46486267-Matematica

APOSTILA DE MATEMÁTICA

CONCURSO PETROBRÁS 2006

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MATEMÁTICA

CONCURSO PETROBRÁS 2008

ENGENHEIRO DE PRODUÇÃO JR.

Teoria dos conjuntos

Introdução aos conjuntos

No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.

Alguns conceitos primitivos

Conjunto: representa uma coleção de objetos.

a. O conjunto de todos os brasileiros. b. O conjunto de todos os números naturais. c. O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.

Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.

Elemento: é um dos componentes de um conjunto.

a. José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros. b. 1 é um elemento do conjunto dos números naturais. c. -2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz

à equação x²-4=0.

Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.

Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.

a. José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros. b. 1 pertence ao conjunto dos números naturais.

c. -2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.

Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo que se lê: "pertence".

Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

1 N

Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:

0 N

Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.

Algumas notações para conjuntos

Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:

Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.

a. A={a,e,i,o,u} b. N={1,2,3,4,...} c. M={João,Maria,José}

Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.

a. A={x: x é uma vogal} b. N={x: x é um número natural} c. M={x: x é uma pessoa da família de Maria}

Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.

Subconjuntos

Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por A B, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.

Alguns conjuntos especiais

Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.

Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.

Reunião de conjuntos

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.

A B = { x: x A ou x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A B={a,e,i,o,3,4}.

Interseção de conjuntos

A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.

A B = { x: x A e x B }

Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A B=Ø.

Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.

Propriedades dos conjuntos

1. Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por A B e a interseção de A e B, denotada por A B, ainda são conjuntos no universo.

2. Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:

A A = A e A A = A

3. Inclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A A B, B A B, A B A, A B B

4. Inclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B equivale a A B = B A B equivale a A B = A

5. Associativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C

6. Comutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:

A B = B A A B = B A

7. Elemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A Ø = A

8. Elemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.

A Ø = Ø

9. Elemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:

A U = A

10. Distributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:

A (B C ) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C)

Os gráficos abaixo mostram a distributividade.

Diferença de conjuntos

A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

A-B = {x: x A e x B}

Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:

Complemento de um conjunto

O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.

CAB = A-B = {x: x A e x B}

Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:

Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.

Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.

Leis de Augustus De Morgan

1. O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(A B)c = Ac Bc

2. O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2

c ... Anc

3. O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(A B)c = Ac Bc

4. O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.

(A1 A2 ... An)c = A1c A2

c ... Anc

Diferença simétrica

A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.

A B = { x: x A B e x A B }

O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:

Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:

1. A=Ø se, e somente se, B=A B. 2. O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de

diferença simétrica. Usar o ítem anterior. 3. A diferença simétrica é comutativa. 4. A diferença simétrica é associativa. 5. A A=Ø (conjunto vazio). 6. A interseção entre A e B C é distributiva, isto é:

A (B C) = (A B) (A C) 7. A B está contida na reunião de A C e de B C, mas esta

inclusão é própria, isto é: A B (A C) (B C)

NÚMEROS REAIS Importância dos números reais

Em geral, os cursos de Cálculo começam por um breve estudo dos números reais e um curso de Análise Matemática tem início por um estudo bastante completo e rigoroso destes números. A razão é simples. No Cálculo e na Análise, estuda-se o comportamento de funções e o comportamento de uma função depende dos três elementos importantes que a compõem:

domínio, contradomínio e lei de definição

Assim, é importante ter clareza sobre as propriedades dos números reais, para compreender as funções de uma variável real. Esta compreensão dos números reais não é tão simples como parece. O problema começa pelo método de introdução dos reais: o método construtivo ou o método axiomático.

O interessante é que na ponta inicial do método construtivo também está o método axiomático. Na realidade, o método axiomático fundamenta toda teoria matemática. Por isso, vamos falar um pouco dele. Compreender como se faz matemática é algo vital para um professor de Matemática. Ninguém pode ensinar algo que não sabe, que não compreende.

A construção dos números reais

Em uma teoria axiomática temos:

1. Termos indefinidos 2. Relações indefinidas 3. Axiomas relacionando termos indefinidos e relações indefinidas 4. Definições 5. Teoremas baseados em axiomas e definições

Os termos e as relações indefinidas também são denominados conceitos primitivos. Axiomas são propriedades aceitas como verdadeiras, sem questionamento e sem demonstração.

Exemplo: Um exemplo simples de teoria axiomática é a teoria dos conjuntos.

1. Conjunto e elemento de um conjunto são termos indefinidos. 2. Um elemento pertence a um conjunto é uma relação não definida.

A teoria dos conjuntos tem dois axiomas fundamentais (que não são os únicos):

Axioma da Extensão: Dois conjuntos A e B são iguais se, e somente se, cada elemento de A pertence a B e cada elemento de B pertence a A.

Axioma da Especificação: Se P(x) é uma proposição qualquer e A é um conjunto qualquer, então existe um único conjunto B tal que:

B = {a: a pertence a A, P(a) é verdadeiro }

Com os elementos disponíveis, podemos definir novos objetos, como por exemplo, a reunião de dois conjuntos:

A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem a A ou a B, o que em símbolos matemáticos, pode ser escrito:

A B = { x : x pertence a A ou x pertence a B }

Agora, com base na definição anterior e no axioma da extensão podemos enunciar a propriedade associativa para a reunião:

Teorema: Se A, B e C são conjuntos quaisquer, então:

(A B) C = A (B C)

Observamos que uma das conseqüências do axioma da especificação é a existência do conjunto vazio, geralmente tão mal compreendido. Por exemplo, consideremos no conjunto dos números naturais a seguinte proposição:

P(x): x+4=1

Se considerarmos o universo de trabalho como o conjunto dos números naturais, o conjunto B acima definido será vazio, isto é:

B = {x pertence a N: P(x) é verdadeiro } = { } = Ø

Observação: Historicamente, o século XIX foi caracterizado por grandes controvérsias na Matemática e pela falta de uma fundamentação precisa de conceitos e teorias, como a:

1. teoria dos conjuntos, 2. teoria das funções, 3. teoria dos números reais, 4. teoria dos números complexos,...

e foi na construção destes tipos de teorias que se consolidou o método axiomático.

Esperamos ter conseguido elucidar o que é o método axiomático. A partir daí, podemos voltar ao estudo dos números reais.

O conjunto dos números reais é um conjunto não vazio, caracterizado por alguns axiomas. Não vamos fazer aqui um estudo completo de todos, mas daqueles que decorrem propriedades importantes e que são usadas no dia-a-dia no âmbito do Ensino Fundamental e Médio (antigos primeiro e segundo graus).

Ao primeiro conjunto de axiomas que caracterizam R, denominamos de axiomas de corpo. Isto significa que R é um conjunto não vazio onde se pode definir duas operações fechadas, denominadas adição:

+ :RxR R (x,y) x + y

e multiplicação:

. :RxR R (x,y) x . y

que satisfazem aos seguintes axiomas:

Axiomas da Adição e da Multiplicação

A1) Associatividade: Quaisquer que sejam x e y em R, tem-se:

(x + y) + z = x + (y + z)

A2) Comutatividade: Quaisquer que sejam x e y em R, tem-se:

x + y = y + x

A3) Elemento neutro: Existe 0 em R (denominado "zero"), tal que para todo x em R:

x + 0 = x

A4) Simétrico: Todo elemento x de R possui um simétrico -x em R (também denominado oposto), tal que:

x + (-x) = 0

M1) Associatividade: Quaisquer que sejam x, y e z em R, tem-se:

(x . y) . z = x . (y . z)

M2) Comutatividade: Quaisquer que sejam x e y em R, tem-se:

x . y = y . x

M3) Elemento neutro: Existe 1 em R (denominado "um"), tal que para todo x de R, vale:

1 . x = x

M4) Inverso multiplicativo: Todo x diferente de zero em R, possui um inverso x-1 em R tal que

x . x-1 = 1 Axioma da Distributividade

Quaisquer que sejam x, y e z em R, tem-se:

x . (y + z) = x . y + x . z

Os axiomas A4 e M4 permitem definir, respectivamente, as operações de subtração:

+ :RxR R (x,y) x + y

e divisão de números reais:

÷ :RxR* R (x,y) x÷y = x . y-1

onde R* = R-{0}.

Se estivermos adotando o método axiomático, então estas propriedades não serão demonstradas mas serão admitidas como verdadeiras pois são axiomas. Do ponto de vista axiomático não sabemos o que é um número real, mas quais propriedades o conjunto dos números reais satisfaz.

Uma conseqüência muito importante dos axiomas dos números reais, é conhecida como a regra dos sinais.

Regra dos Sinais

Um desafio para o professor do curso Fundamental é ensinar e tentar justificar a intrigante regra dos sinais. Para algumas regras existem justificativas que chamaríamos de naturais, mas justificar porque

(-1) . (-1) = (+1)

é complicado e o pior ainda: algumas justificativas bastante usadas são logicamente falsas, como aquela velha história de que:

O inimigo do meu inimigo é meu amigo

No livro "Meu Professor de Matemática e outras histórias", Coleção do Professor de Matemática, SBM, 1991, Rio de Janeiro, o professor Elon Lages Lima dedica um capítulo à questão quando cita e comenta algumas sugestões encaminhadas à excelente Revista do Professor de Matemática, para explicar e justificar a regra acima citada.

Na opinião do Prof. Elon, a melhor sugestão foi a que mais se aproximou da demonstração algébrica da regra. A regra dos sinais é uma conseqüência dos axiomas de corpo, e em especial do axioma da distributividade. Vamos conhecer a demonstração através de quatro passos:

Passo 1: O simétrico de -x é x, isto é, -(-x)=x, para todo x em R.

De fato:

-x + x = x + (-x) = 0

Somando -(-x) a ambos os membros da igualdade e usando o axioma A1, obtemos:

[-(-x) + (-x)] + x = -(-x) + 0

ou seja:

0 + x = -(-x)

ou ainda,

x = -(-x)

Passo 2: x.0 = 0, para todo x em R.

Com efeito,

x + x.0 = x.1 + x.0 = x.(1+0) = x.1 = x

Assim:

x + x.0 = x

Somando -x a ambos os membros da igualdade, obtemos,

x.0 = 0

Passo 3: (-1).x = -x, para todo x em R.

Realmente:

x + (-1).x = 1.x + (-1).x = [1 + (-1)].x = 0.x = 0

Logo, (-1)x é o simétrico de x, ou seja:

(-1).x = -x

Tomando, em particular, x=-1, temos que

(-1).(-1) = -(-1) = 1

onde a última igualdade segue pelo 1o passo.

Passo 4: Quaisquer que sejam x e y pertencentes a R, tem-se:

(-x).y = -(x.y) (-x).(-y) = x.y

De fato:

(-x).y = [(-1).x].y = (-1).(x.y) = -(x.y)

e

(-x).(-y) = (-1).x.(-1).y = (-1).(-1).x.y = 1.x.y = x.y

Mostramos estes detalhes para deixar claro que a regra dos sinais é uma conseqüência dos axiomas de corpo e que algumas propriedades, por mais evidentes que possam parecer como as expressas nos passos 1 e 2, são passíveis de demonstração.

Em Matemática (e também na vida) todo o cuidado é pouco com as chamadas coisas evidentes.

Por outro lado, o chamado rigor matemático, não pode ser aplicado em qualquer nível e seria um absurdo tentar explicar a regra dos sinais para alunos do ensino Fundamental da forma acima exposta.

Vejamos agora a sugestão do Prof. Fred Gusmão dos Santos, de Mogi das Cruzes, S.P, comentada pelo Prof. Elon no mesmo livro acima citado e que tomamos a liberdade de reproduzir.

"Como:

5.(2-2) = 0

pela lei distributiva vem que:

5.2 + 5.(-2) = 0

ou seja

10 + 5.(-2) = 0

logo

5.(-2) = -10

Em seguida, como:

-5(2-2) = 0

novamente temos que:

-5.2 + (-5)(-2) = 0

ou seja

-10 + (-5)(-2) = 0

logo

(-5).(-2) = 10 "

Alguém poderia questionar, por que tanto esforço para fazer a demonstração algébrica, se um exemplo numérico elucida tudo ? Que resposta você daria ?

O Corpo ordenado dos números reais

Um segundo conjunto de axiomas caracteriza o conjunto R dos números reais como um conjunto ordenado. Este fato tem conseqüências importantes com as quais o professor do Fundamental se depara a todo momento. O fato de R ser um corpo ordenado dá sentido às desigualdades, também conhecidas como inequações...

Dizer que R é um corpo ordenado é equivalente a garantir que, existe um conjunto P contido no conjunto R, denominado conjunto de elementos positivos de R, com as seguintes condições (axiomas) satisfeitas:

P1: A soma e o produto de números positivos são positivos. P2: Dado x em P, ocorre exatamente uma das três alternativas: x=0 ou x está em

P ou -x está em P.

Se indicarmos com -P={-x: x está em P} poderemos escrever:

R = P (-P) {0}

Os elementos do conjunto -P são denominados números negativos.

No cotidiano, convivemos de modo bastante natural com muitos números positivos como os números naturais mas o interessante é que somente uma caracterização formal dos mesmos, através dos axiomas introduzidos anteriormente, é que permite extrair as suas propriedades.

Uma propriedade bem conhecida dos números reais e de muitas conseqüências é a que garante que o quadrado de todo número real não nulo é positivo:

Propriedade: Para todo x real, diferente de zero, tem-se que x²=x.x está em P.

Demonstração: Dado x real diferente de zero, temos que x está em P ou -x está em P. Se x está em P, pelo axioma P1:

x.x está em P

Se -x está em P, então:

(-x).(-x) = x.x pertence a P

e pela regra dos sinais, temos o resultado desejado.

Números Naturais

Pela propriedade acima e com o uso do axioma P1, podemos construir o conjunto dos números naturais como um subconjunto dos números reais positivos, com algumas características indutivas. Vejamos:

1 . 1 = 1 está em P 1 + 1 = 2 está em P 2 + 1 = 3 está em P ............ (n) + 1 = (n+1) está em P

Assim

N={1,2,3,4,...,n,...}

É claro que N está contido em P e P está contido em R.

Observação importante: O número 0 não foi incluído no conjunto dos números naturais, pois este número foi criado artificialmente para dar significado ao conceito de nulidade (falta de um elemento) quando da criação do sistema posicional pelos hindús e este conjunto dos números naturais recebe este nome exatamente porque está relacionado com as idéias de contagem de coisas naturais como 1, 2, 3, ... Para que o interessado possa esclarecer a maioria dos detalhes concernentes ao número zero (0) e conhecer uma enorme gama de detalhes acerca dos algarismos e números, sugiro a leitura do livro de Georges Ifrah: "História Universal dos Algarismos", Tomos I e II (A inteligência dos homens contada pelos Números e pelo Cálculo!), 1997, Livraria Nova Fronteira.

O conjunto dos números reais é indutivo, isto é:

Ind1: 1 pertence a R. Ind2: Para todo x em R, x+1 está em R.

o que é uma conseqüência óbvia do que apresentamos até aqui.

Algo não óbvio e que não será feito aqui, é que o conjunto N dos números naturais, num certo sentido, é o "menor" subconjunto indutivo de R que possui a propriedade muito importante conhecida como o Princípio da Indução Finita.

Princípio da Indução Finita (PIF)

Se X é um subconjunto do conjunto dos números naturais N, tal que:

1. 1 pertence ao conjunto X. 2. Se n pertence ao conjunto X, então (n+1) pertence ao conjunto X, para todo n>1

Então, X coincide com o próprio N.

Quando introduzimos o conjunto dos números reais pelo método construtivo, é usual iniciar pela construção axiomática dos números naturais. Neste caso, o princípio da indução finita é conhecido como o Terceiro axioma de Peano. O que importa é que ele é válido e de grande utilidade.

Aplicação do PIF: Provaremos que a soma dos n primeiros números naturais pode ser escrita como o semiproduto de n por n+1, isto é, para todo n em N, vale a igualdade:

P(n): (1+2+3+...+n) = n(n+1)/2

Demonstração: Seja X o subconjunto dos números naturais tal que P(n) seja válida.

1 pertence a X, pois para n=1, a igualdade P(1) se reduz a:

1 = 1.(1+1)/2

Suponhamos que n pertença a X (Hipótese de Indução), isto é, que é válida a propriedade P(n):

1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2

Mostraremos que também vale a propriedade P(n+1), o que equivalente a mostrar que (n+1) está em X.

Desenvolvendo o membro da esquerda de P(n+1), obtemos:

1+2+3+...+n + n+1 = (1+2+3+...+n) + (n+1)

= n(n+1)/2 + (n+1)

= (n+1)(n/2 + 1)

= (n+1)(n+2)/2

Mostramos assim que:

(1+2+3+...+n)+(n+1) = (n+1)(n+2)/2

e esta igualdade corresponde exatamente a P(n+1) e dessa forma X é o próprio conjunto N, ou seja, P(n) é válida para todo n em N.

Exercício: Mostrar que são verdadeiras as seguintes proposições:

1. P(n): 1+3+5+7+...+(2n-1)=n² 2. P(n): 1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6 3. P(n): 13+23+33+...+n3=n²(n+1)²/4 4. P(n): 14+24+...+n4=n(n+1)(6n3+9n²+n-1)/30

NÚMEROS INTEIROS

Introdução aos números inteiros

Na época do Renascimento, os matemáticos sentiram cada vez mais a necessidade de um novo tipo de número, que pudesse ser a solução de equações tão simples como:

x + 2 = 0, 2x + 10 = 0, 4y + 4 = 0

As Ciências precisavam de símbolos para representar temperaturas acima e abaixo de 0º C, por exemplo. Astrônomos e físicos procuravam uma linguagem matemática para expressar a atração entre dois corpos.

Quando um corpo age com uma força sobre outro corpo, este reage com uma força de mesma intensidade e sentido contrário. Mas a tarefa não ficava somente em criar um novo número, era preciso encontrar um símbolo que permitisse operar com esse número criado, de modo prático e eficiente.

Sobre a origem dos sinais

A idéia sobre os sinais vem dos comerciantes da época. Os matemáticos encontraram a melhor notação para expressar esse novo tipo de número. Veja como faziam tais comerciantes:

Suponha que um deles tivesse em seu armazém duas sacas de feijão com 10 kg cada. Se esse comerciante vendesse num dia 8 Kg de feijão, ele escrevia o número 8 com um traço (semelhante ao atual sinal de menos) na frente para não se esquecer de que no saco faltava 8 Kg de feijão.

Mas se ele resolvesse despejar no outro saco os 2 Kg que restaram, escrevia o número 2 com dois traços cruzados (semelhante ao atual sinal de mais) na frente, para se lembrar de que no saco havia 2 Kg de feijão a mais que a quantidade inicial.

Com essa nova notação,os matemáticos poderiam, não somente indicar as quantidades, mas também representar o ganho ou a perda dessas quantidades, através de números, com sinal positivo ou negativo.

O conjunto Z dos Números Inteiros

Definimos o conjunto dos números inteiros como a reunião do conjunto dos números naturais, o conjunto dos opostos dos números naturais e o zero. Este conjunto é denotado pela letra Z (Zahlen=número em alemão). Este conjunto pode ser escrito por:

Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4,...}

Exemplos de subconjuntos do conjunto Z

(a) Conjunto dos números inteiros excluído o número zero:

Z* = {..., -4, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 4,...}

(b) Conjunto dos números inteiros não negativos:

Z+ = {0, 1, 2, 3, 4,...}

(c) Conjunto dos números inteiros não positivos:

Z- = {..., -4, -3, -2, -1, 0}

Observação: Não existe padronização para estas notações.

Reta Numerada

Uma forma de representar geometricamente o conjunto Z é construir uma reta numerada, considerar o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar, tomar a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números inteiros da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números inteiros obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar que se fosse adotada outra forma, não haveria qualquer problema.

Baseando-se ainda na reta numerada podemos afirmar que todos os números inteiros possuem um e somente um antecessor e também um e somente um sucessor.

Ordem e simetria no conjunto Z

O sucessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua direita na reta (em Z) e o antecessor de um número inteiro é o número que está imediatamente à sua esquerda na reta (em Z).

Exemplos:

(a) 3 é sucessor de 2

(b) 2 é antecessor de 3

(c) -5 é antecessor de -4

(d) -4 é sucessor de -5

(e) 0 é antecessor de 1

(f) 1 é sucessor de 0

(g) -1 é sucessor de -2

(h) -2 é antecessor de -1

Todo número inteiro exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -z e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto z como -z estão à mesma distância da origem do conjunto Z que é 0.

Exemplos:

(a) O oposto de ganhar é perder, logo o oposto de +3 é -3.

(b) O oposto de perder é ganhar, logo o oposto de -5 é +5.

Módulo de um número Inteiro

O módulo ou valor absoluto de um número Inteiro é definido como sendo o maior valor (máximo) entre um número e seu elemento oposto e pode ser denotado pelo uso de duas barras verticais | |. Assim:

|x| = max{-x,x}

Exemplos:

(a) |0| = 0

(b) |8| = 8

(c) |-6| = 6

Observação: Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número inteiro corresponde à distância deste número até a origem (zero) na reta numérica inteira.

Soma (adição) de números inteiros

Para melhor entendimento desta operação, associaremos aos números inteiros positivos a idéia de ganhar e aos números inteiros negativos a idéia de perder.

ganhar 3 + ganhar 4 = ganhar 7 (+3) + (+4) = (+7) perder 3 + perder 4 = perder 7 (-3) + (-4) = (-7) ganhar 8 + perder 5 = ganhar 3 (+8) + (-5) = (+3) perder 8 + ganhar 5 = perder 3 (-8) + (+5) = (-3)

Atenção: O sinal (+) antes do número positivo pode ser dispensado, mas o sinal (-) antes do número negativo nunca pode ser dispensado.

Exemplos:

(a) -3 + 3 = 0

(b) +6 + 3 = 9

(c) +5 - 1 = 4

Propriedades da adição de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a adição, isto é, a soma de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c 2 + ( 3 + 7 ) = ( 2 + 3 ) + 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a + b = b + a 3 + 7 = 7 + 3

Elemento neutro: Existe 0 em Z, que adicionado a cada z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z + 0 = z 7 + 0 = 7

Elemento oposto: Para todo z em Z, existe (-z) em Z, tal que

z + (-z) = 0 9 + (-9) = 0 Multiplicação (produto) de números inteiros

A multiplicação funciona como uma forma simplificada de uma adição quando os números são repetidos. Poderiamos analisar tal situação como o fato de estarmos ganhando repetidamente alguma quantidade, como por exemplo, ganhar 1 objeto por 30 vezes consectivas, significa ganhar 30 objetos e esta repetição pode ser indicada por um x, isto é:

1 + 1 + 1 + ... + 1 + 1 = 30 x 1 = 30

Se trocarmos o número 1 pelo número 2, obteremos:

2 + 2 + 2 + ... + 2 + 2 = 30 x 2 = 60

Se trocarmos o número 2 pelo número -2, obteremos:

(-2) + (-2) + ... + (-2) = 30 x (-2) = -60

Observamos que a multiplicação é um caso particular da adição onde os valores são repetidos.

Na multiplicação o produto dos números a e b, pode ser indicado por axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números inteiros, devemos obedecer à seguinte regra de sinais:

(+1) × (+1) = (+1)

(+1) × (-1) = (-1)

(-1) × (+1) = (-1)

(-1) × (-1) = (+1)

Com o uso das regras acima, podemos concluir que:

Sinais dos números Resultado do produtoiguais positivo diferentes negativo

Propriedades da multiplicação de números inteiros

Fecho: O conjunto Z é fechado para a multiplicação, isto é, a multiplicação de dois números inteiros ainda é um número inteiro.

Associativa: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b x c ) = ( a x b ) x c 2 x ( 3 x 7 ) = ( 2 x 3 ) x 7

Comutativa: Para todos a,b em Z:

a x b = b x a 3 x 7 = 7 x 3

Elemento neutro: Existe 1 em Z, que multiplicado por todo z em Z, proporciona o próprio z, isto é:

z x 1 = z 7 x 1 = 7

Elemento inverso: Para todo inteiro z diferente de zero, existe um inverso z-1=1/z em Z, tal que

z x z-1 = z x (1/z) = 1 9 x 9-1 = 9 x (1/9) = 1 Propriedade mista (distributiva)

Distributiva: Para todos a,b,c em Z:

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ) 3 x ( 4 + 5 ) = ( 3 x 4 ) + ( 3 x 5 ) Potenciação de números inteiros

A potência an do número inteiro a, é definida como um produto de n fatores iguais. O número a é denominado a base e o número n é o expoente.

an = a × a × a × a × ... × a a é multiplicado por a n vezes

Exemplos:

a. 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32 b. (-2)³ = (-2) x (-2) x (-2) = -8 c. (-5)² = (-5) x (-5) = 25 d. (+5)² = (+5) x (+5) = 25

com os exemplos acima, podemos observar que a potência de todo número inteiro elevado a um expoente par é um número positivo e a potência de todo número inteiro elevado a um expoente ímpar é um número que conserva o seu sinal.

Observação: Quando o expoente é n=2, a potência a² pode ser lida como: "a elevado ao quadrado" e quando o expoente é n=3, a potência a³ pode ser lida como: "a elevado ao cubo". Tais leituras são provenientes do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=a² onde a é é a medida do lado e o volume do cubo pode ser obtido por V=a³ onde a é a medida do lado do cubo.

Radiciação de números inteiros

A raiz n-ésima (de ordem n) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo b que elevado à potência n fornece o número a. O número n é o índice da raiz enquanto que o número a é o radicando (que fica sob o sinal do radical). Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais não uso o símbolo de radical neste trabalho.

Observação: Por deficiência da linguagem HTML, que até hoje não implementou o sinal de raiz n-ésima, usarei Rn[a] para indicar a raiz n-ésima de a. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz de ordem 2 de um número inteiro a como R[a].

Assim, b é a raiz n-ésima de a se, e somente se, a=bn, isto é:

b=Rn[a] se, e somente se, a=bn

A raiz quadrada (de ordem 2) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro não negativo que elevado ao quadrado coincide com o número a.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número inteiro negativo no conjunto dos números inteiros. A existência de um número cujo quadrado é igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos números complexos.

Erro comum: Freqüentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas aparecimento de:

R[9] = ±3

Mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Observamos que não existe um número inteiro não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número inteiro a é a operação que resulta em um outro número inteiro que elevado ao cubo seja igual ao número a. Aqui não restringimos os nossos cálculos somente aos números não negativos.

Exemplos:

(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.

(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.

(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.

(d) R³[-27] = -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Ao obedecer à regra dos sinais para o produto de números inteiros, concluímos que:

(a) Se o índice da raiz for par, não existe raiz de número inteiro negativo.

(b) Se o índice da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número inteiro.

NÚMEROS RACIONAIS

Relacionando números racionais com frações

Um número racional é o que pode ser escrito na forma

m

n

onde m e n são números inteiros, sendo que n deve ser não nulo, isto é, n deve ser diferente de zero. Freqüentemente usamos m/n para significar a divisão de m por n. Quando não existe possibilidade de divisão, simplesmente usamos uma letra como q para entender que este número é um número racional.

Como podemos observar, números racionais podem ser obtidos através da razão (em Latim: ratio=razão=divisão=quociente) entre dois números inteiros, razão pela qual, o conjunto de todos os números racionais é denotado por Q. Assim, é comum encontrarmos na literatura a notação:

Q = {m/n : m e n em Z, n diferente de zero}

Quando há interesse, indicamos Q+ para entender o conjunto dos números racionais positivos e Q_ o conjunto dos números racionais negativos. O número zero é também um número racional.

No nosso link Frações já detalhamos o estudo de frações e como todo número racional pode ser posto na forma de uma fração, então todas as propriedades válidas para frações são também válidas para números racionais. Para simplificar a escrita, muitas vezes usaremos a palavra racionais para nos referirmos aos números racionais.

Dízima periódica

Uma dízima periódica é um número real da forma:

m,npppp...

onde m, n e p são números inteiros, sendo que o número p se repete indefinidamente, razão pela qual usamos os três pontos: ... após o mesmo. A parte que se repete é denominada período.

Em alguns livros é comum o uso de uma barra sobre o período ou uma barra debaixo do período ou o período dentro de parênteses, mas, para nossa facilidade de escrita na montagem desta Página, usaremos o período sublinhado.

Exemplos: Dízimas periódicas

1. 0,3333333... = 0,3 2. 1,6666666... = 1,6 3. 12,121212... = 12,12 4. 0,9999999... = 0,9 5. 7,1333333... = 7,13

Uma dízima periódica é simples se a parte decimal é formada apenas pelo período. Alguns exemplos são:

1. 0,333333... = 0,(3) = 0,3 2. 3,636363... = 3,(63) = 3,63

Uma dízima periódica é composta se possui uma parte que não se repete entre a parte inteira e o período. Por exemplo:

1. 0,83333333... = 0,83 2. 0,72535353... = 0,7253

Uma dízima periódica é uma soma infinita de números decimais. Alguns exemplos:

1. 0,3333...= 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +... 2. 0,8333...= 0,8 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + ... 3. 4,7855...= 4,78 + 0,005 + 0,0005 + ...

A conexão entre números racionais e números reais

Um fato importante que relaciona os números racionais com os números reais é que todo número real que pode ser escrito como uma dízima periódica é um número racional. Isto significa que podemos transformar uma dízima periódica em uma fração.

O processo para realizar esta tarefa será mostrado na sequência com alguns exemplos numéricos. Para pessoas interessadas num estudo mais aprofundado sobre a justificativa para o que fazemos na sequência, deve-se aprofundar o estudo de séries geométricas no âmbito do Ensino Médio ou mesmo estudar números racionais do ponto de vista do Cálculo Diferencial e Integral ou da Análise na Reta no âmbito do Ensino Superior.

A geratriz de uma dízima periódica

Dada uma dízima periódica, qual será a fração que dá origem a esta dízima? Esta fração é de fato um número racional denominado a geratriz da dízima periódica. Para obter a geratriz de uma dízima periódica devemos trabalhar com o número dado pensado como uma soma infinita de números decimais. Para mostrar como funciona o método, utilizaremos diversos exemplos numéricos.

1. Seja S a dízima periódica 0,3333333..., isto é, S=0,3. Observe que o período tem apenas 1 algarismo. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

S = 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 + 0,00003 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), obteremos:

10 S = 3 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + 0,0003 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha!

Subtraindo membro a membro a penúltima expressão da última, obtemos:

10 S - S = 3

donde segue que

9 S = 3

Simplificando, obtemos:

S =1

3= 0,33333... = 0,3

Exercício: Usando o mesmo argumento que antes, você saberia mostrar que:

0,99999... = 0,9 = 1

2. Vamos tomar agora a dízima periódica T=0,313131..., isto é, T=0,31. Observe que o período tem agora 2 algarismos. Iremos escrever este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

T =0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Multiplicando esta soma "infinita" por 10²=100 (o período tem 2 algarismos), obteremos:

100 T = 31 + 0,31 + 0,0031 + 0,000031 +...

Observe que são iguais as duas últimas expressões que aparecem em cor vermelha, assim:

100 T = 31 + T

de onde segue que

99 T = 31

e simplificando, temos que

T =31

99= 0,31313131... = 0,31

3. Um terceiro tipo de dízima periódica é T=7,1888..., isto é, T=7,18. Observe que existe um número com 1 algarismo após a vírgula enquanto que o período tem também 1 algarismo. Escreveremos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

R = 7,1 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

R-7,1 = 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por 101=10 (o período tem 1 algarismo), para obter:

10(R-7,1) = 0,8 + 0,08 + 0,008 + 0,0008 +...


Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

10(R-7,1) - (R-7,1) = 0,8

Assim:

10R - 71 - R + 7,1 = 0,8

Para evitar os números decimais, multiplicamos toda a expressão por 10 e simplificamos para obter:

90 R = 647

Obtemos então:

T =647

90 = 7,1888... = 7,18

4. Um quarto tipo de dízima periódica é T=7,004004004..., isto é, U=7,004. Observe que o período tem 3 algarismos, sendo que os dois primeiros são iguais a zero e apenas o terceiro é não nulo. Decomporemos este número como uma soma de infinitos números decimais da forma:

U = 7 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Manipule a soma "infinita" como se fosse um número comum e passe a parte que não se repete para o primeiro membro para obter:

U-7 = 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...

Multiplique agora a soma "infinita" por 10³=1000 (o período tem 3 algarismos), para obter:

1000(U-7) = 4 + 0,004 + 0,004004 + 0,004004004 +...


Subtraia membro a membro a penúltima expressão da última para obter:

1000(U-7) - (U-7) = 4

Assim:

1000U - 7000 - U + 7 = 4

Obtemos então

999 U = 6997

que pode ser escrita na forma:

T = 6997

999

= 7,004004... = 7,004

Números irracionais

Um número real é dito um número irracional se ele não pode ser escrito na forma de uma fração ou nem mesmo pode ser escrito na forma de uma dízima periódica.

Exemplo: O número real abaixo é um número irracional, embora pareça uma dízima periódica:

x=0,10100100010000100000...

Observe que o número de zeros após o algarismo 1 aumenta a cada passo. Existem infinitos números reais que não são dízimas periódicas e dois números irracionais muito importantes, são:

e = 2,718281828459045..., Pi = 3,141592653589793238462643...

que são utilizados nas mais diversas aplicações práticas como: cálculos de áreas, volumes, centros de gravidade, previsão populacional, etc...

Exercício: Determinar a medida da diagonal de um quadrado cujo lado mede 1 metro. O resultado numérico é um número irracional e pode ser obtido através da relação de Pitágoras. O resultado é a raiz quadrada de 2, denotada aqui por R[2] para simplificar as notações estranhas.

Representação, ordem e simetria dos racionais

Podemos representar geometricamente o conjunto Q dos números racionais através de uma reta numerada. Consideramos o número 0 como a origem e o número 1 em algum lugar e tomamos a unidade de medida como a distância entre 0 e 1 e por os números racionais da seguinte maneira:

Ao observar a reta numerada notamos que a ordem que os números racionais obedecem é crescente da esquerda para a direita, razão pela qual indicamos com uma seta para a direita. Esta consideração é adotada por convenção, o que nos permite pensar em outras possibilidades.

Dizemos que um número racional r é menor do que outro número racional s se a diferença r-s é positiva. Quando esta diferença r-s é negativa, dizemos que o número r é maior do que s. Para indicar que r é menor do que s, escrevemos:

r < s

Do ponto de vista geométrico, um número que está à esquerda é menor do que um número que está à direita na reta numerada.

Todo número racional q exceto o zero, possui um elemento denominado simétrico ou oposto -q e ele é caracterizado pelo fato geométrico que tanto q como -q estão à mesma distância da origem do conjunto Q que é 0. Como exemplo, temos que:

(a) O oposto de 3/4 é -3/4.

(b) O oposto de 5 é -5.

Do ponto de vista geométrico, o simétrico funciona como a imagem virtual de algo colocado na frente de um espelho que está localizado na origem. A distância do ponto real q ao espelho é a mesma que a distância do ponto virtual -q ao espelho.

Módulo de um número racional

O módulo ou valor absoluto de um número racional q é maior valor entre o número q e seu elemento oposto -q, que é denotado pelo uso de duas barras verticais | |, por:

|q| = max{-q,q}

Exemplos: |0|=0, |2/7|=2/7 e |-6/7|=6/7.

Do ponto de vista geométrico, o módulo de um número racional q é a distância comum do ponto q até a origem (zero) que é a mesma distância do ponto -q à origem, na reta numérica racional.

A soma (adição) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos a adição entre os números racionais a/b e c/d, da mesma forma que a soma de frações, através de:

a

b+

c

d=

ad+bc

bd

Propriedades da adição de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a operação de adição, isto é, a soma de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a + ( b + c ) = ( a + b ) + c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a + b = b + a

Elemento neutro: Existe 0 em Q, que adicionado a todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q + 0 = q

Elemento oposto: Para todo q em Q, existe -q em Q, tal que

q + (-q) = 0

Subtração de números racionais: A subtração de dois números racionais p e q é a própria operação de adição do número p com o oposto de q, isto é:

p - q = p + (-q)

Na verdade, esta é uma operação desnecessária no conjunto dos números racionais.

A Multiplicação (produto) de números racionais

Como todo número racional é uma fração ou pode ser escrito na forma de uma fração, definimos o produto de dois números racionais a/b e c/d, da mesma forma que o produto de frações, através de:

a

b×

c

d=

ac

bd

O produto dos números racionais a e b também pode ser indicado por a × b, axb, a.b ou ainda ab sem nenhum sinal entre as letras.

Para realizar a multiplicação de números racionais, devemos obedecer à mesma regra de sinais que vale em toda a Matemática:

(+1) × (+1) = (+1)

(+1) × (-1) = (-1)

(-1) × (+1) = (-1)

(-1) × (-1) = (+1)

Podemos assim concluir que o produto de dois números com o mesmo sinal é positivo, mas o produto de dois números com sinais diferentes é negativo.

Propriedades da multiplicação de números racionais

Fecho: O conjunto Q é fechado para a multiplicação, isto é, o produto de dois números racionais ainda é um número racional.

Associativa: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b × c ) = ( a × b ) × c

Comutativa: Para todos a, b em Q:

a × b = b × a

Elemento neutro: Existe 1 em Q, que multiplicado por todo q em Q, proporciona o próprio q, isto é:

q × 1 = q

Elemento inverso: Para todo q=a/b em Q, q diferente de zero, existe q-1=b/a em Q, tal que

q × q-1 = 1

Esta última propriedade pode ser escrita como:

a

b×

b

a= 1

Divisão de números racionais: A divisão de dois números racionais p e q é a própria operação de multiplicação do número p pelo inverso de q, isto é:

p ÷ q = p × q-1

Provavelmente você já deve ter sido questionado: Porque a divisão de uma fração da forma a/b por outra da forma c/d é realizada como o produto da primeira pelo inverso da segunda?

A divisão de números racionais esclarece a questão:

a

b÷

c

d=

a

b×

d

c=

ad

bc

Na verdade, a divisão é um produto de um número racional pelo inverso do outro, assim esta operação é também desnecessária no conjunto dos números racionais.

Propriedade distributiva (mista)

Distributiva: Para todos a, b, c em Q:

a × ( b + c ) = ( a × b ) + ( a × c ) Potenciação de números racionais

A potência qn do número racional q é um produto de n fatores iguais. O número q é denominado a base e o número n é o expoente.

qn = q × q × q × q × ... × q, (q aparece n vezes)

Exemplos:

(a) (2/5)³ =(2/5) (2/5)×(2/5) = 8/125

(b) (-1/2)³=(-1/2)×(-1/2)×(-1/2) = -1/8

(c) (-5)² =(-5)×(-5) = 25

(d) (+5)² =(+5)×(+5) = 25

Observação: Se o expoente é n=2, a potência q² pode ser lida como: q elevado ao quadrado e se o expoente é n=3, a potência q³ pode ser lida como: q elevado ao cubo. Isto é proveniente do fato que área do quadrado pode ser obtida por A=q² onde q é a medida do lado do quadrado e o volume do cubo pode ser obtido por V=q³ onde q é a medida da aresta do cubo.

Raízes de números racionais

A raiz n-ésima (raiz de ordem n) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r que elevado à potência n fornece o número q. O número n é o índice da raiz enquanto que o número q é o radicando (que fica sob o estranho sinal de radical).

Leia a observação seguinte para entender as razões pelas quais evito usar o símbolo de radical neste trabalho. Assim:

r = Rn[q] equivale a q = rn

Por deficiência da linguagem HTML, que ainda não implementou sinais matemáticos, denotarei aqui a raiz n-ésima de q por Rn[q]. Quando n=2, simplesmente indicarei a raiz quadrada (de ordem 2) de um número racional q por R[q].

A raiz quadrada (raiz de ordem 2) de um número racional q é a operação que resulta em um outro número racional r não negativo que elevado ao quadrado seja igual ao número q, isto é, r²=q.

Não tem sentido R[-1] no conjunto dos números racionais.

Exemplos:

(a) R³[125] = 5 pois 5³=125.

(b) R³[-125] = -5 pois (-5)³=-125.

(c) R[144] = 12 pois 12²=144.

(d) R[144] não é igual a -12 embora (-12)²=144.

Observação: Não existe a raiz quadrada de um número racional negativo no conjunto dos números racionais. A existência de um número cujo quadrado seja igual a um número negativo só será estudada mais tarde no contexto dos Números Complexos.

Erro comum: Frequentemente lemos em materiais didáticos e até mesmo ocorre em algumas aulas o aparecimento de:

R[9] = ±3

mas isto está errado. O certo é:

R[9] = +3

Não existe um número racional não negativo que multiplicado por ele mesmo resulte em um número negativo.

A raiz cúbica (de ordem 3) de um número racional q é a operação que resulta na obtenção de um um outro número racional que elevado ao cubo seja igual ao número q. Aqui não restringimos os nossos cálculos são válidos para números positivos, negativos ou o próprio zero.

Exemplos:

(a) R³[8] = 2, pois 2³ = 8.

(b) R³[-8] = -2, pois (-2)³ = -8.

(c) R³[27] = 3, pois 3³ = 27.

(d) R³[-27]= -3, pois (-3)³ = -27.

Observação: Obedecendo à regra dos sinais para a multiplicação de números racionais, concluímos que:

(1) Se o índice n da raiz for par, não existe raiz de número racional negativo.

(2) Se o índice n da raiz for ímpar, é possível extrair a raiz de qualquer número racional.

Média aritmética e média ponderada

Média aritmética: Seja uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn. A média aritmética entre esses n números é a soma dos mesmos dividida por n, isto é:

A=x1 + x2 + x3 +...+ xn

n

Exemplo: Se um grupo de 9 pessoas tem as idades:

12, 54, 67, 15, 84, 24, 38, 25, 33

então a idade média do grupo pode ser calculada pela média aritmética:

A= 12 + 54 + 67 + 15 + 84 + 24 + 38 + 25 + 33

9 =

352

9 = 39,11

o que significa que a idade média está próxima de 39 anos.

Média aritmética ponderada: Consideremos uma coleção formada por n números racionais: x1, x2, x3, ..., xn, de forma que cada um esteja sujeito a um peso, respectivamente, indicado por: p1, p2, p3, ..., pn. A média aritmética ponderada desses n números é a soma dos produtos de cada um por seu peso, dividida por n, isto é:

P= x1 p1 + x2 p2 + x3 p3 +...+ xn pn

p1 + p2 + p3 +...+ pn

Exemplo: Um grupo de 64 pessoas, que trabalha (com salário por dia), em uma empresa é formado por sub-grupos com as seguintes características:

12 ganham R$ 50,00

10 ganham R$ 60,00

20 ganham R$ 25,00

15 ganham R$ 90,00

7 ganham R$ 120,00

Para calcular a média salarial (por dia) de todo o grupo devemos usar a média aritmética ponderada:

P= 50×12 + 60×10 + 25×20 + 90×15 + 120×7

12 + 10 + 20 + 15 + 7 =

3890

64 =60,78

Médias geométrica e harmônica

Média geométrica: Consideremos uma coleção formada por n números racionais não negativos: x1, x2, x3, ..., xn. A média geométrica entre esses n números é a raiz n-ésima do produto entre esses números, isto é:

G = Rn[x1 x2 x3 ... xn]

Exemplo: A a média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação prática: Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b=64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.

G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta: É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p=32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.

Interpretação gráfica: A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferencia começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

Média harmônica: Seja uma coleção formada por n números racionais positivos: x1, x2, x3, ..., xn. A média harmônica H entre esses n números é a divisão de n pela soma dos inversos desses n números, isto é:

Intervalos reais

Intervalos finitos: Com estas últimas convenções podemos definir os conceitos de intervalo e da importante função modular.

(a,b) = {x em R: a<x<b}, [a,b) = {x em R: a<x<b} (a,b] = {x em R: a<x<b}, [a,b] = {x em R: a<x<b}

Geometricamente, podemos visualizar os quatro tipos de intervalos com extremidades finitas, pondo-se um círculo vazio onde não vale a igualdade e um círculo preenchido onde vale a igualdade.

Intervalos infinitos: Definiremos o intervalo (a, ) como o conjunto de todos os números reais maiores do que a, isto é:

(a,+ ) = {x em R: x>a} (- ,a) = {x em R: x<a}

e também os intervalos:

[a,+ ) = {x em R: x>a} (- ,a] = {x em R: x<a}

e uma notação comum é R=(- ,+ ).

Módulo de um número real

O módulo (valor absoluto) de um número real x, é definido como sendo o maior valor entre x e -x, isto é:

|x|=máximo{x,-x}

ou usando a raiz quadrada, por:

ou ainda por:

Exemplos: |+5|=5, |0|=0 e |-6|=6.

O conceito de módulo de um número real desempenha um papel de fundamental importância na Análise Matemática e são valiosas algumas relações de igualdade e desigualdade onde aparecem os módulos.

Teorema: Quaisquer que sejam x e y em R, tem-se que:

1. |+x| = |-x| 2. |x-y| = |y-x| 3. |x.y| = |x|.|y| 4. -|x| < x < |x| 5. |x+y| < |x| + |y| 6. |x-y| < |x| + |y|

Observação: |x+y| nem sempre é igual a |x|+|y|.

Distância entre números reais

O conceito de módulo de um número real permite introduzir o conceito de distância entre dois números reais e caracterizar o conceito de proximidade entre dois números reais.

Dados x e y em R, define-se a distância entre x e y como:

d(x,y) = |x-y|

Exemplo: d(-3,+7)=|(-3)-(7)|=|-10|=10.

Com as desigualdades podemos construir a relação de ordem total sobre R:

x < y se y-x > 0

com as seguintes propriedades:

Reflexiva: Para todo x em R:

x < x

Anti-simétrica: Se x < y e y < x, então:

x = y

Transitiva: Se x < y e y < z, então:

x < z

Dicotomia: Dados x em R e y em R, ocorre exatamente uma das duas alternativas seguintes:

x < y ou x > y

Monotonicidade da adição: Se x < y então, para todo z em R, tem-se:

x+z < y+z

Monotonicidade da multiplicação: Se x < y então, para todo z>0, tem-se:

x.z < y.z

mas se z<0, então x < y implica:

x.z > y.z

As duas últimas propriedades expressam o fato que a relação de ordem < considerada é compatível com a estrutura de corpo de R.

A última propriedade é muitas vezes motivo de tropeços para muitos alunos e professores, em especial na resolução de desigualdades e pela sua importância, faremos a sua demonstração.

Se x=y em R e z=0, a relação é verdadeira, pois

0 . x = 0

logo, para todo z em R.

x.z=y.z

Se considerarmos x < y e z>0, teremos:

y-x pertence a P e z pertence a P

Pela propriedade P1, temos:

(y-x).z está em P

e pela propriedades distributiva:

y.z-x.z é um elemento de P

ou seja:

x.z < y.z

Prove a outra parte como exercício.

Conjunto Solução para uma Proposição

É o conjunto de todos os valores que satisfazem à proposição dada, sendo que este conjunto depende do universo que estivermos trabalhando.

Exemplo: Consideremos

P(x): x² - 4 = 0

O conjunto solução no conjunto R dos números reais tem dois elementos e é dado por:

S = {-2, 2}

mas o conjunto solução no conjunto N dos números naturais é um conjunto unitário, dado por:

S = { 2 }

Dada uma desigualdade, é importante obter o conjunto solução S que satisfaz esta desigualdade, isto é, obter o conjunto de todos os números reais que satisfazem à desigualdade dada e indicar o resultado na forma de um intervalo real ou através da reunião ou interseção de intervalos reais.

Exemplo 1: Para resolver a desigualdade real 5x+15>0, somamos o número -15 a ambos os termos da desigualdade:

5x + 15 -15 > 0 -15

para obter

5x > -15

Dividindo ambos os termos por 5, obtemos

x > -3

Assim, o Conjunto Solução será:

S=(-3, ) = {x em R: -3 < x}

Exemplo 2: Para resolver a(s) desigualdade(s) 12<5x+15<25, no conjunto dos números reais, podemos somar -15 em todos os termos das desigualdades, para obter

12-15 < 5x+15-15 < 25-15

Simplificando, obtemos

-3 < 5x < 10

Dividindo todos os termos das desigualdades por 5:

-3/5 < 5x/5 < 10/5

Simplificando, obtemos finalmente

-3/5 < x < 2

logo o Conjunto Solução será:

S=(-3/5,2] = {x em R: -3/5 < x < 2} Representação gráfica da reta

A relação de ordem total x<y se y-x>0 que existe em R e o fato de R ser completo, permitem identificar o conjunto dos números reais com os pontos de uma reta, fato conhecido por representação gráfica da reta real.

Esta representação é uma linha reta onde se identifica um ponto, denominado origem, com o número zero 0 e outro ponto, tomado por unidade, com o número um 1 e a partir daí indicam-se os outros valores numéricos, dependendo de sua grandeza em relação à unidade.

Definição de Raiz Quadrada

Existe um terceiro axioma que caracteriza o conjunto dos números reais como um corpo ordenado completo. Deste axioma é possível obter as propriedades mais importantes do Cálculo e na verdade, se este fato não fosse verdadeiro, pouco restaria dos conhecidos Teoremas do Cálculo Diferencial e Integral.

Infelizmente, o enunciado deste axioma exige tantos requisitos que ele só pode (e deve) ser trabalhado com cuidado em um curso mais avançado de Cálculo Diferencial e Integral ou Análise Matemática.

Mostraremos aqui algumas conseqüências deste axioma, como por exemplo, o conceito de raiz quadrada.

Por R ser completo um fato importantíssimo é o seguinte: Dado um número real não negativo a, existe um único número real não negativo x tal que

x² = a

Por definição, este número real não negativo é a raiz quadrada de a e dessa forma, dado a>0, define-se a raiz quadrada de a, como:

sendo x>0 e x²=a.

Portanto:

e é errado afirmar que

Uma conseqüência desta definição e da definição de módulo de um número real, é a seguinte:

Dado um número real x qualquer, podemos redefinir então o módulo de um número real de uma terceira forma, através do uso da raiz quadrada. Você conseguiria fazer isto?

O conceito de raiz quadrada leva-nos sem problemas às funções reais, definidas sobre o conjunto [0, ) por:

e

De forma análoga podemos definir a raiz n-ésima de um número real não negativo a, como:

se e somente se b > 0 e bn = a.

Observação: Todo número b que pode posto na forma

em que a e n números naturais, deve ser necessariamente um número inteiro ou um número irracional.

O plano cartesiano

Referência histórica: Os nomes Plano Cartesiano e Produto Cartesiano são homenagens ao seu criador René Descartes (1596-1650), filósofo e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano.

O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre si que se cruzam na origem. O eixo horizontal é o eixo das abscissas (eixo OX) e o eixo vertical é o eixo das ordenadas (eixo OY). Associando a cada um dos eixos o conjunto de todos os números reais, obtém-se o plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto P=(a,b) do plano cartesiano é formado por um par ordenado de números, indicados entre parênteses, a abscissa e a ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto.

O primeiro número indica a medidada do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo).

O segundo número indica o deslocamento a partir da origem para cima (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b.

Os dois eixos dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes sendo que tais eixos são retas concorrentes na origem do sistema formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti-horário, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil.

Segundo quadrante

Primeiro quadrante

Terceiro quadrante

Quarto quadrante

Quadrante sinal de xsinal de y Ponto não tem não tem (0,0)

Primeiro + + (2,4) Segundo - + (-4,2) Terceiro - - (-3,-7) Quarto + - (7,-2)

Produto cartesiano

Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e B, denotado por AxB, como o conjunto de todos os pares ordenados da forma (x,y) onde x pertence ao primeiro conjunto A e y pertence ao segundo conjunto B.

AxB = { (x,y): x A e y B }

Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB.

Se A possui m elementos e B possui n elementos, então AxB possui mxn elementos.

Exemplo: Dados A={a,b,c,d} e B={1,2,3}, o produto cartesiano AxB, terá 12 pares ordenados e será dado por:

AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

Relações no plano cartesiano

Sejam A e B conjuntos não vazios. Uma relação em AxB é qualquer subconjunto R de AxB.

A relação mostrada na figura acima é:

R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) }

Uma relação R de A em B pode ser denotada por R:A B.

Exemplo: Se A={1,2} e B={3,4}, o produto cartesiano é AxB={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB:

1. R1={(1,3),(1,4)} 2. R2={(1,3)} 3. R3={(2,3),(2,4)}

Domínio e contradomínio de uma relação

As relações mais importantes são aquelas definidas sobre conjuntos de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma-se definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma:

O conjunto A é o domínio da relação R, denotado por Dom(R) e B é o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R).

Dom(R) = { x A: existe y em B tal que (x,y) R} Im(R)={y B: existe x A tal que (x,y) R}

Representações gráficas de relações em AxB:

R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

Relações inversas

Seja R uma relação de A em B. A relação inversa de R, denotada por R-1, é definida de B em A por:

R-1 = { (y,x) BxA: (x,y) R }

Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por

R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)}

Então:

R-1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)}

Observação: O gráfico da relação inversa R-1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).

Propriedades de relações

Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo x A: (x,x) R, isto é, para todo x A: xRx.

Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por:

R = {(a,a),(b,b),(c,c)}

Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que (x,y) R, segue que (y,x) R.

Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

Transitiva: Uma relação R é transitiva, se x está relacionado com y e y está relacionado com z, implicar que x deve estar relacionado com z, ou seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se (x,y) R e (y,z) R então (x,z) R.

Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)}

Anti-simétrica: Sejam x A e y A. Uma relação R é anti-simétrica se (x,y) R e (y,x)R implica que x=y. Alternativamente, uma relação é anti-simétrica: Se x e y são elementos distintos do conjunto A então x não tem relação com y ou (exclusivo) y não tem relação com x, o que significa que o par de elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja.

Exemplo: Uma relação anti-simétrica em A={a,b,c}, é:

R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) }

Relação de equivalência

Uma relação R sobre um conjunto A não vazio é chamada relação de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva.

Exemplo: Se A={a,b,c} então a relação R em AxA, definida abaixo, é de equivalência:

R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) }

Funções no plano cartesiano

Referência histórica: Leonhard Euler (1707-1783), médico, teólogo, astrônomo e matemático suíço, desenvolveu trabalhos em quase todos os ramos da Matemática Pura e Aplicada, com destaque para a Análise - estudo dos processos infinitos - desenvolvendo a idéia de função. Foi o responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática.

Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é:

f:A B

Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada:

O domínio A da relação. O contradomínio B da relação. Todo elemento de A deve ter correspondente em B. Cada elemento de A só poderá ter no máximo um correspondente no

contradomínio B.

Estas características nos informam que uma função pode ser vista geometricamente como uma linha no plano, contida em AxB, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta.

Exemplo: A circunferência definida por

R={(x,y) R²: x²+y²=a²}

é uma relação que não é uma função, pois tomando a reta vertical x=0, obtemos ordenadas diferentes para a mesma abscissa x.

Neste caso Dom(R)=[-a,a] e CoDom(R)=[-a,a].

Relações que não são funções

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) }

não é uma função em AxB, pois associado ao mesmo valor a existem dois valores distintos que são 1 e 3.

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação

R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) }

não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B.

Na sequência, apresentaremos alguns exemplos importantes de funções reais

Funções afim e lineares

Função afim: Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.

Exemplos:

1. f(x)=-3x+1 2. f(x)=2x+7 3. f(x)=(1/2)x+4

Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é uma reta que não passa pela origem (0,0).

Função linear: Seja a um número real. Uma função linear é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax.

Exemplos:

1. f(x)=-3x 2. f(x)=2x 3. f(x)=x/2

O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem (0,0).

Função identidade

É uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=x. O gráfico da Identidade é uma reta que divide o primeiro quadrante e também o terceiro quadrante em duas partes iguais.

Funções constantes

Seja b um número real. A função constante associa a cada x R o valor f(x)=b.

Exemplos:

1. f(x)=1 2. f(x)=-7 3. f(x)=0

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal).

Funções quadráticas

Sejam a, b e c números reais, com a não nulo. A função quadrática é uma função f:R R que para cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.

Exemplos:

1. f(x)=x² 2. f(x)=-4 x² 3. f(x)=x²-4x+3 4. f(x)=-x²+2x+7

O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola.

Funções cúbicas

Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função cúbica é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax³+bx²+cx+d.

Exemp

3. f(x)=2x³+x²-4x+3

assemelha a uma parábola tanto no primeiro como no terceiro quadrante, mas no primeiro os valores de f(x) são positivos

no terceiro os valores de f(x) são negativos.

s reais e para evitar problemas como estes, costuma-se definir o Domínio de uma função f, denotado por Dom(f),

es quadradas de quaisquer números negativos, dessa forma o domínio desta função só poderá ser o intervalo [0

los:

1. f(x)=x³ 2. f(x)=-4x³

4. f(x)=-7x³+x²+2x+7

O gráfico da função cúbica do item (a), se

e

Domínio, contradomínio e imagem de uma função

Como nem toda relação é uma função, às vezes, alguns elementos poderão não ter correspondentes associados para todos os número

como o conjunto onde esta relação f tem significado.

Consideremos a função real que calcula a raiz quadrada de um número real. Deve estar claro que a raiz quadrada de -1 não é um número real, assim como não são reais as raíz

, ), onde a raiz quadrada tem sentido sobre os

ados, define-se a Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto de todos os elementos do contradomínio qu io de f, isto é:

reais.

Como nem todos os elementos do contradomínio de uma função f estão relacion

e estão relacionados com elementos do domín

Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) }

Observe que, se uma relação R é uma função de A em B, então A é o domínio e B é o contradomínio da função e se x é um elemento do domínio de uma função f, então a

agem de x é denotada por f(x).

Exemp d

im

los: Ca a função abaixo, tem características distintas.

1. f:R R definida por f(x)=x² Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,

)

2. f:[0,2] R definida por f(x)=x² Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]

3. A função modular é definida por f:R R tal que f(x)=|x|, Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ) e seu gráfico é dado por:

4. Uma semi-circunferência é dada pela função real f:R R, definida por

Dom(f)=[-2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu gráfico é dado por:

Funções injetoras

Uma função f:A B é injetora se quaisquer dois elementos distintos de A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é:

x1 x2 implica que f(x1) f(x2)

ou de forma equivalente

f(x1)=f(x2) implica que x1=x2

Exemplos:

1. A função f:R R definida por f(x)=3x+2 é injetora, pois sempre que tomamos dois valores diferentes para x, obtemos dois valores diferentes para f(x).

2. A função f:R R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=-1 temos f(-1)=6.

Funções sobrejetoras

Uma função f:A B é sobrejetora se todo elemento de B é a imagem de pelo menos um elemento de A. Isto equivale a afirmar que a imagem da função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B

A tal que y=f(x).

Exemp

existe x em

los:

1. A função f:R R definida por f(x)=3x+2 é sobrejetora, pois todo elemento de R é imagem de um elemento de R pela função. A função2. f:R (0, ) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento

(pertecente a 0, ) é imagem de pelo menos um elemento de R pela função. A função 3. f:R R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número -1 é elemento do contradomínio R e não é imagem de qualquer elemento do

omínio.

d

Funções bijetoras

Uma função f:A B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora.

Exemplo: A função f:R R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e bijetora.

Função par: Uma função real f é par se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(x)=f(-x). Uma função par possui o gráfico simétrico em relação ao eixo vertical OY.

Funções pares e ímpares

Exemplo: A função f(x)=x² é par, pois f(-x)=x²=f(x). Observe o gráfico de f! Outra

função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem-se que f(-x)=-f(x). Uma função ímpar possui o gráfico simétrico em relação à origem do sistema cartesiano.

função par é g(x)=cos(x) pois g(-x)=cos(-x)=cos(x)=g(x).

Função ímpar: Uma

Exemplo: As funções reais f(x)=5x e g(x)=sen(x) são ímpares, pois: f(-x)=5(-x)=-5x=-f(x) e g(-x)=sen(-x)=-sen(x)=-g(x). Veja o gráfico para observar a simetria em relação à origem.

Funções crescentes e decrescentes

Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)<f(y). Isto é, conforme o valor de x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta.

Exemplo: Seja a função f:R R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente.

Função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y do Domínio de f, com x<y, tivermos f(x)>f(y). Isto é, conforme o valores de x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem.

Exemplo: Seja a função f:R R definida por f(x)=-8x+2. Para a=1 e b=2, obtemos f(a)=-6 e f(b)=-14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a função é decrescente.

Funções compostas

Dadas as funções f:A B e g:B C, a composta de f com g, denotada por g©f, é a função definida por (g©f)(x)=g(f(x)). gof pode ser lida como "g bola f". Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g).

Exemplo: Sejam as funções reais definidas por f(u)=4u+2 e g(x)=7x-4. As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por:

(f©g)(x)=f(g(x))=g(7x-4)=4(7x-4)+2=28x-14 (g©f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)-4=28u+10

Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x e teremos:

(g©f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)-4=28x+10

Observação:Em geral, f©g é diferente de g©f.

Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x-4. Então:

(f©g)(x)=f(g(x))=f(2x-4)=(2x-4)²+1=4x²-16x+17 (g©f)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1)-4=2x²-2

Funções inversas

Dada uma função bijetora f:A B, denomina-se função inversa de f à função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f-1.

Observação importante: Se g é a inversa de f e f é a inversa de g, valem as relações:

g©f=IA e f©g=IB

onde IA e IB são, respectivamente, as funções identidades nos conjuntos A e B. Esta característica algébrica permite afirmar que os gráficos de f e de sua inversa de g são simétricos em relação à função identidade (y=x).

Exemplo: Sejam A={1,2,3,4,5}, B={2,4,6,8,10} e a função f:A B definida por f(x)=2x e g:B A definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.

Obtenção da inversa: Seja f:R R, f(x)=x+3. Tomando y no lugar de f(x), teremos y=x+3. Trocando x por y e y por x, teremos x=y+3 e isolando y obteremos y=x-3. Assim, g(x)=x-3 é a função inversa de f(x)=x+3. Assim fog=gof=Identidade. Com o gráfico observamos a simetria em relação à reta identidade.

Operações com funções

Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais:

(f+g)(x) = f(x)+g(x) (f-g)(x) = f(x)-g(x) (f.g)(x) = f(x).g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x) 0.

Funções polinomiais

Uma função polinomial real tem a forma

f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x + ao

sendo Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f) dependente de f.

Observação: A área de um quadrado pode ser representada pela função real f(x)=x² onde x é a medida do lado do quadrado e o volume de um cubo pode ser dado pela função real f(x)=x³ onde x é a medida da aresta do cubo. Esta é a razão pela qual associamos as palavras quadrado e cubo às funções com as potências 2 e 3.

Aplicação: As funções polinomiais são muito úteis na vida. Uma aplicação simples pode ser realizada quando se pretende obter o volume de uma caixa (sem tampa) na forma de paralelepípedo que se pode construir com uma chapa metálica quadrada com 20 cm de lado, com a retirada de pequenos quadrados de lado igual a x nos quatro cantos da chapa. Concluímos que V(x)=(20-2x)x² e com esta função é possível obter valores ótimos para construir a caixa.

Função exponencial

A função exponencial natural é a função exp:R R+, definida como a inversa da função logarítmo natural, isto é:

Ln[exp(x)]=x, exp[Ln(x)]=x

O gráfico da função exponencial é obtido pela reflexão do gráfico da função Logaritmo natural em relação à identidade dada pela reta y=x.

Como o domínio da função Logaritmo natural é o conjunto dos números reais positivos, então a imagem da função exp é o conjunto dos números reais positivos e como a imagem de Ln é o conjunto R de todos os números reais, então o domínio de exp também é o conjunto R de todos os números reais.

Observação: Através do gráfico de f(x)=exp(x), observamos que:

1. exp(x)>0 se x é real)

2. 0<exp(x)<1 se x<0

3. exp(x)=1 se x=0

4. exp(x)>1 se x>0

No Ensino Médio, a função exponencial é definida a partir da função logarítmica e ciclicamente define-se a função logarítmica em função da exponencial como:

f(x)=exp(x), se e somente se, x=Ln(y)

Exemplos:

1. Ln[exp(5)]=5 2. exp[ln(5)]=5 3. Ln[exp(x+1)1/2]=(x+1)1/2 4. exp[Ln((x+1)1/2]=(x+1)1/2 5. exp[3.Ln(x)]=exp(Ln(x³)]=x³ 6. exp[k.Ln(x)]=exp[Ln(xk)]=xk 7. exp[(7(Ln(3)-Ln(4)]=exp[7(Ln(3/4))]=exp[(Ln(3/4)]7)=(3/4)7

A constante e de Euler

Existe uma importantíssima constante matemática definida por

e = exp(1)

O número e é um número irracional e positivo e em função da definição da função exponencial, temos que:

Ln(e)=1

Este número é denotado por e em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783), um dos primeiros a estudar as propriedades desse número.

O valor deste número expresso com 40 dígitos decimais, é:

e=2,718281828459045235360287471352662497757

Conexão entre o número e e a função exponencial

Se x é um número real, a função exponencial exp(.) pode ser escrita como a potência de base e com expoente x, isto é:

ex = exp(x)

Significado geométrico de e

Tomando um ponto v do eixo OX, com v>1 tal que a área da região do primeiro quadrante localizada sob a curva y=1/x e entre as retas x=1 e x=v seja unitária, então o valor de v será igual a e.

Propriedades básicas da função exponencial

Se x e y são números reais e k é um número racional, então:

1. y=exp(x) se, e somente se, x=Ln(y). 2. exp[Ln(y)]=y para todo y>0. 3. Ln[exp(x)]=x para todo x real. 4. exp(x+y)=exp(x) exp(y)

5. exp(x-y)=exp(x)/exp(y) 6. exp(x.k)=[exp(x)]k

Simplificações matemáticas

Podemos simplificar algumas expressões matemáticas com as propriedades das funções exponenciais e logaritmos:

1. exp[Ln(3)]=3. 2. Ln[exp(20x)]=20x. 3. exp[5.Ln(2)]=exp[Ln(25)]=25=32. 4. exp[2+5.ln(2)]=exp(2)exp(5.Ln(2))=32e².

Outras funções exponenciais

Podemos definir outras funções exponenciais como g(x)=ax, onde a é um número real positivo diferente de 1 e de x. Primeiro, consideremos o caso onde o expoente é um número racional r.

Tomando x=ar na equação x=exp[Ln(x)], obtemos:

ar=exp[Ln(ar)]

Como Ln[ar]=r.Ln(a), a relação acima fica na forma:

ar = exp[r.Ln(a)]

Esta última expressão, juntamente com a informação que todo número real pode ser escrito como limite de uma sequência de números racionais, justifica a definição para g(x)=ax, onde x é um número real:

ax=exp[x.Ln(a)]

Lei dos expoentes

Se x e y são números reais, a e b são números reais positivos, então:

1. axay=ax+y 2. ax/ay=ax-y 3. (ax) y=ax.y 4. (a b)x=axbx 5. (a/b)x=ax/bx 6. a-x=1/ax

Relação de Euler

Se i é a unidade imaginária e x é um número real, então vale a relação:

eix = exp(ix) = cos(x) + i sen(x)

Algumas aplicações

Funções exponenciais desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia e outras. Vamos apresentar alguns exemplos com aplicações destas funções.

Lei do resfriamento dos corpos: Um indivíduo foi encontrado morto em uma sala com temperatura ambiente constante. O legista tomou a temperatura do corpo às 21:00 h e constatou que a mesma era de 32 graus Celsius. Uma hora depois voltou ao local e tomou novamente a temperatura do corpo e constatou que a mesma estava a 30 graus Celsius. Aproximadamente a que horas morreu o indivíduo, sabendo-se que a temperatura média de um corpo humano normal é de 37 graus Celsius?

Partindo de estudos matemáticos pode-se construir uma função exponencial decrescente que passa pelos pontos (21,32) e (22,30) onde abscissas representam o tempo e as ordenadas a temperatura do corpo.

A curva que descreve este fenômeno é uma função exponencial da forma:

f(t) = C eA t

então obtemos que:

A = Ln(30)-Ln(32) C = 32/ (30/32)21

A função exponencial que rege este fenômeno de resfriamento deste corpo é dada por:

f(t) = 124,09468 e-0,0645385t

e quando f(t) = 37 temos que:

t = 18,7504... = 18 horas + 45 minutos

que pode ser observado através do gráfico.

Observação: Neste exemplo, usamos a construção de um gráfico e as propriedades operatórias das funções exponenciais e logarítmicas.

Curvas de aprendizagem: Devido ao seu uso por psicólogos e educadores na descrição do processo de aprendizagem, as curvas exponenciais realizam um papel importante.

A curva básica para este tipo de estudo é da forma:

f(x) = c - a e-k.x

onde c, a e k são constantes positivas. Considerando o caso especial em que c=a temos uma das equações básicas para descrever a relação entre a consolidação da aprendizagem y=f(x) e o número de reforços x.

A função:

f(x) = c - a e-k.x

cresce rapidamente no começo, nivela-se e então aproxima-se de sua assíntota y=c.

Estas curvas também são estudadas em Economia, na representação de várias funções de custo e produção.

Crescimento populacional: Em 1798, Thomas Malthus, no trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Considerou N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:

N(t)=No ert

onde No é a população presente no instante inicial t=0 e r é uma constante que varia com a espécie de população.

O gráfico correto desta função depende dos valores de No e de r. Mas sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função y=Kex.

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população.

Desse modo, ele é mais um indicador do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.

Consideremos por exemplo uma população de bactérias em um certo ambiente. De acordo com esta equação se esta população duplicar a cada 20 minutos, dentro de dois dias, estaria formando uma camada em volta da terra de 30 cm de espessura. Assim, enquanto os efeitos do meio ambiente são nulos, a população obedece ao modelo N=Noert. Na realidade, se N=N(t) aumenta, o meio ambiente oferece resistência ao seu crescimento e tende a mantê-lo sobre controle. Exemplos destes fatores são, a quantidade disponível de alimentos, acidentes, guerras, epidemias,...

Como aplicação numérica, consideremos uma colônia de bactérias se reproduzindo normalmente. Se num certo instante havia 200 bactérias na colônia, passadas 12 horas havia 600 bactérias. Quantas bactérias haverá na colônia após 36 horas da última contagem?

No instante inicial havia 200 bactérias, então No=200, após 12 horas havia 600 bactérias, então

N(12)=600=200 er12

logo

e12r=600/200=3

assim

ln(e12r)=ln(3)

Como Ln e exp são funções inversas uma da outra, segue que 12r=ln(3), assim:

r=ln(3)/12=0,0915510

Finalmente:

N(48) = 200 e48.(0,0915510) = 16200 bactérias

Então, após 36 horas da útima contagem ou seja, 48 horas do início da contagem, haverá 16200 bactérias.

Desintegração radioativa: Os fundamentos do estudo da radioatividade ocorrerram no início do século por Rutherford e outros. Alguns átomos são naturalmente instáveis, de tal modo que após algum tempo, sem qualquer influência externa sofrem transições para um átomo de um novo elemento químico e durante esta transição eles emitem radiações. Rutherford formulou um modelo para descrever o modo no qual a radioatividade decai. Se N=N(t) representa o número de átomos da substância radioativa no instante t, No o número de átomos no instante t=0 e k é uma constante positiva chamada de constante de decaimento, então:

N(t) = No e-k.t

esta constante de decaimento k, tem valores diferentes para substâncias diferentes, constantes que são obtidas experimentalmente.

Na prática usamos uma outra constante T, denominada meia-vida do elemento químico, que é o tempo necessário para que a quantidade de átomos da substância decaia pela metade.

Se N=No/2 para t=T, temos

No/2 = No e-k.T

assim

T=Ln(2)/k

Na tabela, apresentamos indicadores de meia-vida de alguns elementos químicos:

Substância Meia-vida T Xenônio 133 5 dias

Bário 140 13 dias Chumbo 210 22 anos Estrôncio 90 25 anos Carbono 14 5.568 anos

Plutônio 23.103 anos Urânio 238 4.500.000.000 anos

Para o Carbono 14, a constante de decaimento é:

k = Ln(2)/T = Ln(2)/5568 = 12,3386 por ano

A hipérbole equilátera

Seja a função real f(x)=1/x definida para todo x diferente de zero. O gráfico desta função é a curva plana denominada hipérbole equilátera, sendo que um ramo da hipérbole está no primeiro quadrante e o outro está localizado no terceiro quadrante.

Esta curva tem importantes aplicações em Ótica e construções de óculos, lentes, telescópios, estudos de química, estudos em economia, etc.

Definição de logaritmo

O logaritmo natural (ou neperiano) de u, muitas vezes, denotado por Ln(u), pode ser definido do ponto de vista geométrico, como a área da região plana localizada sob o gráfico da curva y=1/x, acima do eixo y=0, entre as retas x=1 e x=u, que está no desenho colorido de vermelho.

A área em vermelho representa o logaritmo natural de u, denotado por Ln(u). Em função do gráfico, em anexo, usaremos a definição:

Ln(u)=área(1,u)

Se u>1, a região possuirá uma área bem definida, mas tomando u=1, a região se reduzirá a uma linha vertical (que não posssui área ou seja, possui área nula) e neste caso tomaremos Ln(1)=área(1,1). Assim:

Ln(1)=0

Quando aumentamos os valores de u, esta função também aumenta os seus valores, o que significa que esta função é crescente para valores de u>0.

O conceito de Integral de uma função real, normalmente estudado na disciplina Cálculo Diferencial e Integral, justifica a forma como apresentamos o Logaritmo natural de um número real.

Propriedades gerais de logaritmos

Com o uso deste conceito fundamental da Matemática, é possível demonstrar várias propriedades dos Logaritmos naturais (o que não será feito aqui), para números reais positivos x e y e para qualquer número real k, desde que tenham sentido as expressões matemáticas:

Propriedades básicas dos logaritmos naturais

1. Ln(1)=0 2. Ln(x.y)=Ln(x)+Ln(y) 3. Ln(xk)=k.Ln(x) 4. Ln(x/y)=Ln(x)-Ln(y)

Algumas simplificações matemáticas

As propriedades dos Logaritmos podem ser usadas para simplificar expressões matemáticas.

Exemplos:

1. Ln(5)+4.Ln(3)=Ln(5)+Ln(34=Ln(5.34)=Ln(405) 2. (1/2)Ln(4t²)-Ln(t)=Ln[(4t²)½]-Ln(t)=Ln(2), se t>0 3. Ln(a)+L(b)-Ln(c)+Ln(10)=Ln(10a.b/c)

Exercício: Qual dos números é o menor: 2.Ln(3) ou 3.Ln(2)? Observamos que:

2 Ln(3) = Ln(3²) = Ln(9) 3 Ln(2) = Ln(2³) = Ln(8)

e como a função Ln é crescente, então:

3 Ln(2) = Ln(8)<Ln(9) = 2 Ln(3)

Base para um logaritmo

Existe um importante número real e=2,71828... (atribuído a Euler) tal que

Ln(e) = 1

A partir da observação anterior, o número e representa a base para os logaritmos naturais e poderemos escrever:

Ln(u) = Loge(u)

que lemos como "logaritmo do número real u na base e".

A partir do exposto acima, temos uma propriedade que possibilita a mudança logarítmica de uma base positiva para outra base positiva, sendo que ambas devem ser diferentes de 1.

Loga(b) = Ln(b) / Ln(a)

Exercício: Você saberia a razão pela qual não é possível definir logaritmo de um número na base 1?

Logaritmo decimal

No âmbito do Ensino Médio, usa-se bastante a base 10, uma vez que neste ambiente a base decimal recebe as preferências para o trabalho com o nosso sistema de numeração, mas devemos observar que em contextos mais avançados, a base decimal tem pouca utilidade. Quando escrevermos Log a partir daqui neste trabalho, entenderemos o Logaritmo na base decimal e escrevemos:

y = Log(x)

para entender que y é o Logaritmo de x na base 10 e nesta base 10, temos algumas características interessantes com os logaritmos das potências de 10

1. Log(1)=0 2. Log(0) não tem sentido 3. Log(10)=Log(101)=1 4. Log(1/10)=Log(10-1)=-1 5. Log(100)=Log(10²)=2 6. Log(1/100)=Log(10-2)=-2 7. Log(1000)=Log(10³)=3 8. Log(1/1000)=Log(10-3)=-3 9. Log(10n)=n 10. Log(10-n)=-n

A partir da propriedade

Log 10n=n

temos que o Logaritmo de 10n na base 10 é o expoente n, o que nos faz pensar que para todo x real positivo vale a relação:

Log(10x) = x

Definição estranha de logaritmo

A última expressão mostrada acima é correta e existe uma outra relação muito mais geral do que esta, pois o Logaritmo de um número real positivo x na base b é igual ao número e se, e somente se, x pode ser escrito como a potência b elevada ao expoente e, isto é:

Logb(x) = e se, e somente se, x = be

Em livros de Matemática elementar, esta é tomada como a definição de Logaritmo de um número em uma certa base, o que é estranho pois tal definição é cíclica:

Define-se o logarítmo em função da exponencial; Define-se a exponencial em função do logaritmo.

Cálculos de logaritmos de alguns números

Com a definição estranha é possível obter o um valor aproximado para o Log(2). Consideremos que y=Log(2) e 10y=2. Inicialmente, temos que Log(2) é positivo e menor do que 1, pois 1<2<10 assim

0<Log(2)<1

É interessante obter dois números que sejam potências de 2 e que estejam muito próximos de potências de 10.

Por exemplo:

1000<1024=210 8192=213<10000,

logo 1000<1024<8192<10000, assim, aplicando o logaritmo de base 10, teremos:

3<10 Log(2)<13 Log(2)<4

então

0,300=3/10<Log(2)<4/13=0,308

e a média aritmética entre 0,300 e 0,308 é 0,304, que é uma boa estimativa para Log(2), isto é:

Log(2)=0,304

O ideal é encontrar outras potências de 10 que estejam próximas de potências de 2, o que não é fácil para alguém que não tenha uma calculadora que opere com muitos decimais, o que pode ser visualizado através da tabela mostrando algumas de tais potências:

Intervalo Valores Média1<2 <10 0<Log(2)<1 0,5001<2²<10 0<Log(2)<1/2 0,250

10<24<10² 1/4<Log(2)<2/4 0,37510<25<10² 1/5<Log(2)<2/5 0,30010<26<10² 1/6<Log(2)<2/6 0,25010²<28<10³ 2/8<Log(2)<3/8 0,31310³<210<104 3/10<Log(2)<4/10 0,35010³<211<104 3/11<Log(2)<4/11 0,31810³<212<104 3/12<Log(2)<4/12 0,29210³<213<104 3/13<Log(2)<4/13 0,269104<214<105 4/14<Log(2)<5/14 0,321104<215<105 4/15<Log(2)<5/15 0,300104<216<105 4/16<Log(2)<5/16 0,282105<217<106 5/17<Log(2)<6/17 0,393105<218<106 5/18<Log(2)<6/18 0,306105<219<106 5/19<Log(2)<6/19 0,289106<220<107 6/20<Log(2)<7/20 0,325

Em Cálculo Diferencial e Integral, podemos desenvolver a função Ln através de uma série de potências de x para calcular logaritmos de números reais positivos com -1<x<1.

Ln(1+x) = x - (1/2) x² + (1/3) x³ - (1/4) x4 + (1/5) x5 + ...

Uma outra série mais eficiente, permite obter o valor de Ln(y) para qualquer y real desde que se saiba o valor de x para o qual y=(1+x)/(1-x).

Ln(y) = 2 [ x + (1/3) x³ + (1/5) x5 + (1/7) x7 + ... ]

Por exemplo, para obter Ln(3), tomamos y=3 e deveremos ter x=1/2 para satisfazer à relação y=(1+x)/(1-x).

Voltando ao estudo básico, Log(2)=0,3010299956639812... e com este valor, podemos obter os logaritmos das potências de 2, como por exemplo:

1. Log(4)=Log(2²)=2Log(2)=0,60206 2. Log(8)=Log(2³)=3Log(2)=0,90309 3. Log(16)=Log(24)=4Log(2)=1,20412 4. Log(32)=Log(25)=5Log(2)=1,50515 5. Log(2n)=n.Log(2) 6. Log(1/2)=Log(2-1)=(-1)Log(2)=-0,30103 7. Log(1/4)=Log(2-2)=(-2)Log(2)=-0,60206 8. Log(1/8)=Log(2-3)=(-3)Log(2)=-0,90309 9. Log(1/16)=Log(2-4)=(-4)Log(2)=-1,20412 10. Log(1/32)=Log(2-5)=(-5)Log(2)=-1,50515 11. Log(2-n)=(-n).Log(2)

Temos também que Log(3)=0,47712, o que nos permite realizar uma grande quantidade de cálculos com logaritmos.

Com Log(2) e Log3, não é possível calcular os logaritmos dos números primos maiores do que 5, mas é possível obter uma grande quantidade de logaritmos de números naturais.

Exemplo: Usaremos Log(2)=0,301 e Log(3)=0,477, para calcular alguns logaritmos.

1. Log(5)=Log(10/2)=Log(10)-Log(2)=1-0,301=0,699 2. Log(6)=Log(2.3)=Log(2)+Log(3)=0,301+0,477=0,778 3. Log(8)=Log(2³)=3 Log(2)=0,903 4. Log(9)=Log(3²)=2 Log(3)=0,954

Uma estimativa razoável para Log(7)=0,8451 pode ser obtida com a média aritmética entre Log(6) e Log(8), isto é:

Log(7)=0,840

Característica e mantissa de um logaritmo na base 10

Se um número está entre duas potências consecutivas de 10, o expoente da menor delas é a característica do logaritmo deste número e a diferença entre o logaritmo do número e a característica é a mantissa que é a parte decimal do logaritmo.

Observação: Na tabela abaixo aparece o sinal negativo para o logaritmo apenas para o número que está antes da vírgula.

Número Logaritmo Característica Mantissa0,002 ¯3,30103 -3 0,301030,02 ¯2,30103 -2 0,301030,2 ¯1,30103 -1 0,301032 0,30103 0 0,30103

20 1,30103 1 0,30103200 2,30103 2 0,30103

2000 3,30103 3 0,30103

Esta notação simplifica operações com logaritmos, visando mostrar que, se a divisão de dois números é um múltiplo de 10, basta mudar a característica e preservar a mantissa do logaritmo.

Polinômios e equações

A função polinomial

Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:R R definida por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o termo constante.

Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Uma das funções polinomiais mais importantes é f:R R definida por:

f(x) = a x² + b x + c

O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. Ver o link A função quadrática nesta mesma página para entender a importância da função polinomial quadrática.

O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:

p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27

Grau de um polinômio

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:

1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.

2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.

3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.

4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.

5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.

6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.

7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.

É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

Igualdade de polinômios

Os polinomios p e q em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +...+ bnxn

são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak=bk

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.

Assim, um polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak= 0

O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].

O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn

tal que ao=1 e ak=0, para todo k=1,2,3,...,n.

Soma de polinômios

Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxn q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn

Definimos a soma de p e q, por:

(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn

A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:

Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

(p + q) + r = p + (q + r)

Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que:

p + q = q + p

Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que

po + p = p

qualquer que seja p em P[x].

Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que

p + q = 0

Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.

Produto de polinômios

Sejam p, q em P[x], dados por:


Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:

r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn

tal que:

ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.

A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:


(p · q) · r = p · (q · r)


p · q = q · p

Elemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal que

po · p = po


Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal que

p1 · p = p

qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1.

Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios

Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

p · (q + r) = p · q + p · r

Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.

Espaço vetorial dos polinônios reais

Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.

O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulas de números reais , isto é, as sequências da forma:

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.

A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais sequências são denominadas sequências quase-nulas.

Esta forma de notação

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.

Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.

Sejam p e q em S, tal que:

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...) q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...)

e vamos supor que m < n.

Definimos a soma de p e q, como:

p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)

a multiplicação de p em S por um escalar k, como:

k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)

e o produto de p e q em S como:

p·q = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)

sendo que

ck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n).

O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.

Características do grau de um polinômio

Se gr(p)=m e gr(q)=n então

gr(p.q) = gr(p) + gr(q) gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}

Algoritmo da divisão de polinômios

Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que

p(x) = g(x) q(x)

Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que:

p(x) = q(x) g(x) + r(x)

Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:

xk-ck = (x-c)( xk-1 + cxk-2 + c²xk-3 +...+ ck-2x+ck-1 )

então para

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

temos que

p(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancn

e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:

p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn)

o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter

p(x)- p(c)=(x-c) q(x)

onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:

p(x)=(x-c) q(x)+p(c)

e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.

Zeros de um polinômio

Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.

Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:

x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0

o que é equivalente a:

c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)

Equações algébricas e transcendentes

Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.

Exemplos

1. 2x²+3x+7=0 2. 3x²+7x½=2x+3

A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo potências de x:

ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x4/4! + x5/5! +...

assim, a equação

x²+7x=ex

não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.

Quando a equação é da forma:

p(x) = 0

onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.

Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.

Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.

Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equação polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes da nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.

Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.

Métodos de resolução algébrica

Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.

Equação do 1o. grau: A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por:

x = -b/a

Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por:

x1=(-b+R[b²-4ac] / 2a x2=(-b- R[b²-4ac]/ 2a

onde R[z] é a raiz quadrada de z.

Nesta página há dois links que tratam sobre o assunto: Equações do Segundo grau que dá um tratamento mais detalhado sobre o assunto e Cálculo de raízes de uma Equação do 2o.grau que é um formulário onde você entra com os coeficientes e obtém as raízes sem muito esforço.

Equação cúbica: A equação ax³+bx²+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).

Veja o nosso link O método de Tartaglia (Eq. do 3o.grau) onde você poderá encontrar material mais aprofundado sobre o assunto.

Para obter apenas o cálculo das três raízes de uma equação do 3o. grau, vá ao nosso link Raízes de uma Equação do 3o. grau.

Equação quártica: A equação ax4+bx³+cx²+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.

Equação quíntica: Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão.

Existe uma versão da planilha Kyplot disponível gratuitamente na Internet, que dispõe de um mecanismo capaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau n.

Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemática subjacente: "O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999."

Teorema fundamental da álgebra

Teorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite no conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.

Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau n, com coeficientes reais ou complexos, admite exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.

Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau n, admite no máximo n raízes, no conjunto dos números reais.

Algumas identidades polinomiais

Ver o link Produtos Notáveis nesta mesma página onde existem 33 identidades polinomiais, sendo algumas não triviais.

Algumas desigualdades polinomiais

Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:

1. a²+b² > 2ab 2. (a+b)/2 > R[a.b] 3. a²+b²+c² > ab+ac+bc

onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.

Há vários livros de Matemática dedicados somente a desigualdades pois uma grande parte da Matemática é construída através deste conceito. Áreas onde existem muitas aplicações para as desigualdades são a Análise Matemática e a Programação Linear.

Polinômios e equações

A função polinomial

Um polinômio (função polinomial) com coeficientes reais na variável x é uma função matemática f:R R definida por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

onde ao, a1, a2, ..., an são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente ao é o termo constante.

Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x.

Uma das funções polinomiais mais importantes é f:R R definida por:

f(x) = a x² + b x + c

O gráfico desta função é a curva plana denominada parábola, que tem algumas características utilizadas em estudos de Cinemática, radares, antenas parabólicas e faróis de carros. Ver o link A função quadrática nesta mesma página para entender a importância da função polinomial quadrática.

O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a).

Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por:

p(3) = 2×(3)²+7×3-12 = 2×9+21-12 = 18+9 = 27

Grau de um polinômio

Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p).

Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes:

1. Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui.

2. Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico.

3. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente.

4. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto.

5. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1.

6. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante.

7. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1.

É comum usar apenas uma letra p para representar a função polinomial p=p(x) e P[x] o conjunto de todos os polinômios reais em x.

Igualdade de polinômios

Os polinomios p e q em P[x], definidos por:


são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak=bk

Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos.

Assim, um polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n:

ak= 0

O polinômio nulo é denotado por po=0 em P[x].

O polinômio unidade (identidade para o produto) p1=1 em P[x], é o polinômio:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ + ...+ anxn

tal que ao=1 e ak=0, para todo k=1,2,3,...,n.

Soma de polinômios

Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por:

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +... + anxn q(x) = bo + b1x + b2x² + b3x³ +... + bnxn

Definimos a soma de p e q, por:

(p+q)(x) = (ao+bo)+(a1+b1)x+(a2+b2)x²+...+(an+bn)xn

A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades:


(p + q) + r = p + (q + r)


p + q = q + p

Elemento neutro: Existe um polinômio po(x)=0 tal que

po + p = p


Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que

p + q = 0

Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo.

Produto de polinômios

Sejam p, q em P[x], dados por:


Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]:

r(x) = p(x)·q(x) = co + c1x + c2x² + c3x³ +...+ cnxn

tal que:

ck = aobk + a1bk-1 + a2 bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1 b1 + akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera ck, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k.

A estrutura matemática (P[x],·) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades:


(p · q) · r = p · (q · r)


p · q = q · p

Elemento nulo: Existe um polinômio po(x)=0 tal que

po · p = po


Elemento Identidade: Existe um polinômio p1(x)=1 tal que

p1 · p = p

qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p1=1.

Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios

Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que:

p · (q + r) = p · q + p · r

Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+,·) é denominada anel comutativo com identidade.

Espaço vetorial dos polinônios reais

Embora uma sequência não seja um conjunto mas sim uma função cujo domínio é o conjunto dos números naturais, usaremos neste momento uma notação para sequência no formato de um conjunto.

O conjunto P[x] de todos os polinômios pode ser identificado com o conjunto S das sequências quase-nulas de números reais , isto é, as sequências da forma:

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

Isto significa que após um certo número natural n, todos os termos da sequência são nulos.

A identificação ocorre quando tomamos os coeficientes do polinômio

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

e colocamos os mesmos entre parênteses e após o n-ésimo coeficiente colocamos uma quantidade infinita de zeros, assim nós temos somente uma quantidade finita de números não nulos, razão pela qual tais sequências são denominadas sequências quase-nulas.

Esta forma de notação

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,an,0,0,0,...)

funciona bem quando trabalhamos com espaços vetoriais, que são estruturas matemáticas onde a soma dos elementos e a multiplicação dos elementos por escalar têm várias propriedades.

Vamos considerar S o conjunto das sequências quase-nulas de números reais com as operações de soma, multiplicação por escalar e de multiplicação, dadas abaixo.

Sejam p e q em S, tal que:

p = (ao,a1,a2,a3,a4,...,am,0,0,0,...) q = (bo,b1,b2,b3,b4,...,bn,0,0,0,...)

e vamos supor que m < n.

Definimos a soma de p e q, como:

p+q = (ao+bo,a1+b1,a2+b2,...,an+bn,0,0,0,...)

a multiplicação de p em S por um escalar k, como:

k.p = (kao,ka1,ka2,ka3,ka4,...,kam,0,0,...)

e o produto de p e q em S como:

p·q = (co,c1,c2,c3,c4,...,cn,0,0,0,...)

sendo que

ck = aobk + a1bk-1 + a2bk-2 + a3bk-3 +...+ ak-1b1+akbo

para cada ck (k=1,2,3,...,m+n).

O conjunto S com as operações definidas é: associativo, comutativo, distributivo e possui elementos: neutro, identidade, unidade, oposto.

Características do grau de um polinômio

Se gr(p)=m e gr(q)=n então

gr(p.q) = gr(p) + gr(q) gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)}

Algoritmo da divisão de polinômios

Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que

p(x) = g(x) q(x)

Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que:

p(x) = q(x) g(x) + r(x)

Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade:

xk-ck = (x-c)( xk-1 + cxk-2 + c²xk-3 +...+ ck-2x+ck-1 )

então para

p(x) = ao + a1x + a2x² + a3x³ +...+ anxn

temos que

p(c) = ao + a1c + a2c² + a3c³ +...+ ancn

e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos:

p(x)-p(c) = a1(x-c) + a2(x²-c²) + a3(x³-c³) +...+ an(xn-cn)

o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter

p(x)- p(c)=(x-c) q(x)

onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever:

p(x)=(x-c) q(x)+p(c)

e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau 0.

Zeros de um polinômio

Um zero de um polinômio real p em P[x] é um número c, que pode ser real ou complexo, tal que p(c)=0. O zero de um polinômio também é denominado raiz do polinômio.

Uma consequência do Algoritmo da Divisão de polinômios é que:

x-c é um fator de p se, e somente se, r(x)=f(c)=0

o que é equivalente a:

c é um zero de p, sse, x-c é um divisor de p=p(x)

Equações algébricas e transcendentes

Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x.

Exemplos

1. 2x²+3x+7=0 2. 3x²+7x½=2x+3

A função exponencial exp(x)=ex pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo potências de x:

ex = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x4/4! + x5/5! +...

assim, a equação

x²+7x=ex

não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente.

Quando a equação é da forma:

p(x) = 0

onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial.

Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional.

Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x½=2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional.

Observação: Uma equação algébrica irracional sempre poderá ser colocada na forma de uma equação polinomial. Quando uma equação algébrica irracional é transformada em uma equação polinomial, as raízes da nova equação poderão não coincidir com as raízes da equação original e as raízes obtidas desta nova equação que não servem para a equação original são denominadas raízes estranhas.

Exercício: Apresentar uma equação irracional que tenha raízes estranhas.

Métodos de resolução algébrica

Alguns tipos especiais de equações podem ser resolvidos.

Equação do 1o. grau: A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por:

x = -b/a

Equação do 2o. grau: A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por:

x1=(-b+R[b²-4ac] / 2a x2=(-b- R[b²-4ac]/ 2a

onde R[z] é a raiz quadrada de z.

Nesta página há dois links que tratam sobre o assunto: Equações do Segundo grau que dá um tratamento mais detalhado sobre o assunto e Cálculo de raízes de uma Equação do 2o.grau que é um formulário onde você entra com os coeficientes e obtém as raízes sem muito esforço.

Equação cúbica: A equação ax³+bx²+cx+d=0 com a não nulo, admite exatamente três raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Tartaglia (Cardano).

Veja o nosso link O método de Tartaglia (Eq. do 3o.grau) onde você poderá encontrar material mais aprofundado sobre o assunto.

Para obter apenas o cálculo das três raízes de uma equação do 3o. grau, vá ao nosso link Raízes de uma Equação do 3o. grau.

Equação quártica: A equação ax4+bx³+cx²+dx+e=0 com a não nulo, admite exatamente quatro raízes no conjunto dos números complexos que podem ser obtidas pela fórmula de Ferrari.

Equação quíntica: Para equações de grau maior ou igual a 5, não existem métodos algébricos para obter todas as raízes, mas existem muitos métodos numéricos que proporcionam as raízes de tais equações com grande precisão.

Existe uma versão da planilha Kyplot disponível gratuitamente na Internet, que dispõe de um mecanismo capaz de calcular com grande precisão raízes de equações polinomiais de grau n.

Em Português, há um excelente livro que trata sobre Equações Algébricas e a história da Matemática subjacente: "O Romance das Equações Algébricas, Gilberto G. Garbi, Makron Books, São Paulo, 1999."

Teorema fundamental da álgebra

Teorema (Gauss): Toda equação algébrica polinomial com coeficientes reais ou complexos, admite no conjunto dos números complexos, pelo menos uma raiz.

Teorema equivalente: Toda equação algébrica polinomial de grau n, com coeficientes reais ou complexos, admite exatamente n raízes, no conjunto dos números complexos.

Consequência: Toda equação algébrica polinomial real de grau n, admite no máximo n raízes, no conjunto dos números reais.

Algumas identidades polinomiais

Ver o link Produtos Notáveis nesta mesma página onde existem 33 identidades polinomiais, sendo algumas não triviais.

Algumas desigualdades polinomiais

Algumas desigualdades bastante comuns que podem ser obtidas a partir das identidades polinomiais:

1. a²+b² > 2ab 2. (a+b)/2 > R[a.b] 3. a²+b²+c² > ab+ac+bc

onde R[x] é a raiz quadrada de x e o símbolo > significa maior ou igual.

Há vários livros de Matemática dedicados somente a desigualdades pois uma grande parte da Matemática é construída através deste conceito. Áreas onde existem muitas aplicações para as desigualdades são a Análise Matemática e a Programação Linear.

PROBABILIDADE

Dado um acontecimento A, sendo nA o numero de casos favoráveis relativo a sua realização e ñA o número de casos contrários a probabilidade de A pode ser definida

como:

p(A) = nA/(nA + ñA)

De outra forma, a probabilidade é a razão entre o número de maneiras igualmente provável de um evento ocorrer e o número igualmente provável de todos acontecimentos

ocorrerem.

PROPRIEDADES

O cálculo da probabilidade de um evento A deve satisfazer as seguintes propriedades: a) 0 (menor ou igual) P(A) (menor ou igual) 1 b) P(S) = 1, sendo S o conjunto de todos os resultados possíveis ou universo. c) P( ) = 0 Como ilustração é considerado a cor dos olhos na espécie humana, em que a condição A- determina olhos castanhos e aa determina olhos azuis. Do casamento entre genitores heterozigotos(Aa x Aa), formam-se:

Fenótipo Descrição Probabilidade Meninos de olhos castanhos XY A- P(XY) P(A-) = ½ x ¾ = 3/8 Meninos de olhos azuis XY aa P(XY) P(aa) = ½ x ¼ = 1/8 Meninas de olhos castanhos XX A- P(XX) P(A-) = ½ x ¾ = 3/8 Meninas de olhos azuis XX aa P(XX) P(aa) = ½ x ¼ = 1/8

LEIS DE PROBABILIDADE Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos

Eventos mutuamente exclusivos são aqueles cuja ocorrência de um elimina a possibilidade de ocorrência do outro. Neste caso a probabilidade de ocorrência de um ou outro evento é expressa por: P(A ou B) = P(A) + P(B) Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um menino de olhos castanhos ou uma menina de olhos azuis. Assim, tem-se: P(A) = P(menino de olhos castanhos) = 3/8 P(B) = P(meninas de olhos azuis) = 1/8 P(A ou B) = P(A) + P(B)= 3/8 + 1/8 = 1/4 Lei da soma para eventos mutuamente exclusivos Neste caso podemos definir a seguinte expressão de probabilidade P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B) Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer um menino ou uma criança de olhos azuis. Assim, tem-se: P(A) = P(menino) = 1/2 P(B) = P(olhos azuis) = 1/4 P(A e B) = P(meninos de olhos azuis) = 1/8 P(A ou B) = P(A) + P(B ) - P(A e B) = 1/2 + 1/4 - 1/8 A necessidade de subtrair a probabilidade de meninos de olhos azuis na P(A ou B) pode ser constatada pois tanto a valor P(menino) quanto P(olhos azuis) inclui a possibilidade de sair menino de olhos azuis, consequentemente esta probabilidade estaria sendo somada duas vezes caso não houvesse aquela subtração. Lei do produto para eventos independentes Dois eventos são independentes quando a probabilidade de ocorrer B não é condicional à ocorrência de A. A expressão que define a lei do produto para eventos independentes é a seguinte: P(A e B) = P(A) . P(B) Exemplo: Em uma família será estimada a probabilidade do ser menino e ter olhos azuis. P( menino e olhos azuis) = P(menino) . P(olhos azuis) =(1/2)(1/4) = 1/8 Lei do produto para eventos dependentes (ou condicionais ou ligados)

Neste caso temos a seguinte expressão de probabilidade: P(A e B) = P(A) . P(B/A) = P(B) . (P(A/B) Será considerado agora o gene que deteramina o daltonismo na espécie humana. Trata-se de um gene ligado ao sexo, em que: Mulheres normais : XD XD ou XD Xd Mulheres daltônicas : Xd Xd Homens normais : XDY Homens daltônicos : XdY Considerando o casamento entre uma mulher normal, portadora, e um homem normal, tem-se as descendências:

Gametas XD Y XD XD XD XD Y Xd XD Xd Xd Y

Conclui-se que: P(menino) = P(menina) = ½ P(Normal) = ¾ P(Daltonismo) = ¼ Exemplo: No casamento especificado, será estimada a probabilidade de nascer uma menina daltônica. Verifica-se, neste caso, que: P(menina daltônica) # P(menina) x P(daltônica) Ao contrário, tem-se: P(menina daltônica) = P(menina) x P(daltonica/menina) = ½ x 0 = 0

DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Utilização A distribuição poderá ser empregada na determinação da probabilidade quando no evento especificado se deseja calcular a probabilidade de uma acontecimento composto estabelecido por vários eventos. Neste caso, os eventos que constituem o acontecimento devem ser independentes e a ordem dos eventos, dentro do acontecimento, não influencia o cálculo da probabilidade. Em muitas outra situações é necessário a reposição dos dados, para que se possa usar a distribuição binomial ou multinomial. Conceito Entende-se por distribuição binomial como sendo aquela em que os termos da expansão do binômio (ou multinômio) correspondem às probabilidades de todos os eventos possíveis do espaço amostral. O binômio (ou multinômio) é formado pelas probabilidades de cada acontecimento elevado ao número total de ocorrências. Ilustração Para exemplificar será considerado o exemplo dos bovinos, considerando três nascimentos. A probabilidade de sair um animal sem chifre é igual a S (S = ¾) e a probabilidade de sair com chifre igual a C (C = ¼). Assim, tem-se as seguintes situações;

Acontecimentos 1o. Animal 2o. Animal 3o. Animal Probabilidade 3 Com chifres Com Com Com C³ Com Com Sem 2 Com e 1 Sem chifres Com Sem Com 3C²S Sem Com Com Com Sem Sem 1 Com e 2 Sem chifres Sem Com Sem 3CS² Sem Sem Com 3 Sem chifres Sem Sem Sem S³

A seqüência C³ + 3C²S + 3CS² + S³ tem dois significados: a) Cada elemento corresponde a uma probabilidade de um evento do espaço amostral. Sendo probabilidade, se verifica: C³ + 3C²S + 3CS² + S³ = 1 b) Corresponde a expansão do binômio: (C + S)³ = C³ + 3C²S + 3CS² + S³ = 1 DISTRIBUIÇÃO MULTINOMIAL A obtenção da probabilidade através da expansão do binômio apresenta inconvenientes quando o valor de n (número total de ocorrências) é relativamente grande. A expansão do binômio resultará em n + 1 termos e, consequentemente, é impraticável obte-los para n relativamente grande e, para se obter a probabilidade de um evento é necessário conhecer a probabilidade de todos os outros que constituem o espaço amostral. Outro aspecto de dificuldade ocorre quando se tem vários eventos, estabelecendo-se, portanto, um multinômio. Para contornar os problemas, pode-se estimar as probabilidades utilizando-se o termo geral da distribuição multinomial. Este procedimento é mais adequado pois permite estimar a probabilidade do evento desejado sem ser necessário conhecer qualquer outro termo do multinômio. O termo geral é expresso por:

em que,

ni = número de ocorrências do evento i N = = número total de ocorrências pi = probabilidade de ocorrência do evento i

PROBABILIDADE

1. Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se sucessivamente duas bolas dessa urna, obtém-se um par ordenado. O número de pares ordenados possíveis, fazendo-se extrações com reposição, é:

a. 9 b. 6 c. 5 d. 8 e. 3

2. Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se sucessivamente duas bolas dessa urna, obtém-se um par ordenado. O número de pares ordenados possíveis, fazendo-se extrações sem reposição, é:

a. 5 b. 3 c. 8 d. 9 e. 6

3. Uma urna contem três bolas numeradas com 1, 2 e 3. Retirando-se simultaneamente duas bolas dessa urna, obtém-se um conjunto. O número de conjuntos possíveis é:

a. 8 b. 5 c. 6 d. 3 e. 9

4. Lançando-se uma moeda usual 5 vezes, seus resultados formam uma seqüência. O número de seqüências possíveis é:

a. 2 b. 5 c. 10 d. 25 e. 32

5. Considere o seguinte experimento aleatório: "lançar dois dados e observar os números obtidos nas faces superiores". O número de elementos do espaço amostral desse experimento é:

a. 6 b. 12 c. 2 d. 64 e. 36

6. Uma moeda é lançada três vezes. Vamos representar por n ( E ) o número de resultados possíveis e representar por n( A ) o número de resultados que apresentam apenas duas caras. Então:

a. n ( E ) = 6 e n ( A ) = 3 b. n ( E ) = 6 e n ( A ) = 4 c. n ( E ) = 8 e n ( A ) = 4 d. n ( E ) = 8 e n ( A ) = 6 e. n ( E ) = 8 e n ( A ) = 3

7. Lançando-se um dado honesto duas vezes, o número de resultados que apresentam soma 7, é:

a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 3

8. Uma urna tem 20 bolas numeradas com 1, 2, 3...20. Sorteia-se uma bola dessa urna. Considere os seguintes eventos:

Evento A : Ocorrência de um número primo

Evento B : Ocorrência de um divisor de 30

Nesse experimento, o número de elementos do evento A B é:

a. 16 b. 15 c. 13 d. 14 e. 12

9. Dois jogadores disputam um jogo onde é lançado, uma única vez um par de dados. O jogador A ganha se a soma dos resultados for 6 e B, se a soma for 10. Nessas condições, pode-se afirmar corretamente que:

a. B tem mais chance de ganhar que A b. A não tem chance de ganhar c. A tem mais chance de ganhar que B d. B não tem chance de ganhar e. Ambos tem as mesmas chances

10. Denomina-se espaço amostral ao conjunto formado por todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. Se um experimento consistem em se escolherem duas pessoas, ao acaso, de uma sala contendo dez pessoas, então o número de elementos do espaço amostral é:

a. 20 b. 19 c. 90 d. 45 e. 32

11. Num jogo, cada jogador lança um dado uma única vez. O jogador A ganha se tirar, no seu lança, um número de pontos maior ou igual ao lance do jogador B. O número de resultados favoráveis a A é:

a. 36 b. 18 c. 15 d. 20 e. 21

12. O número de possibilidades de escolha de 3 números naturais distintos de 1 a 10, de modo que sua soma seja sempre par, é:

a. 120 b. 220 c. 150 d. 290 e. 160

13. O número da chapa do carro é par. A probabilidade de o algarismo das unidades ser zero é:

a. 5 b. 1/2 c. 4/9 d. 5/9 e. 1/5

14. Qual a probabilidade de se obter um número divisível por 5, na escolha ao acaso de uma das permutações dos algarismos 1; 2; 3; 4 e 5 ?

a. 5 b. 1/5 c. 1 d. 4 e. 1/4

15. Uma urna tem 10 bolas idênticas, numeradas de 1 a 10. Se retirarmos uma bola da urna, a probabilidade de não obter a bola número 7 é igual a:

a. 2/9 b. 1/10 c. 1/5 d. 9/10 e. 9/11

16. A probabilidade de se ter duas vezes o número 5, em duas jogadas de dado, é:

a. 1/48 b. 1/36 c. 1/24 d. 1/12 e. 1/6

17. A probabilidade de uma bola branca aparecer, ao se retirar uma única bola de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é:

a. 1/3 b. 1/2 c. 1/4 d. 1/12 e. 1/6

18. Um jogado recebeu uma cartela com 15 números distintos entre os números 0 e 89, De uma urna contendo 90 bolas numeradas de 0 a 89, é sorteada uma bola. A probabilidade do número dessa bola estar na cartela do jogador é:

a. 1/90 b. 1/89 c. 1/6 d. 15/89 e. 89/90

19. Jogando-se uma moeda 3 vezes, a probabilidade de se obter cara, pelo menos uma vez é:

a. 1/8 b. 3/8 c. 7/8 d. 5/8 e. 1/3

20. No lançamento simultâneo de dois dados distintos e não viciados, qual a probabilidade de se obter a soma dos pontos igual a 7 ?

a. 1/6 b. 5/36 c. 1/12 d. 1/18 e. 1/36

21. O senhor O . Timista enviou 150 cartas para um concurso, no qual seria sorteada uma só carta de um total de 5500 cartas. A probabilidade dele uma das cartas do senhor O .Timista ser sorteada é:

a. 3/55 b. 3/110 c. 1/5350 d. 1/5499 e. 1/5500

22. Se um certo casal tem 3 filhos, então a probabilidade de os 3 filhos serem do mesmo sexo, dado que o primeiro filho é homem, vale:

a. 1/3 b. 1/2 c. 1/5 d. 1/4 e. 1/6

23. Escolhido, ao acaso, um elemento do conjunto dos divisores de 60, a probabilidade de que ele seja primo é:

a. 1/2 b. 1/3 c. 1/4 d. 1/5 e. 1/6

24. Com os dígitos 1, 4, 7, 8 e9, são formados números de 3 algarismos distintos. Um deles é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de ser ímpar ?

a. 2/5 b. 1/2 c. 10.6 d. 3/5 e. 4/5

25. Com os algarismos de 1 a 9, forma-se um número de 4 algarismos distintos. A probabilidade de qe o número formado seja menor que 6000 é:

a. 1/9 b. 1/3 c. 4/9 d. 5/9 e. 2/3

26. Escolhem-se ao acaso dois números distintos, de 1 a 20. Qual a probabilidade de que o produto dos números escolhidos seja ímpar ?

a. 9/38 b. 1/2 c. 9/20 d. 1/4 e. 8/25

27. Uma urna tem 100 cartões numerados de 101 a 200. A probabilidade de se sortear um cartão dessa urna e o número nele marcado ter os três algarismos distintos entre si é:

a. 17/25 b. 71/100 c. 14/25 d. 73/100 e. 37/50

28. Retirando-se uma carta de um baralho comum e sabendo-se que saiu uma dama, qual a probabilidade de que a carta seja de ouros ?

a. 1/3 b. 1/4 c. 4/13 d. 1/13 e. 1/52

29. Num grupo de 60 pessoas, 10 são torcedores do São Paulo, 5 são torcedores do Palmeiras e as demais do Coríntians. Escolhido ao acaso um elemento do grupo, a probabilidade de ele ser torcedor do São Paulo ou do Palmeiras é:

a. 0,40 b. 0,25 c. 0,50 d. 0,30 e. 0,33

30. Uma urna contem 2 bolas brancas, 3 verdes e 4 azuis. Retirando-se uma bola da urna, qual a probabilidade de que seja branca ou verde ?

a. 4/7 b. 3/8 c. 5/9 d. 2/15 e. 3/7

31. Uma urna contem 4 bolas brancas e 6 pretas. Retirando-se, sucessivamente e sem reposição, 2 bolas, a probabilidade de sair bola preta e bola branca, nesta ordem, é de:

a. 6/25 b. 1/5 c. 1/50 d. 4/15 e. 7/30

32. Um número é extraído ao acaso entre os 20 inteiros, de 1 a 20. A probabilidade de o número escolhido ser primo ou quadrado perfeito é:

a. 1/5 b. 2/25 c. 4/25 d. 2/5 e. 3/5

33. Sorteando um número de 1 a 30, a probabilidade de que ele seja par ou múltiplo de 3 é:

a. 3/4 b. 2/3 c. 1/6 d. 5/33 e. 1/3

34. Um juiz possui três cartões no bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o terceiro é vermelho de um lado e amarelo de outro. Num determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do bolso e mostra a um jogador. A probabilidade de que a face que o juiz vê ser vermelha a de a outra face, mostrada ao jogador, ser amarela é:

a. 1/2 b. 2/5 c. 1/5 d. 2/3 e. 1/6

35. Uma roleta esta dividida em 8 partes iguais numeradas de 1 a 8. Ela é girada 3 vezes. Qual é a probabilidade de, nos três giros, ela parar em números iguais?

a. 1/512 b. 1/8 c. 1/3 d. 1/64 e. 1/72

36. Três pessoas, A, B e C, vão participar de um concurso num programa de televisão. O apresentador faz um sorteio entre A e B e ,em seguida, faz um sorteio entre C e o vencedor do primeiro sorteio, para decidir quem iniciará o concurso. Se cada sorteio as duas pessoas tem a mesma chance de ganhar, qual a probabilidade de A iniciar o concurso ?

a. 125% b. 75% c. 50% d. 25% e. 90%

37. Numa urna foram, colocadas 30 bolas: 10 bolas azuis numeradas de 1 a 10, 15 bolas brancas numeradas de 1 a 15 e 5 bolas cinzas numeradas de 1 a 5. Ao retirar-se aleatoriamente uma bola, a probabilidade de obter-se uma bola par ou branca é:

a. 29/30 b. 7/15 c. 1/2 d. 11/15 e. 13/15

38. Um par de dados honestos é lançado. Se os dois números que aparecem são diferentes, a probabilidade de que ocorram, os números 2 ou 3 é:

a. 1/2 b. 2/3 c. 3/5 d. 5/9 e. 11/18

39. Dois dados não viciados distintos são lançados , e o números observados . Pode-se afirmar que:

a. A probabilidade de se obterem números iguais é 1/2 b. A probabilidade de obter soma dos números iguais a 10 '2 1/10 c. Os números observados nunca somarão 12 d. A probabilidade de se obter 15 como soma é maior que zero; e. A probabilidade de se obterem números iguais é 1/6

40. Uma urna contem apenas cartões marcados com números distintos escolhidos de 1 a 9. Se, nessa urna, não há cartões com números repetidos, a probabilidade de ser sorteado um cartão com um número menor que 500 é:

a. 3/4 b. 1/2 c. 8/21 d. 4/9 e. 1/3

41. Uma doença congênita afeta 1 em cada 700 homens. Numa população de um milhão de homens, a probabilidade de que um homem, tomado ao acaso, não seja afetado é:

a. Superior a 0,99 b. Igual a 0,99 c. Menor que 0,98 d. Igual a 1/700 e. 1/2 ou 50%

42. Jogando-se simultaneamente dois dados ( um dado é um cubo com as faces numeradas de 1 a 6 ), a probabilidade da soma dos números obtidos ser par é:

a. 1/2 b. 1/3 c. 1/8 d. 1/16 e. 1/32

43. Você faz parte de um grupo de 10 pessoas, para três das quais serão distribuídos prêmios iguais. A probabilidade de que você seja um dos premiados é:

a. 1/10 b. 1/5 c. 3/10 d. 1/3 e. 2/5

Análise combinatória Introdução à Análise Combinatória

Análise Combinatória é um conjunto de procedimentos que possibilita a construção de grupos diferentes formados por um número finito de elementos de um conjunto sob certas circunstâncias.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntos Z com m elementos e os grupos formados com elementos de Z terão p elementos, isto é, p será a taxa do agrupamento, com p<m.

Arranjos, Permutações ou Combinações, são os três tipos principais de agrupamentos, sendo que eles podem ser simples, com repetição ou circulares. Apresentaremos alguns detalhes de tais agrupamentos.

Observação: É comum encontrarmos na literatura termos como: arranjar, combinar ou permutar, mas todo o cuidado é pouco com os mesmos, que às vezes são utilizados em concursos em uma forma dúbia!

Arranjos

São agrupamentos formados com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí pela ordem ou pela espécie. Os arranjos podem ser simples ou com repetição.

Arranjo simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: As(m,p) = m!/(m-p)! Cálculo para o exemplo: As(4,2) = 4!/2!=24/2=12.

Exemplo: Seja Z={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 12 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento mas que podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

As={AB,AC,AD,BA,BC,BD,CA,CB,CD,DA,DB,DC}

Arranjo com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo de p elementos.

Fórmula: Ar(m,p) = mp. Cálculo para o exemplo: Ar(4,2) = 42=16.

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. Os arranjos com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 16 grupos que onde aparecem elementos repetidos em cada grupo. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ar={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

Arranjo condicional: Todos os elementos aparecem em cada grupo de p elementos, mas existe uma condição que deve ser satisfeita acerca de alguns elementos.

Fórmula: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1) Cálculo para o exemplo: N=A(3,2).A(7-3,4-2)=A(3,2).A(4,2)=6×12=72.

Exemplo: Quantos arranjos com 4 elementos do conjunto {A,B,C,D,E,F,G}, começam com duas letras escolhidas no subconjunto {A,B,C}?

Aqui temos um total de m=7 letras, a taxa é p=4, o subconjunto escolhido tem m1=3 elementos e a taxa que este subconjunto será formado é p1=2. Com as letras A,B e C, tomadas 2 a 2, temos 6 grupos que estão no conjunto:

PABC = {AB,BA,AC,CA,BC,CB}

Com as letras D,E,F e G tomadas 2 a 2, temos 12 grupos que estão no conjunto:

PDEFG = {DE,DF,DG,ED,EF,EG,FD,FE,FG,GD,GE,GF}

Usando a regra do produto, teremos 72 possibilidades obtidas pela junção de um elemento do conjunto PABC com um elemento do conjunto PDEFG. Um típico arranjo para esta situação é CAFG.

Permutações

Quando formamos agrupamentos com m elementos, de forma que os m elementos sejam distintos entre sí pela ordem. As permutações podem ser simples, com repetição ou circulares.

Permutação simples: São agrupamentos com todos os m elementos distintos.

Fórmula: Ps(m) = m!. Cálculo para o exemplo: Ps(3) = 3!=6.

Exemplo: Seja C={A,B,C} e m=3. As permutações simples desses 3 elementos são 6 agrupamentos que não podem ter a repetição de qualquer elemento em cada grupo mas podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Ps={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Permutação com repetição: Dentre os m elementos do conjunto C={x1,x2,x3,...,xn}, faremos a suposição que existem m1 iguais a x1, m2 iguais a x2, m3 iguais a x3, ... , mn iguais a xn, de modo que m1+m2+m3+...+mn=m.

Fórmula: Se m=m1+m2+m3+...+mn, então

Pr(m)=C(m,m1).C(m-m1,m2).C(m-m1-m2,m3) ... C(mn,mn)

Anagrama: Um anagrama é uma (outra) palavra construída com as mesmas letras da palavra original trocadas de posição.

Cálculo para o exemplo: m1=4, m2=2, m3=1, m4=1 e m=6, logo: Pr(6)=C(6,4).C(6-4,2).C(6-4-1,1)=C(6,4).C(2,2).C(1,1)=15.

Exemplo: Quantos anagramas podemos formar com as 6 letras da palavra ARARAT. A letra A ocorre 3 vezes, a letra R ocorre 2 vezes e a letra T ocorre 1 vez. As permutações com repetição desses 3 elementos do conjunto C={A,R,T} em agrupamentos de 6 elementos são 15 grupos que contêm a repetição de todos os elementos de C aparecendo também na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Pr={AAARRT,AAATRR,AAARTR,AARRTA,AARTTA, AATRRA,AARRTA,ARAART,ARARAT,ARARTA, ARAATR,ARAART,ARAATR,ATAARA,ATARAR}

Permutação circular: Situação que ocorre quando temos grupos com m elementos distintos formando uma circunferência de círculo.

Fórmula: Pc(m)=(m-1)! Cálculo para o exemplo: P(4)=3!=6

Exemplo: Seja um conjunto com 4 pessoas K={A,B,C,D}. De quantos modos distintos estas pessoas poderão sentar-se junto a uma mesa circular (pode ser retangular) para realizar o jantar sem que haja repetição das posições?

Se considerássemos todas as permutações simples possíveis com estas 4 pessoas, teriamos 24 grupos, apresentados no conjunto:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB,BACD,BADC, BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA, CDAB,CDBA, DABC,DACB,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA}

Acontece que junto a uma mesa "circular" temos que:

ABCD=BCDA=CDAB=DABC ABDC=BDCA=DCAB=CABD ACBD=CBDA=BDAC=DACB ACDB=CDBA=DBAC=BACD ADBC=DBCA=BCAD=CADB ADCB=DCBA=CBAD=BADC

Existem somente 6 grupos distintos, dados por:

Pc={ABCD,ABDC,ACBD,ACDB,ADBC,ADCB} Combinações

Quando formamos agrupamentos com p elementos, (p<m) de forma que os p elementos sejam distintos entre sí apenas pela espécie.

Combinação simples: Não ocorre a repetição de qualquer elemento em cada grupo de p elementos.

Fórmula: C(m,p) = m!/[(m-p)! p!] Cálculo para o exemplo: C(4,2)=4!/[2!2!]=24/4=6

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações simples desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 6 grupos que não podem ter a repetição de qualquer elemento nem podem aparecer na ordem trocada. Todos os agrupamentos estão no conjunto:

Cs={AB,AC,AD,BC,BD,CD}

Combinação com repetição: Todos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo até p vezes.

Fórmula: Cr(m,p)=C(m+p-1,p) Cálculo para o exemplo: Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=5!/[2!3!]=10

Exemplo: Seja C={A,B,C,D}, m=4 e p=2. As combinações com repetição desses 4 elementos tomados 2 a 2 são 10 grupos que têm todas as repetições possíveis de elementos em grupos de 2 elementos não podendo aparecer o mesmo grupo com a ordem trocada. De um modo geral neste caso, todos os agrupamentos com 2 elementos formam um conjunto com 16 elementos:

Cr={AA,AB,AC,AD,BA,BB,BC,BD,CA,CB,CC,CD,DA,DB,DC,DD}

mas para obter as combinações com repetição, deveremos excluir deste conjunto os 6 grupos que já apareceram antes, pois AB=BA, AC=CA, AD=DA, BC=CB, BD=DB e CD=DC, assim as combinações com repetição dos elementos de C tomados 2 a 2, são:

Cr={AA,AB,AC,AD,BB,BC,BD,CC,CD,DD} Regras gerais sobre a Análise Combinatória

Problemas de Análise Combinatória normalmente são muito difíceis mas eles podem ser resolvidos através de duas regras básicas: a regra da soma e a regra do produto.

Regra da soma: A regra da soma nos diz que se um elemento pode ser escolhido de m formas e um outro elemento pode ser escolhido de n formas, então a escolha de um ou

outro elemento se realizará de m+n formas, desde que tais escolhas sejam independentes, isto é, nenhuma das escolhas de um elemento pode coincidir com uma escolha do outro.

Regra do Produto: A regra do produto diz que se um elemento H pode ser escolhido de m formas diferentes e se depois de cada uma dessas escolhas, um outro elemento M pode ser escolhido de n formas diferentes, a escolha do par (H,M) nesta ordem poderá ser realizada de m.n formas.

Exemplo: Consideremos duas retas paralelas ou concorrentes sem que os pontos sob análise estejam em ambas, sendo que a primeira r contem m pontos distintos marcados por r1, r2, r3, ..., rm e a segunda s contem n outros pontos distintos marcados por s1, s2, s3, ..., sn. De quantas maneiras podemos traçar segmentos de retas com uma extremidade numa reta e a outra extremidade na outra reta?

É fácil ver isto ligando r1 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, depois ligando r2 a todos os pontos de s e assim teremos n segmentos, e continuamos até o último ponto para obter também n segmentos. Como existem m pontos em r e n pontos em s, teremos m.n segmentos possíveis.

Número de Arranjos simples

Seja C um conjunto com m elementos. De quantas maneiras diferentes poderemos escolher p elementos (p<m) deste conjunto? Cada uma dessas escolhas será chamada um arranjo de m elementos tomados p a p. Construiremos uma sequência com os m elementos de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Cada vez que um elemento for retirado, indicaremos esta operação com a mudança da cor do elemento para a cor vermelha.

Para escolher o primeiro elemento do conjunto C que possui m elementos, temos m possibilidades. Vamos supor que a escolha tenha caído sobre o m-ésimo elemento de C.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Para escolher o segundo elemento, devemos observar o que sobrou no conjunto e constatamos que agora existem apenas m-1 elementos. Suponhamos que tenha sido retirado o último elemento dentre os que sobraram no conjunto C. O elemento retirado na segunda fase é o (m-1)-ésimo.

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Após a segunda retirada, sobraram m-2 possibilidades para a próxima retirada. Do que sobrou, se retirarmos o terceiro elemento como sendo o de ordem (m-2), teremos algo que pode ser visualizado como:

c1, c2, c3, c4, c5, ..., cm-2, cm-1, cm

Se continuarmos o processo de retirada, cada vez teremos 1 elemento a menos do que na fase anterior. Para retirar o p-ésimo elemento, restarão m-p+1 possibilidades de escolha.

Para saber o número total de arranjos possíveis de m elementos tomados p a p, basta multiplicar os números que aparecem na segunda coluna da tabela abaixo:

Retirada Número de possibilidades1 m 2 m-1 3 m-2 ... ... p m-p+1 No.de arranjos m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Denotaremos o número de arranjos de m elementos tomados p a p, por A(m,p) e a expressão para seu cálculo será dada por:

A(m,p) = m(m-1)(m-2)...(m-p+1)

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos diferentes? O conjunto solução é:

{AE,AI,AO,AU,EA,EI,EO,EU,IA,IE, IO,IU,OA,OE,OI,OU,UA,UE,UI,UO}

A solução numérica é A(5,2)=5×4=20.

Exemplo: Consideremos as 5 vogais de nosso alfabeto. Quais e quantas são as possibilidades de dispor estas 5 vogais em grupos de 2 elementos (não necessariamente diferentes)?

Sugestão: Construir uma reta com as 5 vogais e outra reta paralela à anterior com as 5 vogais, usar a regra do produto para concluir que há 5x5=25 possibilidades.

O conjunto solução é:

{AA,AE,AI,AO,AU,EA,EE,EI,EO,EU,IA,IE,II, IO,IU,OA,OE,OI,OO,OU,UA,UE,UI,UO,UU}

Exemplo: Quantas placas de carros podem existir no atual sistema brasileiro de trânsito que permite 3 letras iniciais e 4 algarismos no final?

XYZ-1234

Sugestão: Considere que existem 26 letras em nosso alfabeto que podem ser dispostas 3 a 3 e 10 algarismos que podem ser dispostos 4 a 4 e em seguida utilize a regra do produto.

Número de Permutações simples

Este é um caso particular de arranjo em que p=m. Para obter o número de permutações com m elementos distintos de um conjunto C, basta escolher os m elementos em uma determinada ordem. A tabela de arranjos com todas as linhas até a ordem p=m, permitirá obter o número de permutações de m elementos:

Retirada Número de possibilidades 1 m 2 m-1 ... ... p m-p+1 ... ... m-2 3 m-1 2 m 1 No.de permutaçõesm(m-1)(m-2)...(m-p+1)...4.3.2.1

Denotaremos o número de permutações de m elementos, por P(m) e a expressão para seu cálculo será dada por:

P(m) = m(m-1)(m-2) ... (m-p+1) ... 3 . 2 . 1

Em função da forma como construímos o processo, podemos escrever:

A(m,m) = P(m)

Como o uso de permutações é muito intenso em Matemática e nas ciências em geral, costuma-se simplificar a permutação de m elementos e escrever simplesmente:

P(m) = m!

Este símbolo de exclamação posto junto ao número m é lido como: fatorial de m, onde m é um número natural.

Embora zero não seja um número natural no sentido que tenha tido origem nas coisas da natureza, procura-se dar sentido para a definição de fatorial de m de uma forma mais ampla, incluindo m=0 e para isto podemos escrever:

0!=1

Em contextos mais avançados, existe a função gama que generaliza o conceito de fatorial de um número real, excluindo os inteiros negativos e com estas informações pode-se demonstrar que 0!=1.

O fatorial de um número inteiro não negativo pode ser definido de uma forma recursiva através da função P=P(m) ou com o uso do sinal de exclamação:

(m+1)! = (m+1).m!, 0! = 1

Exemplo: De quantos modos podemos colocar juntos 3 livros A, B e C diferentes em uma estante? O número de arranjos é P(3)=6 e o conjunto solução é:

P={ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA}

Exemplo: Quantos anagramas são possíveis com as letras da palavra AMOR? O número de arranjos é P(4)=24 e o conjunto solução é:

P={AMOR,AMRO,AROM,ARMO,AORM,AOMR,MARO,MAOR, MROA,MRAO,MORA,MOAR,OAMR,OARM,ORMA,ORAM, OMAR,OMRA,RAMO,RAOM,RMOA,RMAO,ROAM,ROMA} Número de Combinações simples

Seja C um conjunto com m elementos distintos. No estudo de arranjos, já vimos antes que é possível escolher p elementos de A, mas quando realizamos tais escolhas pode acontecer que duas coleções com p elementos tenham os mesmos elementos em ordens trocadas. Uma situação típica é a escolha de um casal (H,M). Quando se fala casal, não tem importância a ordem da posição (H,M) ou (M,H), assim não há a necessidade de escolher duas vezes as mesmas pessoas para formar o referido casal. Para evitar a repetição de elementos em grupos com a mesma quantidade p de elementos, introduziremos o conceito de combinação.

Diremos que uma coleção de p elementos de um conjunto C com m elementos é uma combinação de m elementos tomados p a p, se as coleções com p elementos não tem os mesmos elementos que já apareceram em outras coleções com o mesmo número p de elementos.

Aqui temos outra situação particular de arranjo, mas não pode acontecer a repetição do mesmo grupo de elementos em uma ordem diferente.

Isto significa que dentre todos os A(m,p) arranjos com p elementos, existem p! desses arranjos com os mesmos elementos, assim, para obter a combinação de m elementos tomados p a p, deveremos dividir o número A(m,p) por m! para obter apenas o número de arranjos que contem conjuntos distintos, ou seja:

C(m,p) = A(m,p) / p!

Como

A(m,p) = m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)

então:

C(m,p) = [ m.(m-1).(m-2). ... .(m-p+1)] / p!

que pode ser reescrito

C(m,p)=[m.(m-1).(m-2)...(m-p+1)]/[(1.2.3.4....(p-1)p]

Multiplicando o numerador e o denominador desta fração por

(m-p)(m-p-1)(m-p-2)...3.2.1

que é o mesmo que multiplicar por (m-p)!, o numerador da fração ficará:

m.(m-1).(m-2).....(m-p+1)(m-p)(m-p-1)...3.2.1 = m!

e o denominador ficará:

p! (m-p)!

Assim, a expressão simplificada para a combinação de m elementos tomados p a p, será uma das seguintes:

Número de arranjos com repetição

Seja C um conjunto com m elementos distintos e considere p elementos escolhidos neste conjunto em uma ordem determinada. Cada uma de tais escolhas é denominada um arranjo com repetição de m elementos tomados p a p. Acontece que existem m possibilidades para a colocação de cada elemento, logo, o número total de arranjos com repetição de m elementos escolhidos p a p é dado por mp. Indicamos isto por:

Arep(m,p) = mp

Número de permutações com repetição

Consideremos 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 5 bolas amarelas. Coloque estas bolas em uma ordem determinada. Iremos obter o número de permutações com repetição dessas bolas. Tomemos 10 compartimentos numerados onde serão colocadas as bolas. Primeiro coloque as 3 bolas vermelhas em 3 compartimentos, o que dá C(10,3) possibilidades. Agora coloque as 2 bolas azuis nos compartimentos restantes para obter C(10-3,2) possibilidades e finalmente coloque as 5 bolas amarelas. As possibilidades são C(10-3-2,5).

O número total de possibilidades pode ser calculado como:

Tal metodologia pode ser generalizada.

Número de combinações com repetição

Considere m elementos distintos e ordenados. Escolha p elementos um após o outro e ordene estes elementos na mesma ordem que os elementos dados. O resultado é chamado uma combinação com repetição de m elementos tomados p a p. Denotamos o número destas combinações por Crep(m,p). Aqui a taxa p poderá ser maior do que o número m de elementos.

Seja o conjunto A=(a,b,c,d,e) e p=6. As coleções (a,a,b,d,d,d), (b,b,b,c,d,e) e (c,c,c,c,c,c) são exemplos de combinações com repetição de 5 elementos escolhidos 6 a 6.

Podemos representar tais combinações por meio de símbolos # e vazios Ø onde cada ponto # é repetido (e colocado junto) tantas vezes quantas vezes aparece uma escolha do mesmo tipo, enquanto o vazio Ø serve para separar os objetos em função das suas diferenças:

(a,a,b,d,d,d) equivale a ##Ø#ØØ###Ø

(b,b,b,c,d,e) equivale a Ø###Ø#Ø#Ø#

(c,c,c,c,c,c) equivale a ØØ######ØØ

Cada símbolo possui 10 lugares com exatamente 6# e 4Ø. Para cada combinação existe uma correspondência biunívoca com um símbolo e reciprocamente. Podemos construir um símbolo pondo exatamente 6 pontos em 10 lugares. Após isto, os espaços vazios são prenchidos com barras. Isto pode ser feito de C(10,6) modos. Assim:

Crep(5,6) = C(5+6-1,6)

Generalizando isto, podemos mostrar que:

Crep(m,p) = C(m+p-1,p) Propriedades das combinações

O segundo número, indicado logo acima por p é conhecido como a taxa que define a quantidade de elementos de cada escolha.

Taxas complementares

C(m,p)=C(m,m-p)

Exemplo: C(12,10) = C(12,2)=66.

Relação do triângulo de Pascal

C(m,p)=C(m-1,p)+C(m-1,p-1)

Exemplo: C(12,10)=C(11,10)+C(11,9)=605

Número Binomial

O número de combinações de m elementos tomados p a p, indicado antes por C(m,p) é chamado Coeficiente Binomial ou número binomial, denotado na literatura científica como:

Exemplo: C(8,2)=28.

Extensão: Existe uma importante extensão do conceito de número binomial ao conjunto dos números reais e podemos calcular o número binomial de qualquer número real r que seja diferente de um número inteiro negativo, tomado a uma taxa inteira p, somente que, neste caso, não podemos mais utilizar a notação de combinação C(m,p) pois esta somente tem sentido quando m e p são números inteiros não negativos. Como Pi=3,1415926535..., então:

A função envolvida com este contexto é a função gama. Tais cálculos são úteis em Probabilidade e Estatística.

Teorema Binomial

Se m é um número natural, para simplificar um pouco as notações, escreveremos mp no lugar de C(m,p). Então:

(a+b)m = am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm

Alguns casos particulares com m=2, 3, 4 e 5, são:

(a+b)2 = a2 + 2ab + b2

(a+b)3 = a3 + 3 a2b + 3 ab2 + b3

(a+b)4 = a4 + 4 a3b + 6 a2b2 + 4 ab3 + b4

(a+b)5 = a5 + 5 a4b + 10 a3b2 + 10 a2b3 + 5 ab4 + b5

A demonstração segue pelo Princípio da Indução Matemática.

Iremos considerar a Proposição P(m) de ordem m, dada por:

P(m): (a+b)m=am+m1am-1b+m2am-2b2+m3am-3b3+...+mmbm

P(1) é verdadeira pois (a+b)1 = a + b

Vamos considerar verdadeira a proposição P(k), com k>1:

P(k): (a+b)k=ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk

para provar a propriedade P(k+1).

Para que a proposição P(k+1) seja verdadeira, deveremos chegar à conclusão que:

(a+b)k+1=ak+1+(k+1)1akb+(k+1)2ak-1b2+...+(k+1)(k+1)bk+1

(a+b)k+1= (a+b).(a+b)k

= (a+b).[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kkbk]

= a.[ak+k1ak-1b+k2ak-2 b2+k3ak-3b3+...+kkbk] +b.[ak+k1ak-1b+k2ak-2b2+k3ak-3b3+...+kk bk]

= ak+1+k1akb+k2ak-1b2+k3ak-2b3+...+kkabk +akb+k1ak-1b2+k2ak-2 b3+k3ak-3b4+...+kkbk+1

= ak+1+[k1+1]akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3 +[k4+k3] ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1

= ak+1+[k1+k0] akb+[k2+k1]ak-1b2+[k3+k2]ak-2b3 +[k4+k3]ak-3b4+...+[kk-1+kk-2]a2bk-1+[kk+kk-1]abk+kkbk+1

Pelas propriedades das combinações, temos:

k1+k0=C(k,1)+C(k,0)=C(k+1,1)=(k+1)1

k2+k1=C(k,2)+C(k,1)=C(k+1,2)=(k+1)2

k3+k2=C(k,3)+C(k,2)=C(k+1,3)=(k+1)3

k4+k3=C(k,4)+C(k,3)=C(k+1,4)=(k+1)4

... ... ... ...

kk-1+kk-2=C(k,k-1)+C(k,k-2)=C(k+1,k-1)=(k+1)k-1

kk+kk-1=C(k,k)+C(k,k-1)=C(k+1,k)=(k+1)k

E assim podemos escrever:

(a+b)k+1= ak+1+(k+1)1akb + (k+1)2ak-1b2 + (k+1)3ak-2b3 +(k+1)4ak-3b4 +...+ (k+1)k-1a2bk-1 + (k+1)kabk + kkbk+1

que é o resultado desejado.

Exercícios de permutações simples

1. Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutações podem ser formadas contendo as letras: A,E e I.

2. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?

Auxílio: P(n)=n!, n=3

Resposta: N=1×2×3=6

3. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?


Resposta: N=1×2×3×4×5=120

4. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR?


Resposta: N=1×2×3×4=24

5. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9.

Auxílio:

Resposta: P(5)=120.

6. Quantos números com cinco algarismos podemos construir com os números ímpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.

Auxílio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.

Resposta: N=2×P(4)=2×24=48

7. Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutações começam por uma determinada letra?

Resposta: N=P(n-1)=(n-1)!

8. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI?

Resposta: P(9)=9!

9. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por A?

Resposta: P(8)=8!

10. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por AB?

Resposta: P(7)=7!

11. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por ABC?

Resposta: P(6)=6!

12. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma das letras A, B ou C?

Auxílio: Começando por uma das letras A,B,C: P(8)=8!

Resposta: N=3×P(8)=3×8!

13. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando pelas três letras do grupo ABC?

Auxílio: Começando pelas letras do grupo ABC: P(3)=3!=6

Resposta: N=P(3)×P(6)=6×120=720

14. Quantos são os anagramas possíveis com as letras: ABCDEFGHI, começando por uma vogal e terminando por uma consoante?

Auxílio: 3 são as vogais e 6 são as consoantes.

Resposta: N=P(3)×P(6)=6×120=720 (???)

15. Há 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos?

Auxílio: Temos 4 grupos de camisas, logo P(4) posições para as equipes e os grupos podem permutar as suas posições, respectivamente, P(3), P(3), P(2) e P(2).

Resposta: N=P(4)×P(3)×P(3)×P(2)×P(2)=3456

Exercícios de permutações com repetição

16. Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: ARARA?

Auxílio: A letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2 vezes.

Resposta: Pr(5;3+2)=5!/(3!2!)=10

17. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES? 18. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES começando por

U? 19. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES terminando por

S? 20. Quantos são os anagramas possíveis para a palavra: ULYSSES começando por U

e terminando por S? 21. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da

palavra AMA?

Auxílio: p1=n(A)=2, p2=n(M)=1, N=Pr(3;2+1)

Pr(p;p1+p2)=(p1+p2)!/(p1!p2!)

Resposta:N=3!/(2!1!)=3

22. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMAR?

Auxílio: N=(p1+p2+p3)!/(p1!p2!p3!),A=2,M=1,R=1

Resposta: N=4!/(2!1!1!)=12

23. Qual é o número possível de anagramas que se pode montar com as letras da palavra ARARUNA?

Auxílio: N=(p1+p2+p3+p4)!/(p1!p2!p3!p4!), A=3, R=2, N=1, U=1

Resposta: N=7!/(3!2!1!1!)=420

24. O número Pi com 10 algarismos (sem considerar a vírgula) é indicado por 3141592653. Quantas são as permutações diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos

Auxílio: n(1)=n(3)=n(5)=2, n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1

Resposta: Pr(10,2+1+2+1+2+1+1)=10!/8=453600

25. Quantos são os anagramas possíveis com as letras da palavra: MATEMATICA?

Auxílio: A letra A aparece 3 vezes, a letra M aparece 2 vezes, a letra T aparece 2 vezes, a letras E aparece 1 vez , a letra I aparece 1 vez e a letra C aparece 1 vez.

Resposta: Pr(10;3+2+2+1+1+1) = 10!/[3!2!2!1!1!1!] =151200

Exercícios de permutações circulares

26. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa circular?

Auxílio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5


27. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa retangular?

Auxílio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5


Exercícios de combinações simples

28. Um indivíduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poderá empacotar tais livros em grupos de 6 livros?

29. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?

Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3

Resposta: C=8!/(3!5!)=(8×7×6)/(1×2×3)=56

30. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?

Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2

Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000×999=999000

31. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto?

Conceito: Combinação

Auxílio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4

Resposta: C=10!/(4!6!)=(10×9×8×7)/(1×2×3×4)=210

32. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A?

Auxílio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1

Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1×9×8×7)/6=84

33. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B?


Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(1×8×7)/2=28

34. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que não contenham nem as letras A e B?


Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(1×8×7×6×5)/24=70

35. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas não as duas?


Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2×8×7×6)/6=112

36. Quantas combinações com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contêm 2 dentre as 3 letras A,B e C?


Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(3×7×6)/2=63

37. Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comissões podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?

38. Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2). 39. Quantos triângulos podem ser traçados contendo pontos de duas retas paralelas,

sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos? 40. Quantos quadriláteros convexos podem ser traçados contendo pontos de duas

retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?

41. Em uma classe com 16 pessoas, há 10 homens e 6 mulheres. Consideremos H um certo homem e M uma certa mulher. Quantos grupos podemos formar:

a. com 4 homens e 2 mulheres? b. contendo H mas não M? c. contendo M mas não H?

d. contendo H e M? e. contendo somente H ou somente M?

42. Quantos números diferentes maiores do que 100 e menores do que 1000 podem ser construídos com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, sendo:

a. que cada algarismo aparece somente uma vez? b. que cada algarismo pode repetir até 3 vezes? c. os números pares sem repetição? d. os números ímpares sem repetição? e. os números pares com repetição? f. os números ímpares com repetição?

43. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comissões com 3 professores e 2 alunos. Quantas são as possibilidades?

Resposta: N=C(6,3)×C(4,2)=30×6=180

44. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão somente 1 professor?

45. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão somente 2 professores?

46. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão no mínimo 2 professores?

47. Desejamos formar comissões de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comissões terão no mínimo 3 professores?

48. Num plano existem 4 pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos?

Resposta: C(4,2)=6

49. Num plano colocamos n pontos, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de retas que passam por esses pontos?

Resposta: C(n,2)=n(n-1)/2

50. Quatro pontos são postos num plano, sendo que 3 deles são não colineares. Qual é o número possível de triângulos construídos com esses pontos?

Auxílio: C(3,2)=3 triângulos para cada ponto.

51. Qual é o número de diagonais de um polígono regular de n lados?

Resposta: N=C(n,2)-n=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2

52. Qual é o número de diagonais de um cubo? 53. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem 5 lados? 54. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem 6 lados? 55. Qual é o número de diagonais de um prisma regular cuja base tem n lados?

56. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, construir o conjunto que contém todas as combinações tomadas 2 a 2.

57. Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H, determinar o número das permutações possíveis que começam por ABC.

Resposta: N=P(5)=120.

58. Quantas digonais possui um dodecágono?

Resposta: N=12×9/2=54

59. Quantas digonais possui o tetraedro regular?

Resposta: N=0

60. Quantas digonais possui um prisma triangular regular?

Resposta: N=0

Exercícios de combinações com repetição

61. Determinar o número de combinações com 4 elementos tomados com repetição de 7 livros.

Auxílio: Cr=Cr(m,p)=C(m+p-1,p), m=7, p=4

Resposta: Cr=Cr(7,4)=C(7+4-1,4)=C(10,4)=210

62. Determinar o número de combinações com repetição de 4 objetos tomados 2 a 2.

Auxílio: Cr=Cr(m,p)=C(m+p-1,p), m=4, p=2

Resposta: Cr=Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=10

Exercícios de arranjos simples

63. Quantos números diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Resposta: N1=A(9,1)=9

64. Quantos números distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9.

Auxílio: Os números iniciados por 0 não terão 2 dígitos e sua quantidade corresponde a A(9,1).

Resposta: N2=A(10,2)-A(9,1)=10×9-9=90-9=81

65. Quantos números distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os dígitos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.


Resposta: N3=A(10,3)-A(9,2)=720-720=648

66. Quantos números distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.


Resposta: N4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=4536

67. Quantos números distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da coleção: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Resposta: N=N1+N2+N3+N4=9+81+648+4536=5274

68. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?

Auxílio: A quantidade de números distintos com 4 algarismos é 4536 e a quantidade total de números (com repetição ou não) com 4 algarismos é 9000.

Resposta: N=9000-4536=4464

69. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, obter o conjunto solução que contém todos os arranjos tomados 2 a 2.

70. Usando-se apenas os algarismos 1,3,5,7,9 quantos números com 3 algarismos podem ser montados?

Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=5, p=3

Resposta: A=5!/2!=60

71. Usando-se os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 quantos números com 4 algarismos podem ser montados?


Resposta: A=10!/6!=5040

72. Usando-se as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?


Resposta: A=26!/23!=26.25.24=15600

73. Com as 26 letras do alfabeto: A,B,C,D,...,Z e os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?

Auxílio: A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4

Resposta: A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000

74. Consideremos um baralho contendo 52 cartas distintas. a. Quantos pares distintos podem ser formados? b. Quantas trincas distintas podem ser formados? c. Quantas quadras distintas podem ser formados? d. Quantos pares distintos podem ser formados tendo pelo menos um "Ás"? e. Quantos pares distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás" e

um "Rei"? f. Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás"? g. Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um "Ás" e

um "Rei"? Exercícios de arranjos com repetição

75. Quantos números com 4 algarismos podemos formar com os algarismos: 0,1,2,3,4,5,6,7,8 e 9.

Resposta: Ar(10,4)=104=10000

76. Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as 26 letras de nosso alfabeto?

Resposta: Ar(26,3)=263=17576

77. Quantas placas são possíveis em nosso sistema de trânsito, se em todas devem aparecer 3 letras seguidas por 4 números?

Resposta: N=Ar(26,3).Ar(10,4)=175760000

78. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 1 algarismo?

Resposta: N1=Ar(10,1)-Ar(10,0)=10-1=9

79. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com 2 algarismos (repetidos ou não)?

Auxílio: São 10=Ar(10,1) os números com 2 dígitos iniciados por 0.

Resposta: N2=Ar(10,2)-Ar(10,1)=102-101=100-10=90


Auxílio: Existem 100=Ar(10,2) números com 3 dígitos iniciados por 0.

Resposta: N3=Ar(10,3)- Ar(10,2)=103-102=900


Auxílio: São 100=Ar(10,3) os números com 4 dígitos iniciados por 0.

Resposta: N4=Ar(10,4)-Ar(10,3)=104-103=9000

82. No sistema decimal de numeração, quantos números existem com n algarismos (repetidos ou não)?

Auxílio: São Ar(10,n-1) os números com n-1 dígitos iniciados por 0.

Resposta: N4=Ar(10,n)-Ar(10,n-1)=10n-10n-1=9×10n-1

83. Num sistema de numeração com a base tendo b algarismos, quantos números existem com n algarismos (repetidos ou não)?

Auxílio: São Ar(b,n-1) os números com n-1 dígitos iniciados por 0.

Resposta: N4=Ar(b,n)-Ar(b,n-1)=bn-bn-1=(b-1)×bn-1

84. No sistema decimal de numeração, existem quantos números pares com 4 algarismos (repetidos ou não)?

85. No sistema decimal de numeração, existem quantos números ímpares com 4 algarismos (repetidos ou não)?

86. No sistema decimal de numeração, existem quantos números pares diferentes com 4 algarismos?

87. No sistema decimal de numeração, existem quantos números ímpares diferentes com 4 algarismos?

Resposta: N=5.A(8,3)=1.680



90. Quantos números menores do que 10.000, podem ser formados com os algarismos 1,2,3 e 4?

Auxílio: N=Ar(4,1)+Ar(4,2)+Ar(4,3)+Ar(4,4)

Resposta: N= 41+42+43+44= 4+16+64+256=340

91. Quantos números de 3 dígitos podem ser formados com 5 algarismos?

Auxílio:Fórmula Ar(m,p)=mp, m=5, p=3

Resposta: Ar=53=125

Exercícios de arranjos condicionais

92. Quantos arranjos dos elementos A,B,C,D,E,F,G tomados 4 a 4, começam com duas letras dentre A,B e C?

Auxílio: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1)

m=7, p=4, m1=3, p1=2

Resposta: N=A(3,2).A(4,2)=3!/1! . 4!/2!=72

93. Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, tomados 6 a 6, quantos números podem ser formados tendo nas duas posições iniciais algarismos que são números ímpares?

Auxílio: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1), m=10, p=6, m1=5, p1=2

Resposta: N=A(5,2).A(5,4)=5!/3! . 5!/1!=2400

94. Dentre os arranjos de 5 letras: A,B,C,D,E, tomados 3 a 3, quantos contêm a letra E?

Auxílio: N=(p-p1+1).A(m1,p1).A(m-m1,p-p1), m=5, p=3, m1=1, p1=1

Resposta: N=(3-1+1).A(1,1).A(4,2)=36

95. Dentre os arranjos de 5 letras: A,B,C,D,E, tomados 3 a 3, quantos contêm juntas as duas letras A e B?


Resposta: N=(4-2+1).A(2,2).A(3,1)=18

96. Dentre os arranjos de 6 letras: A,B,C,D,E,F, tomados 4 a 4, quantos contêm a letra A?


Resposta: N=(4-1+1).A(1,1).A(5,3)=240

97. Dentre os arranjos de 6 letras: A,B,C,D,E,F, tomados 4 a 4, quantos contêm juntas 2 das 3 letras A,B e C?


Resposta: N=(4-2+1).A(3,2).A(3,2)=108

98. Dentre os arranjos de 4 letras: A,B,C,D, tomados 3 a 3, quantos contêm a letra A?


Resposta: N=(3-1+1).A(1,1).A(3,2)=18

99. Dentre os arranjos de 4 letras: A,B,C e D, tomados 3 a 3, quantos começam pelas letras A e B?

Auxílio: N=A(m1,p1).A(m-m1,p-p1), m=4, p=3, m1=2, p1=2

Resposta: N=A(2,2).A(2,1)=4

100. Dentre os arranjos de 4 letras: A,B,C e D, tomados 3 a 3, quantos contêm juntos as letras A e B?


Resposta: N=(3-2+1).A(2,2).A(2,1)=8

Exercícios com o fatorial

101. Se C(n,2)=28, qual é o valor de n?

Resposta: n=8.

102. Existe um número n natural tal que C(n,3)=C(n,2)? 103. Usando o desenvolvimento binomial de (1+1)n, demonstrar que:

C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2n

104. Usar o PIF (Princípio de Indução Matemática), para demonstrar que:

(p+1)·C(n,p+1)=(n-p)·C(n,p).


n·C(n-1,p)=(n-p)·C(n,p).

106. Se A(n,2)=42, qual é o valor de n?

Resposta: n=7.

107. Justificar a afirmação: "Se n é um número primo e p<n, então n é um divisor de C(n,p)."


2·4·6·8·10·...2n=(2n)n!


1·3·5·7·9· ... (2n-1)=(2n)!/[2n·n!]


2·6·10·14·18·22. ... .(4n-2)=(2n)!/n!


A(n,k)=A(n,p)/A(n-k,p-k) se k<p.


Pr(n;k+(n-k))=C(n,k) se k<n.


1·(1!)+2·(2!)+3·(3!)+...+n·(n!)=(n+1)!-1.

114. Demonstrar que para todo k natural

1/k! - 1/(k+1)! =k/(k+1)!, .

115. Demonstrar que

1/2!+2/3!+3/4!+...+n/(n+1)!=1/(n+1)!

Auxílio: Como esta é uma série telescópica, segue que cada termo pode ser escrito como a diferença de dois outros que se anulam em sequência, assim basta usar o fato que para todo k<n, vale a relação:

k/(k+1)!=1/k! - 1/(k+1)!

116. Demonstrar que

A(n,p) = p [A(n-1,p-1)+A(n-2,p-1)+...+A(p-1,p-1)] Exercícios com a regra do produto

117. Numa festa, três meninos devem ser apresentados a 5 meninas. De quantas maneiras possíveis eles podem ser apresentados?

Auxílio: N=p×q, p=3, q=5

Resposta: N=3×5=15

118. Existem quatro estradas ligando duas cidades A e B, e três estradas ligando as cidades B e C. De quantos modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade A até a cidade C?


Resposta: N=4×3=12

119. Uma sala possui 3 portas. Quantas possibilidades existem para que uma pessoa possa entrar e sair desta sala?


Resposta: N=3×3=9

Matrizes, determinantes e sistemas lineares

Elementos básicos para a construção de matrizes

Aqui tomaremos o conjunto N dos números naturais, como:

N={1,2,3,4,5,6,7,...}

O produto cartesiano N×N indicará o conjunto de todos os pares ordenados da forma (a,b), onde a e b são números naturais, isto é:

N×N={(a,b): a e b são números naturais }

Uma relação importante em N×N é:

Smn={(i,j): 1<i<m, 1<j<n}

Definição de matriz

Uma matriz real (ou complexa) é uma função que a cada par ordenado (i,j) no conjunto Smn associa um número real (ou complexo).

Uma forma comum e prática para representar uma matriz definida na forma acima é através de uma tabela contendo m×n números reais (ou complexos). Identificaremos a matriz abaixo com a letra A.

a(1,1) a(1,2) ... a(1,n)a(2,1) a(2,2) ... a(2,n)

... ... ... ... a(m,1) a(m,2) ... a(m,n)

Definições básicas sobre matrizes

1. Ordem: Se a matriz A tem m linhas e n colunas, dizemos que a ordem da matriz é m×n.

2. Posição de um elemento: Na tabela acima a posição de cada elemento aij=a(i,j) é indicada pelo par ordenado (i,j).

3. Notação para a matriz: Indicamos uma matriz A pelos seus elementos, na forma: A=[a(i,j)].

4. Diagonal principal: A diagonal principal da matriz é indicada pelos elementos da forma a(i,j) onde i=j.

5. Matriz quadrada é a matriz que tem o número de linhas igual ao número de colunas, i.e., m=n.

6. A diagonal secundária de uma matriz quadrada de ordem n é indicada pelos n elementos:

a(1,n), a(2,n-1), a(3,n-2), a(4,n-3), a(5,n-4), ..., a(n-1,2), a(n,1)

7. Matriz diagonal é a que tem elementos nulos fora da diagonal principal. 8. Matriz real é aquela que tem números reais como elementos. 9. Matriz complexa é aquela que tem números complexos como elementos. 10. Matriz nula é aquela que possui todos os elementos iguais a zero. 11. Matriz identidade, denotada por Id, tem os elementos da diagonal principal

iguais a 1 e zero fora da diagonal principal. 12. Matriz diagonal é aquela que tem todos os elementos nulos fora da diagonal

principal. Alguns elementos da diagonal principal podem ser nulos.

Exemplos de matrizes

Matriz 4x4 de números reais:

12 -6 7 18

-23 -24 0 0

0 0 5 0

0 0 0 9

Matriz 4x4 de números complexos:

12 -6+i 7 i

-i -24 0 0

0 0 5+i 5-i

0 0 0 9

Matriz nula com duas linhas e duas colunas:

0 0

0 0

Matriz nula com três linhas e duas colunas:

0 0

0 0

0 0

Matriz identidade com três linhas e três colunas:

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Matriz diagonal com quatro linhas e quatro colunas:

23 0 0 0

0 -56 0 0

0 0 0 0

0 0 0 100

Matrizes iguais

Duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)], de mesma ordem m×n, são iguais se todos os seus correspondentes elementos são iguais, isto é:

a(i,j) = b(i,j)

para todo par ordenado (i,j) em Smn.

Exercício: Determinar os valores de x e y para que sejam iguais as matrizes abaixo, isto é:

1 2

3 4 =

x-1 y-1

x+y x2

Soma de matrizes e suas propriedades

A soma (adição) de duas matrizes A=[a(i,j)] e B=[b(i,j)] de mesma ordem m×n, é uma outra matriz C=[c(i,j)], definida por:

c(i,j) = a(i,j) + b(i,j)


Exemplo: A soma das matrizes A e B é a terceira matriz indicada abaixo.

-23 10

7 9 +

10 5

8 9 =

-13 15

15 18

Propriedades da soma de matrizes

A1: Associativa: Para quaisquer matrizes A, B e C, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

(A + B) + C = A + (B + C)

A2: Comutativa: Para quaisquer matrizes A e B, de mesma ordem m×n, vale a igualdade:

A + B = B + A

A3: Elemento neutro: Existe uma matriz nula 0 que somada com qualquer outra matriz A de mesma ordem, fornecerá a própria matriz A, isto é:

0 + A = A

A4: Elemento oposto: Para cada matriz A, existe uma matriz -A, denominada a oposta de A, cuja soma entre ambas fornecerá a matriz nula de mesma ordem, isto é:

A + (-A) = 0

Multiplicação de escalar por matriz e suas propriedades

Seja k um escalar e A=[a(i,j)] uma matriz. Definimos a multiplicação do escalar k pela matriz A, como uma outra matriz C=k.A, definida por:

c(i,j) = k. a(i,j)


Exemplo: A multiplicação do escalar -4 pela matriz A, definida por:

-4-2 10

7 9 =

-8 -40

28 36 Propriedades da multiplicação de escalar por matriz

E1: Multiplicação pelo escalar 1: A multiplicação do escalar 1 por qualquer matriz A, fornecerá a própria matriz A, isto é:

1.A = A

E2: Multiplicação pelo escalar zero: A multiplicação do escalar 0 por qualquer matriz A, fornecerá a matriz nula, isto é:

0.A = 0

E3: Distributividade das matrizes: Para quaisquer matrizes A e B de mesma ordem e para qualquer escalar k, tem-se:

k (A+B) = k A + k B

E4: Distributividade dos escalares: Para qualquer matriz A e para quaisquer escalares p e q, tem-se:

(p + q) A = p A + q A

Multiplicação de matrizes

Seja a matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n e a matriz B=(b(k,l)) de ordem nxr. Definimos o produto das matrizes A e B como uma outra matriz C=A.B, definida por:

c(u,v) = a(u,1) b(1,v) + a(u,2) b(2,v) + ... + a(u,m) b(m,v)

para todo par (u,v) em Smr.

Para obter o elemento da 2a. linha e 3a. coluna da matriz produto C=A.B, isto é, o elemento c(2,3), devemos:

1. multiplicar os primeiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna; 2. multiplicar os segundos elementos da 2a. linha e 3a. coluna; 3. multiplicar os terceiros elementos da 2a. linha e 3a. coluna; 4. multiplicar os quartos elementos da 2a. linha e 3a. coluna; 5. somar os quatro produtos obtidos anteriomente.

Assim:

c23 = a21 b13 + a22 b23 + a23 b33 + a24 b43

Podemos visualizar esta operação através das matrizes seguintes. Basta observar a linha em azul na primeira matriz, a coluna em azul na segunda matriz e o elemento em azul na terceira matriz.

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

a41 a42 a43 a44

×

b11 b12 b13 b14

b21 b22 b23 b24

b31 b32 b33 b34

b41 b42 b43 b44

=

c11 c12 c13 c14

c21 c22 c23 c24

c31 c32 c33 c34

c41 c42 c43 c44

Observação: Somente podemos multiplicar duas matrizes se o número de colunas da primeira for igual ao número de linhas da segunda.

Propriedades da multiplicação de matrizes

Para todas as matrizes A, B e C que podem ser multiplicadas, temos algumas propriedades:

M1: Nem sempre vale a comutatividade: Em geral, A×B é diferente de B×A, como é o caso do produto que segue, onde A está cor vermelha e B em cor preta:

1 2 3

2 4 6

3 6 9

×

1 2

3 5

7 9

M2: Distributividade da soma à direita

A (B+C) = A B + A C

M3: Distributividade da soma à esquerda

(A + B) C = A C + B C

M4: Associatividade

A (B C) = (A B) C

M5: Nulidade do produto: Pode acontecer que o produto de duas matrizes seja a matriz nula, isto é: AB=0, embora nem A nem B sejam matrizes nulas, como é o caso do produto:

0 1

0 0 ×

0 2

0 0 =

0 0

0 0

M6: Nem sempre vale o cancelamento: Se ocorrer a igualdade AC=BC, então nem sempre será verdadeiro que A=B, pois existem exemplos de matrizes como as apresentadas abaixo, tal que:

0 1

0 0 ×

0 5

0 0 =

0 2

0 0 ×

0 5

0 0

mas as matrizes A e B são diferentes.

Matrizes com propriedades especiais

1. Uma matriz A é nilpotente de índice k natural, se:

Ak = 0

2. Uma matriz A é periódica de índice k natural, se:

Ak+1= A

3. Uma matriz A é idempotente, se:

A2 = A

4. As matrizes A e B são comutativas, se:

A B = B A

5. As matrizes A e B são anti-comutativas, se:

A B = - B A

6. A matriz identidade Id multiplicada por toda matriz A, fornecerá a própria matriz A, quando o produto fizer sentido.

Id A = A

7. A matriz A será a inversa da matriz B, se:

A B = Id e B A = Id

A transposta de uma matriz e suas propriedades

Dada uma matriz A=[a(i,j)] de ordem m×n, definimos a transposta da matriz A como a matriz

At = [a(j,i)]

e segue que as linhas de A se transformam nas colunas de At.

Propriedades das matrizes transpostas

T1: A transposta da transposta da matriz é a própria matriz.

(At)t = A

T2: A transposta da multiplicação de um escalar por uma matriz é igual ao próprio escalar multiplicado pela transposta da matriz.

(kA)t = k (At)

T3: A transposta da soma de duas matrizes é a soma das transpostas dessas matrizes.

(A + B)t = At + Bt

T4: A transposta do produto de duas matrizes é igual ao produto das transpostas das matrizes na ordem trocada.

(A B)t = Bt At

Matrizes simétricas e anti-simétricas e suas propriedades

Uma matriz A é simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

At = A

Uma matriz A é anti-simétrica se é uma matriz quadrada tal que:

At = -A Propriedades das matrizes simétricas e anti-simétricas

S1: Se A é uma matriz simétrica de ordem n, então para todo escalar k, a matriz k.A é simétrica.

S2: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A+At é simétrica.

S3: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então a matriz B=A-At é anti-simétrica.

S4: Se A é uma matriz quadrada de ordem n, então A sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica S com uma matriz anti-simétrica T, isto é, A=S+T, e neste caso:

S =(1/2)(A + At) e T =(1/2)(A - At)

Determinante de uma matriz quadrada

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 2, dada por:

a11 a12A=a21 a22

definimos o determinante de A, denotado por det(A), como:

det(A) = a11 a22 - a21 a12

Se A é uma matriz quadrada A de ordem 3, dada por:

a11 a12 a13

a21 a22 a23A=

a31 a32 a33

definimos o determinante de A, como:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13

Regra prática de Saurus

Dada a matriz A de ordem 3:

a11 a12 a13

a21 a22 a23A=

a31 a32 a33

Repetimos as duas primeiras colunas após a terceira coluna, de forma a montar uma matriz com 3 linhas mas com 5 colunas.

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

Marcamos 3 diagonais que descem, de acordo com algumas cores. Os produtos obtidos nas diagonais que descem devem ter o sinal positivo.

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

Produto cor amarela +a11a22a33

Produto cor verde +a12a23a31

Produto cor azul +a13a21a32

Marcamos agora 3 diagonais que sobem, de acordo com outras cores. Os produtos obtidos nas diagonais que sobem devem ter o sinal negativo.

a11 a12 a13 a11 a12

a21 a22 a23 a21 a22

a31 a32 a33 a31 a32

Produto cor rosa -a11a22a33

Produto cor bege -a12a23a31

Produto cor khaki -a13a21a32

O determinante da matriz A é a soma dos seis produtos, conservados os sinais:

det(A) = a11a22a33 + a21a32a13 + a31a12a23 - a11a32a23 - a21a12a33 - a31a22a13

Observamos que esta regra não funciona para matrizes de ordem diferente que 3.

Propriedades dos determinantes

Em todas as situações abaixo, consideraremos matrizes quadradas de ordem n>2.

1. Se In é a matriz identidade, então:

det(In) = 1

2. Se N é uma matriz nula, então:

det(N) = 0

3. Se uma linha (ou coluna) da matriz A for nula, então:

det(A) = 0

4. A matriz A bem como a sua transposta At, possuem o mesmo determinante de A, isto é:

det(At) = det(A)

5. Se B é a matriz obtida pela multiplicação de uma linha (ou coluna) da matriz A por um escalar k, então:

det(B) = k det(A)

6. Se B=kA, onde k é um escalar, então:

det(B) = kn det(A)

7. Se B é a matriz obtida pela troca de duas linhas (ou colunas) de A, então:

det(B) = - det(A)

8. Se A tem duas linhas (ou colunas) iguais, então:

det(A) = 0

9. Se a diferença entre os elementos de duas linhas (ou colunas) de uma matriz A é uma mesma constante, então:

det(A) = 0

10. Se uma linha (ou coluna) de A for múltipla de uma outra linha (ou coluna) de A, então:

det(A) = 0

11. Ao fixar todas as linhas (ou colunas) de uma matriz exceto uma delas, o determinante de A será uma função linear da linha (ou coluna) não fixada da matriz.

12. Ao multiplicar (ou dividir) uma linha (ou coluna) de uma matriz por um número real k, o determinante da matriz será multiplicado (ou dividido) por k.

Introdução aos sistemas lineares

Esta página trata sobre equações lineares e inicia mostrando uma aplicação de matrizes e sistemas lineares. As equações lineares assim como os sistemas de equações são muito utilizados no cotidiano das pessoas.

Exemplo: Uma companhia de navegação tem três tipos de recipientes A, B e C, que carrega cargas em containers de três tipos I, II e III. As capacidades dos recipientes são dadas pela matriz:

Tipo do Recipiente I II IIIA 4 3 2B 5 2 3C 2 2 3

Quais são os números de recipientes x1, x2 e x3 de cada categoria A, B e C, se a companhia deve transportar 42 containers do tipo I, 27 do tipo II e 33 do tipo III?

Montagem do sistema linear

4 x1 + 5 x2 + 2 x3 = 42 3 x1 + 3 x2 + 2 x3 = 27 2 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 33

Arthur Cayley (1821-1895): Matemático inglês nascido em Richmond, diplomou-se no Trinity College de Cambridge. Na sua vida, Cayley encontrou rivais em Euler e Cauchy sendo eles os três maiores produtores de materiais no campo da Matemática. Em 1858, Cayley apresentou representações por matrizes. Segundo ele, as matrizes são

desenvolvidas a partir da noção de determinante, isto é, a partir do exame de sistemas de equações, que ele denominou: o sistema. Cayley desenvolveu uma Álgebra das matrizes quadradas em termos de transformações lineares homogêneas.

Equação linear

É uma equação da forma

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1n xn = b1

onde

x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, ...,a1n são os coeficientes (reais ou complexos); b1 é o termo independente (número real ou complexo).

Exemplos de equações lineares

1. 4 x + 3 y - 2 z = 0 2. 2 x - 3 y + 0 z - w = -3 3. x1 - 2 x2 + 5 x3 = 1 4. 4i x + 3 y - 2 z = 2-5i

Notação: Usamos R[x] para a raiz quadrada de x>0.

Exemplos de equações não-lineares

1. 3 x + 3y R[x] = -4 2. x2 + y2 = 9 3. x + 2 y - 3 z w = 0 4. x2 + y2 = -9

Solução de uma equação linear

Uma sequência de números reais (r1,r2,r3,r4) é solução da equação linear

a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + a14 x4 = b1

se trocarmos cada xi por ri na equação e este fato implicar que o membro da esquerda é identicamente igual ao membro da direita, isto é:

a11 r1 + a12 r2 + a13 r3 + a14 r4 = b1

Exemplo: A sequência (5,6,7) é uma solução da equação 2x+3y-2z=14 pois, tomando x=5, y=6 e z=7 na equação dada, teremos:

2×5 + 3×6 - 2×7 = 14

Sistemas de equações lineares

Um sistema de equações lineares ou sistema linear é um conjunto formado por duas ou mais equações lineares. Um sistema linear pode ser representado na forma:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2

... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

onde

x1, x2, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, ..., amn são os coeficientes; b1, b2, ..., bm são os termos independentes.

Solução de um sistema de equações lineares

Uma sequência de números (r1,r2,...,rn) é solução do sistema linear:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2n xn = b2

... ... ... ... am1 x1 + am2 x2 +...+ amn xn = bn

se satisfaz identicamente a todas as equações desse sistema linear.

Exemplo: O par ordenado (2,0) é uma solução do sistema linear:

2x + y = 4 x + 3y = 2 x + 5y = 2

pois satisfaz identicamente a todas as equações do mesmo, isto é, se substituirmos x=2 e y=0, os dois membros de cada igualdade serão iguais em todas as equações.

Consistência de sistemas lineares

O número de soluções de um sistema linear determina a sua classificação de duas maneiras com relação à sua consistência:

Sistema possível ou consistente: Quando tem pelo menos uma solução.

a. Se tem uma única solução, o sistema é determinado. b. Se tem mais que uma solução, o sistema é indeterminado.

Sistema impossível ou inconsistente: Se não admite qualquer solução.

Exemplos de sistemas com respeito às suas soluções

Sistema com uma única solução: As equações lineares abaixo representam duas retas no plano cartesiano que têm o ponto (3,-2) como interseção.

x + 2y = -1 2x - y = 8

Sistema com infinitas soluções: As equações lineares representam retas paralelas sobrepostas no plano cartesiano, logo existem infinitos pontos que satisfazem a ambas as equações (pertencem a ambas as retas).

4x + 2y = 100 8x + 4y = 200

Sistema que não tem solução: As equações lineares representam retas paralelas no plano cartesiano, logo, não existem pontos que pertençam às duas retas.

x + 3y = 4 x + 3y = 5

Sistemas equivalentes

Dois sistemas são equivalentes se admitem a mesma solução.

Exemplo: São equivalentes os sistemas S1 e S2 indicados abaixo:

S1 3x + 6y = 422x - 4y = 12

S2 1x + 2y = 141x - 2y = 6

pois eles admitem a mesma solução x=10 e y=2.

Notação: Quando dois sistemas S1 e S2 são equivalentes, usamos a notação S1~S2.

Operações elementares sobre sistemas lineares

Existem três tipos de operações elementares que podem ser realizadas sobre um sistema linear de equações de forma a transformá-lo em um outro sistema equivalente mais simples que o anterior. Na sequência trabalharemos com um exemplo para mostrar como funcionam essas operações elementares sobre linhas. O segundo sistema (o que aparece à direita) já mostra o resultado da ação da operação elementar. Nas linhas iniciais de cada tabela, você encontra a operação que foi realizada.

1. Troca de posição de duas equações do sistema

Troca a Linha 1 com a Linha 3 x + 2y - z = 2 2x-3y+2z=0

4x + y - 5z = 9 ~

4x + y - 5z = 9 2x-3y+2z=0

x + 2y - z = 2

2. Multiplicação de uma equação por um número não nulo

Multiplica a Linha 1 pelo número 3 x + 2y - z = 2 2x-3y+2z=0 4x+y-5z=9

~3x + 6y - 3z = 6

2x-3y+2z=0 4x+y-5z=9

A equação resultante fica na linha 1

3. Adição de duas equações do sistema

Adição da Linha 2 com a Linha 3 x+2y-z=2

2x -3y + 2z = 0 4x + y - 5z = 9

~3x+6y-3z=6 2x-3y+2z=0

6x - 2y - 3z = 9 A equação resultante fica na linha 3

Resolução de sistemas lineares por escalonamento

Com o auxílio das três Operações Elementares sobre linhas, podemos resolver sistemas lineares. Vamos mostrar como funciona este processo através de um exemplo.

Exemplo: Consideremos o sistema com 3 equações e 3 incógnitas.

3x + y + z = 20 2x - y - z = -15

-4x + y -5z = -41

Observação: Usamos Li+Lj->Lj para indicar a soma da linha i com a linha j com o resultado na linha j. Usamos k Li->Li, para indicar que multiplicamos a linha i pela constante k e o resultado ficou na linha i.

Passo 1: L1-L2->L1 3x + 1y + 1z = 20 2x - 1y - 1z = -15 -4x+1y-5z=-41

~1x + 2y + 2z = 35

2x-1y-1z=-15 -4x+1y-5z=-41

Passo 2: L2-2.L1->L2

1x + 2y + 2z = 35 2x - 1y - 1z = -15 -4x+1y-5z=-41

~1x+2y+2z=35

0x - 5y - 5z = -85 -4x+1y-5z=-41

Passo 3: L3+4.L1->L3 1x + 2y + 2z = 35

0x-5y-5z=-85 -4x + 1y - 5z = -41

~1x+2y+2z=35 0x-5y-5z=-85

0x + 9y + 3z = 99

Passo 4:(-1/5)L2->L2,(1/3)L3->L3 1x+2y+2z=35

0x - 5y - 5z = -85 0x + 9y + 3z = 99

~1x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 17 0x + 3y + 1z = 33

Passo 5: L3-3.L2->L3

1x+2y+2z=35 0x + 1y + 1z = 17 0x + 3y + 1z = 33

~1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17

0x + 0y - 2z = -18

Passo 6: (-1/2)L3->L3 1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17

0x + 0y - 2z = -18 ~

1x+2y+2z=35 0x+1y+1z=17

0x + 0y + 1z = 9

Passo 7: L2-L3->L2 1x+2y+2z=35

0x + 1y + 1z = 17 0x + 0y + 1z = 9

~1x+2y+2z=35

0x + 1y + 0z = 8 0x+0y+1z=9

Passo 8: L1-2.L2-2.L3->L1

1x + 2y + 2z = 35 0x + 1y + 0z = 8 0x + 0y + 1z = 9

~1x + 0y + 0z = 1

0x+1y+0z=8 0x+0y+1z=9

Passo 9: Simplificar coeficientes

1x + 0y + 0z = 1 0x + 1y + 0z = 8 0x + 0y + 1z = 9

~ x = 1 y = 8 z = 9

Após o escalonamento, observamos que a solução obtida é exatamente fornecida pelo último sistema.

Sistemas lineares homogêneos

Um sistema linear é homogêneo quando os termos independentes de todas as equações são nulos. Todo sistema linear homogêneo admite pelo menos a solução trivial, que é a solução identicamente nula. Assim, todo sistema linear homogêneo é possível. Este tipo de sistema poderá ser determinado se admitir somente a solução trivial ou indeterminado se admitir outras soluções além da trivial.

Exemplo: O sistema

2x - y + 3z = 0 4x + 2y - z = 0 x - y + 2z = 0

é determinado, pois possui a solução x=0, y=0 e z=0.

Regra de Cramer

Esta regra depende basicamente sobre o uso de determinantes. Para indicar o determinante de uma matriz X, escreveremos det(X).

Seja um sistema linear com n equações e n incógnitas:

a11 x1 + a12 x2 +...+ a1j xj +...+ a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 +...+ a2j xj +...+ a2n xn = b2

... ... ... ... an1 xn + an2 xn +...+ anj xj +...+ ann xn = bn

A este sistema podemos associar algumas matrizes:

Matriz dos coeficientes: Formada pelos coeficientes das incógnitas do sistema, aqui indicada pela letra A.

Matriz dos coeficientesa11 a12 ... a1j ... a1n a21 a22 ... a2j ... a2n ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... anj ... ann

Matriz Aumentada do sistema: Formada todos os coeficientes das incógnitas do sistema e também pelos termos independentes.

Matriz Aumentada a11 a12 ... a1j ... a1n b1a21 a22 ... a2j ... a2n b2

... ... ... ... ... ...an1 an2 ... anj ... ann bn

Matriz da incógnita xj: É a matriz Aj obtida ao substituirmos a coluna j (1<j<n) da matriz A, pelos termos independentes das equações do sistema.

Matriz da incógnita xj

a11 a12 ... b1 ... a1n a21 a22 ... b2 ... a2n ... ... ... ... ... ... an1 an2 ... bn ... ann

Quando as posições j=1,2,3 estão relacionadas com x1, x2 e x3 e substituídas pelas incógnitas x, y e z, é comum escrever Ax, Ay e Az.

Se det(A) é diferente de zero, é possível obter cada solução xj (j=1,...,n), dividindo det(Aj) por det(A), isto é:

xj = det(Aj) / det(A)

Se det(A)=0, o sistema ainda poderá ser consistente, se todos os determinantes nxn da matriz aumentada do sistema forem iguais a zero.

Um sistema impossível: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 7z = 40

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema estão mostradas abaixo.

2 3 4 1 -2 3 3 1 7

2 3 4 27 1 -2 3 15 3 1 7 40

Como det(A)=0, devemos verificar se todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos. Se existir pelo menos um deles não nulo, o sistema será impossível e este é o caso pois é não nulo o determinante da sub-matriz 3x3 formada pelas colunas 1, 2 e 4 da matriz aumentada:

2 3 271 -2 153 1 40

Um sistema indeterminado: Consideremos agora o sistema (Quase igual ao anterior: trocamos 40 por 42 na última linha!)

2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 7z = 42

A matriz A e a matriz aumentada Au do sistema, estão abaixo:

2 3 4 1 -2 3 3 1 7

2 3 4 27 1 -2 3 15 3 1 7 42

Aqui, tanto det(A)=0 como todos os determinantes das sub-matrizes 3×3 da matriz aumentada são nulos, então o sistema é possível e indeterminado. Neste caso, observamos que a última linha é a soma das duas primeiras e como estas duas

primeiras dependem de x, y e z, você poderá encontrar as soluções, por exemplo, de x e y em função de z.

Um sistema com solução única: Seja o sistema

2x + 3y + 4z = 27 1x - 2y + 3z = 15 3x + 1y + 6z = 40

A matriz A e a matriz dos termos independentes do sistema estão indicados abaixo.

2 3 4 1 -2 3 3 1 6

271540

Como det(A)=7, o sistema admite uma única solução que depende dos determinantes das matrizes Ax, Ay e Az, e tais matrizes são obtidas pela substituição 1a., 2a. e 3a. colunas da matriz A pelos termos independentes das três equações, temos:

27 3 4 15 -2 3 Ax= 40 1 6

2 27 41 15 3Ay= 3 40 6

2 3 27 1 -2 15 Az= 3 1 40

Como det(Ax)=65, det(Ay)=1 e det(Az)=14, a solução do sistema é dada por:

x = det(Ax)/det(A) = 65/7 y = det(Ay)/det(A) = 1/7 z = det(Az)/det(A) = 14/7

Geometria plana

A Geometria está apoiada sobre alguns postulados, axiomas, definições e teoremas, sendo que essas definições e postulados são usados para demonstrar a validade de cada teorema. Alguns desses objetos são aceitos sem demonstração, isto é, você deve aceitar tais conceitos porque os mesmos parecem funcionar na prática!

A Geometria permite que façamos uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos, etc.

Algumas definições

Polígono: É uma figura plana formada por três ou mais segmentos de reta que se intersectam dois a dois. Os segmentos de reta são denominados lados do polígono.Os pontos de intersecção são denominados vértices do polígono. A região interior ao polígono é muitas vezes tratada como se fosse o próprio polígono

Polígono convexo: É um polígono construído de modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original. Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então todo o segmento tendo estes dois pontos como extremidades, estará inteiramente contido no polígono.

Polígono No. de lados Polígono No. de lados Triângulo 3 Quadrilátero 4

Pentágono 5 Hexágono 6 Heptágono 7 Octógono 8 Eneágono 9 Decágono 10

Undecágono 11 Dodecágono 12

Polígono não convexo: Um polígono é dito não convexo se dados dois pontos do polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades, contiver pontos que estão fora do polígono.

Segmentos congruentes: Dois segmentos ou ângulos são congruentes quando têm as mesmas medidas.

Paralelogramo: É um quadrilátero cujos lados opostos são paralelos. Pode-se mostrar que num paralelogramo:

1. Os lados opostos são congruentes; 2. Os ângulos opostos são congruentes; 3. A soma de dois ângulos consecutivos vale 180o; 4. As diagonais cortam-se ao meio.

Losango: Paralelogramo que tem todos os quatro lados congruentes. As diagonais de um losango formam um ângulo de 90o.

Retângulo: É um paralelogramo com quatro ângulos retos e dois pares de lados paralelos.

Quadrado: É um paralelogramo que é ao mesmo tempo um losango e um retângulo. O quadrado possui quatro lados com a mesma medida e também quatro ângulos retos.

Trapézio: Quadrilátero que só possui dois lados opostos paralelos com comprimentos distintos, denominados base menor e base maior. Pode-se mostrar que o segmento que liga os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e o seu comprimento é a média aritmética das somas das medidas das bases maior e menor do trapézio.

Trapézio isósceles: Trapézio cujos lados não paralelos são congruentes. Neste caso, existem dois ângulos congruentes e dois lados congruentes. Este quadrilátero é obtido pela retirada de um triângulo isósceles menor superior (amarelo) do triângulo isósceles maior.

"Pipa" ou "papagaio": É um quadrilátero que tem dois pares de lados consecutivos congruentes, mas os seus lados opostos não são congruentes.

Neste caso, pode-se mostrar que as diagonais são perpendiculares e que os ângulos opostos ligados pela diagonal menor são congruentes.

Geometria Plana: Um triângulo equilátero

Problema: Construir um triângulo equilátero ABC no plano cartesiano sabendo-se que existe um ponto P que está distante 7 unidades de A, 6 unidades de B e 8 unidades de C e ao final obter a sua área.

Solução: Embora a solução esteja apresentada na sequência, sugiro que o visitante interessado neste problema, tente resolvê-lo sem ver os procedimentos apresentados aqui pois, este é um problema simples na sua proposição mas envolve muita matemática para a sua resolução.

Vamos supor que exista um triângulo equilátero com lado de comprimento igual a u unidades. Podemos construir este triângulo com os vértices nos pontos A=(0,0), B=(u,0) e C=(u/2,u.R[3]/2) do plano cartesiano. Aqui R[z] significa a raiz quadrada de z>0.

Pela informação do problema, existe um ponto P=(v,w) localizado a distâncias 7, 6 e 8 unidades, respectivamente dos vértices A, B e C do triângulo.

Em função da fórmula da distância entre dois pontos no plano, podemos escrever:

(Eq1) v² + w² = 49

(Eq2) (v-u)² + w² = 36

(Eq3) (v-u/2)² + (w-u.R[3]/2)² = 64

Subtraindo membro a membro as equações Eq1 e Eq2, obtemos o valor de v em função de u:

v = (u + 13/u)/2

Ao substituir este valor v na Eq2, obteremos duas respostas para w:

w' = R[170-169/u²-u²]/2 w" = -R[170-169/u²-u²]/2

Substituindo agora v e w na Eq3, obteremos uma equação biquadrada na variável u:

u4 -149 u² + 589 = 0

Tomando u²=x, obteremos uma equação do 2o. grau:

x² -149 x + 589 = 0

Resolvendo esta equação e voltando às variáveis originais u, obtemos quatro respostas:

u1=12.0389427, u2=-12.0389427, u3 = 2.01590146, u4=-2.01590146

Em princípio, eu esperava obter apenas uma solução com u positivo!

Para cada resposta obtida para u, obtemos valores correspondentes para v e para w, assim temos quatro respostas:

[u1,v1,w1]=[ 12.03894270, 6.559385873,2.444270233]

[u2,v2,w2]=[-12.03894270,-6.559385873,2.444270230]

[u3,v3,w3]=[ 2.01590146, 4.232314683,5.575617670]

[u4,v4,w4]=[ -2.01590146,-4.232314683,5.575617670]

Com um pouco de cuidado e muito cálculo, observamos que [u1,v1,w1] e [u4,v4,w4] satisfazem ao problema, mas [u2,v2,w2] e [u3,v3,w3] não satisfazem ( estas são denominadas soluções estranhas ao problema).

Podemos agora construir os dois primeiros triângulos para esta situação:

Triângulo 1: (primeiro quadrante)

A=(0,0), B=(12.0389427,0), C=(6.01947135,18.05841405), P=(6.559385873,2.444270233)

Triângulo 2: (segundo quadrante)

A=(0,0), B=(-2.01590146,0), C=(-1.007950073,1.745821876) P=(-4.232314683,5.57561767)

Usando um pouco a imaginação, é possível observar que existem também dois outros triângulos simétricos em relação ao eixo horizontal com as mesmas propriedades. A única diferença é que as coordenadas de w devem mudar de sinal.

Triângulo 3: (Terceiro quadrante)

A=(0,0), B=(-2.01590146,0), C=(-1.0079501,-1.7458219) P=(-4.2323147,-5.5756177)

Triângulo 4: (quarto quadrante)

A=(0,0), B=(12.0389427,0), C=(6.01947135,-18.05841405) P=(6.559385873,-2.444270233)

Em qualquer das 4 situações, a área do triângulo é dada pela fórmula Área = a.b.sen(U)/2, onde U é o ângulo formado pelos lados de medidas a e b.

Assim, a área do triângulo de área maior será

A(maior) = 62.75919017

e a área do triângulo de área menor será

A(menor) = 1,759702435.

Passatempo: Para você aprender um pouco mais de Geometria, observe o desenho ao lado e calcule o valor de h, apenas com as informações contidas no desenho.

O dobro da medida h corresponde à média harmônica entre os números 8 e 10, assim, você tem uma representação geométrica para a média harmônica entre dois segmentos!

Geometria Plana: Ângulos em um triângulo Isósceles

Problema: Dado o triângulo isósceles com base horizontal CF, de modo que o ângulo oposto ao segmento CF tenha A=20 graus. A partir de C trace um segmento de reta que forma um ângulo de 60 graus com o segmento CF até encontrar o lado oposto ao ângulo C no ponto D. A partir de F trace um outro segmento de reta que forma um ângulo de 50 graus com o segmento CF até tocar o lado oposto ao ângulo F no ponto B. Ligue os pontos B e D. Qual é a medida do ângulo y correspondente ao ângulo ABD? Observação: Todos os detalhes desta construção podem ser vistas no desenho, em anexo. Solução: Apresentamos uma solução não trivial do Prof. Matias (Dep. de Matemática da Universidade Est.de Londrina-PR) para o problema de encontrar um certo ângulo num triângulo isósceles, a partir de algumas informações dadas. Esta solução é construtiva e objetiva demonstrar que os triângulos ABD e CBE (sombreados em amarelo no desenho) são semelhantes. Tal fato seguirá em virtude de ambos possuírem ângulos de 20 graus e os dois lados que formam tais ângulos serem proporcionais.

Usaremos a notação mais simples sen(WZ) para o seno de WZ graus.

Procedimento:

1. Tome p=m(AC) e b=m(CF), onde m(XY) é a medida do segmento XY. 2. Fazendo uso da Lei dos senos sobre o triângulo ACD, temos:

AD

sen(20) =

AC

sen(140) =

P

sen(140)

3. Como sen(140)=sen(40)=2sen(20)cos(20), então:

CE =b sen(50)

sen(70)

4. e o segmento AD pode ser escrito em função de p como:

AD = p = p

2 cos(20) 2 sen(70)

5. Usando a Lei dos senos sobre o triângulo ABF, obtemos:

AB

sen(30) =

p

sen(130)

6. Como sen(130)=sen(50) e sen(30)=1/2, o segmento AB pode ser escrito em função de p como:

AB =p

2 sen(50)

7. Usando a Lei dos senos sobre o triângulo BCE, obtemos:

CE

sen(50) =

BC

sen(110)

8. Como os ângulos CBF e CFB têm medidas iguais a 50, o triângulo BCF é isósceles, assim m(BC)=b.

9. Como sen(110)=sen(70), segue que:

CE

sen(50) =

b

sen(70)

10. Dessa forma, podemos escrever a medida do segmento CE em função de b como:

CE =b sen(50)

sen(70)

11. Observamos que:

AD = p

2 sen(70) e AB =

p

2 sen(50)

12. Com a divisão de AD por AB obtemos o mesmo valor numérico que a divisão de CE por b, o que significa que:

AD

AB =

CE

b =

CE

BC

13. A última proporção garante que os segmentos AD e AB são proporcionais aos segmentos CE e BC, pois formam o ângulo de BAD de 20 graus no triângulo BAD e o ângulo BCE de 20 no triângulo BCE, garantindo que os triângulos ABD e CBE são semelhantes. Como m(CBE)=50 e m(ABD)=y e como os ângulos CBE e ABD são congruentes, segue que y=50 graus. Logo, o ângulo ADB mede 110 e o ângulo BDC mede 30, o que garante que o ângulo BDF mede 70 graus.

14. O resto é fácil!

A importância da circunferência

A circunferência possui características não comumente encontradas em outras figuras planas, como o fato de ser a única figura plana que pode ser rodada em torno de um ponto sem modificar sua posição aparente. É também a única figura que é simétrica em relação a um número infinito de eixos de simetria. A circunferência é importante em praticamente todas as áreas do conhecimento como nas Engenharias, Matemática, Física, Quimica, Biologia, Arquitetura, Astronomia, Artes e também é muito utilizado na indústria e bastante utilizada nas residências das pessoas.

Circunferência e círculo

Circunferência: A circunferência é o lugar geométrico de todos os pontos de um plano que estão localizados a uma mesma distância r de um ponto fixo denominado o centro da circunferência. Esta talvez seja a curva mais importante no contexto das aplicações.

Círculo: (ou disco) é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja distância a um ponto fixo O é menor ou igual que uma distância r dada. Quando a distância é nula, o círculo se reduz a um ponto. O círculo é a reunião da circunferência com o conjunto de

pontos localizados dentro da mesma. No gráfico acima, a circunferência é a linha de cor verde-escuro que envolve a região verde, enquanto o círculo é toda a região pintada de verde reunida com a circunferência.

Pontos interiores de um círculo e exteriores a um círculo

Pontos interiores: Os pontos interiores de um círculo são os pontos do círculo que não estão na circunferência.

Pontos exteriores: Os pontos exteriores a um círculo são os pontos localizados fora do

Raio, corda e diâmetro

Raio: Raio de uma circunferência (ou de um círculo) é um segmento de reta com uma

círculo.

extremidade no centro da circunferência e a outra extremidade num ponto qualquer da circunferência. Na figura, os segmentos de reta OA, OB e OC são raios.

Corda: Corda de uma circunferência é um segmento de reta cujas extremidades

Diâmetro: Diâmetro de uma circunferência (ou de um círculo) é uma corda que passa

pertencem à circunferência. Na figura, os segmentos de reta AC e DE são cordas.

pelo centro da circunferência. Observamos que o diâmetro é a maior corda da circunferência. Na figura, o segmento de reta AC é um diâmetro.

Posições relativas de uma reta e uma circunferência

Reta secante: Uma reta é secante a uma circunferência se essa reta intercepta a circunferência em dois pontos quaisquer, podemos dizer também que é a reta que contém uma corda.

Reta tangente: Uma reta tangente a uma circunferência é uma reta que intercepta a circunferência em um único ponto P. Este ponto é conhecido como ponto de tangência ou ponto de contato. Na figura ao lado, o ponto P é o ponto de tangência e a reta que

ssa pelos pontos E e F é uma reta tangente à circunferência. pa

Observações:

1. Raios e diâmetros são nomes de segmentos de retas mas às vezes são também usados como os comprimentos desses segmentos. Por exemplo, podemos dizer que ON é o raio da circunferência, mas é usual dizer que o

raio ON da circunferência mede 10cm ou que o raio ON tem 10cm.

2. Tangentes e secantes são nomes de retas, mas também são usados para denotar segmentos de retas ou semi-retas. Por exemplo, "A tangente PQ" pode significar a reta tangente à circunferência que passa pelos pontos P e Q mas também pode ser o segmento de reta tangente à circunferência que liga os pontos P e Q. Do mesmo modo, a "secante AC" pode significar a reta que contém a corda BC e também pode ser o segmento de reta ligando o ponto A ao ponto C.

Propriedades das secantes e tangentes

1. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B e se M é o ponto médio da corda AB, então o segmento de reta OM é perpendicular à reta secante s.

2. Se uma reta s, secante a uma circunferência de centro O, intercepta a circunferência em dois pontos distintos A e B, a perpendicular à reta s que passa pelo centro O da circunferência, passa também pelo ponto médio da corda AB.

3. Seja OP um raio de uma circunferência, onde O é o centro e P um ponto da circunferência. Toda reta perpendicular ao raio OP é tangente à circunferência no ponto de tangência P.

4. Toda reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Posições relativas de duas circunferências

Reta tangente comum: Uma reta que é tangente a duas circunferências ao mesmo tempo é denominada uma tangente comum. Há duas possíveis retas tangentes comuns: a interna e a externa.

Tangente comum interna Tangente comum externa

Ao traçar uma reta ligando os centros de duas circunferências no plano, esta reta separa o plano em dois semi-planos. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão no mesmo semi-plano, temos uma reta tangente comum externa. Se os pontos de tangência, um em cada circunferência, estão em semi-planos diferentes, temos uma reta tangente comum interna.

Circunferências internas: Uma circunferência C1 é interna a uma circunferência C2, se todos os pontos do círculo C1 estão contidos no círculo C2. Uma circunferência é externa à outra se todos os seus pontos são pontos externos à outra.

Circunferências concêntricas: Duas ou mais circunferências com o mesmo centro mas com raios diferentes são circunferências concêntricas.

Circunferências tangentes: Duas circunferências que estão no mesmo plano, são tangentes uma à outra, se elas são tangentes à mesma reta no mesmo ponto de tangência.

Circunf. tangentes externas Circunf. tangentes internas

As circunferências são tangentes externas uma à outra se os seus centros estão em lados opostos da reta tangente comum e elas são tangentes internas uma à outra se os seus centros estão do mesmo lado da reta tangente comum.

Circunferências secantes: são aquelas que possuem somente dois pontos distintos em comum.

Segmentos tangentes: Se AP e BP são segmentos de reta tangentes à circunferência nos ponto A e B, então esses segmentos AP e BP são congruentes.

Polígonos circunscritos

Polígono circunscrito a uma circunferência é o que possui seus lados tangentes à circunferência. Ao mesmo tempo, dizemos que esta circunferência está inscrita no polígono.

Quadrilátero circunscrito Triângulo circunscrito

Propriedade dos quadriláteros circunscritos: Se um quadrilátero é circunscrito a uma circunferência, a soma de dois lados opostos é igual a soma dos outros dois lados.

Arco de circunferência e ângulo central

Seja a circunferência de centro O traçada ao lado. Pela definição de circunferência temos que OP=OQ=OR=... e isto indica que os raios de uma circunferência são segmentos congruentes.

Circunferências congruentes: São circunferências que possuem raios congruentes. Aqui a palavra raio refere-se ao segmento de reta e não a um número.

Ângulo central: Em uma circunferência, o ângulo central é aquele cujo vértice coincide com o centro da circunferência. Na figura, o ângulo a é um ângulo central. Se numa circunferência de centro O, um ângulo central determina um arco AB, dizemos que AB é o arco correspondente ao ângulo AÔB.

Arco menor: É um arco que reúne dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão dentro do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura, a linha vermelha indica o arco menor AB ou arco menor ACB.

Arco maior: É um arco que liga dois pontos da circunferência que não são extremos de um diâmetro e todos os pontos da circunferência que estão fora do ângulo central cujos lados contém os dois pontos. Na figura a parte azul é o arco maior, o ponto D está no arco maior ADB enquanto o ponto C não está no arco maior mas está no arco menor AB, assim é frequentemente usado três letras para representar o arco maior.

Semicircunferência: É um arco obtido pela reunião dos pontos extremos de um diâmetro com todos os pontos da circunferência que estão em um dos lados do

diâmetro. O marco RTS é u a semicircunferência da circunferência de centro P e o arco RUS é outra.

Observações: Em uma circunferência dada, temos que:

1. A medida do arco menor é a medida do ângulo central correspondente a m(AÔB) e a medida do arco maior é 360 graus menos a medida do arco menor m(AÔB).

2. A medida da semicircunferência é 180 graus ou Pi radianos. 3. Em circunferências congruentes ou em uma simples circunferência, arcos

que possuem medidas iguais são arcos congruentes. 4. Em uma circunferência, se um ponto E está entre os pontos D e F, que são

extremidades de um arco menor, então: m(DE)+m(EF)=m(DF).

5. Se o ponto E está entre os pontos D e F, extremidades de um arco maior: m(DE)+m(EF)=m(DEF).

Apenas esta última relação faz sentido para as duas últimas figuras apresentadas.

Propriedades de arcos e cordas

Uma corda de uma circunferência é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência. Se os extremos de uma corda não são extremos de um diâmetro eles são extremos de dois arcos de circunferência sendo um deles um arco menor e o outro um arco maior. Quando não for especificada, a expressão arco de uma corda se referirá ao arco menor e quanto ao arco maior sempre teremos que especificar.

Observações

1. Se um ponto X está em um arco AB e o arco AX é congruente ao arco XB, o ponto X é o ponto médio do arco AB. Além disso, qualquer segmento de reta que contém o ponto X é um segmento bissetor do arco AB. O ponto médio do arco não é o centro do arco, o centro do arco é o centro da circunferência que contém o arco.

2. Para obter a distância de um ponto O a uma reta r, traçamos uma reta perpendicular à reta dada passando pelo ponto O. O ponto T obtido pela interseção dessas duas retas é o ponto que determinará um extremo do segmento OT cuja medida representa a distância entre o ponto e a reta.

3. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas congruentes possuem arcos congruentes e arcos congruentes possuem cordas congruentes. (Situação 1).

4. Um diâmetro que é perpendicular a uma corda é bissetor da corda e também de seus dois arcos. (Situação 2).

5. Em uma mesma circunferência ou em circunferências congruentes, cordas que possuem a mesma distância do centro são congruentes. (Situação 3).

Situação 1 Situação 2 Situação 3

Polígonos inscritos na circunferência

Um polígono é inscrito em uma circunferência se cada vértice do polígono é um ponto da circunferência e neste caso dizemos que a circunferência é circunscrita ao polígono.

Propriedade dos quadriláteros inscritos: Se um quadrilátero está inscrito em uma circunferência então os ângulos opostos são suplementares, isto é a soma dos ângulos opostos é 180 graus e a soma de todos os quatro ângulos é 360 graus.

Â + Î = 180 graus Ê + Ô = 180 graus

Â + Ê + Î + Ô = 360 graus

Ângulos inscritos

Ângulo inscrito: relativo a uma circunferência é um ângulo com o vértice na circunferência e os lados secantes a ela. Na figura à esquerda abaixo, o ângulo AVB é inscrito e AB é o arco correspondente.

Medida do ângulo inscrito: A medida de um ângulo inscrito em uma circunferência é igual à metade da respectiva medida do ângulo central, ou seja, a metade de seu arco correspondente, isto é:

m = n/2 = (1/2) m(AB)

Ângulo reto inscrito na circunferência: O arco correspondente a um ângulo reto inscrito em uma circunferência é a semi-circunferência. Se um triângulo inscrito numa semi-circunferência tem um lado igual ao diâmetro, então ele é um triângulo retângulo e esse diâmetro é a hipotenusa do triângulo.

Ângulo semi-inscrito e arco capaz

Ângulo semi-inscrito: Ângulo semi-inscrito ou ângulo de segmento é um ângulo que possui um dos lados tangente à circunferência, o outro lado secante à circunferência e o vértice na circunferência. Este ângulo determina um arco (menor) sobre a circunferência. No gráfico ao lado, a reta secante passa pelos pontos A e B e o arco correspondente ao ângulo semi-inscrito BAC é o arco AXB onde X é um ponto sobre o arco.

Observação: A medida do ângulo semi-inscrito é a metade da medida do arco interceptado. Na figura, a medida do ângulo BÂC é igual a metade da medida do arco AXB.

Arco capaz: Dado um segmento AB e um ângulo k, pergunta-se: Qual é o lugar geométrico de todos os pontos do plano que contém os vértices dos ângulos cujos lados passam pelos pontos A e B sendo todos os ângulos congruentes ao ângulo k? Este lugar geométrico é um arco de circunferência denominado arco capaz.

Construção do arco capaz com régua e compasso:

1. Traçar um segmento de reta AB; 2. Pelo ponto A, trace uma reta t formando com o segmento AB um ângulo

congruente a k (mesma medida que o ângulo k); 3. Traçar uma reta p perpendicular à reta t passando pelo ponto A; 4. Determinar o ponto médio M do segmento AB; 5. Traçar a reta mediatriz m ao segmento AB; 6. Obter o ponto O que é a interseção entre a reta p e a mediatriz m. 7. Com o compasso centrado no ponto O e abertura OA, traçar o arco de

circunferência localizado acima do segmento AB. 8. O arco que aparece em vermelho no gráfico ao lado é o arco capaz.

Observação: Todo ângulo inscrito no arco capaz AB, com lados passando pelos pontos A e B são congruentes e isto significa que, o segmento de reta AB é sempre visto sob o mesmo ângulo de visão se o vértice deste ângulo está localizado no arco capaz. Na figura abaixo à esquerda, os ângulos que passam por A e B e têm vértices em V1, V2, V3, ..., são todos congruentes (a mesma medida).

Na figura acima à direita, o arco capaz relativo ao ângulo semi-inscrito m de vértice em A é o arco AVB. Se n é ângulo central então a medida de m é o dobro da medida de n, isto é:

m(arco AB) = 2 medida(m) = medida(n)

Outras propriedades com cordas e segmentos

Agora apresentaremos alguns resultados que fazem a conexão entre segmentos e cordas, que não são evidentes à primeira vista. Se a reta AB é tangente à circunferência no ponto B então o segmento AB é o segmento tangente de A até a circunferência. Se a reta RT é uma reta secante que intercepta a circunferência em S e T e R é um ponto exterior a circunferência, então RT é um segmento secante e RS é a parte externa do segmento secante.

Na sequência, usaremos a notação (PZ) para representar a medida do segmento PZ, em função das dificuldades que a linguagem HTML proporciona para a apresentação de materiais de Matemática.

Cordas interceptando dentro da circunferência: Se duas cordas de uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P dentro da circunferência, então o produto das medidas das duas partes de uma corda é igual ao produto das medidas das duas partes da outra corda.

(AP).(PB) = (CP).(PD)

Potência de ponto (1): A partir de um ponto fixo P dentro de uma circunferência, tem-se que (PA).(PB) é constante qualquer que seja a corda AB passando por este ponto P. Este produto (PA).(PB) é denominado a potência do ponto P em relação a esta circunferência.

Secantes interceptando fora da circunferência: Consideremos duas retas secantes a uma mesma circunferência que se interceptam em um ponto P localizado fora da circunferência. Se uma das retas passa pelos pontos A e B e a outra reta passa pelos pontos C e D da circunferência, então o produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB é igual ao produto da medida do segmento secante PC pela medida da sua parte exterior PD.

(PA).(PB)=(PC).(PD)

Potência de ponto (2): Se P é um ponto fixo fora da circunferência, o produto (PA).(PB) é constante qualquer que seja a reta secante à circunferência passando por P. Este produto (PA).(PB) é também denominado a potência do ponto P em relação à circunferência.

Secante e tangente interceptando fora da circunferência: Se uma reta secante e uma reta tangente a uma mesma circunferência se interceptam em um ponto P fora da circunferência, a reta secante passando pelos pontos A e B e a reta tangente passando pelo ponto T de tangência à circunferência, então o quadrado da medida do segmento tangente PT é igual ao produto da medida do segmento secante PA pela medida da sua parte exterior PB.

(PT)2 = (PA).(PB)

Exemplo: Consideremos a figura ao lado com as cordas AB e CD tendo interseção no ponto P, com (AP) = 5cm, (PB) = 8cm, (CD) = 14cm. Iremos obter a medida do segmento PD. Tomaremos (PD)=x, para podermos escrever que (CP) = 14-x e somente utilizaremos a unidade de medida no final. Desse modo, (PD).(PC)=(PA).(PB) e podemos escrever que x(14-x)=5×8, de onde segue que x²-14x+40=0. Resolvendo esta equação do segundo grau, obtemos: x=4 ou x=10, o que significa que se uma das partes do segmento medir 4cm, a outra medirá 10cm. Pela figura anexada, observamos que o segmento PD é maior que o segmento PC e concluímos que (PD)=10cm e (PC)=4cm.

Triângulo e região triangular

No desenho abaixo, o triângulo ABC é a reunião dos segmentos de reta AB, BC e AC. A reunião de todos os pontos localizados no triângulo e também dentro do triângulo é chamada uma região triangular. A região triangular ABC é limitada pelo triângulo ABC. Os pontos dos lados do triângulo ABC bem como os pontos do interior do triângulo ABC são pontos da região triangular.

Triângulo ABC Região triangular ABC

Duas ou mais regiões triangulares não são sobrepostas, se a interseção é vazia, é um ponto ou é um segmento de reta. Cada uma das regiões planas abaixo é a reunião de três regiões triangulares não sobrepostas.

O conceito de região poligonal

Uma região poligonal é a reunião de um número finito de regiões triangulares não-sobrepostas e coplanares (estão no mesmo plano). Na gravura abaixo, apresentamos quatro regiões poligonais. Observe que uma região triangular é por si mesmo uma região poligonal e além disso uma região poligonal pode conter "buracos".

Uma região poligonal pode ser decomposta em várias regiões triangulares e isto pode ser feito de várias maneiras

Duas ou mais regiões poligonais são não-sobrepostas quando a interseção de duas regiões quaisquer, é vazia, é um conjunto finito de pontos, é um segmento de reta ou é um conjunto finito de pontos e um segmento de reta.

O estudo de área de regiões poligonais depende de alguns conceitos primitivos:

1. A cada região poligonal corresponde um único número real positivo chamado área.

2. Se dois triângulos são congruentes então as regiões limitadas por eles possuem a mesma área.

3. Se uma região poligonal é a reunião de n regiões poligonais não-sobrepostas então sua área é a soma das áreas das n-regiões.

Observação: Para facilitar o estudo de regiões poligonais, adotaremos as seguintes práticas:

a. Os desenhos de regiões poligonais serão sombreadas apenas quando houver possibilidade de confusão entre o polígono e a região.

b. Usaremos expressões como a área do triângulo ABC e a área do retângulo RSTU no lugar de expressões como a área da região triangular ABC e a área da região limitada pelo retângulo RSTU.

Exemplo: A área da figura poligonal ABCDEFX pode ser obtida pela decomposição da região poligonal em regiões triangulares.

Após isto, realizamos as somas dessas áreas triangulares.

Área(ABCDEFX)=área(XAB)+área(XBC)+...+área(XEF)

Unidade de área

Para a unidade de medida de área, traçamos um quadrado cujo lado tem uma unidade de comprimento.

Esta unidade pode ser o metro, o centímetro, o quilômetro, etc.

Área do retângulo

A figura ao lado mostra o retângulo ABCD, que mede 3 unidades de comprimento e 2 unidades de altura. O segmento horizontal que passa no meio do retângulo e os segmentos verticais, dividem o retângulo em seis quadrados tendo cada um 1 unidade de área.

A área do retângulo ABCD é a soma das áreas destes seis quadrados. O número de unidades de área do retângulo coincide com o obtido pelo produto do número de unidades do comprimento da base AB pelo número de unidades da altura BC.

O lado do retângulo pode ser visto como a base e o lado adjacente como a altura, assim, a área A do retângulo é o produto da medida da base b pela medida da altura h.

A = b × h

Área do quadrado

Um quadrado é um caso particular de retângulo cuja medida da base é igual à medida da altura. A área do quadrado pode ser obtida pelo produto da medida da base por si mesma.

Esta é a razão pela qual a segunda potência do número x, indicada por x², tem o nome de quadrado de x e a área A do quadrado é obtida pelo quadrado da medida do lado x.

A = x²

Exemplo: Obter a área do retângulo cujo comprimento da base é 8 unidades e o comprimento da altura é 5 unidades.

A = b×h

A = (8u)x(5u) = 40u²

No cálculo de áreas em situações reais, usamos medidas de comprimento em função de alguma certa unidade como: metro, centímetro, quilômetro, etc...

Exemplo: Para calcular a área de um retângulo com 2 m de altura e 120 cm de base, podemos expressar a área em metros quadrados ou qualquer outra unidade de área.

1. Transformando as medidas em metros

Como h=2m e b=120cm=1,20m, a área será obtida através de:

A = b×h

A = (1,20m)×(2m) = 2,40m²

2. Transformando as medidas em centímetros

Como h=2m=200cm e b=120cm, a área do retângulo será dada por:

A = b×h

A = (120cm)×(200cm) = 24000cm²

Área do paralelogramo

Combinando os processos para obtenção de áreas de triângulos congruentes com aqueles de áreas de retângulos podemos obter a área do paralelogramo.

Qualquer lado do paralelogramo pode ser tomado como sua base e a altura correspondente é o segmento perpendicular à reta que contém a base até o ponto onde esta reta intercepta o lado oposto do paralelogramo.

No paralelogramo ABCD abaixo à esquerda, os segmentos verticais tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base AB.

No paralelogramo RSTV acima à direita, os dois segmentos tracejados são congruentes e qualquer um deles pode representar a altura do paralelogramo em relação à base RV.

A área A do paralelogramo é obtida pelo produto da medida da base b pela medida da altura h, isto é, A=b×h. Demonstração da fórmula

Área do triângulo

A área de um triângulo é a metade do produto da medida da base pela medida da altura, isto é, A=b.h/2. Demonstração da fórmula

Exemplo: Mostraremos que a área do triângulo equilátero cujo lado mede s é dada por A=s²R[3]/2, onde R[z] denota a raiz quadrada de z>0. Realmente, com o Teorema de Pitágoras, escrevemos h²=s²-(s/2)² para obter h²=(3/4)s² garantindo que h=R[3]s/2.

Como a área de um triângulo é dada por A=b.h/2, então segue que:

A = s × R[3] s/2 = ½ R[3] s²

Observação: Triângulos com bases congruentes e alturas congruentes possuem a mesma área.

Comparação de áreas entre triângulos semelhantes

Conhecendo-se a razão entre medidas correspondentes quaisquer de dois triângulos semelhantes, é possível obter a razão entre as áreas desses triângulos.

Propriedade: A razão entre as áreas de dois triângulos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABC

Área de RST =

a²

r² =

b²

s² =

c²

t²

Área do losango

O losango é um paralelogramo e a sua área é também igual ao produto do comprimento da medida da base pela medida da altura.

A área do losango é o semi-produto das medidas das diagonais, isto é, A=(d1×d2)/2. Demonstração da fórmula

Área do trapézio

Em um trapézio existe uma base menor de medida b1, uma base maior de medida b2 e uma altura com medida h.

A área A do trapézio é o produto da média aritmética entre as medidas das bases pela medida da altura, isto é, A=(b1+b2).h/2.

Polígonos regulares

Um polígono regular é aquele que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem duas circunferências associadas a um polígono regular.

Circunferência circunscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos construir uma circunferência circunscrita (por fora), que é uma circunferência que passa em todos os vértices do polígono e que contém o polígono em seu interior.

Circunferência inscrita: Em um polígono regular com n lados, podemos colocar uma circunferência inscrita (por dentro), isto é, uma circunferência que passa tangenciando todos os lados do polígono e que está contida no polígono.

Elementos de um polígono regular

1. Centro do polígono é o centro comum às circunferências inscrita e circunscrita.

2. Raio da circunferência circunscrita é a distância do centro do polígono até um dos vértices.

3. Raio da circunferência inscrita é o apótema do polígono, isto é, a distância do centro do polígono ao ponto médio de um dos lados.

4. Ângulo central é o ângulo cujo vértice é o centro do polígono e cujos lados contém vértices consecutivos do polígono.

Apótema: OM, Raios: OA,OF

Ângulo central: AOF

Apótema: OX, Raios: OR,OT

Ângulo central: ROT

5. Medida do ângulo central de um polígono com n lados é dada por 360/n graus. Por exemplo, o ângulo central de um hexágono regular mede 60 graus e o ângulo central de um pentágono regular mede 360/5=72 graus.

Áreas de polígonos regulares

Traçando segmentos de reta ligando o centro do polígono regular a cada um dos vértices desse polígono de n-lados, iremos decompor este polígono em n triângulos congruentes.

Assim, a fórmula para o cálculo da área da região poligonal regular será dada pela metade do produto da medida do apótema a pelo perímetro P, isto é:

A = a × Perímetro / 2

Comparando áreas entre polígonos semelhantes

Apresentamos abaixo dois pentágonos irregulares semelhantes. Dos vértices correspondentes A e L traçamos diagonais decompondo cada pentágono em três triângulos.

Os pares de triângulos correspondentes ABC e LMN, parecem semelhantes, o que pode ser verificado diretamente através da medição de seus ângulos com um transferidor. Assumiremos que tal propriedade seja válida para polígonos semelhantes com n lados.

Observação: Se dois polígonos são semelhantes, eles podem ser decompostos no mesmo número de triângulos e cada triângulo é semelhante ao triângulo que ocupa a posição correspondente no outro polígono.

Este fato e o teorema sobre razão entre áreas de triângulos semelhantes são usados para demonstrar o seguinte teorema sobre áreas de polígonos semelhantes.

Teorema: A razão entre áreas de dois polígonos semelhantes é igual ao quadrado da razão entre os comprimentos de quaisquer dois lados correspondentes.

Área de ABCDE...

Área de A'B'C'D'E'... =

s²

(s')² =

t²

(t')²

O círculo como o limite de regiões poligonais regulares

Nas figuras abaixo, temos três regiões poligonais regulares inscritas em círculos congruentes.

Quando aumenta o número de lados do polígono inscrito observamos que també aumenta:

1. O apótema, aproximando-se do raio do cículo como um limite. 2. O perímetro, aproximando-se da circunferência do círculo como um limite. 3. A área, aproximando-se da área do círculo como um limite.

Neste trabalho não é possível apresentar uma definição precisa de limite e sem ela não podemos construir uma expressão matemática para o cálculo do perímetro ou da área de uma região poligonal regular inscrita num círculo.

A idéia de limite nos permite aproximar o perímetro da circunferência pelo perímetro do polígono regular inscrito nessa circunferência, à medida que o número de lados do polígono aumenta.

O mesmo ocorre com o cálculo da área do círculo, pois à medida que o número de lados da região poligonal inscrita aumenta, as áreas dessas regiões se aproximam da área do círculo. Este também é um processo através de limites.

Perímetro do círculo e da circunferência

Perímetro da circunferência de um círculo é o valor limite da sequência dos perímetros dos polígonos regulares inscritos de n lados na circunferência à medida que o número n de lados aumenta indefinidamente.

Área do círculo é o valor limite da sequência das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no círculo quando o número n de lados das poligonais aumenta arbitrariamente.

Relações associadas ao perímetro

1. Com base nestas duas definições temos um importante resultado sobre a relação existente entre o perímetro e o diâmetro da circunferência:

A razão entre o perímetro e o diâmetro de uma circunferência é uma constante

2. Sejam duas circunferências de diâmetros D1 e D2, com perímetros P1 e P2, respectivamente. A razão entre os perímetros P1 e P2 é igual à razão entre os diâmetros D1 e D2. Como o diâmetro é o dobro do raio, então, o mesmo ocorre para a razão entre os raios r1 e r2.

A1

A2 =

D1

D2 =

r1

r2

3. Para todo círculo (e também circunferência), a razão entre o perímetro e o diâmetro é uma constante, denominada Pi, denotada pela letra grega que é um número irracional (não pode ser escrito como a divisão de dois números inteiros). Uma aproximação para Pi com 10 dígitos decimais é:

= 3,1415926536....

Área do círculo

Área de um círculo de raio r é o limite das áreas das regiões poligonais regulares inscritas no mesmo. Nesse caso, o diâmetro D=2r. As fórmulas para a área do círculo são:

Área = r² = ¼ D²

Proporção com áreas: Sejam dois círculos de raios, respectivamente, iguais a r1 e r2, áreas A1 e A2 e diâmetros D1 e D2. A razão entre as áreas desses dois círculos é a

mesma que a razão entre os quadrados de seus raios ou os quadrados de seus diâmetros.

A1

A2 =

(D1)²

(D2)² =

(r1)²

(r2)²

Arcos

O comprimento de um arco genérico AB pode ser descrito em termos de um limite. Imaginemos o arco AB contendo vários pontos A=Po, P1, P2, P3, ..., Pn-1, Pn=B, formando n pequenos arcos e também n pequenos segmentos de reta de medidas respectivas iguais a: AP1, P1P2, ..., Pn-1B.

A idéia aqui é tomar um número n bastante grande para que cada segmento seja pequeno e as medidas dos arcos sejam aproximadamente iguais às medidas dos segmentos.

O comprimento de um arco AB de uma circunferência de raio r é o valor limite da soma dos comprimentos destas n cordas quando n cresce indefinidamente.

Um arco completo de circunferência corresponde a um ângulo que mede 360 graus=2 radianos. Se o raio da circunferência for r, o perímetro da circunferência coincidirá com o comprimento do arco da mesma e é dado por:

Perímetro da circunferência = 2 r

Comprimento do arco: Seja um arco AB em uma circunferência de raio r e m a medida do ângulo correspondente, sendo m tomado em graus ou em radianos. O comprimento do arco pode ser obtido (em radianos) por:

Comprimento do arco AB = r m/180 = r m

Tais fórmulas podem ser justificadas pelas seguintes regras de três simples e diretas.

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:

360 graus ……… 2 Pi r

m graus ……… Comprimento de AB

logo

comprimento do arco AB = m r / 180

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:

2 Pi rad ……… 2 Pi r

m rad ……… comprimento de AB

assim

Comprimento do arco AB = r m radianos

Setor circular

Setor circular é uma região limitada por dois raios e um arco do círculo.

Usando a figura acima, podemos extrair algumas informações:

1. OACB é um setor circular 2. OADB é um setor circular 3. r é o raio de cada um dos setores 4. ACB é o arco do setor OACB 5. ADB é o arco do setor OADB. 6. Tomando m como a medida do arco ACB (em graus ou radianos), a área do

setor circular OACB será dada por:

Área do setor circular OACB = r² m/360 = ½ m r²

Basta usar regras de três simples e diretas. Se o ângulo relativo ao arco AB mede m graus, obtemos:

360 graus ……… Área do círculo

m graus ……… Área do setor OACB

logo

Área(setor OACB) = Pi r² m / 360

Se o ângulo relativo ao arco AB mede m radianos, obtemos:

2 Pi rad ……… Área do círculo

m rad ……… Área setor OACB

assim

Área(setor OACB) = ½ m r² radianos

Segmento circular

Segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo. Na figura abaixo, existem dois segmentos circulares: o segmento ACB e o segmento ADB.

A área do segmento ACB pode ser obtida subtraindo a área do triângulo AOB da área do setor OACB.

Área(segmento) = Área(setor OACB) - Área(triângulo AOB)

A área do segmento ADB pode ser obtida subtraindo a área do segmento ACB da área do círculo ou somando a área do triângulo AOB à área do setor OADB.

Curiosidades sobre o número Pi

1. Na Bíblia Sagrada, no primeiro livro de Reis 7:23, existe a passagem: 2. "Fez também o mar de fundição; era redondo

3. e media dez côvados duma borda à outra, cinco

4. côvados de altura e trinta de circunferência."

sugerindo que os construtores da casa de Salomão usavam o valor 3 para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência.

5. Arquimedes (287-212 a.C.) mostrou que o valor da razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência estava entre 3+1/7 e 3+10/71.

6. O símbolo usado para a razão entre o diâmetro e o comprimento da circunferência somente foi introduzido no século XVIII.

7. O valor de correto com 10 dígitos decimais foi usado no cálculo do comprimento da linha do Equador terrestre.

8. Uma vez conhecida uma unidade de comprimento, é impossível construir um segmento de comprimento Pi através de régua e compasso.

9. O número exerce um papel muito importante na Matemática e nas ciências, predominantemente quando determinamos perímetros, áreas, centros de gravidade, informações sobre segmentos e setores circulares e elípticos, inclusive em cálculos de navegação, etc.

10. Com o uso de computadores, já foi realizado o cálculo do valor exato de com mais de cem mil dígitos decimais.

Detalhes sobre o cálculo de Pi: De modo análogo ao resultado obtido através do limite de polígonos regulares inscritos também podemos aproximar o perímetro e a área do círculo de raio r, pelo valor limite de polígonos regulares circunscritos no círculo quando o número de lados desse cresce arbitrariamente.

Perímetro polígono inscrito

2r < <

Perímetro polígono circunscrito

2r

Tais relações estão na tabela com dados sobre o polígono regular dado:

Número de lados do polígono

Perímetro do polígonoinscrito dividido por 2r

Perímetro do polígono circunscrito dividido por 2r

6 3,00000 3,46411 12 3,10582 3,21540 24 3,13262 3,15967 48 3,13935 3,14609 96 3,14103 3,14272

192 3,14145 3,14188 256 3,14151 3,14175 512 3,14157 3,14163

1024 3,14159 3,14160

Observe na tabela que quanto maior o número de lados de cada polígono mais dígitos decimais coincidem para obter o valor do número Pi, tanto para os polígonos inscritos como para os circunscritos. Com um polígono de 1024 lados, praticamente temos 4 algarismos exatos.

Outra forma (lenta) para obter o número Pi, é:

A forma mais rápida que conhecemos para obter Pi, é:

Eixos coordenados

Consideremos um plano e duas retas perpendiculares, sendo uma delas horizontal e a outra vertical. A horizontal será denominada Eixo das Abscissas (eixo OX) e a Vertical será denominada Eixo das Ordenadas (eixo OY). Os pares ordenados de pontos do plano são indicados na forma P=(x,y) onde x será a abscissa do ponto P e y a ordenada do ponto P.

Na verdade, x representa a distância entre as duas retas verticais indicadas no gráfico e y é a distância entre as duas retas horizontais indicadas no gráfico. O sistema de Coordenadas Ortogonais é conhecido por Sistema de Coordenadas Cartesianas e tal sistema possui quatro regiões denominadas quadrantes.

Segundo quadrante

Primeiro quadrante

Terceiro quadrante

Quarto quadrante

Quadrante sinal de xsinal de y Ponto não tem não tem (0,0)

Primeiro + + (2,4) Segundo - + (-4,2) Terceiro - - (-3,-7) Quarto + - (7,-2)

Distância entre dois pontos do plano cartesiano

Teorema de Pitágoras: Em um triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa a é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos b e c, isto é, a2=b2+c2.

Dados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), obtemos a distância entre P e Q, traçando as projeções destes pontos sobre os eixos coordenados, obtendo um triângulo retângulo e usando o Teorema de Pitágoras.

O segmento PQ é a hipotenusa do triângulo retângulo PQR, o segmento PR é um cateto e o segmento QR é o outro cateto, logo:

[d(P,Q)]2 = [d(P,R)]2 + [d(Q,R)]2

Como:

[d(P,R)]2 = | x1 - x2| 2 = (x1 - x2)2

e

[d(Q,R)] 2 = | y1 - y2| 2 = (y1 - y2)2

então

Exemplos: A distância entre P=(2,3) e Q=(5,12) é

A distância entre a origem O=(0,0) e um ponto P=(x,y) é dada por:

Ponto médio de um segmento

Aplicação: Dados os pares ordenados P=(x1,y1) e Q=(x2,y2), pode-se obter o Ponto Médio M=(xm,ym) que está localizado entre P e Q.

O ponto médio é obtido com o uso da média aritmética, uma vez para as abscissas e outra vez para as ordenadas.

xm = (x1 + x2)/2, ym = (y1 + y2)/2

Observação: O centro de gravidade de um triângulo plano cujas coordenadas dos vértices são A=(x1,y1), B=(x2,y2) e C=(x3,y3), é:

G=((x1+x2+x3)/3, (y1+y2+y3)/3 )

Retas no plano cartesiano

Na Geometria Euclidiana, dados dois pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2) no plano cartesiano, existe uma única reta que passa por esses pontos. Para a determinação da equação de uma reta existe a necessidade de duas informações e dois conceitos importantes são: o coeficiente angular da reta e o coeficiente linear da reta.

Coeficiente angular de uma reta: Dados os pontos P1=(x1,y1) e P2=(x2,y2), com x1 x2, o coeficiente angular k da reta que passa por estes pontos é o número real

Significado geométrico do coeficiente angular: O coeficiente angular de uma reta é o valor da tangente do ângulo alfa que a reta faz com o eixo das abscissas.

Se o ângulo está no primeiro quadrante ou no terceiro quadrante, o sinal do coeficiente angular é positivo e se o ângulo está no segundo quadrante ou no quarto quadrante, o sinal do coeficiente angular é negativo.

Declividade de uma reta: A declividade indica o grau de inclinação de uma reta. O fato do coeficiente angular ser maior que outro indica que a reta associada a este coeficiente cresce mais rapidamente que a outra reta. Se um coeficiente angular é negativo e o módulo deste é maior que o módulo de outro coeficiente, temos que a reta associada ao mesmo decresce mais rapidamente que a outra.

Se o coeficiente angular é nulo, a reta é horizontal.

Coeficiente linear de uma reta: é a ordenada (altura) w do ponto (0,w) onde a reta cortou o eixo das ordenadas.

Retas horizontais e verticais: Se uma reta é vertical ela não possui coeficiente linear e coeficiente angular. Assim, a reta é indicada apenas por x=a, a abscissa do ponto onde a reta cortou o eixo OX.

Se uma reta é horizontal, o seu coeficiente angular é nulo e a equação desta reta é dada por y=b, ordenada do ponto onde está reta corta o eixo OY.

Equação reduzida da reta

Dado o coeficiente angular k e o coeficiente linear w de uma reta, então poderemos obter a equação da reta através de sua equação reduzida dada por:

y = k x + w

Exemplos

1. Se k=5 e w=-4, então a reta é dada por y=5x-4. 2. Se k=1 e w=0, temos a reta (identidade) y=x. 3. Se k=0 e w=5, temos a reta y=5.

Reta que passa por um ponto e tem coeficiente angular dado: Uma reta que passa por um ponto P=(xo,yo) e tem coeficiente angular k, é dada por:

y - yo = k (x - xo)

Exemplos

1. Se P=(1,5) pertence a uma reta que tem coeficiente angular k=8, então a equação da reta é y=8(x-1)+5.

2. Se uma reta passa pela origem e tem coeficiente angular k= -1, então a sua equação é dada por: y=-x.

Reta que passa por dois pontos: Se dois pontos (x1,y1) e (x2,y2) não estão alinhados verticalmente, podemos obter a equação da reta que passa por estes pontos com:

Retas paralelas e perpendiculares

Retas paralelas: Duas retas no plano são paralelas se ambas são verticais ou se têm os mesmos coeficientes angulares.

Exemplos

1. x=3 e x=7 são retas paralelas. 2. As retas y=34 e y=0 são paralelas. 3. As retas y=2x+5 e y=2x-7 são paralelas.

Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendiculares se uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têm coeficientes angulares k' e k" tal que k'k"=-1.

Exemplos

1. As retas y=x+3 e y=-x+12 são perpendiculares, pois k'=1, k"=-1 e k'k"=-1. 2. As retas y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, pois k'=5, k"=-1/5 e

k'k"=-1.

Equação geral da reta

Toda reta no plano cartesiano pode ser escrita pela sua equação geral:

a x + b y + c = 0

Exemplos

1. Se a=-1, b=1 e c=-1, tem-se a reta -x+y-1=0. 2. Se a=0, b=1 e c=0, tem-se a reta y=0. 3. Se a=1 , b=0 e c=5 , tem-se a reta x+5=0.

Distância de um ponto a uma reta no plano

Seja um ponto P=(xo,yo) e uma reta r no plano definida por ax+by+c=0.

A distância d=d(P,r) do ponto P à reta r pode ser obtida pela fórmula abaixo:

Exemplo: A distância de (0,0) à reta 5x+12y+25=0 é:

Área de um triângulo no plano cartesiano

Dado um ponto (x1,y1) localizado fora de uma reta que passa pelos pontos (x2,y2) e (x3,y3), pode-se calcular a área do triângulo cujos vértices são estes três pontos, bastando para isto determinar a medida da base do triângulo que é a distância entre (x2,y2) e (x3,y3) e a altura do triângulo que é a distância de (x1,y1) à reta que contém os outros dois pontos.

Como o processo é bastante complicado, apresentamos um procedimento equivalente muito bonito, simples e fácil de memorizar.

A área do triângulo é dada pela metade do valor absoluto do determinante da matriz indica pela expressão:

Exemplo: A área do triângulo cujos vértices são (1,2), (3,4) e (9,2) é igual a 8, pois:

Colinearidade de 3 pontos no plano: Três pontos no plano, (x1,y1), (x2,y2) e (x3,y3) são colineares se pertencem à mesma reta.

Um processo simples sugere que estes três pontos formem um triângulo de área nula, assim basta verificar que o determinante da matriz abaixo deve ser nulo.

Exemplo: Os pontos (2,0), (1,1) e (0,2) são colineares pois:

Circunferência no plano

Do ponto de vista da Geometria Euclidiana, uma circunferência com centro no ponto (a,b) de um plano e tendo raio r, é o lugar geométrico de todos os pontos (x,y) deste plano que estão localizados à mesma distância r do centro (a,b).

A equação desta circunferência é dada por:

(x - a)2 + (y - b)2 = r2

Disco circular é a região que contém a circunferência e todos os pontos contidos no interior da circunferência.

Exemplo: A equação da circunferência com centro em (2,3) e raio igual a 8 é:

(x - 2)2 + (y - 3)2 = 82

A equação da circunferência com centro na origem (0,0) e raio r, recebe o nome de forma canônica da circunferência e é dada por:

x2 + y2 = r2

Equação geral da circunferência: Dada a equação (x-a)2+(y-b)2=r2, podemos desenvolver a mesma para obter a forma geral da circunferência:

x2 + y2 + A x + B y + C = 0

Exemplo: A equação geral da circunferência com centro em (2,3) e raio r=8 é:

x2 + y2 - 4x - 6y - 51 = 0

Equação da circunferência com centro em um ponto e passando em outro: Dado o centro O=(a,b) da circunferência e um outro ponto Q=(xo,yo) que pertence à circunferência, pode-se obter o raio da mesma através da distância entre O e Q e se utilizar a equação normal da circunferência para se obter a sua equação.

Exemplo: A circunferência centrada em (3,5) que passa em (8,16) tem raio tal que:

r2 = (8-3)2 + (16-5)2 = 25+121 = 146

logo, a sua equação é dada por:

(x-3)2 + (y-5)2 = 146

Equação da circunferência que passa por 3 pontos: Quando conhecemos três pontos da circunferência, podemos utilizar a equação geral da circunferência para obter os coeficientes A, B e C através de um sistema linear com 3 equações e 3 incógnitas.

Exemplo: Seja uma circunferência que passa pelos pontos (2,1), (1,4) e (-3,2). Dessa forma, utilizando a equação geral da circunferência:

x2 + y2 + A x + B y + C = 0

substituiremos estes pares ordenados para obter o sistema:

(-2)2 + (1)2 + A(-2) + B(1) + C = 0 ( 1)2 + (4)2 + A( 1) + B(4) + C = 0 (-3)2 + (2)2 + A(-3) + B(2) + C = 0

que pode ser simplificado na forma:

-2 A + 1 B + 1 C = -5 1 A + 4 B + 1 C = 5 -3 A + 2 B + 1 C = 13

e através da Regra de Cramer, podemos obter:

A = , B = , C =

assim a equação geral desta circunferência é:

x2 + y2 + ( )x + ( )y + ( ) = 0

Relações importantes no plano cartesiano

Uma relação em um plano é qualquer subconjunto deste plano, mas as mais importantes relações, do ponto de vista prático, são as que podem ser representadas por linhas, como: retas, parábolas, circunferências, elipses, hipérboles.

Muitos confundem os nomes das linhas que envolvem regiões planas com as próprias regiões. Iremos colorir algumas regiões fechadas para dar mais destaque às curvas que as contém, que são as relações matemáticas.

Circunferência e Elipse

Parábola e Hipérbole

Seções cônicas

Todas as curvas apresentadas anteriormente podem ser obtidas através de seções (cortes planos) de um cone circular reto com duas folhas como aquele apresentado abaixo. Tais curvas aparecem como a interseção do cone com um plano apropriado.

Se o plano for :

1. horizontal e passar pelo vértice do cone, teremos apenas um ponto. 2. vertical e passar pelo vértice do cone, teremos duas retas concorrentes. 3. horizontal e passar fora do vértice, teremos uma circunferência. 4. tangente ao cone, teremos uma reta. 5. vertical e passar fora do vértice, teremos uma hipérbole. 6. paralelo à linha geratriz do cone, teremos uma parábola. 7. inclinado, teremos uma elipse.

Equações de algumas seções cônicas

Nome Equação

-------------- -------------

Ponto x²+y²=0

Reta y=kx+w

Parábola y=ax²+bx+c

Circunferência x²+y²=r²

Elipse x²/a²+y²/b²=1

Hipérbole x²/a²-y²/b²=1

Duas retas x²/a²-y²/b²=0

Área de uma região triangular

Teorema: Se um triângulo possui os lados medindo a, b e c e o seu perímetro é indicado por 2p=a+b+c, então a área da região triangular será dada por

A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]

onde R[x] é a notação para a raiz quadrada de x>0.

Demonstração: Seja o triângulo com a base a e os outros lados com b e c. Os lados b e c têm projeções ortogonais, indicadas por m e n sobre o lado a.

Tomando h como a medida da altura do triângulo, relativa ao lado a, segue que a área da região triangular será dada por A=a.h/2. Temos a formação de mais dois pequenos triângulos retângulos e com eles, podemos extrair as três relações:

b²=m²+h², c²=n²+h², a=m+n

Subtraindo membro a membro a 2a. relação da 1a. e usando a 3a., obtemos:

b²-c² = m²-n² = (m+n)(m-n) = a(m-n)

assim

m + n = a

m - n = (b²-c²)/a

Somando e subtraindo membro a membro, estas últimas expressões, segue que:

m = (a²+b²-c²)/2a

n = (a²+c²-b²)/2a

Como a+b+c=2p, aparecem as três expressões:

a+b-c = a+b+c-2c = 2p-2c = 2(p-c)

a+c-b = a+b+c-2b = 2p-2b = 2(p-b)

b+c-a = a+b+c-2a = 2p-2a = 2(p-a)

Temos então que

4a²h² = 4a²(b²-m²)

= 4a²(b+m)(b-m)

= 4a²[b+(a²+b²-c²)/2ab)][b-(a²+b²-c²)/2ab)]

= (2ab+a²+b²-c²)(2ab-a²-b²+c²)

= [(a+b)²-c²][c²-(a-b)²]

= (a+b+c)(a+b-c)(a+c-b)(b+c-a)

= 2p.2(p-a).2(p-b).2(p-c)

= 16p(p-a)(p-b)(p-c)

Como A=a.h/2, então

A² = (1/4)a² h² = p(p-a)(p-b)(p-c)

Extraindo a raiz quadrada, obtemos:

A = R[p(p-a)(p-b)(p-c)]

Exemplo: Para obter a área da região triangular cujos lados medem 35cm, 45cm e 50cm, basta tomar a=35, b=45, c=50, para obter 2p=35+45+50 e desse modo segue que p=65. Assim:

A = R[65(65-35)(65-45)(65-50)] = R[585000] = 764,85cm²

Definição de vetor

Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade).

1. A direção é a da reta que contém o segmento. 2. O sentido é dado pelo sentido do movimento. 3. O módulo é o comprimento do segmento.

Uma quarta característica de um vetor é formada por dois pares ordenados: o ponto onde ele começa (origem) e um outro ponto onde ele termina (extremidade) e as coordenadas do vetor são dadas pela diferença entre as coordenadas da extremidade e as coordenadas da origem.

Observação: Existe uma definição, não necessariamente geométrica, muito mais ampla do conceito de vetor envolvendo uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.

Exemplo: Se um vetor v tem origem em (1,2) e extremidade em (7,12), ele é dado por v=(6,10), pois:

v = (7,12)-(1,2) = (6,10)

Esta classe de objetos é representada por um segmento de reta (representante) desta família que tem as mesmas características.

O representante escolhido, quase sempre é o vetor com a origem está em (0,0) e a extremidade em (a,b) no plano cartesiano e que será denotado por

v = (a,b)

Soma de vetores e suas propriedades

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores v e w, por:

v + w = (a+c,b+d)

Propriedades da soma de vetores

1. Fecho:Para quaisquer u e v de R², a soma u+v está em R². 2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R²:

v + w = w + v

3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R²:

u + (v + w) = (u + v) + w

4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0) em R² tal que para todo vetor u de R², se tem:

Ø + u = u

5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R², existe um vetor -v em R² tal que:

v + (-v) = Ø

Aplicações geométricas

Ponto médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ) e v2=(x2 ,y2 ), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y) onde

x=(x1 + x2 )/2 e y=(y1 + y2 )/2

Centro de gravidade de um triângulo: Tomemos os vértices de um triângulo como as extremidades dos vetores v1=(x1 , y1 ), v2=(x2 ,y2 ) e v3=(x3 ,y3 ). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y) onde

x=(x1 + x2 + x3 )/3 e y=(y1 + y2 + y3 )/3

Diferença de vetores

Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre v e w, por:

v-w = (a-c,b-d)

Produto por escalar e suas propriedades

Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, por:

k.v = (ka,kb)

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam a e b escalares, v e w vetores:

1. 1 v = v 2. (ab) v = a (b v) = b (a v) 3. Se a v = b v e v é um vetor não nulo, então a = b. 4. a (v + w) = a v + a w 5. (a + b) v = a v + b v

Exercício: Dados os vetores v=(3,4) e w=(8,12), construa no plano cartesiano os vetores: v, w, -v, -w, v+w e v-w.

Módulo de um vetor e suas propriedades

O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:

Vetor unitário: é um vetor que tem o módulo igual a 1.

Exercício: Mostrar que para todo t real, o vetor v=(cos(t),sen(t)) é unitário.

Observações

1. Existem dois vetores unitários, que formam a base canônica para o espaço R², dados por:

i=(1,0) e j=(0,1)

2. Para obter um versor de v, que é um vetor unitário u com a mesma direção e sentido que o vetor v, basta dividir o vetor v pelo módulo de v, isto é:

3. Para obter um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar w=kv onde k é um escalar não nulo. Nesse caso, w e v serão paralelos.

a. Se k=0 então w será o vetor nulo. b. Se 0<k<1 então |w|<|v|. c. Se k>1 então |w|>|v|. d. Se k<0 então w tem sentido oposto ao de v.

4. Todo vetor v=(a,b) do plano cartesiano possui uma projeção horizontal (sobre o eixo OX) que é o vetor a i e uma projeção vertical b j (sobre o eixo OY) e o vetor v pode ser escrito como a soma destas projeções:

v = a i + b j

Exercício: Qual é a projeção vertical do vetor v=(3,4)? Qual é o módulo deste vetor? Esboce um gráfico desta situação no plano R².

Produto escalar

Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por:

v.w = a.c + b.d

Exemplos: O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-7,12) é dado por:

v.w = 2.(-7) + 5.(12) = 56

O produto escalar entre v=(2,5) e w=(-5,2) é:

v.w = 2.(-5) + 5.(2) = 0

Exercício: Faça um gráfico em R², com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.

Propriedades do produto escalar: Quaisquer que sejam os vetores, u, v e w e k escalar:

1. v.w = w.v 2. v.v = |v| |v| = |v|² 3. u.(v+w) = u.v + u.w 4. (kv).w = v.(kw) = k(v.w) 5. |kv| = |k||v| 6. |u.v|<|u||v| (desigualdade de Schwarz) 7. |u+v|<|u|+|v| (desigualdade triangular)

Ângulo entre dois vetores

Outra forma de escrever o produto escalar entre os vetores v e w é v.w=|v||w|cos(q) onde q é o ângulo formado entre v e w.

Com ela, podemos obter o ângulo q entre dois vetores quaisquer v e w, pois:

desde que nenhum dos vetores seja nulo. Neste caso 0<q<pi=3,1416...

Exercício: Faça uma análise quando q=0, q=pi/2 e q=pi. Determine o ângulo entre os vetores v=(1,0) e w=(1,1). Nunca se esqueça de construir gráficos com esses objetos vetoriais.

Vetores ortogonais

Dois vetores v e w são ortogonais se:

v.w = 0

Exercício: Dado o vetor v=(3,7), obtenha pelo menos dois vetores do plano que sejam ortogonais a v. Construa geometricamente estes vetores.

Vetores paralelos

Dois vetores v e w são paralelos se existe uma constante real k diferente de zero, tal que:

v = k w

Exercício: Obter pelo menos dois vetores do plano que sejam paralelos ao vetor v=(3,7). Construa geometricamente estes vetores.

Geometria espacial

A Geometria espacial (euclidiana) funciona como uma ampliação da Geometria plana (euclidiana) e trata dos métodos apropriados para o estudo de objetos espaciais assim como a relação entre esses elementos. Os objetos primitivos do ponto de vista espacial, são: pontos, retas, segmentos de retas, planos, curvas, ângulos e superfícies. Os principais tipos de cálculos que podemos realizar são: comprimentos de curvas, áreas de superfícies e volumes de regiões sólidas. Tomaremos ponto, reta e plano como conceitos primitivos, os quais serão aceitos sem definição.

Planos e retas

Um plano é um subconjunto do espaço R3 de tal modo que quaisquer dois pontos desse conjunto, podem ser ligados por um segmento de reta inteiramente contido no conjunto.

Duas retas (segmentos de reta) no espaço R3 podem ser: paralelas, concorrentes ou reversas.

Retas paralelas: Duas retas são paralelas se elas não possuem interseção e estão em um mesmo plano.

Retas concorrentes: Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum. As retas perpendiculares são retas concorrentes que formam entre si um ângulo reto.

Retas reversas: Duas retas são ditas reversas quando uma não tem interseção com a outra e elas não são paralelas. Isto significa que elas estão em planos diferentes. Pode-se pensar de uma reta r desenhada no chão de uma casa e uma reta s, não paralela a r, desenhada no teto dessa mesma casa.

Posições de pontos, retas e planos

Um plano no espaço R3 pode ser determinado por qualquer uma das situações:

1. Três pontos não colineares (não pertencentes à mesma reta). 2. Um ponto e uma reta ou um segmento de reta que não contém o ponto. 3. Um ponto e um segmento de reta que não contém o ponto. 4. Duas retas paralelas que não se sobrepõe. 5. Dois segmentos de reta paralelos que não se sobrepõe. 6. Duas retas concorrentes. 7. Dois segmentos de reta concorrentes.

Posições de retas e planos

Há duas relações importantes, relacionando uma reta e um plano no espaço R3.

Reta paralela a um plano: Uma reta r é paralela a um plano no espaço R3, se existe uma reta s inteiramente contida no plano que é paralela à reta dada.

Reta perpendicular a um plano: Uma reta é perpendicular a um plano no espaço R3, se ela intersecta o plano em um ponto P e todo segmento de reta contido no plano que tem P como uma de suas extremidades é perpendicular à reta.

Distância de um ponto a um plano

Seja P um ponto localizado fora de um plano. A distância do ponto ao plano é a medida do segmento de reta perpendicular ao plano em que uma extremidade é o ponto P e a outra extremidade é o ponto que é a interseção entre o plano e o segmento.

Se o ponto P estiver no plano, a distância é nula.

Posições entre planos

1. Planos concorrentes no espaço R3 são planos cuja interseção é uma reta. 2. Planos paralelos no espaço R3 são planos que não tem interseção. 3. Diedro: Quando dois planos são concorrentes, dizemos que tais planos

formam um diedro.

4. Ângulo diedral: É ângulo formado por dois planos concorrentes. Para obter o ângulo diedral, basta tomar o ângulo formado por quaisquer duas retas perpendiculares aos planos concorrentes.

5. Planos normais são aqueles cujo ângulo diedral é um ângulo reto (90 graus).

O que é espaço?

O que é o espaço? Reconhecemos e usamos o espaço, mas se alguém perguntar o que é o espaço, muitos irão ter dificuldades em explicar. Na verdade, é mais fácil explicar o que se pode fazer com este ente primitivo que não tem definição para nós.

"Na casa de meu Pai há muitas moradas; se não fosse assim, eu vo-lo teria dito; vou preparar-vos lugar." João 14:2, A Bíblia Sagrada

Uma primeira tentativa para explicar isto, é dizer que é tudo o que nos envolve e é o local onde podemos nos mover para a frente, para o lado e para cima.

Pelo conceito expresso, observamos que vivemos em um ambiente tridimensional. Basta então conhecer as três direções para identificar a posição relativa que ocupamos.

Quando afirmamos que vamos andar para a frente, para o lado e para cima, devemos quantificar e identificar o quanto iremos nos deslocar nestas direções, logo necessitamos conhecer uma origem para o sistema e identificar este ponto como

(0,0,0) pois esperamos que ele esteja localizado a uma distância num ponto de referência para todos os outros pontos.

O sistema cartesiano tridimensional

Um procedimento matemático simples é tomar um ponto genérico como:

P=(x,y,z)

onde x indicará a quantidade deslocada na direção positiva do eixo que contem os deslocamentos para frente, y indicará a

quantidade deslocada na direção positiva do eixo que contem os deslocamentos para o lado e z indicará a quantidade deslocada na direção positiva do eixo que contem os deslocamentos para cima.

Para facilitar as coisas do ponto de vista matemático, iremos denominar tais direções por: Eixo OX, Eixo OY e Eixo OZ.

O sistema tridimensional é o conjunto de todos os ternos ordenados (x,y,z), sendo que ordem não pode ser mudada sob pena de nos deslocarmos para outro lugar. A palavra cartesiano se deve a René Descartes, conhecido como cartesius. x recebe o nome de abscissa, y o nome de afastamento e z o nome de cota.

Exemplo: Se um indivíduo está no centro da cidade em uma posição O=(0,0,0) e quer andar para a frente 3 quadras, depois andar para o lado 5 quadras e depois subir até o 10o. andar de um prédio a posição final do mesmo após o percurso será o ponto P=(3,5,10) e podemos observar que as unidades não são necessariamente as mesmas. Se este mesmo indivíduo se deslocasse para a posição final P=(3,10,5), certamente chegaria a um lugar diferente.

Outros sistemas de localização

Existem outras formas de localização no espaço tridimensional como é o caso do sistema de coordenadas cilíndricas, sistema de coordenadas esféricas, dentre outros. Particularmente importantes são os sistemas de corrdenadas no plano. O sistema cartesiano plano é um caso particular do sistema cartesiano espacial tridimensional, mas existe um outro sistema muito importante que é o sistema de coordenadas polares.

O sistema de coordenadas polares (R²)

Vamos considerar agora um mundo plano onde os pontos são indicados por P=(x,y). No sistema bidimensional a medida x recebe o nome de abscissa e a medida y recebe o nome de ordenada.

Existe um sistema que considera uma linha básica horizontal de referência, por exemplo, o Eixo OX indicado positivamente e outra forma de indicar um ponto P=(x,y). Consideremos que a distância da origem O=(0,0) ao ponto P=(x,y) seja indicada por r e que o ângulo formado entre o segmento OP e o Eixo OX indicado positivamente seja indicado por t. Neste caso o ângulo deverá ser um parâmetro tal que 0<t<2Pi. Assim, um ponto será indicado por

P=(r,t)

onde

r = (x2+y2)½, e t = arctan(y/x)

Exemplo: Para um indivíduo pontual se deslocar da origem O=(0,0) ao ponto P=(3,4), ele deverá se deslocar 5 unidades na direção da reta que forma um ângulo de t=36.87 graus com o Eixo OX. Assim, o ponto será descrito como P=(3,4) ou em Coordenadas Polares como:

P=(5, 36.87)

A tangente de 36.87 graus = 0.75 = 3/4.

O sistema de coordenadas cilíndricas

Este sistema considera duas linhas básicas que passam pela origem O=(0,0,0), uma linha de referência no plano do chão como o Eixo OX indicado positivamente, uma outra linha de referência como o Eixo OZ e o ângulo indicado por t e formado pela projeção no plano do chão do segmento OP e o Eixo OX indicado positivamente. O ângulo deverá ser um parâmetro tal que 0<t<2Pi. Assim, um ponto P=(x,y,z) será indicado por

P=(r,t,z)

Observamos que este sistema é uma mera ampliação das coordenadas polares, mantendo a mesma coordenada z, conhecida na literatura como a cota z.

A idéia básica para indicar um ponto neste sistema é construir um cilindro circular reto com o centro na origem 0=(0,0,0) e que passe exatamente pelo ponto P=(x,y,z). A projeção deste ponto no plano do chão que é indicada pelo plano z=0 é o ponto Po=(x,y,0) e determinamos as coordenadas polares do par ordenado (x,y) considerado como um ponto de um plano e não do espaço.

Exemplo: Para um indivíduo se deslocar da origem O=(0,0,0) ao ponto P=(3,4,10), ele deverá se deslocar 5 unidades na direção da reta que forma um ângulo de t=36.87 graus com o Eixo OX e subir 10 unidades, logo o ponto será descrito como P=(3,4,10) ou em coordenadas cilíndricas como:

P=(5, 36.87, 10)

O sistema de coordenadas esféricas

Este sistema considera o plano do chão (z=0) que passa pela origem O=(0,0,0) contendo o Eixo OX orientado positivamente e o Eixo OZ orientado positivamente, que é uma linha reta perpendicular ao plano do chão.

Neste sistema, o ponto P=(x,y,z) é indicado por três medidas: r a distância entre O=(0,0,0) e o ponto P=(x,y,z), u o ângulo formado entre projeção no plano do chão do segmento OP e o Eixo OX indicado positivamente e v o ângulo formado entre o segmento OP e o Eixo OZ indicado positivamente.

Enquanto o ângulo u pode ser tal que 0<u<2Pi pois a projeção de OP sobre o plano do chão pode dar uma volta completa, o ângulo v pertence ao intervalo 0<v<Pi, pois este ângulo chega a ser no máximo um ângulo raso.

Assim, um ponto P=(x,y,z) será indicado por

P=(r,u,v)

onde

r = (x2+y2+z2)½ , u = arctan(y/x) e v = arccos(z/r)

Um sistema geográfico

Há um Sistema Geográfico de identificação de posição na face da Terra que leva em consideração outros objetos como: meridianos e paralelos, para indicar a longitude e a latitude do ponto na superfície do globo terrestre. Como uma circunferência de círculo tem um arco com 360 graus, os cientistas dividiram 360 graus por 24 (horas) para obter 15 graus por hora.

Consideraram a planificação do globo terrestre traçaram linhas imaginárias geodésicas (verticais) sobre a superfície terrestre, as quais passam pelos polos Norte e Sul e estas são denominadas meridianos e a referência básica foi a cidade de Greenwich (Inglaterra) que tem o meridiano 0.

Fizeram o mesmo com linhas horizontais na planificação e denominaram tais linhas de paralelos. Hoje podemos observar a localização de uma cidade em qualquer lugar do mundo situada no meridiano M e paralelo P. E´ lógico que cada local está localizado com a cota z acima do nível do mar, razão pela qual este sistema pode ser indicado como:

P=(M,P,z)

Exemplo: O Terminal Rodoviário da cidade XYZ está localizada na posição (a,b,c). Resolva este problema para a sua cidade.

O sistema cartesiano R4

Você já pensou que ao invés de estar num sistema tridimensional como dissemos antes, talvez você esteja num sistema tetradimensional? Na verdade, vivemos num sistema R4, pois são necessárias 4 coordenadas para indicar a posição relativa de um objeto.

Um objeto colocado às 12:00 h no ponto (3,4,12) não é o mesmo objeto colocado às 13:00 h no mesmo ponto (3,4,12).

Para entender melhor, exija um sacrifício de uma pessoa e a coloque parada (se possível, estática) às 12:00 h em um local de sua casa, que tomaremos como o ponto (3,4,12). Você espera que esta pessoa seja a mesma pessoa às 13:00 h? É óbvio que aconteceram modificações no comportamento da mesma, mesmo que você não tenha observado.

Você acha que uma árvore plantada em um local por mais de 20 anos é a mesma a cada instante? O corpo humano também é composto de átomos que se movem a uma velocidade que não pode ser visualizada, assim, um corpo está em constante movimento e dependendo dos estímulos recebidos das mais diversas fontes, terá alteração, logo não será o mesmo de antes, nem mesmo 1 segundo depois!

Até o momento já observamos como é possível estender o conceito de espaço a algo além daquilo que possamos desenhar ou conceber geometricamente.

Uma idéia sobre o Rn

Quando o governo calcula a inflação de um determinado período, ele afirma que a inflação inf é uma função que depende de várias variáveis como X(xuxu), A(abacate), Co(Condomínio), Ca(Carro), E(Escola), I(Indecisão do governo), D(Dívida Interna), E(etc) e outros "objetos". Uma pessoa normal colocaria o Xuxu ou limão como um dos itens para a análise e cálculo da inflação?

Isto significa a um matemático sério, que

inf = f(X,A,Co,Ca,E,I,D,E)

e é logico que esta função é bem construída e é consistente, no entanto você não consegue desenhar o gráfico da mesma nesse ambiente tridimensional que você vive. Isto indica que você está trabalhando em um sistema com as 8 coordenadas (X,A,Co,Ca,E,I,D,E), logo o gráfico desta função deve estar em R9. Para obter seriamente a inflação você precisa medir o comportamento de n (ou centenas de) variáveis e não somente de poucas.

Isto não quer dizer que a inflação é uma função construída para enganar o povo. Na verdade, o que deveria ser feito para obter a inflação é a consideração das principais variáveis que causam esta alteração no Sistema Financeiro Nacional, mas uma coisa é óbvia: O governo não leva em consideração os fatores que realmente distorcem o processo inflacionário pois não considera nesses cálculos os fatores que geram tal inflação mas somente alguns elementos da cesta básica que nada tem a ver com a realidade nacional.

Com este exemplo, eu espero ter dado uma idéia sobre o significado do espaço Rn, que é uma mera extensão dos espaços bidimensional e tridimensional, nossos velhos conhecidos.

A nossa capacidade ainda é muito pequena para entender um espaço multidimensional Rn.

Observemos a passagem bíblica citada no início deste trabalho, que nos diz que existem outros ambientes (espaços) que o senso de um homem comum é incapaz de conceber.

Ha uma necessidade do ser humano alterar o seu comportamento para ver algo além das coisas comuns desse mundo. Há muitas pessoas que olham para uma parede de uma casa e não conseguem ver nada além dela. Você já se imaginou num quarto de uma casa, pensando exatamente que estivesse no quarto vizinho com todas as coisas boas ou ruins que o mesmo possui? Será que você é daqueles que percorre o trajeto de sua casa até o seu serviço sempre usando o mesmo caminho? Você já pensou que na outra rua existem (coisas ruins e) coisas belas que você nunca percebeu porque nunca passou por lá?

Exercícios de criatividade

Exercício de criatividade sobre o R5: Pense em uma pessoa no espaço R³ e simule a possibilidade dessa pessoa ter duas outras características como idade e beleza. Observamos aqui que este indivíduo já é um ente pentadimensional e talvez não tivesse percebido isto, pois além de ser tridimensional, ele tem pelo menos 2 outras características.

Exercício para você: Simule as carcaterísticas principais do ser humano e considere tais objetos como coordenadas de um sistema cartesiano.

Exercício para o governo: Tome a conta do Condomínio do local onde você mora, faça uma medida mês a mês dos custos de cada ítem e monte uma função com várias variáveis para determinar o custo mensal condomínio. Analise a variação entre dois meses consecutivos e observe que a inflação de seu condomínio não tem absolutamente nada a ver com a inflação do governo.

Introdução aos cilindros

O conceito de cilindro é muito importante. Nas cozinhas encontramos aplicações intensas do uso de cilindros. Nas construções, observamos caixas d'água, ferramentas, objetos, vasos de plantas, todos eles com formas cilíndricas.

Existem outras formas cilíndricas diferentes das comuns, como por exemplo o cilindro sinuzoidal obtido pela translação da função seno.

Aplicações práticas: Os cilindros abaixo sugerem alguma aplicação importante em sua vida?

A construção de cilindros

Seja P um plano e nele vamos construir um círculo de raio r e tomemos também um segmento de reta AB que não seja paralelo ao plano P e nem esteja contido neste plano P. Um cilindro circular é a reunião de todos os segmentos congruentes e paralelos a AB com uma extremidade no círculo.

Observamos que um cilindro é uma superfície no espaço R³, mas muitas vezes vale a pena considerar o cilindro como a região sólida contida dentro do cilindro. Quando nos referirmos ao cilindro como um sólido usaremos aspas, isto é, "cilindro" e quando for à superfície, simplesmente escreveremos cilindro.

A reta que contém o segmento AB é denominada geratriz e a curva que fica no plano do "chão" é a diretriz.

Em função da inclinação do segmento AB em relação ao plano do "chão", o cilindro será chamado reto ou oblíquo, respectivamente, se o segmento AB for perpendicular ou oblíquo ao plano que contém a curva diretriz.

Objetos geométricos em um cilindro

Em um cilindro, podemos identificar vários elementos:

1. Base: É a região plana contendo a curva diretriz e todo o seu interior. Num cilindro existem duas bases.

2. Eixo: É o segmento de reta que liga os centros das bases do "cilindro". 3. Altura: A altura de um cilindro é a distância entre os dois planos paralelos

que contêm as bases do "cilindro". 4. Superfície Lateral: É o conjunto de todos os pontos do espaço, que não

estejam nas bases, obtidos pelo deslocamento paralelo da geratriz sempre apoiada sobre a curva diretriz.

5. Superfície Total: É o conjunto de todos os pontos da superfície lateral reunido com os pontos das bases do cilindro.

6. Área lateral: É a medida da superfície lateral do cilindro. 7. Área total: É a medida da superfície total do cilindro.

8. Seção meridiana de um cilindro: É uma região poligonal obtida pela interseção de um plano vertical que passa pelo centro do cilindro com o cilindro.

Extensão do conceito de cilindro

As características apresentadas antes para cilindros circulares, são também possíveis para outros tipos de curvas diretrizes, como: elipse, parábola, hipérbole, seno ou outra curva simples e suave num plano.

Mesmo que a diretriz não seja uma curva conhecida, ainda assim existem cilindros obtidos quando a curva diretriz é formada por uma reunião de curvas simples. Por exemplo, se a diretriz é uma curva retangular, temos uma situação patológica e o cilindro recebe o nome especial de prisma.

Em função da curva diretriz, o cilindro terá o nome de cilindro: elíptico, parabólico, hiperbólico, sinuzoidal (telha de eternit).

Classificação dos cilindros circulares

1. Cilindro circular oblíquo: Apresenta as geratrizes oblíquas em relação aos planos das bases.

2. Cilindro circular reto: As geratrizes são perpendiculares aos planos das bases. Este tipo de cilindro é também chamado de cilindro de revolução, pois é gerado pela rotação de um retângulo.

3. Cilindro eqüilátero: É um cilindro de revolução cuja seção meridiana é um quadrado.

Volume de um cilindro

Em um cilindro, o volume é dado pelo produto da área da base pela altura.

V = A(base) h

Se a base é um círculo de raio r, e pi=3,141593..., então:

V = pi r² h

Exercício: Calcular o volume de um cilindro oblíquo com base elíptica (semi-eixos a e b) e altura h. Sugestão: Veja nesta mesma Página um material sobre a área da região elíptica.

Área lateral e área total de um cilindro circular reto

Em um cilindro circular reto, a área lateral é dada por A(lateral)=2pi.r.h, onde r é o raio da base e h é a altura do cilindro. A área total corresponde à soma da área lateral com o dobro da área da base.

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) A(total) = 2 pi r h + 2 pi r²

A(total) = 2 pi r(h+r)

Exemplo: Um cilindro circular equilátero é aquele cuja altura é igual ao diâmetro da base, isto é h=2r. Neste caso, para calcular a área lateral, a área total e o volume, podemos usar as fórmulas, dadas por:

A(lateral) = 4 pi r² A(base) = pi r²

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 6 pi r² Volume = A(base).h = pi r².2r = 2 pi r³

Exercício: Seja um cilindro circular reto de raio igual a 2cm e altura 3cm. Calcular a área lateral, área total e o seu volume.

A(base) = pi.r² = pi.2² = 4 pi cm² A(lateral) = 2.pi.r.h = 2.pi.2.3 = 12 pi cm²

A(total) = A(lateral) + 2 A(base) = 12pi + 8pi = 20 pi cm² Volume = A(base).h = pi.r²h = pi.4.3 = 12 pi cm³

O conceito de cone

Considere uma região plana limitada por uma curva suave (sem quinas), fechada e um ponto P fora desse plano.

Denominamos cone ao sólido formado pela reunião de todos os segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto P (vértice) e a outra num ponto qualquer da região.

Em um cone, podem ser identificados vários elementos:

1. Vértice de um cone é o ponto P, onde concorrem todos os segmentos de reta.

2. Base de um cone é a região plana contida no interior da curva, inclusive a própria curva.

3. Eixo do cone é quando a base do cone é uma região que possui centro, o eixo é o segmento de reta que passa pelo vértice P e pelo centro da base.

4. Geratriz é qualquer segmento que tenha uma extremidade no vértice do cone e a outra na curva que envolve a base.

5. Altura é a distância do vértice do cone ao plano da base. 6. Superfície lateral de um cone é a reunião de todos os segmentos de reta

que tem uma extremidade em P e a outra na curva que envolve a base. 7. Superfície do cone é a reunião da superfície lateral com a base do cone que

é o círculo. 8. Seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção

do cone com um plano que contem o eixo do mesmo.

Ao observar a posição relativa do eixo em relação à base, os cones podem ser classificados como retos ou oblíquos. Um cone é dito reto quando o eixo é perpendicular ao plano da base e é oblíquo quando não é um cone reto. Ao lado apresentamos um cone oblíquo.

Observação: Para efeito de aplicações, os cones mais importantes são os cones retos. Em função das bases, os cones recebem nomes especiais. Por exemplo, um cone é dito circular se a base é um círculo e é dito elíptico se a base é uma região elíptica.

Um cone circular reto é denominado cone de revolução por ser obtido pela rotação (revolução) de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos

A seção meridiana do cone circular reto é a interseção do cone com um plano que contem o eixo do cone. Na figura ao lado, a seção meridiana é a região triangular limitada pelo triângulo isósceles VAB.

Em um cone circular reto, todas as geratrizes são congruentes entre si. Se g é a medida da geratriz então, pelo Teorema de Pitágoras, temos uma relação notável no cone: g²=h²+r², que pode ser "vista" na figura abaixo:

A Área Lateral de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(lateral) = pi.r.g

A Área total de um cone circular reto pode ser obtida em função de g (medida da geratriz) e r (raio da base do cone):

A(total) = pi.r.g + pi.r² = = pi.r.(g+r)

Cones equiláteros

Um cone circular reto é um cone equilátero se a sua seção meridiana é uma região triangular equilátera e neste caso a medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.

A área da base do cone é dada por:

A(base) = pi r²

Pelo Teorema de Pitágoras temos que (2r)²=h²+r², logo h²=4r²-r²=3r², assim:

h = r

Como o volume do cone é obtido por 1/3 do produto da área da base pela altura, então:

V = (1/3) pi r3

Como a área lateral pode ser obtida por:

A(lateral) = pi.r.g = pi.r.2r = 2.pi.r²

então a área total será dada por:

A(total) = 3 pi r²

Exercícios resolvidos

Notação: Usaremos a notação R[3] para representar a raiz quadrada de 3.

1. A geratriz de um cone circular reto mede 20 cm e forma um ângulo de 60 graus com o plano da base. Determinar a área lateral, área total e o volume do cone.

Como sen(60o)=h/20, então

(1/2) R[3] = h/20

h = 10 R[3] cm

Como V = (1/3)×(A(base).h, então:

V = (1/3) pi.r²h

V = (1/3) pi.10².10 R[3]

V = (1/3) 1000.R[3].pi cm³

Se r=10cm; g=20cm e A(lateral)=pi.r.g, escreveremos:

A(lataral) = pi.r.g = pi.10.20 = 200.pi cm²

A(total) = A(lateral) + A(base)

= pi.r.g + pi.r² = pi.r.(r+g)

= pi.10.(10+20) = 300 pi cm²

2. A hipotenusa de um triângulo retângulo mede 2cm e um dos ângulos mede 60 graus. Girando-se o triângulo em torno do cateto menor, obtem-se um

cone. Qual é o seu volume? Como sen(60º)=r/2, segue que:

3. R[3]/2 = r/2

4. r = R[3] cm

Substituindo os valores de g e de r, na relação g²=h²+r², obtemos

h = 1cm

V = (1/3).A(base).h = (1/3) pi.r²h

= (1/3).pi.3 = pi cm³

5. Os catetos de um triângulo retângulo medem b e c, e a sua área mede 2m². O cone obtido pela rotação do triângulo em torno do cateto b tem volume 16 pi m³. Obteremos a medida do cateto c. Como a área do triângulo mede 2m², segue que: (1/2)bc=2, o que garante que bc=4. Como a área da base é dada por A(base)=pi.r²=pi.c², temos que

6. V = 16 pi = (1/3) pi c² b

7. c = 12 m

8. As áreas das bases de um cone circular reto e de um prisma quadrangular reto são iguais. O prisma tem altura 12 cm e volume igual ao dobro do volume do cone. Determinar a altura do cone.

Se

h(prisma) = 12

A(base do prisma) = A(base do cone) = A

V(prisma) = 2×V(cone)

assim:

A×h(prisma) = 2(A h)/3

A 12 = (2/3)A h

h = 18 cm

9. Anderson colocou uma casquinha de sorvete dentro de uma lata cilíndrica de mesma base, mesmo raio r e mesma altura h da casquinha. Qual é o volume do espaço (vazio) compreendido entre a lata e a casquinha de sorvete?

10. V = V(cilindro) - V(cone)

11. = A(base).h - (1/3) A(base).h

12. = pi.r².h - (1/3).pi.r².h

13. = (2/3) pi.r².h cm³

Conceito de esfera

A esfera no espaço R³ é uma superfície muito importante em função de suas aplicações a problemas da vida. Do ponto de vista matemático, a esfera no espaço R³ é confundida com o sólido geométrico (disco esférico) envolvido pela mesma, razão pela qual muitas pessoas calculam o volume da esfera. Na maioria dos livros elementares sobre Geometria, a esfera é tratada como se fosse um sólido, herança da Geometria Euclidiana.

Embora não seja correto, muitas vezes necessitamos falar palavras que sejam entendidas pela coletividade. De um ponto de vista mais cuidadoso, a esfera no espaço R³ é um objeto matemático parametrizado por duas dimensões, o que significa que podemos obter medidas de área e de comprimento mas o volume tem medida nula. Há outras esferas, cada uma definida no seu respectivo espaço n-dimensional. Um caso interessante é a esfera na reta unidimensional:

So = {x em R: x²=1} = {+1,-1}

Por exemplo, a esfera

S1 = { (x,y) em R²: x² + y² = 1 }

é conhecida por nós como uma circunferência de raio unitário centrada na origem do plano cartesiano.

Aplicação: volumes de líquidos

Um problema fundamental para empresas que armazenam líquidos em tanques esféricos, cilíndricos ou esféricos e cilíndricos é a necessidade de realizar cálculos de volumes de regiões esféricas a partir do conhecimento da altura do líquido colocado na mesma. Por exemplo, quando um tanque é esférico, ele possui um orifício na parte superior (polo Norte) por onde é introduzida verticalmente uma vara com indicadores de medidas. Ao retirar a vara, observa-se o nível de líquido que fica impregnado na vara e esta medida corresponde à altura de líquido contido na região esférica. Este não é um problema trivial, como observaremos pelos cálculos realizados na sequência.

A seguir apresentaremos elementos esféricos básicos e algumas fórmulas para cálculos de áreas na esfera e volumes em um sólido esférico.

A superfície esférica

A esfera no espaço R³ é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados a uma mesma distância denominada raio de um ponto fixo chamado centro.

Uma notação para a esfera com raio unitário centrada na origem de R³ é:

S² = { (x,y,z) em R³: x² + y² + z² = 1 }

Uma esfera de raio unitário centrada na origem de R4 é dada por:

S³ = { (w,x,y,z) em R4: w² + x² + y² + z² = 1 }

Você conseguiria imaginar espacialmente tal esfera?

Do ponto de vista prático, a esfera pode ser pensada como a película fina que envolve um sólido esférico. Em uma melancia esférica, a esfera poderia ser considerada a película verde (casca) que envolve a fruta.

É comum encontrarmos na literatura básica a definição de esfera como sendo o sólido esférico, no entanto não se deve confundir estes conceitos. Se houver interesse em

aprofundar os estudos desses detalhes, deve-se tomar algum bom livro de Geometria Diferencial que é a área da Matemática que trata do detalhamento de tais situações.

O disco esférico é o conjunto de todos os pontos do espaço que estão localizados na casca e dentro da esfera. Do ponto de vista prático, o disco esférico pode ser pensado como a reunião da película fina que envolve o sólido esférico com a região sólida dentro da esfera. Em uma melancia esférica, o disco esférico pode ser visto como toda a fruta.

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (0,0,0), a equação da esfera é dada por:

x² + y² + z² = R²

e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é:

x² + y² + z² < R²

Quando indicamos o raio da esfera pela letra R e o centro da esfera pelo ponto (xo,yo,zo), a equação da esfera é dada por:

(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² = R²

e a relação matemática que define o disco esférico é o conjunto que contém a casca reunido com o interior, isto é, o conjunto de todos os pontos (x,y,z) em R³ tal que:

(x-xo)² + (y-yo)² + (z-zo)² < R²

Da forma como está definida, a esfera centrada na origem pode ser construída no espaço euclidiano R³ de modo que o centro da mesma venha a coincidir com a origem do sistema cartesiano R³, logo podemos fazer passar os eixos OX, OY e OZ, pelo ponto (0,0,0).

Seccionando a esfera x²+y²+z²=R² com o plano z=0, obteremos duas superfícies semelhantes: o hemisfério Norte ("boca para baixo") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z é não negativa e o hemisfério Sul ("boca para cima") que é o conjunto de todos os pontos da esfera onde a cota z não é positiva.

Se seccionarmos a esfera x²+y²+z²=R² por um plano vertical que passa em (0,0,0), por exemplo, o plano x=0, teremos uma circunferência maximal C da esfera que é uma circunferência contida na esfera cuja medida do raio coincide com a medida do raio da esfera, construída no plano YZ e a equação desta circunferência será:

x=0, y² + z² = R2

sendo que esta circunferência intersecta o eixo OZ nos pontos de coordenadas (0,0,R) e (0,0,-R). Existem infinitas circunferências maximais em uma esfera.

Se rodarmos esta circunferência maximal C em torno do eixo OZ, obteremos a esfera através da rotação e por este motivo, a esfera é uma superfície de revolução.

Se tomarmos um arco contido na circunferência maximal cujas extremidades são os pontos (0,0,R) e (0,p,q) tal que p²+q²=R² e rodarmos este arco em torno do eixo OZ, obteremos uma superfície denominada calota esférica.

Na prática, as pessoas usam o termo calota esférica para representar tanto a superfície como o sólido geométrico envolvido pela calota esférica. Para evitar confusões, usarei "calota esférica" com aspas para o sólido e sem aspas para a superfície.

A partir da rotação, construiremos duas calotas em uma esfera, de modo que as extremidades dos arcos sejam (0,0,R) e (0,p,q) com p²+q²=R² no primeiro caso (calota Norte) e no segundo caso (calota Sul) as extremidades dos arcos (0,0,-R) e (0,r,-s) com r²+s²=R² e retirarmos estas duas calotas da esfera, teremos uma superfície de revolução denominada zona esférica.

De um ponto de vista prático, consideremos uma melancia esférica. Com uma faca, cortamos uma "calota esférica" superior e uma "calota esférica" inferior. O que sobra da melancia é uma região sólida envolvida pela zona esférica, algumas vezes denominada zona esférica.

Consideremos uma "calota esférica" com altura h1 e raio da base r1 e retiremos desta calota uma outra "calota esférica" com altura h2 e raio da base r2, de tal modo que os planos das bases de ambas sejam paralelos. A região sólida determinada pela calota maior menos a calota menor recebe o nome de segmento esférico com bases paralelas.

No que segue, usaremos esfera tanto para o sólido como para a superfície, "calota esférica" para o sólido envolvido pela calota esférica, a letra maiúscula R para entender o raio da esfera sobre a qual estamos realizando os cálculos, V será o volume, A(lateral) será a área lateral e e A(total) será a área total.

Algumas fórmulas (relações) para objetos esféricos

Objeto Relações e fórmulas

Esfera Volume = (4/3) Pi R³ A(total) = 4 Pi R²

Calota esférica (altura h, raio da base r)

R² = h (2R-h) A(lateral) = 2 Pi R h A(total) = Pi h (4R-h)

V=Pi.h²(3R-h)/3=Pi(3R²+h²)/6

Segmento esférico (altura h, raios das bases r1>r²)

R² = a² + [(r1² -r2²-h²)/2h)]² A(lateral) = 2 Pi R h

A(total) = Pi(2Rh+r1²+r2²) Volume=Pi.h(3r1²+3r2²+h²)/6

Estas fórmulas podem ser obtidas como aplicações do Cálculo Diferencial e Integral, mas nós nos limitaremos a apresentar um processo matemático para a obtenção da fórmula do cálculo do volume da "calota esférica" em função da altura da mesma.

Volume de uma calota no hemisfério sul

Consideremos a esfera centrada no ponto (0,0,R) com raio R.

A equação desta esfera será dada por:

x² + y² + (z-R)² = R²

A altura da calota será indicada pela letra h e o plano que coincide com o nível do líquido (cota) será indicado por z=h. A interseção entre a esfera e este plano é dado pela circunferência

x² + y² = R² - (h-R)²

Obteremos o volume da calota esférica com a altura h menor ou igual ao raio R da esfera, isto é, h pertence ao intervalo [0,R] e neste caso poderemos explicitar o valor de z em função de x e y para obter:

Para simplificar as operações algébricas, usaremos a letra r para indicar:

r² = R² - (h-R)² = h(2R-h)

A região circular S de integração será descrita por x²+y²<R² ou em coordenadas polares através de:

0<m<R, 0<t<2Pi

A integral dupla que representa o volume da calota em função da altura h é dada por:

ou seja

Escrita em Coordenadas Polares, esta integral fica na forma:

Após realizar a integral na variável t, podemos separá-la em duas integrais:

ou seja:

Com a mudança de variável u=R²-m² e du=(-2m)dm poderemos reescrever:

Após alguns cálculos obtemos:

VC(h) = Pi (h-R) [R² -(h-R)²] - (2/3)Pi[(R-h)³ - R³]

e assim temos a fórmula para o cálculo do volume da calota esférica no hemisfério Sul com a altura h no intervalo [0,R], dada por:

VC(h) = Pi h²(3R-h)/3

Volume de uma calota no hemisfério norte

Se o nível do líquido mostra que a altura h já ultrapassou o raio R da região esférica, então a altura h está no intervalo [R,2R]

Lançaremos mão de uma propriedades de simetria da esfera que nos diz que o volume da calota superior assim como da calota inferior somente depende do raio R da esfera e da altura h e não da posição relativa ocupada.

Aproveitaremos o resultado do cálculo utilizado para a calota do hemisfério Sul. Tomaremos a altura tal que: h=2R-d, onde d é a altura da região que não contém o líquido. Como o volume desta calota vazia é dado por:

VC(d) = Pi d²(3R-d)/3

e como h=2R-d, então para h no intervalo [R,2R], poderemos escrever o volume da calota vazia em função de h:

VC(h) = Pi (2R-h)²(R+h)/3

Para obter o volume ocupado pelo líquido, em função da altura, basta tomar o volume total da região esférica e retirar o volume da calota vazia, para obter:

V(h) = 4Pi R³/3 - Pi (2R-h)²(R+h)/3

que pode ser simplificada para:

V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Independentemente do fato que a altura h esteja no intervalo [0,R] ou [R,2R] ou de uma forma geral em [0,2R], o cálculo do volume ocupado pelo líquido é dado por:

V(h) = Pi h²(3R-h)/3

Utilizaremos R[z] para denotar a raiz quadrada de z>0.

O conceito de pirâmide

Consideremos um polígono contido em um plano (por exemplo, o plano horizontal) e um ponto V localizado fora desse plano. Uma Pirâmide é a reunião de todos os segmentos que têm uma extremidade em P e a outra num ponto qualquer do polígono. O ponto V recebe o nome de vértice da pirâmide.

Exemplo: As pirâmides do Egito, eram utilizadas para sepultar faraós, bem como as pirâmides no México e nos Andes, que serviam a finalidades de adoração aos seus deuses. As formas piramidais eram usadas por tribos indígenas e mais recentemente por escoteiros para construir barracas.

Em uma pirâmide, podemos identificar vários elementos:

1. Base: A base da pirâmide é a região plana poligonal sobre a qual se apoia a pirâmide.

2. Vértice: O vértice da pirâmide é o ponto isolado P mais distante da base da pirâmide.

3. Eixo: Quando a base possui um ponto central, isto é, quando a região poligonal é simétrica ou regular, o eixo da pirâmide é a reta que passa pelo vértice e pelo centro da base.

4. Altura: Distância do vértice da pirâmide ao plano da base. 5. Faces laterais: São regiões planas triangulares que passam pelo vértice da

pirâmide e por dois vértices consecutivos da base. 6. Arestas Laterais: São segmentos que têm um extremo no vértice da

pirâmide e outro extremo num vértice do polígono situado no plano da base. 7. Apótema: É a altura de cada face lateral. 8. Superfície Lateral: É a superfície poliédrica formada por todas as faces

laterais. 9. Aresta da base: É qualquer um dos lados do polígono da base.

Classificação das pirâmides pelo número de lados da base

triangular quadrangular pentagonal hexagonal

base:triângulo base:quadrado base:pentágono base:hexágono

Pirâmide regular reta

Pirâmide regular reta é aquela que tem uma base poligonal regular e a projeção ortogonal do vértice V sobre o plano da base coincide com o centro da base.

R raio do circulo circunscrito r raio do círculo inscrito l aresta da base

ap apótema de uma face lateral h altura da pirâmide

al aresta lateral

As faces laterais são triângulos isósceles congruentes

Área lateral de uma pirâmide

Às vezes podemos construir fórmulas para obter as áreas das superfícies que envolvem um determinado sólido. Tal processo é conhecido como a planificação desse sólido. Isto pode ser realizado se tomarmos o sólido de forma que a sua superfície externa seja feita de papelão ou algum outro material.

No caso da pirâmide, a idéia é tomar uma tesoura e cortar (o papelão d)a pirâmide exatamente sobre as arestas, depois reunimos as regiões obtidas num plano que pode ser o plano de uma mesa.

As regiões planas obtidas são congruentes às faces laterais e também à base da pirâmide.

Se considerarmos uma pirâmide regular cuja base tem n lados e indicarmos por A(face) a área de uma face lateral da pirâmide, então a soma das áreas das faces laterais recebe o nome de área lateral da pirâmide e pode ser obtida por:

A(lateral) = n A(face)

Exemplo: Seja a pirâmide quadrangular regular que está planificada na figura acima, cuja aresta da base mede 6cm e cujo apótema mede 4cm.

Como A(lateral)=n.A(face) e como a pirâmide é quadrangular temos n=4 triângulos isósceles, a área da face lateral é igual à área de um dos triângulos, assim:

A(face) = b h/2 = 6.4/2 = 12 A(lateral) = 4.12 = 48 cm²

Exemplo: A aresta da base de uma pirâmide hexagonal regular mede 8 cm e a altura 10 cm. Calcular a área lateral. Tomaremos a aresta com a=8 cm e a altura com h=10 cm. Primeiro vamos calcular a medida do apótema da face lateral da pirâmide hexagonal. Calcularemos o raio r da base. Como a base é um hexágono regular temos que r=(a/2)R[3], assim r=8R[3]/2=4R[3] e pela relação de Pitágoras, segue que (ap)²=r²+h², logo:

(ap)²= (4R[3])²+10² = 48+100 = 148 = 4·37 = 2R[37]

A área da face e a área lateral, são dadas por:

A(face) = 8.2[37]/2 = 8.R[37] A(lateral) = n.A(face) = 6.8.R[37] = 48.R[37]

Área total de uma pirâmide

A área total de uma pirâmide é a soma da área da base com a área lateral, isto é:

A(total) = A(lateral) + A(base)

Exemplo: As faces laterais de uma pirâmide quadrangular regular formam ângulos de 60 graus com a base e têm as arestas da base medindo 18 cm. Qual é a área total?

Já vimos que A(lateral)=n.A(face) e como cos(60º)=(lado/2)/a, então 1/2=9/a donde segue que a=18, assim:

A(face) = b.h/2 = (18.18)/2 = 162 A(lateral) = 4.162 = 648

A(base) = 18² = 324

Concluímos que:

A(total) = A(lateral) + A(base) = 648+324 = 970

Exemplo: Um grupo de escoteiros quer obter a área total de suas barracas, as quais têm forma piramidal quadrangular. Para isso, eles usam medidas escoteiras. Cada dois passos de um escoteiro mede 1 metro. A barraca tem 4 passos escoteiros de lado da base e 2 passos de apótema. Calcular a área da base, área lateral e a área total.

A(base) = 2.2 = 4 m² A(lateral) = 4.2.1 = 8 m³

Logo, a área total da barraca é

A(total) = A(lateral) + A(base) = 8+4 = 12 m²

O volume de uma pirâmide pode ser obtido como um terço do produto da área da base pela altura da pirâmide, isto é:

Volume = (1/3) A(base) h

Exemplo: Juliana tem um perfume contido em um frasco com a forma de uma pirâmide regular com base quadrada. A curiosa Juliana quer saber o volume de perfume que o frasco contém. Para isso ela usou uma régua e tirou duas informações: a medida da aresta da base de 4cm e a medida da aresta lateral de 6cm. Como V(pirâmide)=A(base).h/3, devemos calcular a área da base e a medida da altura. Como a base tem forma quadrada de lado a=4cm, temos que A(base)=a²=4cm.4cm=16 cm².

A altura h da pirâmide pode ser obtida como a medida de um cateto de um triângulo retângulo cuja hipotenusa é dada pela altura L=6cm da aresta lateral e o outro cateto Q=2×R[2] que é a metade da medida da diagonal do quadrado. Dessa forma h²=L²-Q², se onde segue que h²=36-8=28 e assim temos que h=2R[7] e o volume será dado por V=(1/3).16.2R[7]=(32/3)R[7].

Seção transversal de uma pirâmide é a interseção da pirâmide com um plano paralelo à base da mesma. A seção transversal tem a mesma forma que a base, isto é, as suas arestas correspondentes são proporcionais. A razão entre uma aresta da seção transversal e uma aresta correspondente da base é dita razão de semelhança.

Observações sobre seções transversais:

1. Em uma pirâmide qualquer, a seção transversal e a base são regiões poligonais semelhantes. A razão entre a área da seção transversal e a área da base é igual ao quadrado da razão de semelhança.

2. Ao seccionar uma pirâmide por um plano paralelo à base, obtemos outra pirâmide menor (acima do plano) semelhante em todos os aspectos à pirâmide original.

3. Se duas pirâmides têm a mesma altura e as áreas das bases são iguais, então as seções transversais localizadas à mesma distância do vértice têm áreas iguais.

V(seção) Volume da seção até o vértice (volume da pirâmide menor)

V(piram) Volume da pirâmide (maior)

A(seção) Área da seção transversal (base da pirâmide menor)

A(base) Área da base da pirâmide (maior)

h Distância do vértice à seção (altura da pirâmide menor)

H Altura da pirâmide (maior)

Assim:

V(seção)

V(base) =

A(seção)

A(piram) ·

h

H

A(seção)

A(base) =

h²

H²

Então:

V(seção)

V(base) =

h³

H³

Exemplo: Uma pirâmide tem a altura medindo 9cm e volume igual a 108cm³. Qual é o volume do tronco desta pirâmide, obtido pelo corte desta pirâmide por um plano paralelo à base da mesma, sabendo-se que a altura do tronco da pirâmide é 3cm?

Como

V(pirMenor)/V(pirâmide) = h³/H³

V(pirMenor)/108 = 6³/9³

V(pirMenor) = 32

então

V(tronco)=V(pirâmide)-V(pirMenor)= 108cm³-2cm³ = 76 cm³

Poliedro

Poliedro é um sólido limitado externamente por planos no espaço R³. As regiões planas que limitam este sólido são as faces do poliedro. As interseções das faces são as arestas do poliedro. As interseções das arestas são os vértices do poliedro. Cada face é uma região poligonal contendo n lados.

Poliedros convexos são aqueles cujos ângulos diedrais formados por planos adjacentes têm medidas menores do que 180 graus. Outra definição: Dados quaisquer dois pontos de um poliedro convexo, o segmento que tem esses pontos como extremidades, deverá estar inteiramente contido no poliedro.

Poliedros regulares

Um poliedro é regular se todas as suas faces são regiões poligonais regulares com n lados, o que significa que o mesmo número de arestas se encontram em cada vértice.

Tetraedro Hexaedro (cubo) Octaedro

Características dos poliedros convexos

Notações para poliedros convexos: V: Número de vértices, F: Número de faces, A: Número de arestas, n: Número de lados da região poligonal regular (de cada face), a: Medida da aresta A e m: Número de ângulos entre as arestas do poliedro convexo.

Característica do poliedro convexo Medida da característica

Relação de Euler V + F = A + 2 Número m de ângulos diedrais m = 2 A

Ângulo diedral

Raio do círculo inscrito

Raio do círculo circunscrito

Área da superfície externa

Volume do sólido poliédrico

Relações de Euler em poliedros regulares

As relações de Euler são duas importantes relações entre o número F de faces, o número V de vértices, o número A de arestas e o número m de ângulos entre as arestas.

F + V = A + 2, m = 2 A

Na tabela abaixo, você pode observar o cumprimento de tais relações para os cinco (5) poliedros regulares convexos.

Poliedro regular convexo

Cada faceé um

Faces(F)

Vértices(V)

Arestas(A)

Ângulos entre as arestas (m)

Tetraedro triânguloequilátero 4 4 6 12

Hexaedro quadrado 6 8 12 24

Octaedro triânguloequilátero 8 6 12 24

Dodecaedro pentágonoregular 12 20 30 60

Isocaedro triânguloequilátero 20 12 30 60

Raios de círculos e ângulo diedral Poliedro regular

Raio do círculo inscrito (r)

Raio do círculocircunscrito (R)

Ângulo diedral (d)

Tetraedro (a/12) R[6] (a/4) R[6] 70o31'44" Hexaedro a/2 (a/2) R[3] 90o00'00" Octaedro (a/6) R[6] (a/2) R[2] 109o28'16" Dodecaedro (a/100)R{50+22R[5]} (a/4)(R[3]+R[15]) 116o33'54" Icosaedro (a/2)R{(7+R[45])/6} (a/4) R{10+R[20]} 138o11'23" Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.

Áreas e volumes

Poliedro regular Área Volume Tetraedro a2 R[3] (1/12) a³ R[2] Hexaedro 6 a2 a³ Octaedro 2 a2 R[3] (1/3) a³ R[2] Dodecaedro 3a2 R{25+10·R[5]} (1/4) a³ (15+7·R[5]) Icosaedro 5a2 R[3] (5/12) a³ (3+R[5]) Nesta tabela, a notação R[z] significa a raiz quadrada de z>0.

Prisma

Prisma é um sólido geométrico delimitado por faces planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem ser retos ou oblíquos.

Prisma reto Aspectos comuns Prisma oblíquo

Bases são regiões poligonais congruentes

A altura é a distância entre as bases

Arestas laterais são paralelas com as mesmas medidas

Faces laterais são paralelogramos

Objeto Prisma reto Prisma oblíquo

Arestas laterais têm a mesma medida têm a mesma medida

Arestas laterais são perpendiculares ao plano da base

são oblíquas ao plano da base

Faces laterais são retangulares não são retangulares

Quanto à base, os prismas mais comuns estão mostrados na tabela:

Prisma triangularPrisma quadrangular Prisma pentagonal Prisma hexagonal

Base:Triângulo Base:Quadrado Base:Pentágono Base:Hexágono

Seção transversal: É a região poligonal obtida pela interseção do prisma com um plano paralelo às bases, sendo que esta região poligonal é congruente a cada uma das bases.

Seção reta (seção normal): É uma seção determinada por um plano perpendicular às arestas laterais.

Princípio de Cavalieri: Consideremos um plano P sobre o qual estão apoiados dois sólidos com a mesma altura. Se todo plano paralelo ao plano dado interceptar os sólidos com seções de áreas iguais, então os volumes dos sólidos também serão iguais.

Prisma regular

É um prisma reto cujas bases são regiões poligonais regulares.

Exemplos: Um prisma triangular regular é um prisma reto cuja base é um triângulo equilátero. Um prisma quadrangular regular é um prisma reto cuja base é um quadrado.

Planificação do prisma

Um prisma é um sólido formado por todos os pontos do espaço localizados dentro dos planos que contêm as faces laterais e os planos das bases.

As faces laterais e as bases formam a envoltória deste sólido. Esta envoltória é uma "superfície" que pode ser planificada no plano cartesiano. Tal planificação se realiza como se cortássemos com uma tesoura esta envoltória exatamente sobre as arestas para obter uma região plana formada por áreas congruentes às faces laterais e às bases. A planificação é útil para facilitar os cálculos das áreas lateral e total.

Volume de um prisma

O volume de um prisma é dado por:

V(prisma) = A(base).h

Área lateral do prisma reto com base poligonal regular

A área lateral de um prisma reto que tem por base uma região poligonal regular de n lados é dada pela soma das áreas das faces laterais. Como neste caso todas as áreas das faces laterais são iguais, basta tomar a área lateral como:

A(lateral) = n A(Face Lateral)

Uma forma alternativa para obter a área lateral de um prisma reto tendo como base um polígono regular de n lados é tomar P como o perímetro desse polígono e h como a altura do prisma.

A(lateral) = P.h

Tronco de prisma

Quando seccionamos um prisma por um plano não paralelo aos planos das bases, a região espacial localizada dentro do prisma, acima da base inferior e abaixo do plano seccionante é denominado tronco de prisma. Para calcular o volume do tronco de prisma, multiplicamos a média aritmética das arestas laterais do tronco de prisma pela área da base.

Vetores no espaço R³

Existe uma estreita relação entre vetores no espaço R2 e no espaço R³. Na verdade, o conceito de vetor geométrico nos espaços euclidianos é sempre realizado da mesma forma, o que diferencia são as aplicações mais ricas que existem em R³.

Definição: Um vetor (geométrico) no espaço R³ é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que tem a mesma direção, mesmo sentido e mesma intensidade. Esta classe de equivalência de objetos com as mesmas características é representada por um segmento de reta desta família (representante).

O representante escolhido, quase sempre é o vetor v cuja origem é (0,0,0) e extremidade é o terno ordenado (a,b,c) do espaço R³, razão pela qual denotamos este vetor por: v=(a,b,c).

Se a origem do vetor não é a origem (0,0,0) do sistema R³, realizamos a diferença entre a extremidade e a origem do vetor. Por exemplo, se um vetor v tem origem em (1,2,3) e extremidade em (7,12,15), ele é dado por v=(6,10,12), pois:

v = (7,12,15) - (1,2,3) = (6,10,12)

Existe uma definição mais ampla do conceito de vetor (não necessariamente geométrica) que envolve uma gama variada de objetos matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais, etc.

Soma de vetores

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a soma de v e w, por:

v + w = (v1+w1, v2+w2, v3+w3) Propriedades da soma de vetores

1. Fecho: Para quaisquer u e v de R³, a soma u+v está em R³. 2. Comutativa: Para todos os vetores u e v de R³: v+w=w+v. 3. Associativa: Para todos os vetores u, v e w de R³: u+(v+w)=(u+v)+w. 4. Elemento neutro: Existe um vetor Ø=(0,0,0) em R³ tal que para todo vetor u

de R³, se tem: Ø+u=u. 5. Elemento oposto: Para cada vetor v de R³, existe um vetor -v em R³ tal que:

v+(-v)=Ø.

Aplicações geométricas

Ponto Médio de um segmento: Dado um segmento de reta, cujas extremidades são também as extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1) e v2=(x2,y2,z2), o ponto médio deste segmento é dado por m=(x,y,z) onde

x = (x1+x2)/2; y = (y1+y2)/2; z = (z1+z2)/2

Centro de Gravidade de um triângulo: Consideremos os vértices de um triângulo, dados pelas extremidades dos vetores v1=(x1,y1,z1), v2=(x2,y2,z2) e v3=(x3,y3,z3). O centro de gravidade deste triângulo é dado pelo vetor g=(x,y,z) onde

x =(x1+x2+x3)/3; y =(y1+y2+y3)/3; z =(z1+z2+z3)/3

Diferença de vetores

Se v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos a diferença entre v e w, por:

v - w = (v1-w1,v2-w2,v3-w3)

Exercício: Dados v=(1,3,4) e w=(1,8,12), construir os vetores v, w, -v, -w, v+w e v-w.

Produto de vetor por escalar

Se v=(a, b, c) e k é um número real, definimos a multiplicação de k por v, como:

k.v = (ka,kb,kc)

Propriedades do produto de escalar por vetor

Quaisquer que sejam os escalares a, b e c e os vetores v e w teremos:

(E1) 1 v = v

(E2) (a b)v = a (b v) = b (a v)

(E3) a v = b v com v não nulo, então a=b.

(E4) k (v + w) = k v + k w

(E5) (a + b)v = a v + b v

Módulo de um vetor e vetores unitários

O módulo ou comprimento do vetor v=(x,y,z) é definido por:

Um vetor unitário é o que tem o módulo (comprimento) igual a 1.

Exemplo: Existe um importante conjunto com três vetores unitários de R³.

i = (1,0,0); j = (0,1,0); k = (0,0,1)

Estes três vetores formam a base canônica para o espaço R³, o que significa que todo vetor no espaço R³ pode ser escrito como combinação linear dos vetores i, j e k, isto é, se v=(a,b,c), então:

v = (a,b,c) = a i + b j + c k

Para obter um versor de v, isto é, um vetor unitário com a mesma direção e sentido que um vetor v, basta dividir o vetor v pelo seu módulo, isto é:

u = v / |v|

Para construir um vetor w paralelo a um vetor v, basta tomar v multiplicado por um escalar, isto é:

w = k v

As três projeções ortogonais do vetor v=(a,b,c) sobre os planos X=0, Y=0 e Z=0, são respectivamente, dadas por:

vx=(0,b,c); vy=(a,0,c); vz=(a,b,0)

Exercício: Quais são os vetores que representam as projeções ortogonais do vetor v = (3,4,12)? Quais são os módulos de todos estes vetores? Esboce um gráfico com estes vetores.

Produto escalar

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto escalar (produto interno) entre v e w, como o escalar real:

v.w = v1w1 + v2w2 + v3w3

Exemplos: O produto escalar entre v=(1,2,5) e w=(2,-7,12) é:

v.w = 1.2 + 2.(-7) + 5.12 = 48

O produto escalar entre v=(2,5,8) e w=(-5,2,0) é:

v.w = 2.(-5) + 5.2 + 8.0 = 0

Exercício: Faça um gráfico, com muito cuidado nas medidas e mostre as posições dos vetores v e w do último exemplo.

Propriedades do produto escalar

Quaisquer que sejam os vetores u, v e w e o escalar k:

(PE1) v.w = w.v

(PE2) v.v = |v| |v| = |v|²

(PE3) u.(v + w) = u.v + u.w

(PE4) (k v).w = v.(k w) = k (v.w)

(PE5) |k v| = |k| |v|

(PE6) |u.v| < |u|.|v| (desigualdade de Schwarz)

(PE7) |u+v| < |u|+|v| (desigualdade triangular)

Ângulo entre dois vetores (produto escalar)

O produto escalar entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

v.w = |v| |w| cos(t)

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w. Observamos que este ângulo pode ser maior ou igual a zero, mas deve ser menor do que 180 graus (pi radianos). Com esta última definição, podemos obter o ângulo t, através do cosseno deste argumento t.

cos(t) = (v.w) / (|v|.|w|)

Exercício: Realizar uma análise acerca do produto escalar de dois vetores, quando o ângulo t é nulo, quando é reto e quando é raso.

Exercício: Determinar o ângulo entre os vetores v=(1,1,0) e w=(1,1,1). Nunca se esqueça de construir um gráfico com esses objetos matemáticos.

Vetores ortogonais

Dois vetores v e w são ortogonais se o produto escalar entre ambos é nulo, isto é, v.w=0.

Exercício: Dado o vetor v=(2,3,7), quais e quantos são os vetores ortogonais a v no espaço R³? Construa geometricamente esta situação.

Produto vetorial

Dados os vetores v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto vetorial (produto exterior) entre v e w, denotado por v×w, como o vetor obtido pelo objeto matemático que não é um determinante mas que pode ser calculado como se fosse um determinante.

u × v =

Exemplo: Dados os vetores v=(1,2,3) e w=(4,5,6), o produto vetorial entre v e w é dado por v×w=-3i+6j-3k=(-3,6,-3), obtido a partir do "determinante". Observamos que o produto vetorial é um vetor em R³.

u × v = = (-3,6,-3)

Tomando i=(1,0,0) e j=(0,1,0), que estão no plano do z=0, o produto vetorial destes dois vetores será v×w=(0,0,1) que é um vetor que está fora deste plano, daí a razão deste produto ser denominado exterior.

Em geral, o produto vetorial v×w é um vetor ortogonal a v e também ortogonal a w, isto é, o produto vetorial é ortogonal ao plano que contém os dois vetores v e w.

Propriedades do produto vetorial

(PV1) v × w = - w × v

(PV2) u × (v + w) = u × v + u × w

(PV3) k (v × w) = (k v) × w = v × (k w)

(PV4) i × i = j ×j = k × k = 0

(PV5) i × j = k, j × k = i, k × i = j

(PV6) Se v×w=0 (v e w não nulos) então v e w são paralelos

Ângulo entre dois vetores (produto vetorial)

O produto vetorial entre os vetores v e w pode ser escrito na forma:

v × w = |v| |w| sen(t) U

onde t é o ângulo formado pelos vetores v e w, e U é um vetor unitário que é paralelo ao produto vetorial v x w, logo U é perpendicular a v e também a w.

Tomando o módulo em ambos os lados da igualdade acima, obtemos:

|v × w| = |v| |w| sen(t)

e isto significa que, com esta última definição de produto vetorial, podemos obter o ângulo T entre dois vetores v e w, através de:

sen(t) = (v × w) / (|v|.|w|)

sendo que t é um número real pertencente ao intervalo [0,pi].

Aplicações do produto vetorial

Área do paralelogramo: Se tomarmos dois vetores v e w com um mesmo ponto inicial, de modo a formar um ângulo diferente de zero e também diferente de pi radianos, o módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretado como a área do paralelogramo que tem v e w como lados contíguos.

A(paralelogramo) = | v × w |

Área do triângulo: A metade do módulo do produto vetorial entre v e w pode ser interpretada como sendo a área do triângulo que tem dois lados como os vetores v e w, com origens no mesmo ponto, isto é:

A(triângulo) = ½ | v × w |

Produto misto

Dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3) e w=(w1,w2,w3), definimos o produto misto entre u, v e w, denotado por [u,v,w] ou por u.(v×w), como o número real obtido a partir do determinante

[u,v,w] = u·(v×w) =

Aplicações do produto misto

Volume do paralelepípedo: O módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do paralelepípedo que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem. Isto é, V(paralelepípedo)=|[u,v,w]|.

Volume do tetraedro: Um sexto do módulo do produto misto entre u, v e w representa o volume do tetraedro (pirâmide com base triangular) que tem as 3 arestas próximas dadas pelos vetores u, v e w, sendo que estes vetores têm a mesma origem.

V(tetraedro) = (1/6) |[u,v,w]|

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