5-Determinante · 5.1-Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 Dada a matriz A = a11 a12 a21...
Transcript of 5-Determinante · 5.1-Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2 Dada a matriz A = a11 a12 a21...
5-Determinante
Laura Goulart
UESB
2 de Dezembro de 2018
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 1 / 13
De�nição
A toda matriz quadrada A associa-se um número real, denominadodeterminante da matriz A e denotado por det(A), que é obtido mpormeio de operações entre os elementos da matriz.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 2 / 13
5.1-Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2
Dada a matriz A =
(a11 a12a21 a22
), de�na-se que o determinante
associado a matriz A é o número rela obtido pela diferença entre o produtodos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonalsecundária.
Exemplo (5.1)
Calcule o determinante da matriz A =
(7 2−3 5
).
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 3 / 13
5.1-Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2
Dada a matriz A =
(a11 a12a21 a22
), de�na-se que o determinante
associado a matriz A é o número rela obtido pela diferença entre o produtodos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonalsecundária.
Exemplo (5.1)
Calcule o determinante da matriz A =
(7 2−3 5
).
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 3 / 13
5.1-Determinante de uma matriz quadrada de ordem 2
Dada a matriz A =
(a11 a12a21 a22
), de�na-se que o determinante
associado a matriz A é o número rela obtido pela diferença entre o produtodos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonalsecundária.
Exemplo (5.1)
Calcule o determinante da matriz A =
(7 2−3 5
).
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 3 / 13
5.2 - Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3
O cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode serfeito por meio de um processo prárico dito regra de Sarrus.
Consiere a matriz A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 4 / 13
5.2 - Determinante de uma matriz quadrada de ordem 3
O cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem 3 pode serfeito por meio de um processo prárico dito regra de Sarrus.
Consiere a matriz A =
a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 4 / 13
1o. passo
Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 5 / 13
2o. passo
Em seguida, multiplicamos os elementos da diagonal principal da matriz Ae os elementos das duas diagonais paralelas à principal, somando osresultados:
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 6 / 13
3o. passo
Multiplicamos agora os elementos da diagonal secundária da matriz A e oselementos das duas diagonais paralelas à secundária, subtraindo osresultados.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 7 / 13
4o. passo
Por �m, somamos o primeiro número encontrado pelo último, obtendo:
Dessa forma,
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 8 / 13
4o. passo
Por �m, somamos o primeiro número encontrado pelo último, obtendo:
Dessa forma,
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 8 / 13
Exemplo (5.2)
Calcule o determinante da matriz A =
1 2 30 2 4−1 3 5
.
Observação (5.1)
Para matrizes quadradas de ordem superior a 3 usa-se o Teorema de
Laplace.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 9 / 13
Exemplo (5.2)
Calcule o determinante da matriz A =
1 2 30 2 4−1 3 5
.
Observação (5.1)
Para matrizes quadradas de ordem superior a 3 usa-se o Teorema de
Laplace.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 9 / 13
5.3 - Propriedades
D1) O determinante de uma matriz A é igual ao determinante desua transposta At .
D2) Se a matriz A possui uma linha(ou coluna) nula, então seudeterminante é nulo.
D3) Se a matriz A tem duas linhas(ou colunas) iguais, então seudeterminante é nulo.
D4) Se na matriz A tivermos uma linha(ou coluna) múltipla deuma outra, então seu determinante é nulo.
D5) O determinante de uma matriz diagonal(ou triangularsuperior ou triangular inferior) é o produto dos elementos dadiagonal principal.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 10 / 13
5.3 - Propriedades
D1) O determinante de uma matriz A é igual ao determinante desua transposta At .
D2) Se a matriz A possui uma linha(ou coluna) nula, então seudeterminante é nulo.
D3) Se a matriz A tem duas linhas(ou colunas) iguais, então seudeterminante é nulo.
D4) Se na matriz A tivermos uma linha(ou coluna) múltipla deuma outra, então seu determinante é nulo.
D5) O determinante de uma matriz diagonal(ou triangularsuperior ou triangular inferior) é o produto dos elementos dadiagonal principal.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 10 / 13
5.3 - Propriedades
D1) O determinante de uma matriz A é igual ao determinante desua transposta At .
D2) Se a matriz A possui uma linha(ou coluna) nula, então seudeterminante é nulo.
D3) Se a matriz A tem duas linhas(ou colunas) iguais, então seudeterminante é nulo.
D4) Se na matriz A tivermos uma linha(ou coluna) múltipla deuma outra, então seu determinante é nulo.
D5) O determinante de uma matriz diagonal(ou triangularsuperior ou triangular inferior) é o produto dos elementos dadiagonal principal.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 10 / 13
5.3 - Propriedades
D1) O determinante de uma matriz A é igual ao determinante desua transposta At .
D2) Se a matriz A possui uma linha(ou coluna) nula, então seudeterminante é nulo.
D3) Se a matriz A tem duas linhas(ou colunas) iguais, então seudeterminante é nulo.
D4) Se na matriz A tivermos uma linha(ou coluna) múltipla deuma outra, então seu determinante é nulo.
D5) O determinante de uma matriz diagonal(ou triangularsuperior ou triangular inferior) é o produto dos elementos dadiagonal principal.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 10 / 13
5.3 - Propriedades
D1) O determinante de uma matriz A é igual ao determinante desua transposta At .
D2) Se a matriz A possui uma linha(ou coluna) nula, então seudeterminante é nulo.
D3) Se a matriz A tem duas linhas(ou colunas) iguais, então seudeterminante é nulo.
D4) Se na matriz A tivermos uma linha(ou coluna) múltipla deuma outra, então seu determinante é nulo.
D5) O determinante de uma matriz diagonal(ou triangularsuperior ou triangular inferior) é o produto dos elementos dadiagonal principal.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 10 / 13
Propriedades
Observação (5.2)
Como consequência da propriedade D5 temos que detIn = 1.
D6) Trocando-se duas linhas(ou colunas) de uma matriz A, odeterminante muda de sinal.
D7) Quando se multiplica por um número real α todos oselementos de uma linha(ou coluna) de uma matriz A, entãoo seu determinante também �ca multiplicado por essenúmero α.
Observação (5.3)
Como consequênia da propriedade D7 temos que det(αA) = αn · detA,onde n é a ordem da matriz A.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 11 / 13
Propriedades
Observação (5.2)
Como consequência da propriedade D5 temos que detIn = 1.
D6) Trocando-se duas linhas(ou colunas) de uma matriz A, odeterminante muda de sinal.
D7) Quando se multiplica por um número real α todos oselementos de uma linha(ou coluna) de uma matriz A, entãoo seu determinante também �ca multiplicado por essenúmero α.
Observação (5.3)
Como consequênia da propriedade D7 temos que det(αA) = αn · detA,onde n é a ordem da matriz A.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 11 / 13
Propriedades
Observação (5.2)
Como consequência da propriedade D5 temos que detIn = 1.
D6) Trocando-se duas linhas(ou colunas) de uma matriz A, odeterminante muda de sinal.
D7) Quando se multiplica por um número real α todos oselementos de uma linha(ou coluna) de uma matriz A, entãoo seu determinante também �ca multiplicado por essenúmero α.
Observação (5.3)
Como consequênia da propriedade D7 temos que det(αA) = αn · detA,onde n é a ordem da matriz A.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 11 / 13
Propriedades
Observação (5.2)
Como consequência da propriedade D5 temos que detIn = 1.
D6) Trocando-se duas linhas(ou colunas) de uma matriz A, odeterminante muda de sinal.
D7) Quando se multiplica por um número real α todos oselementos de uma linha(ou coluna) de uma matriz A, entãoo seu determinante também �ca multiplicado por essenúmero α.
Observação (5.3)
Como consequênia da propriedade D7 temos que det(αA) = αn · detA,onde n é a ordem da matriz A.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 11 / 13
Propriedades
D8) [Teorema de Binet:] det(AB) = detA · detB.
Observação (5.4)
det(A+ B) 6= detA+ detB.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 12 / 13
Propriedades
D8) [Teorema de Binet:] det(AB) = detA · detB.
Observação (5.4)
det(A+ B) 6= detA+ detB.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 12 / 13
Exercício de Fixação
O valor de x para que
∣∣∣∣ x2 x1 1
∣∣∣∣ = 2.
Laura Goulart (UESB) 5-Determinante 2 de Dezembro de 2018 13 / 13