Lista de exercıcios 3: Quantificadores e validade

Prof. Ricardo J. Pinheiro

01/11/2008

Univercidade - Unidade Bonsucesso - Tec-nologia em Sistemas de Informacao - LogicaMatematica

1 Determine o valor logico de cadauma das formulas bem formu-ladas (fbfs) a seguir, entendendoque:

• Conjunto-universo: Todos os numeros inteiros (con-junto Z).

• x: numero inteiro.

• I(x) :x e ımpar.

• L(x) :x < 0

• G(x): x > 9

1. (∃x)(I(x))

2. (∀x)[L(x)→ I(x)]

3. (∃x)[L(x) ∧G(x)]

4. (∀x)[L(x) ∨G(x)]

2 Qual e o valor logico de cadauma das fbfs abaixo, entendendoque:

• Conjunto-universo: Todos os numeros inteiros (con-junto Z).

1. (∀x)(∃y)(x + y = x)

2. (∃y)(∀x)(x + y = x)

3. (∀x)(∃y)(x + y = 0)

4. (∃y)(∀x)(x + y = 0)

5. (∀x)(∀y)(x < y ∨ y < x)

6. (∀x)[x < 0→ (∃y)(y > 0 ∧ x + y = 0)

7. (∃x)(∃y)(x2 = y)

8. (∀x)(x2 > 0)

3 Qual e o valor logico de cadauma das fbfs abaixo entendendoque:

• Conjunto-universo: Todos os estados do Brasil.

• x: Um estado do Brasil.

• Q(x, y) :x esta ao norte de y

• P (x) :x comeca com a letra M

• a :Mato Grosso do Sul.

1. (∀x)(P (x))

2. (∀x)(∀y)(∀z)[Q(x, y) ∧ Q(y, z)→ Q(x, z)]

3. (∃y)(∃x)(Q(y, x))

4. (∀x)(∃y)[P (y) ∧ Q(x, y)]

5. (∃y)(Q(a, y))

4 Dadas as frases abaixo,reescreva-as como fbfs predi-cadas, usando os quantificadorese predicados indicados:

• Conjunto-universo: O mundo todo.

• D(x) : x e um dia.

• S(x) :x e ensolarado.

• C(x) :x e chuvoso.

• M :Segunda-feira.

• T :Terca-feira.

1. Todos os dias sao ensolarados.

2. Alguns dias sao chuvosos.

3. Todo dia ensolarado nao e chuvoso.

4. Alguns sao ensolarados e chuvosos.

5. Nenhum dia e ensolarado e chuvoso ao mesmo tempo.

1

6. E sempre um dia ensolarado so se for um dia chuvoso.

7. Nenhum dia e ensolarado

8. A segunda-feira foi ensolarada; logo, todos os diasserao ensolarados.

9. Choveu na segunda e na terca-feiras.

10. Se algum dia for ensolarado, entao todos os dias seraoensolarados.

5 Dadas as frases abaixo,reescreva-as como fbfs predi-cadas, usando os quantificadorese predicados indicados:

• Conjunto-universo: O mundo todo.

• P (x) :x e uma pessoa.

• T (x) :x e um perıodo de tempo.

• E(x, y) :x e enganado por y.

1. Voce pode enganar algumas pessoas todo o tempo.

2. Voce pode enganar todas as pessoas durante algumtempo.

3. Voce nao pode enganar todas as pessoas todo o tempo.

6 Dadas as frases abaixo,reescreva-as como fbfs predi-cadas, usando os quantificadorese predicados indicados:

• Conjunto-universo: O mundo todo.

• x: Pessoa.

• J(x) :x e um juiz.

• F (x) :x e um farmaceutico.

• L(x) :x e um advogado.

• M(x) :x e uma mulher.

• A(x, y) :x admira y.

1. Nenhuma mulher e ao mesmo tempo, advogada e far-maceutica.

2. Alguns advogados so admiram juızes.

3. Existem algumas mulheres advogadas que admiramfarmaceuticos.

4. Todas as mulheres advogadas admiram algum juiz.

7 Dadas as frases abaixo,reescreva-as como fbfs predi-cadas, usando os quantificadorese predicados indicados:

• Conjunto-universo: Todos os carros.

• x: Carro.

• C(x) :x e um Corvette.

• F (x) :x e uma Ferrari.

• P (x) :x e um Porsche.

• D(x, y) :x e mais lento do que y.

1. Nenhum carro e ao mesmo tempo um Corvette e umaFerrari.

2. Alguns Porsches sao mais lentos dos que Ferraris.

3. Todas as Ferraris sao mais lentas do que algumCorvette. (x)

4. Alguns Porsches nao sao mais lentos do que Corvettealgum. (x)

8 Dadas as fbfs predicadas, quan-tificadores e predicados abaixo,reescreva-as em portugues:

• x: x e uma pessoa.

• A(x, y) :x ama y.

• V (x) :x e vistoso.

• B(x) :x e bonita.

• H(x) :x e um homem.

• M(x) :x e uma mulher.

• j :Joao.

• c :Catia.

1. (∀ j) ∧ A(c, j)

2. (∀x)[H(x)→ V (x)]

3. (∀x)[M(x)→ (∀y)[A(x, y)→ H(y) ∧ V (y)]

4. (∃x)[H(x) ∧ V (x) ∧ A(x, c)]

5. (∃x)(M(x) ∧ B(x) ∧ (∀y)[A(x, y)→ V (y) ∧ H(y)]

6. (∀x)[M(x) ∧ B(x)→ A(j, x)]

2

Gabarito

Questao 1:

1. Valido.

2. Nao e valido.

3. Nao e valido.

4. Nao e valido.

Questao 2:

1. Valido quando y = 0.

2. Valido quando y = 0.

3. Valido quando x = −y.

4. Nao e valido.

Questao 3:

1. Nao e valido.

2. Valido.

3. Valido.

4. Valido.

5. Valido.

Questao 4:

1. (∀x)(D(x)→ S(x))

2. (∃x)(D(x) ∧ C ′(x))

3. (∀x)[(D(x) ∧ S(x))→ C ′(x)]

4. (∃x)(D(x) ∧ S(x) ∧ C(x))

5. (∀x)[D(x)→ (S(x) ∧ C(x))′]

6. (∀x)(D(x)→ C(x))

7. (∀x)(D(x)→ S′(x))

8. (∃M)[P (M)→ (∀x)P (x)]

9. (∃M)(∃T )[D(M) ∧ D(T ) ∧ C(M) ∧ C(T )]

10. (∃x)[(D(x) ∧ S(x))→ (∀x)(D(x) ∧ S(x))]

Questao 5:

1. (∃x)[P (x) ∧ (∃y)(E(x, y)→ T (y))]

2. (∀x)[P (x) ∧ (∀y)(E(x, y)→ T (y))]

3. (∀x)[P (x)→ (∀y)(T (y) ∧ E(x, y))′

Questao 6:

1. (∀x)[M(x)→ (L(x) ∧ F (x))′]

2. (∃x)[L(x) ∧ (∀y)(A(x, y)→ J(y))]

3. (∃x)[M(x) ∧ L(x) ∧ (∃y)(A(x, y)→ F (y))]

4. (∀x)[M(x) ∧ L(x) ∧ (∃y)(A(x, y)→ J(y))]

Questao 7:

1. (∀x)(C(x) ∧ F (x))′

2. (∃x)[P (x) ∧ (∀y)(D(x, y)→ F (y))]

3. (∀x)[F (x) ∧ (∃y)(D(x, y)→ C(y))]

4. (∃x)[P (x) ∧ (∀y)(D(x, y)→ C(y))′]

Questao 8:

1. Joao e vistoso e Catia ama Joao.

2. Todos os homens sao vistosos.

3. Toda mulher ama homens vistosos.

4. Algum homem vistoso ama Catia.

5. Alguma mulher bonita ama todos os homens vistosos.

6. Todas as mulheres bonitas amam Joao.

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