4.2 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO 1 4.2.1. Equação; Curvaturas Principais; Teorema de Euler 3 4.2.2.1 Conceitos sobre curvaturas 6 4.2.2 Comprimento de um arco de elipse meridiana 10 4.2.3 Áreas sobre o elipsóide 12 4.2.4 Latitude Geocêntrica e Reduzida 13 4.2.4.1 Exercícios 15 4.2.5 Seções normais no elipsóide 16 4.2.5.1 Seções normais recíprocas 18 4.2.5.2 Ângulo formado por duas seções normais recíprocas 21 4.2.5.3 Separação entre arcos de duas seções normais recíprocas 22 4.2.6 Linha geodésica 23 4.2.6.1 Teorema de Clairaut 25 4.2.6.2 Curvatura da geodésica 26 4.2.6.3 Diferença de comprimento entre a geodésica e a seção normal 26 4.2.6.4 Ângulo formado entre a geodésica e as seções normais recíprocas 27 4.2.7 Aproximação esférica 28 4.3 REFERÊNCIAS 29

1

4.2 GEOMETRIA DO ELIPSÓIDE DE REVOLUÇÃO

O elipsóide de revolução é a figura gerada pela rotação de uma elipse sobre um de

seus eixos (eixo de revolução); se este eixo for o menor tem-se um elipsóide achatado.

Seja um sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais dextrógiro cuja origem

coincide com o centro do elipsóide de revolução, conforme ilustra a figura 4.1.

Figura 4.1 – Sistema de coordenadas cartesianas tridimensionais associado ao elipsóide de

revolução

Z

b

rφ

a

rφ

a

Y

X

Fazendo X = 0, obtém-se no plano YZ uma elipse com semi-eixo maior a e semi-eixo-

menor b (figura 4.2).

Figura 4.2 – Elipse no plano YZ

b

a

Y

Geodésia

2

Fazendo Z = 0, obtém-se no plano XY uma circunferência com raio igual ao semi-eixo

maior a (figura 4.3). Os planos paralelos ao plano XY também serão circunferências cujos

raios rφ (equação 4.1) irão variar conforme a latitude.

Figura 4.3 – Circunferência no plano XY

Y

a

a

X

E fazendo Y = 0, obtém-se no plano XZ uma elipse com semi-eixo maior a e semi-

eixo-menor b (figura 4.4).

Figura 4.4 – Elipse no plano XZ

Z

b

a

X

Geodésia

3

4.2.1 Equação; Curvaturas principais; Teorema de Euler

Existe outro elipsóide que pode representar a Terra, o elipsóide triaxial ou escaleno,

que possui três eixos desiguais, o que implica na necessidade de três parâmetros para defini-lo

matematicamente e um quarto parâmetro para definir a direção do semi-eixo maior.

Um elipsóide triaxial ou escaleno (figura 4.5), com centro na origem do sistema

cartesiano considerado, tem a seguinte equação:

12

2

2

2

2

2=+++

bz

cy

ax (4.1)

Na equação (4.1) as variáveis x, y e z podem assumir os intervalos -a ≤ x ≤ a

-c ≤ y ≤ c e - b ≤ z ≤ b;

A condição da equação (4.1) é que os semi-eixos do elipsóide triaxial assumam a

seguinte ordem de grandeza:

b < c < a (4.2)

Figura 4.5 – Elipsóide triaxial ou escaleno

Z

c

b

a

X

Y

As seções determinadas pelos planos coordenados Z = 0, Y = 0 e X = 0 são elipses

Geodésia

4

dadas pelas equações:

12

2

2

2=+

cy

ax 1

2

2

2

2=+

bz

ax 1

2

2

2

2=+

bz

cy (4.3)

A seção produzida por um plano paralelo ao plano Z = 0, por Z = d é dada pela

equação (4.4) que representa uma elipse:

1)()( 22

2

2

2

222

2

2=

−

+

− dbbc

y

dbba

x (4.4)

De maneira análoga, as seções produzidas por planos paralelos aos demais planos

coordenados também são elipses. Fazendo na equação (4.1) a = c, a seção será uma

circunferência para todos os valores de d que satisfaçam à condição – b < d < b e tem-se um

elipsóide de revolução. Se a > b, o elipsóide de revolução será achatado e constitui a

superfície gerada pela rotação de uma semi-elipse em torno do eixo Z, definida

matematicamente pela equação:

12

2

2

22=+

+

bz

ayx (4.5)

Um elipsóide de revolução, ou biaxial, fica perfeitamente definido por meio de dois

parâmetros, o semi-eixo maior a e o semi-eixo menor b . Em Geodésia, o elipsóide de

revolução é tradicionalmente definido através dos parâmetros semi-eixo maior a e

achatamento f.

Como o elipsóide de revolução é o modelo utilizado para representar a forma da Terra

é necessário conhecer seus elementos geométricos e as relações existentes entre eles.

Da equação (4.5) deduz-se que toda seção produzida por um plano que passe pelo eixo

Z será uma elipse de semi-eixo maior a e semi-eixo menor b, e qualquer relação válida para

uma seção é válida para as demais e para o elipsóide de revolução. A seção produzida pelo

plano X = 0 na superfície representada pela equação (4.5) é uma elipse (figura 4.6) dada pela

equação:

12

2

2

2=+

bz

ay (4.6)

Geodésia

5

Figura 4.6 – Seção produzida pelo plano X = 0 no elipsóide de revolução

R

F

Z

P’

P

π/2 + φ Ψ φ

C

B

P’( 0, y, z )

f

z

y

b

O

a

Y

Q Q’

Sendo, na figura 4.6:

F = foco

f = distância focal

a = semi-eixo maior da elipse

b = semi-eixo menor da elipse

φ = latitude elipsóidica

Ψ = latitude geocêntrica

O achatamento f é a razão entre a diferença dos semi-eixos em módulo e o semi-eixo

maior:

abaf −

= (4.7)

A primeira excentricidade ao quadrado e2 é dada por:

Geodésia

6

22 2 ffe −= (4.8)

2

222

abae −

= (4.9)

A segunda excentricidade e’2 é fornecida por:

2

222'

bbae −

= (4.10)

que se relaciona com a primeira excentricidade por:

(1- e2) (1+ e2) = 1 (4.11)

ou

2

2

2

22'

)1(2

1 fff

eee

−−

=−

= (4.12)

2'

2'2

1 eee+

= (4.13)

2

2'

22'

2

2

11)1(

ee

ee

ba

=−

=−= (4.14)

'

2'2

eeeef+

= (4.15)

4.2.2.1 Conceitos sobre curvaturas

Seja s a distância entre dois pontos A e B sobre uma curva plana e ω o ângulo formado

pelas normais que passam por A e B (figura 4.7). Define-se a curvatura (ρ) da linha pelo

quociente:

Geodésia

7

sωρ = (4.16)

Figura 4.7 – Curvatura

ω

s

B A

Raio de curvatura da curva em um ponto (ou raio do círculo osculador) é o inverso da

curvatura, ou seja,

ωρs

=1 (4.17)

Chama-se raio de curvatura principal em um ponto A de uma superfície, à seção

produzida por um plano normal à mesma, tal que o raio de curvatura correspondente seja o

máximo ou o mínimo dentre todos os possíveis.

Normalmente, em uma superfície, existirão duas seções principais. Todas as demais,

compreendidas por planos que passam pela normal ao ponto A terão raios de curvatura

compreendidos entre ambos, conforme ilustra a figura 4.8 (ASÍN, 1990, p. 167).

Restringindo-se ao elipsóide, têm-se duas seções principais, a da elipse meridiana,

com curvatura máxima e a produzida por um plano que contém a normal no ponto A e é

perpendicular ao plano do meridiano, cuja curvatura é mínima. Os raios de curvatura

correspondentes a estas seções principais são M e N (equações 4.20 e 4.18 respectivamente)

Figura 4.8 – Planos que passam pela normal no ponto A

Geodésia

8

Normal a superfície

M N superfície

Fonte: adaptado de ASÍN (1990, p.168)

O raio de curvatura da seção primeiro vertical N ou grande normal e a pequena normal

N’ são dados por:

( ) 2/1221 φsene

aN−

= (4.18)

)1(' 2eNN −= (4.19)

onde φ é a latitude geodésica de P.

Na figura 4.9, seja uma reta que passa por um ponto P na superfície física da Terra

perpendicular à superfície do elipsóide de revolução. Esta reta é denominada normal de P. A

distância entre os pontos P’ e P’’’ é a grande normal N e a distância entre os pontos P’ e P’’ é

a pequena normal N’.

Figura 4.9 – Grande normal N e pequena normal N’

Geodésia

9

P

b

Superfície física

Normal de P

P’”

P’

a P’’

O raio de curvatura da seção meridiana M é calculado por:

2/322

2

)1()1(φsene

eaM−

−= (4.20)

Conhecidos os raios de curvatura principais em um ponto define-se como curvatura

média a expressão:

NMRm

11= (4.21)

E o raio médio de curvatura é dado por:

NMRM = (4.22)

Conhecendo-se o azimute A de uma seção normal em um ponto do elipsóide, o raio de

curvatura correspondente a essa seção é proporcionado pelo Teorema de Euler, que fornece o

raio de curvatura R de uma seção genérica com azimute A:

Geodésia

10

NAsen

MA

R

22cos1+= (4.23)

A figura 4.10 ilustra o Teorema de Euler.

Figura 4.10 – Teorema de Euler

NA

α

A

OA

O raio do paralelo rφ que contém um ponto dado é fornecido pelo Teorema de

Meusnier, cujo enunciado é (GEMAEL, 1987, não paginado):

“O raio de curvatura de uma seção oblíqua cujo plano contém uma tangente à

superfície na origem é igual ao produto do raio da seção normal cujo plano contém a mesma

tangente pelo cosseno do ângulo formado pelas duas seções”.

φφ cosNr = (4.24)

4.2.2 Comprimento de um arco de elipse meridiana

O comprimento de um arco de elipse meridiana (figura 4.11) é dado por (GEMAEL,

1987, não paginado):

Geodésia

11

)]...1010((101)88(

81)66(

61

)44(41)22(

21"1)"()[1(

121212

1212122

φφφφφφ

φφφφφφ

sensenFsensenEsensenD

sensenCsensenBsenAeas

−−−+−+

−−+−−−−=

(4.25)

E os valores dos coeficientes A, B, C, D e E são dados por:

........6553643659

1638411025

256175

6445

431 108642 ++++++= eeeeeA (4.26)

........6553672765

20482205

512525

1615

43 108642 +++++= eeeeeB (4.27)

........1638410395

40962205

256105

6415 10864 ++++= eeeeC (4.28)

........13107231185

2048315

51235 1086 +++= eeeD (4.29)

........655363465

16384315 108 ++= eeE (4.30)

........131072

693 10 += eF (4.30’)

Geodésia

12

Figura 4.11 – Arco de elipse meridiana

Δφ

2

1

4.4.3 Áreas sobre o elipsóide

A área sobre uma zona elipsóidica (figura 4.12) é obtida por (GEMAEL, 1987, não

paginado):

...]5cos5sen'3cos3sen'cossen'[4 22

1−Δ+Δ−Δ= mmm CBAbA φφφφφφπφ

φ (4.31)

com

212 φφ

φ−

=Δ (4.32)

2

12 φφφ

+=m (4.33)

........25663

12835

165

83

211' 108642 ++++++= eeeeeA (4.34)

........25645

19235

163

163

641' 108642 +++++= eeeeeB (4.35)

........51245

645

161

803' 10864 ++++= eeeeC (4.36)

........51215

2565

1121' 1086 +++= eeeD (4.37)

Geodésia

13

........512

32304

5' 108 ++= eeE (4.38)

Figura 4.12 – Zona elipsóidica

X

A área T do quadrilátero elipsóidico, compreendido entre dois paralelos e dois

meridianos é fornecida por

....5cos5sen'3cos3sen'cossen'(2 2 +Δ+Δ−ΔΔ= mmm CBAbT φφφφφφλ ) (4.39)

4.2.4 Latitude geocêntrica e reduzida

Seja o ponto P’ sobre a superfície elipsóidica da figura 4.6. A normal ao elipsóide que

passa por P’ forma com sua projeção equatorial (Z=0) a latitude geodésica ou elipsóidica φ,

cuja variação é de -π/2 ≤ φ ≤ π/2, sendo considerada por convenção positiva no Hemisfério

Norte e negativa no Hemisfério Sul.

A latitude geocêntrica ψ do ponto P’ é o ângulo formado pelo raio vetor deste ponto

com sua projeção sobre o plano equatorial. A latitude geocêntrica apresenta a mesma variação

e convenção da latitude geodésica.

φtgetg )1( 2−=Ψ (4.40)

A figura 4.13 ilustra a latitude geodésica e geocêntrica no elipsóide de revolução.

Geodésia

14

Figura 4.13 – Representação da latitude geodésica e geocêntrica no elipsóide de revolução

C

B

P’

PN

φ ψ

PS

O elipsóide de revolução possui duas esferas principais, uma com raio igual ao semi-

eixo menor e outra com raio igual ao semi-eixo maior, ambas concêntricas, com centro no

elipsóide (figura 4.14).

Figura 4.14 – Esferas principais do elipsóide de revolução

r

M

μ

z

y a

A’

A (0,y,z)

Z

O Y

Geodésia

15

A superfície esférica de raio igual ao semi-eixo maior é tangente ao elipsóide ao longo

da linha equatorial. Esta superfície é conhecida por “esfera de Jacobi” ou “esfera reduzida”. A

cada ponto A situado na superfície do elipsóide de revolução corresponde um ponto A’ na

esfera reduzida, através do prolongamento da ordenada de A .

Latitude reduzida (μ) é o ângulo formado pelo raio vetor ( 'OA ) do ponto imagem sobre

a esfera reduzida e sua projeção sobre o plano equatorial. Apresenta a mesma variação e

convenções das latitudes geodésicas e geocêntricas.

A relação entre latitude reduzida e latitude geodésica é dada por:

φμ tgetg 2/12 )1( −= (4.41)

4.2.4.1 Exercícios

Para um ponto de latitude geodésica φ = 25o 25’42’’S determinada no sistema

geodésico SAD 69, calcular os itens a seguir discriminados.

Para o SAD 69 o elipsóide utilizado é o de referência de 1967 cujos parâmetros são:

a = 6378160,00 m f = 1/298,25

1) Primeira excentricidade ao quadrado: e2 = .................................................

2) Semi-eixo menor: b = ..................................................

3) Raio de curvatura da seção primeiro vertical: N = .................................................

4) Pequena normal: N’= .................................................

5) Raio de curvatura da seção meridiana: M = ................................................

6) Raio médio de curvatura: Rm = ...............................................

Geodésia

16

7) Raio de curvatura de uma seção cujo azimute é A = 30o:

R = .................................................

8) Raio do paralelo que contém o ponto dado: rφ = .................................................

9) Segunda excentricidade do elipsóide: e’2 = ................................................

10) Latitude geocêntrica: ψ = .................................................

11) Latitude reduzida : μ=....................................................

12) Distância do ponto ao centro do elipsóide: y = ..................................................

z = .................................................

R = .................................................

4.2.5 Seções normais no elipsóide

Por um ponto P’ sobre a superfície do elipsóide de revolução é possível conduzir

infinitos planos que contém a normal à superfície. Qualquer plano que contém a normal e

portanto seja perpendicular ao plano tangente ao elipsóide nesse ponto é chamado de plano

normal. A curva resultante da interseção de um plano normal com a superfície elipsóidica

chama-se seção normal. Em cada ponto existem duas seções normais principais que são

mutuamente perpendiculares e cujas curvaturas nesse ponto são, uma máxima e uma mínima.

Um ponto P’ sobre a superfície de um elipsóide de revolução possui as seções normais

principais chamadas de seção normal meridiana e seção normal primeiro vertical. A seção

normal do primeiro vertical é gerada pelo plano Ω perpendicular seção meridiana no ponto P’

(figura 4.15).

O raio de curvatura da seção meridiana é representado por M e o raio de curvatura da

seção primeiro vertical é representado por N.

Geodésia

17

Figura 4.15 – Seção normal primeiro vertical

Z

Ω

P’

π/2 + φ

P’’’

P’’ φ

Y

X

A figura 4.16 ilustra uma curva resultante da interseção do plano paralelo ao plano xy,

passante por P’, oblíqua à seção do primeiro vertical, sendo que ambas as seções se

interceptam segundo a tangente ao elipsóide.

Figura 4.16 – Raio vetor de um ponto no elipsóide de revolução

Z

X

Y

P’ (0,y,z) r = y

z R

O

t

φ

π/2 - φ

P’’

π/2 + φ

Geodésia

18

O Teorema de Meusnier fornece o raio de curvatura de uma seção oblíqua (equação

4.24). De acordo com os elementos já definidos e com a figura 4.16 tem-se:

2/122 )1(coscos

φφφ

seneaNyr

−=== (4.42)

φφ seneNsenNz )1(' 2−== (4.43) O raio vetor de P’ corresponde ao segmento ROP =' (figuras 4.6 e 4.16) distância do

centro do elipsóide a um ponto P’ sobre sua superfície. Este segmento apresenta uma variação

de b ≤ R ≤ a.

O raio vetor em função das coordenadas retilíneas do ponto P’ é dado por:

22 zyR += (4.44)

4.2.5.1 Seções normais recíprocas

As normais relativas a dois pontos de uma superfície esférica convergem no centro da

esfera, sendo portanto co-planares (figura 4.17). O mesmo não acontece com dois pontos

quaisquer da superfície elipsoidal.

Figura 4.17 – Normais a uma superfície esférica

Z

A B

O

Y

X

Geodésia

19

Sejam dois pontos P1 e P2 sobre a superfície de um elipsóide de revolução, com

latitudes φ1 e φ2 tais que ⎜φ1⎜< ⎜φ2 ⎜e as longitudes λ1 e λ2 sejam diferentes, conforme a figura

4.18.

Figura 4.18 – Seções normais em dois pontos P1 e P2

Z

n2

n1

N2

N1

P2

P1

φ2φ1

Y X

As normais à superfície elipsóidica de cada ponto interceptam o eixo Z em dois pontos

diferentes n1 e n2. Os segmentos de reta definidos por P1n1 = N1 e P2n2 = N2 são as grandes

normais (ou raios de curvatura da seção primeiro vertical) dos pontos P1 e P2.

Observa-se na figura 4.18 que quanto maior a latitude do ponto, maior a grande

normal.

A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal em P1 e o

ponto P2, com o elipsóide de revolução, é dita “seção normal direta” em relação a P1, ou

“seção normal recíproca” em relação em relação a P2, indicada por uma seta no sentido de P2.

A seção normal resultante da interseção do plano que contém a normal em P2 e o ponto P1,

com o elipsóide de revolução, é chamada “seção normal direta” em relação a P2 ou “seção

normal recíproca” em relação a P1, indicada por uma seta no sentido de P1. Para identificar a

seção normal direta de um ponto P1 para um ponto P2 toma-se como referência o ponto que

estiver mais ao Sul. A seção direta do ponto mais ao Sul é a curva mais ao Sul (figura 4.19).

As duas seções, a direta e a recíproca, são chamadas “seções normais recíprocas”. Os planos

que definem as seções normais recíprocas não coincidem quando as latitudes e longitudes são

diferentes.

Geodésia

20

Figura 4.19 – Seções normais diretas e recíprocas

P3

P2P5

P4

P1

Existem alguns casos particulares em que as normais se interceptam, ou seja, são co-

planares:

a) quando os dois pontos P1 e P2 possuem a mesma latitude, situando-se portanto no

mesmo paralelo (figura 4.20).

Figura 4.20 – Seções normais em dois pontos com mesma latitude

N2

N1

P2P1

φ2φ1

Z

Y X

b) quando os dois pontos P1 e P2 possuem a mesma longitude, situando-se portanto

no mesmo meridiano (figura 4.21).

Geodésia

21

Portanto, para latitudes ou longitudes iguais, as seções normais recíprocas são

coincidentes.

Figura 4.21 – Seções normais em dois pontos com mesma longitude

P1

P2

φ2 φ1

Z

Y X 4.2.5.2 Ângulo formado por duas seções normais recíprocas

Dois pontos P1 e P2 com coordenadas elipsóidicas diferentes sobre a superfície de um

elipsóide de revolução definem duas seções normais recíprocas. O ângulo formado pelas

seções normais recíprocas é obtido pela equação:

)4

2cos2(

4''' 2

2

22

bsenSsenA

AsenbSe s

sφ

φθ −= (4.45)

Onde:

θ”= ângulo entre duas seções normais recíprocas em segundos de arco;

e’2 = segunda excentricidade;

S = comprimento da linha geodésica;

As = Azimute da seção normal direta (contado a partir do Norte do sentido horário);

φ = latitude geodésica ou elipsóidica;

b = semi-eixo menor;

Geodésia

22

Como a diferença entre os ângulos θ1 e θ2 formados pelas duas seções normais

recíprocas em P1 e P2, respectivamente, é muito pequena (figura 4.22), θ1 e θ2 são

considerados iguais, o que não compromete a precisão dos resultados em cálculos geodésicos,

como por exemplo, o transporte de coordenadas. O ângulo formado por duas seções normais

recíprocas pode atingir a ordem de centésimos de segundo (0,01”) em triangulações e

poligonações clássicas.

Figura 4.22 – Ângulo entre duas seções normais recíprocas

P2

θ2

θ1

P1

4.2.5.3 Separação entre arcos de duas seções normais recíprocas

Fazendo-se algumas simplificações, chega-se à equação que fornece a separação

máxima (l) entre duas seções normais recíprocas (GEMAEL, 1987, não paginado):

2

232

162cos

NAsenSe

l sφ= (4.46)

Nas condições mais desfavoráveis para φ = 0° e As = π/4, o valor máximo da

separação (l) entre duas seções normais recíprocas (considerando-se o comprimento das

seções como igual ao da linha geodésica), para um comprimento de 40 km, não chega a 1

mm.

Geodésia

23

4.2.6 Linha geodésica

A figura 4.23 ilustra três pontos P1, P2 e P3 sobre a superfície do elipsóide de

revolução. Se fosse possível instalar um teodolito no vértice P1, fazendo o eixo vertical

coincidir com a normal ao ponto P1, ao apontá-lo para o ponto P2 o plano de visada

coincidiria com o plano da seção normal direta de P1 para P2. De P2 para P1 o plano de visada

do teodolito interceptaria a superfície do elipsóide ao longo do plano da seção normal direta

de P2 para P1. A mesma análise pode ser feita para os outros vértices. Conclui-se que o

triângulo P1-P2-P3 não é determinado de maneira unívoca devido à duplicidade de seções

normais.

Figura 4.23 – Triângulo elipsóidico

P3

P1

P2

Para definir o triângulo elipsóidico P1-P2-P3 de maneira unívoca, os vértices P1, P2 e

P3 devem ser unidos pelo melhor caminho. A curva que representa o menor caminho entre

dois vértices geodésicos P1 e P2 sobre o elipsóide de revolução, não é a seção normal direta de

P1 nem a sua seção normal recíproca, mas sim uma curva, em geral reversa, situada entre duas

seções normais recíprocas, denominada de geodésica. Curva reversa é uma curva que não está

contida em um plano.

O menor caminho entre dois pontos no plano é um segmento de reta, na esfera, um

arco de circunferência máxima e no elipsóide de revolução, a geodésica. Sobre a superfície

esférica a geodésica é um arco de circunferência máxima.

Geodésica (figura 4.24) é a linha jacente numa superfície, tal que em todos os seus

pontos o plano osculador é normal à superfície, ou em todos os seus pontos a normal principal

coincide com a normal à superfície.

Geodésia

24

Figura 4.24 - Geodésica

Z

A21

P2

P1

A12

Y X

O plano osculador da geodésica é perpendicular em qualquer ponto ao plano tangente

à superfície, conforme ilustra a figura 4.25.

Figura 4.25 – Plano Osculador

Plano osculador

Plano normal

Plano retificador

Fonte:<http://www.terra.es/personal/ jftjft/Imagenes/Plano.gif>

Geodésia

25

4.2.6.1 Teorema de Clairaut

O enunciado do Teorema de Clairaut é o seguinte:

“Em qualquer ponto de uma linha geodésica traçada sobre uma superfície de revolução

o produto do raio r do paralelo desse ponto pelo seno do azimute A da geodésica é constante”.

Ou seja:

r sen A = constante (4.47)

O estudo do comportamento da geodésica sobre o elipsóide de revolução, fundamental

na solução do problema geodésico direto e inverso, baseia-se no Teorema de Clairaut.

Para um ponto situado no equador, as latitudes geodésica, geocêntrica e/ou reduzidas

são nulas, pode-se então escrever:

a sen Aq = constante (4.48)

Como o raio r é máximo no equador, igual ao semi-eixo maior a, e considerando-se o

Teorema de Clairaut tem-se que

sen Aq = min (4.49)

Comparando-se as equações (4.47) e (4.48) obtém-se:

r sen A = a sen Aq = constante (4.50)

Substituindo na equação (4.50) o valor de r fornecido pela equação (4.42) obtém-se a

equação do azimute equatorial Aq da linha geodésica. O azimute equatorial de uma linha

geodésica é do mesmo quadrante do azimute em um ponto qualquer da mesma, com latitude

variando de 0° até o paralelo limite:

asenANsenAqφcos

= (4.51)

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Toda geodésica admite dois paralelos limites, simétricos e tangentes, determinando a

zona elipsoidal em que está contida. Os pontos comuns à geodésica e aos paralelos limites são

os vértices da geodésica, onde a latitude é máxima ou mínima. A geodésica não se fecha sobre

si mesma, isto é, percorre “espiras” dentro da zona elipsóidica na qual está contida.

4.2.6.2 Curvatura da geodésica

O raio de curvatura de uma geodésica é fornecido pelo Teorema de Guderman, cujo

enunciado é: “O raio de curvatura de uma linha geodésica jacente na superfície de um

elipsóide de revolução é, em todos os pontos, proporcional ao raio de curvatura da seção

meridiana.”

qA Asene

M221−

=ρ (4.52)

4.2.6.3 Diferença de comprimento entre a geodésica e a seção normal

As seções normais não formam triângulos elipsóidicos únicos e para solucionar

problemas geodésicos é necessário conhecer a linha geodésica correspondente às seções

normais.

A diferença de comprimento da seção normal relativa a dois pontos P1 e P2 e o

comprimento da linha geodésica é calculada através de uma série, sendo suficiente seu

primeiro termo:

4

2445

3602cos

NAseneSS φδ =− (4.53)

sendo:

δ = comprimento da seção normal;

S = comprimento da linha geodésica;

A = azimute da linha geodésica entre P1 e P2;

Nas condições mais desfavoráveis (φ = 0° e A = 45°) e sendo o comprimento S da

geodésica 40.000 m a diferença não atinge 0,1 mm.

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4.2.6.4 Ângulo formado entre a geodésica e as seções normais recíprocas

Duas seções normais recíprocas sobre a superfície de um elipsóide de revolução

formam entre si um ângulo θ. Se fosse possível instalar um teodolito sobre a superfície do

elipsóide as medidas angulares se refeririam às seções normais. Mas, é necessário transformar

as medidas correspondentes às seções normais em medidas correspondentes à linha geodésica.

A figura (4.26) mostra duas seções normais recíprocas e a correspondente linha

geodésica.

Figura 4.26- Seções normais recíprocas e a linha geodésica correspondente

θ/32θ/3

As

θ A12

θ/32θ/3

1

2

A linha geodésica S divide o ângulo θ entre duas seções normais recíprocas na razão

1:2, portanto o ângulo formado pela geodésica e a seção normal direta de P1 para P2

corresponde a 1/3 do ângulo formado pelas seções normais recíprocas. O ângulo formado pela

geodésica e a seção normal recíproca de P1 para P2 é 2/3 do ângulo formado pelas seções

normais recíprocas.

Como o ângulo entre duas seções normais recíprocas é dado pela equação (4.45), para

obter o ângulo entre a seção normal e a linha geodésica faz-se:

)4

2cos2(

4'''

32

2

22

bsenSsenA

AsenbSe s

sφ

φθ−= (4.54)

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A transformação do azimute de uma seção normal direta (As) no azimute da

correspondente geodésica (A12) é dada pela equação abaixo, considerando-se o azimute

contado a partir do Norte, no sentido horário:

312θ

−= sAA (4.55)

4.2.7 Aproximação esférica

O modelo esférico também pode ser utilizado para representar a superfície terrestre.

Uma esfera particular é a “esfera de adaptação de Gauss” cujo raio (Rm) é igual ao raio médio

a ser definido posteriormente.

O Teorema de Gauss (ASÍN, 1990, p.174) diz: “Para que um elemento de uma

superfície considerada perfeitamente flexível e indeformável possa ser aplicado sobre um

elemento de outra superfície sem sofrer rompimento, nem dobras é necessário e suficiente que

nos centros dos elementos considerados a curvatura média de ambas as superfícies seja a

mesma.”

Na passagem de elipsóide à esfera, as linhas geodésicas passam a ser círculos

máximos. Dentro de aproximação admissível para determinadas aplicações é possível

transformar um elemento da superfície do elipsóide em um elemento da esfera cujo raio Rm

será (MN)1/2 .

A esfera de adaptação de Gauss é adotada como superfície de referência pela NBR

14166 – Rede de Cadastral Municipal – Procedimento.

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4.3. REFERÊNCIAS

ABNT. NBR 13133 –Execução de Levantamento Topográfico. ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro. 1994. 35 p. ABNT. NBR 14166 – Rede de Referência Cadastral Municipal – Procedimento. ABNT – Associação Brasileira de Normas Técnicas, Rio de Janeiro. 1998. 23 p. ASÍN, F. M. Geodesia y Cartografía Matemática. Ed. Madrid: Instituto Geografico Nacional. 1990. 422 p. BOMFORD, G. Geodesy. 3th ed. Oxford: Oxford University Press. 1971. 731 p. COSTA, S.M.A. Integração da Rede Geodésica Brasileira aos Sistemas de Referência Terrestres. Curitiba. 156 p. Tese (Doutorado em Ciências Geodésicas). Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas. Universidade Federal do Paraná. 1999. DGFI. Geodetic Reference System 1980 (GRS80). Disponível em : < http://dgfi2.dgfi.badw-muenchen.de/geodis/REFS/grs80.html > Acesso em set. 2003. FAGGION, P.L. & FREITAS, S.R.C. Desníveis de Precisão em âmbito Regional com Estação Total. 2003. FAGGION, P.L. Obtenção de Elementos de Calibração e Certificação de Medidores Eletrônicos de Distância em Campo e Laboratório. 130 p. Tese (Doutorado em Ciências Geodésicas). Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas. Universidade Federal do Paraná. 2001. GATTI, M.; STOPPINI, A. Appropriate use of international reference frames in regional GPS applications: guidelines and examples. Bolletino di Geodesia e Scienze Affini, n. 1, p. 1-18, 2000. GEMAEL, C. Introdução à Geodésia Física. Curitiba: Editora da UFPR, 1999. 302 p. GEMAEL, C. Introdução à Geodésia Geométrica. Curitiba. Universidade Federal do Paraná. Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas. 1987. GEMAEL, C. Referenciais Cartesianos Utilizados em Geodésia. Curitiba. Universidade Federal do Paraná. Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas. 1981. GEODETIC SURVEY DIVISION. Geodesy. Disponível em: < http:// www.geod.rncan.gc.ca/index_e/geodesy_e/>. Acesso em out. de 2003. GRAFAREND, E.W.; AWANGE, J.L. Determination of vertical deflections by GPS/LPS Measurements. Zfv. v.8, 2000. p 279-288. IBGE. Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Geociências/ Geodésia/ Download. Disponível em: <http://www.ibge.gov.br >. Acesso em julho de 2003.

Geodésia

30

IBGE . Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Resolução PR nº 22. Rio de Janeiro, 1983. 11 p. IBGE . Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Resolução nº 23. Rio de Janeiro, 1989. 4 p. IBGE . Fundação Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística. Proposta Preliminar para a adoção de um referencial geocêntrico no Brasil. Documento preliminar – texto para discussão. Grupos de Trabalho I e II. Rio de Janeiro, outubro de 2000. 30 p. IGN. REGAL. Disponível em: < http://kreiz.unice.fr/regal> Acesso em 01 set. 2001. KNIPPERS, R. Geometrics Aspects of Mapping. Disponível em: <http://kartoweb.itc.nl/geometrics/Reference%20surfaces/body.htm > . Acesso em julho de 2004. LAREG. ITRF2000. Disponível em: < http://lareg.ign.fr> . Acesso em 01 jun. 2003. LAREG. RGP. Disponível em: < http://lareg.ensg.ign.fr/rgp > . Acesso em 01 set. 2001. MONICO, J.F.G. Posicionamento pelo NAVSTAR – GPS: Descrição, fundamentos e aplicações. São Paulo: Editora UNESP, 2000. 287 p. NADAL, C.A. Notas de Aula. Disciplina: Sistemas de Referência. Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas. 2002. NADAL, C.A. Insolação de paredes verticais. Curitiba. Universidade Federal do Paraná. DAEC. 1997. 44p. NADAL, C.A. & HATSCHBACH, F. Introdução aos Sistemas de tempo. Curitiba. Universidade Federal do Paraná. 2000. 51 p. NGS. CORS. Disponível em: < http://www.ngs.noaa/cors > . Acesso em 01 set. 2001. NIMA. GPS precise ephemerides, satellite clock parameters and smoothed observations. Disponível em: <www.nima.mil/GandG/sathtml/gpsdoc2003_04c.doc> . Acesso em setembro de 2003. NMSU. Sea Surface and Geoid. Disponível em : <http://geophysics.nmsu.edu/west/introgeophys/05_sea_surface_and_geoid/> . Acesso em julho de 2004. RÜEGER, J.M. Electronic Distance Measurement. 3th ed. Berlin: Springer-Verlag, 1996. 266p. SANTOS Jr, G. Utilização da Integral Elíptica para a Solução dos Problemas Direto e Inverso da Geodésia. Curitiba, 2002. 165 p. Tese ( Mestrado em Geociências). Curso de Pós-Graduação em Ciências Geodésicas, Universidade Federal do Paraná. SCAR. SCAR. Disponível em: < http://www.scar.org > . Acesso em 01 set. 2001.

Geodésia

31

SCHERRER, R. Reducción de distâncias en los distanciómetros infrarrojos. Herrbrugg, Suiça: Wild Heerbrugg. 19 p. SPACE FLIGHT DATA. Motion of the Earth. Disponível em: <http://www.tigerwave.com/spaceflight/EarthMotion.htm >. Acesso em julho de 2004. TORGE, W. Geodesy. Berlin, New York : Walter de Gruyter, 1980. 254 p. TORGE, W. Geodesy. Berlin, New York: Walter de Gruyter, 2001. 416 p. WALKER, J. Earth and Moon Viewer. Disponível em: < http://www.fourmilab.ch/cgi-bin/uncgi/Earth?imgsize=1024&opt=> . Acesso em janeiro de 2003. ZAKATOV, P.S. Curso de Geodesia Superior. Tradução do original russo de 1976. Rússia: Editorial Mir, 1981. 635 p.

Geodésia