5 escoamentos sup livre - pt2

Hidráulica II – Escoamentos com superfície livre (parte 2)

Copyright © por Prof. João Braga1

Escoamentos permanentes com superfície livre

Como se viu, um escoamento permanente com superfície livre, é um escoamento que

ocorre com caudal constante ao longo do tempo e, muitas vezes, também constante ao

longo do canal. Em geral, são condicionamentos de natureza geométrica que implicam

que o escoamento deixe de ser uniforme. Este tipo de escoamentos, podem dividir-se

em gradualmente variados e rapidamente variados.

Neste tipo de escoamentos há variação da altura da secção ao longo do escoamento.

Para o primeiro caso (gradualmente variados), ao traçado da superfície livre

chamamos de regolfo.


Autor: Prof. João Braga2





Este tipo de escoamentos (permanentes gradualmente variados) possui determinados

critérios:

Trajectórias aproximadamente rectilíneas e paralelas;

Secções rectas planas;

Distribuição hidrostática de pressões.

O teorema de Bernoulli pode ser exprimido pela equação seguinte:

Jt

U

gg

Uz

p

s

'1

2

2

Para escoamentos permanentes/uniformes, esta equação reduz-se a:

Jg

Uz

p

s 2

2




Apesar de a altura de água variar ao longo do escoamento, a curvatura é

suficientemente pequena para que a pressão se possa considerar constante em

qualquer ponto de uma secção. Assim, sendo A um ponto à superfície:

0, AAAA pquevistozz

pz

p

yhzA cos

sends

dy

Θ é positivo para leitos descendentes




Analisando novamente a equação do teorema de Bernoulli (que traduz a variação da

energia ou carga total do escoamento) para escoamentos permanentes:

Jg

Uyh

ds

d

2cos

2

Jseng

Uh

ds

d

2cos

2

Para valores pequenos de θ, sen(θ) ≈ tg(θ) = i (declive do canal) e cos(θ) ≈ 1. Em

escoamentos turbulentos e canais rectilíneos, é ainda válido considerar α = 1, pelo

que a equação do T. Bernoulli transforma-se em:

Jig

Uh

ds

d

2

2




O termo entre parêntesis no membro esquerdo da equação, designado por energia

específica, E, representa a energia do escoamento por unidade de peso de líquido, em

relação ao fundo do canal.

g

UhE

2

2

Jids

dE

Para escoamentos uniformes, i = J, e

portanto a linha de energia é paralela ao

fundo do canal

Do ponto de vista energético, sen(θ) ≈ i (diminuição da cota do leito ao longo do

percurso) representa o trabalho realizado pelas forças de gravidade por unidade de

peso de líquido escoado e na unidade de percurso.

A perda de carga unitária J representa o trabalho realizado pelas forças resistentes,

também por unidade de peso de líquido e na unidade de percurso.



Energia específica

2

22

22)(

hAg

Qh

g

UhhE

Para um caudal constante Q0, a altura líquida e a energia específica com que esse

valor de caudal se pode escoar, em regime permanente, relacionam-se através da

expressão:

2

2

0

2 Ag

QhE

Esta função da energia específica em função da altura de água, é uma parábola que

possui duas assimptotas, o eixo vertical das ordenadas E e a recta E = h.

Para valores de h muito pequenos, 2 é preponderante;

Para valores de h muito grandes, 1 é preponderante.

1 2



Energia específica

Se tivermos as três variáveis, E, Q e h, a função F(E,Q,h) = 0 é um paraboloide de

revolução.



Energia específica

Plano Q = Q0



Tipos de escoamento



Tipos de escoamento

Existem, portanto, três tipos de escoamento: lento ou fluvial, crítico, e rápido ou

torrencial.

O escoamento crítico, de acordo com o gráfico anterior, será então o escoamento com

a menor energia possível, para um dado valor de caudal. Ao regime de escoamento

crítico, atribuem-se também as definições de altura crítica hc, velocidade crítica Uc e

energia específica crítica Ec.

Quando o escoamento para um caudal Q0 não é crítico,

obtêm-se para o mesmo valor de E, duas alturas

possíveis: uma superior, e outra inferior à altura crítica.

Esta peculiaridade pode ser evidenciada no caso em

que se instala, num canal de fundo horizontal, uma

comporta com uma abertura inferior, na qual o

escoamento sobre esta pode considerar-se sem perdas

de carga.



Tipos de escoamento



Tipos de escoamento

Influência do caudal e da largura do rasto da secção na curva E(h)



Energia específica crítica

Vejamos o caso de um escoamento para um dado valor de caudal Q = Q0. A equação

da energia específica, como já vimos atrás, é:

2

2

0

2)(

hAg

QhhE

O regime crítico é aquele que corresponde ao mínimo valor da função. Ora, este ocorre

quando a derivada da função supracitada se anula.

22

2

0

2

2

0

2

221

2 Ag

dhdAAgQ

Ag

Qh

dh

d

dh

dE

014

41

3

2

0

42

2

0

dh

dA

Ag

Q

Ag

dhdAAgQ

dh

dE




c

cc

B

AAgQ

Ag

BQ

dh

dE03

2

010

No caso geral, calcula-se e iguala-se a Q0, sendo o valor

respectivo de h igual à altura crítica.

c

cc

B

AAg




O número de Froude traduz o quociente entre as forças de inércia e as forças de

gravidade.




Para uma secção rectangular, o cálculo da altura crítica é directo.

3

2

2

0

3

2

010 chBg

Q

Ag

BQ

dh

dE

3

2

032

2

0

g

q

Bg

Qhc

Quando A(h) é uma função monómia [S=C.hn], tem-se:

122

2

0nc

Cg

Qnh




Altura crítica:

Velocidade crítica:

Energia específica

crítica:




Pode definir-se outra grandeza, designada por altura média, que simboliza a relação

entre a área da secção líquida (A) e a largura superficial (B).

B

Ahm

Assim:

mcc

c

cc hgA

B

AAgQ0

mcc hgU

mccc hhE2

1



Função h(Q) para E = E0

Veja-se agora o que se passa no plano E=E0 [função h(Q)].



hEgAQhAg

QhE 02

2

0 22

= U

Esta curva representa todos os escoamentos uniformes possíveis com a mesma

energia específica. Esta é uma função não linear que tem dois pontos de caudal

nulo:

Anulação da área da secção (h = 0 → A = 0)

Anulação da velocidade (h = E0 → U = 0)

O caso em que temos dois escoamentos correspondentes a dois pontos desta curva é

o caso que já se falou do escoamento sob uma comporta com abertura inferior.





O caudal máximo corresponde ao regime crítico, logo, quando a derivada da função se

anula.

020 0 hEgAdh

d

dh

dQ

022 21

00 hEgdh

dAhEg

dh

dA

0222

12 2

1

00 hEggAhEgdh

dA

0202

2 0

0

0 gAhEgBhEg

gAhEgB

c

cc

B

AhEhBAEB

2

122 00



Influência do energia específica e da largura do rasto da secção na curva h(Q)

h(Q) para diferentes

valores de E0

h(Q) para diferentes

valores de B




Veja-se um caso particular com mudança de largura numa secção rectangular. A

equação da curva h(Q) pode ser descrita em termos do caudal por unidade de largura

q = Q/b.

2

2

02 hg

qhE

Nesta situação, há um para o qual é possível o escoamento sem

haver alterações das condições fora da zona estreita. A esta largura mínima

corresponde o escoamento crítico com hc.

Se a largura for inferior a este mínimo no estreitamento, o caudal unitário será

superior ao máximo compatível com a energia específica E0. Neste caso, as condições

do escoamento fora da zona estreita têm de se modificar de forma a ser possível

passar o estreitamento com a energia específica crítica.

máxqQ

bmin




Alturas para regime lento e rápido

Em geral, a equação E(h) não é resolúvel analiticamente em ordem às alturas h1 e h2,

referentes ao escoamento do caudal Q0 com uma dada energia específica E.

Uma hipótese, corresponde a calcular o valor de E(h) por tentativas, adoptando valores

para h. Note-se que, para regime lento, um valor mais alto de h sobe também o valor

de E, enquanto que no regime rápido E sobe com a descida de h.

Pode, ainda, adoptar-se um processo de iteração (fácil de aplicar com calculadoras

programáveis).

2

2

12

2

)(22 n

nhAg

QEh

Ag

QhE Converge para

escoamento lento

Para obter a fórmula de convergência para escoamento rápido, é necessário trocar

os índices n+1 e n, e resolver novamente a equação em ordem a hn+1.



Controlo do escoamento

Viu-se, anteriormente, que o número de Froude característico de um escoamento

define se este é um escoamento lento, crítico ou rápido.

FR < 1 – Escoamento lento

FR = 1 – Escoamento crítico

FR > 1 – Escoamento rápido




A velocidade do escoamento no regime crítico é dada por:

mcc hgU

Relativamente à propagação de pequenas perturbações na direcção longitudinal de

canais, tanto a formulação teórica como a observação prática confirmam que:

Num escoamento crítico, as pequenas perturbações propagam-se com velocidade

igual à do escoamento. Forma-se uma onda estacionária na origem da perturbação e

propaga-se para jusante com velocidade dupla do escoamento;

No regime rápido, as pequenas perturbações só se propagam para jusante, visto a

velocidade de propagação para montante ser inferior à velocidade do escoamento;

No regime lento, propagam-se nos dois sentidos.




Isto vai implicar que:

O regime lento é controlado por jusante;

O regime rápido é controlado por montante.

operturbaçãpequenaceleridade

escoamentodomédiavelocidadeFr

5 escoamentos sup livre - pt2

Education

Transcript of 5 escoamentos sup livre - pt2