Escola E.B. 2,3 Gomes Eanes de Azurara

PLANO DE AULA

Matemática - 9º Ano

Turma 9.º E

Professor: Jorge Cabral

Unidade Didáctica: Trigonometria do triângulo rectângulo.

Lições n.º ___ e ___

Data: 13/05/2003

Sumário: Introdução à unidade “Trigonometria do triângulo rectângulo”; Razões trigonométricas: Seno, Co-seno e Tangente. Resolução de exercícios.

PRÉ-REQUISITOS: Triângulo rectângulo (hipotenusa, cateto, cateto); Critérios de semelhança de triângulos.

OBJECTIVOS: Determinação das razões trigonométricas de um triângulo rectângulo; Aplicação das razões trigonométricas na resolução de exercícios e problemas.

MATERIAIS E RECURSOS: Manual adoptado – Matemática 9.º ano; Leonor Vieira, Francelino Gomes, M. José Burnay; Editorial O Livro. Quadro negro; Giz.

ESTRATÉGIAS E DESENVOLVIMENTO A aula será iniciada com a escrita do sumário. De seguida, o professor irá

explicar a origem da palavra trigonometria aos alunos, como motivação ao tema. Depois, o professor relembrará os nomes atribuídos aos lados de um triângulo

rectângulo, para os reformular relativamente a um ângulo. O professor pretende sublinhar a importância da identificação do cateto oposto e adjacente a um dado ângulo.

Após isto, serão dadas a conhecer as relações trigonométricas seno, co-seno e tangente de um ângulo, bem como a linguagem e simbologia aqui utilizadas.

Na continuação, o professor pretende mostrar que as relações trigonométricas só dependem do ângulo e não do comprimento dos lados, para tal, recorrerá à semelhança de triângulos, referindo também que os valores das funções trigonométricas se podem encontrar numa tabela (final do manual) ou usando uma calculadora científica (com funções trigonométricas).

Posteriormente, aplicar-se-ão estes conhecimentos à resolução de problemas, abarcando três situações:

• Determinar a hipotenusa, conhecido um cateto; • Determinar um cateto, conhecida a hipotenusa; • Determinar um cateto, conhecido o outro cateto. Durante a aula, os alunos serão frequentemente solicitados a participar na

construção e na resolução dos exercícios, quer interagindo com o professor quer com os colegas.

Serão ainda esclarecidas, todas as dúvidas que eventualmente surjam.

Sumário (…)

A palavra Trigonometria vem do grego,

tri - três, gono - ângulo

metrien – medida

significando Medida de Triângulos. Trata-se, assim, do estudo das relações entre os lados e os ângulos de um triângulo.

A origem da Trigonometria é anterior à era cristã. Num triângulo rectângulo, os lados têm, como sabes nomes especiais

Hipotenusa

Cateto

Cateto Nota: Ao lado oposto ao ângulo recto chama-se hipotenusa.

Se considerarmos um ângulo agudo α :

As relações,

De outro modo, comprimento do cateto opostosen

comprimento da hipotenusacomprimento do cateto adjacentecos

comprimento da hipotenusacomprimento do cateto opostotg

comprimento do cateto adjacente

α

α

α

=

=

=

Consideremos um triângulo rectângulo, cujos comprimentos dos lados sejam 3, 4 e 5 centímetros. Como, dois triângulos são semelhantes se tiverem lados correspondentes proporcionais, um triângulo cujos comprimentos dos lados sejam, 6, 8 e 10 centímetros, é um triângulo semelhante ao inicial. Sendo semelhantes, os seus ângulos têm a mesma amplitude:

sen ab

α =

cos cb

α =

tg ac

α =

Cateto oposto ao

ângulo α

Cateto adjacente ao

ângulo α

α

Hipotenusa

a

c

b

Chamam-se

RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS

• o cateto oposto ao ângulo α, chama-se CATETO OPOSTO ao angulo α;

• o cateto que está contido num dos lados do ângulo α, chama-se CATETO ADJACENTE ao ângulo α.

610

8β

β

3

4

5

Calculemos as razões trigonométricas para o ângulo β, em ambos os triângulos: 3sen5

β =

4cos5

β =

3tg4

β =

6 3sen10 5

β = =

8 4cos10 5

β = =

6 3tg8 4

β = =

Ou seja, obtivemos os mesmos valores nos dois triângulos, isto quer dizer que, as razões trigonométricas não dependem do comprimento dos lados dos triângulos rectângulos, dependem apenas da amplitude do ângulo considerado.

Devido a este facto, existem tabelas onde se podem encontrar os valores das razões trigonométricas para um determinado ângulo, ver Tabela 1 página 264.

Nota: Os valores estão arredondados à milésima.

Exemplos: Observando a tabela, vem:

sen15º 0,259� , cos 65º 0, 423� e tg80º 5,671�Se sen 0,799α = , então 53ºα �Se tg 0,9α = , então 42ºα �

Exercícios: 17. Uma torre de transmissão de TV de 60m de altura está implantada num terreno horizontal. Um cabo de tensão vai desde o solo até ao ponto mais alto da torre e faz com o solo um ângulo de 55º. Qual o comprimento do cabo?

Resolução:

Como se trata de um triângulo rectângulo podemos afirmar que 60 60sen 55º

sen 55ºx

x= ⇔ =

Consultando a tabela das razões trigonométricas, temos sen 55º 0.819� , logo, 60 73,26

0.819x x⇔ ⇔� � (2c.d.)

Resposta: O comprimento do cabo é de, aproximadamente, 73,26 m.

29. Uma escada de 4,5 m de comprimento está apoiada num muro vertical, como mostra a figura. O ângulo que a escada faz com o chão é de 62º. Sabendo que sen 62º 0,88� , calcula a altura h.

Resolução:

Como o muro é perpendicular ao chão, então, o triângulo da figura é rectângulo, logo,

sen 62º 4,5 sen 62º4,5h h= ⇔ = ×

4,5 0,88 3,96h⇔ × =� (2 c.d.) Resposta: A altura h é aproximadamente, 3,96 m.

20. Calcula a altura do castelo.

Resolução:

Seja x a medida do cateto oposto ao ângulo indicado na figura, assim por observação,

tg18º 40 tg18º40x x= ⇔ = ×

Consultando a tabela das razões trigonométricas, temos tg18º 0.325� , logo, 40 0.325 13x x⇔ × ⇔� � (0 c.d.)

Como, 13 1,2 14,2+ = ,

Resposta: A altura da torre é, aproximadamente, 14,2 m.

44. Calcula os volumes dos sólidos seguintes, supondo que as medidas dos comprimentos se referem a decímetros.

d.

O volume do cilindro é o produto da área da sua base (círculo) pela medida da altura, ou seja,

( )2V r hπ= × ×Para o seu cálculo, é necessário conhecer a medida do raio da base, e a medida

da sua altura. Seja h a medida da altura do cilindro, assim,

sen 60º 20 sen 60º20h h= ⇔ = ×

Como, sen 60º 0,866� , vem, 20 0,866 17,32h h⇔ × ⇔� �

Logo, a altura do cilindro é, aproximadamente, 17,32 dm.

Para o cálculo do raio da base do cilindro, seja d a medida do diâmetro da base do cilindro, assim,

cos 60º 20 cos60º20d d= ⇔ = ×

Atendendo a que cos 60º 0,5= , vem, 20 0,5 10d⇔ = × =

Ou seja, o diâmetro da base tem de comprimento, 10 dm. Como medida do raio é metade da medida do diâmetro, conclui-se que a medida do raio é 5 dm.

Podemos então concluir que o volume do cilindro, V, é: 2 23,14 5 17,32 1359,62V r hπ= × × ×� �

Resposta: O volume do cilindro é, aproximadamente, 1359,62 dm3.

Marcação do T.P.C.: Problema 36, da página 218 do manual.

AVALIAÇÃO • A avaliação dos alunos será baseada nos seguintes aspectos: • Interesse demonstrado durante a aula; • Participação na exposição do tema; • Colaboração com o professor e com os colegas na resolução dos

exercícios/problemas propostos; • Aplicação de conhecimentos matemáticos adquiridos anteriormente; • Uso de terminologia e simbologia adequada; • Comportamento na sala de aula.