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Álgebra-Trigonometría y Geometría Analítica

Funciones-Trigonometría e Hipernometría

Integrantes:

Yanncy Milena Fernández

Diana Fernanda Meneses

Deisy Magaly Puliche

Andrea Marcela Idrobo

Código Grupo: 301301_303

Tutor:

Luis Fernando Espinoza

Universidad Nacional Abierta y A Distancia Unad

Escuela Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería.

Popayán

2016

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INTRODUCCIÓN

En Matemáticas uno de los conceptos más importantes es el de FUNCIÓN,todas las áreas de las Matemáticas tienen que ver con funciones, de allí laimportancia de su análisis, partiendo de la definición, sus características y suclasificación, el mundo que nos rodea, existen relaciones entre dos conjuntos,por ejemplo la relación entre Temperatura y Altitud, la cual establece que a mayoraltitud, menor temperatura y así existen muchas relaciones entre dos conjuntos,el concepto de relación está asociado a una condición entre dos conjuntos, detal manera que a cada elemento del conjunto de partida, le corresponde unovarios elementos del conjunto de llegada, entre los componentes de una relaciónencontramos: Dominio, Condominio o rango.

La palabra hipernometría, se acuño en este contexto haciendo referencia a el

análisis de las funciones Hiperbólicas, de la misma manera como al análisis delas funciones trigonométricas se le denomina Trigonometría.

La geometría analítica o llamada también "Geografía Matemática" es la cienciaque combina el Álgebra y la Geometría para describir figuras geométricas planasdesde el punto de vista algebraico y geométrico. Esto se podría resumir diciendoque dada gráfica, se debe encontrar una ecuación que la describamatemáticamente, o dando el modelo matemático.

Con el desarrollo de la Siguiente Actividad, y la solución de los ejerciciospropuestos se aplicará cada uno de los conceptos estudiados en esta unidad.

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DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD

Milena Fernández:

1. Determine la Inversa de la Función:

+  

Solución:

Primero se debe probar que sea inyectiva o función 1 a 1

Tenemos entonces:

Si     esta es la condic ión: Luego :

+ +  ó 

Producto de extremos es igual a producto de medios:

8 + 35 7 8 + 35 7    40 56 +15 2 1 4 0 +15 56 21 Nos queda:

56 +15= 15 56 56 +56 15 15 71 71  Determinamos la inversa

+  

+  ó  

8 + 35 7  5 7 8 + 3 

5 7 8 + 3 5 8 7 + 3 

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5 8 7 + 3 

− +  

Comprobación Geogebra:

Milena Fernández

2. Para la función dada determine el respectivo dominio y rango

  + √   

SOLUCION

8 > 0  > 8 Luego el dominio es:

8,∞ Para determinar el rango despejamos x y miramos donde se indetermina la función:

 

+ 9

√  8 

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+ 9√  8 

√  8 + 9 Elevamos al cuadrado ambos lados

8 + 9 Tenemos:

8 + 1 8 + 8 1  8 + 1 8 + 8 1 0 + 1 8 + 8 1 + 8 0 + 1 8 + 8 1 + 8  Usando la raíz cuadrática:

± √ 4

2  Donde

1  1 8   8 1 + 8  Sustituyendo estos valores:

18 ±   18 4 ∗ 1 ∗ 8 1 + 8

2 ∗ 1  

18+ ±32436 + 32432

2  Sumando términos semejantes

18+ ±68 +

2 

No puede tener valores menores que cero el discriminante de la raíz, entonces:

68 + > 0  >68  > 68  > √ 68≈8.24 Luego el rango de la función es:

(√ ,∞) 

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Comprobación Geogebra:

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Deisy Puliche

3. Dadas las funciones:   √  +   y  

a) •

b) •

c) (  • )()

d) (  • ) ()

Solución:

a)  Realizamos   () √  + 4  =  ()   2 + 4 

 ()   4 + 4 + 4 

 ()   +  

 b)  Realizamos () 2  =

()   +  

c) Realizamos

•   =   32 + 4  •   =  1 + 4 

  •   = √    Rta = √  

d) Realizamos

•   = 5 2   •   = 3  

Comprobación Geogebra:

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Diana Meneses

4. Realizar las Siguientes Conversiones:

Convertir a grados

 

 

Solución

a. Tomamos la regla básica de conversión de Radianes y Grados :

° 

Convertimos:   ×

° 

 × °

°

°  b.

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×

° 

 ×

°

° °  

 b. Convertir a radianes: 

  Cuantos radianes equivale °   Cuantos radianes equivale ° 

Solución

a. Tomamos la regla básica de conversión de Radianes y Grados :

° 

°°

 ×

 

Simplificando

  

Comprobación Geogebra:

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Marcela Idrobo

5. El número de bacterias en un cultivo está dado por el siguiente modelo.

()=. Donde t se mide en horas.

¿Cuál es la población inicial del cultivo?

¿Cuantas bacterias habrá en el cultivo a los 2 días?

¿Después de cuantas horas las bacterias serán de 500000?

Solución

, 

La población in icial es la medida en el instante, cuando ,. .  

∶ 

Dos Días son∶  .  

48 250,. 250 . í

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500000250 ,.  500000

250 ,. 

2000,. 

Tomando los Logaritmos Neperianos

2000 0,25 

2000

0,25

. , 30,4 ℎ á 500000

Deysi Puliche

6. Si un triángulo ABC tiene lados =130, =90  =60. Calcular losángulos α, β, γ.

Solución:

Usamos El Teorema del Coseno  

: + ∗ 

Quedaría:  + ∗ Hallamos el ∡  

130 90 +60 2 ∗ cos 

169008100+360010800∗cos 169008100360010800∗cos  520010800∗cos   =

 

.  Hallamos Arco coseno  − ..°

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/ ∡ .° 

Hallamos el ∡  

90 130 +60 2 ∗ cos 810016900+360015600∗cos 810016900360015600∗cos  1240015600∗cos   =

 

0.7948cos  Hallamos Arco coseno  − ..°

/ ∡ .° 

Hallamos el ∡  

60 130 +90 2 ∗ cosγ 360016900+810023400∗cosγ 360016900810023400∗cosγ  2140023400∗cosγ  =

 

. Hallamos Arco coseno  − ..°

/ ∡ 23.86° 

Comprobación Geogebra

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Diana Meneses:

7. Un turista que mide 1,8 metros , está ubicado sobre una roca que tiene dealtura 30 cm, este divisa un edificio que está a 150 metros de distancia, siel Angulo de elevación desde la vista del turista hasta la cima del edificioes de 35 grados, ¿Cuál será la altura del edificio?.

Solución:

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El edificio medirá todo lo que está por debajo de la vista del turista más lo quecorresponda por el ángulo de elevación.

Tenemos entonces que:

.+.. 

En el anterior triángulo rectángulo respecto del ángulo donde está el ojo laaltura restante es el cateto opuesto y la horizontal la distancia. Por tantola tangente del ángulo es:

°  

° ℎ150° Despejamos h:

150°35° 105.03  

Luego tenemos que la Altura Total es :

105.03 + 1.38 .  

Milena Fernández

8. Verifique la siguiente identidad trigonométrica:

+

+  

Solución:

Manejamos el lado derecho:

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+

+

 

Expresamos como Seno, Coseno

1 + cos

1cos + 1 cos  

Simplificamos

1 +cos

1cos +

1

cos  

Se aplica la regla ±

±  

Tenemos entonces:

1

cos

1

 

1 +

cos

1cos +

1

 

Se Simplif ica:

1

 

1 + + 0cos Se convierte a Fracción:

  ; 2

2   ;

2 2

 

2 +

2 +

0cos   ó . . cos 

2

+ 2

+ 0

cos 

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2 +2 + 0  

Simplificar:

2

+2

+ 0 

3 +2 + 0  +

 Se factoriza :

+   +  

Factor Común : + 1

 

Eliminamos Términos Comunes : + 1 1 + Con la identidad 1 = 

+  

+

+

 

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Comprobando con Geogebra:

Milena Fernández

9. Encuentre el valor de x que satisface la siguiente ecuación trigonométrica

para ángulos entre 0°≤ x ≤ 360°

+ +  Solución

Solución

tan ; + 3 0  + 3 0 Utilizamos la fórmula para despejar ecuaciones de segundo grado

, : ± √ 4

2  Tenemos que :

; ; ∶ ,   3±  3 41.0

21  

: 3±  3 41.0

21 0 

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3±  3 41.0

21 3 

Sustituimos

t a n  ;tan 0 , tan 3 tan 0, 0° ≤ x ≤ 360° Solución para: tan 0 ; tan 0 ∶ 180°n  Resolvemos:

0 + 180° 180° 

Solucionamos para el rango 0° ≤ x ≤ 360°  0 . 1 8 0 ° ; 3 6 0 °  

tan 3, 0° ≤ x ≤ 360°  Solucionamos para el rango 0° ≤ x ≤ 360° 

180°arctan3 ,360°arctan3 

Combinamos las soluciones-Respuesta:

360° 0

360°arctan3 

1 8 0 ° 

180°arctan 3 

Comprobación Geogebra:

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CONCLUSIONES

Con el desarrollo de la Anterior actividad se fortalece el conocimiento teóricoacerca de las Funciones-Trigonometría e Hipernometría al desarrollar cada unode los casos propuestos de la misma forma que se realiza su comprobación elporgrama de Geogebra, de esta manera a través de la práctica se consolida elconocimiento sobre esta unidad.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Unad. (2015). Entorno de Conocimiento, Unidad 2 : Funciones, Trigonometría eHipernometría Recuperado el 9 de Marzo de 2016 de:http://campus19.unad.edu.co/ecbti03/mod/lesson/view.php?id=5614

Geogebra. (n.d). Algebra : x= CAS Recuperado el 10 de Marzo de 2015 de:http://www.geogebra.org