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7 Técnicas de Integração

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7.2 Integrais Trigonométricas

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Integrais Trigonométricas

Nesta seção usaremos as identidades trigonométricas para

integrar certas combinações de funções trigonométricas.

Começaremos com as potências de seno e cosseno.

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Exemplo 2

Encontre o ∫ sen5x cos2x dx.

SOLUÇÃO: Poderíamos converter cos2x em 1 – sen2x,

mas obteríamos uma expressão em termos de sen x sem

nenhum fator extra cos x. Em vez disso, separamos um

único fator de seno e reescrevemos o fator sen4x restante

em termos de cos x:

sen5 x cos2x = (sen2x)2 cos2x sen x = (1 – cos2x)2 cos2x sen x

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Exemplo 2 – Solução

Substituindo u = cos x, temos du = –sen x dx e, assim,

∫ sen5x cos2x dx = ∫ (sen2x)2 cos2x sen x dx

= ∫ (1 – cos2x)2 cos2x sen x dx

= ∫ (1 – u2)2 u2 (–du) = –∫ (u2 – 2u4 + u6)du

=

= – cos3x + cos5x – cos7x + C

continuação

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Exemplo 3

Calcule .

SOLUÇÃO: Se escrevermos sen2x = 1 – cos2x, a integral

não é mais simples de calcular. Usando a fórmula do

ângulo-metade para sen2x, contudo, temos

Observe que mentalmente fizemos a substituição u = 2x

quando integramos cos 2x.

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Integrais Trigonométricas

Para resumirmos, listamos as regras que devem ser

seguidas ao calcular integrais da forma ∫ senmx cosnx dx,

em que m 0 e n 0 são inteiros.

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Integrais Trigonométricas

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Integrais Trigonométricas

Podemos empregar uma estratégia semelhante para

calcular integrais da forma ∫ tgmx secnx dx. Como

(ddx) tg x = sec2x, podemos separar um fator sec2x e

converter a potência (par) da secante restante em uma

expressão envolvendo a tangente, utilizando a identidade

sec2x = 1 + tg2x. Ou, como (ddx) sec x = sec x tg x,

podemos separar um fator sec x tg x e converter a

potência (par) da tangente restante para a secante.

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Exemplo 5

Calcule ∫ tg6x sec4x dx.

SOLUÇÃO: Se separamos um fator sec2x, poderemos

expressar o fator sec2x em termos de tangente, usando a

identidade sec2x = 1 + tg2x. Podemos então calcular a

integral, substituindo u = tg x, de modo que du = sec2x dx:

∫ tg6x sec4x dx = ∫ tg6x sec2x sec2x dx

= ∫ tg6x (1 + tg2x) sec2x dx

= ∫ u6(1 + u2)du = ∫ (u6 + u8)du

=

= tg7x + tg9x + C

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Integrais Trigonométricas

Os exemplos anteriores mostram as estratégias para

calcular integrais da forma ∫ tgmx secnx dx para dois casos,

resumidos aqui.

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Integrais Trigonométricas

Para outros casos as regras não são tão simples. Talvez

seja necessário usar identidades, integração por partes e,

ocasionalmente, um pouco de engenhosidade. Algumas

vezes precisaremos integrar tg x usando a fórmula

estabelecida em 5.5.5:

Também precisaremos da integral indefinida de secante:

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Integrais Trigonométricas

Poderíamos verificar a Fórmula 1 derivando o lado direito,

ou como a seguir. Primeiro multiplicamos o numerador e o

denominador por x + tg x:

Se substituirmos u = sec x + tgx, então du = (sec x tg x +

sec2x)dx, assim a integral torna-se ∫ (1u) du = ln | u | + C.

Então temos

∫ sec x dx = ln |sec x + tg x | + C.

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Exemplo 7

Encontre ∫ tg3x dx.

SOLUÇÃO: Aqui apenas tg x ocorre, então usamos

tg2x = sec2x – 1 para reescrever um fator tg 2x em termos

de sec2x:

∫ tg3x dx = ∫ tg x tg2x dx = ∫ tg x (sec2x – 1) dx

= ∫ tg x sec2x dx – ∫ tg x dx

– ln | sec x | + C.

Na primeira integral substituímos mentalmente u = tg x

de modo que du = sec2x dx.

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Integrais Trigonométricas

Finalmente, podemos usar outras identidades

trigonométricas:

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Exemplo 9

Calcule∫ sen 4x cos 5x dx.

Solução:

Essa integral poderia ser calculada utilizando a integração

por partes, mas é mais fácil usar a identidade na Equação

2(a) como a seguir: