7ª LISTA DE ESTATÍSTICA (apresentar os cálculos com 4 casas decimais) 1)Em uma fábrica de produtos de higiene foram medidos os pesos de sabonetes em 25 amostras de tamanho cinco. Supõe-se que o peso dos sabonetes é uma variável aleatória com distribuição aproximadamente Normal. Os resultados estão apresentados na tabela abaixo:

horário Média R1 150,4 150,1 150,6 150,2 150,3 150,32 0,502 150,4 150,3 150,3 150,4 150,4 150,36 0,103 150,6 150,2 150,4 150,2 150,7 150,42 0,504 150,4 150,4 150,7 150,3 150,5 150,46 0,405 150,3 150,0 150,5 150,3 150,2 150,26 0,506 150,2 150,4 150,2 150,5 150,4 150,34 0,307 150,1 150,4 150,4 150,7 150,4 x 0,608 150,4 150,7 150,4 150,1 150,4 150,40 0,609 150,4 150,5 150,4 150,4 150,4 150,42 0,1010 150,4 150,4 150,4 150,4 150,4 150,40 0,0011 150,3 150,5 150,4 150,4 150,5 150,42 0,2012 150,2 150,5 150,5 150,3 150,5 150,40 y13 150,5 150,2 150,5 150,2 150,4 150,36 0,3014 150,2 150,5 150,4 150,5 150,2 150,36 0,3015 150,4 150,3 150,6 150,2 150,3 150,36 0,4016 150,4 150,4 150,8 150,0 150,3 150,38 0,8017 150,5 150,5 150,2 150,4 150,2 150,36 0,3018 150,7 150,3 150,5 150,4 150,4 150,46 0,4019 150,3 150,4 150,5 150,7 150,2 150,42 0,5020 150,2 150,5 150,3 150,5 150,3 150,36 0,3021 150,8 150,6 150,4 150,4 150,3 150,50 0,5022 150,4 150,1 150,5 150,5 150,5 150,40 0,4023 150,4 150,4 150,2 150,4 150,7 150,42 0,5024 150,3 150,3 150,3 150,4 150,5 150,36 0,2025 150,3 150,3 150,3 150,6 150,6 150,42 0,30

total 3759,760 9,300

peso do sabonete

a)Determine os valores de X e Y. b)Usando todos os dados, encontre os limites de controle para os gráficos de X e R, construa o gráfico e plote os dados. c)Use os limites do item b) para identificar pontos fora de controle. Se necessário, reveja seus limites de controle, considerando que qualquer amostra fora dos limites de controle poderá ser eliminada. 2)Para o exercício anterior e usando os limites de controle e estimativas revistas para este processo, determine se este está estável. Justifique. 3)Para o exercício anterior é conhecido que o peso do sabonete, por especificação, deve estar entre 150,77g e LIE=149,83g. Usando os limites de controle e estimativas revistas para este processo: a)Estime CP eCPK. Interprete essas razões. b)Qual o nível de fração defeituosa (fallout)?

4)Foram medidos em 30 ocasiões o pH de um efluente industrial remetido à SABESP. horário Média R

1 7,2 7,0 6,0 7,0 6,5 6,74 1,202 6,5 7,8 6,5 6,5 6,5 6,76 1,303 8,0 6,5 7,8 7,8 6,0 7,22 2,004 6,5 7,2 7,0 6,5 6,0 6,64 1,205 7,0 6,5 7,8 7,2 8,0 7,30 1,506 7,0 7,8 6,5 6,5 6,5 6,86 1,307 6,5 7,0 7,2 7,2 7,2 7,02 0,708 7,0 8,0 7,0 7,0 6,0 7,00 2,009 6,5 7,2 7,8 7,0 7,8 7,26 1,3010 8,0 6,0 7,8 7,2 6,5 7,10 2,0011 7,0 7,0 7,0 7,0 6,5 6,90 0,5012 7,8 7,2 7,8 8,0 6,0 7,36 2,0013 6,0 6,0 7,2 7,8 6,0 6,60 1,8014 6,5 7,8 7,0 8,0 6,5 7,16 1,5015 7,2 7,2 7,8 7,2 7,2 7,32 0,6016 6,5 6,0 7,0 7,0 6,0 6,50 1,0017 6,5 6,5 6,0 7,8 8,0 6,96 2,0018 7,8 6,5 7,2 7,0 6,5 7,00 1,3019 7,2 7,8 6,0 8,0 8,0 7,40 2,0020 8,0 7,0 8,0 7,2 6,0 7,24 2,0021 6,5 6,5 7,0 7,8 8,0 7,16 1,5022 8,0 7,8 7,0 6,5 6,5 7,16 1,5023 6,5 7,0 7,2 7,2 8,0 7,18 1,5024 7,8 8,0 6,5 6,0 6,5 6,96 2,0025 8,0 7,2 6,0 8,0 8,0 7,44 2,0026 7,8 7,8 7,0 7,2 6,5 7,26 1,3027 6,5 6,5 6,0 6,5 6,0 6,30 0,5028 7,2 7,0 7,8 7,8 7,0 7,36 0,8029 6,5 7,0 7,2 7,0 7,0 6,94 0,7030 7,0 7,0 7,0 7,0 7,0 7,00 0,00

Média 7,037 1,367

pH

Para atender ao artigo 19A do decreto estadual 8468 este pH deve estar entre 5 e 10. Foi realizada uma análise dos dados coletados. Os resultados estão apresentados nos gráficos abaixo. Baseado nestes gráficos você afirmaria que este processo é capaz? Justifique.

pH

Po

rce

nta

ge

m

98765

99,9

99

90

50

10

1

0,1

Média 7,037Desvio Padrão 0,6356N 150KS 0,085Valor P <0,010

Amostra

Mé

dia

am

ost

ral

28252219161310741

7,5

7,0

6,5

__X=7,037

UCL=7,825

LCL=6,248

Amostra

Am

pli

tud

e a

mo

stra

l

28252219161310741

3,0

1,5

0,0

_R=1,367

UCL=2,890

LCL=0

9,89,18,47,77,06,35,64,9

LSL USL

LIE 5

LSE 10Média amostral 7,03667N 150desvio Padrão (dentro) 0,587561

Desvio padrão (geral) 0,635569

Dados do processoCp 1,42

Cpk 1,16

Capacidade

2

Gráfico de probabilidade Normal do pHCarta X-barra R para o pH

Capacidade do processo

5)Um gráfico X usa amostra de tamanho 4. A linha central está em 100 e os limites, 3 sigmas, superior e inferior de controle estão em 106 e 94 respectivamente. a)Qual é σ do processo? b)Suponha que a média do processo se desloque para 105. Encontre a probabilidade dessa mudança se detectada na próxima amostra. 6)Em 10 amostras da % AV-631/03 em uma unidade de produção de E.V.A. (Etileno Acetato de Vinila) encontrou-se uma porcentagem média de 18,27 % e um desvio padrão de 0,283 %. Supondo que a percentagem AV-631/03 tem distribuição aproximadamente normal, teste ao nível de significância de 5% se a porcentagem média é superior a 18 %. 7)Testes exaustivos realizados pela indústria Cookbem indicam que seu forno de microondas tem probabilidade 0,1 de apresentar a 1ª falha antes de 900 horas de uso. Um novo método de produção está sendo implantado e os engenheiros garantem que a probabilidade acima indicada deve diminuir. Com vistas a verificar essa afirmação, escolheu-se aleatoriamente 100 aparelhos para realizar testes acelerados e os resultados indicaram que 8 deles tiveram sua 1ª falha antes de 900 horas. a)Formule as hipóteses adequadas. b)Determine o nível descritivo. c)Verifique se os engenheiros têm razão, considerando um nível de significância α = 6 %. 8)Uma marca particular de margarina diet foi analisada para determinar o nível (em percentagem) de ácidos graxos insaturados. Uma amostra de seis pacotes resultou nos seguintes dados: 16,8 ; 17,2 ; 17,4 ; 16,9 ; 16,5 e 17,1. Teste a hipótese de que o nível médio de ácidos graxos insaturados na margarina é igual a 17 %, usando α = 0,01. Quais são suas conclusões? 9)Um rebite deve ser inserido em um orifício. Se o desvio padrão do diâmetro do orifício exceder 0,01 mm haverá uma probabilidade inaceitavelmente alta de que o rebite não se ajuste. Uma amostra aleatória de n = 15 peças é selecionada e o diâmetro do orifício é medido. O desvio padrão das medidas do diâmetro do orifício é s = 0,012 mm. Existe forte evidência indicando que o desvio padrão do diâmetro do orifício exceda 0,01 mm? Use α = 0,01. Estabeleça qualquer suposição necessária a cerca da distribuição sob consideração dos dados. 10)Uma máquina deve produzir peças com diâmetro de 2 cm. Entretanto, variações acontecem e vamos assumir que o diâmetro dessas peças siga o modelo Normal com variância igual a 0,09 cm2. Para testar se a máquina está bem regulada, 100 peças são observadas e sua média calculada em 2,1 cm. a)Formule o problema como um teste de hipóteses. b)Qual seria a região crítica e a decisão? Use α = 0,02. c)Se a região de aceitação fosse { X ∈ IR / 1,9 ≤ X ≤ 2,1 }, qual seria a probabilidade do erro tipo II se µ = 1,9 cm? 11)Num estudo realizado pelo gerente de produção sobre jornais sem defeito, é selecionada uma amostra de 200 jornais a partir da população de 100.000 jornais impressos e são encontrados 35 jornais com problemas. O gerente quer saber se a proporção de jornais com problemas é no máximo igual a 0,15. Qual deve ser sua conclusão ao nível de significância de 10%?

12)De um lote contendo 50 sacos de açúcar, amostrou-se 8 sacos. O peso médio dos sacos na amostra foi de 990,7 gramas com um desvio padrão amostral de 8,0 gramas. Supondo que o peso dos sacos de açúcar tem distribuição aproximadamente normal, Teste ao nível de significância de 5% se o peso médio dos sacos de açúcar é inferior a 1000 g. RESPOSTAS E BIBLIOGRAFIA: 1) (minha autoria) a)x = 150,4g y = 0,3g b)

XLIC = 150,1758

XLSC =150,6050 LICR não existe

LSCR = 0,7864 c)ponto fora de controle = 16X

LIC = 150,1864

XLSC =150,5952 LICR não existe LSCR = 0,7487

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

252321191715131197531

150,6

150,5

150,4

150,3

150,2

__X=150,3904

UC L=150,6050

LC L=150,1758

Sample

Sa

mp

le R

an

ge

252321191715131197531

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

_R=0,372

UC L=0,7866

LC L=0

1

Xbar-R Chart of peso

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

252321191715131197531

150,6

150,5

150,4

150,3

150,2

__X=150,3904

UC L=150,6050

LC L=150,1758

SampleS

am

ple

Ra

ng

e

252321191715131197531

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

_R=0,372

UC L=0,7866

LC L=0

1

Xbar-R Chart of peso

2) (minha autoria) O processo está estável pois para os gráficos de X-barra e de R não há pontos fora dos limites de controle, não há sete pontos consecutivos acima ou abaixo da média, não há sete pontos consecutivos crescendo ou decrescendo. 3) (minha autoria) Cp = 1,03 Cpk = 0,83 Cp > 1 e Cpk < 1. O processo não é capaz. O processo não está centralizado. 4) (minha autoria) Não. Embora Cp >1 e Cpk > 1 não há sentido nestes cálculos uma vez que os dados não obedecem a uma distribuição Normal. O gráfico de probabilidade Normal não apresenta dados que podem ser cobertos por uma “linha grossa” (P < 0,01). Mesmo se os dados obedecessem à distribuição Normal, o processo não está estável pois há sete pontos seguidos acima da média na carta de R. 5) (bibliografia nº 1) a)4 b)0,3085 6) (minha autoria) R.C = {T | T ≥ 1,833} T = 3,017 ∈ R.C. , ao n.s. de 5% afirmo que a porcentagem média é superior a 18%. 7) (bibliografia nº 1)a)H0: p ≥ 0,1 H1: p < 0,1 b)0,2514 c)Z = – 0,67 ∉ R.C. , ao n.s. de 6% afirmo que os engenheiros não tem razão. 8) (bibliografia nº 2) R.C = {T | T ≤ – 4,032 ou T ≥ 4,032} T = – 0,1283 ∉ R.C. , ao n.s. de 1% afirmo que o nível médio de ácidos graxos insaturados na margarina é igual a 17%.

9) (bibliografia nº 2) a) R.C. = {χ2 | χ2 ≥ 29,141} 2obsχ = 20,16 ∉ R.C. , ao n.s. de 1% afirmo que não

existe forte evidência indicando que o desvio padrão do diâmetro do orifício exceda 0,01 mm 10) (bibliografia nº 1) a)H0: µ = 2 H1: µ ≠ 2 b) R.C = {Z | Z ≤ –2,3263 ou Z ≥ 2,3263} Z = 3,3333 ∈ R.C. logo ao n.s. de 5% rejeito H0 e afirmo que a máquina não está bem regulada. ou R.C = { X | X ≤

1,93 ou X ≥ 2,07} obsX = 2,1∈ R.C. logo ao n.s. de 5% rejeito H0 e afirmo que a máquina não está bem regulada. c)β = 0,5 11) (minha autoria) R.C = {Z | Z ≥ 1,2816} Z = 0,991∉ R.C. , ao n.s. de 10% afirmo que a proporção de jornais com problemas é no máximo igual a 0,15. 12) (minha autoria) R.C = {T | T ≤ – 1,895} T = – 3,55∈ R.C., ao n.s. de 5% afirmo que o peso médio dos sacos é inferior a 1000 g.

1.MAGALHÃES, Marcos N. e LIMA, Antonio Carlos P. Noções de Probabilidade e Estatística. 6 ed. São Paulo: Edusp, 2004. 2.MONTGOMERY, Douglas C. e RUNGER, George C. Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros. 2 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 3. MOORE, David S. e McCABE, George P. Introdução à prática da Estatística. 3 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2002.