RACIOCÍNIO LÓGICO

Didatismo e Conhecimento 1

RACIOCÍNIO LÓGICO

Professora Raissa Y. Y. Rodrigues

Engenheira Eletricista com ênfase em eletrônica pela Universidade Tecnológica Federal do Paraná.

1 ESTRUTURAS LÓGICAS.

1. ProposiçãoProposição ou sentença é um termo utilizado para exprimir ideias, através de um conjunto de palavras ou símbolos. Este conjunto

descreve o conteúdo dessa ideia.São exemplos de proposições:

p: Pedro é médico. q: 5 > 8 r: Luíza foi ao cinema ontem à noite.

2. Princípios fundamentais da lógicaPrincípio da Identidade: A é A. Uma coisa é o que é. O que é, é; e o que não é, não é. Esta formulação remonta a Parménides

de Eleia.Principio da não contradição: Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa, ao mesmo tempo.Principio do terceiro excluído: Uma alternativa só pode ser verdadeira ou falsa.

3. Valor lógico Considerando os princípios citados acima, uma proposição é classificada como verdadeira ou falsa.Sendo assim o valor lógico será:- a verdade (V), quando se trata de uma proposição verdadeira.- a falsidade (F), quando se trata de uma proposição falsa.

4. Conectivos lógicos Conectivos lógicos são palavras usadas para conectar as proposições formando novas sentenças.Os principais conectivos lógicos são:

~ não∧ eV Ou se…então se e somente se

2 LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO: ANALOGIAS, INFERÊNCIAS, DEDUÇÕES E CONCLUSÕES.

Argumento é uma relação que associa um conjunto de proposições (p1, p2, p3,... pn), chamadas premissas ou hipóteses, e uma proposição C chamada conclusão. Esta relação é tal que a estrutura lógica das premissas acarretam ou tem como consequência a proposição C (conclusão).


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Exemplo:P1: Todos os cariocas são alegres.P2:Todas as pessoas alegres vão à praia.C: Todos os cariocas vão à praia.Neste exemplo temos o famoso silogismo categórico de forma típica ou simplesmente silogismo. Os silogismos são os argumen-

tos que têm somente duas premissas e mais a conclusão, e utilizam os termos: todo, nenhum e algum, em sua estrutura.

1. AnalogiasRelaçao de semelhança (comparação) estabelecida entre diferentes conjuntos de argumentos que obedecem uma mesma estrutura

lógica, isto é, organização de argumentos.Por exemplo: “A luz está para o dia assim como a escuridão para a noite” é uma analogia no qual se estabelece que para uma

fase do dia há um nível de luz. Então se pode-se estabelecer uma nova fase (ex: tarde) e um nível de luminosidade (“meia-luz”) para estabelecer uma frase que permita fazer analogia com a antiga frase “a meia-luz está para a tarde”.

2. Argumentos dedutivos e indutivos

Os argumentos podem ser classificados em dois tipos: Dedutivos e Indutivos.

1) O argumento será DEDUTIVO quando suas premissas fornecerem informações suficientes para comprovar a veracidade da conclusão, isto é, o argumento é dedutivo quando a conclusão é completamente derivada das premissas.

EXEMPLO:

Todo ser humano têm mãe.Todos os homens são humanos.Todos os homens têm mãe.

2) O argumento será INDUTIVO quando suas premissas não fornecerem o “apoio completo” para ratificar as conclusões. Por-tanto, nos argumentos indutivos, a conclusão possui informações que ultrapassam as fornecidas nas premissas. Sendo assim, não se aplica, então, a definição de argumentos válidos ou não válidos para argumentos indutivos.

EXEMPLO:O Flamengo é um bom time de futebol.O Palmeiras é um bom time de futebol.O Vasco é um bom time de futebol.O Cruzeiro é um bom time de futebol.Todos os times brasileiros de futebol são bons.Note que não podemos afirmar que todos os times brasileiros são bons sabendo apenas que 4 deles são bons.

3. Validade de um argumentoUma proposição é verdadeira ou falsa. No caso de um argumento dedutivo diremos que ele é válido ou inválido. Atente-se

para o fato que todos os argumentos indutivos são inválidos, portanto não há de se falar em validade de argumentos indutivos. A validade é uma propriedade dos argumentos que depende apenas da forma (estrutura lógica) das suas proposições (premissas e conclusões) e não do seu conteúdo.

Argumento VálidoUm argumento será válido quando a sua conclusão é uma consequência obrigatória de suas premissas.Em outras palavras, podemos dizer que quando um argumento é válido, a verdade de suas premissas deve garantir a verdade

da conclusão do argumento. Isso significa que, se o argumento é válido, jamais poderemos chegar a uma conclusão falsa quando as premissas forem verdadeiras.

Argumento InválidoDizemos que um argumento é inválido, quando a verdade das premissas não é suficiente para garantir a verdade da conclusão,

ou seja, quando a conclusão não é uma consequência obrigatória das premissas.


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Exercícios Resolvidos:

1- (FCC) Considere que as seguintes afirmações são verdadeiras:“Toda criança gosta de passear no Metrô de São Paulo.”“Existem crianças que são inteligentes.”Assim sendo, certamente é verdade que:(A) Alguma criança inteligente não gosta de passear no Metrô de São Paulo.(B) Alguma criança que gosta de passear no Metrô de São Paulo é inteligente.(C) Alguma criança não inteligente não gosta de passear no Metrô de São Paulo.(D) Toda criança que gosta de passear no Metrô de São Paulo é inteligente.(E) Toda criança inteligente não gosta de passear no Metrô de São Paulo.

SOLUÇÃO:Representando as proposições na forma de conjuntos (diagramas lógicos – ver artigo sobre diagramas lógicos) teremos:

“Toda criança gosta de passear no Metrô de São Paulo.”“Existem crianças que são inteligentes.”

Pelo gráfico, observamos claramente que se todas as crianças gostam de passear no metrô e existem crianças inteligentes, en-tão alguma criança que gosta de passear no Metrô de São Paulo é inteligente. Logo, a alternativa correta é a opção B.

2- (CESPE) É válido o seguinte argumento: Se Ana cometeu um crime perfeito, então Ana não é suspeita, mas (e) Ana não cometeu um crime perfeito, então Ana é suspeita.

SOLUÇÃO:Representando as premissas do enunciado na forma de diagramas lógicos (ver artigo sobre diagramas lógicos), obteremos:

Premissas:“Se Ana cometeu um crime perfeito, então Ana não é suspeita” = “Toda pessoa que comete um crime perfeito não é suspeita”.“Ana não cometeu um crime perfeito”.Conclusão:“Ana é suspeita”. (não se “desenha” a conclusão, apenas as premissas!)

O fato do enunciado ter falado apenas que “Ana não cometeu um crime perfeito”, não nos diz se ela é suspeita ou não. Por isso temos duas possibilidades (ver bonecos). Logo, a questão está errada, pois não podemos afirmar, com certeza, que Ana é suspeita. Logo, o argumento é inválido.


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3. LÓGICA SENTENCIAL (OU PROPOSI-CIONAL). 3.1. PROPOSIÇÕES SIMPLES E COMPOSTAS. 3.2 TABELAS-VERDADE. 3.3 EQUIVALÊNCIAS. 3.4 LEIS DE MORGAN.

3.5 DIAGRAMAS LÓGICOS.

1. Proposições simples e compostasAs proposições simples são assim caracterizadas por apresentarem apenas uma ideia. São indicadas pelas letras minúsculas: p,

q, r, s, t...As proposições compostas são assim caracterizadas por apresentarem mais de uma proposição conectadas pelos conectivos lógi-

cos. São indicadas pelas letras maiúsculas: P, Q, R, S, T...Obs: A notação Q(r, s, t), por exemplo, está indicando que a proposição composta Q é formada pelas proposições simples r, s e t.Exemplo:

Proposições simples:p: Meu nome é Raissa q: São Paulo é a maior cidade brasileira r: 2+2=5 s: O número 9 é ímpar t: O número 13 é primo

Proposições compostas P: O número 12 é divisível por 3 e 6 é o dobro de 12. Q: A raiz quadrada de 9 é 3 e 24 é múltiplo de 3. R(s, t): O número 9 é ímpar e o número 13 é primo.

2. Tabelas-verdade

A tabela-verdade é usada para determinar o valor lógico de uma proposição composta, sendo que os valores das proposições simples já são conhecidos. Pois o valor lógico da proposição composta depende do valor lógico da proposição simples.

A seguir vamos compreender como se constrói essas tabelas-verdade partindo da árvore das possibilidades dos valores lógicos das preposições simples, e mais adiante veremos como determinar o valor lógico de uma proposição composta.

Proposição composta do tipo P(p, q)


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Proposição composta do tipo P(p, q, r)

Proposição composta do tipo P(p, q, r, s) A tabela-verdade possui 24 = 16 linhas e é formada igualmente as anteriores.

Proposição composta do tipo P(p1, p2, p3,..., pn)A tabela-verdade possui 2n linhas e é formada igualmente as anteriores.

7. O conectivo não e a negaçãoO conectivo não e a negação de uma proposição p é outra proposição que tem como valor lógico V se p for falsa e F se p é

verdadeira. O símbolo ~p (não p) representa a negação de p com a seguinte tabela-verdade:

P ~PV FF V

Exemplo:p = 7 é ímpar ~p = 7 não é ímpar

P ~PV F

q = 24 é múltiplo de 5 ~q = 24 não é múltiplo de 5

q ~qF V

8. O conectivo e e a conjunçãoO conectivo e e a conjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem

verdadeiras, e F em outros casos. O símbolo p Λ q (p e q) representa a conjunção, com a seguinte tabela-verdade:

P q p Λ qV V VV F FF V FF F F


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Exemplop = 2 é par q = o céu é rosap Λ q = 2 é par e o céu é rosa

P q p Λ qV F F

p = 9 < 6 q = 3 é parp Λ q: 9 < 6 e 3 é par

P q p Λ qF F F

9. O conectivo ou e a disjunção

O conectivo ou e a disjunção de duas proposições p e q é outra proposição que tem como valor lógico V se alguma das proposições for verdadeira e F se as duas forem falsas. O símbolo p ∨ q (p ou q) representa a disjunção, com a seguinte tabela--verdade:

P q p V qV V VV F VF V VF F F

Exemplo:p = 2 é par q = o céu é rosa p ν q = 2 é par ou o céu é rosa

P q p V qV F V

10. O conectivo se… então… e a condicionalA condicional se p então q é outra proposição que tem como valor lógico F se p é verdadeira e q é falsa. O símbolo p → q repre-

senta a condicional, com a seguinte tabela-verdade:

P q p → qV V VV F FF V VF F V

Exemplo:P: 7 + 2 = 9 Q: 9 – 7 = 2 p → q: Se 7 + 2 = 9 então 9 – 7 = 2

P q p → qV V V


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p = 7 + 5 < 4 q = 2 é um número primo p → q: Se 7 + 5 < 4 então 2 é um número primo.

P q p → qF V V

p = 24 é múltiplo de 3 q = 3 é par p → q: Se 24 é múltiplo de 3 então 3 é par.

P q p → qV F F

p = 25 é múltiplo de 2 q = 12 < 3 p → q: Se 25 é múltiplo de 2 então 2 < 3.

P q p → qF F V

11. O conectivo se e somente se e a bicondicionalA bicondicional p se e somente se q é outra proposição que tem como valor lógico V se p e q forem ambas verdadeiras ou ambas

falsas, e F nos outros casos. O símbolo representa a bicondicional, com a seguinte tabela-verdade:

P q p ↔ qV V VV F FF V FF F V

Exemplop = 24 é múltiplo de 3 q = 6 é ímpar

= 24 é múltiplo de 3 se, e somente se, 6 é ímpar.

P q p ↔ qV F F

12. Tabela-Verdade de uma proposição composta

ExemploVeja como se procede a construção de uma tabela-verdade da proposição composta P(p, q) = ((p ⋁ q) → (~p)) → (p ⋀ q), onde p

e q são duas proposições simples.ResoluçãoUma tabela-verdade de uma proposição do tipo P(p, q) possui 24 = 4 linhas, logo:

p q p V q ~p (p V p)→(~p) p Λ q ((p V p)→(~p))→(p Λ q)V V V F F V F F


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Agora veja passo a passo a determinação dos valores lógicos de P.

a) Valores lógicos de p ν q

p q p V q ~p (p V p)→(~p) p Λ q ((p V p)→(~p))→(p Λ q)V V V V F V F V V F F F

b) Valores lógicos de ~P

p q p V q ~p (p V p)→(~p) p Λ q ((p V p)→(~p))→(p Λ q)V V V F V F V F F V V V F F F V

c) Valores lógicos de (p V p)→(~p)

p q p V q ~p (p V p)→(~p) p Λ q ((p V p)→(~p))→(p Λ q)V V V F F V F V F F F V V V V F F F V V

d) Valores lógicos de p Λ q

p q p V q ~p (p V p)→(~p) p Λ q ((p V p)→(~p))→(p Λ q)V V V F F V V F V F F F F V V V V F F F F V V F

e) Valores lógicos de ((p V p)→(~p))→(p Λ q)

p q p V q ~p (p V p)→(~p) p Λ q ((p V p)→(~p))→(p Λ q)V V V F F V VV F V F F F VF V V V V F FF F F V V F F

13. Tautologia

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma Tautologia se ela for sempre verda-deira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem.

Exemplos:• Gabriela passou no concurso do INSS ou Gabriela não passou no concurso do INSS• Não é verdade que o professor Zambeli parece com o Zé gotinha ou o professor Zambeli parece com o Zé gotinha.


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Ao invés de duas proposições, nos exemplos temos uma única proposição, afirmativa e negativa. Vamos entender isso melhor. Exemplo:Grêmio cai para segunda divisão ou o Grêmio não cai para segunda divisãoVamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “~p” e o conetivo de “V”Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p V ~p

ExemploA proposição p ∨ (~p) é uma tautologia, pois o seu valor lógico é sempre V, conforme a tabela-verdade.

p ~P p V qV F VF V V

ExemploA proposição (p Λ q) → (p q) é uma tautologia, pois a última coluna da tabela-verdade só possui V.

p q p Λ q p↔q (p Λ q)→(p↔q)V V V V VV F F F VF V F F VF F F V V

14. Contradição

Uma proposição composta formada por duas ou mais proposições p, q, r, ... será dita uma contradição se ela for sempre falsa, independentemente dos valores lógicos das proposições p, q, r, ... que a compõem

Exemplos:• O Zorra total é uma porcaria e Zorra total não é uma porcaria• Suelen mora em Petrópolis e Suelen não mora em PetrópolisAo invés de duas proposições, nos exemplos temos uma única proposição, afirmativa e negativa. Vamos entender isso melhor.Exemplo:Lula é o presidente do Brasil e Lula não é o presidente do BrasilVamos chamar a primeira proposição de “p” a segunda de “~p” e o conetivo de “^”Assim podemos representar a “frase” acima da seguinte forma: p ^ ~pExemploA proposição (p Λ q) Λ (p Λ q) é uma contradição, pois o seu valor lógico é sempre F conforme a tabela-verdade. Que significa

que uma proposição não pode ser falsa e verdadeira ao mesmo tempo, isto é, o princípio da não contradição.

p ~P q Λ (~q)V F FF V F

15. ContingênciaQuando uma proposição não é tautológica nem contra válida, a chamamos de contingência ou proposição contingente ou pro-

posição indeterminada.A contingência ocorre quando há tanto valores V como F na última coluna da tabela-verdade de uma proposição. Exem-

plos: P∧Q , P∨Q , P→Q ...

16. Implicação lógica

DefiniçãoA proposição P implica a proposição Q, quando a condicional P → Q for uma tautologia.O símbolo P ⇒ Q (P implica Q) representa a implicação lógica.


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Diferenciação dos símbolos → e ⇒O símbolo → representa uma operação matemática entre as proposições P e Q que tem como resultado a proposição P → Q,

com valor lógico V ou F.O símbolo ⇒ representa a não ocorrência de VF na tabela-verdade de P → Q, ou ainda que o valor lógico da condicio-

nal P → Q será sempre V, ou então que P → Q é uma tautologia. ExemploA tabela-verdade da condicional (p Λ q) → (p ↔ q) será:

p q p Λ q P↔Q (p Λ q)→(P↔Q)V V V V VV F F F VF V F F VF F F V V

Portanto, (p Λ q) → (p ↔ q) é uma tautologia, por isso (p Λ q) ⇒ (p ↔q)17. Equivalência lógica

DefiniçãoHá equivalência entre as proposições P e Q somente quando a bicondicional P ↔ Q for uma tautologia ou quando P e Q tiverem

a mesma tabela-verdade. P ⇔ Q (P é equivalente a Q) é o símbolo que representa a equivalência lógica. Diferenciação dos símbolos ↔ e ⇔O símbolo ↔ representa uma operação entre as proposições P e Q, que tem como resultado uma nova proposição P ↔ Q com

valor lógico V ou F.O símbolo ⇔ representa a não ocorrência de VF e de FV na tabela-verdade P ↔ Q, ou ainda que o valor lógico de P ↔ Q é

sempre V, ou então P ↔ Q é uma tautologia.

ExemploA tabela da bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) será:

p q ~q ~p p→q ~q→~p (p→q)↔(~q→~p)V V F F V V VV F V F F F VF V F V V V VF F V V V V V

Portanto, p → q é equivalente a ~q → ~p, pois estas proposições possuem a mesma tabela-verdade ou a bicondicional (p → q) ↔ (~q → ~p) é uma tautologia.

Veja a representação:(p → q) ⇔ (~q → ~p)

18. Sentenças abertas

DefiniçõesSupondo que U seja um conjunto e x um elemento desse conjunto, podemos considerar que:- U é um conjunto-universo e x a variável. - a proposição p(x) será uma sentença aberta em U quando p(a) for verdadeira ou p(a) for falsa, ∀a ∈ U. - se a ∈ U e p(a) for verdadeira, nesse caso a confirma p(x) ou a é a solução de p(x). - O conjunto-verdade de p(x), em U, é formado por todos e somente os elementos de a ∈ U, onde p(a) é uma sentença verdadeira.

Veja a representação deste conjunto: {a ∈ U| p(a) é V}.


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Exemplos:

SENTENÇA ABERTA CONJUNTO UNIVERSO CONJUNTO VERDADE

x+2=1 Z {1}x+3<6 N {0, 1, 2}

2x-4x-5=0 R+ {-1;5}x é multiplo de 2 {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,} {0, 2, 4, 6, 8}

19. Operações lógicas com sentenças abertasÉ possível efetuar as sentenças abertas de forma análoga à das proposições lógicas, através dos conectivos já

apresentados: não, e, ou, se então, se e somente se.

Exemplo Observando a condicional (x > 5) → (x > 2), em N, podemos notar que:

x x>5 x>2 (x>5)→(x>2){0, 1, 2} F F V{3, 4, 5} F V V

{6, 7, 8, 9, …} V V VExercícios resolvidos:

1-(SERPRO-2001/ESAF) Considere o seguinte argumento: “Se Soninha sorri, Sílvia é miss simpatia. Ora, Soninha não sorri. Logo, Sílvia não é miss simpatia”. Este não é um argumento logicamente válido, uma vez que:

a) a conclusão não é decorrência necessária das premissas.b) a segunda premissa não é decorrência lógica da primeira.c) a primeira premissa pode ser falsa, embora a segunda possa ser verdadeira.d) a segunda premissa pode ser falsa, embora a primeira possa ser verdadeira.e) o argumento só é válido se Soninha na realidade não sorri.

Solução:Trata-se de uma questão meramente conceitual, e de resolução, portanto, imediata.Se o enunciado está afirmando que um argumento qualquer é inválido, isso significa, tão somente, que a conclusão não é decor-

rência necessária (obrigatória) das premissas!É o que diz a opção A.

2) Três alunos são suspeitos de não estarem matriculados no Curso de Raciocínio Lógico. O Aparecido entrevistou os três, para cobrar a matrícula, e obteve os seguintes depoimentos:

AURO: “Joaquim não pagou e Cláudia pagou JOAQUIM”: “Se Auro não pagou, Cláudia também não pagou”.CLÁUDIA: “Eu paguei, mas pelo menos um dos outros não pagou”Pede-se:1. Exprimir simbolicamente os depoimentos2. Identificar os pagantes e os não pagantes, supondo que todos os depoimentos são verdadeiros3. Identificar os mentirosos, supondo que todos pagaram as matrículas.

Resolução:a. Sejam as proposiçõesA = “Auro pagou a matrícula”J = “Joaquim pagou a matrícula”C = “Cláudia pagou a matrícula”


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Depoimentos

b. Verificamos que se todos os depoimentos são verdadeiros estamos na terceira linha, logo VAL (A) = V, VAL (J) = F, VAL (C) = V

Portanto:Os pagantes são Auro e Cláudia.O não pagante é o Joaquimc. Se todos pagaram a matrícula temos que VAL(A) = V, VAL(J) = V e VAL(C) = V, logo estamos na primeira linha, daí os de-

poimentos mentirosos são do Auro e Cláudia.

3- (ESAF) José quer ir ao cinema assistir ao filme “Fogo Contra Fogo”, mas não tem certeza se o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, Luis e Julio têm opiniões discordantes sobre se o filme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, então Julio está enganado. Se Julio estiver enganado, então Luis está enganado. Se Luis estiver enganado, então o filme não está sendo exibido. Ora, ou o filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido, ou José não ira ao cinema. Verificou-se que Maria está certa. Logo,

a. O filme “Fogo contra Fogo” está sendo exibido.b. Luis e Julio não estão enganados.c. Julio está enganado, mas Luis não.d. Luis está enganado, mas Julio não.e. José não irá ao cinema.

Resolução:Se Maria está certa, entãoJulio está enganadoSe Julio está enganado, então Luis está enganadoSe Luis estiver enganado, então O Filme não está sendo exibido.Ora, ou o filme está sendo exibido ou José não irá ao cinema.Logo, concluímos que:José não irá ao cinema.Resposta “E”


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3. Diagramas lógicosDefinição: Os diagramas de Venn foram criados pelo matemático inglês John Venn, no intuito de facilitar as relações de união e intersecção

entre conjuntos. Eles possuem um papel fundamental na organização de dados obtidos em pesquisas, principalmente nas situações em que o entrevistado opta por duas ou mais opções.

Exemplos:

1-(Especialista em Políticas Públicas Bahia 2004 FCC) Considerando “todo livro é instrutivo” como uma proposição verda-deira, é correto inferir que:

a) “Nenhum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. b) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira. c) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. d) “Algum livro é instrutivo” é uma proposição verdadeira ou falsa. e) “Algum livro não é instrutivo” é uma proposição necessariamente verdadeira.

Solução:


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A opção A é descartada de pronto: “nenhum livro é instrutivo” implica a total dissociação entre os diagramas. E estamos com a situação inversa!

A opção B é perfeitamente escorreita! Percebam como todos os elementos do diagrama vermelho estão inseridos no diagrama azul. Resta necessariamente perfeito que algum livro é instrutivo.

Resposta: opção B.

2- (TTN-98 ESAF) Se é verdade que “Alguns A são R” e que “Nenhum G é R”, então é necessariamente verdadeiro que: a) algum A não é G; b) algum A é G. c) nenhum A é G; d) algum G é A; e) nenhum G é A; Solução: Esta questão traz, no enunciado, duas proposições categóricas: 1. Alguns A são R 2. Nenhum G é R Devemos fazer a representação gráfica de cada uma delas por círculos para ajudar-nos a obter a resposta correta. Na verdade, para esta questão, não é necessário fazer representações gráficas, pois se observarmos as alternativas, já podemos

excluir as alternativas “b” e “d” (pois algum A é G é equivalente a algum G é A, e não podemos ter duas respostas corretas), e também excluir as alternativas “c” e “e” (pois nenhum A é G é o mesmo que nenhum G é A). Só restando-nos

a alternativa “a” para marcar como correta. Mas para efeitos didáticos vamos também resolver esta questão por diagramas de círculos! Vamos iniciar pela representação do Nenhum G é R, que é dada por dois círculos separados, sem nenhum ponto em comum.

Como já foi visto, não há uma representação gráfica única para a proposição categórica do Alguns A são R, mas geralmente a representação em que os dois círculos se interceptam (mostrada abaixo) tem sido suficiente para resolver qualquer questão.

Agora devemos juntar os desenhos das duas proposições categóricas para analisarmos qual é a alternativa correta. Como a questão não informa sobre a relação entre os conjuntos A e G, então teremos diversas maneiras de representar graficamente os três conjuntos (A, G e R). A alternativa correta vai ser aquela que é verdadeira para quaisquer dessas representações.

Para facilitar a solução da questão não faremos todas as representações gráficas possíveis entre os três conjuntos, mas sim, uma (ou algumas) representação(ões) de cada vez e passamos a analisar qual é a alternativa que satisfaz esta(s) representação(ões), se tivermos somente uma alternativa que satisfaça, então já achamos a resposta correta, senão, desenhamos mais outra representação gráfica possível e passamos a testar somente as alternativas que foram verdadeiras no teste anterior.

Tomemos agora o seguinte desenho, em que fazemos duas representações, uma em que o conjunto A intercepta parcialmente o conjunto G, e outra em que não há intersecção entre eles.


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Teste das alternativas: 1º) Teste da alternativa “a” (algum A não é G) Observando os desenhos dos círculos, verificamos que esta alternativa é verdadeira para os dois desenhos de A, isto é, nas duas

representações há elementos em A que não estão em G. Passemos para o teste da próxima alternativa. 2º) Teste da alternativa “b” (algum A é G) Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a direita, esta alternativa não é verda-

deira, isto é, tem elementos em A que não estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “d” não é correta. Passemos para a próxima. 3º) Teste da alternativa “c” (Nenhum A é G) Observando os desenhos dos círculos, verificamos que, para o desenho de A que está mais a esquerda, esta alternativa não é

verdadeira, isto é, tem elementos em A que estão em G. Pelo mesmo motivo a alternativa “e” não é correta. Portanto, a resposta é a alternativa “A”.

3- (SERPRO 2001 ESAF) Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então:

a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês. b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história. c)) nenhum aluno de português é aluno de matemática. d) todos os alunos de informática são alunos de matemática. e) todos os alunos de informática são alunos de português. Solução:

O enunciado traz as seguintes proposições categóricas: 1. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês 2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história 3. Todos os alunos de português são também alunos de informática 4. Alguns alunos de informática são também alunos de história 5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês 6. Nenhum aluno de português é aluno de história Veja que há várias proposições categóricas, e devemos fazer a representação gráfica de cada uma para encontrar a resposta cor-

reta. Por qual proposição categórica devemos iniciar os desenhos dos círculos? Não há uma ordem única na realização dos desenhos,

devemos ir rabiscando um a um, de forma que ao final dos desenhos, tenhamos atendido a todas as proposições categóricas. Após os rabiscos efetuados para cada proposição categórica, chegamos ao seguinte desenho final:


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Teste das Alternativas 1°) Teste da alternativa “a” (pelo menos um aluno de português é aluno de inglês) Pelo desenho, já descartamos essa alternativa. 2°) Teste da alternativa “b” (pelo menos um aluno de matemática é aluno de história) Também pelo desenho, descartamos essa

alternativa. 3°) Teste da alternativa “c” (nenhum aluno de português é aluno de matemática) Observando o desenho, vemos claramente que este item é verdadeiro. 4°) Teste da alternativa “d” (todos os alunos de informática são alunos de matemática) Pelo desenho, temos que esta alternativa está errada. 5°) Teste da alternativa “e” (todos os alunos de informática são alunos de português) Pelo desenho, temos que esta alternativa também está errada. Resposta: alternativa C.

4. LÓGICA DE PRIMEIRA ORDEM

Sentenças abertas e quantificadores Sentenças Abertas No capítulo um, comentamos sobre as sentenças abertas, que são sentenças do tipo: a) x + 3 = 10 b) x > 5 c) (x+1)² – 5 = x² d) x – y = 20 e) Em 2004 foram registradas 800+z acidentes de trânsito em São Paulo. f) Ele é o juiz do TRT da 5ª Região. Tais sentenças não são consideradas proposições porque seu valor lógico (V ou F) depende do valor atribuído à variável (x, y,

z,...). O pronome ele que aparece na última sentença acima, funciona como uma variável, a qual se pode atribuir nomes de pessoas. Há, entretanto, duas maneiras de transformar sentenças abertas em proposições: 1ª) atribuir valor às variáveis; 2ª) utilizar quantificadores. A primeira maneira foi mostrada no capítulo um, mas vejamos outros exemplos: Ao atribuir a x o valor 5 na sentença aberta x + 3 = 10, esta transforma-se na proposição 5 + 3 = 10, cujo valor lógico é F. Ao atribuir a x o valor 2 na sentença aberta (x+1)² – 5 = x², esta transforma-se na proposição (2+1)²– 5 = 2², que resulta em 4 =

4, tendo, portanto, valor lógico V. A seguir, veremos a transformação de uma sentença aberta numa proposição por meio de quantificadores.

Quantificadores Consideremos as afirmações: a) Todo sangue é vermelho. b) Cada um dos alunos participará da excursão. c) Algum animal é selvagem. d) Pelo menos um professor não é rico. e) Existe uma pessoa que é poliglota. f) Nenhum crime é perfeito.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Expressões como “todo”, “cada um”, “algum”, “pelo menos um”, “existe”, “nenhum” são quantificadores. Há fundamentalmente dois tipos de quantificadores: Universal e Existencial. O Quantificador Universal O quantificador universal é indicado pelo símbolo que se lê: para todo, para cada, qualquer que seja. Veremos agora exemplos de transformações de sentenças abertas em proposições: 1) (x)(xN)(x + 3 = 10) O símbolo “ é o quantificador universal, x é a variável, N é o conjunto dos números naturais e x + 3 = 10 é a sentença aberta. (É

frequente em questões de concurso a sentença aberta ser chamada de predicado ou propriedade.) A proposição (x)(xN)(x² = 4) se lê da seguinte maneira: “Para todo elemento x do conjunto dos números naturais, temos que x

+ 3 = 10”. Qual o valor lógico dessa proposição? É claro que é Falso, pois se fizermos, por exemplo, o x igual ao número natural 1, teremos

1 + 3 = 10 (resultado falso!). 2) (x)(xZ)(x² x) O símbolo é o quantificador universal, x é a variável, Z é o conjunto dos números inteiros e x² xé a sentença aberta. A proposição (x)(xZ)(x² x) se lê da seguinte maneira: “Para todo elemento x do conjunto dos números inteiros, temos que x² x.Qual o valor lógico dessa proposição? Os números inteiros são {... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}. Se substituirmos qualquer um desses

números na sentença x² x, o resultado será sempre verdadeiro. Portanto, o valor lógico da proposição é Verdade. Se mudássemos do conjunto dos inteiros (Z) para o conjunto dos números racionais (Q), a proposição (x)(xZ)(x² x) tornar-se-ia

Falsa. Pois, se substituirmos x por 1/2, teremos (1/2)² 1/2, que resulta em 1/4 1/2 (resultado falso!). Podemos simplificar a notação simbólica das proposições, conforme mostrado abaixo: (x)(xN)(x + 3 = 10) pode ser escrita como (x N)(x + 3 = 10); (x)(xZ)(x² x) pode ser escrita como (x Z) (x² x) O Quantificador Existencial O quantificador existencial é indicado pelo símbolo que se lê: existe pelo menos um, existe um, existe, para algum. Passemos a exemplos de transformações de sentenças abertas em proposições usando o quantificador existencial: 1) (x)(xN)(x² = 4) O símbolo é o quantificador existencial, x é a variável, N é o conjunto dos números naturais e x²=4 é a sentença aberta. A proposição (x)(xN)(x² = 4) se lê da seguinte maneira: “Existe pelo menos um x pertencente ao conjunto dos números naturais

tal que x² = 4”.Qual o valor lógico dessa proposição? Ao resolver a equação x²= 4, encontramos como raízes os valores 2 e -2, sendo apenas o

primeiro um número natural. Como existe uma raiz que é um número natural, então a proposição tem valor lógico Verdade. 2) (y)(yR)(y + 1 = y + 2) O símbolo é o quantificador existencial, y é a variável, R é o conjunto dos números reais e y + 1 = y + 2 é a sentença aberta. A proposição (y)(yR)(y + 1 = y + 2) se lê da seguinte maneira: “Existe pelo menos um y pertencente ao conjunto dos números

reais tal que y + 1 = y + 2”. Podemos simplificar a sentença y + 1 = y + 2, cortando o y de cada lado da igualdade, resultando em 1 = 2. Não há y que dê jeito

de fazer 1 igual a 2, portanto a proposição é Falsa. Há outro quantificador que deriva do quantificador existencial, ele é chamado de quantificador existencial de unicidade, simbo-

lizado por | que se lê: existe um único, existe um e um só. Exemplos: 1) (| x)(xN)(x + 5 = 7) que se lê: “existe um único número x pertencente ao conjunto dos números naturais tal que x + 5 = 7”.

Realmente, só existe o número 2 que satisfaz essa sentença, daí a proposição tem valor lógico Verdade. Da mesma forma que o quantificador universal, também podemos simplificar a representação simbólica das proposições com

quantificador existencial, por exemplo: - (| x)(xZ)(x³= 5x2) pode ser escrita como ((| x N)(x³= 5x2);


RACIOCÍNIO LÓGICO

Representação Simbólica das Proposições Categóricas A tabela abaixo mostra a representação simbólica (na linguagem da lógica de 1.ª ordem) de cada uma das proposições categóricas.

Como era de se esperar a representação do todo A é B é uma condicional. O Algum A é B significa intersecção entre A e B, portanto é representado pela conjunção. O Nenhum A é B é a negação do Algum A é B, por isso que sua representação é a do algum com um til (~) na frente. E por último, o Algum A não é B é a negação de Todo A é B. Poder-se-ia colocar apenas um til (~) na frente.

Exercícios Resolvidos:

1) (ICMS-SP 2006/FCC) Considere as seguintes frases:I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.II. (x+y)/5 é um número inteiro.III. João da Silva foi o secretário da Fazenda do Estado de São Paulo em 2000.É verdade que apenas:a) I e II são sentenças abertas.b) I e III são sentenças abertasc) II e III são sentenças abertasd) I é uma sentença aberta.e) II é uma sentença aberta

Solução:A frase I é uma sentença aberta, pois “Ele” pode, nesta questão, estar se referindo a uma homem qualquer. Não podemos

classificá-la em V ou F, porque não sabemos sobre quem estamos falando. A frase I seria uma proposição se, por exemplo, o locutor apontasse para uma pessoa e falasse “Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005”.

A frase II é, sem dúvida, uma sentença aberta, pois há duas variáveis e infinitos valores que podem tornar a frase verdadeira ou falsa. Já a frase III não é uma sentença aberta, pois facilmente podemos verificar o sujeito e classificá-la em V ou F.

2) Identifique com F as sentenças fechadas e com A as abertasa) ( ) 4 + 7 = 10 e) ( ) 18x + 3 = 3b) ( ) 6 + x = 2 f) ( ) z - 6 = -10c) ( ) 2 - 1 < 5 g) ( ) 5 - 2 = 9d) ( ) y - 3 = 6 h) ( ) A baleia é um mamífero

Respostas:1) A2) a) F b) A c) F d) A e) A f) A g) F h) F

5 PRINCÍPIOS DE CONTAGEM E PROBABILIDADE.

Princípio fundamental da contagem

Princípio Fundamental da Contagem é o mesmo que a Regra do Produto, um princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um acontecimento pode ocorrer.


RACIOCÍNIO LÓGICO

O acontecimento é formado por dois estágios caracterizados como sucessivos e independentes: • O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos. • O segundo estágio pode ocorrer de n modos distintos. Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um acontecimento é igual ao produto m . n.

Exemplo: Alice decidiu comprar um carro novo, e inicialmente ela quer se decidir qual a modelo e a cor do seu novo veículo. Na conces-

sionária onde Alice foi há 3 tipos de modelos que são do interesse dela: Siena, Fox e Astra, sendo que para cada carro há 5 opções de cores: preto, vinho, azul, vermelho e prata.

Qual é o número total de opções que Alice poderá fazer?

Resolução:

Segundo o Principio Fundamental da Contagem, Alice tem 3×5 opções para fazer, ou seja,ela poderá optar por 15 carros diferentes. Vamos representar as 15 opções na árvore de possibilidades:

Generalizações:Um acontecimento é formado por k estágios sucessivos e independentes, com n1, n2, n3, … , nk possibilidades para cada. O total

de maneiras distintas de ocorrer este acontecimento é n1 . n2 . n3 . … . nk.

Cálculo CombinatórioTécnicas de contagem

Na Técnica de contagem não importa a ordem. Considere A = {a; b; c; d; …; j} um conjunto formado por 10 elementos diferentes, e os agrupamentos ab, ac e ca”. ab e ac são agrupamentos sempre distintos, pois se diferenciam pela natureza de um dos elemento.


RACIOCÍNIO LÓGICO

ac e ca são agrupamentos que podem ser considerados distintos ou não distintos pois se diferenciam somente pela ordem dos elementos. Quando os elementos de um determinado conjunto A forem algarismos, A = {0, 1, 2, 3, …, 9}, e com estes algarismos pretendemos obter números, neste caso, os agrupamentos de 13 e 31 são considerado distintos, pois indicam números diferentes.

Quando os elementos de um determinado conjunto A forem pontos, A= {A1, A2, A3, A4, A5…, A9}, e com estes pontos pretende-mos obter retas, neste caso os agrupamentos são iguais, pois indicam a mesma reta.

Conclusão

Os agrupamentos 1. Em alguns problemas de contagem, quando os agrupamentos se diferirem pela natureza de pelo menos um de seus elementos,

os agrupamentos serão considerados distintos. Neste caso os agrupamentos são denominados combinações.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por pontos e o problema é saber quantas retas esses pontos determinam. 2. Quando se diferir tanto pela natureza quanto pela ordem de seus elementos, os problemas de contagem serão agrupados e

considerados distintos. Neste caso os agrupamentos são denominados arranjos.

Pode ocorrer: O conjunto A é formado por algarismos e o problema é contar os números por eles determinados.

Arranjos Simples

Definição Arranjos Simples são agrupamentos sem repetições em que um grupo se torna diferente do outro pela ordem ou pela natureza

dos elementos componentes. Seja A um conjunto com n elementos e k um natural menor ou igual a n. Os arranjos simples k a k dos n elementos de A, são os agrupamentos, de k elementos distintos cada, que diferem entre si ou pela

natureza ou pela ordem de seus elementos.

Cálculos do número de arranjos simples:

Na formação de todos os arranjos simples dos n elementos de A, tomados k a k:

No Princípio Fundamental da Contagem (An, k), o número total de arranjos simples dos n elementos de A (tomados k a k), temos:


RACIOCÍNIO LÓGICO

(é o produto de k fatores) Multiplicando e dividindo por (n – k)!.

Permutações

Definição

Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de A, são denominados permutações simples de n elementos.

De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.

Cálculo do número de permutação simples:

O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na fórmula An , k = n (n – 1) (n – 2) . … . (n – k + 1), temos:

Combinações simples

Definição

Combinação simples são agrupamentos formados com os elementos de um conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos.

Considere A como um conjunto com n elementos k um natural menor ou igual a n. Os agrupamentos de k elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de seus elementos são denominados combinações simples k a k, dos n ele-mentos de A.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Exemplo

Considere A = {a, b, c, d} um conjunto com elementos distintos. Com os elementos de A podemos formar 4 combinações de três elementos cada uma:

Se trocarmos os 3 elementos das 4 combinações obtemos todos os arranjos 3 a 3:

(4 combinações) x (6 permutações) = 24 arranjos

Logo:

Cálculo do número de combinações simples: O número total de combinações simples dos n elementos de A representados por C n , k, tomados k a k, analogicamente ao exemplo apresentado, temos:

a) Trocando os k elementos de uma combinação k a k, obtemos Pk arranjos distintos. b) Trocando os k elementos das Cn , k . Pk arranjos distintos. Portanto:


RACIOCÍNIO LÓGICO

Lembrando que:

Também pode ser escrito assim:

Combinações completas

Combinações completas de n elementos, de k a k, são combinações de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular as combinações completas devemos levar em consideração as combinações com elemen-

tos distintos (combinações simples) e as combinações com elementos repetidos. O total de combinações completas de n elementos, de k a k, indicado por :

Arranjos completos

Arranjos completos de n elementos, de k a k são os arranjos de k elementos não necessariamente distintos. Em vista disso, quando vamos calcular os arranjos completos, deve-se levar em consideração os arranjos com elementos distintos

(arranjos simples) e os elementos repetidos. O total de arranjos completos de n elementos, de k a k, e indicado simbolicamente por A*n,k dado por:

Considerando: α elementos iguais a a, β elementos iguais a b, γ elementos iguais a c, …, λ elementos iguais a l, Totalizando em α + β + γ + … λ = n elementos. Simbolicamente representado por Pn

α, β, γ, …, λo número de permutações distintas que é possível formarmos com os n elementos:

Exercícios:

1- Quantos são os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5?Como o zero à esquerda de um número não é significativo, para que tenhamos um número natural com dois algarismos ele deve

começar com um dígito de 1 a 9, temos portanto 9 possibilidades.Para que o número seja um múltiplo de 5, o mesmo deve terminar em 0 ou 5, portanto temos apenas 2possibilidades.A multiplicação de 9 por 2 nos dará o resultado desejado.Logo: São 18 os números naturais de dois algarismos que são múltiplos de 5.

2- Eu possuo 4 pares de sapatos e 10 pares de meias. De quantas maneiras poderei me calçar utilizando um par de meias e um de sapatos?


RACIOCÍNIO LÓGICO

Pelo princípio fundamental da contagem temos que multiplicar 4, que é o número de elementos do primeiro conjunto, por 10 que corresponde ao número de elementos do segundo conjunto.

Portanto: Poderei me calçar de 40 maneiras diferentes.

3- De quantas formas podemos dispor as letras da palavra FLUOR de sorte que a última letra seja sempre a letra R?Para a última letra, segundo o enunciado temos apenas uma possibilidade que é a letra R.Para a primeira, segunda, terceira e quarta letras temos respectivamente 4, 3, 2 e 1 possibilidades. Assim temos:4.3.2.1.1=24Note que este exemplo é semelhante ao caso dos livros, explicado no início da página, só que neste caso teríamos mais um livro,

digamos de ciências, que sempre seria colocado na pilha por último.Podemos dispor as letras da palavra FLUOR de 24 formas diferentes, tal que a última letra seja sempre a letra R.4) Quantas palavras com significado ou não de 3 letras podemos formar com as letras A,L,I? Resolução:Vamos denotar o conjunto das letras A,L,I sendo X= {A,L,I}Como estamos trabalhando com permutações, então P=n , logo temos3 possibilidades para a 1º posição3-1 possibilidades para a 2º posição3-2 possibilidades para a 3º posiçãoNote que sempre que tratarmos sobre permutações, e não existir nenhuma condição para permutar os elementos do conjunto,

P(n) = n!Ou seja se temos 3 elementos, então P3 =3! = 6 palavras diferentes.

5) De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode sentar-se num banco de 5 lugares para tirar uma foto?Vamos denotar o conjunto destas cinco pessoas sendo X={ P,M,F1,F2,F3}Note que sempre que tratarmos sobre permutações, e não existir nenhuma condição para permutar os elementos do conjunto,

P(n) = n!Ou seja se temos 5 elementos, então P5 =5! = 120 maneiras diferentes.

6 OPERAÇÕES COM CONJUNTOS

1. (CHESF – Administração – Cesgranrio/2012) Para preencher vagas disponíveis, o departamento de pessoal de uma empresa aplicou um teste em 44 candidatos, solicitando, entre outras informações, que o candidato respondesse se já havia trabalhado:

I - em setor de montagem eletromecânica de equipamentos;II - em setor de conserto de tubulações urbanas;III - em setor de ampliações e reformas de subestações de baixa e de alta tensão.Analisados os testes, o departamento concluiu que todos os candidatos tinham experiência em pelo menos um dos setores citados

anteriormente e que tinham respondido afirmativamente:-28 pessoas a RESPOSTA: I;-4 pessoas somente a RESPOSTA: I;-1 pessoa somente a RESPOSTA: III;-21 pessoas as RESPOSTA: s I e II;-11 pessoas as RESPOSTA: s II e III;-13 pessoas as RESPOSTA: s I e III.Com base nas informações anteriores, assinale a opção incorreta:A) Apenas 10 candidatos tem experiência nos 3 setores.B)O Somente 36 candidatos tem experiência no setor de conserto de tubulações urbanas.C) Apenas 15 candidatos tem experiência no setor de ampliações e reformas de subestações.D) Somente 2 candidatos tem experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de subestações.E) Somente 1 candidato tem experiência apenas nos setores de conserto de tubulações urbanas e de ampliações e reformas de

subestações.


RACIOCÍNIO LÓGICO

A representação dos três conjuntos, I, II e III, por diagrama s de Venn, pode ser dada por:

Convém indicar inicialmente por “ x” o numero de elementos de (I n II n III), isto e, o numero de candidatos que tinham expe-riência nos três setores classificados.

A seguir indicaremos o numero de elementos comuns de (I n II), (I n III) e (II n III) por “x”. Logo, os elementos excedentes a “ x” , são, respectivamente: (21 - x); (13 - x) e (11 - x). Assim, então, podemos representar o que se segue:

Completando o restante do diagram a de Venn com os valores citados no enunciado, temos:

Para determinarmos os valores de “ x” e “ y ” , consideramos o primeiro dado do enunciado:-28 pessoas a RESPOSTA: I.Logo, podemos dizer que:4 + (13 - x) + x + (21 - x) = 28 4 + 13 - x + x + 21 - x = 28 ^ 38 - x = 28 - x = 28-38 - x = - 10x(- 1) x = 10 candidatos.De acordo com os dados da questão, a soma de todos os elementos contidos no diagrama de Venn acima e 44. Assim sendo,

podemos determinar o valor de “ y ” :4 + (13 - 10) + 10 + (21 - 10) + (11 - x) + 1 + y = 44, e substituindo “x = 10”, vem: 30 + y = 44 y = 44 - 30 -> y=14 candidatos


RACIOCÍNIO LÓGICO

Concluímos, então, que o diagrama de Venn pode ser apresentado das seguintes formas abaixo:

Assim sendo, a única RESPOSTA: que discorda do diagrama de Venn acima e o item c, que afirma que somente 2 (e não 3!!!) candidatos tem experiência apenas nos setores de montagem e de ampliações e reformas de subestações.

RESPOSTA: “C”.2. (HUB/EBSERH – Área administrativa - IBFC/2013) Numa pesquisa, sobre a preferência entre 2 produtos, foram entre-

vistadas 320 pessoas e chegou-se ao seguinte resultado: 210 preferiram o produto A, 190 preferiram o produto B e 45 nenhum dos dois. Portanto, o total de entrevistados que preferiram somente um dos produtos foi de:

A) 150 B) 125 C) 35 D) 85

Devemos fazer o digrama, começando pelas interseções: - Preferiram os dois produtos: x. - Preferiram somente o produto A: 210 - x. - Preferiram somente o produto B: 190 - x - Não opinaram: 45 pessoas. - Total: 320 pessoas.

210 – x + x + 190 - x + 45 = 320 445 – x = 320 - x = 320 – 445 - x = -125 x = 125

Substituindo o valor de x, teremos:


RACIOCÍNIO LÓGICO

O total de entrevistados que preferiram somente um dos produtos (ou o A ou o B) foi de: 85 + 65 = 150 RESPOSTA: “A”.

3. (HUB/EBSERH – Área administrativa - IBFC/2013) Numa pesquisa com 320 pessoas sobre a escolha entre dois produtos A e B constatou-se que: 175 escolheram o produto A, 120 escolheram o produto B e 35 não opinaram, podemos dizer então que:

A) 20 pessoas escolheram os dois produtos. B) 110 pessoas escolheram somente o produto B. C) 155 pessoas escolheram somente o produto A. D) 275 pessoas gostam do produto A ou do produto B. E) Menos de 10 pessoas escolheram os dois produtos. Devemos fazer o digrama, começando pelas interseções: - Escolheram os dois produtos: x. - Escolheram somente o produto A: 175 - x. - Escolheram somente o produto B: 120 - x. - Não opinaram: 35 pessoas. - Total: 320 pessoas.

175 – x + x + 120 – x + 35 = 320 330 – x = 320 - x = -10 x = 10

Substituindo o valor de x, teremos:

-10 pessoas escolheram os dois produtos. - 165 pessoas escolheram somente o produto A. - 110 pessoas escolheram apenas o produto B. - 165 + 10 + 110 = 285 pessoas gostam do produto A ou do produto B. RESPOSTA: “B”.

4. (HUB/EBSERH – Área administrativa - IBFC/2013) Dos 320 alunos de uma academia de ginástica, sabe-se que 170 praticam aeróbica, 148 praticam natação, 172 praticam boxe, 80 praticam aeróbica e boxe, 75 praticam natação e boxe, 62 praticam aeróbica e natação e 23 praticam os três. Nessas condições podemos afirmar que:

A) 40 alunos praticam somente natação. B) 74 alunos praticam natação ou aeróbica. C) 91 alunos praticam aeróbica ou boxe. D) O total de alunos que não fazem aeróbica, boxe e natação é igual a 34. E) 51 alunos praticam somente boxe.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Devemos fazer o digrama, começando pelas interseções de dentro par fora: - Praticam os três: 23 alunos - Praticam somente aeróbica e natação = 62 – 23 = 39 alunos. - Praticam somente natação e boxe: 75 – 23 = 52 alunos. - Praticam somente aeróbica e natação: 80 – 23 = 57 alunos.

Prosseguindo, temos que: - 170 praticam aeróbica: 170 – (39 + 23 + 57) = 51 praticam somente aeróbica. - 148 praticam natação: 148 – (39 + 23 + 52) = 34 praticam somente natação. - 172 praticam boxe: 172 – (57 + 23 + 52) = 40 praticam somente boxe.

Somando todos os valores: 51 + 39 + 34 + 57 + 23 + 52 + 40 = 296, como no total são 320 alunos, podemos concluir que 320 – 296 = 24 alunos não praticam aeróbica, boxe, ou natação.


RACIOCÍNIO LÓGICO

- praticam somente natação: 34 alunos - praticam natação ou aeróbica: 51 + 39 + 34 + 57 + 23 + 52 = 256 alunos. - praticam aeróbica ou boxe: 51 + 39 + 57 + 23 + 52 + 40 = 262 alunos. - O total de alunos que não fazem aeróbica, boxe e natação é igual a 24. - praticam somente boxe: 40 alunos Essa questão não possui RESPOSTA: correta. Deveria ter sido anulada. O gabarito apontado pela IBFC foi a letra C.

5. (HUB/EBSERH – Área administrativa - IBFC/2013) Dois candidatos A e B disputaram um cargo numa empresa. Os funcionários da empresa poderiam votar nos dois ou em apenas um deles ou em nenhum deles. O resultado foi o seguinte: 55% dos funcionários escolheram o candidato A, 75% escolheram o candidato B, 10% dos votos foram em branco. Pode-se afirmar então que o total de funcionários que escolheram somente um dentre os dois candidatos foi de:

A) 50% B) 40% C) 90% D) 120% Mais uma vez devemos fazer o digrama, começando pelas interseções: - Votaram nos dois candidatos: x %. - Votaram somente no candidato A: 55% - x %. - Escolheram somente o produto B: 75% - x %. - Votos em branco: 10% - Total: 100%

55 – x + x + 75 – x + 10 = 100 140 – x = 100 - x = - 40 x = 40

Então:

Pode-se afirmar então que o total de funcionários que escolheram somente um dentre os dois candidatos foi de: 15% + 35% = 50%.

RESPOSTA: “A”.6. (HUB/EBSERH – Área administrativa - IBFC/2013) Uma pesquisa, envolvendo 1.000 pessoas, verificou que todas esta-

vam contaminadas por um dos vírus X ou Y ou por ambos. Se havia 450 pessoas contaminadas pelo vírus X e, dessas, 60 estavam contaminadas por ambos os vírus, qual o número de pessoas contaminadas apenas pelo vírus Y?

A) 390 B) 490 C) 510 D) 550 E) 610


RACIOCÍNIO LÓGICO

Novamente devemos começar pela interseção: 60 pessoas estavam contaminadas pelos dois vírus.Contaminadas somente pelo vírus X: 450 – 60 = 390

390 + 60 + y = 1000 450 + y = 1000 y = 1000 – 450 y = 550 RESPOSTA: “D”.

7. (HUB/EBSERH – Área administrativa - IBFC/2013) Em uma escola, são praticados dois esportes – futebol e basquete – do seguinte modo: 54 alunos praticam apenas um esporte; 32 praticam futebol; 12 praticam ambos e 74 não praticam basquete. Qual é o total de alunos da escola?

A) 108. B) 120. C) 124. D) 128. E) 132.

- Praticam os dois: 12 alunos - Praticam apenas futebol: 32 – 12 = 20 alunos - Se 54 alunos praticam apenas um esporte e 20 alunos praticam apensa futebol, então 54-20=34 praticam apenas basquete. - Os alunos que não praticam basquete são aqueles que praticam apenas futebol mais aqueles que não praticam nenhum dos dois

esportes, logo, 74 – 20 = 54 não praticam nenhum dos dois esportes.

U = 20 + 12 + 34 + 54 U = 120 alunosRESPOSTA: “B”.8. (ANVISA - Técnico Administrativo – CETRO/2013) Considere as premissas: P1: Todos os ϫ são ¥. P2: Todos os ¥ são Ϯ. P3: Quem é € não é Ϯ. Assinale a RESPOSTA: que não é uma consequência lógica das três premissas apresentadas. A) Os ϫ não são €. B) Os ¥ não são €. C) Os Ϯ não são €. D) Os Ϯ são ¥. E) Os ϫ são Ϯ.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Representando as premissas P1, P2 e P3 por diagramas lógicos, teremos:

P1: Todos os ϫ são ¥.

Logo, podemos concluir que: (a) Se todos os ϫ são ¥ e todos os ¥ são Ϯ, portanto, Todos os ϫ são Ϯ. (b) Quem é € não é Ϯ, logo, também não será nem ϫ, nem ¥. RESPOSTA: “D”.

9. (ANVISA - Técnico Administrativo – CETRO/2013) Em um pote de doces, sabe-se que existe pelo menos um chiclete que é de hortelã. Sabe-se, também, que todos os doces do pote que são de sabor hortelã são verdes. Segue-se, portanto, necessariamente que

A) todo doce verde é de hortelã.B) todo doce verde é chiclete.C) nada que não seja verde é chiclete.D) algum chiclete é verde.E) Algum chiclete não é verde.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Sejam as premissas:P1: Existe pelo menos um chiclete que é de hortelã.P2: Todos os doces do pote que são de sabor hortelã são verdes.Portanto, representando as premissas P1 e P2 na forma de diagramas lógicos,obteremos a seguinte situação conclusiva:

P2: Todos os doces do pote que são de sabor hortelã são verdes.

Podendo ser representa de duas formas:

Por esses diagramas, podemos concluir que: (a) Nem todo chiclete é de hortelã e verde. (b) algum chiclete é de hortelã e verde. (c) todos os chicletes podem ser verdes ou não.RESPOSTA: “D”.

7 RACIOCÍNIO LÓGICO ENVOLVENDO PROBLEMAS ARITMÉTICOS, GEOMÉTRI-

COS E MATRICIAIS.

1. (TCU – ANALISTA DE CONTROLE EXTERNO - CESPE/2013) Efetuando as multiplicações 2 × 2 , 4 × 4 , 6 × 6 , 8 × 8 , ... , obtemos uma sequência de números representada a seguir pelos seus quatro primeiros elementos: (4 , 16 , 36 , 64 , ... ).

Seguindo a mesma lógica, o 1000° elemento dessa sequência será 4.000.000 e o 1001° elemento será 4.008.004. Dessa forma, o 1002° elemento será


RACIOCÍNIO LÓGICO

A) 4.016.008. B) 4.008.036. C) 4.016.036. D) 4.008.016. E) 4.016.016.

Temos multiplicação de números pares.Logo, an=2n.2nan=2n²an=4n² Então temos: RESPOSTA: “E”.

2. (TCE/SE – Técnico de Controle Externo – FCC/2012) O robô A percorre um segmento de reta com medida par, em metros, em 20 segundos cada metro; um segmento de reta com medida ímpar, em metros, é percorrido em 30 segundos cada metro. O robô B percorre em 20 segundos cada metro os segmentos de medida ímpar, em metros. Os segmentos de medida par, em metros, o robô B percorre em 30 segundos.

Um percurso com segmentos de reta de 2 metros, 3 metros, 4 metros, 7 metros, 4 metros e 3 metros será percorrido pelo robô mais rápido, neste percurso, com uma vantagem, em segundos, igual a

A) 10B) 20C) 30D) 35E) 40

A forma mais rápida de resolver a questão é começar fazendo a soma do total das distâncias pares e ímpares:Vamos chamar de DSP a soma dos segmentos pares e de DSI a soma dos segmentos ímpares, assim temos:DSP = 2 + 4 + 4 = 10DSI = 3 + 7 + 3 = 13Agora considerando a informação de que DSI é maior que DSP podemos concluir que o robô B, que é mais rápido nos segmentos

ímpares, percorrerá o percurso em menor tempo.A velocidade com que o robô A percorre os segmentos pares é igual à velocidade com que o robô B percorre os segmentos ímpares

e vice-versa, dessa forma podemos concluir que se a distância dos segmentos ímpares fosse igual à distância dos segmentos ímpares os dois robôs percorreriam o percurso no mesmo tempo. Assim, podemos concluir que a forma mais rápida de calcular a diferença de tempo entre um robô e outro consiste em calcular a diferença entre DSI e DSP:

DSI - DSP = 3E depois considerar que nessa distância de três metros o robô A é 10 segundos mais lento por metro, ou seja, a diferença total de

tempo é igual a:Diferença de tempo = ( DSI - DSP) * (30 - 20)Sendo 30 o tempo que o robô A leva para percorrer o trecho ímpar e 20 o tempo que o robô B leva para percorrer o trecho ímpar.Diferença de tempo = 3 * 10 = 30RESPOSTA: “C”.

3. (MI - Assistente Técnico administrativo - Cespe/UnB/2013) A figura abaixo mostra quatro cilindros que rolam uns contra os outros, sem deslizamento. Sabe-se que os diâmetros de A e D medem 4 e 8 centímetros respectivamente; o diâmetro de B é quatro vezes o diâmetro de C; a soma dos diâmetros de A e D é a metade do diâmetro de B; e a velocidade de A é 180 rotações por minuto (r.p.m.). A velocidade de D, em r.p.m., é:

A) 60; B) 90; C) 120; D) 180; E) 360.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Se os cilindros A e D somam 12 centímetros e o cilindro B tem o dobro desta soma, tem-se que B possui 24 centímetros de diâmetro. Logo, o cilindro C possui um quarto de 24 centímetros, ou seja, 6 centímetros. Quando um cilindro é maior que o anterior, deve-se dividir a velocidade deste pela razão. Quando um cilindro é menor que o anterior, deve-se multiplicar a velocidade deste pela razão.

Cilindro Diâmetro (cm) Razão Velocidade (RPM)A 4 180B 24 A/6 30C 6 B=4C 120D 8 0,75C 90

RESPOSTA: ”B”.

4. (MI - Assistente Técnico administrativo - Cespe/UnB/2013) Uma empresa pretende construir um deposito de material em forma de um paralelepípedo, cuja base retangular tem 40 m de comprimento. A base e a altura das tesouras do telhado do deposito tem, respectivamente, 32 m e 5 m, conforme ilustra a figura ao lado. Considerando as informações acima e a figura apresentada, e correto afirmar que a área do telhado a ser coberta, em m2, é:

A) inferior a 900; B) superior a 900 e inferior a 1.000; C) superior a 1.000 e inferior a 1.100;D) superior a 1.100 e inferior a 1.200;E) superior a 1.200.

Área do telhado = 2x (b x l)


RACIOCÍNIO LÓGICO

Calculo do lado (“l”) de um dos dois retângulos que compõem o telhado:

Aplicando o Teorema de Pitágoras em um dos triângulos retângulos formados pelas 2 tesouras, temos:L² = 5² + 16² L² = 25 + 256 L² = 281 L = L = 16,76 mL=2x40x 16,76=1.340,8 M²RESPOSTA: “E”.

5. (MI - Assistente Técnico administrativo - Cespe/UnB/2013) Dadas as matrizes , calcule o determinante do produto A.B.

A) 8B) 12C) 9D) 15E) 6

Ao multiplicarmos uma matriz quadrada A de ordem 2 por outra matriz quadrada B, também de ordem 2, o resultado obtido será uma terceira matriz quadrada C, de mesma ordem:

onde, c11, c12, c21 e c22, são os elementos da matriz C formados pela multiplicação entre as linhas da matriz A pelas colunas da matriz B.

c11=2.2+3.1=7c12=2.4+3.1=17c21=1.2+3.1=5 c22=1.4+3.3=13


RACIOCÍNIO LÓGICO

O determinante é o valor numérico de uma matriz de ordem quadrada. No caso de uma matriz de ordem 2, tem-se que o deter-minante é calculado pela “diferença entre os produtos dos elementos que se encontram, respectivamente, nas diagonais principais e secundárias”:

RESPOSTA: “E”.

6. (MI - Assistente Técnico administrativo - Cespe/UnB/2013) Dado o sistema de equações lineares

O valor de x + y + z é igual aA) 8B) 16C) 4D) 12E) 14

RESPOSTA: “E”.7. (IBGE – Analista de sistemas - CESGRANRIO/2013) O carpinteiro José teve de dividir (sem sobras) uma placa retangular

de dimensões 7 dm por 6 dm, em quadrados de lados expressos por um número inteiro de decímetros, de modo a obter o menor nú-mero de quadrados possível. Depois de vários ensaios, ele conseguiu resolver o problema, obtendo apenas 5 quadrados, cuja solução está indicada na Figura abaixo, com as medidas em decímetros.


RACIOCÍNIO LÓGICO

Agora José tem de resolver o mesmo problema, porém no caso do retângulo de dimensões 6 dm por 5 dm. Nesse caso, o menor número de quadrados obtidos será

A) 12B) 9C) 6D) 5E) 4

Questão de percepção mesmo. Raciocínio lógico puro.Segue desenho

RESPOSTA: “D”.

8. (IBGE – Analista de sistemas - CESGRANRIO/2013) Renato vai preencher cada quadrado da fila abaixo com um número, de forma que a soma de quaisquer três números consecutivos na fila (vizinhos) sempre seja 2.014.

O número que Renato terá de colocar no lugar de N éA) 287B) 745C) 982D) 1.012E) 1.032

Suponha soma 10 em três consecutivos.5, 2, 3, 5, 2, 3. Veja que o “trio” se repete.Veja que o 745 está no lugar do 5 no exemplo e o 287 está no lugar do 2 no exemplo. Logo o trio é 745 + 287 + X = 2014X = 2014 – 745 – 287X = 982


RACIOCÍNIO LÓGICO

Tendo como base o exemplo dado, teremos745, 287, 982, 745, 287, 982…O N está na 11ª posição.O 745 assume a 1ª, 4ª, 7ª, 10ª posição287 assume a 2ª, 5ª, 8ª, 11ª posição. Será 287.RESPOSTA: “A”.

9. (Banco do Brasil – Escriturário - FCC/2013) – Depois de ter comprado 15 livros de mesmo preço unitário, Paulo verifi-cou que sobraram R$ 38,00 em sua posse, e faltaram R$ 47,00 para comprar outro livro desse mesmo preço unitário. O valor que Paulo tinha inicialmente para comprar seus livros era, em R$, de:

A) 1.225,00.B) 1.305,00.C) 1.360,00.D) 1.313,00.E) 1.228,00.

Sejam V o valor que Paulo dispunha para comprar os livros e x o preço unitário do livro. Se comprando 15 livros sobraram 38 reais, então:

V = 15x + 38Se comprando 16 livros faltaram 47 reais, então:V = 16x – 47Igualando as equações, temos:16x – 47 = 15x + 3816x – 15x = 38 + 47x = 85Se cada livro custava 85 reais, para encontrar o valor que Paulo dispunha basta substituir x por 85 em qualquer uma das equa-

ções anteriores. Substituindo na primeira, por exemplo, temos:V = 15x + 38V = 15 . 85 + 38V = 1313Portanto, Paulo possuía 1313 reais.RESPOSTA: “D”.

10. (Banco do Brasil – Escriturário - FCC/2013) Renato aplicou R$ 1.800,00 em ações e, no primeiro dia, perdeu 1/2 do valor aplicado. No segundo dia Renato ganhou 4/5 do valor que havia sobrado no primeiro dia, e no terceiro dia perdeu 4/9 do valor que havia sobrado no dia anterior. Ao final do terceiro dia de aplicação, Renato tinha, em R$,

A) 820,00.B) 810,00.C) 800,00.D) 900,00.E) 1.200,00.

Início: 18001º dia: Perdeu , ou seja, sobrou 1800 – 900 = 9002º dia: Ganhou , ou seja, ficou com 900 + 720 = 16203º dia: Perdeu , ou seja, ficou com 1620 – 720 = 900Logo, ao final do terceiro dia Renato ficou com 900 reais.RESPOSTA: “D”.

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