados de corrente eletrica na

superf;cie e no interior de um satelite condutor. Essas correntes dis

- 62 -

sipam energia por efeito Joule, introduzindo, desta forma, um torque

que tende a imobilizar o satelite com respeito ao campo magnetico (F.:!.

gura 6.3). O movimento de rotação própria do satel ite e o principal ca~

sador desse torque, que - alem de reduzir exponencialmente a rotação ­

também precessa seu eixo (Spence Jr., 1978).

Fig. 6.3 - Correntes elétricas induzidas na superfíciedo satélite pelo campo magnetico da Terra.

O torque produzido por esse efeito pode ser aproximado

por

-ME = k (w X B) X B,

(6.2)

onde w é o vetor velocidade de rotação do satélite, B é o campo magné

tico local e k é uma constante que depende do formato do satelite (T~·

bela 6.2).

- 63 .-

TABELA 6.2

VALORES DE k PARA ALGUNS FORMATOS'

Anel circular deraio

r e ãrea de seção

reta1Tr3 SS, num plano que con

- o4tém o eixo de rotação:

Esfera de raio r,

es

pessura d e

condutivT 2nr4 ddade do material da su

-o3

perficie o.

-Cilindro de raio r, es

[1_ 2d tgh(-ia)]pessura d, comprimento

1T o r3 L d

L e condutividade o.

L

FONTE: Spence Jr. (1978).

6.5 - FORÇA E TORQUE DE INDUÇAO

O fluxo de elétrons e ions no satélite, associado ao

efeito da fotoemissão eletrônica, provoca uma distribuição de corrente

não necessariamente confinada ao volume do satélite. Essa densidade de

corrente, ao interagir com o campo magnético da Terra, causa uma força

e um torque :10 satél ite. Do expos to, fica c1aro que o torque ou a fo!.

ça de indução serão nulos no vãcuo absoluto. O principal efeito caús~

dor desse tipo de força é a corrente que surge quando os elétrons ac~

mulados nas regiões mais negativas caminham pela superficie para neu

tralizar os ions incidentes na parte frontal (Hohl and Wood, 1963;

Hohl, 1966), como visto na Figura 6.4.

- 64 -

Fig. 6.4 - Fluxo de elétrons e ions no satélite.

6.6 - OUTROS TIPOS DE FORCAS

O movimento de um satélite condutor, no interior de um

gás também condutor (plasma) e na presença de um campo magnético, pr~

voca disturbios neste gás ao longo da trajetõria. Esses disturbios pro

pagam-se 'principalmente por meio 'de ondas denominadas ondas Alfvén (Chu

and Gross, 1966), e como sua energia deriva da energia cinetica do sa

télite, há uma dissipação desta ultima, que se traduz por um arrasto

no satélite. As ondas Alfven foram tratadas nos artigos de Chu and

Gross (1966) e Venkataraman and Gustafson (1973): ambos concordam que

seu mõdulo é significativamente menor que a força de indução.

A polarização no satélite provoca acumulo de cargas el~

tricas em extremidades opostas. Se este estiver girando, estas cargas

vão percorrer sua superficie, ficando entretanto estacionárias com res

peito ao campo magnético. A corrente elétrica assim gerada irá prov~

car um torque no satélite, porém muito menor que o torque de Foucault,

podendo ser totalmente ignorado.

o satélite carregado com uma carga elétrica q estará s~

jeito a uma força de Lorentz dada por q vs X ·8, sempre perpendicular ã

- 65 -

trajetõria. Seu mõdulo é, entretanto, desprez;vel quando comparado as

demais forças.

Restam ainda outras poss;veis fontes de toque, que de

pendem essencialmente dos detalhes construtivos do satélite, como por

exemplo a interação com o campo magnético das correntes geradas pelos

aparelhos no interior do satélite e de barras pré-magnetizadas na e~

trutura (usadas para amortecer o movimento de rotação pl'õpria do saté

lite). Embora estes torques seja~ bastante significativos, sua model~

gem depende intrinsecamente do satélite analisado, não sendo poss;vel

portanto uma formulação geral.

,"

CAPTTuLO 7

APLICAÇAO DA TEORIA E RESULTADOS

7.1 - INTRODUÇAO

A teoria desenvolvida nos capitulos anteriores foi ada~

tada em termos computacionais e, posteriormente, foi confrontada com

resultados calculados analiticamente nos Apêndices A e B. Neste capit~

10 analisam-se os resultados obtidos pela aplicação do programa gerado

a um satel ite experimental, cuja geometria, dimensões e sistema de coo.!:.

denadas XSysZs estão mostradas na Figura 7.1. As principais caracterls

ticas deste satélite são:

1) Possui formato de um prisma com base octagonal, em cuja base

superior (9) é fixada uma antena (18) e um mastro central (15)

que, juntamente com a massa de 3 kg na sua extremidade sup~

rior (14), respondem pela estabilização do satélite por gra

diente de gravidade. Na base lnferior (11) estão fixadas duas

antenas (19 e 17), responsãveis pela retransmissão de dados.

No cilindro (16) estão fixados alguns equipamentos de bordo e

a estrutura do satélite. As laterais (1 a 8) e a face superior

(9) estão cobertas por células sola~es.

2) A massa total do satélite, ms' e igual a 93,5 kg, cujas comp~

nentes do tensor de inércias valem

s323,39kg m2 (7.1a)

lxx=

1s =

-0,07kg m2 (7.1b)xy

s

0,137kg m2 (7.1c)lxz =

l~y = ~24,06

kg m2

(7.1d)

- 67 -

I~Z = 0,111 kg m2

- 68 -

(7.1e)

(7.1f)

em relação a um sistema de eixos paralelos ao sistema do sate

lite, com origem no centro de massa. O sistema do satelite tam

bem estã inéicado na Figura 7.1; em relação a este sistema, o

centro de massa tem como coordenadas:

(7.2)

em metros.

3) Admite-se que as caracterlsticas da superflcie, como os coefi

cientes de transferência de quantidade de movimento o e o', a

reflectância y, a parcela difusa da reflectância p, e a tempe

ratura de um elemento Tw' são constantes em toda a superflcie

do satelite.

4) Os elementos orbitais e a data de lançamento serão considerados

como pre-especificados pelos requisitos da missão, e admitidos,

para fins de anãlise, ~om a seguinte geometria: altitude do sa

telite entre 700 e 800 km, que forneceo para o semi-eixo maior

da órbita e excentricidade os valores:

a = 7128155 m,

e = 0,007;

a inclinação e o argumento do perigeu foram a~otados como

(7.3)

(7.4)

ow = 14,3 •

(7.5)

(7.6)

- 69 -

A data de inicio da geração de órbita escolhida foi 10

de dezembro de 1983, 0,0 hs TU.

8

~~Q914 -i -!-

~T15

9

----

o

:::1

Fig. 7.1 ~ Geometria, dimensões e eixos

do satelite experimental.

- 70 -

5) A ãrea de referência A s utilizada na obtenção dos coeficien. r . . -tes adimensionais, foi adotada como ãrea de contorno do sateli

te projetado na direção de um eixo no plano XSys, o qual forma

com XS um ângulo de 22s5° (as antenas 18 e 19 foram subtraldas

deste cãlculo), o que resulta em:

Ar = 1,06675 m2• (7.7)

o comprimento caracterlstico, Lr, para a adimensionali~

1 zadas como se segue. Para a radiação solar'direta e para a radiação re

fletida ou emitida por um elemento da Terra, as ãreas encobertas (na

sombra) deverão ser retiradas da integração das forças e torques. Embo

ra estes elementos emitam radiação em função de sua temperaturas iusti

fic~-se sua retirada da integraç~o em virtude 9a sua pequena contri

buição resultante (Evanss 1964). Alem disso, para o satelite analisado

aqui, mesmo no pior caso as ãreas encobertas representam apenas uma pe

quena fração da ãrea exposta ã radiaçãos o que minimiza seus efeitos.

A determinação das partes encobertas no cãlculo das fo~

ç~s aerodinâmicas e extremamente dificil, pois, ao contrãrio da radi~. .çãos as moleculas de gãs incidem num elemento vindas de qualquer dire

ção. Pode-se entretanto considerar que o fluxo de moleculas e muito

maior na direção da velocidade do satélite, jãqueesta velocidade, por

sua vez, e muito maior que a velocidadetermica das moléculas. Isto é

sempre verdadeiro nas altitudes orbitais e se traduz por uma alta ra

zão de velocidades, s. O efeito, portanto, do flu~o na direção de vel~

cidade pe muito maior que nas demais direções (Evans, 1964; Boettcher

, and Legge, 1980), podendo-se desprezar desta forma a força no eleme~

to encoberto por outro nesta direção. Resulta então que as regiões en

cobertass neste caso, serão tratadas de maneira similar às oriundas da

radiação.

- 71 -

No satelite analisado (Figura 7.1) o efeito do sombrea

mento foi considerado entre: o mastro (15) e o painel superior (9); o

mastro e a massa (14) e a massa e o painel. Na parte inferior consid~

rou-se a interdepend~ncia entre: a face inferior (11) e o suporte ci

lindrico (16).; a face e a antena (13) e, finalmente, entre a antena e

o suporte. Em todos os casos acima, o efeito foi considerado em ambos

os sentidos. Apenas a sombra das faces superior e inferior nas pequ~

nas antenas (18 e 19, respectivamente) foi considerada somente neste

sentido. As laterais, por serem planas e nunca estarem cobertas, nao

foram subdivididas em elementos na integração numerica. Cada um dos ci

lindros do satelite (14 a 19) foi dividido em 80 partes.

Finalmente, nas Seções 7.2, 7.3 e 7.4 procede-se a o~

tenção e anãlise dos coeficientes das forças equacionadas. Na Seção 7.5

verifica-se o comportamento dessas forças ao longo de uma órbita.

7.2 - COEFICIENTES AERODINAMICOS

A fim de caracterizar a direção da velocidade do sateli

te no seu sistema, XSysZs, definem-se os âng~los uA e SA (Figura 7.2)'denominados respectivamente ângulo de ataque e ângulo de guinada.

DeVido ao formato octagonal predominante na geometria

do satelite, espera-se uma variação periódica dos coeficientes com SA'

Alem disso, o periodo deverã ser de 450 e não pode rã existir diferença

substancial entre um periodo e outro, jã que a unica assimetria do s~

telite são as pequenas antenas 18 e 19, cuja influência deve rã ser qu~

se imperceptivel. A Figura 7.3, que apresenta o coeficiente de arrasto

aerodinâmico em função do ângulo SA para diferentes valores de s, co~

firma esta variação periódica. Note-se nesta figura que o valor mãximo

de CDA ocorre quando SA e igual a 22,50 + k 450, onde k = 1,2, 3,

Isto porem não serã sempre vãlido, pois o valor dos coeficientes de

transferência de quantidade de movimento, o e o', unitãrios na Figura

7.3, muda a posição deste mãximo. De fato, como pode ser visto nas Fi

guras 7.4 e 7.5, que fornecem CDA em função de s para alguns valores

- 72 -

de o e 01, ocorre uma inflexão em COA para o e 01 aproximadamente iguais

a 0,18. Valores menores que este terão COA mãximos em SA iguais a k 450

(k = 1, 2, 3, ••• ). Note-se tambem nestas figuras que COA aumenta co~

forme o e o' diminuem, ou seja, quanto mais especular for a colisão en

tre moleculas e satelite, maior serã o arrasto. Isto sem duvida se de

ve ao formato quase cilindrico do satel ite, no qual o coeficiente aumen

ta quando o tipo de reflexão muda de difuso para especular, como pode

ser visto nos resultados do Apêndice A •

•1·.

x

Fig. 7.2 - Angulos QA e SA no sistemado satelite.

2.64

2.56

«OU 2.48

WI--

~ 2.40•.....

•.....

I.L 2.32WOU

2.24

- 73 -

25.

AtJGULO BA EM GRAUS

s

4.

5

6

7

8

.,..~10

50.

Fig. 7.3 - Coeficiente de arrasto aerodinâmico, como função do ângulo

BA, para alguns valores da razão de velocidades s.

2.800

« 2.720OU 2.640OI--cn 2.560«o:::

~ 2.480

WO 2.400.

I.L 2.320WOU 2.240

2.1604.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.S 7.0 7.S 8.0 8.5

RAZAO DE VELOCIDADES s

0:::0'

o

0.25

0.5

0.75.

1.0

9.0 9.5 10.0

Fig. 7.4 - Coeficiente de arr~sto, CDA, em função da razão de velocidades s e de o e o' (angulos Cle ataque nulos: aA = BA = O).

«ClUoI- 2.6Cf)«o::::

o::::«wO2•4

LLWOU

2.24.0

- 74 -

0=0'o

0.25

0.5

0.75

1.0

( t16.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0''''

RAZAO DE VELOCIDADES 5

Fig. 7.5 - Coeficiente de arrasto, em função de s com a e o' variando

de O a 1 (ângulos de ataque: QA=O, SA=22,SO e Tw/Ti=1).

Adotando-se o e a' unitãrios,'nas Figuras 7.6 e 7.7, i~

vestigou-se a variação de CDA com o ângulo de ataque QA para al~uns v~

lores da razão de velocidades s, que correspondem a altitudes de apr~

ximadamente 300 a 900 km em órbita circuiar. Na Figura 7.6 o ângulo SA

vale 00, e na Figura 7.7, 22,SP. Em ambos, o m;nimo coeficiente de a!

rasto para qualquer razão de velocidades ocorre nos extremos de nA' ou

seja, _900 e 900• Exi stem tambem doi s pontos de máximo para QA = _300 e

QA = 300 aproximadamente, com um minimo local perto,de 00• AFigura 7.8

confirma a pouca influência da razão de temperaturas, TwfTi no arrasto,

conforme foi dito na 3eçã03.3.

- 75 -

2.8

« 2.6ClU02•4I-cn

~ 2.2o:::«

2.0WCl

• 1.8l.LLJ'

CJU 1.6

s

4

5

6

16

1~

1.4-90. -60. -30. 30. 60. 90.

ANGULO QAEM GRAUS

Fig. 7.6 - Coeficiente COA em função do ângulo UA e da razão

de velocidades S(BA = O~ o = o' = Tw/Ti = 1).

2.8

« 2.6ClU02•4I-cn

~ 2.2o:::«

2.0WCl

• 1.8l.LWOU 1.6

S

4

5·

6

769

10

1. <4-90.

ANGULO QA EM GRAUS

60. 90.

Fig. 7.7 - Coeficiente de arrasto aerodinâmico em função de

QA e s(SA = 22,50 e o = o' = TwfTi= 1).

- 76 -

2.640

« 2.560O(.)

02.480r-(f)

~ 2.400n:::«

2.320WO• 2.240

l.L.WO(.)2.160

2.0804.0 4.5 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 7.5 8.0 8.5

RAZAO DE VELOCIDADES s

1.0

0.13

0-6O.~0.2

9.0 9.5 10.0

Fig. 7.8 - Variação de COA com s e Tw/Ti (aA = Oso

BA = 22s50 e a = 01 = 1).

Os coeficientes de torque dados pelas Equações 3.26s3.27

e 3.28 foram obtidos no sistema do sat~lite e em relação ao centro de

massa. Verifica-se na Figura 7.9 que o centro de pressões se localiza

acima do centro de massas em virtude da influência do mastros o que re

sulta em um torque liegativo no eixo yS para BA = 00. Entretantos o tor

que aerodinâmico pouco varia com a razão de velocidadess sendo mais d~

pendente do ângulo uA• A resultante do torque atua praticamente no

plano formado pelos eixos XSySs pois a componente no eixo ZSs causada

somente pelas antenas 18 e 19, possui uma ordem de grandeza 3 vezes in

ferior ã resultante. As Figuras 7.10,' 7.11 e 7.12 mostram a V!

riação quase senoida 1 do coeficiente de torque nos eixos XSs yS e ZS re~

pectivamente, com o ângulo BA• Verifica-se, no caso, a pouca influê~

cia do formato octagonal (que deveria super-por ao coeficiente uma outra

variação senoidal com periodo de 45°) em detrimento da do mastros cujo

centro de pressão se encontra muito mais afastado do centro de massa

que o corpo prismãtico do sat~lite.

- 77 -

0.0>-<C1:Ü -0.4

W::::> -0.8Oo:::

0-1.2I-w0-1.6

LL -2. OWOÜ -2.4

-2.8-90. -60. -30. O. 30. 60. 90.

ANGULO aA EM GRAUS

Fig. 7.9 - Coeficiente de torque no eixo yS do satélite, em função do

ân~ulo aA e de s, para aA = O e a = ai = Tw/Ti = 1.

3.0

x<CL:Ü 1.5

W::::>

Oo:::

O 0.0I-wO

LL-l.5WOÜ

-3.0O. 60. 120. 180. 240. 300. 360.

ANGULO aA EM GRAUS

Fig. 7.10 - Coeficiente de torque no eixo XS em função de

aA e de aA (a = ai = Tw/T; = 1, S = 6).

- 78 -

>­«L:ü 1.5

W:Jao::o 0.0.-wo.

IJ... -1 .5Woü

-3.0o. 60.

ANGULO "BA EM GRAUS

360.

Fig. 7.11 - Coeficiente de torque aerodinâmico CMAY no eixo yS em

função de BA e ~A (s = 6t a = a' = Tw/Ti = 1).

75 • 10-4.

N 50«L:üW 25:Joo::o.-W

0':'25

IJ...

WO-50Ü

-75.O. 60. 120. 180. 240.

6030

-60

o

360.

ANGULO BA EM GRAUS

Fig~ 7.12 - Coeficiente de torque no eixo ZS em função de

BA e ~A (s = 6t TwfTi= 1 e a = a' = 1).

• 79 -

7.3 - COEFICIENTE DE FORCA DE RADIACAO

A radiação solar direta, ao incidir no satelite, pode

fazê-lo sob ângulos maiores que no caso aerodinâmico, cujo vetor vel~

cidade estã sempre próximo ao plano XSys devido ã estabilização do s~

telite. Os âhgulos de incidência aR e 8R (Figura 7.13) fornecerão a dl

reção do Sol no sistema do satelite, e, pelo exposto acima, aR deverã

variar de - 900 a 900 para que se possa ter uma total representação dos

coeficientes de força e torque de radiação.

Fig. 7.13 - Angulos de incidência aR e 8R da radiaçãosolar no sistema do satelite.

t importante salientar que esse tipo de estabilização,

por gradiente de gravidade, tenta sempre anular a rotação própria .do

satelite em qualquer eixo que não seja perpendicular ã órbita, yO. Co

mo existem dissipações internas da energia rotacional do satelite, pr~

ticamente cessa o movimento do satelite com respeito ao sistema orbi

~al, decorrido um certo intervalo de tempo após o lançamento. Assim,

uma superficie que estiver exposta ã radiação solar terãtempo suficie~

te para se aquecer, enquanto as superficies encobertas irão se resfriar

- 80 -

bastante antes de serem novamente iluminadas. A hipõtesedesuperfrcies

adiabáticas, conforme definida na Seção 4.2, será então aproximadame~

te verdadeira; neste caso, o coeficiente v da Equação 4.20 será adota

do unitário.

De inrcio, nota-se na Figura 7.14, a pequena influência

da periodicidade em SR no coeficiente de força de radiação, CRS' dado

pela Equação 4.28.

-60.

o<u<•....•1.4C<o::

wC 1.3<Uo::oI.L.

1.2

I.L.WoU

101-90. 30. 90.

ANGULO aR EM GRAUS

Fig. 7.14 - Coeficiente de força de radiação em função dos ãngulos

aR e SR (coeficiente de reflexão: y = p = 0,7).

Entretanto, a co~figuração desta curva depende essencial

mente dos valores de y e p, reflectãncia e parcela especular da refle,E.

tãncia, respectivamente (no caso, y = p = 0,7). t provável, porem, que

y será inferior a este valor, pois tenco o satelite 60% de sua área c~

berta por celulas solares, a reflectãncia media deverá estar próxima

do valor das celulas, o qual varia de 0,05 a 0,15 (Wolf, 1971). Na Fi

- 81 -

gura 7.15 nota-se a periodicidade em 8R, e, como era de se esperar, o

coeficiente de força de radiação, CRS' tem diminuido sua ampl itude qua~

do aR se aproxima de seus extremos. As Figuras 7.16, 7.17 e 7.18 forn~

cem as componentes do coeficiente de força de radiação nos três eixos

do sistema do sat~lite, XSysZs, respectivamente, onde se nota a total

independência da força no eixo ZS com variação em 8R. A influência de

y e p foi estudada nas Figuras 7.19 e 7.20. Note-se aqui que a refle

xão especular (y = p = 1) resulta em coeficientes menores que a difusa

(y = 1, p = O), exceto para valores acentuados de aR' quando a influên

cia da face plana superior (9) ou inferior (11) se sobrepõe ao formato

qua~e cilindrico do sat~lite. As componentes do coeficiente de radi~

ção da Figura 7.20 são mostradas nas Figuras 7.21, 7.22 e 7.23, em fun

çao do ângulo de incidência aR.

60

-6 o

50.25.o.-25.

U­WO(.)

t .20 .-50.

o<(.)«c< 1.36o:::

WC<(.)o:::0'•28U-

ANGULO 8R EM GRAUS

Fig. 7.15 - Coeficiente de força de radiação em função de 8R,

para alguns valores de aR (y = p = 0,7).

- 82 -

0.00

f)X -0.25ELJJ

0-0.50«U«C;-0.75«o:::

LJJ -1 .00O

LL. 1.25LJJO

)-1.50

-90. -60. -30. o. 30. 90.

ANGULO aR EM GRAUS

.'

Fig. 7.16 - Componente do coeficiente de força de radiação no eixo

XS, em função de aR e 13R, para y = p = 0,7:.

0.00

f) -0.08>-

ELJJ -0.16

O« -0.24u«•.•.•-0.32C«o:: .-0.40LJJo

-0.48

LL.

LJJ -0.56o(.)

-0.64-90. -60. - o. O. 30. 90.

ANGULO aR EM GRAUS

Fig. 7.17 - Componente do coeficiente de força de radiação no eixo

yS, em função dos ângulos aR e 13R, para y = p = 0,7.

I)N 0.8

ELU 0.4O «(.) 0.0« -O« -0.4o:::LU0-0.8

lJ...LU -1.2O(.)

-t.6-90.

- 83 .-

ANGULO aR EM GRAUS

90.

Fig. 7.18 - Coeficiente de força de radiação no eixo ZS em função dos

ângulos aR e BR (reflectância e parcela e~pecular: y=p=O,7).

'.,;

O« .6(.)«-O 1.5«o:::

LU 1.4O« 1.3(.)o:::OlJ... 1 .2

lJ...LU ·.tO(.)

100-90. -60. -30. o.

y

90.

ANGULO aR EM GRAUS

Fig. 7.19 - Influência da reflectância y no coeficiente de

radiação em função de" aR (BR = 22,50 e p = 0,5).

90.

- 84 -

1.8

O<(.)1.6<....C<a::: 1.4UJC<(.)1.2a:::OlJ..

• 1 O

lJ...UJO(.)0.8-90.

-60. o.30.60.

ANGULO

aREMGRAUS

Fig. 7.20 - Influência de y no coeficiente de força de radiação em

função do ângulo aR (SR = 22,50 e p = 1,0). .

0.0

11)

XEUJ

O -o.S<(.)<....C<a:::

UJ-1.0C

-60.

ANGULO aR EM GRAUS

Fig. 7.21 - Componente do coeficiente de radiação no eixo XS

em função de aR e y (SR = 22~5° e p = 1,0).

- 85·-

0.00

I) -0.08>-

1:W -0.16

O< -0.24O<~ -0.32<a::: -0.40WO

-0.48

u...

~ -0.S6O

-0.64-90. -60. -30. o. 30. 60. 90.

ANGULO aR EM GRAUS

Fig. 7.22 - Coeficiente de radiação projetado no eixo yS, em função

de aR' para alguns valores de y (SR = l2,50 e p = 1,0).

,.S

I)

N '.01:W

o o.s<O<~ 0.0<a:::

w -o.sO

u... -, .0woO

-1.5-90. -60.

y

-30.

o

0.2

0.4

o. 30. 60. 90.

ANGULO aR EM GRAUS

Fig. 7.23 - Componente no eixo ZS.do coeficiente de radiação em

função de aR e y (SR = 22,50 e p = 1,0).

- 86 -

Os coeficientes de torque de radiação, definidos nas

Equações 4.30, 4.31 e 4.32, foram analisados nas Figuras 7.24 a 7.28.

Novamente se nota a pequena influência da periodicidade em 8R nos tor

ques e, devido ã grande simetria do satelite com relação ao eixo ZS,

praticamente pode-se desprezar o torque neste ~ixo, pois possui magn1

tude três vezes menor que os demais. As Figuras 7.24 e 7.25, aprese~

tam o comportamento do coeficiente de torque nos eixos XS e yS, respe~

tivamente, em função de aR. O efeito da assimetria introduzido pelas

pequenas antenas 18,e 19 pode ser visto ,nas Figuras 7.26 e 7.28, embo

ras a precisão dos cilcul~s, comprom~tida pela dificuldade na model!

gem das áreas encobertas, CSejaaproximadó.;nente da mesma ordem de . gra!!

deza destes coeficientes, o que os torna, portanto, pouco significati

vos. Nota-se na Figura 7.27 que o tipo de reflexão, especular ou difu

sa, pouco altera o torque de radiação e que, como no caso aerodinâmico,

o centro de pressões da força de radiação localiza-se acima do centro

de massa, o que provoca um torque sempre negativo no eixoYs quando

aR = O.

1.75

I)

1.50X•1.25C 4(o::: 1.00W o

W

0.75

::::>o 0.50o::: ot- 0.25

LI..W

0.00o (.)-0.25

-30.-90. -60.

o.-

ANGULO aR EM GRAUS

Fig. 7.24 - Coeficiente de'tórque'de radiação no eixo XS,

em função de aR e 8R (y = 0',7 e p = 0,7).

- 87 -

90

o.-30.-60.

lJ..W -1.50OU

-1.75-90.

0.25

I) 0.00>-

•

•C -0.25«o:::

-0.50WCW -0.75::>Oo::: -1 .00Of-

-1.25

ANGULO aR EM GRAUS

Fig. 7.25 - Componente do coeficiente de torque de radiação no eixo

yS em função de aR e SR (y = p = 0,7) .

90.60.

. y .

-30.-60.

5

o

-5•

.,x

lJ..WoU

-10.-90.

C«o:::

wCw::>Oo:::Of-

ANGU' .. O aR' EM GRAUS

Fig. 7.26 - Coeficiente do torque de radiação

no eixo XS (SR = OO,p = 1,0).

- 88 -

90.30.o.-30.-60.

ft>- 0.0

U.lJJ -1 .SO<..>

-1.8-90.

•

~ -0.3o::::

lJJ -0.6O"lJJ::> -0.9Oo::::

Ot--l.2

ANGULO aR· EM GRAUS

Fig. 7.27 - Coeficiente do torque de radiação no eixo yS em função

do ângulo aR e de y (BR = 00 e p = 1tO).

ftN o

O -6«o::::

lJJ-12Ol.1J

::>-18O .o::::

O•...•-2~

U.l.1J -30O<..>

-36-90. -60. -30. o. 30. 90.

Fig. 7.28 -

ANGULO aR EM GRAUS

Coeficiente do torque de radiação no eixo ZS em

função de aR e y (SR = 00 e p = 1tO).

- 89 -

A análise dos coeficientes de força devidos ao albedo e

ã radiação terrestre torna-se complexa em virtude das inumeras config~

rações possiveis para o sistema satelite-Terra-Sol. Para reduzir esse

numero de configurações, admitiu-se que o ângulo 80 (Figura 2.4), que

relaciona o sistema do albedo com o sistema orbital, e nulo. Assim, e~

tes dois sistemas ficarão coincidentes, sem perda de general idade, pois

o sistema do sa~elite continua com três graus de liberdade, atraves

das rotações angulares ~s' 8s e .s (Figura 7.29).

Fig. 7.29 - ~ngulos de rotação ~s' 8s e .s no sistema do albedo.

Os coeficientes de força do albedo nas direções verti

cal e horizontal, dados respectivamente pelas Equações 4.60e 4.61, são

vistos nas Figuras 7.30 e 7.31 em função do ângulo 8 , formado pela dio -

reção do Sol e pelo eixo Za, para algumas altitudes entre 500e800 km.

Para 80 ~aior que 900, as forças devidJ(s ao albedo praticamente se an~

lam, pois a região visivel ingressa na sombra da Terra. Note-se tambem

que o coeficiente horizontal do albedo, alem de ser no caso negativo

(indica que a força atua no sentido contrário a ya), e sensivelmente

menor, em mõdulo/ que a componente vertical para ~ = 8 =. = O. Atins s s

- 90 -

ge seu ponto de mãximo valor em módulo para valores de 80 próximos a

700, sendo nula em 80 = 00 por simetria e em 80 > 100~ por se encontrar

na sombra da Terra. Desta forma, a resultante das forças devida ao al

bedo mantem-se sempre próxima da vertical, mesmo para altos valores de

80. Nas Figuras 7.32, 7.33, 7.34 e 7.35 e ,vista a influência do ângulo

$ nos coeficientes vertical e horizontal em função de e e e paras o s

,$s = 00 e ~s = 900. Verificou-se que a resultante no satelite pouco v~

ria com os ângulos de atitude, 8s'e $s' pois a radiação incide no sate

lite subentendida num grande ângulo sóli~o, que e a região iluminada,

o que provoca uma resultante quase cOnstante.

h (km)

1.05

(tiN0.90

:L.W

00•75oW

~ 0.60<< 0.45Uo:::o!.L 0.30

lJ...

W 0.15o<...:>

0.00o. 30. 60. 90.

ANGULO 80 EM GRAUS

Fig. 7.30 - Componente do coeficiente de força doalbedo na direção de ZS em função de

80 e da ~ltitude h (y = p = 0,7).

120.

- 91 -

10-3•15 •

o

10

>-

LW

O0-15Wm...J< -30<(.)a:::0-45lJ..

lJ.. -60WO(.)

-75.O.

h (km)

30. 60. 90.

ANGULO aO EM GRAUS

120.

Fig. 7.31 - Coeficiente do albedo na direção horizontal, yS, em

função de aoede h (~s = as == 1)Is= Oey = p = 0,7).

1.20

lU

N 1.051:W 0.90oCWO.75m...J< 0.60<(.)a:::o. 4SoLI..

0.30

LI..

~ 0.15(.)

0.00o.

-60

~. ~. ~.ANGUlO 60 EM GRAUS

Fig. 7.32 - Componente vertical do coeficiente do albedo em função

de ao e as (y = p = 0,7, ~s = 1)Is= O e h = 700 km).

- 92 -

11>-

1:LtJ

ooLtJm-'<~ -0.03o:::OlJ.. -0.06

lJ..LtJ -0.09O(.)

-o. 12o.

30. 60. 90.

ANGU:"'O 80 EM GRAUS120.

Fig. 7.33 - Componente horizontal do coeficiente do· albedo em função

de 80 e 8s (~s = $s = O; y = p = Ot7 e h = 700 km).

60. 90.EM GRAUS

11N1:LtJ

.000.8LtJm-'<<(.)o:::0°·4lJ..

lJ..LtJo(.)

0.0o. 30.

ANGULO 80

120.

Fig. 7.34 - Componente vertical do coeficiente do albedo em função

de ao e as ($s = Ot <Ps = 900ty=·p = Ot7 e h = 700 km).

- 93 -

IJ>-

ElJJ

O0-25lJJCD...J««uo:::O-50l.L..

~J...

UJOU

-75.o. 30. 60. 90.

ANGULO 60 EM GRAUS

120.

Fig. 7.35 - Componente horizontal .do coeficiente do albedo em função

de 80 e 6s (y = p = 0,7; ~s = 600; ~s = O e h = 700 km).

Quanto ã reemissão terrestre, a Figura 7.36 mostra a i~

fluência da altitude no coeficiente vertical da radiação terrestre, o~

de se verifica que seus efeitos são pequenos (Seção 4.1). A variação

dos coeficientes vertical e horizontal, dados pelas Equações 4.68 e

4.69, em função do ângulo 8s ê mostrada nas Figuras 7.37 e 7.38. Not~

-se que o ângulo ~s pouco influi no coeficiente vertical, da mesma for

ma que a componente da radiação solar direta no eixo ZS não varia com

aR (Figura 7.18).

- 94 -

80 (Y+200.). 10-3•

750.600. 650. 700.ALTITUDE EM KM

550.

IJN~ 72W

Wa::: 64J-C/)Wo:: 56o::WJ-

•C 48<a::

lL. 40WO(.)

32.500.

Fig. 7.36 - Coeficiente vertical da radiação terrestre em função ide h e do ângulo 8s (y = p = 0~7; .s = ~s = 00).

75 (Y+200.)' 10-3•

lU

N 70~W

W 6So::J-C/) 60Wo::o::w SSJ-c<: soo::

lL.W 45o(.)

40-60. -30. O. 30.

ANGULO 8s EM GRAUS

60.

Fig. 7.37 - Componente vertical do coeficiente de radiação terrestre

em função de 8 e ~s (h = 700 km;. = O e y = p = 0,7).s . s

- 95 ,..

60.

1/1s = o - 30

-30. O. 30.

ANGULO 6s EM GRAUS

10-3•30 •ID

>-1:LU 15

LU o:::~U)LUo:::Oo::: LU~

o<:0:::-15

l.L.LUOU

-30.-60.

Fig. 7.38 - Coeficiente horizontal da radiação terrestre em função de

as e 1/1s (h = 700 km; ~s = O e y = p = O~7).

7.4 - COEFICIENTES DO TORQUE DE GRADIENTE DE GRAVIDADE

Devido 'ã previa adoção da estab~lização do satelite e~

"perimental por gradiente de gravidade, fica óbvio que este tipo de to.!:.

que deverã possuir uma resultante que se sobreponha aos demais torques,

de modo a garantir uma precisão preestabelecida de alinhamento ent~e o

eixo ZS e a vertical local. Embora diminuindo rapidamente com a distâ~

cia ao centro da Terra, o torque de gradiente de gravidade, como sera

visto, se mantem superior ao torque aerodinâmico acima dos 400 km de

,altitude, embora sõ a partir dos 500 km garanta um razoãvel alinhamen

to com a vertical (aproximadamente 30).

Os coeficientes do torque de gradiente de gravidade es

tão mostrados nas Figuras 7.40, 7.41 e 7.42, nos eixos XS, yS e ZS,

respectivamente, em função dos ângulos aG e SG' mostrados na Figura

7.39, que fornecem a direção do zênite local no sistema do satel.:!.

te. Como os produtos de inercia I~y' I~z e I~z adotados para este

- 96 -

satel ite são pequenos quando comparados com os momentos de inercia I~x ~

I~y e 1~z~ dados pelas Equações 7.1a a 7.1f~ o tensor de inerciaeapro

ximadamente igual ao tensor principal de inercia. Assim~ os "eixos pri~

cipais praticamente coincidem com o sistema geometrico XSysZs do sate

lite~ e este se comportarã então como se tivesse uma distribuição de

massa anãloga ã de um halteres~ cujo eixo coincide com o eixo Zs. De

fato~ não se nota nas Figuras 7.40 e 7:41 a influência dos produtos de

inercia~ que deslocam os pontos onde o coeficiente de torque se anula

para valores de uG bastante próximos a - 900, 00 e 900, mas não exata

mente iguais. Jã na Figura 7.42~ o coeficiente do torque de gradiente

de gravidade no eixo ZS é resultado dos produtos de inércia e da dife

rença entre 1yS e 1S , de acordo com a Equação 5.8. Sua magnitude é pory ~ -

tanto bastante reduzida~ pois 1~y é pouco maior que 1~x' o que resulta

em um coeficiente mãximo aproximadamente 500 vezes menor que nos demais

eixos.

z~

~s

Fig. 7.39 - Angulos uG e 8G que fornecem a direção do versorTerra-satelite no sistema do satélite.

- 97 ,.

o - 180

45 -

1.6

f)XElJ.J 0.8

>«o:::

C> 0.0

a«o:::C>

-0.8

LL..lJ.JoU

-1 .6-90. -60.

90

-30. O. 30.ANGULO CtG EM GRAUS

60. 90.

Fig. 7.40 - Coeficiente do torque de gradiente de gravidade no eixo

XS em !unção da direção do zênite local, CtG e 8G.

1.6

fi)>-

ElJ.J 0.8

>«o:::

C> 0.0

a«o:::C>

-0.8

LL..lJ.JoU

-1.1-90. -60. -30. O. 30.

ANGULO CtG EM GPAUS

60. 90.

Fig. 7.41 - Coeficiente de torque de gradiente de gravidade no

eixo yS em função dos ângulo CtG e 8G•

- 98 -

f)N

~ 2

>«o:::

" O

CI«o:::C>

-2

LLWOU

-4.-90. -60. -30. O. 30.

ANGULO cxG EM GRAUS

60. 90.

Fig. 7.42 - Coeficiente de torque no eixo ZSt devido ao gradiente

de gravidadet em função de cxG e 8G•

7.5 - FORÇAS E TORQUES AO LONGO DE UMA GRBITA

A análise das forças e torques que atuam neste satélite

durante uma órbita é essencial para se tert em primeiro lugart a gra~

deza relativa de cada uma das forçast desprezando-se assim as menos i~

fluentes. Obtidas as forçast pode-se integrá-las ao longo de uma órbi

tat de forma a obter as variações causadas nos elementos orbitais. Pa

ra tantot nas figuras as forças foram fornecidas não no sistema do sa

télitet mas sim no sistema orbitalt a fim de facilitar a obtenção des

sas variações.

As principais caracterlsticas e elementos orbitais do

satelite foram admitidos nas condições l)t 2)t 3) e 4) da S~ção ~1. Os

valores adotados para 0t o' e Tw/Ti foram unitários ao passo que será

utilizado y = p = Ot7. Embora as forças variem pouco com a orientação

do satelite (aproximadamente 14% para a força aerodinâmica com s = 6)t

os torques dependerão essencialmente da atitude cons iderada. Como o ma~

.tro deverá alinhar-se sempre próximo ã vertical local ao longo da órbi

- 99 -

ta, e visto que não existe aparentemente um valor preferencial para o

ângulo de guinada, adotar-se-ã para fins de anãlise a seguinte orienta

cão: $s = 8s = ~s = 00 (Figura 7.43) com relação ao sistema orbital.

Neste caso os dois sistemas - orbital e do satelite - estarão sempre

coincidentes.

Fig. 7.43 - ~ngulos de atitude ~s' 8S e ~s comrelação ao sistema orbital.

A densidade, massa mo1ecular media e temperatura local

da atmosfera foram computados na sub-rotina ADEN, constr:.Jidapor Jacchia

(1972) e listada no COSPAR (1972). Finalmente, o vetar Terra-Sol foi

obtido numericamente em função da data, utilizando-se o modelo propos

to por F1andern and Pu1kkinen (1979), e implantado por Medeiros e Kuga

(1980) •

Escolheu-se inicialmente para ascensão reta do nodo a~cendente n = O, de forma a resultar em uma órbita cujo plano formasse

~om o plano da eclitica um ângulo minimo, igual ã diferença entre a

ob1iquidade da ec1itica e a inclinação da órbita, ou seja, 1,450•

- 100 -

Com essa configuração, o Sol encontra-se praticamente no

plano orbital, conforme pode ser visto na Figura 7.44 cuja ascensão re

ta e declinação são dadas respectivamente por (figura 2.2):

o00 = 256,25 ,

°00 = -22,84 .

Fig. 7.44 - Configuração entre o plano orbital e aeclTtica para st = OOest = 180°.

(7.9)

(7.10)

Isto quer dizer que a resultante da fvrça de radiação

solar estará atuando quase no plano orbital, ou seja, terá"suas mai~

res componentes nos eixos XO e ZO, do sistema orbital. Dessa forma po

de-se comparar melhor sua magnitude com a força aerodinâmica predomi

nante no eixo XO• Outro caso singular ocorre quando a ascensão reta do

nodo for 1800, onde o ângulo entre o plano da órbita e o plano da ecli

tica e máximo (aproxim~damente 45,50). Note-se' porem que, devido ã pr~

cessão do nodo ascendente causada pelo achatamento da Terra, os extre

mos st= 00 e st = 180° estão separados en.tre si. por apenas 30 dias,apro

ximadamente, numa órbita a 700 km de altura (Escobal, 1965).

- 101 -

Inicialmente foi simulada uma órbita com os elementos

adotados na Seção 7.1 e com n = 00; a seguir traçaram-se os grãficos

das componentes da força e do torque, obtidos com a utilização do pr~

grama desenvolvido.

Nas forças mostradas nas Figuras 7.45, 7.46 e 7.47, 0E.

serva-se que a resultante da radiação solar atua praticamente no plano

XO e ZO, cujo módulo, embora maior, possui a mesma magnitude da força

aerodinâmica. Esta ultima, como era esperado, atua basicamente no se~

tido contrãrio ao eixo XO e, .comb pode ser visto na Figura 7.43, varia

periodicamente ao longo da órbita. Essa variação é causada pela muda~

ça na densidade atmosférica local, que, por sua vez, depende essencial

mente da hora solar local (ângulo formado pelas projeções dos raios v~

tores do satélite e do Sol no plano do equador) (Jacchia, 1977). Note

-se também que a força de radiação solar é simétrica COIII relação ã ori

gem; por isso, mesmo sendo maior que ~ aerodinâmica, seus efeitos na

variação dos elementos orbitais são menores, pois não possuem efeitos

cumulativos como-esta ultima. O albedo e a radiaçãQterrestre, comode~

critos na Seção 4.1, possuem uma fôrça que atua praticamente na verti

cal, ou seja, no sentido positivo do eixo ZO (Figura 7.47).

Quanto aos torques, mostrados nas Figuras 7.48, 7.49 e

7.50, nota-se de inicio a predominância do torque de gradiente de gra

vidade sobre os demais, pois o simples fato de o tensor de inércia do

satélite não ser totalmente diagonal provoca um torque da mesma magn~

tude que os outros. Note-se também que, com essa geometria de órbita,

os torques surgem quase totalmente no eixo yO, perpendicular ao plano

da órbita (Figura 7.49). Podem-se considerar, neste caso, os torques

nos outros eixos pouco significativos, pois possivelmente os de outras

fontes, indicadas na Seção 6.6, serão maiores que estes.

- 102 -

'10-7•7S •

zE

radiaçãsolarwo

Sx o

\albedox

o•...• W/~ I,

o Z -25,

, ~I

(.)o:: -50oLL

-75.

o.100.200.JOO.400.

ANOMALIAi'1EDIAEMGRAUS

Fig. 7.45 - Forças em N no eixo XO com os elementos orbitais· iguais a:a = 7128 km (h = 750 km); n = O; e = 0,007; i = 220; w = 14,10.

zEW

o I>-

oX-W

oz o-:((.)o::::oLL

-Io. 100. 200. 300.

ANOMALIA MEDIA EM GRAUS400.

Fig. 7.46 - Forças em N no eixo yO, perpendícular ao plano orbital(a = 7128 km, e = 0,007, i = 22°, n = 0° e w = 14,30).

- 103 -

oNOX -25•...•LU

OZ<: -50(.)a:::OIJ..

zELU

10-7.25 •

r.t.

o

-75.O. 100 • 200. 300.

ANOMALIA MEDIA EM GRAUS400.

Fig. 7.47 - Forças no eixo ZO (elementos orbitais: a = 7128 km,e = 0,007, i = 220, n = 00 e w = 14,30).

10-7•I ••

EzE oIJJ

f)

X -1OX•...•IJJ

-2OZlú::> -3ca:::OI-

-4O.

.r.'t.

g..g.

. 100 • 200 • 300 •

ANOMALIA MEDIA EM GRAUS400.

Fig. 7.48 - Torques em Nm no eixo XS do sistema do satel ite (orientação

com relação ao sistema orbital: ~s = as = ~s = O).

- 104 -

9.10-6•

o

Ez 6E IJ.J

f)

3>-

•....

IJ.J

OZ -3IJ.J

:::l0-6a:::OJ- -9.O.100.200.300.400.

ANOMALIAMED"IAEMGRAUS

Fig. 7.49 - Torques em Nmno eixo yS do sistema do satel ite (orientaçãocom relação ao sistema orbital: ~s = 6s = ~s = O).

0-918 • 1 •

o

EzEIJ.J

f)N"OX•....W

OZW:::l0-12a:::OJ-

-18.O.

9·9·

100• 200. 300 •

ANOMALIA MEDIA EM GRAUS400.

Fig. 7.50 - Torquesem Nmno eixo ZS (orientação do satelitecomrelaçãoao sistema orbital dada por: ~s ="6s = ~s = O).

- 105 -

Adotando-se agora a segunda configuração com n = 1800,

foram traçadas as Figuras 7.51 a 7.53 das forças e as Figuras 7.54 a

7.56 dos torques. Observa-se que as componentes da força de radiação

solar possuem a mesma magnitude nos três eixos do sistema orbital; no

eixo XO a força aerodinâmica continua predominante. Nos demais eixos,

entretanto, a radiação direta domina, e sõ se observa a presença do al

bedo e da radiação terrestre no eixo ZO (Figura 7.53). Os torques ne~

ta segunda configuração, seguindo a analogia das forças, são sempre m~

nores que o torque de radiação. Entretanto não deve ser esquecido que,

segundo proposto, o satelite encontra-se estabilizado, o que resulta

em um torque quase nulo do gradiente de gravidade. Apenas no tnrque do

eixo yS, da Figura 7.55, nota-se a influência do aerodinâmico, que pr~

cura desalinhar o mastro com relação ã vertical, ja que é sempre neg~

tivo em yS.

10-7.60 •

• 45Z

~ 30

oX 15

oX o-w0-15Z< -30(.)o::0-451.1-

-60.o.

Fig. 7.51

r s.

r.t.alo

100. 200. 300. 400.ANOMALIA MEDIA EM GRAUS

Forças em N no eixo XO (elementos orbitais: a = 7128 km,

e = 0,007, i = 220, n = 1800 e w = 14,30).

- 106 -

400.100. 200. 300.ANOMALIA MEDIA EM GRAUS

I II- --....-

-~r.s.

-

-

alo

-+

I-

aer.-III

• 48z~ 40

1 0-7.S6 •

-8o.

o>- 32

oX 24-Lú

016Z< 8(.)a::::

o olJ..

Fig. 7.52 - Forças em N no eixo yO (elementos orbitais: a = 7128 km,e = 0,007, i = 220, Q = 1800 e w = 14,3°).

10-7.2S •

zELú

.0 oNoX-Lú

oZ -25<(.)a::::olJ..

r.t.

-50O. 100. 200. 300.

ANOMALIA MEDIA EM GRAUS400.

Fig. 7.53 - Forças em N no eixo ZO (elementos orbitais: a = 7128 km,e = 0,007, i = 220, Q = 180° e w = 14,3°).

- 107 -

•

~ o

1:lJJ -1.,

X0-2X-lJJ -3

Oz-4

lJJ::>Oa::: -SOt-

-6O.

9·9·

r s.

100. 200. JOO.ANOMALIA MEDIA EM GRAUS

aer.

400.

Fig. 7.54 - Torques em Nm no eixo XS (ângulos de atitude com relação

ao sistema orbital: $s = 6s = ~s = 00).

100. 200. 300.ANOMALIA MEDIA EM GRAUS

400.

9·9·

10-7•60 •.L. 4Sz1:

30lJJ.,

>-'S

o x o

-60O.

-lJJ

0-15ZlJJ -JO::>oa::: -4Sot-

Fig. 7.55 - Torques em Nm no eixo yS do satelite (ân9~10s de atitu

de com relação ao sistema orbital: $s = 6s = ~s = 0).-

- 108 -

24.10-9 •

400.100. 200. 300.ANOMALIA MEDIA EM GRAUS

r. t.alo

g.g.

•Ez~ 16

-8.o.

.,NOX 8-W

OZW O::>O~OI-

Fig. 7.56 - Torques no eixo ZS em Nm (ângulos de atitude com relação

ao sistema xoyozo ~s = as = ~s = O).

Nas Figuras 7.57 a 7.60, as forças

XSe yS foram traçadas, alterando-se a altitude e

assumiram, respectivamente, os valores:

e torques nos eixos

a excentricidade que

h = 500 km, (7.11)

e = 0,0 , (7.12)

mantendo-se a ascensão reta no seu ITltimo valor~ 1800• Como pode ser

observado na Figura 7.57, a força aerodinâmica a essa altitude torn~

-se 10 vezes superior ã radiação solar. Entretanto o torque de gradie~

te de gravidade, com a orientação do satél ite. definida por cl>s= as = ~s=

O, não anula o efeito dos demais torques, principalmente o aerodinâm~

co; portanto o satélite não se encontra em equílibrio nesta posição.

De fato, para se atingir o ponto de equilibrio com um torque aerodinâ

mico médio sobre o eixo yO de

- 6' 0-5 ~sMA = - • I J

Nm,

- 109 -

(7.13)

de acordo com a Figura 7.60, bastaria que o mastro formasse com a .ver

tical um ângulo as de 30 aproximadamente, conforme a Figura 7.61. Esse

mesmo procedimento, quando feito ã altitude de 750 km, resulta num â~

gu16 de alguns minutos, inferior ao ângulo formado pelo eixo ZS e pelo

eixo associado ao menor momento de inercia do satel ite, e que vale 1,80

aproximadamente.

oX-2

ox-J-lJJ

0-4Z<-5uo::0-6lL.

-7.O. 100. 200. :500.

ANOMALIA MEDIA EM GRAUS400.

Fig. 7.57 - Forças no eixo XO em N (elementos orbitais: a = 6878 km,e = O, i = 220, w = 14,30, n = 1800 e h = 500 km). .

- 110 -

100. 200. 300. 400.ANOMALIA MEDIA EM GRAUS

r.s

r.t.

Z 5

~W 4

o >-O

3

X -W 2

O Z

-1.O.

«(.)o::O OlJ..

Fig. 7.58 - Forças em N no eixo yO (elementos orbitais: a = 6878 km(500 km de altitude), e = O, i = 220,n= 180°, w= 14,3°).

-W-3oZ

-4W:Joo:: -5o•....

-6O.

r.s

100. 200. JOO.ANOMALIA MEDIA EM GRAUS

400.

Fig. 7.59 - Torques em Nm no eixo XS do sistema do satilit~ (ingulos

de atjtude com relação a XoyoZo: ~s = as = ~s = O).

- 111 -

400.

r.t.alo

aer.

. .r ~s.

100. 200. 300.ANOMALIA MEDIA EM GRAUS

E OW

-8.O.

•Ez

11)

>- -2OX-W

-4OZW::> -6Ocre..;,...-

Fig. 7.60 - Torques em Nm no eixo yS' (ângulos de atitude com relaçâo

ao sistema XoyoZo ~s =8s = ~s = O e h = 500 km).

Fig. 7.61 - Ponto de equil,brio entre os torques aerodinâmicos e de

gradiente de gravidadet a 500 km de altitude.

CAPrTULO 8

COMENTARIOS E CONCLUSDES

As modelagens das forças e torques aerodinâmicos, de r~

diação, devidos albedo, ã radiação terrestre e do torque de gradiente

de gravidade aqui formuladas foram desenvolvidos computacionalmente. O

programa gerado mostrou-se bastante preciso, a despeito do imperfeito

conhecimento das caracterlsticas superficiais dos satelites e da difi

culdade de implantar a descrição" de sua geometria em termos computaci~

nais. Outras teorias, embora em certos casos garantam maior preclsao,

aumentam sobremaneira o grau de complexidade, alem de introduzirem coe

ficientes diflceis de serem obtidos experoimentalmente.

No entanto, os modelos empregados aqui dependem intri~

secamente da temperatura superficial "do satel ite e, portanto, de um pre

vio balanço térmico onde normalmente são feitas grandes aproximações,

em virtude da.dificuldade de obter a distribuição de temperatura em

função das inumeras variáveis envolvidas. A variação desta distribui

ção ao longo da estrutura do sat~lite pode provocar razoãveis alter~

ções nas forças d~ radiação, pequenas alterações nas forças aerodinâmi

cas, alterações quase nulas nas forças eletromagneticas e nenhum efei

to no torque de gradiente de gravidade. Outra dificuldade está em obter

valores reallsticos para os coeficientes de acomodação aerodinâmicos,

a e a', e para os coeficientes de reflexão de radiação, y e p. Nos po~

cos artigos onde estes coeficientes foram numericamente determinados,

não se encontram resultados aplicáveis diretamente às superflcies com~

mente utilizadas nos satelite, como, po~ exemplo, celulas solares.

De qualquer forma, o fato de determinar as forças a pa!

tir da geometria do satelite, melhora" sensivelmente resultados calcul~

dos com base em coeficientes considerados constantes, quando na reali

dade não o são. Mesmo para um ~álculo preliminar sem muita precisão, o

procedimento com coeficiente constante só será válido quando o sateli

te for altamente simetrico (uma esfera, por exemplo), ou possuir atitu

- 113· -

- 114 -

de perfeitamente definida ao longo da órbita. Em se tratando dos to~

ques, estes são altamente influenciados pela orientação do satelite,v~

riando rapidamente durante a fase de aquisição da atitude após o lanç~

mento. Por isso, sua obtenção por meio de coeficientes será válida ap~

nas numa primeira aproximação, quando os resultados não necessitarem

de grande precisão.

No caso do satelite utilizado na determinação das for

ças e torques, verificou-se que às forças de radiação e aerodinâmica

apresentam uma variação ciclica comperiodo de 450 no ângulo l/ls (Fig~

ra 7.43), devido ao formato octagonal do satelite. Este ângulo p.ode e.n

tretanto variar durante a õrbita, devido ao movimento residual de rota

ção do satelite em torno do eixo ZS (Figura 7.1). Obviamente esta rot~

ção deve ser suficientemente pequena para não impedir a captura do s~

telite pelo torque de gradiente de gravidade. No cálculo das perturb~

ções orbitais, a adoção de um valor medio para as forças durante um p~

riodo de 450 em l/lsfornece um resultado coerente na ausêncip de dados

a respeito do movi~~r.to em torno de Zs. Os torques, no entanto, por s!

rem provocados essencialmente pelo mastro cilindrico (15 da Figura 7.1),

praticament2 não apresentam essa, variação periódica. O mastro tambem

contribui adicionando um sign'ificativo arrasto aerodinâmico ao satel.i

te, devido ao seu grande comprimento. Provoca tambem um torque predom.i

nantemente perpendicular ao eixo ZS, que tende a desalinhá-lo da vert.i

cal. Na ausência de outros torques, o torque aerodinâmico será equil.i

brado pelo torque de gradiente de gravidade, de forma que a 700 km de

altitude e õrbita circular, o eixo ZS do satelite forme com a vertical

local um ângulo de 0,20, aproximarJamente.

"

De uma maneira geral pode-se dizer que, embora depende~

tes das caracteristicas e do formato, as forças aerodinâmicas para a

maioria dos sat~lites se mantêm significativas ate os 1000 km, ao pa~

so que os efeitos da radiação começam a ser sentidos a partir dos 400

km. Em satelites simetricos, onde os torques aerodinâmicos e de ra~ia

ção são pequenos, uma verificação da ordem de grandeza dos torques el!

tromagneticos tambem se faz necessária. O albedo ea radiação terrestre

- 115 -

serão determinados quando houver necessidade de maior precisão nas for

ças de radiação e, como estas, devem ser analisadas a partir dos 400

km. Uma investigação previa dos momentos de inercia do satelite forn~

cerã a ordem de grandeza do torque de gradiente de gravidade, indican

do ser ou não necessária a sua inclusão. Reforça-se novamente queoque

foi dito e válido para satelites tipicos, e naqueles que não se ajust~

rem a um valor medio deverá ser feita uma análise detalhada de cada ti

po de força e torque.

Finalmente sugere-se como continuidade o desenvolvimento

de ~Im programa computacional capaz de estimar, pelo menos aproximad~

mente, a temperatura dos elementos da superficie externa do satelite,

o que ajudaria a aumentar a precisão dos cálculos. Sob o mesmo ponto

de vista, a determinação experimental dos limites variacionais dos coe

ficientes de reflexão e acomodação viria a reduzir os casos a seren ana

lisados, alem de aumentar a confiabilidade dos resultados. Tambem sug~

re-se a inclusão do efeito do achatamento terrestre na determinação do

torque de gradiente de gravidade, para obter maior precisão nesse tor

que, principalmente em satelites estabilizados passivamente, como o ana

lisado no presente trabalho.

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APtNDICE A

INTEGRAÇAO ANALfTICA E TESTE DA lNTEGRAÇAO NUMtRICA

DO COEFICIENTE DE ARRASTO AERODIN~MICO

EM CORPOS SIMPLES

A integração analitica da Equação 3.24 num cilindro re

sulta em:6'

V-= r; e-s' lo(SI) + cos; a (2-0-01)[Io(SI) - h(S')] +

r <~/-J - -+ LO s2 + 0,5 (2 - ~) COS 2 a IIo (s·) + 11 (s I)J +

+ (2 - o - o') ~ Si cos 2 a [2 10 (s I) + 2 11 (s I) +

+ _1_. h(s 1 )J /i.R cos2" /~~ • (A.I)2s : 4~ 1I

onde 10 e 11 são as funções de Bessel modificadas, cujo argumento no

caso e

(A.2)2

e a e o ângulo de ataque ou ângulo de arfagem (Figura A.1), que forne

ce a dir~ção da velocidade GS no plano XSys.

A Tabela A.1 faz a comparação entre a integração numerl

ca num cilindro e os resultados calculados utilizando a Expressão A.1,

em função das variáveis envolvidas e do numero de partes em que fO'j di

vidido o cilindro na integração numerica, NUDI. Note-se que com apenas

10 divisões ja se tem precisão de do:js algarismos, enquanto para 50 di

visões a precisão e maior que 10-~, resultados compat;veis com os obti

dos por Boettcher and Legge (1980).

- A.1 -

- A.2 -

.,. --- . ...•

Fig. A.1 - Angulo de ataque a num cilindro.

A Figura A.2 mostra o numero de digitos significativos

no cãlculo do coeficiente de arrasto num cilindro, em função do numero

de divisões, utilizando-se dois valores diferentes de s, e com ângulo

d~ ataque nulo. Praticamente com 64 divisões a integração num~rica jã

atinge a precisão do computador: 11 digitos. Nota-se tambem na Tabela

A.1 que a variação mãxima sofrida pelo coeficiente de arrasto para â~

'gulo a nulo e de 20%, quando a reflexão passa de difusa para especular,

.com Tw/Ti = 0,5 e s = 4. Quando a razão de velocidades s for igual a

10, essa variação serã de 27%. Note-se tambem que, para este ângulo de

ataque, o arrasto na reflexão especular e maior que o obtido na refle

xão difusa. Este fato ocorre em corpos com formatos cilindricos ou se

melhantes. Contudo, para ângulos de ataque maiores que 200, aproximad~

mente, '0 arrasto difuso se torna maior que o especular.

A Expressão 3.24, quando integrada analiticamente numa

esfera, resulta em

COAe = _1_ (2 - o' + o) erf(S) (4s11 + 4s2 - 1) +

2S;2 2s Ire- 2 o' w

+ -- (2s2 T 1) + - - R -.R 3 s Ti(A.2)

- A.3 - .

I I II

a

=00

~

"-\

-'-'\ \.~

~"--s=10f-

\.,\I-

4-\s =~ \\

~,\

...

\~~~./"'A.. ,ArrN "v-I-

,,~ VVf-

III III10°

10-1

10-2

<10-3~ 10-4

~ 10-5

~ 10-6< 10-7

~ t 0-8cn 10-9t-f

U 10-10W0:::10-11Q..

10-12

10-' :5

10-1421

Fig. A.2 - Precisão do integrador numerico em funçãodo numero de divisões num cilindro.

A Tabela A.~ compara os resultados da integração numer~

ca numa esfera com os da Equação A.2, onde se neta a necessidade de um

numero maior de divisões para se alcançar a mesma precisão obtida na

integração de um cilindro. 'Aqui o numero de divisões NUDI representa o

numero de partes em que foi dividido o -equador d"aesfera (os meridj~

nos foram divididos em NUDI/2). A Figura A.3 demonstra isso em termos

do numero de digitos significativos da integração numerica e em função

do numero de divisões para dois valores de s: 4 e 10. Quando a refl!

xão passa de totalmente especular para totalmente d"ifusa, o coeficie.!.

te de arrasto numa esfera aumenta em 14%, aproximadamente, para razão

de velocidades s igual a 4. Para s = 10, essa variação diminui em 6%,

ou seja, q varlaçao tende a diminuir para grandes valores de s, fato

comum nas altitudes tipicas.

- A.4 -

TABELA A.1

TESTE COMPARATIVO PARA CILINORO

a- Ângulo de ataque em graus.

s

-Razão de velocidades.

o

-Coeficiente de colisão tangencial.

o'

-Coeficiente de colisão normal.

Tw/Ti

-Razão de temperaturas.

NUDI

-Numero de divisões do cilindro.

COTE

-Coeficiente de arrasto (Integração analitica)

CDIN

-Coeficiente de arrasto (Integração numerica)

a

Soo'Tw/Ti

NUOICOTECOIN

0,0

4,01,01,01 > O102,441 2,467

0,0

4,01,01,01,0502,441 2,441

0,0

4,01,O1,01,O1002,4412,441

0,0

4,01,O1,00,51002,3392,339

0,0

4,01,O1,O0,11002,2032,203

0,0

4,00,50,51,O1002,6162,616

0,0

4,00,50,50,51002,5652,565

0,0

4,00,00,01,O1002,7912,791

0,0

4,00,00,0.0,5'1002,7912,791

0,0

10,01,O1,01,01002,1542,154

0,0

10,01,O1,00,51002,1132,113

0,0

10,00,00,01,01002,6872,687

0,0

10,00,00,00,51002,6872,687

30,0

4,01,O1,O1,O1002,0832,083

30,0

4,01,O1,O0,51002,0062,006

30,0

4,01,O1,O0,11001,9041,904

30,0

4,00,50,51,O1001,9611,961

30,0

4,00,50,50,51001,9231,923

30,0

4,00,00,01,01001,8391,839

~O,O

4,00,00,00,51001,8391,839

30,0

10,01,O1,O1,O1001,8511,851

30,0

10,01,O1,00,51001,8201,820

30,0

10,00,00,01,01001,7491,749

30,0

10,00,00,00,51001,7491,749

- A.5 -

TABELA A.2

TESTE COMPARATIVO PARA ESFERA

s

- Razão de velocidades.

o

- Coeficiente de colisão tangencial.

o'

- Coeficiente de colisão normal.

Tw/Ti

- Razão de temperaturas.

NUOI

- Numero de dívisões da esfera.

COTE

- Coeficiente de a~rasto (Integraçãoanalitica)

COIN

- Coeficiente de arrasto (Integraçãonumerica)

s

oo'Tw/TiNUOI

COTECDIN

4,0

1,O1,O1,0102,418462,38744

4,0

1,O1,O1,050 .2,418462,41712

4,0

1,01,O1,O1002,418462,41815

4,0

1,O1,O0,51002,331932,33164

4,0

1,O1,OO, 11002,216462,21619

4,0

0,50,51,O1002,270752,27042

4,0

0,50,50,51002,227492,22717

4,0

0,50,50,11002,169762,16944

4,0

0,00,01,O·1002,123052,12270

4,0

0,00,00,51002,123052,12270

4,0

0,00,00,11002,123052,12270

10,0

1,O1,O1,O102, 138112,14883

10,0

1,O1,O1,O502, 138112,13674

10,0

1,01,O1,O1002, 138112,13780

10,0

1,O1,O0,51002,103502,10319

10,0

1,O1,O0,11002,057322,05701

10,0

0,50,51,O1002,079032,07871

10,0

0,50,50,51002,061732,06141

10,0

0,50,50,11002,038632,03832

10,0

0,00,01,01002;019952,01962

10,0

0,00,00,51002,019952,01962

10,0

0,00,0O, 11002,019952,01962

- A.6 -

< 10-1O.....oz•...•10-2I--<O< 10-3C/)....•c..>

W

g: 10-4

Fig. A.3 - Precisão da integração do coeficiente de arrastonuma esfera, em função do numero de divisões.

APtNDICE B

INTEGRAÇ~O ANALrTICA E TESTE DA INTEGRAÇAO NUMtRICA DO

COEFICIENTE DE FORÇA DE RADIAÇAO EM

CORPOS SmPLES

(B.1)

CRS = .C~..-k1---yP)+ ~ .•COSa (1 + 'YP )-J COs 2 a +C [6 - 3

++SJ::~JjCO'-._+-'éhr; ln[~]

Integrando-se analiticamente a Equação 4.28 num cilin

dro cujas paredes são adiabãticas, isto e, fazendo-se o coeficiente v

da Relação 4.20 unitãrio, resulta em:

onde a é O ângulo formado pela direção de incidência d~ radiação e por

um plano perpendicular ao eixo do cilindro, anãlogo ao definido na Fi

gura A.1.

A mesma Equação 4.28, quando integrada numa esfera nas

mesmas condições, fornece

1CRSe = -- (13 - 4yp).9

(B.2)

As Tabelas B.1 e B.2 comparam, respectivamente, os re

sultados obtidos através das Equações B.1 e B.2 com a integração nume

rica num cilindro e numa esfera, em função do ângulo de ataque a, dos

.coeficientes y e p e do numero de divisões, NUDI. Note-se que a int~

gração numerica atinge a precisão de 5 algarismos significativos qua~

do se dividem ambos, cilindro e esfera, em 200 partes, numero superior

àquele usado nos coeficientes aerodinâmicos para se obter a mesma pr~

cisão. Jã que mesmo com esse numero de divisões a integração numérica

é bastante rápida, dividindo-se tanto o cilindro quanto a esfera entre

100 e 200 partes, alia-se um otimo resultado numerico em termos de pr~

Clsao a um rápido procedimento numerico, quando se necessitar das for

ças num satélite que possua uma dessas duas formas como componente.

- B.1 -

- B.2 -

TABELA B.1

TESTE COMPARATIVO PARA CILINDRO

(X

- ~ngul o de ataque em graus.

y

- Parcela refle'tida da radiação incidente.

p

- Parcela especular da radiação refletida.

NUDI - Numero de divisões do cilindro.COTE - ,Coeficiente de radiação (Integração analltica).CDIN - Coeficiente de radiação (Integração numerica)(X

ypNUOI COTECOIN

0,0

0,00,0101,523601,54977

0,0

0,00,0501,523601,52431

0,0

0,00,01001,523601,52376

0,0

0,00,02001,523601,5.2364

0,0

0,00,51001,523601,52376

0,0

0,01,O1001,523601,52376

0,0

0,50,01001,523601,52376

0,0

0,50,51001,476031,47616

0,0

0,51,01001,428471,42855

0,0

1,00,01001,523601,52376

0,0

1,00,51001,428471,42855

0,0

1,01,01001,333331,33333

30,0

0,00,0101,258721,28139

30,0

0,00,0501,258721,25934

30,0

0,00,01001,258721,25887

30,0

0,00,02001,258721,25876

30,0

0,00,51001,258721,25887

30,0

0,01,01001,258721,25887

30,0

0,50,01001,258721,25887

30,0

0,50,51001,160551,16066

30,0

0,51,01001,062371,06245

30,0

1,00,0,1001,258721,25887

30,0

1,O0,51001,062371,06245

30,0

1,O1,01000,8660250,866025

- B.3 -

TABELA B.2

TESTE COMPARATIVOPARA ESFERA

r; - Parcela refletida da radiação incidente.

t p - p~rce1a especu1~r da rad jação refl et j da.NUDI - Numero de 'dl Vl soes da esfera.COTE - Coeficiente de radiação (Integração analltica)COIN - Coeficiente de radiação (Integração numerica)

y

pNUOI COTECOIN

0,00

0,00101,444441,44303

0,00

0,00501,444441,44473

0,00

O,O~1001,444441,44452

0,00

0,002001,444441,44447

0,00

0,251001,444441,44452

0,00

0,501001,444441,44452

0,00

0,751001,444441,44452

0,00

1,001001,444441,44452

0,25

0,251001,416671,41673

0,25

0,501001,388891,38894

0,25

0,751001,361111,36114

0,25

1,001001,333331,33335

1,00

1,001001,000000,999835

0,50

0,251001,38889'1,38894

0,50

0,501001,333331,33335

0,50

0,751001,277781,27776

0,50

1,001001,222221,22218

0,75

0,251001,361111,36114

G,75

0,501001,277781,27776

0,75

0,751001,194441,19439

0,75

1,001001,111111,11101

1,00

0,251001,333331,33335

1,00

0,501001,222221,22218

1,00

0,751001,111111,11101

- B.4 -

o coeficiente de força de radiação num cilindro irã a~

mentar em aproximadamente 14% ao se alterar a reflexão especular (y =

= 1, p = 1), de modo a tornã-la difusa (y = 1, p = O) quando a = O. P!

ra a = 300 esta vari~ção e aumentada em 45%, pois o coeficiente de fo!

ça especular diminui consideravelmente. Para uma esfera, ao se passar

á reflexão de especular para difusa o coeficiente de força de radiação

aumenta em 44% (Tabela 8.2).

Errata

Página Local Onde está Corrigir para

Rosto Resumo ... perturbadas ... ... perturbadoras ...

18 Eq. 3.5

3 / 2

2i

m

kT

3 / 2

2i

m

kT

π

19 1o § ... pr da Equação 3.4 ... pr da Equação 3.3

20 Eq. 3.12

2

2

s

iu

s

ρ

2

22

s

iu

s

ρ

28 Seção 4.2 ... num intervalo de tempo dt ... num intervalo de tempo dt

28 Eq. 4.1

5

1cost

d E

dA d dθ Ω

5

1cos

d E

dA d dtθ Ω

29 2a linha dA1, dΩ e dt dA1, dΩ e dt

29 Eq. 4.2

5

1cost

d E

dA d dθ Ω

5

1cos

d E

dA d dtθ Ω

31 Eq. 4.9 o oS R

c

2

o oS R

c

36 Eq. 4.23 ˆ(1 ) ss+ − γρ⋯ ˆ(1 ) s

s− − γρ⋯

47 Eq. 4.64 2

(1 )

44

E

T

WS

R

−απ

2

(1 )

4 4

E

T

WS

R

− α=

π

51 3o § ... por Tisserand em 1981 ... por Tisserand em 1881

67 Eq. 7.1d = 424,06 kg m2

= 324,06 kg m2

70 2o §

O comprimento característico ...

como se segue.

O comprimento característico, Lr,

para a adimensionalização dos

torques será igual ao diâmetro do

cilindro que envolve o prisma

octagonal, ou seja:

Lr = 1 m (7.8)

Durante o cálculo tanto das forças

aerodinâmicas quanto das de

radiação, as partes sombreadas ou

encobertas deverão ser analisadas

como se segue.

89 Fig. 7.29 Xa, Y

a, Z

a X

o, Y

o, Z

o

100 Eq. 7.9 δo = 256,25o, αo = 256,25

o,

A-1 Eq. A.1 2cos w

i

T

T+σ π π α⋯ 2cos

4

w

i

T

s T

σ π π+ α⋯

B-1 Eq. B.1 2

2

2(1 ) cos (1 )

6 3

1cos (1 ) cos

2

1 cossen ln

1 cos

RScC

π = − γρ + α + γρ

α + − γρ α +

+ α α − α

3

cos 1 (1 ) cos6

4cos

3

RScC

π = α + − γρ α +

+ γρ α