EXERCCIOS RESOLVIDOS

TRIGONOMETRIA 1

1) Uma escada est apoiada em um muro de 2 m de altura, formando um ngulo de 45. Forma-se, portanto, um tringulo retngulo issceles. Qual o comprimento da escada?

45

45

2m x

Resposta: O comprimento aproximado da escada

de 2,83 m

2m

1

2

A questo tambm poderia ser

respondida atravs da aplicao

do Teorema de Pitgoras.

2m x

2m

Resposta: O comprimento aproximado da escada

de 2,83 m

2) Usando os tringulos retngulos a seguir, determine as razes trigonomtricas para o ngulo x.

3) No exerccio anterior, o que podemos

concluir sobre o ngulo x? Quanto mede

esse ngulo?

2)

3) O ngulo mede 45

4) Observe a figura a seguir e determine a

altura h do edifcio, sabendo que AB mede 25m e cos = 0,6 .

h

O problema informa o valor de

cos , mas para utilizar a razo

trigonomtrica cosseno,

deveramos relacionar a medida

do cateto adjacente ao ngulo

com a medida da hipotenusa.

Cateto

Oposto ao

ngulo

Hipotenus

a

No caso, precisamos calcular a medida do

cateto oposto ao ngulo , conhecendo a

medida da hipotenusa, ou seja, o ideal seria

termos o valor de sen e, para isso, aplicaremos a Relao Fundamental da

Trigonometria:

A partir da, o clculo da altura torna-

se bastante simples:

Resposta: A altura do prdio de 20 m

Para ngulos agudos,

as razes

trigonomtricas so

positivas e, portanto,

no h necessidade de

usar

5) Em certa hora do dia, os raios do Sol incidem

sobre um local plano com uma inclinao de

60 em relao horizontal. Nesse momento, o

comprimento da sombra de uma construo de

6m de altura ser aproximadamente igual a:

a) 10,2 m

b) 8,5 m

c) 5,9 m

d) 4,2 m

e) 3,4 m

60

6m

x

Cateto adjacente

ao ngulo de 60

Cateto oposto ao

ngulo de 60

Conhecemos a medida do cateto

oposto ao ngulo de 60 e

desejamos calcular a medida do

cateto adjacente a esse mesmo

ngulo.

A melhor escolha trabalhar com

a tangente de 60!

Resposta: Opo E

x

Os raios do Sol incidem sobre um

local plano com uma inclinao de

60 em relao horizontal. Calcular

o comprimento da sombra de uma

construo de 6m de altura.

1

2

6) A figura representa um barco atravessando

um rio, partindo de A em direo ao ponto B. A

forte correnteza arrasta o barco em direo ao

ponto C, segundo um ngulo de 60. Sendo a

largura do rio de 120 m, a distncia percorrida

pelo barco at o ponto C, :

a) 240 m

b) 240 m

c) 80 m

d) 80 m

e) 40 m

120m x

A

B C

Cateto adjacente

ao ngulo de 60 Hipotenusa

Conhecemos a medida do cateto adjacente ao ngulo de 60 e desejamos

calcular a medida da hipotenusa do tringulo ABC.

Dessa vez melhor escolher trabalhar com o cosseno de 60!

Resposta: Opo C

7) Para permitir o aceso a um monumento que est em um pedestal de 2m de altura, vai ser construda uma rampa com inclinao de 30 com o solo, conforme a ilustrao. O comprimento da rampa ser igual a:

a) /2 m

b) m

c) 2 m

d) 4 m

e) 4 m

30

2m

x

Hipotenusa Cateto oposto ao

ngulo de 30

Conhecemos a medida do cateto oposto ao ngulo de 30 e desejamos

calcular a medida da hipotenusa do tringulo esboado acima.

Sem dvida um caso para aplicar o seno de 30!

Resposta: Opo D

8) Um observador, no ponto O da figura, v um prdio segundo um ngulo de 75. Se esse observador est situado a uma distncia de 12m do prdio e a 12m de altura do plano horizontal que passa pelo p do prdio, ento qual a altura do prdio, em metros?

45

75 30

12

12

O

A

B

C

x

45 O tringulo AOB

issceles e,

portanto, o ngulo

AB igual ao

ngulo OB

Sendo o

tringulo AOB

issceles e

retngulo,

temos

= = 45

O ngulo AC, que

mede 75 ficou

dividido em duas

partes:

m(AB) = 45

m(BC) = 30

Vamos trabalhar ento no tringulo retngulo BC onde = 30.

Desejamos calcular a medida do cateto oposto a esse ngulo e

conhecemos a medida de seu cateto

adjacente.

Um caso claro de utilizao da tangente!

1 4

Finalmente, a altura total do prdio a medida do segmento AC,

ou seja:

Resposta: A altura

aproximada do prdio

18,93 m

9) Determine a rea do tringulo abaixo de base

igual a 6 cm:

60

A

45

75

b c

H

B C

a = 6

h

h 6 h

O tringulo AHB

retngulo e tem um

ngulo medindo

45, logo

issceles com AH

= BH

Sabendo que

BH= h, como BC

= 6, podemos

escrever que

HC = 6 h

No tringulo ABC,

se = 75 e B =

45, como + B +

C = 180, ento C

= 60

^ ^

^

^

60

A

b

H

C

h

6 h

1

3

10) Um turista v o topo de uma torre construda em um terreno plano, sob um ngulo de 30. Aproximando-se da torre mais 374 m, passa a v-la sob um ngulo de 60. Considerando que a base da torre est no mesmo nvel do olho do turista, calcule a altura da torre. (Voc imagina por onde anda esse turista?)

30 30

60

30

374m A B C

T

h

BCT retngulo em C com CBT = 60 CTB = 30

ACT retngulo em C com CT = 30 CTA = 60

Sendo CTA = 60 e CTB = 30 BTA = 30 e ABT issceles com AB = BT = 374 m

Aplicando agora o seno de 60 no BCT, temos:

^ ^

^

^ ^ ^

60

60

30

374m A B C

T

30 30

h

Resposta: 324 m de altura, e s pode ser a Torre

Eiffel...

O turista est em Paris!

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Professora Telma Castro Silva

ISERJ 2013