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3 Regras de Derivação

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3.6 Derivadas de Funções

Logarítmicas

3

Derivadas de Funções Logarítmicas

Nesta seção vamos usar a derivação implícita para achar

as derivadas das funções logarítmicas y = logax e, em

particular, da função logarítmica natural y = ln x. [É

possível demonstrar que as funções logarítmicas são

deriváveis: com certeza isso é plausível a partir dos seus

gráficos (veja a Figura 12 Seção 1.6).]

Figura 12

4

Derivadas de Funções Logarítmicas

De forma geral, se combinarmos a Fórmula 2 com a Regra

da Cadeia, obtemos

ou

5

Exemplo 2

Encontre ln(sen x).

SOLUÇÃO: Usando temos

6

Derivação Logarítmica

7

Derivação Logarítmica

Os cálculos de derivadas de funções complicadas

envolvendo produtos, quocientes ou potências podem

muitas vezes ser simplificados tomando-se os logaritmos.

O método usado no exemplo a seguir é chamado

derivação logarítmica.

8

Exemplo 7

Derive

SOLUÇÃO: Tome o logarítmo em ambos os lados da

equação e use as Propriedades do Logaritmo para

simplificar:

ln y = ln x + ln(x2 + 1) – 5 ln(3x + 2).

Derivando implicitamente em relação a x, temos

9

Exemplo 7 – Solução

Isolando para dy/dx, obtemos

Como temos uma expressão explícita para y, podemos

substituí-lo por ela e escrever

continuação

10

DERIVAÇÃO LOGARÍTMICA

11

O Número e como um Limite

12

O Número e como um Limite

Já mostramos que se f (x) = ln x, então f (x) = 1/x. Agora,

f (1) = 1. Agora, usamos esse fato para expressar o

número e como um limite.

Da definição de derivada como um limite, temos

13

O Número e como um Limite

Por causa de f (1) = 1, temos

Assim, pela continuidade da função exponencial, temos

14

O Número e como um Limite

A Fórmula 5 está ilustrada pelo gráfico da função

y = (1 + x)1/x na Figura 4 e na tabela para os valores

pequenos de x. Isso ilustra o fato de que, com precisão

até a sétima casa decimal,

e 2,7182818.

Figura 4

15

O Número e como um Limite

Se colocarmos n = 1/x na Fórmula 5, então n como

x 0+ e uma expressão alternativa para e é

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3.9 Taxas Relacionadas

3 3

Taxas Relacionadas

Quando bombeamos ar para dentro de um balão, tanto o

volume quanto o raio do balão crescem, e suas taxas de

crescimento estão relacionadas. Mas é muito mais fácil

medir diretamente a taxa de crescimento do volume do que

a do raio.

Em um problema de taxas relacionadas, a ideia é calcular

a taxa de variação de uma grandeza em termos da taxa de

variação da outra (que pode ser medida mais facilmente).

O procedimento é achar uma equação que relacione as

duas grandezas e então usar a Regra da Cadeia para

derivar ambos os lados em relação ao tempo.

4 4

Exemplo 1

Ar está sendo bombeado para um balão esférico de modo

que seu volume aumenta a uma taxa de 100 cm3/s. Quão

rápido o raio do balão está aumentando quando o diâmetro

for 50 cm?

SOLUÇÃO: Vamos começar identificando duas coisas:

a informação dada:

a taxa de crescimento do ar é 100 cm3/s

e a incógnita:

a taxa de crescimento do raio quando o

diâmetro é 50 cm

5 5

Exemplo 1 – Solução

Para expressarmos matematicamente essas grandezas,

introduzimos alguma notação sugestiva:

Seja V o volume do balão e seja r seu raio.

A chave está em lembrar que taxas de variação são

derivadas. Neste problema, o volume e o raio são

funções do mesmo tempo t. A taxa de crescimento do

volume em relação ao tempo é a derivada dV/dt, e a taxa

de crescimento do raio é dr /dt.

continuação

6 6

Exemplo 1 – Solução

Podemos, portanto, reapresentar o que foi dado e a

incógnita como a seguir:

Dada: = 100 cm3/s,

Incógnita: quando r = 25 cm.

Para ligar dV/dt e dr/dt, primeiro relacionamos V e r pela

fórmula para o volume de uma esfera:

V = r 3

continuação

7 7

Exemplo 1 – Solução

Para usarmos a informação dada, derivamos cada lado

dessa equação em relação a t. Para derivarmos o lado

direito precisamos usar a Regra da Cadeia:

Agora, isolamos a incógnita:

continuação

8 8

Exemplo 1 – Solução

Se colocarmos r = 25 e dV/dt = 100 nessa equação,

obtemos

O raio do balão está crescendo a uma taxa de

1/(25 ) ≈ 0,0127 cm/s.

continuação

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3.11 Funções Hiperbólicas

3

Funções Hiperbólicas

Certas combinações das funções exponenciais ex e e–x

surgem frequentemente em matemática e suas aplicações

e, por isso, merecem nomes especiais. Elas são análogas,

de muitas maneiras, às funções trigonométricas e

possuem a mesma relação com a hipérbole que as

funções trigonométricas têm com o círculo.

4

Funções Hiperbólicas

Por essa razão são chamadas coletivamente de funções

hiperbólicas e, individualmente, de seno hiperbólico,

cosseno hiperbólico e assim por diante.

5

Funções Hiperbólicas

As funções hiperbólicas satisfazem diversas identidades

que são análogas às bem conhecidas identidades

trigonométricas. Listaremos algumas aqui, deixando a

maioria das demonstrações para os exercícios.

6

Exemplo 1

Demonstre (a) cosh2x – senh2x = 1 e

(b) 1 – tanh2x = sech2x.

SOLUÇÃO:

(a) cosh2x – senh2x =

= . = = 1.

7

Exemplo 1 – Solução

(b) Vamos começar com a identidade demonstrada na

parte (a):

cosh2x – senh2x = 1.

Se dividirmos ambos os lados por cosh2x, obtemos

ou

continuação

8

Funções Hiperbólicas

As derivadas das funções hiperbólicas são facilmente

calculadas. Por exemplo,

9

Funções Hiperbólicas

Vamos listar as fórmulas de derivação para as funções

hiperbólicas na Tabela 1.

10

Exemplo 2

Qualquer uma dessas regras de derivação pode ser

combinada com a Regra da Cadeia. Por exemplo,

11

Funções Hiperbólicas Inversas

12

Funções Hiperbólicas Inversas

O senh e tgh são funções injetoras; logo, elas

têm funções inversas denotadas por senh–1 e tgh–1. A

Figura 2 mostra que cosh não é injetora, mas quando

restrita ao domínio [0, ) torna-se injetora. A inversa da

função cosseno hiperbólico está definida como a inversa

dessa função restrita.

13

Funções Hiperbólicas Inversas

Podemos esboçar os gráficos de senh–1, cosh–1 e tgh–1

nas Figuras 8, 9 e 10.

Figura 8

domínio = ra, imagem =

Figura 9

domínio = [1, ) imagem = [0, )

14

Funções Hiperbólicas Inversas

Figura 10

domínio = (–1, 1), intervalo =

15

Funções Hiperbólicas Inversas

Uma vez que as funções hiperbólicas estão definidas em

termos das funções exponenciais, não é surpreendente

descobrir que as das funções hiperbólicas inversas podem

ser expressas em termos de logaritmos. Especificamente,

temos:

16

Exemplo 3

Mostre que senh–1x =

SOLUÇÃO: Seja y = senh–1x. Então

Logo ey – 2x – e–y = 0

ou, multiplicando por ey,

e2y – 2xey – 1 = 0.

17

Exemplo 3 – Solução

Isso é realmente uma equação quadrática em ey:

(ey)2 – 2x(ey) – 1 = 0.

Resolvendo com a fórmula quadrática, obtemos

Observe que ey > 0, mas

continuação

18

Exemplo 3 – Solução

Assim, o sinal de menos é inadmissível e temos

Portanto,

continuação

19

Funções Hiperbólicas Inversas

As funções hiperbólicas inversas são todas deriváveis,

pois as funções hiperbólicas são deriváveis.

20

Exemplo 4

Demonstre que

SOLUÇÃO: Seja y = senh–1x. Então senh y = x. Se

derivarmos essa equação implicitamente em relação a x,

obtemos

21

Exemplo 4 – Solução

Uma vez que cosh2y – senh2y = 1 e cosh y 0, obtemos

cosh y = logo

continuação