Estatística DescritivaMedidas de Tendência Central

Medidas de Dispersão

Por: José Tique MD, MPH

Estatística Descritiva

• Ramo da estatística que aplica várias técnicas para descrever e sumarizar conjunto de dados.

Medidas de Posição Ressaltam tendências características de uma amostra Forma de sumarizar os dados através de um valor único

Medidas de tendência central1. Media aritmética2. Moda3. Mediana

1. Média aritmética• É o quociente da divisão da soma dos valores da

variável pelo numero deles.

Media aritmética

Valores da Variável

Numero de valores (tamanho da amostra)

Media Aritmética simplesPara dados não agrupadosExemplo 1: A seguir estão registadas as idades das crianças e adolescentes atendidas em uma clínica pediátrica:

10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 anos,Calcule a idade media das crianças e adolescentes atendidas.

Média aritmética Ponderada

Para dados agrupados Exemplo 2: a tabela abaixo representa a variável :numero de filhos” realizada com 34 famílias. Calcule a media aritmética desses dados.

Numero de filhos em Risco de Tuberculose em Marracuene

Numero de filhos em Risco de Tuberculose em Marracuene

Exemplo 3Um estudante de Medicina decidiu fazer uma pesquisa sobre o numero de salgados que os alunos da sua faculdade consumiam em uma semana. No final da sua investigação, construiu uma tabela de frequências. Calcule a media de salgados consumidos.a) Por dia b) por dia, por aluno

a) Por dia

b) Por dia, por aluno

2. Moda (Mo)

• É o valor que ocorre com maior frequência em uma serie de valores

2. Moda (Mo)

• É o valor que ocorre com maior frequência em uma serie de valores

2. Moda (Mo)

• É o valor que ocorre com maior frequência em uma serie de valores

Exemplo 4Um novo medicamento para cicatrização de feridas esta sendo testado em animais. Uma experiencia foi feita para estudar o tempo (em dias) de cicatrização em cortes provenientes de cirurgia. Uma amostra de 30 cobaias forneceu os seguintes valores:

Determine a media e desta serie de dados

• Calculo da media

• Calculo da Moda

3. Mediana (Md)

• É o valor que se encontra no centro de uma serie de números ordenados

3. Mediana (Md)ExemploEm uma determinada turma estão matriculados 21 alunos . Durante o primeiro semestre, foi feito um levantamento da presença destes alunos e obtidas as seguintes faltas: 0,0, 3, 5, 7, 9, 0, 1, 2, 3, 11, 2, 3, 5, 6, 4, 10, 12, 0, 1, 2. Qual é o numero mediano de faltas?Resolução Colocando os números em ordem crescente temos 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 9, 10, 11, 12

10 valores 10 valores

Md (Mediana)

Md = 3 é exactamente o numero que ocupa a posição central da serie ordenada (pode ser ordem crescente ou decrescente)

3. Mediana (Md)

ExemploAs idades de atletas amadores de uma determinada modalidade são: 14, 12, 16, 13, 17, 16 anos. Encontre a idade medianaResolução17, 16, 16, 14, 13, 12

Encontramos duas posições centraisA media aritmética desses dois números será a mediana

Exercício

Numa clínica de emagrecimento, no início do tratamento, pesam-se as pessoas debaixo de água para determinação de percentagem de gordura no corpo. Observam-se duas amostras, uma de 20 mulheres e outra de 20 homens. Os dados obtidos são os seguintes: Os pesos (em kg) da amostra de mulheres foram os seguintes:2,1 1,6 1,2 1,7 2,0 1,1 2,3 1,0 2,0 1,4 1,6 1,4 2,2 1,0 1,2 1,4 1,2 1,4 2,1 1,7 Os pesos (em kg) da amostra de homens foram os seguintes:5,1 3,7 5,2 4,7 5,2 4,2 4,0 4,1 4,3 3,74,6 5,2 3,7 3,2 3,7 4,2 2,8 3,7 4,7 4,0

• Determine para cada uma das amostras, as seguintes medidas:• Moda, média e mediana

Medidas de tendência central para Dados Classificados

• Dados Classificados: são valores que uma dada variável pode tomar dentro de certo intervalo. Estes dados são classificados ou agrupados em classes.

Distribuição de frequências da tensão arterial sistólica

Classes Freq. Absolutas

[122, 132[ 7

[132, 142[ 29

[142, 152[ 53

[152, 162[ 25

[162, 172[ 5

[172, 182[ 1

[182, 192] 1

Total 121

Media Aritmética para Dados Classificados

• Vimos como calcular a media quando temos o valor de todas as observações.

• Quando os dados estao agrupados em classes pressupõe-se que as observações dentro da classe se distribuem uniformemente e que portanto coincidem com o ponto medio dentro da classe.

K – Numero de classesCi –Valor medio ou valor central da classeni- frequencia absolutan = tamanho da amostra

K

ci ni

Exemplo• Abaixo apresenta-se a distribuição de frequência de valores

tensão arterial sistólica de 121 pacientes. Calcule a tensão arterial média neste conjunto de dados.

Classes Freq.(ni) ci ni

[122, 132[ 7 126x7=882

[132, 142[ 29 136x29=3944

[142, 152[ 53 146x53=7738

[152, 162[ 25 156x25=3900

[162, 172[ 5 166x5=830

[172, 182[ 1 176x1=176

[182, 192] 1 186x1=186

Total 121 17656

K

ci ni

17656

121

145.9

Distribuição de frequências da tensão arterial sistólica

Calculo da Moda para Dados classificadosPrimeiro passo é identificar a classe com a maior frequência absoluta, também chamada de classe modal.Moda BrutaMétodo rudimentar, basta determinar o ponto medio da classe modal, chamada de Moda Bruta.

Classes Freq.(ni) [122, 132[ 7

[132, 142[ 29

[142, 152[ 53

[152, 162[ 25

[162, 172[ 5

[172, 182[ 1

[182, 192] 1

Total 121

Classe Modal: [142, 152[Moda Bruta: 146

Calculo da Moda para Dados classificados

Método KingBaseia-se na influencia que as frequências das classes adjacentes a classe modal tem sobre esta. Limitada por não ter em conta a frequência da classe modal.

li – Limite inferior da classe modalai – amplitude da classe modalni+1 – Frequência absoluta da classe seguinteni-1 - frequência absoluta da classe anterior

ExemploClasses Freq.(ni) [122, 132[ 7

[132, 142[ 29

[142, 152[ 53

[152, 162[ 25

[162, 172[ 5

[172, 182[ 1

[182, 192] 1

Total 121

li – Limite inferior da classe modalai – amplitude da classe modalni+1 – Frequência absoluta da classe seguinteni-1 - frequência absoluta da classe anterior

Classe Modal: [142, 152[

142 + 25

25+29X 10

146.6

Distribuição de frequências da tensão arterial sistólica

Mediana para dados classificadosNão é possível determinar a mediana pelo método descrito antes se não se tem os dados de todas as observações, se os dados estão agrupados em classes.Primeiro passo: Determinar a classe a que pertence a mediana, em que a frequência absoluta acumulada é ≥ a metade da amostra

Classes Freq.(ni) Freq. Abs.

acumulada[122, 132[ 7 7

[132, 142[ 29 36

[142, 152[ 53 89

[152, 162[ 25 114

[162, 172[ 5 119

[172, 182[ 1 120

[182, 192] 1 121

Total 121

Classe em que pertence a mediana: [142, 152[

Mediana para dados classificados• Segundo Passo, calcular a mediana usando uma das formulasCaso disponha de valores de frequências absolutas e absolutas acumuladas

Caso disponha de valores de frequências relativas e relativas acumuladas

li – Limite inferior da classe da medianaai – amplitude da classe da medianani – Frequência absoluta da classe da medianaNi-1 - frequência absoluta da classe anterior a classe da medianaFi-1- Frequencia relativa da classe anterior a classe da medianafi- frequencia relativa da classe mediana

Exemplo-Mediana para dados classificados

Classes Freq.(ni) [122, 132[ 7

[132, 142[ 29

[142, 152[ 53

[152, 162[ 25

[162, 172[ 5

[172, 182[ 1

[182, 192] 1

Total 121

Distribuição de frequências da tensão arterial sistólica

li – Limite inferior da classe da medianaai – amplitude da classe da medianani – Frequência absoluta da classe da medianaNi-1 - frequência absoluta da classe anterior a classe da mediana

142 + 60.5 - 29

53X 10

147.9

Quantis

• Estatísticas que permitem caracterizar o conjunto de dados dividindo-os em partes iguais.

• Os quantis mais usados são:• Percentis, dividem um conjunto de dados em 100

partes iguais• Decis, dividem um conjunto de dados em 10 partes

iguais• Quartis, dividem um conjunto de dados em 4 partes

iguais• A mediana é também um quantil e corresponde ao

percentil 50, ao decil 5 e ao quartil 2

Calculo do Quantil• Para dados não classificados a expressão usada:

p – representa o valor do quantil que se pretende calcularQuartil 1P = 1/4 = 0,25

Percentil 10P = 10/100 = 0,1

Se o resultado de for um numero inteiro então esse é o valor do quantil

Quartil 2P = 2/4 = 0,5

Se o valor de for um numero fraccionário então usa-se a formula seguinte para determinar o quantil, onde k é a parte inteira e δ a a parte fraccionaria

Decil 5P = 5/10 = 0,5

X(p) = x (k) + δ (x (k+1) – X(k))

Exemplo-calculo P50(Mediana)Considere os seguintes valores referentes ao número de filhos de 7 famílias. pretende-se determinar o valor do quartil 2 relativo a variável número de filhos por família.

(7+1) x 0,5 4

A mediana vai corresponder ao valor da variável na posição quatro da amostra após ordenar os valores

50% das famílias tem no máximo 3 filhos

Família fosforo Pequenino Mabote Vilankulo Fósforo Makurrungo Cebola

No de filhos 0 1 2 3 4 5 6

Exemplo: Calculo do Quartil 1 (Q1)

(7+1) x0.25P = 1/4 = 0.25 2

25% das famílias tem no máximo 1 filho

O Quartil vai corresponder ao valor da variável na posição 2 da amostra

Pretende-se determinar o valor do segundo quartil relativo a variável número de filhos por família.

Família fosforo Pequenino Mabote Vilankulo Fósforo Makurrungo Cebola

No de filhos 0 1 2 3 4 5 6