7pFQLFDVGHWHUPLQtVWLFDHPDOWDIUHT†rQFLDSDUDRFiOFXOR … · e ortogonal às superfícies...

7pFQLFDVGHWHUPLQtVWLFDHPDOWD IUHTrQFLDSDUDRFiOFXORGHFDPSRV

As técnicas determinística para analisar o espalhamento

eletromagnético são classificadas levando em conta a relação entre o

comprimento de onda e o tamanho dos obstáculos. Assim, para objetos

pequenos (comprimento de onda maior que os obstáculos), usa-se o

método dos momentos, diferenças finitas no domínio do tempo (FDTD),

etc. Para objetos de dimensões semelhantes ao comprimento de onda

(chamada região de ressonância), o método dos momentos e outras

técnicas podem ser usados com sucesso. As técnicas para altas

freqüências (tamanho dos obstáculos muito maiores que o comprimento

de onda, chamada também região ótica) mais usadas e versáteis são a

Ótica Geométrica (GO), a Teoria Geométrica da Difração (GTD) e sua

extensão, a Teoria Uniforme da Difração (UTD)[23]

Em altas freqüências as técnicas matemáticas utilizadas na análise

de campos eletromagnéticos em alta freqüência são conhecidas por

métodos assintóticos. As técnicas de alta freqüência surgem da

necessidade de empregar aproximações para conseguir uma análise

eficiente da radiação, propagação e espalhamento eletromagnético em

sistemas de grandes dimensões em termos de comprimentos de onda.

ÏWLFD*HRPpWULFD0RGHUQD*2SDUD RFiOFXORGRVFDPSRVGDRQGDGLUHWDHUHIOHWLGD

A ótica geométrica clássica ou ótica de raios surgiu para descrever

matematicamente o comportamento da luz. Ela apresenta uma visão da

luz como sendo composta por raios que estão sujeitos aos fenômenos de

reflexão e refração quando encontram um obstáculo, seja este um

anteparo ou um meio diferente.

DBD

PUC-Rio - Certificação Digital Nº 9824869/CC

Técnicas determínisticas em alta freqüência para o cálculo de campos 65

Os raios refletidos e refratados são descritos por esta teoria como

relacionados ao raio incidente através de leis de reflexão e refração,

dedutíveis através do principio de Fermat (ou principio de mínima ação)

que estabelece que o percurso descrito pelo raio corresponde à curva que

minimiza o caminho ótico, onde este é expresso por:

∫= GQ2& "")(..

onde )("Q é o índice de refração ao longo do caminho. A ótica

geométrica clássica se aplica a meios isotrópicos sem perdas,

homogêneos ou não. Fica claro, deste principio, que a trajetória do raio

em um meio homogêneo é uma linha reta.

Com o objetivo de considerar informações de fase, polarização dos

campos eletromagnéticos e de obter resultados quantitativos de amplitude

dos campos, na última parte do século passado a Ótica Geométrica

clássica foi estendida e recebeu a denominação de Ótica Geométrica

moderna (GO). A extensão foi conseguida através do estabelecimento de

uma conexão rigorosa entre as equações de Maxwell e os conceitos

geométricos [55]

A propriedade mais significativa dos campos de alta freqüência da

GO em meios homogêneos e sem perdas é o comportamento de onda

plana, localmente, em qualquer ponto da propagação do raio. Uma

condição para este comportamento é que deve-se trabalhar na região de

campo distante da antena transmissora, pois, nessa região, existem

apenas componentes de campo ortogonais à direção de propagação da

onda. Um parâmetro típico para a definição de campo distante (região de

Fraunhoffer) é :

λ

22'G >

onde :

d - distância entre a antena transmissora e o ponto de

observação

DBD



D - maior dimensão da antena transmissora

λ - comprimento de onda

Satisfeita está condição as equações são reduzidas a equações

mais simples e que retratam a polarização, amplitude, fase e o percurso

de propagação do campo de alta freqüência.[55]

Problemas eletromagnéticos de alta freqüência se utilizam o

conceito de raios. Raios da ótica geométrica são definidos como curvas

tangentes à direção de propagação. A direção de propagação é

determinada pelo vetor diretor do raio, tangente à trajetória em cada ponto

e ortogonal às superfícies equifásicas (frentes de onda). O transporte de

energia ocorre ao longo dessas trajetórias, não havendo transporte de

energia transversalmente a um raio (exceto para ondas evanescentes).

Se considerarmos um raio central (raio axial) e um conjunto de raios

adjacentes a ele (raios paraxiais), é formado o que se denomina tubo de

raios. Devido a esta configuração não há fluxo de energia

transversalmente ao tubo, resultando que o fluxo de potência por qual-

)LJXUD Tubo de raios irradiado por uma fonte pontual.

quer seção transversal do tubo se conserva. Quando é feita referência a

um raio, está se considerando um tubo infinitesimal no entorno do raio,

para que existam seções transversais ao longo da propagação (como na

Figura 4.1) e, assim, seja possível trabalhar de forma quantitativa com o

raio, associando valores de campo aos diversos pontos da propagação,

conforme a divergência (ou convergência) do tubo de raios.

DBD



A origem do conceito de raio pode ser entendida da seguinte

maneira: satisfeitas as condições de alta freqüência, o campo nas

proximidades de um determinado ponto de observação depende

predominantemente do campo em apenas uma porção muito restrita da

frente de onda localizada em uma região de origem no entorno da

trajetória (raio) de propagação. A energia é transportada a partir desse

ponto inicial através de um setor restrito no espaço (o tubo de raios), que

envolve o percurso de propagação [55]. A expressão para calcular o valor

do campo elétrico associado a um raio propagando-se em espaço livre em

um determinado ponto, em função do valor do campo conhecido em um

ponto de referencia, é obtido, segundo a GO, pela conservação de fluxo

de energia através de um tubo de raios. Para demonstrar isto vamos

assumir que uma fonte pontal emana ondas esféricas, isotrópicas.

Dentro de um tubo de raios as áreas das seções transversais em

algum ponto de referencia G e em G são dados por dA0 e dA

respectivamente.

A densidade de radiação 6 em G está relacionada à densidade

de radiação 6 em G por [2,67] :

G$G$

G6G6

=

)()(

6 e 6 são constantes, a través de suas respectivas seções de áreas

transversais G$ e G$e não trocam energia pelos lados do tubo (fig. 4.2).

)LJ Tubo de raios astigmático

DBD



Para ondas eletromagnéticas o campo elétrico (& está relacionado

com a densidade de radiação 6 por :

22E

21

E21

S&&

==

substituindo (4.4) em (4.3)

))(( 21

21

GGG$G$

((

++==

ρρρρ

&

&

Na fig. 4.2 se apresenta o caso mais geral no qual as superfícies

eikonais (dA,dAo) não são esféricas nem planas e onde os raios principais

(ρ1,ρ2) de curvatura da frente de onda são diferentes. Este sistema de

tubo de raios é referido como astigmático e as linhas que unem os focos

são chamadas causticas. Se a frente de ondas é esférico então ρ1 = ρ2

= ρo , se é cilíndrico entãoρ1/2 = ∝, ρ2/1 = 0 e se é planar ρ1 = ρ2 = ∝.

D E F)LJXUDSuperfícies eikonais D cilíndricas E planas F astigmáticas

A equação (4.5) só relaciona a magnitude do campo elétrico em da

uma magnitude referencia em G . Com a finalidade de obter uma

expressão que inclua a fase e a polarização as expansões assintóticas de

Luneburg-Kline[64,13] são adotadas e, restringindo a solução à primeira

DBD



ordem de aproximação, obtém-se a solução da GO para o cálculo do

campo elétrico associado a um raio propagando-se em espaço livre:

( )( ) ( )MNGGGG(G( −++

= exp)()(21

21

ρρρρ&&

onde :

)(G(& = ( )GG( +0

& campo elétrico a uma distância d do ponto de

referência d .

)( G(& campo elétrico no ponto de referência.

k = β = 2π / λ0 [rad/m] número de onda no espaço livre com :

λ0 = c / f - comprimento de onda [m]

c ≅ 3x108 m/s - velocidade da luz no vácuo

f - freqüência [Hz]

ρ1 e ρ2 raios principais de curvatura da frente de

onda associada ao raio, no ponto de

referência d Fig. (4.3c)

&DPSRGDRQGDGLUHWD

Em campo distante, o campo elétrico calculado a uma distância G de

uma antena transmissora é dado por:

de

E)d(Ejkd

A

−

=&

DBD



onde AE&

, correspondendo ao fator 0E&

da expressão(onda éferica), é

dado por:

]/[),(2

),( 00 P9(*3( WW$ φθ

πηφθ

&&=

com :

0

00 ε

µ=η ≅ 120π Ω impedância intrínseca do espaço

livre. εo = 8,854 x 10-12 F/m permissividade elétrica no espaço

livre (vácuo)

µo = 4π x 10-7 H/m permeabilidade magnética no

espaço livre.

Pt [W] potência de transmissão

Gt ganho máximo da antena

transmissora.

),(E 0 φθ&

= ( )D( ˆ,0 φθ

onde :

( )φθ ,0( : obtido a partir do diagrama de radiação da

antena. O par de coordenadas (θ, φ) é relativo ao

sistema de coordenadas esféricas centrado na antena,

como ilustra a Fig. (4.4).

usualmente, o diagrama de radiação é de potência,

expresso da forma :

( ) ( )( )MM ,E

,Elog20,g

φθφθ=φθ

diagrama de radiação normalizado em relação ao

campo na direção de máxima irradiação,

( )MMmax ,EE φθ= .

Dessa forma :

DBD



( ) 20/,0 10),(E φθφθ J=

alternativamente, diagramas de radiação podem estar

normalizados em relação ao campo irradiado por uma

antena isotrópica (diagrama em dBi), onde então :

( ) ( ).cte

E,E

log20,gφθ=φθ

a : polarização do campo elétrico distante

dependente da antena transmissora utilizada. Para

dipolos, por exemplo, o campo distante possui apenas

a componente θa , que será, então, a orientação de

),(E0 φθ&

.

. conforme definido em (4.7)

)LJXUD. Sistema de coordenadas esféricas associadas à antena Transmissora.

DBD



&DPSRGDRQGDUHIOHWLGD

O fenômeno da reflexão causa alteração no campo elétrico

propagante (amplitude e fase) e na direção de propagação da onda

eletromagnética.

As condições para o uso da GO na reflexão são as seguintes [6]

• superfícies de dimensões maiores que um comprimento de

onda λ;

• antena transmissora distante da superfície refletora;

• raio de curvatura da superfície refletora deve ser grande

quando comparado ao comprimento de onda λ, no ponto de

reflexão.

A direção da onda refletida é regida pela Lei de Snell da Reflexão,

segundo a qual:

ri θ=θ onde os ângulos são conforme indicados na Fig. 4.5.

)LJXUD Reflexão e sistema fixo ao raio para a reflexão

Na Fig. (4.5), é possível identificar :

n vetor unitário normal à superfície refletora no ponto de reflexão R.

O cálculo do vetor normal em superfícies arbitrárias é apresentado

em [72].

DBD



( )1.ˆarccos VQ −=θ

iθ kQJXOR GH LQFLGrQFLD : ângulo agudo formado entre o raio

incidente e o vetor normal à superficie ( )2/0 πθ ≤≤ L

rθ kQJXORGHUHIOH[mR : ângulo agudo formado entre o raio refletido

e o vetor normal ( )2/0 πθ ≤≤

3ODQRGH LQFLGrQFLD: plano que contém o raio incidente (direção de

propagação da onda incidente, 1s ) e a normal n .

3ODQR GH UHIOH[mR : plano que contém o raio refletido (direção de

propagação da onda refletida, 2s ) e a normal n .

Os dois planos são coincidentes, ou seja, os raios incidente e

refletido e a normal à superfície no ponto de reflexão estão em um

mesmo plano.

2V YHWRUHV 22211‘1 s , ˆ , ˆ e s , ˆ , ˆ βαβα definem os sistemas de

coordenadas fixos ao raio incidente e ao raio refletido,

respectivamente, conforme explicado adiante.

O campo refletido relaciona-se ao incidente, no ponto de reflexão

R da superfície, através da seguinte expressão :

( ) ( )Rz,y,xEz,y,xE RRRi

RRRr

&&=

onde :

( )RRRr z,y,xE

& : campo refletido, calculado em R

( )RRRi z,y,xE

& campo incidente em R

R matriz de coeficientes de reflexão da

superfície; R é uma matriz 3 x 3 em

DBD



um sistema (x, y, z) global, não fixo

aos raios incidente e refletido.

Os sistemas fixos aos raios (incidente e refletido) são introduzidos

para que R seja uma matriz 2 x 2, simplificando os cálculos. Isso é feito

através da escolha de um dos eixos do sistema ao longo do próprio raio

(incidente ou refletido), e os dois eixos restantes perpendiculares ao raio,

em direções condizentes com a decomposição usual dos coeficientes de

reflexão, para componentes de campo paralela e perpendicular ao plano

de incidência. Como não há componente de campo ao longo da

propagação (onda TEM, em campo distante), a decomposição dos

campos é feita apenas nas duas direções perpendiculares ao raio,

definidas pelo sistema fixo ao raio.

6LVWHPDIL[RDRUDLRSDUDDUHIOH[mR

O sistema fixo ao raio para a reflexão é um sistema de três eixos no

qual:

• um eixo está ao longo do raio; na Fig. (4.5), corresponde aos

unitários 2,1s ao longo dos raios incidente e refletido;

• um eixo é perpendicular ao plano de incidência / reflexão; na

Fig. (4.5), corresponde aos unitários 2,1α ;

• e um terceiro eixo está sobre o plano de incidência / reflexão;

na Fig. (4.5), corresponde aos unitários 2,1β .

As componentes de campo perpendiculares ao plano de incidência /

reflexão são também denominadas componentes soft. As componentes

sobre o plano (componentes paralelas), são conhecidas por hard. Assim:

DBD



2,1,,

ˆ ˆ.2,1

ααULUL (( &&

= componentes VRIW ;

1,2,,

ˆˆ.

1,2ββ

ULUL (( &&= componentes KDUG.

Os vetores unitários envolvidos são dados por :

2

22

1

11 ˆˆ V

VVVVV &

&

&

&

==

onde :

( )ns.n2ss 112 −=&

e, a partir da Fig. (4.5)

2222

22

1111

11

ˆ xsˆ n xsn xsˆ

ˆ xsˆ n xsn xsˆ

α=β=α

α=β=α

Através do uso dos sistemas fixos aos raios incidente e refletido, os

campos podem ser decompostos nas direções dos vetores unitários em

(4.15), e a expressão de campo refletido calculado no ponto de

observação O, descomposto nas suas componentes soft e hard, é :

( ) [ ] 2

22

jkdr2

r2

rr eA)ˆ(E)ˆ(E0E −+=&

onde :

Γ

Γ=

β

α

β

αi

i

h

sr

r

1

1

2

2

EE

00

EE

determina as componentes soft (r

2E α ) e hard (

r2

Eβ ) do campo refletido,

com :

DBD



Γ

Γ

h

s

00 matriz R de coeficientes

de reflexão, composta

pelos coeficientes de

reflexão de Fresnel soft e

hard (Γs,h).

βα

=

β

α

1i

1i

i

i

ˆ).R(E

ˆ).R(EEE

1

1 &

&

vetor campo incidente no

ponto de reflexão, )R(Ei&

,

expresso em suas

componentes soft e hard.

Os vetores unitários 11ˆ e ˆ βα

são conforme definidos em

(4.15)

22ˆ e ˆ βα conforme definidos em

(4.15)

Ar fator de divergência do tubo de raios

refletivos.

k definido em (4.7)

d2 [m] distância entre o ponto de reflexão R e

o ponto de observação O

&RHILFLHQWHVGHUHIOH[mRGH)UHVQHO

Em ambientes RXWGRRU, o meio que constitui a estrutura é considerado

como sendo infinito (interface única). A Fig. (4.6) ilustra o que foi dito e, a

seguir, é apresentada a justificativa.

DBD



Os motivos para que se considere uma estrutura RXWGRRU como

possuindo espessura infinita (uma única interface), não gerando,

portanto, raio transmitido para o seu interior, são os seguintes :

a diversidade de materiais de construção e revestimento das

paredes externas de edifícios, aliada à existência de porções

envidraçadas em algumas construções, faz com que se torne

difícil o conhecimento da espessura d das paredes dos edifícios

em cenários RXWGRRU;

)LJXUD Estrutura para ambientes outdoor

este fato, aliado ao desconhecimento das características do

interior do prédio, especialmente nas proximidades (em termos

de comprimento de onda, ou seja, proximidade elétrica) da

estrutura (como mobiliário encostado na estrutura em questão,

por exemplo), dificulta a determinação de coeficientes de

reflexão e refração que possam ser aplicados ao campo

incidente.

A proposta é, portanto, de que se aplique a expressão de

coeficiente de reflexão em uma interface, onde as

características elétricas a serem utilizadas são as do material

que compõe a maior parte da estrutura considerada. Uma outra

sugestão é de que se utilize coeficientes obtidos a partir de

medições realizadas em diferentes tipos de edificações. Neste

caso, seria possível, inclusive, a consideração de raios

transmitidos, já que coeficientes de transmissão poderiam

também ser obtidos empiricamente. O conhecimento do cenário

indoor seria necessário, para que fosse determinada a

DBD



contribuição de campo que emergeria da edificação (sentido

indoor-outdoor) devido aos raios transmitidos para o interior da

edificação (sentido outdoor-indoor). Como última possibilidade,

poder-se-ia, alternativamente, empregar as expressões de

coeficientes de reflexão e transmissão existentes para o caso

de duas interfaces (com espessura d entre elas), como será

apresentado para ambientes indoor, e inserir alguma adaptação

baseada em dados empíricos, gerando expressões semi-

empíricas para os coeficientes.

&RHILFLHQWHVGHUHIOH[mRGH)UHVQHOSDUDDPELHQWHVRXWGRRUComo apresentado em [6] e [21] e na literatura de forma geral :

( )

( ))(sen)cos(

)(sen)cos(

)(sen)cos(

)(sen)cos(

i2

efriefr

i2

efriefr

ih

i2

efri

i2

efri

is

22

22

2

2

−+

−−=

−+

−−=

onde :

θi ângulo de incidência, definido na Figura 4.5

0

22

efrw

j

2 ε

σ−ε

=ε

permissividade elétrica efetiva relativa do meio 2

ε2 permissividade elétrica do meio 2 [F/m]

σ2 condutividade elétrica do meio 2 [Siemens/m]

w = 2πf freqüência angular [rad/s]

f freqüência [Hz]

DBD



)DWRUGHGLYHUJrQFLDGRWXERGHUDLRVHGLUHoHVSULQFLSDLVGHFXUYDWXUDSDUDDUHIOH[mRO cálculo dos raios e direções principais de curvatura da frente

de onda refletida, a partir dos raios e direções principais de

curvatura da superfície refletora e da frente de qualquer onda

incidente, é apresentado em [55] Nosso interesse se concentra

apenas nas superfícies planas, de forma que as expresões para os

raios principais de curvatura da frente de onda refletida recaem em:

UL

UL H22

11

ρρ

ρρ

=

=

onde :

i2,1ρ raios principais de curvatura da frente de onda

incidente, no ponto de reflexão R r

2,1ρ raios principais de curvatura da frente de onda

refletida, no ponto de reflexão R.

θi ângulo de incidência (0 ≤ iθ ≤ π/2), conforme indicado na

Fig. 4.5.

O fator de divergência Ar da expressão (4.16) é obtido

aplicando-se o conceito de conservação de energia ao tubo de

raios refletidos. Assim :

( )( )2r22

r1

r2

r1r

ddA

+ρ+ρρρ

=

onde :

( )2r1 d+ρ e ( )2

r2 d+ρ raios principais de curvatura da

frente de onda refletida em um ponto

de observação que dista d2 do ponto

de reflexão R.

DBD



A reflexão em uma superfície plana não altera a forma da frente

de onda incidente (seus raios de curvatura não são modificados) e,

quanto à divergência do tubo de raios, o fenômeno é equivalente a

uma fonte localizada na imagem da fonte real em relação à

superfície refletora.

5XJRVLGDGH

Uma das suposições para a aplicação dos coeficentes de Fresnel é

que as superficies refletoras devem ser suaves, neste caso a onda

incidente só é refletida em direções especulares[6]. Se a superficie

refletora não é lisa, o que ocorre é um espalhamento difuso da energia

incidente, em várias direções, causada pela irregularidade (rugosidade)

da superficie refletora.

)LJXUD Reflexão em superficie rugosa (espalhamento)

Uma superfície é considerada rugosa se as variações máximas e

mínimas da superfície K satisfazem [6]:

θλ

cos8>K

e, onde O é o comprimento de onda incidente e T é o ângulo de incidência.

Esta equação é deduzida assumindo que as alturas das superfícies WrPXPDGLVWULEXLomRJDXVVLDQD [6]; este é o critério mais comum e é chamado

DBD



o critério de Rayleigh. Para uma frequencia de 1900 MHz, tipica de um

sistema de comunicações pessoais e ângulo de incidencia igual a 45o

FPFPK 79.2)7071.0(8

789.15cos8

===θ

λ

e como as paredes dos edificios exibem variações maiores que 2.79 cm,

deveriam a rigor ser consideradas rugosas.

Quando dois raios incidem sobre uma superfície rugosa com uma

altura média de irregularidade h, a diferença de percursos entre os dois

raios refletidos U∆ . é )cos(2 θKU =∆ onde UL θθθ == como ilustrado

na fig.(4.8)

)LJXUD Reflexão em superficie rugosa (espalhamento) – Derivação do criterio de Rayleigh.

É fácil observar, comparando o raio 1 com o raio auxiliar 2’, o qual é

idêntico ao raio 2 mas deslocado da posição do raio 1. que a diferença de

fase destas duas ondas refletidas é :

)cos(h4U2 θ==

DBD



Vamos considerar dois casos extremos. No primeiro caso, quando a

superfície é suave, K é zero e a diferença de fase 'I é zero. Todos os

raios são somados coerentemente e produzem uma onda fortemente

refletida na direção especular. Outro caso extremo é quando 'I S, as

duas ondas refletidas estão em oposição de fase e se cancelam uma com

outra; não existe onda refletida na direção especular, e toda a energia

incidente é espalhada em outras direções. O critério de Rayleigh escolhe

a diferença de fase média entre estes dois casos extremos, por exemplo,

'I S quando 'I ! S, a superfície precisa ser tratada como uma

superfície rugosa. Ainda que o critério de Rayleigh esteja baseado em

uma superfície de espalhamento simplificada, este prediz a tendência

básica de uma superfície rugosa de espalhamento. Qualitativamente, o

espalhamento por superfícies rugosas é uma função do ângulo de

incidência, do comprimento de onda e da altura média das irregularidades

da superfície. Uma dada superfície torna-se então rugosa quando se

incrementa a freqüência ou o ângulo de incidência decresce.

Para superfícies rugosas, cujas alturas temXPDGLVWULEXLomRDUELWUDULD uma medida geométrica da rugosidade é dada pelo desvio padrão σh da

altura das superfícies e seu comprimento de correlação L. A primeira é

uma medida da variação da altura em relação a seu valor

)LJXUD Caracterização da superfície rugosa pelo desvio padrão σh da altura da

superfície e por seu comprimento de correlação L.

médio, a segunda é uma simples medida para a dependência estatística

da altura em dois diferentes pontos sobre a superfície. Norton (1947) e

DBD



Kerr (1951) substituíram o fator 8 em (4.20) por 16 e 32

respectivamente[62], resultando a equação:

LK θ

λσ

cos32<

ao exigir que o desvio quadrático médio da diferença de fase entre dois

raios refletidos para duas alturas diferentes da superfície deverá ser

menor que S de forma a combinar coerentemente. Por exemplo, quando

os raios estão quase em fase, como é o caso de uma superfície

perfeitamente lisa.

O que ocorre na prática é que, pela característica irregular do perfil

das rugosidades, o desnivel K é tratado como uma variável aleatoria e seu

desvio padrão passa a ser uma medida de quão acentuada é a

rugosidade da superficie[55].

Em [35] é apresentado um gráfico que mostra que considerando a

rugosidade das superficies, os resultados do cálculo dos níveis do sinal

ao longo de uma rota concordam melhor com os obtidos

experimentalmente.

)LJXUDComparação entre resultados experimentais no cálculo dos níveis do sinal ao longo de uma rota, obtidos com a técnica de traçado de raios sem considerar a rugosidade e considerando a rugosidade.[35]

DBD



Infere-se que as superfícies reais dos edificios são suficientemente

rugosas para ser consideradas no modelamento e que sua inclusão tem

dois impactos importantes sobre o espalhamento da energia a partir das

superficies :

1. A amplitude da componente especular é reduzida

2. A energia é espalhada em outras direções alem da direção da

reflexão especular.

O primeiro efeito é tratado usando um fator de correção tomado de

[69] e o coeficente de reflexão total é expresso por

ρV55 =

onde 5 é o coeficente de reflexão especular (superficie lisa) e ρ é a

constante multiplicativa, a qual varia entre e para superficies rugosas.

De [69,52], obtém-se

−= θ

λπσρ cos

8exp K

Este coeficiente é um fator redutor da amplitude do campo refletido,

devido a seu espalhamento em várias direções quando a superfície não é

lisa. Assim, para V = cm, U = resultando que a amplitude do

campo de refleção especular é reduzido em dB comparado com o

caso da superficie de reflexão lisa.

A obtenção dos coeficentes de reflexão para superficies irregulares foi

alvo de extenso trabalho [62, 68, 10]. Em [10] por exemplo, é propôsto um

coeficente semelhante a ρ na forma

DBD



−

−= θ

λπσθ

λπσρ cos

8expcos

421

0

,

onde , [ é a função de Bessel modificada de ordem zero, que tende a

unidade quando o argumento x da função tende a zero.

O segundo efeito do espalhamento em superfícies rugosas é que a

energia é radiada em todas direções ( ). É importante atentar para o

fato de que, embora esse fator corrija a amplitude do raio refletido, ele

não calcula a energia refletida fora da direção especular (energia

espalhada). Uma função simples de espalhamento de energia é fornecida

em [35], baseada em resultados experimentais e implementada em um

modelo de traçado de raios.

DBD



'LIUDomRHPVLVWHPDVGHFRPXQLFDoHVVHPILR

A difração é, em geral, o mecanismo de espalhamento

eletromagnético na borda de uma superfície, na aresta formada pela

junção (quina) de duas superfícies, no vértice de um sólido ou, ainda,

devido à incidência rasante sobre uma superfície[55]).

Se um raio incide na borda de uma aresta e segue somente as leis

da ótica geométrica (GO), então a área ao redor da aresta pode ser

dividia em três regiões distintas, conforme ilustrado na fig. 4.11.

)LJXUD Raio incidente sobre a borda de uma aresta, dividendo à área ao redor em

três regiões distintas. Na situação de interesse a incidência se dará através de raios oriundos de todas as direções, cada raio incidente na aresta terá suas fronteiras de sombra ISB e RSB associadas.

1. Na primeira região tanto o raio direito como os raios refletidos a

partir da fonte são visíveis. A fronteira desta região é definida pelo

raio refletido na borda da aresta. Esta fronteira é conhecida como

RSB (Reflection Shadow Boundary) .

2. A segunda região é onde só o raio direto alcança. Esta região é

limitada pela face, iluminada do obstáculo e pela fronteira formada

pelo prolongamento do raio incidente sobre a aresta. Esta última

fronteira é conhecida como ISB (Incidence Shadow Boundary).

3. A terceira região está formada entre a fronteira ISB e a face não

iluminada do obstáculo, onde nem os raios diretos nem refletidos

DBD



alcançam, apenas os raios difratados. Esta terceira região é

conhecida como região de sombra e, para calcular a distribuição de

energia nesta região de sombra, a Ótica Geométrica (GO) foi

estendida.

7DEHOD Regiões definidas pelas fronteiras de sombra

5HJLmR, 5HJLmR,, 5HJLmR,,,Espaço azimutal

0 < θ < φ’ π - φ’ < θ < π + φ’ π + φ’ < θ < nπ

Constituição do campo

Incidente, refletido, difratado

Incidente, difratado

Difratado

Se o problema fosse analisado apenas através da GO, o campo na

região não iluminada (3) cairia abruptamente a zero e haveria

também uma variação abrupta entre as regiões (1) e (2) pela

inexistência de campo refletido em (2). Tais fatos não são

observados na natureza e, embora os campos nessas regiões

sejam menores, há uma variação gradual de intensidade ao se

percorrer regiões iluminadas e em sombra[55].

Para comprimentos de onda finitos na presença de mudanças

abruptas nas características do médio, surge o fenômeno da difração[46].

Por exemplo, uma situação típica encontrada em microcélulas urbanas

densas corresponde ao caso em que a base está instalada sobre o teto

de um edifício, com antenas cujos diagramas de radiação apresentam

lobos principais ligeiramente inclinados para baixo (“down tilted”). O

mecanismo predominante, neste caso, passa a ser a difração nas bordas

horizontais dos topos dos edifícios que cercam o móvel.

As extensões da GO mais amplamente usadas em comunicações

sem fio são: GTD (Geometric Theory of Difraction) e sua extensão

UTD(Uniform Theory of Difraction).

A GTD foi desenvolvida em 1951 por J.B. Keller introduzindo

sistematicamente os raios difratados via generalização dos conceitos da

Ótica Geométrica Clássica. Generalizando o principio de Fermat, Keller

desenvolveu a GTD onde estabeleceu uma analogia entre os fenômenos

DBD



de difração e os de reflexão e refração da ótica geométrica. Nesta teoria o

campo difratado é associado a um raio difratado, obtido do raio incidente

através de uma lei de difração. A difração é assim interpretada como um

fenômeno local, de forma que a perturbação que gera o campo difratado é

função unicamente da estrutura do campo incidente e do meio nas

imediações de um ponto de difração.

Em particular, os raios difratados podem penetrar tanto nas regiões

de sombra da GO como nas regiões iluminadas. A GTD tem como base a

suposição de obstáculos lisos e perfeitamente condutores e foi limitada

pela condição de que o ponto de recepção está localizado fora da região

de transição, entre a visibilidade e a sombra. Conseqüentemente, os raios

difratados na região de sombra da GO devem ser tratados usando a GTD.

As amplitudes iniciais dos campos difratados são obtidas em função das

amplitudes dos campos incidentes nos pontos de difração e dos

coeficientes de difração, que podem ser encontrados a partir das soluções

assintóticas, para problemas canônicos apropriados, para os quais se tem

uma solução analítica e a partir daí os campos são rastreados através da

conservação da energia nos tubos de raios difratados; a fase, assim como

na GO, corresponde ao percurso ótico pertinente. A GTD falha nas

regiões de transição adjacentes às fronteiras de sombra (incidente e

refletida da GO) e próximo às causticas dos raios difratados. As falhas da

GTD nas regiões de transição ao redor das fronteiras de sombra incidente

e refletida, se deve à singularidade do coeficiente de difração do problema

canônico (cunha) naquela região (T DS ou T D na Fig 4.12).

Este problema pode ser solucionado através do uso de técnicas uniformes

baseadas na GTD, UTD [43] e UAT [47]. A UTD e a UAT.

Automaticamente se reduzem à GTD fora das regiões de transição das

fronteiras de sombra, permitindo uma continuidade de campo total, além

de produzir valores finitos de campo sobre as fronteiras.

DBD



)LJXUDProjeção dos raios incidente e difratado em um plano normal à borda,

passando pelo ponto de difração.

7HRULD8QLIRUPHGD'LIUDomR87'

A Teoria que será utilizada para o cálculo da difração é a UTD e o

detalhamento dos parâmetros e sistemas de coordenadas envolvidos são

apresentados na Figura 4.13 para faces planas e aresta retas, por

simplicidade de visualização e já que esta será a situação de

interesse em ambientes

)LJXUD Cone de Difração e sistema fixo ao raio para a difração.

DBD



celulares, onde os obstáculos serão representados por facetas planas

tangentes as superfícies. A incidência de um raio em uma aresta gera,

além do(s) raio(s) refletido(s) nas faces, um cone de raios difratados. O

cone assim gerado, denominado Cone de Keller, possui o semi-ângulo de

abertura G igual ao ângulo segundo o qual o raio incidente atinge a

aresta (ângulo G¶) e vértice coincidente com o ponto de difração Q. O cone

pode ser definido da seguinte maneira :

e .s e '.s =

As faces que compõem uma aresta são denominadas “0” e “n”,

escolhidas arbitrariamente. Essa nomenclatura será adotada deste ponto

em diante.

Na Figura 4.14, é possível identificar:

e vetor unitário tangente à aresta no ponto de difração

Q; para arestas retas, o vetor está ao longo da própria

aresta

( )e'.sarccos= ângulo formado entre o raio incidente ( ’s ) e o vetor e

tangente à aresta.

δ = δ’ ângulo agudo formado entre o raio difratado ( s ) e o

vetor e tangente à aresta.

Ψ ângulo de abertura entre as faces

3ODQR GH LQFLGrQFLD IL[R j DUHVWD : plano que contém o raio

incidente (direção de propagação da

onda incidente, ’s ) e o vetor e

3ODQRGHGLIUDomRIL[RjDUHVWD : plano que contém um raio difratado

(direção de propagação da onda

difratada, s ) e o vetor e ; como são

DBD



gerados infinitos raios difratados,

existem infinitos planos de difração

Os vetores ˆ , ,s e ' ,' ,'s fazem parte do sistema fixo ao raio

incidente e do sistema fixo aos raios difratados, respectivamente.

6LVWHPDVIL[RVDRVUDLRVSDUDDGLIUDomR

Os sistemas fixos aos raios para a difração são sistemas de três

eixos nos quais :

¾ um eixo está ao longo do raio; na Figura 4.13, corresponde aos

unitários s e 's ao longo dos raios incidente e difratado;

¾ um eixo é perpendicular aos planos de incidência / difração

fixos à aresta; na Figura 4.13, corresponde aos unitários φφ ˆ e ’ ;

¾ e um terceiro eixo está sobre os planos de incidência / difração

fixos à aresta; na Figura 4.13, corresponde aos unitários ββ ˆ e ’ .

As componentes perpendiculares aos planos de incidência/difração

fixos à aresta são denominadas componentes KDUG. As

componentes sobre os planos (componentes paralelas), são

conhecidas por VRIW. Assim, sejam (& o campo eletrico incidente e

(& o campo elétrico difratado :

ββ ˆ.E e ’.E di&&

componentes VRIW ;

φφ ˆ.E e ’.E di&&

componentes KDUG.

os vetores unitários envolvidos HVV ˆ,’, são deduzidos apartir da fig.

4.13

12

12

PP

PPˆQ-S

Q-S's &&

&&

&&

&&

−−== H

onde :

DBD



( ) ( ) ( )[ ]0ˆcos'ˆ'cosˆ QVHQIVHQHV φφδδ ++=

com :

e ’.s’cos =δ

e x’s’sen =δ

f vetor unitário normal a e , sobre o plano

tangente à face “0” no ponto de difração Q.

Para faces planas, f estará sobre a face “0”

Figura (4.14)

0n normal à face “0” no ponto de difração Q

Figura (4.14)

φ ângulo entre a projeção do raio difratado

sobre o plano normal à aresta no ponto de

difração e o plano tangente à face “0” no

ponto de difração. Para faces planas, φ será

o ângulo entre a projeção descrita e a face

“0” Figura(4.14)

e como já apresentado Figura (4.14)

)LJXUD Vista de um plano normal à aresta

DBD



e, a partir da Figura 4.13,

s x ˆ s x es x eˆ

's x'' 's x e's x e

'

φ=β=φ

φ=β−=φ

'HWHUPLQDomRGRFDPSRGLIUDWDGR

É apresentada agora a expressão de campo para a difração e, em

seguida, é feito comentário mais rigoroso a respeito das fronteiras de

sombra e da solução provida pela UTD.

O campo difratado em uma aresta, observado em um ponto O, é

fruto da contribuição de infinitas ordens de difração. Será aqui descrita a

difração de primeira ordem que é a mais relevante e corresponde, na

maioria dos casos, à principal contribuição ao campo total difratado. A

segunda contribuição (segundo a UTD) é denominada difração de

segunda ordemouslope diffractionnão será aqui considerada).

'LIUDomRGHSULPHLUDRUGHP

O campo difratado relaciona-se ao incidente através da seguinte

expressão :

[ ] 2jkddddd e A EˆE)O(E −φβ φ+β=

&

onde :

)O(Ed&

campo difratado calculado no ponto de observação

O, decomposto nas suas componentes VRIW e KDUG

DBD



−

−=

φ

β

φ

βi

’

i’

h

sd

d

EE

D00D

EE

componentes VRIW ( dEβ ) e KDUG ( dE φ ) do campo

difratado, com :

•

−

−

h

s

D00D

matriz D de coeficientes de

difração, composta pelos coeficientes

de difração VRIW e KDUG. Os

coeficientes de difração Ds,h serão

definidos a seguir

•

φβ=

φ

β

’).Q(E').Q(E

EE

i

i

i’

i’

&

&

vetor campo incidente na

aresta, )Q(Ei&

, expresso em suas

componentes VRIW e KDUG. Os vetores

unitários ’ e ’ φβ são conforme

definidos em (4.30)

φβ ˆ e conforme definidos em (4.30)

Ad fator de divergência do tubo de raios.

Detalhado adiante.

k definido em (4.7)

d2 [m] distância entre o ponto de difração Q e o

ponto de observação O.

&RHILFLHQWHVGHGLIUDomR

No caso de arestas em obstáculos formados por material condutor

perfeito, os coeficientes de difração são obtidos da expressão assintótica

para a solução exata do campo espalhado. Tanto a GTD de Keller, quanto

a UTD de Kouyoumjian e Pathak foram formuladas sob a hipótese de que

DBD



as superfícies dos obstáculos analisados apresentavam condutividade

perfeita. Na prática, portanto, tais métodos deveriam constituir, a princípio,

em boa aproximação apenas para problemas onde os obstáculos

envolvidos fossem “bons” condutores.

&RQGXWLYLGDGHILQLWD

Para o caso de quina formada por semi-planos de condutividade

finita, há uma solução aproximada de comprovada eficiência, cujos

coeficientes de difração muito se assemelham aos da UTD. Luebbers [69]

“inseriu” heuristicamente coeficientes de reflexão de Fresnel aos

coeficientes de difração da UTD.

Serão apresentados a seguir os coeficientes de difração para

arestas formadas por faces de condutividade finita.

Os coeficientes de difração Ds,h , VRIW eKDUG, respectivamente, são

definidos da seguinte forma : [69]

( ) ( )4n3n2o1h,soh,s DDGDDG)n,,’,,L(Dh,sh,sh,s

Γ++Γ+=δφφ

onde :[24]

( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]’akLF

n2’

cotsenk2n2

eD

’akLFn2

’cot

senk2n2

eD

’akLFn2

’cot

senk2n2

eD

’akLFn2

’cot

senk2n2

eD

rn4/j

4

i4/j

3

ro4/j

2

i4/j

1

φ+φ

φ+φ+π

δπ−=

φ−φ

φ−φ+π

δπ−=

φ+φ

φ+φ−π

δπ−=

φ−φ

φ−φ−π

δπ−=

+π−

+π−

−π−

−π−

Todos os parâmetros envolvidos no cálculo de 4.33 e 4.34 serão

agora descritos. Os elementos envolvidos nos coeficientes de difração

são apresentados a seguir:

DBD



φ ângulo entre a projeção do raio difratado sobre o plano normal

à aresta no ponto de difração e o plano tangente à face “0” no

ponto de difração. Para faces planas, φ será o ângulo entre a

projeção descrita e a face “0” (Figura 4.14); sua determinação é

apresentada em 4.45.

φ’ ângulo entre a projeção do raio incidente sobre o plano normal

à aresta no ponto de difração e o plano tangente à face “0” no

ponto de difração. Para faces planas, φ será o ângulo entre a

projeção descrita e a face “0” (Figura 4.14); sua determinação é

apresentada em 4.43.

δ ângulo agudo formado entre a onda difratada ( s ) e o vetor e

da aresta (Figura4.13)

k definido em (4.7)

n fator de abertura da aresta

πΨ−π= 2

n

onde :

Ψ ângulo interior da aresta, determinado como se segue.

( )21 n.narccos−π=Ψ com :

2,1n vetores unitários normais a cada face da

aresta

• para a correta determinação do quadrante de Ψ, é

necessário que se aplique a seguinte metodologia de

conferência. Se o valor de Ψ calculado por (4.36) for

negativo, esse erro deve ser corrigido subtraindo-se π do

valor calculado, para que Ψ esteja no quadrante correto. Ou

seja, se Ψ (calculado) < 0, então Ψ (correto) = Ψ (calculado)

DBD



- π. Caso contrário, o valor calculado de Ψ está correto e

deverá ser utilizado.

O ângulo externo da aresta se relaciona a n da seguinte

maneira. A partir da expressão (4.36) :

ψ = 2π - nπ ? 2π - ψ = nπ , que é o ângulo externo

da aresta, como indicado na Figura 4.14

F(x) Função de Transição de Fresnel

( )∫∞

ττ−=x

2jx djexpe xj2)x(F

• Na referença [55] são apresentadas funções

aproximadas para a representação de F(x) em três

intervalos distintos do argumento (são usadas

aproximações diferentes para cada intervalo). As

expressões aproximadas são mais simples que (4.37)

(não envolvem o cálculo de integral) e a substituem com

exatidão, sendo interessantes especialmente em regiões

onde a determinação de (4.37) possa ficar lenta (próximo

às chamadas fronteiras de sombra).

L O parâmetro de distância L é dado por : [58]

( )( )( )2

r,i22

r,i1

r,ie

2r,i2

r,i12

r,ie2r,i

dd

senddL

n,on,on,o

n,on,on,o

n,o

+ρ+ρρδρρ+ρ

=

onde :

δ ângulo agudo formado entre a onda difratada

( s ) e o vetor e da aresta Figura4.13

d2 [m] distância entre o ponto de difração Q e o ponto

de observação O

n,or,ieρ raio de curvatura da frente de onda incidente

(refletida) no plano contendo o raio incidente

(refletido) e o vetor e da aresta; no caso do

DBD



raio refletido, de acordo com o coeficiente de

(4.34)

(função de Lro ou Lrn), deve ser calculado reρ

em relação à face “0” ou à face “n”; a

expressão para sua determinação é

apresentada em (4.51), quando da definição do

fator de divergência do tubo de raios para a

difração, Ad

n,or,i2,1ρ raios principais de curvatura das frentes de

onda incidente e refletida.

Conhecida a forma da frente de onda incidente,

seus raios principais de curvatura podem ser

obtidos por procedimento descrito em [72].

a±(β) representa uma medida da separação angular entre

o ponto de observação e uma fronteira de

incidência ou reflexão, e é dado por [70] :

( )

β−π=β±

±

2Nn2

cos2a 2

onde :

β = φ ± φ’ [rd] a representação usual do ângulo β é da forma β± = φ ±

φ’, para denotar a soma e a subtração envolvendo os

ângulos φ e φ’. Na expressão (4.39), entretanto, β é

apresentado sem o sobrescrito “±” apenas para

ressaltar a inexistência de relação entre o sobrescrito de

β e os sobrescritos de a(β) e de N, estes sim,

relacionados.

N± são os inteiros que mais fielmente satisfazem às

seguintes equações :

2πnN+ - (β±) = π

DBD



2πnN- - (β±) = -π

conforme a referência [70], para difração exterior (1< n ≤

2), os valores possíveis de N são N- = -1 ; 0 ; 1 e N+ =

0; 1. Essa referência ilustra, em sua Figura(7), a

variação de N± com β e n

D

- variação de N-

E - variação de N+

)LJXUD N+ e N- como funções de β e n, as linhas tracejadas indicam alteração no valor de N± enquanto que as linhas pontilhadas demarcam fronteiras de transição, conforme serão melhor apresentadas adiante.

(fator de abertura da aresta) e a ilustração é aqui

reproduzida na Figura (4.15) para maior clareza.

-2π -π 0 π 2π 3π 4π β

n

1

1,5

2

N- = 1

φ = π + φ’ φ = π - φ’

N- = 0 N- = -1

-2π -π 0 π 2π 3π 4π β

n

1

1,5

2

N+ = 1

N+ = 0

φ = φ’ - π

φ = (2n-1)π - φ’

DBD



O sobrescrito de a(β) está diretamente relacionado ao

de N, ou seja

a+ → N+

a- → N-

Q é como já definido em (4.35)

Os ângulos φ e φ’ são sempre medidos a partir da

face “0”, e são determinados, conforme a Figura 4.14,

da seguinte forma

−=φ∴−=φ

’s

f.'sarcos'

's

f..'s'cos

.proj

.proj

.proj

.proj&

&

&

&

com :

( )HHVVV SURM ˆ'.'' .

&&& −=

=φ∴=φ

.proj

.proj

.proj

.proj

s

f.sarcos

s

f.scos &

&

&

&

com :

( )HHVVV SURM ˆˆ..

&&& −= Para a correta determinação dos ângulos φ’ e φ, é

necessário que se aplique a seguinte metodologia de

conferência :[58]

φ’ , φ pertence ao intervalo [0,π] se T’, T ≥ 0

φ’ , φ pertence ao intervalo [π,2π] se T’, T < 0

onde :

( )0.proj

0.proj

n.sT

n.'s'T&

&

=

−=

DBD



Se, após aplicada a metodologia, for verificado que o

ângulo φ’ (φ) calculado não está no intervalo correto,

deve-se substituir o valor incorreto de φ’ (φ) obtido, por

2π - (valor incorreto), que será o valor correto do ângulo.

)DWRUGHGLYHUJrQFLDGRWXERGHUDLRVSDUDDGLIUDomR

Quando as interações entre as ondas e os obstáculos do cenário

envolvem apenas reflexões e refrações, a determinação dos raios

principais de curvatura das frentes de onda refletida e transmitida pela

estrutura é trivial e já está inserida nas próprias expressões de fator de

divergência do tubo de raios (4.19), onde esses raios são necessários.

Porém, quando o mecanismo de difração é envolvido, a expressão (4.49)

e as subseqüentes a ela relacionadas, evidenciaram que a determinação

dos raios de curvatura envolvidos no cálculo do fator de divergência do

tubo de raios difratados (raios principais de curvatura da frente de onda

difratada), bem como no cálculo do parâmetro de distância L (expressão

(4.38)) pode não ser tão simplificado, mesmo se considerando apenas

faces planas como é o caso de interesse.

O fator de divergência do tubo de raios difratado é dado por [58]:

)(A

d1

d1d

σ+ρσρ

=

onde :

d1ρ um dos raios de curvatura principais da frente de

onda difratada, no ponto de difração Q [58]

( )’sena

s's.n112

eie

d1 δ

−−ρ

=ρ

ieρ raio de curvatura da frente de onda incidente,

no plano contendo o vetor e (tangente à

DBD



aresta no ponto de difração) e o vetor ’s

(vetor diretor do raio incidente); a expressão

para sua determinação é apresentada em

(4.51)

ae raio de curvatura da aresta em Q

n normal à aresta no ponto de incidência,

orientada afastando-se do centro de curvatura

da aresta. O cálculo do vetor normal em

arestas arbitrárias é apresentado em [7 ]

’s vetor diretor do raio incidente na aresta

s vetor diretor do raio difratado

δ’ conforme já definido

• nos casos de interesse para a aplicação do

Método de Traçado de Raios, as arestas são

retas. Logo, ae → ∞ e a expressão (4.49) fornece :

ie

d1 ρ=ρ

)LJXUD Tubo de raios da frente de onda difratada

.

.

cáustica 1

aresta (cáustica

0

σ =

1σ

2σ

s

d1ρ−=σ

DBD



σ = d2 segundo raio de curvatura principal da frente

de onda difratada (a cáustica do segundo raio de

curvatura está sobre a aresta e o ponto de difração

é escolhido como sendo o ponto de referência e

também o ponto origem).

• o raio de curvatura σ é, portanto, medido a partir

do ponto de difração, sendo nulo sobre esse ponto

(pois a origem é escolhida em Q). A Figura 4.16

esclarece o exposto.

os raios de curvatura da frente de onda difratada, em

um ponto que dista σ do ponto de difração, são dados

por : σ e ( )σ+ρd1 , como no denominador de (4.48).

na fig. 4.16 o vetor unitário 2σ é o próprio vetor φ do sistema fixo ao

raio difratado;

o vetor unitário 1σ é o próprio vetor β do sistema fixo ao

raio difratado.

o par de vetores ( )21 ˆ,ˆ σσ define as direções principais de curvatura

da frente de onda difratada.

5DLRGHFXUYDWXUD ieρ

A seguir é apresentada a determinação de ieρ , necessária ao

cálculo de (4.49) e de (4.38) Seja a Figura 4.17 a seguir[58].

Elementos associados à Figura 4.17 ’s vetor diretor do raio incidente na aresta

e vetor tangente à aresta, no ponto de difração Q

DBD



i1x uma das direções principais de curvatura da frente

de onda incidente

)LJXUD Parâmetros referentes à frente de onda incidente

i2x outra direção principal de curvatura da frente de onda

incidente

se o tubo de raios incidente for de uma onda difratada, os vetores i1x e i

2x são os próprios vetores 1σ e 2σ , como pode ser observado

pela Figura 4.16.

δ’ conforme já definido

O raio de curvatura ieρ é dado por :

i2

i2

i1

i2

ie

sencos1ρ

Ω+ρ

Ω=ρ

onde :

Ωi

δ’

.

.

ponto sobre a cáustica 2 da frente de onda incidente

ponto sobre a cáustica 1 da frente de onda incidente

is

e

i2x

i1x

i2ρ−=σ

i1ρ−=σ

DBD



Ωi ângulo entre o plano de incidência fixo à aresta

(plano formado por e e si ) e o plano formado por is

e i1x . É definido por :

’senx.e

cosi1i

δ=Ω

com :

( ) ( ) ( )( )

[ ]i1

i1 x e e entre ângulocosx.e

)'sen(2/sen 'cos2/cos'2/cos)'sen(

=δπ++δπ=δ−π=δ

sen2Ωi = 1 - cos2Ωi ou

’senx.e

seni2i

δ=Ω

com :

e . i2x = cos[ângulo entre e e i

2x ]

i2,1ρ raios principais de curvatura da frente de onda

incidente na aresta

Para onda esférica incidente na aresta, o raio de curvatura ieρ

é igual ao próprio raio de curvatura da frente de onda esférica.

Na expressão (4.38), que determina o parâmetro L, é

utilizado, além de ieρ , o raio n,or

eρ . O raio de curvatura n,oreρ é

calculado através da mesma expressão (4.51), com as seguintes

modificações :

¾ os raios de curvatura nos denominadores são substituidos

por r1ρ e r

2ρ , em relação à face “0” ou “n”, conforme seja oreρ

ou nreρ , respectivamente;

¾ o ângulo Ωi agora é Ωr, medido entre o plano formado por

n,ors (unitário na direção do raio refletido na face “0” ou “n”,

DBD



conforme se esteja calculando oreρ ou nr

eρ , respectivamente)

e e e o plano formado por n,ors e r1x . O vetor r

1x define uma

das direções principais de curvatura da frente de onda

refletida e é obtido, através da expressão (C-28) do

Apêndice C da referencia [55], onde r11 xx ≡ .

¾ O vetor r2x , que define a segunda direção principal de

curvatura, também necessário ao cálculo de (4.54) adaptada

ao cálculo de n,or

eρ , é calculado pela expressão (C-29) do

Apêndice C da referencia [55], onde r22 xx ≡ . Para faces

planas, as direções principais de curvatura são calculadas

de forma mais simples, através da decomposição nos

sistemas fixos ao raio incidente e refletido, como definido

pela expressão (4.21).

Quando as faces que compõem a aresta são planas, a aresta é reta

(raio de curvatura da aresta é infinito em qualquer ponto da mesma) e

verifica-se que o cálculo de (4.51), considerando as particularidades

envolvidas (simplificações) nessa situação, fornece o seguinte resultado:

ie

re

n,o ρ=ρ

É importante nesse ponto que se faça um maior detalhamento a

respeito do tratamento que deve ser dado aos raios e direções principais

de curvatura de frentes de onda quando estas incidem em superfícies

planas ou em arestas formadas por superfícies planas, que são as

situações de interesse. As expressões envolvidas serão citadas ao longo

do detalhamento, que deve ser visto como um sumário para a

determinação desses dois parâmetros (raios e direções principais de

curvatura de frente de onda), útil para a implementação das várias

situações de interação entre raios e superfícies planas.

DBD



Em um percurso de propagação entre as antenas transmissora e

receptora, quando ocorre difração pela primeira vez, e considerando que

a antena transmissora irradia ondas esféricas, a onda incidente na aresta

será esférica, ainda que a família de raios (antepassados do raio incidente

na aresta) tenha passado por mecanismos de reflexão e refração

(reflexão e refração em faces planas não alteram a forma da onda). Nessa

situação, ieρ , dado pela expressão (4.51), é o próprio raio de curvatura da

frente de onda incidente. Como ie

d1 ρ=ρ (expressão (4.50)) e i

eρ é a

distância percorrida até o ponto de difração na aresta (pois a frente de

onda é esférica), a determinação de (4.49) é simplificada, não requerendo

cálculos adicionais.

Maior cuidado deve ser tomado quando novas difrações ocorrem

após à primeira. O detalhe relevante a ser observado é que, após uma

difração, a frente de onda não é mais uma frente esférica, uma vez que a

frente de onda difratada possui raios principais de curvatura σ e ( )σ+ρd1

como apresenta o denominador de (4.49). Nesse caso, o raio ieρ precisa

ser calculado, o que é feito através das expressões (4.51) a (4.53). Essas

expressões envolvem as direções principais de curvatura de uma frente

de onda, que são parâmetros cuja utilidade não havia sido evidenciada no

tratamento de faces planas até então, e cuja determinação para as

diferentes formas de interação entre ondas propagantes e obstáculos

também merece atenção especial. Antes de prosseguir, é interessante

esclarecer que as expressões (4.51) a (4.53) podem ser utilizadas sempre

que se fizer necessário o cálculo de ieρ , mesmo que a onda incidente na

aresta seja esférica (primeira difração), situação na qual essas

expressões degeneram-se na simplificação descrita no parágrafo anterior.

Outra observação a ser feita é de que, no cálculo do parâmetro L

(expressão (4.52)), é também necessário o raio de curvatura reρ que, para

os casos de interesse (faces planas), é igual a ieρ , como apresentado na

expressão (4.54).

DBD



Quando há difrações sucessivas após a primeira difração, e sem a

ocorrência de outros mecanismos (reflexão e/ou refração) intermediários

às difrações, as direções principais de curvatura da frente de onda

incidente nas sucessivas arestas são dadas pelos próprios vetores

unitários φ (que será o vetor i2x na expressão (4.53)) e β (que será o

vetor i1x na expressão (4.52)) do sistema de coordenadas fixo ao raio

difratado na aresta imediatamente anterior, como mencionado quando da

apresentação da Figura4.16 e da Figura 4.17. Se ocorrem reflexões ou

refrações (gerando raios transmitidos) intermediárias, deve ser

determinada a nova orientação dos vetores φ e β após a reflexão ou

refração.

&RHILFLHQWHVGHUHIOH[mR*XVDGRVQDGLIUDomR

Os coeficientes de reflexão de Fresnel a serem utilizados na

difração são os mesmos definidos pela expressão (4.17) ou seja, são os

coeficientes para reflexão RXWGRRU. O ângulo de incidência a ser usado é,

para a face iluminada, igual ao já definido para a reflexão. Porém, para

uso no cálculo da difração, o coeficiente de reflexão também é calculado

em relação à face não iluminada. O tratamento do ângulo de incidência

em relação à face não iluminada requer atenção especial e o seu

detalhamento é apresentado na referência[55].

DBD


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