4 DIAGRAMAS TENSÃO DEFORMAÇÃO DE CÁLCULO - ELU · 4-57 No caso dos aços, a ABNT NBR 6118, item...

4-55

4 DIAGRAMAS TENSÃO DEFORMAÇÃO DE CÁLCULO - ELU

4.1 DIAGRAMA TENSÃO DEFORMAÇÃO DO CONCRETO

Conforme visto na Figura 1.3b, os diagramas tensão deformação do concreto variam de acordo com suas

resistências. A ABNT NBR 6118 ignora tal fato e permite que se adote um único diagrama, independente da

resistência do concreto. Define o item 8.2.10.1 que o diagrama tensão-deformação à compressão, a ser usado no

cálculo, será o diagrama mostrado na Figura 4.1, onde o trecho curvo corresponde a uma parábola do segundo

grau, a tensão limite do concreto é fixada em 0,85 fcd e o limite de encurtamento do concreto é definido como

sendo 3,5‰.

Figura 4.1: Diagrama tensão deformação idealizado do concreto, NBR 6118.

O valor máximo de c é tomado igual a 0,85 fcd devido a três fatores:

Efeito Rüsch, que considera a variação da resistência do concreto em função das velocidades de

carregamento (Figura 4.2);

Ganho de resistência do concreto ao longo do tempo;

Influência da forma cilíndrica do corpo de prova.

O efeito Rüsch é mostrado na Figura 4.2, onde, para diferentes velocidades de carregamento, o concreto

apresenta diferentes formas da curva tensão-deformação. Para durações maiores do tempo de carregamento, a

tensão de ruptura c tende para valores próximos de 80% da resistência correspondente ao carregamento de

curta duração (fc).

Figura 4.2: Efeito Rüsch.

4-56

Deve ser levado em conta que as cargas permanentes nas estruturas são geralmente aplicadas rapidamente,

mantendo-se constante ao longo do tempo de tal forma a permitir o desenvolvimento do fenômeno da fluência

(item 1.4.10.1). Assim, se o nível de tensão inicial for superior à resistência de longo prazo (ponto A da Figura

4.2) poderá, após certo tempo, ocorrer o colapso do elemento estrutural por ter sido atingido o limite de ruptura

(ponto B da Figura 4.2). Por outro lado, se o nível de tensão inicial for inferior à resistência de longo prazo (ponto

C da Figura 4.2) não haverá ruptura, mesmo com o desenvolvimento do fenômeno da fluência (ponto D da Figura

4.2).

Desta forma, para que não ocorra ruína é necessário que o limite de fluência seja atingido antes do limite de

ruptura. Isto é feito limitando a resistência do concreto a um valor inferior à resistência de curto prazo. Daí

decorre o fato da ABNT NBR 6118 adotar para a máxima resistência de cálculo do concreto o valor 0,85 fcd. Esse

valor leva em conta não só o efeito Rüsch como também o ganho de resistência do concreto ao longo do tempo e a

influência da forma cilíndrica do corpo de prova.

Como simplificação18 pode ser adotado, para representar o diagrama tensão-deformação do concreto, o diagrama

mostrado na Figura 4.3, o qual corresponde a uma adaptação do item 17.2.2-e da ABNT NBR 611819. Este

diagrama pode ser representado pela Equação 4.1.

Figura 4.3: Diagrama tensão deformação simplificado de cálculo do concreto.

( ) Equação 4.1

4.2 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO AÇO

4.2.1 CONVENÇÃO

A representação das tensões será feita usando-se o eixo vertical, correspondendo a parte superior às tensões de

tração e a inferior as tensões de compressão. No caso do aço, para diferenciar tração de compressão serão usadas

as aspas simples ( ‘ ) nas tensões de compressão.

A representação das deformações será feita usando-se o eixo horizontal, sendo os alongamentos representados a

direita e os encurtamentos à esquerda. Para diferenciar alongamento de encurtamento, serão usadas as aspas

simples ( ‘ ) nos encurtamentos.

As deformações e as tensões serão consideradas, nos diagramas, sempre em valores absolutos.

4.2.2 DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO AÇO

18 Ver Seções transversais de concreto armado sujeitas a solicitações normais, M. A. Marino, COPEL, 1979. 19 O item 17.2.2-e da ABNT NBR 6118 prevê, para alguns casos, c = 0,80 fcd para 0,7‰ c 3,5‰ (ver

Capítulo [5], item [5.4]).

4-57

No caso dos aços, a ABNT NBR 6118, item 8.3.6, apresenta o diagrama simplificado mostrado Figura 4.4, onde

no trecho inclinado é válida a Lei de Hooke e o limite de alongamento é fixado em 10‰. O limite de

encurtamento é tomado igual a 3,5‰, compatível com o limite do concreto (Figura 4.1 e Figura 4.3). Este

diagrama pode ser representado pela Equação 4.2.

Figura 4.4: Diagrama tensão deformação de cálculo do aço.

Equação 4.2

Os valores de fyd e yd, para os aços destinados a estruturas de concreto armado estão mostrados na Tabela 4.1.

Os valores de fyd são determinados pela Equação 3.22 com o coeficiente de minoração da resistência s igual a

1,15 (Tabela 3.9). Os valores de yd são definidos pela Lei de Hooke, onde o Módulo de Elasticidade Es é tomado

igual a 210 GPa (item 1.5.5).

Aço fyk fyd yd

CA-25 250 MPa 217 MPa 1,035‰

CA-50 500 MPa 435 MPa 2,070‰

CA-60 600 MPa 522 MPa 2,484‰

Tabela 4.1: Aços - valores de cálculo - ELU20

EXEMPLO 4.1

Determinar, para a viga abaixo representada:

A posição da linha neutra (x);

A força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd);

A força resistente de cálculo atuante na armadura superior (R'sd);

A força resistente de cálculo atuante na armadura inferior (Rsd);

Os esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd).

20 No caso de combinações excepcionais, o valor de fyd deve ser tomado igual a fyk (s = 1,0 – Tabela 3.7).

4-58

Dados:

Concreto: C25;

Aço: CA-50;

Armadura superior: 2 12,5 mm;

Armadura inferior: 3 16 mm;

Encurtamento do concreto: 2,5‰ para a fibra mais comprimida;

Alongamento da armadura: 10,0‰ para a barra mais tracionada.

Considerar:

Estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15); e

Diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (c = 0,85 fcd para 0,7‰ c 3,5‰).

Solução: A posição da linha neutra fica definida pelo diagrama de deformações. As tensões na região de concreto

comprimido serão determinadas pela Equação 4.1 e as tensões nas armaduras serão definidas pela Equação 4.2.

As resistências de cálculo correspondem às forças atuantes na região de concreto comprimido (Rcd = Acc c), na

região da armadura comprimida (R'sd = A's 's) e na região da armadura tracionada (Rsd = As s). Os esforços

resistentes de cálculo (NRd e MRd) ficam definidos pelas forças Rcd, R'sd e Rsd, como mostrado na figura abaixo.

a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm)

2ck kN/cm 2,5MPa 25f

normal) combinação - (ELU 1,40c

4-59

2

c

ckcd kN/cm 79,1

1,40

2,5ff

2yk kN/cm 50MPa 500f

normal) combinação - (ELU 1,15s

2

s

yk

yd kN/cm 43,51,15

50ff

2s kN/cm 00021MPa000210GPa 210E

22

'ssups, cm ,452

4

1,252AA

22

sinfs, cm ,0364

1,63AA

2,5‰c

0‰,10s

cm 20bw

cm 50d

cm 5d'

cm 55h

b) Posição da linha neutra (x)

dxsc

c

sc

cx

d

x

20,0‰0,102,5‰

2,5‰x

cm 10,050 0,20d x x

cm 10,0x

c) Posição da deformação 0,7‰ (y)

d‰7,0

x‰7,0

ysc

c

c

c

sc

cy

‰7,0

d

y

0,144‰10‰5,2

‰7,0‰5,2y

cm 7,250 0,144d y y

cm 7,2y ◄

0,7210,0

7,2

x

y

x72,0y 21

21Como mostrado no Capítulo [5], Equação [5.5], a ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e, permite adotar, de modo

simplificado, y = 0,8 x, para qualquer estado de deformação.

4-60

d) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)

‰5,3‰7,0f85,0 ccdc

2c kN/cm 1,521,790,85

tensão

c

área

wcd σ ybR

cdywcd f0,85dbR

cdwycd fdb0,85R

kN 1,2191,795020144,00,85Rcd

kN1,219Rcd

e) Deformação da armadura comprimida ('s)

xd

dx

x

dxs

'

c

''s

s

x

'

x

c

x

'

x

's

1

d

d

d

d

1,25‰2,5‰ 20,0

50

520,0

's

f) Força resistente de cálculo atuante na região da armadura comprimida (R'sd)

yds's

's fE

22's kN/cm 43,5kN/cm 26,25000 21

1000

1,25

tensão

's

área

's

'sd AR

kN 64,326,252,45R'sd

kN3,64R'sd

g) Força resistente de cálculo atuante na região da armadura tracionada (Rsd)

4-61

ydsss fE

22s kN/cm 43,5kN/cm 210000 21

1000

10,0

2s kN/cm 43,5

tensão

s

área

ssd AR

kN 3,26243,503,6Rsd

kN3,262Rsd

h) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)

'sdcdsdRd R-R-RN (positivo para tração)

kN -21,164,3-219,1-262,3NRd

compressãokN -21,1NRd ◄

''

sdcdsdRd d2

hR

2

y

2

hRdh

2

hRM (positivo para sentido horário)

5

2

553,64

2

2,7

2

551,2195055

2

553,262MRd

kNcm 585,0 1255,273,646,35,271,21955,273,262MRd

positivokNm 125,8MRd

i) Condição limite de segurança

A condição limite de segurança corresponde à igualdade da Equação [3.20]:

dd SR

compressãokN 21,1NN SdRd

positivo momentokNm 125,8MM SdRd

j) Consideração do espaço ocupado por barras na região de concreto comprimido

Deve ser observado que na determinação do valor da força resistente de cálculo atuante na região de

concreto comprimido (Rcd) foi ignorada a existência da armadura superior, tomando-se a seção de concreto

comprimido sem o desconto de 2,45 cm2 (área correspondente a 2 12,5 mm).

A consideração do espaço ocupado por armadura na região de concreto comprimido pode ser feita de duas

maneiras:

descontando da área de concreto comprimido a área da armadura existente nesta região (altera o

valor de Rcd, bem como seu ponto de atuação que deixa de ser y/2 por se tratar de seção vazada);

4-62

ou

descontando da tensão atuante na barra comprimida, a tensão atuante no concreto comprimido

(altera apenas o valor de R'sd).

A primeira solução é a mais trabalhosa pois implica na definição do centro de gravidade de uma seção

vazada (deixa de ser y/2). A segunda solução é a mais simples, como demonstrado a seguir:

tração

c's

'sdcdsdRd AR-R-RN

c's

's

'scdsdRd AARRN

'mod,sdR

c's

'scdsdRd ARRN

Desta forma, alterando-se o valor da força resistente de cálculo atuante na região da armadura

comprimida (R'sd), tem-se:

f85,0A AR cd's

'sc

's

's

'modsd,

kN 60,6 1,790,85 26,252,45R'modsd,

'modsd,cdsdRd R-R-RN

kN -17,460,6-219,1-262,3NRd

compressãokN -17,4NRd

''

modsd,cdsdRd d2

hR

2

y

2

hRdh

2

hRM

5

2

556,60

2

2,7

2

551,2195055

2

553,262MRd

kNcm 501,7 1255,276,606,35,271,21955,273,262MRd

positivokNm 125,0MRd

21,3%4,17

4,171,21NRd

0,6%0,125

0,1258,125MRd

Como pode ser observado, a consideração do espaço ocupado por barras na região de concreto comprimido

só é significativa na determinação do esforço resistente de cálculo NRd (diferença de 21,3%).

k) Observações

As equações e notações aqui apresentadas são as mesmas do Capítulo [5]. São válidas para a

resolução de qualquer tipo de problema referente a seções retangulares submetidas à flexão normal

simples ou composta.

A ABNT NBR 6118, item 17.2.2-e, adota para a relação y/x, calculada como 0,72 no item c deste

Exemplo, o valor fixo de 0,8 (y = 0,8 x), não considerando, desta forma, as relações tensão-deformação

que ocorrem na região de concreto comprimido.

■

4.3 DOMÍNIOS DA ABNT NBR 6118

Na resolução do Exemplo 4.1, item b), a posição da linha neutra pode ser determinada como mostrado na Figura

4.5, resultando na Equação 4.3. Esta equação mostra que um único valor de x, que deveria corresponder a uma

única posição da linha neutra, pode ser obtido com infinitas combinações das variáveis c e s (os conjuntos

4-63

c = s = 1‰, c = s = 2‰ e c = s = 3,5‰, dentre outros, correspondem a x = 0,5). A fim de evitar infinitas

soluções para a posição de linha neutra em uma peça sujeita a solicitações normais, a ABNT NBR 6118,

item 17.2.2-g, estabelece que o estado limite último seja caracterizado quando a distribuição das deformações na

seção transversal pertencer a um dos domínios definidos na Figura 4.6.

Figura 4.5: Posição da linha neutra.

Equação 4.3

Figura 4.6: Domínios de estado limite último de uma seção transversal.

Na Figura 4.6 as retas e domínios correspondem a:

Reta a: tração uniforme (s’ = 10‰ e s = 10‰), obtida por força de tração centrada;

Domínio 1: tração não uniforme, sem compressão (s’ 10‰ e s = 10‰), obtida por força de tração

excêntrica;

Domínio 2: flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto e com máximo

alongamento do aço tracionado (0‰ c 3,5‰ e s = 10‰), obtida por momento fletor isolado ou força de

compressão excêntrica;

Domínio 3: flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com

escoamento do aço tracionado (c = 3,5‰ e yd s 10‰), obtida por momento fletor isolado ou força de

4-64


Domínio 4: flexão simples (seção superarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e aço

tracionado sem escoamento (c = 3,5‰ e 0‰ s yd), obtida por momento fletor isolado ou força de


Domínio 4a: flexão composta com armaduras comprimidas (c = 3,5‰ e s 0‰), obtida por força de


Domínio 5: compressão não uniforme, sem tração (2‰ c 3,5‰ e -2‰ s 0‰), obtida por força de


Reta b: compressão uniforme (c = 2‰ e s = 2‰), obtida por força de compressão centrada.

Deve ser observado, na Equação 4.3, que:

A reta a (tração uniforme) corresponde ao valor x = - (s é igual a 10‰ e c é quem sofre variação até

chegar ao valor -10‰);

A reta b (compressão uniforme) corresponde ao valor x = + (c é igual a 2‰ e s é quem sofre variação

até chegar ao valor -2‰).

A definição dos domínios de estado limite último de uma seção transversal (Figura 4.6) vai implicar que se

imponham limites para a equação estabelecida no item c) do Exemplo 4.1 que define a posição de deformada

0,7‰ (ordenada y), como mostrado na Figura 4.7. Ao contrario de x, que pode sofrer uma variação de - a +, y

deverá ficar limitado como estabelecido na Equação 4.4, obedecendo a condição de y h.

Figura 4.7: Posição da deformada 0,7‰.

(

) {

Equação 4.4

As retas a e b, bem como os domínios mostrados na Figura 4.6, podem, também, ser representados por valores de

x obtidos da Equação 4.3. Para tal torna-se conveniente usar a convenção de sinais apresentada na Figura 4.8

(encurtamentos positivos para o concreto e alongamentos positivos para as armaduras). A origem da ordenada x

ocorre no ponto O, posição da fibra de concreto mais comprimida ou menos tracionada. As ordenadas x (posição

da linha neutra), d (posição da armadura mais tracionada) e d’ (posição da armadura menos tracionada22),

também são posicionadas a partir da fibra de concreto mais comprimido (ponto O), com sentido positivo na

22 Observar que a armadura A’s passou a ser chamada de armadura menos tracionada e não mais de

armadura comprimida. Como a Figura 4.8 mostra, esta armadura, dependendo da posição da linha neutra,

poderá estar tracionada. Observar, também, que a própria armadura As, dependendo da posição da linha neutra,

poderá estar comprimida (ver domínios 4a e 5 da Figura 4.6).

4-65

direção da armadura mais tracionada (mesmo sentido positivo de x).

Figura 4.8: Convenção de sinais para x.

Usando a convenção de sinais apresentada na Figura 4.8, as retas a e b, bem como as retas limite entre os

domínios, mostradas na Figura 4.6, podem ser representadas pelas seguintes equações:

reta a (tração simples)

Equação 4.5

reta 1-2 (limite entre os domínios 1 e 2)

Equação 4.6


Equação 4.7


( )

( )

Equação 4.8

4-66

( )

reta 4-4a (limite entre os domínios 4 e 4a)

Equação 4.9

reta 4a-5 (limite entre os domínios 4a e 5)

(

)

( )

Equação 4.10

reta b (compressão simples)

Equação 4.11

Figura 4.9: Deformações das armaduras.

Além das deformações c e s, é conveniente, também, representar ’s (encurtamento da armadura comprimida ou

alongamento da armadura menos tracionada) como função de x (Figura 4.9). Na resolução do Exemplo 4.1, foi

mostrado que ’s pode ser determinado pela Equação 4.1223.

23 Observar que a Equação 4.12, que segue a convenção de sinais da Figura 4.8, diferente, no sinal, da

equação apresentada no Exemplo 4.1, item e).

4-67

{

(

)

(

)

Equação 4.12

EXEMPLO 4.2

Determinar, para a seção abaixo representada, o diagrama NRd x MRd.

Dados:

Concreto: C25;

Aço: CA-50;

Armadura superior: 2 12,5 mm;

Armadura inferior: 2 12,5 mm;

Considerar:

Estado limite último, combinações normais (c = 1,4 e s = 1,15);

Domínios da ABNT NBR 6118;

Diagrama tensão-deformação simplificado do concreto (c = 0,85 fcd para 0,7‰ c 3,5‰).

Solução: A solução do problema consiste na determinação de pares de valores NRd, MRd para diversas posições

da linha neutra. Estas posições da linha neutra poderão ser as retas a e b e as retas limites dos domínios da

Figura 4.6. Com os valores de x definidos pelas retas, os alongamentos e encurtamentos poderão ser calculados

usando as equações, Equação 4.5 a Equação 4.12. As tensões na região de concreto comprimido serão

determinadas pela Equação 4.1 e as tensões nas armaduras serão definidas pela Equação 4.2. As resistências de

cálculo correspondem às forças atuantes na região de concreto comprimido (Rcd = Acc c), na região da armadura

comprimida (R'sd = A's 's) e na região da armadura tracionada (Rsd = As s). Os esforços resistentes de cálculo

(NRd e MRd) ficam definidos pelas forças Rcd, R'sd e Rsd, como mostrado na figura abaixo.

4-68

a) Dados - uniformização de unidades (kN e cm)

2ck kN/cm 2,5MPa 25f

normal) combinação - (ELU 1,40c

2

c

ckcd kN/cm 79,1

1,40

2,5ff

2yk kN/cm 50MPa 500f

normal) combinação - (ELU 1,15s

2

s

yk

yd kN/cm 43,51,15

50ff

2s kN/cm 00021MPa000210GPa 210E

22

'ssups, cm ,452

4

1,252AA

22

sinfs, cm 45,24

1,252AA

cm 20bw

cm 50d

cm 5d'

cm 55h

10,050

5

d

d'

10,150

55

d

h

b) Alongamentos e encurtamentos (c, s e ’s)

4-69

c Figura 4.6 (Equação 4.5 a Equação 4.11)

s Figura 4.6 (Equação 4.5 a Equação 4.11)

s

x

x

'

c

x

x

'

's

1

d

d

ou

d

d

(Equação 4.12)

c) Posição da deformação 0,7‰ (y)

d ‰7,0

x‰7,0

ysc

c

c

c

d

h

0,0‰7,0

d

y

sc

cy (Equação 4.4)

d) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)

‰5,3‰7,0f85,0 ccdc

tensão

c

área

wcd σ ybR

cdywcd f85,0dbR

cdw ycd f db 0,85R

e) Força resistente de cálculo atuante nas armaduras As (Rsd) ou A’s (R’sd)

4-70

ydsss fE

sssd AR

Os valores de Rsd e R’sd são determinados da

mesma forma (mesmas equações).

Se a armadura (As ou A’s) estiver alongada

(s ou ’s positivo) a força resultante (Rsd ou

R’sd) correspondera a força de tração. Caso

contrário, a força de compressão.

A figura apresenta somente o caso da

armadura As (são mostrados d e Rsd). Para a

armadura A’s apareceriam d’ no lugar de d e

R’sd no lugar de Rsd.

f) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd) convenção de sinais

'sdcdsdRd RR-RN (positivo para tração)

2

hdR

2

y

2

hRdh

2

hRM ''

sdcdsdRd

2

hdR

2

y-hR

2

hdRM ''

sdcdsdRd (positivo para sentido horário)24

g) Reta a (tração simples)

x

s

c

‰10

‰10

Equação 4.5

g.1) Deformação da armadura A’s (’s)

24 Esta equação segue a convenção de sinais apresentada na Figura 4.8 e por isto difere um pouco da

equação apresentada no Exemplo 4.1, item h).

4-71

s

x

x

'

's

1

d

d

10‰10‰1

10,0's

g.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)

d

h

0,0‰7,0

d

y

sc

cy

000,0‰10‰10

‰7,0‰10yy

d

yy

cm00,0y50

y000,0

g.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)

cdw ycd f db 0,85R

kN 00,01,7950200,0000,85Rcd

g.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)

ydsss fE

2s

22s cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021

1000

10

sssd AR

kN58,1065,4345,2Rsd

g.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)

yds's

's fE

2's

22's cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021

1000

10

's

's

'sd AR

kN58,1065,4345,2R'sd

g.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)

'sdcdsdRd RR-RN

kN16,21358,1060,00-58,106NRd (tração)

2

hdR

2

y-hR

2

hdRM ''

sdcdsdRd

4-72

kNcm00,02

55558,106

2

00,05500,0

2

555058,106MRd

kNm00,0MRd

kNm00,0M

traçãokN16,213N

a reta

Rd

Rd

h) Reta 1-2

000,0

‰10

‰0

x

s

c

Equação 4.6

h.1) Deformação da armadura A’s (’s)

s

x

x

'

's

1

d

d

1‰10‰000,01

000,010,0's

Posição da deformação 0,7‰ (y)

d

h

0,0‰7,0

d

y

sc

cy

000,0070,0‰10‰0

‰7,0‰0yy

d

yy

cm00,0y50

y000,0

h.2) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)

cdw ycd f db 0,85R

kN 00,01,7950200,0000,85Rcd

h.3) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)

ydsss fE

4-73

2s

22s cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021

1000

10

sssd AR

kN58,1065,4345,2Rsd

h.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)

yds's

's fE

2's

22's cm/kN0,21cm/kN5,43cm/kN0,2100021

1000

1

's

's

'sd AR

kN45,510,2145,2R'sd

h.5) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)

'sdcdsdRd RR-RN

kN03,15845,510,00-58,106NRd (tração)

2

hdR

2

y-hR

2

hdRM ''

sdcdsdRd

kNm43,12402

55545,51

2

00,05500,0

2

555058,106MRd

kNm40,12MRd (positivo)

)positivo(kNm40,12M

traçãokN03,158N

12reta

Rd

Rd

i) Reta 2-3

259,0

‰10

‰5,3

x

s

c

Equação 4.7

i.1) Deformação da armadura A’s (’s)

c

x

x

'

's d

d

‰15,23,5‰259,0

259,010,0's

i.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)

4-74

d

h

0,0‰7,0

d

y

sc

cy

207,0‰10‰5,3

‰7,0‰5,3y

d

yy

cm35,10y50

y207,0

i.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)

cdw ycd f db 0,85R

kN 314,951,7950200,2070,85Rcd

i.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)

ydsss fE

2s

22s cm/kN5,43cm/kN5,43cm/kN21000021

1000

10

sssd AR

kN58,1065,4345,2Rsd

i.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)

yds's

's fE

2's

cm/kN5,43

2's cm/kN5,43cm/kN15,4500021

1000

15,2

2's

's

's

'sd AR

kN58,1065,4345,2R'sd

i.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)

'sdcdsdRd RR-RN

kN95,314106,58-314,95-58,106NRd (compressão)

2

hdR

2

y-hR

2

hdRM ''

sdcdsdRd

kNcm36,827112

55558,106

2

35,105595,314

2

555058,106MRd


)positivo(kNm27,118M

compressãokN95,314N

23reta

Rd

Rd

j) Reta 3-4

4-75

628,0

‰07,2

‰5,3

x

s

c

Equação 4.8

j.1) Deformação da armadura A’s (’s)

c

x

x

'

's d

d

‰94,23,5‰628,0

628,010,0's

j.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)

d

h

0,0‰7,0

d

y

sc

cy

502,0‰07,2‰5,3

‰7,0‰5,3y

d

yy

cm10,25y50

y502,0

j.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)

cdw ycd f db 0,85R

kN 79,6371,7950200,5020,85Rcd

j.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)

ydsss fE

OKcm/kN5,43000211000

07,2 2s

sssd AR

kN58,1065,4345,2Rsd

j.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)

yds's

's fE

4-76

2's

cm/kN5,43

2's cm/kN5,43cm/kN74,6100021

1000

94,2

2's

's

's

'sd AR

kN58,1065,4345,2R'sd

j.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)

'sdcdsdRd RR-RN


2

hdR

2

y-hR

2

hdRM ''

sdcdsdRd

kNcm76,162142

55558,106

2

10,255579,763

2

555058,106MRd




43reta

Rd

Rd

k) Reta 4-4a

000,1

‰0

‰5,3

x

s

c

Equação 4.9

k.1) Deformação da armadura A’s (’s)

c

x

x

'

's d

d

‰15,33,5‰000,1

000,110,0's

k.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)

d

h

0,0‰7,0

d

y

sc

cy

4-77

800,0‰0‰5,3

‰7,0‰5,3y

d

yy

cm00,40y50

y800,0

k.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)

cdw ycd f db 0,85R

kN 20,12171,7950200,8000,85Rcd

k.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)

ydsss fE

2s cm/kN00,000021

1000

0,0

sssd AR

kN00,000,045,2Rsd

k.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)

yds's

's fE

2's

cm/kN5,43

2's cm/kN5,43cm/kN15,6600021

1000

15,3

2's

's

's

'sd AR

kN58,1065,4345,2R'sd

k.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)

'sdcdsdRd RR-RN


2

hdR

2

y-hR

2

hdRM ''

sdcdsdRd

kNcm05,115272

55558,106

2

00,405520,1217

2

555000,0MRd




a44reta

Rd

Rd

l) Reta 4a-5

4-78

100,150

55

-0,32‰‰5,3155

50

‰5,3

x

s

c

Equação 4.10

l.1) Deformação da armadura A’s (’s)

c

x

x

'

's d

d

‰18,33,5‰100,1

100,110,0's

l.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)

d

h

0,0‰7,0

d

y

sc

cy

880,0‰32,0‰5,3

‰7,0‰5,3y

d

yy

cm00,44y50

y880,0

l.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)

cdw ycd f db 0,85R

kN 92,13381,7950200,8800,85Rcd

l.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)

ydsss fE

2s

cm/kN5,43

2s cm/kN72,6cm/kN72,600021

1000

32,0

2s

sssd AR

kN46,1672,645,2Rsd

l.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)

yds's

's fE

4-79

2's

cm/kN5,43

2's cm/kN5,43cm/kN78,6600021

1000

18,3

2's

's

's

'sd AR

kN58,1065,4345,2R'sd

l.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)

'sdcdsdRd RR-RN


2

hdR

2

y-hR

2

hdRM ''

sdcdsdRd

kNcm76,93912

55558,106

2

00,445592,1338

2

555046,16MRd


)positivo(kNm92,93M


4a5 reta

Rd

Rd

m) Reta b

x

s

c

‰0,2

‰0,2

Equação 4.11

m.1) Deformação da armadura A’s (’s)

c

x

x

'

's d

d

‰0,2‰0,210,0'

s

m.2) Posição da deformação 0,7‰ (y)

d

h

0,0‰7,0

d

y

sc

cy

4-80

100,1d

h

‰2‰2

‰7,0‰2yy

d

yy

cm00,55y50

y100,1

m.3) Força resistente de cálculo atuante na região de concreto comprimido (Rcd)

cdw ycd f db 0,85R

kN 65,16731,795020100,10,85Rcd

m.4) Força resistente de cálculo atuante na armadura As (Rsd)

ydsss fE

2s

cm/kN5,43

2s cm/kN00,42cm/kN00,4200021

1000

2

2s

sssd AR

kN90,10200,4245,2Rsd

m.5) Força resistente de cálculo atuante na armadura A’s (R’sd)

yds's

's fE

2's

cm/kN5,43

2's cm/kN00,42cm/kN00,4200021

1000

2

2's

's

's

'sd AR

kN90,10200,4245,2R'sd

m.6) Esforços resistentes de cálculo (NRd e MRd)

'sdcdsdRd RR-RN


2

hdR

2

y-hR

2

hdRM ''

sdcdsdRd

kNcm00,02

55558,106

2

555565,1673

2

555090,102MRd

kNm00,0MRd

kNm00,0M


breta

Rd

Rd

n) Diagrama NRd x MRd

4-81

■

Tendo sido estabelecido valores para x que definem os limites dos domínios, como também as relações entre x e

as deformações do concreto e das armaduras (Equação 4.3 e Equação 4.12) torna-se possível uma formulação

matemática para os domínios da ABNT NBR 6118. Considerando a convenção de sinais da Figura 4.8, tem-se:

domínio 1: - x 0,000

(

) ( )

( )

(

) ( )

Equação 4.13

domínio 2: 0,000 x 0,259

(

) ( )

( )

(

) {

( ) ( )

Equação 4.14

domínio 3: 0,259 x {

( ) ( ) ( )

4-82

( )

(

) ( )

(

) {

( ) ( )

Equação 4.15

domínio 4:

( ) ( ) ( )

} x 1,000

( )

(

) ( )

(

) {

( ) ( )

Equação 4.16

domínio 4a: 1,000 x d

h

( )

(

) ( )

(

) ( )

Equação 4.17

domínio 5: d

h x +

[

( )] ( )

[

( )] ( )

Equação 4.18

4-83

[

( )] ( )

4 DIAGRAMAS TENSÃO DEFORMAÇÃO DE CÁLCULO - ELU · 4-57 No caso dos aços, a ABNT NBR 6118, item...

Documents

Transcript of 4 DIAGRAMAS TENSÃO DEFORMAÇÃO DE CÁLCULO - ELU · 4-57 No caso dos aços, a ABNT NBR 6118, item...