Universidade Estadual da Paraíba

Professora: Nyedja Fialho M. Barbosa

Assunto: Probabilidade

Introdução:

Diante de um experimento aleatório, tentamos adivinhar o resultado levando em conta o conhecimento

que temos a respeito de experimentos similares realizados anteriormente ou mesmo informações adicionais

sobre o experimento. Por exemplo, em geral tentamos prever o resultado de um jogo de futebol com base no

rendimento que cada time vem tendo. O que queremos aqui é encontrar um modelo matemático que possa

representar o experimento. O primeiro passo nesta direção é definir o conjunto dos possíveis resultados do

experimento, oespaço amostral. Agora atribuímos um “peso” a cada evento, de acordo com suas chances de

ocorrer, o que chamaremos probabilidade.

Por exemplo, quando lançamos um dado, esperamos que qualquer face tenha a mesma chance de

aparecer. Isto é um conceitointuitivo de eventos igualmente prováveis ou equiprováveis.

Consideremos um experimento com espaço amostral finito. Vamos supor que possamosatribuir a mesma

chance de ocorrência a cada um dos eventos simples do espaço amostral. Podemos, então, usar a seguinte

definição de probabilidade:

Definição Clássica de Probabilidade: Consideremos um espaço amostral Ω com N elementos, os quais vamos

supor que sejam equiprováveis. Seja A um evento de Ω composto por n elementos. A probabilidade de A, que

denotaremos por P(A), é definida como:

Onde n representa o número de casos favoráveis ao sucesso do meu experimento, e N todos os possíveis

resultados do experimento.

Exemplos:

1. Em uma sala com 15 alunos, onde 5 são do sexo feminino, qual é a probabilidade de sortearmos um

menino, ao acaso?

X: Um menino ser sorteado

2. Qual é a probabilidade de sortearmos, ao acaso, uma menina?

Y: Uma menina ser sorteada

Axioma de Kolmogorov: Seja A um evento de Ω. O número P(A) associado ao evento satisfaz as seguintes

condições:

i. ii.

iii. Se ;é uma família de eventos, dois a dois disjuntos, então,

Exemplo:

3. Suponha o lançamento de duas moedas. Assim, as possibilidades de respostas para este experimento

podem ser descritas no espaço amostral como sendo:

. Podemos associar a este

experimento uma variável aleatória que conta o número de ocorrências de sucessos no experimento. Se

tivermos interessados em saber o número de caras de ocorreram neste experimento, de cara saberíamos

que os possíveis resultados seriam 0,1 ou 2. Assim, X=0,1,2. Logo:

a.

b.

c.

Probabilidade Condicional: Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral. Supondo que P(A) > 0, a

probabilidade condicional de B dado A é definida por:

Desta expressão também obtemos a chamada regra do produto de probabilidades:

.

Exemplo:

4. Suponha que o seguinte Quadro 1 represente a quantidade de alunos que estão matriculados no entraram

no 1º período de 2012, divididos por sexo:

Quadro 1: Alunos matriculados no entraram no 1º período de 2012, em relação ao sexo

Curso Sexo Total

Masculino (M) Feminino (F)

Ciências Contábeis (C) 70 40 110

Educação Física (E) 15 15 30

Química (Q) 10 20 30

Odontologia (O) 20 10 30

Total 115 85 200

a) Dado que um estudante esteja matriculado no curso de Química, qual é a probabilidade deste aluno ser

do sexo feminino?

b) Dado que um estudante esteja matriculado no curso de Ciências Contábeis, qual é a probabilidade deste

aluno ser homem?

5. Uma urna contém duas bolas brancas e três vermelhas. Suponha que seja sorteada, ao acaso, duas bolas.

Os possíveis resultados se encontram nos Quadros2 e 3 abaixo:

Quadro 2: Resultados do

experimento 5, sem reposição

Resultados Probabilidades

BB

BV

VB

VV

Total

Quadro 3: Resultados do

experimento 5, com reposição

Resultados Probabilidades

BB

BV

VB

VV

Total

Para os resultados do Quadro 2:

a) Qual é a probabilidade de sair uma bola branca no segundo lançamento,

dado que saiu uma bola vermelha no primeiro?

: Sair uma bola vermelha no primeiro i-ésimo lançamento

: Sair uma bola Branca no primeiro i-ésimo lançamento

b) Qual é a probabilidade de sair uma bola branca no segundo lançamento,

dado que saiu uma bola branca no primeiro lançamento?

Para os resultados do Quadro 3:

a) Qual é a probabilidade de sair uma bola branca no segundo lançamento,

dado que saiu uma bola vermelha no primeiro?

: Sair uma bola vermelha no primeiro i-ésimo lançamento

: Sair uma bola Branca no primeiro i-ésimo lançamento

b) Qual é a probabilidade de sair uma bola branca no segundo lançamento,

dado que saiu uma bola branca no primeiro lançamento?

Independência de eventos: Sejam A e B dois eventos e suponha que P(A) > 0. Os

eventos A e B são ditos independentes se:

De onde decorre que ,

Voltando ao exemplo anterior, para os resultados obtidos do Quadro 3, vemos

que, no experimento com reposição, o fato de reirarmos uma bola branca no segundo

sorteio independe do primeiro sorteio, preservando a mesma probabilidade.

Teorema de Bayes:

Exemplo:

6. Imagine que temos 5 urnas exatamente iguais, cada uma com 6 bolas. As urnas 1

e 2 , do tipo , contem 3 bolas brancas e 3 bolas pretas; As urnas 3 e 4, , do tipo

contem 4 bolas brancas e 3 bolas pretas; e a urna 5, do tipo contém 6 bolas

brancas.

a) Qual é a probabilidade de retirarmos uma bola branca dado que a urna

escolhida foi do tipo ?

B: Retirarmos uma bola branca

: Escolhermos a urna 1 ou 2.

b) Qual é a probabilidade de retirarmos uma bola branca dado que a urna

escolhida foi do tipo ?

B: Retirarmos uma bola branca

: Escolhermos a urna 3 ou 4.

c) Qual é a probabilidade de retirarmos uma bola branca dado que a urna

escolhida foi do tipo ?

B: Retirarmos uma bola branca

: Escolhermos a urna 5

E se quiséssemos saber a probabilidade de ter sido escolhida uma urna do tipo

dado que saiu uma bola branca? Dessa forma teríamos que utilizar o Teorema de Bayes

para encontrar esta probabilidade...

Definição do Teorema de Bayes: Sejam A um evento, uma partição do espaço

amostral Ω e P uma probabilidade definida sobre os eventos de Ω. Temos, para i = 1,

2,... , k,

Exemplo:

7. Voltando ao exemplo anterior, agora podemos encontrar a probabilidade de ter

sido escolhida uma urna do tipo dado que saiu uma bola branca.

Sabemos que

Mas

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