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MATEMÁTICA

Didatismo e Conhecimento 1

MATEMÁTICA

NOÇÕES DE LÓGICA: PROPOSIÇÕES, CONECTIVOS, NEGAÇÃO DE PROPOSIÇÕES COMPOSTAS.

Proposições ou Sentenças

Uma proposição é uma afirmação que pode ser verdadeira ou falsa. Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado. Por exemplo, “Existe um número primo par maior que dois” é uma proposição (no caso, falsa). “Um número primo par maior que dois existe” é a mesma proposição, expressa de modo diferente. É muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada algo significante. É possível utilizar a linguística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar o significado.

As sentenças ou proposições são os elementos que, na linguagem escrita ou falada, expressam uma ideia, mesmo que absurda. Considerar-se-ão as que são bem definidas, isto é, aquelas que podem ser classificadas em falsas ou verdadeiras, denominadas declarativas. As proposições geralmente são designadas por letras latinas minúsculas: p, q, r, s...

Considere os exemplos a seguir:

p: Mônica é inteligente.q: Se já nevou na região Sul, então o Brasil é um país europeu.r: 7 > 3s: 8 + 2 ≠ 10

Tipos de Proposições

Podemos classificar as sentenças ou proposições, conforme o significado de seu texto, em:

- Declarativas ou afirmativas: são as sentenças em que se afirma algo, que pode ou não ser verdadeiro. Exemplo: Júlio César é o melhor goleiro do Brasil.

- Interrogativas: são aquelas sentenças em que se questiona algo. Esse tipo de sentença não admite valor verdadeiro ou falso. Exemplo: Lula estava certo em demitir a ministra?

- Imperativas ou ordenativas: são as proposições em que se ordena alguma coisa. Exemplo: Mude a geladeira de lugar.

Proposições Universais e Particulares

As proposições universais são aquelas em que o predicado refere-se à totalidade do conjunto. Exemplo:

“Todos os homens são mentirosos” é universal e simbolizamos por “Todo S é P”

Nesta definição incluímos o caso em que o sujeito é unitário.

Exemplo: “O cão é mamífero”.

As proposições particulares são aquelas em que o predicado refere-se apenas a uma parte do conjunto. Exemplo: “Alguns homens são mentirosos” é particular e simbolizamos por “algum S é P”.

Proposições Afirmativas e Negativas

No caso de negativa podemos ter:

“Nenhum homem é mentiroso” é universal negativa e simbolizamos por “nenhum S é P”.

“Alguns homens não são mentirosos” é particular negativa e simbolizamos por “algum S não é P”.

No caso de afirmativa consideramos o item anterior.

Chamaremos as proposições dos tipos: “Todo S é P”, “algum S é P”, “algum S não é P” e “nenhum S é P”.

Então teremos a tabela:

AFIRMATIVA NEGATIVAUNIVERSAL Todo S é P (A) Nenhum S é P (E)PARTICULAR Algum S é P (I) Algum S não é P (O)

Diagrama de Euler

Para analisar, poderemos usar o diagrama de Euler.

- Todo S é P (universal afirmativa – A)

P

S ou

P=S

- Nenhum S é P (universal negativa – E)

S P

- Algum S é P (particular afirmativa – I)

SP

ou

P

Sou

P=S

ou

S

P

- Algum S não é P (particular negativa – O)S

P

ou

S

Pou

S P


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Princípios

- Princípio da não-contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

- Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só pode ter dois valores verdades, isto é, é verdadeiro (V) ou falso (F), não podendo ter outro valor.

a) “O Curso Pré-Fiscal fica em São Paulo” é um proposição verdadeira.

b) “O Brasil é um País da América do Sul” é uma proposição verdadeira.

c) “A Receita Federal pertence ao poder judiciário”, é uma proposição falsa.

As proposições simples (átomos) combinam-se com outras, ou são modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenças chamadas de moléculas. Os conectivos serão representados da seguinte forma:

corresponde a “não” ∧ corresponde a “e” ∧

corresponde a “ou” ⇒ corresponde a “então” ⇔ corresponde a “se somente se”

Sendo assim, a partir de uma proposição podemos construir uma outra correspondente com a sua negação; e com duas ou mais, podemos formar:

- Conjunções: a ∧ b (lê-se: a e b)- Disjunções: a

∧ b (lê-se: a ou b)

- Condicionais: a ⇒ b (lê-se: se a então b) - Bicondicionais: a ⇔ b (lê-se: a se somente se b)

Exemplo

“Se Cacilda é estudiosa então ela passará no AFRF”

Sejam as proposições:p = “Cacilda é estudiosa”q = “Ela passará no AFRF”

Daí, poderemos representar a sentença da seguinte forma:Se p então q (ou p ⇒q)

Sentenças Abertas

Existem sentenças que não podem ser classificadas nem como falsas, nem como verdadeiras. São as sentenças chamadas sentenças abertas.

Exemplos

1. 94:)( =+xxp

A sentença matemática 94 =+x é aberta, pois existem infinitos números que satisfazem a equação. Obviamente, apenas um deles, 5=x , tornando a sentença verdadeira. Porém, existem infinitos outros números que podem fazer com que a proposição se torne falsa, como .5−=x

2. 3:)( <xxq

Dessa maneira, na sentença 3<x , obtemos infinitos valores que satisfazem à equação. Porém, alguns são verdadeiros, como

2−=x , e outros são falsos, como .7+=xAtenção: As proposições ou sentenças lógicas são

representadas por letras latinas e podem ser classificadas em abertas ou fechadas.

A sentença 522:)( =+xs é uma sentença fechada, pois a ela se pode atribuir um valor lógico; nesse caso, o valor de )(xs é F, pois a sentença é falsa.

A sentença )(xp “Phil Collins é um grande cantor de música pop internacional” é fechada, dado que possui um valor lógico e esse valor é verdadeiro.

Já a sentença )(xe “O sorteio milionário da Mega-Sena” é uma sentença aberta, pois não se sabe o objetivo de falar do sorteio da Mega-Sena, nem se pode atribuir um valor lógico para que

)(xe seja verdadeiro, ou falso.

Modificadores

A partir de uma proposição, podemos formar outra proposição usando o modificador “não” (~), que será sua negação, a qual possuirá o valor lógico oposto ao da proposição.

Exemplo

p: Jacira tem 3 irmãos.~p: Jacira não tem 3 irmãos.

É fácil verificar que:1. Quando uma proposição é verdadeira, sua negação é falsa.2. Quando uma proposição é falsa, sua negação é verdadeira.

V ou F Sentença: p Negação: ~p V ou F

V N∈4 N∉4 F

F 12 é divisível por zero 12 não é divisível por zero. V

Para classificar mais facilmente as proposições em falsas ou verdadeiras, utilizam-se as chamadas tabelas-verdade.

Para negação, tem-se

p ~pV FF V

Atenção: A sentença negativa é representada por “~”.

A sentença t: “O time do Paraná resistiu à pressão do São Paulo” possui

como negativa de t, ou seja, “~t”, o correspondente a: “O time do Paraná não resistiu à pressão do São Paulo”.


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Observação: Alguns matemáticos utilizam o símbolo “¬ O Brasil possui um grande time de futebol”, que pode ser lida como “O Brasil não possui um grande time de futebol”.

Proposições Simples e Compostas

Uma proposição pode ser simples (também denominada atômica) ou composta (também denominada molecular). As proposições simples apresentam apenas uma afirmação. Pode-se considerá-las como frases formadas por apenas uma oração. As proposições simples são representadas por letras latinas minúsculas.

Exemplos

(1) p: eu sou estudioso(2) q: Maria é bonita (3) r: 3 + 4 > 12

Uma proposição composta é formada pela união de duas ou mais proposições simples. Indica-se uma proposição composta por letras latinas maiúsculas. Se P é uma proposição composta das proposições simples p, q, r, ..., escreve-se P (p, q, r,...). Quando P estiver claramente definida não há necessidade de indicar as proposições simples entre os parênteses, escrevendo simplesmente P.

Exemplos:

(4) P: Paulo é estudioso e Maria é bonita. P é composta das proposições simples p: Paulo é estudioso e q: Maria é bonita.

(5) Q: Maria é bonita ou estudiosa. Q é composta das proposições simples p: Maria é bonita e q: Maria é estudiosa.

(6) R: Se x = 2 então x2 + 1 = 5. R é composta das proposições simples p: x = 2 e q: x2 + 1 = 5.

(7) S: a > b se e somente se b < a. S é composta das proposições simples p: a > b e q: b < a.

As proposições simples são aquelas que expressam “uma única ideia”. Constituem a base da linguagem e são também chamadas de átomos da linguagem. São representadas por letras latinas minúsculas (p, q, r, s, ...).

As proposições composta são aquelas formadas por duas ou mais proposições ligadas pelos conectivos lógicos. São geralmente representadas por letras latinas maiúsculas (P, Q, R, S, ...). O símbolo P (p, q, r), por exemplo, indica que a proposição composta P é formada pelas proposições simples p, q e r.

Exemplos

São proposições simples:p: A lua é um satélite da terra.q: O número 2 é primo.r: O número 2 é par.s: Roma é a capital da França.t: O Brasil fica na América do Sul.u: 2 + 5 = 3 . 4

São proposições compostas:P(q, r): O número 2 é primo ou é par.Q(s, t): Roma é a capital da França e o Brasil fica na América

do Sul.R: O número 6 é par e o número 8 é cubo perfeito.

Não são proposições lógicas:- Roma- O cão do menino- 7+1- As pessoas estudam- Quem é?- Que pena!

Tabela Verdade

Proposição Simples - Segundo o princípio do terceiro excluído, toda proposição simples p, é verdade ou falsa, isto é, tem o valor lógico verdade (V) ou o valor lógico falso (F).

pVF

Proposição Composta - O valor lógico de qualquer proposição composta depende unicamente dos valores lógicos das proposições simples componentes, ficando por eles univocamente determinados. É um dispositivo prático muito usado para a determinação do valor lógico de uma proposição composta. Neste dispositivo figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição composta, correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

Proposição Composta - 02 proposições simples

Assim, por exemplo, no caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p e q, as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p e a q são:

p qV VV FF VF F

Observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de dois em dois para a primeira proposição p e de um em um para a segunda proposição q, e que, além disso, VV, VF, FV e FF são os arranjos binários com repetição dos dois elementos V e F.

Proposição Composta - 03 proposições simples

No caso de uma proposição composta cujas proposições simples componentes são p, q e r as únicas possíveis atribuições de valores lógicos a p, a q e a r são:


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p q rV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

Analogamente, observe-se que os valores lógicos V e F se alternam de quatro em quatro para a primeira proposição p, de dois em dois para a segunda proposição q e de um em um para a terceira proposição r, e que, além disso, VVV, VVF, VFV, VFF, FVV, FVF, FFV e FFF sãos os arranjos ternários com repetição dos dois elementos V e F.

Notação: O valor lógico de uma proposição simples p indica-se por V(p). Assim, exprime-se que p é verdadeira (V), escrevendo: V(p) = V. Analogamente, exprime-se que p é falsa (F), escrevendo: V(p) = F.

Exemplos

p: o sol é verde;q: um hexágono tem nove diagonais;r: 2 é raiz da equação x² + 3x - 4 = 0V(p) = FV(q) = VV(r) = F

Questões

01. Considere as proposições p: Está frio e q: Está chovendo. Traduza para linguagem corrente as seguintes proposições:

a) P ˅ ~qb) p → qc) ~p ^ ~qd) p ↔ ~qe) (p ˅ ~q) ↔ (q ^~p)

02. Considere as proposições p: A terra é um planeta e q: Aterra gira em torno do Sol. Traduza para linguagem simbólica as seguintes proposições:

a) Não é verdade: que a Terra é um planeta ou gira em torno do Sol.

b) Se a Terra é um planeta então a Terra gira em torno do Sol.c) É falso que a Terra é um planeta ou que não gira em torno

do Sol.d) A Terra gira em torno do Sol se, e somente se, a Terra não

é um planeta.e) A Terra não é nem um planeta e nem gira em torno do Sol.(Expressões da forma “não é nem p e nem q” devem ser vistas

como “não p e não q”)

03. Dada a condicional: “Se p é primo então p = 2 ou p é impar”, determine:

a) a contrapositivab) a recíproca

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F e V (~r ^ ~s) = V, determine

V (p → r ^ s).b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V e V (p ˅ r → q) = F, determine

V (p), V (q), V (r).c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p

˅ r → q ˅ r).

05. Dê o conjunto-verdade em R das seguintes sentenças abertas:a) x² + x – 6 = 0 → x² - 9 = 0b) x² ˃ 4 ↔ x² -5x + 6 = 0

06. Use o diagrama de Venn para decidir quais das seguintes afirmações são válidas:

a) Todos os girassóis são amarelos e alguns pássaros são amarelos, logo nenhum pássaro é um girassol.

b) Alguns baianos são surfistas. Alguns surfistas são louros. Não existem professores surfistas. Conclusões:

I- Alguns baianos são louros.II- Alguns professores são baianos.III- Alguns louros são professores.IV- Existem professores louros.

07. (CESPE - PF - Regional) Considere que as letras P, Q, R e T representem proposições e que os símbolos ̚ , ^, ˅ e → sejam operadores lógicos que constroem novas proposições e significam não, e, ou e então, respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade), que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Com base nas informações apresentadas no texto, julgue os itens a seguir.

a) Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, então a proposição ( ̚ P) ˅ ( ̚ Q) também é verdadeira.

b) Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é falsa, então a proposição R→ ( ̚ T) é falsa.

c) Se as proposições P e Q são verdadeiras e a proposição R é falsa, então a proposição (P ^ R) → (¬ Q) é verdadeira.

08. (CESPE - Papiloscopista) Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P → Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P v Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada por P ^ Q, que será V somente quando P e Q forem V, e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto, julgue os itens subsequentes.

a) As tabelas de valorações das proposições P v Q e Q → ¬P são iguais.

b) As proposições (P v Q) → S e (P → S) v (Q → S) possuem tabelas de valorações iguais.


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09. (CESPE - PF - Regional) Considere as sentenças abaixo.

I- Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus fumam.II- Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à saúde.III- Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido.IV- Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos

europeus fumam, então fumar deve ser proibido.V- Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que

fumar deve ser proibido; consequentemente, muitos europeus fumam.

Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir.

P Fumar deve ser proibido.Q Fumar de ser encorajado.R Fumar não faz bem à saúde.T Muitos europeus fumam.

Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.

a) A sentença I pode ser corretamente representada por P ^ (¬ T).

b) A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ^ (¬ R).

c) A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.d) A sentença IV pode ser corretamente representada por (R

^ (¬ T)) → P.e) A sentença V pode ser corretamente representada por T →

((¬ R) ^ (¬ P)).

10. Um agente de viagens atende três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará uma viagem a um país diferente da Europa: uma delas irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá à Espanha. Ao agente de viagens, que queria identificar o nome e o destino de cada uma, elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:a) A loura é Sara e vai à Espanha.b) A ruiva é Sara e vai à França.c) A ruiva é Bete e vai à Espanha.d) A morena é Bete e vai à Espanha.e) A loura é Elza e vai à Alemanha.

Respostas:

01. a) “Está frio ou não está chovendo”.b) “Se está frio então está chovendo”.c) “Não está frio e não está chovendo”.d) “Está frio se e somente se não está chovendo”.e) “Está frio e não está chovendo se e somente se está

chovendo e não está frio”.

02. a) ~(p ˅ q);b) p → qc) ~(p ˅ ~q)d) ~p ^ ~qe) q ↔ ~p

03.a) a contrapositiva: “Se p 2 e p é par, então p não é primo”.b) a recíproca: “Se p = 2 ou p é ímpar, então p é primo”.

04.a) Supondo V (p ^ q ↔ r ˅ s) = F (1) e V (~r ^ ~s) = V (2),

determine V (p → r ^ s). Solução: De (2) temos que V (r) = V (s) = F; Usando estes resultados em (1) obtemos: V (p) = V (q) = V, logo, V (p → r ^ s) = F

b) Supondo V (p ^ (q ˅ r)) = V (1) e V (p ˅ r → q) = F (2), determine V (p), V (q) e V (r). Solução: De (1) concluímos que V (p) = V e V (q ˅ r) = V e de (2) temos que V (q) = F, logo V (r) = V

c) Supondo V (p → q) = V, determine V (p ^ r → q ^ r) e V (p ˅ r → q ˅ r). Solução: Vamos supor V (p ^ r → q ^ r) = F. Temos assim que V (p ^ r) = V e V (q ^ r) = F, o que nos permite concluir que V (p) = V (r) = V e V (q) = F, o que contradiz V (p → q) = V. Logo, V (p ˅ r → q ˅ r) = V. Analogamente, mostramos que V (p ˅ r → q ˅ r) = V.

05. a) R – {2}b) [-2,2[

06.a) O diagrama a seguir mostra que o argumento é falso:

b) O diagrama a seguir mostra que todos os argumentos são falsos:

07.a) Item ERRADO. Pela tabela do “ou” temos:(¬ P) v (¬ Q)(¬ V) v (¬ V)(F) v (F)Falsa

b) Item ERRADO. A condicional regra que:R → (¬ T)F (¬ V)F (F)Verdadeira

c) Item CERTO. Obedecendo a conjunção e a condicional:(P ^ R) → (¬ Q)(V ^ F) → (¬ V) F FVerdadeira


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08.a) Item ERRADO. Basta considerarmos a linha da tabela-verdade onde P e Q são ambas proposições verdadeiras para verificar que as

tabelas de valorações de P v Q e Q → ¬P não são iguais:P Q ¬P P v Q Q → ¬PV V F V F

b) Item ERRADO. Nas seguintes linhas da tabela-verdade, temos os valores lógicos da proposição (P v Q) → S diferente dos da proposição (P → S) v (Q → S):

P Q S (P v Q) → S P → S v Q → SV F F F VF V F F V

09. a) Item ERRADO. Sua representação seria P ^ T.b) Item CERTO. Apenas deve-se ter o cuidado para o que diz a proposição R: “Fumar não faz bem à saúde”. É bom sempre ficarmos

atentos à atribuição inicial dada à respectiva letra.c) Item CERTO. É a representação simbólica da Condicional entre as proposições R e P.d) Item CERTO. Proposição composta, com uma Conjunção (R ^ ¬T) como condição suficiente para P.d) Item ERRADO. Dizer “...consequentemente...” é dizer “se... então...”. A representação correta seria ((¬ R) ^ (¬ P)) → T.

10. Resposta “E”.A melhor forma de resolver problemas como este é arrumar as informações, de forma mais interessante, que possa prover uma melhor

visualização de todo o problema. Inicialmente analise o que foi dado no problema:a) São três amigasb) Uma é loura, outra morena e outra ruiva.c) Uma é Bete, outra Elza e outra Sara.d) Cada uma fará uma viagem a um país diferente da Europa: Alemanha, França e Espanha.e) Elas deram as seguintes informações:

A loura: “Não vou à França nem à Espanha”.A morena: “Meu nome não é Elza nem Sara”.A ruiva: “Nem eu nem Elza vamos à França”.

Faça uma tabela:

Cor dos cabelos Loura Morena Ruiva

Afirmação Não vou à França nem a Espanha

Meu nome não é Elza nem Sara

Nem eu nem Elza vamos à

França

País Alemanha França EspanhaNome Elza Bete Sara

Com a informação da loura, sabemos que ela vai para a Alemanha.Com a informação da morena, sabemos que ela é a Bete.Com a informação da ruiva sabemos que ela não vai à França e nem Elza, mas observe que a loura vai a Alemanha e a ruiva não vai à

França, só sobrando a Bete ir à França. Se Bete vai à França a ruiva coube a Espanha. Elza é a loura e Sara fica sendo a ruiva.

Conectivos

Para compôr novas proposições, definidas como composta, a partir de outras proposições simples, usam-se os conectivos. Os conectivos mais usados são: “e”(˄), “ou”(˅), “se... então”(→) e “se e somente se”(↔).

Exemplos- Mônica é uma mulher bonita e o Brasil é um grande país.- Professor Fábio é esperto ou está doente.- Se eu comprar um carro, então venderei meu carro antigo.- Um número é primo se e somente se for divisível apenas por 1 e por si mesmo.


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Operação Conectivo Estrutura Lógica ExemplosNegação ¬ Não p A bicicleta não é azul.

Conjunção ^ p e q Thiago é médico e João é Engenheiro.Disjunção Inclusiva v p ou q Thiago é médico ou João é Engenheiro.

Disjunção Exclusiva v Ou p ou q Ou Thiago é Médico ou João é Engenheiro.

Condicional → Se p então q Se Thiago é Médico então João é Engenheiro.Bicondicional ↔ p se e somente se q Thiago é médico se e somente se João é Médico.

Conectivo “e” (˄)

Sejam os argumentos:p: -3 é um número inteiro.q: a cobra é um réptil.Com os argumentos acima, podemos compôr uma sentença fechada, que expressa os dois argumentos: “-3 é um número inteiro e a cobra

é um réptil”. A sentença pode ser representada como p ˄ q, podemos receber um valor lógico, verdadeiro ou falso.

Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição p ˄ q será chamada de conjunção. Observe que uma conjunção p ˄ q só é verdadeira quando p e q são verdadeiras. Para a conjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p ˄ qV V VV F FF V FF F F

Atenção: Os conectivos são usados para interligar duas ou mais sentenças. E toda sentença interligada por conectivos terá um valor lógico, isto é, será verdadeira ou falsa. Sentenças interligadas pelo conectivo “e” possuirão o valor verdadeiro somente quando todas as sentenças, ou argumentos lógicos, tiverem valores verdadeiros.

Conectivo “ou” (V)

O conectivo “ou” pode ter dois significados:

1. “ou” inclusivo: Elisabete é bonita ou Elisabete é inteligente. (Nada impede que Elisabete seja bonita e inteligente)

2. “ou” exclusivo: Elisabete é paulista ou Elisabete é carioca. (Se Elisabete é paulista, não será carioca e vice-versa)

Atenção: Estudaremos o “ou” inclusivo, pois o elemento em questão pode possuir duas ou mais características, como o exemplo do item 1, em que Elisabete poderá possuir duas ou mais qualidades ou características. Sejam:

p: 3 é um número inteiro.q: o Brasil é pentacampeão mundial de futebol.A partir de p e q, podemos compor:p V q: 3 é um número inteiro ou o Brasil é pentacampeão mundial de futebol.Se p e q são duas proposições, a proposição p V q será chamada adjunção ou disjunção.

Observe que uma adjunção p V q é verdadeira quando uma das proposições formadoras, p ou q, é verdadeira. Para a adjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:


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p q p V qV V VV F VF V VF F F

Atenção: O conectivo V, “ou”, é utilizado para interligar dois ou mais argumentos, resultando na união desses argumentos. O valor resultante da união de dois ou mais argumentos somente será falso quando todos os argumentos ou proposições forem falsos.

Conectivo “Se... então” (→)

Sejam as proposições abaixo:p: 5.4 = 20q: 3 é um número primo.A partir de p e q, podemos compor:p→q: se 5.4 = 20, então 3 é um número primo.

Conceito: Se p e q são duas proposições, a proposição p→q é chamada subjunção ou condicional. Considere a seguinte subjunção: “Se fizer sol, então irei à praia”.

1. Podem ocorrer as situações:2. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)3. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade)5. Não fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade, pois eu não

disse o que faria se não fizesse sol. Assim, poderia ir ou não ir à praia).

Observe que uma subjunção p→q somente será falsa quando a primeira proposição, p, for verdadeira e a segunda, q, for falsa. Para a subjunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p→qV V VV F FF F VF V V

Existem outras maneiras de ler: p→q: “p é condição suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária pra p”.

Sejam:p: 18 é divisível por 6.q: 18 é divisível por 2.Podemos compor:p→q: se 18 é divisível por 6, então 18 é divisível por 2, que

se pode ler:- “18 é divisível por 6” é condição suficiente para “18 é

divisível por 2” ou, ainda,- “18 é divisível por 2” é condição necessária para “18 é

divisível por 6”.

Atenção: Dizemos que “p implica q” (p→q) quando estamos considerando uma relação entre duas proposições, compostas ou não, diferentemente do símbolo →, que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa proposição.

Conectivo “Se e somente se” (↔)

Sejam:p: 16 / 3 = 8q: 2 é um número primo.A partir de p e q, podemos compor:p↔q: 16 / 3 = 8 se e somente se 2 é um número primo.Se p e q são duas proposições, a proposição p↔q1 é chamada

bijunção ou bicondicional, que também pode ser lida como: “p é condição necessária e suficiente para q” ou, ainda, “q é condição necessária e suficiente para p”.

Considere, agora, a seguinte bijunção: “Irei à praia se e somente se fizer sol”. Podem ocorrer as situações:

1. Fez sol e fui à praia. (Eu disse a verdade)2. Fez sol e não fui à praia. (Eu menti)3. Não fez sol e fui à praia. (Eu menti)4. Não fez sol e não fui à praia. (Eu disse a verdade)

Observe que uma bijunção só é verdadeira quando as proposições formadoras são ambas falsas ou ambas verdadeiras. Para a bijunção, tem-se a seguinte tabela-verdade:

p q p↔qV V VV F FF V FF F V

Devemos lembrar que p↔q é o mesmo que (p→q) ˄ (q→p). Assim, dizer “Hoje é sábado e somente se amanhã é domingo” é o mesmo que dizer: “Se hoje é sábado, então amanhã é domingo e, se amanhã é domingo, então hoje é sábado”.

Atenção: Dizemos que “p equivale a q” (p→q) quando estamos considerando uma relação entre duas ou mais proposições, diferentemente do símbolo ↔ , que denota uma operação entre duas proposições, resultando numa nova proposição. Exemplos:

1. Dar os valores lógicos das seguintes proposições compostas:a) p1 : 2 + 5 = 7 ou 2 + 5 = 6 Temos que p ˅ q, com p(V),

q(F); portanto, p1 (V)b) p2 : se 2 + 4 = 8 se 2 + 4 = 8, então 2 = 6 = 9 Temos que

p→q com p(F), q(F); portanto, p2 (V)

2. Estude os valores lógicos das sentenças abertas compostas: “se x² - 14x + 48 = 0, então x – 2 = 4”. Como x² - 14x + 48 = 0 ↔ x = 6 ou x = 8 e x – 2 = 4 ↔ x = 6, tem-se:

a) (VV) substituindo x por 6, temos o valor lógico V.b) (VF) substituindo x por 8, temos o valor lógico F.c) (FV) não se verifica.d) (FF) substituindo x por qualquer número real diferente de 6

e 8, temos o valor lógico V.


MATEMÁTICA

3. Sejam as proposições:p: Joana é graciosa.q: Fátima é tímida.Dar as sentenças verbais para: p→~qSe Joana é graciosa, então Fátima não é tímida.~(~p ∨ q)É falso que Joana não é graciosa ou que Fátima é tímida.

Atenção: O conectivo ↔ é usado quando se quer mostrar que dois argumentos são equivalentes. Por exemplo, quando dizemos que “todo número par é da forma 2n, n є N”, não é o mesmo que dizer que “os números pares são divisíveis por 2”.

Questões

01. (ICMS) Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo,(A) mesmo que se esforce, você não vencerá.(B) seu esforço é condição necessária para vencer.(C) se você não se esforçar então não irá vencer.(D) você vencerá só se se esforçar.(E) seu esforço é condição suficiente para vencer.

02. (Cespe - Analista do Seguro Social - INSS) Proposições são sentenças que podem ser julgadas como verdadeiras (V) ou falsas (F), mas não como ambas. Se p e q são proposições, então a proposição “Se p então q”, denotada por P → Q, terá valor lógico F quando p for V e q for F, e, nos demais casos, será V. Uma expressão da forma ~p, a negação da proposição p, terá valores lógicos contrários aos de p. (p v q, lida como “p ou q”, terá valor lógico F quando p e q forem, ambas, F; nos demais casos, será V.

Considere as proposições simples e compostas apresentadas abaixo, denotadas por A, B e C, que podem ou não estar de acordo com o artigo 50 da Constituição Federal.

A: A prática do racismo é crime afiançável. B: A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado. C: Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em

território brasileiro será extraditado.

De acordo com as valorações V ou F atribuídas corretamente às proposições A, B e C, a partir da Constituição Federal, julgue o item. Para a simbolização apresentada acima e seus correspondentes valores lógicos, a proposição B = C é V. Certo ou Errado?

03. Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um mesmo órgão público do Poder Executivo Federal. Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das seguintes atitudes:

A1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que estavam ao seu alcance;

A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências;

A3: buscou evitar situações procrastinatórias.

Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão comtempladas na tabela a seguir, em cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V(verdadeiro) ou F(falso) caso contrario.

A1 A2 A3Roberta FRejaneRenata V

Com base nessas informações, julgue o item seguinte: Se p for a proposição “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” e q for a proposição” Renata buscou evitar situações procrastinatórias”, então a proposição pq tem valor lógico V. Certo ou errado?

04. (FCC - Oficial de Justiça - TJ/PE) Suponha que exista uma pessoa que só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da semana, só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da semana seria possível ela fazer a afirmação “Eu menti ontem e também mentirei amanha”?

(A) Terça e quinta-feira. (B) Terça e sexta-feira. (C) Quarta e quinta-feira. (D) Quarta-feira e sábado. (E) Quinta-feira e domingo.

05. Na análise de um argumento, podem-se evitar considerações subjetivas, por meio da reescrita das proposições envolvidas na linguagem da lógica formal. Considere que P, Q, R e S sejam proposições e que “ ∨”, “ ∨ ”, “¬” e “→” sejam os conectores lógicos que representam, respectivamente, “e”, “ou”, “negação” e o “conector condicional”. Considere também a proposição a seguir: Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus ou de metrô, ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado.

Assinale a opção que expressa corretamente a proposição acima em linguagem da lógica formal, assumindo que:

P= “Quando Paulo vai ao trabalho de ônibus”;Q= “Quando Paulo vai ao trabalho de metrô”;R= “ele sempre leva um guarda-chuva”;S= “ele sempre leva dinheiro trocado”.

(A) P→ (Q ∨ R)(B) (P → Q) ∨ R(C) (P ∨ Q) ∨ (R ∨ S)(D) P ∨ (Q ∨ (R ∨ S))

Respostas

01. Resposta “E”.Aqui estamos tratando de uma proposição composta (Se você

se esforçar então irá vencer) formada por duas proposições simples (você se esforçar) (irá vencer), ligadas pela presença do conectivo (→) “se então”. O conectivo “se então” liga duas proposições simples da seguinte forma:

Se p então q, ou seja:→ p será uma proposição simples que por estar antes do então

é também conhecida como antecedente→ q será uma proposição simples que por estar depois do

então é também conhecida como consequente→ Se p então q também pode ser lido como p implica em q→ p é conhecida como condição suficiente para que q ocorra,

ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer.→ q é conhecida como condição necessária para que p ocorra,

ou seja, se q não ocorrer então p também não irá ocorrer.


MATEMÁTICA

Logo a seguir está a tabela verdade do “se então”. Tabela Verdade é a forma de representar todas as combinações possíveis de valores verdadeiros ou falsos de determinadas proposições, sejam elas simples ou compostas. Observe que para quaisquer valores lógicos de p e q (na realidade uma combinação de valores de verdadeiros e falsos poderá ocorrer e está sendo estudada logo abaixo). O número de linhas de uma tabela verdade é dado por: 2n onde n = número de proposições simples. Na tabela verdade são duas proposições simples e ao todo 22 = 4 linhas.

p q p→qV V VV F FF V VF F V

Poderíamos resumir a tabela verdade do conectivo “se então” pela seguinte regra: “A implicação p→q só será FALSA quando p for VERDADEIRA e q for FALSA, nesta ordem”. Observe que estamos falando da segunda linha. Observe também que todos os demais valores lógicos de p→q que não se tratam da regra passam a ser verdadeiros (1ª, 3ª e 4ª linhas).

Agora por definição informamos que dado que p→q se verifica então também se verifica que ~q→~p. Para analisarmos esta afirmação devemos conhecer um novo conectivo, o conectivo “não” ou “negação”, cuja tabela verdade se verifica a seguir:

p ~pV FF V

O “~” representa o conectivo “não” e a tabela verdade do conectivo não é a inversão do valor lógico da proposição, vejamos, se a proposição p é verdadeira, então ~p é falsa e viceversa, se a proposição p é falsa, ~p é verdadeira. Desse modo vamos comprovar o que foi afirmado logicamente, ou seja, dado que p→q posso afirmar que negando a condição necessária eu nego a condição suficiente, observe através da tabela verdade:

p q ~p ~q p→q ~q→~pV V F F V VV F F V F FF V V F V VF F V V V V

Observe que para a mesma entrada de valores (V) ou (F) as colunas que representam os possíveis valores de p→q e de ~q→~p são exatamente iguais, o que equivale a afirmar que são expressões logicamente equivalentes. Sabendo um pouco mais a respeito do “se então” vamos ao exercício:

Se você se esforçar então irá vencer→ você se esforçar é a proposição p também conhecida como

antecedente.

→ irá vencer é a proposição q também conhecida como consequente.

→ você se esforçar é a proposição p também conhecida como condição suficiente para que ocorra q→ irá vencer é a proposição q também conhecida como condição necessária para que ocorra q→.

Dado p→q é uma equivalente lógica de: ~q→~p. Ou seja, Se você se esforçar então irá vencer é uma equivalente lógica de Se você não venceu então você não se esforçou. Observe que p e q podem ser quaisquer conjuntos de palavras ou símbolos que expressam um sentido completo, por mais absurdo que pareça basta estar na forma do conectivo “se então” que as regras acima transpostas estão logicamente corretas. Vamos analisar as alternativas:

Se você se esforçar então irá vencer. Assim sendo,a) errada, a alternativa “A” encontra erro uma vez que você se

esforçar é a condição suficiente para que você vença, ou seja, basta que você se esforce que você irá vencer, e a afirmação nega isto.

b) errada, na forma p→q, o p é o antecedente e condição suficiente para que q ocorra.

c) errada, esta afirmação sempre vai cair em prova.

Cuidado: Sempre vai levar muitos candidatos ao erro, ao afirmar: Se você se esforçar então irá vencer a única conclusão possível é de que basta que você se esforce que você irá vencer, e se você não se esforçar, ora se não ocorreu a condição suficiente nada posso afirmar, se você não se esforçar você poderá ou não vencer. Na tabela verdade é possível comprovar que (Se você se esforçar então irá vencer p→q) e (Se você não se esforçar então não irá vencer ~p→~q) não são equivalentes lógicas. Observe que as proposições p→q e ~p→~q não apresentam os mesmos valores lógicos, ou seja, afirmar uma não quer dizer afirmar a outra.

d) errada, você vencerá só se se esforçar, indica que seu esforço é condição necessária para você vencer, o que não é verdade.

e) correta, seu esforço (você se esforçar) é condição suficiente para que você vença.

02. Resposta “Errado”.

Analisando as proposições:A: “A prática do racismo é crime afiançável”- é falsaB: “A defesa do consumidor deve ser promovida pelo Estado” - é

verdadeira;C: “Todo cidadão estrangeiro que cometer crime político em

território brasileiro será extraditado” - é falsa.

Então, a proposição composta “B - C” pode ser traduzida em “V > F” e, pela regra do conectivo → (implica), a proposição composta terá valor lógico F.

03. Resposta “Certo”.

Sabendo que cada uma das servidoras tomou apenas uma das atitudes, basta completar a tabela de acordo com os dados do enunciado:


MATEMÁTICA

A1 A2 A3Roberta F V FRejane V F FRenata F F V

Analisando a questão: Como (a proposição p) “Rejane alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências” tem valor lógico F e (a proposição q) “Renata buscou evitar situações procrastinatórias” tem valor lógico V, a proposição “p → q” pode ser traduzida em “F → V” e, pela regra do conectivo → (implica), o valor lógico da proposição é V.

04. Resposta “A”.

Pelo enunciado, sabemos que a pessoa só fala mentiras as terças, quartas e quintas-feiras. Com o conectivo “e”, para se ter uma verdade, ambas as sentenças devem ser verdadeiras. Assim, nesse problema, é preciso analisar dia a dia e procurar um em que não ocorra contradição.

- Domingo, segunda, sexta, sábado: a sentença é falsa, pois nesses dias a pessoa fala a verdade. Portanto, temos uma contradição.

- Terça e quinta: a sentença é falsa, mas como a pessoa sempre mente na terça e na quinta, não há contradição.

- Quarta: a sentença é verdadeira, mas como a pessoa mente na quarta, há contradição. Então, a alternativa “A” satisfaz ao enunciado.

05. Resposta “C”.

A proposição composta original possui uma divisão principal, que é o fato de Paulo trabalhar de ônibus ou metrô; outro aspecto é o fato de ele levar guarda-chuva e dinheiro trocado. Portanto, o conectivo ∨ é o principal, interligando as duas partes da proposição. Na primeira parte da proposição, ou Paulo vai ao trabalho de ônibus ou vai de metrô. Nesse caso, essa proposição é interligada pelo conectivo “ou”: P ∨ Q.

Já na parte final da proposição, como ele sempre leva um guarda-chuva e também dinheiro trocado, essa parte da proposição é interligada pelo conectivo “e”: R ∨ S. Reunindo então as duas partes da proposição original, obtém-se (P ∨ Q) ∨ (R ∨ S).

Afirmação e Negação

Dada uma proposição, por exemplo “O carro é verde”, todos sabemos, na linguagem corrente, negá-la; no exemplo considerado seria “O carro não é verde”. Se a proposição “O carro é verde” for verdadeira, então “O carro não é verde” é falsa; se “O carro é verde” for falsa, então “O carro não é verde” é verdadeira.

Somos então levados a introduzir, na nossa linguagem matemática, além da afirmação a chamada operação de negação. Seja p uma proposição qualquer; chamaremos negação de p a uma nova proposição, designada por ~p (leia-se “não p”), cujo valor lógico é diferente do de p. Assim, se p for verdadeira, ~p é falsa; se p for falsa, ~p é verdadeira. A tabela do valor lógico da negação é, portanto muito simples:

p ~pV FF V

Por exemplo, são verdadeiras as proposições ~ 2 < 1, ~ (2 +

3)2 = 22 + 32, ~ 52 53 = 56, são falsas as proposições ~ 42 = 16, ~ 2√-27 = -3, ~ (52)3 = 56.

Voltemos a um diálogo... “O nosso Governo não é bom” afirma, convicto, o Antero Gatinho, da oposição, sorvendo lentamente a sua “bica pingada”; “Não é verdade que o nosso Governo não seja bom” riposta, pressurosa, a Manuela Ferrada Lamas (afeta ao partido do Governo) entre dois golos da sua “italiana”. Não narrarei, por pudor, a continuação da história (nem o destino final da “bica pingada” e da “italiana”), mas gostaria de chamar a atenção para a frase da Manuela Ferrada Lamas; consiste ela na negação da frase do Antero Gatinho, frase essa que, por sua vez, era a negação de “O nosso Governo é bom”.

Vemos assim que, na linguagem corrente (mesmo em situações menos dramáticas do que a descrita) utilizamos por vezes a negação de uma negação. Em termos matemáticos, e sendo p uma proposição qualquer, a negação da negação de p escreve-se ~ (~p).

Qual o valor lógico desta proposição? É muito fácil determiná-lo: ~p tem valor lógico contrário a p, ~ (~p) tem valor lógico contrário a ~p, logo ~ (~p) e p têm o mesmo valor lógico.

Podemos portanto afirmar que ~ (~p) ⇔ p (1)

Claro que a propriedade (1) poderia ter sido deduzida de uma tabela de verdade conveniente:

p ~p ~(~p)V F VF V F

A propriedade (1) pode ser generalizada para mais do que duas negações. Tem-se, por exemplo,

~ (~ (~ p)) ⇔ ~ p,~ (~ (~ (~ p))) ⇔ p.

Podemos agora pensar nas propriedades que ligam a negação com as operações já estudadas. Da análise das tabelas de verdade para a equivalência ( ⇔ ) e para a não equivalência ( ⇔) é imediato ver que a negação de uma equivalência é uma não equivalência e vice-versa. Por outras palavras, quaisquer que sejam as proposições p e q, são verdadeiras as proposições seguintes:

(~ (p ⇔ q)) ⇔ (p ⇔ q) (2)(~ (p ⇔ q)) ⇔ (p ⇔ q) (3)

Algo de análogo se passa com os símbolos de igualdade (=) e de desigualdade (≠); assim, sendo a e b dois entes quaisquer, são verdadeiras as seguintes proposições:

(~ a = b) ⇔ (a ≠ b) (4)(~ a ≠ b) ⇔ (a = b) (5)


MATEMÁTICA

De uma forma geral, qualquer que seja o símbolo matemático usado para construir uma certa proposição, uma barra “/” sobre esse símbolo corresponde à negação dessa proposição.

Vejamos agora as interligações entre a negação e as operações de conjunção e de disjunção. Mais especificamente, qual o valor lógico da negação de uma conjunção? E de uma disjunção? Suponhamos que eu digo: “Hoje vou ao cinema e ao teatro”; intuitivamente, negar esta frase é dizer que “Hoje não vou ao cinema ou não vou ao teatro”. A intuição diz-nos que a negação de uma conjunção é a disjunção das negações. De forma análoga, a negação de “Hoje como sopa ou carne”, é “Hoje não como sopa nem como carne”; a intuição sugere-nos que a negação de uma disjunção é a conjunção das negações.

O que acabamos de dizer leva-nos a considerar duas proposições p e q quaisquer e a tentar demonstrar rigorosamente as propriedades

(~ (p ∧ q)) ⇔ ((~ p) ∧ (~ q)) (6)(~ (p ∧ q)) ⇔ ((~ p) ∧ (~ q)) (7)

Claro que uma demonstração de (6) e (7) deverá ser feita à custa de tabelas de verdade convenientes:

p q ~p ~q p ∧ q ~ (p ∧ q) (~p) ∨ (~q)V V F F V F FV F F V F V VF V V F F V VF F V V F V V

p q ~p ~q p ∨ q ~ (p ∨ q) (~p) ∧ (~q)V V F F V F FV F F V V F FF V V F V F FF F V V F V V

As propriedades (6) e (7) são usualmente conhecidas com o nome de primeiras leis de De Morgan.

Questões

01. Dê a negação lógica de cada sentença:a) Nenhum aluno gosta de geometria.b) Tudo o que é bom engorda.c) Existe um país de língua portuguesa na Europa.d) Comprei um CD e um livro.

02. Considere as afirmações seguintes:

(I) Se um político tem muito dinheiro, então ele pode ganhar as eleições.

(II) Se um político não tem muito dinheiro, então ele não pode ganhar as eleições.

(III) Se um político pode ganhar as eleições, então ele tem muito dinheiro.

(IV) Se um político não pode ganhar as eleições, então ele não tem muito dinheiro.

(V) Um político não pode ganhar as eleições, se ele não tem muito dinheiro.

a) Assumindo que (I) é verdadeira, quais das outras afirmações são verdadeiras?

b) Qual é a negação de (I)?c) A afirmação (I) é do tipo p → q. Como ficaria a afirmação q

→ p, chamada recíproca de (I)?d) Como ficaria a afirmação ~q → ~p, chamada contra positiva

de (I)?

03. Escreva a negação das seguintes proposições numa sentença o mais simples possível.

a) É falso que não está frio ou que está chovendo.b) Se as ações caem aumenta o desemprego.c) Ele tem cabelos louros se e somente se tem olhos azuis.d) A condição necessária para ser um bom matemático é saber

lógica.e) Jorge estuda física mas não estuda química.(Expressões da forma “p mas q” devem ser vistas como “p e q”)

04. (ESAF AFC-STN) A afirmação “Alda é alta, ou Bino não é baixo, ou Ciro é calvo” é falsa. Segue-se, pois, que é verdade que:

a) se Bino é baixo, Alda é alta, e se Bino não é baixo, Ciro não é calvo.

b) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino é baixo, Ciro é calvo.c) se Alda é alta, Bino é baixo, e se Bino não é baixo, Ciro

não é calvo.d) se Bino não é baixo, Alda é alta, e se Bino é baixo, Ciro é

calvo.e) se Alda não é alta, Bino não é baixo, e se Ciro é calvo, Bino

não é baixo.

05. Dê a negação das seguintes proposições:a) ( x ϵ A; p(x) ) ^ (Ǝ x ϵ A; q(x))b) (Ǝ x ϵ A; P(X) ) → ( X ϵ A; ̴q(x))c) Existem pessoas inteligentes que não sabem ler nem

escrever.d) Toda pessoa culta é sábia se, e somente se, for inteligente.e) Para todo número primo, a condição suficiente para ser par

é ser igual a 2.

06. Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira:

a) pelo menos um economista não é médico b) nenhum economista é médico c) nenhum médico é economista d) pelo menos um médico não é economista e) todos os não médicos são não economistas

07. A negação da afirmação condicional “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é:

a) se não estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva.b) não está chovendo e eu levo o guarda-chuva.c) não está chovendo e eu não levo o guarda-chuva. d) se estiver chovendo, eu não levo o guarda-chuva. e) está chovendo e eu não levo o guarda-chuva.


MATEMÁTICA

08. Se Carlos é mais velho do que Pedro, então Maria e Julia tem a mesma idade. Se Maria e Julia tem a mesma idade, então João é mais moço do que Pedro. Se João é mais moço do que Pedro, então Carlos é mais velho do que Maria. Ora, Carlos não é mais velho do que Maria. Então:

a) Carlos não é mais velho do que Leila, e João é mais moço do que Pedro.

b) Carlos é mais velho que Pedro, e Maria e Julia tem a mesma idade.

c) Carlos e João são mais moços do que Pedro. d) Carlos é mais velho do que Pedro, e João é mais moço do

que Pedro. e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não

tem a mesma idade.

09. José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo Contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Júlio está enganado. Se Júlio estiver enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido, ou José não ira ao cinema. Verificou - se que Maria está certa. Logo,

a) O filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido. b) Luís e Júlio não estão enganados. c) Júlio está enganado, mas Luís não. d) Luís está enganado, mas Júlio não. e) José não irá ao cinema.

10. Sejam as declarações: Se ele me ama então ele casa comigo. Se ele casa comigo então não vou trabalhar. Ora, se vou ter que trabalhar podemos concluir que:

a) Ele é pobre, mas me ama. b) Ele é rico, mas é pão duro. c) Ele não me ama e eu gosto de trabalhar. d) Ele não casa comigo e não vou trabalhar. e) Ele não me ama e não casa comigo.

Respostas:

01.a) p: Nenhum aluno gosta de geometria.~p: Existe algum aluno que gosta de geometria.

b) p: Tudo o que é bom engorda.~p: Existe algo que é bom e não engorda.

c) p: Existe um país de língua portuguesa na Europa.~p: Qualquer país na Europa não é de língua portuguesa.

d) p: Comprei um CD e um livro.~p: Não comprei um CD ou não comprei um livro.

02. Sejam:p: Um político tem muito dinheiro;q: Ele pode ganhar as eleições.

As afirmações dadas podem ser então escritas na maneira seguinte:

(I) p → q(II) ~p → ~q(III) q → p(IV) ~q → ~p(V) ~p → ~q

a) Assumindo que (I) é verdadeira, apenas a afirmação (IV) é verdadeira.

Para verificar esse fato, vamos examinar as tabelas-verdade:

p q ~p ~q p → q ~p → ~q q → p ~q → ~p ~p → ~q

V V F F V V V V VV F F V F V V F VF V V F V F F V FF F V V V V V V V

Observe que as duas únicas colunas iguais são aquelas em negrito.

b) A negação de (I) é ~(p → q):“Não é verdade que se um político tem muito dinheiro então

ele pode ganhar as eleições”.

Podemos observar essa resolução com um pouco mais de detalhe.

Vejamos: a afirmação p → q é equivalente a ~p ∨ q.

Logo, a afirmação ~ (p → q) é equivalente a ~ (~p ∨ q) que, por sua vez, é equivalente a p ∧ ~q. Vamos verificar essa última equivalência através da tabela-verdade:

p q ~p ~q ~p ∨ q ~ (~p ∨ q) p ∧ ~qV V F F V F FV F F V F V VF V V F V F FF F V V V F F

Logo a equivalência entre ~ (p → q) e p ∧ ~q nos permite dizer que:

“Existe um político que tem muito dinheiro e que não ganha às eleições”.

c) A afirmação recíproca de (I), q → p, é a seguinte:Se ele pode ganhar as eleições, então ele tem muito dinheiro.

d) A afirmação contra positiva de (I), ~q → ~p , é a seguinte:Se ele não pode ganhar as eleições, então ele não tem muito

dinheiro.


MATEMÁTICA

03. a) “Não está frio ou está chovendo”.b) “As ações caem e não aumenta o desemprego”.c) “Ele tem cabelos louros e não tem olhos azuis ou ele tem

olhos azuis e não tem cabelos louros”.d) A proposição é equivalente a “Se é um bom matemático

então sabe lógica”.e) “Jorge não estuda lógica ou estuda química”.

04. Resposta “C”.A questão exige do candidato apenas conhecimentos das

operações lógicas fundamentais. Vamos representar as proposições simples:

p: Alda é altaq: Bino é baixor: Ciro é calvo

Escrevendo o enunciado em linguagem simbólica: p ˅ ~q ˅ r

A afirmação dita no enunciado, representada por p ˅ ~q ˅ r, é falsa. Sabemos que na disjunção entre duas (ou mais) proposições p e q, seu valor lógico será Falsidade somente quando p e q forem ambas falsas (ver tabela-verdade do “ou” que foi apresentada em tópicos anteriores). Na questão, temos não duas, mas três proposições. Então p, q e ~r têm valores lógicos falsidade. Entenderam? De uma outra maneira dizemos: para que a proposição p ˅ ~q ˅ r seja considerada falsa, temos que ter a combinação F ˅ F ˅ F na respectiva tabela-verdade:

p q r ~q p ˅ ~q ˅ r

V V V F V

V V F F V

V F F V V

F V V F V

F F V V V

F V F F F

V F V V VF F F V V

Com isso, descobrimos que “Alda não é alta”, “Bino é baixo” e “Ciro não é calvo”. A questão pede uma proposição composta com valor lógico verdade, a partir dos valores lógicos de p, q e r. Escrevendo cada item em linguagem simbólica temos:

a) q → p ^ ~q → ~rV → F ^ F → VF ^ VFalsidade

b) p → q ^ q → rF → V ^ V → FV ^ FFalsidade

c) p → q ^ ~q → ~rF → V ^ F → VV ^ VVerdade

d) ~q → p ^ q → rF → F ^ V → FV ^ FFalsidade

e) ~p → ~q ^ r → ~qV → F ^ F → FF ^ vFalsidade

05. a) (Ǝ x ϵ A; ~p(x)) ˅ ( x ϵ A; ~q(x)b) (Ǝ x ϵ A; P(X) ) ^ (Ǝ x ϵ A; q(x))c) “Todas as pessoas inteligentes sabem ler ou escrever”d) “Existe pessoa culta que é sábia e não é inteligente ou que

é inteligente e não é sábia”e) “Existe um número primo que é igual a 2 e não é par”

06. Aprendemos que a palavra TODOS é negada por PELO MENOS UM (=ALGUM). Daí, se o enunciado diz que é FALSA a sentença “Todos os economistas são médicos”, o que ela quer na verdade é que façamos a NEGAÇÃO desta frase! Ora, se é mentira que todos os economistas são médicos, é fácil concluirmos que pelo menos um economista não é médico! Alternativa “A”.

07. Resposta “E”. O que a questão pede é a negação de uma condicional. Ora, já aprendemos como se faz isso: mantém-se a primeira parte E nega-se a segunda. Daí, concluiremos o seguinte: “se estiver chovendo, eu levo o guarda-chuva” é igual a: “está chovendo E eu não levo o guarda-chuva”.

08. Se Carlos não é mais velho do que Maria, então João não é mais moço que Pedro Se João não é mais moço que Pedro, então Maria e Julia não tem a mesma idade Se Maria e Julia não tem a mesma idade, então Carlos não é mais velho que Pedro. Logo, a única opção correta é: e) Carlos não é mais velho do que Pedro, e Maria e Julia não tem a mesma idade.

09. Se Maria está certa, então Júlio está enganado. Se Júlio está enganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver enganado, então O Filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme está sendo exibido ou José não irá ao cinema. Logo, concluímos que: José não irá ao cinema. Resposta “E”.

10. Resposta “E”. Vou trabalhar, então, ele não casou comigo. Ele não casou comigo, então, não me ama. Logo, ele não me ama e não casa comigo.

MÉDIAS ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS.

Noção Geral de Média

Considere um conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} e efetue uma certa operação com todos os elementos de A.

Se for possível substituir cada um dos elementos do conjunto A por um número x de modo que o resultado da operação citada seja o mesmo diz-se, por definição, que x será a média dos elementos de A relativa a essa operação.


MATEMÁTICA

Média Aritmética

Definição

A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição é chamada média aritmética.

Cálculo da média aritmética

Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn}, então, por definição:

n parcelase, portanto,

Conclusão

A média aritmética dos n elementos do conjunto numérico A é a soma de todos os seus elementos, dividida por n.

Exemplo

Calcular a média aritmética entre os números 3, 4, 6, 9, e 13.

Resolução

Se x for a média aritmética dos elementos do conjunto (3, 4, 6, 9, 13), então x será a soma dos 5 elementos, dividida por 5. Assim:

A média aritmética é 7.

Média Aritmética Ponderada

Definição

A média dos elementos do conjunto numérico A relativa à adição e na qual cada elemento tem um “determinado peso” é chamada média aritmética ponderada.

Cálculo da média aritmética ponderada

Se x for a média aritmética ponderada dos elementos do conjunto numérico A = {x1; x2; x3; ...; xn} com “pesos” P1; P2; P3; ...; Pn, respectivamente, então, por definição:

P1 . x + P2 . x + P3 . x + ... + Pn . x == P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn (P1 + P2 + P3 + ... + Pn) . x == P1 . x1 + P2 . x2 + P3 . x3 + ... + Pn . xn e, portanto,

Observe que se P1 = P2 = P3 = ... = Pn = 1, então: que é a média aritmética simples.

Conclusão

A média aritmética ponderada dos n elementos do conjunto numérico A é a soma dos produtos de cada elemento multiplicado pelo respectivo peso, dividida pela soma dos pesos.

Exemplo

Calcular a média aritmética ponderada dos números 35, 20 e 10 com pesos 2, 3, e 5, respectivamente.

Resolução

Se x for a média aritmética ponderada, então:

A média aritmética ponderada é 18.

Observação: A palavra média, sem especificar se é aritmética, deve ser entendida como média aritmética.

Exercícios

1. Determine a média aritmética entre 2 e 8.

2. Determine a média aritmética entre 3, 5 e 10.

3. Qual é a média aritmética simples dos números 11, 7, 13 e 9?

4. A média aritmética simples de 4 números pares distintos, pertences ao conjunto dos números inteiros não nulos é igual a 44. Qual é o maior valor que um desses números pode ter?

5. Calcule a média aritmética simples em cada um dos seguin-tes casos:

a) 15; 48; 36b) 80; 71; 95; 100c) 59; 84; 37; 62; 10d) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

6. Qual é a média aritmética ponderada dos números 10, 14, 18 e 30 sabendo-se que os seus pesos são respectivamente 1, 2, 3 e 5?

7. Calcular a média ponderada entre 3, 6 e 8 para os respecti-vos pesos 5 , 3 e 2.

8. Numa turma de 8ª série 10 alunos possuem 14 anos, 12 alunos possuem 15 anos e oito deles 16 anos de idade. Qual será a idade média dessa turma?

9. Determine a média salarial de uma empresa, cuja folha de pagamento é assim discriminada:


MATEMÁTICA

Profissionais → Quantidade → SalárioServentes → 20 profissionais → R$ 320,00Técnicos → 10 profissionais → R$ 840,00Engenheiros → 5 profissionais → R$ 1.600,00

10. Calcule a média ponderada entre 5, 10 e 15 para os respec-tivos pesos 10, 5 e 20.

Respostas

1) Resposta “5”.Solução:M.A. ( 2 e 8 ) = 2 + 8 / 2 = 10 / 2 = 5 → M.A. ( 2 e 8 ) = 5.

2) Resposta “6”.Solução: M.A. ( 3, 5 e 10 ) = 3 + 5 + 10 / 3 = 18 / 3 = 6 → M.A. ( 3, 5

e 10 ) = 6.

3) Resposta “10”.Solução: Para resolver esse exercício basta fazer a soma dos

números e dividi-los por quatro, que é a quantidade de números, portanto:

Logo, a média aritmética é 10.

4) Resposta “164”. Solução: Quando falamos de média aritmética simples, ao di-

minuirmos um dos valores que a compõe, precisamos aumentar a mesma quantidade em outro valor, ou distribuí-la entre vários outros valores, de sorte que a soma total não se altere, se quisermos obter a mesma média.

Neste exercício, três dos elementos devem ter o menor valor possível, de sorte que o quarto elemento tenha o maior valor dentre eles, tal que a média aritmética seja igual a 44. Este será o maior valor que o quarto elemento poderá assumir.

Em função do enunciado, os três menores valores inteiros, pa-res, distintos e não nulos são:2, 4 e 6. Identificando como x este quarto valor, vamos montar a seguinte equação:

Solucionando-a temos:

Logo, o maior valor que um desses números pode ter é 164.

5) Solução:a) (15 + 48 + 36)/3 =99/3 = 33

b) (80 + 71 + 95 + 100)/4=346/4 = 86,5

c) (59 + 84 + 37 + 62 + 10)/5== 252/5= 50,4

d) (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)/9=45/9 == 5

6) Resposta “22”.Solução: Neste caso a solução consiste em multiplicarmos

cada número pelo seu respectivo peso e somarmos todos estes pro-dutos. Este total deve ser então dividido pela soma total dos pesos:

Logo, a média aritmética ponderada é 22.

7) Resposta “4,9”.Solução:

8) Resposta “Solução:

9) Resposta “Solução: Estamos diante de um problema de média aritmética

ponderada, onde as quantidades de profissionais serão os pesos. E com isso calcularemos a média ponderada entre R$ 320,00 , R$ 840,00 e R$ 1 600,00 e seus respectivos pesos 20 , 10 e 5. Portanto:

10) Resposta “11,42”.Solução:

Média Geométrica

Este tipo de média é calculado multiplicando-se todos os valo-res e extraindo-se a raiz de índice n deste produto.

Digamos que tenhamos os números 4, 6 e 9, para obtermos o valor médio geométrico deste conjunto, multiplicamos os elemen-tos e obtemos o produto 216.

Pegamos então este produto e extraímos a sua raiz cúbica, chegando ao valor médio 6.

Extraímos a raiz cúbica, pois o conjunto é composto de 3 ele-mentos. Se fossem n elementos, extrairíamos a raiz de índice n.

Neste exemplo teríamos a seguinte solução:

Utilidades da Média Geométrica

Progressão Geométrica

Uma das utilizações deste tipo de média é na definição de uma progressão geométrica que diz que em toda PG., qualquer termo é média geométrica entre o seu antecedente e o seu consequente:


MATEMÁTICA

Tomemos como exemplo três termos consecutivos de uma PG.: 7, 21 e 63.

Temos então que o termo 21 é média geométrica dos termos 7 e 63.

Vejamos:

Variações Percentuais em Sequência

Outra utilização para este tipo de média é quando estamos tra-balhando com variações percentuais em sequência.

Exemplo

Digamos que uma categoria de operários tenha um aumento salarial de 20% após um mês, 12% após dois meses e 7% após três meses. Qual o percentual médio mensal de aumento desta ca-tegoria?

Sabemos que para acumularmos um aumento de 20%, 12% e 7% sobre o valor de um salário, devemos multiplicá-lo sucessivamente por 1,2, 1,12 e 1,07 que são os fatores correspondentes a tais percentuais.

A partir dai podemos calcular a média geométrica destes fatores:

Como sabemos, um fator de 1, 128741 corresponde a 12, 8741% de aumento.

Este é o valor percentual médio mensal do aumento salarial, ou seja, se aplicarmos três vezes consecutivas o percentual 12, 8741%, no final teremos o mesmo resultado que se tivéssemos aplicado os percentuais 20%, 12% e 7%.

Digamos que o salário desta categoria de operários seja de R$ 1.000,00, aplicando-se os sucessivos aumentos temos:

Salário Inicial

+ % Informado

Salário final

Salário inicial

+ % médio

Salário final

R$ 1.000,00

20%R$

1.200,00R$

1.000,0012, 8417

R$ 1.128,74

R$ 1.200,00

12%R$

1.334,00R$

1.287,7412, 8417

R$ 1.274,06

R$ 1.334,00

7%R$

1.438,00R$

1.274,0612, 8417

R$ 1.438,08

Observe que o resultado final de R$ 1.438,08 é o mesmo nos dois casos. Se tivéssemos utilizado a média aritmética no lugar da média geométrica, os valores finais seriam distintos, pois a média aritmética de 13% resultaria em um salário final de R$ 1.442,90, ligeiramente maior como já era esperado, já que o percentual de 13% utilizado é ligeiramente maior que os 12, 8417% da média geométrica.

Cálculo da Média Geométrica

Em uma fórmula: a média geométrica de a1, a2, ..., an é

A média geométrica de um conjunto de números é sempre menor ou igual à média aritmética dos membros desse conjunto (as duas médias são iguais se e somente se todos os membros do conjunto são iguais). Isso permite a definição da média aritmética geométrica, uma mistura das duas que sempre tem um valor inter-mediário às duas.

A média geométrica é também a média aritmética harmôni-ca no sentido que, se duas sequências (an) e (hn) são definidas:

E

então an e hn convergem para a média geométrica de x e y.

Cálculo da Media Geométrica Triangular

Bom primeiro observamos o mapa e somamos as áreas dos quadrados catetos e dividimos pela hipotenusa e no final pegamos a soma dos ângulos subtraindo o que esta entre os catetos e dividi-mos por PI(3,1415...) assim descobrimos a media geométrica dos triângulos.

Exemplo

A média geométrica entre os números 12, 64, 126 e 345, é dada por:

G = R4[12 ×64×126×345] = 76,013

Aplicação Prática

Dentre todos os retângulos com a área igual a 64 cm², qual é o retângulo cujo perímetro é o menor possível, isto é, o mais econômico? A resposta a este tipo de questão é dada pela média geométrica entre as medidas do comprimento a e da largura b, uma vez que a.b = 64.

A média geométrica G entre a e b fornece a medida desejada.G = R[a × b] = R[64] = 8

Resposta

É o retângulo cujo comprimento mede 8 cm e é lógico que a altura também mede 8 cm, logo só pode ser um quadrado! O perímetro neste caso é p = 32 cm. Em qualquer outra situação em que as medidas dos comprimentos forem diferentes das alturas, teremos perímetros maiores do que 32 cm.


MATEMÁTICA

Interpretação gráfica

A média geométrica entre dois segmentos de reta pode ser obtida geometricamente de uma forma bastante simples.

Sejam AB e BC segmentos de reta. Trace um segmento de reta que contenha a junção dos segmentos AB e BC, de forma que eles formem segmentos consecutivos sobre a mesma reta.

Dessa junção aparecerá um novo segmento AC. Obtenha o ponto médio O deste segmento e com um compasso centrado em O e raio OA, trace uma semi-circunferência começando em A e terminando em C. O segmento vertical traçado para cima a partir de B encontrará o ponto D na semi-circunferência. A medida do segmento BD corresponde à média geométrica das medidas dos segmentos AB e BC.

Exercícios

1. Determine a média proporcional ou geométrica entre 2 e 8.

2. Determine a média geométrica entre 1, 2 e 4.

3. Determine a média geométrica entre dois números sabendo que a média aritmética e a média harmônica entre eles são, respec-tivamente, iguais a 4 e 9.

4. A média geométrica entre 3 números é 4. Quanto devo multiplicar um desses números para que a média aumente 2 uni-dades ?

5. Qual é a média geométrica dos números 2, 4, 8, 16 e 32?

6. Dados dois números quaisquer, a média aritmética simples e a média geométrica deles são respectivamente 20 e 20,5. Quais são estes dois números?

7. A média geométrica entre dois números é igual a 6. Se a eles juntarmos o número 48, qual será a média geométrica entre estes três números?

8. Calcule a média geométrica entre 4 e 9.

9. Calcule a média geométrica entre 3, 3, 9 e 81

10. Calcule a média geométrica entre 1, 1, 1, 32 e 234.

Respostas

1) Resposta “4”.Solução:

2) Resposta “2”.Solução:

Observação: O termo média proporcional deve ser, apenas, utilizado para a média geométrica entre dois números.

3) Resposta “6”.Solução: Aplicando a relação: g2 = a.h, teremos:

g2 = 4.9 → g2 = 36 → g = 6 → MG. (4, 9) = 6.

4) Resposta””.Solução: Se a média geométrica entre 3 números é 4, pode-

mos escrever:

Se multiplicarmos um deles por m, a nova média será:

e como x . y . z = 64 → 64 . m = 216 →

5) Resposta “8”. Solução: Se dispusermos de uma calculadora científica, este

exercício pode ser solucionado multiplicando-se todos os números e extraindo-se do produto final, a raiz de índice cinco, pois se tra-tam de cinco números:

Se não dispusermos de uma calculadora científica esta solução ficaria meio inviável, pois como iríamos extrair tal raiz, isto sem contar na dificuldade em realizarmos as multiplicações?

Repare que todos os números são potência de 2, podemos en-tão escrever:

Como dentro do radical temos um produto de potências de mesma base, somando-se os expoentes temos:

Finalmente dividindo-se o índice e o expoente por 5 e resol-vendo a potência resultante:

Logo, a média geométrica deste conjunto é 8.

6) Resposta “16, 25”.Solução: Chamemos de a e b estes dois números. A média

aritmética deles pode ser expressa como:

Já média geométrica pode ser expressa como:


MATEMÁTICA

Vamos isolar a na primeira equação:

Agora para que possamos solucionar a segunda equação, é ne-cessário que fiquemos com apenas uma variável na mesma. Para conseguirmos isto iremos substituir a por 41 - b:

Note que acabamos obtendo uma equação do segundo grau:

Solucionando a mesma temos:

O número b pode assumir, portanto os valores 16 e 25. É de se esperar, portanto que quando b for igual a 16, que a seja igual a 25 e quando b for igual a 25, que a seja igual a 16. Vamos con-ferir.

Sabemos que , portanto atribuindo a b um de seus possíveis valores, iremos encontrar o valor de a.

Para b = 16 temos:

Para b = 25 temos:

Logo, os dois números são 16, 25.

7) Resposta “12”.Solução: Se chamarmos de P o produto destes dois números,

a partir do que foi dito no enunciado podemos montar a seguinte equação:

Elevando ambos os membros desta equação ao quadrado, ire-mos obter o valor numérico do produto destes dois números:

Agora que sabemos que o produto de um número pelo outro é igual 36, resta-nos multiplicá-lo por 48 e extraímos a raiz cúbica deste novo produto para encontrarmos a média desejada:

Note que para facilitar a extração da raiz cúbica, realizamos a decomposição dos números 36 e 48 em fatores primos. Acesse a página decomposição de um número natural em fatores primos para maiores informações sobre este assunto.

Logo, ao juntarmos o número 48 aos dois números iniciais, a média geométrica passará a ser 12.

8) Resposta “6”.Solução: G = 4.92 = 6

9) Resposta “9”.Solução: G = 3.3.9.814 = 9

10) Resposta “6”.Solução:G = 1.1.1.32.243= 65

PROGRESSÕES ARITMÉTICAS E GEOMÉTRICAS.

Podemos, no nosso dia-a-dia, estabelecer diversas sequências como, por exemplo, a sucessão de cidades que temos numa viagem de automóvel entre Brasília e São Paulo ou a sucessão das datas de aniversário dos alunos de uma determinada escola.

Podemos, também, adotar para essas sequências uma ordem numérica, ou seja, adotando a1 para o 1º termo, a2 para o 2º termo até an para o n-ésimo termo. Dizemos que o termo an é também chamado termo geral das sequências, em que n é um número natural diferente de zero. Evidentemente, daremos atenção ao estudo das sequências numéricas.

As sequências podem ser finitas, quando apresentam um último termo, ou, infinitas, quando não apresentam um último termo. As sequências infinitas são indicadas por reticências no final.

Exemplos:- Sequência dos números primos positivos: (2, 3, 5, 7, 11, 13,

17, 19, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 2; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 11; a6 = 13 etc.

- Sequência dos números ímpares positivos: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...). Notemos que esta é uma sequência infinita com a1 = 1; a2 = 3; a3 = 5; a4 = 7; a5 = 9; a6 = 11 etc.


MATEMÁTICA

- Sequência dos algarismos do sistema decimal de numeração: (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9). Notemos que esta é uma sequência finita com a1 = 0; a2 = 1; a3 = 2; a4 = 3; a5 = 4; a6 = 5; a7 = 6; a8 = 7; a9 = 8; a10 = 9.

1. IgualdadeAs sequências são apresentadas com os seus termos

entre parênteses colocados de forma ordenada. Sucessões que apresentarem os mesmos termos em ordem diferente serão consideradas sucessões diferentes.

Duas sequências só poderão ser consideradas iguais se, e somente se, apresentarem os mesmos termos, na mesma ordem.

ExemploA sequência (x, y, z, t) poderá ser considerada igual à sequência

(5, 8, 15, 17) se, e somente se, x = 5; y = 8; z = 15; e t = 17.Notemos que as sequências (0, 1, 2, 3, 4, 5) e (5, 4, 3, 2, 1) são

diferentes, pois, embora apresentem os mesmos elementos, eles estão em ordem diferente.

2. Formula Termo GeralPodemos apresentar uma sequência através de uma determina

o valor de cada termo an em função do valor de n, ou seja, dependendo da posição do termo. Esta formula que determina o valor do termo an e chamada formula do termo geral da sucessão.

Exemplos - Determinar os cincos primeiros termos da sequência cujo

termo geral e igual a:an = n – 2n,com n € N* a

Teremos:A1 = 12 – 2 . 1 a a1 = 1A2 = 22 – 2 . 2 a a2 = 0A3 = 32 – 2 . 3 a a3 = 3A4 = 42 – 4 . 2 a a4 = 8A5 = 55

– 5 . 2 a a5 = 15

- Determinar os cinco primeiros termos da sequência cujo termo geral é igual a:

an = 3 . n + 2, com n € N*.a1 = 3 . 1 + 2 a a1 = 5a2 = 3 . 2 + 2 a a2 = 8a3 = 3 . 3 + 2 a a3 = 11a4 = 3 . 4 + 2 a a4 = 14a5 = 3 . 5 + 2 a a5 = 17

- Determinar os termos a12 e a23 da sequência cujo termo geral é igual a:

an = 45 – 4 + n, com n € N*.

Teremos:a12 = 45 – 4 . 12 a a12 = -3a23 = 45 – 4 . 23 a a23 = -47

3. Lei de RecorrênciasUma sequência pode ser definida quando oferecemos o valor

do primeiro termo e um “caminho” (uma formula) que permite a determinação de cada termo conhecendo-se o seu antecedente. Essa forma de apresentação de uma sucessão é dita de recorrências.

Exemplos

- Escrever os cinco primeiros termos de uma sequência em que:

a1 = 3 e an+1 = 2 . an - 4, em que n € N*.

Teremos:

a1 = 3a2 = 2 . a1 – 4 a a2 = 2 . 3 – 4 a a2 = 2a3 = 2 . a2 – 4 a a3 = 2 . 2 - 4 a a3 = 0a4 = 2 . a3 – 4 a a4 = 2 . 0 - 4 a a4 = -4a5 = 2 . a4 – 4 a a5 = 2 .(-4) – 4 a a5 = -12

- Determinar o termo a5 de uma sequência em que:

a1 = 12 e an+ 1 = an – 2, em que n € N*.

a2 = a1 – 2 → a2 = 12 – 2 → a2=10a3 = a2 – 2 → a3 = 10 – 2 → a3 = 8a4 = a3 – 2 → a4 = 8 – 2 → a4 = 6a5 = a4 – 2 → a5 = 6 – 2 → a5 = 4

Observação 1

Devemos observar que a apresentação de uma sequência através do termo geral é mais pratica, visto que podemos determinar um termo no “meio” da sequência sem a necessidade de determinarmos os termos intermediários, como ocorre na apresentação da sequência através da lei de recorrências.

Observação 2

Algumas sequências não podem, pela sua forma “desorganizada” de se apresentarem, ser definidas nem pela lei das recorrências, nem pela formula do termo geral. Um exemplo de uma sequência como esta é a sucessão de números naturais primos que já “destruiu” todas as tentativas de se encontrar uma formula geral para seus termos.

4. Artifícios de Resolução

Em diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns elementos da PA, é possível, através de artifícios de resolução, tornar o procedimento mais simples:

PA com três termos: (a – r), a e (a + r), razão igual a r.PA com quatro termos: (a – 3r), (a – r), (a + r) e (a + 3r), razão

igual a 2r.PA com cinco termos: (a – 2r), (a – r), a, (a + r) e (a + 2r),

razão igual a r.

Exemplo

- Determinar os números a, b e c cuja soma é, igual a 15, o produto é igual a 105 e formam uma PA crescente.


MATEMÁTICA

Teremos:

Fazendo a = (b – r) e c = (b + r) e sendo a + b + c = 15, teremos:(b – r) + b + (b + r) = 15 → 3b = 15 → b = 5.

Assim, um dos números, o termo médio da PA, já é conhecido.Dessa forma a sequência passa a ser:(5 – r), 5 e ( 5 + r ), cujo produto é igual a 105, ou seja:

(5 – r) .5 . (5 + r) = 105 → 52 – r2 = 21r2 = 4 → 2 ou r = -2.Sendo a PA crescente, ficaremos apenas com r= 2.Finalmente, teremos a = 3, b = 5 e c= 7.

5. Propriedades

P1: para três termos consecutivos de uma PA, o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos.

Exemplo

Vamos considerar três termos consecutivos de uma PA: an-1, an e an+1. Podemos afirmar que:

I - an = an-1 + rII - an = an+ 1 –r

Fazendo I + II, obteremos:2an = an-1 + r + an +1 - r2an = an -1+ an + 1

Logo: an = an-1 + an+1 2

Portanto, para três termos consecutivos de uma PA o termo médio é a media aritmética dos outros dois termos.

6. Termos Equidistantes dos Extremos Numa sequência finita, dizemos que dois termos são

equidistantes dos extremos se a quantidade de termos que precederem o primeiro deles for igual à quantidade de termos que sucederem ao outro termo. Assim, na sucessão:

(a1, a2, a3, a4,..., ap,..., ak,..., an-3, an-2, an-1, an), temos:

a2 e an-1 são termos equidistantes dos extremos;a3 e an-2 são termos equidistantes dos extremos;a4 an-3 são termos equidistantes dos extremos.

Notemos que sempre que dois termos são equudistantes dos extremos, a soma dos seus índices é igual ao valor de n + 1. Assim sendo, podemos generalizar que, se os termos ap e ak são equidistantes dos extremos, então: p + k = n+1.

Propriedade

Numa PA com n termos, a soma de dois termos equidistantes dos extremos é igual à soma destes extremos.

Exemplo

Sejam, numa PA de n termos, ap e ak termos equidistantes dos extremos.

Teremos, então:I - ap = a1 + (p – 1) . r a ap = a1 + p . r – rII - ak = a1 + (k – 1) . r a ak = a1 + k . r – rFazendo I + II, teremos:Ap + ak = a1 + p . r – r + a1 + k . r – rAp + ak = a1 + a1 + (p + k – 1 – 1) . r

Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:ap + ak = a1 + a1 + (n + 1 – 1) . rap + ak = a1 + a1 + (n – 1) . rap + ak = a1 + an

Portanto numa PA com n termos, em que n é um numero ímpar, o termo médios (am) é a media aritmética dos extremos. Am = a1 + an

2

7. Soma dos n Primeiros Termos de uma PA

Vamos considerar a PA (a1, a2, a3,…,an-2, an-1,an ) e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:

Sn = a1 + a2 + a3 + …+ an-2 + an-1 + an (igualdade I)

Podemos escrever também: Sn = an + an-1 + an-2 + ...+ a3 + a2 + a1 (igualdade II)

Somando-se I e II, temos:2Sn = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …+ (an-2 + a3) + (an-1

+ a2) + (an + a1)

Considerando que todas estas parcelas, colocadas entre parênteses, são formadas por termos equidistantes dos extremos e que a soma destes termos é igual à soma dos extremos, temos:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + +… + (a1 + an) → 2Sn = ( a1 + an) . n

E, assim, finalmente:Sn = (a1 + an) . n 2

Exemplo

- Ache a soma dos sessenta primeiros termos da PA (2 , 5, 8,...).

Dados: a1 = 2 r = 5 – 2 = 3

Calculo de a60:A60 = a1 + 59r → a60 = 2 + 59 . 3 a60 = 2 + 177 a60 = 179


MATEMÁTICA

Calculo da soma:Sn = (a1 + an) n → S60 = (a1 + a60) . 60 2 2

S60 = (2 + 179) . 60 2

S60 = 5430

Resposta: 5430

Progressão Geométrica (PG)

PG é uma sequência numérica onde cada termo, a partir do segundo, é o anterior multiplicado por uma constante q chamada razão da PG.

an+1 = an . qCom a1 conhecido e n € N*

Exemplos- (3, 6, 12, 24, 48,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 3 e

razão q = 2.- (-36, -18, -9, , ,...) é uma PG de primeiro termo a1=

-36 e razão q = .- (15, 5, , ,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 15 e razão

q = .- (-2, -6, -18, -54, ...) é uma PG de primeiro termo a1 = -2 e

razão q = 3.- (1, -3, 9, -27, 81, -243, ...) é uma PG de primeiro termo a1 =

1 e razão q = -3.- (5, 5, 5, 5, 5, 5,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 5 e

razão q = 1.- (7, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 7 e

razão q = 0.- (0, 0, 0, 0, 0, 0,...) é uma PG de primeiro termo a1 = 0 e razão

q qualquer.

Observação: Para determinar a razão de uma PG, basta efetuar o quociente entre dois termos consecutivos: o posterior dividido pelo anterior.

q = an+1 (an ≠0) an

ClassificaçãoAs classificações geométricas são classificadas assim:- Crescente: Quando cada termo é maior que o anterior. Isto

ocorre quando a1 > 0 e q > 1 ou quando a1 < 0 e 0 < q < 1.- Decrescente: Quando cada termo é menor que o anterior. Isto

ocorre quando a1 > 0 e 0 < q < 1 ou quando a1 < 0 e q > 1.- Alternante: Quando cada termo apresenta sinal contrario ao

do anterior. Isto ocorre quando q < 0.- Constante: Quando todos os termos são iguais. Isto ocorre

quando q = 1. Uma PG constante é também uma PA de razão r = 0. A PG constante é também chamada de PG estacionaria.

- Singular: Quando zero é um dos seus termos. Isto ocorre quando a1 = 0 ou q = 0.

Formula do Termo GeralA definição de PG está sendo apresentada por meio de uma

lei de recorrências, e nos já aprendemos nos módulos anteriores que a formula do termo geral é mais pratica. Por isso, estaremos, neste item, procurando estabelecer, a partir da lei de recorrências, a fórmula do termo geral da progressão geométrica.

Vamos considerar uma PG de primeiro termo a1 e razão q. Assim, teremos:

a2 = a1 . qa3 = a2 . q = a1 . q

2

a4 = a3 . q = a1 . q3

a5 = a4 . q = a1 . q4

. .

. .

. . an= a1 . q

n-1

Exemplos- Numa PG de primeiro termo a1 = 2 e razão q = 3, temos o

termo geral na igual a:

an = a1 . qn-1 → an = 2 . 3n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a5 desta PG, faremos:A5 = 2 . 34 → a5 = 162

- Numa PG de termo a1 = 15 e razão q = , temos o termo geral na igual a:

an = a1 . qn-1 → an = 15 . n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a6 desta PG, faremos:

A6 = 15 . → a6 =

- Numa PG de primeiro termo a1 = 1 e razão = -3 temos o termo geral na igual a:

an = a1 . qn-1 → an = 1 . (-3)n-1

Assim, se quisermos determinar o termo a4 desta PG, faremos:A4 = 1 . (-3)3 → a4 = -27

Artifícios de ResoluçãoEm diversas situações, quando fazemos uso de apenas alguns

elementos da PG, é possível através de alguns elementos de resolução, tornar o procedimento mais simples.

PG com três termos:

a; aq

PG com quatro termos:

; ; aq; aq3

PG com cinco termos:

; ; a; aq; aq2


MATEMÁTICA

ExemploConsidere uma PG crescente formada de três números.

Determine esta PG sabendo que a soma destes números é 13 e o produto é 27.

Vamos considerar a PG em questão formada pelos termos a, b e c, onde a = e c = b . q.

Assim,. b . bq = 27 → b3 = 27 → b = 3.

Temos: + 3 +3q = 13 → 3q2 – 10q + 3 = 0 a

q = 3 ou q = Sendo a PG crescente, consideramos apenas q = 3. E, assim, a

nossa PG é dada pelos números: 1, 3 e 9.

PropriedadesP1: Para três termos consecutivos de uma PG, o quadrado do

termo médio é igual ao produto dos outros dois.

ExemploVamos considerar três termos consecutivos de uma PG: an-1, an

e an+1. Podemos afirmar que:

I – an = an-1 . q eII – an = an+1 q

Fazendo I . II, obteremos:

(an)2 = (an-1 . q). ( an+1 ) a (an )

2 = an-1 . an+1 q

Logo: (an)2 = an-1 . an+1

Observação: Se a PG for positive, o termo médio será a media geométrica dos outros dois:

an = √an-1 . an+1

P2: Numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.

ExemploSejam, numa PG de n termos, ap e ak dois termos equidistantes

dos extremos.

Teremos, então:I – ap = a1 . q

p-1

II – ak = a1 . qk-1

Multiplicando I por II, ficaremos com:ap . ak = a1 . q

p-1 . a1 . qk-1

ap . ak = a1 . a1 . qp-1+k-1

Considerando que p + k = n + 1, ficamos com:ap . ak = a1 . an

Portanto, numa PG, com n termos, o produto de dois termos equidistantes dos extremos é igual ao produto destes extremos.

Observação: Numa PG positiva, com n termos, onde n é um numero impar, o termo médio (am) é a media geométrica dos extremos ou de 2 termos equidistantes dos extremos.

am = √a1 . an

Soma dos termos de uma PGSoma dos n Primeiros Termos de uma PGVamos considerar a PG (a1, a2, a3, ..., an-2, an-1, an), com q

diferente de 1 e representar por Sn a soma dos seus n termos, ou seja:

Sn = a1 + a2 + a3 + ...+an-2 + an-1 + an ( igualdade I)Podemos escrever, multiplicando-se, membro a membro, a

igualdade ( I ) por q:q . Sn = q . a1 + q . a2 + q . a3 + ...+ q . an-2 + + q . an-1 + q . an

Utilizando a formula do termo geral da PG, ou seja, an = a1 . qn-1, teremos:

q . Sn = a2 + a3 + ... + an-2 + an-1 + an + a1 . qn

(igualdade II)

Subtraindo-se a equação I da equação II, teremos:

q . Sn – Sn = a1 . qn – a1 → sn . (q – 1) =

= a1 . (qn – 1)

E assim: Sn= a1 . (qn – 1)

q – 1

Se tivéssemos efetuado a subtração das equações em ordem inversa, a fórmula da soma dos termos da PG ficaria:

Sn = a1 . (1 – qn) 1 – q

Evidentemente que por qualquer um dos “caminhos” o resultado final é o mesmo. É somente uma questão de forma de apresentação.

Observação: Para q = 1, teremos sn = n . a1

Série Convergente – PG ConvergenteDada a sequência ( a1, a2, a3, a4, a5,..., an-2, an-1, an), chamamos

de serie a sequência S1, S2, S3, S4, S5,..., Sn-2, sn-1, sn,tal que:

S1 = a1S2 = a1 + a2S3 = a1 + a2 + a3S4 = a1 + a2 + a3 + a4S5 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5

.

.

.Sn-2 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2Sn-1 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1Sn = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + ...+ an-2 + an-1 + an


MATEMÁTICA

Vamos observar como exemplo, numa PG com primeiro termo a1 = 4 e razão q = , à série que ela vai gerar.

Os termos que vão determinar a progressão geométrica são: (4, 2, 1, , 1, 1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, , , , ...)

E, portanto, a série correspondente será:

S1 = 4S2 = 4 + 2 = 6S3 = 4 + 2 + 1 = 7S4 = 4 + 2 + 1 + = = 7, 5S5 = 4 + 2 + 1 + + = = 7, 75S6 = 4 + 2 + 1 + + + = = 7, 875S7 = 4 + 2 + 1 + + + + = = 7, 9375S8 = 4 + 2 + 1 + + + + + = = 7, 96875S9 = 4 + 2 + 1 + + + + + + = = 7, 984375S10 = 4 + 2 + 1 + + + + + + + = = 7, 9921875 Devemos notar que a cada novo termo calculado, na PG, o seu

valor numérico cada vez mais se aproxima de zero. Dizemos que esta é uma progressão geométrica convergente.

Por outro lado, na serie, é cada vez menor a parcela que se acrescenta. Desta forma, o ultimo termos da serie vai tendendo a um valor que parece ser o limite para a série em estudo. No exemplo numérico, estudado anteriormente, nota-se claramente que este valor limite é o numero 8.

Bem, vamos dar a esta discussão um caráter matemático.É claro que, para a PG ser convergente, é necessário que cada

termo seja, um valor absoluto, inferior ao anterior a ele. Assim, temos que:

PG convergente → | q | < 1ouPG convergente → -1 < 1

Resta estabelecermos o limite da serie, que é o Sn para quando n tende ao infinito, ou seja, estabelecermos a soma dos infinitos termos da PG convergente.

Vamos partir da soma dos n primeiros termos da PG: Sn = a1 . (1 – qn) 1 – q

Estando q entre os números -1e 1 e, sendo n um expoente que tende a um valor muito grande, pois estamos somando os infinitos termos desta PG, é fácil deduzir que qn vai apresentando um valor cada vez mais próximo de zero. Para valores extremamente grandes de n não constitui erro considerar que qn é igual a zero. E, assim, teremos:

S = a1 1 – q

Observação: Quando a PG é não singular (sequência com termos não nulos) e a razão q é de tal forma que q | ≥ 1, a serie é divergente. Séries divergentes não apresentam soma finita.

Exemplos

- A medida do lado de um triângulo equilátero é 10. Unindo-se os pontos médios de seus lados, obtém-se o segundo triângulo equilátero. Unindo-se os pontos médios dos lados deste novo triangulo equilátero, obtém-se um terceiro, e assim por diante, indefinidamente. Calcule a soma dos perímetros de todos esses triângulos.

Solução:

Temos: perímetro do 1º triangulo = 30 perímetro do 2º triangulo = 15 perímetro do 3º triangulo =

Logo, devemos calcular a soma dos termos da PG infinita 30, 15, ,... na qual a1 = 30 e q =.

S = a1 → s = = 60.

Exercícios

1. Uma progressão aritmética e uma progressão geométrica têm, ambas, o primeiro termo igual a 4, sendo que os seus tercei-ros termos são estritamente positivos e coincidem. Sabe-se ainda que o segundo termo da progressão aritmética excede o segundo termo da progressão geométrica em 2. Então, o terceiro termo das progressões é:

a) 10b) 12c) 14d) 16e) 18

2. O valor de n que torna a sequência (2 + 3n; –5n; 1 – 4n) uma progressão aritmética pertence ao intervalo:

a) [– 2, –1]b) [– 1, 0]c) [0, 1]d) [1, 2]e) [2, 3]

3. Os termos da sequência (10; 8; 11; 9; 12; 10; 13; …) obe-decem a uma lei de formação. Se an, em que n pertence a N*, é o termo de ordem n dessa sequência, então a30 + a55 é igual a:

a) 58b) 59c) 60d) 61e) 62


MATEMÁTICA

4. A soma dos elementos da sequência numérica infinita (3; 0,9; 0,09; 0,009; …) é:

a) 3,1b) 3,9c) 3,99d) 3, 999e) 4

5. A soma dos vinte primeiros termos de uma progressão arit-mética é -15. A soma do sexto termo dessa PA., com o décimo quinto termo, vale:

a) 3,0b) 1,0c) 1,5d) -1,5e) -3,0

6. Os números que expressam os ângulos de um quadrilátero, estão em progressão geométrica de razão 2. Um desses ângulos mede:

a) 28°b) 32°c) 36°d) 48°e) 50°

7. Sabe-se que S = 9 + 99 + 999 + 9999 + ... + 999...9 onde a última parcela contém n algarismos. Nestas condições, o valor de 10n+1 - 9(S + n) é:

a) 1b) 10c) 100d) -1e) -10

8. Se a soma dos três primeiros termos de uma PG decrescente é 39 e o seu produto é 729, então sendo a, b e c os três primeiros termos, pede-se calcular o valor de a2 + b2 + c2.

9. O limite da expressão onde x é po-sitivo, quando o número de radicais aumenta indefinidamente é igual a:

a) 1/xb) xc) 2xd) n.xe) 1978x

10. Quantos números inteiros existem, de 1000 a 10000, que não são divisíveis nem por 5 nem por 7 ?

Respostas

1) Resposta “D”.Solução:Sejam (a1, a2, a3,…) a PA de r e (g1, g2, g3, …) a PG de razão q.

Temos como condições iniciais:1 - a1 = g1 = 42 - a3 > 0, g3 > 0 e a3 = g33 - a2 = g2 + 2

Reescrevendo (2) e (3) utilizando as fórmulas gerais dos ter-mos de uma PA e de uma PG e (1) obtemos o seguinte sistema de equações:

4 - a3 = a1 + 2r e g3 = g1 . q2 → 4 + 2r = 4q2

5 - a2 = a1 + r e g2 = g1 . q → 4 + r = 4q + 2

Expressando, a partir da equação (5), o valor de r em função de q e substituindo r em (4) vem:

5 - r = 4q + 2 – 4 → r = 4q – 24 - 4 + 2(4q – 2) = 4q2 → 4 + 8q – 4 = 4q2 → 4q2 – 8q = 0→ q(4q – 8) = 0 → q = 0 ou 4q – 8 = 0 → q = 2

Como g3 > 0, q não pode ser zero e então q = 2. Para ob-ter r basta substituir q na equação (5):

r = 4q – 2 → r = 8 – 2 = 6Para concluir calculamos a3 e g3:a3 = a1 + 2r → a3 = 4 + 12 = 16g3 = g1.q

2 → g3 = 4.4 = 16

2) Resposta “B”.Solução: Para que a sequência se torne uma PA de razão r é

necessário que seus três termos satisfaçam as igualdades (aplica-ção da definição de PA):

(1) -5n = 2 + 3n + r(2) 1 – 4n = -5n + r

Determinando o valor de r em (1) e substituindo em (2):(1) → r = -5n – 2 – 3n = -8n – 2(2) → 1 – 4n = -5n – 8n – 2 → 1 – 4n = -13n – 2→ 13n – 4n = -2 – 1 → 9n = -3 → n = -3/9 = -1/3

Ou seja, -1 < n < 0 e, portanto, a resposta correta é a b.

3) Resposta “B”.Solução: Primeiro, observe que os termos ímpares da sequên-

cia é uma PA de razão 1 e primeiro termo 10 - (10; 11; 12; 13; …). Da mesma forma os termos pares é uma PA de razão 1 e primeiro termo igual a 8 - (8; 9; 10; 11; …).

Assim, as duas PA têm como termo geral o seguinte formato:(1) ai = a1 + (i - 1).1 = a1 + i – 1

Para determinar a30 + a55 precisamos estabelecer a regra geral de formação da sequência, que está intrinsecamente relacionada às duas progressões da seguinte forma:

- Se n (índice da sucessão) é impar temos que n = 2i - 1, ou seja, i = (n + 1)/2;

- Se n é par temos n = 2i ou i = n/2.Daqui e de (1) obtemos que:an = 10 + [(n + 1)/2] - 1 se n é ímparan = 8 + (n/2) - 1 se n é parLogo:a30 = 8 + (30/2) - 1 = 8 + 15 - 1 = 22 ea55 = 10 + [(55 + 1)/2] - 1 = 37

E, portanto:a30 + a55 = 22 + 37 = 59.


MATEMÁTICA

4) Resposta “E”.Solução: Sejam S as somas dos elementos da sequência e S1

a soma da PG infinita (0,9; 0,09; 0,009;…) de razão q = 10 - 1 = 0,1. Assim:

S = 3 + S1Como -1 < q < 1 podemos aplicar a fórmula da soma de uma

PG infinita para obter S1:S1 = 0,9/(1 - 0,1) = 0,9/0,9 = 1 → S = 3 + 1 = 4

5) Resposta “D”.Solução: Aplicando a fórmula da soma dos 20 primeiros ter-

mos da PA:S20 = 20(a1 + a20)/2 = -15Na PA finita de 20 termos, o sexto e o décimo quinto são equi-

distantes dos extremos, uma vez que:15 + 6 = 20 + 1 = 21E, portanto:a6 + a15 = a1 + a20

Substituindo este valor na primeira igualdade vem:20(a6 + a15)/2 = -15 → 10(a6 + a15) = -15 → a6 + a15 = -15/10

= -1,5.

6) Resposta “D”.Solução: Seja x o menor ângulo interno do quadrilátero em

questão. Como os ângulos estão em Progressão Geométrica de ra-zão 2, podemos escrever a PG de 4 termos:

(x, 2x, 4x, 8x).Ora, a soma dos ângulos internos de um quadrilátero vale

360º.

Logo,x + 2x + 4x + 8x = 360º15.x = 360º

Portanto, x = 24º. Os ângulos do quadrilátero são, portan-to: 24º, 48º, 96º e 192º.

O problema pede um dos ângulos. Logo, alternativa D.

7) Resposta “B”.Solução: Observe que podemos escrever a soma S como:S = (10 – 1) + (100 – 1) + (1000 – 1) + (10000 – 1) + ... +

(10n – 1)S = (10 – 1) + (102 – 1) + (103 – 1) + (104 – 1) + ... + (10n – 1)Como existem n parcelas, observe que o número (– 1) é soma-

do n vezes, resultando em n(-1) = - n.

Logo, poderemos escrever:S = (10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n ) – n

Vamos calcular a soma Sn = 10 + 102 + 103 + 104 + ... + 10n, que é uma PG de primeiro termo a1 = 10, razão q = 10 e último termo an = 10n.

Teremos:Sn = (an.q – a1) / (q –1) = (10n . 10 – 10) / (10 – 1) = (10n+1 – 10)

/ 9

Substituindo em S, vem:S = [(10n+1 – 10) / 9] – nDeseja-se calcular o valor de 10n+1 - 9(S + n)Temos que S + n = [(10n+1 – 10) / 9] – n + n = (10n+1 – 10) / 9

Substituindo o valor de S + n encontrado acima, fica:10n+1 – 9(S + n) = 10n+1 – 9(10n+1 – 10) / 9 = 10n+1 – (10n+1 – 10)

= 10.

8) Resposta “819”.Solução: Sendo q a razão da PG, poderemos escrever a sua

forma genérica: (x/q, x, xq).Como o produto dos 3 termos vale 729, vem:x/q . x . xq = 729 de onde concluímos que: x3 = 729 = 36 = 33 .

33 = 93 , logo, x = 9.

Portanto a PG é do tipo: 9/q, 9, 9qÉ dado que a soma dos 3 termos vale 39, logo:9/q + 9 + 9q = 39 de onde vem: 9/q + 9q – 30 = 0

Multiplicando ambos os membros por q, fica: 9 + 9q2 – 30q = 0Dividindo por 3 e ordenando, fica: 3q2 – 10q + 3 = 0, que é

uma equação do segundo grau.Resolvendo a equação do segundo grau acima encontraremos

q = 3 ou q = 1/3.Como é dito que a PG é decrescente, devemos considerar ape-

nas o valor q = 1/3, já que para q = 3, a PG seria crescente.

Portanto, a PG é: 9/q, 9, 9q, ou substituindo o valor de q vem: 27, 9, 3.

O problema pede a soma dos quadrados, logo:a2 + b2 + c2 = 272 + 92 + 32 = 729 + 81 + 9 = 819.

9) Resposta “B”.Solução: Observe que a expressão dada pode ser escrita como:

x1/2. x1/4 . x1/8 . x1/16 . ... = x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ...

O expoente é a soma dos termos de uma PG infinita de primei-ro termo a1 = 1 /2 e razão q = 1 /2.

Logo, a soma valerá:S = a1 / (1 – q) = (1 /2) / 1 – (1 /2) = 1Então, x1/2 + 1 / 4 + 1/8 + 1/16 + ... = x1 = x

10) Resposta “6171”.Solução: Dados:M(5) = 1000, 1005, ..., 9995, 10000.M(7) = 1001, 1008, ..., 9996.M(35) = 1015, 1050, ... , 9975.M(1) = 1, 2, ..., 10000.

Para múltiplos de 5, temos: an = a1+ (n-1).r → 10000 = 1000 + (n - 1). 5 → n = 9005/5 → n = 1801.

Para múltiplos de 7, temos: an = a1+ (n-1).r → 9996 = 1001 + (n - 1). 7 → n = 9002/7 → n = 1286.

Para múltiplos de 35, temos: an = a1 + (n - 1).r → 9975 = 1015 + (n - 1).35 → n = 8995/35 → n = 257.


MATEMÁTICA

Para múltiplos de 1, temos: an = a1 = (n -1).r → 10000 = 1000 + (n - 1).1 → n = 9001.

Sabemos que os múltiplos de 35 são múltiplos comuns de 5 e 7, isto é, eles aparecem no conjunto dos múltiplos de 5 e no conjunto dos múltiplos de 7 (daí adicionarmos uma vez tal conjunto de múltiplos).

Total = M(1) - M(5) - M(7) + M(35).Total = 9001 - 1801 - 1286 + 257 = 6171

ANÁLISE COMBINATÓRIA.

Análise Combinatória

Análise combinatória é uma parte da matemática que estuda, ou melhor, calcula o número de possibilidades, e estuda os métodos de contagem que existem em acertar algum número em jogos de azar. Esse tipo de cálculo nasceu no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), chamado também de Tartaglia. Depois, apareceram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A análise desenvolve métodos que permitem contar, indiretamente, o número de elementos de um conjunto. Por exemplo, se quiser saber quantos números de quatro algarismos são formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e 9, é preciso aplicar as propriedades da análise combinatória. Veja quais propriedades existem:

- Princípio fundamental da contagem- Fatorial- Arranjos simples- Permutação simples- Combinação- Permutação com elementos repetidos

Princípio fundamental da contagem: é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer. O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes:

• O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos.• O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos.

Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n

Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual o modelo e a cor do seu novo veículo. Na concessionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata. Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer?

Resolução: Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Alice tem 3×5 opções para fazer, ou seja,ela poderá optar por 15 carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de possibilidades:

Generalizações: Um acontecimento é formado por k estágios sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, … , nk possibilidades para cada. O total de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é n1, n2, n3, … , nk

Técnicas de contagem: Na Técnica de contagem não importa a ordem.

Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10 elementos diferentes, e os agrupamentos ab, ac e ca”.

ab e ac são agrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam pela natureza de um dos elemento.

ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem dos elementos.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com estes algarismos pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13 e 31 são considerados distintos, pois indicam números diferentes.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos, A = {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e com estes pontos pretendemos obter retas, neste caso os agrupamentos

são iguais, pois indicam a mesma reta.

Conclusão: Os agrupamentos...

1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos, os agrupamentos serão considerados distintos.

ac = ca, neste caso os agrupamentos são denominados combinações.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema é saber quantas retas esses pontos determinam.


MATEMÁTICA

2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem de seus elementos, os problemas de contagem serão agrupados e considerados distintos.

ac ≠ ca, neste caso os agrupamentos são denominados arranjos.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o problema é contar os números por eles determinados.

Fatorial: Na matemática, o fatorial de um número natural n, representado por n!, é o produto de todos os inteiros positivos menores ou iguais a n. A notação n! foi introduzida por Christian Kramp em 1808. A função fatorial é normalmente definida por:

Por exemplo, 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 = 120

Note que esta definição implica em particular que 0! = 1, porque o produto vazio, isto é, o produto de nenhum número é 1. Deve-se prestar atenção neste valor, pois este faz com que a função recursiva (n + 1)! = n! . (n + 1) funcione para n = 0.

Os fatoriais são importantes em análise combinatória. Por exemplo, existem n! caminhos diferentes de arranjar n objetos distintos numa sequência. (Os arranjos são chamados permutações) E o número de opções que podem ser escolhidos é dado pelo coeficiente binomial.

Arranjos simples: são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos n elementos de A, são os agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela natureza ou pela ordem de seus elementos.

Cálculos do número de arranjos simples:

Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de A, tomados k a k:

n → possibilidades na escolha do 1º elemento.n - 1 → possibilidades na escolha do 2º elemento, pois um

deles já foi usado.n - 2 → possibilidades na escolha do 3º elemento, pois dois

deles já foi usado....n - (k - 1) → possibilidades na escolha do kº elemento, pois

l-1 deles já foi usado.

No Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total de arranjos simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:

An,k = n (n - 1) . (n - 2) . ... . (n – k + 1) (é o produto de k fatores)

Multiplicando e dividindo por (n – k)!

Note que n (n – 1) . (n – 2). ... .(n – k + 1) . (n – k)! = n!

Podemos também escrever

Permutações: Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de A, são denominados permutações simples de n elementos. De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.

Cálculo do número de permutação simples:

O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na fórmula An,k = n (n – 1) (n – 2) . … . (n – k + 1), temos:

Pn = An,n= n (n – 1) (n – 2) . … . (n – n + 1) = (n – 1) (n – 2) . … .1 = n!

Portanto: Pn = n!

Combinações Simples: são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Considere A como um conjunto com n elementos k um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações simples k a k, dos n elementos de A.

Exemplo: Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com elementos distintos. Com os elementos de A podemos formar 4 combinações de três elementos cada uma: abc – abd – acd – bcd

Se trocarmos ps 3 elementos de uma delas:

Exemplo: abc, obteremos P3 = 6 arranjos disdintos.

abc abd acd bcdacbbacbcacabcba


MATEMÁTICA

Se trocarmos os 3 elementos das 4 combinações obtemos todos os arranjos 3 a 3:

abc abd acd bcdacb adb adc bdcbac bad cad cbdbca bda cda cdbcab dab dac dbccba dba dca dcb

(4 combinações) x (6 permutações) = 24 arranjos

Logo: C4,3 . P3 = A4,3

Cálculo do número de combinações simples: O número total de combinações simples dos n elementos de A representados por C n,k, tomados k a k, analogicamente ao exemplo apresentado, temos:

a) Trocando os k elementos de uma combinação k a k, obtemos Pk arranjos distintos.

b) Trocando os k elementos das Cn,k . Pk arranjos distintos.

Portanto: Cn,k . Pk = An,k ou

n,kn,k

k

AC =

P

Lembrando que:

Também pode ser escrito assim:

Arranjos Completos: Arranjos completos de n elementos, de k a k são os arranjos de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular os arranjos completos, deve-se levar em consideração os arranjos com elementos distintos (arranjos simples) e os elementos repetidos. O total de arranjos completos de n elementos, de k a k, é indicado simbolicamente por A*n,k dado por: A*n,k = nk

Permutações com elementos repetidos

Considerando:

α elementos iguais a a,β elementos iguais a b,γ elementos iguais a c, …,λ elementos iguais a l,

Totalizando em α + β + γ + … λ = n elementos.

Simbolicamente representado por Pnα, β, γ, …, λ o número

de permutações distintas que é possível formarmos com os n elementos:

Combinações Completas: Combinações completas de n elementos, de k a k, são combinações de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as combinações completas devemos levar em consideração as combinações com elementos distintos (combinações simples) e as combinações com elementos repetidos. O total de combinações completas de n elementos, de k a k, indicado por C*n,k

QUESTÕES

01. Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 7 e 8?

02. Organiza-se um campeonato de futebol com 14 clubes, sendo a disputa feita em dois turnos, para que cada clube enfrente o outro no seu campo e no campo deste. O número total de jogos a serem realizados é:

(A)182(B) 91(C)169(D)196(E)160

03. Deseja-se criar uma senha para os usuários de um sistema, começando por três letras escolhidas entre as cinco A, B, C, D e E, seguidas de quatro algarismos escolhidos entre 0, 2, 4, 6 e 8. Se entre as letras puder haver repetição, mas se os algarismos forem todos distintos, o número total de senhas possíveis é:

(A) 78.125(B) 7.200(C) 15.000(D) 6.420(E) 50

04. (UFTM) – João pediu que Cláudia fizesse cartões com todas as permutações da palavra AVIAÇÃO. Cláudia executou a tarefa considerando as letras A e Ã como diferentes, contudo, João queria que elas fossem consideradas como mesma letra. A diferença entre o número de cartões feitos por Cláudia e o número de cartões esperados por João é igual a

(A) 720(B) 1.680(C) 2.420(D) 3.360(E) 4.320


MATEMÁTICA

05. (UNIFESP) – As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa lista é

(A) PROVA.(B) VAPOR.(C) RAPOV.(D) ROVAP.(E) RAOPV.

06. (MACKENZIE) – Numa empresa existem 10 diretores, dos quais 6 estão sob suspeita de corrupção. Para que se analisem as suspeitas, será formada uma comissão especial com 5 diretores, na qual os suspeitos não sejam maioria. O número de possíveis comissões é:

(A) 66(B) 72(C) 90(D) 120(E) 124

07. (ESPCEX) – A equipe de professores de uma escola possui um banco de questões de matemática composto de 5 questões sobre parábolas, 4 sobre circunferências e 4 sobre retas. De quantas maneiras distintas a equipe pode montar uma prova com 8 questões, sendo 3 de parábolas, 2 de circunferências e 3 de retas?

(A) 80(B) 96(C) 240(D) 640(E) 1.280

08. Numa clínica hospitalar, as cirurgias são sempre assistidas por 3 dos seus 5 enfermeiros, sendo que, para uma eventualidade qualquer, dois particulares enfermeiros, por serem os mais experientes, nunca são escalados para trabalharem juntos. Sabendo-se que em todos os grupos participa um dos dois enfermeiros mais experientes, quantos grupos distintos de 3 enfermeiros podem ser formados?

(A) 06(B) 10(C) 12(D) 15(E) 20

09. Seis pessoas serão distribuídas em duas equipes para concorrer a uma gincana. O número de maneiras diferentes de formar duas equipes é

(A) 10(B) 15(C) 20(D) 25(E) 30

10. Considere os números de quatro algarismos do sistema decimal de numeração. Calcule:

a) quantos são no total;b) quantos não possuem o algarismo 2;c) em quantos deles o algarismo 2 aparece ao menos uma vez;d) quantos têm os algarismos distintos;e) quantos têm pelo menos dois algarismos iguais.

Resoluções

01.

02. O número total de jogos a serem realizados é A14,2 = 14 . 13 = 182.

03.

Algarismos

Letras

As três letras poderão ser escolhidas de 5 . 5 . 5 =125 maneiras.Os quatro algarismos poderão ser escolhidos de 5 . 4 . 3 . 2 =

120 maneiras.O número total de senhas distintas, portanto, é igual a 125 .

120 = 15.000.

04. I) O número de cartões feitos por Cláudia foi

II) O número de cartões esperados por João era

Assim, a diferença obtida foi 2.520 – 840 = 1.680

05. Se as permutações das letras da palavra PROVA forem listadas em ordem alfabética, então teremos:

P4 = 24 que começam por AP4 = 24 que começam por OP4 = 24 que começam por P

A 73.ª palavra nessa lista é a primeira permutação que começa por R. Ela é RAOPV.

06. Se, do total de 10 diretores, 6 estão sob suspeita de corrupção, 4 não estão. Assim, para formar uma comissão de 5 diretores na qual os suspeitos não sejam maioria, podem ser escolhidos, no máximo, 2 suspeitos. Portanto, o número de possíveis comissões é

07. C5,3 . C4,2 . C4,3 = 10 . 6 . 4 = 240


MATEMÁTICA

08. I) Existem 5 enfermeiros disponíveis: 2 mais experientes e

outros 3.II) Para formar grupos com 3 enfermeiros, conforme o

enunciado, devemos escolher 1 entre os 2 mais experientes e 2 entre os 3 restantes.

III) O número de possibilidades para se escolher 1 entre os 2 mais experientes é

IV) O número de possibilidades para se escolher 2 entre 3 restantes é

V) Assim, o número total de grupos que podem ser formados é 2 . 3 = 6

09.

10. a) 9 . A*10,3 = 9 . 103 = 9 . 10 . 10 . 10 = 9000b) 8 . A*9,3 = 8 . 93 = 8 . 9 . 9 . 9 = 5832c) (a) – (b): 9000 – 5832 = 3168d) 9 . A9,3 = 9 . 9 . 8 . 7 = 4536e) (a) – (d): 9000 – 4536 = 4464

REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA.

Os problemas que envolvem duas grandezas diretamente ou inversamente proporcionais podem ser resolvidos através de um processo prático, chamado regra de três simples.

Exemplo 1: Um carro faz 180 km com 15L de álcool. Quantos litros de álcool esse carro gastaria para percorrer 210 km?

Solução:O problema envolve duas grandezas: distância e litros de

álcool.Indiquemos por x o número de litros de álcool a ser consumido.Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma mesma

coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha:

Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x

Na coluna em que aparece a variável x (“litros de álcool”), vamos colocar uma flecha:

Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x

Observe que, se duplicarmos a distância, o consumo de álcool também duplica. Então, as grandezas distância e litros de álcool são diretamente proporcionais. No esquema que estamos montando, indicamos esse fato colocando uma flecha na coluna “distância” no mesmo sentido da flecha da coluna “litros de álcool”:

Distância (km) Litros de álcool 180 15 210 x mesmo sentido

Armando a proporção pela orientação das flechas, temos:

x15

210180

7

6

= 6x = 7 . 15 6x = 105 x = 6

105

x = 17,5

Resposta: O carro gastaria 17,5 L de álcool.

Exemplo 2: Viajando de automóvel, à velocidade de 60 km/h, eu gastaria 4 h para fazer certo percurso. Aumentando a velocidade para 80 km/h, em quanto tempo farei esse percurso?

Solução: Indicando por x o número de horas e colocando as grandezas de mesma espécie em uma mesma coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha, temos:

Velocidade (km/h) Tempo (h) 60 4 80 x

Na coluna em que aparece a variável x (“tempo”), vamos colocar uma flecha:


Observe que, se duplicarmos a velocidade, o tempo fica reduzido à metade. Isso significa que as grandezas velocidade e tempo são inversamente proporcionais. No nosso esquema, esse fato é indicado colocando-se na coluna “velocidade” uma flecha em sentido contrário ao da flecha da coluna “tempo”:


sentidos contrários

Na montagem da proporção devemos seguir o sentido das flechas. Assim, temos:

3

4

60804

=x 4x = 4 . 3 4x = 12 x = 4

12

x = 3 Resposta: Farei esse percurso em 3 h.


MATEMÁTICA

Exemplo 3: Ao participar de um treino de Fórmula 1, um competidor, imprimindo velocidade média de 200 km/h, faz o percurso em 18 segundos. Se sua velocidade fosse de 240 km/h, qual o tempo que ele teria gasto no percurso?

Vamos representar pela letra x o tempo procurado.Estamos relacionando dois valores da grandeza velocidade

(200 km/h e 240 km/h) com dois valores da grandeza tempo (18 s e x s).

Queremos determinar um desses valores, conhecidos os outros três.

Velocidade Tempo gasto para fazer o percurso

200 km/h 18 s240 km/h x

Se duplicarmos a velocidade inicial do carro, o tempo gasto para fazer o percurso cairá para a metade; logo, as grandezas são inversamente proporcionais. Assim, os números 200 e 240 são inversamente proporcionais aos números 18 e x.

Daí temos:200 . 18 = 240 . x 3 600 = 240x 240x = 3 600

x = 2403600

x = 15

O corredor teria gasto 15 segundos no percurso.

Regra de Três Composta

O processo usado para resolver problemas que envolvem mais de duas grandezas, diretamente ou inversamente proporcionais, é chamado regra de três composta.

Exemplo 1: Em 4 dias 8 máquinas produziram 160 peças. Em quanto tempo 6 máquinas iguais às primeiras produziriam 300 dessas peças?

Solução: Indiquemos o número de dias por x. Coloquemos as grandezas de mesma espécie em uma só coluna e as grandezas de espécies diferentes que se correspondem em uma mesma linha. Na coluna em que aparece a variável x (“dias”), coloquemos uma flecha:

Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 300 xComparemos cada grandeza com aquela em que está o x.

As grandezas peças e dias são diretamente proporcionais. No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna “peças” uma flecha no mesmo sentido da flecha da coluna “dias”:

Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 300 x

Mesmo sentido

As grandezas máquinas e dias são inversamente proporcionais (duplicando o número de máquinas, o número de dias fica reduzido à metade). No nosso esquema isso será indicado colocando-se na coluna (máquinas) uma flecha no sentido contrário ao da flecha da coluna “dias”:

Máquinas Peças Dias 8 160 4 6 300 x

Sentidos contrários

Agora vamos montar a proporção, igualando a razão que contém o x, que é

x4 , com o produto das outras razões, obtidas

segundo a orientação das flechas

300160.

86 :

5

1

15

8

1

2

300160.

864

=x

524

=x

=> 2x = 4 . 5 a x = 1

2

25.4

=> x = 10

Resposta: Em 10 dias.

Exercícios

1. Completamente abertas, 2 torneiras enchem um tanque em 75 min. Em quantos minutos 5 torneiras completamente abertas encheriam esse mesmo tanque?

2. Um trem percorre certa distância em 6 h 30 min, à velocidade média de 42 km/h. Que velocidade deverá ser desenvolvida para o trem fazer o mesmo percurso em 5 h 15 min?

3. Usando seu palmo, Samanta mediu o comprimento e a largura de uma mesa retangular. Encontrou 12 palmos de comprimento e 5 palmos na largura.

Depois, usando palitos de fósforo, mediu novamente o comprimento do tampo da mesa e encontrou 48 palitos. Qual estratégia Samanta usou para obter largura do tampo da mesa em palitos de fósforo?

4. Ao participar de um treino de fórmula Indy, um competidor, imprimindo a velocidade média de 180 km/h, faz o percurso em 20 segundos. Se a sua velocidade fosse de 200 km/h, que tempo teria gasto no percurso?

5. Com 3 pacotes de pães de fôrma, Helena faz 63 sanduíches. Quantos pacotes de pães de fôrma ela vai usar para fazer 105 sanduíches?


MATEMÁTICA

6. Uma empreiteira contratou 210 pessoas para pavimentar uma estrada de 300 km em 1 ano. Após 4 meses de serviço, apenas 75 km estavam pavimentados. Quantos empregados ainda devem ser contratados para que a obra seja concluída no tempo previsto?

a) 315b) 2 2520c) 840d) 105e) 1 260

7. Numa gráfica, 7 máquinas de mesmo rendimento imprimem 50 000 cartazes iguais em 2 horas de funcionamento. Se duas dessas máquinas não estiverem funcionando, as 5 máquinas restantes farão o mesmo serviço em:

a) 3 horas e 10 minutosb) 3 horasc) 2 horas e 55 minutosd) 2 horas e 50 minutose) 2 horas e 48 minutos

8. Funcionando 6 dias, 5 máquinas produziram 400 peças de uma mercadoria. Quantas peças dessa mesma mercadoria são produzidas por 7 máquinas iguais às primeiras, se funcionarem 9 dias?

9. Um motociclista rodando 4 horas por dia, percorre em média 200 km em 2 dias. Em quantos dias esse motociclista vai percorrer 500 km, se rodar 5 horas por dia?

10. Na alimentação de 02 bois, durante 08 dias, são consumidos 2420 kgs de ração. Se mais 02 bois são comprados, quantos quilos de ração serão necessários para alimentá-los durante 12 dias.

Respostas

1) Resposta “30min”. Solução:Como aumentar as torneiras diminui o tempo, então a regra

de três é inversa:5 tor. ------ 75min2 tor. ------ x5x = 2 . 75 = 5x = 150 =

x =

2) Resposta “52 km/h”.Solução:Como diminuir o tempo aumentaria a velocidade, então a

regra de três é inversa:6h30min = 390min5h15min = 315min

315min ------ 42km/h390min ------ x315x = 390 . 42 = 315x = 16380 =

X = km/h.

3) Resposta “20 palitos de fósforo”.Solução: Levando os dados dado no enunciado temos:Palmos: 12 palmos de comprimento e 5 palmos de largura.Palitos de Fósforo: 48 palitos de comprimento e x palitos de

largura.Portanto temos:

Comprimento Largura12 palmos 5 palmos48 palitos X palitos

Observe que o comprimento da mesa aumentou 4 vezes quando passamos de “palmo” para “palito”. O que ocorre da mesma forma na largura.

As grandezas são diretamente proporcionais. Daí podemos fazer:

Logo, concluímos que o tampo da mesa tem 20 palitos de fósforo de largura.

4) Resposta “18 segundos”.Solução: Levando em consideração os dados:Velocidade média: 180 km/h → tempo do percurso: 20sVelocidade média: 200 km/h → tempo do percurso: ?

Vamos representar o tempo procurado pela letra x. Estamos relacionando dois valores de grandeza “velocidade” (180 km/h e 200 km/h) com dois valores de grandeza “tempo” ( 20s e xs).

Conhecido os 3 valores, queremos agora determinar um quarto valor. Para isso, organizamos os dados na tabela:

Velocidade km/h Tempo (s)180 20200 x

Observe que, se duplicarmos a velocidade inicial, o tempo gasto para percorrer o percurso vai cair para a metade. Logo, as grandezas são “inversamente proporcionais”. Então temos:

180 . 20 = 200 . x → 200x = 3600 →

Conclui-se, então, que se o competidor tivesse andando em 200 km/h, teria gasto 18 segundos para realizar o percurso.

5) Resposta “5 pacotes”.Solução: Analisando os dados dado no enunciado temos:Pacotes de Pães: 3 pacotes → Sanduíches: 63.Pacotes de Pães: x pacotes → Sanduíches: 105.

Pacotes de Pães Sanduíches3 63x 105

Basta fazermos apenas isso:

63 . x = 3 . 105 → 63x = 315 →

Concluímos que ela precisará de 5 pacotes de pães de forma.


MATEMÁTICA

6) Resposta “D”.

Solução: Em de ano foi pavimentada de estrada

Pessoas estrada tempo 210 75 4 X 225 8

=

=

=

x =

x = 315 pessoas para o término315 210 que já trabalham = 105 pessoas.

7) Resposta “E”.Solução: Primeiro descobrimos quanto cada máquina produz

por minuto. Para isso temos que dividir:

Agora multiplicamos por 5 e descobrimos quanto as 5 máquinas juntas produzem (min)

5 . 59,524 = 297, 62.

Portanto temos:1 min --------------------- 297,62x min --------------------- 50000

Fazendo a regra de 3 teremos:

297,62 . x = 50000 . 1 → 297,62x = 50000 →

168 min. o que equivale a 2 horas e 48 minutos.

8) Resposta “840 peças”.

Solução: Dados:5 máquinas em 6 dias produzem 400 peças7 máquinas em 9 dias produzem x peças.

Organizando os dados no quadro temos:

N˚ de Máquinas (A)

N˚ de Máquinas (B)

Número de Peças (C)

5 6 4007 9 x

Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o número de dias, o número de peças também dobrará, Logo, as grandezas B e C são “diretamente proporcionais”.

Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o número de máquinas, o número de peças também dobrará, Logo, as grandezas A e C são “diretamente proporcionais”.

Quando uma grandeza é “diretamente proporcional” a duas outras, a variação da primeira é diferentemente proporcional ao produto da variação das outras duas.

De acordo com o quadro, temos:

Resolvendo a proporção:

30 . x = 63 . 400 → 30x = 25200 →

Logo, se as máquinas funcionarem 9 dias, serão produzidas 840 peças.

9) Resposta “4 dias”.Solução: Dados:4 horas por dia, 200 km em 2 dias5 horas por dia, 500 km em x dias

Organizando um quadro temos:

N˚ km (A) N˚ horas/dias (B) Número de dias (C)200 4 2500 5 x

Fixando a grandeza A, podemos relacionar as grandezas B e C. Se dobrarmos o número de horas que o motociclista roda por dia, o número de dias que ele leva para percorrer a mesma distância cairá para a metade. Logo, as grandezas B e C são “inversamente proporcionais”.

Fixando a grandeza B, podemos relacionar as grandezas A e C. Se dobrarmos o número de quilômetros percorridos, o número de dias dobrará, considerando que o motociclista rode o mesmo número de horas por dia. Logo, as grandezas A e C são “diretamente proporcionais”.

Assim a grandeza C é diretamente proporcional à grandeza A e inversamente proporcional à grandeza B. Para que a variação da grandeza C seja diretamente proporcional ao produto da variação das duas outras, escrevemos a razão inversa dos valores que expressam a grandeza B.


MATEMÁTICA

A razão inversa de Daí, temos:

1000 . x = 2000 . 2 → 1000x = 4000 → .

10) Resposta “7260 kgs”.

Solução:

Ração Dias Bois2420 8 2

x 12 4

JUROS E PORCENTAGEM.

Juros Simples

Toda vez que falamos em juros estamos nos referindo a uma quantia em dinheiro que deve ser paga por um devedor, pela utilização de dinheiro de um credor (aquele que empresta).

- Os juros são representados pela letra j.- O dinheiro que se deposita ou se empresta chamamos de

capital e é representado pela letra C.- O tempo de depósito ou de empréstimo é representado pela

letra t.- A taxa de juros é a razão centesimal que incide sobre um

capital durante certo tempo. É representado pela letra i e utilizada para calcular juros.

Chamamos de simples os juros que são somados ao capital inicial no final da aplicação.

Devemos sempre relacionar taxa e tempo numa mesma unidade:

Taxa anual --------------------- tempo em anosTaxa mensal-------------------- tempo em mesesTaxa diária---------------------- tempo em dias

Consideremos, como exemplo, o seguinte problema:

Uma pessoa empresta a outra, a juros simples, a quantia de R$ 3. 000,00, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2% ao mês. Quanto deverá ser pago de juros?

Resolução:

- Capital aplicado (C): R$ 3.000,00- Tempo de aplicação (t): 4 meses- Taxa (i): 2% ou 0,02 a.m. (= ao mês)

Fazendo o cálculo, mês a mês:- No final do 1º período (1 mês), os juros serão: 0,02 x R$

3.000,00 = R$ 60,00- No final do 2º período (2 meses), os juros serão: R$ 60,00 +

R$ 60,00 = R$ 120,00- No final do 3º período (3 meses), os juros serão: R$ 120,00

+ R$ 60,00 = R$ 180,00- No final do 4º período (4 meses), os juros serão: R$ 180,00

+ R$ 60,00 = R$ 240,00

Desse modo, no final da aplicação, deverão ser pagos R$ 240,00 de juros.

Fazendo o cálculo, período a período:- No final do 1º período, os juros serão: i.C- No final do 2º período, os juros serão: i.C + i.C- No final do 3º período, os juros serão: i.C + i.C + i.C------------------------------------------------------------------------ No final do período t, os juros serão: i.C + i.C + i.C + ... + i.CPortanto, temos:

J = C . i . t

Observações:

1) A taxa i e o tempo t devem ser expressos na mesma unidade. 2) Nessa fórmula, a taxa i deve ser expressa na forma decimal.3) Chamamos de montante (M) a soma do capital com os

juros, ou seja: Na fórmula J= C . i . t, temos quatro variáveis. Se três delas forem valores conhecidos, podemos calcular o 4º valor.

M=C+ j

ExemploA que taxa esteve empregado o capital de R$ 20.000,00 para

render, em 3 anos, R$ 28.800,00 de juros? (Observação: Como o tempo está em anos devemos ter uma taxa anual.)

C = R$ 20.000,00t = 3 anosj = R$ 28.800,00i = ? (ao ano)

j = 100.. tiC

28 800 = 1003...20000 i

28 800 = 600 . i

i = 600800.28

i = 48Resposta: 48% ao ano.


MATEMÁTICA

Juros Compostos

O capital inicial (principal) pode crescer, como já sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades, a saber:

Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.

Juros compostos - após cada período, os juros são incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Também conhecido como “juros sobre juros”.

Vamos ilustrar a diferença entre os crescimentos de um capital através juros simples e juros compostos, com um exemplo: Suponha que $100,00 são empregados a uma taxa de 10% a.a. (ao ano) Teremos:

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples é LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos é EXPONENCIAL, e, portanto tem um crescimento muito mais “rápido”. Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma:

Na prática, as empresas, órgãos governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplicações financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples não se justifica em estudos econômicos.

Fórmula para o cálculo de Juros compostos

Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), mês a mês:

Após o 1º mês, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)

Após o 2º mês, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2

Após o 3º mês, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3

................................................................................................. Após o nº (enésimo) mês, sendo S o montante, teremos

evidentemente: S = 1000(1 + 0,1)n

De uma forma genérica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o período n : S = P (1 + i)n

onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = número de períodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado.

Nota: Na fórmula acima, as unidades de tempo referentes à taxa de juros (i) e do período (n), tem de ser necessariamente iguais.

Este é um detalhe importantíssima, que não pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao mês e o período 3 anos, deveremos considerar 2% ao mês durante 3x12=36 meses.

Exemplos

1 – Expresse o número de períodos n de uma aplicação, em função do montante S e da taxa de aplicação i por período.

Solução: Temos S = P(1+i)n

Logo, S/P = (1+i)n

Pelo que já conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:n = log (1+ i ) (S/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base

10), vem:

Temos também da expressão acima que: n.log(1 + i) = logS – logP

Deste exemplo, dá para perceber que o estudo dos juros compostos é uma aplicação prática do estudo dos logaritmos.

2 – Um capital é aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estará duplicado?

Solução: Sabemos que S = P (1 + i)n. Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P.

Substituindo, vem: 2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2/100 = 2%]Simplificando, fica: 2 = 1,02n , que é uma equação exponencial simples.Teremos então: n = log1,022 = log2 /log1,02 = 0,30103 /

0,00860 = 35

Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em máquinas calculadoras científicas. Caso uma questão assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necessários, ou então permitir o uso de calculadora na prova, o que não é comum no Brasil.

Portanto, o capital estaria duplicado após 35 meses (observe que a taxa de juros do problema é mensal), o que equivale a 2 anos e 11 meses.

Resposta: 2 anos e 11 meses.

Exercícios

1. Uma Loja de eletrodomésticos apresenta a seguinte oferta para a venda de um DVD player:

À vista R$ 539,00 ou12x 63,60 = R$ 763,20.

De quanto será o acréscimo sobre o preço à vista se o produto for comprado em 12 vezes?

2. Calcule o juros simples gerado por um capital de R$ 2 500,00, quando aplicado durante 8 meses a uma taxa de 3,5% a.m.


MATEMÁTICA

3. Uma aplicação financeira, feita durante 2 meses a uma taxa de 3% ao mês, rendeu R$ 1 920,00 de juro. Qual foi a quantia aplicada?

4. Um capital de $ 4.000,00 foi aplicado durante 3 meses, à juros simples, à taxa de 18% a.a. Pede-se:

a) Jurosb) Montante.

5. Calcular o juro simples referente a um capital de $ 2.400,00 nas seguintes condições:

Taxa de Juros Prazoa) 21% a.a. 1 anob) 21% a.a. 3 anos

6. Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00, a juros compostos, pelo prazo de 4 meses, à taxa de 2,5% a.m.?

7. Calcule o montante e os juros da aplicação abaixo, considerando o regime de juros compostos:

Capital Taxa de Juros Prazo de AntecipaçãoR$ 20.000,00 3,0% a.m. 7 meses

8. O capital R$ 500,00 foi aplicado durante 8 meses à taxa de 5% ao mês. Qual o valor dos juros compostos produzidos?

9. Qual a aplicação inicial que, empregada por 1 ano e seis meses, à taxa de juros compostos de 3% ao trimestre, se torna igual a R$ 477,62?

10. Calcular o montante gerado a partir de R$ 1.500,00, quando aplicado à taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, durante 1 ano.

Respostas

1) Resposta “R$ 224,20”.

Solução: Basta apenas tirar o valor à prazo sobre o à vista:R$ 763,20 – R$ 539,00 = R$ 224,20.

2) Resposta “R$ 700,00”.

Solução: Dados:Capital (quantia aplicada): R$ 2 500,00Taxa de juros: 3,5 a.m.Tempo de aplicação: 8 mesesJuro: ?

Representando o juro por x, podemos ter:

x = (3,5% de 2 500) . 8x = (0,035 . 2 500) . 8x = 700

Conclui-se que o juro é de R$ 700,00.

3) Resposta “R$ 32 000,00”.

Solução: Dados:Capital (quantia plicada) ?Taxa de juro: 3% a.m.Tempo de aplicação: 2 mesesJuro: R$ 1 920,00

Calculando a quantia que a aplicação rendeu juro ao mês:

1 920 2 = 960

Representando o capital aplicado por x, temos:3% de x dá 9600,03 . x = 9600,03x = 960

x =

Logo, o capital aplicado foi de R$ 32 000,00.

4) Resposta “Juros: R$ 180,00; Montante R$ 4 180,00”.

Solução: a → J = CinJ = 4000 {[(18/100)/12]x3}J = 4000 {[0,18/12]x3}J = 4000 {0,015 x 3}J = 4000 x 0,045J = 180,00

B → M = C + JM = 4000 + 180M = 4.180,00

5) Resposta “ R$ 504,00; R$ 1 512,00 ”

Solução: a → J = CinJ = 2400 [(21/100)x1]J = 2400 [0,21 x 1]J = 2400 x 0,21J = 504,00

b → J = Cin J = 2400 [(21/100)x3]J = 2400 [0,21x3]J = 2400 0,63J = 1.512,00

6) Resposta “17 661,01”.

Solução: Dados:C: 16000i: 2,5% a.m.n: 4 meses.

( )

[ ] [ ] 17.661,01 =→=→=→+=→

+=

+=

M 1 1,10381289 x 16000 M4

1,025 16000 M4

0,0251 16000 M

4

1002,5

1 16000 M

ni1CM

( )

[ ] [ ] 17.661,01 =→=→=→+=→

+=

+=

M 1 1,10381289 x 16000 M4

1,025 16000 M4

0,0251 16000 M

4

1002,5

1 16000 M

ni1CM


MATEMÁTICA

7) Resposta “24 597,48”.

Solução: Dados:C: 20000i: 3,0% a.m.n: 7 meses.

( )

[ ] [ ] 24.597,48 =→=→=→+=→

+=

+=

M 5 1,22987368 x 20000 M7

1,03 20000 M7

0,031 20000 M

7

1003

1 20000 M

ni1CM

( )

[ ] [ ] 24.597,48 =→=→=→+=→

+=

+=

M 5 1,22987368 x 20000 M7

1,03 20000 M7

0,031 20000 M

7

1003

1 20000 M

ni1CM

8) Resposta “R$ 238,73”.

Solução: Dados:C = R$ 500i = 5% = 0,05n = 8 (as capitalizações são mensais)M = C . (1 + i)n => M = 500 × (1,05)8 => M = R$ 738,73O valor dos juros será:J = 738,73 – 500J = R$ 238,73

9) Resposta “ R$ 400,00”.

Solução: M = R$ 477,62i = 3% = 0,03n = 6 (as capitalizações são trimestrais)M = C × (1 + i)n 477,62 = C × (1,03)6

C = 19405,162,477

C = R$ 400,00.

10) Resposta “R$ 2.693,78”.

Solução:Observamos que 60% ao ano é uma taxa nominal; a capitali-

zação é mensal.

A taxa efetiva é, portanto, 60% 12 = 5% ao mês.C = R$ 1.500i = 5% = 0,05n = 12M = C . (1 + i)n M = 1.500 × (1,05)12 M = 1.500 × 1,79586M = R$ 2.693,78

Porcentagem

É uma fração de denominador centesimal, ou seja, é uma fração de denominador 100. Representamos porcentagem pelo símbolo % e lê-se: “por cento”.

Deste modo, a fração 10050

é uma porcentagem que podemos representar por 50%.

Forma Decimal: É comum representarmos uma porcentagem na forma decimal, por exemplo, 35% na forma decimal seriam representados por 0,35.

75% = 10075

= 0,75

Cálculo de uma Porcentagem: Para calcularmos uma porcentagem p% de V, basta multiplicarmos a fração 100

p

por V.

P% de V = 100

p

. V

Exemplo 1

23% de 240 = 10023

. 240 = 55,2

Exemplo 2

Em uma pesquisa de mercado, constatou-se que 67% de uma amostra assistem a um certo programa de TV. Se a população é de 56.000 habitantes, quantas pessoas assistem ao tal programa?

Resolução: 67% de 56 000 = 3752056000.

10067

=

Resposta: 37 520 pessoas.

Porcentagem que o lucro representa em relação ao preço de custo e em relação ao preço de venda

Chamamos de lucro em uma transação comercial de compra e venda a diferença entre o preço de venda e o preço de custo.

Lucro = preço de venda – preço de custo

Caso essa diferença seja negativa, ela será chamada de prejuízo.

Assim, podemos escrever:Preço de custo + lucro = preço de vendaPreço de custo – prejuízos = preço de venda

Podemos expressar o lucro na forma de porcentagem de duas formas:

Lucro sobre o custo = lucro/preço de custo. 100%Lucro sobre a venda = lucro/preço de venda. 100%

Observação: A mesma análise pode ser feita para o caso de prejuízo.

Exemplo

Uma mercadoria foi comprada por R$ 500,00 e vendida por R$ 800,00.

Pede-se:- o lucro obtido na transação;- a porcentagem de lucro sobre o preço de custo;- a porcentagem de lucro sobre o preço de venda.


MATEMÁTICA

Resposta:Lucro = 800 – 500 = R$ 300,00

Lc = 500300 = 0,60 = 60%

Lv = 800300 = 0,375 = 37,5%

Aumento

Aumento Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um aumento de p% de seu valor. Chamemos de A o valor do aumento e VA o valor após o aumento. Então, A = p% de V =100

p

. V

VA = V + A = V + 100p

. V

VA = ( 1 + 100

p ) . V

Em que (1 + 100

p ) é o fator de aumento.

Desconto

Desconto Percentual: Consideremos um valor inicial V que deve sofrer um desconto de p% de seu valor. Chamemos de D o valor do desconto e VD o valor após o desconto. Então, D = p% de V = 100

p. V

VD = V – D = V – 100p

. V

VD = (1 – 100

p ) . V

Em que (1 – 100

p ) é o fator de desconto.

Exemplo

Uma empresa admite um funcionário no mês de janeiro sabendo que, já em março, ele terá 40% de aumento. Se a empresa deseja que o salário desse funcionário, a partir de março, seja R$ 3 500,00, com que salário deve admiti-lo?

Resolução: VA = 1,4 . V 3 500 = 1,4 . V

V = 25004,1

3500=

Resposta: R$ 2 500,00

Aumentos e Descontos Sucessivos: Consideremos um valor inicial V, e vamos considerar que ele irá sofrer dois aumentos sucessivos de p1% e p2%. Sendo V1 o valor após o primeiro aumento, temos:

V1 = V . (1 + 1001p

)

Sendo V2 o valor após o segundo aumento, temos:V2 = V1 . (1 +

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 + 1002p

)

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer dois descontos sucessivos de p1% e p2%.

Sendo V1 o valor após o primeiro desconto, temos:V1 = V. (1 – 100

1p)

Sendo V2 o valor após o segundo desconto, temos:

V2 = V1 . (1 – 1002p

)

V2 = V . (1 – 100

1p ) . (1 – 1002p

)

Sendo V um valor inicial, vamos considerar que ele irá sofrer um aumento de p1% e, sucessivamente, um desconto de p2%.

Sendo V1 o valor após o aumento, temos:V1 = V . (1+ 100

1p

)

Sendo V2 o valor após o desconto, temos:V2 = V1 . (1 –

1002p )

V2 = V . (1 + 100

1p ) . (1 – 100

2p )

Exemplo

(VUNESP-SP) Uma instituição bancária oferece um rendimento de 15% ao ano para depósitos feitos numa certa modalidade de aplicação financeira. Um cliente deste banco deposita 1 000 reais nessa aplicação. Ao final de n anos, o capital que esse cliente terá em reais, relativo a esse depósito, são:

Resolução: VA = vp n

.100

1

+

VA = 1000.10015.1

n

VA = 1 000 . (1,15)n VA = 1 000 . 1,15n VA = 1 150,00n

Exercícios

1. (Fuvest-SP) (10%)2 =a) 100%b) 20%c) 5%d) 1%e) 0,01%

2. Quatro é quantos por cento de cinco?

3. (PUC-SP) O preço de venda de um bem de consumo é R$ 100,00. O comerciante tem um ganho de 25% sobre o preço de custo deste bem. O valor do preço de custo é:

a) R$ 25,00b) R$ 70,50c) R$ 75,00d) R$ 80,00e) R$ 125,00


MATEMÁTICA

4. (VUNESP-SP) O dono de um supermercado comprou de seu fornecedor um produto por x reais (preço de custo) e passou a revendê-lo com lucro de 50%. Ao fazer um dia de promoções, ele deu aos clientes do supermercado um desconto de 20% sobre o preço de venda deste produto. Pode-se afirmar que, no dia de promoções, o dono do supermercado teve, sobre o preço de custo:

a) Prejuízo de 10%.b) Prejuízo de 5%.c) Lucro de 20%.d) Lucro de 25%.e) Lucro de 30%.

5. (Mackenzie-SP) Um produto teve um aumento total de preço de 61% através de 2 aumentos sucessivos. Se o primeiro aumento foi de 15%, então o segundo foi de:

a) 38%b) 40%c) 42%d) 44%e) 46%

6. (FUVEST-SP) Barnabé tinha um salário de x reais em janeiro. Recebeu aumento de 80% em maio e 80% em novembro. Seu salário atual é:

a) 2,56 xb) 1,6xc) x + 160d) 2,6xe) 3,24x

7. (PUC-SP) Descontos sucessivos de 20% e 30% são equivalentes a um único desconto de:

a) 25%b) 26%c) 44%d) 45%e) 50%

8. (FUVEST-SP) A cada ano que passa o valor de um carro diminui em 30% em relação ao seu valor do ano anterior. Se V for o valor do carro no primeiro ano, o seu valor no oitavo ano será:

a) (0,7)7 Vb) (0,3)7 Vc) (0,7)8 Vd) (0,3)8 Ve) (0,3)9 V

9. Numa cidade, havia cerca de 25 000 desempregados para uma população economicamente ativa de 500 000 habitantes. Qual era a taxa percentual de desempregados nessa cidade?

10. Se 4% do total de bolinhas de uma piscina correspondem a 20 unidades, qual o total de bolinhas que está na piscina?

Respostas

1) Resposta “D”.Solução:

2) Resposta “80%”.Solução:05 ----------- 100%04 ----------- x

5 . x = 4 . 100 → 5x = 400 → 3) Resposta “D”.Solução:Pcusto = 100,00

O Pcusto mais 25% do Pcusto = 100,00

Pc + 0,25Pc = 100,001,25Pc = 100,00

Pc =

4) Resposta “C”.Solução:X reais (preço de custo)

Lucro de 50%: x + 50% = x + = (dividimos por 10 e depois dividimos por 5).

Suponhamos que o preço de custo seja 1, então substituindo o x da equação acima, o preço de venda com 50% de lucro seria 1,50.

Se 1,50 é 100% X 20% fazemos esta regra de três para achar os 20%:

20.1,50 100 = 0,30Então no dia de promoção o valor será de 1,20. Isto é, 20% de

lucro em cima do valor de custo. Alternativa C.

5) Resposta “B”.Solução: Se usarmos a fórmula do aumento sucessivo citada

na matéria será:

V2 = V.(1 + 1001p

).(1 – 100

2p ).

Substituindo V por um valor: 1, então no final dos dois aumentos esse valor será de 1,61=V2.

1,61 = 1.(1 + 10015 ).(1 – 100

2p)

1,61 = (1 + 10015 ).(1 –

1002p ) (mmc de 100)

1,61 = (100115 ).(1 –

1002p )


MATEMÁTICA

1,61 = - 10000)2100(115 P−

16100 = -11.500 + 115P2115P2 = -11.500 + 16100P2 = 4600/115P2 = 40%

6) Resposta “E”.Solução:

7) Resposta “C”.Solução: Se usarmos a fórmula do desconto sucessivo citada

na matéria será:

V2 = V.(1 - 1001p ).(1 –

1002p )

Substituindo V por um valor: 1, ficará:

V2 = 1.(1 - 10020 ).(1 –

10030 )

V2 = (100

20100 − ).(100

30100 − )

V2 = (10080 ).(

10070 )

V2 = 100005600

V2 = 10056 que é igual a 56%

100% - 56% = 44%

8) Resposta “A”.Solução:

1º ano = 12º ano = 0,70 – 30% (0,21)3º ano = 0,49 – 30% (0,147)4º ano = 0,343 – 30 % (0,1029)5º ano = 0,2401 – 30% (0,07203)6º ano = 0,16807 – 30% (0,050421)7º ano = 0,117649 – 30% (0,0352947)8º ano = 0,08235430,0823543 = (0,7)7V

9) Resposta “5%”.

Solução: Em 500 000 habitantes → 25 000 desempregados Em 100 000 habitantes → 5 000 desempregados Em 100 habitantes → 5 desempregados

Portanto, 5% da população da cidade é desempregada.

10) Resposta “500 unidades”.Solução: 4% → 20 bolinhas. Então:20% → 100 bolinhas100% → 500 bolinhas

Ou, ainda, representando por x o total de bolinhas: 4% de x equivalem a 20.

Como 4% = , podemos escrever:

0,04 . x = 20 →

Logo, o total de bolinhas na piscina são 500 unidades.

MATRIZES E DETERMINANTES

A tabela seguinte mostra a situação das equipes no Campeonato Paulista de Basquete masculino.

Campeonato Paulista – ClassificaçãoTime Pontos

1º Tilibra/Copimax/Bauru 202º COC/Ribeirão Preto 203º Unimed/Franca 194º Hebraica/Blue Life 175º Uniara/Fundesport 166º Pinheiros 167º São Caetano 168º Rio Pardo/Sadia 159º Valtra/UBC 1410º Unisanta 1411º Leitor/Casa Branca 1412º Palmeiras 1313º Santo André 1314º Corinthians 1215º São José 12

Fonte: FPB (Federação Paulista de Basquete)Folha de S. Paulo – 23/10/01

Observando a tabela, podemos tirar conclusões por meio de comparações das informações apresentadas, por exemplo:

→ COC/Ribeirão lidera a classificação com 20 pontos juntamente com Tilibra/Bauru

→ Essa informação encontra-se na 2ª linha e 3ª coluna.

Definições

Chamamos de matriz m x n (m Є N* e n Є N*) qualquer tabela formada por m . n elementos (informações) dispostos em m linhas e n colunas


MATEMÁTICA

Exemplos

1°)

1 01 1

−2 33 2

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

é uma matriz 2 x 4

2º)121

034

132

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥ é uma matriz 3 x 3

3º)

1 0 3⎡⎣ ⎤⎦ é uma matriz 1 x 3

4º) 20

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

é uma matriz 2 x 1O nome de uma matriz é dado utilizando letras maiúsculas do

alfabeto latino, A, por exemplo, enquanto os elementos da matriz são indicados por letras latinas minúsculas, a mesma do nome de matriz, afetadas por dois índices, que indicam a linha e a coluna que o elemento ocupa na matriz.

Assim, um elemento genérico da matriz A é representado por aij.O primeiro índice, i, indica a linha que esse elemento ocupa na

matriz, e o segundo índice, j, a coluna desse comando.

A = aij⎡⎣ ⎤⎦← i − ésima ⋅ linha

↑

j − ésima ⋅coluna

ExemploNa matriz B de ordem 2 x 3 temos:

B =1 0 3

2 −1 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

b11 = 1; b12 = 0; b13 = 3;b21 = 2; b22 = -1; b23 = 4

Observação: O elemento b23, por exemplo, lemos assim: “b dois três”

De uma forma geral, a matriz A, de ordem m x n, é representada por:

A =

a11 a12 a13 ... a1n

a21 a22 a23 ... a2n

... a32 a33 ... a3n

am1 am2 am3 ... amn

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

Ou com a notação abreviada: A = (aij)m x n

Matrizes Especiais

Apresentamos aqui a nomenclatura de algumas matrizes especiais:

1ª. Matriz LinhaÉ a matriz que possui uma única linha.

Exemplos

- A = [-1, 0]- B = [1 0 0 2]

2ª. Matriz ColunaÉ a matriz que possui uma única coluna.

Exemplos

−A = 21

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ −B =

0−13

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥

3ª) Matriz NulaÉ a matriz que possui todos os elementos iguais a zero.

Exemplos

1)A =0 0

0 0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2)B =0 0 0

0 0 0

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

4ª. Matriz QuadradaÉ a matriz que possui o número de linhas igual ao número de

linhas igual ao número de colunas.

Exemplos

1)A =1 3

2 −1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ É a matriz quadrada de ordem 2.

Observações: Quando uma matriz não é quadrada, ela é chamada de retangular.

Dada uma matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal principal da matriz ao conjunto dos elementos que possuem índices iguais.

Exemplo{a11, a22, a33, a44} é a diagonal principal da matriz A.

3ª) Dada a matriz quadrada de ordem n, chamamos de diagonal secundária da matriz ao conjunto dos elementos que possuem a soma dos dois índices igual a n + 1.

Exemplo{a14, a23, a32, a41} é a diagonal secundária da matriz A.


MATEMÁTICA

5ª. Matriz DiagonalÉ a matriz quadrada que apresenta todos os elementos, não

pertencentes à diagonal principal, iguais a zero.

Exemplos

1)A =

2 0 0

0 1 0

0 0 3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

6ª) Matriz IdentidadeÉ a matriz diagonal que apresenta todos os elementos da

diagonal principal iguais a 1.

Representamos a matriz identidade de ordem n por In.

Exemplos

1)I2 =1 0

0 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

2)I3 =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Observação: Para uma matriz identidade In = (aij)n x n

7ª. Matriz TranspostaDada uma matriz A, chamamos de matriz transposta de A à

matriz obtida de A trocando-se “ordenadamente”, suas linhas por colunas. Indicamos a matriz transposta de A por At.

Exemplo

A =1 0 3

2 1 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥,então At =

1 2

0 1

3 4

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Observação: Se uma matriz A é de ordem m x n, a matriz At, transposta de A, é de ordem n x m.

Igualdade de Matrizes

Sendo A e B duas matriz de mesma ordem, dizemos que um elemento de matriz A é correspondente a um elemento de B quando eles ocupam a mesma posição nas respectivas matrizes.

Exemplo

Sendo A e B duas matrizes de ordem 2 x 2,

A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ e B =

b11 b12

b21 b22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

São elementos correspondentes de A e B, os pares:a11 e b11; a12 e b12; a21 e b21; a22 e b22.

DefiniçãoDuas matrizes A e B são iguais se, e somente se, têm a mesma

ordem e os elementos correspondentes são iguais.Indica-se:A = BEntão:A = (aij)n x n e B = (bij)p x q

Observações: Dada uma matriz A = (aij)m x n , dizemos que uma matriz B = (bij)m x n é oposta de A quando bij = -aij para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n.

Indicamos que B = -A.

Exemplo

A =3 −1

2 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥⇒ B =

−3 1

−2 −4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é simétrica quando aij = aji para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Isto é, A = At.

- Dizemos que uma matriz quadrada A = (aij)m x n é anti-simétrica quando aij = -aij para todo i, Ī ≤ i ≤ m, e todo j, Ī ≤ j ≤ n. Isto é, A é anti-simétrica quando At = -A.

Adição e Subtração de Matrizes

DefiniçãoDadas duas matrizes A e B, de mesma ordem m x n,

denominamos soma da matriz A com a matriz B à matriz C, de ordem m x n, cujos elementos são obtidos quando somamos os elementos correspondentes das matrizes A e B. Indicamos:

C = A + B

Assim:

1 3 4

2 1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

2 1 1

3 2 3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

3 4 5

5 3 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Propriedades da Adição

Sendo A, B e C matrizes m x n e O a matriz nula m s n, valem as seguintes propriedades.

- A + B = B + A (comutativa)- (A + B) + C = A + (B + C) (associativa)- A + O = O + A = A (elemento neutro)- A + (-A) = (-A) + A = O (elemento oposto)- (A + B)t = At + Bt

DefiniçãoConsideremos duas matrizes A e B, ambas de mesma ordem m

x n. Chamamos de diferença entre A e B (indicamos com A – B) a soma de A com a oposta de B.

A – B = A + (B)


MATEMÁTICA

Exemplo

Sendo:

A =3 2

1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥e B =

4 5

−2 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ , então

A − B =3 2

1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥−

4 5

−2 1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

A − B =3 2

1 −2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

−4 −5

2 −1

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

A - B =

A − B =−1 −3

3 −3

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Observação: Na prática, para obtermos a subtração de matrizes de mesma ordem, basta subtrairmos os elementos correspondentes.

Multiplicação de Matrizes por um Número Real

DefiniçãoConsideremos uma matriz A, de ordem m x n, e um número

real. O produto de por A é uma matriz B, de ordem m x n, obtida quando multiplicamos cada elemento de A por.

Indicamos:

B = α . A

Exemplo

Sendo:

A =1 3

2 5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥ , temos

2 . A =2.1 2.3

2.2 2.5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥=

2 6

4 10

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

Matrizes – Produtos

Multiplicação de Matrizes

O produto (linha por coluna) de uma matriz A = (aij)m x p por uma matriz B = (bij)p x n é uma matriz C = (cij)m x n, de modo que cada elemento cij é obtido multiplicando-se ordenadamente os elementos da linha i de A pelos elementos da coluna j de B, e somando-se os produtos assim obtidos. Indicamos:

B = α . A

Da definição, decorre que:- Só existe o produto de uma matriz A por uma matriz B se o

número de colunas de A é igual ao número de linhas de B.- A matriz C, produto de Am x p por BP x n, é do tipo m x n.

PropriedadesSendo A uma matriz de ordem m x n, B e C matrizes

convenientes e, são válidas as seguintes propriedades.- ( A . B) . C = A . (B . C) (associativa)- C . (A + B) = C . A + C . B (distributiva pela esquerda)- (A + B) . C = A . C + B (distributiva pela direita)- A . In = Im . A = A (elemento neutro)- (α . A) . B = A . (α . B ) = . (A . B)- A . On x p = Om x p e Op x m . A = Op x n- (A . B)t = Bt . At

Observação: Para a multiplicação de matrizes não vale a propriedade comutativa (A . B ≠ B . A). Esta propriedade só é verdadeira em situações especiais, quando dizemos que as matrizes são comutáveis.

Devemos levar em consideração os fatos seguintes:1º) (A + B) ≠ A2 + 2AB + B2, pois (A + B)2 = (A + B)(A+B) +

A2 + AB + BA + B2

2º) (A . B)t ≠ At . Bt, pois, pela 7ª propriedade, devemos ter (A . B)t = Bt . At

Matriz Inversa

No conjunto dos números reais, para todo a ≠ 0, existe um número b, denominado inverso de a, satisfazendo a condição:

a.b=b.a=1

Normalmente indicamos o inverso de a por a1

ou a-1.Analogamente para as matrizes temos o seguinte:

DefiniçãoUma matriz A, quadrada de ordem n, diz-se inversível se, e

somente se, existir uma matriz B, quadrada de ordem n, tal que:A.B=B.A=InA matriz B é denominada inversa de A e indicada por A-1.

Exemplos

- Verifique que a matriz B=

−

−1134

é a inversa da matriz A=

4131

Resolução

A.B=

4131

.

−

−1134

=

1001

B.A=

−

−1134 .

4131 =

1001

Como A.B=B.A=12, a matriz B é a inversa de A, isto é, B=A-1.


MATEMÁTICA

Observação: É bom observarmos que, de acordo com a definição, a matriz A também é a inversa de B, isto é, A=B-1, ou seja, A=(A-1)-1.

- Encontre a matriz inversa da matriz A=

1213

, se existir.

Resolução

Supondo que B=

dcba

é a matriz inversa de A, temos:

A.B=

1213

.

dcba

=

1001

++++

dbcadbca

2233

=

1001

Assim:

=+=+

0213

caca e

=+=+

1203

dbdb

Resolvendo os sistemas, encontramos:

A=1,b=-1,c=-2 e d=3

Assim, B=

−

−3211

Por outro lado:

B.A=

−−

3211 .

1213

=

1001

Portanto, a matriz A é inversível e sua inversa é a matriz:

B=A-1=

−

−3211

Observação: Quando uma matriz é inversível, dizemos que ela é uma matriz não-singular; caso a matriz não seja inversível, dizemos que ela é uma matriz singular.

PropriedadesSendo A e B matrizes quadradas de ordem n e inversíveis,

temos as seguintes propriedades:- (A-1)-1=A- (A-1)t= At)-1

- (A.B)-1=B-1..A-1

- Dada A, se existir A-1, então A-1 é única.

Exemplo

Sendo A, B e X matrizes inversíveis de ordem n, isolar X em (X.A)-1-=B.

Resolução(X.A)-1=B ⇒A-1.X-1=B

Multiplicando os dois membros à esquerda por A, encontramos:A.A-1.X-1=A.BComo A.A-1=In, então:In.X

-1=A.BComo In é elemento neutro na multiplicação de matrizes,

temos:X-1=A.BElevando os dois membros da igualdade, ao expoente -1,

temos:(X-1)-1=(A.B)-1

Assim, X=(A.B)-1, ou então X=B-1.A-1

O sistema obtido está escalonado e é do 2º

Determinantes

Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por mate-máticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “Sistema linear”, assunto que estudaremos a seguir.

Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras verticais, como no exemplo abaixo:

A=

5421

→ det A=5421

Definições

Determinante de uma Matriz de Ordem 1Seja a matriz quadrada de ordem 1: A=[a11]Chamamos determinante dessa matriz o número:det A=[ a11]= a11

Exemplos1º) A=[-2] → det A= -22º) B=[5] → det B=53º) C=[0] → det C=0

Determinante de uma Matriz de ordem 2

Seja a matriz quadrada de ordem 2:

A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

Chamamos de determinante dessa matriz o número:

detA =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ = a11 . a22 − a21 . a12


MATEMÁTICA

Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundá-ria. Esquematicamente:

detA =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ = a11 . a22 − a21 . a12

Exemplos

- A=

3521

det A=1.3-5.2=-7

- B=

−3212

det B=2.3-2.(-1)=8

Determinante de uma Matriz de Ordem 3

Seja a matriz quadrada de ordem 3:

A =

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

Chamamos determinante dessa matriz o numero:

detA= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+a32 a21 a13-a31 a22 a13+-a12 a21 a33-a32 a23 a11

Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada Regra de Sarrus:

1º) Repetimos a 1º e a 2º colunas às direita da matriz.a11 a12 a13 a11 a12a21 a22 a23 a21 a22a31 a32 a33 a31 a32

2º) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos produtos, temos:

detA= a11 a22 a33+ a12 a23 a31+a13 a21 a32-a13 a22 a31+-a11 a23 a32-a12 a21 a33

Observação: A regra de Sarrus também pode ser utilizada repetindo a 1º e 2º linhas, ao invés de repetirmos a 1º e 2º colunas.

Determinantes – Propriedades - IApresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a

simplificar o cálculo dos determinantes:

Propriedade 1: O determinante de uma matriz A é igual ao de sua transposta At.

Exemplo

A= ⇒

dcba

At=

dbca

AAbcadA

bcadA tt detdet

detdet

=⇒

−=

−=

Propriedade 2: Se B é a matriz que se obtém de uma matriz quadrada A, quando trocamos entre si a posição de duas filas paralelas, então:

detB = -detA

Exemplo

A=

dcba

e B=

badc

B foi obtida trocando-se a 1º pela 2º linha de A.detA=ad-bcdetB=BC-ad=-(ad-bc)=-detAAssim,detB=-detA

Consequência da Propriedade 2: Uma matriz A que possui duas filas paralelas “iguais”tem determinante igual a zero.

Justificativa: A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna “iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que detA = -detA

Assim: detA = 0

Propriedade 3: Sendo B uma matriz que obtemos de uma matriz quadrada A, quando multiplicamos uma de sua filas (linha ou coluna) por uma constante k, então detB = k.detA

Consequência da Propriedade 3: Ao calcularmos um determinante, podemos “colocar em evidência”um “fator comum” de uma fila (linha ou coluna).

Exemplo

ka kbc d

= k.a b

c d

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

- Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k. A é obtida multiplicando todos os elementos de A por k, então:

det(k.A)=kn.detA


MATEMÁTICA

Exemplo

A =

a b c

d e f

g h i

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

⇒ k.A =

ka kb kc

kd ke kf

kg kh ki

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

det(k.A) =

ka kb kc

kd ke kf

kg kh ki

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

= k.k.k

a b c

d e f

g h i

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

Assim:det(k.A)=k3.detA

Propriedade 4: Se A, B e C são matrizes quadradas de mesma ordem, tais que os elementos correspondentes de A, B e C são iguais entre si, exceto os de uma fila, em que os elementos de C são iguais às somas dos seus elementos correspondentes de A e B, então.

detC = detA + detB

Exemplos:

a b x

c d y

e f z

+

a b r

c d s

e f z

=

a b x + r

c d y + s

e f z + t

Propriedades dos Determinantes

Propriedades 5 (Teorema de Jacobi)O determinante não se altera, quando adicionamos uma fila

qualquer com outra fila paralela multiplicada por um número.

Exemplo

Considere o determinante detA=ihgfedcba

Somando a 3ª coluna com a 1ª multiplicada por m, teremos:

a b c + ma

d e f + md

g h i + mg

(P4)

a b c

d e f

g h i

+

a b ma

d e md

g h mg

a b c + ma

d e f + md

g h i + mg

= detA +m

a b a

d e d

g h g

Igual a zero

a b c + ma

d e f + md

g h i + mg

= detA

Exemplo

Vamos calcular o determinante D abaixo.

D=8+0+0-60-0-0=-52

Em seguida, vamos multiplicar a 1ª coluna por 2, somar com a 3ª coluna e calcular:

D1=48+0+0-100-0-0=-52Observe que D1=D, de acordo com a propriedade.

ConsequênciaQuando uma fila de um determinante é igual à soma de

múltiplos de filas paralelas (combinação linear de filas paralelas), o determinante é igual a zero.

Exemplo

SejaD =

1 2 8

3 2 12

4 −1 05

Observe que cada elemento de 3ª coluna é igual à 1ª coluna multiplicada por 2 somada com a 2ª coluna multiplicada por 3.

8 = 2(1) + 3(2) = 2 + 612 = 2(3) + 3(2) = 6 + 65 = 2(4) + 3(-1) = 8 - 3Portanto, pela consequência da propriedade 5, D = 0Use a regra de Sarrus e verifique.

Propriedade 6 (Teorema de Binet)Sendo A e B matrizes quadradas de mesma ordem, então:det(A.B) = detA . detB

Exemplo

A= ⇒

3021

detA=3

B= ⇒

1234

detB=-2


MATEMÁTICA

A.B= ⇒

3658

det(A.B)=-6

Logo, det(AB)=detA. detB

Consequências: Sendo A uma matriz quadrada e n∈N*, temos:

det(An) = (detA)n

Sendo A uma matriz inversível, temos:

detA-1=Adet

1

Justificativa: Seja A matriz inversível.A-1.A=Idet(A-1.A)=det IdetA-1.detA=det I

detA-1=Adet

1

Uma vez que det I=1, onde i é a matriz identidade.

Determinantes – Teorema de Laplace

Menor complementar e Co-fator

Dada uma matriz quadrada A=(aij )nxn (n≥ 2), chamamos menor complementar do elemento aij e indicamos por Mij o determinante da matriz quadrada de ordem n-1, que se obtém suprimindo a linha i e a coluna j da matriz A.

Exemplo

Sendo A=

212014321

, temos:

M11=2101 =2

M12=2204 =8

M13=1214 =2

Chamamos co-fatorn do elemento aij e indicamos com Aij o número (-1)i+j.Mij, em que Mij é o menor complementar de aij.

Exemplo

Sendo A

−

−

031312413

, temos:

A11=(-1)1+1.M11=(-1)2. 0331

=-9

A12=(-1)1+2.M12=(-1)3. 0132

− =-3

A33=(-1)3+3.M33=(-1)6. 1213 −

=5

Dada uma matriz A=(aij)nxm, com n≥ 2, chamamos matriz co--fatora de A a matriz cujos elementos são os co-fatores dos ele-mentos de A; indicamos a matriz co-fatora por cof A. A transposta da matriz co-fatora de A é chamada de matriz adjunta de A, que indicamos por adj. A.

Exemplo

Sendo A=

−124101231

, temos:

A11=(-1)1+1.

1210 −

=2

A12=(-1)1+2.

1411 −

=-5

A13=(-1)1+3.

2401

=2

A21=(-1)2+1. 12

23 =1

A22=(-1)2+2.

1421

=-7

A23=(-1)2+3.

2431

=10

A31=(-1)3+1.

1023−

=-3

A32=(-1)3+2.

1121− =3

A33=(-1)3+3.

0131

=-3

Assim:

cofA =

2 −5 2

1 −7 10

−3 3 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

e adjA =

2 1 −3

−5 −7 3

2 10 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

Determinante de uma Matriz de Ordem n

Definição.Vimos até aqui a definição de determinante para matrizes

quadradas de ordem 1, 2 e 3.Seja A uma matriz quadrada de ordem n.

Então:- Para n = 1A=[a11] ⇒ det A=a 11


MATEMÁTICA

- Para n ≥ 2:

A= ∑=

=⇒

n

jjj

nnnn

n

n

AaA

aaa

aaaaaa

111

21

22221

11211

.det

..........................

.......

ou seja:detA = a11.A11+a12.A12+…+a1n.A1n

Então, o determinante de uma matriz quadrada de ordem n, n≥ 2 é a soma dos produtos dos elementos da primeira linha da matriz pelos respectivos co-fatores.

Exemplos

1º) Sendo A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ , temos:

detA=a11.A11+a12.A12, onde:A11=(-1)1+1.|a22|=a22A12=(-1)1+2.|a21|=a21

Assim:detA=a11.a22+a12.(-a21)detA=a11.a22-a21.a12

Nota: Observamos que esse valor coincide com a definição vista anteriormente.

− Sendo A =

3 0 0 0

1 2 3 2

23 5 4 3

−9 3 0 2

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

,temos :

detA = 3.A11 + 0.A12 + 0.A13 + 0.A14zero

A11=(-1)1+1.

203341232

=-11

Assim:

detA=3.(-11)⇒ det A = -33

Nota: Observamos que quanto mais “zeros” aparecerem na primeira linha, mais o cálculo é facilitado.

Teorema de LaplaceSeja A uma matriz quadrada de ordem n, n⇒ 2, seu determi-

nante é a soma dos produtos dos elementos de uma fila (linha ou coluna) qualquer pelos respectivos co-fatores.

Exemplo

Sendo A=

− 0223001401232105

Devemos escolher a 4ª coluna para a aplicação do teorema de Laplace, pois, neste caso, teremos que calcular apenas um co-fator.

Assim:detA=2.A14+0.A24+0.A34+0.A44

A14=(-1)1+4

− 223014123

=+21

detA=2.21=42

Observações Importantes: No cálculo do determinante de uma matriz de ordem n, recaímos em determinantes de matrizes de ordem n-1, e no cálculo destes, recaímos em determinantes de ordem n-2, e assim sucessivamente, até recairmos em determinantes de matrizes de ordem 3, que calculamos com a regra de Sarrus, por exemplo.

- O cálculo de um determinante fica mais simples, quando escolhemos uma fila com a maior quantidade de zeros.

- A aplicação sucessiva e conveniente do teorema de Jacobi pode facilitar o cálculo do determinante pelo teorema de Laplace.

Exemplo

Calcule det A sendo A=

−−

3643213212101321

A 1ª coluna ou 2ª linha tem a maior quantidade de zeros. Nos dois casos, se aplicarmos o teorema de Laplace, calcularemos ainda três co-fatores.

Para facilitar, vamos “fazer aparecer zero”em A31=-2 e A41=3 multiplicando a 1ª linha por 2 e somando com a 3ª e multiplicando a 1ª linha por -3 e somando com a 4ª linha; fazendo isso, teremos:

A=

−−

−

0320477012101321

Agora, aplicamos o teorema de Laplace na 1ª coluna:

detA=1.(-1)1+1.

−−

−

032477121

=

−−

−

032477121


MATEMÁTICA

Aplicamos a regra de Sarrus,

det A=(0-16-21)-(-14+12+0)detA=0-16-21+14-12-0=-49+14detA=-35

Uma aplicação do Teorema de Laplace

Sendo A uma matriz triangular, o seu determinante é o produto dos elementos da diagonal principal; podemos verificar isso desenvolvendo o determinante de A através da 1ª coluna, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular superior, e através da 1ª linha, se ela for triangular inferior.

Assim:

1ª) A é triangular superior

A=

nn

n

n

n

a

aaaaaaaaa

...000...............

...00

...0....

333

22322

1131211

detA=a11.a22.a33. ... .ann

2ª) A é triangular inferior

A=

nnnnn

n

n

n

aaaa

aaaaaaaaaaa

..................

...

...0....

321

3333231

22221

1131211

detA=a11.a22.a33. ... .ann

In=

1000

010000100001

det/n=1

Determinante de Vandermonde e Regra de Chió

Uma determinante de ordem n ≥ 2 é chamada determinante de Vandermonde ou determinante das potências se, e somente se, na 1ª linha (coluna) os elementos forem todos iguais a 1; na 2ª, números quaisquer; na 3ª, os seus quadrados; na 4ª, os seus cubos e assim sucessivamente.

Exemplos1º) Determinante de Vandermonde de ordem 3

222

111

cbacba

2º) Determinante de Vandermonde de ordem 4

3333

2222

1111

dcbadcbadcba

Os elementos da 2ª linha são denominados elementos característicos.

Propriedade

Um determinante de Vandermonde é igual ao produto de todas as diferenças que se obtêm subtraindo-se de cada um dos elementos característicos os elementos precedentes, independente da ordem do determinante.

ExemploCalcule o determinante:

detA =

1 2 4

1 4 16

1 7 49

Sabemos que detA=detAt, então:

detAt =

1 1 1

2 4 7

1 16 49

Que é um determinante de Vandermonde de ordem 3, então:detA=(4-2).(7-2).(7-4)=2.5.3=30

Exercícios

1. Escreva a matriz A = (aij)2 x 3 tal que aij = 2i + j.

2. Obtenha o valor de x e y sabendo que a matriz A = é nula.


MATEMÁTICA

3. Calcule a soma dos elementos da diagonal principal com

os elementos da diagonal secundária da matriz .

4. Calcule o valor a e b, sabendo que =

5. Sabendo que a matriz A = é matriz diagonal, calcule x, y e z.

6. Sabendo que I2 = calcule x e y.

7. Escreva a matriz oposta de A = (aij) 2x 2 sabendo que aij = i + j.8. Escreva a matriz transposta A = (aij)3 x 3 dada por aij = i – 2j.

9. Dada a matriz A = calcule o valor de a para que A seja simétrica.

10. Calcule A + B sabendo que A = e

B =

Respostas

1) Solução: Sendo a matriz A do tipo 2 x 3, temos:

A =a11 a12 a13

a21 a22 a23

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

a11 = 2 . 1 + 1 = 3a12 = 2 . 1 + 2 = 4a13 = 2 . 1 + 3 = 5a21 = 2 . 2 + 1 = 5a22 = 2 . 2 + 2 = 6a23 = 2 . 2 + 3 = 7

Portanto, A =

2) Solução: Como a matriz A é nula, então todos os seus elementos são nulos. Logo:

x + 1 = 0 → x = -1y – 2 = 0 → y = -2

3) Solução: Os elementos da diagonal principal são 1, 5 e 9; logo, 1 + 5 + 9 = 15.

Os elementos da diagonal secundária são 3, 5 e 7; logo, 3 + 5 + 7 = 15.

Portanto, a soma procurada é 15 + 15, ou seja, 30.

4) Solução: Como as matrizes são iguais, devemos ter:a + 4 = 5 → a = 1b² = 4 → b = 2 ou b = -2

5) Solução: Como a matriz A é matriz diagonal, devemos ter:x + 2 = 0 → x = -2y – 1 = 0 → y = 1z – 4 = 0 → z = 4.

Portanto, x = -2, y = 1 e z = 4.6) Solução:

Como I2 = , devemos ter x – y = 1 e x + y = 0.Resolvendo o sistema encontramos x =

7) Solução:

A =a11 a12

a21 a22

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥ → a11 = 1 + 1 = 2, a12 = 1 + 2 = 3, a21 = 2 +

1 = 3, a22 = 2 + 2 = 4.

Logo,A =2 3

3 4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥e− A =

−2 −3

−3 −4

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

8) Solução:

A =

a11 a12 a13

a 21 a22 a23

a31 a32 a33

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥⎥

a11 = 1 – 2 . 1 = -1a12 = 1 – 2 . 2 = -3a13 = 1 – 2 . 3 = -5a21 = 2 – 2 . 1 = 0a22 = 2 – 2 . 2 = -2a23 = 2 – 2 . 3 = -4a31 = 3 – 2 . 1 = 1a32 = 3 – 2 . 2 = -1a33 = 3 – 2 . 3 = -3

Portanto, A =

−1 −3 −5

0 −2 −4

1 −1 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

e At =

−1 0 1

−3 −2 −1

−5 −4 −3

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

.

9) Solução: A matriz A será simétrica se At = A.

At = .

Então devemos ter → a² = 4

Portanto, a = 2 ou a = -2.


MATEMÁTICA

10) Solução:

A + B =1 0 3

−2 4 2

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥+

−1 1 2

3 −2 5

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

=1+ −1( ) 0 +1 3+ 2

−2 + 3 4 + (−2) 2 + 5

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥=

0 1 5

1 2 7

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

ANOTAÇÕES

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ANOTAÇÕES

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MATEMÁTICA

ANOTAÇÕES

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5_-_matem_tica_7

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