6 escoamentos sup livre - pt3

Hidráulica II – Escoamentos com superfície livre (parte 3)

Copyright © por Prof. João Braga1

Quantidade de Movimento

Para além das definições que já foram referidas, há uma grandeza que também

assume grande importância, que é a quantidade de movimento (M).

Esta é uma espécie de momento linear que está associado ao movimento do fluido

(logo, tanto maior quanto mais elevada for a massa e a velocidade deste).

A esta grandeza, está relacionado o muito utilizado Teorema de Euler ou quantidade

de movimento:

“Para um volume determinado no interior de um fluido, é nulo em cada instante o

sistema das seguintes forças: peso (G), resultante das forças de contacto (π) que o

meio exterior exerce sobre o fluido contido no volume, através da superfície de

fronteira, resultante das forças locais de inércia (I) e resultante das quantidades de

movimento entradas para o volume considerado e dele saídas na unidade de tempo

(M1 - M2).”


Autor: Prof. João Braga2


O teorema pode ser descrito, portanto, segundo uma equação:

021 MMIG

No caso de o movimento ser permanente, I = 0 (visto a aceleração ser nula). Nesse

caso, e para fluidos incompressíveis, o teorema do impulso traduz-se por:

GMM 12

A quantidade de movimento que atravessa uma dada secção é dada por:

dAVVMA

Ou, para o caso de uma secção normal a um escoamento paralelo a uma direcção:

direcçãodaversoroesendoeUQM ,'




O coeficiente α’ designa-se por coeficiente de quantidade de movimento e define-se

por:

AU

dAVA

2

2

'

Para escoamentos rectilíneos em que o fluido é a água, este também pode, tal como o

coeficiente de Coriolis (α) e sem perda de rigor, ser considerado aproximadamente

igual à unidade.

O teorema de Euler tem larga utilização na Hidráulica. Para além do emprego na teoria

das turbomáquinas e da turbulência, é correntemente aplicado na prática, para

determinar as forças que líquidos em movimento ou em repouso exercem sobre as

superfícies com que contactam, pois que as forças iguais e opostas à que se procura

determinar estão contidas no termo π.




021 MMIG




Restringe-se a aplicação ao caso de escoamentos permanentes e lineares com

superfície livre, considerando o volume elementar ocupado pelo líquido em

escoamento entre duas secções 1 e 2 afastadas de ds, que se podem admitir como

paralelas. Ter-se-á:

02121 MMdRG

SS dRGMM 1122

SS dRGMd

M Impulsão total ou Quantidade de Movimento total




A condição de caudal máximo para M| = M|0 corresponde a:

c

cgcc

B

AhA

2

0|

É possível afirmar, então, que as duas superfícies F1(E, h, Q) e F2(|M, h, Q) têm uma

curva comum que é a curva dos estados críticos.

A quantidade de movimento total, nas secções a montante e a jusante da

comporta, assume valores distintos, mas conserva-se no caso do ressalto hidráulico

(fenómeno de passagem de escoamento rápido para lento).



Regolfo com caudal constante

Designa-se de regolfo a curva descrita pela superfície do líquido quando estamos

perante um escoamento permanente, em que há variação da altura ao longo do canal.

O tipo de curva de regolfo possível depende, em primeira instância, do declive

longitudinal do canal, podendo ser:

• Declive positivo (canal descendente no sentido de escoamento);

• Declive nulo (canal horizontal);

• Declive negativo (canal ascendente no sentido de escoamento).

Incluídos no declive positivo, temos ainda três subtipos diferentes de declive, sendo

que cada um deles tem o seu tipo de curvas de regolfo. São estes o declive forte (se

o escoamento uniforme for rápido), o declive crítico (para escoamento uniforme

crítico) e o declive fraco (para escoamento uniforme lento).




Quando estamos perante um declive positivo, para saber qual das três situações

corresponde ao caso em análise, há 2 hipóteses:

Determinar as alturas crítica e uniforme, e compará-las;

Determinar o declive crítico, e compará-lo com i.




Mediante várias hipóteses, e baseando-nos no Teorema de Bernoulli, é possível

determinar qual é o andamento de cada uma das curvas possíveis, que terá de ser

respeitado pelo perfil da superfície livre.

Estas hipóteses perdem validade somente no caso de secções fechadas ou de

secções compostas, em que existem duas alturas uniformes ou duas alturas críticas

para um mesmo valor de caudal, respectivamente.

Jsends

dE1

ds

dA

Ag

Q

ds

dh

Ag

Qh

ds

d

ds

dE3

2

2

2

cos2

cos 2




1 2

3

2

cosAg

QB

Jsen

ds

dh

3

2

3

2222

Ag

QB

BAg

Q

BAg

U

hg

UF

m

RComo

E se θ for pequeno e α=1:

21 RF

Ji

ds

dh Equação característica da

curva de regolfo




Para a altura uniforme, i – J = 0 (J = i). Além disso, o número de Froude é igual à

unidade para o escoamento crítico. Tem-se que:

J < i para h > hu | J > i para h < hu

FR < 1 para h > hc | FR > 1 para h < hc

Como será então o aspecto de cada uma das curvas de regolfo?

Desde que se estabeleça a hipótese descrita acima de que a perda de carga unitária J

diminui com o aumento da altura (o que não se verifica para secções fechadas), é

possível deduzir os tipos de curvas de regolfo através da equação obtida

anteriormente, válidos tanto para o regime laminar como para regime turbulento.

21 RF

Ji

ds

dh




Exemplo: declive fraco (i < ic)

1 – Se h > hu → J < i ; FR < 1 →

2 – Se hu > h > hc → J > i ; FR < 1 →

3 – Se h < hc → J > i ; FR > 1 →

01

2

RF

Ji

ds

dh

01

2

RF

Ji

ds

dh

01

2

RF

Ji

ds

dh




Fronteiras:01;

ds

dhFiJhh Ru

1

ids

dhFJh R 0;0

f1

2 f2

01;)0(0ds

dhFJihh Ru

ds

dhFJihh Rc )1(1;0

3 f3

ds

dhFJihh Rc )1(1;0

ds

dhFJih R;0 é indeterminado

(mas finito, depende do tipo de secção)




Declives:

Fraco → f1, f2 e f3

Forte → F1, F2 e F3

Crítico → C1 e C3

Nulo → H2 e H3

Negativo → N2 e N3

Para canais de declive crítico, nulo e negativo, só se definem duas zonas: no

primeiro caso, porque as linhas das alturas críticas e das alturas uniformes coincidem;

nos outros casos, porque não existe neles escoamento uniforme.




Conclusões:

O perfil da superfície livre aproxima-se assimptoticamente da linha de alturas

uniformes;

O perfil da superfície livre, ao aproximar-se da linha de alturas críticas, tem curvatura

acentuada e o movimento torna-se rapidamente variado, com influência da curvatura

dos filetes líquidos;

Não há curvas para passagem de regime rápido a montante para o regime lento a

jusante: isso dá-se por meio de um escoamento rapidamente variado, o ressalto

hidráulico.



Regolfo com caudal constante - Singularidades

Mudança de declive

Caso 1 – Declive fraco para forte (i1 < ic para i2 > ic)

Em 1, o regime é lento e, portanto, controlado por jusante; em 2 o escoamento é

rápido, e portanto controlado por montante. A única forma possível de escoamento é a

de se estabelecer, na secção da mudança de declive, o regime crítico, sendo a

transição efectuada por meio de curvas do tipo f2 e F2.




Mudança de declive

Caso 2 – Declive forte para fraco (i1 > ic para i2 < ic)

Duas localizações possíveis para o ressalto

Neste caso, uma das hipóteses diz que o escoamento rápido é controlado por

montante, pelo que se mantém até 3 sem ser influenciado pela singularidade. O

ressalto ocorre após um regolfo de elevação. Outra hipótese diz que é o escoamento

lento a manter-se até 3’, ocorrendo o ressalto a montante da singularidade. Só o

estudo do ressalto e das alturas conjugadas permite saber qual destas ocorre.




Queda vertical

O comportamento da superfície livre no caso de uma queda brusca depende do tipo de

declive que possui o canal. É um princípio geral o de que o escoamento vindo de

montante em regime lento passa em regime crítico numa secção a jusante da qual não

existe escoamento em regime lento que imponha condicionamentos para montante.

No caso do escoamento rápido, tudo se passa como se este ignorasse a existência da

queda brusca situada a jusante.




Queda vertical




Passagem brusca de reservatório para canal

Caso 1 – Passagem para canal de declive forte (i > ic)





Caso 1 – Passagem para canal de declive forte (i > ic)

Supondo que o declive do canal é forte, tem-se na secção 1 atrás representada o

regime rápido, que é comandado por montante.

A energia específica associada ao escoamento é a diferença de cotas entre o fundo do

canal e a superfície do líquido no reservatório, numa zona não perturbada pelo

escoamento, visto que se assume que aí o líquido está em repouso.

O caudal escoado Q é tal que lhe corresponde uma energia específica mínima

(logo, crítica) compatível com esse caudal, ou seja, é o máximo caudal compatível com

a energia específica E0 (princípio de Bélanger).

O líquido irá passar portanto em 2 com a altura crítica e atingirá o escoamento

uniforme através de um regolfo do tipo F2.





Caso 2 – Passagem para canal de declive fraco (i < ic)





Caso 2 – Passagem para canal de declive fraco (i < ic)

Sendo o declive do canal fraco, tem-se numa secção 1 suficientemente afastada o

regime uniforme, de escoamento lento. Como este regime é comandado por jusante, o

escoamento uniforme ocorre na secção de entrada, em 2, mantendo-se a altura de

água desde essa secção.

Para determinar qual o caudal escoado, é necessário recorrer a um sistema de duas

equações: a primeira a que caracteriza o escoamento uniforme, e a segunda a que

corresponde à condição da energia específica ser igual a E0.

21

32

iRAKQ2

2

02 Ag

QhE1 2





Ao estudar este problema, não se sabe à partida se o declive do canal é fraco ou forte,

portanto não se sabe qual das duas situações se vai verificar. Ao não se saber o valor

do caudal que se vai escoar, também não é possível determinar o declive crítico,

necessário para classificar o declive existente.

Ora, a forma de resolver este problema, é admitir a hipótese de que o declive é forte,

calculando o caudal que se escoaria (o máximo compatível com a energia E0) e

portanto o declive crítico. Depois, deve comparar-se o valor do declive crítico obtido

com o declive do canal, verificando se a hipótese inicialmente assumida é verdadeira

ou não.




Dois reservatórios ligados por um canal

Caso 1 – Canal de declive forte (i > ic)






Quando o nível no reservatório de jusante é mais baixo, o escoamento comporta-se

como se fosse uma queda brusca no fim do canal, ignorando a singularidade.

Se a altura no reservatório de jusante estiver acima da altura de escoamento

uniforme, não há qualquer alteração no escoamento no canal, visto que se tem um

escoamento rápido que ignora os condicionamentos de jusante.

Só há alteração do escoamento no canal se a altura no segundo reservatório estiver ao

nível ou acima da altura conjugada no ressalto da altura uniforme, a partir do qual este

se forma no canal e é seguido de um regolfo de elevação do tipo F1.





Caso 2 – Canal de declive fraco (i < ic)






Nesta situação, se o nível de água no reservatório de jusante está abaixo da altura

crítica, este vai passar na secção de saída do canal com a mínima energia específica

possível, isto é, a energia crítica (na prática, é como se fosse uma queda livre).

Acima desse valor, passamos a ter um regolfo de abaixamento do tipo f2, que é tão

mais curto quanto a altura no reservatório estiver próxima da altura de escoamento

uniforme.

Para alturas acima da uniforme, passa a existir antes um regolfo de elevação do tipo

f1, sendo que a partir de determinadas alturas começa a existir redução do caudal

escoado no canal, pois o regolfo prolonga-se até à secção inicial do canal.




Comporta com abertura inferior







O escoamento na vizinhança da comporta é rapidamente variado. Na secção 1 a

jusante, a altura líquida é inferior à abertura da comporta, sendo a relação entre as

respectivas áreas designada de coeficiente de contracção (CC) e a secção de

secção contraída.

Neste caso, há a formação de um ressalto a montante da comporta, o qual forma-se

mais atrás se a abertura da comporta diminuir, e cada vez mais próximo desta se a sua

abertura for aumentando (até ao limite em que atinge a altura uniforme).

Como se pode ver, após o ressalto há necessidade de ganhar energia através de um

regolfo do tipo F1, a qual é dissipada no regolfo do tipo F3. O crescimento da altura

líquida através da curva F1, permite que o escoamento chegue à comporta com a

energia mínima requerida.






Nesta situação, continuamos a ter um escoamento rapidamente variado na imediação

da comporta. Dado que a altura de escoamento uniforme é superior à crítica, o ressalto

hidráulico nesta situação ocorre a jusante da comporta, e não a montante, onde já

temos um escoamento lento naturalmente.

Antes da chegada à comporta, há um ganho de energia através de um regolfo de

elevação do tipo f1 (o ganho de energia é tanto maior quanto menor for a abertura

inferior da comporta), que é dissipado depois na curva f3 e no ressalto que faz a

passagem do escoamento rápido para a altura de escoamento uniforme em regime

lento.

Se a altura da comporta subir, o ressalto a jusante desta vai deslocar-se para

montante, até atingir a secção da comporta, ocorrendo um ressalto afogado.




Comporta com

abertura inferior

Caso 2 – Canal

de declive fraco

(i < ic)

Ressalto

afogado






Ressalto afogado






O ressalto afogado irá ocorrer quando

a altura do regime lento a jusante for

superior à altura conjugada da altura

na secção contraída imediatamente a

jusante da comporta. As

características do ressalto dependem

do grau de submersão m:

2

2'

h

hm

Conjugada de h1




Elevação do fundo / Trampolim de saída

Se tivermos um canal com declive fraco, temos:

- Se for um trampolim de saída, terá que passar na secção extrema em regime

crítico; haverá portanto a montante da singularidade um regolfo de elevação

f1, ausência de regolfo ou regolfo de abaixamento f2.

- Se se tratar de uma rampa (elevação do fundo), continuando depois o canal

normalmente após a mesma, terá que se comparar a energia específica de

escoamento uniforme (Eu) com a crítica (Ec); se a diferença for inferior à altura da

soleira, a altura de água mantém-se, passando a haver um regolfo de elevação f1 a

montante quando isto não se verifica, situação em que irá passar na secção extrema

com a mínima energia possível (altura crítica).





Se o canal for antes de declive forte, para valores mais baixos de altura do trampolim /

rampa, a superfície livre mantém o seu trajecto, subindo ligeiramente o valor da altura

ao passar no obstáculo.

A partir de uma determinada altura da soleira, correspondente à diferença entre a

energia específica de escoamento uniforme (Eu) e a crítica (Ec), o escoamento não

possui energia suficiente para passar sobre a singularidade sem existirem alterações.

Neste caso, ocorre a formação de um ressalto com passagem para regime

lento, seguido de um ganho de energia por uma curva F1 até ao valor mínimo que seja

suficiente para passar sobre a soleira.




Elevação do fundo / Trampolim de saída - Histerese



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