6-27-04-2009-Função-Logaritmo-Exercício-Avançado-2012
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Função Logaritmo – Exercício - Avançado 1. (ITA) Sejam x e y dois números reais tais que e x , e y e o quociente 5 e 4 5 2 e y x − − são todos racionais. A soma x + y é igual a: (A) 0. (B) 1. (C) 2 log 5 3. (D) log 5 2. (E) 3 log e 2. 2. (ITA) Sendo dado 1n ( ) n 4 3 n 2 ... 8 6 4 2 = a n e 1n ( ) n 2 4 3 n 2 ... 4 3 2 = b n então, − 2 2 n 1 3 3 n 1 + 4 4 n 1 – 5 5 n 1 + ...+ n 2 n 2 n 1 é igual a: (A) a n - 2b n (B) 2a n - b n (C) a n - b n (D) b n - a n (E) a n + b n . 3. (ITA) Um subconjunto D de IR tal que a função f : D IR, definida por f(x) = |ln(x 2 – x + 1)| é injetora, é dado por (A) IR (B) (–∞, 1) (C) [0,1/2] (D) (0, 1) (E) [1/2, ∞). 4. (ITA) Para b > 1 e x > 0, resolva a equação em x: (2x) 2 b log –(3x) 3 b log = 0. 5. (ITA) Seja a função f dada por: f(x) = (log 3 5) . log 5 8 x–1 + log 3 4 1+2x–x 2 – log 3 2 x(3x+1) . Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa. 6. (IME) Sejam a e b números reais positivos e diferentes de 1. Dado o sistema abaixo: ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = b log . y log x log . 2 ab b . a a b / 1 a y / 1 x determine os valores de x e y.
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Função Logaritmo – Exercício - Avançado 1. (ITA) Sejam x e y dois números reais tais que ex, ey e o quociente
5e452e
y
x
−
− são todos racionais. A soma x + y é igual a:
(A) 0. (B) 1. (C) 2 log5 3. (D) log5 2. (E) 3 loge 2. 2. (ITA) Sendo dado 1n ( )n43 n2...8642 = an e 1n ( )n243 n2...432 = bn então,
−22n1
33n1 +
44n1 –
55n1 + ...+
n2n2n1
é igual a: (A) an - 2bn (B) 2an - bn (C) an - bn (D) bn - an
(E) an + bn. 3. (ITA) Um subconjunto D de IR tal que a função f : D IR, definida por f(x) = |ln(x2 – x + 1)| é injetora, é dado por (A) IR (B) (–∞, 1) (C) [0,1/2] (D) (0, 1) (E) [1/2, ∞).
4. (ITA) Para b > 1 e x > 0, resolva a equação em x: (2x) 2blog
–(3x) 3blog
= 0. 5. (ITA) Seja a função f dada por:
f(x) = (log35) . log5 8x–1 + log3 41+2x–x 2
– log3 2x(3x+1). Determine todos os valores de x que tornam f não-negativa. 6. (IME) Sejam a e b números reais positivos e diferentes de 1. Dado o sistema abaixo:
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
blog.ylogxlog.2abb.a
ab/1a
y/1x
determine os valores de x e y.
7. (IME) Para que valores de x a função
f(x) = 4xln
1x . ln x2
assume o valor e 41
?
8. (ITA) Seja f(x) = ln (x2 + x + 1), x ∈ IR. Determine as funções h, g : IR IR tais que f(x) = g(x) + h(x), ∀x ∈ IR, sendo h uma função par e g uma função ímpar. 9. Resolva o sistema
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=++=++=++
2ylogxlogzlog2xlogzlogylog2zlogylogxlog
16164
993
442
10. Sejam 1bc,IRceb,a * ≠±∈ + , Prove que:
alogalog2alogalogcba bcbcbcbc222
−+−+ =+⇔=+ . 11. Prove que:
( ) ( ) ( ) .1n2alog4
1alog1431blogalog
2b
n2b
1nn
1k
2ab
k2k2 +−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=− +
=∑ −
12. Sejam ( ) { }1IRceb,aquetai.G.Pc,b,a * −∈ + , então:
0N,NlogNlogNlogNlog
NlogNlog
cb
ba
c
a >−−
= .
13. Sejam { } 0Ne1IRceb,a * >−∈ + , então:
.Nlog
NlogNlogNlogNlogNlogNlogNlogNlogNlog
abc
cbaaaccbba =++
14. Resolva o sistema abaixo:
⎪⎩
⎪⎨⎧
==
blogylogxlog2abba
ab1a
yx
15. Demonstre que:
1abe1a,IRxeb,a,blog1xlogxlog *
aab
a ≠≠∈+= +
16. Prove que:
{ }∑=
+ −∈=n
1k
*
!nk1IRP,
Plog1
Plog1
Gabarito 1. E 2. C 3. C
4. .61S⎭⎬⎫
⎩⎨⎧=
5. .1,51S ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=
6.
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒≠
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∈⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⇒=
2,21S1ab
IRk,k1,kS1ab *
7. { }e,eS −= 8.
( )
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+−
++=
→
++=
→
1xx1xx
ln21)x(gx
IRIR:g
1xxln41)x(hx
IRIR:h
2
2
24
a
a
9. ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
332,
827,
32S
14. ( ) ( ){ }1,1,alog,blogS ba=
