Curso de Arquitetura e Urbanismo

Desenho Geométrico e Geometria Descritiva Ariane Otta Murbach

2011

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Diego Simões de Oliveirae

O Desenho Geométrico faz parte costumeiramente do conteúdo da unidade

curricular Desenho Técnico, que é ministrada a estudantes do ensino técnico e a estudantes de alguns cursos de exatas no ensino superior. Seu objetivo é estudar as

figuras geométricas planas, que podem ser traçadas com auxílio de régua e compasso, e os sólidos cujas faces formam estas figuras. A estratégia usual para seu ensino/aprendizagem é praticar os procedimentos clássicos para solução de problemas concretos. Ela dispensa pré-requisitos, os dados com que trabalha são

proposições verdadeiras dentro de um sistema lógico; seu legado é o raciocínio e a visualização espaciais. A geometria descritiva (também chamada de geometria mongeana ou método monge) é um ramo da geometria que tem como objetivo

representar objetos de três dimensões em um plano bidimensional. Esse método foi desenvolvido por Gaspard Monge e teve grande impacto no desenvolvimento

tecnológico desde sua sistematização. Percebida sua importância, a geometria descritiva foi tratada com atenção e considerada, no início, uma espécie de segredo

de estado. A geometria descritiva serve como base para o desenho técnico, permitindo a construção de vistas auxiliares, cortes, rebatimentos e intersecções

de planos e sólidos.

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O MATERIAL DE DESENHO E O SEU USO Todo desenhista deve conhecer bem e manusear com cuidado o material com o qual trabalha. Lápis e lapiseira Lápis e lapiseira são usados para desenhar e escrever. As lapiseiras do tipo 0,5 mm são as mais comuns. A grafite ou mina é classificada de acordo com o grau de dureza. Observe:

Para destacar figuras, fazer esboços ou sombrear devemos usar o lápis nº 1 ou B, que é macio. Para traçados em geral e escrita, devemos usar o lápis nº2 ou HB, com grafite média. Para desenhos geométricos e técnicos, devemos usar o lápis nº 3 ou H, que tem grafite de maior dureza. O lápis deve ser apontado, e sua grafite, lixada em forma de cone. Régua Usa-se a régua para executar traços retos e medir segmentos de reta. A régua recomendada é a de 30 cm, deve ser transparente para que você possa ver o que está desenhado. Mantenha-a limpa, lavando com água fria ou lustrando-a com uma flanela seca. Lápis, caneta e régua: use-os corretamente Deslize a ponta do lápis pela borda baixa. Os movimentos mais seguros vão da esquerda para direita e de cima para baixo. Posição correta do lápis Traçados com caneta A régua ao contrário e a caneta na vertical evitarão que o traço borre.

Par de esquadros O par de esquadros é usado para traçar retas paralelas, retas perpendiculares ou alguns ângulos. Os dois instrumentos devem ser usados juntos: Um permanece fixo (apoio) e o outro se desloca sobre ele. Os esquadros são laváveis. Mantenha-os limpo. Borracha Para apagar erros de desenhos a lápis devemos usar as borrachas bem macias. Para limpá-las, nunca as lave; basta esfregá-las em papel limpo. Transferidor É o instrumento usado para medir e traçar ângulos. Existem dois tipos de transferidor: o de meia volta (180°) e o de volta inteira (360°). Compasso Usa-se o compasso para traçar circunferências e transportar medidas. Para obter o melhor resultado nos traçados feitos com o compasso, devemos tomar os seguintes cuidados: • as hastes devem estar firmes, com os parafusos ajustados. • a grafite deve estar sempre no mesmo nível que a ponta-seca (de metal). • a grafite dever apontada com lixa, ficando o chanfro para fora.

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CALIGRAFIA TÉCNICA

A caligrafia técnica é a utilizada no desenho técnico. Pode ser executada com o uso de instrumentos, como o normógrafo, ou à mão livre. A caligrafia técnica à mão livre exige esforço para obter regularidade e precisão nas letras. O uso de linhas auxiliares é para os iniciantes, no sentido de assegurar a regularidade. O desenhista precisa de uma habilidade e experiência para uma boa disposição do texto no desenho e a escolha e algarismos. A regra básica é que a definição das letras deve estar de acordo com a importância do texto. Tomando o cuidado para que nunca se sobressaiam mais que o próprio desenho. Requisitos para auxiliar o desenho manual da caligrafia técnica: 1- Definir a altura desejada com linhas auxiliares. 2- Dividir a altura em 3 partes iguais, traçar linhas auxiliares horizontais nas divisões e acrescentar mais uma para baixo. 3- O corpo da letra maiúscula ocupa toda altura (h) e o corpo da letra minúscula ocupa 2/3 de altura; a haste da letra minúscula ocupa 1/3, para cima e para baixo. 4- A espessura di traço é igual 1/7 da altura (h). 5- O espaçamento entre as letras é 1/7 até 2/7 e, entre palavras é de 4/7 da altura. Esses parâmetros são gerais e dificilmente serão seguidos à risca, pois deve prevalecer o bom senso.

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1ª LISTA DE EXERCÍCIOS – CALIGRAFIA TÉCNICA

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Escalas As escalas são usadas pela necessidade de representar no papel um objeto no seu tamanho natural. Conforme os detalhes de um objeto, precisamos ampliá-los ou reduzi-los. Isto pode ser feito através da escala. Escala é a relação entre as medidas do desenho e as correspondentes dimensões reais do objeto. Elas podem ser gráfica ou numéricas.

Escalas gráficas podem ser usadas em reproduções com redução ou aumento do objeto original. Escalas numéricas Natural: quando não existe redução ou ampliação. As dimensões reais do objeto permanecem iguais do desenho e a sua representação é escala 1 : 1. De redução: quando o numerador é igual à unidade. Exemplo: 1 : 2; 1 : 5; 1 ; 10; 1 : 20; 1 : 25; 1 : 50 e outras. Na escala de redução 1 : 3, por exemplo, cada 1 cm do desenho representa 3 cm do objeto real.

De ampliação: quando o denominador é igual a unidade. Exemplo: 2 : 1; 5 :1; 10 : 1 etc. Na escala de 2 : 1, por exemplo, cada 1 cm do objeto representa 2 cm do desenho.

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2ª LISTA DE EXERCÍCIOS – ESCALA 1- Determine a escala da planta de um terreno na qual o comprimento de 100m foi representado por um segmento de 5 cm. Resposta: 1:2000 2-Sobre um mapa, com escala 1:750.000, um geógrafo demarca uma reserva florestal com formato de um quadrado, apresentando 8cm de lado. A área da reserva florestal medirá, na realidade, a) 3,6 km2. b) 36 km2. c) 360 km2. d) 3.600 km2. e) 36.000 km2. Resposta: d 3 - Dê a escala e as distâncias reais em Km dos lugares abaixo: A *_____5,2cm__________*B_____2,8cm___*C distância real entre A-B = 740 Km Resposta:

4 - Apresente as distâncias reais em Km, das questões abaixo: A-B = 2,8 cm C-D = 3,5 cm E-F = 4,6 cm Escala = 1:35000 Resposta: 5- Considerando a distância entre os pontos A e B, de 5,5 cm e a Escala do mapa de 1: 7 500 000, assinale a distância real entre esses pontos : a) 41,2 km b) 4125 km c) 4,12 km d) 412,5 km Observe se os dados da resposta estão em km, se estiverem corte cinco zeros da Escala dada e o restante multiplique pela distância gráfica dada: a Escala é de 1 : 7 500 000 , neste exercício deve-se cortar cinco zeros : 1: 7 5, a sobra foi de 75, pois o 1 : representa escala numérica, assim você vai multiplicar por 5,5 cm dado no problema : 75 X 5,5 = 412,5 km resposta correta é a letra D 6- A distância real entre dois pontos é de 160 km, considerando uma distância gráfica de 5 cm, calcule a escala do mapa : a) 1:160 000 000 b) 1:53 000 000 c) 1:20 000 00d) 1: 3 200 000 neste caso as respostas estão em escala, portanto você vai acrescentar cinco zeros e dividir o que restou : D em 160 km se transforma em : 160 000 00 com o acréscimo dos cinco zeros, depois você vai dividir o 16 000 000 por 5 cm do d, dado no problema , assim a resposta é : 1 : 3 200 000 16 000 000 / 5 = 3 200 000 letra D : 1: 3 200 000

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ENTES GEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS Existem na Geometria três entes ou elementos tidos como fundamentais ou primitivos: o ponto, a linha e o plano. Trata-se de conceitos intuitivos, que não têm definição.

O ponto É um ente geométrico que não possui formato e nem dimensão. É representado pela intersecção de dois traços. Pontos geométricos são identificados por letras maiúsculas do nosso alfabeto. Exemplos: Pontos coincidentes são pontos que ocupam o mesmo espaço. Pontos distintos são pontos que não ocupam o mesmo espaço. Pontos colineares são pontos que estão sempre numa mesma linha reta. O ponto pode pertencer ou não a uma linha. O ponto pode pertencer ou não a um plano.

A linha Uma linha é um conjunto de infinitos pontos. Identificados as linhas por letras minúsculas do nosso alfabeto. Representamos a idéia de linha por figuras como estas: Infinitos pontos pertencem a uma mesma linha. Para definir uma única reta são necessários e suficientes dois pontos. Por um único ponto passam infinitas retas. Um ponto é comum a duas retas quando elas se cruzam. Uma linha pode estar contida ou não contida em um plano.

O plano Um plano é um conjunto de infinitos pontos. Denominamos os planos com letras do alfabeto grego: alfa (α), beta (β), gama ( γ). Lê-se plano alfa, plano beta, plano gama. Representamos a idéia de plano por meio de figuras como estas: Uma figura só está contida num plano se todos os seus pontos são pontos desse plano. Infinitas retas pertencem a um plano. Infinitos planos passam por uma reta. Uma reta é comum a dois planos quando eles se cruzam.

X A

+ C

F a

b

c

d

γ β

α

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3ª LISTA DE EXERCÍCIOS – ENTES GEOMÉTRICOS

1- Responda: a) Quais são os entes geométricos fundamentais? _________________________________________________ _________________________________________________ b) O plano é finito ou infinito? _________________________________________________ c) Dê dois exemplos que nos sugerem a idéia de um plano. _________________________________________________ _________________________________________________ 2- Como são identificados e representados os pontos? _________________________________________________ _________________________________________________ representação: 3- Como são identificados e representados as linhas? _________________________________________________ _________________________________________________ representação: 4- Vamos pensar e responder: a) Quantos pontos existem numa reta? _________________________________________________ b) Quantas retas passam pelo ponto A? _________________________________________________ x A c) Quando um ponto é comum a duas retas? ___________________________________________________ d) Quantos pontos são necessários e suficientes para definir uma reta? _________________________________________________ 5- Um plano é formado de infinitos pontos então contém infinitas linhas já que linha é um conjunto de pontos).Podemos concluir:

• um ponto pode pertencer ou não pertencer a um plano. • um ponto pode pertencer ou não pertencer a uma linha. • uma linha pode estar contida ou não estar contida num plano. Dada figura, complete com ∈(pertence), ∉(não pertence), ⊂(contido), ⊄(não contido b..............β O.............β M.............β P..............β N.............β a...............β d...............β R...............d R...............β 6- Qual a diferença entre pontos coincidentes e pontos distintos? ____________________________________________ 7- Quando dizemos que três pontos são colineares? _________________________________________________ 8- Quantas retas distintas é possível traçar em um plano? _________________________________________________ 9- Quantas retas distintas é possível traçar em um plano? _________________________________________________

a

x M x O

x P

x N

β d

R

b

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CLASSIFICAÇÃO DE LINHAS QUANTO À FORMA Linha reta ou retilínea: é a linha que tem uma única direção.

Linha curva ou curvilínea: é a linha que muda constantemente de direção, mas de forma harmoniosa.

Linha quebrada ou poligonal: é a linha que muda de direção bruscamente.

Linha mista ou mistelínea: é a linha formada por trechos retos e trechos curvos.

CLASSIFICAÇÃO DE LINHAS QUANTO AO TRAÇADO Linha cheia ou contínua: é a linha feita sem interrupção.

Linha pontilhada: é a linha representada por pontos.

Linha tracejada: é a linha representada por traços.

Linha traço e ponto: é a linha representada por traços e pontos.

a

f

e

d

c

b

h

g

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CLASSIFICAÇÃO DE LINHAS Linha côncava: é a linha curva de meio menos elevado.

Linha convexa: é a linha curva de meio mais elevado.

Linha sinuosa: é a linha curva formada por trechos côncavos e trechos convexos.

Linhas coplanares: são linhas que estão num mesmo plano.

Linha aberta: é a linha cujas extremidades não coincidem.

Linha fechada: é a linha cujas extremidades coincidem.

Linha simples: é a linha que não tem cruzamento.

Linha não simples: é a linha que tem cruzamento.

c

d

s r

m

β

a

b

f

e

g

h

i

j

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Posição Absoluta da Reta Horizontal é a linha que segue a direção da água parada.

Vertical é a linha que segue a direção do fio de prumo.

Inclinada é a linha que não está na vertical nem na horizontal.

Posição Relativa das Retas Concorrentes perpendiculares são retas que se cruzam formando quatro ângulos retos. Notação: a ⊥ b

Concorrentes oblíquas são retas que se cruzam formando regiões diferentes. Notação: c / d

Paralelas são retas que estão a uma mesma distância, são equidistantes. Notação: e // f

Coincidentes são retas que têm todos os pontos em comum. Notação: g h

r

s t

a

g e h

f

e

d

c b

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ESQUADROS Os esquadros são instrumentos geométricos que servem para traçar retas paralelas, retas perpendiculares e para traçar alguns ângulos. Os esquadros tem o formato de triângulos retângulos, pois cada um, tem seu ângulo reto.Temos o esquadro de 45º, que tem dois ângulos de 45º e um ângulo de 90º e o esquadro de 60º, que tem um ângulo de 60º, um ângulo de 30º e um ângulo de 90º. Observe os exemplos de como posicionar os esquadros para traçar retas paralelas e retas perpendiculares.

Paralelas

Observações : Usamos dois instrumentos juntos: um é fixo e o outro se desloca sobre o primeiro. O instrumento que é fixo, pode ser substituído por uma régua. 1º Faça a borda maior de esquadro de 45º coincidir com a reta dada. 2º Encoste a borda maior do esquadro de 60º no esquadro de 45º. 3º Segure o esquadro de 60º, movimente o de 45º e trace as linhas paralelas.

Perpendiculares

Observações: Um dos esquadros, além de deslizar, faz um movimento de rotação. 1º Faça a borda maior de esquadro de 45º coincidir com a reta dada. 2º Encoste a borda maior do esquadro de 60º no esquadro de 45º. 3º Mude a posição do esquadro de 45º, conforme a ilustração. 3º Segure o esquadro de 60º, movimente o de 45º até o ponto onde se deseje traçar a perpendicular.

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4ª LISTA DE EXERCÍCIOS – ESQUADROS

1- Com os esquadros, traçar retas paralelas a reta s pelos pontos A, B, C e D.

2- Com os esquadros, traçar retas perpendiculares a reta r pelos pontos P, Q, R e S.

x B

x D

s

r

x Q

x S

x P

R

x C

x A

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3- Dadas as reta r e s trace retas paralelas a r pelos pontos A e B e pelos pontos C e D trace paralelas a reta s.

4- Dada a reta s, trace paralelas pelos pontos A, B, C e D, e pelos pontos P, Q, R e S, trace perpendiculares.

r

s

x B

x C

x D x A

s

x B

x C

x D x A

x Q

x S

x P R

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ÂNGULOS Ângulo geométrico é a figura formada por duas semi - retas distintas de mesma origem. ELEMENTOS DE UM ÂNGULO Vértice: ponto de origem das semi - retas que formam o ângulo. É também seu ponto de intersecção. Lados: semi - retas que definem o ângulo. Abertura: afastamento entre os lados, a partir do vértice.

O ângulo é representado pelo símbolo , com as três letras, sendo a do meio com acento circunflexo, ABC, pois representa o vértice. Ao traçarmos duas semi - retas distintas de mesma origem, estamos representando dois ângulos e para diferenciarmos qual abertura estamos nos referindo, colocamos um pequeno arco na região interna deste ângulo. A medida de um ângulo está na sua abertura, e não no comprimento de seus lados. Portanto, quanto maior for a abertura, maior será o ângulo. A unidade utilizada para medir ângulos é o grau e o instrumento usado para fazer essa medida recebe o nome de transferidor. CLASSIFICAÇÃO DE ÂNGULOS Quanto a região em que ocupam no plano: Côncavos: são aqueles que têm medida maior que 180º e menor que 360º.

Convexos: são aqueles que têm medida maior que 0º e menor que 180º.

Quanto abertura angular: Reto: é o ângulo que têm 90º. Agudo: é o ângulo menor que 90º. Obtuso: é o ângulo maior que 90º. Meia volta: é o ângulo que tem 180º. Volta inteira: é o ângulo que tem 360º. Nulo: é o ângulo que têm 0º.

vértice

lado

lado

abertura angular B

C

A

Q R

P

N

O

M

A

A

O

B

C O

D

G O H

IJ O

KL O

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CONSTRUÇÕES DE ÂNGULOS COM O COMPASSO Construir um ângulo de 90º.

Construir um ângulo de 45º. Construir um ângulo de 60º. Construir um ângulo de 30º.

Construir um ângulo de 22º 30'.

Construir um ângulo de 75º. Construir um ângulo de 105º. Construir um ângulo de 135º.

O O O O

O O O O

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TRANSFERIDOR O transferidor é o instrumento usado para medir e marcar ângulo. Feito geralmente de plástico ou acrílico, possui dois modelos: um de 180º e outro de 360º.

ELEMENTOS DE UM TRANSFERIDOR

Limbo: é a borda externa do transferidor, onde se localiza a graduação. Linha de fé: reta que passa por 0º e 180º; é o diâmetro da circunferência definida pelo transferidor. Centro: é o ponto de intersecção da linha de fé com o diâmetro perpendicular a ela. Geralmente os transferidores são duplamente graduados, com sentidos opostos de crescimento. Essas graduações devem ser usadas de acordo com a posição do ângulo.

COMO MEDIR UM ÂNGULO COM AUXÍLIO DO TRANSFERIDOR Veja como medimos o ângulo AÔB.

O vértice deve coincidir com o centro do transferidor e a linha de fé deve estar em um dos lados dos ângulos. Repare que no transferidor há duas escalas. Para saber qual empregar, verifique que o lado OA coincide com o marco zero da escala; esta é a escala que você deve utilizar. Assim, sabe-se que

AÔB mede 60º, pois é onde o lado OB está passando. PARA TRAÇARMOS UM ÂNGULO QÔP = 120º.

Traçamos um dos lados do ângulo: OQ Colocamos o transferidor coincidindo o centro com O e a linha de fé com o lado OQ e marcamos um ponto auxiliar na medida desejada (120º). Tiramos o transferidor e alinhamos o ponto O com o ponto auxiliar, obtemos o

QÔP = 120 º.

O Q

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5ª LISTA DE EXERCÍCIOS – ÂNGULOS

1- Trace com o transferidor os ângulos pedidos. Atenção para a posição do vértice. FGH = 70º

EVU = 65º PFN = 125º AME= 25º QLX = 140º ZTN = 108º

2- Com a ajuda do transferidor, medir os ângulos abaixo. Faça a identificação:

3- Construir com régua e compasso: Construir um ângulo de 90º.

Construir um ângulo de 60º.

Construir um ângulo de 45º.

Construir um ângulo de 75º.

Construir um ângulo de 105º.

Construir um ângulo de 120º.

S G

E

J C

Q

X N

A

K R

F

H D

I O

M Z

G V F M L T

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CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS

Mediatriz de um segmento é a reta que divide este segmento ao meio, perpendicularmente. Propriedade da mediatriz: todo ponto da mediatriz de um segmento equidista das extremidades do segmento.

Traçar a mediatriz de AB.

Traçar a mediatriz de CD, sabendo que CD é muito extenso.

Traçar a mediatriz de EF, sabendo que EF está próximo à margem inferior.

A B

C

D

E F

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CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS

Bissetriz é a semi reta que, a partir do vértice, divide um ângulo ao meio. Trace a bissetriz de PQR.

Propriedade da bissetriz: todo ponto da bissetriz de um ângulo equidista dos lados do ângulo.

Determine a bissetriz de um ângulo de vértice desconhecido.

Retas perpendiculares concorrentes são retas que formam quatro ângulos iguais a 90º (ângulos retos). Quando traçamos a mediatriz de um segmento, já estamos construindo uma reta perpendicular a esse segmento. E é no traçado de mediatriz que nos baseamos para a construção de perpendiculares.

Traçar uma perpendicular a GH, passando por P.

A

B

P

Q

R

C

D

G H P 22

CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS

Traçar uma perpendicular a IJ, passando por Q.

Traçar uma perpendicular a LM, em L e em M

Traçar uma perpendicular a NO, passando por N. N está bem próximo da margem esquerda.

Traçar uma perpendicular a PQ, passando por Q. Q está bem próximo da margem direita.

P Q

I

X Q

J L M

N O

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CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS Retas paralelas são retas coplanares, que mantêm entre si uma mesma distância. Traçar uma paralela a AB, passando por P.

Traçar uma paralela a CD, passando por Q.

Traçar uma paralela a EF, a 3 cm de distância. Traçar uma paralela a GH, a 2,5 cm de distância.

A

X P

B C

X Q

D

G H E F

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6ª LISTA DE EXERCÍCIOS - CONSTRUÇÕES FUNDAMENTAIS

1- Pelo ponto médio de AB, construir uma reta r perpendicular ao segmento CD.

2- Construir a bissetriz de um ângulo de vértice desconhecido.

3- Construir uma perpendicular a FG, passando por T e outra perpendicular passando por D.

4- Construir uma perpendicular na extremidade R do segmento RS.

A

B

C

D

F G

D

x T

R S

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5- Construir uma reta paralela ao segmento JK a 3,5 cm de distância.

6- Construir uma reta paralela a PQ, passando por D. Pelo processo da semicircunferência.

7- Construir uma paralela ao segmento BM passando por F pelo processo de paralelogramo.

8- Construir uma reta a perpendicular à reta s e uma reta d perpendicular à reta r, ambas passando pelo ponto T.

K

J

P

Q

X D

B

M

X F

r

s

T

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POLÍGONOS POLÍGONO é a reunião de uma linha poligonal plana, simples, fechada com o seu interior. ELEMENTOS DE UM POLÍGONO LADOS: são segmentos de reta que unem vértices consecutivos. VÉRTICES: são os pontos de cruzamento de dois lados. DIAGONAIS: são segmentos de reta que unem vértices não consecutivos. GÊNERO: é o número de lados ou de vértices de um polígono. ÂNGULO INTERNO: é o ângulo na região interna formado pelos lados. ÂNGULO EXTERNO: é o ângulo formado por um lado e pelo prolongamento de um lado consecutivo.

Os polígonos podem ser CONVEXOS ou CÔNCAVOS: POLÍGONOS CONVEXOS: quando todos os ângulos internos forem ângulos convexos (entre 0º e 180º). POLÍGONOS CÔNCAVOS: quando pelo menos um de seus ângulos internos for um ângulo côncavo ( entre 180º e 360º). Os polígonos podem ser REGULARES ou IRREGULARES: REGULARES: quando têm lados congruentes e ângulos congruentes IRREGULARES: quando têm lados desiguais e ou ângulos desiguais.

Damos nomes aos polígonos de acordo com o seu número de lados e de ângulos. TRIÂNGULO: 3 lados e 3 ângulos. QUADRILÁTERO: 4 lados e 4 ângulos. PENTÁGONO: 5 lados e 5 ângulos. HEXÁGONO: 6 lados e 6 ângulos. HEPTÁGONO: 7 lados e 7 ângulos. OCTÓGONO: 8 lados e 8 ângulos. ENEÁGONO: 9 lados e 9 ângulos. DECÁGONO: 10 lados e 10 ângulos. UNDECÁGONO: 11 lados e 11 ângulos. DODECÁGONO:12 lados e 12 ângulos. TRIDECÁGONO: 13 lados e 13 ângulos. TETRADECÁGONO: 14 lados e 14 ângulos. PENTADECÁGONO: 15 lados e 15 ângulos. HEXADECÁGONO: 16 lados e 16 ângulos. HEPTADECÁGONO: 17 lados e 17 ângulos. OCTODECÁGONO: 18 lados e 18 ângulos. ENEADECÁGONO: 19 lados e 19 ângulos. ICOSÁGONO: 20 lados e 20 ângulos.

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POLÍGONOS POLÍGONOS INSCRITOS

São aqueles cujos lados são cordas de uma circunferência. Para construirmos os polígonos regulares inscritos devemos dividir a circunferência em partes iguais, isto é, dividi-la em arcos iguais

POLÍGONOS CIRCUNSCRITOS São polígonos cujos lados são tangentes na circunferência. Para construirmos os polígonos circunscritos devemos construir os polígonos inscritos e depois traçarmos segmentos paralelos aos lados do polígono inscrito, tangenciando a circunferência.

POLÍGONOS ESTRELADOS São polígonos formados por apenas uma linha poligonal que passa alternadamente por todos os seus vértices. Partindo de qualquer vértice, você deverá voltar ao ponto de origem. Porém esse procedimento não será possível, por exemplo, ao desenvolver, em dois passos, a linha poligonal em um hexágono regular aqui terá a falsa estrela. CONDIÇÕES DE EXISTÊNCIA DE UM POLÍGONO ESTRELADO. Verificamos a existência de um polígono estrelado procedendo da seguinte maneira: a) Divida o nº de lados do polígono por dois. (n/2) b) O nº de passos (p) deve ser: 1 < p < n/2. c) O maior divisor comum (m.d.c) entre n e p deve ser igual a 1.

Exemplo: Polígonos regulares estrelados a partir de um octógono regular. Verificação da existência: a) O nº de lados do octógono é igual a 8; então 8/2=4. b) O nº de passos deve ser 1 < p < 4; portanto p = 2 ou p = 3. c) Para p = 2: o maior divisor comum entre 8 e 2 é igual a 2, logo não existe o polígono regular estrelado e sim uma falsa estrela formada pela sobreposição de dois quadrados. Para p = 3: o máximo divisor comum entre 8 e 3 é igual a 1; logo, existe o octógono regular estrelado obtido em três passos.

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POLÍGONOS INSCRITOS Inscrever um triângulo equilátero numa circunferência de raio igual a 2 cm. Traçar o diâmetro AD. Traçar o arco BC, centrado nem D.

Inscrever um quadrado numa circunferência de raio igual a 2 cm. Traçar o diâmetro AC. Mediatriz de AC, definindo BD.

Inscrever um pentágono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm. Traçar o diâmetro 12. Mediatriz de 12, definindo A e 3. Mediatriz de O2, definindo 4. Traçar o arco A5, centrado em 4. O segmento A5 é o lado do pentágono.

Inscrever um hexágono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm. Traçar o diâmetro AD. Traçar o arco BF, centrado em A. Traçar o arco CE, centrado em D.

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POLÍGONOS INSCRITOS Inscrever um octógono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm. Diâmetro AE. Mediatriz de AE, definindo C e G. Bissetriz dos ângulos retos, definindo B, D, F e H.

Inscrever um eneágono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm. Mediatriz de 12, definindo A e 3. Traçar o arco O4, centrado em A. Traçar o arco 45, centrado em 3. Traçar o arco A6, centrado em 5. O segmento 16 é o lado do eneágono.

Inscrever um decágono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm. Traçar o diâmetro 12. Mediatriz de 12, definindo A e 3. Mediatriz de O2, definindo 4. Traçar o arco A5, centrado em 4. O segmento O5 é o lado do decágono.

Inscrever um dodecágono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm. Mediatriz de AG, definindo J e D. Traçar o arco LC, centrado em A. Traçar o arco BF, centrado em D. Traçar o arco EI centrado em G. Traçar o arco HM, centrado em J.

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POLÍGONOS INSCRITOS Inscrever um tridecágono regular numa circunferência de raio igual a 7 cm. ( Processo de Rinaldini)

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7º LISTA DE EXERCÍCIOS - POLÍGONOS INSCRITOS Inscrever um triângulo equilátero numa circunferência de raio igual a 2 cm.

Inscrever um quadrado numa circunferência de raio igual a 2 cm.

Inscrever um pentágono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm.

Inscrever um hexágono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm.

32

Inscrever um octógono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm.

Inscrever um eneágono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm.

Inscrever um decágono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm.

Inscrever um dodecágono regular numa circunferência de raio igual a 3 cm.

33

ESTRELADOS DUPLOS Construir um estrelado duplo de 7 pontas de passo 2 numa circunferência de raio igual a 6 cm.

Construir um estrelado duplo de 8 pontas de passo 2 numa circunferência de raio igual a 6 cm.

34

ROSÁCEAS Construir uma rosácea de 12 pétalas numa circunferência de raio igual a 4 cm.

Construir uma rosácea de 10 pétalas numa circunferência de raio igual a 4 cm.

35

CIRCUNFERÊNCIA E SEUS ELEMENTOS Circunferência é uma linha curva, simples, plana, fechada cujos pontos são eqüidistantes de um ponto fixo, chamado centro.

Corda é um segmento de reta que une dois pontos da circunferência.

Raio é um segmento de reta que une o centro a um ponto qualquer da circunferência.

Diâmetro é um segmento de reta que passa pelo centro unindo dois pontos quaisquer da circunferência. É a maior corda da circunferência, tendo medida igual a duas vezes o raio.

Tangente é uma reta que toca perpendicularmente o raio em um único ponto da circunferência, chamado ponto de tangência.

Secante é uma reta que corta a circunferência em dois pontos, sendo a reta suporte da corda.

Arco é um parte qualquer da circunferência. Notação:

Flecha é uma parte do raio perpendicular a corda.

36

TANGÊNCIA E CONCORDÂNCIA Reta tangente a uma circunferência

Uma reta é tangente a uma circunferência quando essa reta e a circunferência têm apenas um ponto em comum, chamado ponto de tangência. Uma reta tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.

Circunferências tangentes Duas circunferências são tangentes entre si quando tem apenas um ponto em comum, chamado ponto de tangência. Quando duas circunferências são tangentes entre si, os centros e o ponto de tangência pertencem a uma reta, ou seja, são colineares.

Concordância Concordar duas linhas de mesma ou diferente espécie é quando elas se encontram de forma que não haja ângulo no ponto de encontro. A concordância pode acontecer entre uma reta e um arco ou entre dois arcos. As concordâncias nada mais são do que tangências onde o ponto de tangência passa a se chamar ponto de concordância. Para que um arco concorde com outro é indispensável que o ponto de concordância e os centros sejam colineares. Para que um segmento de reta concorde com um arco é indispensável que o raio da circunferência ao qual o arco pertence e o segmento seja perpendicular.

t

O T

O1 O2

O1 O2

C

T

O

C

37

TANGENTES Traçar uma circunferência de raio igual a 2 cm e que seja tangente a um segmento de reta passando por P.

Traçar uma reta tangente a um arco de centro desconhecido pelo ponto T.

Traçar duas retas tangentes a uma circunferência que passe pelo ponto Q.

Traçar uma circunferência que seja tangente a reta s e que passe por dois pontos dados. (A ∈s e B ∉ s).

A P B

A

T

B

O x Q

s A

x B

38

TANGENTES Traçar várias circunferências tangentes internas à circunferência dada passando por T.

Traçar várias circunferências tangentes externas à circunferência dada passando por T.

Traçar uma circunferência que seja tangente externa a uma circunferência dada passando por dois pontos dados. (A ∈ C e B ∉C)

Traçar uma circunferência tangente interna a uma circunferência dada passando por dois pontos dados. (A ∈ C e B ∉ C)

T

T

A

x B

A x B

O

O

O O

39

8ª LISTA DE EXERCÍCIOS – TANGENTES 1- Dadas as retas a, b e c, construir uma circunferência tangente a elas. Determinar os pontos de tangência.

2- Traçar uma circunferência tangente a circunferência dada de raio 2 cm no ponto T e que passe por P.

3- Construir uma circunferência tangente a reta s, de raio igual a 2 cm que passe por P. Determinar o ponto de tangência.

a

b

c

O

T

x P

s

x P

40

4- Dadas as circunferências, construir uma circunferência tangente e de raio igual a 3 cm. Determinar os pontos de tangência.

5- Construir as circunferências tangentes de raio igual a 2 cm tangentes as retas dadas r e s.

s

r

41

CONCORDÂNCIA Concordar n arcos de circunferência na extremidade B do segmento AB.

Concordar um arco de circunferência na extremidade D passando por P.

Concordar dois segmentos de retas paralelos com um arco de circunferência.

Concordar dois segmentos de retas paralelos de extremidades opostas (que estão numa mesma perpendicular) por meio de dois semiarcos de circunferências concordados.

A B D E

P x

P C1

Q C2

P C1

C2 Q

42

CONCORDÂNCIA Concordar dois segmentos de retas paralelos de extremidades opostas (que não estão numa mesma perpendicular) por meio de dois arcos de circunferências concordados.

Concordar na extremidade B de um arco AB dado, com outro arco de mesmo sentido que passe por C.

Concordar na extremidade B de um arco AB dado, com outro arco de sentido contrário e que passe por C.

Concordar um arco com outro arco de raio de 2 cm, na extremidade A com um arco de mesmo sentido e na extremidade B com um arco de sentido contrário.

P C1

C2 Q A

B

O x C

A

B

O x C

A

B O

43

9ª LISTA DE EXERCÍCIOS – CONCORDÂNCIA 1- Sendo AB e CD segmentos perpendiculares, concordar B a C por meio de dois arcos concordados. Sendo CD e EF, segmentos paralelos, concordar D a E por meio de dois arcos concordados.

2- Concordar dois segmentos não paralelos por meio de um arco concordante de raio igual a 3 cm. Determinar os pontos de concordância.

3- Concordar em A do arco AB por meio de um arco de mesmo sentido de raio igual a 3 cm e em B por meio de um arco de sentido contrário que passe por G.

A B

D

C

E

F

A

B D

C

A

B

x G

O

44

4 - Sejam três segmentos dados paralelos. Concordar dois a dois por meio de dois arcos concordados. (B a C, D a E)

5- Dado o arco AB, concordar em A com um arco que tem extremidade em C. Em C, continuar concordando com um arco que passe por D.

A B

D C

E F

A

B

x C

x D

45

ARCOS Arco de circunferência é uma das partes em que ela se divide por dois pontos distintos. Neste estudo, também denominaremos arcos, às curvas que têm extremidades coincidentes com as origens de duas semirretas paralelas de mesmo sentido e nível. Essas curvas são quase sempre constituídas de arcos concordantes entre si ou de arcos que concordam com as semi-retas paralelas. São muito utilizadas em Arquitetura (portas, janelas, abóbodas, pontes, etc.). ELEMENTOS DE UM ARCO Pontos de origem ou nascença: pontos que determinam as extremidades do arco. Vão, base ou abertura: segmento que liga os pontos de origem, ou seja, é a linha de nível das semirretas. Centro do vão: ponto médio do vão. Ápice: ponto do arco que equidista dos pontos de origem. Flecha: segmento de reta perpendicular ao vão, traçado do ápice do arco ao centro do vão. Suporte: semirretas paralelas de mesmo sentido e nível. Em Arquitetura são chamados de "colunas” ou "pilastras". CLASSIFICAÇÃO DE ARCOS Arcos plenos: são arcos que têm a flecha com medida igual à metade medida da abertura. Esses arcos são também conhecidos como arcos romanos ou de meia volta. Arcos abatidos: são arcos que têm a flecha com medida menor que a metade da medida da abertura. Esses arcos são obtidos pela concordância de um número ímpar de arcos de circunferência. Arcos ogivais: são arcos que têm a flecha com medida maior que a metade da medida da abertura. Esses arcos apresentam as seguintes variedades: ogivais de ferradura e ogivais góticas.

Construir um arco romano ou pleno, sendo a abertura AB = 6 cm.

Construir um ogival, sendo a abertura AB = 5 cm.

46

ARCOS Construir um arco ogival, sendo a abertura AB = 5 cm e a flecha CD = 4,5 cm.

Construir um arco ogival em ferradura, sendo a abertura AB = 4 cm.

Construir um arco gótico, sendo a abertura AB = 4 cm.

Construir um arco com chama gótica, sendo a abertura AB = 6 cm.

47

ARCOS Construir um arco mourisco, sendo a abertura AB = 4 cm.

Construir um arco mourisco em forma de chama, sendo a abertura AB = 4 cm.

Construir um arco tudor reto, sendo a abertura AB = 6 cm e a flecha CD = 2 cm.

Construir um arco tudor, sendo a abertura AB = 7 cm.

48

ARCOS Construir um arco abatido de 3 centros, sendo a abertura AB = 6 cm e a flecha CD = 2 cm.

Construir um arco tribolado, sendo a abertura AB = 7 cm.

Construir um arco aviajado, sendo dados os pontos de nascença.

Construir um arco inflexo, sendo a abertura AB = 8 cm, e a flecha CD = 2,5 cm.

49

10ª LISTA DE EXERCÍCIOS – ARCOS 1- Construir um arco inflexo sendo a abertura AB = 7 cm e a flecha CD = 2 cm.

2- Construir um arco tudor de abertura AB = 8 cm.

3- Construir um arco abatido de 3 centros sendo a abertura AB = 7 cm, a flecha CD = 2 cm.

4- Construir um arco tudor reta sendo a abertura AB = 8 cm e a flecha CD = 2,5 cm.

50

5- Construir um arco tribolado sendo a abertura AB = 6 cm.

6- Construir um arco com chama gótica, sendo a abertura AB = 5 cm.

7- Construir um arco ogival sendo a abertura AB = 4 cm e a flecha CD = 5 cm.

8- Construir um arco aviajado sendo dados os pontos de nascença.

51

9- Construir um arco ogival em ferradura sendo a abertura AB = 4,5 cm.

10- Construir um arco gótica sendo a abertura AB = 4,5 cm.

11- Construir um arco mourisca sendo a abertura AB = 4,5 cm.

12- Construir um arco mourisco em forma de chama, sendo a abertura AB = 5 cm.

52

PERSPECTIVA Perspectiva é a arte de representar em uma superfície, geralmente plana, os objetos em relevo. A perspectiva dá ao objeto a idéia de dimensão, cor, sensação de distância e sugere a sensação de espaço. Os objetos parecem menores à medida que se afastam da vista do observador. A perspectiva nos permite representar fielmente a sensação de profundidade. Ela pode ser classificada em perspectiva paralela e perspectiva cônica. Perspectiva paralela tem este nome porque as arestas das figuras são paralelas entre si. Pode ser subdividida em perspectiva cavaleira e perspectiva isométrica. Perspectiva cônica recebe este nome pelo fato das arestas laterais de profundidade serem direcionadas para determinados pontos de fuga que pertencem a linha do Horizonte. A perspectiva cônica pode ter um ponto de fuga ou dois pontos de fuga. Perspectiva cavaleira: o objeto é representado com uma face frontal e há apenas uma direção para representação da profundidade. Perspectiva isométrica: o objeto é representado com uma aresta frontal tendo duas direções para representação de profundidade, formando ângulos de 30º com a linha de apoio.

Perspectiva cônica: um objeto é representado em perspectiva cônica quando suas arestas são convergentes para determinados pontos, chamados pontos de fuga. Perspectiva cônica com um ponto de fuga e uma face frontal.

Perspectiva cônica com dois pontos de fuga e uma aresta frontal.

53

PERSPECTIVA CAVALEIRA Nessa perspectiva, a figura é representada com uma face frontal, onde são marcadas a largura e a altura. O comprimento é marcado em apenas uma direção , sofrendo redução em sua medida proporcional ao ângulo de profundidade. Os ângulos mais utilizados são 30º, 45º e 60º. - Para 30º, a redução do objeto é de 1/3 da sua verdadeira grandeza. - Para 45º, a redução é de 1/2. - Para 60º, a redução é de 2/3. Representar uma perspectiva cavaleira de 30º, 45º e 60º, as faces são todas congruentes. A face frontal é dada.

54

PERSPECTIVA CAVALEIRA Traçar a perspectiva cavaleira com 30º de inclinação do objeto dado.

Traçar a perspectiva cavaleira com 45º de inclinação do objeto dado.

55

11ª LISTA DE EXERCÍCIOS - PERSPECTIVA CAVALEIRA 1- Fazer a perspectiva cavaleira do objeto dado com 60º de inclinação.

2- Fazer a perspectiva cavaleira de um cilindro reto com inclinação de 45º. A base é dada e a altura é igual a 5 cm.

56

PERSPECTIVA ISOMÉTRICA Nessa perspectiva, a figura é representada com uma aresta frontal e com as arestas de profundidade paralelas entre si, mas para as duas direções. Não há nenhuma alteração das medidas e o ângulo de profundidade é de 30º para cada lado da aresta frontal. Este ângulo é formado com a linha auxiliar de apoio. Representar em perspectiva isométrica a figura de medidas; comprimento igual a 7 cm, largura igual a 4 cm e altura igual a 3 cm.

57

PERSPECTIVA ISOMÉTRICA Represente em perspectiva isométrica um cilindro de 6 cm de diâmetro e 8 cm de altura.

Represente em perspectiva isométrica de um cilindro de 4 cm de diâmetro e 6 cm de comprimento.

58

PERSPECTIVA ISOMÉTRICA Represente em perspectiva isométrica o esboço dado.

Represente em perspectiva isométrica o esboço dado.

59

PERSPECTIVA ISOMÉTRICA Represente em perspectiva isométrica o esboço dado

Represente em perspectiva isométrica o esboço dado.

60

12ª LISTA DE EXERCÍCIOS - PERSPECTIVA ISOMÉTRICA 1- Traçar a perspectiva isométrica do sólido dado.

2- Traçar a perspectiva isométrica do sólido dado.

61

3-Traçar a perspectiva isométrica do sólido dado.

4- Traçar a perspectiva isométrica do sólido dado.

62

PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS Projeção ortográfica é o método de representar a forma exata de um objeto por meio de duas ou mais projeções do objeto sobre planos que, em geral, estão em ângulo reto entre si baixando-se perpendiculares o plano. O conjunto de vistas sobre estes planos descreve totalmente o objeto. Na projeção ortográfica, os planos sobre os quais se projetam as figuras denominam-se "planos de projeção" ou vistas.

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PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS Representar em perspectiva isométrica o sólido de vistas dadas.

Representar em perspectiva isométrica o sólido de vistas dadas.

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15ª LISTA DE EXERCÍCIOS - PROJEÇÕES ORTOGRÁFICAS 1- Traçar a perspectiva isométrica do sólido de vistas dadas. 2- Traçar a perspectiva isométrica do sólido de vistas dadas.

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