GUIDG.COM – PG. 1 27/9/2010 – CDI-1: Exercícios resolvidos. Livro: Calculo A – Funções, Limite, Derivação, Noções de integração (5ª Edição, revista e ampliada) - Diva Marília Flemming, Mirian Buss Gonçalves. (Números reais, pg. 15) 1.6 Exercícios. (Equações modulares, Módulo, Números Reais) 2. Resolver as equações em R.

aa|5x@3| = 12

ba|@4 + 12x| = 7

ca|2x@3| = |7x@5|

da x + 2

x@ 2fffffffffffffffff

LLLLL

MMMMM

= 5

ea 3x + 8

2x@ 3ffffffffffffffffffff

LLLLL

MMMMM

= 4

fa|3x + 2| = 5@ x

ga|9x|@ 11 = x

ha2x@7 = |x| + 1

Resoluções: aa|5x@ 3| = 12

Solução: Aplicando a definição de módulo:

|5x@3|

5x@3 ≥ 05x ≥ 3

x ≥ 35fff

X^^\

^^Z

então |5x @3|=5x@3` a

se x≥ 53fff

@ 5x@3` a

se x<53fff

X^^\

^^Z

Então para x≥ 53fff:

5x@3 = 12

5x= 15 dividindo por 5 nos dois lados da equaçãob c

x = 3

E para x<53fff:

@ 5x@3` a

= 12 multiplicando por@1 dos dois lados da equaçãob c

5x@3 =@125x=@9

x =@95fff

Assim a solução final é:S = @ 95fff, 3

V W

Ou seja, o conjunto dos números que tornam verdadeira a equação modular. Essas primeiras propriedades básicas e a definição não serão mais citadas, mas não significa que não estarão sendo aplicadas, e o processo é sempre o mesmo, não se preocupe.

GUIDG.COM – PG. 2 ba|@4 + 12x| = 7

Solução:

|@4 + 12x| =@4 + 12x` a

se x ≥ 13fff

@ @4 + 12x` a

se x <13fff

X^^\

^^Z

x ≥ 13fff

@4 + 12x = 712x = 11

x = 1112fffffff

x <13fff

@ @4 + 12x` a

= 7@4 + 12x =@712x =@3

x =@ 312fffffff=@ 1

4ffff

S = @ 14ffff,

1112fffffff

V W

ca|2x@3| = |7x@5|

Solução:

|2x @3|=2x @3` a

se x ≥ 32fff

@ 2x @3` a

se x <32fff

X^^\

^^Z

|7x @5|=7x @5` a

se x ≥ 57ffff

@ 7x @5` a

se x <57ffff

X^^\

^^Z

Analisando a reta, temos três casos: 1º Caso:

x<57ffff

@ 2x @3` a

=@ 7x @5` a

2x @3 = 7x @52 = 5x

x = 25fff

Para x <57ffff temos: x = 2

5fff ,

como isso é verdadeiro então

x = 25fff é uma das soluções.

2º Caso: 57ffff≤ x <

32fff

@ 2x @3` a

= 7x @5@2x + 3 = 7x @5@9x =@8

x = 89fff

Como x = 89fff está no intervalo,

logo também é uma das soluções.

3º Caso:

x ≥ 32fff

2x @3 = 7x @5@5x =@2

x = 25fff

Nesse caso o valor de x não verifica a condição dada, então

para x ≥ 32fff a solução é x = { }.

Logo a solução final:S = 25fff,

89fff

V W

GUIDG.COM – PG. 3

da x + 2

x@2fffffffffffffffff

LLLLL

MMMMM

= 5

Solução: Veja que x ≠ 2 pois não existe divisão por zero!

x + 2LL

MM

x @ 2LL

MM

fffffffffffffffffffff= 5

x + 2LL

MM= 5 x @2

LL

MM

x + 2LL

MM=

x + 2` a

se x ≥@2

@ x + 2` a

se x <@ 2

X\

Z x @ 2LL

MM=

x @ 2` a

se x > 2

@ x @ 2` a

se x < 2

X\

Z

Analisando a reta: 1º Caso: x<@2@ x + 2` a

= 5 @1` a

x @2` a

@ x @2 =@5x + 10x = 3# S = ∅

Portanto o conjunto solução é vazio.

2º Caso: @2< x < 2x + 3` a

= 5 @1` a

x @2` a

x + 3 =@5x + 10

x = 43ffff

S = 43ffff

V W

3º Caso: x > 2x + 2 = 5 x @ 2

` a

x + 2 = 5x @ 10x = 3# S = 3

P Q

Veja que agora a solução obedeceu a restrição de caso.

Logo a solução final: S = 43ffff, 3

V W

As próximas ficam como exercício para o leitor.

e) S = 411ffffff, 4

V W

fa

S = @ 72ffff,

34ffff

V W

ga

S = @1110fffffff,

118ffffff

V W

ha

S = 8P Q